离散数学抽象代数优秀课件
合集下载
离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
离散数学PPT教学代数系统
在许多实际问题的研究中都离不开数学模型，而构造 数学模型就要用到某种数学结构，而抽象世代数研究 的中心问题就是一种很重要的数学结构--代数系统： 半群、群、格与布尔代数等等。计算科学的研究也离 不开抽象代数的应用：半群理论在自动机理论和形式 语言中发挥了重要作用；有限域理论是编码理论的数 学基础，在通讯中起过重要的作用；至于格和布尔代 数则更不用说了，是电子线路设计、电子计算机硬件 设计和通讯系统设的重要工具。另外描述机器可计算 的函数、研究算术计算的复杂性、刻画抽象数据结构、 描述作为程序设计基础的形式语义学，都需要抽象代 数知识。
试证：*，△满足吸收律
证明：x，y∈N，
x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x x≥y =x
∴*满足吸收律
x x<y
x△（x*y）=min{x，max{x，y}}=x x≥y =x
∴△满足吸收律
x x<y
12
§7.2 运算及其性质
6.等幂律 已知〈A，*〉，若x∈A，x*x=x 则称*
抽象代数学的主要内容是研究各种各样的代数系统。 它把一些形式上很不相同的代数系统，用统一的方法 描述、研究和推理，从而得到反映出它们共性的一些 本质的结论，然后再把这些结论应用到具体的代数系 统中。
3
抽象代数学在计算机中的应用
抽象代数的概念和方法也是研究计算科学的重要数学 工具。有经验和成熟的计算科学家都知道，除了数理 逻辑处，对计算科学最有用的数学分支学就是代数， 特别是抽象代数。抽象代数是关于运算的学问，是关 于计算规则的学问。
∴当且仅当x与k互质时，x有逆元
20
三、 逆元
2、逆元的性质
Th3: 对于可结合运算ο ，如果元素X有 左逆
元ｌ，
试证：*，△满足吸收律
证明：x，y∈N，
x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x x≥y =x
∴*满足吸收律
x x<y
x△（x*y）=min{x，max{x，y}}=x x≥y =x
∴△满足吸收律
x x<y
12
§7.2 运算及其性质
6.等幂律 已知〈A，*〉，若x∈A，x*x=x 则称*
抽象代数学的主要内容是研究各种各样的代数系统。 它把一些形式上很不相同的代数系统，用统一的方法 描述、研究和推理，从而得到反映出它们共性的一些 本质的结论，然后再把这些结论应用到具体的代数系 统中。
3
抽象代数学在计算机中的应用
抽象代数的概念和方法也是研究计算科学的重要数学 工具。有经验和成熟的计算科学家都知道，除了数理 逻辑处，对计算科学最有用的数学分支学就是代数， 特别是抽象代数。抽象代数是关于运算的学问，是关 于计算规则的学问。
∴当且仅当x与k互质时，x有逆元
20
三、 逆元
2、逆元的性质
Th3: 对于可结合运算ο ，如果元素X有 左逆
元ｌ，
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散数学 代数系统 ppt课件
1
33 0 1 2 8
代数系统举例
设A={1，2，3，4，6，12} A上的运算*定义为：a*b=|a-b| （1）写出二元运算的运算表； （2）<A,*>能构成代数系统吗？
9
解答
由运算表可知*运算在集合A上不封闭
所以： <A,*>不能构成代数系统
* 1 2 3 4 6 12
1 0 1 2 3 5 11
U=<I,+, > 证明：V=< m,+m, m >
满同态
g:I→Nm 对于所有的iI,有：
g(i)=(i)(modm)
32
证明
类型映射f定义为：f(+)=+m,f()=m (1)显然U=<I,+, >和V=< Nm,+m, m >同类型
(2)运算的象=象的运算
对任意的x,yI: g(x+y)=g(x) +m g(y) g(x y)=g(x) m g(y)
12
4、同类型的代数系统
V1=<S1，Ω1>:代数系统 类型映射 V2=<S2，Ω2>:代数系统 同元运算
存在一个双射函数f: Ω1 → Ω2 每一个ω∈Ω1和f(ω) ∈Ω2具有相同的阶 ωf V1和V2是同类型的代数系统
13
同类型的代数系统举例
V1=<Nm,+m , m > 和V2=<R,+, >是 同类型的代数系统吗？其中：
41
满同态举例（续）
(5)对“＋”存在e=0,则: 对“+3”存在e=g(0)=0; (6)对“”存在e=1,则: 对“3”存在e=g(1)=1; (7)对“”存在零元=0,则: 对“3”存在零元=g(0)=0;
