一元二次不等式知识点归纳666

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初中数学知识归纳一元二次不等式与解法

初中数学知识归纳一元二次不等式与解法初中数学知识归纳：一元二次不等式与解法一、引言初中数学学科中，一元二次不等式是一个重要的内容。

在解决实际问题和数学推理中，一元二次不等式经常被应用。

本文将对一元二次不等式的定义、性质以及解法进行详细的归纳与总结。

二、一元二次不等式的定义与性质一元二次不等式指的是包含未知数的平方项的不等式，其一般形式为：ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0其中，a、b、c为已知实数，且a ≠ 0。

1. 定义一元二次不等式是基于一元二次方程和不等式的概念而产生的。

不等式中的未知数仍然是x，与一元二次方程相同。

2. 性质（1）二次函数性质：一元二次不等式与一元二次方程在性质上有很多相似之处，其中关键是利用二次函数的凹凸性质进行分析。

（2）符号问题：处理不等式时需要确定不等号的方向，区别于一元二次方程需要使用等号。

三、解一元二次不等式的常用方法一元二次不等式的解法有两种常用的方法：图像法和区间法。

1. 图像法图像法基于二次函数的图像和不等式的定义，通过对二次函数图像的观察，从几何直觉的角度得出不等式的解集。

2. 区间法区间法利用了二次函数在不等式中的凹凸性质。

通过求解一元二次不等式的判别式和二次函数的极值点，将定义域划分成若干个区间，进而判定不等式的解集。

四、具体解题步骤与示例以下是一元二次不等式解题的一般步骤：1. 对齐系数，将不等式变形成标准形式(ax^2 + bx + c ＞0 或 ax^2 + bx + c ＜0)。

2. 利用图像法或区间法进行解题。

3. 在解集中找出满足题意的解。

解题示例：例题1：解不等式 x^2 + 6x ＞ 0解答过程如下：1. 对齐系数，得到： x^2 + 6x ＞ 02. 根据二次函数的性质，当 a > 0 时，二次函数开口向上，函数图像位于x轴上方。

