微积分讲义第三版下册
《微积分》讲义
《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念：f＝A要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件：f＝A f＝A，f＝A 例：判定是否存在？三、极限的四则运算法则⑴＝f±g⑵＝f·g⑶＝……g≠0⑷k·f＝k·f四、例：⑴⑵⑶⑷五、两个重要极限⑴＝1 ＝1⑵＝e ＝e ………型理论依据：⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，则：limg＝A⑵单调有界数列必有极限。
例题：⑴＝⑵＝⑶＝⑷＝⑸＝六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）七、函数的连续性1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量x：⑴x0时，y0。
即：y＝0⑵f＝f⑶左连续：f＝f右连续：f＝f2、函数y＝f在区间上连续。
3、连续函数的性质：⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、（g()≠0）在点处连续。
⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，则复合函数f(j(x)) 在点处连续。
例：＝＝＝4、函数的间断点：⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。
⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。
⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。
5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。
⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。
例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。
第二章一元函数微分学一、导数1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f＝A f'＝A ……y'，，。
2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。
3、基本初等函数的导数公式：⑴＝0⑵＝n·⑶＝，＝⑷＝·lnɑ，＝⑸＝cosx，＝－sinx＝x，＝－＝secx·tanx，＝－cscx·cotx⑹＝－＝－4、导数的运算：⑴、四则运算法则：＝±＝·g(x)＋f(x)·＝例：求下列函数的导数y＝2－5＋3x－7f(x)＝＋4cosx－siny＝⑵、复合函数的求导法则：y u，u v，v w，w x y x'＝''''例：y＝lntanxy＝lny＝arcsin⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y 的式子，先对y求导，然后y再对x求导。
最新人大版微积分第三版课件习题课第8章教学讲义ppt
设 P 0 是 函 数 f(P )的 定 义 域 的 聚 点 ， 如 果 f(P )在 点 P 0 处 不 连 续 ， 则 称 P 0 是 函 数 f(P )的 间 断 点 . 注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能
在曲线上的所有点处均间断。
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”： P l iP m 0f(P)f(P 0) (P 0 定义)区域
高阶偏导数
函 数 z f(x ,y )的 二 阶 偏 导 数 为 x x z x 2z2fx(xx,y), y yz y22 zfyy(x,y), y x zx2 zyfx(yx,y), x y zy2 zxfy(xx,y).
混合偏导 ( 注意：混合偏导数相等的条件) 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
d z A x B y .
定理1（可微分必要条件）如果函数z f(x, y)在
点(x, y)可微分，则该函数在点(x, y)的偏
导数z 、z x y
必存在，且函数z
f(x,
y)
在点(x, y)的全微分为
dzxzdxyzdy.
定 理 ２ （ 可 微 分 的 充 分 条 件 ） 如 果 函 数 zf(x,y)
y y 0
f yx x 0 lx i0m f(x 0 ,y 0 y y )f(x 0 ,y 0)fy(x0,y0)
y y 0
f x lx i0m f(x x , y x )f(x ,y )fx(x,y) f y lx i0m f(x ,y y y )f(x ,y) fy(x,y)
复合函数求导法则
1、zu vFra bibliotekx型z f ( u , v )u , ( x )v ,( x )
d dx z u zd du x v zd dx v .
教学课件微积分第三版
点x0为函数f(x)在区间I上的最大值点;若恒有
f(x0)≤f(x),则称函数值f(x0)为函数f(x)在区
间I上的最小值,点x0为函数f(x)在区间I上的最
小值点.
第一章 函数与极限
1.2 几何与经济方面函数关系式
1.几何方面函数关系式
(1)矩形面积S等于长x与宽u的积,即
又已知生产xkg产品的总成本为
1
C=C(x)=9x2+6x+100
所以每日产品全部销售后获得的总利润
1
1
L=L(x)=R(x)-C(x)= − 3 2 + 46x - 9 2 + 6x + 100
4
=- x2+40x-100(元)
9
1
由于产量x>0;又由于销售价格p>0,即46-3x>0,得到0<x<138,因而函数定
1.5 未定式极限
2.第二种基本情况
已知函数R(x)与S(x)中至少有一个含二次根式,当x→x0(有限值)时,
() 0
若R(x)→0且S(x)→0,则无理分式极限 lim
为 型未定式极限.
→0 () 0
解法:分子R(x)、分母S(x)同乘以它们的有理化因式,并注意到在
x→x0的过程中,恒有x-x0≠0,因而约去使得分子、分母同趋于零的
义域为0<x<138.
