《数学物理方法》第九章 定解问题
二、《数学物理方法与计算机仿真》习题解答
（2） uxx − 2uxy − 3uyy + 2ux + 6uy = 0
（3） uxx + 4uxy + 5uyy + ux + 2uy = 0
【答案
(1) ξ
=
x−
y,η
=
x, uηη
+
c
− a
b
uξ
+
b a
uη
+
1u=0 a
（2）ξ = x − y,η = 3x + y; 4uξη − uξ + 3uη = 0
0,ux (l,t)
=
F0
sin ωt Ys
;u(x, 0)
=
0,ut (x, 0)
=
0】
9.6 有一均匀细杆，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长 ε 而静止（设拉长在弹性限
度内）.突然放手任其振动，试推导其其纵振动方程与定解条件.
【答案
utt
− a2uxx
=
0; u (0, t )
=
0=
ux (l,t);u(x, 0)
【答案 取 x 沿槽的长度方向， u 为水的质点的 x 方向位移，则 utt = ghuxx 】 9.11. 有一长为 l 的均匀细弦,一端固定,另一端为弹性支撑,设弦上各点受有垂直于平衡位置
的外力,外力线密度已知,开始时.弦 1 处受到冲量 I 作用,试写出其定解问题. 2
⎧ ∂ 2u
⎪ ⎪
∂t
2
【答案(1)
u
=
−α
e2
x− β 2
y
v,
v xx
+ v yy
+ (γ
2023年大学_《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载
2023年《高等数学》第四册(数学物理方法)课后习题答案下载《高等数学》第四册内容简介第一篇复变函数论第一章复数与复变函数第一节复数1.1.1. 复数域1.1.2. 复平面1.1.3. 复数的模与幅角1.1.4. 复数的乘幂与方根第二节复变函数的基本概念1.2.1. 区域与约当曲线1.2.2. 复变函数的概念1.2.3. 复变函数的极限与连续性第三节复球面与无穷远点1.3.1. 复球面1.3.2. 闭平面上的几个概念习题第二章解析函数第一节解析函数的概念及哥西一黎曼条件 2.1.1. 导数的定义2.1.2. 哥西一黎曼条件2.1.3. 解析函数的定义第二节解析函数与调和函数的关系2.2.1. 共轭调和函数的求法2.2.2. 共轭调和函数的几何意义第三节初等解析函数2.3.1. 初等单值函数2.3.2. 初等多值函数习题第三章哥西定理哥西积分第一节复变积分的概念及其简单性质3.1.1. 复变积分的定义及其计算方法3.1.2. 复变积分的简单性质第二节哥西积分定理及其推广3.2.1. 哥西积分定理3.2.2. 不定积分3.2.3. 哥西积分定理推广到复围线的情形第三节哥西积分公式及其推广3.3.1. 哥西积分公式3.3.2. 解析函数的无限次可微性3.3.3. 模的最大值原理哥西不等式刘维尔定理摩勒纳定理第四节解析函数在平面场中的应用3.4.1. 什么叫平面场3.4.2. 复位势3.4.3. 举例习题第四章解析函数的幂级数表示第一节函数项级数的基本性质4.1.1. 数项级数4.1.2. 一致收敛的函数项级数第二节幂级数与解析函数4.2.1. 幂级数的敛散性4.2.2. 解析函数的幂级数表示第三节罗朗级数4.3.1. 双边幂级数的收敛圆环4.3.2. 解析函数的罗朗展式4.3.3. 罗朗展式举例第四节单值函数的孤立奇点4.4.1. 孤立奇点的`三种类型4.4.2. 可去奇点……习题第五章残数及其应用第六章保角变换第二篇数学物理方程第七章一维波动方程的付氏解第八章热传导方程的付氏解第九章拉普拉斯方程的圆的狄利克雷问题的付氏解第十章波动方程的达朗贝尔解第十一章数学物理方程的解的积分方式第十二章定解问题的适定性第十三章付里叶变换第十四章拉普拉斯变换第三篇特殊函数第十五章勒让德多项式球函数第十六章贝塞耳函数柱函数第十七章厄密多项式和拉盖尔多项式附录《高等数学》第四册目录本书内容为数学物理方法，包括复变函数论、数学物理方程、积分变换和特殊函数等部分，可供综合大学和师范学院物理类专业作为教材。
09_数学物理定解问题
第二节 定解条件
上一节中推导出的偏微分方程，可以用来描述具 有某种共同物理规律的一类物理现象，但并不能惟 一地、确定地描写某一个具体的物理过程.为了完全 描写一个具有确定解的物理问题，在数学上就要构 成一个定解问题，即除了微分方程，还必须有初始 条件和边界条件.
