北京市西城区九年级数学学习探究诊断(下册)第二十七章相似
北京市西城区重点中学2015-2016学年度第一学期九年级数学第二十七章《相似》教材分析资料
北京市西城区重点中学2015-2016学年度第一学期九年级数学第二十七章《相似》教材分析一地位与作用从数学知识上,相似形的几何性质是全等形的几何性质的自然而然的延伸和拓展;相似作为图形的一种变换也是全等变换的拓广和发展,同时,相似也是学习锐角三角函数、投影与视图的基础.所以说相似在空间与几何的学习中起着承上启下的作用。
从学生的数学认知发展来看,学生通过对直线形的学习,已积累了对图形的丰富的感性认识、一定的逻辑推理论证能力和利用几何模型分析解决实际问题的能力,这为相似的学习提供了坚实的知识基础和能力基础;同时,从特殊的“全等”研究到一般的“相似”研究也符合学生从特殊到一般的认知规律,学生在探究学习全等时所积累的数学思想和方法可以顺理成章地迁移到相似的研究中,这可以进一步发展学生的探究能力,培养学生的逻辑思维能力,巩固和提高学生的逻辑推理证明的能力。
此外,相似被广泛应用于现实生活中(测物体的高度、测河宽,制作艺术字等)。
在物理中,学习力学、光学等,也都要用到相似的知识。
通过对相似的应用研究,可进一步的加强学生数学建模的意识,提高学生分析解决实际问题的能力,对于学生今后从事各种实际工作也有重要作用。
二课程学习目标1.了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段,了解黄金分割;2.通过具体实例认识图形的相似,探索相似图形的性质,理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方,探索并掌握相似三角形的判定定理,并能利用这些性质和判定定理解决生活中的一些实际问题;3.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小,在同一直角坐标系中,感受位似变换后点的坐标的变化;4.结合相似图形性质和判定方法的探索和证明,进一步培养学生的合情推理能力,发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力;通过这一章的教学,进一步培养学生综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力.三知识结构框图四教学重点、难点重点:相似多边形的有关性质以及相似三角形的判定是本章的重点内容;难点:相似三角形的判定定理的证明.四基:基础知识:比例线段及其性质,相似多边形的性质与判定,相似三角形的性质与判定,位似的定义及性质;基本技能:会用比例线段求线段长或列方程,会用相似多边形、相似三角形的性质与判定解决简单的实际问题,会画位似图形(含在坐标系中);基本思想:类比与对比思想、转化与化归思想、方程与函数思想、建模思想;基本实践活动:如制作地图,测物体的高度,测河宽,制作艺术字等.五课时安排本章教学时间约需13(+2)课时,具体分配如下(仅供参考):预备知识比例的概念和性质2课时27.1 图形的相似2课时27.2 相似三角形共7课时相似的判定4课时相似的性质2课时相似的应用1课时27.3 位似2课时数学活动小结2课时六教学建议1.借助本章教材内容的特点,培养学生阅读能力和自主学习的能力数学阅读能力是一种非常重要的数学学习能力,从中考试题的发展趋势来看,对学生阅读理解能力的要求逐渐提高;同时自主、主动地参与学习才能产生真正意义的学习。
【初三数学】北京市九年级数学下(人教版)第二十七章《相似》单元检测试题及答案
人教版九年级数学下册第二十七章 相似单元测试题一、选择题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)1.如图1,AD ∥BE ∥CF ,直线l 1,l 2与这三条平行线分别交于点A ,B ,C 和点D ,E ,F .已知AB =1,BC =3,DE =2,则EF 的长为( )图1A .4B .5C .6D .82.如图2,点D ,E 分别为△ABC 的边AB ,AC 的中点,则△ADE 的面积与四边形BCED 的面积的比为( )图2A .1∶2B .1∶3C .1∶4D .1∶13.如图3所示,P 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BP ,以下条件中不能判定△ABP ∽△ACB 的是( )图3A.AB AP =AC ABB.AC AB =BC BPC .∠ABP =∠CD .∠APB =∠ABC4.已知△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形,且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是1∶2,△ABC 的面积是3,则△A ′B ′C ′的面积是( )A .3B .6C .9D .125.如图4所示,在△ABC 中,若DE ∥BC ,EF ∥AB ,则下列比例式正确的是( )图4A.AD DB =DE BCB.BF BC =EF ADC.AE EC =BFFCD.EF AB =DE BC6.如图5所示,∠A =∠B =90°,AB =7,AD =2,BC =3,在边AB 上取一点P ,使得△P AD 与△PBC 相似,则这样的点P 共有( )图5A .1个B .2个C .3个D .4个7.若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比,则称这两个扇形相似.如图6,如果扇形OAB 与扇形O 1A 1B 1相似,且半径OA ∶O 1A 1=k (k 为不等于0的常数),连接AB ,A 1B 1.那么下面四个结论:①∠AOB =∠A 1O 1B 1;②△AOB ∽△A 1O 1B 1;③AB A 1B 1=k ;④扇形OAB与扇形O 1A 1B 1的面积之比为k 2.其中正确的有( )图6A .1个B .2个C .3个D .4个二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)8.若△ABC ∽△A ′B ′C ′,∠A =35°,∠C ′=85°,则∠B =________°,∠B ′=________°. 9.若两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm 和5 cm ,且较小三角形的周长为15 cm ,则较大三角形的周长为________cm.10.如图7,⊙O 的两条弦AB ,CD 相交于点P ,连接AC ,BD .若S △ACP ∶S △DBP =16∶9,则AC ∶BD =________.图711.如图8所示,小明用长为3 m的竹竿CD做测量工具,测量学校旗杆AB的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好在地面的同一点O,此时点O与竹竿的距离DO=6 m,竹竿与旗杆的距离DB=12 m,则旗杆AB的高为________ m.图812.将三角形纸片(△ABC)按图9所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4.若以点B′,F,C为顶点的三角形与△ABC相似,则BF的长是__________.图9三、解答题(本大题共4小题,共47分)13.(11分)如图10,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形,△ABC 的顶点都在格点上,建立如图所示的平面直角坐标系.(1)将△ABC向左平移7个单位长度后再向下平移3个单位长度,请画出经过两次平移后得到的△A1B1C1;(2)以原点O为位似中心,将△ABC缩小,使变换后得到的△A2B2C2与△ABC对应边的比为1∶2.请在网格内画出在第三象限内的△A2B2C2,并写出点A2的坐标.图1014.(12分)如图11所示,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形.(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB?(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.图1115.(12分)如图12所示,BE是锐角三角形ABC的外接圆⊙O的直径,CD是△ABC 的高.(1)求证:AC·BC=BE·CD;(2)若CD=6,AD=8,BD=3,求⊙O的直径BE.图1216.(12分)如图13所示,在△ABC中,BA=BC=20 cm,AC=30 cm,点P从点A出发,沿AB边以每秒4 cm的速度向点B运动,同时点Q从点C出发,沿CA边以每秒3 cm 的速度向点A运动,设运动时间为x秒.(1)当x为何值时,PQ∥BC?(2)△APQ能否与△CQB相似?若能,求出AP的长;若不能,请说明理由.图13详解详析1.C2.B [解析] 易知DE 是△ABC 的中位线,∴DE ∥BC 且DE =12BC ,∴△ADE ∽△ABC ,∴S △ADE S △ABC =14,∴S △ADE S 四边形BCED =13.故选B. 3.B [解析] A 正确,符合两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. B 不正确,不符合两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. C 正确,符合两角分别相等的两个三角形相似. D 正确,符合两角分别相等的两个三角形相似. 故选B.4.D [解析] ∵△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形,且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是1∶2,△ABC 的面积是3,∴△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比为1∶4,则△A ′B ′C ′的面积是12.故选D.5.C [解析] ∵DE ∥BC ,EF ∥AB ,∴四边形DEFB 是平行四边形,∴DE =BF ,BD =EF .∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ,∴AD AB =AE AC =DE BC ,∴AD AB =AE AC =BFBC .∵EF ∥AB ,∴△CEF ∽△CAB ,∴EF AB =CF BC =CE AC .∵EF ∥AB ,∴AE EC =BFFC.故选C.6.C [解析] 设AP =x ,则有PB =AB -AP =7-x .若△PDA ∽△CPB ,则DA PB =AP BC ,即27-x =x 3,解得x =1或x =6.若△PDA ∽△PCB ,则AD BC =AP PB ,即23=x 7-x ,解得x =145.故这样的点P 共有3个.故选C.7.D8.[答案] 60 60[解析] 相似三角形的对应角相等,故∠A =∠A ′=35°,∠C =∠C ′=85°,所以∠B =∠B ′=60°.9.2510.[答案] 4∶3[解析] 由圆周角定理可得∠A =∠D ,∠C =∠B , ∴△ACP ∽△DBP ,∴S △ACP S △DBP =⎝⎛⎭⎫AC BD 2.又∵S △ACP ∶S △DBP =16∶9,∴⎝⎛⎭⎫AC BD 2=169,∴AC ∶BD =4∶3. 11.[答案] 9[解析] 由题意,得CD ∥AB , ∴△OCD ∽△OAB ,∴CD AB =OD OB ,即3AB =66+12,解得AB =9(m). 12.[答案]127或2 [解析] 设BF =x ,则FC =4-x .(1)若△CFB ′∽△CBA ,则x 3=4-x 4,解得x =127;(2)若△CFB ′∽△CAB ,则FB ′=FC ,即x =4-x ,解得x =2.综上所述,BF =127或2.13.解:(1)△A 1B 1C 1如人教版初中数学九年级下册第二十七章《相似》单元测试一、选择题1. 下列图形一定是相似图形的是( )A. 任意两个菱形B. 任意两个正三角形C. 两个等腰三角形D. 两个矩形 2. 下列各组线段,是成比例线段的是( )A. 3 cm ,6 cm ,7 cm ,9 cmB. 2 cm ,5 cm ,0.6 dm ,8 cmC. 3 cm ,9 cm ,6 cm ,1.8 dmD. 1 cm ,2 cm ,3 cm ,4 cm 3. 下列说法不正确的是( )A. 有一个角等于60°的两个等腰三角形相似B. 有一个底角等于30°的两个等腰三角形相似C. 有一个锐角相等的两个等腰三角形相似D. 有一个锐角相等的两个直角三角形相似4. 如图,身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影BA 由B 向A 走去,当走到C 点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得BC =3米,CA =1米,则树的高度为( )A. 3米B. 4米C. 4.5米D. 6米第4题第5题5. 如图,在△ABC中,BF平分∠ABC,AF⊥BF于点F,D为AB的中点,连接DF并延长交AC于点E.若AB=10,BC=16,则线段EF的长为()A. 2B. 3C. 4D. 56. 如图,以点O为位似中心,将△ABC缩小后得到△A′B′C′.已知OB=3OB′,则△A′B′C′与△ABC的面积比为()A. 1∶3B. 1∶4C. 1∶8D. 1∶9第6题第7题7. 如图,E,F分别为矩形ABCD的边AD,CD上的点,∠BEF=90°,则图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个三角形中一定相似的是()A. Ⅰ和ⅡB. Ⅰ和ⅢC. Ⅱ和ⅢD. Ⅲ和Ⅳ8. 如图,三角形ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC上的点,且DE∥BC,EF∥AB,AD∶DB=1∶2,BC=30 cm,则FC的长为()A. 10 cmB. 20 cmC. 5 cmD.6 cm第8题第9题9. 如图,D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,且DE∥AC,AE,CD相交于点O,若S△DOE∶S△COA=1∶25,则S△BDE与S△CDE的比是()A. 1∶3B. 1∶4C. 1∶5D. 1∶2510. 为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理,她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm,镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m,如图所示.已知小丽同学的身高是1.54 m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm,则旗杆DE的高度等于()A. 10 mB. 12 mC. 12.4 mD. 12.32 m二、填空题11. 如图,在△ABC中,点D为AC上一点,且CDAD=12,过点D作DE∥BC交AB于点E,连接CE,过点D作DF∥CE交AB于点F.若AB=15,则EF=.第11题第12题12. 如图,已知△ABC和△AED均为等边三角形,点D在BC边上,DE与AB相交于点F,如果AC=12,CD=4,那么BF的长度为.13. 如图,P为线段AB上一点,AD与BC交于点E,∠CPD=∠A=∠B,BC交PD于点F,AD交PC于点G,则图中相似三角形有对.第13题第14题14. 如图,在△ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,点M在AB边上,且AM=3,过点M 作直线MN与AC边交于点N,使截得的三角形与原三角形相似,则MN=.15. 如图,已知D,E,F是△ABC三边上的点,AE=6 cm,CE=3 cm,BF=2 cm,且DE∥BC,DF∥AC,则CF的长度为cm.第15题第16题16. 某课外活动小组的同学在研究某种植物标本(如图所示)时,测得叶片①最大宽度是8 cm,最大长度是16 cm;叶片②最大宽度是7 cm,最大长度是14 cm;叶片③最大宽度约为6.5 cm,请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度,结果约为cm.17. 如图,平面内有16个格点,每个格点小正方形的边长为1,则图中阴影部分的面积为 .第17题 第18题18. 如图,在正方形ABCD 中,点E ,N ,P ,G 分别在边AB ,BC ,CD ,DA 上,点M ,F ,Q 都在对角线BD 上,且四边形MNPQ 和AEFG 均为正方形,则MNPQ AEFGS S 正方形正方形的值等于 .三、解答题19. 已知:如图,在△ABC 中,AB =AC ,且AG GD =AFFB,EG ∥CD . 证明:AE =AF .20. 如图,在平行四边形ABCD 中,点E 为边BC 上一点,连接AE 并延长交DC 的延长线于点M ,交BD 于点G ,过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F . 求证:DF FC =DMCD.21. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称,(1)在图中标出点E,点E的坐标为;(2)点P(a,b)是△ABC边AB上一点,△ABC经过平移后点P的对应点P′的坐标为(a-6,b+2),请画出上述平移后的△A2B2C2,此时A2的坐标为,C2的坐标为;(3)若△A1B1C1和△A2B2C2关于点F成位似三角形,则点F的坐标为.22. 如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,AC平分∠BAD,点P是AC延长线上一点,且PD⊥AD.(1)证明:∠BDC=∠PDC;(2)若AC与BD相交于点E,AB=1,CE∶CP=2∶3,求AE的长.23. 如图,矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于F.(1)△ABE与△ADF相似吗?请说明理由;(2)若AB=6,AD=12,BE=8,求DF的长.24. 如图,在平行四边形ABCD中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点,且∠AFE=∠B.(1)求证:△ADF∽△DEC;(2)若AB=8,AD,AE=6,求AF的长.25. 在矩形ABCD中,E为CD的中点,H为BE上的一点,EHBH=3,连接CH并延长交AB于点G,连接GE并延长交AD的延长线于点F.(1)求证:ECBG=EHBH;(2)若∠CGF=90°,求ABBC的值.参考答案1. B2. C3. C4. D5. B6. D7. D8. B9. B 10. B 11.103 12. 83 13. 3 14. 4或6 15. 4 16. 13 17. 1112 18. 8919. 证明:因为EG ∥CD ,所以AG GD =AE EC ,因为AG GD =AF FB ,所以AE EC =AF FB ,所以AEAE EC+=AF AF FB +,即AE AC =AFFB,因为AB =AC ,所以AE =AF .20. 证明:因为GF ∥BC ,所以DF FC =DGBG,因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB =CD ,AB ∥CD ,所以DM AB =DG BG ,所以DFFC人教九下数学 第27章 相似三角形的判定及有关性质综合测试(含答案)一、选择题(每小题6分,共48分)1.在△ABC 中,D 、F 是AB 上的点,E 、H 是AC 上的点,直线DE//FH//BC ,且DE 、FH 将△ABC 分成面积相等的三部分,若线段FH=65,则BC 的长为( ) A .15 B .10 C.6215 D .15322.在△ABC 中,DE//BC ,DE 交AB 于D ,交AC 于E ,且S △ADE :S 四边形DBCE=1:2,则梯形的高与三角形的边BC 上的高的比为( )A .1:2B .1:)12(-C .1:)13(-D .)13(-:33.在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD 是斜边AB 上的高,AC=5,BC=8,则S △ACD :S △CBD 为( )A .85 B .6425 C .3925 D .8925 4.如图1—5—1,D 、E 、F 是△ABC 的三边中点,设△DEF 的面积为4,△ABC 的周长为9,则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是( )A.29,16 B. 9,4 C. 29,8 D. 49,165.如图1—5—2,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,下列条件:(1)∠B+∠DAC=90°;(2)∠B=∠DAC ; (3)ABAC AD CD =;(4)AB 2=BD ·BC 。
九年级数学下册 第二十七章 相似本章总结提升
似三角形.
[解答过程] 具体证明过程略,提示:连接AC,BC,通过圆的知识可得 △APC∽△CPB,进而根据相似三角形的性质可使问题得以解决.
2021/12/11
第二十七页,共三十五页。
本章总结(zǒngjié)提升
例2 如图27-T-8,AD是⊙O的直径(zhíjìng),BC与⊙O相切于点D,AB, AC分别与⊙O相交于点E,F.求证:AE·AB=AF·AC.
例3 如图27-T-3,△ABC为锐角三角形,AD是BC边上的高,正 方形EFGH的一边FG在BC上,顶点(dǐngdiǎn)E,H分别在AB,AC上,已知
BC=40 cm,AD=30 cm.
(1)求证:△AEH∽△ABC; (2)求正方形EFGH的边长与面积.
2021/12/11
第十二页,共三十五页。
高度,小亮在操场上的点C处直立一根高3 m的竹竿CD,然后退到点E处,
此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合;小亮又在点C1处直立一根 高3 m的竹竿C1D1,然后退到点E1处,恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B 重合.
小亮的眼睛离地面的高度EF=1.5 m,量
得CE=2 m,EC1=6 m,C1E1=3 m. (1)△FDM∽________,△F1D1N∽________; (2)求电线杆AB的高度.
∴AF∶BF=5∶2.
2021/12/11
第六页,共三十五页。
本章总结 提 (zǒngjié) 升
【归纳总结】把平行线分线段成比例这个基本事实应用到三角形中,构
成的基本图形有两种:“A”字型和“X”字型,这是两个应用极其广泛
(guǎngfàn)的基本图形.通过作平行线,构造这两个基本图形是求线段比值 的常用方法.
