小学数学理论基础：有限集合与无限集合
5无限集合与归纳法
西安电子科技大学计算机学院 毛立强
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符号串
设Σ是字母表，Σ上的所有有限符号串的集合Σ*定义如下： （基础） Λ ∈Σ* （归纳）如果x∈Σ*且a∈Σ，则ax∈Σ* （极小性）集合Σ*仅包含这些元素：它能由有限次应用条 款1和2构成。 例：如果Σ＝{a,b}，那么Σ*＝{Λ ,a,b,aa,ab,ba,...}。 例：如果Σ＝{0,1}，那么Σ*是有限二进制序列的集合，包括 空序列。
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集合的归纳定义
集合的归纳定义（递归定义）： 基础条款（简称基础）。指出某些事物属于集合。功能是 给集合以基本元素，使所定义的集合非空。 归纳条款（简称归纳）：指出由集合的已有元素构造新元 素的方法。形式总是断言。功能是指出了为了构造集合的 新元素，能够在事物上进行的运算。 极小性条款（简称极小性）：指出一个事物若不能有限次 应用基础和归纳条款构成，则这个事物不是集合的元素。
符号串
设Σ表示一个有限的非空的符号（字符）集合，称为字母 表。由字母表Σ中有限个字符拼接起来的符号串称为字母表 Σ上的一个字（串）。 例： (a) 如果Σ={a,b, …, z}, 那么is, then都是Σ上的字。 (b) 如果Σ={你, 我, 人, 工, …, 是}, 那么“你是工人”是Σ上 的串。 (c) 如果Σ={a, b, …, z, } , 这里 是代表空白。那么 that was long ago是Σ上的串, 一般写成that was long ago。 ] ] ] ] ]
归纳证明
通常的归纳证明是涉及自然数的，自然数具有以下归纳特 征： （基础） 0∈N （归纳）如果n∈N，那么n+1∈N （极小性）如果S是N的子集，且S具有以下性质： 0∈S 对每一n∈N，如果n∈S，那么n+1∈S。 那么S=N。 这里，极小性条款是自然数定义中的形式，称为数学归纳法 第一原理。
小学数学：集合思想
集合思想1. 集合的概念。
把指定的具有某种性质的事物看作一个整体,就是一个集合(简称集),其中每个事物叫做该集合的元素(简称元)。
给定的集合,它的元素必须是确定的,即任何一个事物是否属于这个集合,是明确的。
如“学习成绩好的同学”不能构成一个集合，因为构成它的元素是不确定的；而“语文和数学的平均成绩在90分及以上的同学”就是一个集合。
一个给定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现。
只要两个集合的元素完全相同，就说这两个集合相等。
集合的表示法一般用列举法和描述法。
列举法就是把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法。
描述法就是在花括号内写出规定这个集合元素的特定性质来表示集合的方法。
列举法的局限性在于当集合的元素过多或者有无限多个时，很难把所有的元素一一列举出来，这时描述法便体现出了优越性。
此外，有时也可以用封闭的曲线（文恩图）来直观地表示集合及集合间的关系，曲线的内部表示集合的所有元素。
一一对应是两个集合之间元素（这种元素不一定是数）的一对一的对应，也就是说集合Ａ中的任一元素a，在集合Ｂ中都有唯一的元素b与之对应；并且在集合Ｂ中的任一元素b，在集合Ａ中也有唯一的元素a与之对应。
数集之间可以建立一一对应，如正奇数集合和正偶数集合之间的元素可以建立一一对应。
其他集合之间也可以建立一一对应，如五(1)班有25个男生，25个女生，如果把男生和女生各自看成一个集合，那么这两个集合之间可以建立一一对应；再如，中国、美国、俄罗斯、英国、法国、德国作为一个集合，北京、华盛顿、莫斯科、伦敦、巴黎、柏林作为一个集合，这两个集合之间也可以建立一一对应。
2. 集合思想的重要意义。
集合理论是数学的理论基础，从集合论的角度研究数学，便于从整体和部分及二者的关系上研究数学各个领域的知识。
如数系的扩展，从小学的自然数到整数，再到中学的有理数、无理数和实数，都可以从集合的角度来描述。
有时用集合语言来表述有关概念更为简洁，如全体偶数的集合可表示为｛x|x＝2k，k∈Z｝。
集合的维数与维数公式
集合的维数与维数公式前言在数学中，集合的维数是用来衡量集合中元素的数目。
一个集合的维数可以是有限的，也可以是无限的。
有限维度的集合称为有限集合，无限维度的集合称为无限集合。
集合的维数一个集合的维数可以通过集合中元素的个数来确定。
如果一个集合中元素的个数是有限的，那么这个集合是有限集合，它的维数等于集合中元素的个数。
如果一个集合中元素的个数是无限的，那么这个集合是无限集合，它的维数是无限的。
例如，集合{1, 2, 3, 4, 5}是一个有限集合，它的维数是5。
集合{1, 2, 3, …}是一个无限集合，它的维数是无限的。
维数公式一个集合的维数可以通过以下公式来计算：dim (X )=sup{n ∈ℕ∣∃x 1,…,x n ∈X such that X =⋃ni=1x i } 其中，X 是集合，dim (X )是集合的维数，ℕ是自然数集，n 是一个自然数，x 1,…,x n 是集合X 中的元素。
维数公式的证明维数公式的证明可以通过数学归纳法来完成。
基本情况：当n =1时，集合X 中只有一个元素，那么dim (X )=1。
归纳步骤：假设对于某个自然数k ≥1，维数公式对于所有维数小于或等于k 的集合都是成立的。
现在考虑一个维数为k +1的集合X 。
根据集合的维数的定义，存在元素x 1,…,x k+1∈X 使得X =⋃i=1k+1x i 。
由于X 的维数为k +1，所以根据归纳假设，集合x 1,…,x k 和x k+1的维数都小于或等于k 。
因此，根据维数公式，集合x 1,…,x k 和x k+1的维数分别为dim (x 1,…,x k )≤k 和dim (x k+1)≤k 。
由于X =⋃i=1k+1x i ，所以dim (X )≤max{dim (x 1,…,x k ),dim (x k+1)}≤k 。
另一方面，根据集合的维数的定义，存在元素y 1,…,y k ∈X 使得X =⋃i=1k y i 。
集合论与图论课件 第四章 无限集
3 集合递归（归纳）定义的实例
例1：设整数集I是全集,非负偶整数集 E+={x|x≧0,且x=2y, yZ}, 它可以递归定 义如下: (1)(基础)0E+。 (2)(归纳)如果nE+, 则n+2E+。 (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生的整 数外,再没有其它的整数在E+ 中。
引言实例的递归定义 (1)(基础)3S。 (2)(归纳)如果x,yS, 则x+yS。 (3)(闭合)除有限次应用(1)和(2)产生的整 数外, 再没有其它的整数在S中。
例如,若Σ={0,1}, 则 Σ*={,0,1,00,01,10,11,000,001…},是有 限二进制序列的集合, 其中包含空序列。
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用归纳定义的方法来描述算术表达式集合
例4.4 算术表达式集合是包含整数, 一元运算符+,-, 以 及二元运算符+,-,* ,/的符号序列所组成的集合, 其中包 含如“((3+5)/4)”,“(((-5)+6)*3)”等算术表达式。 算术表达式集合的递归定义如下: (1)(基础)如果D={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}和xD+ ,则x是算 术表达式。其中D+是D上所有非空数字串的集合。 (2)(归纳)如果x和y都是算术表达式, 则 (+x)是算术表达式; (-x)是算术表达式; (x+y)是算术表达式; (x-y)是算术表达式; (x*y)是算术表达式; (x/y)是算术表达式。 (3)(闭合)一个符号序列是一个算术表达式当且仅当它 能通过有限次应用(1)和(2)而得到。
