七大晶系十四种布喇菲格子课件
结构化学第七章课件
Laue方程的推导
a (cos －cos0 )= h h为整数 即在入射角为0 时，在方向产
生衍射。
直线点阵上衍射圆锥的形成
Laue 方程组： 对于空间点阵，应同时满足以下三式，
h、k、l为整数(但并不都是互质整数)－－衍射指标。
Laue 方程把衍射方向和晶胞参数联系在一起。
Laue方程组决定了衍射方向的分立性，因为空间点阵的 衍射方向是以三个互不平行的直线点阵为轴的的三组圆 锥面的共交线，所以只有某些特定方向上才会出现衍射。
h k l=nh* nk* nl* 才能产生反射。 如果某一晶面(h*k*l*)产生n级衍射，则可把其看作是晶 面(nh*nk*nl*)的一级衍射。晶面(h*k*l*)的面间距为d， 则晶面(nh*nk*nl*)的面间距就是d/n，于是Bragg方程可 写成：
2 (dh*k*l*)/n sinn = 即：2 dhkl sin =
d hkl
a h2 k2 l2
正交晶系
dh*k*l*
1 ( h* )2 ( k )2 (l )2
abc
六方晶系
dh*k*l*
1
4( h*2
hk 3a2
k
2
)
l 2 c2
Bragg方程表明，晶面指标为(h*k*l*)的晶面只对某些
角的入射线产生反射。可以证明，对于这些晶面，只有 衍射方向hkl和晶面指标(h*k*l*)满足：
1. 宏观对称元素和对称操作 晶体的理想外形在宏观表现出来的对称性
对称元素 旋转轴 (n或n) 反映面 (m) 对称中心 (i)
反轴 ( n )
对称操作
旋转 L() =2/n
反映 M 反演 I
旋转反演L()I
布拉维晶格在三维平面上的七大晶系14种晶格
布拉维晶格在三维平面上有七大晶系，14种晶格分别为三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、四方晶系、立方晶系、三方晶系、六角晶系。
依照简单、体心、面心及底心一、等轴晶系（立方晶系）等轴晶系的三个轴长度一样，且相互垂直，对称性最强。
这个晶系的晶体通俗地说就是方块状、几何球状，从不同的角度看高低宽窄差不多。
如正方体、八面体、四面体、菱形十二面体等，它们的相对晶面和相邻晶面都相似，这种晶体的横截面和竖截面一样。
此晶系的矿物有黄铁矿、萤石、闪锌矿、石榴石，方铅矿等。
请看这种晶系的几种常见晶体的理论形态：等轴晶系的三个晶轴(x轴y轴z轴)一样长,互相垂直常见的等轴晶系的晶体模型图等轴晶系的各种宝石金刚石晶体翠榴石黄铁矿萤石八面体和立方体的聚形的方铅矿二、四方晶系四方晶系的三个晶轴相互垂直，其中两个水平轴（x轴、y轴）长度一样，但z轴的长度可长可短。
通俗地说，四方晶系的晶体大都是四棱的柱状体，（晶体横截面为正方形，但有时四个角会发育成小柱面，称“复四方”），有的是长柱体，有的是短柱体。
再，四方晶系四个柱面是对称的，即相邻和相对的柱面都一样，但和顶端不对称（不同形）；所有主晶面交角都是九十度交角。
请看模型图：四方晶系的晶体如果z轴发育，它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（x、y）发育大于竖轴z轴，那么该晶体就是四方板状常见的一些四方晶系的晶体模型符山石的晶体锡石的长柱状晶体（顶端另有斜生的小晶体）。
请注意看柱体的棱角发育成窄小晶面，此种晶体又叫“复四方”——四个主柱面，四个小柱面这是短柱状锆石，柱体几乎不发育。
象个四方双锥体或假八面体三、三方晶系和六方晶系三方晶系和六方晶系有许多相似之处，一些矿物专著和科普书刊往往将二者合并在一起，或干脆就称晶体有六大晶系。
与前面讲的五个晶系最大的不同是三方/六方晶系的晶轴有四根，即一根竖直轴（z轴）三根水平横轴（x、y、u轴）。
竖轴与三根横轴的交角皆为90度垂直，三根横轴间的夹角为120度（六方晶系为60度，也可说成三横轴前端交角120度。
七大晶系十四种布喇菲格子
C4, C4h D4 , C4v D4h , S4 , D2d
C6 , C6h , D6 , C3v D6h , C3h , D2h
立方晶系
a1 a2 a3
900
简单立方 体心立方 面心立方
T , Th , Td O, Oh
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
底心立方？=简单四方
D2 , C2v , D2h
三角晶系
a1 a2 a3
900 1200
三角
