圆——垂径定理练习题

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垂径定理练习题

垂径定理练习题一1、如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为（）2．如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB =6，M 是AB 上任意一点，则线段OM 的取值范围是（）3．图3是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（）4．如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（）A ．6.5米B ．9米C ．13米D ．15米第2题图图3C第4题图二．填空题1．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小孔的直径AB是mm．2．如图，⊙O的半径OA=10cm，弦AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为cm．3．如图，⊙O的半径为5，弦8⊥于C，则OCAB=，OC AB的长等于．4．如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm，水面到管道顶部距离为20cm，则修理工应准备内直径是 cm的管道．5．如图5，点A B，是⊙O上两点，10AB=，点P是⊙O上的动点（P与A B，不重合）连结AP PB，，过点O分别作⊥于点F，则EF=．OE AP⊥于点E，OF PB三．解答题已知：如图1，30PAC∠=︒，在射线ACAD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，求圆心O到AP的距离及EF的长．垂径定理练习题二1、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD ＝10cm，AP:PB＝1:5，则⊙O的半径为_______。

2、在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP＝____ _。

3、已知圆的半径为5cm，一弦长为8cm，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。

圆的垂径定理习题及答案

圆的垂径定理习题一. 选择题 1.如图1,00的直径为10,圆心0到弦AB 的距离0M 的长为3,那么弦AB 的长是（）2.如图，O 0的半径为5,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的一个动点，则线段0M 长的最小值为（）3.过O 0内一点M 的最长弦为10cm 最短弦长为8cm 则0M 的长为（）A* 9cmE, 5cm4.如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 0A 0B 在 0点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 0点靠在圆周上，读得刻度0E=8个单位，0F=6个单位，则圆的直位 D. 15个单位5.如图，00的直径AB 垂直弦CD 于 P,且P 是半径0B 的中点，6cmCD ，则直径AB 的长是（）6. 下列命题中，正确的是（A .平分一条直径的弦必垂直于这条直径B .平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C .弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D .在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为A.4B. 6C. 7D. 8 B. 3 C. 4 D. 5B . 10个单位 C. 1个单A . 212个单位E & 5米B, 8米C. 7米D,出米D8.0O 的半径为5cm 弦AB//CD ,且AB=8cm,CD=6cn 则AB 与CD 之间的距离为( ) A . 1 cm B. 7cm C. 3 cm 或 4 cm D. 1cm 或 7cm9•已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的0 0上，如果底边BC 的长为8,那么BC 边上的高为 ( ) A . 2 B. 8 C. 2 或 8 D. 3 二、填空题1. _________________________________________________________________________ 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OCL AB 与C, 0C=3cm 则O 0的半径为 __________________________ c m2. ____________________________________________________________________ 在直径为10cm 的圆中，弦 AB 的长为8cm,则它的弦心距为 _______________________________ cm3. 在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 _____________________4. 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OC L AB 与C, 0C=3cm 则O O 的半径为 ________________ cm5. ______________________________________________________________________________ 如图，O 0的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若/C0氐120°, 0E= 3厘米，贝U CD= ___________ 厘6. _____________________________________________________________ 半径为6cm 的圆中，垂直平分半径 0A 的弦长为 _______________________________________________ c m7. 过O 0内一点M 的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则0M 勺长等于 cm8. 已知AB 是O 0的直径，弦CDL AB E为垂足，CD=8 0E=1则AB= __________9. 如图，AB 为O 0的弦，O 0的半径为5, OC L AB 于点D,交O 0于点C,且CD= l ，则弦AB 的长11. __________________________ 如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于 A 、B 两点，已知P(4, 2)和A(2, 0), 贝卩点B 的坐标是12. ____________________________________________________________ 如图，AB 是O 0的直径，ODL AC 于点D, BC=6cm 则0D ________________________________ cm10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB= 16m 半径04 10m 则中间柱 CD的高度为13. 如图，矩形ABCDf圆心在AB上的圆0交于点G B、F、E, GB=10 EF=8 那么AD= ______14.___________________________________________________________________________ 如图，O O 的半径是 5cm P 是o o 外一点，PO=8cm / P=3GO,则 AB ______________________ cm是 __________________ Cm16. 已知AB 是圆O 的弦,半径OC 垂直AB 交AB 于D,若AB=8 CD=2则圆的半径为 _______________ 17. 一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 ___________________ 米 18. 在直径为10厘米的圆中，两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19. 如图,是一个隧道的截面,如果路面AB 宽为8米,净高CD 为8米,那么这个隧道所在圆的20. 如图,AB 为半圆直径,O 为圆心,C 为半圆上一点,E 是弧AC 的中点,OE 交弦AC 于点0 若 AC=8cm DE=2cm 则 OD 的长为 _____________ c m21. 已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的。

北师大版九年级数学下册第三章：圆第三节垂径定理练习题(有答案)

第三节垂径定理一．选择题1．如图，⊙O的半径为3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠P＝30°，则弦AB的长为（）A．2B．2C ．D．22．如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A ．cm B．8cm C．6cm D．4cm3．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（）A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm4．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC 为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（）A．17B．18C．19D．205．如图，在圆O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C做CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为（）A．2B．2C ．D ．6．《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB ＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（）A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸7．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（）A．3mm B．4mm C．5mm D．8mm8．如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，将⊙O沿弦AB折叠，圆弧AB恰好经过圆心O，P 是上一点，则∠APB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°10．如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD＝3，AB＝5，PM＝x，则x的最大值是（）A．3B ．C．2.5D．211．如图，⊙O的直径CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OC＝1：3，则AB的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm12．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA．若AB＝4，CD＝1，则⊙O的半径为（）A．5B ．C．3D ．13．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC 是（）A．4B．5C．6D．614．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是（）A．2B．4C．4D．815．如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF ⊥AB于F．若AC＝2，则OF的长为（）A ．B ．C．1D．216．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（）A．8B．12C．16D．217．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（）A．7B．17C．7或17D．3418．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EB．若AB＝4，CD＝1，则EB 的长为（）A．3B．4C．5D．2.5二．填空题19．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD＝12，BE＝2，则⊙O 半径为．20．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为．21．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO，垂足为点E，连接BC，过点O作OF⊥BC，垂足为F，若BD＝8cm，AE＝2cm，则OF的长度是cm．22．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝8，OE＝3，则⊙O的半径为．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为．24．如图，在△ABC中，∠A＝62°，⊙O截△ABC三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数是．25．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有个．26．如图，矩形ABCD的边AB过⊙O的圆心，E、F分别为AB、CD与⊙O的交点，若AE＝3cm，AD＝4cm，DF＝5cm，则⊙O的直径等于．27．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是．28．王江泾是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为9m，水面宽AB为6m，则桥拱半径OC为。

圆中垂径定理综合应用(3大类题型)(含解析)

