《直棱柱和圆锥的侧面展开图》

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高中数学必修2《简单几何体的侧面积》

积求法
作业： 1、P49面T10 2、预习：7.2节：体积 3、阅读报纸（见晚自习布置）
探索思考题：
正六棱柱 ABCDEF A1B1C1D1E1F1 的各棱长均为1，求一只蚂蚁从点 A1沿表面爬到点D时的最短路程。
1
探索思考题：见讲与练P31面例题5
二、（1）直棱柱的侧面积
h
直棱柱的侧面展开图是矩形
s ch 直棱柱侧
（2）正棱锥的侧面积
正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形
s 1 ch'
正棱棱锥
2
h'
（3）正棱台的侧面积
正棱台的侧面展开图是全等的等腰梯形
s 1 (c c')h'
正棱棱台
2
h'
例1 一个圆柱形锅炉，底面直径 d =1m, 高h =2.3m.求锅炉的表面积（保留2个有效
(2)圆锥的侧面积：
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥侧= rl
(3)圆台的侧面图是扇环
s (r r )l
圆台侧
1
2
问题1：如何推导圆台侧面积公式？
问题2：将圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式进行类比，它们有什么联系和区别？
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的侧面积？
练习：p45
1.已知正六棱柱的高为h,底面边长为 a，求表面积。
2.从长方体一个顶点出发的三个面的面积分别为6，8， 10，求它的对角线的长。
3.正四棱台的上、下底面边长分别是3，6，其侧面积等于两底面积之和，则其高和斜高分别是多少？
4.要对一批圆锥形实心零部件的表面进行防腐处理，每平方厘米的加工处理费为0.15元。已知圆锥底面直径与母线长相等，都等于5 cm，问加工处理1000个这样的零件，需加工处理费多少元？（精确到0.01元）

2020届初三数学复习直棱柱、圆锥的侧面展开图专题练习包含答案

直棱柱、圆锥的侧面展开图1. 下列图形中，是圆锥侧面展开图的是( )2. 下面的图形中，是三棱柱的侧面展开图的是( )3. 经过圆锥顶点的截面的形状可能是( )4. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是( )A．圆柱 B．圆锥 C．四棱柱 D．三棱柱5. 小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒（如图），六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是( )6. 如图是一个长方体包装盒,则它的平面展开图是( )7. 如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是( )A.1B.34C.12D.138. 若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线l 与底面半径r 的关系是( )A ．l ＝2rB ．l ＝3rC ．l ＝rD ．l ＝329. 用一圆心角为120°，半径为6 cm 的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面的半径是( )A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm10. 将一个圆心角是90°的扇形围成圆锥的侧面，则该圆锥的侧面积S 侧和底面积S 底的关系为( )A ．S 侧＝S 底B ．S 侧＝2S 底C ．S 侧＝3S 底D ．S 侧＝4S 底11. 若一个圆锥的底面积是侧面积的13，则该圆锥侧面展开图的圆心角度数是_______度.12. 如果圆锥的母线长为5cm ，底面半径为3cm ，那么圆锥的全面积为____ cm 2. 13. 若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是___________．14. 如图，扇形OED 的半径为3，边长为3的菱形OABC 的顶点A ，C ，B 分别在OD ，OE ，DE ︵上，若把扇形OED 围成一个圆锥，则此圆锥的高为_________．15. 在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为22，则这个圆锥的侧面积是_________．16. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于_________．17. 如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是_________ cm．18. 如图，如果从半径为5 cm 的圆形纸片上剪去15圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高是______cm.19. 已知一个扇形的半径为60厘米，圆心角为150°.用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为_______厘米．20. 如图所示，沿虚线折成正方体，对面数字之和为2的数有对.21. 如图，已知圆锥的母线AB=6，底面半径r=2，求圆锥的侧面展开图的扇形圆心角.22. 要在如图①所示的一个机器零件(尺寸如图②所示，单位：mm)的表面涂上防锈漆，请你帮助计算一下这个零件的表面积．(参考公式：S圆柱侧＝2πrh，SS圆＝πr2，其中r为底面圆半径，h为高，l为母线长，π取3.14) 圆锥侧＝πrl，23. 如图所示的是一个食品包装盒的平面展开图.(1)请写出这个包装盒的多面体形状的名称；(2)请根据图中所标的尺寸，计算这个多面体的侧面积和全面积(侧面积与两个底面积之和).24. 如图，在半径为50cm的圆形铁片上剪一块扇形铁片，用它制作成一个底面直径为80cm，母线长为50cm的圆锥形烟囱帽，求剪下来的扇形的圆心角的度数．25. 如图，有一直径为2m的圆形纸片，要从中去一个最大的圆心角是90°的扇形ABC.(1)求被剪掉的阴影部分的面积；(2)用所留的扇形纸片围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？26. 圆锥形烟囱帽的底面直径是100cm，母线长为60cm，求它的侧面展开图中扇形的圆心角及面积．27. 如图，在⊙O中，AB＝43，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于点F，∠A＝30°.(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．28. 如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面示意图是边长为6 m的正△ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路径是多少？答案：1---10 BABDC ACABD11. 12012. 24π13. 15π 14. 35215. 3π16. 15π17. 4218. 319. 2520. 321. 解：设圆心角为n°，则有2πr=180n π·AB ∴4π=180n π×6，∴n=120，扇形的圆心角α=120° 22. 解：36424mm 223. (1)这个多面体是直六棱柱(2)S 侧=6ab S 全面积b 224. 解：母线l ＝50，底面半径r ＝40，∴圆心角度数θ＝r l·360°＝288° 25. 解：(1)14πm 2 (2)14m 26. 解：设其展开图中扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α，则R ＝60cm ，l ＝100πcm.由弧长公式l ＝n πR 180，得n ＝180×100π60π＝300，即α＝n °＝300°，S 扇形＝12×60×100π＝3000π(cm 2) 27. 解：(1)163π (2)4328. 解：设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，展开后所得扇形的圆心角的度数为n °，则底面圆的周长为2πr ，侧面展开图的弧长为n πl 180，∴2πr ＝n πl 180.由题意知，轴截面△ABC 为等边三角形，∵AB ＝BC ，即l ＝2r ＝6.∴r＝3，∴2π×3＝n π×6180，∴n ＝180，即其侧面展开图为半圆，如图，则△ABP 为直角三角形，BP 为最短线路．在Rt △ABP 中，BP ＝AB 2＋AP 2＝62＋32＝35(m)，即小猫所经过的最短路程是35m。