精品课程《离散数学》PPT课件(全)
言1
为什么学习离散数学？
离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学与技术 的理论基础，所以又称为计算机数学，是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研 究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课？
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数： (3) 只有 a能被2整除， a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除， a才能被2整除。
解： 令r： a能被4整除， s： a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题，复合命题“p或q” 称为p与q的析取式，记作p ∨ q，符号∨称 为析取联结词。 运算规则：
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点：只有参与运算的二命题全为假时，运算结果才 为假，否则为真。 相容或：二者至少有一个发生，也可二者都发生 排斥或：二者只有一个发生，即非此即彼 例如： （1）小王爱打球或爱跑步。 设p：小王爱打球。 q：小王爱跑步。 则上述命题可符号化为：p ∨ q （2）张晓静是江西人或湖南人。 设p：江西人。 q：湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为：p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)
（1）星期天天气好，带儿子去了动物园； （2）星期天天气好，却没带儿子去动物园； （3）星期天天气不好，却带儿子去了动物园； （4）星期天天气不好，没带儿子去动物园。
离散数学代数结构部分演示精品PPT课件
例5.2 设Q是有理数集合，*是Q上的二元 运算，对任意的a，b∈Q，a*b＝a+ba·b，问运算*是否可交换。
解：因为 a*b＝a+b-a·b＝b+a-b·a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
7
5.1节 二元运算及其性质
➢定义5.1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算，简称为二元运算。
义两个二元运算*和★，对于任意 x，y∈N，有x*y＝max(x，y)， x★y＝min(x，y)，
验证运算*和★满足吸收律。
13
解：对于任意a，b∈N a*(a★b)＝max(a，min(a，b))＝a
a★(a*b)＝min(a，max(a，b))＝a 因此，*和★满足吸收律。
14
5.2节 二元运算中的特殊元素 1. 幺元 ➢定义5.7 设*是S上的二元运算，
23
2. 逆元 ➢定义5.9 设*是S上的二元运算，
24
例5.8 整数集Z上关于加法的幺元是0，对 任意的整数m，它关于加法的逆元是-m, 因为
25
➢定理5.5 设*是S上可结合的二元运算， e为幺元,如果S中元素x存在（关于运 算* ）的逆元， 则必是惟一的。
所以对于可结合的二元运算，逆元是惟一的。
15
➢在自然数集N上加法的幺元是0，乘法 的幺元是1. 对于给定的集合和运算有的存在幺 元，有的不存在幺元。
16
17
➢ 定理5.1 设*是S上的二元运算， 如果S中存在关于运算*的）幺元， 则必是唯一的。
所以幺元是唯一的。
18
➢定理5.2 设*是S上的二元运算，
如果S中既存在关于运算*的左幺元 el ，
2 封闭性 集合S中任意的两个元素运算的结果都是 属于S的，就是说S对该运算是封闭的
解：因为 a*b＝a+b-a·b＝b+a-b·a＝b*a， 所以运算*是可交换的。
7
5.1节 二元运算及其性质
➢定义5.1 设 S 为集合，函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算，简称为二元运算。
义两个二元运算*和★，对于任意 x，y∈N，有x*y＝max(x，y)， x★y＝min(x，y)，
验证运算*和★满足吸收律。
13
解：对于任意a，b∈N a*(a★b)＝max(a，min(a，b))＝a