一．初始条件
初始条件应该完全描写初始时刻介质内部及边界上任 意一点的状态分布情况. 振动问题 从物理的角度考虑，对于波动方程，应该给出 初始时刻的“位移”和“速度”；从数学的角度看， 由于波动方程关于时间的偏导是二阶的，因此需要 列出两个初始条件：
为了简化计算，我们假设弦的重量很轻，重力相对于弦 的张力来说可以忽略不计，从而将整根弦抽象为没有质量 的弦.
如图9.1.1所示，去弦的平衡位置为x轴，并以u ( x, t )表示弦上任意 一点，在某个时刻t沿垂直于x方向的位移，把弦细分为许多极小 的小段，并任意选取一段区间( x, x dx)上的小段B，其长为ds，设
F ( x, t )dx T (ux
由于dx取得很小，u x
x dx
x dx
ux x ) utt dx
(5)
ux
x
u x x dx u xx dx，所以（5）式简化为 （6） （7）
F ( x, t ) Tu xx utt 两端同时除以，并适当移项，得B段的运动方程为 utt a 2u xx f ( x, t )
u t 0 ( x) u t t 0 ( x)
例1 有一根长为 l 的两端固定且紧绷的弦，用手将弦的中点横向拨 开距离 h ，如图9.2.1所示，然后轻轻放手任其振动，试写出初始 条件.
因此，t时间内流入立方体的总热量为
dQ dQx dQy dQz
数学物理方法答案(完整版)
高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）第七章 一维波动方程的傅氏解1． 今有一弦，其两端被钉子钉紧，作自由，它的初位移为： 2．(01)()(2)(12)hx x x h x x ϕ≤<⎧=⎨-≤≤⎩，初速度为0，试求其付氏解，其中h 为已知常数。
解：所求问题是一维波动方程的混合问题：2(12,0)(0,)(,)0(0)(01)(,0)(2)(12)(,0)0tt xx t u a u x t u t u l t t hx x u x h x x u x ⎧=<<>⎪==≥⎪⎪≤≤⎧⎨=⎨⎪-≤≤⎩⎪⎪=⎩，根据前面分离变量解法得其傅氏解为：1(,)(cossin )sin n n n n at n at n xu x t C D l l l πππ∞==+∑。
其中，122201228()sin [sin (2)sin ]222l n n n n hC d h d h d l l n πξπξπξϕξξξξξξπ==+-=⎰⎰⎰，0n D =，于是所求傅氏解为：2218(,)cos sin n h n at n xu x t n l l πππ∞==∑2.将前题之初始条件改为：(1)(10)()(1)(01)h x x x h x x ϕ+-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩，试求其傅氏解。
解：所求问题为一维波动方程的混合问题：211((1)sin (1)sin n n l l l h d h d πξπξξξξξ--=++-⎰⎰n c 012222211(sinsinsin )n n n h d d d πξπξπξξξξξ--=++⎰⎰⎰2282sin h n n ππ=22821(,)sin cossinh n n at n x lln n u x t ππππ∞=∴=∑。
3今有一弦，其两端0x =和x l =为钉所固定，作自由摇动，它的初位移为0。
初速度为[](2()0(2,c x x x βϕβ≤≤⎧=⎨∉⎩，其中c 为常数，0,l αβ<<<试求其傅氏解。
数学建模--数学物理定解问题
第九章 数学建模——数学物理定解问题习题及解答 长为l 的均匀细弦，两端固定于0,x x l ==，弦中的张力为. 在点处，以横向力拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件.【答案 00000(), [0,]|(), [,]t F l h x x h T l u F h l x x h l T l =-⎧∈⎪⎪=⎨-⎪∈⎪⎩】长为l 的均匀杆两端受拉力作用而作纵振动，写出边界条件.【答案000|, |x x x x l YSu F YSu F ====】 长为的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为，写出这个热传导问题的边界条件.【答案 000|,|x x x x L ku q ku q ==-==】一根长为的均匀细弦，两端固定于0,x x L ==，用手将弦于处朝横向拉开距离h ，然后放手任其振动，试写出其定解问题.【答案 20;(0,)0(,);(,0)0,(0)(,0)() ()tt xx t u a u u t L t u x h x x l l u x H L x l x L L l -====⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪-⎩】有一均匀细杆，一端固定，另一端受到纵向力0()sin F t F t ω=作用，试写出其纵振动方程与定解条件.【答案 20sin 0;(0,)0,(,);(,0)0,(,0)0tt xx x t t u a u u t u l t F u x u x Ys ω-=====】有一均匀细杆，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长ε而静止（设拉长在弹性限度内）.突然放手任其振动，试推导其其纵振动方程与定解条件.【答案 20;(0,)0(,);(,0),(,0)0tt xx x t u a u u t u l t u x x u x l ε-=====】长为l 的理想传输线，一端接于交流电源，其电动势为0sin E t ω，另一端开路。