圆中垂径定理综合应用(3大类题型)重难点题型归纳【题型1直接运用勾股定理求线段】【题型2勾股定理与方程综合求线段】【题型3垂径定理在实际中应用】满分必练【题型1直接运用勾股定理求线段】1(2023•大连模拟)如图所示，在⊙O中，直径AB=10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC：OB =3：5，则DE的长为()A.3B.4C.6D.82(2023•杭州模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE= ( )cm．A.8B.5C.3D.23(2023•宜昌)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD=CD=8，OD=6，则BD的长为()A.5B.4C.3D.24(2023•金寨县校级模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，AB=10，则AE 的长为()A.1B.2C.3D.45(2023•亳州三模)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点H．若AB=10，CD=8，则BH的长为()A.5B.4C.3D.26(2023•容县一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD=8cm，AB=10cm，则AE=．7(2023•衡南县三模)在⊙O中，直径AB=4，弦CD⊥AB于P，OP=3，则弦CD的长为．8(2023•东台市校级模拟)如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA=5，AB= 8，则线段CD的长为=．9(2023•望城区模拟)如图，AB是⊙O的直径，且AB=10cm，弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，连接OC，则BE=cm．10(2023•长沙县二模)如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为．【题型2勾股定理与方程综合求线段】11(2023•邯郸模拟)如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD 的长为()A.4B.6C.8D.1012(2022秋•南开区校级期末)如图，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为()A.215B.8C.210D.21313(2022秋•文登区期末)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE=CD=8，则⊙O的半径为()D.5A.3B.4C.9214(2022秋•西湖区校级期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE=10，CD= 8，则⊙O的半径为()A.3B.4.2C.5.8D.615(2022秋•泰山区校级期末)一块圆形宣传标志牌简图如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB=16dm，DC=4dm，则圆形标志牌的半径为()A.6dmB.5dmC.10dmD.3dm16(2022秋•任城区校级期末)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=2寸，AB=16寸，直径CD的长是()A.28寸B.30寸C.36寸D.34寸17(2023•汉阳区校级一模)如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=6，则CD长为()A.10B.9C.8D.518(2023•汇川区三模)在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，则r的值是()A.3B.33C.23D.23219(2023春•仪征市期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CE=3，BE=1，则OC=．20(2023•大冶市一模)如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD=1，AB=4，则⊙O的半径是　52　．【题型3垂径定理在实际中应用】21(2022秋•海淀区校级月考)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是弧AB的圆心，C为弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D．已知AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径．22(2022秋•郾城区期中)如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB 为0.6米，污水的最大深度为0.1米．(1)求此下水管横截面的半径；(2)随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？23(2022秋•沭阳县期中)如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB=3.2米，拱高CD=0.8米(C为AB的中点，D为弧AB的中点)．(1)求该圆弧所在圆的半径；(2)在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．24如图，有一拱桥是圆弧形，它的跨度(所对弦长)为60m，拱高18m，当水面涨至其跨度只有30m时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m，问是否需要采取紧急措施？25如图，残缺轮片上弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB=24cm，CD=8cm．(1)找出此残缺轮片所在圆的圆心(写出找到圆心的方法)；(2)求此圆的半径．26某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD=2.4m(如图)．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？27我国古算书《九章算术》中有“圆材埋壁”一题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径(直径)几何？”(注：如图，⊙O表示圆材截面，CE是⊙O的直径，AB表示“锯道”，CD表示“锯深”，1尺=10寸，求圆材的直径长就是求CE的长．)28如图，半圆拱桥的圆心为O，圆的半径为5m，一只8m宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m，离水面AB高3.8m，这条船能过桥洞吗？请说明理由．29(2022秋•沭阳县校级月考)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24(1)求CD的长；(2)现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？30(2022秋•东台市期中)如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．(精确到0.1m)圆中垂径定理综合应用(3大类题型)重难点题型归纳【题型1直接运用勾股定理求线段】【题型2勾股定理与方程综合求线段】【题型3垂径定理在实际中应用】满分必练【题型1直接运用勾股定理求线段】1(2023•大连模拟)如图所示，在⊙O中，直径AB=10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC：OB =3：5，则DE的长为()A.3B.4C.6D.8【答案】D【解答】解：∵AB=10，∴OA=OB=5，∵OC：OB=3：5，∴OC=3，在Rt△OCD中，CD=OD2-OC2=52-32=4，∵DE⊥AB，∴DE=2CD=8，故选：D．2(2023•杭州模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE= ( )cm．A.8B.5C.3D.2【答案】A【解答】解：∵AB⊥CD，AB是直径，∴CE=ED=4cm，在Rt△OEC中，OE=OC2-EC2=52-42=3(cm)，∴AE=OA+OE=5+3=8(cm)，故选：A．3(2023•宜昌)如图，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，AC ，OB 交于点D ．若AD =CD =8，OD =6，则BD 的长为()A.5B.4C.3D.2【答案】B 【解答】解：∵AD =CD =8，∴OB ⊥AC ，在Rt △AOD 中，OA =AD 2+OD 2=82+62=10，∴OB =10，∴BD =10-6=4．故选：B ．4(2023•金寨县校级模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若CD =6，AB =10，则AE 的长为()A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解答】解：连接OC ，∵直径AB ⊥CD ，∴EC =12CD =12×6=3，∵AB =10，∴OC =OA =5，∴OE =OC 2-CE 2=4，∴AE =OA -OE =1．故选：A ．5(2023•亳州三模)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点H．若AB=10，CD=8，则BH的长为()A.5B.4C.3D.2【答案】D【解答】解：连接OC，∵AB⊥CD，CD=8，∴CH=DH=12CD=4，∠OHC=90°，∵AB=10，∴OB=OC=5，∴OH=OC2-CH2=52-42=3，∴BH=OB-OH=2，故选：D．6(2023•容县一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD=8cm，AB=10cm，则AE=2cm．【答案】2cm．【解答】解：由题意可知，AB垂直平分CD，OC=OA=12AB=5cm，∴CE=12CD=4cm，在Rt△CEO中，OE=OC2-CE2=52-42=3(cm)，∴AE=OA-OE=2cm．故答案为：2cm．7(2023•衡南县三模)在⊙O中，直径AB=4，弦CD⊥AB于P，OP=3，则弦CD的长为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OC，∵在⊙O中，直径AB=4，AB=2，∴OA=OC=12∴弦CD⊥AB于P，OP=3，∴CP=OC2-OP2=1，∴CD=2CP=2．故答案为：2．8(2023•东台市校级模拟)如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA=5，AB= 8，则线段CD的长为=2．【答案】2．【解答】解：∵OC⊥AB，AB=4，∴AD=BD=12在Rt△OAD中，OD=OA2-OD2=52-42=3，∴CD=OC-OD=5-3=2．故答案为：2．9(2023•望城区模拟)如图，AB是⊙O的直径，且AB=10cm，弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，连接OC，则BE=2cm．【答案】2．【解答】解：∵弦CD ⊥AB ，CD =8cm ，∴CE =12CD =4cm ，在Rt △OEC 中，OC =12AB =5cm ，∴OE =OC 2-CE 2=3cm ，∴BE =OB -OE =2(cm )，故答案为：2．10(2023•长沙县二模)如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8，点C 是AB 的中点，连接OC ，则OC 的长为3．【答案】3．【解答】解：∵B 是AC 的中点，∴AC =12AB =4，OC ⊥AB ，在Rt △OAC 中，OC =OA 2-AC 2=52-42=3．故答案为：3．【题型2勾股定理与方程综合求线段】11(2023•邯郸模拟)如图，以CD 为直径的⊙O 中，弦AB ⊥CD 于M ．AB =16，CM =16．则MD 的长为()A.4B.6C.8D.10【答案】A【解答】解：连接OA ，如图，设⊙O 的半径为r ，则OA =r ，OM =16-r ，∵AB ⊥CD ，∴AM =BM =12AB =8，在Rt △AOM 中，82+(16-r )2=r 2，解得r =10，∴MD =CD -CM =20-16=4．故选：A ．12(2022秋•南开区校级期末)如图，在⊙O 中，半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC ，若AB =8，CD =2，则EC 的长度为()A.215B.8C.210D.213【答案】D【解答】解：如图，连接BE ，设⊙O 的半径为R ，∵OD ⊥AB ，∴AC =BC =12AB =12×8=4，在Rt △AOC 中，OA =r ，OC =r -CD =r -2，由勾股定理，得OC 2+AC 2=OA 2，∴42+(r -2)2=r 2，解得r =5，∴OC =5-2=3，∵O 是AE 的中点，C 是AB 的中点，∴OC 是三角形ABE 的中位线，∴BE =2OC =6，∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ABE =90°，在Rt △BCE 中，CE =BC 2+BE 2=213．故选：D ．