a★(a*b)＝min(a，max(a，b))＝a 因此，*和★满足吸收律。
14
5.2节 二元运算中的特殊元素 1. 幺元 ➢定义5.7 设*是S上的二元运算，
23
2. 逆元 ➢定义5.9 设*是S上的二元运算，
24
例5.8 整数集Z上关于加法的幺元是0，对 任意的整数m，它关于加法的逆元是-m, 因为
25
➢定理5.5 设*是S上可结合的二元运算， e为幺元,如果S中元素x存在（关于运 算* ）的逆元， 则必是惟一的。
所以对于可结合的二元运算，逆元是惟一的。
15
➢在自然数集N上加法的幺元是0，乘法 的幺元是1. 对于给定的集合和运算有的存在幺 元，有的不存在幺元。
16
17
➢ 定理5.1 设*是S上的二元运算， 如果S中存在关于运算*的）幺元， 则必是唯一的。
所以幺元是唯一的。
18
➢定理5.2 设*是S上的二元运算，
如果S中既存在关于运算*的左幺元 el ，
2 封闭性 集合S中任意的两个元素运算的结果都是 属于S的，就是说S对该运算是封闭的
《离散数学》代数系统--代数系统的基本概念 ppt课件
解：(1) 封闭、可交换、等幂、幺元是b、无零元
b-1=b a-1=c c-1=a
(2) 封闭、不可交换、无等幂性、幺元是a、
无零元，d是左零元、
a-1=a b-1=b c-1=b b-1=c
23
P184
作业
(1)(2)
24
16
定理2：*是A上的二元运算，且在A中有关于*的左零元l和右零元 r，则l = r = ，且A中零元是唯一的。
证明：(1) r = l * r = l = (2) 设’也是A中关于*的零元，则 * ’= ’ 又∵ 是A中关于*的零元， ∴ * ’= ∴ = ’
定理3：设<A,*>是一个代数系统，且 | A |>1，若<A,*>中存在幺元e 和零元，则e ≠ 。 证明： 假设 = e ，则 对于A中任意元素，有x=e*x= *x= =e 即A中所有元素都是 ，也都是e，所有元素都相同， ∴ | A |=1 与已知矛盾，假设错 ∴e≠
例：代数系统<I,+>满足消去律。
11
代数系统的组成
N元运算法则
如＋、－
×………
特异元素
如×中的1和0
代数载体
(集合：如实数集、整数集)
代数系统
12
4. 代数常元
幺元
定义3：设*是集合A上的二元运算 若elA，对于xA ，都有el*x=x，则称el为A中 关于运算*的左幺元； 若erA，对于xA ，都有x*er=x，则称er为A中 关于运算*的右幺元； 若eA，对于xA ，都有e*x=x*e=x，则称e为A 中关于运算*的幺元。
15
零元
定义4：设*是集合A上的二元运算 若lA，对于xA ，都有l*x=l ，则称l为A中关于运 算*的左零元； 若rA，对于xA ，都有x*r=r ，则称r为A中关于 运算*的右零元； 若A，对于xA ，都有*x=x*=，则称为A中关于 运算*的零元。
离散数学PPT【共34张PPT】
15
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Evariste Galois
A drawing done in 1848 from memory by Evariste's brother. This is taken from a French stamp
7.2 代数结构及其性质
7.2.1 代数运算 例7.1 (1)设A={a,b,c}是一个非空集合, P(A)={φ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c} ,{a,b,c}}
Niels Abel
A statue of Abel in Oslo
7.1 抽象代数概述
伽罗瓦, 是法国青年数学家, 其父亲是自由主义 思想家, 母亲亦受了良好教育, 中学时就对数学产生 强烈兴趣, 他两次投考巴黎综合技术学院而未被录取， 后进入巴黎高师学习, 提出“群”的概念。但其论文 未被数学家柯西、泊松等接受。跟大多数数学家不问 政治不同，伽罗瓦是一个非常激进的革命者，后因政 治原因入狱。最后与人决斗受伤而去逝。在其决斗前 几天, 写下了其主要研究成果, 直到40年后, 其成果 才被世人所接受。后有著名数学家评价说：“伽罗瓦 的去逝使数学的发展推迟了几十年”。从伽罗瓦的工 作以后，代数学结束了解方程的历史，进入研究新的 数学对象——群、环、域的抽象代数的发展阶段。
{a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c}
在P(A)上并∪运算的结果均在P(A)中