C3v , D3d C3, C3i , D3
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
四方晶系 六角晶系
a1 a2 a3
900
a1a2 1200
a3 a1, a2 a1 a2 a3
简单四方 体心四方
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
4) 简单正交 5) 底心正交 6) 体心正交 7) 面心正交
a1 a2 a3 a1 a2 a3
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
05 /13
8) 三角
a1 a2 a3 90 120
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
9) 简单四方（四角） a1 a2 a3 10) 体心四方（四角） 900
晶系
晶胞基矢的 特性
布喇菲 格子
所属点群
三斜晶系 单斜晶系
பைடு நூலகம்
a1 a2 a3
a2 a1, a3 a1 a2 a3
简单三斜
C1, Cs
简单单斜
底心单斜 C2 , Cs , C2h
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
10 /13
正交晶系
a1 a2 a3 a1 a2 a3
布拉菲点阵
关于奥古斯特·布拉菲及布拉菲点阵浅析奥古斯特·布拉菲（August Bravais，1811—1863），法国物理学家，于1845年推导出了三维晶体原子排列的所有14种点阵结构，首次将群的概念应用到物理学，为固体物理学做出了重大贡献。
这是非常有意义的结论，为了纪念他，后人称这14种点阵为布拉菲点阵。
除此之外，布拉菲还对磁性、极光、气象、植物地理学、天文学和水文学等方面进行过研究。
图1 奥古斯特·布拉菲在几何学以及晶体学中，布拉菲晶格（又译布拉菲点阵）是为了纪念奥古斯特·布拉维在固态物理学的贡献命名的。
法国晶体学家布拉菲（A.Bravais）于1850年用数学群论的方法推导出空间点阵只能有十四种: 简单三斜、简单单斜、底心单斜、简单正交、底心正交、体心正交、面心正交、简单六方、简单菱方、简单四方、体心四方、简单立方、体心立方、面心立方。
根据其对称特点，它们分别属于七个晶系。
空间点阵到底有多少种排列形式？按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，在这样一个限定条件下，法国晶体学家布拉菲（A. Bravais）曾在1848年首先用数学方法证明，空间点阵只有14种类型。
这14种空间点阵以后就被称为布拉菲点阵。
空间点阵是一个三维空间的无限图形，为了研究方便，可以在空间点阵中取一个具有代表性的基本小单元，这个基本小单元通常是一个平行六面体，整个点阵可以看作是由这样一个平行六面体在空间堆砌而成，我们称此平行六面体为单胞。
当要研究某一类型的空间点阵时，只需选取其中一个单胞来研究即可。
在同一空间点阵中，可以选取多种不同形状和大小的平行六面体作为单胞，如下图所示：其选取方式有，1．固体物理选法：在固体物理学中，一般选取空间点阵中体积最小的平行六面体作为单胞，这样的单胞只能反映其空间点阵的周期性，但不能反映其对称性。
如面心立方点阵的固体物理单胞并不反映面心立方的特征。
2．晶体学选法：由于固体物理单胞只能反映晶体结构的周期性，不能反映其对称性，所以在晶体学中，规定了选取单胞要满足以下几点原则：①要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性；②在满足①的基础上，单胞要具有尽可能多的直角；③在满足①、②的基础上，所选取单胞的体积要最小。
2.2.4 晶体的14种Bravais格子简介
a b c， 90 0
格点有两种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上；
其二，除顶点外，还分布于面心（0，1/2，1/2）和（1，1/2，1/2）
或（1/2，0，1/2）和（1/2，1，1/2）
有 两种 Bravais 格子：分
别称为简单单斜Bravais格子、底心单斜Bravais格子
背景音乐：
5°六方（Hexagonal）晶系或六角晶系
Bravais格子之惯用元胞的几何特征为：
a b c， 90 0 ， 120 0 有 格点的分布方式只有一种：分布于惯用元胞的八个顶点上 一种Bravais格子，称为简单六方
