陈省身的微积分讲义chapter V

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八年级数学上册 5.2 为什么要证明智者风采国际数学大师陈省身素材 (新版)青岛版

智者风采：国际数学大师陈省身陈省身是国际著名数学家，微分几何大师。

1930年毕业于南开大学数学系，1934毕业于清华大学研究生院。

同年公费到德国汉堡大学师从布拉施克教授，1936年获博士学位。

后到法国巴黎师从著名数学家嘉当。

回国后任教于清华大学和西南联大。

1943年到普林斯顿研究院研究数学，获得国际声誉。

1948年，陈省身创建中央研究院数学研究所，并任所长代理主持一切工作，培养出吴文俊、廖山涛等著名数学家。

1949年开始长期旅美，担任芝加哥大学、加利福尼亚大学伯克利分校教授。

1962年任美国数学会副会长。

1981年任美国数学科学研究所第一任所长。

陈省身是中国科学院外籍院士，美国科学院院士，英国皇家学会外籍会员，俄罗斯科学院、意大利林琴科学院、法兰西学院等学院的外籍院士。

1984年，陈省身任南开大学数学研究所所长。

2000年他回天津定居，为中国成为世界数学大国作出了巨大的贡献。

1984年，陈省身获得数学界的最高奖——沃尔夫奖，证书上写道：“此奖授予陈省身，因为他在整体微分几何上的卓越成就，其影响遍及整个数学。

”向世界数学中心进军在南开大学林荫道的深处，有一座以“宁园”命名的小楼，这就是陈省身在南开大学的寓所。

2000年，陈省身回国定居，这里就成了他永久的居所。

十七年前，陈省身在母校南开大学建立了数学研究所，这是他一生在中国和美国创建的第三个数学研究所。

作为世界微分几何的领袖，他的影响遍及20世纪的整个数学，他的数学历程与20世纪世界数学的历程密切相关。

在晚年，他又为中国数学的发展倾注了大量心血。

1993年，他最早向江泽民主席提出建议，在中国开一次国际数学家大会。

2002年8月20日，国际数学家大会在中国的北京举行，陈省身被推拥为大会名誉主席。

曾涛：陈先生您好，今天到您的家里来拜访您，非常高兴。

陈省身：谢谢，我也很高兴。

曾涛：我看过您写的一篇文章，您在文中说，您最美好的时光，都是在天津度过的。

陈省身：对，我的少年和青年时代主要是在天津。

数学大师的风采_记陈省身先生讲授_微积分及其应用_

专稿数学大师的风采Ξ—记陈省身先生讲授《微积分及其应用》白承铭　(南开数学研究所　天津　300071)2001年10月11日下午,南开数学研究所大讲演厅内座无虚席,世界著名数学家陈省身先生要给大家来上基础课了.4时整,我们尊敬的陈先生不顾已经九十高龄,坐着轮椅准时来到讲演厅,开始给大家讲授《微积分及其应用》的第一讲.这次活动是在陈先生本人倡导下,由南开大学、天津大学“刘徽应用数学中心”举办的《应用数学》系列课程的第一门课程,并由陈先生亲自主讲.陈先生要给大学本科生上基础课的消息传开后,不仅在南开大学和天津大学,而且在整个天津地区的高校都产生了很大的震动,许多学校的学生甚至很多教师纷纷要求听课.但是由于演讲厅条件所限,所以只能采取限制名额的办法,最终听众是以南开大学和天津大学两校的大二,大三学生为主,并有少量天津市其他高校的学生和青年教师.即使这样,每次仍然有很多没有报上名的学生站在过道和走廊里听陈先生的演讲,大家的热情可见一斑.同时,陈先生的报告也吸引了很多教师参加,甚至还有在南开大学访问的外籍学者,如美国B row n 大学的Bw uno H arris 教授就一次不落地听完了全部演讲.陈先生曾经计划讲《微积分及其应用》八次,但是期间因身体不适住院两周,到11月30日的最后一次(12月初已经先期安排了其他课程),共讲了六次.陈先生在住院期间仍然念念不忘他的课程和学生,他一出院,就赶快备课并准时出现在讲台上,他的这种敬业精神使所有人都非常感动,并且也给年轻人树立了良好的榜样.大师给学生们上基础课,不仅仅为学生们带去了对基础知识更为深刻的理解,更为我们的大学教育带来了新鲜风气,教师们也从中学到如何真正地为人师表.微积分课程本身作为大学生基础课并不是很难,难的是如何看待微积分里众多的命题和定理,以及为什么要有它们.想弄懂这些,就必须站在一定的高度来观察分析,这不仅要对微积分本身有很深的理解,还需要对更深一步的知识有很好的把握,陈先生就是这样的一位数学老师.陈先生讲得深入浅出,引人入胜,他用非常简洁的语言,形象的说明给大家讲授了微积分学的基本定理以及在微分几何上的应用.同时他那严谨却不枯燥、风趣中又一丝不苟的讲课风格,更告诉我们数学大师是如何授课的.听过陈先生课的人,都领悟到他在谈笑风生之间已经将深奥的数学知识中精辟的传授给了大家.所有人都感到获益匪浅,这可以从听课的学生们交上来的读书报告中清楚地看出来.有学生说:“大师就是大师,讲得就是好”,“很通俗,很好懂”.为了使更多的人能够了解陈先生演讲的内容,我作为陈先生的助教,根据陈先生演讲录音进行了整理,在下面简要地作一介绍.由于本人水平有限,错误在所难免,仅供大家参考.陈先生认为“微积分的范围很广”,因为时间关系,这个课程“只能讲个大概,尤其是介绍整个的有一些意义的问题”.“应该提一提微积分整个的影响或者是在哪些方面向前发展了.可以说,微积分向前发展大概有两个最重要的方面:一个是在几何的应用”,另一个是复数.陈先生着重讲的是微积分学的基本定理以及在微分几何上的应用.他的演讲主要包括“微分和积分”(1讲),“指数与对数函数”(1讲),2 高等数学研究STUD IES I N COLL EGE M A TH E M A T I CS V o l 15,N o 14D ec .,2002Ξ收稿日期:2002—07—11.“曲线论”(1讲)和“曲面论与Gau ss-Bonnet公式”(3讲).以下介绍的第一讲“微分和积分”,是陈先生演讲的记录稿.微分与积分( )微积分的起源:牛顿与莱布尼兹讲到微积分,最要紧的两个人是牛顿(Issac N ew ton,1642—1727)跟莱布尼兹(Go ttp ied L eibn iz,1646—1716),微积分就是他们发现的.关于牛顿,有兴趣的是他做这个工作是在学生的时候,也许比你们的岁数还要小,那个时候,也就是17世纪那个时候,欧洲瘟疫很厉害,欧洲死了很多人.他在英国剑桥大学,因为瘟疫的关系,学校放假了,他就回家在家里做关于微积分的这些工作.莱布尼兹是一个各方面都非常优秀的人,数学是他的兴趣的一部分,他的兴趣到宗教、法律各方面都有.他们两人之间有点争论,是因为争论谁是微积分的发现者.这个争论是不幸的,也没有什么意义.实质上是莱布尼兹头一个发表关于微积分论文的人,他的论文在1684年发表.牛顿做这个工作早于莱布尼兹.而莱布尼兹发表论文早于牛顿,牛顿有了这个工作后没有发表什么任何的东西.而莱布尼兹不但发表了这些东西,同时还引用了一些符号,也许我们现在还在用.那么后来两个人有一个争论,大概都是跟数学没有关系的人在那里造成的情况,这不是一个什么有意思的事情.( )微积分基本定理微积分是数学里头很重要的方面,至于什么是微积分呢?我想微分的发现跟笛卡儿发现坐标非常有关系,因为笛卡儿发现坐标之后,数学主要的目的就是研究函数,研究两组数的关系,有种种的关系.我们知道,函数有种种,有线性的,非线性的,三角函数等种种函数,那么要怎样地研究函数的性质?我们都知道,函数可以用曲线来表示,如y=f(x)这条曲线.在这条曲线的每点,如果它是可以微分的话,那么它在每点有个切线.微分就是把这个曲线用它的切线来研究它的性质.所以也等于说它是把函数线性化,线性化之后,可以加、减、乘除,可以计算,因此可以得到数出来.数学要是能够得到数出来,总是很要紧的.所以微分大概是说用曲线的切线来研究曲线的性质.积分来得早了,因为积分实际上大致讲起来,它是要计算面积.那么假使平面上有一个区域,由曲线来做为边界,它的面积有多大,圆周的面积有多大,这里的问题是积分的开始,也是积分重要的目的.因此,实际上,积分的发展在微分之前.积分当时也没有一定的定义,积分就是有个极限的观念.曲线所围成的区域一般想法子用直线来逼近,使得逼近的曲线趋于你的边界的时候,就有个极限,就是这个区域的面积.所以,总而言之,积分的发展在微分之前,中间这两个问题好象没有关系,但是其实这关系非常的密切.积分差不多是微分的反运算.比方说,假使你求这条直线跟两条垂线所成区域的面积,这两条垂线,一个是s=a,一个是s=x,你要去算这个区域的面积,是个定积分∫x a f(x)d x,(读作f(x)定积分从a→x).这是当年莱布尼兹的符号,这个积分的符号记成这样,因为积分总是代表一个和,∫代表和(sum).假设面积一边由s=a的直线作边界,另一边是任意的x,你把x这条直线移动的话,就得到一个x的函数,这个函数,我叫它A(x),就是我图上的面积(图从略),是个积分,所以它是一个数目,与x有关,所以是x的函数.这个函数跟曲线方程y=f(x)这个函数有密切关系.为什么有密切的关系呢?很简单地看看,假如求A(x)=∫x a f(x)d x的微分,求它的微分嘛,就是说,求s=x,x+∆x所围成的这个小区域的面积.现在如果你拿∆x除的话,我想很容易看出来了,这个极限就是f(x).所以很容易看出来A(x)这个函数的微分就是f(x),因此dA(x) d x =f(x).(1.1)3第5卷第4期白承铭:数学大师的风采这就是微分同积分的基本的关系.这个关系说A(x)是一个积分,求它的微分时候,就得f(x).这个一般地,叫做微积分的基本定理.我从前在南开念微积分的时候,始终不懂为什么这是一个微积分的基本定理,因为一般地把这个关系式写成∫f(x)d x b a=∫b a f(x)d x(1.2)形状.左边积分是个不定积分(indefin ite in tegral),不定积分是个函数,左式是函数在b的值减去函数在a的值,等于这个定积分(defin ite in tegral).所以从这个关系知道要求积分的话,只需要求一个函数,它的微分是已知的,就是f(x),即微分是已知的.所以这样微分跟积分连起来了.互相的,积分等于微分的反运算,有了f(x),要找一个函数,它的微分等于f(x),是个反运算.因此微、积分有密切的关系.( )多元微积分上面讲的是一个变数的微积分.下面要讲高维的,多变数的.多变数的话,有新的现象,是什么样的呢?我想对于多变数的,我们先不看别的,先看两个变数的情形,x跟y,那么我们知道这个时候微分的观念的推广是偏微分,等于x跟y分开求微分.积分的观念推广是重积分.二重积分(doub le in tegral)是在2维的情形,在高维的情形是多重的.先看2维,2维的情形就有了区域,我们叫它∃,那么它的边界叫它Χ.所以积分的一个自然推广是一个2重积分,普通积分把x分成小段,然后取小段再乘上这个函数,求一个和.在2重积分的时候,方法也是把区域分成小块,然后取每一小块的面积,在其上函数值乘上它的面积,然后求它的和.很不得了的,假使函数好的话,无论你如何圈你的区域,极限是一样的,所以这极限就是2重积分I=∫∫f(x,y)d x d y.(1.3) 在2维的时候,甚至高维的时候,一个重要的现象是,我们现在有2个变数x,y,换变数怎么样?所以我现在换变数,换变数当然是在微积分里是很重要的一个办法,因为很多的问题是看你的变数是否选择得当,有时换变数,问题就立刻简单化了,就可以解决了.现在我换变数:x=x(x′,y′)y=y(x′,y′)(1.4)其中,(x′,y′)是另外一组坐标.我们发现一个事实,在高维的时候,微分的乘法,我们写成d x∧dy,这是一个乘法,怎么乘呢?d x∧dy在微积分上是最微妙的观点.什么叫微分?什么是d x?这个是困扰了数学家几百年的事.怎么样定微分的定义跟究竟什么是d x,这个很麻烦,可以做到很满意,不过把它讲清楚需要有一定的时间.所以我马马虎虎说有一个d x.在d x,dy这种微分之间要建立乘法∧.什么叫d x∧dy?这个问题更复杂了,你如果d x,dy本身是什么都不清楚,乘了以后是什么东西更是一个很微妙困难的问题.在这方面有一个大的进步,就是引进外代数和外微分.假定d x∧dy 这个乘法是反对称,d x∧d y=-d y∧d x(1.5)这个问题就清楚简单了.因为乘法如果是反对称的话,当然d x∧d x=0.事实上,因为d x∧d x=-d x∧d x,所以d x∧d x=0.在反对称的乘法之下,把d x∧dy看成变数,因为乘法是反对称的,d x2 =0,所以就没有高次的东西了.这样得到的代数叫做外代数.这个代数很妙的.有一个立刻的结论:换变数公式为d x∧d y=5(x,y)5(x′,y′)d x′∧d y′(1.6)假使我们的微分用的是偏微分,所以(下转第8页)数问题的需要,更重要的是它的几何背景的需要.(5)加强几何变换和变换群理论的教学.空间的变换的概念在射影几何学中体现得最显著.射影几何学应该说起源于绘画和建筑学中的透视学,是人类在观察世界时把3维的物体用平面图形表示的经验和规律的总结.这里面蕴涵着图形的变换理论.后来,欧拉首先注意到仿射变换的意义.克莱因在1872年提出了著名的“爱尔兰根纲领”.他认为每一种几何都由一种变换群所刻画,每一种几何学要做的实际上就是寻求图形在该变换群的作用下保持不变的性质,一个几何的子几何是在原变换群的子群作用下的不变量.例如:射影几何学(射影变换群)→仿射几何学(仿射变换群)→欧氏几何学(刚体运动群).在这里,箭头所指的是前者的子几何.虽然并不是所有的几何学都能够纳入克莱因的分类方案之中,例如现代的代数几何学和微分几何学,但是克莱因的观点给大部分几何学提供了一个系统的分类方法,而且提示了许多可供研究的问题.尤其是在当代,李群的理论已经广泛地用于几何学和物理学乃至工程科学的研究.许多几何空间的结构都容许一定的变换群的作用,它们的变换理论是重要的研究课题,这些问题的提出与克莱因的思想有关.群及其子群的结构和分类是代数学中的问题,而几何学中的变换群为抽象的群论提供了重要的例证,并且为群论的抽象研究提出不少课题.另外,几何变换理论与日常生活、生产、科研都有密切的关系.因此,在学几何的时候,必须把几何变换理论作为重要的内容之一.(未完,待续)(上接第4页) d x=5x5x′d x′+5x5y′d y′,d y=5y5x′d x′+5y5y′d y′(1.7)现在用外乘法一乘,d x′∧d x′=d y′∧d y′=0.而d x′∧d y′因为乘法是反对称的,所以是刚好乘以x=x(x′,y′),y=y(x′,y′)的雅可比5(x,y)5(x′,y′),这个符号是雅可比,是四个偏微分所成的行列式,所以d x∧d y=5(x,y)5(x′,y′)d x′∧d y′(1.8)这个刚巧是我们重积分换变数的一个关系.我们知道重积分要是换变数的话,它应该乘上雅可比.所以这个结论就是,对重积分的In tegral,即积分下的式子,把积分号丢掉,In tegral是一个微分多项式,乘法是反对称的.所以假使多重积分有3维,4维到n维的空间,多重积分的In tegral可看成是外代数的多项式,那么换变数就自然对了.这里头有一点微妙的地方,因为通常,你要证明换变数的公式的时候,假定雅可比是正的,不然的话,乘上雅可比的绝对值,使它是正的.这个是高维几何微妙的东西,就是空间有个向(O rietai on),你转的时候,有2个相反转的方向.转的时候,假使改了方向的话,雅可比是负值,因此我们一个结论是多重积分的In tegral应该是一个外代数多项式,是dx,dy的多项式,乘法是反对称,这样换变数完全可以对的,当然我只做了2维的例子.高维是很明显的,同样的.外乘法是妙得很呐,是不会有高次的,所以比较简单,平方一下,就是0.(未完,待续)本刊加入“万方数据—数字化期刊群”和“中文科技期刊数据库”的声明我刊现已入网“万方数据——数字化期刊群”和“中文科技期刊数据库”,凡向本刊投稿并录用的稿件文章,将一律由编辑部统一纳入“万方数据—数字化期刊群”和“中文科技期刊数据库”,进入因特网提供信息服务。

微分几何陈维桓第四章讲稿.

