布里渊区高对称性点的选取
VASP计算能带
VASP计算能带量子化学网版权所有/Experience/CommonSoftwares/VASP/Electroni cCalc/200602/1043.htmlVASP Version : 4.6在此文中，我将用硅晶体作为实例，来说明如何用VASP4.6来计算固体的能带结构。
首先我们要了解晶体硅的结构，它是两个嵌套在一起的FCC布拉菲晶格，相对的位置为(a/4,a/4,a/4), 其中a=5.4A是大的正方晶格的晶格常数。
在计算中，我们采用FCC的原胞，每个原胞里有两个硅原子。
VASP计算需要以下的四个文件：INCAR（控制参数）, KPOINTS（倒空间撒点）, POSCAR （原子坐标）, POTCAR（赝势文件）为了计算能带结构，我们首先要进行一次自洽计算，得到体系正确的基态电子密度。
然后固定此电荷分布，对于选定的特殊的K点进一步进行非自洽的能带计算。
有了需要的K点的能量本征值，也就得到了我们所需要的能带。
步骤一.—自洽计算产生正确的基态电子密度：以下是用到的各个文件样本:INCAR 文件：SYSTEM = SiStartparameter for this run:NWRITE = 2; LPETIM=F write-flag & timerPREC = medium medium, high lowISTART = 0 job : 0-new 1-cont 2-samecutICHARG = 2 charge: 1-file 2-atom 10-constISPIN = 1 spin polarized calculation?Electronic Relaxation 1NELM = 90; NELMIN= 8; NELMDL= 10 # of ELM stepsEDIFF = 0.1E-03 stopping-criterion for ELMLREAL = .FALSE. real-space projectionIonic relaxationEDIFFG = 0.1E-02 stopping-criterion for IOMNSW = 0 number of steps for IOMIBRION = 2 ionic relax: 0-MD 1-quasi-New 2-CGISIF = 2 stress and relaxationPOTIM = 0.10 time-step for ionic-motionTEIN = 0.0 initial temperatureTEBEG = 0.0; TEEND = 0.0 temperature during runDOS related values:ISMEAR = 0 ; SIGMA = 0.10 broadening in eV -4-tet -1-fermi 0-gaus Electronic relaxation 2 (details)Write flagsLWAVE = T write WAVECARLCHARG = T write CHGCARVASP给INCAR文件中的很多参数都设置了默认值，所以如果你对参数不熟悉，可以直接用默认的参数值。
I-3.0 布里渊区-3.1 简正模和格波-22
原子的振动 —格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.
晶 格 振 动 的 研 究 始 于 固 体 热 容 研 究 ， 19 世 纪 初 人 们 就 通 过 Dulong-Petit 定律
E Cv T 3N Ak B , ( E 3N Ak BT ) V 认识到：热容量是原子热运动在宏观上的最直接表现，然而直到20世
3.0 布里渊区的知识 BZ
布里渊区定义
布里渊区定义：在倒点阵中，以某一格点为坐标原点，做所有倒格矢的
垂直平分面，倒空间被这些平面分成许多包围原点的多面体区域，这些 区域称作布里渊区，其中最靠近原点的平面所围成的区域称作第一布里
渊区，第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里
渊区，依次类推得到二维正方格子的布里渊区图见下页。 由于布里渊区界面是某倒格矢K h的垂直平分面，如果用K 表示从原
我国科学家黄昆院士在晶格振动理论上做出了重要贡献。 黄昆院士简介: （摘录） 1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大学物理系学习，获哲学博士
学位；发表《稀固溶体的X光漫散射》论文，理论上预言“黄散射”。
1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博士后研究员，这期间建立 了“黄方程”，提出了声子极化激元的概念，并与李爱扶（A.Rhys，妻子）
2000年7月31日，李爱扶，黄昆，李 政道，杨振宁出席在香港召开的第 三届全球华人物理学大会