Bravais格子 Pearson 记法 hP， 平行六面体元胞不能显示出点对 称性，常选用正六方棱柱体作为
背景音乐：
4°四方(Tetragonal) 晶系或正方晶系或四角晶系 Bravais格子之惯用元胞的几何特征为：
a b c， 90 0
格点有两种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上；
有 其二，除顶点外，还分布于体心 两种Bravais格子，分别称
为简单四方Bravais格子和体心四方Bravais格子 Pearson 记法 tP 和tI，惯用元胞分别如图2.2.2－1中的（h）图和(i)图所示
Pearson 记法 mP、mA 或 mB ，惯用元胞分别如图 2.2.2－1中的（b）图、(c)图所
示。
背景音乐：
背景音乐：
3°斜方晶系或正交（Orthorhombic）晶系
Bravais格子之惯用元胞的几何特征为：
a b c， 900
格点有四种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点 上；其二，除顶点外，还分布于体心；其三，除顶点外，还分 布于两个面心（0，1/2，1/2）和（1，1/2，1/2）或面心（1/2， 0，1/2）和（1/2，1，1/2）或面心（1/2，1/2，0）和（1/2， 1/2，1）；其四，除顶点外，还分布于六个面心 四种 有
!七大晶系十四种布喇菲格子
晶系
晶胞基矢的 特性
布喇菲 格子
所属点群
三斜晶系
简单三斜
单斜晶系
简单单斜 底心单斜
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
正交晶系 三角晶系
简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
三角
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
四方晶系 六角晶系 立方晶系
简单四方 体心四方
六角
简单立方 体心立方 面心立方
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
9) 简单四方（四角） 10) 体心四方（四角）
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
11) 六角
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
12) 简立方 13) 体心立方 14) 面心立方
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
七大晶系的布喇菲格子、晶胞和所属点群
立方 三角
四方
正交
三斜
按晶胞个点分布特点分为14种布喇菲原胞 1) 简单三斜
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
2) 简单单斜 3) 底心单斜
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
4) 简单正交 5) 底心正交 6) 体心正交 7) 面心正交
01_07_晶格的对称性 —— —— 晶体结构
底心立方？=简单四方
底心四方=简单四方
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
体心四方与面心四方等价
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
§1.7 晶格的对称性
—— 32种点群描述的晶体对称性 —— 对应的只有14种布喇菲格子 —— 分为7个晶系
—— 晶胞的三个基矢
沿晶体的对称轴或对称面
的法向，在一般情况下，它们构成斜坐标系
十四种布拉菲格子
就目前所知，晶体多达20000多种以上，它们的几何 就目前所知，晶体多达 多种以上， 多种以上 外形更是多姿多彩、精美绝伦、奥妙无比， 外形更是多姿多彩、精美绝伦、奥妙无比，足以让所有 的能工巧匠叹为观止！然而，种类繁多、 的能工巧匠叹为观止！然而，种类繁多、形状各异的晶 体在微观结构的周期性特征上却是极其简单的， 体在微观结构的周期性特征上却是极其简单的，描述晶 体微观结构周期性特征的Bravais格子总共只有十四种不 格子总共只有十四种不 体微观结构周期性特征的 格子总共只有十四种 同的类型。 同的类型。
