2021届河南省信阳高中高三上学期第八次大考数学试卷

2021年河南省信阳高中高三上学期第八次大考数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合21M x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，{}21N y y x ==-，则M N = （ ）．A ．(],2-∞B ．(]0,1C ．(]0,2D ．[]0,12．复数32322323i i i i+--=-+（ ） A ．0 B ．2 C ．﹣2i D ．2i3．下列命题中，正确的是 （ ）．A ．存在00x >，使得00sin x x <B ．“lna lnb >”是“1010a b >”的充要条件C ．若1sin 2α≠，则6πα≠ D ．若函数322()3f x x ax bx a =+++在1x =-有极值0，则2,9a b ==或3,1==b a4．40cos2cos sin x dx x x π=+⎰（ ） A ． B ．C ．D ． 5．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是( )A ．224π+B ．220π+C ．24π+D ．20π+6．设,x y 满足不等式组32060210x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，若z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,2-B ．[]3,2--C ．[]2,1-D ．[]3,1-7．平行四边形ABCD 中，AB ·BD =0，沿BD 将四边形折起成直二面角A 一BD －C ，且4=，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ） A ．2π B ．4π C ．π4 D ．2π 8．已知函数是上的增函数．当实数取最大值时，若存在点，使得过点的直线与曲线围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等,则点的坐标为 （ ）A ．(03)-，B ．(03)，C ．(02)-，D ．(02)， 9．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与圆2217x y +=有公共点(1,4)A -，且圆在A 点的切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的离心率为（ ）A．4BCD ．以上都不对 10．函数 ，若实数a 满足=1，则实数a 的所有取值的和为（ ）A ．1B ．． D ． 11．已知双曲线C的方程为22145x y -=，其左、右焦点分别是1F 、2F ．已知点M 坐标为()2,1，双曲线C 上点()00,x y P （00x >，00y >）满足11211121||||PF MF F F MF PF F F ⋅⋅=，则12PMF PMF S S ∆∆-=（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．412．已知定义在),0[+∞上的函数)(x f 满足()2(2)f x f x =+，当)2,0[∈x 时，2()24f x x x =-+，设)(x f 在)2,22[n n -上的最大值为)(*∈N n a n ，且}{n a 的前n 项31()(0)3m g x x x m m x =+-+>[1,)+∞m Q Q ()y g x =Q 22log ,0()41,0x x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩(())f f a 17161516-2-和为n S ，则n S =（ ）．A ．B ．C ．D ．二、填空题13．若函数()log |1|t f x x =+在区间)1,2(--上恒有 0)(>x f ，则关于t 的不等式)1()18(f f t <-的解集为_______．14．记,min{,},b a b a ⎧=⎨⎩a b a b≥< ，当正数x 、y 变化时， 22min{,}y t x x y =+ 也在变化，则t 的最大值为 ．15．如图在平行四边形ABCD 中，已知8,4AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 ．16．已知函数()f x xlnx ax ＝－＋ 在(0)e ， 上是增函数，函数()22xa g x e a ＝－＋，当[03]x ln ∈， 时，函数g (x )的最大值M 与最小值m 的差为32 ，则a 的值为______.三、解答题17．设函数， （Ⅰ）求的最大值，并写出使取最大值时x 的集合；（Ⅱ）已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若，1a =，求ABC ∆的面积的最大值．18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1111,22n n n a a a n ++==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设*),2(N n S n b n n ∈-=，若*,N n b n ∈≤λ恒成立，求实数λ的取值范围；（3）设*,)1(2N n n n S c n n ∈+-=,n T 是数列{}n c 的前n 项和，证明143<≤n T ． 1122n --2142n --122n -1142n --19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，2,6AB AC ==, 点D 在线段1BB 上，且113BD BB =，11AC ACE =．（Ⅰ）求证：直线DE 与平面ABC 不平行；（Ⅱ）设平面1ADC 与平面ABC 所成的锐二面角为θ，若cos θ=1AA 的长； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设平面1ADC 平面ABC l =，求直线l 与DE 所成的角的余弦值． 