导数在经济学的应用

第七节 导数在经济学中的应用

本节讨论导数概念在经济学中的两个应用——边际分析和弹性分析.

内容分布图示

★ 引言 ★ 边际函数

★ 边际成本 ★ 例1

★ 边际收入与边际利润

★ 例2 ★ 例3 ★ 例4

★ 函数的弹性

★ 需求弹性 ★ 例5

★ 用需求弹性分析总收益的变化 ★ 例6

★ 例7 ★ 例8 ★ 例9

★ 内容小结 ★ 课堂练习

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内容要点：

一、边际分析

在经济学中，习惯上用平均和边际这两个概念来描述一个经济变量y 对于另一个经济变量x 的变化. 平均概念表示在x 在某一范围内取值y 的变化. 边际概念表示当x 的改变量x ∆趋于0时，y 的相应改变量y ∆与x ∆的比值的变化，即当x 在某一给定值附近有微小变化时，y 的瞬时变化.

边际函数： 根据导数的定义, 导数)(0x f '表示)(x f 在点0x x =处的变化率, 在经济学中, 称其为)(x f 在点0x x =处的边际函数值.

边际成本：成本函数)(x C C =(x 是产量)的导数)(x C '称为边际成本函数.

边际收入与边际利润：在估计产品销售量x 时, 给产品所定的价格)(x P 称为价格函数, 可以期望)(x P 应是x 的递减函数. 于是，

收入函数 )()(x xP x R =

利润函数 )()()(x C x R x L -=()(x C 是成本函数)

收入函数的导数)(x R '称为边际收入函数; 利润函数的导数)(x L '称为边际利润函数.

二、 函数弹性

函数弹性的概念：在边际分析中所研究的是函数的绝对改变量与绝对变化率, 经济学中常需研究一个变量对另一个变量的相对变化情况, 为此引入下面定义.

定义1 设函数)(x f y =可导, 函数的相对改变量

)

()()(x f x f x x f y y -∆+=∆ 与自变量的相对改变量

x x ∆之比x

x y y //∆∆, 称为函数)(x f 从x 到x x ∆+两点间的弹性(或相对变化率). 而极限 x x y y x //lim

0∆∆→∆ 称为函数)(x f 在点x 的弹性(或相对变化率), 记为

.lim //lim 00y

x y y x x y x x y y Ex Ey x x '=⋅∆∆=∆∆=→∆→∆ 注: 函数)(x f 在点x 的弹性

Ex

Ey 反映随x 的变化)(x f 变化幅度的大小,即)(x f 对x 变化反应的强烈程度或灵敏度. 数值上, )(x f Ex

E 表示)(x f 在点x 处,当x 产生1%的改变时, 函数)(x f 近似地改变)(x f Ex E %, 在应用问题中解释弹性的具体意义时, 通常略去“近似”二字.

需求弹性：设需求函数)(P f Q =, 这里P 表示产品的价格. 于是, 可具体定义该产品在价格为P 时的需求弹性如下:

)

()(lim //lim

)(00P f P f P Q P P Q P P Q Q P P P '⋅=⋅∆∆=∆∆==→∆→∆ηη 当P ∆很小时, 有 P

Q P f P P f P f P ∆∆⋅≈'⋅=)()()(η, 故需求弹性η近似地表示在价格为P 时, 价格变动1%, 需求量将变化%η, 通常也略去“近似”二字.

注: 一般地, 需求函数是单调减少函数, 需求量随价格的提高而减少(当0>∆P 时, 0<∆Q ), 故需求弹性一般是负值, 它反映产品需求量对价格变动反应的强烈程度(灵敏度). 用需求弹性分析总收益的变化：总收益R 是商品价格P 与销售量Q 的乘积, 即

),(P f P Q P R ⋅=⋅=

由 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛

'+='+=')()(1)()()(P f P P f P f P f P P f R ),1)((η+=P f

知：

(1) 若1||<η, 需求变动的幅度小于价格变动的幅度.,0>'R R 递增. 即价格上涨, 总收益增加; 价格下跌, 总收益减少.

(2) 若1||>η, 需求变动的幅度大于价格变动的幅度.0<'R , R 递减. 即价格上涨, 总收益减少; 价格下跌, 总收益增加.

(3) 若1||=η, 需求变动的幅度等于价格变动的幅度.0='R , R 取得最大值.

综上所述, 总收益的变化受需求弹性的制约, 随商品需求弹性的变化而变化,

例题选讲：

边际分析

例1（讲义例1）设每月产量为x 吨时, 总成本函数为

490084

1)(2++=x x x C (元)， 求最低平均成本和相应产量的边际成本.

例2（讲义例2）设某种产品的需求函数为P x 1001000-=, 求当需求量300=x 时的总收入, 平均收入和边际收入.

例3（讲义例3）设某产品的需求函数为x P 1.080-=(P 是价格, x 是需求量), 成本函数为x C 205000+=(元).

(1) 试求边际利润函数)(x L ', 并分别求150=x 和400=x 时的边际利润.

(2) 求需求量x 为多少时, 其利润最大?

例4（讲义例4）设某厂在一个计算期内产品的产量x 与其成本C 的关系为

32000001.0003.061000)(x x x x C C +-+==(元),

根据市场调研得知, 每单位该种产品的价格为6元, 且全部能够销售出, 试求使利润最大的产量.

函数弹性

例5（讲义例5）设某种商品的需求量x 与价格P 的关系为

.411600)(P

P Q ⎪⎭

⎫ ⎝⎛= (1) 求需求弹性)(P η;

(2) 当商品的价格10=P (元)时, 再增加1%, 求该商品需求量变化情况.

例6（讲义例6）某商品的需求函数为275P Q -=(Q 为需求量, P 为价格).

(1) 求4=P 时的边际需求, 并说明其经济意义.

(2) 求4=P 时的需求弹性, 并说明其经济意义.

(3) 当4=P 时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?

(4) 当6=P 时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少?

例7（讲义例7）糖果厂每周的销售量为Q 千袋, 每袋价格为2元, 总成本函数为