Pearson记法 →
hR
7°立方(Cubic) 晶系 立方(Cubic) Bravais格子之惯用元胞的几何特征为： Bravais格子之惯用元胞的几何特征为： 格子之惯用元胞的几何特征为
a = b = c，α = β = γ = 90 0
格点有三种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上； 格点有三种分布方式：其一，分布于惯用元胞的八个顶点上； 其二，除顶点外，还分布于体心；其三，除顶点外，还分布于六 其二，除顶点外，还分布于体心；其三，除顶点外， Bravais格子 简单立方Bravais格子、 个面心 有 三种Bravais格子，分别称为简单立方Bravais格子、 → 三种Bravais格子，分别称为简单立方Bravais格子 体心立方Bravais格子和面心立方Bravais格子 体心立方Bravais格子和面心立方Bravais格子 Bravais格子 Bravais cP、 cP Pearson记法 → 、
cI和cF，惯用元胞分别如图1.2.6－ 中的（ cI和cF，惯用元胞分别如图1.2.6－1中的（l）图、(m)图和（n） 1.2.6 (m)图 图所示 背景音乐： 背景音乐：
布拉维晶格在三维平面上的七大晶系14种晶格
布拉维晶格在三维平面上有七大晶系，14种晶格分别为三斜晶系、单斜晶系、正交晶系、四方晶系、立方晶系、三方晶系、六角晶系。
依照简单、体心、面心及底心一、等轴晶系（立方晶系）等轴晶系的三个轴长度一样，且相互垂直，对称性最强。
这个晶系的晶体通俗地说就是方块状、几何球状，从不同的角度看高低宽窄差不多。
如正方体、八面体、四面体、菱形十二面体等，它们的相对晶面和相邻晶面都相似，这种晶体的横截面和竖截面一样。
此晶系的矿物有黄铁矿、萤石、闪锌矿、石榴石，方铅矿等。
请看这种晶系的几种常见晶体的理论形态：等轴晶系的三个晶轴(x轴y轴z轴)一样长,互相垂直常见的等轴晶系的晶体模型图等轴晶系的各种宝石金刚石晶体翠榴石黄铁矿萤石八面体和立方体的聚形的方铅矿二、四方晶系四方晶系的三个晶轴相互垂直，其中两个水平轴（x轴、y轴）长度一样，但z轴的长度可长可短。
通俗地说，四方晶系的晶体大都是四棱的柱状体，（晶体横截面为正方形，但有时四个角会发育成小柱面，称“复四方”），有的是长柱体，有的是短柱体。
再，四方晶系四个柱面是对称的，即相邻和相对的柱面都一样，但和顶端不对称（不同形）；所有主晶面交角都是九十度交角。
请看模型图：四方晶系的晶体如果z轴发育，它就是长柱状甚至针状；如果两个横轴（x、y）发育大于竖轴z轴，那么该晶体就是四方板状常见的一些四方晶系的晶体模型符山石的晶体锡石的长柱状晶体（顶端另有斜生的小晶体）。
请注意看柱体的棱角发育成窄小晶面，此种晶体又叫“复四方”——四个主柱面，四个小柱面这是短柱状锆石，柱体几乎不发育。
象个四方双锥体或假八面体三、三方晶系和六方晶系三方晶系和六方晶系有许多相似之处，一些矿物专著和科普书刊往往将二者合并在一起，或干脆就称晶体有六大晶系。
与前面讲的五个晶系最大的不同是三方/六方晶系的晶轴有四根，即一根竖直轴（z轴）三根水平横轴（x、y、u轴）。
竖轴与三根横轴的交角皆为90度垂直，三根横轴间的夹角为120度（六方晶系为60度，也可说成三横轴前端交角120度。
七大晶系十四种布喇菲格子
—— 32种点群描述的晶体对称性
—— 对应的只有14种布喇菲格子
—— ——
分为7个晶系 晶胞的三个基矢
a,
b,
c
沿晶体的对称轴或对称面
的法向，在一般情况下，它们构成斜坐标系
(b, c)
三个晶轴之间的夹角
(c,a)
(a, b)
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
01 /13
按
晶
胞 六角
基
矢
的
特
征
分 为
单斜
七
大
晶
系
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
立方 三角
四方
正交
三斜
按晶胞个点分布特点分为14种布喇菲原胞
1) 简单三斜 a1a2 a3
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
2) 简单单斜 a2 a1, a3 3) 底心单斜 a1 a2 a3