2022年人教版九年级数学下册第二十七章-相似专题测评试题(含答案解析)
人教版九年级数学下册第二十七章-相似专题测评考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,在DC的延长线上取一点E,连接OE交BC于点F,若AB=4,BC=6,CE=1,则CF的长为()A B.1.5 C D.12、如图,已知矩形ABCD中,AB=3,BE=2,EF⊥B C.若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等,则CE的值为()A.92B.6 C.152D.93、在ABC中,D,E分别是边AB,AC上的两个点,并且DE∥BC,AD:BD=3:2,则ADE与四边形BCED的面积之比为()A .3:5B .4:25C .9:16D .9:254、如图,点E 是正方形ABCD 的边AB 边上的黄金分割点,且AE >EB ,1S 表示AE 为边长的正方形面积,2S 表示以BC 为长,BE 为宽的矩形面积,3S 表示正方形ABCD 除去1S 和2S 剩余的面积,3S :2S 的值为( )A .12 B .23C D 3525、若578a b ck ===且323a b c -+=,则243a b c +-的值是( ) A .14 B .42 C .7 D .1436、下列图形中,不是位似图形的是( )A .B .C .D .7、已知32a b =,那么下列等式中正确的是( )A .53a b b += B .13a b b -= C .23a b = D .23ab =8、如图,D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点,且DE AC ,AE 、CD 相交于点O ,若S △DOE :S △COA =1:25,则BEEC的值为( )A .13B .14C .15D .1259、如果两个相似多边形的周长比是2:3,那么它们的面积比为( )A .2:3B .4:9C D .16:8110、如图,DE ∥BC ,则下列式子正确的是( )A .=AB BDEC AEB .AD DEAB BC= C .=AE ABEC ADD .AD DEAB BC=第Ⅱ卷(非选择题 70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC275=,点N在边AD上,ND=2,点M在边BC上,BM=1,点E在DC的延长线上,连接AE,过点E作EF⊥AE交直线MN于点F,当AE=EF时,DE的长为 _____.2、如果5a=4b,那么ba=____.3、如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,其位似中心为点O,且54OEEA=,则FGBC=________.4、如图,在矩形ABCD中,AB=30,BC=40,对角线AC与BD相交于点O,点P为边AD上一动点,连接OP,将△OPA沿OP折叠,点A的对应点为点E,线段PE交线段OD于点F.若△PDF为直角三角形,则PD的长为______.5、如图,在ABCD □中,E 为CD 上一点,连结BE 并延长交AD 延长线于点F .如果:2:3DE EC =,那么:DEF ABF S S =△△____________.三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、如图,O 为坐标原点,B ,C 两点坐标分别为()3,1-,()2,1.(1)以O 为位似中心在y 轴左侧将OBC 放大两倍,并画出图形; (2)分别写出B ,C 两点的对应点B ',C '的坐标;(3)已知(),M x y 为OBC 内部一点,写出M 的对应点M '的坐标. 2、如图,在平面直角坐标系中,点A 、点B 的坐标分别为()1,3,()3,2.(1)画出OAB绕点B顺时针旋转90︒后的O A B''△;'''';(2)以点B为位似中心,相似比为2:1,在x轴的上方画出O A B''△放大后的O A B3、在等边三角形ABC中,点D是边AB的中点,过点D作DE∥BC交AC于点E,点F在BC边上,连接DF,EF.(1)如图1,当DF是∠BDE的平分线时,若AE=2,求EF的长;(2)如图2,当DF⊥DE时,设AE=a,则EF的长为(用含a的式子表示).4、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=A=60°,四边形DEFG是△ABC的内接矩形,顶点D、G分别在边AC、BC上,点E、F在边AB上,设AE=x,DG=y.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)当矩形DEFG 的面积S 取得最大值时,求△CDG 与△BFG 的相似比.5、如图,在带有网格的平面直角坐标系中,网格边长为一个单位长度,给出了三角形ABC . (1)作出ABC 关于x 轴对称的A B C ''';(2)以坐标原点为位似中心在图中的网格中作出A B C '''的位似图形A B C ''''''△,使A B C '''与A B C ''''''△的位似比为1:2;(3)若ABC 的面积为3.5平方单位,求出A B C ''''''△的面积.---------参考答案----------- 一、单选题 1、D 【解析】 【分析】过O 作OM ∥BC 交CD 于M ,根据平行四边形的性质得到BO =DO ,CD =AB =4,AD =BC =6,根据三角形的中位线的性质得到CM =12CD =2,OM =12BC =3,通过△CFE ∽△MOE ,根据相似三角形的性质得到CF CEOM EM=,代入数据即可得到结论.【详解】解:过O作OM∥BC交CD于M,在▱ABCD中,BO=DO,CD=AB=4,AD=BC=6,∴CM=12CD=2,OM=12BC=3,∵OM∥CF,∴△CFE∽△MOE,∴CFOM=CEEM,即1 33 CF,∴CF=1.故选:D.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识.解此题的关键是准确作出辅助线,合理应用数形结合思想解题.2、A【解析】【分析】设CE=x,由四边形EFDC与四边形BEFA相似,根据相似多边形对应边的比相等列出比例式,求解即可.【详解】解:设CE =x ,∵四边形EFDC 与四边形BEFA 相似, ∴AB CEBE EF=, ∵AB =3,BE =2,EF =AB , ∴323x =, 解得:x =4.5, 故选:A . 【点睛】本题考查了相似多边形的性质,本题的关键是根据四边形EFDC 与四边形BEFA 相似得到比例式. 3、C 【解析】 【分析】根据题意先判断△ADE ∽△ABC ,再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行分析计算即可得到结论. 【详解】 解:∵DE ∥BC , ∴△ADE ∽△ABC , ∵AD :BD =3:2, ∴:3:5AD AB =, ∴22:3:59:25ADE ABCSS==,∴ADE 与四边形BCED 的面积之比为9:16.故选:C. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质,注意掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方. 4、C 【解析】 【分析】设正方形ABCD 的边长为a ,关键黄金分割点的性质得到512AEAB 和BE AE =,用a 表示出1S 、2S 和3S 的面积,再求比例. 【详解】解:设正方形ABCD 的边长为a , ∵点E 是AB 上的黄金分割点,∴512AE AB,BE AE =∴AE AB ==,∴2BE a ==⎝⎭,∵2221S AE ⎫===⎪⎪⎝⎭,22S BE BC =⋅=,∴)222232S a a ==,∴)2232:2S S a ==. 故选C .【点睛】本题考查黄金分割点,解题的关键是掌握黄金分割点的性质.5、D【解析】【分析】将,,a b c 用k 表示出来,得到5,7,8a k b k c k ===,再将求出,,a b c 的结果与323a b c -+=联立求出,,a b c 的值 ,最后把所求的,,a b c 代入所求的代数式即可求解.【详解】 解:578a b c k ===, 5,7,8a k b k c k ∴===,323a b c -+=,352783k k k ∴⨯-⨯+=, 解,得13k =,578,333a b c ∴==,= 578142432433333a b c ∴+-=⨯+⨯-⨯=, 故选:D .【点睛】本题考查了比例的性质,解一元一次方程,求代数式的值,由比例系数表示,,a b c 是解题的关键.6、D【解析】【分析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.【详解】解:根据位似图形的概念,A 、B 、C 三个图形中的两个图形都是位似图形;D 中的两个图形不符合位似图形的概念,两个三角形不相似,故不是位似图形.故选D .【点睛】此题主要考查了位似图形,注意位似与相似既有联系又有区别,相似仅要求两个图形形状完全相同;而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点.7、C【解析】【分析】由题意设()30,a k k =≠ 则2,b k = 再逐一代入各选项进行计算与检验即可得到答案.【详解】 解: 32a b =, 设()30,a k k =≠ 则2,b k =∴55,22a b k b k +==故A 不符合题意; 321,22a b k k b k --==故B 不符合题意; 263,a k b ==故C 符合题意;32,,2233a k b k ==则,23a b ≠故D 不符合题意; 故选C【点睛】本题考查的是比例的基本性质,掌握“设参数的方法解决比例问题”是解本题的关键.8、B【解析】【分析】根据∥DE AC 可得BED BCA ∽△△,DOE COA ∽,再根据相似三角形的性质可得BE DE BC AC=和DOE △与COA 的相似比为1:5,进而可得15BE BC =,最后用BC 表示EC 即可求出BE EC . 【详解】解:∵∥DE AC ,∴BED BCA ∠=∠,ODE OCA ∠=∠.∵DBE ABC ∠=∠,DOE COA ∠=∠,∴BED BCA ∽△△,DOE COA ∽. ∴BE DE BC AC=. ∵:1:25DOE COA S S =△△,∴DOE △与COA 的相似比为1:5. ∴15DE CA =. ∴15BE BC =. ∴15BE BC =. ∴45EC BC BE BC =-=. ∴14BE EC =.故选:B .【点睛】本题考查相似三角形的判定定理和性质,综合应用这些知识点是解题关键.9、B【解析】【分析】根据相似多边形的周长比求出相似比,再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算,得到答案.【详解】解:∵两个相似多边形的周长比是2:3,∴这两个相似多边形的相似比是2:3,∴它们的面积比是4:9,故选B .【点睛】本题考查相似多边形的性质,掌握相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方是解题的关键.10、B【解析】【分析】由题意直接根据平行线所截线段成比例进行分析判断即可.【详解】解:∵DE ∥BC ,∴,ADE ABC AED ACB ==∠∠∠∠,∴ADE ABC , ∴AD DE AE AB BC AC==. 故选:B.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理,灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.二、填空题1、10415【解析】【分析】过点F 作FG ⊥DG 交DC 延长线于G ,过点N 作NL ⊥FG 交BC 于H ,交FG 于L ,先证明四边形NLGD 是矩形,得到LG =ND =2,∠DNL =90°,NL =DG ,再证明四边形NHCD 是矩形,得到HH =CD =6,CH =ND =2,则125MH BC BM CH =--=;然后证明△EFG ≌△AEF 得到FG =DE ,275GE AD BC ===,则275NL DG DE EG DE ==+=+,设=DE FG x =,则2FL FG LG x =-=-,275NL x =+,证明△NMH ∽△NFL ,的MH NH FL NL=,即12652725x x =-+,由此求解即可. 【详解】解:如图所示,过点F 作FG ⊥DG 交DC 延长线于G ,过点N 作NL ⊥FG 交BC 于H ,交FG 于L , ∴∠NLG =∠G =90°,∵四边形ABCD 是矩形,∴CD =AB =6,∠D =∠BCD =90°,AD BC =,∴四边形NLGD 是矩形,∴LG =ND =2,∠DNL =90°,NL =DG ,∴四边形NHCD是矩形,∴HH=CD=6,CH=ND=2,∴125 MH BC BM CH=--=;∵EF⊥AE,∴∠AEF=90°,∴∠AED+∠FEG=90°,又∵∠FEG+∠EFG=90°,∴∠EFG=∠AED,又∵AE=EF,∠D=∠G=90°,∴△EFG≌△AEF(AAS),∴FG=DE,275 GE AD BC===,∴275 NL DG DE EG DE==+=+,设=DE FG x=,则2FL FG LG x=-=-,275 NL x=+,∵∠NHM=∠NLF=90°,∠MNH=∠FNL,∴△NMH∽△NFL,∴MH NHFL NL=,即12652725x x=-+,解得10415x=,∴10415 DE=,故答案为:104 15.【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,相似三角形的性质与判定,解题的关键在于能够正确作出辅助线求解.2、5 4【解析】【分析】由5a=4b,结合比例的基本性质即可求出ba的值.【详解】解:∵5a=4b,∴54ba.故答案为:54.【点睛】本题考查的是比例的基本性质,掌握比例的基本性质是解题的关键.3、59【解析】【分析】 利用位似的性质得到FG OF OE BC OB OA ==,然后根据比例的性质求解. 【详解】解:∵四边形ABCD 与四边形EFGH 位似,其位似中心为点O , ∴FG OF OE BC OB OA ==, ∵54OE EA =, ∴55549FG BC ==+, 故答案为:59.【点睛】本题考查了位似变换:位似的两个图形必须是相似形,对应点的连线都经过同一点;对应边平行或共线.4、5或252 【解析】【分析】分情况进行讨论,当∠DPF =90°时,过点O 作OH ⊥AD 于H ,先证△DHO ∽△DAB ,得到1=2OH HD OD AB AD BD ==,求出1152OH AB ==,1202HD AD ==,证明∠HOP =∠HPO =45°,得到OH =PH =15,则PD =HD -PH =5;当∠PFD =90°时,先求出50BD =,得到11=2522OA OB OC OD AC BD =====,从而得到∠DAO =∠ODA ;证明△OFE ∽△BAD ,推出1152OF AB ==,则10DF OD OF =-=,最后证明△PDF ∽△BDA ,则12542PD BD ==. 【详解】解:如图1所示,当∠DPF =90°时,过点O 作OH ⊥AD 于H ,∴∠HPF =90°,∵四边形ABCD 是矩形,∴BD =2OD ,∠BAD =∠OHD =90°,AD =BC =40,∴OH ∥AB ,∴△DHO ∽△DAB , ∴1=2OH HD OD AB AD BD ==, ∴1152OH AB ==,1202HD AD ==, 由折叠的性质可得:1==452HPO FPO HPF ∠=∠︒∠,∴∠HOP =45°,∴∠HOP =∠HPO =45°,∴OH =PH =15,∴PD =HD -PH =5;如图2所示,当∠PFD =90°时,∴∠OFE=90°,∵四边形ABCD是矩形,∴∠BCD=90°,CD=AB=30,∴50BD=,∴11=2522OA OB OC OD AC BD=====,∴∠DAO=∠ODA,由折叠的性质可知:AO=EO=25,∠PEO=∠DAO=∠ODA,又∵∠OFE=∠BAD=90°,∴△OFE∽△BAD,∴12 OF OEAB BD==,∴1152OF AB==,∴10DF OD OF=-=,∵∠PFD=∠BAD,∠PDF=∠BDA,∴△PDF∽△BDA,∴14 PD DFBD DA==,∴12542 PD BD==,∴综上所述,当△PDF为直角三角形,则PD的长为5或252,故答案为:5或252.【点睛】本题主要考查了矩形的性质,相似三角形的性质与判定,勾股定理,折叠的性质,解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的性质与判定条件.5、4:25##425 【解析】【分析】根据已知可得到相似三角形,从而可得到其相似比,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案.【详解】解:如图,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴DC ∥AB ,CD =AB .∴△DFE ∽△AFB , ∴2()DEF ABF S DE S AB=. ∵DE :EC =2:3,∴DE :DC =DE :AB =2:5,∴:425DEF ABF S S =:△△ 故答案为:4:25或425 . 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质,熟知相似三角形边长的比等于相似比,面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.三、解答题1、(1)画图见解析;(2)点B'的坐标为(-6,2),点C'的坐标为(-4,-2);(3)点M'的坐标为(-2x,-2y)【解析】【分析】(1)利用位似变换的性质分别作出B、C的对应点B',C',然后顺次连接O,B',C'即可;(2)根据(1)中所作图形即可得到B',C'两点的坐标;(3)根据位似图形上对应点的坐标的横纵坐标对应比相同进行求解即可.【详解】解:(1)如图所示,△OO′O′即为所求;(2)如图所示,点B'的坐标为(-6,2),点C'的坐标为(-4,-2);(3)∵△OO′O′是△OBC以O为位似中心,位似比为2的对应图形,点M(x,y)为△OBC内部一点,∴点M的对应点M'的坐标为(-2x,-2y).【点睛】本题主要考查了画位似图形和求位似图形上的对应点的坐标,解题的关键在于能够熟练掌握位似图形的相关知识.2、(1)见解析;(2)见解析【解析】【分析】(1)找到O,O绕点B顺时针旋转90︒后的对应点O′,O′,顺次连接O′,O′,O,则O A B''△即为所求;(2)延长OO′至O″,OO′至O″,使得OO″=2OO′,OO″=2OO′,连接O″O″,则''''即为所求O A B【详解】(1)如图,找到O,O绕点B顺时针旋转90︒后的对应点O′,O′,顺次连接O′,O′,O,则O A B''△即为所求;(2)如图,延长OO ′至O ″,OO ′至O ″,使得OO ″=2OO ′,OO ″=2OO ′,连接O ″O ″,则O A B ''''【点睛】本题考查了画旋转图形,在平面直角坐标系中画位似图形,掌握旋转的性质和位似图形的性质是解题的关键.3、(1)EF =2(2)72【解析】【分析】(1)根据DE ∥BC 证明ADE 是等边三角形,再根据D 是AB 中点,可证明BFD 是等边三角形,在证明DEF 是等边三角形,从而求得EF =2,(2)过点A 作AM 垂直BC 于点M ,可证DBF ∽ABM ,由相似可求出DF ,在利用勾股定理即可求出EF .【详解】解:(1)∵ABC 是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC=60°,∴∠A=∠ADE=60°,∴ADE是等边三角形,∴AD=DE=2,∵D是AB中点,∴BD=AD=2,∵DF平分∠BDE,∴∠BDF=∠EDF=12∠BDE=12(180°-60°)=60°,又∵∠B=60°,∴BFD是等边三角形,∴DF=BD=2,∵DF=DE=2,∠EDF=60°,∴DEF是等边三角形,∴EF=DE=DF=2;(2)过点A作AM垂直BC于点M,∵DE∥BC,DF⊥DE,∴∠BFD=∠FDE=90°,∵∠DFB=∠AMB=90°,又∵∠B=∠B,∴DBF∽ABM,∵D为AB中点,∴1=2 DB DFAB AM,∴DF=12AM,∵AM是等边三角形BC边上的高,∴M是BC的中点,∴BM=12BC=a,∴AM,∴DF=12AM,∴在Rt DEF △中,EF 32a a (). 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定,三角形的相似和勾股定理,熟练掌握三角形的相似是解决本题的关键.4、(1)y =8﹣4x ;(2)2√33 【解析】【分析】(1)依据Rt △ABC 中,∠O =90°,OO =4√3,∠O =60°,即可得到AC =4,AD =2AE =2x ,OO =12OO =12O ,再根据CD =AC -AD ,可得12O =4−2O ,进而得出y 与x 之间的函数关系式; (2)依据S =DE ×DG =√3O ×(8−4O )=−4√3(O −1)2+4√3,可得当x =1时,S 最大=4√3,再根据△DCG ∽△GFB ,即可得到OO OO =2√3=2√33,进而得出△CDG 与△BFG 的相似比. 【详解】解:(1)∵Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =A =60°,∴AC =4,AD =2AE =2x ,OO =12OO =12O ,∵CD =AC ﹣AD ,∴12O =4−2O ,即y 与x 之间的函数关系式为y =8﹣4x ;(2)∵DE ,∴S =DE ×DG ×(8﹣4x )=﹣x ﹣1)2∴当x =1时,S 最大=此时,GF =DE∴BG =2GF =DG =8﹣4=4,∵∠C =∠BFG =90°,∠DGC =∠B ,∴△DCG ∽△GFB ,∴OO OO =2√3=2√33, ∴△CDG 与△BFG 的相似比为2√33. 【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定与性质以及矩形的性质,熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键.5、(1)见解析;(2)见解析;(3)14平方单位.【解析】【分析】(1)根据轴对称性质即可画出△ABC 关于x 轴对称的A B C '''; (2)根据位似图形的性质即可画出A B C '''以点O 为位似中心的位似图形A B C ''''''△,A B C '''与A B C ''''''△的位似比为1:2;(3)利用相似三角形的性质计算即可.【详解】解:(1)如图,A B C ''',即为所求作; (2)如图,A B C ''''''△,即为所求作;(3)∵A B C '''与A B C ''''''△的位似比为1:2, ∴A B C '''∽A B C ''''''△,O ′O ′O ″O ″=12, ∴O △O ′O ′O ′O △O ″O ″O ″=(O ′O ′O ″O ″)2=14,∵ABC 的面积为3.5平方单位,即A B C '''的面积为3.5平方单位,∴A B C ''''''△的面积为:2O △O ′O ′O ′=4×3.5=14平方单位.【点睛】本题考查了作图-轴对称变换,位似变换等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.。
【初三数学】北京市九年级数学下(人教版)第二十七章《相似》单元测试及答案
人教版九年级下册第二十七章相似单元练习题(含答案)含答案一、选择题1.如图,已知在正方形网格中的两个格点三角形是位似形,它们的位似中心是( )A.点A B.点B C.点C D.点D2.如图,在大小为4×4的正方形网格中,是相似三角形的是( )A.①和② B.②和③ C.①和③ D.②和④3.如图,圆内接四边形ABCD的BA,CD的延长线交于P,AC,BD交于E,则图中相似三角形有( )A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对4.如图所示,△ABC∽△DEF,其相似比为k,则一次函数y=kx-2k的图象与两坐标轴围成的三角形面积是( )A. 0.5 B. 4 C. 2 D. 15.在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:甲:将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似.乙:将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形相似.对于两人的观点,下列说法正确的是( )A.甲对,乙不对 B.甲不对,乙对 C.两人都对 D.两人都不对二、填空题6.如图,小强和小华共同站在路灯下,小强的身高EF=1.8 m,小华的身高MN=1.5 m,他们的影子恰巧等于自己的身高,即BF=1.8 m,CN=1.5 m,且两人相距4.7 m,则路灯AD 的高度是____________.7.如图,AB,CD相交于O点,△AOC∽△BOD,OC∶OD=1∶2,AC=5,则BD的长为__________.8.如果两个相似三角形的周长的比为1∶4,那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为____________.9.如图,点D、E分别在△ABC边BC、AC上,连接线段AD、BE交于点F,若AE∶EC=1∶3,BD∶DC=2∶3,则EF∶FB=____________.10.已知:3a=2b,那么=__________.三、解答题11.观察下面图形,指出(1)~(9)中的图形有没有与给出的图形(a)、(b)、(c)形状相同的?12.如图,△ABC在方格纸中.(1)请建立平面直角坐标系.使A、C两点的坐标分别为(2,3)、C(5,2),求点B的坐标.(2)以原点O为位似中心,相似比为2,在第一象限内将△ABC放大,画出放大后的图形△A′B′C′.(3)计算△A′B′C′的面积S.13.如图,在平面直角坐标系网格中,将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1.(1)△A1B1C1与△ABC的位似比是____________;(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2;(3)设点P(a,b)为△ABC内一点,则依上述两次变换后,点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是__________.14.等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′,相似比为3∶1,已知斜边AB=12 cm.(1)求△A′B′C′斜边A′B′的长;(2)求△A′B′C′斜边A′B′上的高.15.如图,在四边形ABCD内选一点O为位似中心将它放大为原来的两倍(保留作图痕迹).16.如图,在△ABC中,∠ABC=80°,∠BAC=40°,AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E,连接BD.求证:△ABC∽△BDC.17.下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改.题目:某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2∶1,在温室内,沿前侧内墙保留3 m的空地,其他三侧内墙各保留1 m的通道,当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2?解:设矩形蔬菜种植区域的宽为x_m,则长为2x m,根据题意,得x·2x=288.解这个方程,得x1=-12(不合题意,舍去),x2=12,所以温室的长为2×12+3+1=28(m),宽为12+1+1=14(m)答:当温室的长为28 m,宽为14 m时,矩形蔬菜种植区域的面积是288 m2.我的结果也正确!小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中画了一条横线,并打了一个?.结果为何正确呢?(1)请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程:变化一下会怎样?