备考2022年中考数学一轮复习(湘教版)专题63 直棱柱、圆锥的侧面展开图

备考2022年中考数学一轮复习（湘教版）专题63 直棱柱、圆锥的侧面展开图一、单选题1.将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上标的数字为（）A. 1B. 2C. 3D. 42.下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（）A. B. C. D.3.用一个半径为面积为的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（）A. B. C. 2 D. 14.如图，正方形的边长为4，以点A为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点E在对角线上）.若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）A. B. 1 C. D.5.下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（）A. B. C. D.6.如图所示，正方体的展开图为（）A. B. C. D.二、填空题7.用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 .8.底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 .（结果保留）9.如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为的正方形，该果罐侧面积为.10.如图，小梅把一顶底面半径为的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为．11.已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为．（用含π的代数式表示），圆心角为度．12.一个圆柱形橡皮泥，底面积是．高是．如果用这个橡皮泥的一半，把它捏成高为的圆锥，则这个圆锥的底面积是三、作图题13.如图是一张长方形硬纸片，正好分成15个完全相同的小正方形，现要把它们剪切成3份，使每份有5个小正方形相连，折起来都可以围成一个没有盖的正方体纸盒．请在图中用实线画出一种剪切线．14.将立方体纸盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，可以得到其表面展开图的平面图形. （1）以下两个方格图中的阴影部分能表示立方体表面展开图的是________（填A或B）.（2）在以下方格图中，画一个与（1）中呈现的阴影部分不相似（包括不全等）的立方体表面展开图.（用阴影表示）（3）如图中的实线是立方体纸盒的剪裁线，请将其表面展开图画在右图的方格图中.（用阴影表示）15.一个等腰Rt△ABC如图所示，将它绕着直线AC旋转一周，形成一个几何体.（1）画出这个几何体的三视图.（2）依据图中的测量数据，计算这个几何体的表面积.16.画一个正方体的三种平面展开图，要求展开图是中心对称图形．四、解答题17.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4 ，BC=3 .求以直角边所在直线为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积.18.如图①是山东舰徽的构图，采用航母度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母横空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为的弧，若该弧所在的扇形是高为的圆锥侧面展开图(如图②)，则该圆锥的母线长为多少?19.如图，为正方形，，以点为圆心，为半径画弧得到扇形，现将该扇形围成一圆锥的侧面，求该圆锥底面圆的半径.20.如图从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，再把此扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面半径.五、综合题21.如图①，已知圆锥的母线长l=16cm，若以顶点O为中心，将此圆锥按图②放置在平面上逆时针滚动3圈后所形成的扇形的圆心角θ=270°.（1）.求圆锥的底面半径；（2）.求圆锥的表面积.22.如图，一个圆锥的高为3 cm，其侧面展开图是半圆.求：（1）圆锥的母线长与底面半径之比；（2）∠BAC的度数；（3）圆锥的侧面积（结果保留π）.23.一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为120°的扇形，求：（1）.圆锥的底面半径；（2）.圆锥的全面积.24.已知圆锥的侧面积为16πcm2．（1）.求圆锥的母线长L（cm）关于底面半径r（cm）之间的函数关系式；（2）.写出自变量r的取值范围；（3）.当圆锥的侧面展开图是圆心角为90°的扇形时，求圆锥的高．答案解析部分一、单选题1.【答案】B2.【答案】D3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】A二、填空题7.【答案】8.【答案】12π9.【答案】100π10.【答案】3011.【答案】；12.【答案】18三、作图题13.【答案】解：根据题意画图如下：14.【答案】（1）A（2）解：立方体表面展开图如图所示：（3）解：将其表面展开图画在方格图中如图所示：15.【答案】（1）解：如图所示：；（2）解：这个几何体的表面积为：×2π×2×2 +π×22＝（4 +4）π.16.【答案】解：符合条件的正方体的平面展开图如图所示：四、解答题17.【答案】解：∵∠C=90°，AC=4 ，BC=3，∴AB=5若以直角边AC所在直线为轴，则所得圆锥侧面积为π·BC·AB=15π若以直角边BC所在直线为轴，则所得圆锥侧面积为π·AC·AB=20π18.【答案】解：圆锥底面周长侧面展开后扇形的弧长在中，，所以该圆锥的母线长为.19.【答案】解：设底面圆的半径为，根据题意得：，解得：，所以该圆锥的底面圆的半径为1.20.【答案】解：如图从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，再把此扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面半径.解：扇形的圆心角为，为圆的直径。

