分布列与数学期望
概率论分布列期望方差习题及答案
概率论分布列期望方差习题及答案The following text is amended on 12 November 2020.圆梦教育 离散型随机变量的分布列、期望、方差专题姓名：__________班级：__________学号：__________1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为,,，假设各盘比赛结果相互独立。
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.2．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的． (1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数；(2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率．3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p ，出现“×”的概率为q .若第k 次出现“○”，则a k =1；出现“×”，则a k =1-.令S n =a 1+a 2+…+a n ()n N *∈.(1)当12p q ==时，求S 6≠2的概率；(2)当p =31，q =32时，求S 8=2且S i ≥0(i =1,2,3,4)的概率.4．在一个有奖问答的电视节目中，参赛选手顺序回答123A A A 、、三个问题，答对各个问题所获奖金（单位：元）对应如下表：当一个问题回答正确后，选手可选择继续回答下一个问题，也可选择放弃．若选择放弃，选手将获得答对问题的累计奖金，答题结束；若有任何一个问题回答错误，则全部奖金归零，答题结束．设一名选手能正确回答123A A A 、、的概率分别为421534、、，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率均为12，且各个问题回答正确与否互不影响．（Ⅰ）按照答题规则，求该选手1A 回答正确但所得奖金为零的概率；（Ⅱ）设该选手所获奖金总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．5．某装置由两套系统M,N 组成，只要有一套系统工作正常，该装置就可以正常工作。
分布列,期望,方差
第二十六讲 分布列，期望，方差典型例题选读例1.2008年某地区发现禽流感疑似病例共10例，其中有4位禽流感患者，若从10例禽流感疑似病例中任意抽取4例进行分析诊断，并对其中的禽流感患者采用一种新的治疗方案进行治疗，每位禽流感患者被治愈的概率为13。
（1）求4例禽流感疑似病例中恰有2位禽流感患者且只有1位被治愈的概率；（2）设ξ表示4例禽流感疑似病例中被确诊为禽流感患者的人数，求ξ的分布列及数学期望。
解：（1）投4例禽流感疑似病例中恰有2位禽流感患者的概率为2P ，则2264241037C C P C == 2位禽流感患者中只有1位被治愈的概率为12124339C ⨯⨯= 所以，4例禽流感疑似病例中恰有2位禽流感患者且只有1位被治愈的概率为3477921⨯= ；（2）43166444101018(0),(1)1421C C C P P C C ξξ====== ，221364644441010103411(2),(3),(4)735210C C C C P P P C C C ξξξ========= ∴数学期望0123414217352105E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=例2.某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的概率分别如下：（Ⅰ）求a 的值和ξ（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率。
解：（Ⅰ）由概率分布的性质得0.1+0.3+2a +a =1,解得a =0.2. ξ∴的概率分布为00.110.3E ξ∴=⨯+⨯+（Ⅱ）设事件A 表示“两个月内共被投拆2次”；事件1A 表示“两个月内有一个月被投诉2次，另外一个月被投诉0次”；事件2A 表示“两个月内每个月均被投诉1次”.则由事件的独立性得：112()(2)(0)20.40.10.08p A C P P ξξ====⨯⨯=.212()()()0.080.090.17P A P A P A =+=+=.故该企业在这两个月内共被消费者投拆2次的概率为0.17.例3 如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字. 质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到B ）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前两步（如由A 到C ），当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到D ）. 在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止. （I ）求点P 恰好返回到A 点的概率；（II ）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的数学期望. 解：（I ）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的， 其概率为31621==P ，因为只投掷一次不可能返回到A 点，若投掷两次点P 就恰好能返回到A 点，则上底面出现的两个数字应依次为：（1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为313)31(22=⋅=P ；若投掷三次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字应依为：（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为913)31(33=⋅=P ；若投掷四次点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1），其概率为811)31(44==P 。
由分布列求期望、方差(共11张PPT)
[解析] (1)依题意，随机变量 ξ 的取值是 2、3、4、5、6. 因为 P(ξ＝2)＝3822＝694； P(ξ＝3)＝2×8232＝1684； P(ξ＝4)＝32＋28×2 3×2＝2614； P(ξ＝5)＝2×832×2＝1624； P(ξ＝6)＝2×82 2＝644. 所以，当 ξ＝4 时，其发生的概率最大，为 P(ξ＝4)＝2614.
• 【典例2】 编号1,2,3的三位学生随意入座编号为 1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编 号相同的学生的个数是ξ.
• (1)求随机变ຫໍສະໝຸດ ξ的概率分布；• (2)求随机变量ξ的数学期望和方差．
• [分析] (1)随机变量ξ的意义表示对号入座的学生个数； 它的取值只有(zhǐyǒu)0、1或3，若2人对号入座第3人 必对号入座，所以ξ＝2不存在．由排列知识与等可能 事件概率公式易求分布列．
• 回归课本 • 1.一般地，若离散(lísàn)型随机变量ξ的概率分布列为
ξ
x1
x2
…
xn
…
P
p1
p2
…
pn
…
• 则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数学期望 或平均值、均值，数学期望又简称为期望．它反映了 离散(lísàn)型随机变量取值的平均水平．
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• 3．如果离散型随机变量ξ所有可能的取值是x1， x2，…，xn，…且取这些值的概率分别是p1，p2，…， pn，…，设Eξ是随机变量ξ的期望，那么把Dξ＝(x1－ Eξ)2·p1＋(x2－Eξ)2·p2＋…＋(xn－Eξ)2·pn＋…叫做 随机变量ξ的均方差(fānɡ chà)，简称方差(fānɡ chà)．Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记 作σξ.随机变量的方差(fānɡ chà)与标准差都反映了随 机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．其中 标准差与随机变量本身有相同的单位．
概率论,方差,分布列知识总结
分布列、期望、方差知识总结一、知识结构二、知识点1.随机试验的特点:①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．2.分类随机变量（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
）离散型随机变量在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．连续型随机变量对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.3.离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2, ,x i , ,x nX取每一个值xi(i=1,2,）的概率P(ξ=x i）＝P i，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列性质：①pi≥0, i =1，2，…；②p1 + p2 +…+p n= 1．③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
4.求离散型随机变量分布列的解题步骤例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X可能的取值为：1,0且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3因此所求分布列为：引出二点分布如果随机变量X的分布列为：其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.超几何分布一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N MnNC C P X k k m C --===，其中{}min,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤ 则称随机变量X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量解题步骤：例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率解：设摸出红球的个数为X,则X 服从超几何分布,其中30,10,5N M n === X 可能的取值为0，1，2，3，4, 5. 由题目可知，至少摸到3个红球的概率为(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ==+=+=≥324150102010201020555303030C C C C C C C C C =++ ≈0.191答：中奖概率为0.191.nNn MN MCC C -0nNn MN MCC C 11--nNm n MN m MCC C --条件概率1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B 的交（或积作D=A ∩B 或D=AB3.条件概率计算公式:P(B|A)相当于把A 看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率:解题步骤：例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二取到次品的概率.解：设 A = {第一个取到次品}， B = {第二个取到次品}，所以，P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9..0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P .1)|(0)()|()(0)A (P ≤≤⋅=>A B P A P A B P AB P （乘法公式）；，则若.151)(21023==⇒C C AB P .103)(=A P相互独立事件2.相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