(2)如图,矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD∶AB=2∶1,设AB与A′B′、BC与B′C′、CD与C′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,a、b、c、d应满足什么条件?请说明理由.18.如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,3)、B(-1,0)、C(4,0).(1)经过平移,可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合,请直接写出此时点C的对应点C1坐标;(不必画出平移后的三角形)(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°,得到△A′BC′,画出△A′BC′并写出A′点的坐标;(3)以点A为位似中心放大△ABC,得到△AB2C2,使放大前后的面积之比为1∶4,请你在网格内画出△A2B2C2.答案解析1.【答案】A【解析】如图,位似中心为点A.故选A.2.【答案】C【解析】①和③相似,∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、;由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2,∴=,=,即==,∴两三角形的三边对应边成比例,∴①③相似.故选C.3.【答案】C【解析】根据同弧所对的圆周角相等及相似三角形的判定定理可知,图中相似三角形有4对,分别是△ADE∽△BCE,△AEB∽△DEC,△PAD∽△PCB,△PBD∽△PCA.故选C.4.【答案】D【解析】∵△ABC∽△DEF,其相似比为k,∴k=====,∵一次函数y=kx-2k的图象与两坐标轴的交点分别为(2,0),(0,-2k),∴一次函数y=kx-2k的图象与两坐标轴围成的三角形面积是×2×2k=2k=1.故选D.5.【答案】A【解析】甲:根据题意,得AB∥A′B′,AC∥A′C′,BC∥B′C′,∴∠A=∠A′,∠B=∠B′,∴△ABC∽△A′B′C′,∴甲说法正确;乙:∵根据题意,得AB=CD=3,AD=BC=5,则A′B′=C′D′=3+2=5,A′D′=B′C′=5+2=7,∴==,==,∴≠,∴新矩形与原矩形不相似.∴乙说法不正确.故选A.6.【答案】4 m【解析】设路灯的高度为x m,∵EF∥AD,∴△BEF∽△BAD,∴=,即=,解得DF=x-1.8,∵MN∥AD,∴△CMN∽△CAD,∴=,即=,解得DN=x-1.5,∵两人相距4.7 m,∴FD+ND=4.7,∴x-1.8+x-1.5=4.7,解得x=4.7.【答案】10【解析】∵△AOC∽△BOD,∴=,即=,解得BD=10.8.【答案】1∶4【解析】∵两个相似三角形的周长的比为1∶4,∴两个相似三角形的相似比为1∶4,∴周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为1∶4.9.【答案】【解析】作EH∥BC交AD于H,∴==,∵=,∴=,∵EH∥BC,∴==,10.【答案】-【解析】∵3a=2b,∴=,∴可设a=2k,那么b=3k,∴==-.11.【答案】解通过观察可以发现:图形(4)、(8)与图形(a)形状相同;图形(6)与图形(b)形状相同;图形(5)与图形(c)形状相同.【解析】通过观察寻找与(a),(b),(c)形状相同的图形,在所给的9个图形中仔细观察,找出它们与(a)(b)(c)的相同于不同,然后作出判断.12.【答案】解(1)如图画出原点O,x轴、y轴,建立直角坐标系,可知B的坐标为(2,1);(2)如(1)中图,画出图形△A′B′C′,即为所求;(3)S△A′B′C′=×4×6=12.【解析】(1)根据A,C点坐标进而得出原点位置,进而得出B点坐标;(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案;(3)直接利用三角形面积求法得出答案.13.【答案】解(1)△A1B1C1与△ABC的位似比等于===2;(2)如图所示(3)点P(a,b)为△ABC内一点,依次经过上述两次变换后,点P的对应点的坐标为(-2a,2b).【解析】(1)根据位似图形可得位似比即可;(2)根据轴对称图形的画法画出图形即可;(3)根据三次变换规律得出坐标即可.14.【答案】解(1)∵等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′,相似比为3∶1,∴AB∶A′B′=3∶1,∵Rt△ABC的斜边AB=12 cm,∴△A′B′C′斜边A′B′=4 cm;(2)∵△A′B′C′是等腰直角三角形,∴△A′B′C′斜边A′B′上的高=△A′B′C′斜边A′B′上的中线,∴△A′B′C′斜边A′B′上的高=2 cm.【解析】(1)由等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′,相似比为3∶1,根据相似比的定义,可得AB∶A′B′=3∶1,继而求得答案;(2)由△A′B′C′是等腰直角三角形,利用三线合一的性质,可得△A′B′C′斜边A′B′上的高即是斜边A′B′上的中线,继而求得答案.15.【答案】解如图,四边形A′B′C′D′为所作.【解析】在四边形ABCD内选一点O,延长OA到点A′,使AA′=OA,则点A′为点A的对应点,同样方法画出点B、C、D的对应点B′、C′、D′,于是可得到四边形ABCD放大两倍后的四边形A′B′C′D′.16.【答案】证明∵DE是AB的垂直平分线,∴AD=BD.∵∠BAC=40°,∴∠ABD=40°,∵∠ABC=80°,∴∠DBC=40°,∴∠DBC=∠BAC,∵∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC.【解析】由线段垂直平分线的性质,得DA=DB,则∠ABD=∠BAC=40°,从而求得∠CBD =40°,即可证出△ABC∽△BDC.17.【答案】解(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由.在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x m,则长为2x m.”前补充以下过程:设温室的宽为x m,则长为2x m.则矩形蔬菜种植区域的宽为(x-1-1)m,长为(2x-3-1)m.∵==2,∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1;(2)要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,就要=,即=,即=,即2AB-2(b+d)=2AB-(a+c),∴a+c=2(b+d),即=2.【解析】(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1的理由,所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为x m,则长为2x m,然后由题意得==2,矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2∶1,再利用小明的解法求解即可;(2)由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD,利用相似多边形的性质,可得=,即=,然后利用比例的性质,即可求得答案.18.【答案】解(1)∵经过平移,可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合,∴A点向下平移3个单位,再向左平移3个单位,故C1坐标为(1,-3);(2)如图所示:△A′BC′即为所求,A′点的坐标为(-4,4);(3)如图所示:△AB2C2,即为所求.【解析】(1)直接利用平移的性质得出A点平移规律,进而得出答案;(2)直接利用旋转的性质得出对应点位置,进而得出答案;(3)直接利用位似图形面积比得出相似比为1∶2,即可得出对应点位置.人教版九年级数学下册第二十七章相似单元练习(含答案)一、选择题1.在平面直角坐标系中,已知点A(-2,4),B(-3,1),以原点O为位似中心,相似比为2,把△ABO放大,则点A的对应点A′的坐标是()A.(-4,8)B.(-1,2)C.(-4,8)或(4,-8)D.(-1,2)或(1,-2)2.如图6×7的方格中,点A,B,C,D是格点,线段CD是由线段AB位似放大得到的,则它们的位似中心是()A.P1B.P2C.P3D.P43.如图,正方形网格中,每个小正方形的边长是1个单位长度,以点C为位似中心,在网格中画△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC位似,且△A1B1C1与△ABC的位似比为2∶1,则点B1的坐标可以为()A.(3,-2)B.(4,0)C.(5,-1)D.(5,0)4.如图所示,△ABC中,DE∥BC,AC=9,CE=6,AD=4,则BD的值为()A.4B.6C.8D.125.如图,比例规是一种画图工具,它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成,利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短.如果把比例规的两脚合上,使螺丝钉固定在刻度3的地方(即同时使OA=3OC,OB=3OD),然后张开两脚,使A,B两个尖端分别在线段a的两个端点上,当CD=1.8 cm时,则AB的长为()A.7.2 cmB.5.4 cmD.0.6 cm6.如图,四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶OA′=2∶3,则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为()A.4∶9B.2∶5C.2∶3D.∶7.如图,△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE,∠ACB=∠AED,BC、DE交于点O.则下列四个结论中,①∠1=∠2;②BC=DE;③△ABD∽△ACE;④A、O、C、E四点在同一个圆上,一定成立的有()A.1个B.2个C.3个D.4个8.已知2∶x=3∶9,则x等于()A.2B.3C.4D.69.下列图形中一定相似的是()A.所有矩形B.所有等腰三角形C.所有等边三角形10.志远要在报纸上刊登广告,一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元,他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍,在每平方厘米版面广告费相同的情况下,他该付广告费()A.540元B.1 080元C.1 620元D.1 800元11.若2a=3b,则a∶b等于()A.3∶2B.2∶3C.-2∶3D.-3∶212.如图,已知点E(-4,2),F(-2,-2),以O为位似中心,按比例尺1∶2,把△EFO缩小,则点E的对应点E′的坐标为()A.(2,-1)或(-2,1)B.(8,-4)或(-8,-4)C.(2,-1)D.(8,-4)二、填空题13.如图,在△ABC中,M是AC边中点,E是AB上一点,且AE=AB,连接EM并延长,交BC的延长线于D,此时BC∶CD为__________.14.如图,直线y=x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为1∶3,则点B的对应点B′的坐标为__________.15.如图,△ABC与△FAG是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠F=90°,BC分别与AF、AG相交于点D、E.则图中不全等的相似三角形有____________对.16.如图,在直角坐标系中,每个小方格的边长均为1,△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为3∶2,点A,B都在格点上,则点B′的坐标是__________.17.如图,在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,则△ADE与△ABC的面积比S△ADE∶S△ABC =________.18.下图中,形状相同的图形有哪些.__________________19.如图,在平面直角坐标系中,矩形AOCB的两边OA、OC分别在x轴和y轴上,且OA=1,OC=,在第二象限内,以原点O为位似中心将矩形AOCB放大为原来的倍,得到矩形A1OC1B1,再以原点O为位似中心将矩形OC1B1放大为原来的倍,得到矩形A2OC2B2…,以此类推,得到的矩形A100OC100B100的对角线交点的纵坐标为__________.20.如图,△ABC的两条中线AD和BE相交于点G,过点E作EF∥BC交AD于点F,那么=__________.21.如图,AD=DF=FB,DE∥FG∥BC,则SⅠ∶SⅡ∶SⅢ=__________.22.在平面直角坐标系中,△ABC顶点A的坐标为(2,3),若以原点O为位似中心,画△ABC 的位似图形△A′B′C′,使△ABC与△A′B′C′的相似比等于2∶1,则点A′的坐标____________.23.如图,O是△ABC内任意一点,D、E、F分别为AO、BO、CO上的点,且△ABC与△DEF 是位似三角形,位似中心为O.若AD=AO,则△ABC与△DEF的位似比为__________.24.有一支夹子如图所示,AB=2BC,BD=2BE,在夹子前面有一个长方体硬物,厚PQ为6 cm,如果想用夹子的尖端A、D两点夹住P、Q两点,那么手握的地方EC至少要张开________ cm.三、解答题25.深圳市民中心广场上有旗杆如图1所示,某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度,如图2,某一时刻,旗杆AB的影子一部分落在平台上,另一部分落在斜坡上,测得落在平台上的影长BC为16米,落在斜坡上的影长CD为8米,AB⊥BC;同一时刻,太阳光线与水平面的夹角为45°.1米的标杆EF竖立在斜坡上的影长FG为2米,求旗杆的高度.26.如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,3)、B(-1,0)、C(4,0).(1)经过平移,可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合,请直接写出此时点C的对应点C1坐标;(不必画出平移后的三角形)(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°,得到△A′BC′,画出△A′BC′并写出A′点的坐标;(3)以点A为位似中心放大△ABC,得到△AB2C2,使放大前后的面积之比为1∶4,请你在网格内画出△A2B2C2.27.如图,梯形ABCD内接于⊙O,BC∥AD,AC与BD相交于点E,在不添加任何辅助线的情况下:(1)图中共有几对全等三角形,请把它们一一写出来,并选择其中一对全等三角形进行证明;(2)若BD平分∠ADC,请找出图中与△ABE相似的所有三角形.28.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点).(1)△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;(2)请以△ABC的B点为位似中心画相似三角形,使得该三角形与△ABC的相似比为1∶2.29.如图,△ABC∽△A′BC′,AD、A′D′分别是这两个三角形的高,EF、E′F′分别是这两个三角形的中位线,与相等吗?为什么?30.如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点四边形ABCD(顶点是网格线的交点),按要求画出四边形AB1C1D1和四边形AB2C2D2.(1)以A为旋转中心,将四边形ABCD顺时针旋转90°,得到四边形AB1C1D1;(2)以A为位似中心,将四边形ABCD作位似变换,且放大到原来的两倍,得到四边形AB2C2D2.31.如图,某同学想测量旗杆的高度,他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米,在同时刻测量旗杆的影长时,旗杆的影子一部分落在地面上(BC),有一部分落在斜坡上(CD),他测得落在地面上影长为10米,留在斜坡上的影长为2米,∠DCE为45°,则旗杆的高度约为多少米?(参考数据:≈1.4,≈1.7)32.如图,在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系,已知△ABC三个顶点分别为A(-1,2)、B(2,1)、C(4,5).(1)画出△ABC关于x对称的△A1B1C1;(2)以原点O为位似中心,在x轴的上方画出△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2,并求出△A2B2C2的面积.答案解析1.【答案】C【解析】∵以原点O为位似中心,相似比为2,将△OAB放大为△OA′B′,点A(-2,4),∴A′点的坐标为(-4,8),B′(4,-8).故选C.2.【答案】C【解析】∵如图,连接CA,DB,并延长,则交点即为它们的位似中心.∴它们的位似中心是P3.故选C.3.【答案】D【解析】由图可知,点B的坐标为(3,-2),以点C为位似中心,在网格中画△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC位似,且△A1B1C1与△ABC 的位似比为2∶1,则点B1的坐标为(5,0)或(1,-6),故选D.4.【答案】C【解析】∵DE∥BC,∴=,即=,解得BD=8,故选C.5.【答案】B【解析】∵OA=3OC,OB=3OD,∴OA∶OC=OB∶OD=3∶1,∠AOB=∠DOC,∴△AOB∽△COD,∴==,∴AB=3CD=3×1.8=5.4( cm).故选B.6.【答案】A【解析】∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形,OA∶OA′=2∶3,∴DA∶D′A′=OA∶OA′=2∶3,∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为=,故选A.7.【答案】D【解析】∵△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE,∠ACB=∠AED,∴∠BAC=∠DAE,BC=DE,故②正确;∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠1=∠2,故①正确;∵△ABC≌△ADE,∴AB=AD,AC=AE,∴=,∵∠1=∠2,∴△ABD∽△ACE,故③正确;∵∠ACB=∠AEF,∠AFE=∠OFC,∴△AFE∽△OFC,∴=,∠2=∠FOC,即=,∵∠AFO=∠EFC,∴△AFO∽△EFC,∴∠FAO=∠FEC,∴∠EAO+∠ECO=∠2+∠FAO+∠ECO=∠FOC+∠FEC+∠ECO=180°,∴A、O、C、E四点在同一个圆上,故④正确.故选D.8.【答案】D【解析】∵2∶x=3∶9,∴3x=18,∴x=6,故选D.9.【答案】C【解析】A.所有矩形,属于形状不唯一确定的图形,不一定相似,故错误;B.所有等腰三角形,属于形状不唯一确定的图形,不一定相似,故错误;C.所有等边三角形,图形的形状相同,但大小不一定相同,符合相似性的定义,故正确;D.所有菱形,属于形状不唯一确定的图形,不一定相似,故错误.故选C.10.【答案】C【解析】∵一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元,∴每平方厘米的广告费为180÷50=元,∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为30×15×=1 620元故选C.11.【答案】A【解析】∵2a=3b,∴a∶b=3∶2.故选A.12.【答案】A【解析】以O为位似中心,按比例尺1∶2,把△EFO缩小,则点E的对应点E′的坐标为(-4×,2×)或,即(2,-1)或(-2,1),故选A.13.【答案】2∶1【解析】过C点作CP∥AB,交DE于P,如图,∵PC∥AE,∴=,而AM=CM,∴PC=AE,∵AE=AB,∴CP=AB,∴CP=BE,∵CP∥BE,∴==,∴BD=3CD,∴BC=2CD,即BC∶CD为2∶1,14.【答案】(-4,-3)或(2,3)【解析】∵直线y=x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,令x=0,可得y=1;令y=0,可得x=-1,∴点A和点B的坐标分别为(-1,0);(0,1),∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为1∶3,∴==,∴O′B′=3,AO′=3,∴B′的坐标为(-4,-3)或(2,3).15.【答案】3【解析】图中不全等的相似三角形有3对.∵△ABC与△AFG是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠F=90°,∴∠C=∠B=∠FAG=∠G=45°,∵∠CEA=∠B+∠EAB,∠DAB=∠FAG+∠EAB,∴∠CEA=∠BAD,∴△CAE∽△BDA;∴△BDA∽△ADE;∴△CAE∽△ADE.16.【答案】(-2,)【解析】由题意,得△A′OB′与△AOB的相似比为2∶3,又∵B(3,-2)∴B′的坐标是,即B′的坐标是(-2,).17.【答案】1∶4【解析】∵D、E分别是边AB、AC的中点,∴DE∥BC,DE=BC,∴△ADE∽△ABC,∴S△ADE:S△ABC==,故答案为1∶4.18.【答案】(1)和(9),(2)和(4),(3)和(10),(5)和(7)【解析】通过观察:(1)和(9)的形状相同.(2)和(4)的形状相同.(3)和(10)的形状相同.(5)和(7)的形状相同.19.【答案】【解析】∵OA=1,OC=,∴点B的坐标为(-1,),∴矩形AOCB的对角线交点的坐标为(,),则矩形A1OC1B1的对角线交点的纵坐标为×==,则矩形A100OC100B100的对角线交点的纵坐标为.20.【答案】【解析】∵线段AD、BE是△ABC的中线,∴=,=,∵EF∥BC,=,∴=.21.【答案】1∶3∶5【解析】∵DE∥FG∥BC,∴△ADE∽△AFG∽△ABC,∵AD=DF=FB,∴AD∶AF∶AB=1∶2∶3,∴S△ADE∶S△AFG∶S△ABC=1∶4∶9,∴SⅠ∶SⅡ∶SⅢ=1∶3∶5.22.【答案】(1,)或(-1,)【解析】在同一象限内,∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形,其中相似比是2∶1,A坐标为(2,3),∴则点A′的坐标为(1,),不在同一象限内,∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形,其中相似比是2∶1,A坐标为(2,3),∴则点A′的坐标为(-1,).23.【答案】【解析】∵O是△ABC内任意一点,D、E、F分别为AO、BO、CO上的点,且△ABC与△DEF 是位似三角形,位似中心为O.AD=AO,∴=,则△ABC与△DEF的位似比为.24.【答案】3【解析】∵AB=2BC,BD=2BE,∴△ADB∽△CEB,∴AD∶EC=AB∶BC,当AD=PQ=6 cm时,∴6∶EC=2∶1,解得EC=3 cm.25.【答案】解如图作CM∥AB交AD于M,MN⊥AB于N.∵△MCD∽△PQR,∴=,即=,CM=4(米),又∵MN∥BC,AB∥CM,∴四边形MNBC是矩形,∴MN=BC=16米,BN=CM=4米.∵在直角△AMN中,∠AMN=45°,∴AN=MN=16米,∴AB=AN+BN=20米.【解析】如图作CM∥AB交AD于M,MN⊥AB于N,根据=,求出CM,在Rt△AMN 中利用等腰直角三角形的性质求出AN即可解决问题.26.【答案】解(1)∵经过平移,可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合,∴A点向下平移3个单位,再向左平移3个单位,故C1坐标为(1,-3);(2)如图所示:△A′BC′即为所求,A′点的坐标为(-4,4);(3)如图所示:△AB2C2,即为所求.【解析】(1)直接利用平移的性质得出A点平移规律,进而得出答案;(2)直接利用旋转的性质得出对应点位置,进而得出答案;(3)直接利用位似图形面积比得出相似比为1∶2,即可得出对应点位置.27.【答案】解(1)图中共有三对全等三角形:①△ADB≌△DAC,②△ABE≌△DCE,③△ABC≌△DCB;选择①△ADB≌△DAC证明:在⊙O中,∠ABD=∠DCA,∠BCA=∠BDA,∵BC∥AD,∴∠BCA=∠CAD.∴∠CAD=∠BDA.在△ADB与△DAC中,∵∴△ADB≌△DAC.(2)图中与△ABE相似的三角形有△DCE,△DBA,△ACD.【解析】(1)已知BC∥AD,可得出的条件有=,=;即AB=CD、AC=BD、∠BAC =∠CDB、∠BCA=∠CBD;再根据AD=AD、∠AEB=∠CED,可得出的全等三角形有:①△ADB≌△DAO(SSS);②△ABE≌△DCE(AAS);③△ABC≌△DCB(AAS).(2)BD平分∠ADC,那么==.可根据圆周角定理得出的相等角进行判断.28.【答案】解(1)如图所示:△A1B1C1,即为所求;(2)如图所示:△BEF和△BDN即为所求.【解析】(1)利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案;(2)利用位似图形的性质结合位似中心得出对应点位置进而得出答案.29.【答案】解与相等.理由如下:∵△ABC∽△A′B′C′,∴=,∵EF、E′F′分别是这两个三角形的中位线,∴==,∴=,∴=,∵AD、A′D′分别是这两个三角形的高,∴=,∴=.【解析】先根据相似的性质,由△ABC∽△A′B′C′得到=,再根据三角形中位线性质,得==,利用比例性质变形为=,所以=,然后根据相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比得到=,于是有=.30.【答案】解(1)如图,四边形AB1C1D1为所作;(2)如图,四边形AB2C2D2为所作.【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出点B、C、D的对应点B1、C1、D1即可得到四边形AB1C1D1;(2)延长BA到B2,使B2A=2BA,则点B2为点B的对应点,同样方法作出点C和D的对应点C2、D2,则四边形AB2C2D2满足条件.31.【答案】解延长AD交BC的延长线于点F,过点D作DE⊥BC于点E,∵CD=2米,∠DCE=45°,∴DE=CE=米,∵同一时刻物高与影长成正比,∴=,解得EF=2DE=2米,∵DE⊥BC,AB⊥BC,∴△EDF∽△ABF,∴=,即=,∴AB=5+≈7.1米.答:旗杆的高度约为7.1米.【解析】延长AD交BC的延长线于点F,过点D作DE⊥BC于点E,根据勾股定理求出ED 的长,再由同一时刻物高与影长成正比得出EF的长,根据DE∥AB可知△EDF∽△ABF,由相似三角形的对应边成比例即可得出AB的长.32.【答案】解(1)如图所示,△A1B1C1就是所求三角形(2)如图所示,△A2B2C2就是所求三角形∵A(-1,2),B(2,1),C(4,5),△A2B2C2与△ABC位似,且位似比为2,∴A2(-2,4),B2(4,2),C2(8,10),∴S△A2B2C2=8×10-×6×2-×4×8-×6×10=28.【解析】(1)画出A、B、C关于x轴的对称点A1、B1、C1即可解决问题;(2)连接OB延长OB到B2,使得OB=BB2,同法可得A2、C2,△A2B2C2就是所求三角形.人教版九下数学《第27章相似》单元测试卷(解析版)一.选择题(共10小题)1.已知2x=3y,则下列比例式成立的是()A.=B.=C.=D.=2.已知线段a、b、c、d满足ab=cd,把它改写成比例式,错误的是()A.a:d=c:b B.a:b=c:d C.d:a=b:c D.a:c=d:b 3.已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则下列等式中成立的是()A.AB2=AC•CB B.CB2=AC•AB C.AC2=BC•AB D.AC2=2BC•AB 4.AD是△ABC的中线,E是AD上一点,AE:ED=1:3,BE的延长线交AC于F,AF:FC=()A.1:3B.1:4C.1:5D.1:65.