13(2022秋•文登区期末)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AE =CD =8，则⊙O 的半径为()A.3B.4C.9D.52【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE=CD=8，CD=4，∴CE=DE=12设OC=r，则OE=8-r，在Rt△OCE中，OE2+CE2=OC2，即(8-r)2+42=r2，解得r=5．故选：D．14(2022秋•西湖区校级期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE=10，CD= 8，则⊙O的半径为()A.3B.4.2C.5.8D.6【答案】C【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OE=10-R，∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD=8，∴∠OEC=90°，CE=DE=4，由勾股定理得：OC2=CE2+OE2，R2=42+(10-R)2，解得：R=5.8，即⊙O的半径长是5.8，故选：C．15(2022秋•泰山区校级期末)一块圆形宣传标志牌简图如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB=16dm，DC=4dm，则圆形标志牌的半径为()A.6dmB.5dmC.10dmD.3dm【答案】C【解答】解：连接OA，OD，∵点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，AB=16dm，DC=4dm，∴AD=8dm，设圆形标志牌的半径为r，可得：r2=82+(r-4)2，解得：r=10，故选：C．16(2022秋•任城区校级期末)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=2寸，AB=16寸，直径CD的长是()A.28寸B.30寸C.36寸D.34寸【答案】D【解答】解：如图，连接OA，∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB=16寸，∴∠AEO=90°，AE=BE=8寸，设圆的半径是r寸，在直角△OAE中，OA=r寸，OE=(r-2)寸，由勾股定理得：OA2=OE2+AE2，r2=(r-2)2+82，解得：r=17．则CD=2×17=34(寸)．故选：D．17(2023•汉阳区校级一模)如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=6，则CD长为()A.10B.9C.8D.5【答案】A【解答】解：设⊙O的半径为R，则OE=R-1，∵AB⊥CD，AB=6，∴AE=BE=3，∠AEO=90°，在Rt△AEO中，由勾股定理得：AO2=AE2+OE2，R2=(R-1)2+32，解得：R=5，即CD =10，故选：A ．18(2023•汇川区三模)在半径为r 的圆中，弦BC 垂直平分OA ，若BC =6，则r 的值是()A.3B.33C.23D.232【答案】C 【解答】解：设OA 交BC 于点D ，如图，∵BC 垂直平分OA ，∴OD =12r ，BD =CD =12BC =3，在Rt △OBD 中，(12r )2+32=r 2，解得r 1=23，r 2=-23(舍去)，即r 的值为23．故选：C ．19(2023春•仪征市期末)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，CE =3，BE =1，则OC =2．【答案】2．【解答】解：设OC =x ，则OE =x -1，在Rt △COE 中由勾股定理得，OC 2=CE 2+OE 2，即x 2=(3)2+(x -1)2，解得x =2，即OC =2，故答案为：2．20(2023•大冶市一模)如图，AB 是⊙O 的弦，C 是AB 的中点，连接OC 并延长交⊙O 于点D ．若CD =1，AB =4，则⊙O 的半径是　52　．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA ，∵C 是AB 的中点，∴AC =12AB =2，OC ⊥AB ，∴OA 2=OC 2+AC 2，即OA 2=(OA -1)2+22，解得，OA =52，故答案为：52．【题型3垂径定理在实际中应用】21(2022秋•海淀区校级月考)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB ，点O 是弧AB 的圆心，C 为弧AB 上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ．已知AB =60m ，CD =10m ，求这段弯路的半径．【答案】这段弯路的半径为50m ．【解答】解：连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴AD =BD =12AB =30m ，设半径为r ，则OD =r -10，在Rt △OBD 中，OD 2+BD 2=OB 2，即(r -10)2+302=r 2，解得r =50m ，答：这段弯路的半径为50m ．22(2022秋•郾城区期中)如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB 为0.6米，污水的最大深度为0.1米．(1)求此下水管横截面的半径；(2)随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？【答案】(1)下水管半径为0.5米；(2)水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．【解答】解：(1)作半径OD ⊥AB 于C ，连接OB ，则CD =0.1米，由垂径定理得：BC =12AB =0.3米，在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2，∴OB 2=(OB -0.1)2+0.09，∴BO =0.5，即下水管半径为0.5米；(2)如图，过点O 作OH ⊥MN 于H ，∴NH =MH ，∵水位又被抬升0.7米，∴OH =0.1+0.7-0.5=0.3米，∴NH =ON 2-OH 2=0.25-0.09=0.4米，∴MN =0.8米，∴增加了0.2米，∴水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．23(2022秋•沭阳县期中)如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB =3.2米，拱高CD =0.8米(C 为AB 的中点，D 为弧AB 的中点)．(1)求该圆弧所在圆的半径；(2)在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF ，求支撑杆EF 的高度．【答案】0.4米．【解答】解：(1)设弧AB 所在的圆心为O ，D 为弧AB 的中点，CD ⊥AB 于C ，延长DC 经过O 点，则BC =12AB =1.6(米)，设⊙O 的半径为R ，在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+CB 2，∴R 2=(R -0.8)2+1.62，解得R =2，即该圆弧所在圆的半径为2米；(2)过O 作OH ⊥FE 于H ，则OH =CE =1.6-0.4=1.2=65(米)，OF =2米，在Rt △OHF 中，HF =OF 2-OH 2=22-652=1.6(米)，∵HE =OC =OD -CD =2-0.8=1.2(米)，∴EF =HF -HE =1.6-1.2=0.4(米)，即支撑杆EF 的高度为0.4米．24如图，有一拱桥是圆弧形，它的跨度(所对弦长)为60m ，拱高18m ，当水面涨至其跨度只有30m 时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m ，问是否需要采取紧急措施？【答案】不需要．【解答】解：∵AB =60米，MP =18米，OP ⊥AB ，∴AM =12AB =30(米)，OM =OP -MP =(x -18)米，在Rt △OAM 中，由勾股定理得OA 2=AM 2+OM 2，∴x 2=302+(x -18)2，∴x =34(米)．当PN =4时，∵PN =4，OP =x ，∴ON =34-4=30(米)，设A ′N =y 米，在Rt △OA ′N 中，∵OA ′=34，A ′N =y ，ON =30，∴342=y 2+302，∴y =16或y =-16(舍去)，∴A ′N =16，∴A ′B ′=16×2=32(米)>30米，∴不需要采取紧急措施．25如图，残缺轮片上弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D ，已知AB =24cm ，CD =8cm ．(1)找出此残缺轮片所在圆的圆心(写出找到圆心的方法)；(2)求此圆的半径．【答案】(1)圆的圆心如图所示；(2)13．【解答】解：(1)连接AC，作线段AC的垂直平分线交直线CD为O，则点O为此残缺轮片所在圆的圆心；(2)连接OA，设此圆的半径为rcm，则OD=(r-8)cm，∵CD是弦AB的垂直平分线，AB=24cm，∴AD=12cm，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=(r-8)2+122，解得：r=13．26某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD=2.4m(如图)．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？【答案】此货船能顺利通过这座拱桥．【解答】解：如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB=7.2m，AB=3.6m．∴BD=12又∵CD=2.4m，设OB=OC=ON=rm，则OD=(r-2.4)m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=(r-2.4)2+3.62，解得r=3.9．∵CD=2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB2m，∴CE=2.4-2=0.4m，∴OE=r-CE=3.9-0.4=3.5m，在Rt△OEN中，EN2=ON2-OE2=3.92-3.52=2.96(m2)，∴EN= 2.96(m)．∴MN=2EN=2× 2.96≈3.44m>3m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．27我国古算书《九章算术》中有“圆材埋壁”一题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径(直径)几何？”(注：如图，⊙O 表示圆材截面，CE 是⊙O 的直径，AB 表示“锯道”，CD 表示“锯深”，1尺=10寸，求圆材的直径长就是求CE 的长．)【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA ，如图所示：∵AB ⊥CE ，∴AD =BD ，∵AB =10，∴AD =5，在Rt △AOE 中，∵OA 2=OD 2+AD 2，∴OA 2=(OA -1)2+52，解得：OA =13，∴CD =2A 0=26；即直径为26寸．28如图，半圆拱桥的圆心为O ，圆的半径为5m ，一只8m 宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m ，离水面AB 高3.8m ，这条船能过桥洞吗？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过点O 作OF ⊥DE 于点F ，则EF =DF =12DE ，假设DE =6m ，则DF =3m ，∵圆的半径为5m ，∴OD =5m ，∴OF =OD 2-DF 2=52-32=4>3.8，∴这条船能过桥洞．29(2022秋•沭阳县校级月考)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且AB =26m ，OE ⊥CD 于点E ．水位正常时测得OE ：CD =5：24(1)求CD 的长；(2)现汛期来临，水面要以每小时4m 的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)∵直径AB=26m，∴OD=12AB=12×26=13m，∵OE⊥CD，∴DE=12CD，∵OE：CD=5：24，∴OE：ED=5：12，∴设OE=5x，ED=12x，∴在Rt△ODE中(5x)2+(12x)2=132，解得x=1，∴CD=2DE=2×12×1=24m；(2)由(1)得OE=1×5=5m，延长OE交圆O于点F，∴EF=OF-OE=13-5=8m，∴84=2(小时)，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．30(2022秋•东台市期中)如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．(精确到0.1m)【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OC，AB交CD于E，由题意知：AB=1.6+6.4+4=12，所以OC=OB=6，OE=OB-BE=6-4=2，由题意可知：AB⊥CD，∵AB过O，∴CD=2CE，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE=OC2-OE3=62-22=42，∴CD=2CE=82≈11.3m，所以路面CD的宽度为11.3m．。

