微积分模型.ppt
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微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
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用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
微分方程模型方法
物理现象模型
总结词
物理现象模型是利用微分方程来描述物理现象的动态变化过程，如力学、电磁学、光学 等。
详细描述
物理现象模型可以帮助科学家深入理解物理现象的本质和规律，预测新现象和新技术的 发展。例如，通过建立微分方程来描述电磁波的传播过程，可以研究电磁波的传播规律
和特性。
05 微分方程模型的发展趋势 与挑战
人口动态模型
总结词
人口动态模型是利用微分方程来描述人 口数量随时间变化的规律，预测未来人 口规模和结构。
VS
详细描述
人口动态模型可以用来研究人口增长、出 生率、死亡率、迁移率等指标的变化趋势 ，为政策制定者提供依据，以制定合理的 计划生育政策。例如，Logistic模型是一 种常用的人口动态模型，通过建立微分方 程来描述人口数量的增长规律。
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数学软件
选择适合的数学软件，如MATLAB、 Python等，以便进行模型建立和求解。
建立微分方程模型
模型类型
根据问题类型和目标，选择合适的微分方程模型类型，如常微分方程、偏微分方 程等。
参数估计
根据收集到的数据和信息，估计模型中的参数，使模型能够更好地描述实际问题 。
03 微分方程模型的求解方法
确定研究范围
根据问题与目标，确定研究的范围和 边界条件，为建立模型提供基础。
收集数据与信息
数据来源
根据研究问题，确定合适的数据来源，如实验数据、观测数据、历史数据等。
数据处理
对收集到的数据进行预处理，包括数据清洗、缺失值处理、异常值剔除等，以 确保数据质量。
选择合适的数学工具
数学基础
根据问题类型和目标，选择合适的数 学基础，如线性代数、微积分、常微 分方程等。
微积分学PPt标准课件25-第25讲不定积分及其计算
e x co xs exsixn exco xsexco xdx s
故 e xcx o d x s 1 e x (s x icn x o ) C s . 2
该例显 ,在示 运用分部,可 积能 分会 法出 时现下 : 列
f(x )d x (x ) a f(x )d x (a 1 ).
s n 1 i x c n x o ( n 1 ) I s n 2 ( n 1 ) I n
故 In 1 n sn i 1x n cx o n n s 1 In 2. I0 dxxC.
如果需要，条件又允许，则不定积分的 换元法、分部积分法等可以混合起来使用。
xcs2xc1cox tC.
2
2
cso x i3d x n s xd s(i3x x n s) ind uu 3 (usixn)
1 2u2C2s1i2x nC .
例3 解
计算 arccxodxs.
arccxos
1
1 x 1 x2
arc xd x c x o as rc x cx o 1 d x x s 2
解 xsixd n x x ( co x ) s ( co x )dx s xcoxscoxsdx
x c x o sx i C s . n
例2 解
计算 xcsoi3nxsxdx.
x
cos x
sin 3 x
1
1
2 sin 2 x
xc s3 io x x d n x s 2 sx2 ix n 1 22 s dx 2 ix n
ln u 1 ) (d u u ln u 1 ) ( u l|n u 1 | C 2 ，
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
高等数学模型—微积分模型(数学建模课件)
度等）
2、假设易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？其结果是
否可以合理地说明你们所测量地易拉罐地形状和尺寸。
二、数据测量
罐直径、罐高、罐壁厚、顶盖厚、圆台高、
顶盖直径、圆柱体高、罐底厚、罐内体积等。
该如何测量？
二、数据测量
1、直接测量
①用软皮尺环绕易拉罐相关部位一圈
（罐桶直径、罐
测得周长。
高、圆台高、顶
速度、出手角度和出手高度)
作定性和定量研究并得到明
确结论。
森林救火问题
微积分模型
知识点
一、问题的提出
二、模型分析与假设
三、模型建立与求解
四、模型应用
一、问题的提出
一、问题的提出
森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火。队
员多，火被扑灭的快，森林损失小，但救援费用大；队员少，救援费用小，
118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0];
y1=[44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68];
y2=[44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86
四、模型建立与求解
一、问题的提出
运动员单手托住铅球，在投掷圆内将铅球掷出并使铅