常见几何体的表面展开图

常见几何体的表面展开图作者：王长颖来源：《初中生世界·七年级》2018年第12期研究立体图形的时候，我们可以通过研究平面图形（如三视图）的性质来研究几何体的性质.几何体转化为平面图形还有一种方法，那就是将几何体的表面展开，得到平面图形.我们可以通过研究立体圖形的表面展开图来研究立体图形的性质，但并不是所有几何体的表面都可以展开成平面，如球的表面就不能展开成平面.这里我们列举几种常见立体图形的表面展开图供同学们学习.一、常见几何体的展开图1.圆柱的表面展开图.圆柱的表面展开图由两个大小完全一样的圆（底面）和一个长方形（侧面）组成，如图1.友情提醒：圆柱展开图得到的两个圆的周长和长方形的一边长相等，长方形的另一边的长等于原来圆柱的高.2.圆台的表面展开图.圆台的表面展开图由大小不同的两个圆（底面）和扇形的一部分（侧面）组成，如图2.友情提醒：展开后的两个圆的周长分别等于两段弧的长度.3.圆锥的表面展开图.圆锥的表面展开图由一个圆（底面）和一个扇形（侧面）组成，如图3.4.棱锥的表面展开图.棱锥的表面展开图由一个多边形（底面）和几个三角形（侧面）组成.三棱锥的表面展开图如图4，四棱锥的表面展开图如图5.5.棱柱的表面展开图.直棱柱的表面展开图由两个完全相同的多边形（底面）和几个长方形（侧面）组成.直三棱柱的表面展开图由两个大小一样的三角形和三个长方形组成，如图6.直四棱柱的表面展开图由两个完全一样的四边形和四个长方形组成，如图7.二、几何体展开图1.正三棱锥的两种展开图之间的关系.不同几何体的表面展开图不相同，同一个几何体不同展开方式得到的平面图形也有所不同，但组成这些图形的基本图形往往又是一致的.例如：将图8的正三棱锥沿AB、AC、AD三条棱剪开，得到的平面展开图为图9，若沿着AB、BC、AD三条棱剪开，得到的平面展开图为图10.上述两个三棱锥的表面展开图，虽然形状不同，但组成元素都是三角形.由此我们可以猜测由四个三角形组成的几何体的展开图可能是三棱锥.无论是哪种形式的展开图，只要能将其围成一个立体图形，它就是该立体图形的平面展开图.2.正方体的十一种展开图.正方体的展开图详见本期第50页文章《借用口诀识记正方体展开图》.（作者单位：南京市第一中学江北新区学校）。

棱柱、棱锥、棱台的表面积(王永亮莒县一中)

已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm, 高与斜高的夹角为 35°(如图),求正四棱锥的侧面积与全面积(单位:cm2, 精确到0.01).
C
答
案
P D O B E C
解:正四棱锥的高,斜高, 底面边心距组成直角POE. OE=2cm OPE=35 因为OE=2cm,∠OPE=35° 所以斜高PE=OE/sin35° A =2/0.574≈3.49(cm) 因此 S棱锥侧=1/2ch' =1/2×4×3.49×4=27.92(cm2) S棱锥全=27.92+16=43.92(cm2)
直棱柱的表面积
设棱柱的高为h,底面多边形的周长为c, 则得到直棱柱的侧面面积计算公式:
S直棱柱侧面积 =ch
即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积.
* 棱柱的表面积是正三棱锥的展开图. 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形,底面是正多边形,如果设它的底面边长为a,底面周长为c,斜高为h' .
*
棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和.
思考题
联系棱柱,棱锥,棱台的几何图形间的转化过程,思考是否能由棱台的侧面积公式得到棱柱,棱锥的侧面积公式.
想一想
观察圆柱,圆锥,圆台的展开图,思考计算圆柱,圆锥,圆台侧面积公式.
圆柱展开图
圆锥展开图
圆台展开图
例
题
P D O A B
正n棱台的侧面展开图是n个全等的等腰梯形,设棱台下底面边长为a,周长为c , 上底面边长为a',周长为c',斜高为 h',可以得出正n棱台的侧面积公式: S 正棱台侧 =n·1/2(a+a')h'=1/2(n a+na')h'=1/2(c+c')h'

高中数学第一章立体几何初步 1.7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积课件高一数学课件

提示：这三种几何体侧面积之间的关系
12/13/2021
第十五页，共五十八页。
3．如何求简单多面体的侧面积？提示：(1)关键：找到多面体的特征几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形，棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、侧棱、底面边长间的桥梁，架起了求侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素间的桥梁． (2)策略：①正棱柱、正棱锥、正棱台的所有侧面的面积都相等，因此求侧面积时，可先求一个侧面的面积，然后乘以侧面的个数；②解决台体的问题，通常要补上截去的小棱锥，寻找上下底面之间的关系．
B．100π
C．168π
4 4，母线长为 D．169π
解析：
12/13/2021
第三十五页，共五十八页。
先画轴截面，圆台的轴截面如图，则它的母线长 l＝ h2＋r2－r12
＝ 4r12＋3r12＝5r1＝10，∴r1＝2，r2＝8，∴S 侧＝π(r2＋ r1)l＝π×(8＋2)×10＝100π，S 表＝S 侧＋πr12＋πr22＝100π＋4π＋64π ＝168π.
12/13/2021
第二十四页，共五十八页。
类型二锥体的侧面积与表面积【例 2】正四棱锥底面边长为 4 cm，高和斜高的夹角为 30°，如图，求正四棱锥的侧面积．
12/13/2021
第二十五页，共五十八页。
【解】正棱锥的高 PO、斜高 PE、底面边心距 OE 组成 Rt △POE.
∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°， ∴PE＝siOn3E0°＝4 cm. 因此 S 棱锥侧＝12ch′＝12×4×4×4＝32(cm2)．
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第十页，共五十八页。
知识点二直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 [填一填]