圆的基本概念及垂径定理-典型例题及练习

圆的基本概念及垂径定理例题1、基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧练习：1．下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤ （C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠ D ．AD AC >4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等弧有（）对。

A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对例题2、垂径定理1、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .求证：四边形OEHF 是正方形.练习：1.在⊙O 中，弦AB 长为cm 8，圆心到弦AB 的距离为cm 3，则⊙O 半径长为 cm2．如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径m 10=OA ，桥拱的距度16=AB m ，则拱高_____=CD m.3．一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是13cm ，水面宽24=AB ，则水管中水深是_______cm.4．如图，⊙O 的直径⊥CD AB ，垂足为点E ，若8,2==ED CE ，则=AB （）A ．2B ．4C ．8D ．165．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为4cm ，最短的弦长为2cm ，则OM 的长为（）A ．3cmB ．2cmC ．1D ．3cm6．已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB 长32cm ，则这条弦的中点到弦所对劣弧的中点的距离为（）A ．1cmB ．2cmC ．2cmD ．3cm7.如图，已知⊙O 的半径为cm 6，两弦AB 与CD 垂直相交于E ，若cm CE 3=，cm DE 9=，则=AB （）A ．cm 6B ．cm 33C ．cm 3D ．cm 36例题4、相交问题如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.A B DCEO。

垂径定理练习题及答案

垂径定理一.选择题★1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4B．．7D．8答案：D★★2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．2B．．4D．5答案：B★★3．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为，则OM 的长为（）A．B．C．D．答案：C★★4．如图，xx同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A．12个单位B．10个单位C．1个单位D．15个单位答案：B★★5．如图，的直径垂直弦于，且是半径的中点，，则直径的长是（）A．B．C．D．答案：D★★6．下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心答案：D★★★7．如图，某公园的一座xx是圆弧形（劣弧），其跨度为，拱的半径为，则拱高为()A．B．C．D．米答案：B★★★8．⊙O的半径为，弦AB//CD，且AB=,CD=,则AB与CD之间的距离为()A．B．C．或D．或答案：D★★★9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙Oxx，如果底边BC的长为8，那么BC边xx的高为()A．2B．．2或8D．3答案：C二.填空题★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝，OC⊥AB与C，OC=，则⊙O的半径为cm答案：5 cm★2．在直径为的圆中，弦的长为，则它的弦心距为cm答案：3 cm★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于答案：6★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝，OC⊥AB与C，OC=，则⊙O的半径为cm答案：5 cm★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD ＝120°，OE＝，则CD＝厘米图 4答案： cm★★6．半径为的圆中，垂直平分半径OA的弦长为cm.答案： cm★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为，最短的弦长为，则OM 的长等于cm答案：★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________答案：★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是答案：6★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝，半径OA＝，则中间柱CD的高度为m答案：4★★11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B的坐标是答案：(6，0)OD=cm★★12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=，则Array答案：3★★13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=答案：3★★14．如图，⊙O 的半径是，P 是⊙O 外一点,PO=，∠P=30º,则AB=cmPBAO答案：6★★★15．⊙O 的半径为，弦AB∥CD，AB ＝，CD ＝，那么AB 和CD 的距离是Cm答案：或★★★16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D ，若AB=8，CD=2，则圆的半径为答案：5★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为，跨度为，那么这个门拱的半径为米答案：★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米答案：7或1★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果xx为，净高为，那么这个隧道所在圆的半径是___________米答案：5★★★20．如图，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。

垂径定理练习题及答案

垂径定理一.选择题★1．如图1，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，那么弦AB 的长是（）A ．4B ．6C ．7D ．8★★2．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 长的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．5★★3．过⊙O 内一点M 的最长弦为10 cm ，最短弦长为8cm ，则OM 的长为（）A ．9cmB ．6cmC ．3cmD ．cm 41★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A ．12个单位B ．10个单位C ．1个单位D ．15个单位★★5．如图，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，6cm CD ，则直径AB 的长是（）A ．B ．C ．D ．★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )A ．5米B ．8米C ．7米D ．53米★★★8．⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，且AB=8cm,CD=6cm,则AB 与CD 之间的距离为( )A ． 1 cmB ． 7cmC ． 3 cm 或4 cmD ． 1cm 或7cm★★★9．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，那么BC 边上的高为( )A ．2B ．8C ．2或8D ．3二.填空题★1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm★2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为 cm★3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于★★4．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为 cm★★5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝厘米图 4★★6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为 cm.★★7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm★★8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=____________★★9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是★★10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 m★★11．如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B的坐标是★★12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm★★13．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么AD=★★★15．⊙O 的半径为13 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝24cm ，CD ＝10cm ，那么AB 和CD 的距离是 Cm★★★16．已知AB 是圆O 的弦，半径OC 垂直AB ，交AB 于D ，若AB=8，CD=2，则圆的半径为★★★17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米★★★18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米★★★19．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA 是___________米★★★20．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。