概率分布与数学期望
例谈离数型随机变量概率分布与数学期望数学期望=每个个数X 每个它的概率，再相加从2008年全国各省市高考数学试题中，概率统计考题，可谓“军书十二卷，卷卷有爷名”，显然它是高考的必考内容，特别是离散型随机变量概率分布与数学期望内容的考题分布极为广泛，确实是一个重要考点，但纵观其解法，可以归纳为定义法、公式法、分析法与变量推理法四种，2009年考生务必对上述四种解题方法引起高度重视，本文就其命题特点，解题规律作专题阐述，以飨读者。
一、定义法求解概率分布与数学期望定义法即根据随机事件的概率、随机变量、概率分布、数学期望的定义求解概率分布与数学期望的方法。
可使用本法解题的考题，一般以古典离散型概率为特征，它可直接利用排列组合的加法原理与乘法原理写出离散型随机变量概率的计算式，进而求得随机变量各值条件下的概率分布与数学期望。
此类题型解题思路明确，利用定义法求解，其方法容易掌握。
例1，（08浙江理）一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79． （1）若袋中共有10个球，（1）若袋中共有10个球，（ⅰ）求白球的个数；（ⅱ）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望E ξ． （2）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于710．并指出袋中哪种颜色的球个数最少．分析：本题是以古典概率为题材的高考题，由于从袋中摸球是有回放地摸球，且每次摸球都是互相独立的，系互不影响事件，所发生的概率是等可能的。
故可根据概率定义，利用排列组合计算方法求解随机变量各值的概率。
解：袋中共有10个球，且至少得到1个白球的概率为97，设其中有X 个白球，我们将至少得到一个白球的事件为A ，则P （A ）=97，又∵P （A ）=9721021110=+C C C C x x ，∴9721021110=+C C C C x x ，化简后解之得x=5或14（舍去），∴袋中有5个白球。
人教A版选修2-3离散型随机变量及其分布列与数学期望
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）离散型随机变量及其分布列与数学期望一、知识梳理二、教学重、难点三、作业完成情况四、典题探究例1 从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中，任取1球，被取出的球的编号为X,写出随机变量X的所有可能取值，并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果.例2 从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即1,0,X ⎧=⎨⎩当取到白球时，当取到红球时，求随机变量X 的概率分布．例3 从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值呢？求X 的分布列．例4 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列.例5一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，且给出如下规则：凡愿摸彩者，每人交1元钱作为“手续费”，然后一次从袋中摸出5个球，中彩情况如表：摸5个球 中彩给出的奖品 恰有5个白球 1个帽子（价值20元） 恰有4个白球 1张贺卡（价值2元） 恰有3个白球 纪念品（价值0．5元） 其他情况同乐一次（无任何奖品）试计算：⑴摸一次球能获得20元奖品的概率P ；⑵求中彩数额ξ的分布列.五、演练方阵A 档（巩固专练）一、选择题1.下列变量中不是随机变量的是( ).A.某人投篮6次投中的次数B.某日上证收盘指数C.标准状态下,水在100C 时会沸腾D.某人早晨在车站等出租车的时间2.下列随机变量中不是离散型随机变量的是( ). A.掷5次硬币正面向上的次数MB.某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间TC.从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和YD.将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X 3.设X 的分布列如表1,则m 等于( ).表1 X-11P1213mA.0B.16 C.13D. m 的取值不确定4. 下列各表中可作为随机变量X 的分布列的是（ ）. A ． Ｂ．Ｃ．Ｄ． 5.某12人组成的兴趣小组中有5名“三好学生”，现从中任意选6 人参加竞赛，用X 表示这6人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于3357612C C C 的是（ ）.A ．(2)P X =B ．(3)P X = C. (2)P X ≤D. (3)P X ≤二、填空题6. 袋中有3 个红球, 4 个白球, 5 个蓝球,从袋中摸出一个球,摸到红球得2分,摸到白球得1分,摸到蓝球得0分,若从袋中取出一个球得分为X,则(2)P X == .7.设随机变量X 的概率分布列为1)(+==k ck X P ，,3,2,1,0=k 则=c ． 8. 设某运动员投篮命中率为0.85,则他一次投篮投中次数X 的分布列为 . 三、解答题9. 某产品40件，其中有次品3件，现从其中任取3件，求取出的3件产品中次品数X 的分布列．（结果用组合数符号表示出来即可）10. 设随机变量X 只能取5,6,7,…，16这12个值,且取每个值的概率均相同,求： (1)(8)P X >； (2) (614)P X <≤.X 1- 0 1 P 0.5 0.3 0.4 X 1 2 3 P 0.5 0.8 0.3- X 1 2 3 P 0.2 0.3 0.4 X 1- 0 1 P 0 0.4 0.6一、选择题1. 设随机变量X 的分布列为1()(),1,2,33i P X i a i ==⋅=，则a 的值为（ ）. A ．1B.913C.1113D. 27132. 设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为( ).A.46101010100C C C B. 46108010100C C C C. 46802010100C C C D. 46208010100C C C 3. 要从10名女生与5名男生中选出6名学生组成课外活动小组，记其中的女生人数为X. 如果按性别依比例采用分层抽样，记其中的女生人数为a.则()P X a =的值为（ ）.Ａ．33105615C C CＢ．615615C AＣ．42105615C C CＤ．42105615A A C4. 抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X ，则“X ≥5”表示的实验结果为（ ）.Ａ．第一枚6点，第二枚2点 Ｂ．第一枚5点，第二枚1点 Ｃ．第一枚1点，第二枚6点 Ｄ．第一枚6点，第二枚1点5. 从标有1~10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有（ ）.Ａ．17个 Ｂ．18个 Ｃ．19个 Ｄ．20个 二、填空题．6. 甲、乙两队进行围棋对抗赛，每队各出5名队员进行5场比赛，每场比赛结束后胜队得3分，负队得0分．若用X 表示甲队的总得分，Y 表示乙队的总得分，则有x y += ．7.设随机变量X 的分布列为10)(i i X P ==，,4,3,2,1=i 则)271(<≤X P = ． 8. 在15个村庄中，有7个村庄交通不太方便，现从中任意选出10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄个数，则(4)P X ≤= ． （结果用组合数符号表示出来即可）三、解答题9. 在一个数学建模小组中有2男3女，从中任选2人，用X 表示所选2人中女生的人数，写出X 的取值集合并计算(03)P X <<．10.在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x ，y ，记2X x y x =-+-．（1）求随机变量X 的最大值，并求事件“X 取得最大值”的概率.（2）求随机变量X 的分布列．一、选择题2.在100件产品中，有8件次品，现从中任取10件用X 表示10件产品中所含的次品件数，下列概率中等于1010069248C C C ⋅的是 ( ). A ．)2(=X P B.)2(≤X P C.)4(=X P D.)4(≤X P 2．已知随机变量X 的分布列如下表：则m 的值为 ( ).A.0.1B.0.2C.0.3D.0.43. 设随机变量X 的分布列为()15k P X k ==，12345k =，，，，，则1522P X ⎛⎫<< ⎪⎝⎭等于（ ）.Ａ．215 Ｂ．25 Ｃ．15 Ｄ．1154．设随机变量X 的概率分布列为kck X P 2)(==，6,5,4,3,2,1=k ，其中c 为常数，则)2(≤X P 的值为 （ ）.A ．43 B.2116 C.6463 D.63645.有一个电话亭中装有一部公用电话，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为)(n P ，)(n P 与时刻t 无关，统计得到：1()(0)(05),()20(6),nP n P n n ⎧⋅≤≤⎪=⎨⎪≥⎩，那么在某一时刻，这个电话亭一个人也没有的概率)0(P 的值为 （ ）. A.6332 B.3265 C. 3163 D. 3253二、解答题6．学校组织一次夏令营活动，有8名同学参加，其中5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X 名男同学被抽到. 求：（1）X 的分布列；（2）去执行任务的同学中有男有女的概率.7. 在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个.现从中任意取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球.重复以上操作，最多取3次，在这个过程中如果取出蓝色球则不再取球. 求：(1)最多取两次就结束的概率；(2)整个过程中恰好取到2个白球的概率； (3)取球次数X 的分布列.X12 34 P0.1 0.2m0.48．袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时停止，每个球每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需要的取球次数．（1）求袋中原有白球的个数； （2）求随机变量ξ的概率分布； （3）求甲取到白球的概率．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分别为x ，y ，记x y x -+-=2ξ．求：（1）随机变量ξ的最大值，以及事件“ξ取得最大值”的概率； （2）随机变量ξ的分布列．10.从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽到的概率相同，在下列两种情况下，分别求出直到取出合格品为止所需抽取次数X 的分布列． （1）每次取出的产品都立即放回，然后再取下一件产品； （2）每次取出一件次品后总以一件合格品放回该产品中．