高考数学常用结论大盘点
高考数学常用结论
高考数学常用结论集锦1.摩根公式 ()U U U C A B C A C B = ， ()U U U C A B C A C B =.2U U A B A A B B A B C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.A A ∅⇔≠∅3. 若Ａ={123,,n a a a a },则Ａ的子集有2n 个,真子集(2n －1)个,非空真子集(2n －2)个真值表： 同真且真，同假或假 4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;②顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，） ③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时）○4切线式：02()()(()),0x kx d f x a x a =-+≠+ （当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的横坐标为0x 时）三次函数的解析式的形式①一般式32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ ②零点式123()()()()(0)f x a x x x x x x a =---≠5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数. 设)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.（导数法在考试中用途更大）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 a.函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：定义：在前提条件下，若有()()()()0f x f x f x f x -=--+=或，则f （x ）就是奇函数。
高中高考数学所有二级结论《[完整版]》
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高中高考数学所有二级结论《[完整版]》一、几何结论1、关于点1.1 同一直线上三点，若其中两点间距相等，则三点共线；1.2 直线平分线定理：若直线Ⅰ平分线段AB，则AM/MB=1；1.3 直线的垂直平分线定理：若直线Ⅰ对AB的垂直平分线，则M是A、B中点；1.4 同一直线出发点，夹萝卜角度相等，终足点也在同一直线上；1.5 同一直线上三点，至少有2点共线；1.6 若任意一点位于AB的延长线上，则距AB同侧的距离相等；2、关于直线2.1 齐次直线：若直线上所有点满足y=ax+b，则直线称为齐次直线；2.2 相交线定理：若两条直线相交，则它们的夹角一定是锐角；2.3 相等的夹角可以定位：若两条直线的夹角为有限尺寸夹角，则它们可以定位；2.4 两平行线定理：若两条直线平行，则它们过同一直线上的任意一点都相等；2.5 同一实轴向非相交点所在直线定理：由两条实轴向非相交的直线，所形成的不规则四边形，相较相邻的两边的夹角度数之和为180°；3、关于三角形3.1 相等的边角定理：若两角的大小相等，则它们两理封闭的边也相等；3.2 对角线定理：若一个多边形的对角线相交，则其论线的和为360°；3.3 相等的三角形定理：若三角形的两边和它们之间的夹角相等，则三角形中的任何一点到另外两点的距离也相等；3.4 含有相同角的三角形定理：若两个三角形包含有相同大小的角，则其面积之比，与相应边的比值的平方成正比；3.5 三角形角度和定理：若三角形的三边的长度都不相等，那么它的三内角之和等于180°；3.6 斜边长度定理：若一个三角形的两边长度相等，那么它们所构成的内角一定是锐角；4、关于圆4.1 直径定理：若任意直线与圆相交，则此直线必经过圆心；4.2 垂足定理：若圆上存在一点，使得其到圆心的距离（即圆上点P到垂足M）尽可能的小，则M为圆上某一点P的垂足；4.3 旋转定理：把椭圆上的任意一点A旋转一定的角度，得到的椭圆上的点B，满足AB距离的平方等于AB分别到圆点的距离的积；二、代数结论1、关于一元二次方程1.1 一元二次方程的解：解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个解是：x1=(-b+√（b2-4ac）)/2a，x2=(-b-√（b2-4ac）)/2a；1.2 求解实数解：若b2-4ac>0，那么它有实数解，若b2-4ac=0，那么它有重根，若b2-4ac<0，则无实数解；2、关于一元三次方程2.1 三次方程的解：一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0（a ≠ 0）的三个实数解为：x1 = [-b + √（b2-3ac）]/3ax2 = [-b - √（b2-3ac）]/6a + i√3/6ax3 = [-b - √（b2-3ac）]/6a - i√3/6a；2.2 求解实数解：若b2-3ac>0，它有三个不同的实数解；若b2-3ac=0，它有重根；若b2-3ac<0，它有三个不同的实数解；3、关于系数代数方程3.1 二次代数方程：若一个二次代数方程ax2+bx+c=0有实数解，则它的解为x1=(-b+√（b2-4ac）/2a，x2=(-b-√（b2-4ac）/2a；3.2 三次代数方程：若一个三次代数方程ax3+bx2+cx+d=0有实数解，则它的解为x1=(-b+√（b2-3ac）/3a，x2=(-b-√（b2-3ac）/6a + i√3/6a，x3=(-b-√（b2-3ac）/6a - i√3/6a；4、关于函数4.1 闭区间：函数定义域上下端点其值皆有效，叫闭区间；4.2 周期：当变量满足周期函数关系，即变量与函数之间存在正反循环吻合关系时，称其为“周期函数”；4.3 偶函数：若变量x在定义域内变换了一倍角度，f（x）应等于自己，叫作偶函数；4.4 奇函数：若变量x在定义域内变换了一倍定义域，而f（x）值改变了符号，叫作奇函数；5、关于初等函数5.1 线性函数的定义：当关系式为y=ax+b，a、b为有理常数，b≠0时，它称为“线性函数”；5.2 二次曲线的定义：当关系式为y=ax2+bx+c（a≠0），a、b、c 为有理常数时，它称为“二次曲线”；5.3 对称性：定义域内一点同它的对称点在函数图像上所对应的点总是具有相同的函数值，称为函数具有“对称性”；5.4 反函数定义：当函数f（x）在它的定义域内是一一對應的，可以反求f（x）的值的函数，称为“反函数”；。
高考数学必备50条公式和结论
1，适用条件：[直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。
x为分离比，必须大于1。
注上述公式适合一切圆锥曲线。
如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。
2，函数的周期性问题(记忆三个)：1、若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;2、若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;3、若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。
注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。
c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。
3，关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下：1，若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;2、函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;3、若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称4，函数奇偶性：1、对于属于R上的奇函数有f(0)=0;2、对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项3，奇偶性作用不大，一般用于选择填空5，数列爆强定律：1，等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);2等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差3，等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立4，等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q6，数列的终极利器，特征根方程。
(如果看不懂就算了)。
首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。
高考数学必背结论及特殊答题技巧
迎高考：高中数学必背结论及特殊答题技巧1. 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集，21n -个真子集.00② f (x )≤M ⇒M 为f (x )最大值（除非M 在f (x )上）3. 对称性：形式一：f (M ) = f (N )，若M +N =d （d 为常数）则f (x )有对称轴：x=2d 形式二：f (x ) =g (x )关于原点对称，则P 1（a ,b ）、P 2（-a ,-b ）分别落在两者上面。
BUT ：f (x ) 、g (x )本身不一定关于原点对称同理，关于某条线对称也有类似的性质形式三：f (kx+b )为偶函数，则f (x )对称轴：kb x ±= f (kx+b )为奇函数，则f (x )对称中心：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±，0k b f (x+a ) + f (-x+b )=k ，则：f (x )有对称中心：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22k ,b a 4. 几个常见的周期形式：T T x f x f T T x f x f TT x f x f TT x f x f 2)(1)(2)(1)(2)()()()(周期为周期为周期为周期为⇒+=⇒+-=⇒+-=⇒+= 关于函数f (x )周期的结论：① 关于x=a 、x=b 或(a ，0)、(b ，0)对称⇒a b T -=2② 关于x=a 、(b ，0)或x=b 、(a ，0)对称⇒a b T -=4③ f (x )为偶函数，关于x=a 对称⇒a T 2=④ f (x )为偶函数，关于x=a 对称⇒a T 4=函数的图像变换：下翻上上下互换上加下减擦左翻右左右互换左加右减⇒→⇒-→⇒±→⇒→⇒-→⇒±→y y y y b y y x x x x a x x5. ◆类似于log a B 和log b B 比较a 、b 大小：利用好换底公式即可x ≤a m ⇒log a x ≤m ,a ∈(1,+∞), log a x ≥m ,a ∈(0,1)◆常用的量估计值（可在比大小的问题里用）e ≈2.7 lg2≈0.301 lg3≈0.477ln2≈0.7 ln3≈1.1 ln5≈1.6◆指对数函数的抽象特征对数函数： f (x) + f (y) = f (xy)指数函数： f (x)·f (y) = f (x+y)6.平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. （即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.7. 函数问题秒杀技Ⅰ. 洛必达法则（受限性强！）简介：对于一个分子分母都有参数的分式，如果它趋近于a 的极限值我们用常规的难求，那么在一定条件下可以分子分母同时求导，这个新的分式的极限值就是原来分式的极限值。
高考数学常用结论
高考数学常用结论1.德摩根公式cu(a?b)?cua?cub;cu(a?b)?cua?cub.2.a?b?a?a?b?b?a?b?cub?cua?a?cubcua?b?r3.卡片（a？b）？卡达？卡德？卡片（a？b）card(a?b?c)?carda?cardb?cardc?card(a?b)卡片（a？b）？信用卡（b？c）？信用卡（c？a）？卡片（a？b？c）。
4.二次函数的解析式的三种形式①一般式f(x)?ax2?bx?c(a?0);2.② 顶点类型F（x；？）a（？x？）H（？K）③ A0）零点公式F（x）？a（x？x1）（x？x2）（a？0）。
5.设x1?x2??a,b?,x1?x2那么（x1？x2）？f（x1）？f（x2）？？0f（x1）？f（x2）x1？x2f（x1）？f（x2）x1？x2？f（x）在哪里？a、 b？以上为附录数；（x1？x2）？f（x1）？f（x2）？？f（x）在哪里？a、 b？以上是一封降价信数.让函数y？F（x）在一定区间内是可微的，如果F？（x） ?？0，那么f（x）是一个递增函数；如果f？（x） ?？那么f（x）是一个减法函数6.函数y?f(x)的图象的对称性:①函数y?f(x)的图象关于直线x?a对称?f(a?x)?f(a?x)?f(2a?x)?f(x).②函数y?f(x)的图象关于直线x?a?b2对称?f(a?mx)?f(b?mx)?f(a?b?mx)?f(mx).7.两个功能图像的对称性：① 功能y？F（x）和函数y？关于直线X的F（？X）的图像？0（即Y轴）对称性② 功能y？F（MX？A）和函数y？F（B？MX）的图像是关于直线x？线y=x是对称的ma?b2m对称.③函数y?1nf(x)和y?f?1(x)的图象关于直8.分数指数幂ana？？Mnam（a？0，m，n？n？和n？1）（a？0，m，n？n？和n？1）1man9.loganban(a0,a1,n0).b10。
高考数学必备的98个二级结论
，k N *
22 2
4 cos sin nA cos nB cos nC , n 4k 3 22 2
（2）若 A B C ，则
① sin 2 A sin 2B sin 2C 8sin A sin B sin C
sin A sin B sin C
222
② cos A cos B cosC 1 4sin A sinB sinC 222
③ tan 2 A tan 2 B tan 2 C 9 ④ cot2 A cot2 B cot2 C 1
39、帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线（椭圆，双曲线，抛物线），那么 它的三对对边的焦点在同一条直线上 40、三余弦定理：设 A 为面上一点，过 A 的斜线 AO 在面上的射影为 AB，AC 为面上的一 条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB 三角的余弦关系为 cos∠OAC=cos∠BAC·cos∠OAB（ ∠BAC 和∠OAB 只能是锐角）
an f an1,n 1，则 an p a an1 p ，即 a n p 是公比为 a 的等比数列。
定理
2：设
f
x
ax b cx d
c
0, ad
bc
0
， an 满足递推关系