目录第四章曲面的第二基本形式 (50)§ 4.1 第二基本形式 (50)§ 4.2 法曲率 (52)§ 4.3 Weingarten映射和主曲率 (55)一、Gauss映射和Weingarten变换 (55)二、主曲率和主方向 (55)§ 4.4 主方向和主曲率的计算 (57)一、Gauss曲率和平均曲率 (57)二、Weingarten变换在自然基底下的矩阵 (59)三、第三基本形式 (61)§ 4.5 Dupin标形和曲面参数方程在一点的标准展开 (61)§ 4.6 某些特殊曲面 (64)一、Gauss曲率K为常数的旋转曲面 (65)二、旋转极小曲面 (66)第四章曲面的第二基本形式本章内容：第二基本形式，法曲率，Gauss 映射和Weingarten 变换，主方向与主曲率，Dupin 标形，某些特殊曲面计划学时：12学时，含习题课3学时.难点：主方向与主曲率§ 4.1 第二基本形式设:(,)S r r u v =为正则曲面，(,)n n u v =是单位法向量. 向量函数(,)r u v 的一阶微分为u v dr r du r dv =+，二阶微分为()222222u v u v uu uv vv d r d r du r dv r d u r d v r du r dudv r dv =+=++++.由于0dr n ⋅=，再微分一次，得2d r n dr dn ⋅=-⋅.定义二次微分式 222II 2d r n dr dn Ldu Mdudv Ndv =⋅=-⋅=++ (1.6)称为曲面S 的第二基本形式(second fundamental form)，其中uu u u L r n r n =⋅=-⋅，uv u v v u M r n r n r n =⋅=-⋅=-⋅，vv v v N r n r n =⋅=-⋅ (1.4-5) 称为曲面S 的第二类基本量. 第二基本形式的几何意义：刻划了曲面偏离切平面的程度，也就是曲面的弯曲程度由微分的形式不变性可知第二基本形式在保持定向的参数变换下是不变的，而在改变定向的参数变换下会相差一个符号. 但是，在参数变换下第二类基本量,,L M N 一般都会改变.第二基本形式与空间坐标系的选取无关.对曲面:(,)S r r u v =作参数变换(,),(,)u u u v v v u v == (1.7)在新的参数下，(,)n u v (,r u u v +∆(,)r u v r ∆u u v u v r r r u u ∂∂=+∂∂，v u v u v r r r v v ∂∂=+∂∂. 因此(,)(,)u v u v u v u v u v u v r r r r r r u v v u u v ∂∂∂∂∂⎛⎫⨯=-⨯=⨯ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭. (1.10) 当(,)0(,)u v u v ∂>∂时，n n =，从而II ,,II dr dn dr dn =-=-=；当(,)0(,)u v u v ∂<∂时，n n =-，从而II ,,II dr dn dr dn =-==-. 在保持定向的参数变换下，第二类基本量有和第一类基本量相同的变化规律. 事实上，记参数变换(1.7)的Jacobi 矩阵为u v u u u v v v J ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫= ⎪⎝⎭. 则 ()()(),,,u v u u u v v v du dv du dv du dv J ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪⎝⎭. (1.14) 从而T II (,)(,)(,)II L M du L M du du L M du dv du dv J J du dv M N dv M N dv dv M N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即有T L M L M J J M N M N ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1.13)例求平面(,,0)r u v =和圆柱面()cos ,sin ,u u a a r a a v =的第二基本形式. 解. (1) 对平面，(1,0,0)(0,1,0)dr du dv =+，20d r =，所以II 0=.(2) 对圆柱面，()sin ,cos ,0u u u a a r =-，()0,0,1v r =，()cos ,sin ,0u u u v a a n r r =⨯=. 因此 ()11sin ,cos ,0u u u aaa a dn du r du =-=， ()()211II u v u a a dr dn r du r dv r du du =-⋅=-+⋅=-. □ 定理1.1 正则曲面S 是平面(或平面的一部分)，当且仅当S 的第二基本形式II 0≡.证明 “⇒”平面S 的单位法向量n 是常向量，故II 0dr dn =-⋅=.“⇐” 由0u n n ⋅=，0u u n r L ⋅=-=，0u v n r M ⋅=-=得0u n =. 同理有0v n =. 所以0n n =是常向量. 于是0()0dr n d r n ⋅=⋅=. 故0r n C ⋅=. □定理1.2正则曲面S 是球面(或球面的一部分)，当且仅当S 的第二基本形式是第一基本形式的非零倍数：II I λ≡，其中(,)u v λλ=是非零函数. 证明 “⇒”不妨设球心为原点，半径为a . 则22r a =，0r dr ⋅=，1a n r =. 从而211II I a a dr dn dr =-⋅=-=-.“⇐”由条件，L E λ=，M F λ=，N G λ=(因为,du dv 是独立的变量). 所以 ()0u u u n r r L E λλ+⋅=-+=，()0u u v n r r M F λλ+⋅=-+=.又()0u u n r n λ+⋅=. 故u u n r λ=-. (1)同理有v v n r λ=-. (2)因为S 是三次以上连续可微的，uv vu n n =. 于是v u uv uv vu u v vu r r n n r r λλλλ--===--，即有v u u v r r λλ=. 由于,u v r r 线性无关，0,0u v λλ==. 故λ是非零常数. 由(1)和(2)得()0u n r λ+=，()0v n r λ+=. 所以110()n r n r r λλλ+=+=是常向量. 从而S 上的点满足球面方程2210()r r λ-=. □课外作业：习题1(1,4,5)，2(3)，3，6§ 4.2 法曲率设:(),()C u u s v v s ==是曲面:(,)S r r u v =上过点p 的一条正则曲线，s 是C 的弧长参数，00(,)((0),(0))u v u v =为p 点的曲纹坐标. 则C 的单位切向量为 du dv u v ds ds drds r r r α===+. (2.3) 根据Frenet 公式，C 的曲率向量 22222222()2()d r d ud vdu du dv dv u v uu uv vv dsds ds ds ds ds ds r r r r r κβα===++++， (2.4) 其中κ是C 的曲率. 设n 为S 的单位法向量，(,)n θβ=∠，则cos n θβ=⋅. 定义函数000000(,,,):(0)cos (0)(0)(,)(0)(,)n n u v du dv n u v r n u v κκκθκβ===⋅=⋅ (2.6) 22000000(,)()2(,)(,)()du du dv dv ds ds ds dsL u v M u v N u v =++ (2.5) 称为曲面S 在p 点沿着切方向(,)du dv (即dr )的法曲率(normal curvature).注曲面上所有在p 点相切的曲线在p 点有相同的法曲率，并且在p 点这些曲线的曲率中心位于垂直于切方向的平面(C 的法平面∏)内的一个直径为1/||n κ的圆周上：曲率中心为 11((0),(0))(0)((0),(0))cos (0)(0)c r u v r u v βθβκκ=+=+. βα∏n π沿着曲线C ，有dr rds =. 由于s 是弧长参数，因此在p 点成立222000000(,)2(,)(,)ds dr dr E u v du F u v dudv G u v dv =⋅=++.定义2.1 在曲面S 上对应于参数(,)u v 的点p 处，沿着切方向(,)du dv 的法曲率为22222II (,,,)2In n Ldu Mdudv Ndv u v du dv Edu Fdudv Gdv κκ++===++. (2.8) 注法曲率除了与点p 有关，还与切方向即比值:du dv 有关. 但是与切向量dr 的大小无关. 上面的定义不要求以dr 为切向量的曲线C 以弧长s 为参数.定义曲面S 上过p 点的一个切方向(,)du dv 与p 点的法线确定的平面π称为由切方向(,)du dv 确定的法截面. 法截面π与曲面S 的交线称为该点的一条法截线.定理2.1 曲面S 在(,)u v 点，沿切方向(,)du dv 的法曲率n κ等于该切方向确定的法截线C 在相应的有向法截面π(以dr n ⨯为平面π的定向)中的相对曲率，即有n r κκ=.证明设该点是000(,)r r u v =，沿切方向(,)du dv 的单位切向量为000(,)()|u v u v r du r dv α=+，在00(,)u v 点的单位法向量为000(,)n n u v =. 则法截面的定向是00n α⨯，从而法截线C 的弧长参数方程为000()()()r s r x s y s n α=++，其中(0)(0)0x y ==. 因为00(0)(0)(0)r x y n α=+是S 的切向量，0(0)(0)0y r n =⋅=. 从而(0)1x =. 因此0(0)r α=是由(,)du dv 确定的切方向. 由定义，沿切方向(,)du dv 的法曲率0000(0)[(0)(0)](0)n r n x y n n y κα=⋅=+⋅=.另一方面，法截线C 在该点的相对曲率(0)(0)(0)(0)(0)r x y x y y κ=-=.所以有n r κκ=. □例 (1) 平面的法曲率.在平面S 上，II 0≡. 所以在任意点p S ∈，沿任意切方向(,)du dv ，都有法曲率0n κ=.(2) 圆柱面()cos ,sin ,u u a a r a a v =的法曲率.对圆柱面，由上一节的例，22I du dv =+，21II a du =-，所以222()du n a du dv κ+=-. (3) 球面()2():cos cos ,cos sin ,sin S a r a u v a u v a u =的法曲率. 由定理1.2，1II I a =-. 所以1n a κ=-是非零常数. □定理2.2 在曲面S 上任意一点p 处，法曲率必定在两个彼此正交的切方向上分别取到最大值和最小值.证明在固定点p ，,,,,,E F G L M N 都是常数，法曲率n κ仅与比值:du dv 有关. 取p 点邻近的正交参数网. 则任意单位切向量p dr T S ∈，可以写成12cos sin u v dr r du r dv e e θθ=+=+，其中 1112,u v E G e r e r ==，1(,)dr e θ=∠ 即 11cos ,sin du dv θθ==.沿着切方向:du dv 的法曲率22()cos sin sinn n L N E G κκθθθθθ==++ ()θ∈ 是上的连续可微周期函数，必定在闭区间[0,2]π上取到最大值和最小值.如果n κ是常值函数，则n κ在任意两个彼此正交的切方向上分别取到最大值和最小值. 设()n κθ不是常值函数，则它的最大值和最小值不相等. 通过对曲面作参数变换00cos sin u u v θθ=-，00sin cos v u v θθ=+，不妨设在0θ=处()n κθ取到最大值(0)/n L E κ=. 由于()sin 22nN L G E κθθθ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，(0)0n κ'==，并且/(/2)(0)/n n N G L E κπκ=≤=，有 222()cos sin cos n L N N L N N E G G E G Gκθθθθ⎛⎫=+=+-≥ ⎪⎝⎭. 所以()n κθ在/2θπ=±处取到最小值/N G . □ 定义2.2在曲面S 上一个固定点p 处，法曲率取最大值和最小值的切方向称为曲面S 在该点的主方向(principal direction)，相应的法曲率称为S 在该点的主曲率(principal curvature).注由上面的推导过程可知，如果在p 点n κ不是常值函数，()()sin2N L nG E κθθ'=-在闭区间[0,2]π上只有4个零点，所以在p 点n κ只有两个主曲率1/L E κ=，2/N G κ=. 于是有下面的Euler 公式： 2212()cos sin n κθκθκθ=+，其中(,)u dr r θ=∠，12κκ>，并且12()n κκθκ≥≥.定义 2.3 (1) 在曲面S 上一点，使法曲率为零的切方向(,)du dv 称为该点的一个渐近方向(asymptotic direction).(2) 设C 是曲面S 上的一条曲线. 若C 上每一点的切向量都是曲面在该点的渐近方向，则称C 是曲面S 上的一条渐近曲线(asymptotic curve).在一点(,)u v 处，渐近方向(,)du dv 是二次方程2220Ldu Mdudv Ndv ++= (2.5)的解. 当20LN M -<时，有两个实渐近方向2::du dv M L N M M LN =-±=--当20LN M -=时，只有一个实渐近方向:::du dv M L N M =-=-；当20LN M ->时，没有实渐近方向.让(,)u v 变动，则(2.5)就是渐近曲线的微分方程. 如果在曲面上每一点，20LN M -<，则曲面上存在两个处处线性无关的渐近方向向量场. 根据第三章定理4.1，在曲面上有由渐近曲线构成的参数曲线网，称为渐近线网.定理2.3 参数曲线网是渐近线网的充分必要条件是：0L N ==.证明 “⇒” 在u -曲线上0,0dv du =≠. 由(2.5)得0L =. 同理可得0N =.“⇐” (2.5)现在成为0Mdudv =. 因此u -曲线和v -曲线都是渐近曲线. □定理 2.4 设C 是曲面S 上的一条曲线. 则C 是渐近线，当且仅当C 是直线，或C 的密切平面与曲面的切平面重合.证明由公式cos (,)n n κκβ=∠可得. □课外作业：习题1，4，7.§ 4.3 Weingarten 映射和主曲率一、Gauss 映射和Weingarten 变换设:(,)S r r u v =(2(,)u v ∈Ω⊂)是一个正则曲面，(,)n n u v =是它的单位法向量. 向量函数(,)n u v 定义了一个映射2::(,)(,)n S u v n u v Ω→，其中2S 是3E 中的单位球面. 因为空间3E 中的点与它的位置向量是一一对应的，映射n 诱导了映射 12::(,)((,))(,)g n r S S r u v g r u v n u v -=→=. (3.1) 这个映射2:g S S →称为Gauss 映射. 注意Gauss 映射的象不一定是2S 的一个区域.Gauss 映射g 的切映射2():p g p g T S T S *→是一个线性映射，满足()g dr dn *=，即()u v u v g r du r du n du n dv *+=+，p dr T S ∀∈，p S ∀∈. (3.2)特别有()u u g r n *=，()v v g r n *=. (3.4)因为(,)n u v 同时也是2()g p T S 的法向量，S 在(,)p u v 点的切平面与2S 在()g p 点的切平面是平行的，从而在自由向量的意义下可将2()g p T S 与p T S 等同.定义线性映射2():p p g p W g T S T S T S *=-→≡称为曲面S 在p 点的Weingarten 变换(Weingarten transformation).事实上，因为0u v n n n n ⋅=⋅=，所以,u u p n n T S ∈. 由定义可知，()()()u v u v p W dr W r du r dv dn n du n dv T S =+=-=-+∈，p dr T S ∀∈. (3.5)二、主曲率和主方向定理3.1 II ()W dr dr =⋅. □定理3.2 相对于切空间的内积，Weingarten 变换:p p W T S T S →是自共轭(对称)的，即()()W dr r dr W r δδ⋅=⋅，,p dr r T S δ∀∈.2⊂(,)n u v (,)n u v 11(,)n u v 11(,)n u v g rn证明 ()()()u v u v W dr r dn r n du n dv r u r v δδδδ⋅=-⋅=-+⋅+Ldu u Mdu v Mdv u Ndv v δδδδ=+++()()()()u v u v r du r dv n u n v dr n dr W r δδδδ=-+⋅+=⋅-=⋅. □根据线性变换理论，Weingarten 变换W 的2个特征值12,λλ都是实的(这2个特征值可能相等).设12,p X X T S ∈分别是从属于它们的特征向量，即111()W X X λ=，222()W X X λ=. 当12λλ≠时，12,X X 所确定的切方向:du dv 和:u v δδ是唯一的，且相互正交. 当12λλ=时，p T S 中的任何非零向量都是特征向量. 因此仍然有两个相互正交的特征方向.定理3.3在曲面S 上任意一点p 处，W 的2个特征值12,λλ正好是曲面S 在p 点的主曲率，对应的特征方向是曲面S 在p 点的主方向.证明取p T S 的由W 的特征向量构成的单位正交基{}12,e e ，使得111()W e e λ=，222()W e e λ=， (3.12)并设12λλ≥.对任意一个单位切向量p e T S ∈，可设12cos sin e e e θθ=+. (3.13)则有121122()cos ()sin ()cos sin W e W e W e e e θθλθλθ=+=+. (3.14)于是沿切方向e 的法曲率为2211221212II ()()I (cos sin )(cos sin )cos sin .n n W e e e ee e e e κκθλθλθθθλθλθ⋅===⋅=+⋅+=+ 由12λλ≥可知2222121121()cos ()()sin n λλλλθκθλλλθλ≤+-==--≤，并且()n κθ在0θ=时取最大值1λ，在/2θπ=时取最小值2λ. 所以12,λλ就是曲面S 在p 点的主曲率12,κκ，相应的切方向12,e e 就是主方向. □注1 由定理可知沿特征方向:du dv 的法曲率n κ就是对应于特征向量dr 的特征值：II ()()I n W dr dr dr dr dr dr dr drλκλ⋅⋅====⋅⋅. 注2 曲面S 在每一点p 有2个主曲率12,κκ. 当12κκ≠时，只有2个主方向，它们相互正交. 此时可取2个单位特征向量12,e e . 当12κκ=时，任何方向都是主方向. 此时可任取2个正交的单位特征向量12,e e .定理3.4(Euler 公式) 设{}12,e e 是p 点的2个正交的单位特征向量，对应的主曲率为12,κκ.则对任意单位切向量12cos sin p X e e T S θθ=+∈，沿着X 方向的法曲率为2212()cos sin n κθκθκθ=+. (3.15)在曲面S 上一点p 处，如果12κκλ==，则由Euler 公式可知沿任何切方向:du dv ，都有II In κλ==， (3.16) 即II I λ=. 这样的点称为脐点(umbilical point). 此时在该点有:::L E M F N G λ===. (3.17)当0λ=时，该点称为平点(planar point)；当0λ≠时，该点称为圆点(circle point).定理1.1和定理1.2的推论曲面S 是平面(或其一部分)，当且仅当S 上的点都是平点；曲面S 是球面(或其一部分)，当且仅当S 上的点都是圆点.定义3.1 设C 是曲面S 上的一条曲线. 若C 上每一点的切向量都是曲面在该点的主方向，则称C 是曲面S 上的一条曲率线(curvature line).定理3.5(Rodriques 定理) 曲面:(,)S r r u v =上一条正则曲线:(),()C u u t v v t ==是曲率线的充分必要条件是：沿着曲线C ，()//()dn t dr t ，即((),())//((),())dn u t v t dr u t v t .证明. 由定义，C 是曲率线，当且仅当对所有的t ，()dr t 是Weingarten 变换的特征向量，即()()()()W dr t t dr t λ=，也就是()()()()()dn t W dr t t dr t λ=-=-. □定理3.6 曲面S 上一条曲线C 是曲率线的充分必要条件是：曲面S 的沿着曲线C 的法线构成可展曲面.证明. 对曲面S 上任意一条曲线C ，曲面S 的沿着曲线C 的法线构成直纹面1:(,)((),())((),())S X X s t r u s v s t n u s v s ==+，其中s 是C 的弧长参数. 由于()()r s s α=和()n s 是相互正交的单位向量，从而是线性无关的. 1S 是可展曲面⇔()(),(),()0s n s n s α'≡⇔()()()()()n s s s s n s λαμ'=+.上式两边与()n t 作内积可得()0s μ=，从而上式等价于()()()n s s s λα'=，这正好是曲线C 是曲率线的充分必要条件. □例3.1 求旋转面上的曲率线.解设旋转面的方程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =. 其中()0f v >，并且v 是经线的弧长参数，221f g ''+=. 则()sin ,cos ,0u r f u u =-，()cos ,sin ,v r f u f u g '''=，()cos ,sin ,u v r r f g u g u f '''⨯=-，()cos ,sin ,n g u g u f '''=-.由于()sin ,cos ,0u n g u u '=-，()cos ,sin ,v n g u g u f ''''''=-，并且0f fg g ''''''+=，有0v v n r ⨯=，0v v n r ⨯=. 所以u -曲线(纬线圆)和v -曲线(经线)都是曲率线. 当0g '=时，这个旋转面是平面，任何曲线都是曲率线. 当0g '≠时，1g g f f -''''''=-. 如果f gf g a ''''''-=是常数，即经线是圆弧，则旋转面是球面.此时任何曲线都是曲率线. □ 例3.2 求可展曲面上的曲率线.解设可展曲面方程为(,)()()r u v a u vl u =+. 已经知道它的单位法向量()n n u =与v 无关，沿着v -曲线(直母线)有0//v v n r =. 所以v -曲线是它的一族曲率线. 于是v -曲线的正交轨线是它的另一族曲率线. 如果可展曲面是平面，任何曲线都是曲率线. □课外作业：习题1，4，5§ 4.4 主方向和主曲率的计算一、Gauss 曲率和平均曲率设曲面S 的参数方程为(,)r r u v =，,,E F G 和,,L M N 分别是S 的第一、第二类基本量.引理设λ是(,)p u v 点的主曲率，则λ满足0L E M FM F N Gλλλλ--=--， (4.4) 即λ是二次方程222()(2)()0EG F LG MF NE LN M λλ---++-=的根，也就是方程220H K λλ-+= (4.8) 的根，其中222()LG MF NE H EG F -+=-，22LN M K EG F -=-，分别称为曲面S 的平均曲率(或中曲率) (mean curvature)和Gauss 曲率(或总曲率)(Gaussian curvature). 换句话说，H λ=± (4.9) 证明. 设:du dv 是对应的主方向. 则有()W dr dr λ=，即()()u v u u n du n dv r du r dv λ-+=+.分别用,u v r r 与上式两边作内积，得()Ldu Mdv Edu Fdv λ+=+，()Mdu Ndv Fdu Gdv λ+=+.所以主方向:du dv 满足()()0,()()0.L E du M F dv M F du N G dv λλλλ-+-=⎧⎨-+-=⎩ (4.3) 由于,du dv 不全为零，可得(4.4)式. □设12,κκ是(,)p u v 点的两个主曲率. 由根与系数的关系可得12222LG MF NE H EG Fκκ-++==-，2122LN M K EG F κκ-==-. (4.6-7) 因此1H κ=+，2H κ=-. (4.9)p 点是脐点的充分必要条件是在p 点成立20H K ==.注方程(4.4)即(4.8)是Weingarten 变换的特征方程，在保持定向的参数变换下保持不变. 事实上，主曲率在保持定向的参数变换下不变，在反转定向的参数变换下相差一个符号. 因此平均曲率12()/2H κκ=+在保持定向的参数变换下不变，在反转定向的参数变换下相差一个符号. 而Gauss 曲率12K κκ=在参数变换下保持不变.定理4.1 假定曲面S 是3r ≥次连续可微的. 则主曲率函数12,κκ是连续的，且在非脐点邻近是2r -次连续可微的. □在脐点，20K H =≥，12H κκ==. 从而由II I H =可知L HE =，M HF =，N HG =，(4.3)中的两个方程成为恒等式. 此时，任何方向都是主方向.在非脐点，分别用1λκ=和2λκ=代入(4.3)，得到相应的主方向1111:():()():()du dv M F L E N G M F κκκκ=---=--- (4.10) 和2222:():()():()u v M F L E N G M F δδκκκκ=---=---. (4.11)将(4.3)改写成()()0,()()0.Ldu Mdv Edu Fdv Mdu Ndv Fdu Gdv λλ+-+=⎧⎨+-+=⎩(4.12) 由于1,λ-不全为零，有0Ldu Mdv Edu Fdv Mdu Ndv Fdu Gdv++=++， (4.14)即22()()()0FL EM du GL EN dudv GM FN dv -+-+-=. (4.15) 上式可写成220dv dudv du E F G LMN-=. (4.16) (4.14)或(4.15)或(4.16)就是曲面上曲率线的微分方程.定理4.2 设p 是曲面:(,)S r r u v =上一个固定点，它的曲纹坐标为00(,)u v . 则在该点参数曲线的切方向是相互正交的主方向，当且仅当在该点有00(,)0F u v =，00(,)0M u v =. 此时，曲面S 在该点的两个主曲率分别为00100(,)(,)L u v E u v κ=，00200(,)(,)N u v G u v κ=.证明必要性. 在00(,)p u v 点，u -曲线和v -曲线相互正交，故000000(,)(,)(,)0u v F u v r u v r u v =⋅=. (1) 又00(,)u r u v ，00(,)v r u v 是W 的特征向量，故()0000100(,)(,)(,)u u u n u v W r u v r u v κ-==， ()0000200(,)(,)(,)v v v n u v W r u v r u v κ-==. 分别用,u v r r 与上面两式作内积得00(,)0M u v =，并且00100(,)(,)L u v E u v κ=，00200(,)(,)N u v G u v κ=. (4.17)充分性. 由条件，0000(,)(,)0u v r u v r u v ⋅=，即00(,)u r u v ，00(,)v r u v 相互正交. 又00000000(,)(,)(,)(,)0u v v u n u v r u v n u v r u v ⋅=⋅=.因此()000000(,)(,)//(,)u u u n u v W r u v r u v -=，()000000(,)(,)//(,)v v v n u v W r u v r u v -=，即00(,)u r u v ，00(,)v r u v 是W 的特征向量. □下面的两个定理是定理4.2的直接推论.定理4.3 参数曲线网是正交的曲率线网的充分必要条件是0F M ==，此时222212I ,II Edu Gdv Edu Gdv κκ=+=+. (4.18) 定理4.4 在非脐点，定理4.3中的参数曲线网局部总是存在的. □注若曲面S 上没有脐点，则可取正交的曲率线网作为参数曲线网. 事实上，此时由(4.10)和(4.11)可确定两个相互正交的主方向:du dv 和:u v δδ. 从而有两个相互正交的非零向量场u v dr r du r dv =+和u v r r u r v δδδ=+，它们是连续可微的. 根据第三章定理4.1，这样的参数曲线网是存在的.若曲面S 上的点都是脐点，则曲面上任意曲线都是曲率线，此时任何正交参数曲线网都是曲率线网. 但是在孤立脐点邻近，未必有正交的曲率线网作为参数曲线网.二、Weingarten 变换在自然基底下的矩阵我们知道{},u v r r 是切空间p T S 的基，称为p T S 的自然基. 在这组基下，设Weingarten 变换的矩阵为11211222a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即()()()11211222,(),(),u v u v u v a a n n W r W r r r a a ⎛⎫--==⎪⎝⎭， (4.19) 也就是11122122(),().u u u v v v u v n W r a r a r n W r a r a r -==+⎧⎨-==+⎩ 分别用,u v r r 与上面二式作内积得11211222a a L M E F a a M N F G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 因此11121212221a a E F L M G F L M A a a F G M N F E M N EG F --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21GL FM GM FN EM FL EN FM EG F --⎛⎫=⎪---⎝⎭. (4.21) 代入(4.19)得()()1,,u v u v E F L M W r r r r F G M N -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()21,u v GL FM GM FN r r EM FL EN FM EG F --⎡⎤⎛⎫=⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎣⎦. (4.22) 我们知道Weingarten 变换W 的特征多项式 ()10()det 0E F L M f I A F G M N λλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121E F E L F M E L F M F GF MG N F M G NEG F λλλλλλλλ-----==-----. 其中I 是单位矩阵. W 的特征值12,κκ是特征多项式()f λ的根，与基的取法无关，从而Gauss曲率2122det LN M K A EG F κκ-===-和平均曲率12212trace 222()LG MF NE H A EG F κκ+-+===- 与参数取法无关，是曲面的几何不变量.Gauss 曲率K 的几何意义：从(4.19)可得1112212211221221()()()u v u v u v u v u v n n a r a r a r a r a a a a r r Kr r ⨯=+⨯+=-⨯=⨯.因此曲面S 上一个区域D 在Gauss 映射g 下的像()g D 的面积元素0||||||||u v u v d n n dudv K r r dudv K d σσ=⨯=⨯=. (4.23)所以()g D 的面积()0()||()g D DA d K d g D σσ==⎰⎰.根据积分中值定理，存在p D ∈使得()|()|||()()()DA K p d K p A D g D σ==⎰.让区域D 收缩到一点p D ∈，取极限得到(())|()|lim()D pA g D K p A D →=. (4.25)这个公式是曲线论中0||()limlim ||s s s s sθθκ∆→∆→∆∆==∆∆ 的一个推广,其中θ∆是曲线上一段由s 到s ∆的弧在切线像α下的弧长.三、第三基本形式定义设(,)n u v 是曲面:(,)S r r u v =的单位法向量. 二次微分式22III 2dn dn e du f dudv g dv =⋅=++ (4.27)称为曲面S 的第三基本形式，其中()()22,,u u v v e n f n n g n ==⋅=. (4.28)注利用Gauss 映射，第三基本形式0III I g *=，其中0I 是单位球面2S 的第一基本形式.定理4.5 曲面:(,)S r r u v =上的三个基本形式满足III 2II I 0H K -+=. 证明因为Weingarten 变换W 的特征多项式为2()2f H K λλλ=-+，所以 220W HW K I -+=. 其中::p p I T S T S XX →是单位变换. 于是有()()()()()2()()()(2)()22.u u u u u u u u u u u e n n W r W r W r r HW KI r r H n K r r HL KE =⋅=⋅=⋅=-⋅=--⋅=-同理可得2u v f n n HM KF =⋅=-，2u v g n n HN KG =⋅=-. □课外作业：习题2，4，6§ 4.5 Dupin 标形和曲面参数方程在一点的标准展开设(,)p u v 是曲面:(,)S r r u v =上一个固定点，12,e e 是p 点的两个相互正交的单位主向量 (即Weingarten 变换的特征向量)，对应的主曲率为12,κκ. 对单位切向量12cos sin e e e θθ=+([0,2]θπ∈)，沿该方向的法曲率为2212()cos sin n κθκθκθ=+. 当()0n κθ≠时，在p 点的切平面π中取一点q 使得()12cos sin ||()|pq e e θθκκθ==+. (5.3)p 点切平面π中这样的点q 的轨迹称为曲面S 在p 点的Dupin 标形(或标线indicatrix ).在平面π中取直角标架{}12;,p e e , 现在来导出Dupin 标线的方程. 设轨迹上的点q 在此坐标系中的坐标为(,)x y . 则()1212cos sin |()|xe ye pq e e θθκθ+==+.因此cos |()|n x θκθ=，|()|n y θκθ=. (5.4)由Euler 公式得到2212sgn(())n x y κκκθ+=.(5.5)这就是Dupin 标线的直角坐标方程，它是平面π中的二次曲线. 如果在平面π中取极坐标系，那么Dupin 标线的极坐标方程可由(5.3)立即得到：()ρρθ==. (5.5)’当p 点的Gauss 曲率120K κκ=>时，()n κθ，1κ，2κ同号，Dupin 标线(5.5)是一个椭圆2212||||1x y κκ+=. (5.6)当120K κκ=<时，1κ，2κ异号，Dupin 标线(5.5)是两对共轭双曲线2212||||1x y κκ-=±. (5.7)它们的公共渐近线的方向正是曲面S 在p 点的渐近方向00:cos :sin du dv θθ=.当120K κκ==时，若1κ，2κ不全为零，Dupin 标线(5.5)是两条平行直线x = (20κ=) 或 y =±(10κ=). (5.8)当p 点为平点，即0κκ==时，Dupin 标线不存在.定义. 设p S ∈，若()0K p >，则称p 点为曲面S 上的椭圆点；若()0K p <，则称p 点为曲面S 上的双曲点；若()0K p =，则称p 点为曲面S 上的抛物点.下面考察曲面S 在一点p 邻近的形状. 在p 点邻近取正交参数曲线网(,)u v ，使得p 点对应的参数为(0,0)，且(0,0)u r ，(0,0)v r 是p 点的两个单位主向量. 则(0,0)(0,0)(0,0)u v n r r =⨯，且在p 点有(0,0)(0,0)1E G ==，(0,0)(0,0)0F M ==，1(0,0)L κ=，2(0,0)N κ=. (5.9) 以标架{}123;(0,0),(0,0),(0,0)u v p e r e r e n ===建立3E 的坐标系. 根据Taylor 公式， (,)(0,0)(0,0)(0,0)u v r u v r r u r v =++22212(0,0)2(0,0)(0,0)()uu uv vv r u r uv r v o ρ⎡⎤++++⎣⎦, (5.10) 其中2v ρ=+. 由于(0,0)0r pp ==， 31(0,0)(0,0)uu r e L κ⋅==，3(0,0)(0,0)0uv r e M ⋅==， 32(0,0)(0,0)vv r e N κ⋅==， (5.11)(5.10)可化为()()()2221121232(,)()()()r u v u o e v o e uv o e ρρκκρ=++++++. (5.12)(5.12)称为曲面S 在p 点的标准展开. 当22u v ρ=+充分小时，我们得到S 的近似曲面S *，在标架{}123;,,p e e e 下，S *的参数方程为()221122(,),,()r u v u v u v κκ*=+，显式方程为221122()z x y κκ=+. (5.14)直接计算可知近似曲面S *与原曲面S 在p 点相切(即它们的切平面相同). 并且沿着p 点切空间的任何相同的切方向，两者有相同的法曲率，即在p 点具有公共切方向的法截线有相同的曲率和相同的弯曲方向.在椭圆点p ，近似曲面S *是椭圆抛物面. S *在p 点是凸的.在双曲点p ，S *是双曲抛物面. S *在p 点不是凸的，且p 点的切平面与S *相交成两条直线，它们是S *上过p 点的两条渐近曲线.在非平点的抛物点p ，S *是抛物柱面，p 点的切平面与S *相交成一条直线，是S *上过p 点的渐近曲线.在平点p ，S *是平面. 此时，要考察曲面S 的近似形状，需要将Taylor 展式(5.10)展开到更高阶的项. 见例 5.2.用平面12z =±去截近似曲面S *，再投影到p 点的切平面上，就得到p 点的Dupin 标线.例5.1 考察圆环面()(cos )cos ,(cos )sin ,sin r a r u v a r u v r u =++，2(,)u v ∈上各种类型点的分布，其中常数,a r 满足0a r >>.解 ()sin cos ,sin sin ,cos u r r u v u v u =--，()(cos )sin ,cos ,0v r a r u v v =+-，()(cos )cos cos ,cos sin ,sin u v r r r a r u u v u v u ⨯=-+，()cos cos ,cos sin ,sin n u v u v u =-.r r -cos r a r u-+cos r a r u+1212(cos )22(cos )r a r u r a r u ++.当2u π=±时，0K =，这些点是抛物点，但不是平点. 它们构成圆环面的上下两个圆.将平面上一条曲线()z f x =绕着z 轴旋转，得到旋转曲面S . 它的参数方程为()cos ,sin ,()r u v u v f u =，(,)(,)(0,2)u v a b π∈⨯， (6.1)其中0a ≥. 它的母线是xOz 平面上的曲线：()z f x =. 则由()cos ,sin ,()u r v v f u '=，()sin ,cos ,0v r u v u v =-.(()()cos ,()sin ,11n f u v f u v f ''=--+，()0,0,()uu r f u ''=，()sin ,cos ,0uv r v v =-，()cos ,sin ,0vv r u v u v =--.可得()21E f '=+， 0F =，2G u =， (6.2)2f L ''=，0M =，uf N '=(6.3)因此参数曲线网是正交的曲率线网. 由定理4.2，主曲率为()13/221L f E f κ''=='+， ()21/221N f G u f κ'=='+. 于是Gauss 曲率和平均曲率分别为 ()221f f K u f '''='+， ()23/22(1)21f f uf H u f ''''++='+. (6.4)一、Gauss 曲率K 为常数的旋转曲面如果K 是常数，则函数()f u 应满足()2211Ku f '⎡⎤'=-⎢⎥'+⎣⎦. (6.5)积分得到2211C Ku f =-'+， (6.6) 其中C 为积分常数. 即有2221C Ku f C Ku -+'=-.于是()f u =±⎰. (6.7)1.若0K =，则()f u Au B =+，其中A =，B 为积分常数. 当0A =时，S 是平面；当0A ≠时，S 是圆锥面. 另一个0K =的旋转曲面是圆柱面()cos ,sin ,r a v a v u =，它不能写成(6.1)的形式.2.若0K >，令21a K =(0a >). 则由(6.6)可知0C >. 设2C b =(0b >). (6.7)化为()f u du =±. (6.9)若21b =，则22()f u a u c =±=-+. (6.10)于是S 是由xOz 平面上的半圆弧222()x z c a +-=(0x u =>)绕z 轴旋转而成的球面.当21b >或201b <<时，由(6.9)定义的函数()f u 仍然存在，但旋转曲面S 不是球面，虽然S 的Gauss 曲率也是常数21a K =.3.若0K <，令21a K =-(0a >).则由(6.6)可知1C <.设21C b =-(0b >). (6.7)可化为()f u =±. (6.11) 若21b =，则[]()ln(sec tan )sin f u a c ϕϕϕ=±=±+-+⎰，其中arccos u a ϕ=. 不妨设积分常数0c =. 则旋转曲面S 的母线是xOz 平面上的两条曳物线[]cos ,ln(sec tan )sin .x u a z a ϕϕϕϕ==⎧⎨=±+-⎩(6.13)其中0z >的一支绕z 轴旋转而得的旋转曲面S 称为伪球面，它的参数方程为 []()cos cos ,cos sin ,ln(sec tan )sin r a a a ϕθϕθϕϕϕ=+-，(,)(0,/2)(0,2)ϕθππ∈⨯. (6.14)当21b >或201b <<时，由(6.11)定义的函数()f u 给出Gauss 曲率为负常数的旋转曲面的其他例子.二、旋转极小曲面平均曲率0H ≡的曲面称为极小曲面. 现在我们来研究有哪些旋转极小曲面. 由(6.4)可知函数()f u 应满足2(1)0f f uf ''''++=. (6.16)也就是()211f u f f ''=-''+. 则()()222222ln()ln(1)2ln 1f f f f u u f f '''''''⎡⎤-+==-=-⎣⎦''+. 积分得2221f Cf u '='+， (6.17)其中积分常数0C ≥.如果0C =，则()f u A =是常数，从而S 是平面z A =.如果2C a =，0a >. 则22211u C f u -='+，即f '=± 故(()ln f u a u c ⎡⎤=±=±++⎢⎥⎣⎦⎰. (6.19)不妨设积分常数ln c a =-. 令(ln u at =+. 则cosh u a t =，S 的参数方程可改写为()cosh cos ,cosh sin ,r a t v a t v at =，(,)(0,2)t v π∈⨯.这个旋转极小曲面S 称为悬链面.用变分法可以证明，如果在所有以给定曲线C 为边界的曲面中，S 的面积达到最小值，则S 一定是极小曲面.极小曲面是微分几何研究的重要课题之一. 一百多年来，数学家们在关于以已知曲线为边界的极小曲面的存在性的Plateau 问题，大范围极小曲面的性质，极小曲面在高维的推广方面作了大量的工作，取得了丰富的成果.在极小曲面上，Gauss 曲率21210K κκκ==-≤，只有平点或双曲点. 在双曲点，2个渐进方向是正交的. 事实上，根据Euler 公式，渐近方向与主方向的夹角θ满足cos20θ=.著名的Bernstein 定理是说：极小图只能是平面，即习题6中的二阶偏微分方程22(1)2(1)0y xx x y xy x yy f f f f f f f +-++=的定义在全平面上的解只能是线性函数.平均曲率H为非零常数的曲面，即常平均曲率曲面，也是微分几何研究的一个重要课题.课外作业：习题2，4，6。