试写出线上的稳恒电振荡方程和定解条件.【答案22i 0010,(),|,|0t tt xx x x l a a E e i LC ω==-====v v v 】研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，另一端与外界绝热，试写出细杆上温度的变化所满足的方程，及其定解条件.【答案 2200,(/);(0,)0,(,)0;(,0)/,(0,)t xx x u a u a k c u t u l t u x T x l x l ρ-=====∈】9.9试推导均匀弦的微小横振动方程.【答案 具有类型：2tt xx u a u f -=，详细自行讨论】9.10 试推导出一维和三维热传导方程.【答案 具有类型：22;()t xx t xx yy zz u a u f u a u u u f -=-++=，详细自行讨论】9.11 试推导静电场的电势方程.【答案 具有类型：xx yy u u f +=，详细自行讨论】9.12 推导水槽中的重力波方程. 水槽长为l ，截面为矩形，两端由刚性平面封闭.槽中的水在平衡时深度为h .【提示：取x 沿槽的长度方向，取u 为水的质点的x 方向位移】【答案 取x 沿槽的长度方向，u 为水的质点的x 方向位移，则tt xx u ghu =】9.11. 有一长为l 的均匀细弦,一端固定,另一端为弹性支撑,设弦上各点受有垂直于平衡位置的外力,外力线密度已知,开始时.弦12处受到冲量I 作用,试写出其定解问题. 答 ()()()()()()()[]22222,0,,0,0.,00,00,00,2t u u a f x t x l t t x u l t u t hu l t t x u x I l u x x x l δρ⎧∂∂=+∈>⎪∂∂⎪∂⎪=+=≥⎪∂⎨⎪=⎪⎛⎫⎪=-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩9.14由一长为l 的均匀细杆,侧面与外界无热交换,杆内有强度随时间连续变化的热源,设在同一截面上具有同一热源强度及初始温度,且杆的一端保持零度,另一端绝热,试推导定解问题.(答()()()()()()[]222,,0,,0,0,0,0,0,0,u u a f x t x l t t x u l t u t t x u x x x l ϕ⎧∂∂=+∈>⎪∂∂⎪∂⎪==≥⎨∂⎪=∈⎪⎪⎩) 9.15 设有高为h 半径为R 的圆柱体,圆柱体内有稳恒热源,且上下底面温度已知,圆柱侧面绝热,写出描述稳恒热场分布的定解问题.答 ()[)[)()2222222011,, 0,,0,2,0,, 0z z h r R u u u u f r z r R z h r r r r z u A u B ur θθπθ===⎧∂∂∂∂+++=∈∈∈⎪∂∂∂∂⎪⎪==⎨⎪∂⎪=⎪∂⎩9.16 设有定解问题()()222222000,0,0;00,0,0,,,,0,0x x a y y b t t t u u u x a y b t t x y u u u u t u x y u x y x a y b ϕψ======⎧∂∂∂=+<<<<>⎪∂∂∂⎪⎪==⎪⎨==≥⎪⎪=⎪⎪=<<<<⎩给出与其对应的物理模型.答 边界固定的矩形膜的自由振动,其初始位移于初始速度已知本章计算机仿真编程实践9.18 试求泊松方程2223y xy x u ++=∆的一般解，并尝试用计算机仿真的方法求解。
九章数学物理方程的定解问题
一、数学物理方程(泛定方程):物理问题规律性描述
数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程， 特别是偏微分方程和积分方程。
物理现象数学语言物描述理量u 在空间和时间中的变化规
律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值之间
的联系。 泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体
条件无关。
例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，
B段的质量：弦长dx ，质量线密度，则B段质量
m= dx
物理规律：
用牛顿运动定律分析B段弦的受力及运动状态：
牛顿运动定律：
2020/4/1
d2u f m dt 2 mutt
9
u(x)
F
u+du
u 1
B
FT1
0
x
x+dx
FT2 ①沿x-方向：
2
弦横向振动不出现x方向平移， 得力平衡方程
FT 2 cos2 FT1 cos1 0 （1）
参考书：R.Haberman著，郇中丹等译，《实用偏微分方
2020/4/1程》 （原书第四版），机械工业出版社，2007
1
(Isaac Newton，
2020/4/1
▪ 牛顿是英国伟大的数学家、物 理学家、天文学家和自然哲学家。
▪ 牛顿于1642年生于英格兰林 肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村。 1661年入英国剑桥大学圣三一 学院，1665年获文学士学位。 随后两年在家乡躲避瘟疫，他在 此间制定了一生大多数重要科学 创造的蓝图。1667年牛顿回剑 桥后当选为剑桥大学三一学院院 委，次年获硕士学位。1669年 任剑桥大学卢卡斯数学教授席位 直到1701年。1696年任皇家造 币厂监督，并移居伦敦。1703 年任英国皇家学会会长。1706 年受英国女王安娜封爵。在晚年， 牛顿潜心于自然哲学与神学。 1727年3月20日，牛顿在伦敦病 逝，享年84岁