球落入有效区内，以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。
问题：
建模分析如何使铅球投掷的最远？
二、问题分析
• 铅球投掷中，影响投掷距离的因素有哪些？
2、假设易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？其结果是
否可以合理地说明你们所测量地易拉罐地形状和尺寸。
二、数据测量
罐直径、罐高、罐壁厚、顶盖厚、圆台高、
顶盖直径、圆柱体高、罐底厚、罐内体积等。
该如何测量？
二、数据测量
1、直接测量
①用软皮尺环绕易拉罐相关部位一圈
（罐桶直径、罐
测得周长。
高、圆台高、顶
速度、出手角度和出手高度)
作定性和定量研究并得到明
确结论。
森林救火问题
微积分模型
知识点
一、问题的提出
二、模型分析与假设
三、模型建立与求解
四、模型应用
一、问题的提出
一、问题的提出
森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火。队
员多，火被扑灭的快，森林损失小，但救援费用大；队员少，救援费用小，
118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0];
y1=[44 45 47 50 50 38 30 30 34 36 34 41 45 46 43 37 33 28 32 65 55 54 52 50 66 66 68];
y2=[44 59 70 72 93 100 110 110 110 117 118 116 118 118 121 124 121 121 121 122 116 83 81 82 86
四、模型建立与求解
一、问题的提出
运动员单手托住铅球，在投掷圆内将铅球掷出并使铅
球落入有效区内，以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。
问题：
建模分析如何使铅球投掷的最远？
二、问题分析
• 铅球投掷中，影响投掷距离的因素有哪些？
微积分学 P.P.t 标准课件29-第29讲一元微积分应用(二)
第六章 一元微积分的应用
第三节 曲线的凹凸性, 函数图形的描绘
一,曲线的凹凸性,拐点 二,曲线的渐近线 三,函数图形的描绘
一,曲线的凹凸性,拐点
我们说一个函数单调增加, 你能画出函数 所对应的曲线的图形吗? y
?!
.
A
B
.
x
O
f ( x) ↑ ( a , b ) 时 , 它的图形的形式不尽相同. 一般说来, 对于一个区间上单调的函数的 图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线 的"上方"或"下方"的问题 .
在 (∞, 0) 上 ,
x1 + x2 1 f( ) < ( f ( x1 ) + f ( x2 ) ) , 2 2
y = x 3 是凸的 .
在 (0, + ∞ ) 上 ,
f(
x1 + x2 1 ) > ( f ( x1 ) + f ( x2 ) ) , 2 2
y = x 3 是凹的 .
y
在 (∞, 0) 上 ,
f ′′(ξ ) ( x x0 ) 2 2!
f ( x1 ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x1 x0 ) +
f ′′(ξ1 ) ( x1 x0 ) 2 2!
f ′′(ξ 2 ) f ( x2 ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x2 x0 ) + ( x2 x0 ) 2 2!
其中 , ξ1 在 x0 与 x1 之间, ξ 2 在 x0 与 x2 之间.
于是 f ( x1 ) + f ( x2 ) = 2 f ( x0 ) + ( f ′′(ξ1 ) + f ′′(ξ 2 ))( x1 x0 ) 2
微积分学PPt标准课件24-第24讲不定积分及其计算
2 u 1
2 sin x 1
30
么么么么方面
• Sds绝对是假的
例15 计算 tan5 x sec3 x d x .
解
tan5 x sec3 x d x tan4 x sec2 x tan x sec x d x
(sec2 1) sec2 x tan x sec x d x
令 u sec x (u2 1)2 u2 d u
利用积分性质和简单的积分表可以求出 不少函数的原函数, 但实际上遇到的积分凭 这些方法是不能完全解决的.
现在介绍与复合函数求导法则相对应的 积分方法 —— 不定积分换元法. 它是在积分 运算过程中进行适当的变量代换, 将原来的 积分化为对新的变量的积分, 而后者的积分 是比较容易积出的.
21
(1) 不定积分的第一换元法 首先看复合函数的导数公式 :
u2m du (1 u 2 )mn1
(u cos x) ; (u tan x) ;
26
(7)
dx sin 2n2
x
du (1 u2 )n
(8)
dx cos2n2
x
du (1 u2 )n
(9)
dx sin 2n
x
(1 u2 )n1 u2n
d
u
(10)
dx cos2n
x
(1 u2 )n1 d u
设可微函数 y F (u), u (x) 可构成区间 I 上的
可微的复合函数 y F ( (x)), 则
(F((x))) F((x))(x),
它的微分形式为
d(F((x))) F((x))(x)d x
记 F(u) f (u), 则 看出点什么东西没有?
原函数?