考虑一个比较真实的周期性晶格模型，提出 这样一个系统的运动不易用个别原子的振动 去描述，而最容易用具有一定波矢、频率和 偏振的行波来表示，称为系统的简正模，每 个波的能量与具有相同频率的谐振子一样是 量子化的。与晶体相联系的波的频率不是单 一频率，而是具有一定的频率分布的，这个 频率分布按照复杂的规律依赖与原子间的相 互作用。
石墨烯布里渊区高对称点
石墨烯布里渊区高对称点
石墨烯的布里渊区高对称点指的是石墨烯的倒空间中具有高度对称性的特殊点。
这些高对称点是布里渊区中最重要的点，在材料的能带结构和物理性质研究中占有重要地位。
石墨烯的布里渊区高对称点包括以下几个点：Γ（gama）点，K 点，M点。
Γ点是布里渊区的中心点，具有六重旋转对称性，也是物理学中的重要参考点之一。
K点是布里渊区的边界点，具有三重旋转对称性。
石墨烯的能带结构在K点附近会出现特殊的电子结构特征，例如Dirac锥。
M点是布里渊区的晶体面中点，具有二重旋转对称性。
在石墨烯的能带结构中，M点处也会出现特殊的能带特征。
这些布里渊区高对称点的存在使得石墨烯的能带结构具有特殊的性质，对于石墨烯的物理性质研究和应用有着重要影响。
空间群k点选择
空间群k点选择全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：空间群是晶体学中研究的一个重要内容，它揭示了晶体结构的对称性和周期性。
在空间群的描述中，k点的选择是十分关键的，它不仅影响到晶体的简并度和性质，还可以用来计算材料的电子结构和光学性质。
空间群k点选择的问题也成为了晶体学中一个重要的研究方向。
在实际计算中，我们通常使用第一布里渊区（First Brillouin Zone）来代表晶体的全波矢空间。
在这个区域内，我们需要选择一组关键的k 点来描述晶体的能带结构和电子态密度分布。
这些k点的选择不仅要考虑到空间群的对称性，还要满足计算精度和效率的要求。
在实际计算中，选择合适的k点是至关重要的。
我们需要考虑到空间群的对称性在k点选择中的作用。
空间群包含了平移、旋转、镜面反射等一系列操作，而这些操作会对能带结构和电子性质产生影响。
在选择k点时，我们需要考虑到空间群的对称元素，并在合适的位置上选择k点来描述晶体的对称性。
我们还需要考虑到计算的精度和效率。
在实际计算中，我们通常会使用密度泛函理论来描述材料的电子结构，这就需要在k点网格中选取足够密集的点来积分波函数和能量。
如果选择的k点太稀疏，就会导致计算的误差增大；反之，选择的点太多，又会增加计算的时间和成本。
在选择k点时，需要平衡计算的精度和效率，选择一个既满足计算需求又具有代表性的k点网格。
在实际应用中，我们还需要考虑到晶体的特殊性质和应用需求。
不同的晶体结构会对k点的选择产生不同的影响，有些晶体可能需要更多的k点来描述其能带结构和性质，而有些晶体则可以通过较少的k点来近似描述。
在选择k点时，需要根据具体的晶体结构和应用需求来确定合适的数量和位置。
第二篇示例：空间群K点选择是凝聚态物理中一个非常重要的概念。
在固体中，晶体结构是由晶格和原子组成的，而晶格的对称性又决定了固体的物理性质。
空间群是描述晶体的对称性的数学理论，而K点则是描述晶体中的电子结构的关键点。
VASP计算能带
VASP计算能带量子化学网版权所有/Experience/CommonSoftwares/VASP/Electroni cCalc/200602/1043.htmlVASP Version : 4.6在此文中，我将用硅晶体作为实例，来说明如何用VASP4.6来计算固体的能带结构。
首先我们要了解晶体硅的结构，它是两个嵌套在一起的FCC布拉菲晶格，相对的位置为(a/4,a/4,a/4), 其中a=5.4A是大的正方晶格的晶格常数。
在计算中，我们采用FCC的原胞，每个原胞里有两个硅原子。
VASP计算需要以下的四个文件：INCAR（控制参数）, KPOINTS（倒空间撒点）, POSCAR （原子坐标）, POTCAR（赝势文件）为了计算能带结构，我们首先要进行一次自洽计算，得到体系正确的基态电子密度。
然后固定此电荷分布，对于选定的特殊的K点进一步进行非自洽的能带计算。
有了需要的K点的能量本征值，也就得到了我们所需要的能带。
步骤一.—自洽计算产生正确的基态电子密度：以下是用到的各个文件样本:INCAR 文件：SYSTEM = SiStartparameter for this run:NWRITE = 2; LPETIM=F write-flag & timerPREC = medium medium, high lowISTART = 0 job : 0-new 1-cont 2-samecutICHARG = 2 charge: 1-file 2-atom 10-constISPIN = 1 spin polarized calculation?Electronic Relaxation 1NELM = 90; NELMIN= 8; NELMDL= 10 # of ELM stepsEDIFF = 0.1E-03 stopping-criterion for ELMLREAL = .FALSE. real-space projectionIonic relaxationEDIFFG = 0.1E-02 stopping-criterion for IOMNSW = 0 number of steps for IOMIBRION = 2 ionic relax: 0-MD 1-quasi-New 2-CGISIF = 2 stress and relaxationPOTIM = 0.10 time-step for ionic-motionTEIN = 0.0 initial temperatureTEBEG = 0.0; TEEND = 0.0 temperature during runDOS related values:ISMEAR = 0 ; SIGMA = 0.10 broadening in eV -4-tet -1-fermi 0-gaus Electronic relaxation 2 (details)Write flagsLWAVE = T write WAVECARLCHARG = T write CHGCARVASP给INCAR文件中的很多参数都设置了默认值，所以如果你对参数不熟悉，可以直接用默认的参数值。
布里渊区
ur r Gn 1 ur q ⋅ ur = ± G n 2 Gn
—— 布里渊区边界面方程
布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。 布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。 布里渊区的几何作图法： 布里渊区的几何作图法： 根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵， 根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一 个倒格点为原点； 个倒格点为原点； 由近到远作各倒格矢的垂直平分面； 由近到远作各倒格矢的垂直平分面； 各倒格矢 在原点周围围成一个包含原点在内的最小封闭体积， 在原点周围围成一个包含原点在内的最小封闭体积， 包含原点在内的最小封闭体积 即为简约区或第一布里渊区。 即为简约区或第一布里渊区。 简约区就是倒易空间中的Wigner－Seitz原胞。 － 原胞。 简约区就是倒易空间中的 原胞
3 2 Ⅱ 1 3 Ⅱ 2
可以证明，每个布里渊区的体积均相等， 可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第 一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积Ω 一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积Ωb 。
正格子 格常数 倒格子 格常数 sc a sc
简约区 由6个{100}面 个 面 围成的立方体 由12个{110}面 个 面 围成的正 面体 围成的正12面体 面和6个 由8个{111}面和 个 个 面和 {100}面围成的 面体 面围成的14面体 面围成的
将原点取在简约区的中心，那么，在布里渊区边界 原点取在简约区的中心，那么， 面上周期对应的两点间应满足关系： 面上周期对应的两点间应满足关系：
ur Gn
ur q′
0
r q
ur Gn
ur r ur r q′ = q ± G n = q
(
r ur q ± Gn
)
2
r2 = q
用vasp计算硅的能带结构
用vasp计算硅的能带结构在最此次仿真之前，因为从未用过vasp软件，所以必须得学习此软件及一些能带的知识。
vasp是使用赝势和平面波基组，进行从头量子力学分子动力学计算的软件包。
用vasp计算硅的能带结构首先要了解晶体硅的结构，它是两个嵌套在一起的FCC布拉菲晶格，相对的位置为 (a/4,a/4,a/4), 其中a=是大的正方晶格的晶格常数。
在计算中，我们采用FCC的原胞，每个原胞里有两个硅原子。
VASP计算需要以下的四个文件：INCAR（控制参数）, KPOINTS（倒空间撒点）, POSCAR（原子坐标）, POTCAR（赝势文件）为了计算能带结构，我们首先要进行一次自洽计算，得到体系正确的基态电子密度。
然后固定此电荷分布，对于选定的特殊的K点进一步进行非自洽的能带计算。
有了需要的K点的能量本征值，也就得到了我们所需要的能带。