陈省身微积分讲义第三讲

1 1 1 1 dx ds
de1 = ke2 ds de2 = ke1 + ωe3 ds de3 = ωe2 ds
(3.7)
IR$04. 'DuiR!yB($04{, { MGk R0{. y$k = 0 SDM4{3Y\{u, R4. § c{RóG{0, $§k = 0. Rk = 0 {, R = 0, R4ê. 04. $04{R$,
1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1
6
LR, y RL{. h{$, M4 °, °úRRy(x), Rè. °,IRM4 {$`j, M4ó8E°bê$°. M4RU {, hl3°, 3. ó3°, yR3°{, #l{#4R {. ó3, #4R{. I, $RSD°3 °{, $R3{, y{L, $\E{M4 5. y(y, dx) èR0, IyE{e (s)ó$5. y$ó\ E{M4\5. bRyRc0S, IE{° nó{M4RE{15, RyyRc$, Ry{ 0M4. F°M4wγ, y{5, y $c\5, Ri§{$u. Iγ0M4$§5h , óER$0{M4, óER$0{±(L) 5{M4. ¤R§y2π , u. 0M4γRe (s), wQ. e (s) R8EM4{$°nó, R #4{0Só\E{M4, 0M4wAγ, E{\ 5. $, 0M45hê, Bá, u. $2π {, RCroftonB
3 3 3 3 dx ds 3
(e3 ,
3
èI. ye R$jIèIRe x {è$j. y $R$M4, Rω = 0RDCM4RM4. 'Du, ,I iRyM4{GR0. IMGG`jY\{ u. i$ic{M4Rkω0, bRj. ó <o, ,IyM4RZ4. RY\{èI{~ó §{cf. yw{$§{RDNA. DNAR0Z4, RvZ4, R:%T. ó, {M4suê. y$, M4Xó§{~, RL' §wM4{ukGDNA{u, Iji§ê. M4 {ukGt{u, Ró°b, 0(DNA#ê, {u5ê. I#, ju5{u 5, X5RóDNA{ùó0R: {, L'Aêi{B. %óü${§ u{, h${B, wAWhiteB. WhiteR{${, ABRpDX{$B. íi, B5 {${B. %ó!B.

高等数学-微积分第1章（英文讲稿）

高等数学-微积分第1章（英文讲稿）C alc u lus (Fifth Edition)高等数学- Calculus微积分（双语讲稿）Chapter 1 Functions and Models1.1 Four ways to represent a function1.1.1 ☆Definition(1-1) function: A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f(x), in a set B. see Fig.2 and Fig.3Conceptions: domain; range (See fig. 6 p13); independent variable; dependent variable. Four possible ways to represent a function: 1)Verbally语言描述(by a description in words); 2) Numerically数据表述(by a table of values); 3) Visually 视觉图形描述(by a graph);4)Algebraically 代数描述(by an explicit formula).1.1.2 A question about a Curve represent a function and can’t represent a functionThe way ( The vertical line test ) : A curve in the xy-plane is the graph of a function of x if and only if no vertical line intersects the curve more than once. See Fig.17 p 171.1.3 ☆Piecewise defined functions (分段定义的函数)Example7 (P18)1－x if x ≤1f(x)＝﹛x2if x＞1Evaluate f(0)，f(1)，f(2) and sketch the graph.Solution：1.1.4 About absolute value (分段定义的函数)⑴∣x∣≥0；⑵∣x∣≤0Example8 (P19)Sketch the graph of the absolute value function f(x)＝∣x∣.Solution：1.1.5☆☆Symmetry ，(对称) Even functions and Odd functions (偶函数和奇函数)⑴Symmetry See Fig.23 and Fig.24⑵①Even functions: If a function f satisfies f(－x)＝f(x) for every number x in its domain，then f is call an even function. Example f(x)＝x2 is even function because: f(－x)＝ (－x)2＝x2＝f(x)②Odd functions: If a function f satisfie s f(－x)＝－f(x) for every number x in its domain，thenf is call an odd function. Example f(x)＝x3 is even function because: f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)③Neither even nor odd functions:1.1.6☆☆Increasing and decreasing function (增函数和减函数)⑴Definition(1-2) increasing and decreasing function:① A function f is called increasing on an interval I if f(x1)＜f(x2) whenever x1＜x2 in I. ①A function f is called decreasing on an interval I if f(x1)＞f(x2) whenever x1＜x2 in I.See Fig.26. and Fig.27. p211.2 Mathematical models: a catalog of essential functions p251.2.1 A mathematical model p25A mathematical model is a mathematical description of a real-world phenomenon such as the size of a population, the demand for a product, the speed of a falling object, the concentration of a product in a chemical reaction, the life expectancy of a person at birth, or the cost of emission reduction.1.2.2 Linear models and Linear function P261.2.3 Polynomial P27A function f is called a polynomial ifP(x) ＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a2x2＋a1x＋a0Where n is a nonnegative integer and the numbers a0，a1，a2，…，a n－1，a n are constants called the coefficients of the polynomial. The domain of any polynomial is R＝(－∞,＋∞).if the leading coefficient a n≠0, then the degree of the polynomial is n. For example, the function P(x) ＝5x6＋2x5－x4＋3x－9⑴Quadratic function example: P(x) ＝5x2＋2x－3 二次函数（方程）⑵Cubic function example: P(x) ＝6x3＋3x2－1 三次函数（方程）1.2.4Power functions幂函数P30A function of the form f(x) ＝x a，Where a is a constant, is called a power function. We consider several cases：⑴a＝n where n is a positive integer ，(n＝1，2，3，…，)⑵a＝1/n where n is a positive integer，(n＝1，2，3，…，) The function f(x) ＝x1/n⑶a＝n－1 the graph of the reciprocal function f(x) ＝x－1 反比函数1.2.5Rational function有理函数P 32A rational function f is a ratio of two polynomials:f(x)＝P(x) /Q(x)1.2.6Algebraic function代数函数P32A function f is called algebraic function if it can be constructed using algebraic operations ( such as addition，subtraction，multiplication，division，and taking roots) starting with polynomials. Any rational function is automatically an algebraic function. Examples: P 321.2.7Trigonometric functions 三角函数P33⑴f(x)＝sin x⑵f(x)＝cos x⑶f(x)＝tan x＝sin x / cos x1.2.8Exponential function 指数函数P34The exponential functions are the functions the form f(x) ＝a x Where the base a is a positive constant.1.2.9Transcendental functions 超越函数P35These are functions that are not a algebraic. The set of transcendental functions includes the trigonometric，inverse trigonometric，exponential，and logarithmic functions，but it also includes a vast number of other functions that have never been named. In Chapter 11 we will study transcendental functions that are defined as sums of infinite series.1.2 Exercises P 35-381.3 New functions from old functions1.3.1 Transformations of functions P38⑴Vertical and Horizontal shifts (See Fig.1 p39)①y＝f(x)＋c，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units upward.②y＝f(x)－c，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units downward.③y＝f(x＋c)，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units to the left.④y＝f(x－c)，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units to the right.⑵ V ertical and Horizontal Stretching and Reflecting (See Fig.2 p39)①y＝c f(x)，（c＞1）stretch the graph of y＝f(x) vertically bya factor of c②y＝(1/c) f(x)，（c＞1）compress the graph of y＝f(x) vertically by a factor of c③y＝f(x/c)，（c＞1）stretch the graph of y＝f(x) horizontally by a factor of c.④y＝f(c x)，（c＞1）compress the graph of y＝f(x) horizontally by a factor of c.⑤y＝－f(x)，reflect the graph of y＝f(x) about the x-axis⑥y＝f(－x)，reflect the graph of y＝f(x) about the y-axisExamples1: (See Fig.3 p39)y＝f( x) ＝cos x，y＝f( x) ＝2cos x，y＝f( x) ＝（1/2）cos x，y＝f( x) ＝cos（x/2），y＝f( x) ＝cos2xExamples2: (See Fig.4 p40)Given the graph y＝f( x) ＝( x)1/2，use transformations to graph y＝f( x) ＝( x)1/2－2，y＝f( x) ＝(x－2)1/2，y＝f( x) ＝－( x)1/2，y＝f( x) ＝2 ( x)1/2，y＝f( x) ＝(－x)1/21.3.2 Combinations of functions (代数组合函数)P42Algebra of functions: Two functions (or more) f and g through the way such as add, subtract, multiply and divide to combined a new function called Combination of function.☆Definition(1-2) Combination function: Let f and g be functions with domains A and B. The functions f±g，f g and f /g are defined as follows: （特别注意符号(f±g)( x) 定义的含义）①(f±g)( x)＝f(x)±g( x)，domain ＝A∩B②(f g)( x)＝f(x) g( x)，domain ＝A∩ B③(f /g)( x)＝f(x) /g( x)，domain ＝A∩ B and g( x)≠0Example 6 If f( x) ＝( x)1/2，and g( x)＝(4－x2)1/2，find functions y＝f(x)＋g( x)，y＝f(x)－g( x)，y＝f(x)g( x)，and y＝f(x) /g( x)Solution: The domain of f( x) ＝( x)1/2 is [0，＋∞)，The domain of g( x) ＝(4－x2)1/2 is interval [－2，2]，The intersection of the domains of f(x) and g( x) is[0，＋∞)∩[－2，2]＝[0，2]Thus，according to the definitions, we have(f＋g)( x)＝( x)1/2＋(4－x2)1/2，domain [0，2](f－g)( x)＝( x)1/2－(4－x2)1/2，domain [0，2](f g)( x)＝f(x) g( x) ＝( x)1/2(4－x2)1/2＝(4 x－x3)1/2domain [0，2](f /g)( x)＝f(x)/g( x)＝( x)1/2/(4－x2)1/2＝[ x/(4－x2)]1/2 domain [0，2)1.3.3☆☆Composition of functions (复合函数)P45☆Definition(1-3) Composition function: Given two functions f and g the composite func tion f⊙g (also called the composition of f and g ) is defined by(f⊙g)( x)＝f( g( x)) （特别注意符号(f⊙g)( x) 定义的含义）The domain of f⊙g is the set of all x in the domain of g such that g(x) is in the domain of f . In other words, (f⊙g)(x) is defined whenever both g(x) and f (g (x)) are defined. See Fig.13 p 44 Example7 If f (g)＝( g)1/2 and g(x)＝(4－x3)1/2find composite functions f⊙g and g⊙f Solution We have(f⊙g)(x)＝f (g (x) ) ＝( g)1/2＝((4－x3)1/2)1/2(g⊙f)(x)＝g (f (x) )＝(4－x3)1/2＝[4－((x)1/2)3]1/2＝[4－(x)3/2]1/2Example8 If f (x)＝( x)1/2 and g(x)＝(2－x)1/2find composite function s①f⊙g ②g⊙f ③f⊙f④g⊙gSolution We have①f⊙g＝(f⊙g)(x)＝f (g (x) )＝f((2－x)1/2)＝((2－x)1/2)1/2＝(2－x)1/4The domain of (f⊙g)(x) is 2－x≥0 that is x ≤2 {x ︳x ≤2 }＝(－∞，2]②g⊙f＝(g⊙f)(x)＝g (f (x) )＝g (( x)1/2 )＝(2－( x)1/2)1/2The domain of (g⊙f)(x) is x≥0 and 2－( x)1/2x ≥0 ，that is( x)1/2≤2 ，or x ≤ 4 ，so the domain of g⊙f is the closed interval[0，4]③f⊙f＝(f⊙f)(x)＝f (f(x) )＝f((x)1/2)＝((x)1/2)1/2＝(x)1/4The domain of (f⊙f)(x) is [0，∞)④g⊙g＝(g⊙g)(x)＝g (g(x) )＝g ((2－x)1/2 )＝(2－(2－x)1/2)1/2The domain of (g⊙g)(x) is x－2≥0 and 2－(2－x)1/2≥0 ，that is x ≤2 and x ≥－2，so the domain of g⊙g is the closed interval[－2，2]Notice: g⊙f⊙h＝f (g(h(x)))Example9Example10 Given F (x)＝cos2( x＋9)，find functions f，g，and h such that F (x)＝f⊙g⊙h Solution Since F (x)＝[cos ( x＋9)] 2，that is h (x)＝x＋9 g(x)＝cos x f (x)＝x2Exercise P 45-481.4 Graphing calculators and computers P481.5 Exponential functions⑴An exponential function is a function of the formf (x)＝a x See Fig.3 P56 and Fig.4Exponential functions increasing and decreasing (单调性讨论)⑵Lows of exponents If a and b are positive numbers and x and y are any real numbers. Then1) a x+y＝a x a y2) a x－y＝a x / a y3) (a x)y＝a xy4) (ab)x+y ＝a x b x⑶about the number e f (x)＝e x See Fig. 14，15 P61Some of the formulas of calculus will be greatly simplified if we choose the base a .Exercises P 62-631.6 Inverse functions and logarithms1.6.1 Definition(1-4) one-to-one function: A function f iscalled a one-to-one function if it never takes on the same value twice；that is，f (x1)≠f (x2)，whenever x1≠x2( 注解：不同的自变量一定有不同的函数值，不同的自变量有相同的函数值则不是一一对应函数) Example: f (x)＝x3is one-to-one function.f (x)＝x2 is not one-to-one function, See Fig.2,3,4 ☆☆Definition(1-5) Inverse function:Let f be a one-to-one function with domain A and range B. Then its inverse function f －1(y)has domain B and range A and is defined byf－1(y)＝x f (x)＝y for any y in Bdomain of f－1＝range of frange of f－1＝domain of f( 注解：it says : if f maps x into y, then f－1maps y back into x . Caution: If f were not one-to-one function，then f－1 would not be uniquely defined. )Caution: Do not mistake the－1 in f－1for an exponent. Thus f－1(x)＝1/ f(x) Because the letter x is traditionally used as the independent variable, so when we concentrate on f－1(y) rather than on f－1(y), we usually reverse the roles of x and y in Definition (1-5) and write as f－1(x)＝y f (x)＝yWe get the following cancellation equations:f－1( f(x))＝x for every x in Af (f－1(x))＝x for every x in B See Fig.7 P66Example 4 Find the inverse function of f(x)＝x3＋6Solution We first writef(x)＝y＝x3＋6Then we solve this equation for x:x3＝y－6x＝(y－6)1/3Finally, we interchange x and y：y＝(x－6)1/3That is, the inverse function is f－1(x)＝(x－6)1/3( 注解：The graph of f－1 is obtained by reflecting the graph of f about the line y＝x. ) See Fig.9、8 1.6.2 Logarithmic function If a＞0 and a≠1，the exponential function f (x)＝a x is either increasing or decreasing and so it is one-to-one function by the Horizontal Line Test. It therefore has an inverse function f－1，which is called the logarithmic function with base a and is denoted log a，If we use the formulation of an inverse function given by (See Fig.3 P56)f－1(x)＝y f (x)＝yThen we havelogx＝y a y＝xThe logarithmic function log a x＝y has domain (0,∞) and range R.Usefully equations:①log a(a x)＝x for every x∈R②a log ax＝x for every x＞01.6.3 ☆Lows of logarithms :If x and y are positive numbers, then①log a(xy)＝log a x＋log a y②log a(x/y)＝log a x－log a y③log a(x)r＝r log a x where r is any real number1.6.4 Natural logarithmsNatural logarithm isl og e x＝ln x ＝ythat is①ln x ＝y e y＝x② ln(e x)＝x x∈R③e ln x＝x x＞0 ln e＝1Example 8 Solve the equation e5－3x＝10Solution We take natural logarithms of both sides of the equation and use ②、③ln (e5－3x)＝ln10∴5－3x＝ln10x＝(5－ln10)/3Example 9 Express ln a＋(ln b)/2 as a single logarithm.Solution Using laws of logarithms we have:ln a＋(ln b)/2＝ln a＋ln b1/2＝ln(ab1/2)1.6.5 ☆Change of Base formula For any positive number a (a≠1), we havel og a x＝ln x/ ln a1.6.6 Inverse trigonometric functions⑴Inverse sine function or Arcsine functionsin－1x＝y sin y＝x and －π/2≤y≤π / 2，－1≤x≤1 See Fig.18、20 P72Example13 ① sin－1 (1/2) or arcsin(1/2) ② tan(arcsin1/3)Solution①∵sin (π/6)＝1/2，π/6 lies between －π/2 and π / 2，∴sin－1 (1/2)＝π/6② Let θ＝arcsin1/3，so sinθ＝1/3tan(arcsin1/3)＝tanθ＝s inθ/cosθ＝(1/3)/(1－s in2θ)1/2＝1/(8)1/2Usefully equations:①sin－1(sin x)＝x for －π/2≤x≤π / 2②sin (sin－1x)＝x for －1≤x≤1⑵Inverse cosine function or Arccosine functioncos－1x＝y cos y＝x and 0 ≤y≤π，－1≤x≤1 See Fig.21、22 P73Usefully equations:①cos－1(cos x)＝x for 0 ≤x≤π②cos (cos－1x)＝x for －1≤x≤1⑶Inverse Tangent function or Arctangent functiontan－1x＝y tan y＝x and －π/2＜y＜π / 2 ，x∈R See Fig.23 P73、Fig.25 P74Example 14 Simplify the expression cos(ta n－1x).Solution 1 Let y＝tan－1 x，Then tan y＝x and －π/2＜y＜π / 2 ，We want find cos y but since tan y is known, it is easier to find sec y first:sec2y＝1 ＋tan2y sec y＝(1 ＋x2 )1/2∴cos(ta n－1x)＝cos y ＝1/ sec y＝(1 ＋x2)－1/2Solution 2∵cos(ta n－1x)＝cos y∴cos(ta n－1x)＝(1 ＋x2)－1/2⑷Other Inverse trigonometric functionscsc－1x＝y∣x∣≥1csc y＝x and y∈(0，π / 2]∪(π，3π / 2]sec－1x＝y∣x∣≥1sec y＝x and y∈[0，π / 2)∪[π，3π / 2]cot－1x＝y x∈R cot y＝x and y∈(0，π)Exercises P 74-85Key words and PhrasesCalculus 微积分学Set 集合Variable 变量Domain 定义域Range 值域Arbitrary number 独立变量Independent variable 自变量Dependent variable 因变量Square root 平方根Curve 曲线Interval 区间Interval notation 区间符号Closed interval 闭区间Opened interval 开区间Absolute 绝对值Absolute value 绝对值Symmetry 对称性Represent of a function 函数的表述（描述）Even function 偶函数Odd function 奇函数Increasing Function 增函数Increasing Function 减函数Empirical model 经验模型Essential Function 基本函数Linear function 线性函数Polynomial function 多项式函数Coefficient 系数Degree 阶Quadratic function 二次函数（方程）Cubic function 三次函数（方程）Power functions 幂函数Reciprocal function 反比函数Rational function 有理函数Algebra 代数Algebraic function 代数函数Integer 整数Root function 根式函数（方程）Trigonometric function 三角函数Exponential function 指数函数Inverse function 反函数Logarithm function 对数函数Inverse trigonometric function 反三角函数Natural logarithm function 自然对数函数Chang of base of formula 换底公式Transcendental function 超越函数Transformations of functions 函数的变换Vertical shifts 垂直平移Horizontal shifts 水平平移Stretch 伸张Reflect 反演Combinations of functions 函数的组合Composition of functions 函数的复合Composition function 复合函数Intersection 交集Quotient 商Arithmetic 算数。

高中数学A版三当代几何大师—陈省身优秀课件

当时，华罗庚是清华数学系最引人注目的，陈省身和他时常往来，上同样的课，那是一段很愉快的学生生活.
3.留学欧洲
1934年，陈省身毕业于清华大学研究院，同年，得到汉堡大学的奖学金，赴布拉希克所在的汉堡大学数学系留学 .在布拉希克研究室他完成了博士论文，研究的是嘉当方法在微分几何中的应用 .
7.落叶归根
陈先生晚年情系故园，在南开大学创建了数学研究所并任所长.1994年当选为首批中国科学院外籍院士.路甬祥说，陈省身先生的不幸逝世是国际和我国科技界的重大损失，也使我们失去了一位尊敬的师长. 陈省身先生献身科学、追求真理的精神和在科学上的功绩将永垂青史 .
陈省身的数学：
陈省身的人生：
4. 抗日烽火
1937年，陈省身受聘于清华大学.抗日
战争爆发，他随大学迁至昆明，1938年为
西南联合大学教授 .
在抗日战争烽火的岁月里，陈省身身心无旁骛，只争朝夕努力工作，继续发表论文. 于此同时，陈省身开始蜚声内外. 但对于自己的工作却深感不满.
1943年为美国普林斯顿高级研究院研
究员.此外还是芝加哥大学、伯克利加州
大学终身教授等，是美国国家数学研究所、
南开大学数学研究所的创始所长.
陈省身的数学工作范围极广，包括微分几何、拓扑学、微分方程、代数、几何、李
群和几何学等多方面.他是创立现代微分几何
学的大师.
5. 定居美国
1946年，陈省身回到国内并承担了中央研究院数学研究所的准备工作.并由此培养了一批新的拓扑学的人才.
难点
学习陈省身的这种精神.
内容解析
陈省身（1911年10月28 日－2004年12月3日），生于浙江嘉兴秀水县，汉族，美籍华人，国际数学大师、著名教育家、中国科学院外籍院士，20世纪世界级的几何学家.