离散型随机变量及其分布列与数学期望答案四、典题探究例1 解：X 的所有可能取值为123...101,2,3,...,10)X k k ==，，，，，{}（表示在试验中取出第k 号球.例2 解：由题意知42(0)645P X ===+，63(1)645P X ===+，故随机变量X 的概率分布列为2(0)5P X ==，3(1)5P X ==，概率分布列如表：X0 1 P2535 例3 解：从箱中取出两个球的情形有以下六种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．当取到2白时，结果输2元，随机变量X ＝－2； 当取到1白1黄时，输1元，随机变量X ＝－1；当取到1白1黑时，随机变量X ＝1；当取到2黄时，X ＝0； 当取到1黑1黄时，X ＝2；当取到2黑时，X ＝4． 则X 的可能取值为－2，－1，0，1，2，4．225)2(21226==-=C C X P ；112)1(2121216==-=C C C X P ； 661)0(21222===C C X P ；114)1(2121416===C C C X P ；334)2(2121214===C C C X P ，111)4(21224===C C X P ．从而得到X 的分布列如表：X－2－1124P225 112 661 114 334 111 例4 解：P （ξ=0）=31038C C =157，P （ξ=1）=3102812C C C =157，P （ξ=2）=3102218C C C =151，所以ξ的分布列如表： ξ0 1 2P157157 151 例5解：⑴概率565121132C P C ==.⑵565121(20)132C P C ξ===，4166512155(2)13244C C P C ξ====·；32662125025(0.5)13266C C P C ξ====·；661(0)1322P ξ===. 故中彩数额ξ的分布列为：五、演练方阵A 档（巩固专练）一、选择题1.C.提示：由随机变量的概念可知.2.B.提示：由离散型随机变量的概念可知.3.B.提示：由离散型随机变量分布列的性质可知,11123m ++=,故16m =. 4.D.提示：由分布列的性质可知.5.B.提示：根据题意可知,选了3名“三好学生”，故X=3. 二、填空题6.14. 提示：X=2表示从袋中摸出的是一个红球，其概率是313454=++. 7. 2512.提示：考查分布列性质，用各概率和是1来求出.ξ20 2 0.5 0P1132 544 2566 128.三、解答题9. 解：X 的所有可能取值为0，1，2，3，则X 服从参数为4033N M n ===，，的超几何分布．337340(0)C P X C ==，21373340(1)C C P X C ==，12373340(2)C C P X C ==，33340(3)C P X C ==． X ∴的分布列为X123P 337340C C 21373340C C C 12373340C C C 33340C C 10．解:设取每个值的概率为p,于是有121p =,112p =, 所以(8)P X >=(9)(10)(16)P X P X P X =+=++==811182121212123+++==个. (614)P X <≤=(7)(8)(14)P X P X P X =+=++=82123==. B 档（提升精练）一、选择题1. D. 提示： 由分布列的性质得:(1)(2)(3)P X P X P X =+=+= =2311113()()133327a a a a ⋅+⋅+⋅==，2713a ∴=.2. D. 提示：64802010100(6)C C P X C ⋅==. 3. C. 提示：如果按性别依比例分层抽样，从10名女生与5名男生中选出6名学生，则应选女生4人，男生2人，组成课外活动小组是无顺序的，故选C.4.D. 提示：由“X ≥5”知，最大点数与最小点数之差不小于5，只能选D.5.A. 提示：X 可能的取值是3，4，5，6，…，17，18，19，共有17个. 二、填空题6. 15.提示：无论胜负，共比赛了5场，故甲、乙两队的总得分是15分.7. 0.6.提示：)271(<≤X P =1230.6101010++=. 8. 2837467878781015C C C C C C C ++. X 0 1 P0.150.85三、解答题9．解：X 的可能取值为0，1，2，X ∴的取值集合为{}012，，． 1102232322559(03)(1)(2)10C C C C P X P X P X C C <<==+==+=。
离散型随机变量、分布列、数学期望、方差
离散型随机变量、分布列、数学期望、方差：一、框架第一方面：离散型随机变量及其分布列1. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
常用大写英文字母X 、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。
2.分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为： x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表ξx 1x 2…x i…P P 1 P 2 … P i …为随机变量ξ的分布列 3. 分布列的两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，… ⑵P 1+P 2+…=1.常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！第二方面：条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布1. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_B 都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A 、B 同时发生记作A·B ，则有P （A·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )★相互独立事件A ，B 有关的概率的计算公式如下表：事件A ，B 相互独立 概率计算公式 A ，B 同时发生 P (AB )＝P (A )P (B )A ，B 同时不发生 P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝[1－P (A )][1－P (B )]＝1－P (A )－P (B )＋P (A )P (B ) A ，B 至少有一个不发生 P ＝1－P (AB )＝1－P (A )P (B )A ，B 至少有一个发生 P ＝1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝P (A )＋P (B )－P (A )P (B )A ，B 恰有一个发生P ＝P (A B －＋A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B )＝P (A )＋P (B )－2P (A )P (B )2．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
2.3 离散型随机变量的分布列及其期望
2.3 离散型随机变量的分布列及其期望基础梳理1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．(3)分布列设离散型随机变量X可能取得值为x1，x2，…，x i，…x n，X取每一个值x i(i＝1,2，…，n)的概率为P(X＝x i)＝p i，则称表X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．(4)分布列的两个性质①p i≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋p n＝_1_.2．两点分布如果随机变量X的分布列为X 10P p q其中0<p<1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布．3．超几何分布列在含有M件次品数的N件产品中，任取n件，其中含有X件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝C k M C n－kN－MC n N(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列X 01…mP C0M·C n－0N－MC n NC1M C n－1N－MC n N…C m M C n－mN－MC n N为超几何分布列．4.二项分布在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为k ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率． 5.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n基础训练1．抛掷均匀硬币一次，随机变量为( )．A ．出现正面的次数B ．出现正面或反面的次数C ．掷硬币的次数D ．出现正、反面次数之和2．如果X 是一个离散型随机变量，那么下列命题中假命题是( )． A ．X 取每个可能值的概率是非负实数 B ．X 取所有可能值的概率之和为1C ．X 取某2个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和D ．X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值 或 ，它反映了离散型随机变量取值的 ．(2)方差称D (X )＝∑i ＝1n[x i －E (X )]2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均 ，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．数学期望 平均水平 偏离程度3．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )． A.316 B.14 C.116 D.5164．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任意抽取2个球，设2个球号码之和为X ，则X 的所有可能取值个数为( )． A ．25 B ．10 C ．7 D ．65．设某运动员投篮投中的概率为P ＝0.3，则一次投篮时投中次数的分布列是________． 6.小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是( )．A.49B.29C.427D.227由统计数据求离散型随机变量的分布列【例1】某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功 投资失败 192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是________．(1)可设出随机变量Y ，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．【训练1】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为35，且各次射击的结果互不影响．(1)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)；(2)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；(3)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列【例2】►某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资的期望．