因此，解集是实数集 R。

3. 综上所述，不等式 x^2 + 6x ＞ 0 的解集为实数集 R。

一元二次不等式知识点高一

一元二次不等式知识点高一在高一数学学习中，我们接触到了一元二次不等式，它是一种重要的数学工具，在解决实际问题中具有广泛的应用。

本文将从三个方面来介绍一元二次不等式的知识点。

一、一元二次不等式的基本性质一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。

我们先来了解一下一元二次不等式的基本性质。

1. 一元二次不等式存在两种形式，即大于号（>）和小于号（<），分别对应着解集是开区间和闭区间。

2. 一元二次不等式的解集可用数轴上的点表示。

通过求解一元二次不等式的根，就可以确定解集在数轴上的位置。

如果根为实数r1和r2，并且a > 0，那么解集为(r1, r2)；如果根为实数r1和r2，并且a < 0，那么解集为(-∞, r1)∪(r2, +∞)。

3. 一元二次不等式的解集与系数a的正负有关。

当a > 0时，解集向上开口；当a < 0时，解集向下开口。

这一性质也可以通过函数图像的凹凸性来理解。

二、解一元二次不等式的方法在解一元二次不等式时，我们可以使用图像法或代数法。

下面将分别介绍这两种方法。

1. 图像法：根据一元二次不等式与二次函数的关系，我们可以通过绘制二次函数的图像，并观察函数与x轴的交点来确定解集。

2. 代数法：通过变形、移项和配方法等代数运算来求解一元二次不等式。

具体步骤为：将一元二次不等式变形为一个完全平方相等式；求解该相等式得到根，并画出根的数轴；根据系数a的正负以及根的位置来确定解集。

三、一元二次不等式的应用一元二次不等式在实际问题中有着广泛的应用，特别是在优化问题和约束问题中。

1. 优化问题：一元二次不等式可以用来表示某个自变量的取值范围，使得目标函数取得最大（或最小）值。

例如，在某个产品的生产过程中，通过一元二次不等式确定生产数量的上下限，从而达到最大利润或最小成本。

2. 约束问题：一元二次不等式可以用来表示某个变量的约束范围。

一元二次不等式知识点总结梳理PPT

学习一元二次不等式与其他知识点的联系：如与函数、方程、数列等知识点的关联。
了解一元二次不等式在实际问题中的应用：如物理、化学、经济等领域中的实际问题。
关注一元二次不等式在高考中的命题趋势：了解历年高考中一元二次不等式的考查形式和难度，为备考做好准备。
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构造函数
将实际问题中的存在性问题转化为判断方程根的存在性及个数问
题。
利用判别式
利用一元二次方程的判别式，判断方程根的存在性及个数。
解方程得解
若方程有解，则通过解方程得到实际问题的解。
05
典型例题解析及易错点剖析
典型例题解析
例题一
解析一元二次不等式 $x^2 4x + 3 > 0$ 的解法。
图像法
一元二次不等式的解集可以通过图像法直观地表示出来。在平面直角坐标系中，画出对应的一元二次函数图像，根据图像确定不等式的解集。
注意事项
在使用图像法解一元二次不等式时，需要注意图像开口方向以及与x轴交点的情况。
02
求解一元二次不等式方法
配方法求解
01
02
03
配方思想
将一元二次不等式转化为完全平方形式，便于求解。
性质
一元二次不等式具有与一元二次方程相似的性质，如判别式、解集等。
判别式与解集关系
判别式
对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0，其判别式Δ=b²-4ac。
解集关系
当Δ>0时，不等式有两个不相等的实根；当Δ=0时，不等式有两个相等的实根；当Δ<0时，不等式无实根。

高中数学一元二次不等式及其解法知识点总结

高中数学必修5一元二次不等式及其解法知识点总结一．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式（了解）二．一元二次不等式的解法二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24b ac ∆=- 0∆> 0∆= 0∆< 二次函数2y ax bx c =++ ()0a >的图象一元二次方程20ax bx c ++= ()0a >的根有两个相异实数根1,22b x a -±∆= ()12x x < 有两个相等实数根122b x x a ==- 没有实数根一元二次不等式的解集 20ax bx c ++>()0a > {}12x x x x x <>或 2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭ R20ax bx c ++< ()0a >{}12x x x x << ∅ ∅ 注：（１）当二次项系数不是正数时，把它化成正数；解集可简记为小于０在两根之间，大于０在两根之外（２）题目中不等式带等号，解集中带等号，题目中不带等号，解集中也不带（３）解题时要充分利用二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系（４）恒成立问题：2y ax bx c =++若ａ＞０，0∆<，则ｙ＞０恒成立若ａ＜０，0∆<，则ｙ＜０恒成立（５）若ｍ＜≤（）()f x 恒成立，只需ｍ＜≤（）()min f x若ｍ＞()≥()f x 恒成立，只需ｍ＞()max ()f x ≥三．跟踪训练１．若不等式220axbx ++>的解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121|x x 则a b -值是( ) .A 10- .B 14- .C 10 .D 14２．集合M={x |0x 2}，N={x |x 2-2x-3<0}，则M N 为（）A 、{x |0x 2}B 、{x |0<x<2}C 、{x |-1<x<3}D 、{x |x>０}３．若不等式022>++bx ax 的解集是⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,21，则b a +的值为_ ４．求下列不等式的解集（１）４2x －４x ＞１５（２）１３－４2x ＞０（３）2x －３x －１０＜０（４）x （９－x ）＞０５．已知集合Ｍ＝｛x ｜2x －１６＜０｝，Ｎ＝｛x ｜2x －４x ＋３＞０｝,求M N６．）已知集合A ={x |220x a -≤，其中0a >}，B ={x |2340x x -->}，且A B = R ，求实数a 的取值范围７．解关于x 的不等式2(1)10axa x -++<８．已知：ab a x b ax x f ---+=)8()(2，当)2,3(-∈x 时， 0)(>x f ；),2()3,(+∞--∞∈ x 时，0)(<x f（1）求)(x f y =的解析式（2）c 为何值时，02≤++c bx ax 的解集为R.。

一元二次不等式知识点归纳

一元二次不等式知识点归纳
一、一元二次不等式解集求解
【解题提示】通常的解题步骤为：求解对应方程的根、结合图像开口方向判定不等式解集具体是在两根之间还是两根两侧。

尤其注意函数开口向下时解集的判定。

在实际求解时，一、注意含有参数的一元二次不等式，运用十字分解求解;二、注意在题目中隐藏的根判别式小于0;
二、一元二次不等式恒成立
【解题提示】1、若一元二次不等式ax^2+bx+c>0恒成立(a不为0)的充分条件为：开口向上且无解;
2、若一元二次不等式ax^2+bx+c<0恒成立(a不为0)的充分条件为：开口向下且无解;
通常出题会出“无解”的如下两种方式：此时转化为题目的反面恒成立求解即可。