an
f
an1,n 1初
值条件 a1 f a1
（1）若 f
x
有两个相异的不动点
p, q ，则
an an
a 双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于 1 且为常数 e 的点的
轨迹称为双曲线
29、反比例函数 y k (k 0) 为双曲线，其焦点为 x
2k，2k 和 2k，- 2k ， k 0
30、到角公式：若把直线 l1依逆时针方向旋转到与l2第一次重合时所转得角是 ，则
高考数学试卷结论分类汇总
1. 方程与不等式- 解一元一次方程- 解一元二次方程- 解不等式及不等式组- 解绝对值方程- 解指数方程- 解对数方程2. 函数- 函数的定义域与值域- 函数的单调性- 函数的奇偶性- 函数的周期性- 函数的图象与性质- 函数的复合与分解3. 数列- 等差数列的通项公式与求和公式 - 等比数列的通项公式与求和公式 - 求解数列中的问题4. 复数- 复数的概念与运算- 复数的几何意义- 复数的模与幅角1. 平面几何- 直线、射线、线段的概念与性质 - 角的概念与性质- 平行线与垂直线的判定与性质 - 三角形的概念与性质- 四边形的性质- 圆的概念与性质- 梯形的性质2. 立体几何- 空间直线与平面的关系- 空间角的度量与计算- 空间距离的计算- 空间图形的体积与表面积3. 解析几何- 直线方程与圆的方程- 直线与圆的位置关系- 直线与直线的位置关系- 直线与平面的位置关系- 圆锥曲线的性质与方程三、概率与统计部分1. 概率- 古典概型- 概率的基本性质- 条件概率与独立事件2. 统计- 平均数、中位数、众数 - 方差、标准差- 数据的分组与图表- 线性回归四、综合应用题1. 综合性题目- 跨学科综合题- 实际应用题- 综合性计算题2. 高考模拟题- 模拟高考题- 高考真题五、特殊题型1. 极限与导数- 极限的概念与性质- 导数的概念与性质- 导数的应用2. 微积分初步- 微积分的基本概念- 微积分的应用3. 复杂方程与不等式- 高次方程的解法- 高次不等式的解法4. 概率与统计综合题- 概率与统计的综合应用题- 统计与概率的综合性题目通过以上分类汇总，可以看出高考数学试卷涵盖了代数、几何、概率与统计等多个方面，涉及到的知识点繁多。
考生在备考过程中，应全面复习，注重基础知识，提高解题能力，以便在高考中取得优异成绩。
高考数学常用公式及结论200条
高考数学常用公式及结论200条湖北省黄石二中 杨志明1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+.5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M N f x +--<⇔()0()f x NM f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}m i n m a x m ax ()(),()(),()2b f x f f x f p f qa=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}m i n ()m i n (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.13.14.四种命题的相互关系15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()nn n n P x a x a xa --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.30.分数指数幂(1)m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质 （1）n a =.（2）当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.， (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数. 推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<.（2）2log log log 2a a a m nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1s ,s ()2(1)s i n ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T πω=.51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈. s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈.cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 53. a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ． 61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式 ,A B d=||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大； 当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小； 当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式 （1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π. 82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是： 若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是：111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0a x b y c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b⇔+>. 95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0A x B y C ++=相切的条件是2222A a B b c+=. 96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<. 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线0A x B y C ++=相切的条件是2222A aB b c-=. 100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02pCF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. （3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212||||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y xB y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB z OC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD xAB yAC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)；(4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r（其中θ（090θ<≤o o）为异面直线a b ,所成角，,a b r 分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=.135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d θ=.',d EA AF =.d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =). 139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =； （2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a ,. 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++. 150.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯. 151.排列数公式mnA =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.152.排列恒等式(1）1(1)m m n nA n m A -=-+; （2）1m mn n n A A n m -=-; （3）11m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA A A ++=-; （5）11m m m n n nA A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.153.组合数公式m n C=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤). 154.组合数的两个性质(1)m n C =mn n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定10=n C .155.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=; （2）1m mn n n C C n m -=-; （3）11mm n n n C C m--=;（4）∑=nr r n C 0=n 2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r rC C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C .(9)rn m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ . 156.排列数与组合数的关系m mn nA m C =⋅！ . 157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n mn A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k kk n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh h h A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +.158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m=⋅⋅=-.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!!...211c b a m C C C N m m n n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n =1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!! (212)11m n n n n p n p n n n p C C C N m m=⋅=-.159．“错位问题”及其推广。
高中数学常用二级结论大全
高中数学常用二级结论大全一、基础常用结论1. 立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²-ab+b²);立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²).2. 任意的简单n 面体内切球半径为是简单n 面体的体积，S 表是简单n 面体的表面积).3. 在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c, 则△ABC 的内切圆半径为4. 斜二测画法直观图面积为原图形面积的倍.5. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和.6. 函数ʃ(x)具有对称轴x= a,x=b(a≠b),则ʃ(x) 为周期函数且一个正周期为2 |a-b|.7. 导数题常用放缩e'≥x+1,e^>ex(x>1).8. 点(x,y) 关于直线Ax+By+C=0 的对称点坐标9. 已知三角形三边x,y,z, 求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如√27, √28, √29):,二、圆锥曲线相关结论10. 若圆的直径端点A(x₁,yi),B(x₂,y₂), 则圆的方程为 ( x - x ) ( x - x₂) + (y-y)(y-y₂)=0.11. 椭区的面积S 为S =πab.12. 过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点.13. 圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 .推论：①过圆( x -a)²+(y-b)²=r²上任意一点P(xo,y 。
)的切线方程为 ( x o-a)(x-a)+(y 。
-b)(y-b)=r²;②过椭圆) 上任意一点P(xo,y 。
)的切线方程为③过双曲) 上任意一点P(x₀,y。
) 的切线方程为 1.14. 任意满足ax"+by"=r 的二元方程，过曲线上一点(x₂,y₁) 的切线方程为ax₁x"¹+by₂y"-1=r.15. 切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程.①过圆 x ² +y²+Dx+Ey+F=0 外一点P(x₀,o) 的切点弦方程②过椭圆O) 外一点P(xo,y 。
高中数学常用的42个结论