通过一个3倍的放大镜看一个△ABC,下面说法正确的是()A.△ABC放大后,∠A是原来的3倍B.△ABC放大后周长是原来的3倍C.△ABC放大后,面积是原来的3倍D.以上都不对6.如图,一张矩形纸片ABCD的长AB=a,宽BC=b.将纸片对折,折痕为EF,所得矩形AFED与矩形ABCD相似,则a:b=()A.2:1B.:1C.3:D.3:27.如图所示,△ACB∽△A′CB′,∠BCB′=30°,则∠ACA′的度数为()A.20°B.30°C.35°D.40°8.如图,已知在△ABC中,P为AB上一点,连接CP,以下条件中不能判定△ACP∽△ABC 的是()A.∠ACP=∠B B.∠APC=∠ACB C.D.9.如图,点F是▱ABCD的边CD上一点,直线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是()A.=B.=C.=D.=10.如图,身高1.6m的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影BA由B向A走去,当走到C点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得BC=3.2m,CA=0.8m,则树的高度为()A.4.8 m B.6.4 m C.8 m D.10 m二.填空题(共5小题)11.已知3x=5y,则=.12.在比例尺为1:2000的地图上,测得A、B两地间的图上距离为4.5厘米,则其实际距离为米.13.点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),AB=2,则AC=.(用根号表示)14.如图,在△ABC中,DE∥BC,若AD=1,DB=2,则的值为.15.若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍,则此三角形的周长扩大为原来的倍.三.解答题(共5小题)16.已知线段a、b、c满足,且a+2b+c=26.(1)求a、b、c的值;(2)若线段x是线段a、b的比例中项,求x.17.如图,A、B两地隔着湖水,从C地测得CA=50m,CB=60m,∠ACB=145°,用1厘米代表10米(就是1:1000的比例尺)画出如图的图形.量出AB的长(精确到1毫米),再换算出A、B间的实际距离.18.定义:如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC•AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图2,△ABC中,AB=AC=2,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证:点D是线段AC的黄金分割点;(2)求出线段AD的长.19.如图,已知AD∥BE∥CF,它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F.(1)如果AB=6,BC=8,DF=21,求DE的长;(2)如果DE:DF=2:5,AD=9,CF=14,求BE的长.20.如图,菱形、矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时,应保证相似图形的“接近度”相等.(1)设菱形相邻两个内角的度数分别为m°和n°,将菱形的“接近度”定义为|m﹣n|,于是|m﹣n|越小,菱形越接近于正方形.①若菱形的一个内角为70°,则该菱形的“接近度”等于;②当菱形的“接近度”等于时,菱形是正方形.(2)设矩形相邻两条边长分别是a和b(a≤b),将矩形的“接近度”定义为|a﹣b|,于是|a﹣b|越小,矩形越接近于正方形.你认为这种说法是否合理?若不合理,给出矩形的“接近度”一个合理定义.2019年人教版九下数学《第27章相似》单元测试卷参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.【分析】把各个选项依据比例的基本性质,两内项之积等于两外项之积,已知的比例式可以转化为等积式2x=3y,即可判断.【解答】解:A、变成等积式是:xy=6,故错误;B、变成等积式是:3x=2y,故错误;C、变成等积式是:2x=3y,故正确;D、变成等积式是:3x=2y,故错误.故选:C.【点评】本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法,即转化为等积式,判断是否相同即可.2.【分析】根据比例的基本性质:两外项之积等于两内项之积.对选项一一分析,选出正确答案.【解答】解:A、a:d=c:b⇒ab=cd,故正确;B、a:b=c:d⇒ad=bc,故错误;C、d:a=b:c⇒dc=ab,故正确;D、a:c=d:b⇒ab=cd,故正确.故选:B.【点评】掌握比例的基本性质,根据比例的基本性质实现比例式和等积式的互相转换.3.【分析】把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值()叫做黄金比.【解答】解:根据线段黄金分割的定义得:AC2=BC•AB.故选:C.【点评】本题主要考查了黄金分割的概念,找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键,难度适中.4.【分析】作DH∥BF交AC于H,根据三角形中位线定理得到FH=HC,根据平行线分线段成比例定理得到==,计算得到答案.【解答】解:作DH∥BF交AC于H,∵AD是△ABC的中线,∴FH=HC,∵DH∥BF,∴==,∴AF:FC=1:6,故选:D.【点评】本题考查平行线分线段成比例定理,灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.5.【分析】根据相似三角形的性质,相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方来判断.【解答】解:用一个能放大3倍的放大镜看△ABC,则看到的三角形与△ABC相似,相似比是3:1,A、两个相似三角形的对应角相等,故A错;B、周长的比等于相似比,即△ABC放大后,周长是原来的3倍,故B正确;C、面积的比是相似比的平方,即9:1,△ABC放大后,面积是原来的9倍,故C错;D、A选项错误,故D错.故选:B.【点评】本题考查对相似三角形性质的理解.(1)相似三角形周长的比等于相似比.(2)相似三角形面积的比等于相似比的平方.(3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.6.【分析】根据折叠性质得到AF=AB=a,再根据相似多边形的性质得到=,即=,然后利用比例的性质计算即可.【解答】解:∵矩形纸片对折,折痕为EF,。
人教版九年级数学下册第27章相似 章节 基础检测含答案
27.1 图形的相似一、基础训练1.在比例尺为1:5000的地图上,量得甲、乙两地的距离为25cm,则甲、乙两地的实际距离是()A.1250kmB.125kmC.12.5kmD.1.25km2.下列四个结论:①两个菱形相似;②两个矩形相似;③两个正方形相似;④两个等腰梯形相似.其中正确的结论的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列说法正确的是()A.相似三角形一定全等B.不相似的三角形不一定全等C.全等三角形不一定是相似三角形D.全等三角形一定是相似三角形4.已知△AB C∽△A1B1C1,顶点A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1,∠A=55°,∠B=100°,则∠C1的度数是()A.55°B.100°C.25°D.不能确定5.要做甲、乙两种形状相同(相似)的三角形框架,已知三角形框架甲的三边分别为50cm、60cm、80cm,三角形框架乙的一边长为20cm,那么,符合条件的三角形框架乙共有()A.1种B.2种C.3种D.4种6.把△ABC的各边分别扩大为原来3倍,得到△A1B1C1,下列结论不能成立的是()A.△AB C∽△A1B1C1B.△AB C与△A1B1C1的各对应角相等C.△AB C与△A1B1C1的相似比为3:1D.△AB C与△A1B1C1的相似比为1:37.已知线段3、4、6与x成比例线段,则x=_________________.8.两个三角形相似,其中一个三角形两个内角分别是40°、60°,那么另一个三角1 / 31形的最大角为__________,最小角为______________.二、能力训练.9.如图△ABC与△DEF相似,求未知边x、y的长度10.如图,△ABC中,D、E分别在边AB、AC上,DE∥BC,线段的长度如图所示,求证:△ABC∽△ADE.2 / 313 / 3111.如图,若56DE BC AE AC AD AB ===,且△ABC 与△ADE 周长差为4,求△ABC 与△ADE 的周长.12.一个矩形截去一个边长与宽相等的正方形后,所得的矩形仍与原矩形相似,求原矩形与宽的比.27.2《相似三角形性质与判定》一、选择题1.已知△ABC 与△A 1B 1C 1相似,且相似比为3:2,则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为( )A.1:1B.3:2C.6:2D.9:42.若△ABC ∽△DEF ,AB=2DE ,△ABC 面积为8,则△DEF 的面积为( )A.1B.2C.4D.83.如图,在△ABC 中,DE ∥AB ,且CD:BD=3:2,则CE:CA 的值为( )A.0.6B.2/3C.0.8D.1.54.一个三角形支架三条边长分别是75cm,100cm,120cm,现要再做一个与其相似的三角形木架,而只有长为60cm,120cm的两根木条,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段作为另两边(允许有余料),则不同的截法有()A.一种B.两种C.三种D.四种5.已知△ABC∽△DEF,相似比为3:1,且△ABC的周长为18,则△DEF的周长为()A.2B.3C.6D.546.已知△ABC∽△DEF,S△ABC:S△DEF=1:9,若BC=1,则EF的长为()A.1B.2C.3D.97.如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,且DE∥BC,若AE=1,CE=AD=2,则AB的长是()A.6B.5C.4D.28.下列命题是真命题的是()A.如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为2:3B.如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的周长比为4:9C.如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为2:3D.如果两个三角形相似,相似比为4:9,那么这两个三角形的面积比为4:99.如图,为了估计河的宽度,在河的对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P,Q,S在一条直线上,且直线PS与河垂直,在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS=60m,ST=120m,QR=80m,则河的宽度PQ为A.40mB.60mC.120mD.180m4 / 3110.如图,是一种雨伞的轴截面图,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF=40 cm,当点O沿AD滑动( )时,雨伞开闭.若AB=3AE,AD=3AO,此时B,D两点间的距离为A.60 cmB.80 cmC.100 cmD.120 cm11.如图,D、E是AB的三等分点,DF∥EG∥BC,图中三部分的面积分别为S1,S2,S3,则S1:S2:S3=()A.1:2:3B.1:2:4C.1:3:5D.2:3:412.如图,在□ABCD中,AB=5,BC=8,∠ABC,∠BCD的角平分线分别交AD于E和F,BE与CF交于点G,则△EFG与△BCG面积之比是()A.5:8B.25:64C.1:4D.1:16二、填空题.13.如图,△ABC中,D、E分别为AB、AC的中点,则△ADE与△ABC的面积比为是 .5 / 316 /3115.如图,在平行四边形ABCD 中,E 是边AB 的中点,连接DE 交对角线AC 于点F ,若CF=6,则AF 的长为_____.16.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,BF 平分∠ABC ,交DE 的延长线于点F.若AD=1,BD=2,BC=4,则EF=________.17.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在边DC 上,△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为9:16,则DE :EC=_____.18.如图,AG ∥BC ,如果AF :FB=3:5,BC :CD=3:2,那么AE :EC=_____.三、解答题19.如图所示,方格纸中每个小正方形的边长为1,△ABC 和△DEF 的顶点都在方格纸的格点上,判断△ABC 和△DEF 是否相似,并说明理由.7 /3120.为了估计河的宽度,勘测人员在河的对岸选定一个目标点A ,在近岸分别取点B 、D 、E 、C ,使点A 、B 、D 在一条直线上,且AD ⊥DE ,点A 、C 、E 也在一条直线上,且DE ∥BC.经测量BC=24米,BD=12米,DE=40米,求河的宽度AB 为多少米?21.如图,一块直角三角板的直角顶点P 放在正方形ABCD 的BC 边上,并且使条直角边经过点D ,另一条直角边与AB 交于点Q.请写出一对相似三角形,并加以证明.(图中不添加字母和线段)22.如图,在△ABC中,AB=AC,点P在BC上.(1)求作:△PCD,使点D在AC上,且△PCD∽△ABP;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)(2)在(1)的条件下,若∠APC=2∠ABC,求证:PD//AB.23.如图,在△ABC中,AD、BE是中线,它们相交于点F,EG//BC,交AD于点G.(1)求证:△FGE∽△FDB;(2)求AG:DF的值.8 / 3124.如图,在正方形ABCD中,点E是BC的中点,点P在BC的延长线上,AP与DE、CD 分别交于点G、F.DF=2CF,AB=6,求DG的长.25.已知:如图,在△ABC中,点D在边AC上,BD的垂直平分线交CA的延长线于点E,交BD于点F,联结BE,ED2=EA•EC.(1)求证:∠EBA=∠C;(2)如果BD=CD,求证:AB2=AD•AC.9 / 31参考答案1.答案为:D2.答案为:B3.答案为:A4.答案为:B5.答案为:C6.答案为:C7.答案为:A8.答案为:B9.答案为:C.10.答案为:D11.答案为:C12.答案为:D13.答案为:1:4.14.答案为:1:4.15.答案为:316.答案为:2/3.17.答案为:3:118.答案为:3:2;10 / 3119.△ABC和△DEF相似,理由如下:20.解析根据题意得出△ABE∽△CDE,进而利用相似三角形的性质得出答案.解:设宽度AB为x米,∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE ,∴=,又∵BC=24,BD=12,DE=40代入得∴=,解得x=18,答:河的宽度为18米.21.△BPQ∽△CDP,证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°,∵∠QPD=90°,∴∠QPB+∠BQP=90°,∠QPB+∠DPC=90°,∴∠DPC=∠PQB,∴△BPQ∽△CDP.22.解:(1)∵△PCD∽△ABP,∴∠CPD=∠BAP,故作∠CPD=∠BAP即可,如图,即为所作图形,(2)∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠ABC+∠BAP=2∠ABC,∴∠BAP =∠ABC,11 / 31∴∠BAP=∠CPD=∠ABC,即∠CPD =∠ABC,∴PD∥AB.23.解:24.解:在正方形ABCD中,有△PCF∽△PBA∴而DF=2CF,即CF=CD∴=∴=即而AB=BC=6,∴PC=3又∵点E是BC的中点∴DE=3,PE=6∵AD∥EP ∴△PGE∽△AGD∴而PE=AD=6,∴GE=GD=故DG 的长为.25.解:(1)证明:∵ED2=EA•EC,12 / 31∴=,∵∠BEA=∠CEB,∴△BAE∽△CEB,∴∠EBA=∠C.(2)证明:∵EF垂直平分线段BD,∴EB=ED,∴∠EDB=∠EBD,∴∠C+∠DBC=∠EBA+∠ABD,∵∠EBA=∠C,∴∠DBC=∠ABD,∵DB=DC,∴∠C=∠DBC,∴∠ABD=∠C,∵∠BAD=∠CAB,∴△BAD∽△CAB,∴=,∴AB2=AD•AC.27.3位似1.下列说法中,正确的个数是( )①位似图形一定是相似图形;②相似图形一定是位似图形;③两个位似图形若全等,则位似中心在两个图形之间;④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似,则其中△ABC与△A′B′C′也是位似的,且位似比相等.A.1B.2C.3D.42.位似图形的中心可能在两个图形__________,也可能在两个图形__________,还可能在两个图形的__________.3.指出下列各组位似图形的位似中点.13 / 3114 / 314.如图,△ACB 与△DFE 是位似图形,则)()()(ABBP AP ==.4题图 互动训练知识点一:位似图形的概念及性质 1.下列说法错误的是( ) A. 相似图形不一定是位似图形 B. 位似图形一定是相似图形 C. 同一底版的两张照片是位似图形D. 放幻灯时,底片上的图形和银幕上的图形是位似图形2.两个位似多边形一对对应顶点到位似中心的距离比为1∶2,且它们面积和为80,则较小的多边形的面积是( )A.16B.32C.48D.643.按如下方法,将△ABC 的三边缩小为原来的21,如图,任取一点O ,连结AO 、BO 、CO ,并取它们的中点D 、E 、F ,得△DEF . 则下列说法中正确的个数是( )①△ABC 与△DEF 是位似图形 ②△ABC 与△DEF 是相似图形 ③△ABC 与△DEF 的周长比为2∶1 ④△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1 A.1 B.2 C.3 D.415 /313题图 4题图4.如图,五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′位似,对应边CD =2,C′D′=3. 若位似中心P 点到点A 的距离为6,则P 到A′的距离为________________.5.如图,在△ABC 中,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,△ADE 和△ABC 是位似图形,DE =1,BC =3,AB =6,求AD 的长.5题图知识点二:利用位似图形进行作图6.画出图中位似图形的位似中心..7.利用位似的方法把下图缩小一倍,要求所作的图形在原图内部8.如图,已知O是四边形ABCD的边AB上的任意一点,且EH∥AD,HG∥DC,GF∥BC.试说明四边形EFGH与四边形ABCD是否位似,并说明你的理由.16 / 3131 8题图9. 如图,在△ABC中,BC=1,AC=2,∠C=90°.9题图(1)在方格纸①中,画△A′B′C′,使△A′B′C′∽△ABC,且相似比为2∶1;(2)若将(1)中△A′B′C′称为“基本图形”,请你利用“基本图形”,借助旋转、平移或轴对称变换,在方格纸②中设计一个以点O为对称中心,并且以直线l为对称轴的图案.17 /知识点三:位似图形的应用10.一般室外放映的电影胶片上,每一个图片的规格为3.5 cm×3.5 cm,放映的银幕的规格是2 m×2 m,若影机的光源距胶片20 cm时,问银幕应拉在离镜头多远的地方,放映的图像刚好布满整个银幕?11.如图,已知矩形ABCD与矩形EFGH是位似图形,OB∶OF=3∶5,求矩形.ABCD与矩形EFGH的面积比12.在直角坐标系中,有一个Rt△AOB,且两直角边长分别为OA=4,OB=3,如图.(1)请直接写出A、B两点的坐标.(2)将△AOB作下列运动,画出相应的图形,指出3个顶点的坐标发生的变化(不必写计算过程).①关于原点对称;18 / 3119 / 31②将△AOB 以O 点为位似中心,缩小1倍.12题图课时达标1.如图,BC ∥ED ,下列说法不正确的是( )A .两个三角形是位似图形B .点A 是两个三角形的位似中心C .B 与D 、C 与E 是对应位似点 D .AE ︰AD 是相似比1题图 2题图2.如图是小孔成像原理的示意图,根据图中所标注的尺寸,这支蜡烛在暗盒中所成的像CD 的长是( ) A. 61 cm B .31 cm C. 21cm D.1 cm3.在图中,①中的两个图形是位似图形,③中的两个图形也是位似图形,②中的两个图形不是位似图形.(1)分别指出图①③各自的位似中心.(2)在图①中任取一对对应点,度量这两个点到位似中心的距离.它们的比与位似比有什么关系?在图③中再试一试,还有类似的规律吗?4.如图,已知△ABC与△A′B′C′是位似图形,则AB∥A′B′,BC∥B′C′吗?说明理.由5.如图中的图案是由A字图案(虚线图案)经过变换后得到的,试问该变换是位似变换吗?为什么?20 / 3131 5题图6.如图,△ABC和△A′B′C′为位似图形,写出六个顶点的坐标,并指出△ABC和△A′B′C′的位似比.6题图7.已知图,作出一个新图形,使新图形与原图形的位似比为2∶1.7题图21 /8.如图,在水平桌面上的两个“E”,当点P1、P2、O在一条直线上时,在点O 处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同.(1)图中b1,b2,l1,l2满足怎样的关系式?(2)若b1=3.2 cm,b2=2 cm,①号“E”的测试距离l1=8 m,要使测得的视力相同,?则②号“E”的测试距离l2应为多少9.印刷一张矩形的张贴广告如图所示,它的印刷面积为32 dm2,上下空白各1 dm,两边空白各0.5 dm,设印刷部分从上到下的长为x dm,四周空白处的面积为S dm2.(1)求S与x的关系式;(2)当要求空白处的面积为18 dm2时,求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少?.(3)内外两个图形是位似图形吗?如果是,请说明理由22 / 31拓展探究1.如图,8×8方格纸上的两条对称轴EF、MN相交于中心点O,对△ABC分别作下列变换:①先以点A为中心顺时针方向旋转90°,再向右平移4格、向上平移4格;②先以点O为中心作中心对称图形,再以点A的对应点为中心逆时针方向旋转90°;③先以直线MN为轴作轴对称图形,再向上平移4格,再以点A的对应点为中心顺时针方向旋转90°.其中,能将△ABC变换成△PQR的是( )A.①②B.①③C.②③D.①②③1题图2题图2.如图,在直角坐标系中,右边的图案是由左边的图案经过平移以后得到的.左图案中左右眼睛的坐标分别是(-4,2)、(-2,2),右图中左眼的坐标是(3,4),则右图案中右眼的坐标是__________.3.正方形网格中,每个小正方形的边长为1个单位,以O为原点建立平面直角坐标系,圆心为A(3,0)的⊙A被y轴截得的弦长BC=8,如图所示,23 / 3124 /313题图解答下列问题:(1)⊙A 的半径为__________;(2)请在图中将⊙A 先向上平移6个单位,再向左平移8个单位得到⊙D ,观察你所画的图形知⊙D 的圆心D 点的坐标是__________;⊙D 与x 轴的位置关系是__________;⊙D 与y 轴的位置关系是__________;⊙D 与⊙A 的位置关系是__________.(3)画出以点E(-8,0)为位似中心,将⊙D 缩小为原来的21的⊙F.27.3位似(第1课时)答案自主预习1. C. 解析:位似图形是相似图形,但相似图形不一定是位似图形,因而①对,②错.若两个位似图形全等,则其对应线段的比为1,因而位似中心到任意一对对应25 / 31点的距离之比等于1,即位似中心在两个图形之间,因而③对.相似多边形中的对应三角形相似,因而△ABC ∽△A′B′C′.又因为过这两个相似三角形对应点的直线都经过位似中心,所以△ABC 与△A′B′C′也是位似的,且位似比为B A AB '',即为原多边形的位似比.因而④对.答案:C2. 之间,同侧,内部. 解析:根据位似图形的意义.3. (1) P 点;(2) P 点. 解析:由位似图形意义.4. DP 、EP 、DE . 解析:对应点到位似中心的距离的比等于相似比. 互动训练1. C. 解析:位似是相似的特例,选项A 、B 都正确;选项C 不能确定两张照片的位置,它们不一定位似;选项D 是正确的.答案:C2. A. 解析:位似形必定相似,具备相似形的性质,其相似比等于一对对应顶点到位似中心的距离比. 相似比为1∶2,则面积比为1∶4,由面积和为80,得到它们的面积分别为16,64.答案:A3. D. 解析:此题缩小图形的根据是位似图形的性质.这样作出的图形与原图形位似,位似比为OB OE =21,即△ABC ∽△DEF,且相似比为12=OE OB .因而周长为2∶1,面积比为4∶1. 答案:D4. 9. 解析:由位似中心到两图形对应点的比等于相似比可求得答案.5.解:∵△ADE 与△ABC 是位似图形,∴△ADE ∽△ABC .所以BCDE AB AD =. ∵DE =1, BC =3, AB =6, ∴316=AD . ∴AD =2,即AD 的长为2. 6.如图所示26 /317. 解:(1)在五边形ABCDE 内部任取一点O .(2)以点O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE .(3)分别在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上取点A′、B′、C′、D′,使OA ∶OA′=OB ∶OB′=OC ∶OC′=OD ∶OD′=OE ∶OE′=2.(4)连接A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.得到所要画的多边形A′B′C′D′E′(如图).7题图8. 解:四边形EFGH ∽四边形ABCD .理由:∵EH ∥AD ,∴△OEH ∽△OAD .∴∠1=∠A ,∠2=∠3,OD OH AD EH OA OE ==. 同理∠4=∠5,∠6=∠7,OCOG DC HG OD OH ==,27 / 31∠8=∠9,∠10=∠B,OB OF BC FG OC OG ==. ∴∠2+∠4=∠3+∠5,即∠EHG =∠ADC .∴∠6十∠8=∠7+∠9,即∠HGF =∠DCB .∴k ADEH OB OF OA OE ===. ∴OE =k·OA ,OF =k·OB .∴k OB OA OB OA k OB OA OF OE =++=++)(,即k ABEF =. ∴∠1=∠A ,∠EHG =∠ADC ,∠HGF =∠DCB ,∠10=∠B ,BCFG DC HG AD EH AB EF ===. ∴四边形EFGH ∽四边形ABCD .∵两个四边形各对应顶点的连线交于同一点O ,不经过点O 的其它三边平行,∴四边形EFGH 与四边形ABCD 是位似形.9. 如图,9题图10. 解:位似比为k=74005.3200=,设出银幕应拉在离镜头x m 的地方,则由位似图形的性质得740020=x,所以x=780m,故银幕应拉在离镜头780m的地方.11. 解:由位似可得,两个矩形相似,∴S矩形ABCD∶S矩形EFGH=(OB∶OF)2.∴S矩形ABCD∶S矩形EFGH=9∶2512. 解:(1) A (4, 0), B(0,3).(2) ①A1(-4,0), B1(0,-3), O(0,0). 如图:②如图, A2(2,0), B2(0,23), O(0,0).课时达标1. D.2. D. 解析:易得△ABO∽△CDO, 所以212=CDAB. 所以CD=1(cm).答案:D 3. (1)①③的位似中心分别为O、P点.(2)经过测量计算可推测得到对应点到位似中心的距离等于相似比.4. 解:AB∥A′B′,BC∥B′C′.理由如下:因为△ABC和△A′B′C′是位似图形,所以△ABC∽△A′B′C′.所以OAAO'=ABBAOBBO''='. 所以△OA′B′∽△OAB.所以∠OA′B′=∠OAB.所以A′B′∥AB.同理可得BC∥B′C′.28 / 315. 解:不是位似变换,原因一是看形状不同,二是4∶8≠4∶4,所以对应边不成比例.所以不是位似变换.6.解:六个顶点坐标为A(-1,4),A′(-0.5,2),B(6,2),B′(3,1),C(2,1),C′(1,0.5),位似比为2∶1.7. 解法一:(1)取关键点A、B、C、D,在图外取点P,作射线AP、BP、CP、DP;(2)在它们上面分别取A′、B′、C′、D′,使得P A′=2P A,PB′=2PB,PC′=2PC,PD′=2PD.(3)顺次连结A′、B′、C′、D′,四边形A′B′C′D′即为所求.如图(1),(1) (2) (3)解法二:(1)如图(2),在原图上取关键点A、B、C、D,在图形外取一点P,作出射线P A、PB、PC、PD;(2)在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,使P A′=2P A,PB′=2PB,PC′=2PC,PD′=2PD;(3)顺次连结A′,B′,C′,D′,则四边形A′B′C′D′即为所求作的新图形.解法三:(1)如图(3),在原图上取关键点A,B,C,D,在图内取一点P,作射线P A,PB,PC,PD;(2)在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,使P A=AA′,PB=BB′,PC=CC′,PD=DD′;(3)顺次连结A′,B′,C′,D′,则四边形A′B′C′D′即为所求作的新图形.8. 解:(1)∵△OD2P2∽△OD1P1, ∴b1∶b2=l1∶l2.29 / 3130 / 31 (2)由b 1∶b 2=l 1∶l 2, 得l 2=5 m.9. 解:(1)根据题意,得S=2×x×0.5+2×x 32×1+4×1×0.5=x+x 64+2, 即S=x+x64+2. (2)根据题意,得x+x64+2=18,整理,得x 2-16x+64=0.所以(x-8)2=0. 所以x=8.所以x+2=10.所以这张广告纸的长为10(dm),宽为832+2×0.5=5(dm). (3)内外两矩形是位似图形,理由如下:因为内,外两矩形的长,宽的比都为2, 所以45=''=''=''=''A D DA D C CD C B BC B A AB . 因为矩形的各角都为90°,所以矩形ABCD ∽矩形A′B′C′D′.因为AC 和BD ,A′C′和B′D′都相交于O 点,所以矩形ABCD 与矩形A′B′C′D′是位似图形.拓展探究1. D. 解析:本题考查图形变换的各种特征. 答案:D2. (5,4).3. (1)5. (2)如图,(-5,6),相离,相切,外切.(3)连接DE ,取DE 的中点F ,以F 为圆心,2.5为半径作圆.解析:本题用到圆的性质和在坐标系中图形变换的坐标变化.(1)连接AC ,根据垂径定理,有勾股定理可以计算;(2)⊙A 的平移实质是圆心的平移,因此点D 的坐标为(-5,6),由点D 的坐标看,⊙D 与x 轴相离,与y 轴相切,与⊙A 外切;(3)圆都可以看作是位似图形,位似中心在两圆圆心的连线上.31 /31。
