平面向量等和线法 ,结合高考实例应用,快速秒杀

解析：
过点A作AF DE，设AF与BC的延长线交于点 H， 1 易知AF FH，即DF为BC的中位线，因此 1 2 2
思考：若所求的式子是系数的线性关系式而不是系数和呢？
考虑到向量可以通过数乘继而将向量进行拉伸压缩反向等操 作，那么理论上来说，所有的系数之间的线性关系，我们都 可以通过调节基底，使得要求的表达式是两个新基底的系数 和

3
，
解析：
课后巩固：
2009安徽 (文)14在平行四边形 ABCD中， E和F分别是边 CD和 1、
BC的中点，若 AC AE AF , 其中 , R.则 ______ . 2、 (苏州大学 2013 高考考前指导卷 (1)13)已知点 O是ABC的外心， 2 AB 2a, AC , BAC 120 , 若 AO AB AC, 则 最小值为 ____. a 3、 (2014 宁波一模 )已知点 O是ABC的外心，且 AB 3, AC 4, 若 存在非零实数 x, y，使得 AO x AB y AC, 且x 2 y 1, 则cosBAC _____.
本专题存在的意义：
1、等和线法巧妙的将代数问题转化为了图形的关系，将具体的代数 式运算转化为了距离的长短比例关系问题，这是数形结合思想的非常 直接的体现。 2、等和线法将复杂的不等式问题，范围问题，数量积问题转化为了 简单，直接，操作方便的点到直线距离问题，很多时候用相似即可迅 速解决，提高了做题效率与正确率，提升了学生的学习热情与兴趣。
思考：若是基底向量中有一个变化的向量，该如何处理，是否可以用等和线 呢？
思考这个问题，下节课一起探讨：
2011 苏州一模 13如图，在正方形 ABCD中， E为AB的中点，
P为以 A为圆心， AB为半径的圆弧上的任意 一点， 设 AC DE AP, 则 的最小值为 _____.
典型例题
例4、 (2013 杭州一模 17)如图，在扇形 OAB中， AOB C为弧AB上的一个动点，若 OC xOA yOB， 则x 3 y的取值范围是 ____.
OB OB OC xOA 3 y , 令OB' ，那么则要考虑以向量 3 3 OA, OB为基底。显然，当 ' C在A点时，经过 k 1的等和线， 的等和线，所以系数和 k的取值范围是 1,3 C在B点时，经过 k 3的等和线，这两个分别 是最近跟最远
典型例题：
例1、 (2013 .南通二模 )如图，正六边形 ABCDEF中， P是CDE内(包括边界 )的动点，设 AP AB AF （， R），则 的取值范围是 __________ _.
解析：
BF为k 1的等和线， P在CDE内时， EC是最近的等和线，过 D点的等和线是最远的 AN AD , 3,4 AM AM
平面向量等和线法
2019.1.10
为什么要研究这个专题？
1、平面向量由于其与代数，几何均有相当高的融合性，常与这两者有机结合 ，进行考查，综合性强，难度大。 2、向量的表示以及数乘运算是B级考点，而此类题型的考查常会与向量的数 量积、不等式等C级考点结合，考试要求高。 3、课本上有多处出现了“等和线”的基本题型，其理论基础多次被提及。 4、此类题目要求学生在数形结合，转化化归等数学思想上有很高的理解，对 于此类题目学生普遍束手无策。 5、最近3年高考中，每年至少有2道此类题目出现，模拟题中更数不胜数， 故有必要进行一个此专题的讲解。
高考真题
2013安徽（理）、2013江苏、2013北京（文 ）、2014天津、2014陕西、2015新课标（理 ）、2015北京（理）
课本溯源
苏教版必修4,P77,题11
已知O是坐标原点 , A3,1, B 1,3.若点C满足OC OA OB， 其中 , R, 且 1，求点 C的轨迹方程
诸如此类的已知图形求系数和或者已知系数和求图形的题目在历年 的真题与模拟题中屡见不鲜。学生在解决此类问题时，往往要通过 建系或者利用角度与数量积处理，思路不清晰且解题繁琐，得分率 普遍不高。故特地做此专题，希望能给出一个简单的方法解决此类 问题。
等和线的理论基础
深入研究
y x 若OC OD ，那么OC xOA yOB OA OB OD
典型例题：
例2、 (2009 安徽 (理)14)给定两个长度为 1的平面向 2 量OA和OB，它们的夹角为 ，如图所示，点 C 3 在以 O为圆心的圆弧 AB上变动，若 OC xOA yOBx, y R , 则x y的最大值是 _____. 解析：
所有与 AB平行的直线中，切线离 圆心最远，即此时取得 k最大 结合角度，不难得到 kmax 2
谢谢！
思考：如果起点不同，是否能用“等和线”做呢？
我们高中阶段研究的是自由向量，向量是可以任意平移的。 在使用等和线解题的时候，若是起点不同一定要将向量平移到起点 重合。 实际上，对于向量而言，若起点没有约束，单纯研究终点是没有任 何意义的。
典型例题
例3、 (2013 江苏10)设D, E分别是 ABC的边 AB, BC上的点， 1 2 AD AB, BE BC, 若DE 1 AB 2 AC1 , 2 R ， 2 3 则1 2的值为 ________ .
x


y

1,即x y
进一步探究
过C点作直线 l // AB, 在l上任作一点 C'，连接 OC' AB D'
同理可得，以 OA, OB 为基底时， OC'对应的系数和依然为
Hale Waihona Puke 结论在向量起点相同的前提 下，所有以与 AB平行 的直线上面的点为终点 的向量，其基底的系 数和为定值，这样的线 ，我们称之为“等和 线”。值的大小与起点 到等和线的距离成正 比，若等和线与 AB在起点的两侧时，值为 负。