高中数学常用的42个结论1．并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.2．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.3．补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．4．改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．5．否定结论：对原命题的结论进行否定．6．倒数性质(1)a>b，ab>0⇒；(2)a<0<b⇒；(3)a>b>0，d>c>0⇒.7．有关分数的性质若a>b>0，m>0，则8．分式不等式的解法9．两个恒成立的充要条件(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔10．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(3)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．(4)(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．11．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．12．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．13．函数单调性的两个等价结论设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则(1)(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增．(2)(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减．14．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．15．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．16．函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．17．幂函数的图象和性质指数函数图象的特点18．指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．19．函数y＝ax与y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．20．指数函数y＝ax与y＝bx的图象特征：在第一象限内，图象越高，底数越大；在第二象限内，图象越高，底数越小．21．换底公式的三个重要结论①logab＝；②logambn＝logab；③logab·logbc·logcd＝logad.22．对数函数图象的特点(1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限．(2)函数y＝logax与y＝log1ax(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称．(3)在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．23．函数图象平移变换的八字方针(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．24．函数图象自身的轴对称(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)．(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．25．函数图象自身的中心对称(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称．(2)函数y＝f(x)的图象关于(a，0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)．(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．26．两个函数图象之间的对称关系(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称．27．有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．28．“对勾”函数f(x)＝x＋(a>0)的性质(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0， ]上单调递减．(2)当x>0时，x＝时取最小值2；当x<0时，x＝－时取最大值－2.29．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．30．象限角31．轴线角32．三角函数定义的推广设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝，cos α＝，tan α＝.33．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．34．同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin α＝tan αcos α.35．四个必备结论(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝.(4)辅助角公式asin x＋bcos x＝，其中tan φ＝.36．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．37．与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．38．对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系．y＝Asin(ωx＋φ)的图象有无数条对称轴，可由方程ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解出；它还有无数个对称中心，即图象与x 轴的交点，可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解出．39．相邻两条对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．40．在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.41．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C.(2)cos(A＋B)＝－cos C.(3)sin ＋B＝cos.(4)cos＝sin. 42．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.。
高考数学常用结论集锦
当前第 页共6页 1 高考数学常用结论集锦湖北省黄冈市团风中学 胡建平1.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=②函数()y f x =的图象关于直2a b x +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-=. ③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=-- 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--2.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--3. 分数指数幂mn a =0,,a m n N *>∈，且1n >）.1mn mn a a -=（0,,a m n N *>∈，且1n >）4. 对数的换底公式 log log log m a m N N a =.推论 log log m n a a n b b m =. 对数恒等式log a N aN =（0,1a a >≠）5. 若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，kk S S 23-成等差数列。
如下图所示：k kk k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 其前n 项和公式 1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+- 5. 若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ， 则'1212--=n n n n S S b a 。
高考数学所有公式及结论总结大全
高考数学所有公式及结论总结大全高考数学涉及到的公式和结论非常多，无法一一列举。
以下是一些高中数学中较为常用的公式和结论的总结，能够帮助你备考：1.二次方程：二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数，a ≠ 0。
二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a。
2.一元二次不等式：一元二次不等式的解集可以通过判别式和一次项系数的正负情况确定。
3.三角函数：正弦函数的定义域为实数集R，值域为[-1,1]。
余弦函数的定义域为实数集R，值域为[-1,1]。
正切函数的定义域为{x，x≠(2k+1)π/2，k∈Z}，值域为实数集R。
4.平面几何：平面直角坐标系中，两点之间的距离公式为：AB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。
5.空间几何：空间直角坐标系中，两点之间的距离公式为：AB=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2)。
6.相似三角形：相似三角形的三边成比例，相应的三个角相等。
7.对数运算：loga (x·y) = loga x + loga y。
loga (x/y) = loga x - loga y。
loga (x^k) = k·loga x。
8.复数：复数的表示形式为：z = a + bi，其中a为实部，b为虚部。
两个复数的加减法：(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ±d)i。
两个复数的乘法：(a + bi) · (c + di) = (ac - bd) + (ad +bc)i。
两个复数的除法：(a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) ÷ (c^2 +d^2)] + [(bc - ad) ÷ (c^2 + d^2)]i。
9.概率统计：事件A发生的概率：P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)为事件A的样本点数，n(S)为样本空间的样本点数。
高考数学常用的50个二级结论
高考数学常用的50个二级结论二级结论绝对会提高你的解题速度，对提升正确率无疑也很有帮助。
但二级结论不同于公式，仅仅将其记住，一是考场上很难想起，二是生搬硬套，很容易陷入老师的命题陷阱里。
因此，一定要自己动手，将每一个二级结论推导一遍，考场上才好放心使用哦~5. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和.12. 过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点.13. 圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导.推论：14. 切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程.22. 过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于A 、B 两点，则直线AB 的斜率为定值.24. 抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点F的连线垂直于该焦点弦.25. 双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a(长半轴长).26. 对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两直线斜率之积为定值，两直线交曲线于A，B两点，则直线AB恒过定点.32. 角平分线定理：三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
角平分线定理逆定理：如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线.39. 帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上.45. 三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；(4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心；(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心；(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心；(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.。
高考数学常用公式结论