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．【训练2】着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．【例3】►(某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝112，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.本题考查了相互独立事件同时发生的概率求法以及分布列，期望的相关知识，公式应用，计算准确是解题的关键．【训练3】某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是12.同样也假定D受A、B和C感染的概率都是13.在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量．写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望)．【例4】►一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1 3.(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．【训练4】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列．巩固提升1、设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为______________；2、甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取)，两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6、0.5、0.4，能通过面试的概率分别是0.6、0.6、0.75.(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；(2)求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．3.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．4.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列、数学期望和方差．。
【精选】江苏版高考数学一轮复习专题11.3概率分布与数学期望方差讲理
专题11.3 概率分布与数学期望、方差【最新考纲解读】次独立重复试验的模【考点深度剖析】1. 江苏高考中，一般考古典概型、相互独立、二项概型基础上的随机变量的分布，期望与方差。
2. 随机变量的概率分布及期望，内容多，处理方式灵活，可以考查其中一块，可以内部综合，可以作为问题的背景与其他内容结合考，复习时要注重基础，以不变应万变.【课前检测训练】【判一判】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．()(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．()(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．()(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．()(5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．() (7)条件概率一定不等于它的非条件概率．() (8)相互独立事件就是互斥事件．()(9)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．()(10)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .() (11)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率．() (12)小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P ＝C13·⎝⎛⎭⎫131·⎝⎛⎭⎫1－133－1＝49.()(13)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．()(14)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．()(15)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．() (16)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．()(17)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．()1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.×8.×9.×10.×11.√12.×13.√14.√15.√16.√17.× 【练一练】1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是() A ．至少取到1个白球 B ．至多取到1个白球 C ．取到白球的个数 D ．取到的球的个数 【答案】C2．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X ，那么随机变量X 可能取得的值有()A ．17个B ．18个C ．19个D ．20个 【答案】A【解析】X 可能取得的值有3,4,5，…，19共17个． 3．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)等于() A.16 B.13 C.12 D.23 【答案】D【解析】∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.4．随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，则n ＝________. 【答案】10【解析】P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1n ＋1n ＋1n ＝3n＝0.3，得n ＝10.5．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______． 【答案】272206．袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为() A.38 B.27 C.28 D.37 【答案】B【解析】第一次摸出红球，还剩2红5黑共7个小球，所以再摸到红球的概率为27.7．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是() A ．0.8 B ．0.75 C ．0.6 D ．0.45 【答案】A【解析】已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P ＝0.60.75＝0.8. 8.如图，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次为0.9,0.8，0.8，则系统正常工作的概率为()A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576 【答案】B9．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．【答案】35【解析】设该队员每次罚球的命中率为p ，则依题意有1－p 2＝1625，即p 2＝925.又0<p <1，故p ＝35.10．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．【答案】1211．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的均值E (ξ)＝8.9，则y 的值为() A ．0.4 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.9 【答案】A【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，可得y ＝0.4.12．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为()A ．1＋a,4B ．1＋a,4＋aC ．1,4D ．1,4＋a 【答案】A 【解析】x1＋x2＋…＋x1010＝1，y i ＝x i ＋a ，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为1＋a ，方差不变仍为4.故选A.13．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15(k ＝2,4,6,8,10)则D (X )等于()A ．5B ．8C ．10D ．16 【答案】B【解析】∵E (X )＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，∴D (X )＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.14．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.【答案】25【解析】设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.15．抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________． 【答案】509【题根精选精析】考点1 离散型随机变量及其分布列【1-1】随机变量X 的概率分布规律为P （X ＝n）＝ （n ＝1,2,3,4），其中a 是常数，则P（＜X ＜）的值为.【答案】【解析】因为随机变量X的概率分布规律为 （n ＝1,2,3,4），所以，所以.【1-2】若随机变量X 的分布列如下表，且EX=6.3， 则表中a 的值为.【答案】7【解析】由得，，解【1-3】口袋中有n(n ∈N *)个白球，3个红球．依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X ＝2)＝730，则n 的值为.【答案】7【1-4】在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：216542098874286438210乙地甲地规定：当产品中的此种元素含量毫克时为优质品.（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）；（Ⅱ）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数的分布列及数学期望.【解析】 (I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为(II)的取值为1，2，3.所以的分布列为故的数学期望为【1-5】甲、乙、丙三个车床加工的零件分别为350个，700个，1050个，现用分层抽样的方法随机抽取6个零件进行检验.（1）从抽取的6个零件中任意取出2个，已知这两个零件都不是甲车床加工的，求其中至少有一个是乙车床加工的零件；（2）从抽取的6个零件中任意取出3个，记其中是乙车床加工的件数为X，求X的分布列和期望.X的期望为．