初一数学立体图形的展开图含答案

初一数学立体图形的展开图中考要求例题精讲正方形展开图的知识要点：第一类：有6种。

特点：是4个连成一排的正方形，其两侧各有一个正方形.简称“141型”第二类：有3种。

特点：是有3个连成一排的正方形，其两侧分别有1个和两个相连的正方形;简称“132型”第三类：仅有一种。

特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正方形；简称“222型”第四类：仅有1种，三个连成一排的正方形的一侧，还有3个连成一排的正方形，可简称“33型”正方形展开图的识别方法：1.排除法：（1）由少于或多于6个的正方形组成的图形不是正方形的平面展开图（2）有“凹”字型或“田”字型部分的平面图形不是正方体的展开图2.对比法：对照上面的四种规则进行对照；从展开图可以看出，在正方形的展开图中不会出现如下图所示的“凹”字型和“田”字型结构。

模块一长方体的展开图长方体展开图【例1】下列图形中，不能表示长方体平面展开图的是（）A．B．C．D．【解析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．选项A，B，C经过折叠均能围成长方体，D两个底面在侧面的同一侧，缺少一定底面，所以不能表示长方体平面展开图．故选D．【答案】D【巩固】如图是无盖长方体盒子的表面展开图（重叠部分不计），则盒子的容积为（）A．4 B．6 C．12 D．15【解析】由图可知，无盖长方体盒子的长是3，宽是2，高是1，所以盒子的容积为3×2×1=6．盒子的容积为3×2×1=6．故选B．【答案】B【巩固】下图是一个长方体纸盒的展开图，请把-5，3，5，-1，-3，1分别填入六个长方形，使得按虚线折成长方体后，相对面上的两数互为相反数．【解析】根据题意，找到相对的面，把互为相反数的数字分别填入即可．【答案】如下图：正方体展开图【例2】下列图形中为正方体的平面展开图的是（）A．B．C．D．【解析】由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，A，B，D上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图．选项C可以拼成一个正方体．【答案】C【巩固】将一个正方体沿某些棱展开后，能够得到的平面图形是（）A．B．C．D．【解析】本题考查图形的展开与折叠中，正方体的常见的十余种展开图有关内容．可将这四个图折叠后，看能否组成正方形．A、出现了田字格，故不能；B、D、上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图；C、可以拼成一个正方体．故选C．【答案】C【例3】一个正方体的表面展开图可以是下列图形中的（）A．B．C．D．【解析】A，B，D折叠后有一行两个面无法折起来，从而缺少面，不能折成正方体，只有C是一个正方体的表面展开图．故选C．【答案】C【巩固】下列图形中，不是正方体表面展开图的是（）A．B．C．D．【解析】A、B、C经过折叠均能围成正方体，D、折叠后第一行两个面无法折起来，不能折成正方体．【答案】D【巩固】将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（）A．B．C．D．【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．注意带图案的三个面相交于一点．而通过折叠后A、B都不符合，且D折叠后图案的位置正好相反，所以能得到的图形是C．【答案】C．【例4】将如图正方体的相邻两面上各画分成九个全等的小正方形，并分别标上O、×两符号．若下列有一图形为此正方体的展开图，则此图为（）A、B、C、D、【解析】此题主要根据O、×两符号的上下和左右位置判断，可用排除法．由已知图可得，O、×两符号的上下位置不同，故可排除A、B；又注意到O、×两符号之间的空行有3列．【答案】C．【巩固】如图，哪一个是左边正方体的展开图（）A．B．C．D．【解析】本题考查正方体的表面展开图及空间想象能力．在验证立方体的展开图式，要细心观察每一个标志的位置是否一致，然后进行判断．根据有图案的表面之间的位置关系，正确的展开图是D．【答案】故选D．【点评】学生对相关图的位置想象不准确，从而错选，解决这类问题时，不妨动手实际操作一下，即可解决问题．【例5】下面哪个图形不是正方体的展开图（）A．B．C．D．【解析】选项A，B，C折叠后都可以围成正方体，而D折叠后折叠后第一行两个面无法折起来，而且下边没有面，不能折成正方体．【答案】D．【巩固】一个无盖的正方体盒子的平面展开图可以是下列图形中的（）A．只有图①Ｂ．图①、图②Ｃ．图②、图③Ｄ．图①、图③【解析】图②，经过折叠后，没有上下底面，侧面是由5个正方形组成，与正方体的侧面是4个正方形围成不相符，所以不是无盖的正方体盒子的平面展开图．【答案】D．【巩固】如图，是一个正方体盒子（6个面）的侧面展开图的一部分，请将它补充完整．【解析】根据正方体的展开图特点补全即可，答案不唯一．正方体的展开图如下：（答案不唯一），最后一个图形不符合．【答案】略模块二圆柱、圆锥的侧面展开图圆柱体【例6】圆柱的侧面展开图形是（）A．圆Ｂ．矩形Ｃ．梯形D．扇形【解析】略【答案】B【巩固】如图，已知MN是圆柱底面的直径，NP是圆柱的高，在高柱的侧面上，过点M，P嵌有一幅路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NP剪开，所得的侧面展开图是（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．因圆柱的展开面为长方形，MP展开应该是两直线，且有公共点M．故选A．【答案】A【例7】如图，MN是圆柱底面的直径，NO是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P．有一条绕了四周的路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿NO剪开，所得的侧面展开图可以是：【解析】根据两点之间线段最短，剪开后所得的侧面展开图中的金属丝是线段，即可选择．