例4.7 证明所有大于或等于2的整数能表 示为若干质数之积。
/*第二数学归纳法证明*/
数学文化素养话题之十五：有限与无限
智汇咨询台石雪纳：刘老师，人教版和北师大版的小学数学教材中都提到了《庄子·天下篇》的一段话：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
一些学生对这段话非常感兴趣，但也十分困惑，他们认为木棍的长度是有限的，怎么会一直截不完呢？对于这个问题，您认为学生困惑的根源在哪里？刘劲苓：其实学生这样想也是正常的，因为他们是用有限集合的思想去考虑无限集合的事情，当然想不通了。
关于这个问题，我们要先弄懂这样一个问题：整数与正整数哪种数多？石老师，您觉得呢？石雪纳：正整数是整数的一部分，应是前者。
刘劲苓：如果我说，从数学的角度看，这个问题的答案是一样多，你信吗？石雪纳：那您说说理由。
刘劲苓：假设两个小童各自有许多弹球，要比较谁的球多，可以用什么方法比呢？你可能会说，数一数不就行了！如果他们会数数，数当然是最好的方法，我们在日常生活中也都是用这种方法比较东西的多少。
可是，如果两个小童都不会数数，怎么比呢？难道他们就没有办法比较弹球多少了吗？石雪纳：也许他们会这样比较。
甲拿出一个，乙就拿出一个和甲的这个对应上；甲再拿出一个，乙又拿出一个和甲的对应上（对应过的弹球不能重复再拿）……如此继续，当甲没有弹球可拿，而乙还有的时候，我们就可以说：乙的弹球比甲多，反之就是甲比乙多。
如果最后对应的分别是两人的最后一个弹球，那么甲乙的弹球同样多。
刘劲苓：数学上把这种对应的方法叫作“一对一的对应”，简称“一一对应”。
两个集合（无论有限集合还是无限集合）之间的元素，如果它们能建立起一一对应的关系，那么我们说，这两个集合的元素个数相等（或基数相同、势相同）。
这个定义在有限集合的范畴内，与我们对“元素个数相等”的理解是完全一致的。
对于两个无限集合，元素的个数虽然有无限个，但只要有“一一对应”的关系，也可以判断它们的元素个数相等。
石雪纳：用“一一对应”的方法比较，就可以很好地说明整数与正整数谁更多的问题了！刘劲苓：关于有限和无限的不同，著名数学家希尔伯特的一则幽默小故事是最好的说明。
论述有限与无限的区别与联系
论述有限与无限的区别与联系有限与无限：物质世界固有的矛盾之一。
反映物质运动在时间和空间上辩证性质的一对哲学范畴。
物质是不灭的、无限的，并且处在永恒的绝对运动之中，物质及其运动的永恒性、无限性，也就是物质的存在形式即时间持续和空间广延的无限性。
物质的时空无限由具体的物质客体的有限时空所构成，并通过具体物质客体在有限时空上的运动和变化表现出来。
有限和无限的范畴，反映了物质世界中客观存在的矛盾和辩证联系。
有限集和无限集的辨证关系数学中的有限和无限是对现实世界的有限和无限的反映。
整个物质世界的发展变化就是有限和无限的统一无限性首先就是指物质世界的无限性，宇宙的无限性。
运动是物质的固有属性，时间和空间是物质的存在方式，物质世界的无限性就表现为时间的无限持续和空间的无限广延。
数学中的无限性就是这种物质世界无限性的反映。
有限则是说一切事物都存在具体的时间和空间之中，因此总是一段时间，有规模的、有界限的。
即一切事物都是具体的事物。
数学中的有限就反映了这种有限性。
有限和无限是对立的统一，它们既是对立的，有区别的，又是相互联系的。
并在一定条件下相互转化的。
数学中的无限和有限也反映了有限与无限相互转化这一点。
例如，整数集是一个无限集合，人们无法得到一个完成了的整数集。
但每个整数又都是有限的。
我们可以得到任意的整数。
任意给出一个数学的对象，我们立即就能判定它是否属于整数集，这样看问题，整数集又是一个完成了的集合，是一个有限的概念。
因此整数集本身就是一个无限和有限的对立统一体。
有限和无限是对立的、有区别的，有限集合和无限集合的性质有质的不同。
例如一个有限集和它的任何一个真子集都无法建立一一对立关系，而无限集则可以与它的一个真子集建立一一对应关系。
比如，自然数集和它的一个真子集偶自然数集就可以建立一一对应关系。
再如，一个有限的良序数集，自然数集的一个有限数集必然有最大数和最小数。
但是无限的良序数集则没有这种性质，实数集就没有最大数也没有最小数。
论述有限与无限的区别与联系
论述有限与无限的区别与联系有限与无限：物质世界固有的矛盾之一。
反映物质运动在时间和空间上辩证性质的一对哲学范畴。
物质是不灭的、无限的，并且处在永恒的绝对运动之中，物质及其运动的永恒性、无限性，也就是物质的存在形式即时间持续和空间广延的无限性。
物质的时空无限由具体的物质客体的有限时空所构成，并通过具体物质客体在有限时空上的运动和变化表现出来。
有限和无限的范畴，反映了物质世界中客观存在的矛盾和辩证联系。
有限集和无限集的辨证关系数学中的有限和无限是对现实世界的有限和无限的反映。
整个物质世界的发展变化就是有限和无限的统一无限性首先就是指物质世界的无限性，宇宙的无限性。
运动是物质的固有属性，时间和空间是物质的存在方式，物质世界的无限性就表现为时间的无限持续和空间的无限广延。
数学中的无限性就是这种物质世界无限性的反映。
有限则是说一切事物都存在具体的时间和空间之中，因此总是一段时间，有规模的、有界限的。
即一切事物都是具体的事物。
数学中的有限就反映了这种有限性。
有限和无限是对立的统一，它们既是对立的，有区别的，又是相互联系的。
并在一定条件下相互转化的。
数学中的无限和有限也反映了有限与无限相互转化这一点。
例如，整数集是一个无限集合，人们无法得到一个完成了的整数集。
但每个整数又都是有限的。
我们可以得到任意的整数。
任意给出一个数学的对象，我们立即就能判定它是否属于整数集，这样看问题，整数集又是一个完成了的集合，是一个有限的概念。
因此整数集本身就是一个无限和有限的对立统一体。
有限和无限是对立的、有区别的，有限集合和无限集合的性质有质的不同。
例如一个有限集和它的任何一个真子集都无法建立一一对立关系，而无限集则可以与它的一个真子集建立一一对应关系。
比如，自然数集和它的一个真子集偶自然数集就可以建立一一对应关系。
再如，一个有限的良序数集，自然数集的一个有限数集必然有最大数和最小数。
但是无限的良序数集则没有这种性质，实数集就没有最大数也没有最小数。
数学中的有限和无限