当前位置：首页>>高中数学>>教师中心>>高考专栏>>高考研究高考数学常用公式及结论203条（一）1. 元素与集合的关系,.2.德摩根公式.3.包含关系4.容斥原理.5．集合的子集个数共有个；真子集有–1个；非空子集有–1个；非空的真子集有–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式;(2)顶点式;(3)零点式.7.解连不等式常有以下转化形式.8.方程在上有且只有一个实根,与不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程有且只有一个实根在内,等价于,或且,或且.9.闭区间上的二次函数的最值二次函数在闭区间上的最值只能在处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若，则；，，.(2)当a<0时，若，则，若，则，.10.一元二次方程的实根分布依据：若，则方程在区间内至少有一个实根.设，则（1）方程在区间内有根的充要条件为或；（2）方程在区间内有根的充要条件为或或或；（3）方程在区间内有根的充要条件为或.11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间的子区间（形如，，不同）上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.(2)在给定区间的子区间上含参数的二次不等式(为参数)恒成立的充要条件是.(3)恒成立的充要条件是或.12.13.个（个（对所有，且对任何，或14.四种命题的相互关系15.充要条件（1）充分条件：若，则是充分条件.（2）必要条件：若，则是必要条件.（3）充要条件：若，且，则是充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.16.函数的单调性(1)设那么上是增函数；上是减函数.(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.17.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也是减函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数是偶函数，则；若函数是偶函数，则.20.对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是函数;两个函数与的图象关于直线对称.21.若,则函数的图象关于点对称; 若,则函数为周期为的周期函数.22．多项式函数的奇偶性多项式函数是奇函数的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数是偶函数的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数的图象的对称性(1)函数的图象关于直线对称.(2)函数的图象关于直线对称.24.两个函数图象的对称性(1)函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.(2)函数与函数的图象关于直线对称.(3)函数和的图象关于直线y=x对称.25.若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线的图象.26．互为反函数的两个函数的关系.27.若函数存在反函数,则其反函数为,并不是,而函数是的反函数.28.几个常见的函数方程(1)正比例函数,.(2)指数函数,.(3)对数函数,.(4)幂函数,.(5)余弦函数,正弦函数，，.29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1），则的周期T=a；（2），或，或,或,则的周期T=2a；(3)，则的周期T=3a；(4)且，则的周期T=4a；(5),则的周期T=5a；(6)，则的周期T=6a.30.分数指数幂(1)（，且）.(2)（，且）.31．根式的性质（1）.（2）当为奇数时，；当为偶数时，.32．有理指数幂的运算性质(1) .(2) .(3).注：若a＞0，p是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式.34.对数的换底公式(,且,,且,).推论(,且,,且,,).35．对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1);(2) ;(3).36.设函数,记.若的定义域为,则，且;若的值域为,则，且.对于的情形,需要单独检验.37.对数换底不等式及其推广若,,,,则函数(1)当时,在和上为增函数.(2)当时,在和上为减函数.推论:设，，，且，则（1）.（2）.38.平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N，平均增长率为，则对于时间的总产值，有.39.数列的同项公式与前n项的和的关系( 数列的前n项的和为).40.等差数列的通项公式；其前n项和公式为.当前位置：首页>>高中数学>>教师中心>>高考专栏>>高考研究高考数学常用公式及结论203条（二）41.等比数列的通项公式；其前n项的和公式为或.42.等比差数列:的通项公式为；其前n项和公式为.43.分期付款(按揭贷款)每次还款元(贷款元,次还清,每期利率为).44．常见三角不等式（1）若，则.(2) 若，则.(3) .45.同角三角函数的基本关系式，=，.46.正弦、余弦的诱导公式47.和角与差角公式;;.(平方正弦公式);.=(辅助角所在象限由点的象限决定,).48.二倍角公式...49. 三倍角公式...50.三角函数的周期公式函数，x∈R及函数，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期.51.正弦定理.52.余弦定理;;.53.面积定理（1）（分别表示a、b、c边上的高）.（2）.(3).54.三角形内角和定理在△ABC中，有.55.简单的三角方程的通解...特别地,有...56.最简单的三角不等式及其解集......57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.58.向量的数量积的运算律：(1) a·b= b·a（交换律）;(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）;(3)（a+b）·c= a·c +b·c.59.平面向量基本定理如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．60．向量平行的坐标表示设a=,b=，且b0，则a b(b0).53. a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ．61. a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．62.平面向量的坐标运算(1)设a=,b=，则a+b=.(2)设a=,b=，则a-b=.(3)设A，B,则.(4)设a=，则a=.(5)设a=,b=，则a·b=.63.两向量的夹角公式(a=,b=).64.平面两点间的距离公式=(A，B).65.向量的平行与垂直设a=,b=，且b0，则A||b b=λa .a b(a0)a·b=0.66.线段的定比分公式设，，是线段的分点,是实数，且，则（）.67.三角形的重心坐标公式△ABC三个顶点的坐标分别为、、,则△ABC的重心的坐标是.68.点的平移公式.注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为.69.“按向量平移”的几个结论（1）点按向量a=平移后得到点.(2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,则的函数解析式为.(3) 图象按向量a=平移后得到图象,若的解析式,则的函数解析式为.(4)曲线:按向量a=平移后得到图象,则的方程为.(5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=.70.三角形五“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心.（2）为的重心.（3）为的垂心.（4）为的内心.（5）为的的旁心.71.常用不等式：（1）(当且仅当a＝b时取“=”号)．（2）(当且仅当a＝b时取“=”号)．（3）（4）柯西不等式（5）.72.极值定理已知都是正数，则有（1）若积是定值，则当时和有最小值；（2）若和是定值，则当时积有最大值.推广已知，则有（1）若积是定值,则当最大时,最大；当最小时,最小.（2）若和是定值,则当最大时, 最小；当最小时, 最大.73.一元二次不等式，如果与同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.；.74.含有绝对值的不等式当a> 0时，有.或.75.无理不等式（1）.（2）.（3）.76.指数不等式与对数不等式(1)当时,;.(2)当时,;77.斜率公式（、）.78.直线的五种方程（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．（2）斜截式(b为直线在y轴上的截距).（3）两点式()(、()).(4)截距式(分别为直线的横、纵截距，)（5）一般式(其中A、B不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若，①;②.(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,①；②；80.夹角公式(1).(，,)(2).(,,).直线时，直线l1与l2的夹角是.当前位置：首页>>高中数学>>教师中心>>高考专栏>>高考研究高考数学常用公式及结论203条（三）81. 到的角公式(1).(，,)(2).(,,).直线时，直线l1到l2的角是.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数; 经过定点的直线系方程为,其中是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线,的交点的直线系方程为(除)，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．83.点到直线的距离(点,直线：).84. 或所表示的平面区域设直线，则或所表示的平面区域是：若，当与同号时，表示直线的上方的区域；当与异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若，当与同号时，表示直线的右方的区域；当与异号时，表示直线的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 或所表示的平面区域设曲线（），则或所表示的平面区域是：所表示的平面区域上下两部分；所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程.（2）圆的一般方程(＞0).（3）圆的参数方程.（4）圆的直径式方程(圆的直径的端点是、).87. 圆系方程(1)过点,的圆系方程是,其中是直线的方程,λ是待定的系数．(2)过直线:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．(3) 过圆:与圆:的交点的圆系方程是,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种若，则点在圆外;点在圆上;点在圆内.89.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:;;.其中.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，;;;;.91.圆的切线方程(1)已知圆．①若已知切点在圆上，则切线只有一条，其方程是.当圆外时, 表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．③斜率为k的切线方程可设为，再利用相切条件求b，必有两条切线．(2)已知圆．①过圆上的点的切线方程为;②斜率为的圆的切线方程为.92.椭圆的参数方程是.93.椭圆焦半径公式，.94．椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.95. 椭圆的切线方程(1)椭圆上一点处的切线方程是.（2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）椭圆与直线相切的条件是.96.双曲线的焦半径公式，.97.双曲线的内外部(1)点在双曲线的内部.(2)点在双曲线的外部.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为渐近线方程：.(2)若渐近线方程为双曲线可设为.(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线上一点处的切线方程是.（2）过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）双曲线与直线相切的条件是.100. 抛物线的焦半径公式抛物线焦半径.过焦点弦长.101.抛物线上的动点可设为P或P，其中.102.二次函数的图象是抛物线：（1）顶点坐标为；（2）焦点的坐标为；（3）准线方程是.103.抛物线的内外部(1)点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.(2)点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.(3)点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.(4) 点在抛物线的内部.点在抛物线的外部.104. 抛物线的切线方程(1)抛物线上一点处的切线方程是.（2）过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）抛物线与直线相切的条件是.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线,的交点的曲线系方程是(为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程,其中.当时,表示椭圆; 当时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式或（弦端点A，由方程消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线关于点成中心对称的曲线是.（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是.108.“四线”一方程对于一般的二次曲线，用代，用代，用代，用代，用代即得方程，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a＋b=b＋a．(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)．(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使a=λb．三点共线.、共线且不共线且不共线.118.共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对,使．推论空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对,使，或对空间任一定点O，有序实数对，使.119.对空间任一点和不共线的三点A、B、C，满足（），则当时，对于空间任一点，总有P、A、B、C四点共面；当时，若平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．四点共面与、共面（平面ABC）.120.空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝x a＋y b＋z c．推论设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使.当前位置：首页>>高中数学>>教师中心>>高考专栏>>高考研究高考数学常用公式及结论203条（四）121.射影公式已知向量=a和轴，e是上与同方向的单位向量.作A点在上的射影，作B 点在上的射影，则〈a，e〉=a·e122.向量的直角坐标运算设a＝，b＝则(1)a＋b＝；(2)a－b＝；(3)λa＝(λ∈R)；(4)a·b＝；123.设A，B，则= .124．空间的线线平行或垂直设，，则；.125.夹角公式设a＝，b＝，则cos〈a，b〉=.推论，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体中, 与所成的角为,则.127．异面直线所成角=（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）128.直线与平面所成角(为平面的法向量).129.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是、,为的两个内角，则.特别地,当时,有.130.若所在平面若与过若的平面成的角,另两边,与平面成的角分别是、,为的两个内角，则.