自动控制理论全套(课件,课程设计,实验指导)第3章线性系统的时域分析
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自动控制原理课件：线性系统的动态时域分析
２.各暂态分量的系数还和零点的位置有关。若一对零、极点很靠近， 则该极点对暂态响应的影响很小（此时对应的系数 Ai 很小）。若某个极 点pi附近没有零点，且距离原点较近，则 Ai 就大，对暂态分量的影响就 大。
22
q
r
c(t) 1
Aie pit
D e knkt k
cos (nk t
1
2 k
１．过阻尼（＞1） 的情况
闭环极点为 s1 ( 2 1)n
s2 ( 2 1)n
单位阶跃响应
C(s)
n2
R(s)
n2
1 a b c
s2 2ns n2
(s s1)(s s2 ) s s s s1 s s2
c(t) 1 bes1t ces2t t 0
２．欠阻尼（ 0 1 ）的情况
1
exp(nt 1 2
)
sin(n
1 2t arctan
1 2
)
将 t tp 代入上式，便得
M p e 1 2 100%
0
tr tp
ts
t
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
M p
0，M p 100% 1，M p 0
18
例4.1 已知二阶系统的单位阶跃响应如下图，其中最大超调量 M p 9.6% 、调整时间 ts 0.2 ，试求取系统的闭环传递函数。
系统的传递函数为 系统的输出响应为
C(s) 1
R(s) s 1
C(s) 1 R(s)
s 1
１．单位阶跃响应
R(s) 1 s
C(s) 1 1 s(s 1) s s 1
c(t)
1
t
e
，t
0
一阶系统的单位阶跃响应是一条指数曲线.
22
q
r
c(t) 1
Aie pit
D e knkt k
cos (nk t
1
2 k
１．过阻尼（＞1） 的情况
闭环极点为 s1 ( 2 1)n
s2 ( 2 1)n
单位阶跃响应
C(s)
n2
R(s)
n2
1 a b c
s2 2ns n2
(s s1)(s s2 ) s s s s1 s s2
c(t) 1 bes1t ces2t t 0
２．欠阻尼（ 0 1 ）的情况
1
exp(nt 1 2
)
sin(n
1 2t arctan
1 2
)
将 t tp 代入上式，便得
M p e 1 2 100%
0
tr tp
ts
t
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
M p
0，M p 100% 1，M p 0
18
例4.1 已知二阶系统的单位阶跃响应如下图，其中最大超调量 M p 9.6% 、调整时间 ts 0.2 ，试求取系统的闭环传递函数。
系统的传递函数为 系统的输出响应为
C(s) 1
R(s) s 1
C(s) 1 R(s)
s 1
１．单位阶跃响应
R(s) 1 s
C(s) 1 1 s(s 1) s s 1
c(t)
1
t
e
，t
0
一阶系统的单位阶跃响应是一条指数曲线.
《自动控制原理》课件第三章
h(t) 1
ent sin(
1 2
1 2nt arccos ) 1
1
1
2
e t
sin(dt
)
(3-13)
2) 无阻尼(ζ=0)二阶系统的单位阶跃响应
系统有两个共轭纯虚根s1=jωn，s2=－jωn 由式(3-10)可知系统的单位阶跃响应为
h(t)=1－cosωnt
(3-14)
这是一条平均值为1的正弦或余弦形式的等幅振荡，其振荡
2. 动态性能与稳态性能 稳定是控制系统能够运行的首要条件，因此只有当动态 过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义。 1) 动态性能 通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。 一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。如果 系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那么系统在其 他形式函数的作用下，其动态性能也是令人满意的。 描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时 间t的变化状况的指标称为动态性能指标。为了便于分析和 比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止状态， 而且输出量及其各阶导数均为零。
令
T1
n (
1
2
, 1)
T2
n (
1
2
1)
由式(3-12)可得此时二阶系统的单位阶跃响应为
h(t) 1 et T1 et T2 T2 T1 1 T1 T2 1
(3-15)
以上四种情况的单位阶跃响应曲线如图3-5所示，其横 坐标为无因次时间ωnt。由图3-5可见，在过阻尼和临界阻尼 响应曲线中，临界阻尼响应具有最短的上升时间，响应速度 最快； 在欠阻尼响应曲线中，阻尼比越小，超调量越大， 上升时间越短，通常取ζ=0.4～0.8为宜，此时超调量适度， 调节时间较短； 若二阶系统具有相同的ζ和不同的ωn，则其 振荡特性相同，但响应速度不同，ωn越大，响应速度越快。
自动控制理论课件自控课件(第三章)
China Agriculture University-East
二阶系统单位阶跃响应曲线
China Agriculture University-East