数学中的有限和无限庄清清摘要本文主要总结了数学中有限与无限的关系，通过实例讨论了无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，并讨论了它们的质的区别以及相互关系，为更好的理解有限和无限的关系提供了一些参考.关键词有限，无限关系1 引言“数学是讲述无限的科学.”这句话是代表20世纪数学界辉煌发展的著名数学家、美国普林斯顿高级研究所魏尔教授的至理名言.怎么听起来，这话让人感觉有些奇特而难以捉摸，但事实上数学中的无限的确蕴含着许多令人不可思议奥秘的东西.然而，以前人们都认为数学是有限的，直到笛卡尔引入的坐标法以及微积分的问世之后，人们才清醒地意识到数学是从有限向无限发展的.这一个发现，结束了初等数学年代而进入了变量数学年代.美国数学史家贝尔说“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论，就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析,最后,没有分析,像现在存有的大部分数学——包括几何和大部分的应用数学——就不存在了”.由此可见,无限在现代科学数学发展领域中占据着十分重要的地位，甚至可以说，没有无限的延伸，就没有现代的科学数学.在我们的日常生活当中，我们一般都习惯了数学领域的有限性，因为我们所接触的东西大多数都可以摁摁手指或者脚趾就可以数得清楚了，有限的人，有限的杯子，有限的盘子等等，于是无限的领域就像个无底洞，让我们觉得高深莫测了，但是当我们仔细地想一想，就会清楚地发现数学中，无限其实是由有限构成，而有限又包含着无限，两者相互交叉，相互联系，就例如我们生活中最常见的一条绳子，你就可以将它剪成无数的小段一样，另外我们大家所熟悉的自然数序列“1，2，3，4，5，6，7，8，9， ,n , ”，当你一个个数字的去数，你就会发现自然数序列实际上是一个永远在增长着的没完没了的数列，这就是所谓简单而又让人费解的数学中的无限领域，然而，它又恰恰是由一个个有限的单位组成的.无限是如此的神秘，“自古以来，没有别的问题像无限这样深深地激动过人的情绪，没有别的想法像它这样富有成效地焕发过人的精神.同时，也没有别的概念像它这 ”1.它引发了三次数学危机：第一次危机发生在公元前580～568样迫切需要澄清年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比.第二次数学危机发生在十七世纪.十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机.第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾.这三次数学危机都使人们深刻地认识到无限的重要性.下面我们观察一下几个式子再如著名的康托（Cantor）集的构造6即我们所谓的三分点集构造：一段长度为一米的直线段，做以下处理 第一次 我们挖去一个，其长度31，而余下2个，长度31； 第二次 我们挖去两个，其长度91，而余下22个，长度21193；第n 次 我们挖去n 12个，其长度n 31，而余下n 2个，长度n 31； 显然，如此继续下去，直到无穷次后，由于在不断地分割舍弃的过程中，所形成的线段数目越来越多，而长度相对越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，而这个点集就是一个无限集.显然，这构造理论再次说明了有限是由无限组成的.再如，我们所有人都认识的两个简单的自然数0和1，然而在它们之间，我们却可以找得到无数个类似0.5，0.05，，0.1，0.01 这样的数字.另外，随意画出一个正三角形或者正方形或者圆，在其里面，我们可以做出无数个与之相似的正三角形或者正方形或者同心圆，这就是人们常说的无限封闭在有限里面（如下图）1.人们对数学中有限与无限的普遍认识都是，无限怎么都比有限广，比有限大，而无限由有限组成，但是站在不同的角度上面去看待这个问题，我们就会发现有限其实也是由无限组成，这一观点首先是由数学家们提出来的.我们说无限包含有限是无限存在于有限当中.恩格斯说:“无限纯粹是有限组成的，这一近视矛盾，可事情就是这样.” 7无限性是一个摸不着的、虚拟的东西，无限要通过有限展示出来，宇宙中的万物都是无数具体有限的事物构成.其次无限就是内在于有限当中的元素 ，辩证地思考无限，就不能仅仅停留在“无限的有限就构成无限”这一点上，我们必须进一步充分地认识它.从社会哲学的角度上看，任何事物本身就是一个矛盾体，所以任何事物都包含着突破自己.由此可见，离开有限，无限将不再存在.有限中包含着无限是说任何有限的东西都可以无限地分割，从原子向粒子的无限分割,事物会由于自身的矛盾推动而处于不安分的状态当中，于是不停地向比自己更小的事物转变.有限中存在着无限，在0到1的单位长度上存在着无数个有理数点，也存在着无数个无理数点.在整除的关系中约数是有限的，而倍数的个数是无限的，这就是我们说的有限由无限组成.5.无限是有限的延伸说到无限是有限的延伸，那么首先我们要说的就是大家都熟识的数学归纳法了.数|1时，→lim n 7.2 有限转化为无限和二项式定理，那我们能走多远呢？”7数学中的有限与无限就像是一对连体的婴儿，密切相连着，对立却又统一，谁都离不开谁.无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，它们之间矛盾地存在着，这就需要我们用辩证的思维去理解它，去认识它，它所能给我们带来的就是不断地去深思和探究.参考文献：[1]郭华.数学中的有限与无限[N].安阳工程学院学报，2009（1）.[2]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京：高等教育出版社，2001，23-24.[3]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京:高等教育出版社，2001，2-54.[4]葛军，涂荣豹.初等数学研究教程[M].江苏：江苏教育出版社，2009，165-168.[5]张永康.试论数学中的有限与无限[N].工程兵工程学院学报，1989（1）.[6]王仲英，郝祥辉.数学中的有限和无限[J].高等数学研究，2007，10（1）：77-82.[7]刘大椿.自然辩证法概论[M].北京：中国人民大学出版社，2008，100-250.[8]李浙生.论数学中的有限与无限[N].辽宁教育学院学报，1994（4）.[9]仲田纪夫[日]著.丁树深译.无穷的奥秘及其演变[M].北京：科学出版社，2001，32-54.Mathematics of finite and infiniteZhuang QingqingAbstract：This paper mainly summarizes the relationship between finite and infinite in mathematics, by an example to discuss the infinite is the basis of finite, infinite is composed of a finite, finite is composed of an infinite, unlimited extension is finite, and discusses the difference and relation of the matter, and provides some referencesfor a better understanding of the finite and the infinite relationship Keywords:finite, infinite11。
离散数学第四章
构造一个数b=0.b1b2b3b4…bn……， 其中 ： b1≠a11 b2 ≠ a22 b3≠a33… 于是 b ≠x 1 , b≠ x2, b≠ x3 ... 因此： b(0,1)
bn≠ ann... b ≠ xn …
但是b这样的形式应该是属于集合(0,1)的，因此产生 矛盾，所以(0,1)是不可数的。
1
基本概念
定义4.1 一个集合S与集合Nn={0,1,2，…n-1}，如 存在一一对应函数 f : Nn→S，则称S是有限集合， 并称其有基数n，如果S不是有限集合，则称为无 限集合。 说明：
由集合的元素个数来定义； 由于量变引起的质变； 它们中的一种性质都不能随意扩展到另一个集合中。
有限集和无限集
有限集合
元素的个数称为该集合的基数； 满足包含排斥原理。 元素无限多，如：自然数集合N、整数集I、实数集R等。 对于这样的集合有没有基数呢？ 如果有，基数是多少？ 无限集合之间有无大小的差别?