【基础知识】1．离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若是随机变量，，其中是常数，则也是随机变量.2.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量服从两点分布，即其分布列为其中，则称离散型随机变量服从参数为的两点分布．其中称为成功概率．(2)超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则事件{}发生的概率为，，其中，且，称分布列为超几何分布列.(3)设离散型随机变量可能取得值为，，…，，…，取每一个值 ()的概率为，则称表为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列．有时为了表达简单，也用等式，表示的分布列．分布列的两个性质①，；②.【思想方法】1.求分布列的三种方法(1)由统计数据得到离散型随机变量的分布列；(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．(2)由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．(3)由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及n次独立重复试验有k次发生的概率求离散型随机变量的分布列．2. 求离散型随机变量分布列的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值x i(i＝1,2, 3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝x i)＝p i；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确．3. 解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路(1)明确随机变量可能取哪些值．(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．(3)根据分布列和期望、方差公式求解．注意解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题．【温馨提醒】求离散型随机变量的分布列的关键是正确理解随机变量取每一个所表示的具体事件，然后综合应用各类求概率的公式，求出概率.考点2 二项分布及应用【2-1】【盐城2015调研】袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个小球，则在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出红球的概率是.【答案】【2-2】已知在一次试验中，，那么在次独立重复试验中，事件恰好在前两次发生的概率是.【答案】【解析】因为，所以在次独立重复试验中，事件恰好在前两次发生的概率．【2-3】设服从二项分布的随机变量X的期望和方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数的值为.【答案】【解析】由二项分布的期望和方差得，解的【2-4】【2015四川模拟】一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.【解析】试题分析：（1）由得，.所以的分布列为【2-5】【北京市西城区2015模拟】在某批次的某种灯泡中，随机地抽取个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成优等品、正品和次品三个等级，其中寿命大于或等于天的灯泡是优等品，寿命小于天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.（1）根据频率分布表中的数据，写出、的值；（2）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这个灯泡的等级情况恰好与按三个等级分层抽样．．．．．．．．．所得的结果相同，求的最小值；（3）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了个进行使用，若以上述频率作为概率，用表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求的分布列和数学期望.所以的数学期望.（注：写出，，、、、. 请酌情给分）【基础知识】1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为.在古典概型中，若用表示事件中基本事件的个数，则.(2)条件概率具有的性质：①；②如果和是两互斥事件，则．2．相互独立事件(1)对于事件、，若的发生与的发生互不影响，则称、是相互独立事件．(2)若与相互独立，则，．(3)若与相互独立，则与，与，与也都相互独立．(4)若，则与相互独立．3．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为 ()，此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．【思想方法】1. 条件概率的求法(1)定义法：先求和，再由，求；(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再求事件所包含的基本事件数，得.2. 求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．3. 二项分布满足的条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．4.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中.我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验．在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，即，.由于试验的独立性，次试验中，事件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为.而在次试验中，事件恰好发生次的概率为，.它恰好是的二项展开式中的第项．5. 牢记且理解事件中常见词语的含义：(1) 、中至少有一个发生的事件为；(2) 、都发生的事件为；(3) 、都不发生的事件为；(4) 、恰有一个发生的事件为；(5) 、至多一个发生的事件为.【温馨提醒】这些都是二项分布问题，关键是正确求出随机变量的分布列，可直接使用公式求解.因此牢记公式，，并深刻理解其含义．考点3 离散型随机变量的均值与方差【3-1】设随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，则的值为.【答案】n＝8，p＝0.2【解析】因为随机变量X～B（n，p），且E（X）＝1.6，D（X）＝1.28，所以.【3-2】设服从二项分布X～B（n，p）的随机变量X的均值与方差分别是15和，则n、p的值分别是.【答案】60，【解析】由二项分布X～B（n，p）的均值与方差可知E(X)=np=15,D(X)=np(1-p)=,解得n=60,p=,所以【3-3】变量X的概率分布列如右表，其中成等差数列，若，则_________.【答案】【3-4】【常州2015调研】某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球.活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金.（1）求员工甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？【3-5】【无锡2015模拟】在2014年俄罗斯索契冬奥会某项目的选拔比赛中，A,B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员,A队队员是A1,A2,A3,B队队员是B1,B2,B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式出场进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为．（1)求A队得分为1分的概率；（2）求的分布列；并用统计学的知识说明哪个队实力较强．【基础知识】1．均值若离散型随机变量X的分布列为称为随机变量的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．．若，其中为常数，则也是随机变量，且.若服从两点分布，则；若，则.2.方差若离散型随机变量X的分布列为则描述了 ()相对于均值的偏离程度，而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度．称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差．若，其中为常数，则也是随机变量，且．若服从两点分布，则．若，则．【思想方法】1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量的均值、方差，求的线性函数的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．2. 求离散型随机变量均值的步骤(1)理解随机变量的意义，写出可能取得的全部值；(2)求的每个值的概率；(3)写出的分布列；(4)由均值定义求出．3.六条性质(1) (为常数)(2) (为常数)(3)(4)如果相互独立，则(5)(6)4. 均值与方差性质的应用若是随机变量，则一般仍是随机变量，在求的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算．【温馨提醒】求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率.【易错问题大揭秘】1.随机变量取值不全致误典例(12分)盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)．记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ.求随机变量ξ的可能取值及其分布列．易错分析由于随机变量取值情况较多，极易发生对随机变量取值考虑不全而导致解题错误．温馨提醒(1)解决此类问题的关键是弄清随机变量的取值，正确应用概率公式．(2)此类问题还极易发生如下错误：虽然弄清随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面．(3)避免以上错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.2.独立事件概率求解中的易误点典例(12分)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总分数，求ξ的分布列．易错分析解本题第(2)问易因不明独立事件与独立重复试验的区别，误认为是n次独立重复试验，可导致求得P＝C35(23)3×(13)2＝80243这一错误结果．规范解答温馨提醒(1)正确区分相互独立事件与n次独立重复试验是解决这类问题的关键．独立重复试验是在同一条件下，事件重复发生或不发生．(2)独立重复试验中的概率公式P(X＝k)＝Ck n p k(1－p)n－k表示的是n次独立重复试验中事件A发生k次的概率，p 与1－p的位置不能互换，否则该式子表示的意义就发生了改变，变为事件A有k次不发生的概率了.[失误与防范]1掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为“事件发生的概率”，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．2．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立．3．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意“恰好”与“至多(少)”的关系，灵活运用对立事件．4．在没有准确判断分布列模型之前不能随便套用公式．5．对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．。