注意P 点在展开图中长边的中点处，圆柱侧面沿NO 剪开，根据两点之间线段最短，剪开后所得的侧面是长方形，P 点在展开图中长边的中点处，金属丝是线段，且从P 点开始到M 点为止．故选②．【答案】②【巩固】底面直径为m 的圆柱体（如图），沿它的一条母线AB （也就是圆柱的高，且AB=h ）剪开展平，则圆柱侧面展开后的面积为．【解析】根据圆柱侧面积=底面周长×高计算即可．圆柱的侧面积=mh π．【答案】mh π圆锥体【例8】下列立体图形中，侧面展开图是扇形的是（）A ．Ｂ．Ｃ． D ．【解析】根据圆锥的特征可知，侧面展开图是扇形的是圆锥．【答案】B【巩固】我国运用长征火箭发射了百余颗人造卫星和5次神州飞船．如图是我国航天科技人员自主研究开发的长征系列火箭的立体图形．（火箭圆柱底面圆的周长不等于圆柱的高）（1）请你画出火箭的平面展开图，并标上字母．（2）写出平面图形中所有相等的量．【解析】结合圆柱和圆锥的侧面展开图的特征解题．（1）如右图．（2）OA OB =，CB ED AB ==，BE CD =，90B C D E ∠=∠=∠=∠=．【答案】同解析．模块二其他立体图形的展开图【例9】若下列只有一个图形不是右图的展开图，则此图为何？（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】选项D的四个三角形面不能折叠成原图形的四棱锥，而是有一个三角形面与正方形面重合，故不能组合成原题目的立体图形．【答案】故选D．【巩固】图1是由白色纸板拼成的立体图形，将此立体图形中的两面涂上颜色，如图2所示．下列四个图形中哪一个是图2的展开图（）A、B、C、D、【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．由图中阴影部分的位置，首先可以排除B、D，又阴影部分正方形在左，三角形在右．【答案】故选A．【例10】下列四个图中，是三棱锥的表面展开图的是（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】三棱锥的四个面都是三角形，还要能围成一个立体图形，可排除C，D，而A不能围成立体图形，故可得答案．【答案】B．【巩固】下面四个图形中，是三棱柱的平面展开图的是（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】根据三棱柱的展开图的特点作答．A、是三棱柱的平面展开图；B、是三棱锥的展开图，故不是；C、是四棱锥的展开图，故不是；D、两底在同一侧，也不符合题意．故选A．【答案】A【例11】下列图形中，不是三棱柱的表面展开图是（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】利用棱柱及其表面展开图的特点解题．A、B、C中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图．D围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有．故D不能围成三棱柱．【答案】故选D．【例12】如图是一个正四面体，它的四个面都是正三角形，现沿它的三条棱AC、BC、CD剪开展成平面图形，则所得的展开图是（）A 、B 、C 、D 、【解析】亲自动手具体操作，或根据三棱锥的图形特点作答．根据三棱锥的图形特点，可得展开图为B ．【答案】B ．【例13】哪种几何体的表面能展成如图所示的平面图形？需剪几条棱才能得到如此形状的平面图？你是怎样数出来的？请总结其规律．【解析】侧面为五个长方形，底边为五边形，故原几何体为五棱柱．五棱柱能展成如图所示的平面图形．由五棱柱展开成平面图形，需要剪9条棱．因为五棱柱共有15条棱，7个面，展成平面图形时，7个面需有6条棱相连，共需留下6条棱不剪，所以需剪15-6=9（条）棱．总结规律：n 棱柱有n+2个面，3n 条棱，展成平面图形时，n+2个面需有n+1条棱相连，故应留下n+1条棱不剪，所以要把n 棱柱展成平面图形，共需剪3n-（n+1）=（2n-1）条棱．【答案】五棱柱；９；()3121n n n -+=-．【例14】下列图形是某些立体图形的平面展开图，说出这些立体图形的名称．【解析】由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图解题．根据图示可知：①五棱锥；②圆柱；③三棱柱．【答案】①五棱锥②圆柱③三棱柱【巩固】图中四个图形是多面体的展开图，你能说出这些多面体的名称吗？【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．6个正方形能围成一个正方体，三个长方形和两个三角形能围成一个三棱柱，一个四边形和四个三角形能围成四棱锥，6个长方形可以围成长方体．【答案】正方体；三棱柱；四棱锥；长方体．课后作业１. 下列各图形中，可以是一个正方体的平面展开图的是（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解析】选项A，C折叠后缺少一个底面，而B折叠后缺少一个侧面，所以可以是一个正方体的平面展开图的是D．【答案】故选D．２.把圆锥的侧面展开，会得到的图形是（）A．Ｂ．Ｃ．D．【解析】圆锥的侧面展开图是扇形，故选C．【答案】C３.如图，圆柱体的表面展开后得到的平面图形是（）A、B、C、D、【解析】根据圆柱的侧面展开图作答．圆柱体的侧面展开后得到的平面图形是矩形，上下两底是两个圆，故选B．【答案】B４.如图，四种图形各是哪种立体图形的表面展开所形成的？画出相应的四种立体图形．【解析】根据四棱锥、三棱柱、圆柱、圆锥及其表面展开图的特点解答并作图．观察图形，由立体图形及其表面展开图的特点可知相应的立体图形顺次是四棱锥、三棱柱、圆柱、圆锥．作图如下：【答案】同解析．【点评】本题考查了几何体的展开图，可根据所给图形判断具体形状，也可根据所给几何体的面数进行判断．初中数学.图形初步A级.第01讲.教师版Page 11 of 11。