梁昆淼-数学物理方法
xat
2d
2
2a xat
cos x cos at 2t
( x)
u0
x1
x2
x1 x2
2
u(x,t) t0 (x)
例：求定解问题
utt a2uxx 0
ut (x,t) t0 0
2u0
x x1 x2 x1
x1
x
x1
2
x2
2u0
x2 x x2 x1
x1
x2 2
x
x2
0
x x1, x x2
u(x,t) 1 [(x at) (x at)]
2
u(x,t) 1 [(x at) (x at)]
2
u0
x1
x2
t 0
t t1 t t2
（二）、端点反射
utt a2uxx 0
u(x,t) t0 (x) ut (x,t) t0 (x)
Hu0
0 2
例2：一根导热杆由两段构成，两段热传导系数、比热、密
度分别为kI, cI, I, kII, cII, II, 初始温度为u0, 然后保持两端
温度为零，写出热传导问题的定解方程。
解：
第一段
ut I
kI
cI I
uxx I
0
x1
x
x2
x3
uI t0 u0
at)
1 2
(x
at)
1 2a
xat
(
)d
C
x0
2
u 1 [(x at) (x at)] 1
数学物理方法知识点归纳
第一章 复述和复变函数 1.5连续若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且)()(0lim 0zf z f z z =→，则称f(z)在0z 点连续。
1.6导数若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂在点不仅存在而且连续。
(ii)C-R 条件在该点成立。
C-R 条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂y y x u xy x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。
解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂存在。
(ii)C-R 条件在该点成立。
解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv∂∂不仅存在而且连续。
(ii)C-R 条件在该点成立。
1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数：22x u ∂∂+22y u∂∂=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。
但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。
②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)?通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分⎰BAdz z f )(的值均相等。
柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。
⎰=Cdz z f 0)(二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。
07 - 数学物理方程定解问题
(1.6)
推广1: 如果弦在振动过程中还受到横向外力的作用, 设单位长度所受外 力为 F(x, t), 有 utt − a2 uxx = F(x, t)/ρ = f(x, t). (1.7)
齐海涛 (山东大学威海分校)
数学物理方法
4-25
9 / 48
波动方程
推广2: 如果弦的密度 ρ 不均匀或受到纵向与 x 有关的力, 即线密度 ρ 与张力 T 都是 x 的函数, 则 [ ] ∂ ∂u ρ(x)utt = T(x) . (1.8) ∂x ∂x 推广3: 研究均匀杆的纵振动问题 (教材 P138), 杆的纵振动方程为 ρutt − Yuxx = 0 ⇒ utt − a2 uxx = 0. (1.9)
齐海涛 (山东大学威海分校) 数学物理方法 2010-4-25 7 / 48
波动方程
T2 cos α2 − T1 cos α1 = 0, T2 sin α2 − T1 sin α1 = dm · a = (ρds)utt , (1.1) (1.2)
2 在小振动的条件下, α1 , α2 为小量, 忽略 α2 1 , α2 以上的高阶小量, 则
数学物理方法
2010-4-25
5 / 48
波动方程
均匀弦的微小横振动: 给定一根两端固定的拉紧的均匀柔软的弦, 其长为 l, 而后以某种方法激发, 使弦在平衡位置附近作微小的横振动, 求弦上各点的 运动规律. 弦是均匀的: 弦的截面直径与弦的长度相比可以忽略, 因此可视为一根曲 线, 其线密度 ρ 是常数; 弦在一平面内作微小横振动, 即弦的位置始终在一直线附近, 而弦上各点 均在同一平面内垂直与该直线的方向上微小振动; 弦是柔软的, 它在形变时不抵抗弯曲. 弦上各点间的张力方向与弦的切线 方向一致, 而弦的伸长形变与张力关系服从 Hooke 定律. 另外, 跟张力 相比, 弦的重量完全可以略去.