人教版九年级数学下册《第二十七章 相似》教案
人教版九年级数学下册《第二十七章相似》教案一. 教材分析人教版九年级数学下册《第二十七章相似》主要讲述了相似图形的性质和判定方法。
本章内容包括相似图形的定义、相似比、相似多边形的性质、相似三角形的性质和判定、相似圆的性质和判定等。
这些内容是学生学习几何学的基础,对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础,对图形有了一定的认识。
但是,对于相似图形的定义和性质,学生可能还比较陌生,需要通过具体的例子和实践活动来加深理解。
此外,学生对于图形的变换和判定方法可能还不够熟练,需要通过大量的练习来提高。
三. 教学目标1.理解相似图形的定义和性质,能够判断两个图形是否相似。
2.掌握相似三角形的性质和判定方法,能够应用到实际问题中。
3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力,提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.相似图形的定义和性质的理解。
2.相似三角形的性质和判定方法的掌握。
3.图形变换的熟练运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法,通过引导学生思考和探索,激发学生的学习兴趣和积极性。
2.利用多媒体和实物模型,进行直观演示和操作,帮助学生建立直观的空间想象能力。
3.提供丰富的练习题,进行巩固和拓展,提高学生的解题能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.实物模型和图片。
3.练习题和答案。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过展示一些相似的图形,如字母“A”和“a”,让学生观察和思考,引出相似图形的概念。
2.呈现(10分钟)讲解相似图形的定义和性质,通过具体的例子和实物模型进行演示,让学生理解和掌握相似图形的特征。
3.操练(10分钟)让学生进行一些类似的练习题,巩固对相似图形的理解和判断能力。
可以提供一些提示和指导,帮助学生解决问题。
4.巩固(10分钟)通过一些综合性的练习题,让学生应用相似图形的性质和判定方法,解决实际问题。
教师可以给予一些帮助和指导,鼓励学生独立思考和解决问题。
北京四中九年级数学下册第二十七章《相似》综合知识点总结(含答案解析)
学校:__________ 姓名:__________ 班级:__________ 考号:__________一、选择题1.下列四个选项中的三角形,与图中的三角形相似的是( )A .B .C .D .2.如图,在ABC 中,AB AC ≠,AC 3AD =,3AB AE =,点F 为边BC 上一点,则下列条件不能保证FDB △与ADE 相似的是( )A .A BFD ∠=∠B .//DF AC C .BD DF DE AD = D .BD BF AE DE= 3.如图,直线////a b c ,直线m 分别交直线a ,b ,c 于点A ,B ,C ,直线n 分别交直线a ,b ,c 于点D ,E ,F ,若23=AB BC ,则DE DF 的值为( )33554.如图,点D 在ABC 的边AC 上,添加下列哪个条件后,仍无法判定ABC ADB ∽△△( )A .C ABD ∠=∠B .CBA ADB ∠=∠C .AB AD AC AB = D .AB BC AC BD = 5.如图,在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框,保证外框的边界与原图形对应边平行,则外框与原图一定相似的有( )A .1个B .2个C .3D .4个6.有下列四种说法:其中说法正确的有( )①两个菱形相似;②两个矩形相似;③两个平行四边形相似;④两个正方形相似. A .4个 B .3个 C .2个 D .1个7.如图,在ABC ,AB AC a ==,点D 是边BC 上的一点,且BD a =,1AD DC ==,则a 等于( )A .512+ B .512- C .1 D .2 8.如图,ABC 是等边三角形,被一平行于BC 的矩形所截(即:FG ∥BC),若AB 被截成三等分,则图中阴影部分的面积是ABC 的面积的( )99399.如图,直线l 1//l 2//l 3,分别交直线m 、n 于点A 、B 、C 、D 、E 、F .若AB ∶BC =5∶3,DE =15,则EF 的长为( )A .6B .9C .10D .25 10.已知P ,Q 是线段AB 的两个黄金分割点,且AB=10,则PQ 长为( ) A .5(5-1) B .5(5+1) C .10(5-2) - D .5(3-5) 11.如图,直线12//l l ,:2:3AF FB =,:2:1BC CD =,则:AE EC 是( )A .1:2B .1:4C .2:1D .3:2 12.已知线段a 、b 有52a b a b +=-,则:a b 为( ) A .5:1 B .7:2 C .7:3 D .3:713.如图,在矩形OABC 中,点A 和点C 分别在y 轴和x 轴上.AC 与BO 交于点D ,过点C 作CE BD ⊥于点E ,2DE BE =.若5CE =,反比例函数(0,0)k y k x x=>>经过点D ,则k =( )A .2B 352C .36D 3014.如图,△ABC 中,DE ∥BC ,25AD AB =,DE =3,则BC 的长为( )A .7.5B .4.5C .8D .6二、填空题15.如图圆内接正六边形ABCDEF 中,AC 、BF 交于点M .则:ABM AFM S S =△△___________.16.如图,点P 是ABC 的重心,过P 作BC 的平行线,分别交AC ,AB 于点D ,E ,作//DF EB ,交CB 于点F ,若ABC 的面积为227cm ,则DFC △的面积为______2cm .17.如图,D 是AC 上一点,//BE AC ,BE AD =,AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ,12∠=∠.若8DF =,4FG =,则GE =________.18.如图,ABC 中,1BC =.若113AD AB =,且11//D E BC ,照这样继续下去,12113D D D B =,且22//D E BC ;23213D D D B =,且33//DE BC ;…;1113n n n D D D B --=,且//n n D E BC 则101101=D E _________.19.贺哲同学的身高1.86米,影子长3米,同一时刻金老师的影子长2.7米,则金老师的身高为________米(结果保留两位小数)。
九年级数学下册第二十七章相似知识点归纳总结(精华版)(带答案)
九年级数学下册第二十七章相似知识点归纳总结(精华版)单选题1、如图,在四边形ABDC中,不等长的两对角线AD、BC相交于O点,且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形.若OA:OB=OC:OD=2:3,则此四个三角形的关系,下列叙述正确的是()A.甲与丙相似,乙与丁相似B.甲与丙相似,乙与丁不相似C.甲与丙不相似,乙与丁相似D.甲与丙不相似,乙与丁不相似答案:A分析:利用已知条件得到即OAOC =OBOD,加上对顶角相等,则可判断△AOB∽△COD;再利用比例性质得到AOOB=OCOD,而∠AOC=∠BOD,所以△AOC∽△BOD.解:∵OA:OB=OC:OD=2:3,即OAOC =OBOD,而∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD,∵OAOC =OBOD,∴AOOB =OCOD,∵∠AOC=∠BOD,∴△AOC∽△BOD.故选:A.小提示:本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用.2、两个相似六边形,若对应边之比为3:2,则这两个六边形的周长比为()A.9:4B.9:2C.3:1D.3:2答案:D分析:根据相似图形的性质求解即可.解:因为这两个六边形相似,所以这两个六边形的周长比=对应边之比=3:2,故选:D.小提示:本题考查相似多边形的性质,熟练掌握相似多边形的周长比等于相似比,即相似多边形的周长比等于对应边的比是解题的关键.3、若ab =cd=−2,则a−cb−d=()A.−2B.2C.−12D.12答案:A分析:根据ab =cd=−2,可知a=﹣2b,c=﹣2d,将a和c的值代入求值的代数式化简即可.解:∵ab =cd=−2,∴a=﹣2b,c=﹣2d,∴a−cb−d =−2b+2db−d=−2(b−d)(b−d)=−2.故选:A.小提示:本题考查了比例的性质,解题的关键是根据已知将a和c用b和d正确表示.4、在比例尺为1:50的图纸上,长度为10cm的线段实际长为()A.50cmB.500cmC.150cm D.1500cm答案:B分析:根据成比例线段的性质求解即可.解:∵1:50=10:500,∴长度为10cm 的线段实际长为500cm , 故选B .小提示:本题考查了成比例线段,掌握比例的性质是解题的关键.5、线段AB 的长为2,点C 是线段AB 的黄金分割点,则线段AC 的长可能是( ) A .√5+1B .2﹣√5C .3﹣√5D .√5﹣2 答案:C分析:根据黄金分割点的定义,知AC 可能是较长线段,也可能是较短线段,分别求出即可. 解:分两种情况讨论 (1)如图,∵点C 是线段AB 的黄金分割点,AB =2, ∴AC =√5−12AB =√5−12×2=√5﹣1, 或如图,AC =2﹣(√5﹣1)=3﹣√5,故选:C .小提示:本题主要考查了黄金分割的定义,熟记黄金分割的比值是解题的关键.6、如图,在△ABC 中,∠ABC =90°,以点A 为圆心,以AB 的长为半径作弧交AC 于点D ,连接BD ,再分别以点B ,D 为圆心,大于12BD 的长为半径作弧,两弧交于点P ,作射线AP 交BC 于点E ,连接DE ,则下列结论正确的是( )A.DE垂直平分AC B.△ABE∽△CBAC.BD2=BC⋅BE D.CE⋅AB=BE⋅CA答案:D分析:根据作图可知AP是∠BAC的角平分线,AB=AD,根据SAS证明△ABE≌△ADE,可得EB=ED,∠ADE=∠ABE=90°,根据面积法可得S△ABES△AEC =12AB⋅BE12AC⋅DE=12AB⋅BE12AB⋅EC,可得ABAC=BEEC即可判断D选项正确,其他选项无法证明.解:根据作图可知AP是∠BAC的角平分线,AB=AD,∴∠EAB=∠EAD,在△ABE与△ADE中,{AE=AE∠EAB=∠EADAB=AD,∴△ABE≌△ADE,∴EB=ED,∵∠ABC=90°,∴∠ADE=∠ABE=90°,∴BE⊥AB,ED⊥C,∵S△ABES△AEC =12AB⋅BE12AC⋅DE=12AB⋅BE12AB⋅EC,∴ABAC =BEEC,即CE⋅AB=BE⋅CA.A,B,C选项无法证明.故选:D.小提示:本题考查了作角平分线,全等三角形的性质与判定,三角形面积公式,证明两三角形相似,垂直平分线的性质,理解基本作图是解题的关键.7、如图,AG:GD=3:1,BD:DC=2:3,则AE:EC的值是()A.8:7B.6:5C.3:2D.8:5答案:B分析:过点作DF∥BE交AC于点F,根据平行线分线段成比例定理分别求出CFFE =CDDB=32,AEFE=AGGD=3,进而得到答案.解:如图,过点作DF∥BE交AC于点F,由平行线分线段成比例定理得,则CFEF =CDDB=32,AEEF=AGGD=3,∴CF=32EF,AE=3EF∴EC=CF+EF=52EF∴AE∶EC=3EF∶52EF=6:5,故选:B小提示:本题考查的是平行线分线段成比例定理,灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.8、如图,l1∥l2∥l3,若ABBC =23,DF=15,则EF=()A.5B.6C.7D.9答案:D分析:根据平行线分线段成比例定理可得ABBC =DEEF,根据题意,DE=DF−EF,进而求解.∵l1∥l2∥l3,∴ABBC =DEEF.∵ABBC =23,∴DEEF =23,∵DE=DF−EF,DF=15,∴15−EFEF =23,∴EF=9.故选:D.小提示:本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用,灵活运用平行线分线段成比例定理是解本题的关键.9、如图,C为线段AB的黄金分割点(AC<BC),且BC=2,则AB的长为()A.2√5+2B.2√5﹣2C.√5+1D.√5﹣3答案:C分析:黄金分割比定理:把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,它们的比值为√5−12,叫黄金分割比,由此进行求解即可.解:C为线段AB的黄金分割点,BC=2 ,AC<BC∴ACBC =BCAB=√5−12∴AC=2×√5−12=√5−1∴AB=AC+BC=√5−1+2=√5+1故选:C小提示:本题考查黄金分割定理,理解黄金分割定理的概念,熟悉比值是解题的关键.10、如图,点D、E分别在△ABC的边AB、BC上,下列条件中一定能判定DE∥AC的是()A.ADDB =BECEB.BDAD=BEECC.ADAB=CEBED.BDBA=DEAC答案:B分析:如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可.A.由ADDB =BECE,不能得到DE∥BC,故本选项不合题意;B.由BDAD =BEEC,能得到DE∥BC,故本选项符合题意;C.由ADAB =CEBE,不能得到DE∥BC,故本选项不合题意;D.由BDBA =DEAC,不能得到DE∥BC,故本选项不符合题意;故选B.小提示:本题考查了平行线分线段成比例定理的应用,如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.填空题11、如图,在△ABC中,点E在BC上,且BE=3EC.D是AC的中点,AE、BD交于点F,则AFEF的值为______.答案:43分析:过E点作EH∥AC交BD于点H,根据平行线分线段成比例定理,由EH∥CD得到EHCD =34,由于AD=CD,则EH AD =34,然后利用平行线分线段成比例定理得到AFEF的值.过E点作EH∥AC交BD于点H,如图:∵EH∥AC,∴EHCD =BEBC,∵BE=3EC,∴EHCD =3CE4CE=34,∵D为AC的中点,∴AD=CD,∴EHCD =EHAD=34,∵EH∥AD,∴AFEF =ADEH=43.故答案为43.小提示:本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.12、如图是测量河宽的示意图,AE与BC相交于点D,∠B=∠C=90°,测得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得河宽AB=______m.答案:100分析:由两角对应相等可得△BAD∽△CED,利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长.解:∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°,∴△ABD∽△ECD,∴ABEC =BDCD,即AB=BD×ECCD,解得:AB=120×5060=100(米).故答案为100.小提示:本题主要考查了相似三角形的应用,用到的知识点为:两角对应相等的两三角形相似;相似三角形的对应边成比例.13、如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F,则线段EF的长为 __.答案:152##7.5分析:根据矩形的性质和勾股定理求出BD,证明△BOF∽△BCD,根据相似三角形的性质得到比例式,求出EF即可.解:如图:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,又AB=6,AD=BC=8,∴BD=√AB2+AD2=10,∵EF是BD的垂直平分线,∴OB=OD=5,∠BOF=90°,又∠C=90°,∴ΔBOF∽ΔBCD,∴OFCD =BOBC,∴OF6=58,解得,OF=154,∵四边形ABCD是矩形,∴AD//BC,∠A=90°,∴∠EDO=∠FBO,∵EF是BD的垂直平分线,∴BO=DO,EF⊥BD,在ΔDEO和ΔBFO中,{∠EDO=∠FBOBO=DO∠EOD=∠FOB,∴ΔDEO≅ΔBFO(ASA),∴OE=OF,∴EF=2OF=15.2.所以答案是:152小提示:本题考查的是矩形的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用,掌握矩形的四个角是直角、对边相等以及线段垂直平分线的定义是解题的关键.14、如图,在▱ABCD中,点E在AB上,CE,BD交于点F,若AE:BE=4:3,且BF=2,则DF=_________.答案:143分析:由四边形ABCD是平行四边形,可得AB∥CD,AB=CD,继而可判定△BEF∽△DCF,根据相似三角形的对应边成比例,即可得BF:DF=BE:CD问题得解.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵AE:BE=4:3,∴BE:AB=3:7,∴BE:CD=3:7.∵AB∥CD,∴△BEF∽△DCF,∴BF:DF=BE:CD=3:7,即2:DF=3:7,∴DF=14.3故答案为14.3小提示:此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质.此题比较简单,解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DCF,再利用相似三角形的对应边成比例的性质求解.15、如图,已知AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=1,CD=3,则EF的长为_______.答案:34分析:易证△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,根据相似三角形的性质可得EFAB =DFDB,EFCD=BFBD,从而可得EFAB+EFCD=BF BD +DFBD=1,然后把AB=1,CD=3代入即可求出EF的值.解:∵AB、CD、EF都与BD垂直,∴AB∥CD∥EF,∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,∴EFAB =DFDB,EFCD=BFBD,∴EFAB +EFCD=BFBD+DFBD=1,∵AB=1,CD=3,∴EF1+EF3=1,∴EF=34,所以答案是:34.小提示:本题考查相似三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握相似三角形对应边成比例.解答题16、如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上、已知纸板的两条边DF=0.5m,EF=0.3m,测得边DF离地面的高度AC =1.5m,CD=10m,求树高AB.答案:树高AB是9米分析:先证得△DEF∽△DCB,可得BCEF =DCDE,再由勾股定理可得DE=0.4m,可得BC=7.5m,即可求解.解:∵∠DEF=∠BCD=90°,∠D=∠D,∴△DEF∽△DCB,∴BCEF =DCDE,∵DF=0.5 m,EF=0.3 m,AC=1.5m,CD=10 m,由勾股定理得DE=√DF2−EF2=0.4 m,∴BC0.3=100.4,∴BC=7.5m,∴AB=AC+BC=1.5+7.5=9(m),答:树高AB是9m.小提示:本题主要考查了相似三角形的应用,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.17、如图,ΔABC内接于⊙O,∠CBG=∠A,CD为直径,OC与AB相交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为F,延长CD交GB的延长线于点P,连接BD.(1)求证:PG与⊙O相切:(2)若EFAC =58,求BEOC的值;(3)在(2)的条件下,若⊙O的半径为4,PD=OD,求EC的长.答案:(1)见解析;(2)54;(3)6−√13.分析:(1)要证PG与⊙O相切只需证明∠OBG=90°,由∠BAC与∠BDC是同弧所对圆周角且∠BDC=∠DBO可得∠CBG=∠DBC,结合∠DBC+∠OBC=90°即可得证;(2)求BEOC需将BE与OC或OC相等线段放入两三角形中,通过相似求解可得,作OM⊥AC、连接OA,证△BEF∽△OAM得EFAM =BEOA,由AM=12AC、OA=OC知EF12AC=BEOC,结合EFAC=58即可得;(3)Rt△DBC中求得BC=4√3、∠DCB=30°,在Rt△EFC中设EF=x,知EC=2x、FC=√3x、BF=4√3﹣√3x,继而在Rt△BEF中利用勾股定理求出x的,从而得出答案.(1)证明:如图,连接OB,∵OB=OD,∴∠BDC=∠DBO,∵∠BAC=∠GBC、∠BDC=∠BAC,∴∠GBC=∠BDC,∵CD是⊙O的直径,∴∠DBC=90°,∴∠DBO+∠OBC=90°,∴∠GBC+∠OBC=90°,∴∠GBO=90°,∴PG与⊙O相切;(2)解:过点O 作OM ⊥AC 于点M ,连接OA ,∵OC =OA ,OM ⊥AC ,∴∠AOM =∠COM =12∠AOC ,∵ AC ⌢=AC ⌢,∴∠ABC =12∠AOC ,∴∠EBF =∠AOM ,又∵∠EFB =∠OMA =90°,∴ΔBEF ∽ΔOAM ,∴ EF AM =BE OA ,∵AM =12AC ,OA =OC ,∴ EF 12AC =BE OC ,又∵ EF AC =58,∴ BE OC =2×EF AC =2×58=54;(3)解:∵PD =OD ,∠PBO =90°,∴BD =OD =4,在RtΔDBC中,BC=√CD2−BD2=√82−42=4√3,又∵OD=OB,∴ΔDOB是等边三角形,∴∠DOB=60°,∵∠DOB=∠OBC+∠OCB,OB=OC,∴∠OCB=12∠DOB=30°,∴EC=2EF,由勾股定理FC=√EC2−EF2=√4EF2−EF2=√3EF ∴设EF=x,则EC=2x、FC=√3x,∴BF=4√3−√3x,∵BEOC =54,且OC=4,∴BE=5,在RtΔBEF中,BE2=EF2+BF2,∴25=x2+(4√3−√3x)2,整理得4x2−24x+23=0△=242-16×23=208>0解得:x=24±4√132×4=6±√132,∵6+√132>4,舍去,∴x=6−√132,∴EC=6−√13.小提示:本题主要考查圆的综合问题,涉及圆周角定理、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质,一元二次方程的解法等知识,熟练掌握和运用相关的性质与定理进行解题是关键.18、如图,矩形ABCD中,点E在DC上,DE=BE,AC与BD相交于点O.BE与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD,求证:BF⊥AC;(2)找出图中与△OBF相似的三角形,并说明理由;(3)若OF=3,EF=2,求DE的长度.答案:(1)证明见解析(2)△ECF,△BAF与△OBF相似,理由见解析(3)3+√19分析:(1)根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论;(2)根据判定两个三角形相似的判定定理,找到相应的角度相等即可得出;(3)根据△OBF∽△ECF得出3OA=2BF+9,根据△OBF∽△BAF得出BF2=3(OA+3),联立方程组求解即可.(1)证明:如图所示:∵四边形ABCD为矩形,∴∠2=∠3=∠4,∵DE=BE,∴∠1=∠2,∴∠1=∠3,又∵BE平分∠DBC,∴∠1=∠6,∴∠3=∠6,又∵∠3与∠5互余,∴∠6与∠5互余,∴BF⊥AC;(2)解:△ECF,△BAF与△OBF相似.理由如下:∵∠1=∠2,∠2=∠4,∴∠1=∠4,又∵∠OFB=∠BFO,∴△OBF∽△BAF,∵∠1=∠3,∠OFB=∠EFC,∴△OBF∽△ECF;(3)解:∵△OBF∽△ECF,∴EFOF =CFBF,∴23=CFBF,∴3CF=2BF,∵在矩形ABCD中对角线相互平分,图中OA=OC=OF+FC=3+FC,∴3OA=2BF+9①,∵△OBF∽△BAF,∴OFBF =BFAF,∴BF2=OF⋅AF,∵在矩形ABCD中AF=OA+OF=OA+3,∴BF2=3(OA+3)②,由①②,得BF=1±√19(负值舍去),∴DE=BE=2+1+√19=3+√19.小提示:本题考查矩形综合问题,涉及到矩形的性质、角平分线的性质、角度的互余关系、两个三角形相似的判定与性质等知识点,熟练掌握两个三角形相似的判定与性质是解决问题的关键.。
九年级数学下册第二十七章相似形目标检测卷