微积分基本公式ppt课件
热力学
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
温度与热量，熵与绝热过程，热力学第二定律
微积分在经济中的应用实例
01
总结词
边际分析，最优化问题，经济增长 模型
最优化问题
最大利润，最小成本，最优解
03
02
边际分析
边际成本，边际收益，边际利润
经济增长模型
索洛模型，哈罗德-多马模型，内生 增长模型
04
THANKS
感谢观看
微积分基本公式的应用实例
总结词
微积分基本公式在解决实际问题中有着广泛 的应用，例如求解变速直线运动的位移、求 解曲线的面积等。
详细描述
通过微积分基本公式，我们可以求解变速直 线运动的位移。例如，假设一个物体以速度 v(t)运动，那么物体在时间t到时间t+Δt之间 的位移就是∫(v(t)dt)，通过微积分基本公式 可以求得该物体的位移。此外，微积分基本 公式还可以用于求解曲线的面积，例如求解
要点二
高阶导数的几何意义
掌握高阶导数的计算方法，例如利用莱布尼茨公式计算二 阶、三阶等高阶导数。
理解高阶导数在几何上的意义，例如二阶导数表示曲线的 凹凸性，三阶导数表示曲线的拐点等。
05
定积分的计算
定积分的计算方法与技巧
积分公式
掌握积分公式是进行定积分计算的基础，包括 幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
微积分基本公式
微积分基本公式的内容与证明
总结词
微积分基本公式是微积分学的基础，它描述 了函数在某一点处的导数与该函数在该点附 近的变化率之间的关系。
详细描述
微积分基本公式通常表示为∫(f'(x))dx = f(b) - f(a)，其中∫代表积分，f'(x)代表函数f 在点x处的导数，b和a分别代表积分的上限 和下限。这个公式在理解函数的积分和导数 之间关系上起着关键作用。
微积分讲解ppt课件
3.2.1 原函数和不定积分的概念
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[路程函数]
已知物体的运动方程为 s(t) t2 ，则其速度为 v(t) s(t) (t 2 ) 2t
这里速度2t是路程t2的导数，反过来，路程t2又称为速 度2t的什么函数呢？若已知物体运动的速度v(t)，又如 何求物体的运动方程s(t)呢？
f xdx f x C 或 df x f x C
3.2.2 基本积分表
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[幂函数的不定积分]
因为
x 1
1
x
x 1
1 是 x 的一个原函数
于是
x dx x 1 C
32微积分基本公式321原函数和不定积分的概念322基本积分表323微积分基本公式321原函数和不定积分的概念一案例二概念和公式的引出一案例路程函数已知物体的运动方程为又称为速度2t的什么函数呢
3.2 微积分基本公式
3.2.1 原函数和不定积分的概念 3.2.2 基本积分表 3.2.3 微积分基本公式
1
1
类似地, 由基本初等函数的求导公式，可以写出与之对应的不定积分公式．
二、概念和公式的引出
1.基本积分表
(1)
kdx kx C ( k 为常数）
(2) x dx x 1 C
1
1
(3)
1 x
dx
ln
x
C
(4) a xdx a x C
即两个函数和(差)的定积分等于它们定积分的和(差)． 性质１可推广到有限个函数的情形．
(2) 性质2 kf xdx k f xdx k为常数
第二章 微积分的研究对象 PPT课件
1 x 1
2
的定义域为
X X 1 X 2 [2,0] [(,1) (1, )] [2,1）
2.1构建函数模型的步骤和方法
构建数学模型的一般步骤和方法是： （1）对实际问题的现实原型进行分析，判断其所属 的系统，如力学系统、电学系统、生态系统、市场供销 系统、心理学系统等。分析量的主要矛盾，摒弃次要矛 盾，保留两个主要变量与有关常量。判断所在系统是否 可借用的公式、定理等，如果没有，还要通过观察、实 验等科学方法探寻有关量之间的依赖关系。
例4 测定生物体年龄 碳14是放射性物质，随时间而衰 减，碳12是非放射性物质，活性人体因吸纳食物和空气， 恰好补偿碳14衰减损失量而保持碳14和碳12含量不变,因而 所含碳14与碳12之比常数。已测知一古墓中遗体所含碳14 的数量为原有碳14数量的80％，试求遗体的死亡年代。 解 放射性物质的衰减速度与该物质的含量成比例，它符 p0 ， 合指数函数的变化规律。设遗体当初死亡时碳14的含量为 t 时的含量为p＝f（t），于是碳14含量的函数模型为ຫໍສະໝຸດ 所以在该区间上存在反函数。称为
反正弦函数,记作 y arcsinx 。定义