三. 欠阻尼二阶系统的动态过程分析
C(S) 1 TS 1
系统的输出称为脉冲响应，其表达式为：
c(t) L[C(S)] 1 et T , T
t0
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单位脉冲响应曲线：
h(t)
3
2T
1
初始斜率 0.368 T
T 1
c(t) 1 et T T
2T
t 0 T 2T 3T 4T
1. 动态性能
2. 稳态性能
二. 典型输入信号
所谓的典型输入信号是指根据系统常遇到的输 入信号形式，在数学上加以理想化的一些基本输入 函数。
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名称
单位阶跃函数
单位斜坡 （速度）函数
单位加速度 （抛物线）函数
单位脉冲函数
正弦函数
典型输入函数
系统的跟踪误差为：
t0
e(t) r(t) c(t) Tt T 2 (1 et T )
跟踪误差随时间推移而增大，直至无穷大。因此， 一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
China Agriculture University-East
六. 四种典型输入信号响应的对比
输入信号
j s1 n 0
s2
s1 n
j n 1 2
0
s2
n 1 2
China Agriculture University-East
《自动控制理论教学课件》三时域分析
总结词
非线性系统的定义与性质
详细描述
非线性系统是指系统的输出与输入不 成正比关系的系统。非线性系统的性 质包括不满足叠加原理、对初始条件 敏感、可能产生自激振荡等。
非线性系统的稳定性分析
总结词
非线性系统的稳定性分析
详细描述
稳定性是非线性系统的重要特性之一，指的是系统在受到扰 动后能否恢复到原始状态的能力。对于非线性系统，需要采 用特定的方法进行稳定性分析，如相平面法、Lyapunov方法 等。
一个机器人的姿态控制系统，通过调整电机 的输入电压或电流来控制机器人的姿态。时 域分析可以用来评估机器人的稳定性和抗干 扰能力。
航空航天控制系统实例
航空航天控制系统实例1
一个飞行器的自动驾驶系统，通过控制引擎 的推力和飞机的姿态来保持飞机的飞行路径 和高度。时域分析可以用来评估飞行器的动 态性能和稳定性。
课程目标
01 掌握自动控制系统的基本概念、原理和方 法。
02 理解线性时不变系统的分析和设计方法。
03
能够进行系统的稳定性、动态性能和稳态 性能的分析和设计。
04
培养学生的实践能力和创新思维，提高解 决实际问题的能力。
02
时域分析基础
时域分析定义
时域分析
在时间域内对控制系统进行分析的方法，通过建立、求解和解释 系统的时域数学模型来研究系统的动态行为。
描述系统动态特性的数学模 型，表示系统输出与输入之 间的关系。
时间常数
反映系统动态性能的参数， 表示系统达到稳态值所需的 时间。
稳定性
系统在受到扰动后能否回到 原始平衡状态的性能指标， 分为稳定、临界稳定和不稳 定三种状态。
03
线性系统的时域分析
线性系统的定义与性质
自动控制原理课件 第三章线性系统的时域分析法
1 tA T
)
1 T tA e T
1
tB- tA=T
3-3二阶系统分析 1. 数学模型
d 2 c(t ) dc(t ) 2 2 2 c ( t ) n n n r (t ) 2 dt dt
C ( s) n ( s ) 2 2 R( s ) ( s 2n s n
。
ξ>1称过阻尼，由上知，s1 ，s2为两个不等的负实根
ξ=1 称临界阻尼，s1 ，s2为一对相等的负实根-ωn 0<ξ<1 称为欠阻尼，特征根将为一对实数部为负的 共轭复数。 ξ=0称0阻尼，s1 ，s2由上可看出为一对虚实部的特 征根 ξ<0则称负阻，系统将出现正实部的特征根。
1.
过阻尼二阶系统的单位阶跃响应
（2）上升时间 t r 的计算
h(t r ) 1 e ntr 1 2 sin( n 1 2 tr ) 1 sin( n 1 2 t r ) 0
tr d 1 2 n
（3）峰值时间 t p 的计算
( 2) n K
(3)
1 K 2 K
100%, ln( 1/ p ) 1 0.456 )2
p % e
/ 1 2
(ln
2
p
(4)
n Biblioteka t p 1 2 3.53 (rad / s)
(5) K n 12.46
3-2 一阶系统分析 1. 数学模型
图3.3一阶系统典型结构
一阶系统微分方程
dc (t ) T c(t ) r (t ) dt
Φ （s）=C(s)/R(s)=1 / (Ts+1)
《自动控制原理》(第六版)课件：第3章 线性系统的时域分析法3
2）当劳思表中出现全零行时，用上一 行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求 导，用所得方程的系数代替全零行。
9
3-5 线性系统的稳定性分析
4. 劳思稳定判据的特殊情况
例： 设系统特征方程为s3-3s+2=0; 试用劳思稳定判据判别系统稳定性。
s 解：列出劳思表 3
1
-3
s2
0
2
s1
(s3-3s+2)*(s+3)== s4+3 s3-3 s2-7s+6=0;
s3 0
-2 -7 -4
-3 -4 -3 -4 辅助多项式F(s)
的系数
00
14
3-5 线性系统的稳定性分析
4. 劳思稳定判据的特殊情况
F(s) =s4-3s2-4=0， dF(s)/ds=4s3-6s=0