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为P(0,-1)，P（Ⅰ）设Q 是椭圆上的动点，求||PQ 的最大值；（Ⅱ）若直线l 与圆O:x 2+y 2=1相切，并与椭圆C 交于不同的两点A 、B ．当λ=⋅，且满足4332≤≤λ时，求∆AOB 面积S 的取值范围． 21．已知()212ln x f x x +=． （1）求()f x 的单调区间；（2）令()22ln g x ax x =-，则()1g x =时有两个不同的根，求a 的取值范围； （3）存在1x ，()21,x ∈+∞且12x x ≠，使()()1212ln ln f x f x k x x -≥-成立，求k 的取值范围．22．选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是的直径，CB 与相切于B ，E 为线段CB 上一点，连接AC 、分别交于D 、G 两点，连接DG 交CB 于点F ．AE（Ⅰ）求证：,,,C E G D 四点共圆；（Ⅱ）若F 为EB 的三等分点且靠近E ，1EG =，3GA =，求线段CE 的长．23．选修4-4：坐标系与参数方程选讲已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=-=t y t x 33，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围．24．选修4-5；不等式选讲已知（1）求的解集； （2）若-恒成立，求的取值范围．参考答案1．B【解析】 试题分析：解不等式2102x x ≥∴<≤，集合N 其值域为[]0,1，所以M N =(]0,1，故选B ．考点：集合的运算【答案】D【解析】 试题分析：()()()()()322332233232223231313i i i i i i i i i i i ++--+--=-=--=-+，故选D ． 考点：复数的四则运算3．C【解析】试题分析：对于A ，当0x >时，令()()'sin 1cos 0f x x x f x x =-∴=-≥，所以()f x 在0x >时是增函数，()()00f x f >=，sin x x ∴>，A 不正确；对于B ，若lna lnb >，则0a b >>，若1010a b >，则a b >，所以应该是充分不必要条件，B 不正确；对于C ，若1sin 2α≠，则6πα≠的逆否命题是若6πα=，则1sin 2α=，是真命题，所以C 正确；对于D ，()'236f x x ax b =++，因为()f x 在1x =-处有极值0所以()()'10123910f a a b b f -=⎧==⎧⎧⎪∴⎨⎨⎨==-=⎩⎩⎪⎩或，代入验证当13a b =⎧⎨=⎩时()()2'2363310f x x x x =++=+≥，无极值，D 不正确；故选C ．考点：命题真假的判断4．C【解析】试题分析： ()224444400000cos2cos sin cos sin cos sin 1cos sin cos sin x x x dx dx x x dx xdx xdx x x x x πππππ-==-=-=++⎰⎰⎰⎰⎰，故选C ．考点：定积分5．C【解析】试题分析：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积1S 和半球的表面积2S ，22121622124,4122S S ππππ=⨯⨯-⨯=-=⨯⨯=，所以1224S S S π=+=+，故选C ．考点：由三视图求面积、体积6．C【分析】先由z ax y =+得y ax z =-+，y ax z =-+表示斜率为a -，在y 轴截距为z 的直线；再由约束条件作出可行域，求出边界线的交点坐标，根据题中条件，结合图像，即可求出结果.【详解】由z ax y =+得y ax z =-+，y ax z =-+表示斜率为a -，在y 轴截距为z 的直线； 由约束条件32060210x y x y x y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩作出可行域如下，由320210x y x y --=⎧⎨--=⎩解得(1,1)A ；由32060x y x y --=⎧⎨+-=⎩解得(2,4)B ， 因为z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，所以显然当直线y ax z =-+过点B 时，z 取得最大值；过点A 时，z 取得最小值； 因此只需≤-≤BC AC k a k ，即12-≤-≤a ，解得21a -≤≤故选C本题主要考查简单的线性规划问题，由目标函数的最值求参数，一般需要由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.7．C【解析】试题分析：平行四边形ABCD 中，0AB BD AB BD ⋅=∴⊥，沿BD 折成直二面角A BD C --，将四边形折起直二面角A BD C --∴平面ABD ⊥平面BDC ，∴三棱锥A BCD -的外接球的直径为22222222,224AC AC AB BD CD AB BDAB BD ∴=++=++=∴外接球的半径为1，故表面积为π4，故选C ． 考点：球的表面积和体积8．C【解析】 试题分析：由()()3103m g x x x m m x =+-+>，()()'221m g x x g x x=+-是上的增函数，()'0g x ∴≥在上恒成立，即2210m x x+-≥在上恒成立．设[)2,1,t x t =∈+∞，即不等式10m t t +-≥在上恒成立，设[)1,1,m y t t t=+-∈+∞，'210m y t =+>所以函数[)1,1,m y t t t =+-∈+∞上单调递增，因此min min 20202y my m m =-≥∴-≥∴≤又0m >，故02m <≤，m 的最大值为2，故得()()()3122,,00,3g x x x x x=+-+∈-∞⋃+∞，将函数()g x 的图像向上平移2个长度单位，所得图像相应的函数解析式为()()()3122,,00,3x x x x xϕ=++∈-∞⋃+∞，由于()()x x ϕϕ-=-，()x ϕ∴为奇函数，故()x ϕ的图像关于坐标原点成中心对称．由此即可函数()g x 的图像关于点()0,2Q -成中心对称．