无限集合
问题：
本章主要借助于函数讨论集合的所谓“大小”问题。这里 用到自然数集合这个重要的概念讨论无限集。
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说明：
• • • •
这种方法称为：康托对角线法； 对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证 明，而是发表在他第一个证明的三年后； 他的第一个证明既未用到十进制展开，也未用到 任何其它数字系统； 自从该技巧第一次使用以来，在很大范围内的证 明中都用到了类似的证明构造方法。
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由前面这些定理可知：
•
如此继续，可取出m3,m4,m5,…无限多个元素，则可得到另一个集合 M1={m1,m2,…}； 令M2=M-M1，即M中除去M1后得到的集合， 则M=M1∪ M2， 做另一集合M’={m2,m3,…} ∪M2，显然M⊃M’且M’~M，因此存在如 下一一对应的关系： 对于M的每个mi对应mi+1，对于M中的每个m∈ M2，对应M’中的 m。
集合的应用与问题求解
集合的应用与问题求解引言：集合作为数学的一个重要分支，广泛应用于各个领域。
本文将探讨集合的基本概念、应用以及问题求解方法。
一、集合的定义与基本概念1.1 集合的定义在数学中，集合是由一些确定的元素构成的整体。
一个集合可用大括号括起来，并且集合中的元素之间用逗号隔开。
1.2 集合的表示与分类集合可以用列表、描述法或特殊符号表示。
比如，集合A可以表示为A={1, 2, 3}，也可以用描述法表示为A是由小于等于3的正整数组成。
集合可以分为有限集合和无限集合。
有限集合的元素数量是有限的，而无限集合的元素数量是无穷的。
1.3 集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。
并集指的是两个或多个集合中的所有元素的总和。
交集指的是两个或多个集合中共有的元素。
差集指的是从一个集合中减去另一个集合中的元素。
补集指的是指定集合中不属于某个集合的元素。
二、集合的应用2.1 概率与统计在概率与统计学中，集合的概念被广泛应用。
通过对样本空间的划分、事件的定义，可以使用集合论的方法来描述和分析随机事件的概率。
2.2 计算机科学在计算机科学中，集合也是一个重要的概念。
集合的运算可以用于编程中的数据处理和算法设计。
比如，在数据查找和排序算法中，集合的交集和并集运算可以用于优化算法的执行效率。
2.3 经济学在经济学中，集合论的概念与方法被广泛应用于市场分析、投资决策等领域。
通过对不同市场参与者的集合进行分析，可以推断市场的供求关系，从而为决策提供依据。
三、集合问题的求解方法3.1 列举法当集合的元素数量较少时，可以使用列举法来解决集合问题。
列举法即逐个列举集合中的元素并进行计算。
这种方法简单直观，适用于规模较小的集合。
3.2 集合运算法则集合运算法则是解决集合问题的重要工具。
通过运用交集、并集、差集和补集的法则，可以对集合进行逻辑推理和计算。
例如，可以利用交换律、结合律等法则简化集合运算的过程。
3.3 Venn图法Venn图法是一种直观且易于理解的解决集合问题的方法。
数学中的有限和无限
数学中的有限和无限庄清清摘要本文主要总结了数学中有限与无限的关系，通过实例讨论了无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，并讨论了它们的质的区别以及相互关系，为更好的理解有限和无限的关系提供了一些参考.关键词有限，无限关系1 引言“数学是讲述无限的科学.”这句话是代表20世纪数学界辉煌发展的著名数学家、美国普林斯顿高级研究所魏尔教授的至理名言.怎么听起来，这话让人感觉有些奇特而难以捉摸，但事实上数学中的无限的确蕴含着许多令人不可思议奥秘的东西.然而，以前人们都认为数学是有限的，直到笛卡尔引入的坐标法以及微积分的问世之后，人们才清醒地意识到数学是从有限向无限发展的.这一个发现，结束了初等数学年代而进入了变量数学年代.美国数学史家贝尔说“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论，就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析,最后,没有分析,像现在存有的大部分数学——包括几何和大部分的应用数学——就不存在了”.由此可见,无限在现代科学数学发展领域中占据着十分重要的地位，甚至可以说，没有无限的延伸，就没有现代的科学数学.在我们的日常生活当中，我们一般都习惯了数学领域的有限性，因为我们所接触的东西大多数都可以摁摁手指或者脚趾就可以数得清楚了，有限的人，有限的杯子，有限的盘子等等，于是无限的领域就像个无底洞，让我们觉得高深莫测了，但是当我们仔细地想一想，就会清楚地发现数学中，无限其实是由有限构成，而有限又包含着无限，两者相互交叉，相互联系，就例如我们生活中最常见的一条绳子，你就可以将它剪成无数的小段一样，另外我们大家所熟悉的自然数序列“1，2，3，4，5，6，7，8，9，Λ,n,Λ”，当你一个个数字的去数，你就会发现自然数序列实际上是一个永远在增长着的没完没了的数列，这就是所谓简单而又让人费解的数学中的无限领域，然而，它又恰恰是由一个个有限的单位组成的.无限是如此的神秘，“自古以来，没有别的问题像无限这样深深地激动过人的情绪，没有别的想法像它这样富有成效地焕发过人的精神.同时，也没有别的概念像它Λ”[]1.它引发了三次数学危机：第一次危机发生在公元前580～这样迫切需要澄清Λ568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比.第二次数学危机发生在十七世纪.十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机.第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾.这三次数学危机都使人们深刻地认识到无限的重要性.下面我们观察一下几个式子π=++++=+++=+++=+++=+++ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ001.004.01.03;91101101101;71818181;41515151;31003.003.03.0323232 我们可以得到无限个数的和可以是个有限数，另外我们还学过微积分，由此我们都知道任何积分都是一个趋于无限过程的结果，各种不同的积分有不同的趋于无限过程与结果.数学中的无限只有在与有限的辩证统一中去考虑，才能被理解，才能被运用，而在数学上，有限与无限的转化条件是：运用分析运算，微积分，极限等等手段来进行的，数学中的有限与无限是那么的复杂，那么下面我们就来探讨数学中有限与无限的区别与联系.2.无限是有限的基础3. 无限是由有限构成的有这样的一个故事，它是出自杰出的数学家大卫希尔伯特之口.一天夜里已经很晚了，一个人走进一家旅店想要住店.店主回答说：“对不起，我们没有任何空房间，但是让我看一下，或许我们能为你找到一个房间”.然后店主离开他的桌子，他不情愿地叫醒他的每位房客，并且请他们换一房间：一号房间的房客搬到二号房间，二号房间的房客搬到三号房间，三号房间的房客搬到四号房间，ΛΛ,如此依此类推下去，直到每个房客都搬到下一个房间为止.这时，另这个房客吃惊的是一号房间竟然被空出来了.如是他还高兴的搬了进去，然后安顿下来过了一夜.