陈省身的微积分讲义chapter V

dei
(xe1 e2 , e3 ) ωij ej . , i, j, k 1 3. ,
3
, ωij .
, dei = ωij ej . , , , , , , 3. , i, j . , 3 (5.3) . dωij , t
, . (5.5) . . 3, . , ωij , E dei , ,
,
, 1 χ(M ). 2π , , , (5.15) dA, ,
? , , , 100 Annalen , . , . , , , , 2 , ,
. , ? .
Mathematische . Mathematische Annalen . Mathematische Annalen , Einstein . . , , , , Gauss Gauss 2 . , , , 2 , Mapping Degree, , . , , , ? , Mapping Degree( ). 2 . , , Gauss , , , Gauss , , Degree. Degree 1 . , , Euler 2π . . dω12 = −KdA. . E , , . , , . . , , , , . , , , , , . . , , . , , complex( , , ). complex, , , . , , , , . , , . : , . , , , . , , , , . , . . : , , , , , , , , . 6
dx = ω1 e1 + ω2 e2 . (dx, dx) . e1 , e2
2 2 + ω2 ω1 = ds2
. , Ca rtesian ω1 e1 + ω2 e2 , 0. , . d(ω1 e1 ) + d(ω2 e2 ), . ,
,
dω1 = −ω2 ∧ ω12 ; dω2 = ω1 ∧ ω12 . 0 = dω3 = ω1 ∧ ω13 + ω2 ∧ ω23 . ω12 , ω13 , ω23 . e1 , e2 , e3 . : ωij ej , ωij , dei , :
2
, 3 . . , , , , , , , , , , , , . . x dx: , , e1 x e2 u, v , , . . , , 2 2 , , , . e1 , , , . ?
, , .
. , , , e1 , ,
, ,
? e1 ? 3 , 3 . . , , x, , u, v dx . 3 . , 3 , bundle. . , , , dx , , e1 dx e2 , , dx (5.1) , (5.2) . gij dxi dxj , , , , , , , 0. , (5.3) (5.4) d dx . dx , . ,
, 1 2π , , ? , , . , . ,Baidu Nhomakorabea, . , . , . , , Euler . , Euler , . , . Euclid ,
. .
,
I (s) = lim , , . , ,
ω1 . , , . E , Euler . . , , , ,
(5.16)
, , . Gauss
7
,
ω13 , ω23
ω1 , ω2 (5.13)
2 . II = (−dx, de3 ) = ω1 ∧ ω13 + ω2 ∧ ω23 = aω 2 + 2bω1 ω2 + cω2 (5.14) 2 + ω2 , ω1 ∧ ω13 ω2 ∧ ω23 . ω1 2 ω1 , ω2 . , c H = a+ Gauss , Gauss 2 , 2 ac − b . dω12 = −Kω1 ∧ ω2 . , ω1 ∧ ω2 , , , , ω12 . Levi-Civita , , , Gauss . Gauss .
(III) Gauss-Bonnet
dω12 = −Kω1 ∧ ω2 Gauss-Bonnet , : Gauss-Bonnet : M KdA = , KdA d , Gauss 2 . . , . , Stokes 0. , , Gauss 0. dω12 = −KdA 5 Gauss . , , . 0, 1, ω1 ∧ ω2 : Gauss . Gauss , , (Gauss ? , . , ), ,
dωij = ωik ∧ ωkj . ω dωij = ωik ∧ ωkj , i, j ω , i = j. k j. i, , , . k 3 , i,
dω12 = ω13 ∧ ω32 . dω13 = ω12 ∧ ω23 . dω23 = ω21 ∧ ω13 . dω12 = ω13 ∧ ω32 . ω dω12 = −ω13 ∧ ω23 . ω13 , ω23 ω1 , ω2 : ω13 = aω1 + bω2 , ω23 = bω1 + cω2 . : dω12 = −ω13 ∧ ω23 = −Kω1 ∧ ω2 . K Gauss , , Gauss , K = ac − b2 . , 4 . .
(5.11)
(5.12) . Gauss Theorem Egregium, , .
E , : , . ω1 , ω2 , ( E , ,
, . , M. E, . , ω12 , ω13 , ω23 , (5.11)), 3 , .
M
: , M, ,
: 5 .
2 2 I = ds2 = (dx, dx) = ω1 + ω2 ;
( Gauss-Bonnet
2001 11 23
)
(I)
. , Bonnet , 3 , , , , . . , Ploytechnique , , , . Monge , . Monge 2 , Monge. Monge , , , . . . , , . , . , . , (Ploytechnique) . Poincare , . , , , . Darboux. Darboux , . . , . Darboux , Darboux . , , , , , . , . , , , ? . u, v , . 1 u , v , , , , , , , , , . , , , , , 2 , , . Darboux . , , , , . , . . 1941 , , , Darboux , . Darboux , , . , . . , 3 , , , . Gauss-
, , , , ,
Darboux , , , , . . . ? ,
. , 1941 , .
Darboux,
Frobenius, , , , , Darboux ,
(II)
? 2 . , . . , . , . , , , , . , , , Mobius : Mobius ? , e1 . . . . , . , , . , . , , e2 = e3 × e1 ? . , , e3 , . . Mobius , , . . e3 3 2 , . , . . . , . , , , , . , , . , . , , Euclid 1 , , , : . . . , , , . . , , , , u, v . . , , 2 2 , 2 , , ,
. (5.5). ωij (ei , ej ) = δij , , .
3
, ω12 dω1 , dω2 , Levi-Civita d(dei ) = 0, ,
, : (ωij ) ω 0, : ω12 , ω13 , ω23 . , (5.5) . (5.6) . , ωii ωii = 0; k ,k ? 0, j , ωjj = 0. . , (5.7) (5.8) (5.9) , (5.10)