第09讲三视图(学生版)

第二十九章投影与视图29.2 三视图课程标准课标解读1.会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体。

2.了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作模型。

3.通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用。

理解和掌握三视图的基本概念，能够画出棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图，能够正确判断简单物体的三视图。

知识点01 三视图1.三视图有关的概念(1)视图：从某一方向观察一个物体时，所看到的平面图形叫作物体的一个视图。

(2)三视图：从3个互相垂直的方向观察物体，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫作主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫作俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫作左视图。

【微点拨】(1)视图的本质就是正投影；物体的主视图，等同于一束平行光线自物体的前方向后方照射，在正面投影面上得到的正投影；俯视图、左视图类似。

(2)三视图中的各视图，分别从不同方向表示物体的形状，三者结合能够较全面地反映物体的形状. 2. 三视图之间的关系三视图的摆放一般是，主视图在左上方，它下方应是俯视图，左视图在右边.在物体的三视图中，主视图可反映出物体的长和高，俯视图可反映出物体的长和宽，左视图可反映出物体的高和宽.【微点拨】三视图中，主视图与俯视图表示同一物体的长；主视图与左视图表示同一物体的高；左视图与俯视图表示同一物体的宽.【即学即练1】如图所示的几何体，其主视图是（）目标导航知识精讲A．B．C．D．知识点02 画三视图1.画几何体的三视图画一个几何体的三视图时，先观察几何体，判断出从3个方向看几何体得到的平面图形，即三视图；然后把三视图按照一定位置画出来。

画三视图时，一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，被其他部分遮挡而看不见的画成虚线，不能漏掉。

【微点拨】三视图的画法必须符合以下规律：长对正，高平齐，宽相等.2.根据三视图确定几何体形状不仅要会画简单几何体的三视图，还应会根据一个几何体的三视图确定几何体的形状。

高中数学必修2(北师大)6.6.1柱、锥、台的侧面展开与面积

易错警示
易错原因
纠错心得
解本题易出现的错误有：(1)错误判断几何体的形状，如绕 x 轴旋转时漏掉了线段 OB 所产生的圆面，这样计算时就少了这个圆的面积；(2) 用错旋转体的面积计算公式，特别是圆台的侧面积公式，导致运算错误.
确定平面图形旋转形成的几何体的形状时，要根据旋转体的定义，将平面图形分成一些矩形、直角三角形、直角梯形、半圆等，要注意形成的旋转体之间的关系，尤其是几何体的挖空或重叠，防止求解几何体的表面积时造成遗漏或重复计算.
2．已知长方体同一顶点上的三条棱长分别为 1,2,3，则该长方体的表面积为( )
A．22 B．20 C．10 D．11
解析：长方体的表面积为 S 表＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22. 答案：A
3．若圆柱的轴截面为边长为 2 的正方形，求圆柱的侧面积( ) A．2π B．4π C．6π D．8π
解析：设正三棱锥底面边长为 a，斜高为 h′，
如图所示，过 O 作 OE⊥AB，连接 SE，则 SE⊥AB，且 SE＝h′. 因为 S 侧＝2S 底，
所以21×3a×h′＝ 43a2×2，所以 a＝ 3h′. 因为 SO⊥OE，所以 SO2＋OE2＝SE2，
所以
32＋
63×
3h′2＝h′2，
所以 h′＝2 3，所以 a＝ 3h′＝6，
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)把柱、锥、台的侧面无论沿哪一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图形状都相同，面积都相等．( √ ) (2)无论是哪种几何体，它们的侧面展开图都是极为规则的平面图形．( × ) (3)空间几何体的侧面积即是表面积．( × ) (4)圆台的侧面展开图是一个扇环．( √ )

柱、锥、台体、圆的面积与体积公式

柱、锥、台体、圆的面积与体积公式（一）圆柱、圆锥、圆台的侧面积将侧面沿母线展开在平面上，则其侧面展开图的面积即为侧面面积。

1、圆柱的侧面展开图——矩形圆柱的侧面积2,,,S cl rl r l c π==圆柱侧其中为底面半径为母线长为底面周长2、圆锥的侧面展开图——扇形圆锥的侧面积1,,,2S cl rl r l c π==圆锥侧其中为底面半径为母线长为底面周长3、圆台的侧面展开图——扇环圆台的侧面积（二）直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积把侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，则侧面展开图的面积就是侧面的面积。