但是，有一个问题让他百思不得其解：为什么让每个房客搬到下一个房间就会把第一个房间空出来了呢因为这所旅店就是希尔伯特的旅店，它是城里一个据认为有无数房间的旅馆. []64 有限由无限组成公元前5世纪古希腊时代，在意大利半岛南部的埃利亚有一位叫芝诺的哲学家就留下一个很有意思的“二分说”论——为了从自己现处位置A，走向门的位置B，必须通过AB的中点.从A到AB的中点，其中间还有中点……[]9如此考虑下去，从A到B得有无穷个这类中点.由此可见，有限的AB段即使是很短很短的一段线段也是由无数个类似的中点组成的.最近在书上看到这样的一句话，我觉得引用来这里是一个很好的例子说明有限是由无限组成“一尺之锤，日取其半，万世不竭”[]2.说的就是一尺之长的短棍，今天取其中的一半，明天取其中的一半的一半，后天再取其中的一半的一半的一半，……依次类推下去，你就会发现这仅仅一尺之长的短棍竟然取不尽. 一尺之长的短棍本是一个有限的物体，但它却可以无限地分割下去.这就给我们讲明了其实有限和无限是统一，有限之中有无限，有限是由无限组成的.用数学的语言去表示，那就更加的一目了然.再如著名的康托（Cantor）集的构造[]6即我们所谓的三分点集构造：第一次 我们挖去一个，其长度31，而余下2个，长度31； 第二次 我们挖去两个，其长度91，而余下22个，长度21193=； ΛΛΛΛ 第n 次 我们挖去n 12-个，其长度n 31，而余下n 2个，长度n 31； 显然，如此继续下去，直到无穷次后，由于在不断地分割舍弃的过程中，所形成的线这个点集就是一个无限集.显然，这构造理论再次说明了有限是由无限组成的.再如，我们所有人都认识的两个简单的自然数0和1，然而在它们之间，我们却可以找得到无数个类似，，，，ΛΛ这样的数字.另外，随意画出一个正三角形或者正方形或者圆，在其里面，我们可以做出无数个与之相似的正三角形或者正方形或者同心圆，这就是人们常说的无限封闭在有限里面（如下图）[]1.人们对数学中有限与无限的普遍认识都是，无限怎么都比有限广，比有限大，而无限由有限组成，但是站在不同的角度上面去看待这个问题，我们就会发现有限其实也是由无限组成，这一观点首先是由数学家们提出来的.我们说无限包含有限是无限存在于有限当中.恩格斯说:“无限纯粹是有限组成的，这一近视矛盾，可事情就是这样.”[]7无限性是一个摸不着的、虚拟的东西，无限要通过有限展示出来，宇宙中的万物都是无数具体有限的事物构成.其次无限就是内在于有限当中的元素 ，辩证地思考无限，就不能仅仅停留在“无限的有限就构成无限”这一点上，我们必须进一步充分地认识它.从社会哲学的角度上看，任何事物本身就是一个矛盾体，所以任何事物都包含着突破自己.由此可见，离开有限，无限将不再存在.有限中包含着无限是说任何有限的东西都可以无限地分割，从原子向粒子的无限分割,事物会由于自身的矛盾推动而处于不安分的状态当中，于是不停地向比自己更小的事物转变.有限中存在着无限，在0到1的单位长度上存在着无数个有理数点，也存在着无数个无理数点.在整除的关系中约数是有限的，而倍数的个数是无限的，这就是我们说的有限由无限组成.5.无限是有限的延伸说到无限是有限的延伸，那么首先我们要说的就是大家都熟识的数学归纳法了.数学归纳法是高等数学中一种有关于证明k n =的方法.数学归纳法在中学以及大学中应用得都比较广泛，它是通过有限的步骤推出无限的结果.在数学归纳法中我们一般假定当1n =和k n =时命题成立，然后推导出当1k n +=时命题也成立时，该等式命题就成立，否则不成立，下面我们来举个例子说明一下：用[]4数学归纳法证明在自然数的序ΛΛΛΛ287654321216543211554321104321632132111=++++++=+++++=++++=+++=++=+= 在这里我们看到对于上面的每个等式都有总和∑=（首项+末项）⨯项数÷2，但这只是()()()()()()()()()[]21k 1k 12k 2k 121k 2k k 11k 2k k 11k k 54321++⨯+=+⨯+=+⨯+⨯+=++⨯+=++++++++Λ今天的天气情况的，彭加勒说：“在这样的情况下我们不能凭借单一的直接直觉洞察算术的普遍真理,为了获得最普遍的定理,我们不得不借助于递归推理,因为这是能使我们从有穷通向无穷的工具” []8.看到上述的数学归纳法，或许直到现在都还会有很多人误以为是“经验归纳法”，但数学归纳法和经验归纳法却有着本质的区别， 即使从名义上看它们都是归纳法的一种.经验归纳法是根据事物有限步伐内的发展情况直接按照人的主观思维推导出一般的规律，无论怎么样，这个规律都是没有被严格数学思维证明成立的，而数学归纳法是一个演绎推理的过程，它是通过用数学的方法来严格证明所得的普遍的定理，因而它能被我们所有人接受.6.有限与无限有着质的区别有限与无限是对立统一的，它们有着质的区别，但在一定条件下又可以互相化，只有用辩证法才能准确理解和认识有限与无限问题的区别.[]7恩格斯说：“数学只要引入无限大和无限小，它就会引入一个质的差异，这个差异甚至表现为不可克服的质的对立.”任何一个有限集里面都有这最大值与最小值，但是在无限集中却找不到，像()+∞∞-,中就不存在所谓的最大值和最小值.空间中两条铅垂线，当我们考虑的长度比较短时，那么可以认为它们是平行的，但从无限空间领域来考虑这两条铅垂线，它们却是相交于地心这一点的.在有限的范围内我们还看一下数学中常用的结合律显然成立，例如：767117151513131171515131311=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-但是在无限多项的求和定律中就不能运用这些求和定律了，例如：()()()1747453533232174535332321n ,1n 21-n 21751531311=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞∈+++⨯+⨯+⨯ΛΛΛΛΛΛ 在上面式子当中，第三步其实是错误的，是不允许这样做的.事实上,正确的算式应该如下：()()()()()()()()21n ,n121n ,12n n n ,12n 1n 1n ,12n 1n 1-2n n 1-2n n 7474535332321n ,12n 1n 1-2n n 74535332321n ,1n 21-n 21751531311=∞∈+=∞∈+=∞∈++-=∞∈++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞∈+++⨯+⨯+⨯ΛΛΛΛΛΛ 另外，再举一个例子()()()()()()()()21s 12s s-1s s 11111-1s 31s 0-1s 011111-1s 200001-11-11-1s 111111111s ===-+-+-==-+-+-==+++=+++=+-+-+-+-=所以那么，，所以上式中的因为右端括号内的值为为所以答案，故上式由上可知右端括号内为的种种答案ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 从上面我们可以看得出一个式子既可以得到三个答案，不过只可惜这三个答案都是错误的，其产生的原因正是计算无限领域时，不能像计算有限数字那样，随意运用结合律和分配律，由里往外一层层脱掉括号来得出答案s.在有限的集合中，整体大于部分是天经地义的，不容置疑的，但是在无限集合中就成了谬论，因为在无限集合当中，整体跟部分是可以相等，可以一一对应的.