《数学物理方法》第九章 定解问题

即 reSutt=F(t) -SYux(l-e,t) • 令e→0，因utt有限，故等式左端为零．因而
0=F(t) -SYux(l,t) ，即
• 若端点自由(既不固定，又不受F(t)作用)，将 F(t) =0代入上式，仍得第二类边界条件
ux(l, t) ＝0 (9.1.19)
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(3)第三类边界条件：
• 将上两式代入式(9.1.10)，得
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• 这就是当弦在强迫力作用下各点的运动方程 ，称为弦的强迫振动方程 。
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utt－ a2uxx＝ f(x) (9.1.12)
• 若弦不受外力作用，即F(x)＝0, 则式(9.1.12) 化为
utt－ a2uxx＝ 0 (9.1.13)
• 为简单起见，我们作出如
下简化假设：
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弦横振动方程推导的简化假设∞→≠≤≥
• (1)、弦是柔软的，弦上的任一点的张力沿弦 的切线方向．
• (2)、由于振动的振幅是极小的，因此张力与 水平方向的夹角a1与a2也很小，仅考虑a1与 a2的一阶小量，略去二阶小量，即
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• 如果物体的质量m不随时间变化，动量p=mut 中的m可提出微商号外．由此得
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§9.1.2 杆的纵振动方程
• 考虑一均匀细杆沿 杆长方向的微小振 动，见图9.1.现在 寻找细杆上各点的 运动规律．
• 为此，研究杆的一小段(x,x+dx)与外界的相互 作用来建立方程．由于小段两侧都受到应力 的作用，根据胡克足律，作用于该小段的合 外力为
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由能量守恒定律可知Q3=Q1＋Q2 ，即
• 由于DV是任意的，故有
• 若介质均匀(k为常数), 可提到微分算符之外
，引入 ，
则式(9.2.7)可简
写为
• 这就是非齐次热传导方程，它给出介质中各
点温度u(x,y,z,t)所遵守的规律。
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• 非齐次热传导方程中，如果在DV内没有热源 ，即热源密度 f(x,y,z,t) = 0,
• 则得齐次热传导方程
ut(x,y,z,t) = a2∇2u(x,y,z,t) (9.2.9)
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• 扩散方程具有相同的形式，见习题9.2.1
• 尽管热传导现象与扩散现象的物理本质不同 ，一个是热量的传递，一个是粒子的运动， 但它们都满足同一偏微分方程，都遵守输运 过程的共同规律 。
-kux(x+dx,t)Sdt
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故在dt时间内流入dV的净热量为
?
• 根据焦耳一楞次(Joule-Lenz)定律，电流I在 电阻为R的导线上产生的焦耳热为 Q=0.24I2Rt.因此，在dt时间内，电流密度j在 电阻率为小体积为dV=Sdx的导线中产生的焦 耳热为
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作业- §9.1 第188页
1组
2组
3组
1. 9.1.1
1. 9.1.2
1. 9.1.3
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§9.2.1 支配热传导现象的若干物 1. 傅里叶定律 理定律
• 在各向同性的介质中，热流强度q与温度的负 梯度成正比(热传导系数k>0)
q＝-k∇u (9.2.1)
• 第12章 介绍积分变换法，它是通过方程的积分变换
，减少自变量的个数，直至化为常微分方程来求解．
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• 本章将导出三类典型物理过程的泛定方程和 定解条件，即波动问题的波动方程与定解条 件，输运问题的热传导方程与定解条件，以 及稳定场问题的泊松方程、拉普拉斯方程与 定解条件．
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• 除了上述三种定解条件之外，还有
– 有限性条件、 – 周期性条件等
• 后两者在稳定场问题中用得比较多，在 9.3节将作更详尽的介绍．
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• 【例9.1.2】长为 l 的弦两端固定，线密度为r
，开始时在|x-c|<e处受到冲量I的作用。
• 写出定解条件。
• 解 (1) 初始条件