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
C6, C6h, D6, C3v D6h, C3h, D2h
立方晶系
简单立方
a1 a2 a3 体心立方 900 面心立方
T , Th , Td O, Oh
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
底心立方？=简单四方
底心四方=简单四方
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
体心四方与面心四方等价
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
4) 简单正交 5) 底心正交 6) 体心正交 7) 面心正交
a1a2 a3 a1a2 a3
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
05 /13
8) 三角
a1 a2 a3
14种布拉维格子ppt课件
14种布拉维格子之六：六方简单（hP)
黑色与灰白色点
请
都是点阵点.黑点
点
与蓝线表示一个
击
正当格子
按
钮
打
开
晶
格
模
பைடு நூலகம்
型
14种布拉维格子之七：三方晶系的六方R 心(hR)
请 点 击 按 钮 打 开 晶 格 模 型
三方晶系的六方简单 (hP)
请点击按钮打开晶格模型
六方简单 (hP)格子已用于六方晶系, 现在又可用于三方晶系, 所以只算一种格子. 尽管三方晶系的两种格子------六方简单(hP)和六方R 心(hR)------形状都与六方 晶系的六方简单 (hP)格子相同（即hR是两个晶系共用的）, 但真实的三方晶体中只 有三次对称轴而没有六次对称轴, 六方晶体才有六次对称轴.
14种布拉维格子之一：立方简单（cP）
请点击按钮打开晶格模型
14种布拉维格子二：立方体心（cI）
请点击按钮打开晶格模型
14种布拉维格子三：立方面心（cF）
请点击按钮打开晶格模型
14种布拉维格子之四: 四方简单（tP）
请点击按钮打开晶格模型
14种布拉维格子之五: 四方体心（tI）
请点击按钮打开晶格模型
请 点 击 按 钮 打 开 晶 格 模 型
14种布拉维格子之十二：单斜简单（mP)
请点击按钮打开晶格模型
14种布拉维格子之十三：单斜C心（mC)
请点击按钮打开晶格模型
14种布拉维格子之十四：三斜简单 (aP)
请点击按钮打开晶格模型
14种布拉维格子之八：正交简单（oP)
请 点 击 按 钮 打 开 晶 格 模 型
14种布拉维格子之九：正交体心（oI)
结晶学第八讲—14种布拉菲格子 共37页
111 110
100
一般点及其操作
110
101
111
001
011
010 y
z
111 101
110
y
x
100
x
3、4、2次轴
23 (3L24L3)
立 方
{3[111]}{3[111]} = {2[010]}
X
z
晶
y
系
X
y
x
x
没有4次轴！
32 (L33L2)
y
x
m3 (2/m3, 3L24L33PC)
4 (S43, Li4)
6 (S35, Li6)
旋转反演轴， n
对称条件
1(E)或1(i)
晶系
特点
三 斜 a≠ b≠ c, ≠≠
2(C2)或2(m)
单 斜 a≠b≠c, = = 90o≠
两个2(C2)或2(m) 正 交 a≠b≠c, = = = 90o
4(C4)或4(S43)
全对称点群 1 2/m
mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m
点群各符号的顺序
晶系
在国际符号中的位置
1
2
3
三斜 只用一个符号
单斜 第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴
正交 2或2沿a
2或2沿b
2或2沿c
四方 4或4沿c 2或2沿a和b
2或2沿a±b
三方 3或3沿c 2或2沿a、b和a+b 2或2a、b和a+b
3m
(L33P)
m3
(3L24L33PC)
32 2/m mmm 4mm 6mm 32(L33L2) 43m
第一章结晶学基础-1.3.1十四种布拉维点阵_6.14ZSQ
材料科学基础第1 章1.3.1 十四种布拉维点阵十四种布拉维点阵一、单位平行六面体的选取二、十四种布拉维点阵三、晶胞空间点阵的划分 空间点阵是一个由无限多结点在三维空间作有规则排列的图形。