1、柱的侧面展开图——矩形直棱柱的侧面积2、锥的侧面展开图——多个共点三角形'h侧面展开'hc正棱锥的侧面积3、正棱台的侧面展开图——多个等腰梯形c侧面展开'h,c'h正棱台的侧面积说明：这个公式实际上是柱体、锥体和台体的侧面积公式的统一形式 ①即锥体的侧面积公式；②c'＝c 时即柱体的侧面积公式；（三）棱柱和圆柱的体积,V Sh h =柱体其中S 为柱体的底面积,为柱体的高斜棱柱的体积＝直截面的面积×侧棱长（四）棱锥和圆锥的体积1,3V Sh h =锥体其中S 为锥体的底面积,为锥体的高（五）棱台和圆台的体积说明：这个公式实际上是柱、锥、台体的体积公式的统一形式： ①0S =上时即为锥体的体积公式； ②S 上＝S 下时即为柱体的体积公式。

（六）球的表面积和体积公式（一）简单的组合几何体的表面积和体积——割补法的应用割——把不规则的组合几何体分割为若干个规则的几何体；补——把不规则的几何体通过添补一个或若干个几何体构造出一个规则的新几何体，如正四面体可以补成一个正方体，如图：四、考点与典型例题考点一几何体的侧面展开图例1. 有一根长为5cm ，底面半径为1cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端A 、D ，则铁丝的最短长度为多少厘米？D CBA解：展开后使其成一线段AC 222425AB BC cm π+=+考点二求几何体的面积例2. 设计一个正四棱锥形的冷水塔顶，高是0.85m ，底面的边长是1.5m ，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）ESO解：)m (40.313.15.1214S 2=⨯⨯⨯=⇒答：略。

七上数学第一章1.2展开与折叠第2课时

第一章丰富的图形世界1.2展开与折叠（二）一、备课标：（一）内容标准：了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型。

学会与他人合作交流，积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。

（二）核心概念：让学生在经历展开与折叠、模型制作等活动的过程中，进一步发展空间观念，积累数学活动经验。

十大核心概念在本节课中突出培养的是模型思想、几何直观，空间观念。

二、备重点、难点：（一）教材分析：本节课是七年级上册第一章《丰富的图形世界》第二节“展开与折叠”第二课时的内容，属于“图形与几何”领域中的“图形的变化”。

本节是在学生积累了探索正方形展开图活动经验的基础上进一步研究一般的棱柱、圆锥、的展开与折叠活动，使学生进一步认识立体图形与平面图形的关系：不仅要让学生了解棱柱、圆锥、平面展开图，更重要的是让学生通过观察、思考找出棱柱、圆锥、展开图的特征。

通过自己动手操作，经历和体验图形的变化过程，进一步发展学生的空间观念，同时让学生经历展开与折叠、模型制作等活动，发展空间观念，积累数学活动经验。

本节课的重点是知道直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型。

（二）重点、难点分析：本节课学生通过动手操作，知道了一般棱柱、圆锥的展开图，更重要的是让学生通过观察、思考找出一般棱柱、圆柱、圆锥展开图的特征。

经历由“立体向平面”的转换过程，学生在经历展开与折叠、模型制作等活动中，发展空间观念。

基于学生已经对正方体展开图了解的基础上，教材从实际问题出发，通过引导学生经历展开与折叠、模型制作等活动，认识一般棱柱、圆柱、圆锥的展开图及其特征，能根据展开图想象和制作立体模型。

所以确定：重点：了解直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作立体模型。

难点：棱柱展开图的各种情形，并用语言描述其过程。

三．备学情：（一）学习条件和起点能力分析：1.学习条件分析：（1）必要条件：学生已经学习了生活中的立体图形的有关知识，对立体图形已有一定的认识，学生已经学过了正方体的侧面展开图，。

新教材高中数学第6章立体几何初步§66.1柱锥台的侧面展开与面积课件北师大版必修第二册

知识点 2 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
多面体
侧面展开图
侧面积公式
直棱柱
S 直棱柱侧＝_c_h__ c—底面周长，h—高
多面体正棱锥
侧面展开图
侧面积公式
S 正棱锥侧＝12ch′ c—底面周长， h′—棱
侧面积公式
S 正棱台侧＝12(c1＋c2)h′ c1，c2—上、下底面周长 h′—棱台侧面的高
2.如何求一个斜棱柱的侧面积？提示：求出各侧面的面积，各侧面的面积之和就是斜棱柱的侧面积．
2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)斜三棱柱的侧面积也可以用 cl 来求解，其中 l 为侧棱长，c 为
底面周长．
()
(2)多面体的表面积等于各个面的面积之和．
()
(3)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个
∴S 表＝π·EC·DC＋π(EC＋AB)·BC＋π·AB2＝4 2π＋35π＋25π ＝60π＋4 2π.
NO.3 当堂达标·夯基础
1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为 1，2，3，则该长方体的表面积为( )
A．22 B．20 C．10 D．11 A [所求长方体的表面积 S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3) ＝22.]
圆柱的侧面积是 2πS.
()
[提示] (1)错误．若斜三棱柱的侧面多边形的高与侧棱长 l 不相等时，不能用公式 cl 来求解．
(2)正确． (3)错误．圆柱的侧面积是 4πS. [答案] (1)× (2)√ (3)×
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 旋转体的侧面积【例 1】 (教材北师版 P238 例 1 改编)设圆台的高为 3，在轴截面中，母线 AA1 与底面圆直径 AB 的夹角为 60°，且轴截面的一条对角线垂直于腰，求圆台的侧面积．

冀教版数学九年级下册32.3《直棱柱和圆锥的侧面展开图》教学设计

冀教版数学九年级下册32.3《直棱柱和圆锥的侧面展开图》教学设计一. 教材分析冀教版数学九年级下册32.3节《直棱柱和圆锥的侧面展开图》是学生在学习了立体几何的基础知识之后，进一步研究立体图形的展开图。