垂径定理精选题35道

垂径定理精选题35道一．选择题（共15小题）1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．82．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4B．C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为（）A．B．2C．2D．84．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．B．3C．3D．45．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC 的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4 cm6．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC 的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm7．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．18．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜5 9．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC 互补，则弦BC的长为（）A．3B．4C．5D．610．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB ＝8，OC＝3，则EC的长为（）A．B．8C．D．11．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD＝6，AE＝1，则⊙O的直径为（）A．6B．8C．10D．1212．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm13．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（）A．4B．6C．6D．814．如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO＝1．则四边形BEOF的面积为（）A．B．C．D．15．△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共14小题）16．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．17．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O 于点D，则CD的最大值为．18．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD＝4，AE＝1，则⊙O的半径为．19．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为；当点E在⊙G 的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．20．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为．21．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．22．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB＝22.5°，CD＝8cm，则⊙O的半径为cm．24．如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝cm．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为．26．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为cm．27．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为．28．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为．29．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为．三．解答题（共6小题）30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．31．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．32．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．33．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．34．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．35．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．垂径定理精选题35道参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．8【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OC＝2，然后利用CD＝2CE进行计算．【解答】解：∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝2，∴CD＝2CE＝4．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．2．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4B．C．D．【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，由于OC＝3，PC＝a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE＝BE＝AB＝2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE＝1，则PD＝PE＝，所以a＝3+．【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝x得y＝3，∴D点坐标为（3，3），∴CD＝3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，在Rt△PBE中，PB＝3，∴PE＝，∴PD＝PE＝，∴a＝3+．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为（）A．B．2C．2D．8【分析】作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH＝OP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH＝，所以CD＝2CH＝2．【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA﹣AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝∠APC＝30°，∴∠POH＝60°，∴OH＝OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，∴CH＝＝，∴CD＝2CH＝2．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．4．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．B．3C．3D．4【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．【解答】解：连接OD，交AC于F，∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝DF，∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝＝＝4，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．5．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC 的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4 cm【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝3（cm），∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），∴AC＝＝＝4（cm）；当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2（cm），在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC 的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：如图，连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝AB＝×8＝4cm，OD＝OC＝5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝3cm，∴CM＝OC+OM＝5+3＝8cm，∴AC＝＝＝4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2cm，在Rt△AMC中，AC＝＝＝2cm．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．1【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．【解答】解：连接OA，设CD＝x，∵OA＝OC＝5，∴OD＝5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AD＝4，由勾股定理可知：52＝42+（5﹣x）2∴x＝2，∴CD＝2，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．8．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜5【分析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．【解答】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OM的最大值为5，∵OM⊥AB于M，∴AM＝BM，∵AB＝6，∴AM＝3，在Rt△AOM中，OM＝＝＝＝4；此时OM最短，所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM的最小值，所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．9．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC 互补，则弦BC的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC＝2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，则BC＝2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC＝2∠A，∠BOC+∠A＝180°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝30°，∵⊙O的半径为4，∴BD＝OB•cos∠OBC＝4×＝2，∴BC＝4．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．10．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB ＝8，OC＝3，则EC的长为（）A．B．8C．D．【分析】根据垂径定理求出AC＝BC，根据三角形的中位线求出BE，再根据勾股定理求出EC即可．【解答】解：连接BE，∵AE为⊙O直径，∴∠ABE＝90°，∵OD⊥AB，OD过O，∴AC＝BC＝AB＝＝4，∵AO＝OE，∴BE＝2OC，∵OC＝3，∴BE＝6，在Rt△CBE中，EC＝＝＝2，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识点，能根据垂径定理求出AC＝BC是解此题的关键．11．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD＝6，AE＝1，则⊙O的直径为（）A．6B．8C．10D．12【分析】连接OC，根据题意OE＝OC﹣1，CE＝3，结合勾股定理，可求出OC的长度，即可求出直径的长度．【解答】解：连接OC，∵弦CD⊥AB于E，CD＝6，AE＝1，∴OE＝OC﹣1，CE＝3，∴OC2＝（OC﹣1）2+32，∴OC＝5，∴AB＝10．故选：C．【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键在于连接OC，构建直角三角形，根据勾股定理求半径OC的长度．12．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径；最短弦即是过点P且垂直于过点P 的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得：AB＝10cm，CD＝6cm．∵AB是直径，且CD⊥AB，∴CP＝CD＝3cm．根据勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．故选：B．【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦是解题的关键．13．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（）A．4B．6C．6D．8【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据含30°角的直角三角形的性质得出OC＝MO＝3，根据勾股定理求出AC，再根据垂径定理得出AB＝2AC，最后求出答案即可．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则∠OCA＝90°，∵MO＝6，∠OMA＝30°，∴OC＝MO＝3，在Rt△OCA中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，∵OC⊥AB，OC过O，∴BC＝AC，即AB＝2AC＝2×4＝8，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分弦是解此题的关键．14．如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO＝1．则四边形BEOF的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据垂径定理求出AF＝BF，CE＝BE，＝，求出∠AOD＝2∠C，求出∠AOD＝2∠A，求出∠A＝30°，解直角三角形求出OF和BF，求出OE、BE、BF，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：∵CD为直径，CD⊥AB，∴＝，∴∠AOD＝2∠C，∵CD⊥AB，AE⊥BC，∴∠AFO＝∠CEO＝90°，在△AFO和△CEO中∴△AFO≌△CEO（AAS），∴∠C＝∠A，∴∠AOD＝2∠A，∵∠AFO＝90°，∴∠A＝30°，∵AO＝1，∴OF＝AO＝，AF＝OF＝，同理CE＝，OE＝，连接OB，∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE过O，∴由垂径定理得：BF＝AF＝，BE＝CE＝，∴四边形BEOF的面积S＝S△BFO+S△BEO＝××+＝，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能够综合运用定理进行推理是解此题的关键．15．△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点，在Rt△ACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5．过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，由垂径定理可得M为AE的中点，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CM，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴CM＝，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，即9＝AM2+（）2，解得：AM＝，∴AE＝2AM＝．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．二．填空题（共14小题）16．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4．【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．【解答】解：∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝3，∵OB＝AB＝5，∴OD＝＝4．故答案为4．【点评】题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．17．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出即可．【解答】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB＝AB＝×1＝，即CD的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．18．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD＝4，AE＝1，则⊙O的半径为．【分析】连接OC，由垂径定理得出CE＝CD＝2，设OC＝OA＝x，则OE＝x﹣1，由勾股定理得出CE2+OE2＝OC2，得出方程，解方程即可．【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝CD＝2，∠OEC＝90°，设OC＝OA＝x，则OE＝x﹣1，根据勾股定理得：CE2+OE2＝OC2，即22+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝；故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．19．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为2；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为﹣1．【分析】作GM⊥AC于M，连接AG．因为∠AFC＝90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM，想办法求出FM、GM即可解决问题；【解答】解：作GM⊥AC于M，连接AG．∵GO⊥AB，∴OA＝OB，在Rt△AGO中，∵AG＝2，OG＝1，∴AG＝2OG，OA＝＝，∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2，∴∠AGO＝60°，∵GC＝GA，∴∠GCA＝∠GAC，∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，∴∠GCA＝∠GAC＝30°，∴AC＝2OA＝2，MG＝CG＝1，∵∠AFC＝90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM＝﹣1．故答案为2，﹣1．【点评】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．20．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（﹣1，﹣2）．【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点D的坐标即可．【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD＝DB＝DA＝＝，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2），【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．21．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF＝2EH＝20E•sin∠EOH＝20E•sin60°，因此当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF＝2EH．【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝2，∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝1×＝，由垂径定理可知EF＝2EH＝．故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．22．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是2或14cm．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，连接OA，OC，过点O作OE⊥AB于点E并延长交CD于点F．如图，∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AE＝8cm，CF＝6cm，∵OA＝OC＝10cm，∴EO＝6cm，OF＝8cm，∴EF＝OF﹣OE＝2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AF＝8cm，CE＝6cm，∵OA＝OC＝10cm，∴OF＝6cm，OE＝8cm，∴EF＝OF+OE＝14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．故答案为：2或14．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB＝22.5°，CD＝8cm，则⊙O的半径为4cm．【分析】连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE＝DE，由OA＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径．【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝4cm，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝22.5°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE＝45°，∴△COE为等腰直角三角形，∴OC＝CE＝4cm，故答案为：4【点评】此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．24．如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝8cm．【分析】根据垂径定理，可得AC的长，根据勾股定理，可得OC的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由垂径定理，AC＝AB＝12cm．由半径相等，得OA＝OD＝13cm．由勾股定理，得OC＝＝＝5．由线段的和差，得CD＝OD﹣OC＝13﹣5＝8cm，故答案为：8．【点评】本题考查了垂径定理，利用垂径定理得出直角三角形OAC是解题关键，又利用了勾股定理．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为2．【分析】设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，先求出A、C坐标，得到OA、OC长度，可得∠CAO＝30°，Rt△AOD中求出AD长度，从而根据垂径定理可得答案．【解答】解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：在y＝x+中，令x＝0得y＝,∴C(0,),OC＝,在y＝x+中令y＝0得x+＝0,解得x＝﹣2,∴A(﹣2,0),OA＝2,Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝,∴∠CAO＝30°，Rt△AOD中，AD＝OA•cos30°＝2×＝，∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴AB＝2，故答案为：2．【点评】本题考查一次函数、锐角三角函数及垂径定理等综合知识，解题的关键是利用tan∠CAO＝得到∠CAO＝30°．26．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为1或7cm．【分析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质OF⊥CD，根据垂径定理得到AE＝BE＝4，CF＝DF＝3，则利用勾股定理可计算出OE＝3，OF＝4，讨论：当点O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE；当点O不在AB与CD 之间时，EF＝OF﹣OE．【解答】解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝4cm，CF＝DF＝CD＝3cm，在Rt△OAE中，OE＝＝＝3cm，在Rt△OCF中，OF＝＝＝4cm，当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝4+3＝7cm；当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1cm；综上所述，AB与CD之间的距离为1cm或7cm．故答案为1或7．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．27．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为4．【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OC＝2，然后利用CD＝2CE进行计算．【解答】解：∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝2，∴CD＝2CE＝4．故答案为4．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．28．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为3．【分析】根据垂径定理由CD⊥AB得到CH＝CD＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3．【解答】解：连接OC，∵CD⊥AB，∴CH＝DH＝CD＝×8＝4，∵直径AB＝10，∴OC＝5，在Rt△OCH中，OH＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．29．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为20．【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC＝2BE，由此得解．【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD＝AD＝AB＝12；∴OD＝4，又∵∠ADB＝60°，∴DE＝OD＝2；∴BE＝10；∴BC＝2BE＝20；故答案为20．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用．三．解答题（共6小题）30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．【分析】（1）先根据CD＝16，BE＝4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；（2）由∠M＝∠D，∠DOB＝2∠D，结合直角三角形可以求得结果；【解答】解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8，设OB＝x，又∵BE＝4，∴x2＝（x﹣4）2+82，解得：x＝10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，∴∠D＝∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D＝30°．【点评】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．31．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）先根据同角的余角相等得到∠CNM＝∠B，利用等量代换得到∠AND＝∠B，利用同弧所对的圆周角相等得到∠D＝∠B，则得∠AND＝∠D，利用等角对等边可得出结论；（2）先根据垂径定理求出AE的长，连接AO，设OE的长为x，则DE＝NE＝x+1，OA ＝OD＝2x+1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB∴∠CEB＝90°∴∠C+∠B＝90°，同理∠C+∠CNM＝90°∴∠CNM＝∠B∵∠CNM＝∠AND∴∠AND＝∠B，∵，∴∠D＝∠B，∴∠AND＝∠D，∴AN＝AD；（2）解：设OE的长为x，连接OA∵AN＝AD，CD⊥AB∴DE＝NE＝x+1，∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，∴OA＝OD＝2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，∴x2+42＝（2x+1）2．解得x＝或x＝﹣3（不合题意，舍去），∴OA＝2x+1＝2×+1＝，即⊙O的半径为．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．32．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．【分析】（1）由OD⊥AC知AD＝DC，同理得出CE＝EB，从而知DE＝AB，据此可得答案；（2）作OH⊥AB于点H，连接OA，根据题意得出OH＝3，AH＝4，利用勾股定理可得答案．【解答】解：（1）∵OD经过圆心O，OD⊥AC，∴AD＝DC，同理：CE＝EB，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，∵AB＝8，∴DE＝4．（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH＝3，连接OA，∵OH经过圆心O，∴AH＝BH＝AB，∵AB＝8，∴AH＝4，在Rt△AHO中，AH2+OH2＝AO2，∴AO＝5，即圆O的半径为5．【点评】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了中位线定理与勾股定理．33．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．【分析】（1）连接AC，如图，利用垂径定理可判断CD垂直平分AB，则CA＝CB＝3，同理可得AE垂直平分BC，所以AB＝AC＝3；（2）先证明△ABC为等边三角形，则AE平分∠BAC，所以∠OAF＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OA即可．【解答】解：（1）连接AC，如图，∵CD⊥AB，∴AF＝BF，即CD垂直平分AB，∴CA＝CB＝3，∵AO⊥BC，∴CE＝BE，即AE垂直平分BC，∴AB＝AC＝3；（2）∵AB＝AC＝BC，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴AE⊥BC，∴AE平分∠BAC，即∠OAF＝30°，在Rt△OAF中，∵OF＝AF＝×＝，∴OA＝2OF＝，即⊙O的半径为．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．34．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．【分析】（1）作OM⊥AC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM＝CM＝2，根据勾股定理即可得到结论；（2）连接OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC＝∠MCO＝45°，求得∠AOC＝90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）作OM⊥AC于M，∵AC＝4，∴AM＝CM＝2，∵OC＝4，∴OM＝＝2；（2）连接OA，∵OM＝MC，∠OMC＝90°，∴∠MOC＝∠MCO＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAM＝45°，∴∠AOC＝90°，∴∠B＝45°，∵∠D+∠B＝180°，∴∠D＝135°．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．35．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4（m），在Rt△AEO中，OE＝＝＝3（m），∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．。