1、一元二次不等式ax^2+bx+c>0无解(a不为0)，此时即
ax^2+bx+c<=0恒成立，即：开口向下且根判别式小于等于0;
2、一元二次不等式
ax^2+bx+c<00=""2=""a=""ax=""bx=""c="">=0恒成立，即：开口向上且根判别式小于等于0;
【注】若不等式中的二次项含有未知系数时，务必要对二次项系数为0与不为0，进行分类讨论。

三、不等式解集端点值为对应方程的根
【解析提示】不等式解集的端点值为对应方程的根，结合韦达定理求解。

求解时注意二次项前系数的正负号判别。

一元二次不等式知识点

一元二次不等式知识点
一元二次不等式是高中几何中一个常见的概念。

关于它，学生们需要
知道其定义，因为它可以帮助我们更好的理解和求解几何问题。

一元二次不等式是一个根据一元二次方程求出的不等式。

它的基本形
式是ax^2 + bx + c>0或ax^2 + bx + c<0，其中a,b,c均为实数，a
不等于0。

因为a是实数，而不是0，所以我们可以推断，一元二次不
等式是由一元二次方程形式：ax^2 + bx + c=0变换而来的。

一元二次不等式的也有简单的解法方法，首先我们可以将这个不等式
转化为一元二次方程ax^2 + bx + c=0，然后计算出根，将它们代入不等式，可以快速得到解。

因此，学习一元二次不等式的解法就是本质
上了解其根的性质。

此外，一元二次不等式有若干重要性质，最重要的一个为判别式的性质，它决定了一元二次方程有无实根，这个判别式为△ = b^2 - 4ac，当△<0时，一元二次方程没有实根；当△=0时，一元二次方程有一个
实根；当△>0时，一元二次方程有两个实根。

另一个重要的一个性质是一元二次不等式的解的情况，它可以根据判
别式的值分为三种情况：当判别式△<0时，一元二次不等式没有实根，及无解；当判别式△=0时，一元二次不等式有一个实根，解为一个实数；当判别式△>0时，一元二次不等式有两个实根，解为一对实数。

总之，一元二次不等式是高中几何中一个重要的概念。

学习一元二次
不等式，学生们除了了解其定义外，还要掌握其解法方法，以及判别
式的性质和解的情况。

只有把这些知识学会，才能帮助学生们更好的理解和求解几何问题。

一元二次不等式知识点总结

一元二次不等式知识点总结
嘿，伙伴们！今天咱就来好好唠唠一元二次不等式这个知识点。

一元二次不等式，听起来好像很复杂，但其实没那么难啦！就好比你要解开一个谜题，每个步骤都是找到答案的关键。

比如说，像x² - 3x + 2 > 0 这样的式子，就是个一元二次不等式。

咱先说说它的形式，不就是ax² + bx + c 嘛，这里的 a、b、c 可都有
大作用呢！就好像搭积木，每一块都不能少。

它的解法呢，就像走迷宫，你得找到正确的路径。

比如说，先求出判别式，看看它到底是有两个不同的解，还是只有一个解，或者根本就无解。

哇，这多有趣啊，就像探索一个神秘的世界！比如，x² + 2x + 3 > 0，判别式小于零，那它就恒大于零哦！这不是很酷吗？
那什么时候不等式大于零，什么时候又小于零呢？嘿嘿，这可得好好琢磨。

就像你要判断一件事情的好坏一样，得仔细考虑。

当 a 大于零时，如果抛物线开口向上，那在两根之外就大于零啦，在两根之间就小于零。

反之，如果 a 小于零，开口向下，哇，那情况就相反了呢！
一元二次不等式在生活中也有很多用处呢！比如你计算怎么分配你的零花钱才能让自己最开心，或者是怎么安排时间才能完成所有作业。