2
2
域为[-1,1],值域为 [ 2 , 2 ] 显然 sin(arcsinx) x
如图2.5所示
(2)反余弦函数 函数 y cos x 在区间[0, ] 上单调减少,存在反函数, 称为反余弦函数, 记作 y arccos x 。 定义域为 [-1,1], 值域为[0, ]。 显然 cos(arccos x ) x 如图2.6所示
解 以x表恩格尔系数， 对富裕程度分别适当赋 值，以y表之，则国民富 裕程度如图2.2所示。
1.2逆向思维一例——反函数
2
的定义域为
X X 1 X 2 [2,0] [(,1) (1, )] [2,1）
2.1构建函数模型的步骤和方法
构建数学模型的一般步骤和方法是： （1）对实际问题的现实原型进行分析，判断其所属 的系统，如力学系统、电学系统、生态系统、市场供销 系统、心理学系统等。分析量的主要矛盾，摒弃次要矛 盾，保留两个主要变量与有关常量。判断所在系统是否 可借用的公式、定理等，如果没有，还要通过观察、实 验等科学方法探寻有关量之间的依赖关系。
例4 测定生物体年龄 碳14是放射性物质，随时间而衰 减，碳12是非放射性物质，活性人体因吸纳食物和空气， 恰好补偿碳14衰减损失量而保持碳14和碳12含量不变,因而 所含碳14与碳12之比常数。已测知一古墓中遗体所含碳14 的数量为原有碳14数量的80％，试求遗体的死亡年代。 解 放射性物质的衰减速度与该物质的含量成比例，它符 p0 ， 合指数函数的变化规律。设遗体当初死亡时碳14的含量为 t 时的含量为p＝f（t），于是碳14含量的函数模型为ຫໍສະໝຸດ 所以在该区间上存在反函数。称为
反正弦函数,记作 y arcsinx 。定义
2
2
域为[-1,1],值域为 [ 2 , 2 ] 显然 sin(arcsinx) x
如图2.5所示
(2)反余弦函数 函数 y cos x 在区间[0, ] 上单调减少,存在反函数, 称为反余弦函数, 记作 y arccos x 。 定义域为 [-1,1], 值域为[0, ]。 显然 cos(arccos x ) x 如图2.6所示
解 以x表恩格尔系数， 对富裕程度分别适当赋 值，以y表之，则国民富 裕程度如图2.2所示。
1.2逆向思维一例——反函数
微积分基础知识ppt课件
M{xP(x)} P（x)表示元素具有性质
.
9
2.邻域:
设 a与 是两个 , 且 实 0.数
数{x集 xa()}称为 a的 邻 点 ,域
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
a
a
a x
点 a的去心 邻的 ,域 记U 作 (a,).
U (a , ) {x0 x a }.
.
10
二、函数
１．定义 设数集 D，若存在对应法则 f ，使对 x D ，
矛盾取 . 故 N b 假 2 a设m 不xn 真 N b a 1 ! , a N b 因b 2 2 2 a a 此 ,收则x 敛当数n 3列a>a22bN的b时极xnx,限nx必n3满ba2唯2a足b一的. 不等式
.
37
两边夹准则
( 1 ) y n x n z n ( n 1 ,2 , )
n 1 1
2
.
7
具备的数学素质： ➢ 从实际问题抽象出数学模型的能力 ➢ 计算与分析的能力 ➢ 了解和使用现代数学语言和符号的能力 ➢ 使用数学软件学习和应用数学的能力
.
8
第0章 基本知识
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的对象的全体. 组成集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A { a 1 ,a 2 , ,a n }
基本初等函数（幂函数,指数函数,对数函数,三角函数 和反三角函数）.
.
12
几个特殊的函数举例 (1) 符号函数
1 当x0 ysgnx 0 当x0
1 当x0
y
1
o
x
-1
xsgxn x
.
13
(2) 取整函数 y=[x]
.
9
2.邻域:
设 a与 是两个 , 且 实 0.数
数{x集 xa()}称为 a的 邻 点 ,域
点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径.
a
a
a x
点 a的去心 邻的 ,域 记U 作 (a,).
U (a , ) {x0 x a }.
.
10
二、函数
１．定义 设数集 D，若存在对应法则 f ，使对 x D ，
矛盾取 . 故 N b 假 2 a设m 不xn 真 N b a 1 ! , a N b 因b 2 2 2 a a 此 ,收则x 敛当数n 3列a>a22bN的b时极xnx,限nx必n3满ba2唯2a足b一的. 不等式
.