曲线论_陈省身先生_微积分及其应用_之第三讲

专　稿　曲线论———陈省身先生《微积分及其应用》之第三讲(2001110126)编者按　本刊总第94,95期刊出了白承铭同志“数学大师的风采———记陈省身先生讲授《微积分及其应用》”一文的最初部分:对这次系列演讲的简介,以及陈先生演讲的第一讲。

应读者要求,总第96期刊出了第二讲。

本期继续刊出第三讲。

讲稿由白承铭、宋敏、云保奇、赵志根等同志记录整理,未经陈先生寓目。

刊出时只作了个别文字性处理。

(Ⅰ)平面曲线我想这几次跟大家讲一点微积分在几何上的应用。

这是非常要紧的发展。

那么,从最简单的情况开始,我们就讲平面上的曲线。

假设平面上有一条曲线X (t )=(x 1(t ),x 2(t )),用微积分的话呢,就是这条曲线有条切线。

切线有个切矢量。

对于切矢量,我们取这个矢量是单位矢量,它的长度是1,也就是取为单位切矢量。

于是我们知道假使把坐标x 表示成弧长s 的函数的话,这就表示这个单位切矢量就是x 对s的微分dx ds ,即单位切矢量为e 1=(dx 1ds ,dx 2ds),(e 1,e 1)=1,s 是弧长。

那么怎么样研究这条切线呢?很简单,那就是有了一个单位矢量之后,并假设如果平面是定向的,即有一个转动的方向,那么它就有一个单位法向量,也就是跟它垂直的那个单位矢量。

现在,我叫e 1是单位切矢量,e 2是单位法矢量。

于是要得到这条切线的性质,第一件事情就是把e 1这个函数对于s 再求微分。

那么再求微分之后,当然这是一个新的矢量。

因为e 1是一个单位矢量,所以(e 1,e 1)=1。

那么把它微分一下子,我们就得到de 1ds 同e 1垂直,所以它一定在法线的方向。

因此,我们就有de 1dx等于单位法矢量e 2的倍数。

这个倍数是弧长的一个函数,我们叫k (s )。

这个倍数满足de 1ds=ke 2,　e 2是单位法矢量,　(e 1,e 2)=0。

k 这个函数一般叫做曲率,是这条曲线在这个平面里头最要紧的一个性质,是弧长的一个函数。

曲面论_三_Gauss_Bonnet公式__省略_其应用_之第六讲_2001年1

专稿曲面论(三):Gauss -Bo nnet 公式(续)陈省身《微积分及其应用》之第六讲(2001年11月23日)编者按　本刊自总第94期刊出陈省身先生系列讲座《微积分及其应用》的首讲之后,曾引起读者极大兴趣,纷纷表示获益良多1应广大读者的强烈要发,本刊在总第95、96、99、102、105各期先后续载了陈先生的系列讲座1本期刊出最后一讲1此稿由白承铭、宋敏、云保奇、赵志根等同志记录整理,刊出时只作个别文字处理1大师仙逝,在本刊刊出的系列讲稿,已成绝响,特别是最后两讲已不能再呈先生寓目,我们不胜悲切,并表深深怀念1(Ⅰ)微积分在复变函数论中应用简介我还应该再讲两次1这两次我有个计划:预备讲一点复变函数论,因为在数学中,很要紧的一件事实,同时在数学史上也是非常要紧的一件事情,就是有复数1这个复数使得数学简单,复函数有许多漂亮,有意思的性质,因此,这使得这些函数在应用上特别有用处1所以,我预备讲一讲,比如说,复变函数有一个很重要的性质:任意的代数方程在复变函数之中一定有解1这是一个不得了的事情,因为不管你怎么样写一个方程,你要是允许解是复数的话,它一定有解1例如,x 2+1=0,那么它有个解就是-1,所以-1就这么样子有用处1不但如此,复数在很多方面跟实数一样,可以加减,有类似的性质,所以,它可以运算1同时它包含了许多材料是实数不能包含的1我想我的课在进行过程中一定会有个空挡,在空挡的时候,我想找两次讲复变函数1我预备讲:一个是我刚才讲的代数的基本定理,就是说任意的代数的方程在复数域中一定有解1这个是很难证明的,需要数学上新的观念1比方说,伟大数学家如Euler ,他想法子证明,但没有能成功1我想Gauss 是我们近代最伟大的数学家,他很年轻的时候就有一个证明,也就是复数需要一些几何的性质,不完全是代数的问题1我预备下次讲复数的时候证明这个定理;同时,复变函数最主要的一个定理是Picard 定理,就是说,假使对于一个复变函数,取它的函数值在复平面里头所取的位置,它把整个复平面都盖住了,其中也许可以去掉一点,两点1这是不得了的,就是说,函数如果是一个全纯函数的话,它分布得非常之均匀,可以说差不多把平面都盖住了1有意思的一件事情是这个定理是复变函数高峰的定理,可以利用我们现在要讲的Gauss -Bonnet 公式来证明1这说明看起来没有关系的一些方法跟观念,结果是有关系的1这是数学上非常要紧,有意思的问题1(Ⅱ)关于学习的自动性这个课快结束了,你们得写个报告,最好是自动地来写1你能够自己找到一个问题,这是更要紧的1我想你们都是大学生,大学生受高等教育最后的一段,以后到社会上去,即使在学校,在学术单位里头,最要紧的一定要自动1不要是等老师叫你做什么,你再做什么,这个最坏1要自动,要自己能找问题,要自己能够答复自己找的问题1那么,当然你找的问题不一定合适,你暂时也不一定能够得到答案1不过,你中间经过一些弯路,经过一些错误,可以使得你的学问真正进步,而使得你真正进步的就是要经过这样的手续,所以我鼓励大家要自动1多讲一点,你们甚至要能够组织一个团体,互相报告找问题,或者请校内校外老师,同学来做报告,这是很有好处的,自己要把数学想一想,或者对任意的学问,你自己有个思想,觉得有个什么样的活动,对于你,对于这个学问的知识可以增加,同时你对学问的能力也可以增加1所以这是很值2高等数学研究STUDIES IN COLL EGE MA T H EMA TICS 2005,8(4)得注意的一件事情,希望你们考虑一下这个可能性1(Ⅲ)Gauss -Bonnet 公式的证明上次,G auss -Bonnet 公式我没有证明全,所以我先把证明说全了1我上次讲的G auss -Bonnet 公式就是:假使在空间里头有一个曲面,它是一个整个的曲面,并且假使这个曲面是定向的,即它的法线有一定的方向1于是,G auss 曲率K 就是曲面上的一个函数,我可以把这个函数对于曲面上的面积度量求积分,这个积分是一个2重积分,它等于一个常数(2π)乘以曲面的Euler 示性数1即 ∫∫K d A =2πχ(M )Euler 示性数就是把曲面切成小块之后,适于一点自然的条件,把它切完之后,其顶点个数减边的个数,再加面的个数,结果就叫做这个曲面的Euler 示性数1当曲面是球面的话,它的Euler 示性数为2,如果它是个环面,它的Euler 示性数是01你们可以试一试,就能得到这个1如果曲面是个定向曲面,这是它的唯一的拓扑不变式1一般讲起来,假使球上加几个环,环的个数就跟Euler 示性数有个关系:这环的个数普通叫曲面的亏格(genus ),这是曲面最重要的拓扑不变式1有意思的是,这曲面的性质,曲面上头函数的性质跟亏格有密切的关系,所以亏格是拓扑不变式,它影响到曲面的几何性质和解析性质,有非常之重要的影响1所以整个这些关系是很深奥的,相当深奥的1因此,也是非常要紧,非常有意思的1我上次证明Gauss -Bonnet 公式,最要紧的公式就是 d ω12=-ω13∧ω23=-K ω1∧ω2.我现在重复一遍1要研究曲面论的话,一定要研究曲面上的标架1假使取这个标架,使标架的3个单位矢量互相垂直,并且我们假定它是个右手系1那么,对于这样的标架,假使你知道第一个矢量之后,其它两个矢量就确定了1因为我们假定第三个是曲面的单位法矢量,那么第一个,第三个定了的话,第二个也就定了1事实上,我这是一个单位标架,同时是右手系(右手标架),这就完全定了1所以对于在一个点的所有这种标架,其单参数系(One parameter family )是根据了一个变数1曲面是2维的,再加上这点的标架有一个参数,所以曲面所有标架是一个3维的空间13维空间有x 这个顶点,定它在曲面的位置,它去掉两个维,然后再取一个切线方向,又有一个维,因为切线在切面里头可以转,所以又多了一维1这样子就得到所有标架系所成空间的3维的性质1有了标架系,有什么好处呢?因为有了矢量,你可以用公式来表示很多事情1矢量有分量,这分量就有数1我们搞数学最要紧的要有数1你要有数的话,描写是准确的,并且应用的时候你可以观察到的都是数1在某种意义下为什么微积分要紧?我想数学主要的目的是研究函数,研究两个系统的关系1现在这关系呢,函数不好搞了,所以微积分是把这个关系线性化,因此可以用代数1矢量可以加,拿个数目来乘,所以微积分主要的成就是把空间的理论,把函数的理论线性化,代数化1有了代数以后,你就可以算,所以就有用,因此也重要1那么有了标架所得到的解析的事实是什么呢?我把这个标架叫做xe 1e 2e 3, E =xe 1e 2e 3|M 定向,e 3是法矢量,e 1是切矢量,e 3是单位法矢量1x ,e 1,e 2,e 3都是矢量,它们的微分也是矢量1微分之后是一次微分式矢量值,因此,它们可以表为e 1,e 2,e 3的一个线性组合1把d x 表为线性组合,得到的系数叫做ω1,ω2:d x =ω1e 1+ω2e 2.ω1,ω2就是曲面的面积度量,是一个2次微分式,它当然可以用来做个重积分的积分函数(integral ),所以把它积分的话,就得到这个曲面的面积13第8卷第4期陈省身:曲面论(三):Gauss -Bonnet 公式(续)4高等数学研究 2005年7月我讲的关于曲面的理论的这些结果,你在微分几何书上找不到1如果你不能完全接受,不能完全懂的话,没有关系1因为这些内容大概在普通微分几何中要讲一个月,而我讲一两次就把它讲完了1这也证明这个方法的优点1它的优点主要是我在研究3维空间的Euclid几何1Euclid几何最好是用正交标架,因为正交性在Euclid几何中不变,是有意义的1而一般微分几何书用到曲面论的时候,它不用正交标架,你要想别的法子1比如说,平面解析几何,你不用正交标架,你的两个坐标不垂直,甚至于它走的方向不是单位的方向,你去试试看就知道难多了,麻烦多了1不是不可能做,可以做到,就是麻烦多了1有意思的一件事情,当然我们都知道,坐标系统是法国的哲学家,数学家笛卡尔发现的1他头一次用坐标的时候不是正交标架,都是任意的标架1他用任意的标架拿来处理这种几何的问题1不知道是哪位先生放了个正交标架,以后你在书上看到的都是正交标架1所以,我的标架是xe1e2e3,这4个都是矢量1它们的微分也得到矢量值的一次微分,所以每一个可以表为e1,e2,e3的线性组合1由于我们是在一个3维的空间,那么这就是公式d x=ω1e1+ω2e2和公式d e i=ωij e j1这时候,因为是一次微分式,所以这种线性组合是e1,e2,e3的线性组合,它的系数是一次微分式,不再是函数了1以前如果是函数的话,它线性组合的系数是函数,现在,系数是一次微分式,这些一次微分式重要得很1因为它描写一个标架跟它临近标架的关系:它临近标架动一点点,跟原来相差多少?相差是一个微分,就是我们的ωi跟ωij1这几个微分式有简单的关系,最要紧的是ωij,你看它很麻烦,i,j从1到3,但是因为标架是正交的单位矢量,所以ωij对于i,j是反对称的1因此,你把ωij写成一个3×3方阵的话,它的对角线的元素都是0,并且对于对角线它是反对称的,所以只有3个真正要处理的一次微分式1你要用标架来研究几何的这种情况,在力学很自然1力学讲一个物体在那儿移动,那么它的位置就是时间的函数,因此,这标架是时间的函数1这种函数在力学上是一个变数的函数1因为在力学上,在动力学上,真正的变数是时间,只有一个1但是要研究几何的话,情况来得复杂,可能这个标架是跟多个变数有关,可以是多变数的函数1因此这之间就有些关系,这关系就是你求d(d e i)1我讲过,你用上d的话,d用两次是0,所以你把这个关系写出来的话,就得到dωij是一个式子,可以用其他的ω来表示,这式子是dωij=ωik∧ωkj1你得到这样一组方程,是有意义的1因为ωij是一次微分式,你把它微分的话是2次微分式,而在右边是两个一次微分式相乘,所以也是2次微分式,因此这组方程不荒谬1这组方程代表运动群整个的性质,看似复杂,其实非常简单,因为这些ωij是反对称的,所以如果i≠j的话,例如,如果i=1,j=2,那么k=31这是因为k要是等于1,于是有ω11=0,而要是k等于2,那么有ω22=01所以这组方程式看着复杂,右边只有一项1你还可以容易地得到一个特别情形,即dω12=ω13∧ω32=ω13∧ω231这个公式要紧极了1在此情形下有一个新的情况:你们念微积分的时候,一般只有一个空间,大概不是平面就是3维空间,可是我们现在有两个空间,一个是标架成的空间,是3维的;另一个是2维的曲面,所以我有一个2维曲面还有一个3维空间,这3维空间是个标架1因此如果一个标架,你取它原点的话,我们说它就投影到曲面上去了,这样子就有个投影1有个名词叫纤维丛,现在是圆周丛了1纤维是圆周,有一把圆周,而整个的圆周所成的空间就是原来的曲面,我们叫原来的曲面为底空间1拿同一个原点的所有单位切矢量就成纤维,于是构成纤维丛1它就象我们衣服似的,有一条一条的线1最简单的纤维丛是它的纤维是直线,那么它是直线丛1我试着把它比方成一把筷子,你有好多筷子,每一根筷子是条直线,那么有好多筷子,整个筷子成一个空间,这就是我们的纤维丛,这是直线的情况1我们现在做的情况是圆周丛1这是微积分里一个新的观念,就是说,你不是讨论一个空间,而是你在讨论两个空间,并且这两个空间之间有密切的关系1一个是圆周所成的空间,一个是我们的底空间,也就是原来的曲面1这两个空间之间有我所说的这个关系,这个关系有意思极了,重要极了,因为有关系d ω12=-K ω1∧ω21右边是曲面上的式子,这是因为K 是Gauss 曲率,ω1∧ω2是面积度量,所以右边是曲面上的性质1左边是一个东西的微分1ω12是在纤维丛E 里头的一次微分式,这个一次微分式的外微分等于右边的式子1这个说明Gauss 曲率只跟Riemann 度量有关,因为要是有了Riemann 度量就有ω12.那么右边的式子只跟Riemann 度量有关,这是Gauss 当年很得意的一个结果1有这样一个关系,连Gauss 都觉得很不得了1Gauss -Bo nnet 公式就是要求右边这个式子的积分1我们现在有一个封闭的曲面,它是定向的,要求右边的积分,求出它的值来1当时我也有一种错误,以为右边这个式子既然是d 一个东西的话,在一个封闭曲面上的积分应该是01事实上,它应该等于ω12沿着这个曲面的边界的积分,如果曲面是封闭的,它没有边界,所以应该是01但这显然是错的1我们虽然有d ω12=-K ω1∧ω2,但这个关系不是在一个2维空间上,它是在E 这个3维空间上1所以我们只能够在3维空间利用Stokes 定理1而在3维空间的话,这个曲面就有边界了1你要把这个曲面升到3维空间去,怎么升呢?就是每点要给一个拿这点做原点的切矢量1换句话说,这就是所谓的矢量场1所以这个曲面需要有个矢量场,每点有个切矢量,而这个切矢量是E 里头的一个点,就把这个曲面升到E 里头去1假使有一个曲面,是不是一定有个矢量场?这不简单了1在局部的时候,当然很简单1你写下坐标,随便写些矢量,就有了1是不是能够在整个曲面给一个矢量场,这是几何里头所谓整体的问题,普通拓扑就搞这个问题1也就是说,局部显然可以写矢量的,你有局部坐标,你把坐标分量写下来,当然就有个矢量场,但是这个是局部的,不一定能扩充到整个曲面1我上次已经讲过,要能的话,必须允许这个矢量场有异点(singularity )1比方说,在下面几个图里有几个矢量场的例子(图略):最左边的例子,它的异点就在原点,经过这个原点,向所有方向画矢量1除了原点之外,就定了一个矢量场,但是原点是一个异点,它是所有水流出来的出发点,所以它是个异点1第二个,所有矢量都向原点走,原点还是一个异点,原点就变成一个沉下去的一个点,英文叫sink 1而左边的叫source 1当然也有象最右边的例子1从这些例子可以看出矢量场在异点有不同性质1如何描写它的不同的性质,就有一个叫做矢量场的指标(index )1假使有个孤立的异点,那么围着这个异点做个小圆圈,因为是孤立的异点,所以在小圆圈上的点的矢量是完全确定的1那么现在,在小圆圈的点绕着异点转多少圈呢?如果转一圈,并且是在正的方转一圈,它的指标是11如果向负的方向就是-11在上面例子中,无论sink 还是source ,指标都是11双曲线的现象指标为-11异点很复杂,因此指标可以取任何值1假使我把曲面升到纤维丛里头,升到圆周丛里头,并且允许有异点,那么这个上去的曲面就有边界,这个边界就相当于这些异点1所以根据公式d ω12=-K ω1∧ω2,我们关于Gauss 曲率的积分就等于异点的指标和1所以我们证明一个重要性质:不论你取任何一个矢量场,假使它只有有限个异点,我们这个积分是指标和,即是把每个异点的指标加起来就等于指标和1这里很要紧,因为这个积分是跟矢量场选择无关的1所以这证明了一个曲面假使有一个有有限个异点的矢量场,在异点的指标和矢量场的选择无关1它等于那个积分,而那个积分里没有矢量场,所以就得到这样一个结果1我再说一遍,现在有一个封闭的曲面,取一个矢量场,有有限个异点,它的指标和与矢量场的选择无关,这是因为它等于右边的积分,而右边积分根本没有矢量场1为什么这个数目等于Euler 示性数呢?现在既然它跟矢量场选择无关,你就任取一个矢量场,比方说,假使有个曲面,你把曲面分割了,分割成小块,每个小块是三角形1对于这三角形,每个边5第8卷第4期陈省身:曲面论(三):Gauss -Bonnet 公式(续)取它的中点,三角形取它的重心,你就可以定一个矢量场1从顶点出去,然后到三角形的重心就进去1对于这样子定的矢量场很容易看出来,刚巧在边上的这种点的指标等于-11于是它在顶点的指标是1,在三角形重心的指标都是1,但是在边上每个点指标为-1,所以把这指标加起来的话,就等于顶点的个数加面的个数,再减边的个数,因此就是Euler示性数1这就证明了Causs-Bonnet公式1 (Ⅳ)Gauss-Bonnet公式的推广及应用Gauss-Bonnet公式真正有用的时候是曲面有边界1此时,它是顶点加顶点的外角再加边的测地曲率(geodesic curvat ure),再加曲面的Gauss曲率1下面是一般的Gauss-Bonnet公式 ∑(π-α)(点)+∑∫k g(s)d s(边)+∑∫∫K d A(面)=2πχ(M)1对于有边界的曲面,头一部分是边界顶点的点曲率,其次是边界的边的线曲率,然后整个的这个东西的面曲率,所以你有一个有边界的曲面,你就取边界的点曲率加边界的线曲率再加面曲率,是Euler示性数1证明是一样的1真正Gauss-Bonnet公式最有用的是有边界的情况1比方说,在一个Euclid平面,假使有一个三角形,这个三角形由直线所成1由于空间是Euclid空间,Gauss曲率=0;假使边都是直线,所以测地曲率也是01因此这个就是说∑(π2α)等于2π1这是因为要是三角形,Euler示性数是11右边要等于2π,所以这就说明三角形三角之和在Euclid平面上等于π1Gauss-Bonnet公式是三角形三角和公式在一般情形的推广1这个观念重要极了,它就是整个纤维丛的观念1我说,由这个纤维丛,Maxwell方程就是这个情况的推广1你到物理上应用的时候,你的空间是4维,是3维空间加1维时间,是4维的洛仑兹流形1那么要表示Maxwell方程的话,你要用一个圆周丛,实际上是一个复的直线丛1它有个曲率,我们的曲率是Gauss曲率乘以面积元素,而这个曲率是个2次微分式,把表示这个曲率是封闭的条件写出来就是Maxwell方程1所以,Maxwell方程的几何背景非常简单,就是因为世界是4维的空间,所以得从2维空间扩充到4维1那么这个曲率因为是一个2次微分式,还是反对称的,因此在4维空间里是一个4×4方阵: Fαβ=　0 E1 E2 E3-E10-B0B2-E2B00-B1-E3-B2B10　1这个方阵里头E1,E2,E3是Elect ric Potential,B0,B1,B2是Magnetic Potential,也就是电势跟磁势,这些都是方阵里头的函数1表示由这个方阵所表示的2次微分式是封闭的,即d这个式子的微分为0,就是Maxwell方程 d(Fαβd xα∧d xβ)=0.Gauss-Bo nnet公式在历史上曾有很多演变1我写的公式既不由于Gauss,也不由于Bonnet1事实上,Gauss仅由测地三角形做到三角形的情形1Bonnet也没有做拓扑的应用1Bonnet把三角形推广到任意曲线,他把任意曲线的测地曲率积分表为Gauss-Bonnet公式的积分1当年Bonnet是法国最要紧的几何学家,他在微分几何方面做了非常基本的贡献1我不管你们了解多少,我希望你们了解这一部分的数学非常要紧.Maxwell方程是它的特别情况,这个非常有用处1我有一篇文章在今年的《科学》上发表,题目叫《Gauss-Bonnet公式与Maxwell方程》,我讲的许多要点在这篇文章里头有16高等数学研究 2005年7月。