整个空间点阵就被这些平行线分割成多个紧紧地排列在一起的平行六面体有缘学习更多驾卫星ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店铺）单位平行六面体的 选取原则 3.大小原则体积最小 1 对称性原则应能反映空间点阵对称性 2 角度原则 直角关系尽可能多4 对称性规定夹角不为直角 结点间距最小的行列做棱，夹角最接近直角的平行六面体二维平面点阵的划分(A)具有L44P的平面点阵；(B)具有L22P的平面点阵单位平行六面体在空间点阵中，选取出来的能够符合这几条原则的平行六面体称为单位平行六面体；可以用三条互不平行的棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ来描述，如下图所示。
点阵常数棱a、b、c和棱间夹角α、β、γ的大小称为点阵常数。
晶体的点阵常数十四种布拉维点阵（格子）简单（原始）点阵（格子）(P) 结点分布在角顶，每个点阵包含一个结点体心点阵（格子）（I）结点分布在角顶和体心，每个点阵包含二个结点十四种布拉维点阵（格子）面心点阵（格子）(F) 结点分布在角顶和面心，每个点阵包含四个结点单面心点阵（格子）(A/B/C) 结点分布在角顶和一对面心，每个点阵包含2个结点根据布拉维推导，从一切晶体结构中抽象出来的空间点阵，按上述原则来选取平行六面体，只能有14种类型，称为14种布拉维点阵。
十四种空间点阵正交P(简单) C(底心) I(体心) F(面心) 点阵常数 a ≠ b ≠ cα= β= γ= 90°立方简单立方(P) 体心立方（I）面心立方（F）点阵常数 a =b =cα= β= γ= 90°如图立方为什么没有底心呢？假如有底心，将破坏立方的3L 4的对称性，只有1L 4。
立方三方（R ） 90120≠<====γβαc b a 点阵常数：六方（H ）12090===≠=γβαcb a 点阵常数： 四方（P ） 四方（I ）90===≠=γβαc b a 点阵常数：四方也不可能有底心，假如有，则破坏了“点阵点最少”的条件，还可画出只有一个点阵点的格子。
十四种布拉菲格子
→
进一步指出
Bravais格子只有七种可能的点 格子只有七种可能的点
对称性类型，再考虑到平移对称性 对称性类型，
→
首次导出
Bravais格子只有十四种不同的类型 格子只有十四种不同的类型 这十四种Bravais格子的惯用元胞如图 格子的惯用元胞如图1.2.6－1所示 这十四种 格子的惯用元胞如图 － 所示 背景音乐： 背景音乐：
晶体的十四种Bravais Bravais格子简介 §1.2.6 晶体的十四种Bravais格子简介
就目前所知，晶体多达20000多种以上，它们的几何 就目前所知，晶体多达 多种以上， 多种以上 外形更是多姿多彩、精美绝伦、奥妙无比， 外形更是多姿多彩、精美绝伦、奥妙无比，足以让所有 的能工巧匠叹为观止！然而，种类繁多、 的能工巧匠叹为观止！然而，种类繁多、形状各异的晶 体在微观结构的周期性特征上却是极其简单的， 体在微观结构的周期性特征上却是极其简单的，描述晶 体微观结构周期性特征的Bravais格子总共只有十四种不 格子总共只有十四种不 体微观结构周期性特征的 格子总共只有十四种 同的类型。 同的类型。
背景音乐： 背景音乐：
1°三斜(Triclinic)晶系 °三斜 晶系 Bravais格子之惯用元胞的几何特征为： 格子之惯用元胞的几何特征为： 格子之惯用元胞的几何特征为
a ≠ b ≠ c，α ≠ β ≠ γ
格点的分布方式只有一种： 格点的分布方式只有一种：分布于惯用元胞的八个顶点上 有 → 一种Bravais格子：简单三斜Bravais格子 Pearson记法→ aP, 惯用 格子：简单三斜 一种 格子 格子 元胞如图1.2.6－1中的（a）图所示 － 中的 中的（ ） 元胞如图
a = b = c， 0 ≠ α = β = γ〈120 0 90
材料科学基础p1
a ,b ,c 棱 边 长 ( 点 阵 常 数 l a t t i c e p a r a m e t e r ) 描 述 晶 胞 或用点阵矢量a 或用点阵矢量a,b,c α , , 晶 轴 间 的 夹 角 β γ
阵点 ruvw = ua + vb + wc
体积V b×c) 体积V=a (b×c)
3! × 4 = 12组,如{1 2 0} 2 有一个为0,应除以2,则有 3! × 4 = 3组,如{1 0 0} 2!22
