函数-在一点的连续概念

第2章 连续函数
§2.1 连续函数的概念
【导语】
连续是客观世界中最常见的现象，如岁月的流逝、植物的生长、物体的运动等都是连续的．函数的连续性反映了函数在一点的值与这点附近的函数值之间的关系，是函数在一点的性质．如何刻画函数的连续性，连续函数具有什么性质，这就是第2章要解决的问题．本讲主要介绍函数在一点连续的定义。

【正文】
一、函数在一点连续的概念
定义1 设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，如果0
0lim ()()x x f x f x →=成立，那么就称函
数()f x 在0x 处连续，0x 称为函数()f x 的连续点．
一般地，0x x x ∆=-称为自变量的改变量，0000()()()()()f x f x f x f x x f x ∆=-=+∆-称为函数()f x 在0x 处的改变量．函数()f x 在0x 连续指的是：当0x ∆→时，有0()0f x ∆→，即00
lim ()0x f x ∆→∆=．
也就是说，函数()f x 在0x 连续指的是：对任意的正数ε，都存在正数δ，使得当x δ∆<时，就有0()f x ε∆<成立．
从定义可以看出，连续性是函数的一种点性质．函数()f x 在0x 处是否连续与它在其他点是否连续没有关系．
例如对于函数
,,
(),,x x f x x x ∈⎧=⎨
-∉⎩
Q Q 因为0
lim ()0x f x →=，且(0)0f =，所以()f x 在0x =处连
续．由于在00x ≠时极限0
lim ()x x f x →不存在，所以()f x 也
x 0
x 0y=x y
x
O
只有0x =这一个连续点．
从运算的角度看，连续性保证了函数求值运算与极限运算满足交换律，即
0lim ()()(lim )x x x x f x f x f x →→==．
例1 若函数21
,1,()1,1x x f x x a x ⎧-≠-⎪
=+⎨⎪=-⎩ 在1x =-处连续，求a 的值．
解 因为()f x 在1x =-处连续，所以
1
lim ()(1)x f x f →-=-．
又因为
2111
1lim ()lim lim(1)21x x x x f x x x →-→-→--==-=-+，(1)f a -=， 所以 2a =-．
例2 利用定义证明：若函数()f x 在0x 处连续，则函数()f x 在0x 处连续．
证 对任意的正数ε，因为函数()f x 在0x 处连续，所以存在正数δ，当0||x x δ-<时，有
0()()f x f x ε-<。

又因为00()()()()f x f x f x f x --≤，所以当0||x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<。

所以函数()f x 在0x 处连续．
Remark:1,,
()1,.x f x x ∈⎧=⎨-∉⎩
Q Q
例3 利用定义证明函数()e x f x =在任意点0x 处连续． 证 对任意实数0x 和x ，000e e e (e 1)x x x x x --=-．
对任意正数ε，不妨设0e x ε<．要使
0e e x x ε-<，
即要使 00e (e 1)x x x ε--<， 即
0001e e 1e x x x x εε----<<+，
即
000ln(1e )ln(1e )x x x x εε---<-<+．
取 00min{ln(1e ),ln(1e )}x x δεε--=--+，则当0x x δ-<时，有
0e e x x ε-<．
所以函数()e x f x =在点0x 处连续．
由于0x 是任意给定的，所用函数()e x f x =在任意点0x 处连续．
例4 设()f x 是不恒为常数的周期函数，且在0x =处连续。

证明：()f x 具有最小正周
期．
证 反证法．假设()f x 不存在最小正周期，则对于任意的正整数n ，存在n T ，使得
1
0n T n
<<
，()()n f x T f x +=． 任给0x ∈R ，对于1
0n T n
<<
，总存在整数n k ，使得 001n n x k T x n
<+
≤。

故0lim n n n k T x →∞
=，即0lim()0n n n x k T →∞
-=．
因为00()()n n f x f x k T =-，且()f x 在0x =处连续，所以
00()lim ()(0)n n n f x f x k T f →∞
=-=．
这与()f x 不恒为常数矛盾．
【本讲总结与下讲预告】
本讲介绍了函数在一点连续的概念；了解了连续是函数在一点的性质，反映的是函数在一点的函数值与这一点附近其他函数值的关系；了解了利用连续定义解决相关问题的常用方法。

下一讲将介绍函数在一点左连续和右连续的概念；给出连续与左、右连续的关系；介绍间断点的分类。