对于两个有限集合，如果我们不利用计算集合中元素个数的方法，那么我们怎样知道两个集合哪个包含哪个呢[]5有人举了一个十分通俗易懂的例子：假如房间中有若干凳子，相当于元素，让人们去坐凳子，每个人只可以坐一张凳子，相等的人数，假如有人坐不到凳子那么这个集合中的元素比人少，相反假如大家都找到凳子,那么凳子数和人数一样多.这种方法推广到无限集中呢正偶数集是正态数集的真子集，两个子集之间可以找到这样的一一的对应关系：2n n ,,63,42,21↔↔↔↔ΛΛ.任意两个集合只要能建立一一对应关系，就认为它们的数目一样多.后来康托提出了一个新的概念来表示无穷集合的大小，这就是我们在初等数学研究中学习的“基数”，在有限集中基数等于元素的个数，在无限集中，如果能建立一一对应的关系那么它们的基数就相等.我们都知道有限个连续函数之和还是连续函数，但是这个有限和的性质对于无限级数是不成立的.在我们学习过的知识里面我们还能举出无限个例子来说明有限和无限之间有着质的区别，在这里就不多说了.7.有限与无限之间相互转化无限转化为有限在数学中我们一般通过有限项之和的极限来定义无限项之和，通过有限维空间来研究无限维空间，这就是由无限转化为有限.例如：要证2n n n 28642+=+++++ΛΛ对于一切自然数都成立的话，那么要我们一一验证是不可能的，我们毫不犹豫地就要用到数学归纳法，在前面我们已经说过数学归纳法，现在就不再举例子说明.数学归纳法运用的原来是把无限步的推理过程转化为有限步，从而得到结果.在数学分析中我们计算函数的极限也是同样的道理，例如：计算数项级数()ΛΛΛΛ++++⨯+⨯+⨯1n n 1431321211 解：级数的第n 个部分和 ()1n 111n 1n 131212111n n 1431321211n +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++⨯+⨯+⨯=ΛΛΛΛs 由于11n 11lim lim n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→∞→s .还有在无限项的等比数列中求和，我们可以首先算出[]3有限项之和 qq a aq aq a s --=+++=11.n1-n n ΛΛ 当||1q <时，qa q q a s -=--=∞→∞→111.lim lim n n n n 有限转化为无限在初等数学研究中我们习惯于把有限的任一初等函数转化为无穷级数.例如：[]3()()ΛΛΛΛΛΛΛΛ++++++=+-+++-=-+n 4321n 21n 5321212121211!1-n 21!5!3sin x x x x x在《自然辩证法》恩格斯指出：“数学把某个确定的数，例如二项式，作无穷级数，即化作某种不定的东西，从人的常识来说，这是荒谬的举动，但是，如果没有无穷级数和二项式定理，那我们能走多远呢”[]7数学中的有限与无限就像是一对连体的婴儿，密切相连着，对立却又统一，谁都离不开谁.无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，它们之间矛盾地存在着，这就需要我们用辩证的思维去理解它，去认识它，它所能给我们带来的就是不断地去深思和探究.参考文献：[1]郭华.数学中的有限与无限[N].安阳工程学院学报，2009（1）.[2]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京：高等教育出版社，2001，23-24.[3]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京:高等教育出版社，2001，2-54.[4]葛军，涂荣豹.初等数学研究教程[M].江苏：江苏教育出版社，2009，165-168.[5]张永康.试论数学中的有限与无限[N].工程兵工程学院学报，1989（1）.[6]王仲英，郝祥辉.数学中的有限和无限[J].高等数学研究，2007，10（1）：77-82.[7]刘大椿.自然辩证法概论[M].北京：中国人民大学出版社，2008，100-250.[8]李浙生.论数学中的有限与无限[N].辽宁教育学院学报，1994（4）.[9]仲田纪夫[日]著.丁树深译.无穷的奥秘及其演变[M].北京：科学出版社，2001，32-54.Mathematics of finite and infiniteZhuang QingqingAbstract：This paper mainly summarizes the relationship between finite and infinite in mathematics, by an example to discuss the infinite is the basis of finite, infinite is composed of a finite, finite is composed of an infinite, unlimited extension is finite, and discusses the difference and relation of the matter, and provides some references for a better understanding of the finite and the infinite relationshipKeywords:finite, infinite。
集合的基本概念
集合的基本概念在数学中，集合是一个基本的概念，它是由确定的对象所组成的整体。
集合的概念是数学中非常重要的基础，它被广泛应用于各个数学分支中，如代数、几何、概率论等等。
本文将详细介绍集合的基本概念，帮助读者更好地理解和运用集合论。
1. 集合的定义集合可以看作是一个确定的对象的组成整体。
例如，我们可以定义一个集合A，其中包含元素a、b、c，记作A={a，b，c}。
集合中的元素可以是数字、字母、符号或其他集合，每个元素在集合中是唯一的，即不同的元素不能重复出现在同一个集合中。
2. 集合的表示方法除了用花括号{}表示集合外，还可以用其他符号表示集合。
常用的表示方法有列表法、描述法和区间表示法。
例如，集合B={1,2,3,4,5}可以用列表法表示；集合C={x|x是整数，0<x<10}可以用描述法表示；集合D=[1,5]可以用区间表示法表示。
3. 子集和真子集如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，那么这个集合是另一个集合的子集。
如果一个集合是另一个集合的子集且两个集合不相等，那么这个集合是另一个集合的真子集。
例如，集合E={1,2}是集合B的子集，但不是真子集。
4. 并集、交集和差集两个集合的并集是包含两个集合所有元素的集合，交集是两个集合共有元素的集合，差集是一个集合减去另一个集合后的结果。
例如，集合F={1,2,3}，集合G={3,4,5}，则F∪G={1,2,3,4,5}，F∩G={3}，F-G={1,2}。
5. 幂集一个集合的幂集是由这个集合所有子集所构成的集合。
例如，集合H={a,b}，那么它的幂集是{∅，{a}，{b}，{a,b}}。
6. 无限集合除了有限集合外，还有无限集合。
无限集合可以分为可数无限集合和不可数无限集合。
可数无限集合的元素可以一一对应自然数集，如整数集合；不可数无限集合的元素不能一一对应自然数集，如实数集。
通过以上对集合的基本概念的介绍，相信读者对集合的概念有了更深入的了解。
离散数学-有限集与无限集(课件)
首先介绍离散数学的基本概念和研究对象， 然后详细阐述有限集与无限集的定义、性质 及其在数学和计算机科学中的应用，最后通 过实例和练习题帮助学生巩固所学知识。
有限集定义
有限集是指包含有限个元素的集合。