微分几何陈维桓讲稿

目录第三章曲面的第一基本形式 (27)§ 3.1 正则参数曲面 (27)一、参数曲面 (27)二、参数变换 (28)三、正则曲面 (29)四、正则曲面的例子 (30)§ 3.2 切平面和法线 (33)一、曲面的切空间，切平面和法线 (33)二、连续可微函数的等值面 (35)三、微分dr的几何意义 (35)§ 3.3 第一基本形式 (36)§ 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性 (39)§ 3.5 保长对应和保角对应 (40)一、曲面到曲面的连续可微映射 (40)二、切映射 (41)三、保长对应(等距对应) (42)四、保角对应(共形对应) (45)§ 3.6 可展曲面 (46)第三章曲面的第一基本形式本章内容：曲面的定义，参数曲线网，切平面，单位法向量，第一基本形式，正交参数网，等距对应和共形对应，可展曲面计划学时：12学时，含习题课4学时.难点：正交参数网的存在性，等距对应和共形对应§ 3.1 正则参数曲面一、参数曲面从平面2R 的一个区域(region ，即连通开集)D 到3E 中的一个连续映射3:()r D S r D E→=⊂的象集()S r D =称为3E 中的一个参数曲面(parameterized surface). 在3E 中取定正交标架{;,,O i j }k ，建立笛卡尔右手直角坐标系. 则参数曲面S 可以通过参数(parameter)(,)u v 表示成参数方程(,),(,),(,),x x u v y y u v z z u v =⎧⎪=⎨⎪=⎩2(,)u v D ∈⊆R ， (1.1)或写成向量参数方程()(,)(,)(,)(,)(,),(,),(,)r r u v x u v i y u v j z u v k x u v y u v z u v ==++=，(,)u v ∈Ω. (1.2) 为了使用微积分工具，本书中要求向量函数(,)r u v 都是3次以上连续可微的. u -曲线：让0v v =固定，u 变化，向量0(,)r u v 的终点描出的轨迹.v -曲线，参数曲线网.直观上，参数曲面S 就是将平面中的区域D 经过伸缩、扭曲等连续变形后放到欧氏空间3E 中的结果.曲纹坐标()(,)()p S u v D ∈↔∈，即(,)(,)Op u v r u v =.一般来说，由(1.1)给出的连续映射并不能保证曲面上的点(,)p u v 与该点的参数(,)u v 之间是一一对应的. 为了使得曲纹坐标能真正起到坐标的作用，需要对参数曲面加上正则性条件.定义设:(,)S r r u v =为3E 中的参数曲面. 如果在00(,)u v 点，两条参数曲线的切向量 r 00(,)r u v0000(,)(,)u u v r r u v u ∂=∂，0000(,)(,)v u v r r u v v ∂=∂ (1.3) 线性无关，即0000(,)0000(,):|[(,)][(,)]0u v u v u v u v r r u v r r r u v r u v ⨯=⨯=⨯≠，则称00(,)u v 或000(,)p u v 是S 的正则点(regular point). 如果S 上每一点都是正则点，则称S 是正则参数曲面.以下总假定S 是正则曲面. 在正则曲面上每一点000(,)P u v ，由于0000(,)(,),,0uu u u u u u v v v v v v v u v y z x z x y r r u v y z x z x y ⎛⎫⨯=-≠ ⎪⎝⎭， (1.4)通过重新选取正交标架{};,,O i j k ，不妨设 0000(,)(,)(,):0(,)uu v v u v u v x y x y x y u v ∂=≠∂.根据反函数定理，存在00(,)u v 的邻域U D ⊂，使得(,),(,)x x u v y y u v ==有连续可微的反函数(,)u f x y =，(,)v g x y =，即有((,),(,)),((,),(,))x f x y g x y x y f x y g x y y ≡≡.此时有()000000(,)(,),(,)x y x u v y u v =的邻域2V ⊂R 和同胚映射:V U σ→. 从而有连续映射:()|U r r V r U S S σ=→=⊂. 于是S 在000(,)P u v 的邻域|U S 内可用参数方程表示为()()(,)(,),(,),,((,),(,))r x y r u x y v x y x y z f x y g x y ==， (*)或表示为一个二元函数(,)z F x y =的图像，其中()(,)(,),(,)z F x y z f x y g x y ==. (1.5)上式称为曲面片|U S 的Monge 形式，或称为|U S 的显式方程.从(*)式可见():|:(,),,((,),(,))U r V S x y x y z f x y g x y →是一一对应，从而1:()|U r r U r U S S σ-=→=⊂ 也是一一对应. 这说明正则性条件至少保证了:r D S →局部是一一对应. 为了确定起见，以下约定正则曲面()S r D =与其定义域D 之间总是一一对应的，从而参数(,)u v 可以作为曲面上点(,)p u v 的曲纹坐标.反之，由显式方程(,)z z x y =表示的曲面总是正则的：如果()(,),,(,)r r x y r x y z x y ==， (1.6)则()1,0,x x r z =，()0,1,y y z r =，从而 (),,10x y x y r r z z ⨯=--≠.二、参数变换曲面的定向(orientation)：对于曲面:(,)S r r u v =，规定u v r r ⨯所指的一侧为S 的正侧. 由于参数曲面的参数方程中，参数的选择不是唯一的，在进行参数变换(transformation of parameter)时，要求参数变换(,),(,)u u u v v v u v == (1.8)满足：(1) (,),(,)u u v v u v 是(,)u v 的3次以上连续可微函数；(2) (,)(,)u v u v ∂∂处处不为零.这样的参数变换称为可允许的(compatible)参数变换. 当(,)0(,)u v u v ∂>∂时，称为保持定向(preserve the orientation)的参数变换.根据复合函数的求导法则，在新的参数下， u uv u v r r r u u ∂∂=+∂∂， v u v u v r r r v v ∂∂=+∂∂. 因此(,)(,)u v u v u v u v u v u v r r r r r r u v v u u v ∂∂∂∂∂⎛⎫⨯=-⨯=⨯ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭. (1.10) 上式说明在可允许的参数变换下，正则性保持不变；在保持定向的参数变换下，曲面片的正侧保持不变.三、正则曲面正则参数曲面在具体应用总是十分方便，十分广泛的. 但是有的曲面不能够用一张正则参数曲面来表示，例如球面.将3E 与3R 等同，赋予普通的度量拓扑，即以3R 的标准度量确定的拓扑.定义1.1 设S 是33E ≡R 的一个子集，具有相对拓扑. 如果对任意一点p S ∈，存在p 在S 中的一个邻域U (U V S =⋂，其中V 是p 在3E 中的邻域)，和2R 中的一个区域D ，以及同胚()::(,)(,)(,),(,),(,)r D U u v r u v x u v y u v z u v →=，使得(,)r u v 是3E 中一个正则参数曲面()r D ，则称S 是3E 中的一张正则曲面(regular surface)，简称曲面. 上述的邻域U 和同胚r 的逆映射1r ϕ-=合在一起，将(,)U ϕ称为该曲面的一个局部参数化(local parameterization)，或坐标卡(coordinate chart).注 S 的拓扑是作为3E 的子集从3E 诱导的相对拓扑，即作为3E 的拓扑子空间的拓扑.如果两个局部参数化11(,)U ϕ，22(,)U ϕ满足12U U ⋂≠∅，那么正则参数曲面12U U ⋂就有两个参数表示111(,)r u v 和222(,)r u v . 由此自然产生了参数变换 211122121122:()():(,)(,)r U U U U u v u v ϕϕϕ⋂→⋂.利用正则参数曲面12U U ⋂的3次以上连续可微性和正则性，可以证明上述参数变换是可允许的. 直观上看，正则曲面S 是由一些正则参数曲面“粘合”而成的. 只有那些与参数的选择无关的121(r U U -⋂1r 2r 21r量才是曲面本身的几何量. 如果一个正则曲面有一族保持定向的局部参数化{}(,)|U A ααϕα∈(A 为指标集)，使得{}|U A αα∈构成S 的开覆盖，则称该曲面是可定向的(orientable).除非特别指出，本课程一般是研究正则参数曲面的几何性质，称之为“局部微分几何学”. 以下所说的“曲面”一般都是正则参数曲面，包括习题中出现的“曲面”.例1.1 圆柱面(cylinder) 222x y a +=(,)(c o s ,s i n r u v a u a u v =，2(,)u v D ∈⊂R . (1.15)其中0a >.当(0,2)D π=⨯R 时，圆柱面上少了一条直线 ,0,x a y z v ===. 如果取(,)D ππ=-⨯R ，上面的直线在参数曲面上，但是又少了一条直线,0,x a y z v =-==.显然(,)r u v 是任意阶连续可微的. 又 (sin ,cos ,0)u r a u a u =-，(0,0,1)v r =，(cos ,sin ,0)0u v r r a u a u ⨯=≠.所以圆柱面是正则曲面.圆柱面也可以用一个坐标卡表示：(,)r u v =，2(,)\{(0,0)}u v D ∈=R . 例1.2 球面(sphere) {}22222(,,)|S x y z x y z a=++=，参数方程为(,)r θϕ(,)r u v(,)(cos cos ,cos sin ,sin )r a a a θϕϕθϕθϕ=，222(,)(0,2)(,)ππθϕπ∈⨯-⊂R . (1.16)其中0a >. 由于(cos sin ,cos cos ,0)r a θϕθϕθ=-，(sin cos ,sin sin ,cos )r a ϕϕθϕθϕ=--，2cos (cos cos ,cos sin ,sin )0u v r r a ϕϕθϕθϕ⨯=≠，所以球面是正则曲面.问题：球面至少需要几个坐标卡才能将它覆盖？(参见习题2)例1.3 旋转面(revolution surface)设:(),()((,))C x f v z g v v a b ==∈是xOz 平面上一条曲线，其中()0f v >. 将C 绕z 轴旋转得到的旋转面S 参数方程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，2(,)(0,2)(,)u v a b π∈⨯⊂R . (1.18) 旋转面S 上的u -曲线称为纬线圆，v -曲线称为经线. 因为()()sin ,cos ,0u r f v u u =-，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''⨯=-，||(u v r r f v ⨯=所以当C 是正则曲线，并且()0f v >时，S 是正则曲面.(,)r u v设两条直线1L 和2L 垂直相交. 将直线1L 一方面绕2L 作匀速转动，同时沿2L 作匀速滑动，1L 的运动轨迹叫做正螺面(螺旋面). 取初始位置的直线1L 为x 轴，2L 为z 轴，建立右手直角坐标系. 则正螺面的参数方程为()(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =，2(,)u v ∈R . (1.19)由()cos ,sin ,0u r v v =，()sin ,cos ,v r u v u v a =-，()sin ,cos ,0u v r r a v a v u ⨯=-≠可知正螺面是正则曲面.例1.5 直纹面(ruled surface)简单来说，直纹面就是由单参数直线族{}|(,)u l u a b ∈构成的曲面.设:()C a a u = ((,)u a b ∈)是一条空间正则曲线. 在C 上对应于参数(,)u a b ∈的每一点有一()a u ()a u条直线u L ，其方向向量为()l u . 这条直线的参数方程可以写成:(;)()()u L r v u a u vl u =+.让u 在区间(,)a b 内变动，所有这些直线就拼成一个曲面S ，称为直纹面. 它的参数方程为(,)()()r r u v a u vl u ==+，(,)(,)u v a b ∈⨯R . (1.20)曲线C 称为该直纹面的准线(directrix)，而这个单参数直线族中的每一条直线u L 都称为直纹面的一条直母线(generating line)，也就是直纹面S 的v -曲线.为了保证直纹面的正则性，要求()()()0u v r r a u vl u l u ''⎡⎤⨯=+⨯≠⎣⎦. (1.21)因为直母线的方向向量()0l u ≠，通过参数变换u u =，|()|v v l u =，可设|()|1l u ≡.再通过选取新的准线:()()()()C a u a u u l u λ=+，其中()u λ是待定的函数，使得直母线处处与准线垂直相交，即()()0a u l u '⋅≡. 因为()a l a l l l a l λλλ''''''⋅=++⋅=⋅+，只须取()()()u a u l u du λ'=-⋅⎰即可.1. 当()l u c =为常向量时，所有的直母线互相平行，直纹面S 称为柱面(cylindrical surface).2. 当所有的直母线都经过一个定点时，直纹面S 称为锥面(cone).3. 当()//()l u a u '时，S 称为切线曲面(tangent surface)，由准线:()C a a u =的所有切线构成. 这3种直纹面有共同的特征，在§3.6还要进一步讨论.课外作业：习题2，5§ 3.2 切平面和法线一、曲面的切空间，切平面和法线设:(,)S r r u v =是3E 中一个正则曲面，(,)u v ∈Ω是曲面上点的曲纹坐标. 设00(,)p u v 是S上任意一个固定点. 则S 上过p 点的一条可微(参数)曲线:()C r a t =可以表示为:(,):()((),())a r S t a t r u t v t αδδ=-→=， (2.2)其中():(,):(),()t u t v t αδδ-→Ω (2.1)是Ω中一条可微曲线(不一定是正则曲线)，满足0(0)u u =，0(0)v v =. 因此00(0)((0),(0))(,)r r u v r u v α==，正是p 点的位置向量. 曲线C 在p 点的切向量为0000(0)(,)(0)(,)(0)u v a r u v u r u v v '''=+. (2.3)定义 2.1 曲面S 上过00(,)p u v 点的任意一条连续可微曲线在该点的切向量称为曲面S 在p 点的一个切向量(tangent vector).命题曲面S 在p 点的切向量全体记为p T S ，它是一个2维实向量空间，{}0000(,),(,)u v r u v r u v 是p T S 的一个基. 事实上，{}0000(,)(,)|,p u v T S ar u v br u v a b =+∈，称为曲面S 在p 点的切空间(tangent space).证明记{}0000(,)(,)|,u v V ar u v br u v a b =+∈. 由(2.3)可见p T S V ⊆. 反之，对任意0000(,)(,)u v X ar u v br u v V =+∈，令00()(,)a t r u at v bt =++. 则()a t 是过00(,)p u v 的可微曲线，并且0000(0)(,)(,)u v a ar u v br u v X '=+=.所以p X T S ∈. 因此p V T S ⊆，从而p T S V =.显然V 按照向量的加法和数乘构成一个向量空间. 由于0000(,),(,)u v r u v r u v 线性无关，它们构成V 的基. □在空间3E 中，经过点(,)p u v S ∈，以两个不共线向量(,),(,)u v r u v r u v 为方向向量的平面称为曲面S 在p 点的切平面(tangent plane). 切平面的参数方程为(,)(,)(,)(,)u v X r u v r u v r u v λμλμ=++，2(,)λμ∈. (2.6) 它的单位法向量(unit normal vector)为(,)(,)||u v u v r r n u v u v r r ⨯=⨯. (2.7) 经过点(,)p u v S ∈且垂直于S 在p 点的切平面的直线称为曲面S 在p 点的法线(normal line). 它的参数方程为()(,)(,)X t r u v t n u v =+，t ∈. (2.8)曲面S 在p 点的切空间、切平面、法线这三个概念都是与参数选择无关的几何概念. (为什么？) 曲面上的自然标架：{}(,);(,),(.),(,)u v r u v r u v r u v n u v .r 00(,)r u v v =设3D E ⊂是一个区域，(,,)f x y z 是定义在D 上的连续可微函数. 对于一个常数c ∈，集合{}13()(,,)|(,,)f c x y z E f x y z c -=∈=称为函数f 的等值面. 如果在1()f c -的每一点，都有():,,0x y z f f f f ∇=≠， (2.9)则等值面1()fc -是一个正则曲面. 事实上，设在1000(,,)()p x y z f c -∈，有000(,,)0z f x y z ≠，则方程 (,,)f x y z c = (2.10)在p 点的邻近确定了一个隐函数(,)z g x y =，使得(,,(,))f x y g x y c =，,x y ∀.于是等值面1()f c -局部地可以用参数方程表示为()(,),,(,)r r x y x y g x y ==. (2.11)由于(),,10x y x y r r g g ⨯=--≠，等值面1()f c -是正则曲面.在等值面上每一点p ，梯度向量(,,(,))f x y g x y ∇是一个法向量，即是与切平面垂直的向量.事实上，由(2.11)可得切空间的基底{}(1,0,),(0,1,)x x y y r g r g ==. 由(2.10)两边分别对,x y 求偏导数并注意(,)z g x y =，得0x z x f f g +=，0y z y f f g +=，即有 ()(),,1,0,0x y z x f f f g ⋅=，()(),,0,1,0x y z y f f f g ⋅=.三、微分dr 的几何意义设曲面S 的参数方程为(,)r r u v =. 微分得到(,)(,)(,)u v dr u v r u v du r u v dv =+. (2.13)将,,,u v du dv 看作4个独立的变量，则对于(2.13)中,du dv 的不同取值，就得到不同的切向量.有时也用比值:du dv 来表示曲面上的一个切方向. 自然，这时要求,du dv 不能全为0.变量,du dv 是切向量(,)dr u v 关于切空间p T S 的基底{}(,),(,)u v r u v r u v 的分量，因此是向量空间p T S 上的线性函数，即,p du dv T S *∈(对偶空间). 事实上，按照定义 121::()p u vdu T S R X X r X r du X X →=+=. nu r vr同理，2()dv X X =.注. 由于切空间的自然基底{},u v r r 一般不是单位正交的，在把(,)du dv 看作切向量在这个基底下的分量计算内积时，不能将它当作笛卡尔坐标系下的分量来进行运算，而应当顾及自然基底{},u v r r 的度量系数(参看下一节). 课外作业：习题1，3，5.§ 3.3 第一基本形式设:(,)S r r u v =是3E 中一个正则参数曲面. 则(,)(,)(,)u v dr u v r u v du r u v dv =+ (3.1)是曲面上任意一点(,)r u v 处的切向量，这个向量作为3E 中的向量可以计算它的长度. 令()(,)(,)(,):(,)u u u u E u v r u v r u v r r u v =⋅=⋅，()()(,)(,)(,)u v vu F u v r r u v r r u v =⋅=⋅，()(,)(,)v v G u v r r u v =⋅. (3.2)这三个函数,,E F G 称为曲面S 的第一类基本量. 而矩阵E F F G ⎛⎫⎪⎝⎭(3.3) 称为切空间(关于基底{},u v r r )的度量矩阵(metric matrix). 由于3E 的度量是正定的，这是一个正定矩阵. 事实上，它的2个顺序主子式均0>：0u u E r r =⋅>，()()()2220u u v v u v u v EG F r r r r r r r r -=⋅⋅-⋅=⨯>. (Lagrange 恒等式)利用第一类基本量,,E F G 的定义，有222()2u v dr dr r du r dv Edu Fdudv Gdv ⋅=+=++.这是一个关于变量,du dv 的二次型，称为曲面S 的第一基本形式(first fundamental form)，记为22I 2(,)E F du dr dr Edu Fdudv Gdv du dv F G dv ⎛⎫⎛⎫=⋅=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. (3.4) 对曲面S 作可允许的参数变换(,)u u u v =，(,)v v u v =， (3.5) 并记(,)((,),(,))r u v r u u v v u v =. 则由微分形式的不变性得u v u v dr r du r dv r du r dv =+=+. (*)记参数变换(3.5)的Jacobi 矩阵为uv u uuv vv J ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫= ⎪⎝⎭. (3.10) 则有uv u u u u uu v v v v vv r r r J r r r ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (3.7, 3.9) ()()(),,,u v u u u v v v du dv du dv du dv J ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪⎝⎭. (3.8)因此在新的参数(),u v 下，度量矩阵成为()(),,u u T T u v u v v v r r E F E F r r J r r J J J r r F G F G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (3.12)从而第一类基本量之间的关系为()()()()()2222222,,2.u u v v u u u u u u u u v u v v vu v u v u v v u u vu u v v v v v v v E r E F G F r r E F G G r E F G ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎧==++⎪⎪=⋅=+++⎨⎪==++⎪⎩(3.13)在新的参数(),u v 下，第一基本形式保持不变：I (,)(,)(,)I T du E F du E F du E F du dv du dv J J du dv dv F G dv F G dv F G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因此第一基本形式与参数选择无关，也与3E 的标架选择无关，是一个几何量. 其实，这一结论也可由微分形式不变性，也就是(*)式直接得到：2I ||dr dr dr =⋅=.如果u v dr r du r dv =+和u v r r u r v δδδ=+是(,)r u v 处的两个切向量，则它们的内积为(,)()EF d u d r r d u d vE d u uF d u v d v uG d v vF G d v δδδδδ⎛⎫⎛⎫⋅==+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (3.15) 因此切向量u v dr r du r dv =+的长度为2||2dr Edu Fdudv =+ (3.16)两个切向量u v dr r du r dv =+和u v r r u r v δδδ=+之间的夹角(,)dr r δ∠满足2cos (,)||||22dr r dr r dr r Edu Fdudv E u F u δδδδδδ⋅∠==+++. (3.17)它们相互正交的充分必要条件是()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++=. (3.18)定理3.1 在参数曲面:(,)S r r u v =上，参数曲线网是正交曲线网0F ⇔≡. □ 对于参数曲面:(,)S r r u v =上的一条曲线:(),(),[,]C u u t v v t t a b ==∈，它的弧长为|||((),())|()b b baaaL dr r u t v t dt t dt '===⎰⎰⎰. (3.21)定义称2d σ为曲面:(,)S r r u v =, (,)u v D ∈的面积元素，称DA d σ==⎰⎰⎰⎰(3.18)为曲面S 的面积.命题曲面上曲线的弧长L ，曲面的面积元素d σ以及曲面的面积A 都是几何量.1r r ϕ=1r 1D α证明假设参数变换为1::(,)(,)D D u v u v ϕ→，其中(,),(,)u u v v v u v ==.则在新参数(,)u v 下，S 的参数方程1(,)r u v 与原参数方程(,)r u v 之间满足11(,)((,),(,))(,)r u v r u u v v u v r u v ϕ==.1. 曲线的参数方程由((),())([,])r r u t v t t a b =∈变成了1111((),())(((),()),((),()))((),())((),())r r u t v t r u u t v t v u t v t r u t v t r u t v t r ϕ=====.所以11||||b baaL dr dr L ===⎰⎰.2. 由(3.12)可见，在新参数(,)u v 下，第一类基本量,,E F G 满足()222(,)(,)T u v E F E F EG F J J EG F F G u v F G ∂⎛⎫⎛⎫-===- ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭. 其中(,)(,)u v u v ∂∂是ϕ的逆映射1ϕ-的Jacobi 行列式. 另一方面根据二重积分的变量代换公式，(,)(,)u v dudv dudv u v ∂=∂.所以在新参数(,)u v 下的面积元素(,)(,)u v d dudv dudv d u v σσ∂===∂.3. 根据二重积分的变量代换公式，有11D D DA d dudv d A σσ=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. □例1 求旋转面()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =的第一基本形式. 解 ()()sin ,cos ,0u r f v u u =-，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=. 所以2(,)()E u v f v =，0F =，22(,)()()G u v f v g v ''=+.这说明在旋转面上，经线和纬线构成正交曲线网. 第一基本形式为22222I ()[()()]f v du f v g v dv ''=++. (3.24)这说明在旋转面上经线(v -曲线)和纬线(u -曲线)构成正交参数曲线网. □例2 求曲面上参数曲线网的二等分角轨线的微分方程. 解设正则参数曲面:(,)S r r u v =的第一基本形式是22I 2Edu Fdudv Gdv =++.再设二等分角轨线的切向量为u v dr r du r dv =+.由题意，它与u -曲线的夹角要等于它与v -曲线的夹角，而u -曲线的切方向为0v δ=，v -曲线的切方向为0u δ=，所以||||||||u vu vdr r dr r dr r dr r ⋅⋅=±.将u v dr r du r dv =+和||,||u v r E r G ==代入上式，得)()Edu Fdv E Fdu Gdv +=±+，即))F du F dv -=.由于220u vEGF r r -=⨯>，即)0F F>-，所以上式可化简为0±=， (3.25)或等价地，参数曲线网的二等分角轨线的微分方程为22Edu Gdv =.□注求解一阶常微分方程初值问题du dv E=，00()u v u =(00(,)u v D ∈) 得到的解()u f v =是曲面S 上过00(,)r u v 点的一条曲线:()((),)C r v r f v v =，在C 的每一点()r v ，切方向()r v '与该点处的两条参数曲线的切方向夹角相等. 固定0v ，让初始条件0u 变动，就得到2族这样的曲线，它们就是参数曲线网的二等分角轨线.课外作业：习题2，5，8§ 3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性在正交参数曲线网下，第一基本形式比较简单：22I Edu Gdv =+. 问题：曲面上是否存在正交参数曲线网？引理设(,)(,)f u v du g u v dv ω=+是定义在区域2D ⊂上的连续可微的1次微分形式，且ω处处不为零. 则对于任意一点00(,)u v D ∈，ω在00(,)u v 的某个邻域U D ⊂内存在积分因子，即有定义在U 上的非零连续可微函数(,)u v λ，使得(,)u v λω是某个定义在U 上的连续可微函数(,)F u v 的全微分：[](,)(,)(,)(,)u v f u v du g u v du dF u v λ+=.引理的证明见附录§1定理1.2.定理 4.1 假定在曲面:(,)S r r u v =上有两个处处线性无关的、连续可微的切向量场(,)a u v ,(,)b u v . 则对每一点p S ∈，必有p 点的一个邻域U S ⊂，使得在U 上存在新的参数(,)u v ，满足//u r a ，//v r b .分析：设12u v a a r a r =+，12u v b b r b r =+. (4.2)则由,a b 线性无关可知121221120a a A a b a b b b ==-≠. (4.3) 如果这样的可允许参数变换(,),(,)u u v v u v 存在，则应有函数,λμ使得12()u v u uv u v u u r r r a a r a r λλ∂∂∂∂=+==+，12()u v v uv u v v v r r r b b r b r μμ∂∂∂∂=+==+， (4.5)即有1212u v u uuv vv a a J b b λλμμ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (4.7) 在上述等式两边取逆矩阵得221111uv u uu v vv b a Jb a A μλμλλμ∂∂∂∂-∂∂∂∂-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭. (4.8)因此逆参数变换(,),(,)u u v v u v 应满足121121(),().uu u v A v v uvAdu du dv b du b dv dv du dv a du a dv λμ∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-⎧⎪⎨=+=-+⎪⎩ (4.9)定理4.1的证明：考虑两个1次微分形式21b du b dv α=-，21a du a dv β=-+. (4.10)由引理可知存在积分因子(,),(,)u v u v ξξηη==使得,ξαηβ是全微分，即有函数(,)u u v ，(,)v u v 使得2121(),().u uu v v vu v du du dv b du b dv dv du dv a du a dv ξη∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-⎧⎨=+=-+⎩ (4.11) 由此可见2211u v u uu v vv b a b a ξηξη∂∂∂∂∂∂∂∂-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭. (4.12) 因为0uu u v v v uvA ξη∂∂∂∂∂∂∂∂=≠，参数变换(,)(,)((,),(,))u v u v u u v v u v =是可允许的. 在新的参数(,)u v 下，()()()()12121212//.u v u vu v u v u v u u v v uu v v u v u u uvuva a r a r a rr a r r aar aar Ar r ξ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++=+++=同理有//v b r . □注满足条件的新参数仅是局部存在的，并且不能使得,u v r a r b ==.定理4.2 在曲面:(,)S r r u v =上每一点p S ∈，有p 点的一个邻域U S ⊂，使得在U 上存在新的参数(,)u v ，满足0u v F r r =⋅=.证明. 取向量场,u u v a r b Fr Er ==-+. 则,a b 线性无关，且0a b ⋅=. □ 注在曲面:(,)S r r u v =上，令 11u e E =，)211(u v e b Fr Er b E EG ==-+.则{}12,e e 是曲面上的单位正交切向量场，称为{},u v r r 的Schmidt 正交化.课外作业：习题1，3§ 3.5 保长对应和保角对应一、曲面到曲面的连续可微映射设有两个曲面11111111:(,),(,)S r r u v u v D =∈和22222222:(,),(,)S r r u v u v D =∈. 因为曲面上的点p 与它的参数(曲纹坐标)是一一对应的，从曲面1S 到曲面2S 的映射12:S S ϕ→可以通过它们的参数表示出来，即有映射12:D D ψ→使得121r r ϕψ-=，或121r r ψϕ-=.ϕ31E S ⊃ 32S E ⊂1r2r2D将映射12:S S ϕ→通过它们的参数用两个函数表示出来，则有211211(,),(,).u f u v v g u v =⎧⎨=⎩ (5.1)如果(5.1)中的两个函数都是连续可微的，则称映射ϕ是连续可微的. 这一概念在曲面的可允许参数变换下保持不变，因此与这两个曲面的参数取法无关.以下总假定映射ϕ有足够的连续可微性.二、切映射设两个曲面12,S S 的参数方程分别为111(,),(,)r r u v u v D =∈和22(,)r r u v =，2(,)u v D ∈. 映射12:S S ϕ→是连续可微的，它的参数表示为121r r ϕψ-=，其中12::(,)(,)(,)((,),(,))D D u v u v u v u u v v u v ψψ→==. (5.1)’则对每一点1p S ∈，可以通过下面的方法定义一个线性映射()()1()211::p p u vT S T S X a r b r X ϕϕϕ**→=+，其中()()()()()()()1111:u v u v X a r b r a r b r ϕϕϕϕ****=+=+()()()()22222()()u v u v u u v v u v u v u v a r r b r r a b r ϕ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤=+++≡+⎣⎦⎣⎦()()()()22u u v vu v u v u va b r a b r ∂∂∂∂∂∂∂∂=+++. (5.9) 上面定义的映射ϕ*称为由连续可微映射ϕ诱导的切映射. 由上面的定义可见切映射ϕ*把11()()p u v X a b r T S ∂∂∂∂=+∈映为[]12()2()()()()p u v u v a b r a b r T S ϕϕψ∂∂∂∂*∂∂∂∂+=+∈.在(5.9)中令,a du b dv ==，可知()()1111p u v dr r du r dv T S =+∈在切映射ϕ*下的象是()()()()()()()()122222u u v vu v u vu v u v dr du dv r du dv r r du r dv d r ϕψ∂∂∂∂*∂∂∂∂=+++=+=. (5.9)’ 由于每个切向量()()111p u v X a r b r T S =+∈都是1S 上的某一过p 点的曲线:()C u u t =，()v v t = (5.2)在p 点的切向量：()01|((),())dt dt X r u t v t ==，其中00((0),(0))(,)u v u v =为p 点的曲纹坐标，且(0)u a '=，(0)v b '=(见(2.3)式)，切映射也可以用另一种方法来定义：ϕ将1S 上的曲线C 映为2S 上的曲线:()((),())C u t u u t v t =，()((),())v t v u t v t =. (5.3)定义()X ϕ*为C 在0t =处的切向量，即[][]0202()|((),())|(((),()),((),())ddt t dt dtX r u t v t r u u t v t v u t v t ϕ*==== (5.5) ()[]()[]22(0)(0)(0)(0)u u v v u v u v u v r u v ru v ∂∂∂∂∂∂∂∂''''=+++ 1D ψ()()()()22u u v vu v u v u va b r a b r ∂∂∂∂∂∂∂∂=+++. (5.4) 在(5.3)’中分别取(,)(1,0)a b =和(,)(0,1)a b =，可得()()()()()()1122,,u uu v u v u v v v u v r r r r ϕ∂∂∂∂*∂∂∂∂⎛⎫= ⎪⎝⎭. (5.7) 因此切映射ϕ*在自然基()(){}11,u v r r 下的矩阵恰好是映射ψ的Jacobi 矩阵. 由此可知在p 点切映射1()2:p p T S T S ϕϕ*→是线性同构，当且仅当在p 点映射(5.1)’的Jacobi 行列式(,)0(,)pu v u v ∂≠∂.定理5.1 设映射12:S S ϕ→是(3次以上)连续可微的. 如果在p 点切映射1()2:p p T S T S ϕϕ*→是线性同构，则分别有p 点的邻域11U S ⊂和()p ϕ点的邻域22U S ⊂，12()U U ϕ⊂，以及12,U U 上的参数系11(,)u v 和22(,)u v ，使得映射1|U ϕ的参数表示为12112211id ::(,)(,)(,)u v u v u v ψ=Ω→Ω=，其中11111222(),()r U r U --Ω=Ω=. 这种参数系称为映射ϕ的适用参数系.证明设12,S S 的参数方程分别为11(,)r r u v =和22(,)r r u v =，ϕ的参数表示为12::(,)(,)(,)((,),(,))D D u v u v u v u u v v u v ψψ→==.由条件，(,)0(,)pu v u v ∂≠∂. 设p 点的曲纹坐标为00(,)u v ，()p ϕ点的曲纹坐标为00(,)u v .由于(,)(,)u v u v ∂∂是连续的，存在00(,)u v 在1D 中的邻域11D Ω⊂，使得在1Ω上(,)0(,)u v u v ∂≠∂，且在1Ω上1|ψΩ有连续可微的反函数121::(,)(,)((,),(,))u v u v u u v v u v ψ-Ω→Ω=，其中212()D ψΩ=Ω⊂是00(,)u v 在2Ω中的邻域. 在1Ω上对曲面1111()U r S =Ω⊂作参数变换11,u u v v ==. 在2'Ω上对曲面2222()U rS '=Ω⊂作参数变换22(,),(,)u u u v v v u v ==. 则在新的参数下，ϕ的参数表示为112112211::(,)(,)((,),(,)(,)(,)(,)u v u v u u v v u v u v u v u v ψψ-Ω→Ω====.11S U ⊃ 22U S ⊂1r 2r(,)u v 11D ⊃Ω 22D Ω⊂ (,)u v|| || 1ψ-1ψ-1Ω三、保长对应(等距对应)设12:S S ϕ→是连续可微映射，(,)u v 和(,)u v 分别是12,S S 的曲纹坐标.ϕ的参数表示为(,),(,)u u u v v v u v ==.因为ψ1|Uϕ1Ωψ11(,)u v 22(,)(,)u v u v =(,)(,):(,)u v uu uv vvdu dv du dv du dv J ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪⎝⎭，对于曲面2S 上的任意一个二次微分式22(,)2(,)(,)(,)du A B A u v du B u v dudv C u v dv du dv dv B C ω⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (5.11)我们可定义曲面1S 上的一个二次微分式22T (,)2(,)(,)(,)du A B A u v du B u v dudv C u v dv du dv J J dv B C ϕω*⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (5.12)其中u vu u u v v v J ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫= ⎪⎝⎭，T u v uuuu uv u v v v v vuvA B A B A B J J B C B C B C ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (5.15) 其中,,A B C 作为复合函数，是,u v 的函数，即()()()()()()()22(,)(,),(,)(,)2(,),(,)(,)(,)(,),(,)(,),u u vu u uvuA u v A u u v v u v u vB u u v v u v u v u vC u u v v u v u v ∂∂∂∂∂∂∂∂=++()()()()()()()()(,)((,),(,))(,)(,)((,),(,))[(,)(,)(,)(,)]((,),(,))(,)(,),u u u vu v v uuv v v uvuvB u v A u u v v u v u v u v B u u v v u v u v u v u v u vC u u v v u v u v u v ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++(5.13)()()()()()()()22(,)(,),(,)(,)2(,),(,)(,)(,)(,),(,)(,).u u vv v vvvC u v A u u v v u v u v B u u v v u v u v u v C u u v v u v u v ∂∂∂∂∂∂∂∂=++二次微分式ϕω*称为2S 上的二次微分式ω经过映射ϕ拉回(pull back)到1S 上的二次微分式. 简单来说，ϕω*就是将(,)(,)(,)uv uu uv vvdu dv du dv J du dv ∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫== ⎪⎝⎭代入(5.11)右端而得.例曲面2S 上的第一基本形式222I 2Edu Fdudv Gdv =++是一个二次微分式. 拉回到1S 上，()()()222T (I )2(,)(,).A du B dudv C u v dv du A B du dv J J dv B C ϕψψψψψψψ*=++⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()()222222I u v dr r du r dv ⎡⎤==+⎣⎦，上式可以简单地写成()222(I )d r ϕψ*=⎡⎤⎣⎦ (*)定义5.1设映射12:S S ϕ→是3次以上连续可微的. 如果对每一点1p S ∈，切映射ϕ*都保持切向量的长度，即X X ϕ*=，1p X T S ∀∈，1p S ∀∈.则称ϕ是从1S 到2S 的保长对应(correspondence preserving length)，或称等距对应(isometry ).注1. 保持向量长度的线性映射一定保持内积，因此若12:S S ϕ→是等距对应，则有()()X Y X Y ϕϕ**⋅=⋅，1,p X Y T S ∀∈，1p S ∀∈.反之，保持内积的线性映射也一定保持向量的长度. 而且，保长对应也保持连续可微曲线的弧长，即有()(())L C L C ϕ=.注 2. 保持内积的线性映射必定是线性同构. 因此对于保长对应ϕ，在每一点1p S ∈，切映射1()2:p p T S T S ϕϕ*→都是线性同构，从而局部地ϕ是微分同胚，存在适用参数系.由(5.9)’可知()()()()2122(,)u v r dr du dv J d r r ψϕψψ*⎛⎫⎪== ⎪⎝⎭. 利用(*)得到()()()112I dr dr ϕϕϕ***⋅=，其中222I 2Edu Fdudv Gdv =++是2S 的第一基本形式. 于是有定理5.2设映射12:S S ϕ→是3次以上连续可微的. 则ϕ是等距对应的充分必要条件是()()()()()211111I I dr dr dr dr ϕϕϕ***=⋅=⋅=，即在对应点，成立T uvuuuuuvu v v v v v uv E F E F E F J J F G F G F G ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. □ (5.20) 将上式按矩阵乘法算出来，可以得到类似于(5.13)的等式. 如果已知2个曲面12,S S ，是否存在等距对应12:S S ϕ→？这相当于已知(5.20)中的函数,,,,,E F G E F G ，求解未知函数(,)u u u v =，(,)v v u v =，使得(5.20)成立. 但是(5.20)是非线性一阶偏微分方程组，一般来说求解非常困难.利用定理5.1，定理5.2和上面的注1，注2容易得到定理5.3 曲面1S 和2S 之间存在保长对应的充分必要条件是，可以在1S 和2S 上选取适当的相同参数系(,)u v ，使得在这个参数系下1S 和2S 有相同的第一基本形式. □例5.1 证明：螺旋面1S : 1(cos ,sin ,)r u v u v u v =+，2(,)u v ∈与单叶旋转双曲面2:S 2(cos ,sin r ρθρθ=，(,)(1,)(0,2)ρθπ∈∞⨯之间可以建立等距对应.证明计算得到1S 和2S 的第一基本形式分别为2221I 22(1)du dudv u dv =+++，22222221I 1d d ρρρθρ-=+-.对1S 作参数变换,arctan u u v u v ==+，这是可允许参数变换. 则22222221222112I 2(1)(1)111du u du u dv duu dv u u u +⎛⎫⎛⎫=-+++=++ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 对2S 作参数变换v ρθ==. 则22222212221I (1)I 1u u du u dv u u ⎛⎫+=++= ⎪+⎝⎭.等距对应12:S S ϕ→的参数表示为arctan u v ρθ==+. □四、保角对应(共形对应)定义5.2设映射12:S S ϕ→是三次以上连续可微的一一对应. 如果()(),,X Y X Y ϕϕ**∠=∠，1,p X Y T S ∀∈，1p S ∀∈， (5.22)其中0,0X Y ≠≠，则称ϕ是从1S 到2S 的保角对应，或称共形对应(conformal correspondence ).注对于保角对应ϕ，在每一点1p S ∈，切映射1()2:p p T S T S ϕϕ*→都是线性同构，否则(),X Y ϕϕ**∠无意义. 因此可以选取适用参数系(,)u v 使得映射ϕ就是具有相同参数的点之间的对应.引理设,V W 是两个欧氏空间(即带有内积,⋅⋅的实向量空间)，:V W →A 是线性同构. 如果A 保持向量之间的夹角：(,)(,),,u v u v u v V ∠=∠∀∈A A ，则λ+∃∈，使得2,,,,u v V u v u v λ=∀∈A A . (1)反之，若λ+∃∈，使得(1)成立，则A 保持向量之间的夹角.证明取V 的单位正交基{}1,,n e e . 因为A 是同构，{}1,,n e e A A 是W 的基，且两两正交.令||0i i a e =>A ， 1||i i i e e e =A A ， 1,2,i n =. 则{}1,,n e e 是W 的单位正交基，且i i i e a e =A ， 1,2,i n =. (2)对于i j ≠，由条件，有(,)(,)i j i i i j j i i e e e a e a e a e ∠+=∠+，所以,,||||||||i j i i i j j i i i j i i i j j i i e e e a e a e a e e e e a e a e a e ++===++. 这说明1:0n a a λ===>. 于是对1n i i i u u e V =∀=∈∑，有11n ni i i i i i u u e u e λ====∑∑A A ，从而(1)成立.反之，设(1)成立. 则2,,u u u u λ=A A ，2,,v v v v λ=A A ，2,,u v u v λ=A A , ,u v V ∀∈. (3)从而对任意两个非零向量,u v V ∈，有,,cos (,)cos (,)||||||||u v u vu v u v u v u v ∠===∠A A A A A A . □推论设映射12:S S ϕ→是三次以上连续可微的一一对应. 则ϕ是保角对应的充分必要条件是存在1S 上的正的连续函数1::()S p p λλ+→，使得()()()2(,)X Y u v X Y ϕϕλ**⋅=⋅，1,p X Y T S ∀∈，1p S ∀∈， (5.22)’其中(,)u v 是p 点的曲纹坐标.当函数1λ≡时，ϕ其实就是保长对应. 像前面一样，条件(5.22)’等价于()()()()()22211111I I dr dr dr dr ϕϕϕλλ***=⋅=⋅=， (5.23)件是存在1S 上的正的连续函数1:S λ+→，使得221I I ϕλ*=， (5.23)其中1I ，2I 分别是1S ，2S 的第一基本形式. □定理5.5 任意正则参数曲面S 必局部共形于平面，即S 上任意一点p 都有一个邻域U 可以与平面上的一个区域建立共形对应. 由此可知任意两个正则参数曲面都可以建立局部共形对应.推论任意正则曲面S 上均存在局部的等温坐标系，即，局部地可选取参数(,)u v 使得222I ()du dv λ=+，其中(,)u v λλ=是局部定义的函数.定理5.5的证明从略. 但是上面的推论是非常重要的，是研究参数曲面常用的方法.例5.2 球面的Mercator 投影课外作业：习题1§ 3.6 可展曲面本节研究一类特殊的直纹面，它们都能够与平面建立局部的等距对应.考虑下面的三种直纹面：1. 柱面(,)()r u v a u vl =+，其中0l ≠是常向量，(,)(,)u v a b ∈⨯.2. 锥面(,)()r u v a vl u =+，其中a 是常向量，(,)(,)(0,)u v a b ∈⨯∞.3. 切线曲面(,)()()r u v a u va u '=+，其中(,)(,)(0,)u v a b ∈⨯∞，()()0a u a u '''⨯≠. 它们的单位法向量分别是 1. ()|()|a u l n a u l '⨯='⨯；2. ()()|()()|l u l u n l u l u '⨯='⨯；3. ()()|()()|a u a u n a u a u '''⨯='''⨯. 这说明这三种直纹面有相同的特点：沿着一条直母线0u u =切平面相互重合. 定义6.1 设S 为直纹面. 如果它的切平面沿每一条直母线是不变的，则称S 为可展曲面. 定理6.1 设直纹面S 的方程为(,)()()r u v a u vl u =+. 则S 是可展曲面的充要条件是()(),(),()0,a u l u l u u ''=∀. (6.1)证明因为(,)()(),(,)()u v r u v a u vl u r u v l u ''=+=，所以()u v r r a vl l a l vl l ''''⨯=+⨯=⨯+⨯. 由定义，S 是可展曲面的充要条件是：对0u ∀，沿着直母线0u u =，向量0(,)u v r r u v ⨯具有固定方向. 由第一章定理2，这等价于[][]00(,)(,)0d u v u v dv r r u v r r u v ⨯⨯⨯=，即000000()()()()()()0a u l u vl u l u l u l u '''⎡⎤⎡⎤⨯+⨯⨯⨯=⎣⎦⎣⎦，也就是0000()()()()0a u l u l u l u ''⎡⎤⎡⎤⨯⨯⨯=⎣⎦⎣⎦.用二重外积公式将上式左端展开，得()0000(),(),()()0a u l u l u l u ''=. 所以上式等价于()0000(),(),()0,a u l u l u u ''=∀ 这就是(6.1). □注1 如果直纹面S 上有2族不同的直母线，那么S 只能是单叶双曲面，双曲抛物面或平面. 单叶双曲面2222221y x z a b c =+-，参数方程为 ()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =-+()()c o s ,s i n ,0s i n ,c o s ,a u b u v au b u c =+-. 双曲抛物面22222y x a bz -=，参数方程为 ()()()(,)(),(),2,,0,,2r u v a u v b u v uv au bu v a b u =+-=+-.注2 条件(6.1)与准线取法无关，也与直母线方向向量的长度无关.定理6.2 局部来说，可展曲面只有柱面、锥面和切线曲面这三类.证明设S 是可展曲面. 则S 是直纹面. 选取直母线的方向向量()l u 为单位向量，并且准线()a u 处处与直母线垂直，即S 的参数方程为(,)()()r u v a u vl u =+，其中|()|1l u ≡，()()0a u l u '⋅≡. 由定理6.1，有()(),(),()0,a u l u l u u ''=∀.即(),(),()a u l u l u ''处处线性相关.如果()()0l u l u '⨯≡，则由()()0l u l u '⋅≡可知()l u 是常向量. 此时S 是柱面.假设()()0l u l u '⨯≠. 则()a u '可用(),()l u l u '线性表示. 由()()0a u l u '⋅≡得到()()()a u u l u λ''=. (6.2) 令()()()()b u a u u l u λ=-. (6.3)则()[()]()r b u v u l u λ=++.由(6.2)，(6.3)得()()()b u u l u λ''=-.如果()0b u '≡，则()b u c =是常向量，从而S 是锥面：(,)()r r u v c v l u ==+，其中()v v u λ=+.如果()0b u '≠，则()b u 是正则曲线，并且()0u λ'≠，从而S 是切线曲面：(,)()()r r u v b u vb u '==+，其中[()]/()v v u u λλ'=-+. □定理6.3 局部地，可展曲面可以与平面建立保长对应.证明根据定理6.2，可展曲面只有柱面，锥面和切线曲面三类. 下面分别证明它们都可以与平面建立保长对应.1. 柱面(,)()r u v a u vl =+，(,)(,)u v a b ∈⨯.取单位常向量l 为直母线的方向向量，u 为准线C 的弧长参数，并且准线()a u 处处与直母线垂直，即柱面的方程为 l v u a v u r +=)(),(，其中1||=l ，0=⋅l a . 于是由a r u =，l r v =可得1||2==a E ，0=⋅=l a F ，1||2==l G . 所以第一基本形式为22I dv du +=. 它与xOy 平面)0,,(v u r = 有相同的第一基本形式.2. 锥面(,)()r u v a vl u =+，(,)(,)(0,)u v a b ∈⨯∞. 取)(u l 为单位向量，即1|)(|≡u l . 则有0)()(='⋅u l u l . 于是由)(u l v r u '= ，)(u l r v =可得22|)(|u l v E '= ，0=⋅'=l l F ，1||2==l G . 所以第一基本形式为 2222|)(|I dv du u l v +'= . 由于0|)(|≠'u l (否则锥面退化为一条直线)，可作参数变换⎰'=du u l u |)(| ，v v =. 则第一基本形式化为222I v d u d v +=. 它与xOy 平面)0,sin ,cos (u v u v r =有相同的第一基本形式. 3. 切线曲面:S (,)()()r u v a u va u '=+，其中(,)(,)(0,)u v a b ∈⨯∞，()()0a u a u '''⨯≠.取u 为准线)(:u a a C =的弧长参数，它的Frenet 标架为{}γβα ,,;a ，曲率为κ.由βκα v r u +=，α =v r 可得)(122u v E κ+=，G F ==1. 所以第一基本形式为22222))(1(I dv dudv du u v +++=κ. (*) 根据曲线论基本定理，存在平面曲线)0),(),(()(:11u y u x u a C = ，以u 为弧长参数，以)(u κ为曲率.显然1C 的切线曲面1S 是平面的一部分. 另一方面按照上面同样的方法，1S 的第一基本形式也是(*). 所以S 与1S 是等距的. □。