37
两边夹准则
( 1 ) y n x n z n ( n 1 ,2 , )
n 1 1
2
.
7
具备的数学素质： ➢ 从实际问题抽象出数学模型的能力 ➢ 计算与分析的能力 ➢ 了解和使用现代数学语言和符号的能力 ➢ 使用数学软件学习和应用数学的能力
.
8
第0章 基本知识
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的对象的全体. 组成集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A { a 1 ,a 2 , ,a n }
基本初等函数（幂函数,指数函数,对数函数,三角函数 和反三角函数）.
.
12
几个特殊的函数举例 (1) 符号函数
1 当x0 ysgnx 0 当x0
1 当x0
y
1
o
x
-1
xsgxn x
.
13
(2) 取整函数 y=[x]
数学建模-微积分模型
实际应用这个模型时， 都是已知常数， 由森林类型、消防人员素质等因素确定。
4.4消费者的选择
本节利用无差别曲线的概念讨论消费者的选择问题。如果一个消费者用一定数量的资金去购买两种商品，他应该怎样分配资金才会最满意呢？
记购买甲乙两种商品的数量分别为 ，当消费者占有它们时的满意程度，或者说给消费者带来的效用是 的函数，记作 ，经济学中称之为效用函数。 的图形就是无差别曲线族，如图4.4所示。类似于第二章中无差别曲线的作法，可以作出效用函数族，它们是一族单调下降、下凸、不相交的曲线。在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数值不变，即满意程度不变。而随着曲线向右上方移动， 的值增加。曲线下凸的具体形状则反映了消费者对甲乙两种商品的偏爱情况。这里假设消费者的效用函数 ，即无差别曲线族已经完全确定了。
经济学中 称为边际效用，即商品购买量增加1单位时效用函数的增量。（4.10）式表明，消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比正好等于价格之比时达到。从以上的讨论可以看出，建立消费者均衡模型的关键是确定效用函数 。构造效用函数时应注意到它必须满足如下的条件：
条件A：
所确定的一元函数 是单调递减的，且曲线是呈下凸的。
（3）每隔T天订货Q件，允许缺货，每天每件小家电缺货费为c3。 缺货时存贮量q看作负值， 的图形如图4.2，货物在 时送完。
一个供货周期 内的总费用包括：订货费 ，存贮费 ，缺货费 ，借助图4.2可以得到
一个周期总费用为
每天的平均费用
（4.4）
利用微分法，令
可以求出最优的 值为
（4.5）
记
通过与不允许缺货的模型相比较得到
在这个模型的基础上可以讨论当某种商品的价格改变，或者消费者购买商品的总资金改变时均衡状态的改变情况。
4.4消费者的选择
本节利用无差别曲线的概念讨论消费者的选择问题。如果一个消费者用一定数量的资金去购买两种商品，他应该怎样分配资金才会最满意呢？
记购买甲乙两种商品的数量分别为 ，当消费者占有它们时的满意程度，或者说给消费者带来的效用是 的函数，记作 ，经济学中称之为效用函数。 的图形就是无差别曲线族，如图4.4所示。类似于第二章中无差别曲线的作法，可以作出效用函数族，它们是一族单调下降、下凸、不相交的曲线。在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数值不变，即满意程度不变。而随着曲线向右上方移动， 的值增加。曲线下凸的具体形状则反映了消费者对甲乙两种商品的偏爱情况。这里假设消费者的效用函数 ，即无差别曲线族已经完全确定了。
经济学中 称为边际效用，即商品购买量增加1单位时效用函数的增量。（4.10）式表明，消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比正好等于价格之比时达到。从以上的讨论可以看出，建立消费者均衡模型的关键是确定效用函数 。构造效用函数时应注意到它必须满足如下的条件：
条件A：
所确定的一元函数 是单调递减的，且曲线是呈下凸的。