对于任意自然数n，如果一个集合的 元素个数不超过n，则该集合为有限 集。
有限集性质
02
01
差集
补集
有限集A与有限集B的差集A-B 仍然是有限集，其元素个数等 于集合A的元素个数减去集合A 与集合B的交集元素个数。
在全集U中，有限集A的补集 U-A仍然是有限集，其元素个 数等于全集U的元素个数减去 集合A的元素个数。
02
无限集
无限集定义
无限集是一个元素数量无法穷 尽的集合。
对于任意正整数n，无限集总能 找到至少n个不同的元素。
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可数集与不可数集
详细阐述了可数集与不可数集的概念、性质及证 明方法。
离散数学在其他学科中的应用
简要概述了离散数学在计算机科学、数学分析、 物理学等学科中的应用。
对未来研究的展望
• 深入研究无限集的性质：尽管我们已经对无限集有了一定的了解，但仍有许多 未解决的问题和需要进一步探讨的性质。
• 拓展可数集与不可数集的研究领域：目前可数集与不可数集的研究主要集中在 一些特定领域，未来可以尝试将这些理论应用到更广泛的领域中。
示例
若A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A-B={1}。
04
有限集与无限集的应用
在数学领域的应用
集合论基础
有限集和无限集是集合论的基 本概念，对于研究集合的性质 、关系、运算等具有重要意义 。
数论研究
在数论中，有限集和无限集的 概念对于研究整数的性质、分 布、素数等问题具有重要作用 。
小学数学最易混淆的15条基础概念
Q:✎最小的一位数是0还是1？A:这个问题在很长一段时间存在争论。
先来看看《九年义务教育六年制小学数学第八册教师教学用书》第98页“关于几位数”的叙述：“通常在自然数里，含有几个数位的数，叫做几位数。
例如“2”是含有一个数位的数，叫做一位数；“30”是含有两个数位的数，叫做两位数；“405”是含有三个数位的数，叫做三位数……但是要注意：一般不说0是几位数。
再来听听专家的说明：在自然数的理论中，对“几位数”是这样定义的，“只用一个有效数字表示的数，叫做一位数；只用两个数字（其中左边第一个数字为有效数字）表示的数，叫做两位数……所以，在一个数中，数字的个数是几（其中最左边第一个数字为有效数字），这个数就叫几位数。
于此，所谓最大的几位数，最小的几位数，通常是在非零自然数的范围研究。
所以一位数共有九个，即：１、２、３、４、５、６、７、８、９。
０不是最小的一位数。
Q:✎为什么0也是自然数?A:课标教材对“０也是自然数”的规定，颠覆了人们对自然数的传统认识。
于此，中央教科所教材编写组主编陈昌铸如是说：国际上对自然数的定义一直都有不同的说法，以法国为代表的多数国家都认为自然数从0开始，我国教材以前一直都是遵循前苏联的说法，认为0不是自然数。
2000年教育部主持召开教材改编会议时，已明确提出将0归为自然数。
这次改版也是与国际惯例接轨。
从教学实践层面来说，将“０”规定为“自然数”也有着积极的现实意义。
“0”作为自然数的“好处”众所周知，数学中的集合被分为有限集合和无限集合两类。
有限集合是含有有限个元素的集合，像某班学生的集合。
无限集合是含有的元素个数是非有限的集合，如分数的集合。
因为自然数具有“基数”的性质，因此用自然数来描述有限集合中元素的个数是很自然的。
但在有限集合中，有一个最主要也是最基本的集合，叫空集｛｝，元素个数为0。
如果不把0作为自然数，那么空集的元素的个数就无法用自然数来表示了。
如果把“0”作为一个自然数，那么自然数就可以完成刻画“有限集合元素个数”的任务了。
离散数学课本定义和定理
第1章集合1.1 集合的基本概念1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集2. 表示集合的方法：列举法、描述法3. 定义1.1.1（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为或，并称A为B的一个子集。
如果集合A和B满足，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为，并且称A为B的一个真子集。
4. 定义（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A的幂集，记为或1.2 集合的运算定义1.2.1（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为.定义1.2.2（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为.定义1.2.3（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满足，则称集合A和B是不相交的。
定义1.2.4（差集）：A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为A和B 的差集，记为.定义1.2.5（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为.定义（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差为1.3 包含排斥原理定理设为有限集，其元素个数分别为，则定理设为有限集，其元素个数分别为，则定理设为有限集，则重要例题P11 例第2章二元关系2.1 关系定义（序偶）：若和是两个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个序偶。
※对于序偶和，当且仅当并且时，才称和相等，记为定义（有序元组）：若是个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个有序元组（简称元组）。
定义（直接积）：和是两个集合，则所有序偶的集合，称为和的直接积（或笛卡尔积），记为. 定义（直接积）：设是个集合，，则所有元组的集合，称为的笛卡尔积（或直接积），记为.定义（二元关系）若和是两个集合，则的任何子集都定义了一个二元关系，称为上的二元关系。
数学中的无穷无限集合和极限的奥秘
数学中的无穷无限集合和极限的奥秘在数学领域中，无穷无限集合和极限是两个重要且神秘的概念。
它们的出现和研究，引领着数学理论的发展，为我们揭示了数学的无限魅力。
本文将探讨无穷无限集合和极限的定义、性质以及它们的应用。
1. 无穷无限集合无穷无限集合是一个包含无限个元素的集合。
与有限集合相反，无穷无限集合的元素数量是无穷大的，例如自然数集、实数集等。
由于无穷无限集合的特殊性质，我们需要使用一些概念和工具来描述和研究它们。
首先，我们引入了无穷大与无穷小的概念。
在集合中，我们可以找到无穷多个元素，这些元素的数量可以称为无穷大。
而当元素的数量无限逼近于零时，我们称之为无穷小。
这些概念为无穷无限集合提供了一种描述框架。
其次，我们还引入了等势的概念来刻画无穷无限集合的规模。
两个集合具有相同的等势，意味着它们可以通过一一映射相互对应。
例如，自然数集和偶数集的元素可以通过双射一一对应，因此它们具有相同的等势。
然而，一些无穷无限集合的等势比较复杂，比如实数集的等势是无可数的，而大于自然数集的等势是可数无穷的。
2. 极限的定义与性质极限是数学分析中的基础概念之一，它描述了函数或数列逼近某一特定值的过程。
我们常用极限来研究数学中的趋势和趋势性质。
对于数列来说，我们定义了极限为数列中的元素逐渐无限接近某一特定值的情况。