这表明存在点()0,2Q -，使得过点Q 的直线若能与函数()g x 的图像围成两个封闭图形，则封闭图形的面积总相等；故选C ． 考点：定积分在球面积中的应用9．A[1,)+∞[1,)+∞[1,)+∞[1,)+∞试题分析：切点为点(1,4)A -的圆2217x y +=的切线方程是417x y -=，双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，∴两渐近线方程为40x y ±=，设所求双曲线方程为()22160x y λλ-=≠()1,4A -在双曲线上，代入式子可得125544b a b a λ=-∴=∴=，c c e a ∴==∴==，故选A ． 考点：双曲线的简单性质10．C【解析】试题分析：当1a >时，()()1f f a =，可得()22log log 1,a =可得2log 24a a =∴=，当()0,1a ∈时，2log 0a <，由()()1f f a =，可得()222221log 4log 11log 0log 41,16a a a a a a ++=∴==-∴==或，当2a <-20a -<≤时，()2410f a a a =++>，由()()1f f a =()222log +411+412220a a a a a a ∴+=∴+=∴=-=->舍去，当22a -≤-+时，()2410f a a a =++≤，由()()1f f a =，可得()()222224144111410414a a a a a a a a ++++++=∴++=++=-或，解241022a a a a ++=∴=-=-+2414a a ++=-，无解．实数a 的取值的和为115412221616++--=--C ． 考点：根的存在性及根的个数判断11．C【解析】 试题分析：112111111211212121cos cos cos ||||26PF MF F F MF MF MF P MF MF F MF P MF F MF F PF F F ⋅⋅=∴∠=∠∴∠=∠∠=2121212125cos 2cos 1tan 1312PF F MF F PF F ∴∠=∠-=∴∠=，直线1PF 的方程为()5+312y x =与双曲线联立得53,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，11121311313,sin 2224PMF PF MF F S ∴=∠==⨯=，21215512224PMF PMF PMF SS S=⨯⨯=∴-=，故选C ．考点：双曲线的简单性质【思路点睛】本题考查的是向量的相关知识和圆锥曲线的结合，属于中档以上题目．要求两三角形面积之差，需要利用面积公式分别表示出两三角形面积，先利用所给所给的关系式为一个向量在另一个向量上的投影相等，可得112MF P MF F ∠=∠，再通过三角恒等变换即可求出直线1PF 的斜率，与双曲线联立即可得点P 的坐标，从而可以分别表示出三角形的面积，即可得到所求答案． 12．B 【解析】 试题分析：因为1()2(2)(2)()2f x f x f x f x =+∴+=，就是函数向右平移2个单位，最大值变为原来的12，当[)0,2,1x n ∈=，2()24f x x x =-+，当1x =时()f x 取得最大值为12a =，12q =，212n n a -∴=21211241212n n n S -⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==--，故选B ．考点：数列的求和【思路点睛】考察函数与数列交汇题目，注意函数的图像的平移，改变的函数的最大值，就是数列的公比，考察计算能力，发现问题解决问题的能力．做这类题目往往会考虑复杂，把简单问题复杂化，不利用函数的平移，而导致解不出来的情况．所以做题时要注意观察，找到最简单的解法． 13．)1,31( 【解析】 试题分析：()()2,110,1x x ∈--∴+∈，又()log |1|t f x x =+在区间)1,2(--上恒有0)(>x f ，01t ∴<<，)1()18(f f t <-，log 8log 2821t t t t t ∴<=∴>∴>，所以1,13t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 考点：对数函数的单调性 14．2【解析】 试题分析：222112y x x y x y y==++，当12x x ≥即2x ≥，2222min{,}y y t x x y x y ==++，而22122y x x y x ≤≤≤+，当2212y x x y x ≤≤+时，即02x <≤，22min{,}y t x x x y ==+，而2x ≤，综上t的最大值为2． 考点：函数的最值 15．4 【解析】 试题分析：3CP PD =，P ∴是CD 的四等分点，13,44AP AD DP AD AB BP BC CP AD AB =+=+=+=-13244AP BP AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫∴⋅=+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，8,4AB AD ==，4AB AD ∴⋅=考点：平面向量基本定理【思路点睛】本题考查的是向量的数量积和平面向量基本定理，而当运用平面向量基本定理时，一定要选择同一平面内的的两个不共线向量作为一组基底，在基底的选择上也很重要，所以要选择恰当的基底，这样可以提高解题效率． 16．52【解析】()1ln f x x a =--+'，因为()f x 在()0e ，上是增函数，即()0f x '≥在()0e ，上恒成立，ln 1a x ∴≥+，则()max ln 1a x ≥+，当x e =时，2a ≥，又()22xa g x e a =-+，令xt e =，则()[]2,1,32a g t t a t =-+∈，（1）当23a ≤≤时，()()2max112a g t g a ==-+，()()2min 2a g t g a ==，则()()max min 312g t g t a -=-=，则52a =， （2）当3a >时，()()2max112a g t g a ==-+，()()2min 332a g t g a ==-+，则()()max min 2g t g t -=，舍。