第二十七章相似形27.1 图形的相似(1)【学习目标】通过具体实例认识图形的相似【效果检测】一、选择题1.下列各种图形相似的是()(1)(2)(3)(4)A、(1)、(3)B、(3)、(4)C、(1)、(2)D、(1)、(4)2.下列图形一定相似的有()(1)放大镜下的图片与原来的图片;(2)幻灯的底片与投影在屏幕上的图象;(3)大小不同的两个三角板;(4)同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片.A、4组B、3组C、2组D、1组3.下列给出的图形中;不是相似形的是()A、刚买的一双鞋的左右鞋底B、复印出来的两个“谁”字C、一对乒乓球拍D、仅仅宽度不同的两块长方形木板4.下列给出的图形是相似形的是()A、两张孪生兄弟的照片B、三角板的内、外三角形C、行书的“中”字和楷书的“中”字D、同一棵树上摘下的两片树叶5.下列说法不一定正确的是()A、所有的等边三角形都相似B、有一个角是1000的等腰三角形相似C、所有的正方形都相似D、所有的矩形都相似二、作图题5.如图;利用右边的表格;把左边图中奔跑的小人放大一倍.6.把下列图中左边的图形;加以放大后画出与它们相似的图形.27.1 图形的相似(2)【学习目标】1.探索相似图形的性质;理解相似多边形对应角相等、对应边成比例 【效果检测】 一、填空题∶200000的长春市交通图上;人民广场与日月潭之间的距离约为10厘米;则它们之间的实际距离约为千米.2.如图;两个五边形是相似形;则=a ;=c ;α= ;β=D C B A ''''四边形相似;0009210870='∠='∠=∠C B A ,,则=∠D;直角三角形斜边上的中线与斜边之比是 ;线段的垂直平分线上的一点到线段两端点的距离之比是 .二、解答题5.如图;四边形ABCD 与D C B A ''''四边形相似;求未知边x ;y 的长度和β角的度数.6.如图;在一块长和宽分别为a 和b 的长方形黑板的四周镶上宽为x 的木条;得到一个新的长方形黑板.请你判断原来的长方形黑板与新的长方形黑板是否相似?(说明理由)7.相同时刻的物高与影长成比例.一电线杆在地面上的影长为3m ;此时高为1.5m 的小王在地面上的影长为1.2米;求此电线杆的高度.27.2.1 相似三角形的判定(1)【学习目标】1257αb╭╮╯650 1150 ╮23a c β1550 950 115CDC'D'y53x xx x2.探索并掌握相似三角形的第一个判定方法;也就是“平行于三角形一边的直线和其他两边相交;所构成的三角形与原三角形相似” 【效果检测】 一、选择题⊿ABC 的三边长分别为2;6;2;⊿A ′B ′C ′的两边长分别是1和3;如果⊿ABC 与⊿A ′B ′C ′相似;那么⊿A ′B ′C ′的第三边长应该是( )A.2B.22 C.26 D.332.如图;若BC ∥DE ;则下面比例式不能成立的是( )A .BC DE AC AE = B.CE ACDE BC =C.AC AE AB AD =D.ADAB DE BC = 3.如上图;△ABC 中;DE ∥BC ;AD =1;DB =DE =2; 则BC 长是( )A二、填空题4.若两个三角形的相似比为1;则这两个三角形5. 如上图;DE ∥BC ;AB =16;AC =12;AD =10;则AE =________6. 如上图:两平行线交∠A 的一边于B 、D 两点;交∠A 的另一边C 、E 两点;已知AC+AB=14;且AE :AD=3:4;则AB 的长为 三、解答题7.在△ABC 中;∠BAC=90°;AD⊥BC;DF⊥AB;EF⊥BC;求证:BD ∶B C =BE ∶B D.8.如图;△ABC 中;DE ∥BC ;EF ∥AB ;:3:2AD BD =;FC =2;AC =6;求DE 和CE 的27.2.1 相似三角形的判定(2)AB CD E1.掌握相似三角形的判定定理1:“如果两个三角形的三组对应边的比相等;那么这两个三角形相似”并能灵活应用2.进一步培养综合运用知识的能力;运用学过的知识解决问题的能力 【效果检测】一、判断题(正确的划√;错误的划⨯)1.若AB=6;BC=9;CA=12;A ′B ′=4;C ′B ′=6;A ′C ′=8;则△ABC ∽△A ′B ′C ′( )△ABC 三边的长分别为2,22,3;△A ′B ′C ′三边的长分别为4,32,2;则△ABC ∽△A ′B ′C ′( )3''''4AB BC A B B C ==;则△ABC ∽△A ′B ′C ′( ) △ABC 和△A ′B ′C ′的腰长分别为5cm ;7cm ;它们的周长分别为18cm ;25.2cm.;则△ABC ∽△A ′B ′C ′( ) 二、解答题△ABC 和△DEF 中;AC=8;AB=6;BC=5;EF=10;FD=325;DE=340. 求证: 以A 、B 、C 为顶点的三角形与以D 、E 、F 为顶点的三角形相似;并求出它们的相似比.6.如图;P 是正方形ABCD 边AB 的中点;点M 在AD 上;且AM=41AD ;又PM=21PC. 求证:∆APM ∽∆BCP△ABC 和△DEF 相似吗?请说明你的结论27.2.1 相似三角形的判定(3)【学习目标】1.掌握相似三角形的判定定理2:“如果两个三角形的两组对应边的比相等;并且相应的夹角相等;那么这两个三角形相似”并能灵活应用2.进一步培养综合运用知识的能力;运用学过的知识解决问题的能力 DM一、解答题1.如图;直线DE 交△ABC 的两边AB 、AC 于点D 、E ;且ABAEAC AD;求证:∠1=∠B.2.如图;在梯形ABCD 中;AD ∥BC ;BD 2=AD ·BC ;求证:△ADB ∽△DBC.3. 如图;在△ABC 中;AB=AC ;D 是AB 的中点;延长AB 到E ;使BE=AB. 试说明:⑴△ADC ∽△ACE ; ⑵CE=2DC二、实践与探究4. 如图;在△ABC 中;AB =8c m ;B C =16c m ;点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2c m/s 的速度移动;点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4c m/s 的速度移动;如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发;经几秒钟△PBQ 与△ABC 相似?说明你的理由27.2.1 相似三角形的判定(4)【学习目标】1.掌握相似三角形的判定定理3:“如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等;那么这两个三角形相似”并能灵活应用2.进一步培养综合运用知识的能力;运用学过的知识解决问题的能力 DCBA AQ PB CA BCDE 1E D CBA一、 选择题1. 如图;在Rt △ABC 中;∠ACB=90°;CD ⊥AB 于点D ;CD=2 ;BD=1;则AD 的长是( )A .1B .2C .2D .42.如图;矩形ABCD 中; ; ;EF 是对角线BD 的垂直平分线;则EF 的长为( ) A .cm 415 B .cm 315 C .cm 215D .cm 8 3.如图;在△ABC 中;D 为AC 边上一点;;;;则CD 的长为()A .1B .23 C .2 D .25二、解答题4.已知:如图;D 、E 分别是△ABC 的边AB ;AC 上的点;;;.求证:AC AE AB AD ⋅=⋅ .三、实践与探究5.如图;平行四边形ABCD 中;E 是AB 的中点;G 是AC 上一点;5:1:=GC AG ;连EC 延长交AD于F ;求FADF的值27.2.2 相似三角形应用举例(1)【学习目标】1. 利用相似三角形的性质和判定方法;来解决生活中不能直接测量物体长度的问题:测量高度问题、河宽问题、盲区问题 2. 从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题一、选择题1.如图;一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上;某一时刻;小明竖起1米高的直杆;量得其影长为米;此时;他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米;落在墙上的影子CD的高为2米。
新人教版九年级下册-第27章-相似-全章教案
初三数学九(下)第二十七章:相似第1课时图形的相似(1)教学目标:1、知识目标:从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念.2、能力目标:在相似图形的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”分析问题.3、情感目标:在探究相似图形的过程中,培养学生与他人交流、合作的意识和品质.重点、难点教学重点: 认识图形的相似.教学难点: 理解相似图形概念.一.创设情境活动1观察图片,体会相似图形同学们,请观察下列几幅图片,你能发现些什么?你能对观察到的图片特点进行归纳吗?(课本图27.1-1)( 课本图27.1-2)师生活动: 教师出示图片,提出问题;学生观察,小组讨论;师生共同交流.得到相似图形的概念.教师活动:什么是相似图形?学生活动:共同交流,得到相似图形的概念.学生归纳总结:(板书)形状相同的图形叫做相似图形在活动中,教师应重点关注:学生用数学的语言归纳相似图形的概念;活动2思考:如图27.1-3是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像,它们相似吗?学生活动: 学生观察思考,小组讨论回答;二. 通过练习巩固相似图形的概念活动3练习问题:1.如图,从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗?2.如图,图形a~f中,哪些是与图形(1)或(2)相似的?教师活动:教师出示图片,提出问题;学生活动:学生看书观察,小组讨论后回答问题.教师活动:在活动中,教师应重点关注:在练习中检验学生对相似图形的几何直觉.三. 小结巩固活动3(1)谈谈本节课你有哪些收获.(2)课外作业1、下列说法正确的是()A.小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似.B.商店新买来的一副三角板是相似的.C.所有的课本都是相似的.D.国旗的五角星都是相似的.2、填空题1、形状的图形叫相似形;两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形的或而得到的。
课后反思:第2课时 图形的相似 (2)教学目标:1、 知识目标:(1)理解相似三角形的概念,了解相似三角形的对应元素及相似比; (2)掌握判定三角形相似的预备定理。
人教版九年级数学下第二十七章相似检测题含答案解析
第二十七章相似检测题(本检测题满分:100分,时间:90分钟)一、选择题(每小题3分,共24分)1.(北京中考)如图所示,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上,若测得BE20 m,EC=10 m,CD=20 m,则河的宽度AB等于()A.60 mB.40 mC.30 mD.20 m2.(哈尔滨中考)如图所示,在△ABC中,M,N分别是边AB,AC的中点,则△AMN的面积与四边形MBCN的面积比为()A. B.C. D.3.(2014·南京中考)若△ABC∽△A′B′C′,相似比为1∶2,则△ABC与△A′B′C′的面积的比为()A. 1∶2B. 2∶1C. 1∶4D. 4∶14.(2015·江苏南通中考)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,弦AD平分∠BAC,交BC于点E,AB=6,AD=5,则AE的长为( )A.2.5B.2.8C.3D.3.2第1题图第2题图第4题图第5题图5.(2014·天津中考)如图所示,在□ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则EF︰FC等于()A.3︰2B.3︰1C.1︰1D.1︰26. (2014·南京中考)如图所示,在矩形AOBC中,点A的坐标是﹙-2,1﹚,点C的纵坐标是4,则B,C两点的坐标分别是()A.32,3,,423⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.31,3,,422⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.772,,,4423⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.771,,,4422⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7.如图所示,在矩形中,=4,,平分,,则等于( )A. B.1 C. D.2第6题图8.(2015•山东东营中考)如图,在Rt △ABC 中,∠ABC =90°,AB =BC ,点D 是线段AB 上的一点,连接CD ,过点B 作BG ⊥CD ,分别交CD ,CA 于点E ,F ,与过点A 且垂直于AB 的直线相交于点G ,连接DF .给出以下四个结论:①;②若点D 是AB 的中点,则AF =AB ;③当B ,C ,F ,D 四点在同一个圆上时,DF =DB ;④若,则=9.其中正确的结论序号是( )A.①②B.③④C.①②③D.①②③④二、填空题(每小题3分,共30分)9.(2013·乌鲁木齐中考)如图所示,AB ∥GH ∥CD ,点在BC 上,AC 与BD 交于点,AB =2,CD =3,则GH 的长为 .第9题图第10题图10.(2015·江苏南通中考)如图,矩形ABCD 中,F 是DC 上一点,BF ⊥AC ,垂足为E ,,△CEF 的面积为,△AEB 的面积为,则的值等于 .第8题图ABCD F第7题图第11题图11.(天津中考)如图所示,在边长为9的正三角形ABC 中,BD =3,∠ADE =60°,则AE 的长为 .12.若,则= .13.已知一个三角形的三边长分别为6、8、10,与其相似的一个三角形的最短边长为18,则较小三角形与较大三角形的相似比k = . 14.在△中,12 cm ,=18 cm ,24 cm ,另一个与它相似的△的周长为18 cm ,则△各边长分别为 .15.如图所示,一束光线从点出发,经过轴上的点反射后经过点,则光线从点到点经过的路线长是 . 16.四边形与四边形位似,点为位似中心,若,则= .17.(1)若两个相似三角形的面积比为1∶2,则它们的相似比 为 ;(2)若两个相似三角形的周长比为3∶2,则这两个相似三角形 的相似比为 ;(3)若两个相似三角形对应高的比为2∶3,它们周长的差是25,则较大三角形的周长是 .18.(2015·广东珠海中考)如图,在△中,已知=7,=4,=5,依次连接△的三边中点,得△,再依次连接△的三边中点得△,…,则△的周长为 . 第18题图三、解答题(共46分)19.(6分)已知是△的三边,,且,试判断△的形状.20.(6分)如图所示,已知△∽△,,EOxyCB (1,0) A (3,3),,求:度数;(2)的长.21.(8分)(2013·广东中考)如图所示,在矩形ABCD 中,以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ,使得另一边EF 过原矩形的顶点.(1)设Rt △CBD 的面积为,Rt △BFC 的面积为,Rt △DCE 的面积为,则(用“”“”“”填空);(2)写出图中的三对相似三角形,并选择其中一对进行证明.22.(8分)(2015·呼和浩特中考)如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,P 是⊙O 外的一点,AM 是⊙O 的直径,∠P AC =∠ABC . (1)求证:P A 是⊙O 的切线;(2)连接PB 与AC 交于点D ,与⊙O 交于点E ,F 为BD 上的一点,若M 为的中点,且∠DCF =∠P ,求证:==.23.(10分)某小区的居民筹集资金1 600元,计划在一块上、 下底分别为10 m 、20 m 的梯形空地上种花(如图所示). (1)它们在△和△地带上种植太阳花,单价为8元/.当△地带种满花后(图中阴影部分)花了160元,请计算种满△BMC 地带所需的费用; (2)若△和△地带要种的有玫瑰花和茉莉花可供选择,单价分别为12元/和10元/,应选择哪种花,刚好用完所筹集的资金?24.(8分)(2015•湖北宜昌中考)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90,AC =6,BC =8.点D 为边CB 上的一个动点(点D 不与点B 重合)过D 作DO ⊥AB ,垂足为O ;点B ′在边AB 上,且与点B 关于直线DO 对称,连接DB ′,AD . (1)求证:△DOB ∽△ACB ;MADBC第23题图第21题图第22题图(2)若AD 平分∠CAB ,求线段BD 的长;(3)当△AB ′D 为等腰三角形时,求线段BD 的长.第24题图第二十七章 相似检测题参考答案1.B 解析:∵ AB ⊥BC ,CD ⊥BC ,∴ AB ∥CD ,∴ ∠A =∠D ,∴ △BAE ∽△CDE ,∴ =.∵ BE20 m ,EC10 m ,CD20 m ,∴ =,∴ AB =40 m.2.B 解析:∵ 在△ABC 中,点M ,N 分别是边AB ,AC 的中点,∴ MN ∥BC ,MN =BC , ∴ △AMN ∽△ABC , ∴ ==,∴ =. 点拨:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.3.C 解析:根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质直接得出结果: △ABC 与 △A ′B ′C ′的面积的比为1∶4.故选C.4.B 解析:如图,连接BD 、CD , ∵ AB 为⊙O 的直径,∴ ∠ADB =90°, ∴ BD =.∵ 弦AD 平分∠BAC ,∴ ∠DAB =∠CAD .∵ ∠CAD =∠CBD ,∴ ∠CBD =∠DAB . 第4题答图在△ABD 和△BED 中,∠BAD =∠EBD ,∠ADB =∠BDE , ∴ △ABD ∽△BED ,∴,即,解得DE =,∴ AE =AD -DE =5-=2.8.5.D 解析:∵ AD ∥BC ,∴ DEF BCF ∠=∠,EDF CBF ∠=∠,∴ △DEF ∽△BCF ,∴EF EDCF BC =. 又∵ AD BC =,∴12ED BC =,1.2EF FC =6.B 解析:如图所示,分别过点A,B,C 作x 轴的垂线,垂足分别为点E,F,M ,过点A 作AN ⊥y 轴,垂足为点N ,与CM 交于点D ,可得△ACD ≌△OBF ,所以BF=CD=3.又△AOE ∽△OBF ,所以=OE AE BF OF ,所以3==2BF AE OF OE ⋅,所以AD=OF=32,31==2=22DN AN AD --,所以点B ,C 的坐标分别为31,3,,422⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 7.C 解析:∵ ,∴. 又∵ ∴ △≌△∴在△,∴∴ .由△∽△得,即∴.8. C 解析:AG AB ⊥, 90GAB ∴∠=︒.又90ABC ∠=︒,∴AG ∥BC , G FBC ∴∠=∠,GAF BCF ∠=∠,∴△GAF ∽△BCF ,∴AG AFCB CF=. 又AB =BC ,AG AFAB FC=,故①正确; G GBA ∠+∠90=︒,90CDB GBA ∠+∠=︒,∴G CDB ∠=∠.GAB DBC ∠=∠90=︒,AB BC =,∴△GAB ≌△DBC , GA DB ∴=12AB =,设DB a =,则AB =BC =2a , AC ∴=22AB BC +22a =.由①知△GAF ∽△BCF ,∴AG CB AF CF =,∴12AF CF =,13AF AF CF =+,即13AF AC =,∴22a AF =,∴AF AB =2232aa 2=,故②正确; 当B ,C ,D ,F 四点在同一个圆上时,90DBC ∠=︒,∴DC 是圆的一条直径.DC BF ⊥, DC ∴平分BF 并且平分BF 所对的弧,∴DF =DB ,故③正确;当△ADF 和△BDF 分别以AD 和DB 为底时,高相等,∴12DB AD ==,第6题答图设=S ,则,∴ 3S =.△GAF ∽△BCF ,∴GF GABF BC=.又△GAB ≌△DBC ,GA DB ∴=,∴GF DBBF BC=. 又AB =BC ,∴GF DBBF AB==13DB AD DB =+,当△GAF 和△ABF 分别以GF 和BF 为底时,高相等,∴ ,∴.△GAF ∽△BCF ,∴,∴,∴,,故④不正确.9. 解析:∵ AB ∥GH ∥CD ,∴ △CGH ∽△CAB , △BGH ∽△BDC , ∴,∴,即,解得.10. 解析:设AD =BC =a ,∵ ,则AB =CD =2a .在Rt △ACB 中,AC =a .∵ BF ⊥AC ,∴ △CBE ∽△CAB ,△AEB ∽△ABC , ∴=CE ·CA ,=AE ·AC , ∴ =CE ·a ,=AE ·a ,∴ CE =a ,AE =a ,∴ .∵ △CEF ∽△AEB ,∴ .11.7 解析:本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质,∵ ∠B =60°,∠ADE =60°,∴ ∠BAD +∠BDA =180°-∠B =120°,∠CDE +∠BDA =180°∠ADE =120°,∴ ∠BAD =∠CDE .又∵ ∠B =∠C ,∴ △BDA ∽△CED ,∴ =.∵ AB =9,BD =3,CD =BC -BD =6,∴ EC =2,AE =AC -EC =7.12. 解析:设,则. 把代入,得13. 解析:已知一个三角形的三边长是6、8、10,与其相似的三角形的最短边长为18.根据相似比的意义可知.点拨:本题关键是找准对应边,本题中两个相似三角形的最短边是对应边.14.4 cm ,6 cm ,8 cm 解析:.由题意,得,解得= ;,解得=;,解得=.∴ △的各边长分别为,.15.5 解析:过作轴于.设,则.由△∽△,得,∴.∴,.∴.16.1∶3 解析:因为位似的图形一定相似,所以四边形与四边形的相似,所以1∶3.17.(1)(2)3∶2 (3)75解析:(1)相似三角形面积的比等于相似比的平方,∴∵ ,∴ (2)相似三角形周长的比等于相似比,∵ 周长比为3∶2,∴ 相似比为3∶2.(3)相似三角形周长的比等于对应高的比,等于相似比,设较大三角形的周长为,则,解得.18.1 解析:111A B C △的周长是16,∵ 222A B C △∽111A B C △,∴ 111A B C △与222A B C △的周长的比是2∶1,则222A B C △的周长是8,同理可得333A B C △的周长是4,444A B C △的周长是2,555A B C △的周长是1.19.解: 设,则因为,所以.解得.所以因为,所以.所以△为直角三角形.20.解:(1)因为△∽△,所以由相似三角形的对应角相等得.在△中,,即,所以.(2)因为△∽△,所以由相似三角形的对应边成比例得,即,所以.点拨:正确把握相似三角形的定义及找准对应边、对应角是解决问题的关键.21.分析:(1)由矩形BDEF知=BD·DE=EF·DE=FC·DE+CE·DE=FC·BF+CE·DE=.(2)△BCF∽△DBC∽△CDE,证明两个三角形相似,利用“两个角对应相等的两个三角形相似”进行证明.解:(1)(2)△BCF∽△DBC∽△CDE.选△BCF∽△CDE,证明如下:在矩形ABCD中,∠BCD=90°,又点在边EF上,∴∠BCF+∠DCE=90°.在矩形BDEF中,∠=∠=90°,∴∠CBF+∠BCF=90°,∴∠CBF=∠DCE,∴△BCF∽△CDE.22.证明:(1)如图,连接CM,∵∠P AC=∠ABC,∠M=∠ABC,∴∠P AC=∠M.∵AM为⊙O的直径,∴∠M+∠MAC=90°,∴∠P AC+∠MAC=90°,即∠MAP=90°,∴MA⊥AP.∴ P A是⊙O的切线.(2)如图,连接AE.∵M为的中点,AM为⊙O的直径,∴AM⊥BC.∵AM⊥AP,∴AP∥BC,∴△ADP∽△CDB. 第22题答图∴=.∵AP∥BC,∴∠P=∠CBD.∵∠CBD=∠CAE,∴∠P=∠CAE.∵∠P=∠DCF,∴∠DCF=∠CAE.∵∠ADE=∠CDF,∴△ADE∽△CDF,∴=.∴==.23.分析:(1)要求种满△地带所需费用,先求出△的面积.由于△与△相似,可先求△的面积,由单价为8元/,得△的面积为,再根据相似三角形面积比等于相似比的平方,即可求得△的面积.(2)先求出△和△的面积,再作选择.解:(1)∵四边形是梯形,∴∥,∴△∽△,∴.∵种满△AMD地带花费160元,∴,∴,∴种满△地带所需的费用为80×8=640(元).(2)∵△∽△,∴.∵△与△等高,∴,∴.同理可求.当△和△地带种植玫瑰花时,所需总费用为160+640+80×12=1 760(元),当△和△地带种植茉莉花时,所需总费用为160+640+80×10=1 600(元).∴种植茉莉花刚好用完所筹资金.24. (1)证明:∵DO⊥AB,∴∠DOB=90°,∴∠ACB=∠DOB=90°.又∵∠B=∠B,∴△DOB∽△ACB.(2)解:∵AD平分∠CAB,DC⊥AC,DO⊥AB,∴DO=DC.∵在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,∴AB=10.∵△DOB∽△ACB,∴DO∶BO∶BD=AC∶BC∶AB=3∶4∶5.设BD=x,则DO=DC=x,BO=x.又∵CD+BD=8,∴x+x=8,解得x=5,即BD=5.第24题答图(3)解:∵点B与点B′关于直线DO对称,∴∠B=∠OB′D,BD=B′D=x,BO=B′O=x.又∵∠B为锐角,∴∠OB′D也为锐角,∴∠AB′D为钝角,∴当△AB′D是等腰三角形时,AB′=DB′.∵AB′+B′O+BO=10,∴x+解得x=,即BD=.所以,当△AB′D为等腰三角形时,BD=.。
九年级数学下册 第二十七章 相似章末小结与提升
第十五页,共二十三页。
2.如图,现要对三角形ABC空地进行绿化,中位线MN把△ABC空地分割成两
部分,其中△AMN部分种植红花(hónɡ huā),四边形BCNM部分种植绿草,已知红
花的种植面积是20 m2,则绿草的种植面积为
第十六页,共二十三页。
60 m2.
3.在一次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆(qígān)的高度,然后回来交流各自的测
∵△PCD是等边三角形,
∴PC=PD=CD,
∴CD2=AC·BD.
第十二页,共二十三页。
【针对训练】
Hale Waihona Puke 1.若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm,那么(nàme)下列各式中一定成立的是( D )
A.3AB=4DE
B.4AC=3DE
C.3∠A=4∠D
D.4( AB+BC+AC )=3( DE+EF+DF )
AC·CP=AP·BC 时,即 = ,而∠PAC=∠CAB,夹角∠APC 与∠
ACB 不一定相等,所以不能判断△APC 和△ACB 相似.
【答案】 D
第七页,共二十三页。
【针对训练】
1.如图,已知△ABC和△DEF,点E在BC边上,点A在DE边上,边EF和边AC相交
于点G.如果AE=EC,∠AEG=∠B,那么添加下列一个条件后,仍无法(wúfǎ)判定
顶点的三角形与△ABC 相似,那么 CF 的长度为
第九页,共二十三页。
12
或
7
2 .
3.( 江西中考(zhōnɡ kǎo) )如图,在正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,
且∠EFG=90°.求证:△EBF∽△FCG.
九年级数学下册 第二十七章 相似本章整合_1
A.8
B.12
)
C.14 D.16
关闭
D
答案
答案
(dá àn)
12/11/2021
第十八页,共三十五页。
中考聚焦体验
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
3.(2018·重庆(zhònɡ qìnɡ)中考)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三
角形的三边长分别为5 cm,6 cm和9 cm,另一个三角形的最短边长为2.5 cm,则
1
(yuánlái)的 后得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为(
)
2
A.(5,1)
C.(3,4)
B.(4,3)
D.(1,5)
关闭
C
答案
答案
(dá
àn)
12/11/2021
第二十一页,共三十五页。
中考聚焦体验
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6.(2018·山东潍坊中考)在平面直角坐标系中,点P(m,n)是线段AB上一点(yī diǎn),
点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长
为
.
6
或
5
关闭
3
答案
答案
(dá
àn)
12/11/2021
第二十五页,共三十五页。
幕应拉在离光源多远的地方,放映的图象刚好布满整个银幕?