以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳思表：
s6 1 -2 -7 -4 s5 1 -3 -4 s4 1 -3 -4 s3 4 -6 dF(s)/ds的系数 s2 -1.5 -4 s1 -16.7 0 s0 -4
0
n
0
a1 a0
a3 a2
已证明，在特征方程各项系数均
0
0
a1
大于零时，赫尔维茨奇次行列式全 为正，则赫尔维茨偶次行列式必全
0 0 0
0
0
0
0
0
0
an
为正；反之亦然。
6
3-5 线性系统的稳定性分析
3. 劳思-赫尔维茨稳定判据
2. 劳思（Routh）判据 • 劳思判据采用表格形式，即劳思表：
19
3-5 线性系统的稳定性分析
5. 劳思稳定判据应用
s 3 14 s 2 40 s K * 0
9
3-5 线性系统的稳定性分析
4. 劳思稳定判据的特殊情况
例： 设系统特征方程为s3-3s+2=0; 试用劳思稳定判据判别系统稳定性。
s 解：列出劳思表 3
1
-3
s2
0
2
s1
(s3-3s+2)*(s+3)== s4+3 s3-3 s2-7s+6=0;
s3 0
-2 -7 -4
-3 -4 -3 -4 辅助多项式F(s)
的系数
00
14
3-5 线性系统的稳定性分析
4. 劳思稳定判据的特殊情况
F(s) =s4-3s2-4=0， dF(s)/ds=4s3-6s=0
以导数的系数取代全零行的各元素，继续列写劳思表：
s6 1 -2 -7 -4 s5 1 -3 -4 s4 1 -3 -4 s3 4 -6 dF(s)/ds的系数 s2 -1.5 -4 s1 -16.7 0 s0 -4
0
n
0
a1 a0
a3 a2
已证明，在特征方程各项系数均
0
0
a1
大于零时，赫尔维茨奇次行列式全 为正，则赫尔维茨偶次行列式必全
0 0 0
0
0
0
0
0
0
an
为正；反之亦然。
6
3-5 线性系统的稳定性分析
3. 劳思-赫尔维茨稳定判据
2. 劳思（Routh）判据 • 劳思判据采用表格形式，即劳思表：
19
3-5 线性系统的稳定性分析
5. 劳思稳定判据应用
s 3 14 s 2 40 s K * 0
自动控制原理——第三章线性系统的时域分析(第六讲)ppt
t 0
（3-21）
它的响应曲线是一条均值为1的余弦形式的等幅振荡曲
线，其振荡频率为 n 。由系统得结构和参数决定。
d 与 n 的物理意义
d n
1 2
n 是 0 时，二阶系统过渡过程为等幅余弦
振荡的角频率，称为无阻尼自振角频率。
d 是欠阻尼时，二阶系统过渡过程为衰减正弦振荡角频率，
称为有阻尼自振角频率。
稳态分量为1，表明二阶系统在单位阶跃函数作用下，不存在
稳态位置误差，瞬态分量为有阻尼的正弦振荡，其振荡频率为 d
由(3-20)知：欠阻尼时单位阶跃响应为衰减振荡曲线。
包络线：1 e nt
2020/5/12
1 2 决定了系统响应曲线的振荡衰减速度。
自动控制原理
9
当 0 时：单位阶跃响应为：
h(t) 1 cosnt
零极点分布图：
j b
-a 0 0
运动模态2
K(t)=Ae-atsin(bt+α)
2020/5/12
自动控制原理
t
18
传递函数：
Φ(s)=
A1s+B1 S2+b2
零极点分布图：
j b
00
运动模态3
K(t)=Asin(bt+α)
2020/5/12
自动控制原理
t
19
传递函数： Φ(s)=(AS-1as+)2B+1b2
（3-17）
n2
K Tm
n
K Tm
2
n
1 Tm
1
2 Tm K
n －自然频率（或无阻尼振荡频率）
－阻尼比（相对阻尼系数）
2020/5/12
自动控制原理第三章ppt课件
自动控制原理
.
1
第三章 线性系统的时域分析法
线性系统的时域分析法
引言 一阶系统时域分析 二阶系统时域分析 线性系统的稳定性分析 线性系统的稳态误差计算
.
3
自动控制系统好？差? 系统分析
典型的输入信号
时域分 析
复域分 单位析脉冲 频阶域跃分
斜析坡 正余弦
时域性能指标
稳态性能 指标
稳定性
动态性能 指标
2
0
1.8 0.4
0.1
1.6 0.5
0.2
1.4 0.6
0.3
1.2 0.7
1 0.8
0.8
0.6 0.4 0.2
0 0
0.9 1.0 1.5
246
阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短。
2
nt
8 10 12
阻尼比取0.40.8时，超调 量适宜，调节
时间短
可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有
能
指
标
稳态性能指标
1.动态性能指标
通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。
一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。 如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那 么系统在其他形式的函数作用下，其动态性能也是令 人满意的。
描述稳定的系统在单位阶跃函数下，动态过程 随时间t的变化状况的指标，称为动态性能指标。
评价系统的阻尼程度。（稳）
稳定性能指标和抗干扰能力。越小， 系统精度越高。（准）
§3.3 典型一阶系统时域分析
一、典型一阶系统的数学模型 以一阶微分方程为运动方程的系 统 (s)C(s) 1 R(s) TS1
②
ui
.