特别地,当时,有.131.二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.132.三余弦定理设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为．则.133. 三射线定理若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,,与二面角的棱所成的角是θ，则有;(当且仅当时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A，B，则=.135.点到直线距离(点在直线上，直线的方向向量a=，向量b=).136.异面直线间的距离(是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离).137.点到平面的距离（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.138.异面直线上两点距离公式..（）.(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，,,).139.三个向量和的平方公式140. 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理.(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的为).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是,侧面积和体积分别是和,它的直截面的周长和面积分别是和,则①.②.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.146.球的半径是R，则其体积,其表面积．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体:棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.148．柱体、锥体的体积（是柱体的底面积、是柱体的高）.（是锥体的底面积、是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）.150.分步计数原理（乘法原理）.151.排列数公式==.(，∈N*，且)．注:规定.152.排列恒等式(1）;（2）;（3）;（4）;（5）.(6) .153.组合数公式===(∈N*，，且). 154.组合数的两个性质(1)=;(2) +=.注:规定.155.组合恒等式（1）;（2）;（3）;（4）=;（5）.(6).(7).(8).(9).(10).156.排列数与组合数的关系.157．单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有种；②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.（3）两组元素各相同的插空个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当时，无解；当时，有种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.（2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有.（3）(非平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，，…，件，且，，…，这个数彼此不相等，则其分配方法数共有.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，，…，件，且，，…，这个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，，…，件无记号的堆，且，，…，这个数彼此不相等，则其分配方法数有.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，，…，件无记号的堆，且，，…，这个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有.（7）(限定分组有归属问题)将相异的（）个物体分给甲、乙、丙，……等个人，物体必须被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，…时，则无论，，…，等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有.159．“错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信封信与个信封全部错位的组合数为.推广: 个元素与个位置,其中至少有个元素错位的不同组合总数为.160．不定方程的解的个数(1)方程（）的正整数解有个.(2) 方程（）的非负整数解有个.(3) 方程（）满足条件(,)的非负整数解有个.(4) 方程（）满足条件(,)的正整数解有个.当前位置：首页>>高中数学>>教师中心>>高考专栏>>高考研究高考数学常用公式及结论203条（五）161.二项式定理;二项展开式的通项公式.162.等可能性事件的概率.163.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．164.个互斥事件分别发生的概率的和P(A1＋A2＋…＋A n)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(A n)．165.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).166.n个独立事件同时发生的概率P(A1·A2·…·A n)=P(A1)·P(A2)·…·P(A n)．167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率168.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）;（2）.169.数学期望170.数学期望的性质（1）.（2）若～,则.(3)若服从几何分布,且，则. 171.方差172.标准差=.173.方差的性质(1)；(2）若～，则.(3) 若服从几何分布,且，则.174.方差与期望的关系.175.正态分布密度函数，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.176.标准正态分布密度函数.177.对于，取值小于x 的概率..178.回归直线方程，其中.179.相关系数.|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小. 180.特殊数列的极限（1）.（2）.（3）（无穷等比数列()的和）.181. 函数的极限定理.182.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足：（1）;（2）（常数）,则.本定理对于单侧极限和的情况仍然成立.183.几个常用极限（1），（）；（2），.184.两个重要的极限（1）；（2）(e=2.718281845…).185.函数极限的四则运算法则若，，则(1)；(2);(3).186.数列极限的四则运算法则若，则(1)；(2)；(3)(4)( c是常数).187.在处的导数（或变化率或微商）.188.瞬时速度.189.瞬时加速度.190.在的导数.191. 函数在点处的导数的几何意义函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.192.几种常见函数的导数(1) （C为常数）.(2) .(3) .(4) .(5) ；.(6) ; .193.导数的运算法则（1）.（2）.（3）.194.复合函数的求导法则设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作.195.常用的近似计算公式（当充小时）(1);；(2)；；(3)；(4)；(5)（为弧度）；(6)（为弧度）；(7)（为弧度）196.判别是极大（小）值的方法当函数在点处连续时，（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.197.复数的相等.（）198.复数的模（或绝对值）==.199.复数的四则运算法则(1);(2);(3);(4).200.复数的乘法的运算律对于任何，有交换律:.结合律:.分配律:.201.复平面上的两点间的距离公式（，）.202.向量的垂直非零复数，对应的向量分别是，，则的实部为零为纯虚数(λ为非零实数).203.实系数一元二次方程的解实系数一元二次方程，①若,则;②若,则;③若，它在实数集内没有实数根；在复数集内有且仅有两个共轭复数根.。
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原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果.
注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题”.
8.充要条件
2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合 中的元素必有像，但第二个集合 中的元素不一定有原像（ 中元素的像有且仅有下一个，但 中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集 的子集”.
(2)函数图像与 轴垂线至多一个公共点，但与 轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.
).
辅助角公式中辅助角的确定： (其中 角所在的象限由a,b的符号确定， 角的值由 确定)在求最值、化简时起着重要作用.尤其是两者系数绝对值之比为 的情形. 有实数解 .
(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同.
偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.
注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等.
(9)有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和.
（10）并非任何两数总有等比中项. 仅当实数 同号时，实数 存在等比中项.对同号两实数 的等比中项不仅存在，而且有一对 .也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时).在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解.
高考数学常用结论集锦
高考数学常用结论集锦1.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=②函数()y f x =的图象关于直2a bx +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-=.③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--2.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m +=对称.特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- 3. 分数指数幂m na=0,,a m n N *>∈，且1n >）.1m nmnaa -=（0,,a m n N *>∈，且1n >）4. 对数的换底公式log log log m a m N N a =.推论 log log m n a a nb bm =.对数恒等式log a N a N =（0,1a a >≠）5. 若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。
如下图所示：44444444444844444444444764434421Λ4434421Λ444344421Λk kk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++其前n 项和公式1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-5. 若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1212--=n n n n S S b a 。
高中高考数学所有二级结论《完整版》(经典实用)
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一、绝对值的性质：
1、绝对值的值总是非负的，即
|a|≥0
2、绝对值的值等于它的相反数的绝对值，即
|-a|= |a|
3、如果a和b为两个实数，则
|a+b|≤|a|+|b|
4、绝对值的值等于双端括号内括号内的表达式的实部，即
|a+bi|=√(a^2+b^2)
若a≥0，则|a^n|=a^n
6、幂律性质：
若a≠0，则
|a^m/a^n|=|a|^m-n 或|a|^n-m
7、约分式的绝对值性质：对于幂的约定法则有
二、不等式的性质：
1、交换律：
若x＞y，则y＜x
2、累加律：
(1)、ax＞ay，其中x＞y
(1)、a mod b＞0
6、乘方不等式：
若x≥0，n为奇数，则
(1)、x^n＞0
若x>1，y>0，则
三、函数的性质：
1、一次函数的特点：
若f(x)为一次函数，则对于任意x1，x2∈D，都有：
f(x1)＞f(x2)，当且仅当x1＞x2
2、函数的上下界：
设f(x)在[a,b]上存器，M为f(x)在[a,b]上的最⼤值，m为f(x)在[a,b]上的最⼤值，则称M为f(x)在[a,b]上的上⼤界，m为f(x)在[a,b]上的下⼤界
3、函数的最⼤值：
若f(x)在[a,b]上有最⼤值m，则在[a,b]上必存器⼤个使f(x)的导数为0的点x1，
满⼤f′(x1)=0。
高中数学常用结论