200
400
解:相似比为 k= 3.5 = 7 ,设银幕应拉在离光源 x m 的地方,则由
北京市九年级数学下册第二十七章《相似》阶段测试(含答案解析)
一、选择题1.如图,ABC 中,DE ∥BC ,AD:BD=1:3,则OE :OB=( )A .1:3B .1:4C .1:5D .1:62.如图所示,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =2,对角线AC 、BD 相交于点O ,过点O 作OE 垂直AC 交AD 于点E ,则AE 的长是( )A .2B .3C .1D .1.5 3.如图,在正方形ABCD 中,E 为BC 中点,3DF FC =. 联结AE AF EF 、、.那么下列结果错误的是( )A .ABE △与ECF 相似B .ABE △与AEF 相似C .ABE △与ADF 相似D .AEF 与ECF 相似4.如图,正方形ABCD 中,ABC ∆绕点A 逆时针旋转到AB C ''∆,AB '、AC '分别交对角线BD 于点E 、F ,若4AE =则EF ED ⋅的值为( )A .4B .6C .8D .165.如图,在平面直角坐标系中,ABC 的顶点坐标分别是()1,2A ,()1,1B ,()3,1C ,以原点为位似中心,在原点的同侧画DEF ,使DEF 与ABC 成位似图形,且相似比为2:1,则线段DF 的长度为( )A .25B .2C .4D .56.如图,在直角坐标系中,矩形OABC 的顶点O 在原点,边OA 在x 轴上,OC 在y 轴上,如果OA B ''△与OAB 关于点O 位似,且OA B ''△的面积等于OAB 面积的14,则点B '的坐标为( )A .3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B .3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭或3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭C .()3,2D .()3,2或()3,2-- 7.如果两个相似三角形的对应高之比是1:2,那么它们的周长比是( )A .1:2B .1:4C .1:2D .2:1 8.如图所示,一般书本的纸张是原纸张多次对开得到,矩形ABCD 沿EF 对开后,再把矩形EFCD 沿MN 对开,依次类推,若各种开本的矩形都相似,那么AD AB等于( )A .2B .22C .512-D .29.如图,ABC 是等边三角形,被一平行于BC 的矩形所截(即:FG ∥BC),若AB 被截成三等分,则图中阴影部分的面积是ABC 的面积的( )A .19B .29C .13D .4910.如图,每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与图中△ABC 相似的是( )A .B .C .D .11.如图,在矩形OABC 中,点A 和点C 分别在y 轴和x 轴上.AC 与BO 交于点D ,过点C 作CE BD ⊥于点E ,2DE BE =.若5CE =,反比例函数(0,0)k y k x x=>>经过点D ,则k =( )A .2B 352C .36D 3012.已知P 是线段AB 的黄金分割点,且51AB =,则AP 的长为( ). A .2 B 51 C .251D .3513.下列判断中,不正确的有( )A .三边对应成比例的两个三角形相似B .两边对应成比例,且有一个角相等的两个三角形相似C .有一个锐角相等的两个直角三角形相似D .有一个角是100°的两个等腰三角形相似14.如图,菱形ABCD 的边长为10,面积为80,∠BAD <90°,⊙O 与边AB ,AD 都相切菱形的顶点A 到圆心O 的距离为5,则⊙O 的半径长等于( )A .2.5B .5C .22D .315.如图,四边形ABCD 是正方形,E 是BC 的中点,连接AE 与对角线BD 相交于点G ,连接CG 并延长,交AB 于点F ,连接DE 交CF 于点H .以下结论:①CDE BAE ∠=∠;②CF DE ⊥;③AF BF =;④22CE CH CF =⋅.其中正确结论的个数有( )A .1B .2C .3D .4二、填空题16.如图,△ABC 中,∠C =90°,BC =8cm ,AC =6cm ,点P 沿BC 边以2cm/s 的速度从点B 向点C 移动,同时点Q 沿CA 边以1cm/s 的速度从点C 向点A 移动.若以点C 、P 、Q 构成的三角形与△ABC 相似,则运动时间为____________秒.17.如果x :y =3:2,那么x y x-的值是__. 18.如图,将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到A′B′C′的位置,如果点A′恰好是△ABC 的重心,A′B′、A′C′分别于BC 交于点M 、N ,那么△A′MN 面积与△ABC 的面积之比是_____.19.如图圆内接正六边形ABCDEF 中,AC 、BF 交于点M .则:ABM AFM S S =△△___________.20.己知034x z y ==≠,则345x y z x y z -+=++________. 21.在梯形ABCD 中,//AD BC ,两条对角线AC 、BD 相交于点O ,:1:9AOD COBS S =,那么BOC DOC S S =△△:__________.22.如图,把正ABC ∆沿AB 边平移到''A B C '的位置,它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是ABC ∆的面积的一半,若23AB =,则此三角形平移距离'CC 的长度是_________.23.如图,在ABC 纸片中,13AB AC ==,24BC =,D 是BC 边上任意一点,将ABD △沿AD 折叠得到AED ,AE 交BC 于点F ,当DEF 是直角三角形时,则BD 的长为________.24.如图,已知CD 为O 的直径,弦AB CD ⊥交CD 于点E ,连接BD ,OB ,AC ,若8AB =,2DE =,则O 的半径为______.25.如图,AB 是⊙O 的直径,AB =20cm ,弦BC =12cm ,F 是弦BC 的中点.若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动,设运动时间为t (s )(0≤t≤10),连接EF ,当△BEF 是直角三角形时,t (s )的值为_______.26.如图,在ABC ∆中,,D E 分别是边,AC AB 的中点,BD 与CE 交于点O ,连接DE .下列结论: ①OE OD OB OC =;②12DE BC =;③12DOE BOCS S ∆∆=;④13DOE DBE S S ∆∆=. 其中,正确的有__________.三、解答题27.如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,△ABC的项点A,B,C均落在格点上:(I)AC的长等于_________;(II)点P落在格点上,M是边BC上任意一点,点B关于直线AM的对称点为B',当PB'最短时,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出点B',并简要说明点B'的位置是如何找到的.(不要求证明)28.如图,王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部,当他向前再步行12 m到达Q点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部.已知王华同学的身高是1.6 m,两个路灯的高度都是9.6 m(1)求两个路灯之间的距离;(2)当王华同学走到路灯BD处时,他在路灯AC下的影子长是多少?29.如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次,使点A与C重合,再展开,折痕EF交AD边于点E,交BC边于点F,交AC于点O,分别连接AF和CE.(1)求证:四边形AFCE是菱形;(2)过E点作AD的垂线EP交AC于点P,求证:2AE2=AC•AP;(3)若AE=10cm,△ABF的面积为24cm2,求△ABF的周长.30.如图,在等边三角形ABC中,点E为CB边上一点(与点C不重合),点F是AC边上一点.若5AB =,2BE =,60AEF ∠=︒,求AF 的长度.。
人教版九年级数学下册第27章相似单元测试(3)a.docx
初中数学试卷桑水出品2015年9月北京市西城区重点中学九年级数学 人教版九年级下册(新)《相似》全章测试班级___________姓名____________成绩一.选择题(每题5分,共35分) 1. 下列图形一定是相似图形的是( ) A .两个菱形 B .两个矩形 C .两个等腰三角形D .两个正三角形2. 如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,若AD =1,DB =2,则BCDE的值为( ) A .21 B .31C .41D .323. 若DEF ABC ∆∆∽,1:2:=DE AB ,且ABC ∆的周长为16,则DEF ∆的周长为( ) A. 4B. 16C. 8D. 324. 如图,△ABC 中,若DE ∥BC ,EF ∥AB ,则下列比例式正确的是( ) A .BC DEDB AD =B .ADEFBC BF =C .FCBFEC AE =D .BCDEAB EF =5. 如图,在△ABC 中D 为AC 边上一点,若∠DBC =∠A , 6=BC ,AC =3,则CD 长为( )A .1B .23 C .2 D .25 6. 如图,小正方形的边长均为1,则图中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )7. 如图所示,不能判定△ABC ∽△DAC 的条件是( ) A .∠B =∠DAC B .∠BAC =∠ADCABC.AC2=DC·BC D.AD2=BD·BC二.填空题:(每题4分,共32分)8. 若532zyx==,则=-++zxzyx2______.9. 如图,□ABCD中,G是BC延长线上的一点,AG与BD交于点E,与DC交于点F,此图中的相似三角形共有______对.10. 如图,为了测量某棵树的高度,小明用长为2m的竹竿作测量工具,移动竹竿,使竹竿顶端、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时竹竿与这一点相距6m,与树相距15m,11. 如图,DE是ABC∆的中位线,M是DE的中点,那么NDMNBCSS∆∆=.10题图11题图12题图12. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AC=5,BC=12,则AD=________.13. 如图,四边形PQMN是△ABC内接正方形,BC=20cm,高AD=12cm,则内接正方形边长QM为__________.14. 如图,△ABC中,AD是BC边上的中线,F是AD边上一点,且41=EBAE,射线CF交AB于E点,则ADAF等于_________.15. 如图,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端在BC、DC上滑动,当MC=____________时,△AED与以N、M、C为顶点的三角形相似.三.解答题:(16、17、18题每题8分,19题9分,共33分)16. 如图, 在正方形网格中,△ABC的顶点和O点都在格点上.(1)在图1中画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′;(2)在图2中以点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍(只需画出一种即可).解:15m6m2mENMABDC图1 图2结论:____________________________为所求.17. 如图,在△APM 的边AP 上任取两点B ,C ,过B 作AM 的平行线交PM 于N ,过N 作 MC 的平行线交AP 于D .求证:P A ∶PB =PC ∶PD . 证明:18. 如图,在□ABCD 中,点E 在BC 边上,点F 在DC 的延长线上,且∠DAE =∠F . (1)求证:△ABE ∽△ECF ;(2)若AB =5,AD =8,BE =2,求FC 的长. (1)证明:(2)解:19. 已知:如图,△ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =1,点D 是BC 边上的一个动点(不与B , C 点重合),∠ADE =45°. (1)求证:△ABD ∽△DCE ;(2)设BD =x ,AE =y ,求y 关于x 的函数关系式;FEADCB(3)当△ADE 是等腰三角形时,请直接写出AE 的长. (1)证明:(2)解:(3)解:AE =_________________________.答案与提示1. D2. B3. C4. D5. C6. B7. D8. -109. 6 10. 7m 11. 16112. 132513. 7.5cm 14. 31 15.55255或 16. 略17. 提示:P A ∶PB =PM ∶PN ,PC ∶PD =PM ∶PN .18. (1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD ,AD ∥BC .∴∠B =∠ECF ,∠DAE =∠AEB. 又∵∠DAE =∠F , ∴∠AEB =∠F .∴△ABE ∽△ECF . (2)解:∵△ABE ∽△ECF , ∴AB BE EC CF=.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴BC =AD =8.∴EC =BC -BE =8-2=6. ∴526CF=.∴125CF =.19.(1)提示:除∠B =∠C 外,证∠ADB =∠DEC . (2)提示:由已知及△ABD ∽△DCE 可得.22x x CE -=从而y =AC -CE =x 2-.12+x (其中20<<x ).(3)当∠ADE 为顶角时:.22-=AE(提示:当△ADE 是等腰三角形时,△ABD ≌△DCE .可得.12-=x )当∠ADE 为底角时:⋅=21AE。
九数下册第27章相似单元达标训练(答案)
九数下册第27章相似单元达标训练(答案)九年级数学下册第27章相似单元达标训练(答案)九年级数学下册第27章相似单元达标训练一.选择题1.下面给出了一些关于相似的命题,其中真命题有( )(1)菱形都相似;(2)等腰直角三角形都相似;(3)正方形都相似;(4)矩形都相似;(5)正六边形都相似.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.图K-9-2中的四个三角形与图K-9-1中的三角形相似的是( )图K-9-1图K-9-23.下列关于位似图形的表述:①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;②位似图形一定有位似中心;③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形;④位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于相似比.其中正确的序号是( )A.②③ B.①②C.③④ D.②③④4.五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′,若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米,则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是( )A.5∶4B.4∶5C.5∶2D.2∶55. 如图,在△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为( )A.4 B.4 C.6 D.46.某学习小组在讨论“变化的鱼”时,知道大鱼与小鱼是位似图形,如图,则小鱼上的点(a,b)对应大鱼上的点( )A.(-2a,-2b) B.(-a,-2b)C.(-2b,-2a) D.(-2a,-b)7.图K-6-4中与图K-6-3相似的图形是( )图K-6-3图K-6-48.如图K-10-6,已知矩形ABCD的顶点A,D分别落在x轴、y轴上,OD =2OA=6,AD∶AB=3∶1,则点C的坐标是( )图K-10-6A.(2,7) B.(3,7) C.(3,8) D.(4,8)的,若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9,则OB′∶OB为( ) 图K-14-4A.2∶3 B.3∶2C.4∶5 D.4∶910.观察图K-6-1中各组图形,其中相似的图形有( )图K-6-1A.3组 B.4组C.5组 D.6组二、填空题11.如图K-15-4,△ABO三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(6,0),O(0,0),以原点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的2(1),可以得到△A′B′O,已知点B′的坐标是(3,0),则点A′的坐标是________.12.如图K-9-5,D是△ABC内的一点,连接BD并延长到点E,连接AD,AE,若AB(AD)=BC(DE)=AC(AE),且∠CAE=29°,则∠BAD=________°.图K-9-513.如图K-7-2,已知在矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE 将△ABE向上折叠,使点B落在AD上的点F处.若四边形FDCE与矩形ABCD相似,则AD=________.图K-7-214.在平面直角坐标系中,点C,D的坐标分别为C(2,3),D(1,0).现以原点为位似中心,将线段CD放大得到线段AB,若点D的对应点B在x轴上且OB=2,则点C的对应点A的坐标为__________.15.如图K-11-8,Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上,双曲线y=x(k)(x>0)经过斜边OA的中点C,与另一条直角边交于点D.若S△OCD=9,则S△OBD的值为________.16.放大镜下的图形和原来的图形________相似图形;哈哈镜中的图形和原来的图形________相似图形.(填“是”或“不是”)三、解答题17.如图K-6-6是用相似图形设计的图案.图K-6-6(1)想一想:各个图案的基本图形是什么?(2)做一做:自己设计几个漂亮有趣的图案(至少两个).18.如图K-11-11所示,在▱ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD 交于点F,DE=2(1)CD.(1)求证:△ABF∽△CEB;(2)若△DEF的面积为2,求▱ABCD的面积.19.如图K-14-11,矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形,点A为位似中心,已知矩形ABCD的周长为24,BB′=4,DD′=2,求AB,AD的长.图K-14-1120.如图K-12-8是一个常见铁夹的侧面示意图,OA,OB表示铁夹的两个面,C是轴,CD⊥OA于点D,已知DA=15 mm,DO=24 mm,DC=10 mm,我们知道铁夹的侧面是轴对称图形,请求出A,B两点间的距离.图K-12-821. 如图K-7-4是学校内的一矩形花坛,四周修筑的小路中相对的两条小路的宽均相等.已知AB=20米,AD=30米,试问当小路的宽x与y的比值为多少时,能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似?(A′B′与AB是对应边)图K-7-422.如图K-12-9 所示,小明想测量电线杆AB的高度,发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=4米,BC=10米,CD与地面成30°的角,且此时测得1米高的标杆的影长为2米,求电线杆的高度(精确到0.1米).图K-12-9参考答案一、选择题1.下面给出了一些关于相似的命题,其中真命题有( C )(1)菱形都相似;(2)等腰直角三角形都相似;(3)正方形都相似;(4)矩形都相似;(5)正六边形都相似.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.图K-9-2中的四个三角形与图K-9-1中的三角形相似的是( B )图K-9-1图K-9-23.下列关于位似图形的表述:①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形;②位似图形一定有位似中心;那么这两个图形是位似图形;④位似图形上任意两点到位似中心的距离之比等于相似比.其中正确的序号是( A )A.②③ B.①②C.③④ D.②③④4.五边形ABCDE相似于五边形A′B′C′D′E′,若对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米,则五边形A′B′C′D′E′与五边形ABCDE的相似比是( B )A.5∶4B.4∶5C.5∶2D.2∶55. 如图,在△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为( B )A.4 B.4 C.6 D.46.某学习小组在讨论“变化的鱼”时,知道大鱼与小鱼是位似图形,如图,则小鱼上的点(a,b)对应大鱼上的点( A )A.(-2a,-2b) B.(-a,-2b)C.(-2b,-2a) D.(-2a,-b)7.图K-6-4中与图K-6-3相似的图形是( D )图K-6-3图K-6-48.如图K-10-6,已知矩形ABCD的顶点A,D分别落在x轴、y轴上,OD =2OA=6,AD∶AB=3∶1,则点C的坐标是( A )图K-10-6A.(2,7) B.(3,7) C.(3,8) D.(4,8)9.如图K-14-4所示,△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的,若△A′B′C′的面积与△AB C的面积比是4∶9,则OB′∶OB为( A )图K-14-4C.4∶5 D.4∶910.观察图K-6-1中各组图形,其中相似的图形有( B )图K-6-1A.3组 B.4组C.5组 D.6组二、填空题11.如图K-15-4,△ABO三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(6,0),O(0,0),以原点O为位似中心,把这个三角形缩小为原来的2(1),可以得到△A′B′O,已知点B′的坐标是(3,0),则点A′的坐标是________.图K-15-4[答案] (1,2)12.如图K-9-5,D是△ABC内的一点,连接BD并延长到点E,连接AD,AE,若AB(AD)=BC(DE)=AC(AE),且∠CAE=29°,则∠BAD=________°.图K-9-5[答案] 2913.如图K-7-2,已知在矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,沿AE 将△ABE向上折叠,使点B落在AD上的点F处.若四边形FDCE与矩形ABCD相似,则AD=________.图K-7-2[答案].2(5+1)14.在平面直角坐标系中,点C,D的坐标分别为C(2,3),D(1,0).现以原点为位似中心,将线段CD放大得到线段AB,若点D的对应点B在x轴上且OB=2,则点C的对应点A的坐标为__________.[答案] (4,6)或(-4,-6)15.如图K-11-8,Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上,双曲线y=x(k)(x>0)经过斜边OA的中点C,与另一条直角边交于点D.若S△OCD=9,则S△OBD的值为________.图K-11-8[答案] 616.放大镜下的图形和原来的图形________相似图形;哈哈镜中的图形和原来的图形________相似图形.(填“是”或“不是”)[答案] 是不是三、解答题17.如图K-6-6是用相似图形设计的图案.图K-6-6(1)想一想:各个图案的基本图形是什么?(2)做一做:自己设计几个漂亮有趣的图案(至少两个).解:(1)各个图案的基本图形分别是直角三角形、正方形、正五边形.(2)答案不唯一,只要是用相似图形做的,都符合要求.如图:18.如图K-11-11所示,在▱ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD 交于点F,DE=2(1)CD.(1)求证:△ABF∽△CEB;(2)若△DEF的面积为2,求▱ABCD的面积.图K-11-11[解析] (1)由平行四边形的对角相等,对边平行,证得△ABF∽△CEB;(2)由△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可以求出△ABF和△BCE的面积,从而▱ABCD的面积可求.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB∥CD,∴∠ABF=∠CEB,∴△ABF∽△CEB.(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB綊CD,∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.∵DE=2(1)CD,∴EC=3DE,∴S△CEB(S△DEF)=(EC(DE))2=9(1),S△ABF(S△DEF)=(AB(DE))2=4(1).∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8,∴S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=16,∴S▱ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=16+8=24.19.如图K-14-11,矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形,点A为位似中心,已知矩形ABCD的周长为24,BB′=4,DD′=2,求AB,AD的长.图K-14-11解:∵矩形ABCD的周长为24,∴AB+AD=12.设AB=x,则AD=12-x,AB′=x+4,AD′=14-x.∵矩形ABCD与矩形AB′C′D′是位似图形,∴AB′(AB)=AD′(AD),即x+4(x)=14-x(12-x),解得x=8,∴AB=8,AD=12-8=4.20.如图K-12-8是一个常见铁夹的侧面示意图,OA,OB表示铁夹的两个面,C是轴,CD⊥OA于点D,已知DA=15 mm,DO=24 mm,DC=10 mm,我们知道铁夹的侧面是轴对称图形,请求出A,B两点间的距离.图K-12-8解:如图,连接AB,同时连接OC并延长交AB于点E,∵铁夹的侧面是轴对称图形,故OE是对称轴,∴OE⊥AB,AE=BE.∵∠COD=∠AOE,∠CDO=∠AEO=90°,∴Rt△OCD∽Rt△OAE,∴OA(OC)=AE(CD),而OC===26,∴24+15(26)=AE(10),∴AE=26(39×10)=15,∴AB=2AE=30(mm).答:A,B两点间的距离为30 mm.21. 如图K-7-4是学校内的一矩形花坛,四周修筑的小路中相对的两条小路的宽均相等.已知AB=20米,AD=30米,试问当小路的宽x与y的比值为多少时,能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似?(A′B′与AB是对应边)图K-7-4[解析] 若矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似,由相似多边形的性质可知,这两个矩形的对应边成比例,即可求出相似比,再由相似比求出x与y的比值.解:由题意可知,矩形A′B′C′D′与矩形ABCD相似(A′B′与AB是对应边),则应有A′B′(AB)=B′C′(BC),即20+2y(20)=30+2x(30),从而有20(30+2x)=30(20+2y),解得y(x)=2(3).22.如图K-12-9 所示,小明想测量电线杆AB的高度,发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上,量得CD=4米,BC=10米,CD与地面成30°的角,且此时测得1米高的标杆的影长为2米,求电线杆的高度(精确到0.1米).图K-12-9解:如图所示,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F,延长AD交BC的延长线于点E.∵∠DCF=30°,∴DF=2(1)CD=2米,CF==2 米.根据已知条件,1米高的标杆的影长为2米,可求得EF=2DF=4米,∴BE=(14+2 )米.∵DF⊥BE,AB⊥BE,∴△DFE∽△ABE,∴AB(DF)=BE(EF),∴AB(2)=BE(4),∴AB=2(1)BE=7+≈8.7(米).即电线杆的高度约为8.7米.备注:以上内容仅显示部分,需完整版请下载!。