你说是不是很神奇？
哎呀呀，一元二次不等式真的是个很有意思的知识点呀！它就像一把钥匙，可以打开很多问题的大门。

伙伴们，一定要好好掌握它哟！这样我们就能在数学的世界里畅游啦！我的观点就是：一元二次不等式不难，只要认真学习，就一定能搞明白！。

一元二次不等式知识总结及经典例题分析

一元二次不等式及其解法1、一元二次不等式及一元二次不等式的解集只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为{}21x x x x x ><或，不等式20a x b x c ++<的解集为{}21x x x x <<2、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系对于一元二次方程20(0)a x b xc a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集.注意：口诀大于取两边，小于取中间.（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集.3、解一元二次不等式的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；（2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）；②0∆=时，求根ab x x 221-==； ③0∆<时，方程无解（3）根据不等式，写出解集.注意：简记为：一看—二判—三求—四写1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.4、绝对值不等式，分式不等式，高次不等式（教案另讲）【例题】题型一：一元二次不等式的解法例1、解下列一元二次不等式（1）2440x x -+>；（2）2450x x -+->（3）已知函数222,0,()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 解不等式f (x )＞3.题型二：含字母系数的一元二次不等式的解法对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向； ②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解；③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论.例2、（1）解关于x 的不等式：ax 2-x+1>0（2）解关于x 的不等式：)0(01)1(2≠<++-a x aa x例3、（1）解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0.（2）解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；题型三：一元二次不等式的逆向运用（已知解集求参数或参数范围）例4、不等式ax2+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2}，则a=_______, b=________.例5、不等式20+-<的解集为(4,5)x mx nx∈，求关于x的不等式210+->的解集.nx mx题型四：不等式的恒成立问题例6、已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.例7、若关于x的不等式2(21)10-++-≥的解集为空集，求m的取mx m x m值范围.例8、已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．。

一元二次不等式高一知识点

一元二次不等式高一知识点一元二次不等式是高中数学中重要的知识点之一，它是由一元二次方程推导而来，是解决实际问题的有力工具。

本文将介绍一元二次不等式的定义、性质和解法，并附带例题进行讲解。

一、一元二次不等式的定义一元二次不等式是指形如ax^2+bx+c>0（或<、≥、≤）的不等式，其中a、b、c为实数且a≠0。

其中，ax^2表示二次项，bx表示一次项，c是常数项。

在解一元二次不等式时，首先要判别一元二次不等式的开口方向，即判断不等式的二次项系数a的正负性。

当a>0时，二次不等式开口朝上；当a<0时，二次不等式开口朝下。

二、一元二次不等式的性质1. 不等式两边加（或减）同一个实数时，不等关系不变。

2. 不等式两边乘（或除）同一个正实数时，不等关系不变。

3. 不等式两边乘（或除）同一个负实数时，不等关系改变。

三、一元二次不等式的解法解一元二次不等式的关键在于找到x的取值范围。

解的步骤如下：1. 将不等式中的所有项移到一边并合并同类项，化为一元二次不等式标准形式ax^2+bx+c>0（或<、≥、≤）。

2. 利用一元二次不等式的性质，将一元二次不等式转化为等价的形式，以便求解。

例如，可以将二次项提取因式，将不等式转化为两个一次不等式的交集或并集。

3. 解二次不等式的交集或并集，得到x的取值范围。

4. 根据开口方向判断不等式的解集情况。

当二次项系数a>0时，解集为x在某一区间内的所有实数；当二次项系数a<0时，解集为x不在某一区间内的所有实数。

四、例题解析例题1：解不等式x^2-4x+4≥0。

解：首先将不等式化为标准形式，得到x^2-4x+4≥0。

然后，将等式两边化简并提取因式，得到(x-2)^2≥0。

由于平方值不可能小于0，所以(x-2)^2≥0对任意实数x成立。

因此，解集为实数集R。

例题2：解不等式2x^2+3x-2>0。

解：首先将不等式化为标准形式，得到2x^2+3x-2>0。

一元二次不等式高中知识点

一元二次不等式是高中数学中的一个重要知识点，它与一元二次方程和二次函数密切相关。

以下是一元二次不等式的知识点概括：
一元二次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式。

一般形式为ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0（a≠0）。

一元二次不等式的解法：一元二次不等式的解法与一元二次方程的解法密切相关，通过求解一元二次方程，可以得到一元二次不等式的解集。

一元二次不等式的应用：一元二次不等式可以应用于很多领域，例如物理学、工程学、经济学等。

一元二次不等式的图像：一元二次不等式的图像是一个抛物线，根据抛物线的开口方向和与x轴的交点，可以确定一元二次不等式的解集。

一元二次不等式的解集：一元二次不等式的解集通常是一个区间或几个区间的组合，根据一元二次不等式的图像和开口方向，可以确定解集的范围。

一元二次不等式的符号规则：一元二次不等式的符号规则与一元二次方程相同，即当判别式△>0时，不等式的解集为两个区间；当判别式△=0时，不等式的解集为一个区间；当判别式△<0时，不等式的解集为空集。

