高考数学常用结论大盘点

2015年高考数学常用结论大盘点 江苏省苏州中学 王思俭（215007）

一、集合与逻辑常用用语 1. ()()();()()().U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==

2. ;.A

B A A B A B B A B =⇔⊆=⇔⊆

3.集合{}123,,,,()n A a a a a n N *=∈,子集个数为2n ，真子集个数为21n -。

4.集合A ，则,A A A ∅⊆⊆;若A 为非空集合，则A ≠

∅⊂.

5.原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价；原命题、逆命题、否命题与逆否命题中，真命题个数是偶数个（即0，2，4）。 二、函数

6.对称性与周期性

(1)若()()f a x f b x +=-,,a b 为常数,则函数()f x 的图像关于直线2

a b

x +=对称. (2) 若()()2f a x f b x m ++-=,,,a b m 为常数, 则函数()f x 的图像关于点(,)

2

a b

m +成中心对称.

(3)若()()f x a f x b +=-,,a b 为常数, 则函数()f x 为周期函数,周期为T a b =+. （4）若()()f a x f a x +=-，()()f b x f b x +=-，,a b 为不相等的常数, 则函数()f x 为周期函数,周期为2T a b =-.

(5) 若()()f a x f a x +=-，()()0f b x f b x ++-=，,a b 为不相等的常数, 则函数()f x 为周期函数,周期为4T a b =-.

(6) 若()()0f a x f a x ++-=，()()0f b x f b x ++-=，,a b 为不相等的常数, 则函数

()f x 为周期函数,周期为2T a b =-.

7.函数的奇偶性

（1）()f x 的定义域()(),0a a a ->（或[],a a -），()f x 为奇函数，则()00f =，反之未必；

(2) ()f x 为奇函数()()()0f x f x f x ⇔-+=⇔的图象关于原点中心对称； （3）()f x 为偶函数()()()0f x f x f x ⇔--=⇔的图象关于y 轴对称； （4）()()()0f x x R f x =∈⇔既是奇函数又是偶函数，但不唯一.

8.复合函数的单调性

外函数()y f u =，内函数()u g x =，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦的单调性是：同性增，异性减. 三．数列

9. {}n a 为等差数列1n n n a a d a an b +⇔=+⇔=+2

n S an bn ⇔=+

122n n n a a a ++⇔=+.

10. {}n a 为等比数列()12

111210n n n n n n n n a qa a a q a a a a qa -+++⇔=⇔=⇔=≠.

11.配对原则：

数列{}n a 为A P ，{}n b 为G P .(1)若m n s t +=+，则;m n s t m n s t a a a a b b b b +=+= （2）()()21

1232112321...21,...n n n n n a a a a n a b b b b b ---++++=-=

12.派生数列（子数列）{}n a 为A P ，{}n b 为G P ..

(1)若12,,...,...k n n n N +∈组成A P ，则12,,...,...k n n n a a a A P 成；12,,...,...k n n n b b b P 成G （特例13521,,...,n a a a a -成A P ；2462,...,n b b b b 成等比数列）.

(2) {}1n n a a ++是A P ，{}1n n b b +⋅是G P ⋅（但{}1n n b b ++未必是G P ⋅，如公比是1q =-时）；1n b ⎧⎫⎨

⎬⎩⎭

是G P ；{}2

n b 是G P . (3)数列{}n

a C

是G P ；{}()log 0C n n

b b

>是A P ,其中0c >且1c ≠.

(4) 123...n n S a a a a =++++，则数列n S n ⎧⎫

⎨⎬

⎩⎭

是A P ，公差为2d . 13.分段和对应数列：

（1）112321232...,...,n n n n n P a a a a P a a a a +++=++++=++++

321223...,...n n n P a a a ++=+++若数列{}n a 是A P ,则{}n p 也是等差数列；若{}n a 是等比数

列，则{}n p 也是等比数列（公比1q ≠-）. 14.递推数列

(1) {}n a 满足()10,1n n a pa q pq p +=+≠≠，构造数列()1n n a p a q λλ++=++，其中

1

q

p λ=

-，则数列{}n a λ+是G P .

(2) {}n a 满足()10,1n n n pa a pq p qa p +=

≠≠+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是等差数列111(

)n n q

a a p +=+. (3)数列{}n a 前n 项和n S ，若(),n n S f a n =，则11,1,

, 2.n n

n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩

四．三角函数

15.对称中心、对称轴：函数sin()(0,0).y A x B A ωϕω=++>≠

（1）对称轴方程：由,2x k k Z π

ωϕπ+=+

∈，解出1(),2

k x k Z π

π

ϕωω=

+

-∈。

（2）对称中心0(,)x B ，其中0,x k k Z ωϕπ+=∈，即0()k x k Z πϕ

ω

-=∈。

16.奇偶性：函数sin()(0,0).y A x B A ωϕω=++>≠ （1）()f x 为奇函数()k k Z ϕπ⇔=∈且0B =. (2) ()f x 为偶函数()2

k k Z π

ϕπ⇔=+

∈。

17.函数()sin cos f x a x b x =+（其中a,b

为常数）的最值：()y x ϕ=+，其

中max min tan ,b

y y a

ϕ=

==18.三角形ABC 中的有关三角函数恒式与不等式：

（1）sin()sin ;cos()cos ;tan()tan A B C A B C A B C +=+=-+=-；

（2）()()()sin

cos ;cos sin ;tan cot 222222

A B C A B C A B C

+++===； （3）tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；

tan tan tan tan tan tan 1222222

A B B C C A

++=；

（4）锐角ABC 中，sin cos ,sin cos ,sin cos 2

A B A B B C C A π

+>

⇔>>>；

sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++；

（

5

）

三

边

a,b,c

成

等

差

数

列

122sin sin sin tan

tan 223

A C b a c

B A

C ⇔=+⇔=+⇔=; 60B ︒≤。三边a,b,c 成等比数列⇔ 22sin sin sin ,60b ac B A C B =⇔=≤︒.

（6）sin sin cos2cos2.A B a b A B B A >⇔>⇔>⇔>

五．平面向量

19.模：()

2

2

2

2

2

2

2

,2;()a a a b a b a b a b a b a b =+=++⋅-=+-。