38个常用结论内容提要一些常用的结论,整理成到一起, 形成了这本常用结论小册子.把结论分成了两类:一类是重要结论, 这是必须掌握的;另一类是二级结论, 可以选择性地掌握.目录函数重要结论3:函数图象的对称轴和对称中心结论重要结论4:双对称的周期结论重要结论5:经典切线放缩不等式二级结论27:常用泰勒公式平面向量重要结论6:向量中线定理重要结论7:三点共线向量系数和结论重要结论8:投影向量计算公式重要结论9:重心坐标二级结论29:极化恒等式三角函数、解三角形重要结论10:角平分线性质定理重要结论11:三角形的内切圆半径公式二级结论28:万能公式数列重要结论12:等差、等比数列的片段和性质立体几何重要结论13:三垂线定理二级结论31:正四面体外接球、内切球半径解析几何重要结论14:椭圆通径公式重要结论15:双曲线通径公式重要结论17:弦长公式重要结论18:双曲线的焦点到渐近线距离结论重要结论19:切线、切点弦统一结论重要结论20:椭圆的中点弦斜率积结论重要结论21:双曲线的中点弦斜率积结论二级结论32:角版焦半径、焦点弦公式, 焦原三角形面积公式二级结论33:原点三角形面积公式二级结论34:椭圆的第三定义斜率积结论二级结论35:双曲线第三定义斜率积结论二级结论36:抛物线的垂直定点结论二级结论37:以抛物线的焦点弦为直径的圆与准线相切二级结论38:点乘双根法概率统计重要结论22:平均数、方差的性质重要结论23:期望、方差的性质重要结论24:超几何分布期望公式不等式二级结论25:糖水不等式二级结论26:三元均值不等式其它重要结论1:子集个数结论重要结论2:等比性质重要结论16:韦达定理推论二级结论30:重心等分面积结论38个常用结论重要结论1:(子集个数结论)设集合A有n n∈N*个元素,则A的子集有2n个, 非空子集有2n-1个,真子集有2n-1个,非空真子集有2n-2个．证明：设A的元素分别为x1,x2,⋯,x n,集合B是集合A的子集,则要分析集合B有几种情况,可分步考虑A中的每个元素是否在B中,因为x1,x2,⋯,x n均可能在或不在B中,所以每个元素都有2种情况,由分步乘法计数原理,集合B有2×2×⋯×2=2n种情况,故A的子集有2n个,去掉空集, A的非空子集有2n-1个,去掉A本身, A的真子集有2n-1个,去掉空集和A本身, A的非空真子集有2n-2个.重要结论2:(等比性质)设ab=cd,且b+d≠0,则ab=cd=a+cb+d .证明：设ab=cd=k,则a=bk,c=dk ,所以a+cb+d=bk+dkb+d=k b+db+d=k,故ab=cd=a+cb+d .重要结论3:(函数图象的对称轴和对称中心结论)(1)若f x 满足f a+x=f b-x,则f x 的图象关于直线x=a+b2对称.(2)若f x 满足f a+x+f b-x=c,则f x 的图象关于点a+b2,c2对称.(3)若将上述(1)(2)中的x全部换成2x(或3x等等),结论依然成立.例如,若f a+2x=f b-2x,则仍可得到f x 关于直线x=a+b2对称.证明：(1)设P x,f x是函数f x 图象上任意一点,则P关于直线x=a+b2的对称点为Pa+b-x,f x,如图1,要证结论成立,只需证P 也在f x 的图象上,即证f x =f a+b-x,在f a+x=f b-x中将x换成x-a可得f a+x-a=f b-x-a,所以f x =f a+b-x,故f x 的图象关于直线x=a+b2对称;(2)设P x,f x是函数f x 图象上任意一点,则P关于a+b2,c2的对称点为P a+b-x,c-f x,如图2,要证结论成立,只需证P 也在f x 的图象上,即证c -f x =f a +b -x ,也即证f x +f a +b -x =c ,在f a +x +f b -x =c 中将x 换成x -a 可得f a +x -a +f b -x -a =c ,所以f x +f a +b -x =c ,故f x 的图象关于a +b 2,c 2对称.(3)以f a +2x =f b -2x 为例,此式对任意的实数x 都成立,则将x 换成x 2可得f a +x =f b -x ,所以f x 的图象关于直线x =a +b 2对称.图1图2重要结论4:(双对称的周期结论, 可借助三角函数辅助理解)(1)若函数f x 有两条对称轴,则f x 一定是周期函数,周期为对称轴距离的2倍.(2)若函数f x 有一条对称轴,一个对称中心,则f x 一定是周期函数,周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.(3)若函数f x 有在同一水平线上的两个对称中心,则f x 一定是周期函数,周期为对称中心之间距离的2倍.证明：(1)设函数f x 的两条对称轴分别为x =a ,x =b ,不妨假设b >a ,则f 2a +x =f -x f 2b +x =f -x ,所以f 2a +x =f 2b +x ,在上式中将x 换成x -2a 可得f x =f x +2b -2a ,所以f x 一定是周期函数,周期T =2b -2a ,周期为对称轴之间距离的2倍.(2)设函数f x 的对称轴为x =a ,对称中心为b ,c ,则f 2a +x -f -x =0f 2b +x +f -x =2c所以f2a+x+f2b+x=2c,将x换成x-2a可得f x +f x+2b-2a=2c ,所以f x+2b-2a=-f x +2c(i),在式(i)中将x换成x+2b-2a可得f x+2b-2a+2b-2a=-f x+2b-2a+2c ,结合式(i)可得f x+4b-4a=--f x +2c+2c=f x ,所以函数f x 一定是周期函数,周期T=4b-4a ,周期为对称轴与对称中心之间距离的4倍.(3)设f x 的两个对称中心分别为a,m,b,m,不妨假设b>a ,则f2a+x+f-x=2mf2b+x+f-x=2m,两式作差得:f2a+x-f2b+x=0 ,所以f2a+x=f2b+x,将x换成x-2a可得f2a+x-2a=f2b+x-2a,所以f x =f x+2b-2a,故f x 为周期函数,周期为T=2b-2a ,周期为两对称中心之间距离的2倍.重要结论5:(经典切线放缩不等式)(1)e x≥x+1,当且仅当x=0时取等号.(2)e x≥ex,当且仅当x=1时取等号.(3)1-1x≤ln x≤x-1,当且仅当x=1时取等号.(4)ln x≤xe,当且仅当x=e时取等号.上述不等式的图象特征如下面的两个图:证明：(1)设f x =e x-x-1,x∈R,则f x =e x-1,所以f x <0⇔x<0 ,f x >0⇔x>0,故f x 在-∞,0上↘,在0,+∞上↗ ,所以f x ≥f0 =0,从而e x-x-1≥0,故e x≥x+1,取等条件是x=0 . (2)设g x =e x-ex, x∈R,则g x =e x-e,所以g x <0⇔x<1 ,g x >0⇔x >1,故g x 在-∞,1 上↘,在1,+∞ 上↗ ,所以g x ≥g 1 =0,从而e x -ex ≥0,故e x ≥ex ,取等条件是x =1 .(3)设h x =ln x -x +1,x >0,则h x =1x -1=1-x x,所以h x >0⇔0<x <1 ,h x <0⇔x >1,故h x 在0,1 上↗,在1,+∞ 上↘ ,所以h x ≤h 1 =0,从而ln x -x +1≤0,故ln x ≤x -1,取等条件是x =1 ,在上式中将x 换成1x 可得ln 1x ≤1x -1,所以-ln x ≤1x -1,故ln x ≥1-1x ,取等条件是1x =1,即x =1 .(4)设r x =ln x -x e ,x >0,则r x =1x -1e =e -x ex,所以r x >0⇔0<x <e ,r x <0⇔x >e ,故r x 在0,e 上↗,在e ,+∞ 上↘ ,所以r x ≤r e =0,从而ln x -x e ≤0,故ln x ≤x e,取等条件是x =e .重要结论6:(向量中线定理)如图,设D 是BC 中点,则AD =12AB +12AC .证明：AD =AB +BD =AB +12BC =AB +12AC -AB =12AB +12AC .重要结论7:(三点共线向量系数和结论)如图,平面内A ,B ,C 三点不共线,点D 满足AD =λAB +μAC λ,μ∈R ,则B ,C ,D 三点共线的充要条件是λ+μ=1 .证明：先看充分性.当λ+μ=1时, μ=1-λ ,所以AD =λAB +μAC =λAB +1-λ AC =λAB -AC +AC =λCB +AC ,从而AD -AC =λCB ,故CD =λCB ,所以B ,C ,D 三点共线,充分性成立;再看必要性. 当B ,C ,D 三点共线时,可设BD =mBC ,所以AD =AB +BD =AB +mBC =AB +m AC -AB =1-m AB +mAC ,与AD =λAB +μAC 对比可得λ=1-m μ=m ,所以λ+μ=1-m +m =1,必要性成立;所以B ,C ,D 三点共线的充要条件是λ+μ=1 .重要结论8:(投影向量计算公式)向量b 在向量a 上的投影向量为a ⋅b a2a .证明：如图,设e 为与a 同向的单位向量,则b 在a 上的投影向量为b cos θ e ,由于e =a a ,所以b cos θ e =b cos θ a a =b cos θa a =a ⋅b cos θa 2a =a ⋅b a2a .重要结论9:(重心坐标)△ABC 的顶点分别为A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,C x 3,y 3 ,则△ABC 的重心G 的坐标为x 1+x 2+x 33,y 1+y 2+y 33. 这一结论可推广到空间中.证明：如图,设G x ,y 为△ABC 的重心,则AG :GD =2:1 ,所以AG =23AD =23×12AB +AC =13AB +AC (i ),又AG =x -x 1,y -y 1 ,AB =x 2-x 1,y 2-y 1 ,AC =x 3-x 1,y 3-y 1 ,所以由式(i )可得x -x 1=13x 2-x 1+x 3-x 1 y -y 1=13y 2-y 1+y 3-y 1 ,整理得:x =x 1+x 2+x 33y =y 1+y 2+y 33 ,故重心G 的坐标为x 1+x 2+x 33,y 1+y 2+y 33.重要结论10:(角平分线性质定理)如图, △ABC 的内角A 的平分线与BC 交于点D ,则AB AC=BD CD .证明：设△ABC的BC边上的高为h,则S△ABDS△ACD=12BD⋅h12CD⋅h=BDCD(i),又AD是内角A的平分线,所以∠BAD=∠CAD ,故S△ABDS△ACD=12AB⋅AD⋅sin∠BAD12AC⋅AD⋅sin∠CAD=ABAC,结合式(i)可得ABAC=BDCD.重要结论11:(三角形的内切圆半径公式)设△ABC的面积为S,周长为L,内切圆半径为r,则r=2S L .证明：如图,设切点分别为D,E,F,则OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC ,所以S=S△OAB+S△OBC+S△OAC=12AB⋅OD+12BC⋅OE+12AC⋅OF=12AB⋅r+12BC⋅r+12AC⋅r=12AB+BC+ACr=12Lr,所以r=2SL .重要结论12:(等差、等比数列的片段和性质)(1)若a n是公差为d的等差数列,其前n项和为S n,则S m,S2m-S m,S3m-S2m,⋯也构成等差数列,公差为m2d .(2)若a n是公比为q的等比数列,其前n项和为S n,则当q≠-1或m为奇数时, S m,S2m-S m,S3m-S2m,⋯也构成等比数列,公比为q m .证明：(1)S m=a1+a2+⋯+a m, S2m-S m=a m+1+a m+2+⋯+a2m ,因为a m+1-a1=md, a m+2-a2=md, ⋯, a2m-a m=md ,所以S2m-S m-S m=a m+1+a m+2+⋯+a2m-a1+a2+⋯+a m=a m+1-a1+a m+2-a2+⋯+a2m-a m=md+md+⋯+md=m2d,同理, S3m-S2m-S2m-S m=a2m+1+a2m+2+⋯+a3m-a m+1+a m+2+⋯+a2m=a2m+1-a m+1+a2m+2-a m+2+⋯+a3m-a2m=md+md+⋯+md=m2d,以此类推, S m,S2m-S m,S3m-S2m,⋯构成公差为m2d的等差数列.(2)当q≠-1或m为奇数时, S m,S2m-S m,S3m-S2m,⋯均不为0,且S2m-S mS m=a m+1+a m+2+⋯+a2ma1+a2+⋯+a m=a1q m+a2q m+⋯+a m q ma1+a2+⋯+a m=q m , S3m-S2mS2m-S m=a2m+1+a2m+2+⋯+a3ma m+1+a m+2+⋯+a2m=a m+1q m+a m+2q m+⋯+a2m q ma m+1+a m+2+⋯+a2m=q m,以此类推, S m,S2m-S m,S3m-S2m,⋯构成公比为q m的等比数列.重要结论13:(三垂线定理)如图, a⊂α,l在α内的射影是b,若a⊥b,则a⊥l , 此结论反过来也成立,即当a⊥l时,也有a⊥b .证明：因为c⊥αa⊂α,所以a⊥c,故a⊥b⇔a⊥图中的三角形所在平面⇔a⊥l重要结论14:(椭圆通径公式)对于椭圆, 过其焦点且垂直于长轴的弦叫做通径, 通径的长为2b2a,其中a,b分别为椭圆的长半轴长、短半轴长.证明：如图,不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1a>b>0,其焦点为±c,0,过其焦点且与长轴垂直的直线的方程为x=c或x=-c,以x=c为例,将x=c代入x2a2+y2b2=1可得c2a2+y2b2=1 ,解得:y=±b21-c2 a2=±b2⋅a2-c2a2=±b4a2=±b2a ,所以图中通径长AB=2b2a,由椭圆的对称性可知通径A B 的长也为2b2a .重要结论15:(双曲线通径公式)对于双曲线, 过其焦点且垂直于实轴的弦叫做通径,通径的长为2b 2a,其中a ,b 分别为双曲线的实半轴长、虚半轴长.证明：如图,不妨设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ,其焦点为±c ,0 ,过其焦点且与实轴垂直的直线的方程为x =c 或x =-c ,以x =c 为例,将x =c 代入x 2a 2-y 2b 2=1可得c 2a 2-y 2b2=1 ,解得:y =±b 2c 2a 2-1=±b 2⋅c 2-a 2a 2=±b 4a 2=±b 2a ,所以图中通径长AB =2b 2a ,由双曲线的对称性可知通径A B 的长也为2b 2a .重要结论16:(韦达定理推论)设x 1,x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0a ≠0 的两根,则x 1-x 2 =Δa.证明：由韦达定理, x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=c a,所以x 1-x 2 =x 1-x 2 2=x 1+x 2 2-4x 1x 2=-b a 2-4⋅c a =b 2a 2-4c a =b 2-4ac a 2=Δa.重要结论17:(弦长公式)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,若A ,B 在直线y =kx +b 上,则AB =1+k 2⋅x 1-x 2 ;若A ,B 在直线x =my +t 上,则AB =1+m 2⋅y 1-y 2 .特别地,当A ,B 是直线与椭圆(或双曲线、抛物线)交点时,常联立直线与椭圆(或双曲线、抛物线)的方程,得到关于x 或y 的一元二次方程,则上述弦长公式中的x 1-x 2 ,y 1-y 2 可由韦达定理推论来算.以x 1-x 2 为例,假设联立直线与圆锥曲线得到的一元二次方程是ax 2+bx +c =0a ≠0 ,则x 1-x 2 =Δa,所以此时的弦长公式可写成AB =1+k 2⋅x 1-x 2 =1+k 2⋅Δa .证明：由两点间的距离公式, AB =x 1-x 2 2+y 1-y 2 2(i ),若A ,B 两点在直线y =kx +b 上,则y 1=kx 1+by 2=kx 2+b ,代入(i )得AB =x 1-x 22+kx 1+b -kx 2-b 2=x 1-x 22+k 2x 1-x 2 2=1+k 2x 1-x 2 2=1+k 2⋅x 1-x 2 ;若A ,B 两点在直线x =my +t 上,则x 1=my 1+tx 2=my 2+t ,代入(i )得AB =my 1+t -my 2-t 2+y 1-y 2 2=m 2y 1-y 2 2+y 1-y 2 2=m 2+1 y 1-y 2 2=1+m 2⋅y 1-y 2 .