相交线平行线综合复习提高篇教案

教学主题：

相交线平行线综合复习提高篇

教学重难点：

熟练掌握几何语言,能解决较难的证明题

教学过程： 1.导入

复习学过的所有证明根据的应用,尤其是同角的余角相等,等角的补角相等较难用,学生不容易想到.分类总结画图写明证明过程.

2.呈现

例1．如图，AD ∥BC ，点O 在AD 上，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠DCB ，若 ∠A ＋∠D ＝m °．则∠BOC ＝______．

【提示】由AD ∥BC ，BO 平分∠ABC ，可知∠AOB ＝∠CBO ＝2

1

∠ABC ． 同理∠DOC ＝∠BCO ＝2

1

∠DCB ． ∵ AD ∥BC ，

∴ ∠A ＋∠ABC ＝180°，∠D ＋∠DCB ＝180°， ∴ ∠A ＋∠D ＋∠ABC ＋∠DCB ＝360°．

∵ ∠A ＋∠D ＝m °，∴ ∠ABC ＋∠DCB ＝360°－m °．

∴ ∠AOB ＋∠DOC ＝

21（∠ABC ＋∠DCB ）＝21（360°－m °）＝180°－2

1

m °． ∴ ∠BOC ＝180°－（∠AOB ＋∠DOC ）＝180°－（180°－21m °）＝2

1

m °．

例2．有一条直的等宽纸带，按图（1）折叠时，纸带重叠部分中的∠＝度．

图（1）

【提示】裁一张等宽纸带按图示折叠，体会一下题目的含义．将等宽纸带展平，便得图（2）．由此图可知∠DAC ＝30°．AB 是∠C ′AC 的平分线．∴ ∠＝75°．

图（2）

．

【点评】解类似具有操作性的实际问题时，不妨动手做一做，从中感受一下题目的意义，进而将实际问题转化成数学问题．用数学知识解决实际问题．这样做不仅能培养我们抽象思维和空间想象能力，而且能提高我们解决实际问题的能力．

例3．把命题“在同一平面内垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果…那么…”的形式是：如果______________，那么_____________．

解析:在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，这两条直线互相平行．

例4．如图，在长方体中，与面BCC′B′平行的面是面；与面BCC′B′垂直的面是，与棱A′A平行的面有，与棱A′A垂直的面有．

【答案】面ADD′A；面ABB′A′，面ABCD，面A′B′C′D′，面DCC′D′；

面DCC′D′，面BCC′B′；面ABCD，面A′B′C′D′．

例5．如图，AB∥CD∥PN，∠ABC＝50°，∠CPN＝150°．求∠BCP的度数．

【提示】由AB∥CD，∠ABC＝50°可得∠BCD＝50°．

由PN∥CD，∠CPN＝150°，可得∠PCD＝30°．

∴∠BCP＝∠BCD－∠PCD＝50°－30°＝20°．

例6．如图，∠CAB＝100°，∠ABF＝110°，AC∥PD，BF∥PE，求∠DPE的度数．

【提示】由AC ∥PD ，∠CAB ＝100°，可得∠APD ＝80°． 同理可求∠BPE ＝70°．

∴ ∠DPE ＝180°－∠APD －∠BPE ＝180°－80°－70°＝30°．

例7．如图，DB ∥FG ∥EC ，∠ABD ＝60°，∠ACE ＝36°，AP 平分∠BAC ． 求∠P AG 的度数．

【提示】由DB ∥FG ∥EC ，可得 ∠BAC ＝∠BAG ＋∠CAG ＝∠DBA ＋∠ACE ＝60°＋36°＝96°． 由AP 平分∠BAC 得∠CAP ＝