高中数学离散型随机变量分布列、期望与方差
离散型随机变量——分布列、期望与方差从近几年高考试题看,离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有:①产品检验问题；②射击,投篮问题；③选题、选课,做题,考试问题；④试验,游戏,竞赛,研究性问题；⑤旅游,交通问题；⑥摸球球问题；⑦取卡片,数字和入座问题；⑧信息,投资,路线问题；⑨与概率分布直方图关联问题；⑩综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识问题着重考查分析问题和解决问题的能力。
一、离散型随机变量的分布列、期望与方差1.离散型随机变量及其分布列: (1)离散型随机变量:如果在试验中,试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示,并且X 是随着试验的结果的不同而变化的,这样的变量X 叫做一个随机变量.如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称X 为离散型随机变量. (2)离散型随机变量的特点:①结果的可数性；②结果的未知性。
(3)离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量X 所有可能的取值为i x ,与i x 对应的概率为i p (1,2,,)i n =,则下表:称为离散型随机变量X 的概率分布,或称为离散型随机变量X 的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质:①0i p >(1,2,,)i n =；②11nii p==∑(1,2,,)i n =.③(P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+⋅⋅⋅ 2.离散型随机变量的数学期望:(1)定义:一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ,2x ,…,n x , 这些值对应的概率是1p ,2p ,…,n p ,则1122()n n E x x p x p x p =+++,叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望).(2)离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平.3.离散型随机变量的方差:(1)定义:一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ,2x ,…,n x ,这 些值对应的概率是1p ,2p ,…,n p ,则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X 的方差.(2)离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小 (离散程度).(3)()D X的算术平方根叫做离散型随机变量X 的标准差,它也是一个衡量离散 型随机变量波动大小的量.4.随机变量aX b +的期望与方差:①()()E aX b aE X b +=+；②2()().D aX b a D X +=二、条件概率与事件的独立性:1.条件概率:对于任何两个事件A 和B ,在已知事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率叫做条件 概率,用符号“(|)P B A ”来表示.把由事件A 与B 的交(或积),记做D A B =(或D AB =). 2.事件的独立性如果事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响,即(|)()P B A P B =,这时,我们称两 个事件A ,B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件.如果事件1A ,2A ,…,n A 相互独立,那么这n 个事件都发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即1212()()()()n n P A A A P A P A P A =⨯⨯⨯,并且上式中任意多个事 件i A 换成其对立事件后等式仍成立.三、几类典型的概率分布:1.两点分布:如果随机变量X 的分布列为其中01p <<,1q p =-,则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布.注:①两点分布又称01-分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验, 所以这种分布又称为伯努利分布. ②();().E X p D X np ==2.超几何分布:一般地,设有总数为N 件的两类物品,其中一类有M 件,从所有物品中任取n 件 ()n N ≤,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量,它取值为m 时的概率为C C ()C m n mM N Mn NP X m --==(0m l ≤≤,l 为n 和M 中较小的一个),称离散型随机变量X 的这 种形式的概率分布为超几何分布,也称X 服从参数为N ,M ,n 的超几何分布.记为:(,,)X H N M n .注:();ME X n N=2()()()(1)n N n N M M D X N N --=-. 3.二项分布:(1)定义:如果每次试验,只有两个可能的结果A 及A ,且事件A 发生的概率相同(p ). 那么重复地做n 次试验,各次试验的结果相互独立,这种试验称为n 次独立重复试验.在n 次试验中,事件A 恰好发生k 次的概率为:()C (1)kk n k n n P k p p -=-(0,1,,)k n =.(2)二项分布:若将事件A 发生的次数为X ,事件A 不发生的概率为1q p =-,那么在n 次独立重复试验中,事件A 恰好发生k 次的概率是()C k k n k n P X k p q-==, 其中0,1,2,,k n =,于是得到X 的分布列:由于表中第二行恰好是二项展开式00111()C C C C n n n kk n k n n n n n n q p p q p q p q p q --+=++++各对应项的值,所以称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布, 记作~(,)X B n p . (3)二项分布的均值与方差:若~(,)X B n p ,则()E X np =,()D x npq =(1)q p =-.4.几何分布:(1)定义:在独立重复试验中,某事件第一次发生时,所作试验的次数X 也是一个正 整数的离散型随机变量.“X k =”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ,()k p A p =,()1,k p A p =- 那么112311231()()()()()()()(1)k k k k k P X k P A A A A A P A P A P A P A P A p p ---====-.(0,1,2,k =…)；于是得到随机变量ξ的概率分布如下:记作(,),Xg k p(2)若(,),X g k p 则1()E X p =；21()pD X p-=(1)q p =-. 5.正态分布(1)概率密度曲线:样本数据的频率分布直方图,在样本容量越来越大时,直方图上 面的折线所接近的曲线.在随机变量中,如果把样本中的任一数据看作随机变量X ,则 这条曲线称为X 的概率密度曲线.(2)曲线位于横轴的上方,它与横轴一起所围成的面积是1,而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积. (2)正态分布:①定义:如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的, 而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作 用,则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分 布.服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量,简称正态变量. ②正态变量概率密度曲线的函数表达式为 22()2()x f x μσ--=,x ∈R , 其中μ,σ是参数,且0σ>,μ-∞<<+∞.式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差. 期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作:2(,)XN μσ.③正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线.④标准正态分布:我们把数学期望为0,标准差为1的正态分布叫做标准正态分布. ⑤正态变量在区间(,)μσμσ-+,(2,2)μσμσ-+,(3,3)μσμσ-+内,取值的概率分别是 68.3%,95.4%,99.7%.⑥正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1,在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是 0.3%,故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内,这就是正态分布的3σ原则.⑦若2~()N ξμσ，,()f x 为其概率密度函数,则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函 数,特别的,2~(01)N ξμσ-，,称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数,()()x P x μξφσ-<=.离散型随机变量——分布列、期望与方差考点1.产品检验问题:例1.已知甲盒子内有3个正品元件和4个次品元件,乙盒子内有5个正品元件和4个次品 元件,现从两个盒子内各取出2个元件,试求(1)取得的4个元件均为正品的概率； (2)取得正品元件个数ε的数学期望.例2.某车间在三天内,每天生产10件某产品,其中第一天,第二天分别生产出了1件、 2件次品,而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查,若发现有次品, 则当天的产品不能通过.(1)求第一天通过检查的概率；(2)求前两天全部通过检查的概率；(2)若厂内对车间生产的产品采用记分制:两天全不通过检查得0分,通过1天、 2天分别得1分、2分.求该车间在这两天内得分的数学期望.考点2.比赛问题:例3.,A B 两队进行篮球决赛,共五局比赛,先胜三局者夺冠,且比赛结束。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解61 随机变量分布列、期望与方差