微积分讲义

《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念：f＝A要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。

二、函数极限存在的充分必要条件：f＝A f＝A，f＝A例：判定是否存在？三、极限的四则运算法则⑴＝f±g⑵＝f·g⑶＝……g≠0⑷k·f＝k· f四、例：⑴⑵⑶⑷五、两个重要极限⑴＝1 ＝1⑵＝e ＝e ………型理论依据：⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，则：limg＝A⑵单调有界数列必有极限。

例题：⑴＝⑵＝⑶＝⑷＝⑸＝六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。

2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。

3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。

4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）七、函数的连续性1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量x：⑴x0时，y0。

即：y＝0⑵f＝f⑶左连续：f＝f右连续：f＝f2、函数y＝f在区间上连续。

3、连续函数的性质：⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、（g()≠0）在点处连续。

⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，则复合函数f(j(x)) 在点处连续。

例：＝＝＝4、函数的间断点：⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。

⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。

⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。

5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。

⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。

例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。

第二章一元函数微分学一、导数1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f＝A f'＝A ……y'，，。

2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。

3、基本初等函数的导数公式：⑴＝0⑵＝n·⑶＝，＝⑷＝·lnɑ，＝⑸＝cosx，＝－sinx＝x，＝－＝secx·tanx，＝－cscx·cotx⑹＝－＝－4、导数的运算：⑴、四则运算法则：＝±＝·g(x)＋f(x)·＝例：求下列函数的导数y＝2－5＋3x－7f(x)＝＋4cosx－siny＝⑵、复合函数的求导法则：yu，uv，vw，wx yx'＝''''例：y＝lntanxy＝lny＝arcsin⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y的式子，先对y求导，然后y再对x求导。

1微积分的起源

公元前5世纪，芝诺发表态了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他 100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10,乌龟仍然前于他10米。当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100 ，乌龟仍然前于他1米…… 芝诺解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。芝诺悖论症结何在？
中国已具备了17世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。
三、芝诺悖论对“无限”的恐惧
三、芝诺悖论对“无限”的恐惧
古人对无穷已有了较深刻认识，然而人们对无限的认识是缺乏严密的逻辑基础的。对于只熟知有限概念的人们来说“无限”这一概念仍然是陌生与神秘的。芝诺悖论的提出清楚地表明了这一点。
1 2 1 2 S S (t1 ) S (t0 ) gt1 gt0 2 2 1 1 2 2 g[(t0 t ) t0 ] g[2t0 t (t ) 2 ] 2 2
2
S t
。
∴
S 1 gt0 g (t ) t 2
（*）
当 t 变成无穷小时，右端的
1734年，大主教贝克莱写了本《分析学家》的小册子，在这本小册子中，他十分有效地揭示了无穷小分析方法中所包含的这种逻辑矛盾。
31
例如，设自由落体在时间 t 下落的距离为 S (t ) ， 1 2 有公式 S (t ) gt，其中 g 是固定的重力加速度。我

曲面论_二_Gauss_Bonnet公式陈省身_微积分及其应用_之第五讲

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高等数学研究
2005 年 1 月
了。因为你的曲面是 2 维的空间, 所以对于两个变数, 即曲面的参数 u, v, 你要对 u 求偏微分, 对 v 求偏微分, 这里头有很多偏微分 , 而用外微分就简单多了。但是他不采用外微分 , 这是很奇怪的事情。 Darboux 是发现一次外微分式的第一人 , 另一个是 Fro benius。他们两人最早发现这个东西, 但是等到应用到曲面研究的时候 , 不知道为什么, 他没有用。也许是由于传统的关系 , 他写了外微分之后 , 谁都不懂 , 所以他也就不用外微分了。我刚才讲了 , 在 1941 年, 我刚巧在昆明教这个课。我很自然地想, 为什么不用外微分呢 ?所以 , 我就用外微分想法做 Darbo ux 所做的工作 , 或者说至少做曲面论和一些几何的讨论。我采用外微分, 因此我得到了一个很好的了解。 ( ) 曲面论基本内容的回顾什么叫外微分呢 ?你发现曲面是一个 2 维的流形, 它在普通空间里是 2 维的 , 所以其上任意一个点有两个变数 , 通常就叫做参数。但是现在呢, 我们就叫它局部坐标 u, v 。因此它的坐标是 2 个变数的函数 , 所以是这个条件使它在每一点有一个切平面。这个切平面当然很要紧 , 因为我们没有法子研究复杂的图形。我们只能研究最简单的如直线 , 平面这些东西。切平面跟曲面有最密切的关系。那么, 单说密切的关系不够, 一定要解析地解决更深刻的一些问题。有一个切平面。这个切平面上是 2 维的 , 于是其上每一点都有许多矢量, 也就是切矢量, 切矢量就是跟这个曲面相切的矢量。因为这个曲面是在 Euclid 空间里头 , 所以我可以讲这个矢量的长度。为简单起见, 我限于讨论长度等于 1 的矢量 , 即单位矢量 , 所以有一圈单位切矢量。跟这些单位切矢量垂直的有另外一个矢量, 我们假定它是取成单位的, 那么这个矢量我们叫做单位法适量。要注意的是这里就有一个几何现象发生了, 因为假使这个曲面弄平了的话 , 单位法矢量可以向上走 , 也可以向下走 , 换句话说, 这个曲面除了是一个 2 维的流形之外 , 它还有一个定向: 在曲面上你是顺方向转 , 还是跟逆方向转, 这个转动是很不一样的。所以, 你要定怎么样子转动是顺方向 , 这就是要给曲面一个定向 , 定向有了之后 , 它的单位法矢量就定了, 单位法矢量在这个方向可以向上走 , 也可以向下走。定了一个之后, 这个曲面也就定向了。这是很重要的一个观念。虽然相差的只是一个符号, 但是这是一个很重要的观念。 Mobius 是德国伟大的几何学家。因为你要定向, M obius 发现有一些曲面不能定向, 这当然是很有意思的一件事情。你们大家都知道的这个图形 , 就是拿一张纸, 把它转一圈连起来的话, 就得到所谓的 Mo bius 曲面 , 它没法子定向 , 这是几何上很有意思的一件事情。那么我们假定曲面已经确定了一个方向。有了这样定向的曲面后, 几何情况是怎么样的呢 ?由单位法矢量 e3 , 其中 e3 是在 3 维空间, 你发现有一件事实, 就是说你单独讨论曲面不够, 你一定要利用曲面上的单位切矢量, 我称之为 e1 。这样我就有了一个标架, 它有了第一个单位矢量和第三个单位矢量。如果空间是定向的 , 第二个单位矢量 e2 = e3 e1 也就完全确定了。所以我就有个单位标架, 单位标架就是具有一定次序的三个单位矢量, 且它们之间是互相垂直的。单位标架在几何研究中很重要 , 因为几何是根据运动群研究空间在运动之下不变的几何性质 , 而这运动群就是标架所成的空间。有一个并且只有一个运动把一个标架变为其它的标架。至于全体的单位标架跟这个运动群的元素成一一对应, 而且对应保持拓扑和一切的性质, 所以运动群很要紧。空间的运动在解析的情况之下难以处理, 而有了标架之后 , 就可以处理了。标架就是矢量 , 而矢量一般是有 3 个分量的矢量, 而每一个分量是函数 , 就可以把它微分、加、减什么的。矢量有加、减的运算 , 也有微分的运算。在某种意义下, 还可以有积分的运算。所以我现在就可以微分。我研究曲面的时候, 不只一个标架 , 那么在曲面的每点, 这样的标架有多少呢? 假使你晓得 e 1 的话 , 同时这个曲面是定向的 , 这个标架就完全定了。 e 1 是什么呢 ?是这个曲面在这一点的单位切矢量, 那么这个曲面有多少单位切矢量呢 ?每点有一圈在切平面上头等于单位矢量 , 而曲面是 2 维的 ,