u(x,0) ＝ j (x,0) (9.1.14) ut(x,0) ＝ y (x,0) (9.1.15)
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【9.1.1】一根长为l , 两端固定的弦，用手把 它的中点横向拉开距离b(图9.3), 然后放手任其
自由振动, 写出它的初始条件．
• 解 t = 0时，各点的位移 由图中折线确定； t = 0 时，即放手那一瞬间各 点的速度为零，故
本质完全不同的过程也都遵守三维波动方程
；
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• 前面已指出，为了完全弄清楚一个物理过程 ，还要给出定解条件．
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§9.1.4 波动问题的定解条件
1.初始条件 • 初始条件: 描述所研究系统的初始状态。
• 由于波动方程含有对时间的二阶偏导数，因 此，要给出两个初始条件．即要给出系统各 点的初位移和初速度
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由此可见，在整个振动过程中，弦的长度也近 似不变：
由胡克定律可知，弦上各点的张力与时间无关
• (3)弦的质量与张力相比很小，可忽略不计
• 这样，应用牛顿第二定律于水平方向，可以 证明张力与x无关．实际上，既然弦只作横振
动，故弦沿水平方向的加速度为零，牛顿第 二定律在水平方向的投影为
T(x+dx)cosa1x －T(x)cosa2＝0
§ 9.1.3 弦的横振动方程
• 考虑一均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附 近产生振幅极小的横振动，如图9. 2所示．设 u(x,t)是平衡时坐标为x的点在t 时刻沿y方向的位移 (为了绘图方便，图中夸大了这个位移)，现在求细 弦上各点的运动规律
• 同样，研究一小段(x, x+dx)与外界的相互作用来 建立方程．
• 热流强度q的大小是单位时间内垂直通过等温
面单位面积的热量，即
• q的方向是等温面的法线方向(由高温指向低
温)．
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2. 能量守恒与转化定律
• 自然界一切物体都具有能量，能量有各种不 同形式，它能从一种形式转化为另一种形式 ，从一个物体传递给另一个物体，在转化和 传递的过程中能量的数量保持不变。
• 将cosa1x≈１及cosa2≈１代入，便有
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T(x+dx)＝T(x) (9.1.9)
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• 应用牛顿第二定律于竖直方向，可以得到弦振动方
程，设r为单位长度弦的质量，F(x, t)为单位长度弦
所受的强迫力．牛顿第二定律在竖直方向的投影为
• 利用第2个简化假设及tana是曲线的斜率，因而
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• 【例9.2.1】匀质导线的横截面积为S，电阻率为h， 通有均匀分布的直流电电流密度为j，试导出导线内 的热传导方程。
• 解 首先计算位于(x,x+dx)的小体积元在dt时间内净 增加的热量．根据傅里叶定律，在dt时间内，由左 边通过x横截面沿ex方向流入dV的热量是
• 从右边通过x+dx截面流出dV的热量是(图9. 6)
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1.胡克(Hooke)定律
• 在弹性限度内，作用于物体的应力(单位横截 面上的内力)与应变(物体的相对伸长)成正比 ，即
• 比例系数Y称为杨氏模量．
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2.牛顿(Newton)第二定律
• 在惯性参考系中，作用于物体的合外力平比 于物体动量的时间变化率，即
• 对于一维运动, 上式可改写为标量形式
• 这就是弦的横振动方程，又称为一维波动方 程．
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• 上述讨论表明，一个是杆，一个是弦；一个 是纵振动，一个是横振动；但它们遵守完全 相同的运动方程—波动方程；
• 这两个例子都属于一维空间的机械运动．实 际上，二维空间、三维空间的机械运动将遵 守二维、三维的波动方程；
• 而且，声波的传播，电磁场的运动这些物理
• 最后讨论定解问题的适定性，即解的存在性 、唯一性和稳定性的问题．
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§9.1.1 支配波动现象的若干物 本节着重讨论 理定律
一维波动现象
• 设u(x,t)是杆(或弦)上平衡时坐标为x的点在t时 刻的位移．因此，杆(或弦)上任一小段 (x,x+dx) 的伸长为u(x+dx,t)-u(x,t)，相对伸长 为
