2018年福建省龙岩市中考数学试卷(含答案)

2018年龙岩市初中毕业、升学考试数学试题（满分：150分考试时间：120分钟）注意：请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！在本试题上答题无效.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题的四个选项中，只有一个符合题意．）1．计算：2－3 =A．－1 B．1 C．－5 D．52．在平面直角坐标系中，已知点P（2，－3），则点P在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．一组数据6、8、7、8、10、9的中位数和众数分别是A．7和8 B．8和7 C．8和8 D．8和94．一个不透明的布袋里有30个球，每次摸一个，摸一次就一定摸到红球，则红球有A．15个B．20个C．29个D．30个5．某农场各用10块面积相同的试验田种植甲、乙两种大豆，收成后对两种大豆产量（单位：吨/亩）的数据统计如下：0.54x≈甲，0.5x≈乙，20.01s≈甲，20.002s≈乙，则由上述数据推断乙品种大豆产量比较稳定的依据是A．x x乙甲＞B．2s2乙甲＞s C．2x s甲甲＞D．2x s乙甲＞6．下列命题中，为真命题的是A．对顶角相等B．同位角相等C．若22a b=，则a b=D．若a b>，则22a b->-7．下列几何图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A．等边三角形B．矩形C．平行四边形D．等腰梯形8．左下图所示几何体的俯视图是A B C D（第8题图）（第10题图）9．下列函数中，当x ﹤0时，函数值y 随x 的增大而增大的有① y x = ② 21y x =-+ ③ 1 y x=- ④ 23y x =A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个10．如图，矩形ABCD 中，AB =1，BC =2，把矩形ABCD 绕AB 所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为 A ．10π B ．4π C ．2πD ．2二．填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分．） 11x 的取值范围是______________．12．2018年3月份龙岩市社会消费品零售总额为10 500 000 000元，该零售总额数用科学计数法表示为______________（保留两位有效数字）． 13．如图，b a ∥，∠1=30°，则∠2= °．14．鸡蛋孵化后，小鸡为雌与雄的概率相同．如果两个鸡蛋都成功孵化，则孵出的两只小鸡中都为雄鸡的概率为________．15．为落实房地产调控政策，某县加快了经济适用房的建设力度．2018年该县政府在这项建设中已投资3亿元，预计2018年 投资5.88亿元，则该项投资的年平均增长率为__________． 16．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = BC = 6，E 是斜边AB 上任意一点，作EF ⊥AC 于F ，EG ⊥BC 于G ，则矩形CFEG 的周长是_________． 17．如图，平面直角坐标系中，⊙O 1过原点O ，且⊙O 1与⊙O 2相外切，圆心O 1与O 2在x 轴正半轴上，⊙O 1的半径O 1P 1、⊙O 2的半径O 2P 2 都与x 轴垂直，且点P 1()11,x y 、P 2()22,x y 在反比例函数1y x=（x >0）的图象上，则12y y +=__________．（第13题图）（第16题图）（第17题图）（背面还有试题）三、解答题（本大题共8小题，共89分．） 18．（本题满分10分） （1）计算：0201215622-+-⨯+（-1）； （2）先化简，再求值：()3213633a a a a -+，其中7a =． 19．（本题满分8分）解方程：3211x x =-+． 20．（本题满分10分）如图，已知CB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O点A 为CD 延长线上一点，BC =AB ，∠CAB =30°． （1）求证:AB 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为2，求BD 的长．21．（本题满分10分）某校为了解八年级300名学生期中考的数学成绩，随机抽查了该年级50名学生的期中考数学成绩进行分析，绘制了不完整的频数分布表和频数分布直方图.频数分布直方图（1）以上分组的组距= ； （2）补全频数分布表和频数分布直方图；（3）请你估计该校八年级期中考数学成绩优秀（不低于80分为优秀）的总人数. 22．（本题满分12分）如图1，过△ABC 的顶点A 作高AD ，将点A 折叠到点D （如图2），这时EF 为折痕，且△BED 和△CFD 都是等腰三角形，再将△BED 和△CFD 沿它们各自 的对称轴EH 、FG 折叠，使B 、C 两点都与点D 重合，得到一个矩形EFGH （如图3），我们称矩形EFGH 为△ABC 的边BC 上的折合矩形．（1）若△ABC 的面积为6，则折合矩形EFGH 的面积为 ；（2）如图4，已知△ABC ，在图4中画出△ABC 的边BC 上的折合矩形EFGH ； （3）如果△ABC 的边BC 上的折合矩形EFGH 是正方形，且BC =2a ，那么，BC 边上的高AD = ，正方形EFGH 的对角线长为 ．（第20题图）图1 图2 图3图423．（本题满分12分）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题:（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．