7.2 代数结构及其性质
7.2.1 代数运算
例7.1 (2) A={1,3,9,7},A上模10乘法*运算表如下
*
1
∪
φ
{a} {b} {c} {a,b} {a,c} {b,c} {a,b,c}
φ
φ
{a} {b} {c} {a,b} {a,c} {b,c} {a,b,c}
{a}
{a} {a} {a,b} {a,c} {a,b} {a,c} {a,b,c} {a,b,c}
{b}
{b} {a,b} {b} {b,c} {a,b} {a,b,c} {b,c} {a,b,c}
3
9
7
1
1
3
9
7
3
3
9
7
1
9
9
7
1
3
7
7
1
3
9
B={0,1,2,3},B上模4加法+运算表如下
+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
A上乘法*的结果在A中， B上加法+的结果在B中
7.2 代数结构及其性质
7.2.1 代数运算
例7.1
(3)设Mn(R)是全体n×n实矩阵的集合, 考虑Mn(R) 中普通的矩阵乘法*, 则对于任意两个n×n实 矩阵A、B, 根据矩阵乘法法则可得到Mn(R)中 惟一的一个n×n实矩阵C作为A乘B的结果。我 们记C=A*B。
抽象代数对计算机科学的发展有着重大的理 论和实践意义, 如在程序理论、语义学、数据结 构和编码理论, 以及逻辑电路设计的研究, 此外， 抽象代数还被广泛用于物理学、生物学以及社会 科学中。本章将探讨代数结构的数学描述以及一 般代数结构的基本性质。后续两章将深入讨论群、 布尔代数等典型的代数结构及其应用。
7.2 代数结构及其性质
上述示例中, 虽然是对不同集合给 出的不同运算, 但它们都具有这样一个 共同的特点：它们都是某个给定的集合 S(S分别为上述二例中的P(A)和Mn(R))中 的任意一个或一对有序取出的元素, 根 据这个法则可在S中找到惟一的一个元素 与之对应。由此, 我们可以抽象出在一 个集合上的二元代数运算的概念。
第7章 抽象代数概述
代数结构的判定与构造
代数结构关系：同态、同构
2. 代数结构及其性质 特殊关系：同余关系
3. 同态与同构
7.1 抽象代数概述
抽象代数的创始人是两位英年早逝的青 年数学家，阿贝尔与伽罗瓦。阿贝尔, 是挪威 青年数学家, 乡村牧师之子, 幼年丧父, 家贫。 多独创性成果, 但大都未受重视, 贫病而逝。 去逝后3天, 柏林大学寄来教授聘书, 让后人 叹息！后人曾评价说：“他工作不是为自己， 而是为他热爱的科学”。2001，在阿贝尔诞生 200周年之际，挪威王国政府宣布，设立面向 国际的“阿贝尔数学奖”。
7.2 代数结构及其性质
定义7.1 设S是一个非空集合。如果有一 个法则, 它对S中任意两个有序元素a与b, 在S中都有一个惟一确定的元素c与它们 对应, 则称这个法则是集合S中一个二元 代数运算。
7.2 代数结构及其性质
一般地,容易得到n元运算的定义：
设S是一个非空集合。如果有一个法则,它 对S中任意n个有序元素a1, a2, …, an, 在S中 都有一个惟一确定的元素d与它们对应, 则称这 个法则是集合S中一个n元代数运算。
离散数学抽象代数
本部分所要探讨的数学结 构是由集合上定义若干运 算而组成的系统——称为 代数系统(代数结构)。
抽象代数
主要内容
✓ 第7章 ✓ 第8章 ✓ 第9章
抽象代数 群 布尔代数
第7章 抽象代数
相对古典代数而言, 抽象代数也称为近世代 数(Modern Algebra), 由于其研究对象是由对象 集合及运算组成的数学结构，即代数结构, 因此, 抽象代数也被称为代数结构或代数系统。
{c}
{c} {a,c} {b,c} {c} {a,b,c} {a,c} {b,c} {a,b,c}
{a,b} {a,c} {b,c}
{a,b} {a,b} {a,b} {a,b,c} {a,b} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,c} {a,c} {a,b,c} {a,c} {a,b,c} {a,c} {a,b,c} {a,b,c} {b,c} {a,b,c} {b,c} {b,c} {a,b,c} {a,b,c} {b,c} {a,b,c}
根据上述定义，可以看到，如果这个法则 是S的一个代数运算，则该法则其实就是S上的 一个映射(或函数)：Sn→S, n称为这个运算的 阶。对于集合S的一个n元运算f, 若(a1,a2,…, an)∈Sn在f下的像是c, 即f(a1,a2, …,an)→c, 则记为c=f(a1, a2, …, an)。