球坐标系下梯度计算

“你对称，我奇偶” 你对称， 奇偶”
对 I = ∫∫∫ f ( x , y , z )dv
Ω
① 若Ω 关于 xoy 面对称 (1) 当 f ( x , y ,− z ) = − f ( x , y , z , ) 时 I = 0
( 2) 当 f ( x , y , − z ) = f ( x , y , z ) 时 I = 2 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv
思考题
xy面对称的有界闭区域， f( 若Ω为R3中关于 面对称的有界闭区域， x, y, z)为 , Ω上的连续函数则
当f ( x, y, z )关于 ____为奇函数时, ∫∫∫ f ( x, y, z )dv = 0;
z
当 f ( x , y , z ) 关于 ____ 为偶函数时
z
Ω
,
∫∫∫
关键在于定出 的变化范围
r,θ , z
θ , r 的范围容易定出 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 2
z 呢？
注意到 当0 ≤ r ≤ 1时
1≤ z ≤ 2 当1 ≤ r ≤ 2时 r ≤ z ≤ 2
2 z 2 2 z
e e I = ∫ dθ [∫ dr∫ ⋅ rdz + ∫ dr∫ ⋅ rdz] r r 0 0 1 1 r
Ω 1 = {( x , y , z ) | ( x , y , z ) ∈ Ω , z ≥ 0} ② 若Ω 关于 xoz 面对称
(1) 当 f ( x ,− y , z ) = − f ( x , y , z ) 时 I = 0 ( 2) 当 f ( x ,− y , z ) = f ( x , y , z ) 时
Ω
_______________________；其值为__________. _______________________；其值为__________. __________
二、计算下列三重积分: 计算下列三重积分: 1、 1、 ( x 2 + y 2 )dv ,其中Ω 是由曲面4z 2 = 25( x 2 + y 2 ) ∫∫∫ 所围成的闭区域. 及平面 z = 5 所围成的闭区域.
I = 2 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv
Ω3
Ω 3 = {( x , y , z ) | ( x , y , z ) ∈ Ω , x ≥ 0}
三、小结
三重积分换元法
柱面坐标 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素 ）
dxdydz = rdrdθdz
2
（2） 球面坐标的体积元素 dxdydz= r sinϕdrdθdϕ ） （3） 对称性简化运算 ）
Ω
2 f ( x , y , z ) dv = ___
∫∫∫
Ω1
f ( x , y , z ) dv
其中Ω1为Ω在xy面上方的部分.
练习题
填空题: 一 、填空题: 1 、若 Ω 由曲面 z 2 = 3( x 2 + y 2 )和 x 2 + y 2 + z 2 = 16 所 围, 则三重积分 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv 表示成直角坐标下 的三次积分是_________________; 的三次积分是_________________;在柱面坐标下 _________________ 的三次积分是_________________ _________________; 的三次积分是_________________; 在球面坐标下 的三次积分是__________________ __________________. 的三次积分是__________________. 2 、若 Ω 由 曲 面 z = 2 − x 2 − y 2 及 z = x 2 + y 2 所 围 , 表为柱面坐标下的三次积分_________ _________, 将 ∫∫∫ zdv 表为柱面坐标下的三次积分_________,
r sinϕ
dr
r sinϕdθ rdϕ dϕ
dv = r sinϕdrdϕdθ ,
2
r
ϕ
∫∫∫ Ω
Ω
f ( x , y , z )dxdydz =
x
o
θ
dθ
y
f (r sinϕ cosθ , r sinϕ sinθ , r cosϕ )r 2 sinϕdrdϕdθ . ∫∫∫
然后把它化成对 r,θ ,ϕ 的三次积分 具体计算时需要将 Ω 用球坐标系下的不等式组表示 积分次序通常是
x + y +z
2 2
2
而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单
补充： 补充：利用对称性简化三重积分计算
使用对称性时应注意： 使用对称性时应注意： 积分区域关于坐标面的对称性； １、积分区域关于坐标面的对称性； ２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的 奇偶性． 奇偶性．
一 地 当 分 域 关 xoy平 对 ， 般 ， 积 区 Ω 于 面 称 且 被 函 f ( x, y, z)是 于z的 函 ， 三 积 积 数 关 奇 数 则 重 分 为 ， 被 函 f ( x, y, z)是 于z的 函 ， 零 若 积 数 关 偶 数 则 三 积 为 在xoy平 上 的 个 区 的 重 重 分 Ω 面 方 半 闭 域 三 积 的 倍 分 两 .