（3）每隔T天订货Q件，允许缺货，每天每件小家电缺货费为c3。 缺货时存贮量q看作负值， 的图形如图4.2，货物在 时送完。
一个供货周期 内的总费用包括：订货费 ，存贮费 ，缺货费 ，借助图4.2可以得到
一个周期总费用为
每天的平均费用
（4.4）
利用微分法，令
可以求出最优的 值为
（4.5）
记
通过与不允许缺货的模型相比较得到
在这个模型的基础上可以讨论当某种商品的价格改变，或者消费者购买商品的总资金改变时均衡状态的改变情况。
微积分应用模型.pptx
经济数学模型
R( p) px
C( p) qx x( p) a bp
L( p) R( p) C( p)
( p q)(a bp)
p* q a 2 2b
x( p) a bp, a, b 0
经济数学模型
p q a 2 2b
与“绝对需求量”成正比，与市 场需求对价格的敏感系数成反比
成本q的一半
p 0, x(0) a为绝对需求量； b dx 为边际需求，反映需求对价格的敏感程度。
dp
b p*
a p*
（a,b由p,x的统计数据拟合或其他统计方法确定。)
第二种情况
经济数学模型
其它假设不变，但单位成本随着产量的增加而降低，即
q q0 kx
利L润( pL) R( p) C( p) ( p q0 )x kx2 令
(t
))
dt
企业要求在时间T内销售量为 G件，约束条件为
T
0 (a bp(t))dt =G
拉格朗日函数为
L( p(t))
T 0
( p q0et )(a bp) dt (
T
(a bp)dt
0
G)
令 L( p(t)) 0, L( p(t)) 0
p
解得最优价格为
经济数学模型
p* = aT G q0 (et 1) q0et
经济数学模型
在实际问题中，价格的制定是非常复杂的， 有许多因素都在影响着最优价格，并没有一成 不变的公式，须针对具体情况采用灵活的数学 模型和方法确定。
4.3 消费者均衡
经济数学模型
问题
消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别 曲线族表示，问他如何分配一定数量的资金 来购买这两种商品，以达到最大的满意度。
微积分的应用-微分方程模型
则将水放空时间为
t* 0.54 1 540(s) 9(min) 0.001
例3 追线问题
我缉私舰雷达发现距 c km处有一艘走私船正 以匀速 a 沿直线行驶。缉私舰立即以最大的 速度 b 追赶，若用雷达进行跟踪，保持舰的 瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰 追逐路线和追上的时间。
1.模型假设：
为
，求在任一时刻的水面高度（设
v 2gh
开始时水池水的高度为 ）和将水放空的时
间.
h0
等量关系：
t 时间的
水池减少的水量 = 出水量 。
A[h(t t) h(t)] BS
A[h(t t) h(t)] B S
t
t
A dh Bv A dh B 2gh
dt
dt
初始条件
h(0) h0
1
dx
c
y
y
2
dy
1
令
y c
y
2
tant
从而，y c sin2 t ,dy 2c sin t cos tdt
故 dx tantdy 2c sin2 tdt c1 cos 2tdt
积分后得到
x
c 2
2t
sin
2t
c1
这曲线过原点，故由上面第一式得，t 0 时，x y 0
于是，c1 0。这样
dx
0
2gy
这是泛函的极值问题，令
f y, y 1 y2
2gy
由变分法理论知，上面极小值的积分方程的解所满足
的欧拉方程为：
f y
y
f
c1
即
y2
y 1 y2
1 y2
y
c1
这可化简为
t* 0.54 1 540(s) 9(min) 0.001
例3 追线问题
我缉私舰雷达发现距 c km处有一艘走私船正 以匀速 a 沿直线行驶。缉私舰立即以最大的 速度 b 追赶，若用雷达进行跟踪，保持舰的 瞬时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰 追逐路线和追上的时间。
1.模型假设：
为
，求在任一时刻的水面高度（设
v 2gh
开始时水池水的高度为 ）和将水放空的时
间.
