导数在经济学的应用

第七节 导数在经济学中的应用
本节讨论导数概念在经济学中的两个应用——边际分析和弹性分析.
内容分布图示
★ 引言 ★ 边际函数
★ 边际成本 ★ 例1
★ 边际收入与边际利润
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 函数的弹性
★ 需求弹性 ★ 例5
★ 用需求弹性分析总收益的变化 ★ 例6
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题3-7 ★ 返回
内容要点：
一、边际分析
在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量y 对于另一个经济变量x 的变化. 平均概念表示在x 在某一范围内取值y 的变化. 边际概念表示当x 的改变量x ∆趋于0时，y 的相应改变量y ∆与x ∆的比值的变化，即当x 在某一给定值附近有微小变化时，y 的瞬时变化.
边际函数： 根据导数的定义, 导数)(0x f '表示)(x f 在点0x x =处的变化率, 在经济学中, 称其为)(x f 在点0x x =处的边际函数值.
边际成本：成本函数)(x C C =(x 是产量)的导数)(x C '称为边际成本函数.
边际收入与边际利润：在估计产品销售量x 时, 给产品所定的价格)(x P 称为价格函数, 可以期望)(x P 应是x 的递减函数. 于是，
收入函数 )()(x xP x R =
利润函数 )()()(x C x R x L -=()(x C 是成本函数)
收入函数的导数)(x R '称为边际收入函数; 利润函数的导数)(x L '称为边际利润函数.
二、 函数弹性
函数弹性的概念：在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率, 经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况, 为此引入下面定义.
定义1 设函数)(x f y =可导, 函数的相对改变量
)
()()(x f x f x x f y y -∆+=∆ 与自变量的相对改变量
x x ∆之比x
x y y //∆∆, 称为函数)(x f 从x 到x x ∆+两点间的弹性(或相对变化率). 而极限 x x y y x //lim
0∆∆→∆ 称为函数)(x f 在点x 的弹性(或相对变化率), 记为
.lim //lim 00y
x y y x x y x x y y Ex Ey x x '=⋅∆∆=∆∆=→∆→∆ 注: 函数)(x f 在点x 的弹性
Ex
Ey 反映随x 的变化)(x f 变化幅度的大小,即)(x f 对x 变化反应的强烈程度或灵敏度. 数值上, )(x f Ex
E 表示)(x f 在点x 处,当x 产生1%的改变时, 函数)(x f 近似地改变)(x f Ex E %, 在应用问题中解释弹性的具体意义时, 通常略去“近似”二字.
需求弹性：设需求函数)(P f Q =, 这里P 表示产品的价格. 于是, 可具体定义该产品在价格为P 时的需求弹性如下:
)
()(lim //lim
)(00P f P f P Q P P Q P P Q Q P P P '⋅=⋅∆∆=∆∆==→∆→∆ηη 当P ∆很小时, 有 P
Q P f P P f P f P ∆∆⋅≈'⋅=)()()(η, 故需求弹性η近似地表示在价格为P 时, 价格变动1%, 需求量将变化%η, 通常也略去“近似”二字.
注: 一般地, 需求函数是单调减少函数, 需求量随价格的提高而减少(当0>∆P 时, 0<∆Q ), 故需求弹性一般是负值, 它反映产品需求量对价格变动反应的强烈程度(灵敏度). 用需求弹性分析总收益的变化：总收益R 是商品价格P 与销售量Q 的乘积, 即
),(P f P Q P R ⋅=⋅=
由 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
'+='+=')()(1)()()(P f P P f P f P f P P f R ),1)((η+=P f
知：
(1) 若1||<η, 需求变动的幅度小于价格变动的幅度.,0>'R R 递增. 即价格上涨, 总收益增加; 价格下跌, 总收益减少.
(2) 若1||>η, 需求变动的幅度大于价格变动的幅度.0<'R , R 递减. 即价格上涨, 总收益减少; 价格下跌, 总收益增加.
(3) 若1||=η, 需求变动的幅度等于价格变动的幅度.0='R , R 取得最大值.
综上所述, 总收益的变化受需求弹性的制约, 随商品需求弹性的变化而变化,
例题选讲：
边际分析
例1（讲义例1）设每月产量为x 吨时, 总成本函数为
490084
1)(2++=x x x C (元)， 求最低平均成本和相应产量的边际成本.
例2（讲义例2）设某种产品的需求函数为P x 1001000-=, 求当需求量300=x 时的总收入, 平均收入和边际收入.
例3（讲义例3）设某产品的需求函数为x P 1.080-=(P 是价格, x 是需求量), 成本函数为x C 205000+=(元).
(1) 试求边际利润函数)(x L ', 并分别求150=x 和400=x 时的边际利润.
(2) 求需求量x 为多少时, 其利润最大?
例4（讲义例4）设某厂在一个计算期内产品的产量x 与其成本C 的关系为
32000001.0003.061000)(x x x x C C +-+==(元),
根据市场调研得知, 每单位该种产品的价格为6元, 且全部能够销售出, 试求使利润最大的产量.
函数弹性
例5（讲义例5）设某种商品的需求量x 与价格P 的关系为
.411600)(P
P Q ⎪⎭
⎫ ⎝⎛= (1) 求需求弹性)(P η;
(2) 当商品的价格10=P (元)时, 再增加1%, 求该商品需求量变化情况.
例6（讲义例6）某商品的需求函数为275P Q -=(Q 为需求量, P 为价格).
(1) 求4=P 时的边际需求, 并说明其经济意义.
(2) 求4=P 时的需求弹性, 并说明其经济意义.
(3) 当4=P 时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?
(4) 当6=P 时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?
例7（讲义例7）糖果厂每周的销售量为Q 千袋, 每袋价格为2元, 总成本函数为
10001300100)(2++=Q Q Q C (元), 试求:
(1) 不盈不亏时的销售量; (2)可取得利润的销售量;
(3) 取得最大利润的销售量和最大利润;
(4) 平均成本最小时的产量.
例8（讲义例8）一玩具经售商以下列成本及收益函数销售某种产品:
60000,001.02.7)(6000
0,0002.04.2)(22≤≤-=≤≤-=x x x x R x x x x C
试问何时利润随产量增加(即增加产量可使利润增加)?
例9 某企业的成本函数为50005.0+=x C ，其中C 的单位为元，而x 为上生产数量. 试求10000,1000=x 及100000时的单位平均成本, 当x 趋近于无穷大时单位平均成本的极限为何?
课堂练习
1.设某产品的成本函数和价格函数分别为
,100
50)(,100053800)(2x x P x x x C -=-+= 决定产品的生产量x , 以使利润达到最大.
2.设商品需求函数为,2/12)(P P f Q -==
(1) 求需求弹性函数;
(2) 求6=P 时的需求弹性;
(3) 在6=P 时, 若价格上涨1%, 总收益增加还是减少? 将变化百分之几?
(4) P 为何值时, 总收益最大? 最大的总收益是多少?。