数学物理方法-第9章-本征值问题
(r
2
R r
)
2
R
2
r s in
(s in
Y
)
R
2 2
Y
2
2
r s in
k RY 0
2
1
s in
d dr
2
(s in
Y
2
)
1
2
Y
2
s in
l ( l 1) Y 0
球函数方程
(r
dR dr
(1
m x
2 2
)R 0
12
（二）高维波动方程的分离变量
令
u (r , t ) T (t )v (r )
T '' a T
2
2
u tt a u 0
2
2
T '' v a T v 0
T '' a T
2
v v
0
v v
2
k
2
T '' a k T 0
球坐标系和柱坐标系中分离变量法
圆球形和圆柱形是两种常见的边界，本章考察拉
普拉斯方程在球坐标系和柱坐标系中分离变量法所导
致的常微分方程以及相应的本征值问题。
9.1 特殊函数的常微分方程 （一）直角坐标系内的拉普拉斯方程
u (
2 2
x
2 2
y
2 2
z
)u 0
正交曲线座标系中的拉普拉斯方程
d R d
2
2
1 dR
数学物理方程
⎧y ⎪
t=0
=d
= v0
⎨
⎪⎩ y t=0 = d ' = 0
⇒ vy = v0 − gt
⇒
y
=
v0t
−
1 2
gt 2
(2) 对斜向上抛：
⎧⎪x t=0 = v0 cosθ = c
⎨ ⎪⎩x
t=0
=
c'
=
0
⇒ vx = v0 cosθ ⇒ x = (v0 cosθ )t
⎧y ⎪
t =0
=
d
=
v0
sin θ
x
= SY[∂u(x + dx,t) − ∂u ] = SY ∂ [u(x + dx,t) − u(x,t)]= SY
∂ [u(x + dx,t) − u(x,t) dx] = SY
∂x
dx
∂2u ∂x2
dx
由牛顿第二定律： ma = F (a = ∂2u , m = ρdv = ρ sdx)
⇒ vy = v0 sinθ − gt
⎨ ⎪⎩ y t=0 = d ' = 0
⇒
y
=
v0
sin θ
t
−
1 2
gt 2
5
结论：不同的初始条件 ⇒ 不同的运动状态，但都服从
牛顿第二定律。
综上所述，定解问题的完整提法： 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理
规律，解出某个物理量u 在给定的区域里随着地点(x,y,z) 和时刻t怎样变化，即求u(x,y,z,t)。
20
(3) 第三类边界条件：给出边界上未知数u及其法向导 数之间的线性关系
例：杆在x=0端固定，在x=l端受到弹性系数为k的弹簧 的拉力，其边界条件为
数学物理方法定解问题
（5）
同理有二维（薄片）及三维热传导方程
u 2u 2u 2 a ( 2 2 ) f ( x, y, t ) t x y u u u u 2 a ( 2 2 2 ) f ( x, y, z, t ) t x y z
2 2 2
29
热传导方程可统一表示为：
u 在t 0时， u ( x, t1 ) u ( x, t 2 ) t t
故Q温度变化 u c A x t t
24
m v A x
Q流动热量满足傅立叶实验定律：
物体在无穷小时段dt内流过一个无穷小面积ds的 热量dQ与物体温度沿曲面ds法线方向导数成正比。
ut a u f
2
其中Δ为拉普拉斯算子，f=0时为齐次方程，f≠0时 为非齐次方程。 （注：扩散情况也满足此方程，此时为扩散方程， u为浓度。）
30
泊松方程或拉普拉斯方程
前两类方程的特例，稳定场情况，即u不随时间变化。
u 0 t
u 0
（6）
（6）式即为拉普拉斯方程。
u f
特殊性，即个性。
泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。 它反映了问题的共性。
5
具体的问题的求解的一般过程： 1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律 2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和
初始条件——求解所必须用的 3、求解方法 —— 行波法、分离变量法等
三类数学物理方程的一种最常用解法 分离变量法 偏微分方程 标准的常微分方程 标准解，即为各类特 殊函数 6
2
从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的 是场和产生这种场的源之间的关系．
数学物理方法课后答案
数学物理方法课后答案【篇一：数学物理方法习题】1、求解定解问题：utt?a2uxx?0,(0?x?1),u|x?0?u|x?l?0,l?n0hx,(0?x?),?ln0?（p-223） ?u|t?0??hl(l?x),(?x?l),?ln0?l???n0u|t?0?0,(0?x?l).2、长为l的弦，两端固定，弦中张力为t，在距一端为x0的一点以力f0把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。
[提示：定解问题为 utt?a2uxx?0,(0?x?l),u(0,t)?u(l,t)?0,?f0l?x0x,(0?x?x0), ??tlu(x,0)???f0x0(l?x),(x?x?l),0??tlut|t?0?0.] (p-227)3、求解细杆导热问题，杆长l，两端保持为零度，初始温度分布u|t?0?bx(l?x)/l2。
[定解问题为k?22u?au?0,(a?)(0?x?l),xx?tc???] (p-230)u|x?0?u|x?l?0,??u|t?0?bx(l?x)/l2.???4、求解定解问题??2u?2u2??a?0,0?x?l,t?022??t?x?ux?0?0,ux?l?0. ??3?x?u?u ?asin,?0.?t?0l?tt?0?4、长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为l(1?2?)，放手后自由振动，求解杆的这一振动。
[提示：定解问题为?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?ux|x?0?ux|x?l?0,??](p-236) ?2u|?2?(?x),t?0?l?ut|t?0?0.??5、长为l的杆，一端固定，另一端受力f0而伸长，求解杆在放手后的振动。