h0
等量关系：
t 时间的
水池减少的水量 = 出水量 。
A[h(t t) h(t)] BS
A[h(t t) h(t)] B S
t
t
A dh Bv A dh B 2gh
dt
dt
初始条件
h(0) h0
1
dx
c
y
y
2
dy
1
令
y c
y
2
tant
从而，y c sin2 t ,dy 2c sin t cos tdt
故 dx tantdy 2c sin2 tdt c1 cos 2tdt
积分后得到
x
c 2
2t
sin
2t
c1
这曲线过原点，故由上面第一式得，t 0 时，x y 0
于是，c1 0。这样
dx
0
2gy
这是泛函的极值问题，令
f y, y 1 y2
2gy
由变分法理论知，上面极小值的积分方程的解所满足
的欧拉方程为：
f y
y
f
c1
即
y2
y 1 y2
1 y2
y
c1
这可化简为
《微积分(应用型)》教学课件 第六章
形如
dy p(x) y q(x) dx
（6-18）
的方程称为一阶非齐次线性微分方程，其中 p(x) ， q(x) 为已知函数．当 q(x) 0 时，称
dy p(x) y 0 dx
（6-19）
为一阶齐次线性微分方程，也称为式（6-18）对应的齐次方程．
6. 2. 1 一阶线性微分方程求解
下面我们来求式（6-18 ）的通解．为此 ，先求式（6-19 ）的通解．对式（6-19 ）分离变
y 3y 2 y (C1ex 4C2e2x ) 3(C1ex 2C2e2x) 2(C1e x C2e2x) (C1 3C1 2C1)ex (4C2 6C2 2C2)e2x 0 ．
6. 1. 1 相关定义
这表明函数 y C1ex C2e2x 满足所给微分方程，因此它是微分方程的解．又因为此解中有 两个独 立的任意常数 ，且任意常数 的个数正好与 微分方程的阶 数相同，所以 此解为微分方 程 的通解．
本节介绍了微分方程的一些概念，可分离变量的 微分方程、一阶齐次微分方程和高阶微分方程的解 法．
其中，可分离变量的微分方程的解法是： （1）将方程整理为变量分离方程，然后对方程的 两边取不定积分； （2）一阶齐次微分方程的解法是令 u y ；高阶微
x
分方程的解法是对方程两边进行n 次积分．
6.2 一阶线性微分方程
1 dy sin xdx ， y
两边积分
dy y
( sin
x)dx
，
得方程的通解为
ln | y | cos x C ．
该解称为微分方程的隐式通解．
因为 eln|y| ecos xC1 ，即 y eC1ecos x ．令 C eC1 ，得 y Cecos ，此解称为原微分方程的显
微积分 函数
f{f[f(x)]} f[f(x)] 1f[f(x)]
x
1
1
2x x
1 2x
x 1 3x
27.03.2020
calculus
（2）对应关系的求法：换元法，凑变量法. 例5 已f（ 知 1） x 1,求 f(x). x 1 x 2
解一:
令t 1 ,反解得x：1t ,
x1
t
将其代入已知条: 件得
27.03.2020
27.03.2020
calculus
注意
偶函数的图形关于y轴对称， 奇函数的图形关于原点对称。
奇函数和偶函数仅仅是函数中的一类特殊 的函数，多数情形下，函数并不具有奇偶性。
一般地函数按奇偶性分类可为: 奇函数、偶函数、非奇非偶函数。
27.03.2020
例8 判断下列函数的奇偶性
calculus
ex ex (1) f(x)
lg(1x2x)lg1x2x2 1x2x
lg 1 lg （ x1x2） 1 x1x2
lg （ x1x2） f(x) f (x)为奇函数
(x 1x2 0是绝对不D等 （ 式 ， ， ））
(4) f(x)xx2，既不 f(x)等 xx 于 2
也不 f等 (x) 于 xx2
27.03.2020
f (x)为非奇非偶函数
2
27.03.2020
calculus
例3 求 函 数 y lo g （ x 1 （ ） 1 6 x 2 ） 的 定 义 域 .
16 x 2 0
解:
x 1 0
?
x 11
x 4
有
x
1
x
2
4 x 4
即
x 1
《微积分》课件
微分学主要研究函数在某一点附近的 局部行为，包括切线、函数的变化率 等；积分学则研究函数在某个区间上 的整体行为，包括面积、体积等。
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
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分析：
3、人口增长率
20世纪美国人口统计数据如表6.5所示，计算 表中这些年份的人口增长率。
又已知某地区20世纪70年代的人口增长率如 表6.6所示，且1970年人口为210万，试估 计该地区1980年的人口？
分析:
小 结
模型求解
数值微分相关知识回顾 数值积分相关知识 Matlab 相关命令 程序实现
3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3 (运 送消防队员和器材等一次性支出)
火势以失火点为中心，
均匀向四周呈圆形蔓延， r
假设1） 的解释
半径 r与 t 成正比
B
面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.