1
第三章 线性系统的时域分析法
线性系统的时域分析法
引言 一阶系统时域分析 二阶系统时域分析 线性系统的稳定性分析 线性系统的稳态误差计算
.
3
自动控制系统好？差? 系统分析
典型的输入信号
时域分 析
复域分 单位析脉冲 频阶域跃分
斜析坡 正余弦
时域性能指标
稳态性能 指标
稳定性
动态性能 指标
2
0
1.8 0.4
0.1
1.6 0.5
0.2
1.4 0.6
0.3
1.2 0.7
1 0.8
0.8
0.6 0.4 0.2
0 0
0.9 1.0 1.5
246
阻尼比越小，超调量越大，上升时间越短。
2
nt
8 10 12
阻尼比取0.40.8时，超调 量适宜，调节
时间短
可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有
能
指
标
稳态性能指标
1.动态性能指标
通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动态性能。
一般认为，阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。 如果系统在阶跃函数作用下的动态性能满足要求，那 么系统在其他形式的函数作用下，其动态性能也是令 人满意的。
描述稳定的系统在单位阶跃函数下，动态过程 随时间t的变化状况的指标，称为动态性能指标。
评价系统的阻尼程度。（稳）
稳定性能指标和抗干扰能力。越小， 系统精度越高。（准）
§3.3 典型一阶系统时域分析
一、典型一阶系统的数学模型 以一阶微分方程为运动方程的系 统 (s)C(s) 1 R(s) TS1
②
ui
《自动控制原理》第二版第三章线性系统的时域分析与校正92页PPT
T2
=+ ξω = -ω TT21S1,12
T1 1
T2 n
n
-
1临界阻尼
h(t)= 1 -(1+ωnt)
j0
e0-ωnt
j 0
0＜ξ＜1
j
ξ＝0
j
0＜欠阻ξ＜尼1 S1,2= -ξ ωn ±0j ωn√1-ξ零2 阻尼
0j 0
h(t)=
e 1 1 √1-ξ2
ξ＝0
-ξωSn1t,2si=n(±ωdjtω+βn)
h(t)= 1-cosωnjt
0
§3.3 二阶系统的时间响应及动态性能 §3.3.2 1（临界阻尼，过阻尼）时系统动态性能指标的计算1）
§3.3 二阶系统的时间响应及动态性能
§3.3.2 1 （临界阻尼，过阻尼）时系统 动态性能指标的计算 （2）
输入阶跃函数
§3.3 二阶系统的时间响应及动态性能
稳：( 基本要求 ) 系统受脉冲扰动后能回到原来的平衡位置
准: ( 稳态要求 ）稳态输出与理想输出间的误差(稳态误差)要小
快: ( 动态要求 ) 过渡过程要平稳，迅速
1、动态性能
Delay Time
延迟时间 t d — 阶R跃is响e 应Tim第e一次达到终值的50％所需的时间
上升时间 t r — 阶跃响应从终值的10％上升到终值的90％所需的时间
h()
§3.1.3 线性系统时域性能指标
2、 稳态性能 稳态误差：是时间趋于无穷时系统实际输出与理想输出之 间的误差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。
系统性能指标的确定应根据实际情况而有所侧重。
民航客机要求飞行平稳，不允许有超调；歼击机则要求机动灵活， 响应迅速，允许有适当的超调；
自动控制原理-第三章 线性系统的时域分析法(1)
增大，最终趋于常值T，在初始状态下，位置误差和响应曲线的
斜率15均等于0。其原因在稳态误差的计算中说明。
4、单位脉冲响应 [R(s)=1]
C(s) 1 Ts 1
h(t) 1/T
它恰是系统的闭环传函，这
0.368/T
时输出称为脉冲响应函数，以
0.135/T
h(t)标志。
h(t )
C脉冲 (t
B S2
C S
D S1
1 S3
T S2
T2 S
T2 S1
T
T
c(t)
1
t2
Tt
T
2
(1
1
eT
t
)
2
(t 0)
e(t
)
r(t)
c(t)
Tt
T
2
(1
1
eT
t
)
上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。 因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
微
3、单位斜坡响应 [ r(t) = t ]
C(s)
1 Ts 1
1 s2
1 s2
T s
T2 Ts 1
c(t ) t T Te t /T
(t 0)
c(t)
T
c(t) = t ﹣T + Te﹣t/T
0
T
t
稳态响应是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上
滞后了一个时间常数T的斜坡函数。
3)峰值时间tp：指响应超过终值达到第一个峰值所需 要的时间。 4)调节时间ts：指响应达到并保持在终值±5%（或 ±2%）内所需要的时间。
精品课件-自动控制原理-第3章 线性控制系统的时域分析
• 1.二阶系统的数学模型
位置随动系统如图3.9所示，系统中的负载角位移能跟 随输入手柄角位移的变化。图中两个线性电位器分别把输入和 输出的角位移转变为与之成比例的电信号，并进行比较，其差 值经过电压和功率放大器放大后给直流伺服电机供电，使之带 动传动比为 的齿轮组合负载一起转动，力图使角位移的误差 减小到零。
c(s)
K
r (s) Js2 Fs K
其中：阻尼系F 数f0
CmC R
e
，开环增益 K
K p Ka
Cm R
j
为了使研究的结果具有普遍的意义，可将式（3.16）改写为二
阶系统的标准形式C(s)
n2
R(s) s2 2ns n2
2020/12/14
第三章 线性控制
21
自动控制 原理
二阶系统时域分析
3）单位斜坡响应
设
，零初始条件下一阶系统单位斜坡响应的
C拉(s)氏 变1 换 R为(s) 1 1
Ts 1
Ts 1 s2
2020/12/14
第三章 线性控制
16