[提示：定解问题为?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?u|x?0?0,ux|x?l?0,??] (p-238)x?uxf?0?u(x,0)??0dx??0,?xys?ut|t?0?0.??6、长为l的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由、电梯下降，当速度为v0时突然停止，求解杆的振动。
波动方程、输运方程、稳定场方程
数学物理方法复变函数、解析函数（积分、展开）、留数定理等勒让德函数、delta 函数波动方程、输运方程、稳定场方程1第三篇数学物理方程91011122第9章定解问题1. 物理规律的数学表示——泛定方程u(x,y,z)t 的值u(x,y,z,t).(2)u泛定方程反映的是同一类物理现象的共性，和具体条件无关。
342.边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性5由初始条件得特解：(1)对竖直上抛：(2)对斜向上抛：结论：不同的初始条件不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。
定解问题的完整提法：(x,y,z)(x,y,z,t)。
6(1) 解的存在性问题(2) 解的唯一性问题7(3)稳定性问题(初始条件微变时，解的变化也很小，称解是稳定的)8数学物理方程的导出12345679x x+dx方向的位移。
并设杆的横截P作用于单位横截面的内力)对该小段，有两个侧面沿x方向的合力：牛顿第二定律：，并记：，有x x+dx(1)(2)1112说明：在以上推导中所作的简化假定x 来标志同一截面上的各个点，x 和t的函数。
a 的物理意义？(从其表达式看出，它是反映)13二、弦的横振动方程研究对象：简化假设：和 很小，和ds14(线性化)(3)ds——张力与1516，则有——弦的强迫振动方程讨论：18三、波动方程的定解条件1. 初始条件两个初始条件————2.边界条件第一类边界条件：给出未知函数u 在边界上的值19第二类边界条件：给定未知函数u 在边界上的法向导数值(第一类)(第二类)x =l到的力20，且有限讨论：若x =l 端既不固定，又不受F (t ) 作用，即x =l 为自由端，则有21(3) 第三类边界条件：给出边界上未知数u 及其法向导数之间的线性关系(第一类第三类)推导：在x =l F (t )=－ku (l , t )—弹力，代入，则有用两根不同介质的杆接成的一根杆的纵振动，在连接点 处有以下衔接条件2x Y =∂=其中： 、 为两根不同介质的杆的位移，是杨氏模量其它定解条件：9.2 输运问题一、热传导方程1. 热传导现象：2. 方程的推导S c；F(x，y，z，t)u(x，y，z，t)傅里叶定律：23在各向同性的介质中，热流强度 与温度的负梯度成正比：(0：热传导系数：单位时间内垂直通过等温面单位面积的热量，的方向：等温面的法线方向（由高温指向低温）定律的物理意义：单位时间内流入 的热量：单位时间内热源在 中释放的热量：=⎰25:能量守恒定律：26二、扩散方程1.扩散现象：2.方程的推导：S，F(x,y,z,t) (x,y,z,t)扩散，粒子源N=uv27斐克定律：扩散强度与浓度的负梯度成正比，即D粒子增加的数量：2829粒子数守恒：若D 为常数，且设，则内无粒子源：F =030三、热传导方程的定解条件1.初始条件2.边界条件第一类边界条件：给定温度在边界上的值x =0端保持为零度，x =l 端保持31（S—给定区域v的边界）第二类边界条件：给定温度在边界上的法向导数值(关键：物理意义)) ：x =0 端绝热、x =l 端有热流流出即q (t)32：的法线分量33(3)第三类边界条件：给定边界上温度与温度的法向导数的线性关系。
《数学物理方法》第九章 定解问题
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2.边界条件
• 边界条件描述系统在边界上的状况，从数
学上归结为三类边界条件．
(1)、第一类边界条件：给出未知函数u在 边界上的值．
如在弦的横振动中，弦的两端固定，其 边界条件为
u(0, t)＝0 (9.1.16) u (l, t)＝0 (9.1.17)
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(2)、第二类边界条件：给定未知函数u在边界
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• 设细杆的密度为r,则(x,x+dx)小段的质量为
m=rdV=rSdx (9.1.6)
• 将式(9.1.5)和式(9.1.6)代入牛顿定律，即有
(9.1.7) • 引入常数，并采用简写记号
• 则上式可简写为 utt-a2uxx = 0 (9.1.8)
• 这是细杆作自由振动时各点的运动规律，称 20为21/1/1杆4 的纵振动方程，又称一维波动方程． 11
• 则得齐次热传导方程
ut(x,y,z,t) = a2∇2u(x,y,z,t) (9.2.9)
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• 扩散方程具有相同的形式，见习题9.2.1
• 尽管热传导现象与扩散现象的物理本质不同 ，一个是热量的传递，一个是粒子的运动， 但它们都满足同一偏微分方程，都遵守输运 过程的共同规律 。
本质完全不同的过程也都遵守三维波动方程
；
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• 前面已指出，为了完全弄清楚一个物理过程 ，还要给出定解条件．
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§9.1.4 波动问题的定解条件
1.初始条件 • 初始条件: 描述所研究系统的初始状态。
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故在dt时间内流入dV的净热量为
?