一元二次不等式的实际应用：一元二次不等式可以应用于很多实际问题中，例如求解函数的极值点、最值点，求解物理中的速度、加速度等问题。

以上是一元二次不等式的主要知识点概括，掌握这些知识点可以帮助学生更好地理解一元二次不等式的概念和应用。

高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法（一）【知识梳理】1．一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx ＋c ＞0(≥0)或ax2＋bx ＋c ＜0(≤0)(其中a ≠0)的不等式叫做一元二次不等式．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2，(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根二次函数y ＝ax2＋bx ＋c (a>0)的图象ax2＋bx ＋c>0(a>0)的解集错误!或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ≠－b 2aRax2＋bx ＋c<0(a>0)的解集 {}x|x1<x<x2∅ ∅题型一、一元二次不等式的解法【例1】解下列不等式： (1)2x2＋7x ＋3＞0； (2)x2－4x －5≤0； (3)－4x2＋18x －814≥0；(4)－12x2＋3x －5＞0；(5)－2x2＋3x －2＜0.[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y ＝2x2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x ＞－12，或x＜－3}．(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x ≤5}．(3)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝94.(4)原不等式可化为x2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.【类题通法】解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图象与x 轴的相关位置写出不等式的解集．【对点训练】 1．解下列不等式：(1)x2－5x －6>0；(2)－x2＋7x>6.(3)(2－x)(x ＋3)<0；(4)4(2x2－2x ＋1)>x(4－x)．解：(1)方程x2－5x －6＝0的两根为x1＝－1， x2＝6.结合二次函数y ＝x2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}． (2)原不等式可化为x2－7x ＋6<0. 解方程x2－7x ＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.结合二次函数y ＝x2－7x ＋6的图象知，原不等式的解集为 {x|1<x<6}．(3)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)>0. 方程(x －2)(x ＋3)＝0两根为2和－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}． (4)由原不等式得8x2－8x ＋4>4x －x2. ∴原不等式等价于9x2－12x ＋4>0.解方程9x2－12x ＋4＝0，得x1＝x2＝23.结合二次函数y ＝9x2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为{x|x ≠23}.题型二、解含参数的一元二次不等式【例2】解关于x 的不等式x2＋(1－a)x －a ＜0.[解]方程x2＋(1－a)x －a ＝0的解为x1＝－1，x2＝a ，函数y ＝x2＋(1－a)x －a 的图象开口向上，则当a ＜－1时，原不等式解集为{x|a ＜x ＜－1}；当a ＝－1时，原不等式解集为∅；当a ＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x ＜a}．【类题通法】解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．【对点训练】2．解关于x 的不等式：ax2－(a －1)x －1＜0(a ∈R)．解：原不等式可化为： (ax ＋1)(x －1)＜0，当a ＝0时，x ＜1，当a ＞0时⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＜0 ∴－1a ＜x ＜1.当a ＝－1时，x ≠1，当－1＜a ＜0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＞0， ∴x ＞－1a 或x ＜1.当a ＜－1时，－1a ＜1，∴x ＞1或x ＜－1a ，综上原不等式的解集是：当a ＝0时，{x|x ＜1}；当a ＞0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－1a ＜x ＜1；当a ＝－1时，{x|x ≠1}；当－1＜a ＜0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜1或x ＞－1a .当a ＜－1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜－1a 或x ＞1，题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系【例3】已知关于x 的不等式x2＋ax ＋b ＜0的解集为{x|1＜x ＜2}，求关于x 的不等式bx2＋ax ＋1＞0的解集．[解]∵x2＋ax ＋b ＜0的解集为{x|1＜x ＜2}， ∴1,2是x2＋ax ＋b ＝0的两根．由韦达定理有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝1＋2，b ＝1×2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，代入所求不等式，得2x2－3x ＋1＞0.由2x2－3x ＋1＞0⇔(2x －1)(x －1)＞0⇔x ＜12或x ＞1.∴bx2＋ax ＋1＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)．【类题通法】1．一元二次不等式ax2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．2．二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx ＋c ＞0的x 的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx ＋c ＜0的x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．【对点训练】3．已知方程ax2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a 、b 的值；(2)解不等式ax2＋bx －1＞0.解：(1)∵方程ax2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a .解得a ＝－2，b ＝3.(2)由(1)知，ax2＋bx －1＞0可变为－2x2＋3x －1＞0，即2x2－3x ＋1＜0，解得12＜x ＜1.∴不等式ax2＋bx －1＞0的解集为{x|12＜x ＜1}．【练习反馈】1．不等式x(2－x)＞0的解集为( ) A ．{x|x ＞0} B ．{x|x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ＜0}D ．{x|0＜x ＜2}解析：选D 原不等式化为x(x －2)＜0，故0＜x ＜2. 2．已知集合M ＝{x|x2－3x －28≤0}，N ＝{x|x2－x －6＞0}，则M ∩N 为( )A ．{x|－4≤x ＜－2或3＜x ≤7}B ．{x|－4＜x ≤－2或3≤x ＜7}C ．{x|x ≤－2或x ＞3}D ．{x|x ＜－2或x ≥3}解析：选A ∵M ＝{x|x2－3x －28≤0} ＝{x|－4≤x ≤7}，N ＝{x|x2－x －6＞0}＝{x|x ＜－2或x ＞3}， ∴M ∩N ＝{x|－4≤x ＜－2或3＜x ≤7}．3．二次函数y ＝x2－4x ＋3在y ＜0时x 的取值范围是________．解析：由y ＜0得x2－4x ＋3＜0， ∴1＜x ＜3 答案：(1,3)4．若不等式ax2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|－12＜x ＜2，则实数a ＝________，实数b ＝________.解析：由题意可知－12，2是方程ax2＋bx ＋2＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a，－12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3. 答案：－23 5．解下列不等式： (1)x(7－x)≥12； (2)x2＞2(x －1)．解：(1)原不等式可化为x2－7x ＋12≤0，因为方程x2－7x ＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，所以原不等式的解集为{x|3≤x ≤4}． (2)原不等式可以化为x2－2x ＋2＞0，因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0，方程x2－2x ＋2＝0无实根，而抛物线y ＝x2－2x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.。

