等比数列的求和公式课件

9 4
?
153 . 128
13
? 4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋… ＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于 ________．
答案： 13(4n－1) 解析： 设等比数列 {an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝2n－ 1.易知等比数列 {an}的公比 q＝2，首项 a1＝1， ∴an＝2n－1，于是 an2＝4n－1， ∴a12＋a22＋…＋an2＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝13(4n－1)
? S64
?
264
? 1 ? 168亿4吨46，7就4是40说7全37世0界9都55要1615 1000 多年才能生产这么多小麦，
? 1国.8王4?无1论01如9 何是不能实现发明
者的要求的。
5
如何求等比数列的Sn:
错位相减法
Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an
Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ? a1qn?2 ? a1qn?1 ① qSn ? a1q ? a1q2 ? a1q3 ? ? ? a1qn?1 ? a1qn ②
8
?
S8
?
1 2
? ?1 ?
?
?? ?
1 2
8
? ? ?
? ? ?
1
1?
2
? 255 . 256
Sn
?
a1(1? qn ) 1? q Nhomakorabea10
例2、在等比数列?an?中，求满足下列条件的量 :
(1) a1 ? a 3 ? 2 , 求 s n
(2)q
?
2, n
?
5, a1
?
1 2
.求
a
n
和
s
n
( 3) a1 ? 1, a n ? ? 512 , s n ? ? 341 .求 q 和 n
当q ? ?1时?，S ?? ? ?? ? ? ? 1? (?1) 说明： 解( 3：)?(当将代12as因解?)q入5q5?a为3得2???14aq11：a??a时a12n1１?1?２n11q??，即?1.,n21?并 .在 作 在4a1a?,数??an1?aq?n且五 为 利2q311(列1??2q?210n?要个 第 用?n??5为5n5?1?根?变 一 公1?q,,212常2a5?s1,据量 要 式114an所)数1212q?(a具素 ，1??1以?1??.列,解,q81体2q来一aSqn21,得?2)n题考定n15，1,52：??a意?虑要?，12n22q1?，q,，。注[?11qS3n????选n4((?中，意??11得311择2??))，1所qn代：2的(适]只以?入取当2知S)值的nn三S??，1公n可n应?式a求1把。a二?1n1?它?2，aqnnq 可得
则 am ?an ? a p ?aq ( m, n, p, q ? N ? )
2
创设情境、提出问题
数学小故事
相传，古印度的舍罕王打算重赏国际 象棋的发明者——宰相西萨·班·达依尔。 于是，这位宰相跪在国王面前说：
陛下，请您在这张棋盘的第一 个小格内，赏给我一粒麦子； 在第二个小格内给两粒，第三 格内给四粒，照这样下去，每 一小格都比前一小格加一倍。 陛下啊，把这样摆满棋盘上所 有64格的麦粒，都赏给您的仆 人罢！
11
例2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解：? a1 ? 1, q ? 2,
?
S4 S10
? ?
1? (1 ? 24 )
1
1? ? (1
?2210
1? 2
? 15. ) ? 1023
.
从第5项到第10项的和: S10 ? S4 ? 1023? 15 ? 1008.
s10
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 ? a 10 .
2
?
? 22
23 ?
?
23
?
?
263
是?错26位3 )相.
? 2减64法. !
(2)
? 2S64 ? S64 ? (2 ? 2那2如么?果这213些0?0麦02粒粒4麦的? 粒总重质?为量24就603是克? ，264)
? (1? 27?3020多2 ?亿2吨3。?根2据4 ?统…计资?料2显63)
示，全世界小麦的年产量约为
s4
？
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练习
求等比数列 3 , 3 , 3 , ?
2 48
解：? a1
?
3 ,q 2
?
1, 2
从第 3项到第 7项的和 .
3
?
? ?1 ?
?? 1
?7 ? ??
2 ? S7 ?
? 1?
?2? 1
?
?
381 128
.
2
所以从第3项到第7项的和为：
S7
?
?3 ? ?2
?
3
? ?
?
4?
381 128
?
3
第1格： 1 第2格： 2
第3格： 22
第4格： 23
……
第63格： 262
第64格： 263 4
请同学们考虑如何求出这个和？
32814 73701 = 103 2
S64 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? 26的这3. 方种法求,和就(1)
2S64 ? 2(1? 即2S64 ? 2 ? 22
①—② ，得
(1 ? q)Sn ? a1 ? 0 ? ? ? 0 ? a1q n
(1 ? q)Sn ? a1 ? a1qn
6
显然，当q=1时，
S n ? na 1
q ? 1时 :
Sn ?
a1 ? a1q n 1? q
?
a1 ? anq 1? q
注意：
1.使用公式求和时，需注意对q ? 1和q ? 1
14
作业
根据下列条件，求相应的等比数列 ?an ? 的 S n
(1)a1 ? 3, q ? 2, n ? 6;
S6
?
3 ? (1 ? 2 6 ) 1? 2
? 189 .
( 2 ) a1
?
8, q ?
1 ,n ? 2
5;
S5 ?
8
?
? ?1 ? ?
?? ?
1 2
5
?
?
??
??
1
知识回顾：
1.等比数列的定义：
an?1 an
?
q（常数）（ q ? 0, n ? N ? ）
2.通项公式：
a a q an ? a1 ?q n?1 ,
m? n
?g
m
n
3.等比数列的主要性质：
① a, G, b 成等比数列 ? G 2 ? ab (G,a,b ≠ 0)
a ②在等比数列{ n}中，若 m ? n ? p ? q
的情况加以讨论；
2.推导公式的方法：错位相减法。
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等比数列的前n项和表述为：
{ ? ? Sn ?
na1,
( q=1).
a1 ?1? qn ? a1 ? anq , (q≠1).
1? q
1? q
8
例1 求等比数列
1 , 1 , 1 ,? 248
的前8项的和.
解:
? a1 ?
1 ,q 2
?
1 ,n ? 2