24．（本题满分13分）矩形ABCD中，AD=5，AB=3，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点A 的对应点A′落在线段BC上，再打开得到折痕EF．（1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；当折痕EF过点D时（如图2），求线段EF的长；（2）观察图3和图4，设BA′=x，①当x的取值范围是时，四边形AEA′F是菱形；②在①的条件下，利用图4证明四边形AEA′F是菱形．25．（本题满分14分）在平面直角坐标系xoy中，一块含60°角的三角板作如图摆放，斜边AB 在x轴上，直角顶点C在y轴正半轴上，已知点A（－1，0）．（1）请直接写出点B、C的坐标：B（，）、C（，）；并求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）现有与上述三角板完全一样的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、B两点重合的动点），并使ED所在直线经过点C．此时，EF所在直线与（1）中的抛物线交于第一象限的点M．①设AE=x，当x为何值时，△OCE∽△OBC；②在①的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2 图32018年龙岩市初中毕业、升学考试数学试题参考答案与评分标准说明：评分最小单位为1分，若学生解答与本参考答案不同，参照给分．一、选择题（每小题4分，共40分）二、填空题（每小题3分，共21分）11．1x ≥ 12．101.110⨯ 13．150 14．1415．40% 16．12 17三、解答题18．(1)解:原式=5+1﹣1+1 ……………………4分(每个运算1分) =6 ……………………5分 (2)法1：原式=3133a a ﹣2163a a +133a a……………1分 =221a a -+ ……………………2分 =2(1)a - ……………………3分 当7a =时，原式=2(71)- ……………………4分 =36 ……………………5分 法2：原式=133a a（221a a -+） ……………1分 =221a a -+ ……………………2分 = 2(1)a - ……………………3分 当7a =时，原式=2(71)- ……………………4分 =36 ……………………5分19． 解:原方程可化为 3(1)2(1)x x +=- ………………3分3322x x +=- …………………4分 3223x x -=-- ………………5分 5x =- ……………………7分 经检验，5x =-是原方程的解．∴ 原方程的解是5x =- …………………8分（未作答不扣分） 20．(1)证明：法1：∵ BC=AB∴ ∠A=∠C∵ ∠CAB=30° ……………………1分 ∴ ∠C =∠A =30°……………………2分 ∵ ∠A+∠C+∠ABC =180°∴ ∠ABC=120° ……………………3分 ∵ OC=OB∴ ∠OBC=∠C=30°∴ ∠ABO=90° ……………………4分 ∴ AB 是⊙O 的切线． …………………5分法2证明：∵BC=AB ∴∠A=∠C∵∠CAB=30° ……………………1分 ∴∠A=∠C=30° ……………………2分 ∵OB=OC∴∠C=∠OBC=30°∴∠BOA=∠C+∠OBC=60° ………………3分 ∴∠BOA+∠A+∠OBA=180°∴∠OBA=90° ……………………4分 ∴AB 是⊙O 的切线 ……………………5分法3证明：∵BC=AB ∴∠A=∠C∵∠CAB=30° ……………………1分 ∴∠A=∠C=30° ……………………2分 ∵∠BOA=2∠C∴∠BOA=60° ……………………3分 ∵∠BOA+∠A+∠OBA=180°∴∠0BA=90° ……………………4分 ∴AB 是⊙O 的切线 ……………………5分（2）解：由（1）得：∠BOD=60° ……………………6分BD 的长180n Rl π=……………………7分 602180π⨯= ……………………9分23π= ……………………10分21 ．（1）10 ……………………2分（2）补全分布表、直方图……………………6分频数分布直方图（3）估计该校八年级期中考数学成绩优秀的总人数为300×（0.3+0.1） ……8分 =120（人）……………10分 22．（1）3； ……………………………………3分（2）作出的折合矩形EFGH 为网格正方形；……………6分（3）2a ，……………12分（每个空3分）23.解：（1）设每辆A 型车、B 型车都装满货物一次可分别运货x 吨、 y 吨，依题意列方程得：……………………1分210211x y x y +=⎧⎨+=⎩ ……………………3分解方程组,得 答:1辆A 型车装满货物一次可运3吨，1辆B 型车装满货物一次可运4吨．