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3. 牛顿冷却定律
• 单位时间从物体内部通过单位表面积流到周 围介质的热量，跟物体表面与外界的温差成 正比，即
q(S,t)＝H[u(x, y, z, t)|s-u1] (9.2.2)
• 式中H>0是热交换系数，u1是周围介质的温 度．
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4. 斯特藩-玻尔兹曼(Stefan• 若物体表面B的o绝ltz对m温a度n为nu),定则它律在dt时间内通
• 给出边界上u及其法向导数ux之间的线性关系 如杆在x=0端固定，在 x=l 端受弹性系数为k 的弹簧的拉力(图9.5)，其边界条件为
u(0, t) = 0 (第一类)
ux(l,t)+hu(l, t) = 0 (第三类)
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u(0, t) = 0 (第一类)
ux(l,t)+hu(l, t) = 0 (第三类) • 证明 将F(t) = ku(l, t) 代入式(9.1.8)，得
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• 设细杆的密度为r,则(x,x+dx)小段的质量为
m=rdV=rSdx (9.1.6)
• 将式(9.1.5)和式(9.1.6)代入牛顿定律，即有
(9.1.7) • 引入常数，并采用简写记号
• 则上式可简写为 utt-a2uxx = 0 (9.1.8)
• 这是细杆作自由振动时各点的运动规律，称 20为21/1/1杆4 的纵振动方程，又称一维波动方程． 11
①初位移．t=0时弦来不及振动，故u(x,0) =0.
②初速度． 在 |x-c|<e 段，由动量定律
而动量的变化为
两式联立，即有
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在 |x-c|<e 段
在 | x-c |＞e 段，没有受外界作用，故 ut(l,t) = 0 ， | x-c |＞e
(2) 边界条件： u (0, t) = 0， u (l, t) = 0，
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2.边界条件
• 边界条件描述系统在边界上的状况，从数
学上归结为三类边界条件．
(1)、第一类边界条件：给出未知函数u在 边界上的值．
如在弦的横振动中，弦的两端固定，其 边界条件为
u(0, t)＝0 (9.1.16) u (l, t)＝0 (9.1.17)
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(2)、第二类边界条件：给定未知函数u在边界
• 现在求t 时刻介质内各点温度 u(x,y,z,t) 应遵 守的规律．
• 首先，位于DV内的介质吸收的热量来自热传 导和热源．
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根据傅里叶定律，单位时间流入
DV的总热量为(参看附录A)
(9.2.4)
• 单位时间内，在体积DV中热源释放的热量为
• 单位时间内，在体积DV中介质温度升高所需 要的热量是
过dS面向外辐射的热量为
dQ＝su4dSdt (9.2.3)
• 式中s 为斯特藩-玻尔兹曼常量．
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§9.2.2 热传导方程
• 考察介质中任一小体积DV，其边界面为S，
介质的比热为c，质量密度为r介质中的热源,
在单位时间、单位体积中放出的热量用热源 密度F(x,y,z,t)表示．
上的法向导数值．
如杆在x=0端固定，在x=l端受外力F(t)的作用
(图9.4)，其边界条件为
u(0, t)＝ 0 (第一类)； ux(l, t)＝ 类)
(第二
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• 证明 考虑细杆x = l端的一小段( l-e, l)，由牛
顿第二定律，胡克定律及 m = reS 可得
mutt=F(t) -SP(l-e,t)
《数学物理方法》第九章 定解问题
• 第9章 讨论定解问题，是将物理问题转化为数学上的 定解问题，即建立有关物理量遵守的泛定方程和定解 条件．
• 第10章 介绍行波法和平均值法，行波法是先求出偏 微分方程的通解，然后用定解条件确定定解问题的解 ；平均值法是将行波法一维的结果推广到三维．
• 第11章 介绍分离变量法，它是先求出具有变量分离 形式且满足边界条件的特解，然后将这些特解进行线 性叠加，最后由其余定解条件求出待定系数而得解．
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3.街接条件
• 在研究具有不同介质的问题中，在不同介质 的分界面处有衔接条件．例如，在用两根不 同介质的杆连接成一根杆的纵振动问题中， 在连接处的位移相等，应力也相等．因此在 连接点x=x0处有下述衔接条件
• 其中u1(l,t)和u2(l,t)分别代表两根不同介质的 杆的位移，Y1和Y2分别是它们的杨氏模量．