陈省身

陈省身R．S．帕勒斯滕楚莲(美国波士顿东北大学)陈省身 1911年10月28日①(①依确认的“阴历辛亥年九月初七日”(见文献[2]第2页)，即为此日．)生于浙江嘉兴．微分几何、拓扑学．早年陈省身的父亲陈宝桢是晚清秀才，后毕业于浙江法政专门学校，在司法界服务．母亲韩梅，弟陈家麟，姊陈瑶华，妹陈玉华．因为祖母钟爱，不放心陈省身进小学，由他的姑母在家教他国文．他的父亲在外地做事，不常在家．有一年，父亲回来，教他认阿拉伯数字，学四则运算．父亲走后，陈省身做了很多数学习题．因此，他虽然没有上过初小，却能在9岁时轻易地通过考试进入秀州中学附属小学五年级．1922年，陈宝桢在天津供职，决定把全家接到天津．陈省身进天津扶轮中学，仍然喜欢数学，觉得它既容易又有趣，做了H．S．霍尔(Hall)及S．R．奈特(Knight)的高等代数及G．A．温特沃思(Wentworth)和D．E．史密斯(Smith)的几何学和三角学书中的大量习题．他也喜欢看小说和写文章．1926—1930，南开大学15岁时，陈省身考入天津南开大学学习数学．他的老师姜立夫对他的读书态度有很大影响．姜立夫是哈佛大学的数学博士(指导教授是J．L．库利奇(Coolidge))．当时全中国只有几个数学博士，而姜立夫的教学态度很严谨，总是布置很多习题，并且亲自批改作业，使学生获益极多，觉得数学非常有趣又有前途．1930—1934，清华研究院30年代，很多在国外获得博士学位的留学生陆续回国任教．虽然各大学的数学系的水准有提高，但陈省身觉得那时的教学颇象学徒制，很少鼓励学生自己创新，所以要在数学上有长进，必须出国深造．因陈省身的父母无法供他出国念书，只有考公费．当时清华研究院规定，毕业后成绩优异者可以公费留学．所以陈省身在1930年从南开大学毕业后考进清华研究院．那时研究院的四位教授是熊庆来、孙光远、杨武之(杨振宁的父亲)和郑之蕃(后来成为陈省身的岳父)．陈省身随孙光远念投影微分几何．陈省身在南开大学时上过姜立夫开的空间曲线、曲面论的课，用的是W．J．E．布拉施克(Blaschke)的书．他觉得这门课深奥奇妙，所以当布拉施克在1932年到北平访问时，陈省身听了他的全部六个关于网络几何的演讲．陈省身在1934年从清华研究院毕业时得到两年的留美公费．因受布拉施克的影响，陈省身要求清华研究院让他去德国汉堡大学．当时数学系的代理系主任杨武之帮他安排去德国留学．当时正值希特勒当权，驱逐大学里的犹太籍教授．因汉堡大学刚成立不久，幸而比较安静，成为一个研究数学的好地方．1934—1936，汉堡大学陈省身在1934年9月到达汉堡大学，随布拉施克研究几何，论文的内容是嘉当方法在微分几何中的应用，在1936年2月得到科学博士学位．因为布拉施克时常外出旅行，故陈省身和布拉施克的助手E．克勒(Khler)的讨论最多．当时对陈省身在数学上影响最大的可能是克勒的讨论班“微分方程组论”，其中的主要定理现称为嘉当-克勒定理．这是一个崭新而复杂的理论．讨论班刚开始时研究院里每个人都来参加了，但到最后只剩下陈省身一个人．陈省身觉得他也因此而受益最多．1936年夏天陈省身的公费期满，就接到清华大学与北京大学的聘约，同时又得到中华文化基金会的一年资助．所以他由布拉施克推荐去巴黎随当代几何大师E．嘉当(Cartan)工作一年．1936—1937，巴黎陈省身在1936年9月到达巴黎．当时嘉当的学生众多，要会见他得在他的办公时间排队等候．幸而两个月后嘉当邀请陈省身每隔一周到他家去讨论一小时．陈省身在巴黎这段时间工作很勤奋、很快乐，全部精力花在准备这每两周一次与嘉当的面谈上．他学到了活动标架法和等价方法，以及更多的嘉当-克勒理论．更重要的是，陈省身觉得他学到了嘉当的数学语言及思考方式．他感到和嘉当工作10个月所得益处甚多，在那时所写的三篇文章只是研究成果的一小部分．1937—1943，西南联大1937年夏天陈省身受聘于清华大学．不幸，未离巴黎就发生了卢沟桥事变，日本侵华战争爆发．清华大学要陈省身暂时先去长沙临时大学任教．1938年1月日军逼近长沙，陈省身随大学搬到昆明西南联合大学．西南联大是战时由北京大学、清华大学、南开大学三校合并而成的，师资力量很强．譬如华罗庚当时也在西南联大任教．陈省身在西南联大有很多好学生，不少后来在数学及物理学上有杰出贡献，例如数学家王宪钟和物理学诺贝尔奖获得者杨振宁．因战争之故，昆明与外界完全隔绝，且物资匮乏，幸而陈省身带了不少嘉当的论文研读，将自己完全投入了研究工作．他在这段困难时期开始的研究工作后来对于现代数学的发展具有极大的启示性．陈省身的家庭陈省身与郑士宁的婚姻是由杨武之促成的，他们于1937年在长沙订婚，1939年结婚．郑士宁是东吴大学生物学理学士．1940年她由昆明去上海待产，生下长子陈伯龙．但因战事，她无法回昆明，直到6年后的1946年才得以团聚．他们尚有一女陈璞(女婿朱经武是高温超导体研究的主要贡献者之一)．陈省身的家庭美满，夫人一向陪伴在旁，陈省身非常感谢她为他创造了一个平静的气氛进行研究．在郑士宁60岁生日时，陈省身特别为她写下一首诗：三十六年共欢愁，无情光阴逼人来．摩天蹈海岂素志，养儿育女赖汝才．幸有文章慰晚景，愧遗井臼倍劳辛．小山白首人生福，不觉壶中日月长．1978年陈省身在“我的科学生涯与著作梗概”中写下了如下的话：“在结束本文前，我必须提及我的夫人在我的生活和工作中所起的作用．近40年来，无论是战争年代抑或和平时期，无论在顺境抑或逆境中，我们相濡以沫，过着朴素而充实的生活．我在数学研究中取得之成就实乃我俩共同努力之结晶．”1943—1945，普林斯顿高级研究院此时陈省身已是中国著名的数学家，他的工作也逐渐受到国际上的重视．但他对自己的成就并不满足，所以当O．维布伦(Veblen)在1942年邀请他去普林斯顿高级研究院做研究员时，他不顾世界大战正在进行中，毅然决定前往．(他坐军用飞机花了7天才由昆明到达美国！)这是陈省身一生中最重要的决定之一，因为在普林斯顿这两年里进行的研究是最创新的工作，具有最深远的影响．他给出了“高斯-邦尼公式一个新的内蕴证明”，进而发现了“陈示性类”．H·霍普夫(Hopf)曾说：“推广高斯-邦尼公式是微分几何最重要和最困难的问题，纤维丛的微分几何和示性类理论……更将数学带入一个新纪元．”1946—1948，中央研究院陈省身在1946年春天回国．当时中央研究院决定成立数学研究所，由姜立夫任筹备处主任．姜立夫聘陈省身为兼任研究员，但姜立夫很快离国去美，故筹备工作落在陈省身的身上．战后复员，筹备处确定在上海工作．陈省身着重于“训练新人”，他从全国各大学选了最好的大学毕业生集中到上海，由他每周讲12个小时的拓扑学．由此培养了一批新的拓扑学人才，如吴文俊、廖山涛、陈国才、张素诚、杨忠道等．1948年研究所迁到南京．该年秋天中央研究院举行第一届院士选举，共选出81人，陈省身是其中最年轻的一位．陈省身专心于研究及教学，完全没有注意到内战的状况．一天，他忽然接到普林斯顿高级研究院院长R．奥本海默(Oppenhe-imer)的电报，说：“如果我们可做什么事便利你来美，请告知．”陈省身这才开始阅读英文报刊，了解南京的局面不能长久，所以决定带全家去美国．在去美国前，印度孟买的塔塔(Tata)研究院曾邀请他去那里工作，但那时他已不能接受．陈省身全家于1948年12月31日离开上海，在普林斯顿高级研究院度过了春季学季．1949—1960，芝加哥大学陈省身知道他无法很快返回中国，需要一个长期职位哺养家室．此时正值芝加哥大学M．斯通(Stone)教授揽才网罗最好的数学家，将芝加哥发展成世界上最好的数学研究中心．当时，陈省身的好友、著名数学家A．韦伊(Weil)就在那里．1949年夏，陈省身被聘为芝加哥大学教授．在芝加哥大学11年陈省身指导了10个杰出的博士生．他于1960年离开芝加哥去伯克利加州大学，一直到1979年退休．陈省身与杨振宁陈省身在1946年发表示性类的论文，1949年在普林斯顿讲了一个学期的联络论．杨振宁和R．L．米尔斯(Mills)在1954年发表了杨-米尔斯场论．1949年陈省身、杨振宁均在芝加哥，1954年又同在普林斯顿．他们是好友，时常谈论自己的工作，却不知道他们的工作有密切的关系．20年后才知道两者的重要性，也才知道他们所研究的是同一个“大象”的两个不同的部分．下面是杨振宁送陈省身的一首诗：天衣岂无缝，匠心剪接成．浑然归一体，广邃妙绝伦．造化爱几何，四力纤维能．千古寸心事，欧高黎嘉陈．1960—1979，伯克利加州大学陈省身曾说他去加州大学原因有二：一是加州大学正在发展阶段，有建成几何学中心的潜力；二是加州的天气暖和．在加州大学，陈省身有很多学生，有31人随他完成博士学位．陈省身也是许多到加州大学做讲师的年轻博士们的良师(本文作者之一曾在芝加哥大学做讲师，另一位曾在加州大学做讲师，均受教于陈省身)．陈省身在加州大学将数学系建成世界著名的几何学中心．他对人友善、益谈、多鼓励，再加上他的论文和讲稿从50年代起已成为学习微分几何的经典，因此可以说世界各地的几何学家几乎都受到他的影响．当他在1979年从加州大学退休时，学校为他举行了一个数学讨论会(Chern Symposium)，历时一周，300多人出席．其实陈省身并没有真正退休，而是继续在加州大学教到1984年，并且到“山顶”成为伯克利数学科学研究所首任所长。

微分几何(第一课)讲义资料

在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。
在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。
上去的一个结构，因此在同一流形上可以有众多的黎曼测度。Riemann意识到这件事是非凡的重要，把诱导测度与外加的黎曼测度两者区分开来，从而开创了黎曼几何，作出了杰出的贡献。其后，Levi-Civita等人进一步丰富了经典的黎曼几
何。
克莱因（德国）：1872年在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。
R.Riemann（1826~1866）才进一步发展了Gauss的内在几何学，1854年他在哥丁根大学就职演讲中深刻地揭示了空间与几何两者之间的差别。Riemann将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是仅仅把它看作欧氏空间中的一个几何实体，
从而他认识到二次微分形式（现称为黎曼测度）是加到流形
这是我们的教材
陈维恒编著的《微分几何》是北京大学微分几何课程教材，并为普通高等教育“十五” 国家级规划教材，其前身《微分几何初步》曾于1995年获教育部优秀教材一等奖。
本书主要介绍了微分几何方面的基础知识、基本理论和基本方法。主要内容有：Euclid 空间的刚性运动，曲线论，曲面的局部性质，曲面论基本定理，曲面上的曲线，高维 Euclid空间的曲面等，除第一章外其余各章均配有习题，以巩固知识并训练解题技巧与钻研数学的能力。本书可作为大学数学各专业本科生的教学用书，也可供数学教师和数学工作者参考。

微积分入门通俗讲义汇编

序中国战国时代（公元前7世纪），我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即老庄哲学中所有的无限可分性和极限思想；公元前4世纪《墨经》中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念。

这是朴素的、也是很典型的极限概念。

而极限理论便是微分学的基础。

古希腊时期（公元前3世纪），阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长，而求得圆周率愈来愈好的近似值，也用一连串的三角形来填充抛物线的图形，以求得其面积。

这是穷尽法的古典例子之一，可以说是积分思想的起源。

17世纪，许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。

为微积分的创立做出了贡献。

17世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。

19世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对微积分的理论进行了认真研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为了微积分的坚定基础。

才使微积分进一步的发展开来。

1874年，德国数学家外尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数，即构造了一条没有切线的连续曲线，这与直观概念是矛盾的。

它使人们认识到极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。

外尔斯特拉斯最终完成了对实数系更深刻的性质的理解，使得数学分析完全由实数系导出，脱离了知觉理解和几何直观。

人类对自然的认识永远不会止步，微积分这门学科在现代也一直在发展着，人类认识微积分的水平在不断深化。

微积分学(Calculus, 拉丁语意为用来计数的小石头) 是研究极限、微分学、积分学和无穷级数的一个数学分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。