第一章 函数与极限
1.3 极限的概念与基本运算法则
定义1.8 已知数列
y1,y2,y3,y4,…,yn,…
当n→∞时,若一般项yn无限接近于常数A,则称当n→∞时数列yn的极
限为A,记作
微积分 第三版 下册共38页
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
微积分(第三版)课件：多元函数微积分
轴的直准线 C 上.所以 的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组 的坐标，n个实数
称为 中的一个点，也称该点 就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点 为
与
间的距离定义
第二节 多元函数
一、二元函数 二、二元函数的极限与连续 三、多元函数
第二节 多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的 对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、 连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元 函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且 密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一 元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之 间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱 面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就 平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及 其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个 以原点为圆心的圆盘D ，使 ，则称E为有界区域， 否则称E为无界区域.
微积分下册知识点
曲 為 viZk#微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数 (一)向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设a (a x ，a y ,a z )，b (b x ,b y ,b z )， 则 a b (a xb x ,a y b y , a z b z ), a ( a *, a $, a z )；5、 向量的模、方向角、投影：1) 向量的模：「| 后—y 2—?；2) 两点间的距离公式：AB \」；(X 2 xj 2(y 2 y i )2(Z 2 zj 23)方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角,,2 2 2cos cos cos 1(二)数量积，向量积 1、数量积： a b la b cos1)a a a22)a4) 方向余弦:COSx 一，cosry, cos r5)投影：Prj u a a cos ，其中为向量a 与u 的夹角肅為viZmf-a b a x b x a y b y a z b z2、向量积：cab大小：|a||b sin ，方向：a ,b , c符合右手规则1) a a02) a// b a b0■ i■ j ka b a x a y a zb x b y b z运算律：反交换律b a a b(三)曲面及其方程1、曲面方程的概念：S:f(x,y,z) 02、旋转曲面：yoz 面上曲线C : f (y, z) 0，2 2绕y轴旋转一周：f (y, x z ) 0/ 2 2-绕z轴旋转一周：f( \ X y , z) 03、柱面：F(x,y) F (x, y) 0表示母线平行于z轴，准线为z 0 4、二次曲面(不考)0的柱面2x0 01）椭圆锥面：—2a2y b 2z 22）椭球面: 2x 2 a 2y b 2旋转椭球面: 2x ~2 a2y 2 a 2z 2 c 3) 单叶双曲面:2 x2 a y b 22 z 2c 4) 双叶双曲面:2 x2a2y b 22 z 2c5) 椭圆抛物面:2y b 2 6) 双曲抛物面 （马鞍面）2x ~2 a7) 椭圆柱面:2x a 2 2y b 2 8) 双曲柱面:9) 抛物柱面:2 x2a 2x2y b 2（四）空间曲线及其方程1、ayF (x, y,z) 般方程：G(x,y,z)曲 為 viZk#x x(t)x a cos t 2、参数方程：yy（t ），如螺旋线：y a sin tz z(t) zbt3、空间曲线在坐标面上的投影H （x,y ） 00 '消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影z 0（五）平面及其方程x截距式方程：aAx 0 By 。
人大版微积分第三版课件隐函数的导数
若参数方程
x y
(t (t
)确定 )
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
(t) 0时, 有
dy dx
dy dt dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t )
(t) 0时, 有
dt
dx dx dt dy dt dy
dx dt
1 dy
(t) (t)
(此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 .
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
隐函数求导方法:
但此隐函数不能显化 .
两边对 x 求导
(含导数 y的方程)
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
解: 方程两边对 x 求导
位等于锥高的一半时水面上升的速度.
解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的
rh
x
体积为 V , 则
13
R2h
13
r2(h
x)
R2
3h2
[
同济大学微积分第三版课件第三章第二节
aa
注 本题中的两个积分结果也是常用的积分基本公式.
c o s 2x 1 1 c o s2 x , s in 2x 1 1 c o s2 x ,
2
2
sin2x2sinxcosx,
c o s c o s 1 2 c o s c o s , .
例9 计算下列积分:
⑴ sin3 xdx,
二、第二类换元法
定理 设 x t 是单调的、可导函数, 且t 0,
又 f tt有原函数, 则有换元公式
fxd x fttd t t 1x.
证 设 f tt的原函数为 t , 记
⑵ sin2xcos5xdx,
⑶ cos4 xdx,
⑷ sec6 xdx.