高中数学一元二次不等式知识点总结

高中数学一元二次不等式知识点总结一元二次不等式知识点总结（人教版）一、一元二次不等式的基本形式。

1. 定义。

- 一元二次不等式的一般形式为ax^2+bx + c>0或ax^2+bx + c<0（a≠0），其中a、b、c是实数。

- 例如x^2-3x + 2>0，这里a = 1，b=-3，c = 2。

二、一元二次方程与一元二次不等式的关系。

1. 一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的根与一元二次不等式解集的联系。

- 当Δ=b^2-4ac>0时，一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)有两个不同的实根x_1,x_2(x_1。

- 对于不等式ax^2+bx + c>0(a>0)，其解集为{xx或x>x_2}；对于不等式ax^2+bx + c<0(a>0)，其解集为{xx_1。

- 当Δ=b^2-4ac = 0时，一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)有两个相同的实根x_0=-(b)/(2a)。

- 对于不等式ax^2+bx + c>0(a>0)，其解集为{xx≠ x_0}；对于不等式ax^2+bx + c<0(a>0)，其解集为varnothing。

- 当Δ=b^2-4ac<0时，一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)没有实根。

- 对于不等式ax^2+bx + c>0(a>0)，其解集为R；对于不等式ax^2+bx +c<0(a>0)，其解集为varnothing。

三、一元二次不等式的解法。

1. 因式分解法（当二次三项式容易因式分解时）- 例如解不等式x^2-3x + 2>0。

- 先将二次三项式因式分解为(x - 1)(x - 2)>0。

- 则有x - 1>0 x - 2>0或x - 1<0 x - 2<0。

- 解x - 1>0 x - 2>0得x>2；解x - 1<0 x - 2<0得x<1。

一元二次不等式知识点归纳

次不等式知识点归纳解一元二次不等式的步骤：①将二次项系数化为“ +”： A二一”十-I- >0 (或<0)( a>0)②计算判别式止，分析不等式的解的情况：若直>0)则或蔭>%；l. 氐>0时，求根気i v也，［若直5则旳"化.> 0,贝丘工窃的一切实数：!若庖<a JiJx匚購ii. A =0 时，求根£1=©=%,-若则:<=X Q若直>4则整F Rj. 扛vo时，方程无解，I若则X*.m③写出解集。

【典型例题】例1.解不等式(1) 二)二 _ ； L (2) '<：■ '<11 .； L(3) .也》D『方程3x5-^x+ 2 = D的解是江i = 1一百「x3=1 + —解：(1)因为' - ' -彳盘咒<1 --—'或X >I丰一〉3 3所以，原不等式的解集是 I 「」。

A=匚方程4x3-4x+l = 0 6tM^x1=K2=1(2) 因为' -o" 11<X :X * - ”所以，原不等式的解集是 I 2 - o(3) 整理，得=一―-；• 一。

因为-•丄・"L：二：-'■无实数解,所以不等式二亠J二-:Li的解集是■? o从而，原不等式的解集是o 例2.解关于x的不等式_!二'I匸 1：二-分析：此不等式为含参数 k的不等式，当k值不同时相应的二次方程的判别式的值也不同，故应先从讨论判别式入手。