[整理]微分几何陈维桓第五章讲稿

目录第五章曲面论基本定理 (67)§ 5.1 自然标架的运动公式 (67)§ 5.2 曲面的唯一性定理 (69)§ 5.3 曲面论基本方程 (71)§ 5.4 曲面的存在性定理 (75)§ 5.5 Gauss定理 (76)第五章曲面论基本定理本章内容：曲面上的自然标架，运动公式，Gauss 公式和Weingarten 公式，曲面论唯一性定理，Riemann 曲率张量，Gauss-Codazzi 方程，曲面论存在性定理，Gauss 定理计划学时：9学时，含习题课2学时.难点：Riemann 曲率张量，曲面论存在性定理，Gauss 定理§ 5.1 自然标架的运动公式设:(,)S r r u v =为正则曲面，(,)n n u v =是单位法向量. 第一、第二基本形式I dr dr =⋅和2II d r n dr dn =⋅=-⋅是曲面S 的两个不变二次形式，与3E 中直角坐标的选取无关.曲面论唯一性问题：这两个基本形式是否足以确定曲面的形状？即若:(,)S r r u v =和:S *(,)r r u v **=有相同的第一、第二基本形式，是否这两个曲面仅相差一个3E 中的刚体运动σ？3S E ⊂Ω σ (见定理2.1)3S E *⊂答案是肯定的. 为了证明这件事情，需要先做一些准备工作.为了公式的书写方便，从现在起记1u u =，2u v =. 注意12,u u 的上标不是乘幂的指数. 如果要表示乘幂，则使用括号写成()()23,uu αα，……，(1,2α=).这样，S 的参数方程为12(,)r r u u =. 从现在起，用r α表示向量函数12(,)r u u 对变量u α的偏导数. 采用Einstein 求和约定，将和式212121dr r du r du r du ααα===+∑简记为 dr r du αα=. (1.4)就是说，如果一个单项式中在上标和下标中出现了相同的指标，则表示这是一个和式，对该指标要从1到2求和. 如果出现了多对这样的上下指标，那么这些指标都要从1到2求和. 例如，21112212211122122,1S TS T S T S T S T S T αβγαβγγγγγαβαβαβ===+++∑，212121P P P P ααααα===+∑.注意在和式中求和指标本身并没有实质性意义，它们是所谓的“哑”指标，可以换成别的字母： S TS T S T αβγαεγδβγαβαεδβ==. (γ不能换成别的字母)在本书中，求和指标用希腊字母,,,αβγ表示，它们的取值范围为,,1,2αβγ=.类似地，采用Einstein 求和约定，向量函数12(,)r u u 的二阶微分可写成22d r r d u r du du ααβααβ=+.采用Einstein 求和约定，S 的第一、第二基本形式分别可以写成I ()()dr dr r du r du g du du αβαβαβαβ=⋅=⋅=，2II d r n b du du αβαβ=⋅=， (1.6)其中g r r αβαβ=⋅，b r n αβαβ=⋅， (1.5)即1111g r r E =⋅=，1221g g F ==，22g G =，11b L =，1221b b M ==，22b N =. rr r σ*=记()()22112212112212det (),det ()g g g g g b b b b b αβαβ==-==-. (1.7-8)用()g αβ表示度量矩阵()g αβ的逆矩阵，则有1,,0,.g g αγαγββαβδαβ=⎧==⎨≠⎩(1.9)实际上，1112221222122121111g g g g G F g g F E g EG F g g ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (1.10) 采用现在的记号，曲面S 上每一点()12,p u u 有一个自然标架{}12;,,r r r n . 下面来导出自然标架的运动方程.由于12,,r r n 线性无关，可将它们的偏导数再用12,,r r n 表示出来. 设,r r b n n b r γβαβαβγαβααβ=Γ+=-， (1.18)其中γαβΓ称为Christoffel 记号(第二类克氏符号). 令:r r ξαβξαβΓ=⋅， (1.22)称为第一类克氏符号. 由r r αββα=可知两类克氏符号关于指标,αβ都是对称的：γαβγβαΓ=Γ，γγαββαΓ=Γ.用r ξ与(1.18)中的第1个式子作内积，得()r r r r b n g γγξαβξαβξαβγαβξγαβΓ=⋅=⋅Γ+=Γ. (1.20) 用g ξη乘(1.20)两边，再对指标ξ求和，由(1.9)可得g g g ξηξηγηγηξαβξγαβγαβαβδΓ=Γ=Γ=Γ，即g γγξαβξαβΓ=Γ. (1.21)(1.20)和(1.21)说明αβγΓ是用()g λμ将αβγΓ降标而得的；而αβγΓ则是用()gλμ将αβγΓ升标而得的.类似地，用r ξ-与(1.18)中的第2个式子作内积，得()b r n r b r g b γγξαξαξαγξγα=-⋅==， (1.14) 从而b b g βγβααγ=. (1.15)于是我们有自然标架{}12;,,r r r n 的运动公式r u r αα∂∂=， (1.11)r u r b n αβγαβγαβ∂∂=Γ+，n u b r αβαβ∂∂=-， (1.18)其中b αβ是第二类基本量，b b gβγβααγ=，被第一类基本量和第二类基本量所确定.我们断言Christoffel 记号γαβΓ被第一类基本量g αβ唯一确定. 事实上，由g r r αβαβ=⋅得g u r r r r αγβαβγβαγαβγαβγ∂∂=⋅+⋅=Γ+Γ. 返回 (1.23) 由γαβγβαΓ=Γ可得 2g g g u u u αγβγαββγαγβααβγβαγγαβαγβγαβαγβ∂∂∂∂∂∂+-=Γ+Γ+Γ+Γ-Γ-Γ=Γ，即有()12g g g u u u γαβαγβγαβαγβ∂∂∂∂∂∂Γ=+-. 返回 (1.24)于是由(1.21)，()12g g g u u u g gγγξγξαβξαβαξβξαβαβξ∂∂∂∂∂∂Γ=Γ=+-. (1.25)通常把(1.18)的第一式称为Gauss 公式，(1.18)的第二式称为Weingarten 公式.Gauss 公式的几何意义：r αβ的切向部分是r γαβγΓ，法向部分是b n αβ. 当曲面的参数方程给出时，利用Gauss 公式的几何意义可以更简单地求出Christoffel 记号γαβΓ，而不需要用公式(1.22)来求.Weingarten 公式的几何意义；矩阵()b βα正好是Weingarten 变换W 在切空间的自然基12{,}r r 下的矩阵：()W r n b r βαααβ=-=.在正交参数网中，Christoffel 记号γαβΓ的计算公式(1.28). 例求曲面(,)z f x y =的Christoffel 记号.解曲面的参数方程为(),,(,)r x y f x y =. 因此1u x =，2u y =，()111,0,r f =，()220,1,r f =，)12,,1n f f =--.其中1x f f =，2y f f =. 因为()()0,0,0,0,1r f f αβαβαβ==，所以 ()()()()()1222120,0,1,,11f r r r n n f f f f f αβγαβγαβαβαβΓ=-⋅=---++()()()()()2212122212,,1f f f f f f f αβ=+++.另一方面()1212121212,,r r r f f γαβγαβαβαβαβαβαβΓ=Γ+Γ=ΓΓΓ+Γ.所以()()1122121f f f f αβαβΓ=++，()()2222121f f f f αβαβΓ=++，即有()()111221x xxx y f f f f Γ=++，()()112221x xyx y f f f f Γ=++，()()122221x yyx y f f f f Γ=++，()()211221y xxx y f f f f Γ=++，()()212221y xyx y f f f f Γ=++，()()222221y yyx y f f f f Γ=++.课外作业：习题4，5§ 5.2 曲面的唯一性定理利用上一节得到的自然标架的运动方程，可以来解决上一节所提出的问题，即若:(,)S r r u v =和:(,)S r r u v ***=有相同的第一、第二基本形式，则这两个曲面仅相差一个3E 中的刚体运动σ.定理2.1若12:(,)S r r u u =，12:(,)S r r u u ***=(12(,)u u ∈Ω)有相同的第一、第二基本形式，且区域Ω是连通的，则有3E 中的刚体运动σ使得()S S σ*=.证明因为()S r =Ω，()S r **=Ω，只需证明存在3E 中的刚体运动σ使得3:r r E σ*=Ω→. (1)不妨设0(0,0)=∈Ω. 设在该点两个曲面的自然标架分别为{}12(0);(0),(0),(0)r r r n 和{}12(0);(0),(0),(0)r r r n ****. 选取3E中的刚体运动σ使得在1200(,)u u 点成立1122(0)((0)),(0)((0)),(0)((0)),(0)((0))r r r r r r n n σσσσ****====. (2)[事实上，令3(0)e n =，11(0)e =，231e e e =⨯. 则由(0)21(0)(0)F E r e ⋅=，()()2(0)(0)(0)12223121(0)(0)(0),,(0),(0),(0)E G F E r er e e r n r -⋅===可知11(0)(0)r E e =，2(0)(0)(0)(0)212(0)E G F F r e e -=+，3(0)n e =. (3)同样，令3(0)e n **=，11(0)e **=，231e e e ***=⨯. 则由,S S *有相同的第一基本形式，有 11(0)(0)r E e**=，2(0)(0)(0)212(0)(0)(0)E G F E E r e -***=+，3(0)n e **=. (4)根据第一章定理1.1，存在刚体运动33::()()()E E p Op p O p a Op σσσ→≡≡=+A将正交标架{}123(0);,,r e e e 变成{}123(0);,,r e e e ****，其中()(0)(0)a r r *=-A ，而 33123::()(,,)vv vA v v v A →==R R A A是保持3E 定向的正交变换，即(3)A SO ∈. 由定义，σ将向量PQ 变成向量()()()()()()()()()PQ P Q O Q O P OQ OP OQ OP PQ σσσσσ==-=-=-=A A A A . 所以刚体运动σ将向量1(0)r 变成向量()111111((0))(0)()(0)()(0)(0)(0)r E e E e E e r r σσ**=====A A .同理，22((0))(0)r r σ*=. 又33((0))()(0)n e e n σσ**===. ]设()S S σ=是将S 经过刚体运动σ后得到的曲面，则S 的参数方程为()()121212(,)(,)(,)r u u a r u u r u u σ==+A .于是()()()()()()()()()r du dr d r d rA dr A r du A r A du r du dr αααααααα========A A A ，从而11()r r =A ，22()r r =A .由于保持定向的正交变换保持外积不变，有121212()()()r r r r r r ⨯=⨯=⨯A A A ，()1212121211()||||||r r r r r r n n r r r r r r ⎛⎫⨯⨯⨯==== ⎪⨯⨯⨯⎝⎭A A A .由于保持定向的正交变换保持内积不变，所以S 的第一、第二基本形式分别为()()I ()()I I dr dr dr dr dr dr *=⋅=⋅=⋅==A A ， ()()II ()()II II dr dn dr dn dr dn *=-⋅=-⋅=-⋅==A A .于是S 与S *有相同的第一、第二基本形式，它们的自然标架满足同样的齐次线性偏微分方程组(1.11)，(1.18)，即有,(),(1,2),dr r du dr r b n du dn b r du αγββααααβγαβαβα==Γ+==-；,(),(1,2),dr r du dr r b n du dn b r du αγββααααβγαβαβα*******==Γ+==-.由(2)可知它们的自然标架满足同样的初始条件：()(0)(0)(0)r r r σ*==，()111(0)(0)(0)r r r σ*==，()222(0)(0)(0)r r r σ*==，(0)(0)n n *=.设1200(,)u u ∈Ω是任意一点. 因为区域Ω是连通的，可取一条Ω中的连续可微曲线1122:(),()C u u t u u t ==，[0,1]t ∈，使得()()1212120(0),(0)(0,0),(1),(1)(,)u u u u u u ==.则限制在C 上{}12;,,r r r n 和{}12;,,r r r n ****满足同样的常微分方程组初值问题111222,(),(),.dr du r dt dtdr du r b n dtdt dr du r b n dt dtdn du b r dtdtααβγβγββγβγβαβαβ**********⎧=⎪⎪⎪=Γ+⎪⎪⎨⎪=Γ+⎪⎪⎪=-⎪⎩ 由常微分方程组解的唯一性得()121212000000(,)(,)(,)r u u r u u r u u σ*==.由1200(,)u u ∈Ω的任意性可知r r σ*=. □定理2.2 设12:(,)S r r u u =，12:(,)S r r u u ***=是2个曲面，它们的第一、第二基本形式分别为I,II 和I ,II **. 如果存在光滑映射:S S ϕ*→使得(I )I ϕ**=，(II )II ϕ**=，则存在3E 中的刚体运动σ使得|S ϕσ=. (选取适用参数系) □课外作业：无§ 5.3 曲面论基本方程曲面论存在性问题：设g du du αβαβϕ=和b du du αβαβψ=是区域 2()Ω⊂上的2个给定的二次微分形式，是否存在3E 中的三次以上连续可微的曲面:(,)S r r u v =，使得ϕ，ψ正好是曲面S 的第一、第二基本形式？如果这样的曲面存在，则首先ϕ和ψ必须是对称的：g g αββα=，b b αββα=；并且二次型ϕ必须是正定的. 除此之外，在本节中我们还要导出,g b αβαβ所应该满足的必要条件.假设有曲面:(,)S r r u v =使得它的第一、第二基本形式为I g du du αβαβ=， II b du du αβαβ=. (3.2)在第一节中已经得到自然标架{}12;,,r r r n 的运动公式,,rr u r r b n u n b r uααγααβγαβββαβα∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=Γ+⎨∂⎪∂⎪=-⎪∂⎩ 返回 (3.3) 其中()12g g g u u u g g γγξγξαβξαβαξβξαβαβξ∂∂∂∂∂∂Γ=Γ=+-，b b g βγβααγ=. (3.4)因为S 是三次以上连续可微的，必须有22r r u u u u ααβγγβ∂∂=∂∂∂∂， 22n nu u u u αββα∂∂=∂∂∂∂，,,αβγ∀. (3.5)将(3.3)代入(3.5)第1式，得()()r b n r b n u uδδαγδαγαβδαββγ∂∂Γ+=Γ+∂∂. (3.6) 将上式展开，并利用(3.3)，左边()b r r b n n b b r u u δαγαγδηδδαγδβηδβαγβδββ∂Γ∂=+ΓΓ++-∂∂b b b r b n u u δαγαγηδδδαγηβαγβδαγδβββ⎛⎫∂Γ∂⎛⎫=+ΓΓ-++Γ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭. 右边b b b r b n u u δαβαβηδδδαβηγαβγδαβδγγγ⎛⎫∂Γ∂⎛⎫=+ΓΓ-++Γ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭. 比较两边,r n δ的系数，得b b b b u uδδαβαγηδηδδδαβηγαγηβαβγαγβγβ∂Γ∂Γ-+ΓΓ-ΓΓ=-∂∂，,,,αβγδ∀， (3.8)b b b b b b u uαβαγδδδδαγδβαβδγβδαγγδαβγβ∂∂-=Γ-Γ=Γ-Γ∂∂，,,αβγ∀. (3.9) 注意(3.8)左边的量是被第一类基本量唯一确定的，将它记为:Ru u δδαβαγδηδηδαβγαβηγαγηβγβ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ∂∂， (3.10)称为曲面S 的Riemann 记号. 再记R g R ηαδβγδηαβγ=， (3.11)则自然就有R g R δδηαβγαηβγ=. (3.11)’与R δαβγ一样，R δαβγ也是被第一类基本量唯一确定的. R δαβγ和R δαβγ都称为曲面S 的Riemann 曲率张量. 采用这些符号，由曲面三阶连续可微得到的相容性条件(3.8)可以改写成R b b b b δδδαβγγαββαγ=-， (3.12)或等价地，R b b b b δαβγδβαγδγαβ=-. (3.13)相容性条件即方程(3.8)，或(3.12)，或(3.13)，称为Gauss 方程. 方程(3.9)称为Codazzi 方程. 注1. Gauss 方程(3.13)看上去似乎有16个等式，实际上只有一个独立的方程：()()2221212112212R b b b LN M K EG F =-=-=-. 返回 (3.18)Codazzi 方程(3.9)中只有2个独立的方程111211212121212221222121,.b b b b u ub b b b u u δδδδδδδδ∂∂⎧-=-Γ+Γ⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪-=-Γ+Γ⎪∂∂⎩(3.20)这是因为有R R R R δαβγβγδααδβγδαγβ==-=-. (3.17)从而当1αδ==或2αδ==时得到8个恒等式00=；当αδ≠而βγ=时得到4个恒等式00=. 剩下的4个方程是相互等价的：1212212112212112R R R R ==-=-.[事实上，R g R g u u ηηηαβαγξηξηαδβγδηαβγδηαβξγαγξβγβ⎛⎫∂Γ∂Γ==-+ΓΓ-ΓΓ ⎪∂∂⎝⎭g g u u u u δαβδαγδηδηηηξξαβαγαβδξγαγδξβγβγβ∂Γ∂Γ∂∂=--Γ+Γ+ΓΓ-ΓΓ∂∂∂∂ ()()u u δαβδαγηηηηαβηδγδηγαγηδβδηβαβδηγαγδηβγβ∂Γ∂Γ=--ΓΓ+Γ+ΓΓ+Γ+ΓΓ-ΓΓ∂∂ δαβδαγηηαγηδβαβηδγγβ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ. 利用(1.23)：将(1.24)：2项，并注意()12g g ηξηηηαγηδβξαγηδβξαγηδβξαγδβδβηαγαγηδβδβηαγΓΓ=ΓΓ=ΓΓ=ΓΓ=ΓΓ=ΓΓ+ΓΓ，可得()()2222221122g g g g g g u u u u u u u u u u u u R ηηαδβγαγηδβαβηδγβδαβγδαγαδαδγαγγβδβγββαδ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+--+-+ΓΓ-ΓΓ()222212g g g g u u u u u u u u δβαβδγαγγαγδββαδ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-()12ηηηηαγηδβαβηδγδβηαγδγηαβ+ΓΓ-ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ]注2. 将(3.3)看作以12,,,r r r n 的12个分量为未知函数的一阶线性偏微分方程组，其中g αβ，b αβ是已知的函数，从而gαβ以及由(3.4)给出的,b γβαβαΓ也都是已知的. (3.3)的可积性条件是22r r u u u u αββα∂∂=∂∂∂∂， 22r r u u u u ααβγγβ∂∂=∂∂∂∂， 22n nu u u u αββα∂∂=∂∂∂∂. (C)由(3.3)可知可积性条件(C)的第一式自动成立. 第二式就是Gauss-Codazzi 方程(3.8)和(3.9)，也就是(3.18)和(3.20). 因为()()2b b n b r r b r b n b r b b n u u u u u γγγγδδγγαααγγαγβδγβαδβγαγββαβββ⎛⎫∂∂∂∂==+Γ+=+Γ+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭，所以可积性条件(C)的第三式为b b b b u u γγβδγδγααδββδαβα∂∂+Γ=+Γ∂∂，b b b b γγαγββγα=. (3.14) 上面第二式自动成立，因为b b g b b b g b b b b b γγδγδδηαγβαδγβαδγβαδββηα====.以g γδ乘(3.14)第一式的两边，再对γ求和，可知它等价于g b g b b b b b u u u uγδδβγδγγγγδαααδγβββδγαββαα∂∂∂∂-+Γ=-+Γ∂∂∂∂. 将(1.23)g u βαγαβγαβγ∂∂=Γ+Γ代入上式得b b b b u uδβγγδααγδββγδαβα∂∂-Γ=-Γ∂∂，即b b b b b b u uδβγγγγδααγδββγδααγδββγδαβα∂∂-=Γ-Γ=Γ-Γ∂∂. 这就是(3.8). 所以(3.14)第一式与(3.9)是等价的.在正交参数网中，111222,0,g E g g G ===. 因此11122211,0,E Gg g g ===. 因此 111111112122222111211212222222,,,,,.u v u v u v E E G E G G Γ=Γ=Γ=-Γ=-Γ=Γ=111111222222111222,,,222,,.222u v u v u vE E G E E EE G G G G GΓ=Γ=Γ=-Γ=-Γ=Γ=由此得22212221222111212122112112111211221211122122222222222224444224444v u u u v v v u v u vv v v uu u u u v v v u R g R GRG v u E G E G E G E G G G G EG G EG G GE E G GG G E G E G E G G G G EG G EG G αα⎡⎤∂Γ∂Γ===-+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-ΓΓ⎢⎥∂∂⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡--=--+-+-⎤⎢⎥⎣⎦22244244vv v v v uu u u u E E E G G E G G E G E G=-++-++ (见课本) 222424()()2424vv v v v uu u u u vv v v uu u u E E G E EG G E GG EG EG EGE E EG G G EG EG EG ++=-+-+⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭=+-2222v u v u v u v u E G E G ⎫⎛⎫⎛⎫=++⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭v u v u ⎫⎫⎪=+=+⎬⎬⎪⎭⎭.返回(3.22) 如果参数曲线网是正交的曲率线网，则0F M ==，Codazzi 方程(3.20)可简化为21112212112121222211,22.22v v v v u u u u LE NE L b b HE E G NG LG N b b HG G E ⎧=-Γ+Γ=+=⎪⎪⎨⎪=Γ-Γ=+=⎪⎩返回 (3.23)课外作业：习题4，5§ 5.4 曲面的存在性定理本节证明Gauss-Codazzi 方程也是曲面存在的充分条件. 设g du du αβαβϕ=和b du du αβαβψ=是区域 2()Ω⊂上的2个给定的二次微分式，其中ϕ和ψ是对称的：g g αββα=，b b αββα=；并且二次型ϕ是正定的. 令()g αβ为矩阵()g αβ的逆矩阵，()1,2g g g u u u g γγδγαβαβδαβαγβγαβαγβ∂∂∂∂∂∂Γ=+-Γ=Γ， (4.2-3) Ru uδδαβαγδηδηδαβγαβηγαγηβγβ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ∂∂， R g R ηδαβγδηαβγ=. (4.4-5) 定理4.1 如果上面给定的二次微分式ϕ，ψ满足()21122121212111211212121212221222121,,,b b b R b b b b u u b b b b uu δδδδδδδδ⎧-=-⎪∂∂⎪⎪-=-Γ+Γ⎨∂∂⎪∂∂⎪-=-Γ+Γ⎪∂∂⎩ (4.6) 则对任意一点()1200,u u ∈Ω，必有()1200,u u 的(连通)邻域U ⊂Ω，以及定义在U 上的正则曲面:S 12(,)r r u u =，使得ϕ和ψ分别是S 的第一、第二基本形式. 在相差一个3E 中的刚体运动的情况下，这样的曲面是唯一的. 如果Ω是连通且单连通区域，则曲面S 可以定义在整个Ω上.证明唯一性由定理2.1可得. 只需证明存在性. 构造一阶线性偏微分方程组,,,rr u r r b n u n b r u ααγααβγαβββαβα∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=Γ+⎨∂⎪∂⎪=-⎪∂⎩(4.7) 其中12,,,r r r n 是未知向量，从而共有12个未知函数，自变量是12,u u . 根据一阶偏微分方程组理论，(4.6)有解的充分必要条件是由(4.7)可推得22r r u u u u αββα∂∂=∂∂∂∂，22r r u u u u ααβγγβ∂∂=∂∂∂∂， 22n nu u u u αββα∂∂=∂∂∂∂. (C)从§3的讨论我们知道当Gauss-Codazzi 方程(4.6)成立时，可积条件(C)也成立，从而(4.7)是可积的，即对任意一点()1200,u u ∈Ω，有()1200,u u 的邻域U ⊂Ω，以及定义在U 上的向量函数 1212121212(,),(,),(,),(,)r u u r u u r u u n u u ， (4.8)它们满足(4.7)及任给的初始条件120120120120001001200200(,),(,),(,),(,)r u u r r u u r r u u r n u u n ====. (4.9)现在选取初始标架{}000012;,,r r r n使得()0120000000012(,),0,1,,,0r r g u u r n n n r r n αβαβα⋅=⋅=⋅=>. (4.10)下面我们证明(4.8)中的函数31212::(,)(,)r U E u u r u u →定义了一个正则曲面S =()r U ，以ϕ和ψ分别为S 的第一、第二基本形式.为此，考虑函数组f r rg αβαβαβ=⋅-， f r n αα=⋅， 1f n n =⋅-. (4.11)其中12121212(,),(,),(,)r u u r u u n u u 是方程组(4.7)的解. 因此6个函数,,f f f αβα满足一阶齐次线性偏微分方程组Cauchy 问题111111000000,,2,(,)0,(,)0,(,)0.f f f b f b f u f b f f b f u f b f uf u u f u u f u u αβδδαγδββγδαγαβγβαγγγαβγααβγαβββαβααβα∂⎧=Γ+Γ++⎪∂⎪∂⎪=-+Γ+⎪∂⎨⎪∂=-⎪∂⎪⎪===⎩ (4.12-13)事实上，()()f r g r r r u u u u r b n r r b n r αββαβαβαγγγγδδαγδαγββγδβγααβγβαγ∂∂∂∂=⋅+⋅-∂∂∂∂=Γ+⋅+Γ+⋅-Γ-Γ ()()f g b f f g b f δδαγδβδβαγββγδαδαβγααβγβαγ=Γ+++Γ++-Γ-Γf f b f b f δδαγδββγδαγαβγβα=Γ+Γ++.()f r n n r r b n n b r r u u uγγααααβγαββγαβββ∂∂∂=⋅+⋅=Γ+⋅-⋅∂∂∂ ()()1f b f b f g b f f b f γγγγαβγαββγαγαβγααβγαβ=Γ++-+=-+Γ+.222f n n b r n b f u uββαβαβαα∂∂=⋅=-⋅=-∂∂. 根据Cauchy 问题解的唯一性，得到0f αβ=，0f α=，0f =，即有r r g αβαβ⋅=， 0r n α⋅=， 1n n ⋅=. (4.14)由上式得()212det 0r r g αβ⨯=>，这说明S 是正则曲面. 又()120n r r ⨯⨯=，即n 与12r r ⨯共线，从而 ()()()222121212,,det 0r r n r r n r r g αβ=⨯⋅=⨯=>⎡⎤⎣⎦.因为在()1200,u u 点()()0001212,,,,0r r n r r n =>，由连续性得到在U 上()12,,0r r n >. 因此1212/n r r r r =⨯⨯.因为12(,)r u u 满足方程组(4.7)第1式，故{}12,,,r r r n 是曲面S 的自然标架. 由(4.14)第1式和(4.7)第2式可知S 的第一、第二基本形式分别是ϕ和ψ.当Ω连通且单连通时，方程组(4.7)有定义在整个Ω上的解. □ 课外作业：习题2，4§ 5.5 Gauss 定理由(3.18)得到2121222LN M R K EG F EG F-==--. (5.3) 所以Gauss 曲率K 被曲面的第一基本形式唯一确定，而与曲面的第二基本形式无关，是曲面的内蕴几何量. 于是有下面的Gauss 绝妙定理(Egregium Theorem ).定理5.1 曲面的Gauss 曲率是曲面在保长变换下的不变量. 由(3.22)得到正交参数网(0F =)时，v u K ⎧⎫⎪⎪=+⎨⎬⎪⎪⎩⎭. (5.4)特别，取等温参数网时，2:E G λ==，其中(,)0u v λλ=>. 此时21ln K λλ=-∆， (5.5)其中2222u v ∂∂∆=+∂∂是关于变量,u v 的Laplace 算子. 引理直纹面:(,)()()S r u v a u vl u =+是可展曲面的充要条件是0K =. 证明. 设S 是直纹面，参数方程为(,)()()r u v a u vl u =+. 则u r a vl ''=+，v r l =，()2()u vu vr r n a vl l r r EG F⨯''==+⨯⨯-，uu r a vl ''''=+，uv r l '=，0vv r =.从而0N =，())11(),,uv M r n a vl l l a l l '''''=⋅=+⨯⋅=.因此()()22222,,a l l LN MK EG F EG F ''-==---.根据第三章定理6.1即得引理. □定理5.2 一个曲面S 是可展曲面的充要条件是S 的Gauss 曲率0K ≡. 证明必要性由上面的引理可得.充分性. 根据引理，只须证明S 是直纹面. 设S 的主曲率为12,κκ. 由条件可知120κκ=. 1. 如果S 上的点都是脐点，则S 是平面，从而是直纹面.2. 假设S 上没有脐点，则可取正交的曲率线网为参数曲线网，使得0F M ==，且120,0L N E G κκ=≠==. 那么120H κ=≠. 由Codazzi 方程(3.23)得 0u u N HG ==，即有0,()u G G G v ==. (5.6)于是111122122221222211022u G g g g g E u u u E∂∂∂⎛⎫Γ=Γ=+-=-= ⎪∂∂∂⎝⎭， ()1222122222220vv v r r r r b n r N n r ⨯=Γ+Γ+⨯=⨯=. (5.8)根据第一章定理2.2，(5.7)说明v -曲线()0,r u v 的切向量()0,v r u v 具有固定方向. 因此v -曲线是直线，从而S 是直纹面.事实上，令1||v v r l r=，则()vv r r l G v l ==. 于是由(5.8)，()0vv v v v vr r G l G l G l G l l ⎡⎤⎡⎤=⨯=+⨯=⨯⎣⎦⎣⎦，即有0v l l ⨯=，从而0v l =. 这样()l l u =，()()v r G v l u =.令()()v v G v dv =⎰. 则()(,)()()0vr u v v v l u -=，故有(,)()()()r u v v v l u a u -=，也就是(,)()()()r u v a u v v l u =+.作参数变换,()u u v v v ==，则S 是直纹面：(,)()()r u v a u v l u =+. □定理5.3 曲面S 是可展曲面的充要条件是S (局部地)可以与平面建立保长对应.证明根据第三章定理6.3，可展曲面S 局部地可以与平面建立保长对应. 反之，若曲面S 局部可以与平面建立保长对应，则由Gauss 绝妙定理，S 的Gauss 曲率0K ≡，从而是可展曲面. □注根据后面第六章的定理4.1，具有相同常数Gauss 曲率K 的曲面之间局部可以建立保长对应. 下面的例子说明两个具有相同的非常数Gauss 曲率的曲面之间未必能建立保长对应. 例设常数,,,a b a b 满足0ab ab =≠. 证明曲面()2212:,,()S r a u bv a u bv =+与()2212:,,()S r a u b v a u b v =+ 之间在对应,u u v v ==下有相同的Gauss 曲率. 但是当2222(,)(,)a b a b ≠且22(,)a b ≠22(,)b a 时，曲面S 与S 之间不存在保长对应.证明对于曲面S ,(),0,u r a au =，()0,,v r b bv =，()0,0,uu r a =，0uv r =，()0,0,vv r b =.(),,1u v r r ab u v ⨯=--，)2..1n u v v=--.因此S 的第一、第二基本形式分别为222222I (1)2(1)a u du abuv dudv b v dv =++++，22II =.曲面S 的Gauss 曲率为2221(1)K ab u v =++. (5.9)同理，曲面S 的第一基本形式为222222I (1)2(1)a u du abu v dudv b v dv =++++， Gauss 曲率为2221(1)K ab u v =++. (5.10)因为ab ab =，所以在对应,u u v v ==下它们有相同的Gauss 曲率.设有保长对应():(,)(,)(,)(,),(,)u v u v u v u u v v uv ϕϕ==. (5.11) 则在对应点有相同的Gauss 曲率. 故由(5.9)和(5.10)得[][]2222(,)(,)u u v v u v u v +=+. (5.12)因此(0,0)0,(0,0)0u v ==. (5.13)将(5.12)两边对,u v 求偏导数，得,u u v v uu v v u uu v v v +=+=.再对,u v 求偏导数，得()()221uu u uu u uu u v v v +++=，0uv u v uv u v uu u u v v v v +++=，()()221vv v vv v uu u v v v +++=.在0u v ==处取值，可得()()221u u u v +=，0u v u v u u v v +=，()()221v v u v +=. (5.14)这说明()(0,0),(0,0)u u u v 和()(0,0),(0,0)v v u v 是相互正交的单位向量. 可设()()(0,0),(0,0)cos ,sin u u u v θθ=，()()(0,0),(0,0)sin ,cos v v u v θθ=±-.另一方面，将0u v ==代入S 和S 的第一基本形式得()[][]22222222I(0,0,,)I u v u v du dv a du b dv a u du u dv b v du v dv ϕ*=+==+++()()()()2222222222222u u u v u v v v a u b v du a u u b v v dudv a u b v dv ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 因此在0u v ==处成立22222cos sin a b a θθ+=，22()cos sin 0a b θθ-=，22222sin cos a b b θθ+=.如果22a b =，则有2222a b a b ===，与已知条件矛盾.如果22a b ≠，则有sin 0θ=或cos 0θ=. 当sin 0θ=时，有()()2222,,a b a b=；当cos 0θ=时，有()22,b a ()22,a b =，同样导致矛盾. □下面的定理说明在某些情况下曲面的法曲率的确包含了曲面形状的全部信息.定理5.4 设:S S ϕ*→是连续可微映射，其中S 上没有脐点，且Gauss 曲率K 处处不为0. 若在每一点p S ∈处，():p p T S T S ϕϕ**→保持所有方向的法曲率不变，则有3E 中的刚体运动σ使得|S ϕσ=.证明由条件，可在S 上取正交的曲率线网为参数曲线网，使得0F M ==，且120,0L NE Gκκ=≠=≠. 不妨设12κκ<.设S *的参数方程为(,)r u v *，映射ϕ的参数表示为()(,)(,),(,)u v u u v v u v ϕ=. 对于S 的两个主方向,u v r r ，对应的方向是()u r ϕ*和()v r ϕ*. 则()0u r ϕ*≠，()0v r ϕ*≠，且()u r ϕ*与()v r ϕ*线性无关，因为沿()u r ϕ*和()v r ϕ*方向的法曲率不等(法曲率仅依赖于方向).因此在每一点p S ∈处():p p T S T S ϕϕ**→是线性同构. 由第三章定理5.1，可在S *上选取适用参数系,u v 使得S *的参数方程为(,)r u v *，映射ϕ的参数表示为()(,),u v u v ϕ=.下面证明在相同参数的对应下，S 和S *有相同的第一、第二基本形式. 由于沿着切方向u r *，:1:0du dv =，法曲率/n L E κ=达到最小值1κ，因此u r *是S *的主方向. 同理，v r *也是S *的主方向. 又由12κκ<可知u r *与v r *正交. 因此在S *上参数曲线网也是正交的曲率线网.于是在S *上也有0F M ==，并且12L L N N E E G Gκκ==<==. (5.22) 另外，沿着切方向:1:1du dv =，也有n L N L NE G E Gκ++==++.将(5.22)代入可得1212E G E GE G E Gκκκκ++=++，即()()()()1212E G E G E G E G κκκκ++=++，也就是12()()EG GE EG GE κκ-=-. (5.24)所以E GE Gλ==，11E L L E κλκ==，22G N N G κλκ==. (5.26-27)剩下的只要证明1λ=.由Codazzi 方程(3.23)得,v v u u L HE N HG ==. (5.28) ,v v u u L HE N HG ==. (5.29)其中1122()H κκ=+. 将(5.26-27)代入(5.29)，得(),()v v v v u u u u L L H E E N N H G G λλλλλλλλ+=++=+.再与(5.28)比较，得12,v v u u E H E G H G λκλλκλ==.于是0u v λλ==，λ是一常数.最后由(5.4)，(5.26)，有1v u K K λ⎧⎫⎪=+=⎬⎪⎭.但120K K κκ==≠，只有1λ=.于是在适用参数系下，S 和S *有相同的第一、第二基本形式. 根据定理2.2，有3E 中的刚体运动σ使得|S ϕσ=. □课外作业：习题1(2,4,6)，2。

微积分五讲

微积分五讲龚昇目录前言一、回顾中学数学1．百年前的讲演2．算术与代数3．几何与三角4．三点启示二、微积分的三个组成部分1．微积分的主要矛盾2．一元微积分的三个组成部分3．多元微积分的三个组成部分三、微积分中的各种矛盾1．微积分与积分的公式及定理的对应2．三个初等函数3．其它一些矛盾四、微积分的三个发展阶段1．微积分的前驱工作2．微积分的创立3．微积分的严格化与外微分形式的建立五、微积分严格化之后1．微积分的深化与拓展2．复数域上的微积分3．流形上的微积分前言2002年三、四月之间，根据陈省身教授的嘱咐，我在天津作了微积分的系统讲演，共16学时。

2003年四月，我在丘成桐教授创办的浙江大学数学科学研究中心工作期间，又作了微积分的系统讲演，共10学时。

这二次系统讲演，听众是大学生和一些大学教师，这本小书就是根据这二次系统讲演的讲稿及录像，整理而成的。

这是一本科普书籍，因之，不求句句话都十分严格，而求通俗易懂。

这本小书也实际上阐述了我对微积分这门学科及大学微积分这门课程的看法，其中有一些看法也许是新的，这当然是我个人的浅见，未必正确，说出来供正在学习或已经学过微积分的大学生及教微积分的教师们参考，并希望得到你们的批评。

我要感谢陈省身教授，他对我的多次有关数学，尤其是微积分的谈话，使我深受教育，得益匪浅。

我也要感谢南开大学刘徽数学研究中心及浙江大学数学科学研究中心，尤其是南开大学的葛墨林教授，浙江大学的许洪伟教授，尹永成教授，他们为我作这二次系统演讲及写作这本小书给予了极大的关心、帮助与支持。

我还要感谢沈可美小姐为精心打印本书所付出的辛勤劳动。

龚昇二00三年五月于杭州灵峰山庄一、回顾中学数学1．百年前的讲演20世纪已经过去，这是一个伟大的世纪。

在这个世纪，数学得到了前所未有的迅猛发展。

在这个世纪即将来临时，1900年8月5日，法国数学家希尔伯特（David Hilbert 1862-1943）在巴黎第二次国际数学家大会上作了题为“数学问题”的著名讲演【1】。

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