步骤一.—自洽计算产生正确的基态电子密度：以下是用到的各个文件样本:INCAR 文件：SYSTEM = SiStartparameter for this run:NWRITE = 2; LPETIM=F write-flag & timerPREC = medium medium, high lowISTART = 0 job : 0-new 1-cont 2-samecutICHARG = 2 charge: 1-file 2-atom 10-constISPIN = 1 spin polarized calculationElectronic Relaxation 1NELM = 90; NELMIN= 8; NELMDL= 10 # of ELM stepsEDIFF = stopping-criterion for ELMLREAL = .FALSE. real-space projectionIonic relaxationEDIFFG = stopping-criterion for IOMNSW = 0 number of steps for IOMIBRION = 2 ionic relax: 0-MD 1-quasi-New 2-CGISIF = 2 stress and relaxationPOTIM = time-step for ionic-motionTEIN = initial temperatureTEBEG = ; TEEND = temperature during runDOS related values:ISMEAR = 0 ; SIGMA = broadening in eV -4-tet-1-fermi 0-gausElectronic relaxation 2 (details)Write flagsLWAVE = T write WAVECARLCHARG = T write CHGCARVASP给INCAR文件中的很多参数都设置了默认值，所以如果你对参数不熟悉，可以直接用默认的参数值。
布里渊区
jk
,
b2
2
a
k＋i
,
b3
2
a
i j
K n n1b1 n2b2 n3b3
2 a
n2 n3 i n1 n3 j n1 n2 k
20
4
a
b1
b2
b3
21
3.离原点最近的倒格点 体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的倒格点有十二个。在直角坐标系中的坐标分别为:
11
6.二维正方格子的能带交叠 第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k'方向上能量最高点C。 C点的能量比第二布里渊区B点高。
12
二维(包括三维)和一维情形有一个重要的区别—不同能带在能量上不一定 分隔开而可以发生能带之间的交叠。第一布里渊区和第二布里渊区能带 的重叠。
13
7.二维斜格子的第一布里渊区
第一布里渊区—倒格子空间中的WS原胞。
1
2.布里渊区的特点 (1)各布里渊区的体积相等，都等于倒格子原胞的体积。
＝b1 b2 b3
2 3
(2)波矢k的代表点是均匀分布的，每个代表点的体积为：
1 N1
b1
2 N2
b2
3 N3
b3
14
8.二维六角格子其它布里渊区的形成
15
9.二维六角格子其它布里渊区的形状 每个布里渊区经过适当的 平移之后和第一布里渊区 重合
16
10.二维格子布里渊区的特点 (1)尽管布里渊区在图中看起来好像被分割为不相连的若干小区, 但是,实际上能量 是连续的。属于一个布里渊区的能级构成一个能带。不同的布里渊区对应不同的 能带。 (2)每个布里渊区的形状尽管各异，但是面积都相等, 等于倒格子原胞的面积。 (3)计入自旋，每个能带包含2N个量子态。 (4)每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。
所有布里渊区高对称点坐标
a<b: gamma (0 0 0) Y(-1/2 ½ 0) Z(0 0 ½) T(-1/2 ½ ½) S(0 ½ 0) R(0 ½ ½)
Othorhombic(Body centered)
Basic vectors: 1/2(a b c) 1/2(-a -b c) 1/2(a -b -c) Volume:1/2abc Kpoints: a>b and a>c: gamma(0 0 0) X(1/2 -1/2 ½) R(1/2 0 0) S(1/2 0 -1/2) T(1/2 ½ 0) W(3/4 -1/4 -1/4)
Tetragonal(body-centerd)
Basic vectors: 1/2(-a a c) 1/2(a -a c) 1/2(a a -c) Volume: 1/2a^2*c Kpoints: a>c: gamma(0 0 0) N(0 ½ 0) X(0 0 ½) Z(-1/2 ½ ½) P(1/4 ¼ ¼)
所有布里渊区高对称点坐标布里渊区第一布里渊区第二布里渊区以坐标轴为对称轴用坐标表示轴对称二次函数对称轴坐标若点pq的坐标是对称点函数关于点对称
Triclinic(primitive)
Basic vectors: arbitrary Volume:[a1a2a3] Kpoints: gamma(0 0 0) B(1/2 0 0) F(0 ½ 0) G(0 0 1/2)