……………………………………………………………4分（未作答不扣分）（2）结合题意和（1）得 3431a b += ………………………5分34x y =⎧⎨=⎩∴ 3143ba -=∵ a 、b 都是正整数∴ 91a b =⎧⎨=⎩ 或54a b =⎧⎨=⎩ 或 17a b =⎧⎨=⎩ 答:有3种租车方案: ①A 型车9辆,B 型车1辆; ②A 型车5辆,B 型车4辆;③A 型车1辆,B 型车7辆. ……8分（未作答不扣分） (3) 方案 ①需租金:9×100+120=1020(元) 方案 ②需租金:5×100+4×120=980(元)方案 ③需租金:1×100+7×120=940(元) ……………11分 ∵ 1020>980>940 ∴ 最省钱的租车方案是：A 型车1辆,B 型车7辆,最少租车费为940元. ……………12分 24． (1) 5 ……………………………………………………2分 解法1：由折叠（轴对称）性质知 5A D AD '==90A EA D '∠=∠=° 在Rt △A DC '中，DC AB ==3∴ 4A C '== …………………………3分 ∴541A B BC A C ''=-=-=∵090EA B BEA EA B FA C ''''∠+∠=∠+∠=∵BEA FA C ''∠=∠ …………………………4分 又 ∵90B C ∠=∠=°∴Rt △EBA '∽Rt △A CF '∴ A E A BA F FC''=' 53A B A E A F FC '''== …………………………5分在Rt △A EF '中，EF ===…6分解法2：同解法1得1A B '=设A E AE x '==，则3BE x =- ………4分在Rt △EBA '中，222A E BE A B ''=+ ∴()2231x x =-+ 53x =………………………………………5分在Rt △A EF '中，EF ===……6分 解法3：同解法1得Rt △EBA '∽Rt △A CF ' ………………4分 13462A FCS'=⨯⨯= 212693A BEA FCA B SS FC '''⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭∴A FC A BE AEA F ABCD =S -S -SS '''四边形矩形=15-6-225=33………5分 连结AA AA EF ''⊥，AA ' AEA F 1=AA EF 2S ''四边形2510EF=3∴ EF=3 ……………………………6分 （2）①35x ≤≤(答案为3<5x ≤或3x ≤<5或3<x <5 ，扣1分) …9分 ②证明：法一：由折叠（轴对称）性质知AEF FEA '∠=∠,AE A E AF A F ''== ……………………………10分 又 ∵AD ∥BC∴∠AFE=∠FEA′∴∠AEF=∠AFE ……………………………11分 ∴AE=AF ………………………12分 ∴AE A E A F AF ''===∴四边形AEA F '是菱形． ………………………13分法二：由折叠（轴对称）性质知AE A E '=，AF A F '=，AB A B ''=…………………10分过A '作A G BC '⊥，交AD 于G ，证明A GF A B E '''∆≅∆ 得A F A E ''=…………………………………………12分 ∴AE A E A F AF ''===∴四边形AEA F '是菱形……………………………13分25．（1）B （3，0），C （0） …………………………2分（每个点的坐标1分） 解：法1：设过A 、B 、C 三点的抛物线为()()12(0)y a x x x x a =--≠，则……3分 ∵A （—1，0）B （3，0）∴()()13y a x x =+- ………………………………4分 又∵C （0()()0103a =+-∴3a =-∴)()13y x x =+-即2y x =++ ……5分(结果未化为一般式不扣分) 法2：设过A 、B 、C 三点的抛物线为2(0)y ax bx c a =++≠，则 ……3分 ∵A （—1，0）B （3，0）C （0∴090a b c a c c ⎧-+=⎪+=⎨⎪=⎩……………4分∴233y x x =-++ ……………………5分（2）①解：当△OCE ∽△OBC 时，则OC OE OB OC= ………………6分∵OC = OE=AE —AO=1x -， OB=3 ………7分= ∴2x =∴当2x =时，△OCE ∽△OBC ．……………………8分（2）②解：存在点P. 理由如下：由①可知2x = ∴OE=1 ∴E （1，0）此时，△CAE 为等边三角形∴∠AEC=∠A=60°又∵∠CEM=60° ∴∠MEB=60° ……………9分∴点C 与点M 关于抛物线的对称轴12b x a=-=对称.∵C （0）∴M (过M 作MN ⊥x 轴于点N （2，0）∴∴ EN=1∴ 2= ……………………10分若△PEM 为等腰三角形,则:ⅰ)当EP=EM 时,∵EM=2，且点P 在直线1x =上∴P(1，2)或P(1，—2)ⅱ）当EM=PM 时,点M 在EP 的垂直平分线上∴P(1，)ⅲ）当PE=PM 时，点P 是线段EM 的垂直平分线与直线1x =的交点∴P(1)∴综上所述，存在P 点坐标为（1，2）或（1，—2）或（1，1）时，△EPM 为等腰三角形． ………14分(未进行本小结不扣分)②解: 存在点P . 理由如下：由①可知2x = ∴OE =1 ∴E （1，0）此时，△CAE 为等边三角形∴∠AEC =∠A =60°又∵∠CEM =60° ∴∠MEB =60°作F N ⊥x 轴于N ,EF =AB =4∴ EN =12EF =2, NF∴ F(3, 易求EF: y =-解方程组2y y ⎧=⎪⎨=++⎪⎩得121223x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ ∴12(3,M M --………………10分（每个1分）∴ 122,8EM EM ==若1EP EM =,则P(1,2)或P(1,-2)若112M P M E ==，则P （1，若1PE PM =，则P （1） 若28EP EM ==，则P （1，8）或（1，-8）若228M P M E ==，则P （1，-）若2PE PM =，则P （1，） 综上所述，存在8个点P 符合条件：P(1,2)，P(1,-2) ，P （1，，P （1），P（1，8），（1，-8），P（1，-），P（1，）.………………14分（每求对2个点给1分，未进行本综述不扣分）备注：若②没有解答过程直接写出点P的坐标，则每写对2个点给1分.备用图。