自动控制 原理
一阶系统的时域分析
• 对上式取拉氏反变换，得 1t
c(t) t T (1 e T )
图3.8 一阶系统的单位斜坡响应
根据一阶系统对上述三种典型信号的时域响应，不难看出线
第三章 线性控制
10
自动控制 原理
一阶系统的时域分析
（a）RC电 路
（b）一阶系统 框图
（c）等效 框图
图：一阶系统及结构 框图
2020/12/14
第三章 线性控制
11
自动控制 原理
一阶系统的时域分析
• 一阶系统的时域响应
位置随动系统如图3.9所示，系统中的负载角位移能跟 随输入手柄角位移的变化。图中两个线性电位器分别把输入和 输出的角位移转变为与之成比例的电信号，并进行比较，其差 值经过电压和功率放大器放大后给直流伺服电机供电，使之带 动传动比为 的齿轮组合负载一起转动，力图使角位移的误差 减小到零。
c(s)
K
r (s) Js2 Fs K
其中：阻尼系F 数f0
CmC R
e
，开环增益 K
K p Ka
Cm R
j
为了使研究的结果具有普遍的意义，可将式（3.16）改写为二
阶系统的标准形式C(s)
n2
R(s) s2 2ns n2
2020/12/14
第三章 线性控制
21
自动控制 原理
二阶系统时域分析
3）单位斜坡响应
设
，零初始条件下一阶系统单位斜坡响应的
C拉(s)氏 变1 换 R为(s) 1 1
Ts 1
Ts 1 s2
2020/12/14
第三章 线性控制
16
自动控制 原理
一阶系统的时域分析
• 对上式取拉氏反变换，得 1t
c(t) t T (1 e T )
图3.8 一阶系统的单位斜坡响应
根据一阶系统对上述三种典型信号的时域响应，不难看出线
第三章 线性控制
10
自动控制 原理
一阶系统的时域分析
（a）RC电 路
（b）一阶系统 框图
（c）等效 框图
图：一阶系统及结构 框图
2020/12/14
第三章 线性控制
11
自动控制 原理
一阶系统的时域分析
• 一阶系统的时域响应
中职教育-《自动控制原理》课件：第3章 线性控制系统的时域分析法(2)电子工业出版社.ppt
1]
L1
M (s) D(s)
L1
n1
(s zk )
k 1
n2
(s pi )
(s 2
2
jnj s
2 nj
)
(3-25) i1
j 1
n1
n2
Ai e pit
B j e jnjt cos(nj
1
2 j
)t
C
j
e
jnjt
s in( nj
1
2 j
)t
i 1
j 1
式中，Ai(i=1,2,…, n1)；Bj ，Cj(j=1,2,…, n2)为 由系统的结构、参数及初始条件决定11的系数。
17
2）劳斯阵列
劳斯判据是基于特征方程式的根与系数的关系而
建立的一种代数判据。根据以上n阶系统特征方程式
(3-54)的系数a1,a2,…,an可得到如下的劳斯阵列。
sn a0 a2 a4 a6 sn1 a1 a3 a5 a7 sn2 b1 b2 b3 b4
劳斯阵列中的前两行元 素直接根据特征方程式中的 系数而得，第三行及以下各 行的元素均由其上两行的参
设单输入单输出线性定常系统的传递函数为
GB (s)
Y (s) R(s)
b0 s m a0 s n
b1s m1 a1s n1
bm1s bm an1s an
(m<n) (3-18)
5
其特征方程式为
D(s) a0 s n a1s n1 an1s an 0 (3-19) 当系统的初始条件为零时，其输出时域响应为
9
由于线性系统的稳定性与外界条件无关， 因此，可以假设线性系统在初始条件为零时， 作用一个单位脉冲信号，这时系统的输出便 是单位脉冲响应。这相当于系统在扰动信号 作用下，输出信号偏离原来工作状态的情况。 因此，根据第2种稳定性定义的描述，若时间 趋于无穷大时，单位脉冲响应收敛于原来的 工作状态，即
自控原理课件-第三章线性系统的时域分析法
0.1hs
ts
t
tdtr
稳态误差ess ±2%或±5%
ts
t
上升时间tr：振荡——第一次上升到终值所需时间；
非振荡——从终值10%上升到终值90%所需的时间。
延迟时间td： 第一次达到其终值一半所需的时间。
峰值时间tp：超过其终值到达第一个峰值所需的最短时间。
调节时间ts： 到达并保持在终值±2%（± 5%）内所需的最短时
实际中，常用tr, tp ,ts和Mp （σ%）
tr，tp——评价系统的响应速度；
Mp （σ%）——评价系统的阻尼程度；值越小、响应快、性能好
ts——评价速度和阻尼程度的综合指标。
18
2.稳态性能：又称静态性能
稳态误差是稳态性能的一种性能指标。 通常在阶跃函数、斜坡函数、加速度函作用下， 进行测定或计算。（单位阶跃输入下的稳态误差也 称为余差） (将在后面专节讨论。§3-3)
等加速度信号；脉冲信号；正弦信号。
4
1、阶跃函数
表达式：r(t)
A 0
t0 t0
A为常数，A=1的阶跃函数称为单位阶跃函数。
r(t - t0 )：称为延迟t0时刻阶跃函数 拉氏变换： R(s) L[1(t)] 1
s
5
2、斜坡函数（速度函数）
表达式：
r(t
)
At 0
t0 t0
A为常数，A=1的斜坡函数称为单位斜坡函数。
t r(t)
t r(t)
t r(t)
t
10
二、动态过程和稳态过程
对于线性定常系统，输入为：r(t，) 输出为：c(t) 用微分方程描述如下：
dn
d n-1
d
dt n c(t ) a1 dt n-1 c(t ) an-1 dt c(t ) anc(t )
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时域分析以阶跃响应(step response)为主（因为阶跃典型, 极端,宽频谱)
过渡过程(transient process)---系统在外作用下由一个稳 态转移至另一个稳态的过程. 例:阶跃响应
典型过渡过程反映系统性能,时域性能指标定量说明系统性 能
第一节 典型输入信号 (Typical input signal)
阶跃响应指标(step response indicators)