1/c^2>1/a^2+1/b^2: gamma(0 0 0) Y(0 -1/2 -1/2) X(1/2 0 ½) Z(1/2 -½ 0) L(1/2 0 0)
1பைடு நூலகம்b^2>1/c^2+1/a^2 gamma(0 0 0) Y(1 ½ 1/2) X(1/2 0 ½) Z(1/2 ½ 0) L(1/2 0 0)
上海师大固体物理 第五章(7)能带信息
2. 自由电子费米面的构造：二维正方空晶格模型为例
（1）费米半径：由价电子数N决定 设二维晶格的晶格常数为a，晶体的原胞数为N，晶体中平均每个原 子有η个价电子。 在简约布里渊区内，电子的波矢数目等于晶体的原胞数目，而每个 波矢状态可以容纳自旋相反的2个电子，则在k 空间单位面积中的 （价）电子状态数是：
(2) 二维简单格子Brillouin区和近自由电子近似下费米面的构造
简单立方倒格子
对最近邻倒格点 作垂直平分线
1st BZ
2nd BZ、3rd BZ
1st ~4th BZ
自由电子近似下FS 为球面（二维时为圆）
第一能带
第二能带
第三能带 近自由电子近似下FS在BZ边 界发生变化
第四能带
(3) 二维简单格子自由电子和近自由电子费米面的比较
kF
电子浓度η 1 2
k1
3
2
4 5 6
kF/k1
0.798
1.128
1.382
1.596
1.784
1.954
=1
kF
2π a 2
b1
=3
b1 b2 6 π b1 kF ， kF a 2 2
=5
10 π b1 b2 kF ， k F b1 a 2
1 E k // , k //
1 E k k
既然在布里渊区边界上恒有 E / k 0, 所以可推知，对于 波矢k落在布里渊区边界上的电子，其垂直于界面的速度分 量为零， 0 。这一结论是布拉格反射的必然结果。因
为在垂直于布里渊区边界的方向上，入射分波和反射分波
布里渊区的选取分析
电子科技大学光电信息学院课程设计论文课程名称固体与半导体物理题目名称布里渊区的选取学号2905301014 2905301015 2905301016姓名李雄风寿晓峰陈光楠指导老师刘爽起止时间2011.10.1-2011.10.152011年10月1日布里渊区的选取摘要本文着重介绍了布里渊区的选取。
首先，本文给出了倒格子和布里渊区的相关概念；随后，本文以一维的简单格子、二维的有心长方格子、三维的面心立方格子和体心立方格子为例，详细说明了布里渊区的选取过程；最后，本文介绍了制作面心立方格子和体心立方格子的第一布里渊区的实物模型的方法（附上实物模型）。
一、相关概念介绍1.1倒格子假设晶格原胞基失为a 1⃑⃑⃑ 、a 2⃑⃑⃑⃑ 和a 3⃑⃑⃑⃑ ，则对应的倒格子原胞基失为b 1⃑⃑⃑⃑ 、b 2⃑⃑⃑⃑ 和b 3⃑⃑⃑⃑ ，它们满足如下关系：{ b 1⃑⃑⃑⃑ =2πΩ(a 2⃑⃑⃑⃑ ×a 3⃑⃑⃑⃑ )b 2⃑⃑⃑⃑ =2πΩ(a 3⃑⃑⃑⃑ ×a 1⃑⃑⃑ )b 3⃑⃑⃑⃑ =2πΩ(a 1⃑⃑⃑×a 2⃑⃑⃑⃑ ) 其中Ω=a 1⃑⃑⃑ ∙(a 2⃑⃑⃑⃑ ×a 3⃑⃑⃑⃑ )为原胞体积。
b 1⃑⃑⃑⃑ 、b 2⃑⃑⃑⃑ 和b 3⃑⃑⃑⃑ 是不共面的，因而由b 1⃑⃑⃑⃑ 、b 2⃑⃑⃑⃑ 和b 3⃑⃑⃑⃑ 也可以构成一个新的点阵，我们称之为倒格子。
倒格子原胞基失也可以通过下式来定义（在处理一维和二维问题时我们将用到它）：b i ⃑⃑⃑ ∙a j ⃑⃑⃑ =2πδij ={2π 当i =j 0 当i ≠ji,j =1,2,3 倒格子的一个基矢是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，而它的大小则为该晶面族面间距倒数的2π倍。
倒格子是描述晶体结构周期性的另一种类型的格子，它是在波矢空间的数学表示，它的一个基矢对应于正格子中的一族晶面，因此可将晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。
布里渊区
b1(h1 1, h2 1), b2(h1 1, h2 1)
通过这四个倒个是的中点，即
1 2
b1
1 2
b2
a
i
a
j
分别作四个垂直平分面，即可得到第二布里渊区的边界。
照此可以画出第二布区、第三布区等。如右图所示。 可以看出，布区的序号越大，分离的区域越多；但不论分离的区域数
目是多少，各布区的面积是相等的。
2、布里渊区
在图2.4所示的倒格子中，画出所有的倒格矢的垂直平分面， 可以得到倒格子的维格纳—赛茨（Wigner-Seitz）原胞，因为
W-S 原胞可以充分反映倒格子的宏观对称性，在固体物理学中 常采用W-S 原胞，而不是倒矢量 b为1,b边2,矢b3 量围成的平行六
面体作为倒格子的周期性结构单元。
倒格子的原胞基矢为
b1
2
a
i
b2
2
a
j
离原点最近的的倒格点有四个:
b1 , -b1 , b2 , - b2 它们的垂直平分线围成的区域 就是简约布里渊区,即第一布里渊 区.显然,第一布里渊区是一个正 方形,面积为 S*=(2π)2/a2 .