高考数学复习考点知识与结论专题讲解 第61讲 随机变量分布列随机变量分布列、、期望与方差【知识通关】通关一、离散型随机变量分布离散型随机变量分布列列1. 离散型随机变量的分布列的表示一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,n x x x ，X 取每一个值()12,,,i x n 的概率12,i i P X x p i n === （）,,，则下表称为随机变量X 的概率分布列，简称为x 的分布列.X 1x 2x i x n x P1p2pi pn p为了简单起见，也可以用等式12,i i P X x p i n === （）,,，表示X 的分布列. 2. 离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1）012,,,i P i n ≥= ，； （2）121i n p p p p +++++= ；（3）1i j i i j Px x x P P P +≤≤=+++ （）（*,i j i j N <∈且）. 通关二通关二、、离散型随机变量的均值与方差1. 期望与方差的表示一般地，若离散型随水变量X 的概率分布列为：则称1122i i n n E X x P x P x p x p =+++++ （）为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了高散型随机变量取值的平均水平；称()21ni i i D x x E X p = =− ∑（）为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X与其均值E （Xx 的标准差. 2. 均值的性质若y aX b =+，其中a b ，是常数，X 是随机变量，则均值的性质：（1）Ek k =（）（k 为常效）； （2）EaX b aB X b +=+（）（）； （3）1212E X X E X E X +=+（）（）（）； （4）若12,X X 相互独立，则1212·E X X E X E X ⋅=（）（）（）. 3. 方差的性质（1）0Dk =（）（k 为常数）； （2）2D aX b a D X +=（）（）；（3）22[]D X E X E X =−（）（）（）.X 1x 2x i x n x P1p2pi pn p通关三通关三、、正态分布曲缆及特点我们把画数224()(),(,)k n nn x x ϕ−−−==−∞+∞（其中u 是样本均值，σ是样本标准差）的图像称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.（1）曲线位手x 轴上方，与x 轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线x µ=对称；（3）曲线在x µ=（4）曲线与x 轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线的位置由u 确定，曲线随着u 的变化而沿x 轴平移；（6）当u 一定时，曲线的形状由σ确定；σ越小，曲线越“瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. 【结论第讲】结论一结论一、、求解离散型随机变量X 的分布到的步的分布到的步骤骤1. 理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；2. 求X 取每个值的概率；3. 写出X 的分布列；4. 根据分布列的性质对结果进行检验.【例1】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响，（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列.【解析】设,k k A B 分别表示“甲、乙在第k 次投篮投中”，则()()()1112233,,,,k k P A P B k ===.（1）记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知1112112231122111()()()()()()()()()()()P C P A P A B A P A B A B A P A P A P B P A P A P B P A =++=++32221211211111133323323392727()()()().P B P A +×+=++==××× （2）ξ的所有可能取值为1，2，3且111121213323()()()P P A P A B ξ×==+=+=；1222221112921121232332()()()(( =)P P A B A P A B A B ξ+==+=×××11223()()P P A B A B ξ==22211329()(×==, 综上ξ的分布列为：【变式】在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为2，4，2，且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手进人第三轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进人第三轮考核的概率；（3）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列.【解析】设事件i A （1234i =，，，）表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知234154316543(),(),(),()P A P A P A P A ==== （1）设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则123123543116546()()()()()()P B P A A A P A P A P A ===××−= （2）设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则112123112123P ( C ) = P ( ++ )=P ( )+P ()+P ( )A A A A A A A A A A A A 1515431665654()××=++×−12=（3）x 的可能取值为1，2，3，4.1231211541541213665665()();()()();()(P X P A P X P A A P X A P A A =======×−===×12331553114466442(;()()P X P A A A −===×=××=所以，x 的分布列为：结论二结论二、、期望与方差的一般计算步骤1. 理解X 的意义，写出X 的所有可能取的值；2. 求X 取各个值的概率，写出分布列；3. 根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.【例2】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关. 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温 [10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30， 35） [35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率，（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500，P （X=200）=2160290.+=36257430004500049090().,().P X P X ++====== 所以X 的分布列为：X 200 300 500 P0. 20. 40. 4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，所以只需考虑200≤n ≤500. 当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y=6n -4n =2n ；若最高气温位于区间[20，25），则Y=6×300+2（n -300）-4n =1200-2n ； 若最高气温低于20，则Y=6×200+2(n -200）-4n =800-2n ； 所以F(Y ）=2n ×0. 4+(1200-2n )×0. 4+(800-2n )×0. 2=640-0. 4n . 当200≤n ≤300时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n ； 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（m -200）-4n =800-2n ；所以E(Y ）=2n×(0. 4+0. 4)+(800-2m )×0. 2=160+1. 2n .综上，当n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元【变式】为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛，竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签的方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（1）求决赛中甲乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（2）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望.【解析】（1）设事件A 为“甲乙排在前两位”，则232355110()()A A n A P A n Q A ⋅===（）. （2）X 的可能取值为0,1,2,3，则232323235555432301510();(),A A A A P X P X A A ⋅⋅⋅⋅======23332323555211123510();()A A A B P X P X A A ⋅⋅⋅⋅======. 所以x 的分布列为：结论三结论三、、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 恰好发生次的概率为1k k n k n P X k C p p −==−（）（）"，k=0，1，2…，n ，则称随机变量X 服从二项分布，记作x ~B （n ，p ）.X1nP001nn C p p −（） 1111n n C p p −−（）1n n n C p p −（）要点诠释：1E X np D X np p ==−（），（）（）. 【例】3为保护水资源，宣传节约用水，某校4. 名志愿者准备去附近的甲、乙、两三个公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三个公园中随机选择一个，且每人的选择相互独立.（1）求4人恰好选择了同一个公园的概率；（2）设选择甲公园的志愿者的人数为X ，试求X 的分布列及期望.【解析】（1）设“4人恰好选择了同一个公园”为事件A. 每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有3’种等可能的情况，事件A 所包含的等可能事件的个数为3，所以431273P A ==（）,故4人恰好选择了同一个公园的概率为127（2）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C ，则13P C =（）. 4人中选择甲公园的人数X 可看作4次独立重复试验中事件C 发生的次数. 因此，随机变量X 服从二项分布X 可取的值为0，1，2，3，4.4141233()()()i i P X i C −==，i=0，1，2，3，4.X 的分布列为：X 的期望为14433()E X np ==×=【变式】一家面包房根据以往某种将日销售量落入各组的频率视为概（1）求在未来连续3天里，有的概率；（2）用X 表示在未来3天里日方差D(X ）.【解析】（1）设1A 表示事件“日销件“在未来连续3天里，有连续2天的1000600040002...P A =++（）（）2000350015..P A P =×==（），（（2）X 的可能取值为0，1131061.P X C ==−（）（）（3333060216..P X C ===（）（）. 