小学数学理论基础：有限集合与无限集合

Hilbert 的旅馆
类似的，来了任意有限多位新客人，这个问题都能解决！ 但是又来了可列的无限的新客人，还能安排吗？Hilbert让1号房客搬到2号房， 让2号房客搬到4号房，让3号房客搬到6号房······这时所有奇数号房间都空出来了， 即有可列无穷多的房间被空出来了， 无限集合真奇妙！
• 1，2，3，4，5…… • 2，4，6，8，10……
自然数一个最重要的特性肯定是：自然数是无限集合。
无限集合的特征
“部分=全体”是无限集合的基本特征。 含有与其自身对等的真子集合的集合， 都是无限集合，反之亦然。
无限集合相关性质
无限集合的Leabharlann Baidu本性质：
1.无限集合能与它的某些真子集合对等。 2.包含无限集合的任一集合是无限集合。 3.无限集合A的“元素个数”可能等于它的真子集 合B的“元素个数”。 4. 两个无限集合的并集合还是无限集合。
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本课件中部分所用素材来源于网络，仅供教学使用
Hilbert 的旅馆
德国著名数学家大卫•希尔伯特曾经讲过一个精彩故事。在那里，希尔伯特成为一个旅馆的老 板，这个旅馆不同于我们现实生活中的任何旅馆，它设有无穷多个房间。
一天，该旅馆所有的客房已满。这时，又来了一位客人坚持要住下来。 Hilbert让1号房客搬到2号房，让2号房客搬到3号房，让3号房客搬到4号房······这时1号房间 就空出来了，让新客人住进1号房。 如果来了5位新客人，这个问题能解决吗？能！因为集合{ 6，7，8，9，10，…}与自然数集 合可以建立一一对应。
有限集合相关性质
有限集合的基本性质：
1. 有限集合不能与它的任何真子集合对等。 2. 有限集合的任一子集合是有限集合。 3. 有限集合A的元素个数永远大于它的真子集合 B的元素个数。 4. 两个有限集合的并集合还是有限集合。
无限集合
无限集合是由无穷多个元素组成的集合， 也称无穷集合。
相信大家都认可：“要多少有多少，没完 没了，无穷无尽…”才能算无穷多。
可列无限集合
• 自然数：0，1，2，3，4，5 …… • 集合A ：a0 ，a1， a2， a3， a4 ， a5 ……
与自然数集合能建立“1-1” 对应的无限集合，我们称之
为可列集合。
可列无限集合
• 自然数：0，1，2，3，4， 5 …… • 偶 数：0，2，4，6，8，10 ……
偶数集合是可列集合
可列无限集合
从Hilbert 的旅馆故事中，我们可以得到以下可列集合的性质：
（1）可列无穷多+任意自然数=可列无穷多 （2）可列无穷多+可列无穷多=可列无穷多
问题研究
（1）用“有限集合”与“无限集合”的特征来 刻画概念，形成“有限集合”与“无限集合” 的抽象定义。
（2）进一步研究可列集合的性质。
有限集合 与无限集合
有限集合
有限集合是由有限个元素组成的集合，也称 有穷集合。
只含一个元素的集合是一种特殊的有限集合。 叫做单元素集合。至少含有一个元素的集合叫做 非空集合。不含任何元素的集合叫做空集，空集 只有一个，一般用希腊字母Φ（或{ } ）来表示。
有限集合的特征
“部分≠全体”是有限集合的基本特征。 不含有与其自身对等的真子集合的集合（包括 空集合），都是有限集合，反之亦然。