重要结论18:双曲线的焦点到其渐近线的距离等于虚半轴长b .证明：不妨设双曲线为x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ,则该双曲线的渐近线为y =±ba x , 即bx±ay =0,设双曲线的焦点为±c ,0 ,则焦点到渐近线的距离d =±cbb 2+±a 2=bc a 2+b 2=bcc =b .重要结论19:(切线、切点弦统一结论)设点P x 0,y 0 ,将圆的标准方程x -a 2+y -b 2=r 2变成x -a x 0-a +y -b y 0-b =r2,或在圆的一般式方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0中,用x 0x 替换x 2,用y 0y替换y 2,用x +x 02替换x ,用y +y 02替换y ,可以得到一个新方程,当P 在圆上时,如图1,该方程表示切线l ;当P 在圆外时,如图2,该方程表示切点弦AB 所在直线的方程. 本结论对椭圆、双曲线、抛物线也成立.图1图2证明：按圆、椭圆、双曲线、抛物线逐一论证上述统一结论较繁琐, 下面我们只证圆的切点弦方程.如下图,因为PA ,PB 是圆的切线,所以PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,故P ,A ,C ,B 四点都在以PC 为直径的圆上, AB 即为该圆与圆C 的公共弦,由P x 0,y 0 ,C a ,b 可得PC 中点为x 0+a 2,y 0+b2,PC 2=x 0-a 2+y 0-b 2 ,故以PC 为直径的圆的方程为x -x 0+a 2 2+y -y 0+b 22=14x 0-a 2+y 0-b 2 ,展开整理得:x 2+y 2-x 0+a x -y 0+b y +ax 0+by 0=0(i ),圆C 的方程为x 2+y 2-2ax -2by+a 2+b 2=r 2(ii ),用方程(ii )减去方程(i )可得x 0-a x +y 0-b y -ax 0-by 0+a 2+b 2=r 2 ,整理得直线AB 的方程为x 0-a x -a +y 0-b y -b =r 2 .重要结论20:(椭圆的中点弦斜率积结论)如图, AB 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的一条不与坐标轴垂直且不过原点的弦, M 为AB 中点,则k AB ⋅k OM =-b2a2 .注:对于焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 ,则上述斜率积为-a 2b2 .证明：设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,x 1≠x 2,y 1≠y 2 ,因为A ,B 都在椭圆上,所以x 21a 2+y 21b2=1x 22a 2+y 22b 2=1,两式作差得:x 21-x 22a 2+y 21-y 22b 2=0,整理得:y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=-b 2a2(i ),注意到y 1-y 2x 1-x 2=k AB ,y 1+y 2x 1+x 2=2y M 2x M =y M x M =k OM ,所以式(i )即为k AB ⋅k OM =-b 2a 2 ,对于焦点在y 轴上的情形,证法与上面相同,不再赘述.重要结论21:(双曲线的中点弦斜率积结论)如图, AB 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0 ,b >0)的一条不与坐标轴垂直且不过原点的弦, M为AB 中点,则k AB ⋅k OM =b2a2 .注:对于焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2-x 2b 2=1a >0,b >0 ,则上述斜率积为a 2b2 .证明：设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,x 1≠x 2,y 1≠y 2 ,因为A ,B 都在双曲线上,所以x 21a 2-y 21b2=1x 22a 2-y 22b 2=1,两式作差得:x 21-x 22a 2-y 21-y 22b 2=0,整理得:y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=b 2a2(i ),注意到y 1-y 2x 1-x 2=k AB ,y 1+y 2x 1+x 2=2y M 2x M =y M x M =k OM ,所以式(i )即为k AB ⋅k OM =b 2a2 ,对于焦点在y 轴上的情形,证法与上面相同,不再赘述.重要结论22:(平均数、方差的性质)设数据x 1,x 2,⋯,x n 的平均数为x,方差为s 2 , 标准差为s ,则数据ax 1+b ,ax 2+b ,⋯,ax n+b 的平均数为ax+b ,方差为a 2s 2,标准差为a s .证明：由题意, x =x 1+x 2+⋯+x n n ,s 2=1nx 1-x 2+x 2-x 2+⋯+x n -x2 ,所以y =y 1+y 2+⋯+y nn =ax 1+b +ax 2+b +⋯+ax n +b n=a x 1+x 2+⋯+x n +nb n =a ⋅x 1+x 2+⋯+x n n+b =ax +b ,故新数据的方差s 21=1ny 1-y 2+y 2-y 2+⋯+y n -y 2=1nax 1+b -ax -b 2+ax 2+b -ax -b 2+⋯+ax n +b -ax -b 2=1na 2x 1-x 2+a 2x 2-x 2+⋯+a 2x n -x 2 =a 2⋅1nx 1-x 2+x 2-x 2+⋯+x n -x 2 =a 2s 2 ,标准差s 1=a 2s 2=a s .重要结论23:(期望、方差的性质)设随机变量X 的期望为E X ,方差为D X ,标准差为D X ,若Y =aX +b ,则Y 的期望E Y =aE X +b ,方差D Y =a 2D X ,标准差为a D X .证明：设X 的分布列为X x 1x 2...x n Pp 1p 2...p n则E X =x 1p 1+x 2p 2+⋯+x n p n (i ),D X =x 1-E X 2p 1+x 2-E X 2p 2+⋯+x n -E X 2p n (ii ),因为Y =aX +b ,所以Y 的分布列为Y ax 1+b ax 2+b ...ax n +b Pp 1p 2...p n故E Y =ax 1+b p 1+ax 2+b p 2+⋯+ax n +b p n =a x 1p 1+x 2p 2+⋯+x n p n +b p 1+p 2+⋯+p n (iii ),将式(i )和p 1+p 2+⋯+p n =1代入式(iii )可得E Y =aE X +b ,D Y =ax 1+b -E Y 2p 1+ax 2+b -E Y 2p 2+⋯+ax n +b -E Y 2p n =ax 1+b -aE X -b 2p 1+ax 2+b -aE X -b 2p 2+⋯+ax n +b -aE X -b 2p n =a 2x 1-E X 2p 1+a 2x 2-E X 2p 2+⋯+a 2x n -E X 2p n=a 2x 1-E X 2p 1+x 2-E X 2p 2+⋯+x n -E X 2p n =a 2D X ,随机变量Y 的标准差为D Y =a 2D X =a D X .重要结论24:(超几何分布期望公式)设随机变量X 服从超几何分布,三个参数分别为N ,n ,M ,则E X =n ⋅MN.二级结论25:(糖水不等式)设a >b >0,c >0,则b +c a +c >ba.证明：b +c a +c -ba =b +c a -a +c b a +c a =c a -b a +c a (i )因为a >b >0,c >0,所以a +c a >0,a -b >0 ,结合(i )可得b +c a +c -b a >0,故b +c a +c >ba.二级结论26:(三元均值不等式)设a ,b ,c 为正实数,则a +b +c3≥3abc ,当且仅当a =b =c 时取等号. 此不等式可变形成abc ≤a +b +c 33.二级结论27:(常用泰勒公式)(1)e x=1+x +x 22!+x 33!+⋯+x nn !+⋯;(2)ln 1+x =x -12x 2+13x 3-⋯+-1 n +1n x n +⋯;(3)1+x a =1+ax +a a -1 2!x 2+⋯+a a -1 a -2 ⋯a -n +1 n !x n+⋯;(4)sin x =x -x 33!+x 55!-⋯+-1 n -12n -1 !x 2n -1+⋯;(5)cos x =1-x 22!+x 44!-⋯+-1 n2n !x 2n +⋯ .二级结论28:(万能公式)设α≠2k π+π且α≠k π+π2,其中k ∈Z ,则(1)sin α=2tan α21+tan 2α2;(2)cos α=1-tan 2α21+tan 2α2;(3)tan α=2tan α21-tan 2α2 .证明：(1)sin α=2sinα2cos α2=2sin α2cos α2cos 2α2+sin 2α2=2tan α21+tan 2α2;(2)cos α=cos 2α2-sin 2α2=cos 2α2-sin 2α2cos 2α2+sin 2α2=1-tan 2α21+tan 2α2;(3)tan α=tan 2×α2 =2tan α21-tan 2α2. 二级结论29:(极化恒等式)如图,设D 为BC 中点,则AB ⋅AC =AD 2-BD 2 .证明：AB ⋅AC =AD +DB ⋅AD +DC ,因为DC =-DB ,所以AB ⋅AC =AD +DB ⋅AD -DB =AD 2-BD 2 ,此结论虽然归为了二级结论, 但针对性较强(涉及中线或底边中点的数量积问题), 推荐掌握.二级结论30:(重心等分面积结论)设△ABC 的重心为G ,则S △GAB =S △GAC =S △GBC ．证明：如图,因为G 是△ABC 的重心,所以D ,E ,F 分别为所在边的中点,且AG :GD =BG :GE =CG :GF =2:1,考虑△GAB 和△GBD 的面积,若都以B 为顶点,则它们的高相等,设为h ,则S △GAB S △GBD =12AG ⋅h 12GD ⋅h =AG GD =2 ,所以S △GAB =23S △ABD ,又D 为BC 中点,所以S △ABD =12S △ABC ,从而S △GAB =23×12S △ABC =13S △ABC ,同理, S △GAC =S △GBC =13S △ABC ,故结论成立.二级结论31:(正四面体外接球、内切球半径)设正四面体的棱长为a ,则其外接球半径R =64a ,内切球半径r =612a .证明：如图, 将正四面体放入正方体中, 二者有相同的外接球,由正四面体的棱长为a 可得正方体的棱长为22a ,所以正方体的外接球半径R =22a ×32=64a ,故正四面体的外接球半径R =64a ,内切球半径r 即为球心O 到正四面体的面的距离,如图,球心O 为正方体的中心,即CE 的中点,由图可知CE 在面AEBF 内的射影是EF ,因为AB ⊥EF ,所以由三垂线定理, AB ⊥CE ,又CE 在面BGDE 内的射影为EG ,且BD ⊥EG ,所以由三垂线定理, BD ⊥CE ,故CE ⊥平面ABD ,设OE 与平面ABD 交于点I ,则点O 到平面ABD 的距离OI =OE -IE =12CE -IE =32×22a -IE =64a -IE (i ),由三棱锥的等体积性, V E -ABD =V A -EBD ,所以13×12×a 2×32×IE =13×12×22a 2×22a ,解得:IE =66a ,代入(i )得OI =64a -66a =612a ,所以正四面体的内切球半径r =612a .二级结论32:(角版焦半径、焦点弦公式, 焦原三角形面积公式)设抛物线y 2=2px p >0 的焦点为F ,O 为原点.(1)焦半径公式:如图1,设A 为抛物线上任意一点,记∠AFO =α,则焦半径AF =p1+cos α.(2)焦点弦公式:如图2, AB 是抛物线的焦点弦,记∠AFO =α,则AB =2psin 2α.(3)焦原三角形面积公式:如图3,设AB 是抛物线的焦点弦,记∠AFO =α,则S △AOB =p 22sin α.图1图2图3证明：(1)作AM ⊥x 轴于M ,先考虑M 在F 右侧的情形,如图4,设A x 0,y 0 ,则FM =x 0-p2,又FM =AF cos ∠AFM =AF cos π-α =-AF cos α ,与上式比较可得:-AF cos α=x 0-p2,另一方面,由坐标版焦半径公式知AF =x 0+p2,与上式作差消去x 0整理得:AF =p1+cos α;同理可证当M 在F 左侧或恰好与F 重合时,都有AF =p1+cos α.(2)如图5, ∠BFO =π-α ,由(1)中的焦半径公式可得AF =p1+cos α,BF =p 1+cos π-α=p1-cos α ,所以AB =AF +BF =p 1+cos α+p1-cos α=p 1-cos α +p 1+cos α 1+cos α 1-cos α =2p 1-cos 2α=2p sin 2α.(3)如图6,作OD ⊥AB 于D ,则OD =OF sin ∠OFD=OF sin π-α =OF sin α=p2⋅sin α ,由(2)中的焦点弦公式可得AB =2psin 2α ,所以S △AOB =12AB ⋅OD =12⋅2p sin 2α⋅p 2⋅sin α=p 22sin α.图4图5图6二级结论33:(原点三角形面积公式)设O 为原点, A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则S △AOB =12x 1y 2-x 2y 1 .证明：如图,设∠AOB =θ,则cos θ=OA ⋅OBOA ⋅OB,所以S △AOB =12OA ⋅OB ⋅sin θ=12OA⋅OB ⋅1-cos 2θ=12OA⋅OB ⋅1-OA ⋅OBOA ⋅OB 2=12OA 2⋅OB 2-OA ⋅OB 2=12x 21+y 21 x 22+y 22 -x 1x 2+y 1y 2 2=12x 21x 22+x 21y 22+y 21x 22+y 21y 22-x 21x 22+y 21y 22+2x 1x 2y 1y 2=12x 21y 22+x 22y 21-2x 1x 2y 1y 2=12x 1y 2-x 2y 12=12x 1y 2-x 2y 1 .二级结论34:(椭圆的第三定义斜率积结论)如图1,设A ,B 分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右顶点, P 是椭圆上不与A ,B 重合的任意一点,则k PA ⋅k PB =-b 2a2.注:(1)上述结论中A ,B 是椭圆的左、右顶点,可将其推广为椭圆上关于原点对称的任意两点,如图2,只要直线PA ,PB 的斜率都存在,就仍然满足k PA ⋅k PB =-b 2a2 .(2)若是焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 ,则上述斜率积为-a 2b2 .