2π
1
= 2π (e − e) + 2π ∫ (e − e )dr = 2πe
2 2 r 1
2
2
二、在球坐标系下的计算法
为空间内一点， 设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，则点 M 可用 来确定， 三个有次序的数 r，ϕ，θ 来确定，其中 r 为原 间的距离， 点 O 与点 M 间的距离， ϕ 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 轴正向所夹的角， θ 为从正 z 轴来看自 x 轴按 的角， 逆时针方向转到有向线 段 OP 的角，这里 P 为 面上的投影， 点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三 个数 r，ϕ， 的球面坐标． θ 就叫做点 M 的球面坐标．
x = r sinϕ cosθ , y = r sinϕ sinθ , z = r cosϕ.
规定
A
z
ϕ
x
r
• M ( x , y, z )
z
•
o
θ
y
0 ≤ ϕ ≤ π, 0 ≤ θ ≤ 2π.
r 为常数
x
y
P
球 面 圆锥面 半平面
ϕ 为常数 θ 为常数
z
如图， 如图，球面坐标系中的体积元素为dθ
dz
Ω
x
dr
r
∴ ∫∫∫ f ( x , y , z )dxdydz
o
dθ
= ∫∫∫ f (r cosθ , r sinθ , z)rdrd dz. θ
y
Ω
x
然后再把它化为三次积分来计算 积分次序一般是先 z 次 r 后 θ 积分限是根据 r ,θ , z 在积分区域中的变化范围来确定 例1 解
( x2 + y2 + z2 )dv,Ω : z = x2 + y2 , z = 1 ∫∫∫
1 3
注
若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、 若空间区域为以坐源自文库轴为轴的圆柱体、 圆锥体或旋转体时， 圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考 虑使用柱坐标来计算。 虑使用柱坐标来计算。
例2
∫∫∫ Ω
ez 2 2 dxdydz,Ω : z = x + y , z = 1, z = 2 2 2 x +y
解
x = r cosθ y = r sinθ , z=z
先r次ϕ后θ
例3 计 I = ∫∫∫ ( x2 + y2 )dxdydz， 中 是 面 算 其 Ω 锥 平 围 立 . x2 + y2 = z2，与 面z = a (a > 0)所 的 体
解一 用球坐标
Ω
Q z =a
a , ⇒r = cosϕ π 2 2 2 x + y =z ⇒ϕ= , 4
a π , 0 ≤ ϕ ≤ , 0 ≤ θ ≤ 2π , ∴Ω : 0 ≤ r ≤ cos ϕ 4
I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz = ∫ dθ ∫ dϕ ∫
2 2
2π
π 5 1 a = 2π ∫ sin ϕ ⋅ ( 5 − 0)dϕ = a . 10 5 cos ϕ 解二 用柱坐标
5 3
Ω
0
π 4 0
a cos ϕ 0
r 4 sin 3ϕdr
π 4 0
Q x 2 + y 2 = z 2 ⇒ z = r,
π 0≤ϕ≤ , 4
Ω
0 ≤ θ ≤ 2π ,
由三重积分的性质知 V =
∫∫∫ dxdydz ,
V = ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0 0
2π
π 4
2a
0
r 2 sin ϕdr
= 2π ∫
π 4 0
4 ( 2a )3 sin ϕ ⋅ dϕ = π( 2 − 1)a 3 . 3 3
注
若 积分区域为球体、球壳或其一部分 积分区域为球体、 被积函数呈 通常采用球坐标。 通常采用球坐标。
Ω
面得D 将Ω 投到xoy 面得
x + y ≤1
2 2
1
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 1, r ≤ z ≤ 1
∫∫∫( x Ω
2
+ y + z )dv = ∫ dθ ∫ dr∫ (r + z )rdz
2 2 2 2 0 0 r
2π
1