解 ⑴ s in 3 x d x 1 c o s 2 x d c o s x
cosx1cos3xC. 3
⑵ s in 2 x c o s 5 x d x s in 2 x 1 s in 2 x 2 d s in x
f ttdt . t1x
上述积分方法即称为第二类换元积分法.
一般, 当被积函数中含有 x2a2, a2x2等因子时
可通过适当的三角代换来求出相应的积分. 常用代换有:
a 2 x 2 , 作代换, x asint, x 2 a 2 , 作代换 xatant, x 2 a 2 , 作代换 xasect. a b x ,作代换 abx t.
解⑴
cscxdxsi1nxdx
2sin
1 xcos
x
dx
1
sec2
x 2
2 tanx
dx
22
2
微积分下册知识点
微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =，),,(z y x b b b b = ，则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 5） 投影：ϕcos Pr a a j u=，其中ϕ为向量a 与u的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅2）⇔⊥b a 0=⋅b a2、 向量积：b a c⨯=大小：θsin b a ，方向：c b a,,符合右手规则1）0 =⨯a a2）b a //⇔0 =⨯b a运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x F 的柱面4、 二次曲面（不考）1） 椭圆锥面：22222z by a x =+2） 椭球面：1222222=++c z b y a x旋转椭球面：1222222=++cz a y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+c zb y a x4） 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x5） 椭圆抛物面：z by a x =+22226） 双曲抛物面（马鞍面）：z b ya x =-22227） 椭圆柱面：12222=+b y a x8） 双曲柱面：12222=-bya x9） 抛物柱面：ay x =2 （四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s =，5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， 第二章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
微积分下册知识点
微积分下册知识点第一章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =，),,(z y x b b b b = ，则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222zy x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 5） 投影：ϕcos Pr a a j u=，其中ϕ为向量a 与u的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅2）⇔⊥b a 0=⋅b a2、 向量积：b a c⨯=大小：θsin b a ，方向：c b a,,符合右手规则1）0 =⨯a a2）b a //⇔0 =⨯b a运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x F 的柱面4、 二次曲面（不考）1） 椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2） 椭球面：1222222=++c z b y a x旋转椭球面：1222222=++cza y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+cz b y a x4） 双叶双曲面：1222222=--czb y a x5） 椭圆抛物面：z by a x =+22226） 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22227） 椭圆柱面：12222=+b ya x8） 双曲柱面：12222=-by a x9） 抛物柱面：ay x =2（四） 空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x H （五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n =，4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s =，5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， 第二章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
微积分下册
微积分下册微积分是数学的一个重要分支，研究了函数的变化率和积分。
它是物理学、工程学和计算机科学等其他领域的基础。
本文将介绍微积分下册的内容，包括导数、定积分、不定积分和微分方程等知识点。
导数是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数的计算方法有很多，包括用极限定义、求导法则和微分等。
导数在实际问题中有广泛的应用，例如求速度、加速度、变化率等。
在导数的学习中，我们会遇到常见函数的导数，如幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
通过掌握这些函数的导数性质，我们可以更好地应用导数来解决实际问题。
第二章定积分定积分是微积分中的另一个重要概念，它描述了函数在一个区间上的累积变化量。
定积分的计算可以通过求和的方法，将区间划分成无限多个微小的小区间，然后将每个小区间上的函数值相乘再求和。
在定积分的学习中，我们会遇到一些不可积函数的情况，这时我们需要借助极限的概念，使用黎曼和或达布和的方法来逼近定积分的值。
定积分在物理学中有着广泛的应用，例如计算曲线下的面积、质量、体积等。
第三章不定积分不定积分是定积分的逆运算，它描述了函数的原函数。
不定积分的计算可以通过找到一个函数，它的导数等于给定函数，这个函数就是原函数。
不定积分的计算方法有很多，包括换元法、分部积分法和三角换元法等。
掌握不定积分的技巧对于解决一些复杂函数的积分问题非常重要。
不定积分在求解微分方程、计算曲线长度和求解面积等问题时都有着重要的应用。
第四章微分方程微分方程是微积分中的一个重要内容，它描述了含有未知函数及其导数的关系式。
微分方程的解可以通过积分和求导的操作来得到。
微分方程在自然科学和工程科学中有广泛的应用，例如物理学中的运动方程、电路中的电流方程等。
在微分方程的学习中，我们会遇到一阶和高阶微分方程，它们的解需要根据给定条件来确定。
解微分方程的方法包括分离变量法、变量代换法和特殊的方程形式等。
微积分下册主要介绍了导数、定积分、不定积分和微分方程等知识点。