• 根据焦耳一楞次(Joule-Lenz)定律，电流I在 电阻为R的导线上产生的焦耳热为 Q=0.24I2Rt.因此，在dt时间内，电流密度j在 电阻率为小体积为dV=Sdx的导线中产生的焦 耳热为
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3.街接条件
• 在研究具有不同介质的问题中，在不同介质 的分界面处有衔接条件．例如，在用两根不 同介质的杆连接成一根杆的纵振动问题中， 在连接处的位移相等，应力也相等．因此在 连接点x=x0处有下述衔接条件
• 其中u1(l,t)和u2(l,t)分别代表两根不同介质的 杆的位移，Y1和Y2分别是它们的杨氏模量．
• 这就是弦的横振动方程，又称为一维波动方 程．
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• 上述讨论表明，一个是杆，一个是弦；一个 是纵振动，一个是横振动；但它们遵守完全 相同的运动方程—波动方程；
• 这两个例子都属于一维空间的机械运动．实 际上，二维空间、三维空间的机械运动将遵 守二维、三维的波动方程；
• 而且，声波的传播，电磁场的运动这些物理
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作业- §9.1 第188页
1组
2组
3组
1. 9.1.1
1. 9.1.2
1. 9.1.3
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§9.2.1 支配热传导现象的若干物 1. 傅里叶定律 理定律
• 在各向同性的介质中，热流强度q与温度的负 梯度成正比(热传导系数k>0)
q＝-k∇u (9.2.1)
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1.胡克(Hooke)定律
• 在弹性限度内，作用于物体的应力(单位横截 面上的内力)与应变(物体的相对伸长)成正比 ，即
• 比例系数Y称为杨氏模量．
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2.牛顿(Newton)第二定律
• 在惯性参考系中，作用于物体的合外力平比 于物体动量的时间变化率，即
• 对于一维运动, 上式可改写为标量形式
• 给出边界上u及其法向导数ux之间的线性关系 如杆在x=0端固定，在 x=l 端受弹性系数为k 的弹簧的拉力(图9.5)，其边界条件为
u(0, t) = 0 (第一类)
ux(l,t)+hu(l, t) = 0 (第三类)
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u(0, t) = 0 (第一类)
ux(l,t)+hu(l, t) = 0 (第三类) • 证明 将F(t) = ku(l, t) 代入式(9.1.8)，得
• 第12章 介绍积分变换法，它是通过方程的积分变换
，减少自变量的个数，直至化为常微分方程来求解．
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• 本章将导出三类典型物理过程的泛定方程和 定解条件，即波动问题的波动方程与定解条 件，输运问题的热传导方程与定解条件，以 及稳定场问题的泊松方程、拉普拉斯方程与 定解条件．
• 则得齐次热传导方程
ut(x,y,z,t) = a2∇2u(x,y,z,t) (9.2.9)
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• 扩散方程具有相同的形式，见习题9.2.1
• 尽管热传导现象与扩散现象的物理本质不同 ，一个是热量的传递，一个是粒子的运动， 但它们都满足同一偏微分方程，都遵守输运 过程的共同规律 。
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由此可见，在整个振动过程中，弦的长度也近 似不变：
由胡克定律可知，弦上各点的张力与时间无关
• (3)弦的质量与张力相比很小，可忽略不计
• 这样，应用牛顿第二定律于水平方向，可以 证明张力与x无关．实际上，既然弦只作横振
动，故弦沿水平方向的加速度为零，牛顿第 二定律在水平方向的投影为
T(x+dx)cosa1x －T(x)cosa2＝0
• 最后讨论定解问题的适定性，即解的存在性 、唯一性和稳定性的问题．
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§9.1.1 支配波动现象的若干物 本节着重讨论 理定律
一维波动现象
• 设u(x,t)是杆(或弦)上平衡时坐标为x的点在t时 刻的位移．因此，杆(或弦)上任一小段 (x,x+dx) 的伸长为u(x+dx,t)-u(x,t)，相对伸长 为
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2.边界条件
• 边界条件描述系统在边界上的状况，从数
学上归结为三类边界条件．
(1)、第一类边界条件：给出未知函数u在 边界上的值．
如在弦的横振动中，弦的两端固定，其 边界条件为
u(0, t)＝0 (9.1.16) u (l, t)＝0 (9.1.17)
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(2)、第二类边界条件：给定未知函数u在边界
• 热流强度q的大小是单位时间内垂直通过等温
面单位面积的热量，即