(完整版)圆的垂径定理习题及答案

圆的垂径定理习题一.选择题1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8 2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53.过⊙0内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A．12个单位B．10个单位C．1个单位D．15个单位5．如图，O⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，6cmCD，则直径AB的长是（）6．下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )A． 1 cm B．7cm C． 3 cm或4 cm D．1cm 或7cm 9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( ) A．2 B．8 C．2或8 D．3二、填空题1．已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm 2．在直径为10cm的圆中，弦AB的长为8cm，则它的弦心距为cm3．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于4. 已知AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm 5．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝厘米6．半径为6cm的圆中，垂直平分半径OA的弦长为cm7．过⊙O内一点M的最长的弦长为6cm，最短的弦长为4cm，则OM的长等于 cm8．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，CD=8，OE=1，则AB=9．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是10．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD 的高度为m11. 如图，在直角坐标系中，以点P为圆心的圆弧与轴交于A、B两点，已知P(4，2) 和A(2，0)，则点B的坐标是12．如图，AB是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，BC=6cm，则OD= cm13．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的圆O交于点G、B、F、E，GB=10，EF=8，那么AD=14．如图，⊙O的半径是5cm，P是⊙O外一点,PO=8cm，∠P=30º,则AB= cm15．⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，那么AB和CD的距离是Cm16．已知AB是圆O的弦，半径OC垂直AB，交AB于D，若AB=8，CD=2，则圆的半径为17．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为米18．在直径为10厘米的圆中,两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19. 如图，是一个隧道的截面，如果路面AB宽为8米，净高CD为8米，那么这个隧道所在圆的半径OA是___________米20．如图，AB为半圆直径，O 为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D。