二维方格子布里渊区
可以看出，倒格子点阵也是正方点阵，点阵常数为 2
（2.4.1）
（2.4.2）
2、电荷密度的傅立叶展开（Fourier series of charge density）
在理想晶体中，电荷密度和晶格一样具有平移周期性， 也就是说，平移任意格矢的长度，电荷密度不变，即
n(r ) n(r Rl )
（2.4.3）
这种平移对称性，使得电荷密度可以倒格矢 Gh
可以展开为傅立叶级数
2
2
f (x) f0 p1 Cp cos( a
布里渊区的选取
电子科技大学光电信息学院课程设计论文课程名称固体与半导体物理题目名称布里渊区的选取学号********** ********** **********姓名李雄风寿晓峰陈光楠指导老师刘爽起止时间2011.10.1-2011.10.152011年10月1日布里渊区的选取摘要本文着重介绍了布里渊区的选取。
首先，本文给出了倒格子和布里渊区的相关概念；随后，本文以一维的简单格子、二维的有心长方格子、三维的面心立方格子和体心立方格子为例，详细说明了布里渊区的选取过程；最后，本文介绍了制作面心立方格子和体心立方格子的第一布里渊区的实物模型的方法（附上实物模型）。
一、相关概念介绍1.1倒格子假设晶格原胞基失为a 1⃑⃑⃑ 、a 2⃑⃑⃑⃑ 和a 3⃑⃑⃑⃑ ，则对应的倒格子原胞基失为b 1⃑⃑⃑⃑ 、b 2⃑⃑⃑⃑ 和b 3⃑⃑⃑⃑ ，它们满足如下关系：{ b 1⃑⃑⃑⃑ =2πΩ(a 2⃑⃑⃑⃑ ×a 3⃑⃑⃑⃑ )b 2⃑⃑⃑⃑ =2πΩ(a 3⃑⃑⃑⃑ ×a 1⃑⃑⃑ )b 3⃑⃑⃑⃑ =2πΩ(a 1⃑⃑⃑×a 2⃑⃑⃑⃑ ) 其中Ω=a 1⃑⃑⃑ ∙(a 2⃑⃑⃑⃑ ×a 3⃑⃑⃑⃑ )为原胞体积。
b 1⃑⃑⃑⃑ 、b 2⃑⃑⃑⃑ 和b 3⃑⃑⃑⃑ 是不共面的，因而由b 1⃑⃑⃑⃑ 、b 2⃑⃑⃑⃑ 和b 3⃑⃑⃑⃑ 也可以构成一个新的点阵，我们称之为倒格子。
倒格子原胞基失也可以通过下式来定义（在处理一维和二维问题时我们将用到它）：b i ⃑⃑⃑ ∙a j ⃑⃑⃑ =2πδij ={2π 当i =j 0 当i ≠ji,j =1,2,3 倒格子的一个基矢是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，而它的大小则为该晶面族面间距倒数的2π倍。
倒格子是描述晶体结构周期性的另一种类型的格子，它是在波矢空间的数学表示，它的一个基矢对应于正格子中的一族晶面，因此可将晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。
布里渊区的特殊k点采样问题研究
BZ
Am T i k = Am k;
Am k Am k =∑ a j m , n A j k
j
其中前两条是最重要的，其中 Nn 是符合 ∣R∣=C n 的格点数。而后面几个条件则表明 A m 具有体系全部对称性、周期性以及完备性。 注意到上面公式中的求和 m 从 1 开始，因此需要对 m=0 的情况进行单独定义。我们定 k =1 ，则函数 f k 的平均值为： 义 A0 f = / 2 3∫BZ f k d k= f 0 那么该如何得到 f 0 呢？注意方程（1），如果存在这样的特殊 k 点，使得满足： 0 =0 ; ∀ {m 0, m ∈ I } Am k 0 ，这样的 k 点被称为“平均值点”。但是普遍的讲，满足 那么立刻可以得到 f = f 0= f k 上述条件的 k 点并不存在。对这个问题的解决办法就是不用单个 k 点，而采用满足一定条件 的 k 点的集合 {k } ，利用这些 k 点上函数值的加权平均计算 f 0 。也即： ∞ k =0, m =1,⋯ , N ; ∑ i = 1 2 ∑ i A m
⇒ f = f 1 ∑ f m N
m =1 m m 1 q 1 R1 R2 R3/ q 1 /2 m
S m1 q
− 1 其中 S m1 q = 0
if R j= nq , j =1,2,3 n ∈ I otherwise
k 在布里渊区的平均值可以用 f 1 （在 与我们在 ChadiCohen 方法中看到的一样， f ChadiCohen 方法中是 f 0 ）。而且误差（方程右边第二项）可控，即可以通过增加 k 点密 度 q 的方法提高精度。这是因为 q 增大，根据上面所述 S m1 q 的取值可知，在 R j 更大 的时候仍能保证方程（2）成立。 但是根据方程（3）可得
常用结构的布里渊区
