2021年角平分线模型精华篇

角平分线有关的帮助线

欧阳光明（2021.03.07）

角平分线是天然的涉及对称的模型，通常有下列四种作帮助线的办法：

（1）角平分线+两边垂线→全等三角形：

角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等；

已知：AD平分∠BAC，CD⊥AC，垂足为C，过点D作DB⊥AB，垂足为B；

帮助线：过点D作DB⊥AB，垂足为B；

结论：①△ACD≌△ABD；②CD= DB

（角分线垂两边，对称全等必呈现）

（2）角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现：

遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；

已知：OP平分∠AOB，MP⊥OP，垂足为P，延长MP交OB于点N；

结论：①△OPM≌△OPN ；

②△OMN为等腰三角形；

③P是MN的中点（三线合一）；

（3）在角的两边上截取相等的线段，构造全等三角形：已知：OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点；

帮助线：在OA上取一点E，在OB取一点F，使得OE=OF，并连接DE，

结论：△OED≌△OFD ；

（4）作平行线

①以角分线上一点作角的另一边的平行线，则△OAB等腰三角形；

②过一边上的点作角平分线的平行线与另一边的反向延长线相交，

则△ODH等腰三角形；

已知：OP平分∠MON，AB∥ON，已知：OC平分∠AOD，DH∥OC，

结论：△OAB等腰三角形结论：△ODH等腰三角形

一、角平分线模型应用

1.角平分线+两边垂线→全等三角形

帮助线：过点G作GE 射线AC

已知：AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AC，DB⊥AB，

求证：CD=DB

证明：∵AD是∠BAC的角平分线，

∴∠1=∠2，∵CD⊥AC，DB⊥AB，

∴∠ACD=∠ABD=90°，在△ACD和△ABD中，

∴△ACD≌△ABD（AAS）

∴CD=BD

例1：已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC．

例2：如图，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB、DF⊥AC，

垂足辨别为E、F．求证：BE=CF．

例3：如图，在△ABC中，AC＞AB，M是BC中点，AN平分∠BAC，若AN⊥BD且交BD的延长线于点D，求证：MN=1

（ACAB）.

2

例4：如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠B AC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．

角平分线+垂线模型等腰三角形必呈现

例：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE 交BA的延长于F．

求证：BD=2CE

例、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB=AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M.求证：2AM=

（AB+AC）

例：如图，已知△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF，

∠AFE+∠CAF=180°，

求证：EF ∥BC.

截取构造全等：

例. 如图，AB>AC ，∠1=∠2，求证：AB －AC>BD －CD 。

例: 如图，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD.

例: 在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．

求证：AB AC PB PC ->-．

例: 已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，∠B 的平分线交AC 于D ，