r 4 4 3π = 2π ∫ ( r + − r )dr = 3 3 10 0
Ω1
I = 2 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv
Ω 2 = {( x , y , z ) | ( x , y , z ∈ Ω , y ≥ 0)}
③ 若Ω 关于 yoz 面对称
Ω2
(1) 当 f ( − x , y , z ) = − f ( x , y , z ) 时 I = 0 ( 2) 当 f ( − x , y , z ) = f ( x , y , z ) 时
Ω
2、 2、 ∫∫∫ ( x 2 + y 2 )dv ,其中 Ω 由不等式
Ω
所确定. 0 < a ≤ x 2 + y 2 + z 2 ≤ A, z ≥ 0 所确定. x2 y2 z2 3、 3、 ∫∫∫ ( 2 + 2 + 2 )dxdydz , a b c Ω x2 y2 z2 其中Ω = ( x , y , z ) 2 + 2 + 2 ≤ 1 . a b c 三、求曲面 z = 5 − x 2 − y 2 及 x 2 + y 2 = 4 z 所围成的立 体的体积. 体的体积. 四、曲面 x 2 + y 2 + az = 4a 2 将球体 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 4az 分 成两部分,试求两部分的体积之比. 成两部分,试求两部分的体积之比. 五、求由曲面 z = x 2 + y 2 , x + y = a , x = 0, y = 0, z = 0 所围成立体的重心( 所围成立体的重心(设密度 ρ = 1 ).
Ω Ω
其值为_______. 其值为_______. _______
3、 3、若空间区域 Ω 为二曲面 x 2 + y 2 = az 及 所围, z = 2a − x 2 + y 2 所围, 则其体积可表为三重积分 _______________; ______________; _______________; 或二重积分 ______________; 或柱面坐标下的三次积分___________________ ___________________. 或柱面坐标下的三次积分___________________. 4 、 若 由不 等 式 x 2 + y 2 + ( z − a ) 2 ≤ a 2 , x 2 + y 2 ≤ z 2 所确定, 所确定, 将 ∫∫∫ zdv 表为球面坐标下的三次积分为
∫
a
例4 求 面x2 + y2 + z2 ≤ 2a2与z ≥ x2 + y2 曲 所 成 立 体 . 围 的 体 积
解 Ω 由锥面和球面围成， 由锥面和球面围成，
采用球面坐标， 采用球面坐标，
由x
2
+ y 2 + z 2 = 2a 2 ⇒ r = 2a,
x + y
2 2
z =
π ⇒ ϕ= , 4
Ω : 0 ≤ r ≤ 2a ,
Ω : r ≤ z ≤ a,
2 Ω 2
D: x + y ≤ a ,
2 2 2
0 ≤ r ≤ a,
0
0 ≤ θ ≤ 2π ,
2π a a 2 0 r
I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz = ∫ dθ ∫ rdr ∫ r dz
a4 a5 π 5 3 = 2π r (a − r )dr = 2π[a ⋅ − ] = a . 0 4 5 10
规定： 规定：
z
• M ( x, y, z )
0 ≤ r < +∞ ,
0 ≤ θ ≤ 2 π,
x
o
θ
r
P (r ,θ )
•
y
− ∞ < z < +∞ .
z
圆柱面
θ 为常数
z 为常数
z
rdθ
半平面 平 面
z
•
M ( x, y , z )
如图， 如图，柱面坐标系中的体积元
o
θ
r•
P (r ,θ )
y
dv = rdrdθdz ,
在柱坐标系和球坐标系下的计算
一、在柱坐标系下的计算法
为空间内一点， 设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，并设点 M 在 xoy 面上的投影 P 的极坐标为 r ,θ，则这样的三 的柱面坐标． 个数 r ,θ , z 就叫点 M 的柱面坐标．
x = r cosθ , y = r sinθ , z = z.