模型建立
假设1） 假设2）
dB
b t1,
a
6
2
将a,b 分为 n 等份，步长 h b a，分点 xk a kh, k 0,1, , n n
复合梯形公式
b
n1
f (x)dx
xk1 f ( x)dx
a
k 0 xk
h 2
n 1
f
k 0
xk
f
xk1
h 2
f
n 1
(a) 2
k 1
f
(xk )
f
(b)
复合辛普森(Simpson)公式
• 向后差商公式
f
'(xi )
f (xi ) f (xi h) ,i 1, 2 h
• 中心差商公式
f
'(x1)
f (x1 h) f (x1 h) 2h
三点差商公式
f
'(x0 )
1 2h
3
f
(x0 )
4
f
( x0
h)
f
( x0
2h)
x2
1
x0
3 f
(x0 )
4
f
(x1)
f
(x2 )
失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 画出时刻 t 森林烧毁面积B(t)的大致图形
分析B(t)比较困难, 转而讨论森林烧毁 速度dB/dt.
B B(t2)
（其中dB/dt表示
单位时间烧毁的面
0
t1
积）
t2
t
模型假设
1）0tt1, dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度）
2）t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度）
h0
h
h0
h
h0
2h
自然，而又简单的方法就是，取极限的近似值，即差商
给定点列
(xi ,
f
(xi ))
2 i0
且 x2 x1 x1 x0 h,
求
f '(x2 ), f '(x1), f '(x0 )
两点差商公式：
• 向前差商公式
f
'(xi )
f (xi h) h失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).
• 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. • 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定.
找到恰当的x，使f1(x), f2(x)之和最小
问题 分析
• 关键是对B(t)作出合理的简化假设.
右矩形公式
b
a f (x)dx (b a) f (b)
中矩形公式
b f (x)dx (b a) f (b a)
a
2
梯形公式
b
ba
a f (x)dx
[ f (a) f (b)] 2
辛普森(Simpson)公式
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)]
f
'( x1 )
1
2h
f
(x0 )
f
(x
2h)
x2
1
x0
f
(x0 )
f
(x2 )
f
'(x2 )
1 2h
f
(x0 ) 4
f
( x0
h)
3
f
( x0
2h)
=
x2
1
x0
f
( x0
)
4
f
( x1 )
3
f
( x2
)
数值积分相关知识回顾
关于积分，有Newton-Leibniz公式
b
a f (x)dx F (b) F (a)
b a
f
( x)dx
ba[ 6
f
n1
(a) 4
k 0
f
n1
(
x
k
1 2
)
2
k
1
f
(xk )
f
(b)]
其中x
k
1
2
=
xk
xk1 2
Matlab相关命令
➢ x=linspace(0,pi,50);
➢y=sin(x);
➢R1=trapz(x,y)；%
梯形公式计算
0 sin(x)dx
➢R2=quad(‘sin’,0,pi,1.0e06)；% 辛普森公式计算
分析：
2、射击命中概率
炮弹射击的目标为一正椭圆形区域，当瞄 准目标的中心发射时，在纵多因素的影响下， 弹着点与目标中心有随机偏差。可以合理地 假设弹着点围绕中心呈二维正态分布，且偏 差在x方向和y方向相互独立。若椭圆区域在x 方向半轴长120m,y方向半轴80m，设弹着点 偏差的均方差在x方向和y方向均为100m,试 求炮弹落在椭圆形区域内的概率？
结果
R1=1.999314849324062
R2=1.999993496534964
程序实现
模型实例讲解
• 森林救火问题 • 水箱的水流问题
森林救火问题
问题
问题 分析
森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。
所以需要综合考虑森林损失费和救援费与消防队员 之间的关系，以总费用最小来决定派出队员的数量。
但是，在很多情况下，还是要数值积分： 1、函数有离散数据组成 2、F(x)求不出 3、F(x)非常复杂
定义数值积分如下：是离散点上的函数值的线性组合
n
I n ( f ) ai f ( xi ) i0
称为求积系数，与f(x)无关，与积分区间和积分点有关
矩形公式
左矩形公式
b
a f (x)dx (b a) f (a)
第六章：微积分方法模型在 Matlab中的求解方法
2012.7.7
模型分析和建立
先看如下三个例子
1. 卫星轨道的长度 2. 射击命中概率 3. 人口增长模型
1、卫星轨道的长度
人造地球卫星的轨道可以视为平面上的椭 圆，中国第一颗人造卫星近地点距离地球表 面439km，远地点距离地球表面2384km，地 球半径为6371m，试求该卫星的轨道长度？
数值微分相关知识回顾
1. 函数f(x)以离散点列给出时，而要求我们给出导数值， 2. 函数f(x)过于复杂
这两种情况都要求我们用数值的方法求函数的导数值
微积分中，关于导数的定义如下：
f '(x) lim f (x h) f (x) lim f (x) f (x h) lim f (x h) f (x h)