Cp1 tc Cp2 ±5%C ess
Cr
C
tr
tp
ts
tc=0,Mp=0
tc=0,Mp>0
1) 最大超调量Mp (百分比超调 PO Percentage Overshoot)
Mp c () ymax yr ymax yr Mp ymax yr 0
r（t） A
Unit pulse function
实际情况:
du (t ) (t ) dt
h
时间 t
可用于测试系统抗冲击能力
正弦信号（Sinusoid Function）
r（t）=Asin( t + ) A -------- 幅值(magnitude) -------- 频率(frequency) -------- 初相位(initial phase) 正弦信号的拉氏变换
q i 1 k1
2
*t k)
结论（conclusion）
The time-domain response of a control system usually includes two parts: the transient response and the steady-state response. 线性常微分方程的解＝齐次方程通解＋ 特解 时域响应 ＝ 暂态响应 ＋ 稳态响应 ＝零输入响应 ＋ 零状态响应
控制系统分析方法： 时域分析(Time domain analysis)，根轨迹(root locus)， 频域分析(frequency domain analysis) 时域分析：典型测试信号下系统时域响应的动态(dynamic state)和稳态(static state)分析
典型测试信号的选用 温度调节系统---用阶跃信号(Step signal) 雷达跟踪系统---用斜坡信号 (Ramp signal) 飞船控制系统---用抛物线信号(Parable signal)
A=0.5为单位抛物线函数
r（t） At2
时间 t
单位抛物线函数拉氏变换为
2A R(s) 3 s
抛物线信号为匀加速信号，适于测试匀加速系统。
脉冲信号（Pulse Function）
理想情况:
A 0t r (t ) 0 t 0及 t A=1时， (t) -----单位脉冲函数
实际微分(real differential)环节
以惯性环节 G ( s)
1 为例进行分析 Ts 1
2. 单位阶跃响应(unit-step response) 3. 单位斜坡响应(unit-Ramp response) 4. 单位脉冲响应(unit-Impulse response)
用拉普拉斯变换工具可以使求解更加简单 步骤：1、求G(s)；2、求C(s)；3、求C(t)=L-1(C(s)）
d nc(t ) d n1c(t ) dc(t ) d mr (t ) d m1r (t ) dr(t ) a0 a1 an1 anc(t ) b0 b1 bm1 bmr (t ) dt dt dtn dtn1 dtm dtm1
第十一节 第十二节 第十三节 控制系统的稳态误差 给定稳态误差和扰动稳态误差 线性系统时域响应的计算机辅助 分析
Chapter3 Time-Domain Analysis of Control System
3.1 Typical input signal
3.2 Time-domain response of Linear systems . 3.3 Time-domain response performance specifications of Control System 3.4 First Order System transient response 3.5 Second Order System transient response 3.6 Higher Order System transient response 3.7 Build mathematical model as Time-domain response 3.8 Stability of Linear Control System
3.3Time-domain performance specifications
一、暂态性能（transient specifications） 1.阶跃响应指标（Step response specifications） 1) 最大超调量（maximum overshoot） 2) 上升时间（rise time) 3) 峰值时间(Peak time) 4) 调整时间(Settling time) 5) 振荡周期 (Period of oscillation) 6) 衰减率(Decay ratio)
斜坡信号（Ramp Function）
0 r (t ) At t0 t0
Rt t g（）=R
r（t）
A=1为单位斜坡函数
时间 t
斜坡函数的拉氏变换为：
A R(s) 2 s
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
抛物线信号（Parabolic Function）
0 r (t ) At2 t0 t0
3.9 Routh-Hurwitz criterion 3.10 Effects of the Closed-loop Weak Parameters 3.11 Steady-State Error of Control System 3.12 Given Steady-State Error and disturbance Steady-State Error 3.13 Computer-aided analysis of Linear systems Time-domain response
超调量σ% = A
overshoot
Peak time
峰值时间tp
B
Rise time
上 升 时间tr
Settling time
调节时间ts
动态性能指标定义2 (definition of dynamic performance indicators 2)