4.六方晶系指数 4.六方晶系指数
三坐标系 a1,a2,c
120°
四轴坐标系 a1,a2,a3,c
120° 120°
(h k i l ) [u v t w]
i= -( h+k ) t= -( u+v )
u1 u2
v1 v2
w1 w 2 = 0 , 则三个晶轴同在一个晶面上
u3 v3 w 3 h1 k1 l1 则三个晶轴同属一个晶带 h 2 k 2 l2 =0,则三个晶面同属一个晶带 h 3 k3 l3
spacing) 6.晶面间距(Interplanar crystal spacing) 晶面间距(
二,晶向指数和晶面指数
1.阵点坐标
op = xa + yb + zc
2.晶向指数(Orientation index) 求法: 求法: 1) 确定坐标系 过坐标原点,作直线与待求晶向平行; 2) 过坐标原点,作直线与待求晶向平行; 在该直线上任取一点,并确定该点的坐标( 3) 在该直线上任取一点,并确定该点的坐标(x,y,z) 将此值化成最小整数u 并加以方括号[u w]即是 即是. 4) 将此值化成最小整数u,v,w并加以方括号[u v w]即是. 代表一组互相平行,方向一致的晶向) (代表一组互相平行,方向一致的晶向)
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01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
8) 三角
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
9) 简单四方（四角） 10) 体心四方（四角）
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
11) 六角
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
12) 简立方
13) 体心立方
14) 面心立方
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
六
角
立方晶系
简单立方 体心立方 面心立方
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
底心立方 ？ =简单四方
底心四方=简单四方
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
体心四方与面心四方等价
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
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01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
§1.7 晶格的对称性 —— 32种点群描述的晶体对称性 —— 对应的只有14种布喇菲格子
—— 分为7个晶系
—— 晶胞的三个基矢 沿晶体的对称轴或对称面
的法向，在一般情况下，它们构成斜坐标系
三个晶轴之间的夹角
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
按 晶 胞 基 矢 的 特 征 分 为 七 大 晶 系
七大晶系的布喇菲格子、晶胞和所属点
所属点群
三斜晶系
简单三斜
单斜晶系
简单单斜 底心单斜
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
正交晶系
简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
三角晶系
三角
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
四方晶系
简单四方 体心四方
六角晶系
立方 六角 四方
三角
单斜
三斜
正交
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
按晶胞个点分布特点分为14种布喇菲原胞
1) 简单三斜
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
2) 简单单斜 3) 底心单斜
01_07_晶格的对称性 —— 晶体结构
4) 简单正交
5) 底心正交 6) 体心正交 7) 面心正交