常用结构和布里渊区(参考书： C.J. Bradley, A.P. Cracknell, “The Mathematical Theory of Symmetry in Solids: Representation Theory for Point Groups and Space Groups”, Oxford, Clarendon Press, 1972)1. 简单立方: Cubic Primitive, c Γ , m3m (O h )正格子：（a,0,0），（0,a,0），（0,0,a ）， 正格体积 a 3倒格子： )0,0,1(2a π，)0,1,0(2a π，)1,0,0(2a π，倒格体积 338aπ 布里渊区： Fig. 3.13Γ=(0, 0, 0), X=(0, 1/2, 0), M=(1/2, 1/2, 0), R=(1/2, 1/2, 1/2) [注：以上各高对称点单位为： ),,(321b b b , 图上的i i b g=]2. 面心立方: Cubic Face-centred, c f Γ , m3m (O h )正格子：（0,a/2,a/2），（a/2,0,a/2），（a/2,a/2,0）， 正格体积 a 3/4即： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=)(2)(2)(2321j i a a i k a a k j a a（下同）倒格子： )1,1,1(2-a π，)1,1,1(2-a π，)1,1,1(2-a π，倒格体积 3332aπ 即： ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=+-=++-=)(2)(2)(2321k j i a b k j i a b k j i a bπππ （下同） 布里渊区：Fig. 3.14Γ=(0, 0, 0), X=(1/2, 0, 1/2), L=(1/2, 1/2, 1/2), W=(1/2, 1/4, 3/4),K=U=(3/8, 3/8, 3/4)3. 体心立方: Cubic Body-centred, c v Γ , m3m (O h )正格子：)1,1,1(2-a ，)1,1,1(2-a , )1,1,1(2-a , 正格体积 a 3/2 倒格子： )1,1,0(2a π，)1,0,1(2a π，)0,1,1(2a π，倒格体积 3316a π 布里渊区：Fig. 3.15Γ=(0,0,0), H=(1/2,－1/2, 1/2), P=(1/4, 1/4, 1/4), N=(0, 0, 1/2)4. 简单六角: Hexagonal primitive, h Γ , 6/mmm (D 6h )正格子： )0,,0(a -，)0,21,23(a a ，),0,0(c ， 正格体积 c a 223 即： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-=k c a j a i a a j a a3212123 原胞图：？重要！： 倒格子： )0,1,31(2-a π，)0,0,32(2a π，)1,0,0(2c π，倒格体积 ca 23316π 布里渊区： Fig.3.12Γ=(0, 0, 0), M=(0, 1/2, 0), A=(0, 0, 1/2), L=(0, 1/2, 1/2),K=(－1/3, 2/3, 0), H=(－1/3, 2/3, 1/2)5. 简单四角: Tetragonal primitive, q Γ, 4/mmm (D 4h )正格子： (a, 0, 0)，（0, a, 0），（0, 0, c ）， 正格体积 a 2c倒格子： )0,0,1(2a π，)0,1,0(2a π，)1,0,0(2c π，倒格体积 ca 238π 布里渊区： Fig. 3.9Γ=(0, 0, 0), M=(1/2, 1/2, 0), Z=(0, 0, 1/2), A=(1/2, 1/2, 1/2),R=(0, 1/2, 1/2), X=(0, 1/2, 0)6. 简单正交: Orthorhombic primitive, o Γ, mmm (D 2h )正格子： (0,-b, 0)，（a,0, 0），（0, 0, c ）， 正格体积 abc倒格子： )0,1,0(2-b π，)0,0,1(2a π，)1,0,0(2c π，倒格体积 abc38π 布里渊区： Fig. 3.5Γ =(0, 0, 0), Y=(－1/2, 0, 0), X=(0, 1/2, 0), Z=(0, 0, 1/2),U=(0, 1/2, 1/2), T=(－1/2, 0, 1/2), S=(－1/2, 1/2, 0), R=(－1/2, 1/2, 1/2)通常大家遇到的就是以上这些。
《固体物理·黄昆》第五章(2)
p xf r
x
p yf r
y
p zf r
z
在简单立方晶体中，三个p轨道各自形成一个能 带，其波函数是各自原子轨道的线性组合
kp C e i k R p r R
紧束缚近似中，能带中电子波函数可写成布洛赫函数和 1 i k R i k (k , r ) e i ( r Rn ) N n
n