解：] '■ ■'-: ；.(1)当"■ ' . I ■ 'll ..：「有两个不相等的实根。

所以不等式--■-■---的解集是：f - k —Jk(k 4 8) 工一1<+ ^c(k ■+ 3) |t 亠i(2)当二_T二；-；丄-：上.，11■■:__二，]二二 |_有两个相等的实根，2/十应-比0的解集是｛-勻小”所以不等式.•」，即：•厂一；(3)当-■■- -■ -I ■'< ■■- -^： , 7 I 上 -无实根所以不等式:—- --〔I解集为二。

数学一元二次不等式笔记

数学一元二次不等式笔记一、一元二次不等式的定义与一般形式。

1. 定义。

- 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式称为一元二次不等式。

2. 一般形式。

- ax^2+bx + c>0或ax^2+bx + c<0（a≠0），其中a、b、c是实数。

例如x^2-2x - 3>0就是一个一元二次不等式，这里a = 1，b=-2，c = - 3。

二、一元二次方程与一元二次不等式的关系。

1. 一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的根。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0，其判别式Δ=b^2-4ac。

- 当Δ>0时，方程有两个不同的实数根x_1=frac{-b+√(b^2)-4ac}{2a}，x_2=frac{-b - √(b^2)-4ac}{2a}。

例如方程x^2-3x+2 = 0，其中a = 1，b=-3，c = 2，Δ=(-3)^2-4×1×2=1>0，两根为x_1=2，x_2=1。

- 当Δ = 0时，方程有两个相同的实数根x_0=-(b)/(2a)。

如方程x^2-2x + 1 = 0，a = 1，b=-2，c = 1，Δ=(-2)^2-4×1×1 = 0，根为x = 1。

- 当Δ<0时，方程没有实数根。

例如方程x^2+x+1 = 0，a = 1，b = 1，c = 1，Δ=1^2-4×1×1=-3<0。

2. 关系。

- 一元二次不等式ax^2+bx + c>0(a>0)的解集与一元二次方程ax^2+bx + c = 0的根有关。

- 当Δ>0时，不等式ax^2+bx + c>0(a>0)的解集为{xxx_1}，不等式ax^2+bx + c<0(a>0)的解集为{xx_2。

- 当Δ = 0时，不等式ax^2+bx + c>0(a>0)的解集为{xx≠-(b)/(2a)}，不等式ax^2+bx + c<0(a>0)的解集为varnothing。

一元二次函数方程不等式知识点

一元二次函数方程不等式知识点嘿，咱今儿就来聊聊一元二次函数方程不等式那些事儿！一元二次函数，你就把它想象成一个调皮的小精灵，蹦蹦跳跳的，可有意思啦！它的一般式是 ax²+bx+c=0 或者 ax²+bx+c＜0 或者ax²+bx+c＞0 。

这里面的 a、b、c 可都有它们的作用呢！a 就像是小精灵的翅膀，决定着它是向上飞还是向下飞。

要是 a 大于 0 ，那这小精灵就开心地往上飞，图像就是个开口向上的抛物线；要是 a 小于 0 ，嘿嘿，它就垂头丧气地往下飞啦，图像就是开口向下的抛物线。

b 呢，就像是小精灵飞行的方向控制杆。

它和 a 一起决定着抛物线的对称轴位置。

而c 呀，就像是小精灵的落脚点，是抛物线和 y 轴相交的那个点呢！那一元二次方程呢，就是要找到这个小精灵停留的地方，也就是让这个函数等于 0 的时候。

有时候能找到两个点，有时候只有一个点，有时候干脆就找不到呢！这就像是找宝藏，充满了惊喜和未知。

再来说说一元二次不等式。

这就像是给小精灵设定了一个范围，让它只能在这个范围内活动。

要是 ax²+bx+c＞0 ，那就是让小精灵在上面的区域玩耍；要是 ax²+bx+c＜0 ，那就是让它在下面的区域待着。

咱举个例子吧，比如说 x²-2x-3=0 ，那咱就来找找这个小精灵停留的地方。

用求根公式，一下子就能算出两个根，1 和 3 。

哎呀，这不就找到啦！再比如 x²-2x+3＞0 ，你看看，这 a 是 1 大于 0 ，小精灵往上飞，而且这个式子恒大于 0 ，那就是说这个小精灵在上面的区域一直快乐地玩耍呢！学习一元二次函数方程不等式可不能死记硬背呀，得像和小精灵做朋友一样，了解它的脾气性格，才能和它好好相处。