【初三数学】北京市九年级数学下(人教版)第二十七章《相似》单元测试(解析版)
人教九下数学 第27章 相似三角形的判定及有关性质综合测试(含答案)一、选择题(每小题6分,共48分)1.在△ABC 中,D 、F 是AB 上的点,E 、H 是AC 上的点,直线DE//FH//BC ,且DE 、FH 将△ABC 分成面积相等的三部分,若线段FH=65,则BC 的长为( ) A .15 B .10 C.6215 D .15322.在△ABC 中,DE//BC ,DE 交AB 于D ,交AC 于E ,且S △ADE :S 四边形DBCE=1:2,则梯形的高与三角形的边BC 上的高的比为( )A .1:2B .1:)12(-C .1:)13(-D .)13(-:33.在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD 是斜边AB 上的高,AC=5,BC=8,则S △ACD :S △CBD 为( ) A .85B .6425 C .3925 D .8925 4.如图1—5—1,D 、E 、F 是△ABC 的三边中点,设△DEF 的面积为4,△ABC 的周长为9,则△DEF 的周长与△ABC 的面积分别是( )A.29,16 B. 9,4 C. 29,8 D. 49,165.如图1—5—2,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,下列条件:(1)∠B+∠DAC=90°;(2)∠B=∠DAC ; (3)ABAC AD CD =;(4)AB 2=BD ·BC 。
其中一定能够判定△ABC 是直角三角形的共有( ) A .3个B .2个C .1个D .0个6.如图1—5—3,在正三角形ABC 中,D ,E 分别在AC ,AB 上,且31AC AD =,AE=BE ,则有( )A. △AED ∽△BED B .△AED ∽△CBD C. △AED ∽△ABD D .△BAD ∽△BCD7.如图1—5—4,PQ//RS//AC ,RS=6,PQ=9,SC 31QC =,则AB 等于( ) A. 415B. 436C. 217D. 58.如图1—5—5,平行四边形ABCD 中,O 1、O 2、O 3是BD 的四等分点,连接AO 1,并延长交BC 于E ,连接EO 2,并延长交AD 于F ,则FDAD等于( )A .3:1B .3:1C .3:2 D. 7:39.如果一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似三角形,那么这个三角形必是( ) A .等腰三角形 B. 任意三角形C .直角三角形D .直角三角形或等腰三角形10.在△ABC 和△A'B'C'中,AB : AC=A'B':A'C',∠B=∠B',则这两个三角形( ) A .相似,但不全等 B .全等C .一定相似D .无法判断是否相似11.如图1—6—1,正方形ABCD 中,E 是AB 上的任一点,作EF ⊥BD 于F ,则BEEF为( )A .22B .21C .36D .2图1—6—112.如图1—6—2,把△ABC 沿边AB 平移到△A'B'C'的位置,它们的重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC 的面积的一半,若2AB =,则此三角形移动的距离AA'是( )A .12-B .22C .1D .21 图1—6—213.如图1—6—3,在四边形ABCD 中,∠A=135°,∠B=∠D=90°,BC=32,AD=2,则四边形ABCD 的面积是( )A .24B .34C .4D .6 图1—6—314.如图1—6—4,平行四边形ABCD 中,G 是BC 延长线上一点,AG 与BD 交于点E ,与DC 交于点F ,则图中相似三角形共有( )A .3对B .4对C .5对D .6对15.在直角三角形中,斜边上的高为6cm ,且把斜边分成3:2两段,则斜边上的中线的长为( )A.265cm B .64cm C .65cmD .325cm16.AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高,作DE ⊥AC 于E ,45AC AB =,则EACE=( ) A .2516 B .54C .45D .162517.如图1—6—5,△ABC 中,AB=AC ,∠A=36°,BD 平分∠ABC ,已知AB=m ,BC=n ,求CD 的长。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第二十七章 相似测试1 图形的相似学习要求1.理解相似图形、相似多边形和相似比的概念. 2.掌握相似多边形的两个基本性质.3.理解四条线段是“成比例线段”的概念,掌握比例的基本性质.课堂学习检测一、填空题1.________________________是相似图形.2.对于四条线段a ,b ,c ,d ,如果____________与____________(如dcb a =),那么称这四条线段是成比例线段,简称__________________.3.如果两个多边形满足____________,____________那么这两个多边形叫做相似多边形.4.相似多边形____________称为相似比.当相似比为1时,相似的两个图形____________.若甲多边形与乙多边形的相似比为k ,则乙多边形与甲多边形的相似比为____________.5.相似多边形的两个基本性质是____________,____________.6.比例的基本性质是如果不等于零的四个数成比例,那么___________.反之亦真.即⇔=dcb a ______(a ,b ,c ,d 不为零). 7.已知2a -3b =0,b ≠0,则a ∶b =______. 8.若,571=+x x 则x =______. 9.若,532z y x ==则=-+x z y x 2______.10.在一张比例尺为1∶20000的地图上,量得A 与B 两地的距离是5cm ,则A ,B 两地实际距离为______m .二、选择题11.在下面的图形中,形状相似的一组是( )12.下列图形一定是相似图形的是( )A .任意两个菱形B .任意两个正三角形C .两个等腰三角形D .两个矩形13.要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架,已知三角形框架甲的三边分别为50cm ,60cm ,80cm ,三角形框架乙的一边长为20cm ,那么,符合条件的三角形框架乙共有( ) A .1种 B .2种 C .3种 D .4种三、解答题14.已知:如图,梯形ABCD 与梯形A ′B ′C ′D ′相似,AD ∥BC ,A ′D ′∥B ′C ′,∠A=∠A′.AD=4,A′D′=6,AB=6,B′C′=12.求:(1)梯形ABCD与梯形A′B′C′D′的相似比k;(2)A′B′和BC的长;(3)D′C′∶DC.综合、运用、诊断15.已知:如图,△ABC中,AB=20,BC=14,AC=12.△ADE与△ACB相似,∠AED=∠B,DE=5.求AD,AE的长.16.已知:如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,A′,B′,C′,D′分别是OA,OB,OC,OD的中点,试判断四边形ABCD与四边形A′B′C'D′是否相似,并说明理由.拓展、探究、思考17.如下图甲所示,在矩形ABCD中,AB=2AD.如图乙所示,线段EF=10,在EF 上取一点M,分别以EM,MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN,使矩形MFGN ∽矩形ABCD,设MN=x,当x为何值时,矩形EMNH的面积S有最大值?最大值是多少?测试2 相似三角形学习要求1.理解相似三角形的有关概念,能正确找到对应角、对应边. 2.掌握相似三角形判定的基本定理.课堂学习检测一、填空题1.△DEF ∽△ABC 表示△DEF 与△ABC ______,其中D 点与______对应,E 点与 ______对应,F 点与______对应;∠E =______;DE ∶AB =______∶BC ,AC ∶DF =AB ∶______.2.△DEF ∽△ABC ,若相似比k =1,则△DEF ______△ABC ;若相似比k =2,则=AC DF ______,=EFBC______. 3.若△ABC ∽△A 1B 1C 1,且相似比为k 1;△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2,且相似比为k 2,则△ABC ______△A 2B 2C 2,且相似比为______. 4.相似三角形判定的基本定理是平行于三角形____________和其他两边相交,所_____ ____________与原三角形______. 5.已知:如图,△ADE 中,BC ∥DE ,则①△ADE ∽______; ②;)(,)(BC AB AD AE AB AD == ③⋅==CABA BD AE DB AD )(,)( 二、解答题6.已知:如图所示,试分别依下列条件写出对应边的比例式.(1)若△ADC ∽△CDB ;(2)若△ACD ∽△ABC ;(3)若△BCD ∽△BAC .综合、运用、诊断7.已知:如图,△ABC 中,AB =20cm ,BC =15cm ,AD =12.5cm ,DE ∥BC .求DE 的长.8.已知:如图,AD ∥BE ∥CF .(1)求证:;DFDEAC AB (2)若AB =4,BC =6,DE =5,求EF .9.如图所示,在△APM 的边AP 上任取两点B ,C ,过B 作AM 的平行线交PM 于N ,过N 作MC 的平行线交AP 于D .求证:P A ∶PB =PC ∶PD .拓展、探究、思考10.已知:如图,E 是□ABCD 的边AD 上的一点,且23=DE AE ,CE 交BD 于点F ,BF =15cm ,求DF 的长.11.已知:如图,AD 是△ABC 的中线.(1)若E 为AD 的中点,射线CE 交AB 于F ,求BFAF; (2)若E 为AD 上的一点,且kED AE 1=,射线CE 交AB 于F ,求⋅BF AF测试3 相似三角形的判定学习要求1.掌握相似三角形的判定定理.2.能通过证三角形相似,证明成比例线段或进行计算.课堂学习检测一、填空题1.______三角形一边的______和其他两边______,所构成的三角形与原三角形相似.2.如果两个三角形的______对应边的______,那么这两个三角形相似.3.如果两个三角形的______对应边的比相等,并且______相等,那么这两个三角形相似.4.如果一个三角形的______角与另一个三角形的______,那么这两个三角形相似.5.在△ABC和△A′B′C′中,如果∠A=56°,∠B=28°,∠A′=56°,∠C′=28°,那么这两个三角形能否相似的结论是______.理由是________________.6.在△ABC和△A'B′C′中,如果∠A=48°,∠C=102°,∠A′=48°,∠B′=30°,那么这两个三角形能否相似的结论是______.理由是________________.7.在△ABC和△A'B′C′中,如果∠A=34°,AC=5cm,AB=4cm,∠A′=34°,A'C′=2cm,A′B′=1.6cm,那么这两个三角形能否相似的结论是______,理由是____________________.8.在△ABC和△DEF中,如果AB=4,BC=3,AC=6;DE=2.4,EF=1.2,FD=1.6,那么这两个三角形能否相似的结论是____________,理由是__________________.9.如图所示,△ABC的高AD,BE交于点F,则图中的相似三角形共有______对.9题图10.如图所示,□ABCD中,G是BC延长线上的一点,AG与BD交于点E,与DC交于点F,此图中的相似三角形共有______对.10题图二、选择题11.如图所示,不能判定△ABC∽△DAC的条件是( )A.∠B=∠DACB.∠BAC=∠ADCC.AC2=DC·BCD.AD2=BD·BC12.如图,在平行四边形ABCD中,AB=10,AD=6,E是AD的中点,在AB上取一点F,使△CBF∽△CDE,则BF的长是( )A.5 B.8.2C.6.4 D.1.813.如图所示,小正方形的边长均为1,则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )三、解答题14.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,想一想,(1)图中有哪两个三角形相似?(2)求证:AC2=AD·AB;BC2=BD·BA;(3)若AD=2,DB=8,求AC,BC,CD;(4)若AC=6,DB=9,求AD,CD,BC;(5)求证:AC·BC=AB·CD.15.如图所示,如果D,E,F分别在OA,OB,OC上,且DF∥AC,EF∥BC.求证:(1)OD∶OA=OE∶OB;(2)△ODE∽△OAB;(3)△ABC∽△DEF.综合、运用、诊断16.如图所示,已知AB∥CD,AD,BC交于点E,F为BC上一点,且∠EAF=∠C.求证:(1)∠EAF=∠B;(2)AF2=FE·FB.17.已知:如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,以AD为直径的半圆与BC 相切于E点.求证:AB·CD=BE·EC.18.如图所示,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为点B,点D是⊙O上的一点,且AD∥OC.求证:AD·BC=OB·BD.19.如图所示,在⊙O中,CD过圆心O,且CD⊥AB于D,弦CF交AB于E.求证:CB2=CF·CE.拓展、探究、思考20.已知D是BC边延长线上的一点,BC=3CD,DF交AC边于E点,且AE=2EC.试求AF与FB的比.21.已知:如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AH⊥BC于H,以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE,试判断△BDH与△AEH是否相似,并说明理由.22.已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,P是AB上一点,且点P不与点A重合,过点P作PE⊥AB交AC于E,点E不与点C重合,若AB=10,AC=8,设AP=x,四边形PECB的周长为y,求y与x的函数关系式.测试4 相似三角形应用举例学习要求能运用相似三角形的知识,解决简单的实际问题.课堂学习检测一、选择题1.已知一棵树的影长是30m ,同一时刻一根长1.5m 的标杆的影长为3m ,则这棵树的高度是( )A .15mB .60mC .20mD .m 3102.一斜坡长70m ,它的高为5m ,将某物从斜坡起点推到坡上20m 处停止下,停下地点的高度为( ) A .m 711 B .m 710 C .m 79 D .m 23 3.如图所示阳光从教室的窗户射入室内,窗户框AB 在地面上的影长DE =1.8m ,窗户下檐距地面的距离BC =1m ,EC =1.2m ,那么窗户的高AB 为( )第3题图A .1.5mB .1.6mC .1.86mD .2.16m 4.如图所示,AB 是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B 距离墙角1.6m ,梯上点D 距离墙1.4m ,BD 长0.55m ,则梯子长为( )第4题图A .3.85mB .4.00mC .4.40mD .4.50m 二、填空题5.如图所示,为了测量一棵树AB 的高度,测量者在D 点立一高CD =2m 的标杆,现测量者从E 处可以看到杆顶C 与树顶A 在同一条直线上,如果测得BD =20m ,FD =4m ,EF =1.8m ,则树AB 的高度为______m .第5题图6.如图所示,有点光源S 在平面镜上面,若在P 点看到点光源的反射光线,并测得AB=10m,BC=20cm,PC⊥AC,且PC=24cm,则点光源S到平面镜的距离即SA的长度为______cm.第6题图三、解答题7.已知:如图所示,要在高AD=80mm,底边BC=120mm的三角形余料中截出一个正方形板材PQMN.求它的边长.8.如果课本上正文字的大小为4mm×3.5mm(高×宽),一学生座位到黑板的距离是5m,教师在黑板上写多大的字,才能使该学生望去时,同他看书桌上相距30cm垂直放置的课本上的字感觉相同?综合、运用、诊断9.一位同学想利用树影测量树高,他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.8m,但当他马上测量树影时,因树靠近一幢建筑物,影子不全落在地面上,有一部分影子在墙上,如图所示,他先测得留在墙上的影高为1.2m,又测得地面部分的影长为5m,请算一下这棵树的高是多少?10.(针孔成像问题)根据图中尺寸(如图,AB∥A′B′),可以知道物像A′B′的长与物AB的长之间有什么关系?你能说出其中的道理吗?11.在一次数学活动课上,李老师带领学生去测教学楼的高度,在阳光下,测得身高为1.65m的黄丽同学BC的影长BA为1.1m,与此同时,测得教学楼DE的影长DF为12.1m,如图所示,请你根据已测得的数据,测出教学楼DE的高度.(精确到0.1m)12.(1)已知:如图所示,矩形ABCD中,AC,BD相交于O点,OE⊥BC于E点,连结ED交OC于F点,作FG⊥BC于G点,求证点G是线段BC的一个三等分点.(2)请你仿照上面的画法,在原图上画出BC的一个四等分点.(要求:写出作法,保留画图痕迹,不要求证明)测试5 相似三角形的性质学习要求掌握相似三角形的性质,解决有关的计算或证明问题.课堂学习检测一、填空题1.相似三角形的对应角______,对应边的比等于______.2.相似三角形对应边上的中线之比等于______,对应边上的高之比等于______,对应角的角平分线之比等于______.3.相似三角形的周长比等于______.4.相似三角形的面积比等于______.5.相似多边形的周长比等于______,相似多边形的面积比等于______. 6.若两个相似多边形的面积比是16∶25,则它们的周长比等于______.7.若两个相似多边形的对应边之比为5∶2,则它们的周长比是______,面积比是______.8.同一个圆的内接正三角形与其外切正三角形的周长比是______,面积比是______. 9.同一个圆的内接正方形与其外切正方形的周长比是______,面积比是______.10.同一个圆的内接正六边形与其外切正六边形的周长比是______,面积比是______. 11.正六边形的内切圆与它的外接圆的周长比是______,面积比是______. 12.在比例尺1∶1000的地图上,1cm 2所表示的实际面积是______. 二、选择题13.已知相似三角形面积的比为9∶4,那么这两个三角形的周长之比为( )A .9∶4B .4∶9C .3∶2D .81∶1614.如图所示,在平行四边形ABCD 中,E 为DC 边的中点,AE 交BD 于点Q ,若△DQE 的面积为9,则△AQB 的面积为( )A .18B .27C .36D .4515.如图所示,把△ABC 沿AB 平移到△A ′B ′C ′的位置,它们的重叠部分的面积是△ABC 面积的一半,若2=AB ,则此三角形移动的距离AA '是( )A .12-B .22 C .1 D .21 三、解答题16.已知:如图,E 、M 是AB 边的三等分点,EF ∥MN ∥BC .求:△AEF 的面积∶四边形EMNF 的面积∶四边形MBCN 的面积.综合、运用、诊断17.已知:如图,△ABC 中,∠A =36°,AB =AC ,BD 是角平分线.(1)求证:AD 2=CD ·AC ; (2)若AC =a ,求AD .18.已知:如图,□ABCD 中,E 是BC 边上一点,且AE BD EC BE ,,21相交于F 点.(1)求△BEF 的周长与△AFD 的周长之比;(2)若△BEF 的面积S △BEF =6cm 2,求△AFD 的面积S △AFD .19.已知:如图,Rt △ABC 中,AC =4,BC =3,DE ∥AB .(1)当△CDE 的面积与四边形DABE 的面积相等时,求CD 的长; (2)当△CDE 的周长与四边形DABE 的周长相等时,求CD 的长.拓展、探究、思考20.已知:如图所示,以线段AB 上的两点C ,D 为顶点,作等边△PCD .(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB.(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB.21.如图所示,梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD交于O点,若S△AOD∶S△DOC =2∶3,求S△AOB∶S△COD.22.已知:如图,梯形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,AB=3,BC=11,DC=6.请问:在BC上若存在点P,使得△ABP与△PCD相似,求BP的长及它们的面积比.测试6 位似学习要求1.理解位似图形的有关概念,能利用位似变换将一个图形放大或缩小.2.能用坐标表示位似变形下图形的位置.课堂学习检测1.已知:四边形ABCD及点O,试以O点为位似中心,将四边形放大为原来的两倍.(1) (2)(3) (4)2.如图,以某点为位似中心,将△AOB进行位似变换得到△CDE,记△AOB与△CDE对应边的比为k,则位似中心的坐标和k的值分别为( )A.(0,0),21B.(2,2),2C.(2,2),2D.(2,2),3综合、运用、诊断3.已知:如图,四边形ABCD的顶点坐标分别为A(-4,2),B(-2,-4),C(6,-2),D(2,4).试以O点为位似中心作四边形A'B'C'D′,使四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比为1∶2,并写出各对应顶点的坐标.4.已知:如下图,是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形,其B,C,D 点的坐标分别为(1,2),(1,1),(3,1).(1)求E点和A点的坐标;(2)试以点P(0,2)为位似中心,作出相似比为3的位似图形A1B1C1D1E1,并写出各对应点的坐标;(3)将图形A1B1C1D1E1向右平移4个单位长度后,再作关于x轴的对称图形,得到图形A2B2C2D2E2,这时它的各顶点坐标分别是多少?拓展、探究、思考5.在已知三角形内求作内接正方形.6.在已知半圆内求作内接正方形.答案与提示第二十七章 相 似测试11.形状相同的图形.2.其中两条线段的比,另两条线段的比相等,比例线段. 3.对应角相等,对应边的比相等. 4.对应边的比,全等,⋅k1 5.对应角相等,对应边的比相等.6.两个内项之积等于两个外项之积,ad =bc . 7.3∶2. 8.⋅259.1. 10.1 000.11.C . 12.B . 13.C .14.(1)k =2∶3;(2)A 'B '=9,BC =8;(3)3∶2.15.⋅==750,730AE AD 16.相似. 17.25=x 时,S 的最大值为⋅225 测试21.相似,A 点,B 点,C 点,∠B ,EF ,DE . 2.≌,2,⋅213.∽;k 1k 2.4.一边的直线,构成的三角形,相似. 5.①△ABC ;②AC ,DE ;③EC ,CE .6.(1);BC CA BD CD CD AD == (2);BC CD AC AD AB AC == (3)⋅==ACCDBC BD BA BC 7.9.375cm .8.(1)提示:过A 点作直线AF '∥DF ,交直线BE 于E ',交直线CF 于F '. (2)7.5.9.提示:P A ∶PB =PM ∶PN ,PC ∶PO =PM ∶PN . 10.OF =6cm .提示:△DEF ∽△BCF . 11.(1);21=BF AF (2)1∶2k . 测试31.平行于,直线,相交. 2.三组,比相等. 3.两组,相应的夹角. 4.两个,两个角对应相等. 5.△ABC ∽△A 'C 'B ',因为这两个三角形中有两对角对应相等. 6.△ABC ∽△A 'B 'C '.因为这两个三角形中有两对角对应相等. 7.△ABC ∽△A 'B 'C ',因为这两个三角形中,有两组对应边的比相等,且相应的夹角相等.8.△ABC ∽△DFE .因为这两个三角形中,三组对应边的比相等. 9.6对. 10.6对.11.D . 12.D . 13.A .14.(1)△ADC ∽△CDB ,△ADC ∽△ACB ,△ACB ∽△CDB ;(2)略;(3);4,54,52===CD BC AC (4);36,33,3===BC CD AD(5)提示:AC ·BC =2S △ABC =AB ·CD .15.提示:(1)OD ∶OA =OF ∶OC ,OE ∶OB =OF ∶OC ;(2)OD ∶OA =OE ∶OB ,∠DOE =∠AOB ,得△ODE ∽△OAB ; (3)证DF ∶AC =EF ∶BC =DE ∶AB . 16.略.17.提示:连结AE 、ED ,证△ABE ∽△ECD . 18.提示:关键是证明△OBC ∽△ADB .∵AB 是⊙O 的直径,∴∠D =90°. ∵BC 是⊙O 的切线,∴OB ⊥BC . ∴∠OBC =90°.∴∠D =∠OBC .∵AD ∥OC ,∴∠A =∠BOC .∴△ADB ∽△OBC .⋅=∴CBBDOB AD ∴AD ·BC =OB ·BD . 19.提示:连接BF 、AC ,证∠CFB =∠CBE20.⋅=21FB AF 提示:过C 作CM ∥BA ,交ED 于M . 21.相似.提示:由△BHA ∽△AHC 得,ACBAAH BH =再有BA =BD ,AC =AE .则:,AE BD AH BH =再有∠HBD =∠HAE ,得△BDH ∽△AEH .22..2423+-=x y 提示:可证△APE ∽△ACB ,则⋅=ACAPBC PE则).10(6)458(43,45,43x x x y x AE x PE -++-+===测试41.A . 2.B . 3.A . 4.C .5.3. 6.12. 7.48mm .8.教师在黑板上写的字的大小约为7cm ×6cm(高×宽). 9.树高7.45m . 10..31AB B A ='' 11.∵EF ∥AC ,∴∠CAB =∠EFD .又∠CBA =∠EDF =90°,∴△ABC ∽△FDE .)m (2.181.11.1265.1≈⨯=⋅=∴⋅=∴BA DF BC DE DF BA DE BC 故教学楼的高度约为18.2m .12.(1)提示:先证EF ∶ED =1∶3.(2)略.测试51.相等,相似比. 2.相似比、相似比、相似比. 3.相似比. 4.相似比的平方.5.相似比.相似比的平方. 6.4∶5. 7.5∶2,25∶4. 8.1∶2,1∶4. 9..2:1,2:1 10..4:3,2:3 11..4:3,2:3 12.100m 2.13.C. 14.C . 15.A . 16.1∶3∶5. 17.(1)提示:证△ABC ∽△BCD ;(2).215a - 18.(1);31 (2)54cm 2. 19.(1);22 (2)⋅724 20.(1)CD 2=AC ·DB ;(2)∠APB =120°. 21.4∶922.BP =2,或,311或9. 当BP =2时,S △ABP ∶S △PCD =1∶9;当311=BP 时,S △ABP ∶S △DCP =1∶4; 当BP =9时,S △ABP :S △PCD =9∶4.测试61.略. 2.C .3.图略.A '(-2,1),B '(-1,-2),C '(3,-1),D '(1,2).4.(1));32,2(),2,3(+A E(2)).332,6(1+A B 1(3,2),C 1(3,-1),D 1(9,-1),E 1(9,2); (3)),332,10(2--A B 2(7,-2),C 2(7,1),D 2(13,1),E 2(13,-2). 5.方法1:利用位似形的性质作图法(图16)图16作法:(1)在AB 上任取一点G ',作G 'D '⊥BC ;(2)以G 'D '为边,在△ABC 内作一正方形D 'E 'F 'G ';(3)连结BF',延长交AC于F;(4)作FG∥CB,交AB于G,从F,G各作BC的垂线FE,GD,那么DEFG就是所求作的内接正方形.方法2:利用代数解析法作图(图17)图17(1)作AH(h)⊥BC(a);(2)求h+a,a,h的比例第四项x;(3)在AH上取KH=x;(4)过K作GF∥BC,交两边于G,F,从G,F各作BC的垂线GD,FE,那么DEFG就是所求的内接正方形.6.提示:正方形EFGH即为所求.。