Settling time
调节时间 ts
动态性能指标定义3 (definition of dynamic performance indicators 3)
A
Mp%= A B
X 100%
B
tr
tp
ts
2.误差积分指标 1) 误差平方积分Integral Square Error ( ISE) J 1 e 2 (t )dt 0 2)时间乘误差平方积分Integral-of-Time-multiplied Square Error (ITSE) 2
C ( s) b0 S m b1S m1 bm 1S bm N ( s) 由传递函数得 ( s) G ＝ n n 1 R( s ) D( s ) S a1S an 1S an m b 0 (s zj) 输出的拉普拉斯变换 j1 1 ) C(s) ( 设 R(s) q r S S (s si ) (s 2 2knks 2 ) nk
i 1 k 1
q
r Bk (S knk ) Cknk 1 2 b0 Ai S i 1 s si k 1 s 2 2knks 2 nk
将输出进行拉普拉斯反变换得输出的时域形式(单位阶跃响应）
r Sit Dkeknkt *cos(ω nk 1ζ C(t ) b 0 Aie
J 2 te (t )dt
0
0
3)
误差绝对值积分Integral Absolute Error (IAE)
J 3 e(t ) dt
4)时间乘误差绝对值积分Integral-of-time-multiplied Absolute Error (ITAE) 8
二. 稳态误差(Steady-state Error) 1）给定稳态误差 ss 2）扰动稳态误差
J 4 t e(t ) dt
0
e r c
3.4一阶系统的暂态响应 First-order systems time-domain analysis 1.一阶系统数学模型(Math modeling of first-order systems)
典型的一阶系统: 惯性(inertial)环节 积分(integral)环节
线性常微分方程的解:
c(t ) c1 (t ) c 2 (t )
线性常微分方程的通解=齐次方程的通解+非齐方程的任一特解 特解：电网络中常常用电路的稳态响应（稳态分量）作为一个特解 齐次方程的通解：齐次解（方程右边=0） 也称自由分量、属于暂态分量 非齐次方程的特解：若系统稳定，稳态时输出中所有暂态分量将衰 减到零，即稳态分量与系统初始状态无关,强制分量
第三章 控制系统的时域分析
第一节
第二节
典型输入信号
线性定常系统的时域响应
第三节
第四节
控制系统时域响应的性能指标
一阶系统的暂态响应
第五节
第六节
二阶系统的暂态响应
高阶系统的暂态响应
第七节
过渡过程(transient process)---系统在外作用下由一个稳 态转移至另一个稳态的过程. 例:阶跃响应
典型过渡过程反映系统性能,时域性能指标定量说明系统性 能
第一节 典型输入信号 (Typical input signal)
阶跃响应指标(step response indicators)
Cp1 tc Cp2 ±5%C ess
Cr
C
tr
tp
ts
tc=0,Mp=0
tc=0,Mp>0
1) 最大超调量Mp (百分比超调 PO Percentage Overshoot)
Mp c () ymax yr ymax yr Mp ymax yr 0
r（t） A
Unit pulse function
实际情况:
du (t ) (t ) dt
h
时间 t
可用于测试系统抗冲击能力
正弦信号（Sinusoid Function）
r（t）=Asin( t + ) A -------- 幅值(magnitude) -------- 频率(frequency) -------- 初相位(initial phase) 正弦信号的拉氏变换
q i 1 k1
2
*t k)
结论（conclusion）
The time-domain response of a control system usually includes two parts: the transient response and the steady-state response. 线性常微分方程的解＝齐次方程通解＋ 特解 时域响应 ＝ 暂态响应 ＋ 稳态响应 ＝零输入响应 ＋ 零状态响应
控制系统分析方法： 时域分析(Time domain analysis)，根轨迹(root locus)， 频域分析(frequency domain analysis) 时域分析：典型测试信号下系统时域响应的动态(dynamic state)和稳态(static state)分析
典型测试信号的选用 温度调节系统---用阶跃信号(Step signal) 雷达跟踪系统---用斜坡信号 (Ramp signal) 飞船控制系统---用抛物线信号(Parable signal)
A=0.5为单位抛物线函数
r（t） At2
时间 t
单位抛物线函数拉氏变换为
2A R(s) 3 s
抛物线信号为匀加速信号，适于测试匀加速系统。
脉冲信号（Pulse Function）
理想情况:
A 0t r (t ) 0 t 0及 t A=1时， (t) -----单位脉冲函数
实际微分(real differential)环节
以惯性环节 G ( s)
1 为例进行分析 Ts 1
2. 单位阶跃响应(unit-step response) 3. 单位斜坡响应(unit-Ramp response) 4. 单位脉冲响应(unit-Impulse response)
用拉普拉斯变换工具可以使求解更加简单 步骤：1、求G(s)；2、求C(s)；3、求C(t)=L-1(C(s)）
d nc(t ) d n1c(t ) dc(t ) d mr (t ) d m1r (t ) dr(t ) a0 a1 an1 anc(t ) b0 b1 bm1 bmr (t ) dt dt dtn dtn1 dtm dtm1