想想看，要是在生活中遇到问题，咱不也得像解这些式子一样，仔细分析，找到关键，然后解决问题嘛！这一元二次函数方程不等式可不只是书本上的知识，它也能帮咱更好地理解生活中的很多现象呢！所以啊，别小瞧了这小小的一元二次函数方程不等式，这里面的学问大着呢！好好学，你会发现它就像一把神奇的钥匙，能打开很多知识的大门呢！你说是不是呀？。

高二数学下学期《一元二次不等式》知识点.doc

高二数学下学期《一元二次不等式》知识点高二数学是学生头疼的科目之一，有时候努力了很长时间成绩也不见提高，其实这是因为掌握的知识点不够透彻，为了帮助大家学好高二数学，下面为大家带来高二数学下学期《一元二次不等式》知识点，希望对大家有所帮助。

★知识梳理★一.解不等式的有关理论(1) 若两个不等式的解集相同，则称它们是同解不等式;(2) 一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的同解变形;(3) 解不等式时应进行同解变形;(4) 解不等式的结果，原则上要用集合表示。

二.一元二次不等式的解集二次函数( )的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R三.解一元二次不等式的基本步骤：(1) 整理系数，使最高次项的系数为正数;(2) 尝试用十字相乘法分解因式;(3) 计算(4) 结合二次函数的图象特征写出解集。

四.高次不等式解法：尽可能进行因式分解，分解成一次因式后，再利用数轴标根法求解(注意每个因式的最高次项的系数要求为正数)五.分式不等式的解法：分子分母因式分解，转化为相异一次因式的积和商的形式，再利用数轴标根法求解;★重难点突破★1.重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;熟练掌握一元二次不等式的解法。

2.难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

求解简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式3.重难点：掌握一元二次不等式的解法,利用不等式的性质解简单的简单的分式不等式和高次不等式以及简单的含参数的不等式, 会解简单的指数不等式和对数不等式.(1)解简单的指数不等式和对数不等式关键在于通过同解变形转化为一般的不等式(组)来求解高二数学下学期《一元二次不等式》知识点为大家带来过了，希望大家能够认真学习高二数学知识点，这样才能在解数学题的时候手到擒来。

一元二次不等式总结

一元二次不等式题型总结一、解一元二次不等式解一元二次不等式的步骤(1)化成标准形式，化二次项系数为正 (2)因式分解，不能因式分解的判断判别式△与0的关系，△>0求出相应一元二次方程的实根X1,X2; △=0图象与x 轴有一个交点，△<0图象与x 轴没有交点(3)写出不等式的解集.（大于取两根之外，小于取两根之间）例1解下列关于x 的不等式：(1)(5－x )(x ＋1)≥0 (2)－4x 2＋18x －814≥0； (3)－12x 2＋3x －5>0； (4)－2x 2＋3x －2<0. 二、已知解集求不等式及参数思路：1先看解集判断二次项系数a 正负。

（大于取两根之外，小于取两根之间）2. 解集的两个端点是相应方程的根，有韦达定理求解1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩例2若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－3<x <4}，求不等式bx 2＋2ax －c －3b <0的解集例3已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B .(1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集．三、高次不等式求解方法思路：1化二次项系数为正2求方程的根3画数轴进行穿根（从数轴右上方开始穿，奇重根穿偶不穿）4数轴上方大于0，数轴下方小于0例4解不等式：x (x －1)2(x ＋1)3(x －2)>0.22++>0++<0(>0)bx c bx c a ax 或ax四、分式不等式解法思路：1先移项再通分化为()()f xg x>（或<0）形式2化整式不等式()()0f xg x>（或<0）求解例5．不等式2x－53x－1＜1的解集是________例6．解关于x的不等式mx2mx－1－x>0.五、解含参数的一元二次不等式解含参数的一元二次不等式的步骤(1)一看，看二次项系数是否有参数，若有分类讨论二次项系数a>0,=0,<0三种情况，然后化二次项系数为正(2) 因式分解，不能因式分解的判断判别式△与0的关系，△>0求出相应一元二次方程的实根X1,X2; △=0图象与x轴有一个交点，△<0图象与x轴没有交点(3)若两根大小无法确定大小时，分类讨论根的大小(4)写出不等式的解集.（大于取两根之外，小于取两根之间）例7解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)例8解关于x的不等式：56x2－ax－a2>0.六、一元二次根的分布问题思路：类型一，方程两根分布在同一区间内①判别式△的符号②对称轴的位置分布③二次函数在实根分布界点处函数值的符号。

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