21∠BAC ＝2

1

×96°＝48°． 由FG ∥EC 得∠GAC ＝ACE ＝36°．

∴ ∠P AG ＝48°－36°＝12°．

例8．如图，AB ∥CD ，∠1＝115°，∠2＝140°，求∠3的度数．

【提示】过点E 作EG ∥AB ．

∵ AB ∥CD 由平行公理推论可得EG ∥CD ．

由此可求得∠AEC 的度数．由平角定义可求得∠3的度数．

例9．已知：如图．AB ∥CD ，∠B ＝∠C ．求证：∠E ＝∠F ．

【提示】证明AC∥BD．

【答案】证明：∵AB∥CD（已知），

∴∠B＝∠CDF（两直线平行，同位角相等）．

∵∠B＝∠C（已知），

∴∠CDF＝∠C（等量代换）．

∴AC∥BD（内错角相等，两直线平行）．

∴∠E＝∠F（两直线平行，内错角相等）．

例10．已知：如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCD．

求证：EF平分∠BED．

【提示】由AC∥DE．DC∥EF证∠1＝∠3．由DC∥EF证∠2＝∠4．再由CD平分∠BCA，即可证得∠3＝∠4．

【答案】证明：∵AC∥DE（已知），

∴∠1＝∠5（两直线平行，内错角相等）．

同理∠5＝∠3．

∴∠1＝∠3（等量代换）．

∵DC∥EF（已知），

∴∠2＝∠4（两直线平行，同位角相等）．

∵CD平分∠ACB，

∴∠1＝∠2（角平分线定义），

∴∠3＝∠4（等量代换），

∴EF平分∠BED（角平分线定义）．

例11．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D．求证：BE⊥DE．

【提示】过点E作EF∥AB，证明∠BED＝90°．

【答案】证明：过点E作EF∥AB．

∴∠BEF＝∠B（两直线平行，内错角相等）．

∵∠B＝∠1，

∴∠BEF＝∠1（等量代换）．

同理可证：∠DEF＝∠2．

∵∠1＋∠BEF＋∠DEF＋∠2＝180°（平角定义），

即2∠BEF＋2∠DEF＝180°，

∴∠BEF＋∠DEF＝90°（等式性质）．

即∠BED＝90°．

∴BE⊥DE（垂直的定义）．

例12．已知：如图，AB∥CD，请你观察∠E、∠B、∠D之间有什么关系，并证明你所得的结论．

【提示】结论：∠B＋∠E＝∠D．过点E作EF∥AB．

【答案】结论：∠B＋∠E＝∠D．

证明：过点E作EF∥AB，

∴∠FEB＝∠B（两直线平行，内错角相等）．

∵AB∥CD，EF∥AB，

∴EF∥CD（平行公理推论），

∴∠FED＝∠D（两直线平行，内错角相等）．

∵∠FED＝∠FEB＋∠BED＝∠B＋∠BED，

∴∠B＋∠BED＝∠D（等量代换）．

本题还可添加如图所示的辅助线，请你证明∠B＋∠E＝∠D．

【点评】这是一道探索结论型的问题．要通过对直观图形仔细观察，大胆猜想，设定结论，再进行推理，验证结论．直观图形是观察思考的依据，准确的直观图形可引发正确的直觉思维．所以作图不可忽视．直觉思维是正确，还必须用相关的理论来验证．这样得到的结论方可靠．

3.练习与检测

1.已知:如图2-96,DE⊥AO于E,BO⊥AO,FC⊥AB于C，∠1=∠2,求证：DO⊥AB.

2.如图2-97,已知：∠1=∠2=，∠3=∠4，∠5=∠6.求证:AD∥BC.

3．已知：如图2—98，∠AOB及其内部一条射线PM，求作∠MPN，使得∠MPN=∠AOB(要求：用尺规作图)．

4．已知：如图2—99，AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4．DE与CF平行吗?为什么?

5．如图2—100，直线l与m相交于点C，∠C=∠β，AP、BP交于点P，且∠P AC=∠α，∠PBC=∠γ，求证：∠APB=α+∠β+∠γ．

6．如图2—101，若要能使AB∥ED，∠B、∠C、∠D应满足什么条件?

4.小结

整理证明依据,对顶角相等,邻补角互补,角平分线定义,垂直定义,平行线的判定和性质,等角或同角的余角相等,同角或等角的补角相等,等量代换,等式的性质等的用法.

5.作业

1．把命题“等角的余角相等”写成“如果……，那么……。”的形式为 。

2

1

图①

1

图②

30?

图③

C

B

A

32

1 2．用吸管吸易拉罐内的饮料时，如图①，

1101＝∠，则＝2∠ （拉罐的上下

底面互相平行）

3．有一个与地面成30°角的斜坡，如图②，现要在斜坡上竖一电线杆，当电线

杆与斜坡成的

＝1∠ °时，电线杆与地面垂直。

4．如图③，按角的位置关系填空：A ∠与1∠是 ；A ∠与3∠是 ； 2∠与3∠是 。

b

a

3

图④

212

图⑤

c

b

a 3

1图⑥

A’C ’

B ’

A

B

C

5．如图④，若

22021＝∠+∠ ，则＝3∠ 。

6．如图⑤，已知b a //，若

501=∠，则=∠2 ； 若

1003＝∠，则=∠2 。

7．如图⑥，为了把ABC ?平移得到‘

’‘C B A ?，可以先将ABC ?向右平移 格，再

向上平移 格。

8．已知直线a b 、c 、在同一平面，若b a //，c b ⊥，则a c 。

9．三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，如图⑦所示，AOD ∠的对 顶角是 ，FOB ∠的对顶角是 ，EOB ∠的邻补角 是 。 图⑦

O

F E

D

C B A

三、解答题。

1．如图，已知BC DE //， 80=∠B ， 56=∠C ,求ADE ∠和DEC ∠的度数。

E

D C

B A

2．如图，已知：21∠∠＝， 50＝D ∠，求B ∠的度数。

H

G 2

1

F

E

D

C B

A

3．如图，已知CD AB //，CF AE //，求证：DCF BAE ∠=∠。 F

E

D

C

B A

4．如图，CD AB //，AE 平分BAD ∠，CD 与AE 相交于F ,E CFE ∠=∠。求证：

BC AD //。

2

1

F

E

D

C

B

A