专题训练––圆周角圆心角垂径定理练习

垂径定理，圆周角，圆心角练习一．选择题（共8小题）1．（2013•丽水）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A．4B．5[C．6D．8|2．（2012•茂名）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若CD=6，则DE=（）A．3B．4C．5>D．63．（2012•陕西）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（）A．3B．4C．$3D．4—4．（2013•黄石）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（）A．B．C．D．【5．（2007•深圳）下列结论正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．半圆是弧C．相等的圆心角所对的弧相等/D．弧是半圆6．（2007•仙桃）如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D 是上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE是（）A．40°B．60°·C．80°D．120°7．下列说法中正确的是（）A．相等的弦所对的弧相等…B．相等的圆心角所对的弧相等C．在同一个圆中相等的弧所对的弦相等D．相等的弦所对的圆心角相等8．下列命题中正确的是（）{A．长度相等的弧是等弧B．相等的弦所对的弧相等C．垂直于弦的直径必平分弦D．平分弦的直径必垂直于弦）二．填空题（共8小题）9．（2009•郴州）如图，在⊙O 中，，∠A=40°，则∠B=_________度．10．如图，在⊙O中，=，如果∠AOC=65°，则∠BOD=_________．11．（2011•阜新）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，若AB=2DE，∠E=18°，则∠AOC的度数为_________度．12．（2010•湘西州）如图，在⊙O中，半径为5，∠AOB=60°，则弦长AB=_________．…13．（2013•漳州）如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为_________厘米．14．（2013•西宁）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE=1：3，则AB= _________．15．（2013•上海）在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为____．16．（2012•遵义）如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为_________．(三．解答题（共8小题）17．（2011•佛山）如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=20cm，∠AOB=120°，求△AOB的面积．18．（2010•长春）如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，求直尺的宽．-19．（2006•青岛）某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面；（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．$20．如图所示，在⊙O中，AB与CD是相交的两弦，且AB=CD，求证：．21．如图在⊙O中，AC=BC，OD=OE，求证：∠ACD=∠BCE．22．已知：如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠1=∠2，AC=3cm．（1）求证：=；（2）求BD的长．23．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB与OC、OD分别相交于E、F，AE=BF，说明AC=BD的理由．24．（2012•长春一模）如图，四边形ABCD是矩形，以AD为直径的⊙O交BC边于点E、F，AB=4，AD=12．求线段EF的长．。

垂径定理经典练习题

垂径定理 1．下列说法：①圆的对称轴是一条直径；②经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；③与半径垂直的直线是圆的对称轴；④垂直于弦的直线是圆的对称轴，其中正确的有（）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．如图7－8，AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，则下面结论中错误的是（）．A ．CE ＝DEB ．＝C ．∠BAC ＝∠BAD D ．AC ＞AD图7－8 图7－9 图7－10 图7－113．如图7－9，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP ∶PB ＝1∶5，那么⊙O 的半径是（）．A ．6cmB ． 53cmC ．8cmD ．35cm4．如图7－10，⊙O 内接△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCD ，D 是⊙O 上的一点，则下列结论：①CD 是⊙O 直径；②CD 平分弦AB ；③＝；④＝；⑤CD ⊥AB ，其中正确的有（）．A ．3个B ．4个C ．5个D ．2个5．在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，则⊙O 的半径是（）．A ．10cmB ．8cmC ．5cmD ．4cm6．圆的半径为2cm ，圆中的一条弦的长为32cm ，则此弦的中点到所对优弧中点的距离是（）．A ．1cmB ．3cmC ．3cmD ．32cm7．在下列说法中，①垂直平分弦的直线经过圆心；②直径垂直平分弦；③平行弦所夹的两条弧相等；④平分圆的两条弧的直线必过圆心，其中正确的有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．⊙O 的半径为12cm ，弦AB 为8cm ，则圆心到弦的距离是________．9．在半径为10cm 的⊙O 中，弦AB ＝10cm ，则∠AOB 的度数是________．10．⊙O 的半径为8cm ，弦AB 中点到所对劣弧中点距离为4cm ，则弦AB 的长为_______，∠OAB 的度数是______．11．⊙O 的半径为10cm ，弦AB 垂直平分半径OC 于D ，则AB ＝_______，∠AOB ＝_____．12．⊙O 的半径为65cm ，弦AB ＝310cm ，则弦AB 所对圆心角∠AOB ＝________．13．⊙O 中，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，且AB 把CD 分成4cm 和6cm 两部分，则圆心O 到弦AB 的距离是________，弦AB 的长为________．14．⊙O 中，直径MN ⊥弦AB ，垂足为C ，MN ＝10，AB ＝8，则MC ＝________．15．如图7－11，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，若AD ＝5cm ，AB ＝8cm ，则⊙O 的半径是________．16．如图7－12，在⊙O 中，AB 是弦，∠AOB ＝120°，OA ＝5cm ，则圆心O 到AB 的距离是________cm ，弦AB 的长是________cm ．图7－12 图7－1317．如图7－13，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CD ＝14cm ，CE ＝8cm ，则弦AB ＝________cm ，BC ＝________cm ．20．如图7－15，⊙O 半径为5cm ，AB 和CD 是两条弦，且AB ∥CD ，AB ＝6cm ，CD ＝8cm ，求AB 和CD 的距离．图7－1521．如图7－16，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CD ＝15cm ，OE ∶OC ＝3∶5，求弦AB 的长和AC 的长．图7－1622．如图7－17，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，且圆心O 到AB 的距离OE ＝5cm ，大圆半径OA ＝13cm ，小圆半径为41cm ，求CD 、AC 的长．图7－1724．如图7－18，⊙O 的半径为7cm ，弦AB 的长为64cm ，则由与弦AB 组成的弓形的高CD 等于________cm ．25．在⊙O 中，半径OC 为R ，弦AB 垂直平分半径OC ，则弦AB 的长和∠AOB 的度数为（）． A ．R AB 23=，∠AOB ＝60° B ．R AB 23=，∠AOB ＝120° C ．R AB 3=，∠AOB ＝120° D ．AB ＝2R ，∠AOB ＝120°图7－1826．在⊙O 中，弦CD 与直径AB 相交成30°角，且将直径分成1cm 和5cm 的两条线段，则圆心O 到弦CD 的距离为（）．A ．0.5cmB ．1cmC ．2cmD ．3cm27．过圆上一点引两条互相垂直的弦，如果圆心到这两条弦的距离分别是3cm 和4cm ，则这两条弦的长度分别是（）．A ．5cm 和10cmB ．6cm 和8cmC ．8cm 和12cmD ．6cm 和9cm28．⊙O 的半径为20cm ，AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，则△AOB 的面积是（）．A ．2cm 325B ．2cm 350C ．2cm 3100D ．2cm 320029．⊙O 的半径为5，P 为⊙O 内一点，OP ＝3，则经过点P 的最短的弦与最长的弦的长度的比是（）．A ．2∶5B ．3∶5C ．4∶5D ．3∶10。

垂径定理---圆心角---圆周角练习(专题经典).