• q的方向是等温面的法线方向(由高温指向低
温)．
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2. 能量守恒与转化定律
• 自然界一切物体都具有能量，能量有各种不 同形式，它能从一种形式转化为另一种形式 ，从一个物体传递给另一个物体，在转化和 传递的过程中能量的数量保持不变。
本质完全不同的过程也都遵守三维波动方程
；
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• 前面已指出，为了完全弄清楚一个物理过程 ，还要给出定解条件．
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§9.1.4 波动问题的定解条件
1.初始条件 • 初始条件: 描述所研究系统的初始状态。
• 由于波动方程含有对时间的二阶偏导数，因 此，要给出两个初始条件．即要给出系统各 点的初位移和初速度
§ 9.1.3 弦的横振动方程
• 考虑一均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附 近产生振幅极小的横振动，如图9. 2所示．设 u(x,t)是平衡时坐标为x的点在t 时刻沿y方向的位移 (为了绘图方便，图中夸大了这个位移)，现在求细 弦上各点的运动规律
• 同样，研究一小段(x, x+dx)与外界的相互作用来 建立方程．
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由能量守恒定律可知Q3=Q1＋Q2 ，即
• 由于DV是任意的，故有
• 若介质均匀(k为常数), 可提到微分算符之外
，引入 ，
则式(9.2.7)可简
写为
• 这就是非齐次热传导方程，它给出介质中各
点温度u(x,y,z,t)所遵守的规律。
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• 非齐次热传导方程中，如果在DV内没有热源 ，即热源密度 f(x,y,z,t) = 0,
过dS面向外辐射的热量为
dQ＝su4dSdt (9.2.3)
• 式中s 为斯特藩-玻尔兹曼常量．
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§9.2.2 热传导方程
• 考察介质中任一小体积DV，其边界面为S，
介质的比热为c，质量密度为r介质中的热源,
在单位时间、单位体积中放出的热量用热源 密度F(x,y,z,t)表示．
• 如果物体的质量m不随时间变化，动量p=mut 中的m可提出微商号外．由此得
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§9.1.2 杆的纵振动方程
• 考虑一均匀细杆沿 杆长方向的微小振 动，见图9.1.现在 寻找细杆上各点的 运动规律．
• 为此，研究杆的一小段(x,x+dx)与外界的相互 作用来建立方程．由于小段两侧都受到应力 的作用，根据胡克足律，作用于该小段的合 外力为
上的法向导数值．
如杆在x=0端固定，在x=l端受外力F(t)的作用
(图9.4)，其边界条件为
u(0, t)＝ 0 (第一类)； ux(l, t)＝ 类)
(第二
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• 证明 考虑细杆x = l端的一小段( l-e, l)，由牛
顿第二定律，胡克定律及 m = reS 可得
mutt=F(t) -SP(l-e,t)
①初位移．t=0时弦来不及振动，故u(x,0) =0.
②初速度． 在 |x-c|<e 段，由动量定律
而动量的变化为
两式联立，即有
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在 |x-c|<e 段
在 | x-c |＞e 段，没有受外界作用，故 ut(l,t) = 0 ， t) = 0， u (l, t) = 0，
《数学物理方法》第九章 定解问题
• 第9章 讨论定解问题，是将物理问题转化为数学上的 定解问题，即建立有关物理量遵守的泛定方程和定解 条件．
• 第10章 介绍行波法和平均值法，行波法是先求出偏 微分方程的通解，然后用定解条件确定定解问题的解 ；平均值法是将行波法一维的结果推广到三维．
• 第11章 介绍分离变量法，它是先求出具有变量分离 形式且满足边界条件的特解，然后将这些特解进行线 性叠加，最后由其余定解条件求出待定系数而得解．
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• 【例9.2.1】匀质导线的横截面积为S，电阻率为h， 通有均匀分布的直流电电流密度为j，试导出导线内 的热传导方程。
• 解 首先计算位于(x,x+dx)的小体积元在dt时间内净 增加的热量．根据傅里叶定律，在dt时间内，由左 边通过x横截面沿ex方向流入dV的热量是
• 从右边通过x+dx截面流出dV的热量是(图9. 6)
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• 除了上述三种定解条件之外，还有
– 有限性条件、 – 周期性条件等
• 后两者在稳定场问题中用得比较多，在 9.3节将作更详尽的介绍．
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• 【例9.1.2】长为 l 的弦两端固定，线密度为r
，开始时在|x-c|<e处受到冲量I的作用。