图1图2证明：图1是图2的特殊情况, 故下面只证图2的一般性结论,设A x 1,y 1 ,P x 2,y 2 ,则B -x 1,-y 1 ,k PA ⋅k PB =y 2-y 1x 2-x 1⋅y 2+y 1x 2+x 1=y 22-y 21x 22-x 21(i ),因为点A 在椭圆上,所以x 21a 2+y 21b2=1 ,故y 21=b 21-x 21a 2=-b 2a2x 21-a 2 ,同理y 22=-b 2a2x 22-a 2 ,所以y 22-y 21=-b 2a 2x 22-a 2-x 21+a 2=-b 2a2x 22-x 21 ,代入(i )得:k PA ⋅k PB =-b 2a2;在上述条件中令A -a ,0 ,B a ,0 ,即得图1的特殊情况下的结论,对于焦点在y 轴上的情形,证法与上面相同,不再赘述.此结论虽然归为了二级结论,但针对性较强(涉及椭圆上的点P 与椭圆上关于原点对称的A ,B 两点的连线斜率积问题),推荐掌握.二级结论35:(双曲线第三定义斜率积结论)如图1,设A ,B 分别是双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右顶点, P 是双曲线上不与A ,B 重合的任意一点,则k PA ⋅k PB =b 2a2 .注:(1)上述结论中A ,B 是双曲线的左、右顶点,可将其推广为双曲线上关于原点对称的任意两点,如图2,只要直线PA ,PB 的斜率都存在,就仍满足k PA ⋅k PB =b 2a2 .(2)若是焦点在y 轴上的双曲线,则上述斜率积为a2b2 .图1图2证明：图1是图2的特殊情况, 故下面只证图2的一般性结论,设A x 1,y 1 ,P x 2,y 2 ,则B -x 1,-y 1 ,k PA ⋅k PB =y 2-y 1x 2-x 1,y 2+y 1x 2+x 1=y 22-y 21x 22-x 21(i ),因为点A 在双曲线上,所以x 21a 2-y 21b2=1 ,故y 21=b 2x 21a 2-1=b 2a 2x 21-a 2 ,同理, y 22=b 2a 2x 22-a 2,所以y 22-y 21=b 2a 2x 22-a 2-x 21+a 2 =b 2a2x 22-x 21 ,代入(i )得:k PA ⋅k PB =b 2a2;在上述条件中令A -a ,0 ,B a ,0 ,即得图1的特殊情况下的结论,对于焦点在y 轴上的情形,证法与上面相同,不再赘述.此结论虽然归为了二级结论,但针对性较强(涉及双曲线上的点P 与双曲线上关于原点对称的A ,B 两点的连线斜率积问题),推荐掌握.二级结论36:(抛物线的垂直定点结论)设A ,B 为抛物线y 2=2px p >0 上两点,O 为原点,若OA ⊥OB ,则直线AB 过定点M 2p ,0 .证明：设直线AB 的方程为x =my +t ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,因为OA ⊥OB ,所以OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=0(i ),联立x =my +t y 2=2px 消去x 整理得:y 2-2pmy -2pt =0(ii ),由韦达定理, y 1y 2=-2pt ,所以x 1x 2=y 212p ⋅y 222p =y 1y 22p 2=t 2 ,代入(i )得t 2-2pt =0,所以t =0或2p ,当t =0时, A ,B 中有一个与原点重合,不合题意,所以t =2p ,经检验,满足方程(ii )的判别式Δ>0 ,从而直线AB 的方程为x =my +2p ,故直线AB 过定点M 2p ,0 .二级结论37:(以抛物线的焦点弦为直径的圆与准线相切)证明：设以AB 为直径的圆的圆心为AB 中点P ,半径为r ,则r =12AB , 如图,作AM ⊥准线l 于点M ,BN ⊥l 于点N ,PQ ⊥l 于点Q ,则由抛物线定义, AM =AF ,BN =BF ,所以PQ=12AM+BN=12AF+BF=12AB,这说明点P到准线的距离等于r ,故准线与以AB为直径的圆相切.二级结论38:(点乘双根法)若将直线与圆雉曲线方程联立,得到关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0,设该方程的两根为x1,x2 ,现在要算x1-tx2-t, 将其展开为x1x2-t x1+x2+t2 ,结合韦达定理来算可行,但有时这样做计算量较大,更简单的方法是根据x1,x2是该方程的两根,将该方程左侧的ax2+bx+c化为两根式,得到ax2+bx+c=a x-x1x-x2,观察发现在两端同时令x=t ,即可得到at2+bt+c=a t-x1t-x2,从而x1-tx2-t=at2+bt+ca ,这样就快速求出了目标量x1-tx2-t,此法叫做“点乘双根法”.。
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2015年高考数学常用结论大盘点 江苏省苏州中学 王思俭（215007）一、集合与逻辑常用用语 1. ()()();()()().U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==2. ;.AB A A B A B B A B =⇔⊆=⇔⊆3.集合{}123,,,,()n A a a a a n N *=∈,子集个数为2n ，真子集个数为21n -。
4.集合A ，则,A A A ∅⊆⊆;若A 为非空集合，则A ≠∅⊂.5.原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价；原命题、逆命题、否命题与逆否命题中，真命题个数是偶数个（即0，2，4）。
二、函数6.对称性与周期性(1)若()()f a x f b x +=-,,a b 为常数,则函数()f x 的图像关于直线2a bx +=对称. (2) 若()()2f a x f b x m ++-=,,,a b m 为常数, 则函数()f x 的图像关于点(,)2a bm +成中心对称.(3)若()()f x a f x b +=-,,a b 为常数, 则函数()f x 为周期函数,周期为T a b =+. （4）若()()f a x f a x +=-，()()f b x f b x +=-，,a b 为不相等的常数, 则函数()f x 为周期函数,周期为2T a b =-.(5) 若()()f a x f a x +=-，()()0f b x f b x ++-=，,a b 为不相等的常数, 则函数()f x 为周期函数,周期为4T a b =-.(6) 若()()0f a x f a x ++-=，()()0f b x f b x ++-=，,a b 为不相等的常数, 则函数()f x 为周期函数,周期为2T a b =-.7.函数的奇偶性（1）()f x 的定义域()(),0a a a ->（或[],a a -），()f x 为奇函数，则()00f =，反之未必；(2) ()f x 为奇函数()()()0f x f x f x ⇔-+=⇔的图象关于原点中心对称； （3）()f x 为偶函数()()()0f x f x f x ⇔--=⇔的图象关于y 轴对称； （4）()()()0f x x R f x =∈⇔既是奇函数又是偶函数，但不唯一.8.复合函数的单调性外函数()y f u =，内函数()u g x =，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦的单调性是：同性增，异性减. 三．数列9. {}n a 为等差数列1n n n a a d a an b +⇔=+⇔=+2n S an bn ⇔=+122n n n a a a ++⇔=+.10. {}n a 为等比数列()12111210n n n n n n n n a qa a a q a a a a qa -+++⇔=⇔=⇔=≠.11.配对原则：数列{}n a 为A P ，{}n b 为G P .(1)若m n s t +=+，则;m n s t m n s t a a a a b b b b +=+= （2）()()211232112321...21,...n n n n n a a a a n a b b b b b ---++++=-=12.派生数列（子数列）{}n a 为A P ，{}n b 为G P ..(1)若12,,...,...k n n n N +∈组成A P ，则12,,...,...k n n n a a a A P 成；12,,...,...k n n n b b b P 成G （特例13521,,...,n a a a a -成A P ；2462,...,n b b b b 成等比数列）.(2) {}1n n a a ++是A P ，{}1n n b b +⋅是G P ⋅（但{}1n n b b ++未必是G P ⋅，如公比是1q =-时）；1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是G P ；{}2n b 是G P . (3)数列{}na C是G P ；{}()log 0C n nb b>是A P ,其中0c >且1c ≠.(4) 123...n n S a a a a =++++，则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是A P ，公差为2d . 13.分段和对应数列：（1）112321232...,...,n n n n n P a a a a P a a a a +++=++++=++++321223...,...n n n P a a a ++=+++若数列{}n a 是A P ,则{}n p 也是等差数列；若{}n a 是等比数列，则{}n p 也是等比数列（公比1q ≠-）. 14.递推数列(1) {}n a 满足()10,1n n a pa q pq p +=+≠≠，构造数列()1n n a p a q λλ++=++，其中1qp λ=-，则数列{}n a λ+是G P .(2) {}n a 满足()10,1n n n pa a pq p qa p +=≠≠+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列111()n n qa a p +=+. (3)数列{}n a 前n 项和n S ，若(),n n S f a n =，则11,1,, 2.n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩四．三角函数15.对称中心、对称轴：函数sin()(0,0).y A x B A ωϕω=++>≠（1）对称轴方程：由,2x k k Z πωϕπ+=+∈，解出1(),2k x k Z ππϕωω=+-∈。
（2）对称中心0(,)x B ，其中0,x k k Z ωϕπ+=∈，即0()k x k Z πϕω-=∈。
16.奇偶性：函数sin()(0,0).y A x B A ωϕω=++>≠ （1）()f x 为奇函数()k k Z ϕπ⇔=∈且0B =. (2) ()f x 为偶函数()2k k Z πϕπ⇔=+∈。
17.函数()sin cos f x a x b x =+（其中a,b为常数）的最值：()y x ϕ=+，其中max min tan ,by y aϕ===18.三角形ABC 中的有关三角函数恒式与不等式：（1）sin()sin ;cos()cos ;tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-；（2）()()()sincos ;cos sin ;tan cot 222222A B C A B C A B C+++===； （3）tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；tan tan tan tan tan tan 1222222A B B C C A++=；（4）锐角ABC 中，sin cos ,sin cos ,sin cos 2A B A B B C C A π+>⇔>>>；sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++；（5）三边a,b,c成等差数列122sin sin sin tantan 223A C b a cB AC ⇔=+⇔=+⇔=; 60B ︒≤。
三边a,b,c 成等比数列⇔ 22sin sin sin ,60b ac B A C B =⇔=≤︒.（6）sin sin cos2cos2.A B a b A B B A >⇔>⇔>⇔>五．平面向量19.模：()2222222,2;()a a a b a b a b a b a b a b =+=++⋅-=+-。
20.平行四边形对角线性质：()22222a b a b a b++-=+.21.模的不等式：;a b a b a b a b a b a b -≤+≤+-≤-≤+. 22.不共线向量,a b ，若0a ub λ+=，则0,λ=且0u =. 23. ABC 中，G 为ABC 重心0GA GB GC ⇔++=. 24. ABC 中，D 是边BC 的中点，则2AB AC AD +=。
25.平面上四点 O 、A 、B 、C ，满足(,)OC OA OB R αβαβ=+∈，则A 、B 、C 三点共线充要条件是1αβ+=。
26.平移：曲线(),0,f x y =，按(),a m n =平移后曲线方程为(),0f x m y n --=. 六．不等式27.均值不等式：2,,112a b a b R a b++∈≤≤≤+. 28. ,,a b c R ∈,则222a b c ab bc ca ++≥++；()()22223()3ab bc ca a b c a b c ++≤++≤++.29.放缩变换 （1）()()()2111112111k k k k k k k k<<=-≥+--;（22=<=,2>=;(3) 1111 (22121)n n n n n n n n =<+++<++++; (4) 0,0,,b b m b b m a b m a a m a a m ++>>><>++;0,0,a b m >>>则b b ma a m->-.特例: 12342122,2345221n n n n ++<<<>+等等.七.解析几何 30.过圆()2220x y rr +=>上一点()000,P x y 的切线方程为：200x x y y r +=；若0P 在圆O外，则直线200x x y y r +=是切点弦所在直线方程.31.切线长公式：过圆220x y Dx Ey F ++++=外一点()00,P x y 引切线，切线长PT =32.椭圆、双曲线中的焦点三角形12PF F .(1)椭圆中当点P 在短轴端点时，12F PF ∠最大，12PF F 的面积最大。
（2）12F PF θ∠=，则椭圆中122tan2PF F Sb θ=；双曲线中122cot 2PF F Sb θ=。
（3）1221,PF F PF F αβ∠=∠=，则椭圆中1tantan221eeαβ-=+；双曲线中1tancot221e eαβ-=+。
33.焦半径公式，点00(,)P x y 在圆锥曲线上。
（1）椭圆221020221(0),,x y a b PF a ex PF a ex a b+=>>=+=-。
（2）双曲线221020221(,0),,,x y a b PF a ex PF ex a a b-=>=+=-点P 在右支上。
（3）抛物线22(0)y px p =>，02pPF x =+。