1 ik R n 对于任何能带 nk ( k , r ) e W n ( r Rn ) N n
1. 紧束缚近似中，如果近似忽略原子波函数的 交叠，瓦尼尔函数就是孤立原子的波函数。
a m J ( Rn Rm ) ( E i )a n
m
— 周期性势场减去原子的势场，仍为负值
a m J ( Rn Rm ) ( E i )a n
am只由 ( Rn Rm ) 来决定
m
E i J ( Rs )e
ik xa
e
ik xa
e
ik y a
e
ik ya
eikza e ikza
s J 0 2 J 1 cos k x a cos k y a cos k z a
s J 0 2 J 1 cos k x a cos k y a cos k z a
在简单立方晶格的简约区中 点： k ＝(0, 0, 0)
E s J 0 6 J1
X点： k ＝(/a, 0, 0)
kz R
E X s J 0 2 J1
浅谈布里渊区的结构和性质概要
本科毕业论文题 目 浅谈布里渊区的结构及性质学生姓名 王 丁专业名称 物理学指导教师 杨志怀2015年4月28日教学单位 物理与光电技术学院学生学号 201191014104编 号 WL2015WLX104浅谈布里渊区的结构及性质摘要：能带理论是目前固体电子理论的最重要的理论，而布里渊区的引入是对于能量学习的重要补充，其在半导体，激光，超导等现代科学研究方面取得了重大突破。
只有将理论转化为生产力，才能带动整个现代信息科学技术群的迅速发展。
通过查阅相关的书籍，对比整理，使得对布里渊区的认识达到新的面貌，形成系统的框架。
从而实现对能带理论更加清晰的高度，为材料研制和工程技术提供更加可靠的理论指引。
关键字:晶格；布里渊区；能带。
Discussion on the structure and properties of Brillouin zone Abstract: Brillouin zone as the basic content and the research of the physics of solids lattice can bring important knowledge points. Band theory is the most important theory of the solid electronic theory, and the brillouin zone were introduced for energy learning important supplement, its in the semiconductor, the laser, superconductor, achieved a major breakthrough in modern scientific research. Only convert theory into productivity, can drive the rapid development of modern information science and technology group. Through access to books,contrast, to achieve a new understanding of the brillouin area, form a system framework. So as to realize more clear height of band theory, for research and engineering technology materials provide more reliable theoretical guidance.Keywords: Lattice ；Brillouin zone ；Energy band.目录一论文正文1 晶格性质及布里渊区 (1)1.1 晶格及分类 (1)1.2 一维单原子链 (1)1.3 一维双原子链 (3)2 布里渊区 (4)2.1 布里渊区 (4)2.2 布里渊区的界面方程 (4)2.3 布里渊区的图像 (4)2.3.1 简单立方格子 (5)2.3.2 体心立方 (5)2.3.3 面心立方体 (6)3 布里渊区与能带 (6)3.1 能带的性质 (6)3.2 能带的表示 (7)3.2.1 简约布里渊区图式 (7)3.2.2 周期图示 (8)3.2.3 扩展布里渊区图示 (8)3.3 三维晶格的能带与布里渊区 (9)3.3.1 能带的周期性 (9)3.3.2 能带的对称性 (9)3.3.3 能带的宏观对称性及与布里渊区的联系 (9)4 总结 (10)4.1 布里渊区的基本特征 (10)4.2 布里渊区的重要性 (10)参考文献 (11)谢辞 (12)二附录1 开题报告 (13)2 结题报告 (14)3 答辩报告 (15)1 晶格性质及布里渊区1.1 晶格[1]及分类晶体内部原子是有规律排列的。