具体地，数列 {an} 的极限可以表示为：当 n 足够大时，数列中的元素与极限值 L 的差异可以任意小。
这个定义反映了数列中元素的逼近性质。
对于函数来说，我们可以通过极限的概念来研究函数的性质和图像的变化规律。
例如，函数 f(x) 在点 x=a 处的极限可以表示为：当 x 无限逼近 a 时，f(x) 无限接近于 L。
这个定义描述了函数在某一点处的逼近性质。
在研究极限的过程中，我们提出了一些重要的性质和定理，例如夹逼定理、极限的唯一性等。
这些性质和定理为我们在实际问题中求解极限提供了有效的方法和工具。
3. 无穷无限集合和极限的应用无穷无限集合和极限的概念和性质不仅在数学领域中有重要意义，而且在其他学科和实际问题的研究中也得到了广泛应用。
第四章 有限集与无限集
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第四章 有限集与无限集
1
有限集与无限集基本概念
2
有限集
无限集的性质
3
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§4.3 无限集的性质
定理4.11 有理数集Q是可列集。
分析： n 有理数的形式： m ，找出有理数的一定的排列规律，即得 到一一对应的关系。
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§4.3 无限集的性质
证明：一切有理数均呈 状，现将所有 按下列次序 m m 排列 (1)正分数按其分子分母之和的大小顺序排列：从小 到大 (2)正分数的分子分母之和相同者按分子大小顺序排 列：从大到小 (3)与正分数具有相同形式的负分数排于正分数之后 按上述规律可得一序列，即与N的一一对应关系： N：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10… ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕ ↕↕ Q: 0
[4]
0/1
0/2 0/3 0/4
[0]
1/1
1/2 1/3 1/4
[1]
2/1
2/2 2/3 2/4
[10]
3/1 …
3/2 … 3/3 … 3/4 …
[13]
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[17]
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[12]
…
…
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§4.3 无限集的性质
第5章 无限集合
函数f: N→I+, f(x)=x+1是一双射函数。
S (b) | I | S \ 0
x 2 函数f: N→I , f ( x ) x 1 2 是一双射函数。
当x是偶数时
当x是奇数时
第五章 无 限 集 合 定义5.1-4 如果存在从N的初始段到集合A的双射函数, 则称
(b) 正有理数集合Q+是可数无限的。显然Q+不是有限的, 因为
其真子集正整数集合I+是无限的。可如图5.1-1那样, 对Q+进行重
复枚举, 枚举的次序用有向路径指出。所以, Q+是可数无限的。
第五章 无 限 集 合
图 5.1-1
第五章 无 限 集 合
图 5.1-2
第五章 无 限 集 合
定理5.1-4 可数个可数集合的并是可数的。
a0,a1,a2,…,an-1
第五章 无 限 集 合 现在我们要造出一个双射函数 g, 使某一 N的初始段和 S的元 素对应。构造方法如下: (1) 置i=0, j=0。 (2) 先检查ai是否在S中, 如果在S中, 转第3步。否则转第4步。 (3) 使g(j)=ai, 把j的值加1, 把i的值加1, 加1后如果i＜n转第(2) 步, 否则结束。 (4) 把i的值加1, 加1后如果i＜n转第(2)步, 否则结束。 容易看出这样构造的函数 g 是从初始段{0,1,2,…,j-1}到S的双 射函数。按定义5.1-2, S是有限集。
集合A是可数的或可列的如果| A | S \ S 0 , 则称集合A是可数无限的;
如果集合A不是可数的, 则称集合A是不可数的或不可数无限的。
一个集合A, 如果它的元素可列成表, 我们说这个集合是可可
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Hilbert 的旅馆
德国著名数学家大卫•希尔伯特曾经讲过一个精彩故事。在那里，希尔伯特成为一个旅馆的老 板，这个旅馆不同于我们现实生活中的任何旅馆，它设有无穷多个房间。
一天，该旅馆所有的客房已满。这时，又来了一位客人坚持要住下来。 Hilbert让1号房客搬到2号房，让2号房客搬到3号房，让3号房客搬到4号房······这时1号房间 就空出来了，让新客人住进1号房。 如果来了5位新客人，这个问题能解决吗？能！因为集合{ 6，7，8，9，10，…}与自然数集 合可以建立一一对应。
有限集合相关性质
有限集合的基本性质：
1. 有限集合不能与它的任何真子集合对等。 2. 有限集合的任一子集合是有限集合。 3. 有限集合A的元素个数永远大于它的真子集合 B的元素个数。 4. 两个有限集集合， 也称无穷集合。
相信大家都认可：“要多少有多少，没完 没了，无穷无尽…”才能算无穷多。
自然数一个最重要的特性肯定是：自然数是无限集合。
无限集合的特征
“部分=全体”是无限集合的基本特征。 含有与其自身对等的真子集合的集合， 都是无限集合，反之亦然。
无限集合相关性质
无限集合的基本性质：
1.无限集合能与它的某些真子集合对等。 2.包含无限集合的任一集合是无限集合。 3.无限集合A的“元素个数”可能等于它的真子集 合B的“元素个数”。 4. 两个无限集合的并集合还是无限集合。
可列无限集合
从Hilbert 的旅馆故事中，我们可以得到以下可列集合的性质：
（1）可列无穷多+任意自然数=可列无穷多 （2）可列无穷多+可列无穷多=可列无穷多
问题研究
（1）用“有限集合”与“无限集合”的特征来 刻画概念，形成“有限集合”与“无限集合” 的抽象定义。
（2）进一步研究可列集合的性质。
Hilbert 的旅馆
类似的，来了任意有限多位新客人，这个问题都能解决！ 但是又来了可列的无限的新客人，还能安排吗？Hilbert让1号房客搬到2号房， 让2号房客搬到4号房，让3号房客搬到6号房······这时所有奇数号房间都空出来了， 即有可列无穷多的房间被空出来了， 无限集合真奇妙！
• 1，2，3，4，5…… • 2，4，6，8，10……
有限集合 与无限集合
有限集合
有限集合是由有限个元素组成的集合，也称 有穷集合。
只含一个元素的集合是一种特殊的有限集合。 叫做单元素集合。至少含有一个元素的集合叫做 非空集合。不含任何元素的集合叫做空集，空集 只有一个，一般用希腊字母Φ（或{ } ）来表示。
有限集合的特征
“部分≠全体”是有限集合的基本特征。 不含有与其自身对等的真子集合的集合（包括 空集合），都是有限集合，反之亦然。
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本课件中部分所用素材来源于网络，仅供教学使用
可列无限集合
• 自然数：0，1，2，3，4，5 …… • 集合A ：a0 ，a1， a2， a3， a4 ， a5 ……
与自然数集合能建立“1-1” 对应的无限集合，我们称之
为可列集合。
可列无限集合
• 自然数：0，1，2，3，4， 5 …… • 偶 数：0，2，4，6，8，10 ……
偶数集合是可列集合