垂径定理圆心角圆周角练习1.如图．⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25o，则∠AOB的度数为_______．2.如图．AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC=50o．则∠ADC=_______．第1题第2题第3题3.如图，点A、B、C都在⊙O上，连结AB、BC、AC、OA、OB，且∠BAO=25°，则∠ACB的大小为___________.第4题第5题4.已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=140°，则∠DCE=.5、如图，AB是⊙O的直径，C,D,E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=.6、⊙O中，若弦AB长22cm，弦心距为2cm，则此弦所对的圆周角等于．7、已知AB是⊙O的直径，AC,AD是弦，且AB=2,AC=2，AD=1，则圆周角∠CAD的度数是()A.45°或60°B.60°C.105°D.15°或105°8、如图，AB是⊙的直径，弦CD垂直平分OB，则∠BDC=（）A.20°B.30°C.40°D.50°9、如图，点A、B、C为圆O上的三个点，∠AOB=的度数．13∠BOC,∠BAC=45°，求∠ACB 10、如图，AD是∆ABC的高，AE是∆ABC的外接圆的直径．试说明狐B E CF。

DF11、如图，AB,AC是⊙O的两条弦，且AB=AC．延长CA到点D．使AD=AC，连结DB并延长,交⊙O于点E．求证：CE是⊙O的直径．12、已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，B C交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．△13．如图所示，ABC为圆内接三角形，A B＞AC，∠A的平分线AD交圆于D，作D E⊥AB于E，D F⊥AC于F，求证：BE=CFAEB CFD△14．如图所示，在ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°（1）求证△BDE是等边三角形；（2）若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想。

圆及垂径定理(讲练10题型)(原卷版)

24.1.1&24.1.2 圆及垂径定理圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径. 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O”．(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.注意：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.题型1：圆的概念1.到圆心的距离不大于半径的点的集合是（）A．圆的外部B．圆的内部C．圆D．圆的内部和圆【变式11】下列条件中，能确定一个圆的是（）A．以点O为圆心B．以10m长为半径C．以点A为圆心，4cm长为半径D．经过已知点M与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.2. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B 为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.题型2：与圆有关的概念2.判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（）②弦是直径；（）③长度相等的两段弧是等弧；（）④直径是圆中最长的弦. （）【变式21】下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）相等的圆心角所对的弧相等，（3）劣弧一定比优弧短，（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式22】下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个题型3：确定圆心和圆3.将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．画出该轮的圆心；【变式31】如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.题型4：圆的对称性4.已知：如图，两个以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．求证：AC=BD．【变式41】如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AD＝BC．【变式42】如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．（1）求证AC＝BD；（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是．垂径定理及推论垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.常见辅助线做法：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．题型5：垂径定理与计算5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E．若AB＝10，BE＝2，求弦CD的长．【变式51】如图，AB是⊙O的弦，C为AB的中点，OC的延长线与⊙O交于点D，若CD=2，AB=12，求⊙O的半径．【变式52】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E，OC＝10cm，CD＝16cm，求AE的长．题型6：垂径定理与证明6.如图，AB是⊙O的弦，C、D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD.【变式61】如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点N，OM⊥AB于点M，若ON＝AB，证明：OM＝CD．⌢=BD⌢【变式62】如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB⊙CD，求证：AC题型7：垂径定理分类讨论问题7.在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cmA．1B．3C．3或4D．1或7题型8：垂径定理翻折问题8.如图，⊙O的半径为4，将⊙O的一部分沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为．【变式81】如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，求折痕AB的长.【变式82】如图, AB是以点O为圆心的圆形纸片的直径，弦CD⊥AB于点E, AB=10,BE= 3.将阴影部分沿着弦AC翻折压平，翻折后，弧AC对应的弧为G，则点O与弧G所在圆的位置关系为.题型9：垂径定理的应用拱桥问题9.如图所示，某地新建一座石拱桥，桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为40m，拱高（弧的中点到弦的距离）为8m，求桥拱得半径R．【变式91】如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米.（1）求圆弧所在的圆的半径r的长；（2）当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE＝4米时，是否要采取紧急措施？【变式92】如图，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80m，拱高（弧的中点到弦的距离CD）为20m，求桥拱所在圆的半径．题型10：垂径定理的应用油管问题10.储油罐的截面如图所示，内径1000mm装入一些油后，若油面宽AB＝600mm，求油的最大深度．【变式101】在半径为17dm的圆柱形油罐内装进一些油后，横截面如图．（1）若油面宽AB=16dm，求油的最大深度．（2）在（1）的条件下，若油面宽变为CD=30dm，求油的最大深度上升了多少dm？【变式102】在直径为1000毫米的圆柱形油罐内装进一些油.其横截面如图.油面宽AB=600毫米.（1）求油的最大深度；（2）如果再注入一些油后，油面宽变为800毫米，此时油面上升了多少毫米？一、单选题1．已知⊙O中，最长的弦长为16cm，则⊙O的半径是（）A．4cm B．8cm C．16cm D．32cm2．如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊙AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（）A．5B．10C．8D．63．如图，已知⊙O的直径CD=8，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM=2，则AB的长为（）A．2B．2√3C．4D．4√34．下列说法正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．平分弦的直径垂直于弦C．直径是同一个圆中最长的弦D．过三点能确定一个圆5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AB⊙CD，垂足为点E，连接OD、CB、AC，⊙DOB=60°，EB=2，那么CD的长为（）A．√3B．2 √3C．3 √3D．4 √36．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为（）A．10B．8C．6D．4二、填空题7．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于.8．如图，在半径为6的⊙O中，劣弧AB⌢的度数是120°，则弦AB的长是．9．如图，平面直角坐标系xOy中，M点的坐标为（3，0），⊙M的半径为2，过M点的直线与⊙M的交点分别为A，B，则⊙AOB的面积的最大值为，此时A，B两点所在直线与x轴的夹角等于°．10．已知⊙O的直径CD=10，AB是⊙O的弦，AB⊙CD，垂足为M，且AB=8，则AC的长为．三、计算题11．如图是一名考古学家发现的一块古代车轮碎片.（1）请你帮他找到这个车轮的圆心（保留作图痕迹）；（2）若这个圆的半径为10cm，请求出弦心距为5cm的弦长.四、解答题12．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．求证：AC=BD.13．如图为桥洞的形状，其正视图是由CD⌢和矩形ABCD构成．O点为CD⌢所在⊙O的圆心，点O⌢所又恰好在AB为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊙弦CD于点F ）EF为2米．求CD在⊙O的半径DO．14．已知：如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果⊙BAD=30°，且BE=2，求弦CD的长．五、综合题15．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图所示）．（1）求证：AC=BD；（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长16．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？”（如图①）阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图（如图②），其中BO⊙CD于点A，求间径就是要求⊙O的直径．（1）再次阅读后，发现AB=寸，CD=寸（一尺等于十寸），通过运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件．（2）帮助小智求出⊙O的直径．。

圆——垂径定理练习题

垂径定理练习题

圆的垂径定理习题及答案

北师大版九年级数学下册第三章：圆 第三节垂径定理 练习题(有答案)

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