离散数学抽象代数优秀课件

第7章 抽象代数
本章内容提要：
重点：
1. 抽象代数概述
代数结构的判定与构造
代数结构关系：同态、同构
2. 代数结构及其性质 特殊关系：同余关系
3. 同态与同构
7.1 抽象代数概述
抽象代数的创始人是两位英年早逝的青 年数学家，阿贝尔与伽罗瓦。阿贝尔, 是挪威 青年数学家, 乡村牧师之子, 幼年丧父, 家贫。 多独创性成果, 但大都未受重视, 贫病而逝。 去逝后3天, 柏林大学寄来教授聘书, 让后人 叹息！后人曾评价说：“他工作不是为自己， 而是为他热爱的科学”。2001，在阿贝尔诞生 200周年之际，挪威王国政府宣布，设立面向 国际的“阿贝尔数学奖”。
3
9
7
1
1
3
9
7
3
3
9
7
1
9
9
7
1
3
7
7
1
3
9
B={0,1,2,3},B上模4加法+运算表如下
+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
A上乘法*的结果在A中， B上加法+的结果在B中
7.2 代数结构及其性质
7.2.1 代数运算
例7.1
(3)设Mn(R)是全体n×n实矩阵的集合, 考虑Mn(R) 中普通的矩阵乘法*, 则对于任意两个n×n实 矩阵A、B, 根据矩阵乘法法则可得到Mn(R)中 惟一的一个n×n实矩阵C作为A乘B的结果。我 们记C=A*B。
根据上述定义，可以看到，如果这个法则 是S的一个代数运算，则该法则其实就是S上的 一个映射(或函数)：Sn→S, n称为这个运算的 阶。对于集合S的一个n元运算f, 若(a1,a2,…, an)∈Sn在f下的像是c, 即f(a1,a2, …,an)→c, 则记为c=f(a1, a2, …, an)。
∪
φ
{a} {b} {c} {a,b} {a,c} {b,c} {a,b,c}
φ
φ
{a} {b} {c} {a,b} {a,c} {b,c} {a,b,c}
{a}
{a} {a} {a,b} {a,c} {a,b} {a,c} {a,b,c} {a,b,c}
{b}
{b} {a,b} {b} {b,c} {a,b} {a,b,c} {b,c} {a,b,c}
{c}
{c} {a,c} {b,c} {c} {a,b,c} {a,c} {b,c} {a,b,c}
{a,b} {a,c} {b,c}
{a,b} {a,b} {a,b} {a,b,c} {a,b} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,c} {a,c} {a,b,c} {a,c} {a,b,c} {a,c} {a,b,c} {a,b,c} {b,c} {a,b,c} {b,c} {b,c} {a,b,c} {a,b,c} {b,c} {a,b,c}
7.2 代数结构及其性质
上述示例中, 虽然是对不同集合给 出的不同运算, 但它们都具有这样一个 共同的特点：它们都是某个给定的集合 S(S分别为上述二例中的P(A)和Mn(R))中 的任意一个或一对有序取出的元素, 根 据这个法则可在S中找到惟一的一个元素 与之对应。由此, 我们可以抽象出在一 个集合上的二元代数运算的概念。
{a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c}
在P(A)上并∪运算的结果均在P(A)中
7.2 代数结构及其性质
7.2.1 代数运算
例7.1 (2) A={1,3,9,7},A上模10乘法*运算表如下
*
1
Niels Abel
A statue of Abel in Oslo
7.1 抽象代数概述
伽罗瓦, 是法国青年数学家, 其父亲是自由主义 思想家, 母亲亦受了良好教育, 中学时就对数学产生 强烈兴趣, 他两次投考巴黎综合技术学院而未被录取， 后进入巴黎高师学习, 提出“群”的概念。但其论文 未被数学家柯西、泊松等接受。跟大多数数学家不问 政治不同，伽罗瓦是一个非常激进的革命者，后因政 治原因入狱。最后与人决斗受伤而去逝。在其决斗前 几天, 写下了其主要研究成果, 直到40年后, 其成果 才被世人所接受。后有著名数学家评价说：“伽罗瓦 的去逝使数学的发展推迟了几十年”。从伽罗瓦的工 作以后，代数学结束了解方程的历史，进入研究新的 数学对象——群、环、域的抽象代数的发展阶段。
Evariste Galois
A drawing done in 1848 from memory by Evariste's brother. This is taken from a French stamp
பைடு நூலகம் 7.2 代数结构及其性质
7.2.1 代数运算 例7.1 (1)设A={a,b,c}是一个非空集合, P(A)={φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c} ,{a,b,c}}
抽象代数对计算机科学的发展有着重大的理 论和实践意义, 如在程序理论、语义学、数据结 构和编码理论, 以及逻辑电路设计的研究, 此外， 抽象代数还被广泛用于物理学、生物学以及社会 科学中。本章将探讨代数结构的数学描述以及一 般代数结构的基本性质。后续两章将深入讨论群、 布尔代数等典型的代数结构及其应用。
7.2 代数结构及其性质
定义7.1 设S是一个非空集合。如果有一 个法则, 它对S中任意两个有序元素a与b, 在S中都有一个惟一确定的元素c与它们 对应, 则称这个法则是集合S中一个二元 代数运算。
7.2 代数结构及其性质
一般地,容易得到n元运算的定义：
设S是一个非空集合。如果有一个法则,它 对S中任意n个有序元素a1, a2, …, an, 在S中 都有一个惟一确定的元素d与它们对应, 则称这 个法则是集合S中一个n元代数运算。
离散数学抽象代数
本部分所要探讨的数学结 构是由集合上定义若干运 算而组成的系统——称为 代数系统(代数结构)。
抽象代数
主要内容
✓ 第7章 ✓ 第8章 ✓ 第9章
抽象代数 群 布尔代数
第7章 抽象代数
相对古典代数而言, 抽象代数也称为近世代 数(Modern Algebra), 由于其研究对象是由对象 集合及运算组成的数学结构，即代数结构, 因此, 抽象代数也被称为代数结构或代数系统。