第十一节 第十二节 第十三节 控制系统的稳态误差 给定稳态误差和扰动稳态误差 线性系统时域响应的计算机辅助 分析
Chapter3 Time-Domain Analysis of Control System
3.1 Typical input signal
3.2 Time-domain response of Linear systems . 3.3 Time-domain response performance specifications of Control System 3.4 First Order System transient response 3.5 Second Order System transient response 3.6 Higher Order System transient response 3.7 Build mathematical model as Time-domain response 3.8 Stability of Linear Control System
3.3Time-domain performance specifications
一、暂态性能（transient specifications） 1.阶跃响应指标（Step response specifications） 1) 最大超调量（maximum overshoot） 2) 上升时间（rise time) 3) 峰值时间(Peak time) 4) 调整时间(Settling time) 5) 振荡周期 (Period of oscillation) 6) 衰减率(Decay ratio)
斜坡信号（Ramp Function）
0 r (t ) At t0 t0
Rt t g（）=R
r（t）
A=1为单位斜坡函数
时间 t
斜坡函数的拉氏变换为：
A R(s) 2 s
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
抛物线信号（Parabolic Function）
0 r (t ) At2 t0 t0
3.9 Routh-Hurwitz criterion 3.10 Effects of the Closed-loop Weak Parameters 3.11 Steady-State Error of Control System 3.12 Given Steady-State Error and disturbance Steady-State Error 3.13 Computer-aided analysis of Linear systems Time-domain response
超调量σ% = A
overshoot
Peak time
峰值时间tp
B
Rise time
上 升 时间tr
Settling time
调节时间ts
动态性能指标定义2 (definition of dynamic performance indicators 2)
Settling time
调节时间 ts
动态性能指标定义3 (definition of dynamic performance indicators 3)
A
Mp%= A B
X 100%
B
tr
tp
ts
2.误差积分指标 1) 误差平方积分Integral Square Error ( ISE) J 1 e 2 (t )dt 0 2)时间乘误差平方积分Integral-of-Time-multiplied Square Error (ITSE) 2
C ( s) b0 S m b1S m1 bm 1S bm N ( s) 由传递函数得 ( s) G ＝ n n 1 R( s ) D( s ) S a1S an 1S an m b 0 (s zj) 输出的拉普拉斯变换 j1 1 ) C(s) ( 设 R(s) q r S S (s si ) (s 2 2knks 2 ) nk
i 1 k 1
q
r Bk (S knk ) Cknk 1 2 b0 Ai S i 1 s si k 1 s 2 2knks 2 nk
将输出进行拉普拉斯反变换得输出的时域形式(单位阶跃响应）
r Sit Dkeknkt *cos(ω nk 1ζ C(t ) b 0 Aie
J 2 te (t )dt
0
0
3)
误差绝对值积分Integral Absolute Error (IAE)
J 3 e(t ) dt
4)时间乘误差绝对值积分Integral-of-time-multiplied Absolute Error (ITAE) 8
二. 稳态误差(Steady-state Error) 1）给定稳态误差 ss 2）扰动稳态误差
J 4 t e(t ) dt
0
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3.4一阶系统的暂态响应 First-order systems time-domain analysis 1.一阶系统数学模型(Math modeling of first-order systems)
典型的一阶系统: 惯性(inertial)环节 积分(integral)环节
线性常微分方程的解:
c(t ) c1 (t ) c 2 (t )
线性常微分方程的通解=齐次方程的通解+非齐方程的任一特解 特解：电网络中常常用电路的稳态响应（稳态分量）作为一个特解 齐次方程的通解：齐次解（方程右边=0） 也称自由分量、属于暂态分量 非齐次方程的特解：若系统稳定，稳态时输出中所有暂态分量将衰 减到零，即稳态分量与系统初始状态无关,强制分量
第三章 控制系统的时域分析
第一节
第二节
典型输入信号
线性定常系统的时域响应
第三节
第四节
控制系统时域响应的性能指标
一阶系统的暂态响应
第五节
第六节
二阶系统的暂态响应
高阶系统的暂态响应
第七节