本节课主要让学生掌握直棱柱和圆锥的侧面展开图的画法及其特点，培养学生空间想象能力和实际操作能力。

教材通过生动的图片和实例，引导学生探索直棱柱和圆锥的侧面展开图的规律，从而提高学生的学习兴趣和主动性。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了立体几何的基本知识，对立体图形有了一定的了解。

但是，对于直棱柱和圆锥的侧面展开图，学生可能还比较陌生，需要通过实例和操作来进一步理解和掌握。

此外，学生的空间想象能力参差不齐，需要教师在教学中给予关注和引导。

三. 教学目标1.让学生掌握直棱柱和圆锥的侧面展开图的画法及其特点。

2.培养学生空间想象能力和实际操作能力。

3.激发学生学习兴趣，提高学生主动探索问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：直棱柱和圆锥的侧面展开图的画法及其特点。

2.难点：如何引导学生掌握空间想象能力，突破立体图形与平面图形之间的转换。

五. 教学方法1.采用直观演示法，让学生通过观察实物和模型，直观地了解直棱柱和圆锥的侧面展开图。

2.采用启发式教学法，引导学生通过自主探究、合作交流，发现直棱柱和圆锥的侧面展开图的规律。

3.采用实践操作法，让学生动手操作，实际绘制直棱柱和圆锥的侧面展开图。

六. 教学准备1.准备直棱柱和圆锥的模型，让学生直观观察。

2.准备侧面展开图的图纸，供学生实际操作。

3.准备相关练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示直棱柱和圆锥的实物模型，引导学生回顾立体几何的基本知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示直棱柱和圆锥的侧面展开图，让学生初步了解侧面展开图的概念。

同时，教师引导学生观察侧面展开图与立体图形之间的关系，培养学生空间想象能力。

高中数学 1.7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积课件北师大版必修2

第二十五页，共40页。
• 圆锥与圆台(yuántái)的侧面积
圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，这两部分
侧面积的比为( )
A．1∶1
B．1∶2
C．1∶3
D．1∶4
• [思路分析(fēnxī)] 本题主要考查圆锥的侧面积和圆台的侧面积，关键是利用比例的关系求解．
• [答案] C
第二十六页，共40页。
• [规B1F范＝(hg′u，īfBàFn＝)解12(8答－4])＝解2，法1：如图，在 RBt1△B＝B81，FB中，
∴B1F＝ 82－22＝2 15， ∴h′＝B1F＝2 15， ∴S 正棱台侧＝12(4×8＋4×4)·2 15 ＝48 15(cm2)．
第二十页，共40页。
解法 2：正四棱台的侧棱延长后交于一点 P，设 PB1＝x，则x＋x 8＝24，得 x＝8， ∴PB1＝B1B＝8. ∴E1 为 PE 的中点， ∴PE1＝ 82－22＝2 15， PE＝2PE1＝4 15.
母线长．)
第六页，共40页。
• 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 • S直棱柱侧C＝h ________ • (其中C为底面周长(zhōu chánɡ)，h为高) • S正棱锥侧12＝Ch_′_______________. • (其中C为底面周长(zhōu chánɡ)，h′为斜高，
即侧面等腰三角形的高．) • S正棱台侧＝12(C_＋_C_′_)_h_′__________. • (其中C′，C分别为上、下底面周长(zhōu
第三十八页，共40页。
[错解二] 3 10 因为正四棱台的上、下底面面积分别为 4、16，所以上、下底面的边长分别为 2,4.
根据高、斜高和底面边心距得到的直角三角形，可求得斜高 h′＝ 32＋4－2 22＝ 10.

7.1柱锥台的侧面展开与面积

其中c为底面周长，h为高。
11
思考2:把正四棱锥侧面沿一条侧棱剪开再展开，得到什么图形？侧面积怎么求？
h
h
a
正四棱锥
S正棱锥侧
1 2
ch
c为正棱锥的底周长，h 为斜高，
即侧面等腰三角形的高。
12
思考3:把正三棱台侧面沿一条侧棱剪开再展开，得到什么图形？侧面积怎么求？
S正棱台侧＝
和6cm,高是1.5cm.求三棱台的侧面积。
解：如图，O1,O分别是上、下底面中心，则 O1O=1.5, 连接A1O1并延长交B1C1于D1， A1
连接AO并延长交BC于D，过D1作D1E
⊥AD于E, 在Rt△D1ED中，
A
D1E=O1O=1.5, DE=DO-OE=DO-D1O1=
1 3

3 6 1
1（c 2

c'
)h'
h'
c、c分别为正棱台的上、
h'
下底的周长，h为斜高，
即侧面等腰梯形的高。
13
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间有何关系,如何转化？
c’ห้องสมุดไป่ตู้c
c’=0
S直棱柱侧 ch '
S正棱台侧

1 2
c '
ch'
S正棱锥侧

1 ch ' 2
14
例3、一个正三棱台的上、下底面边长分别为3cm
弧形长度公式：l n R
2
180
思考1: 把圆柱的侧面沿着一条母线剪开再展开，得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？
r
l
长方形
宽＝ l

《直棱柱和圆锥的侧面展开图》

高中数学必修2《简单几何体的侧面积》

2020届初三数学复习 直棱柱、圆锥的侧面展开图 专题练习包含答案

备考2022年中考数学一轮复习(湘教版)专题63 直棱柱、 圆锥的侧面展开图