随机变量X 的分布列为：X P往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直视为概率，并假设每天的销售量相互独立.里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量x 的分布日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低5006.×=，060601520108....B ×××=）.1，2，3，相应的概率为：03010P X C ==−（）（222130602882061060432.....P X C ===−=）；（）（）（）0 1 2 30064. 0288. 0432. 0216.分布直方图，如图所示. 天的日销售量低于50个的分布列、期望E(X ）及量低于50个”，B 表示事售量低于50个”，因此360064..=）； ；因为X~B （3，0. 6），所以期望30618..E X np ==×=（），方1306106072...D X p p =−=××−=（）（）（）.结论四结论四、、超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有x 件次品，则012,,,,,,k n kN NMM nC P X k k m C C −−==== （）其中min{,},m M n =且*,,,,n N M N n M N N ≤≤∈. 要点诠释：21()()(),()()nM nM N M N n E X D X N N N −−==− 【例】4某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.【解析】（1）由已知得11234321013C C C P C ⋅+==,所以事件A 发生的概率为13. （2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.222111111334333434222101010474012151515 ();();()C C C C C C C C C P X P X P X C C C +++========= 所以，随机变量x 的分布列为：随机变量X 的数学期望4740121151515()E X =×+×+×=.【变式】为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动. 这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人.（1）求选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率； （2）求选出的3人中，语文教师人数X 的分布列和数学期望.【解析】设事件i A 为“3人中有i 名语文教师”，j B 为“3人中有j 名数学教师”，事件A 为“语文教师人数多于数学教师人数”，所以3213412213333310021333331010101099121120C C C C C C C P A P A B P A B P A B P A C C C C ++++++==+++=（）（）（₂）（）（）31120=. （2）语文教师人数X 可取的值为0，1，2，3，依题意可得x~H （10，3，3），所以2217713331301310031211356301212020120,(),(),C C C P C C C C X P X P X C =========（）3331031201()C P X C ===. 所以X 的分布列为：所以356321*********12012012010()E X =×+×+×+×=.结论五结论五、、利用期望与方差进行决策若我们希望实际的平均水平较理想时，一般先求随机变量12,ξξ的期望，若12()()E E ξξ=时，则用12(),()D D ξξ来比较这两个随机变量的偏离程度. 若1()E ξ与2()E ξ比较接近，且期望较大者的方差校小，显然该变量更好；若1()E ξ与2()E ξ比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，是选择较理想的平均水平还是选择较稳定.【例5】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下；支付方式支付金额（元）（0，1000]（1000，2000]大于2000 仅使用A |18人 9人 3人 仅使用B10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率； （2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化. 现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元. 根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【解析】（1）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A 的有30人，仅使用B 的有25人，所以A ，B 两种支付方式都使用的人数有：100-5-30-25=40. 从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率4004100.p ==.（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X 的可能取值为0，1，2. 样本仅使用A 的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有l8人，超过1000元的有12人，样本仅使用B 的学生有25人，其中支付金额在（0. 1000]的有10人，超过1000元的有15人.所以1810180618151239013013025750253025307525;();P X P X ××+========（）121518023025750256()P X ====×. 所以x 的分布列为：数学期望61360121252525()E X =×+×+×=.（3）不能认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：样本中仅使用A 的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为3333014060C p C ==,虽然概率较小，但发生的可能性为14060,故不能认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.。
高三数学分布列和期望
高三数学分布列和期望高考考纲透析：等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差高考风向标：离散型随机变量的分布列、期望和方差热点题型1 n 次独立重复试验的分布列和期望[样题1] 〔2005年高考·全国卷II·理19〕甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令为本场比赛的局数,求的概率分布和数学期望.〔精确到0.0001〕本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P 〔＝3〕＝比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜.因而P 〔＝4〕＝＋比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜.因而 P 〔＝5〕＝＋ 所以的概率分布为ξ的期望＝3×P 〔＝3〕＋4×P 〔＝4〕＋ 变式新题型1.〔2005年高考·浙江卷·理19〕袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是．〔Ⅰ〕 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率． 〔Ⅱ〕 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i) 求恰好摸5次停止的概率；〔ii 〕记5次之内〔含5次〕摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及数学期望E ． 解：〔Ⅰ〕 〔Ⅱ〕〔i 〕〔ii 〕随机变量的取值为0，1，2，3，； 由n 次独立重复试验概率公式，得()()1n kk kn n P k C p p -=-()505132013243P C ξ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭； ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()232511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭〔或〕随机变量的分布列是ξξ的数学期望是32808017131012324324324324381E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=热点题型2 随机变量的取值范围及分布列ξ[样题2]在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：〔Ⅰ〕该顾客中奖的概率；〔Ⅱ〕该顾客获得的奖品总价值〔元〕的概率分布列和期望. 解法一：〔Ⅰ〕，即该顾客中奖的概率为.〔Ⅱ〕的所有可能值为：0，10，20，50，60〔元〕..151)60(,152)50(,151)20(,52)10(,31)0(2101311210161121023210161321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且故有分布列：ξ 从而期望.161516015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE解法二： 〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值=2×8=16〔元〕.变式新题型2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0 2，若一周5个工作日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元 求：〔Ⅰ〕一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率〔保留两位有效数字〕； 〔Ⅱ〕一周5个工作日内利润的期望〔保留两位有效数字〕 解：以表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则~B 〔5，0 2〕).5,4,3,2,1,0(8.02.0)(55=⨯⨯==-k C k P k k k ξ 〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕以表示利润，则的所有可能取值为10，5，0，－2.328.08.0)0()10(5≈====ξηP P .410.08.02.0)1()5(4115≈⨯⨯====C P P ξη.205.08.02.0)2()0(3225≈⨯⨯====C P P ξη.057.0)2()1()0(1)3()2(≈=-===-=≥=-=ξξξξηP P P P P 的概率分布为η∴ 利润的期望=10×0 328+5×0 410+0×0 205－2×0 057≈5 2〔万元〕[样题3] 〔2005年高考·江西卷·理19〕A 、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.ξ〔1〕求的取值范围； 〔2〕求的数学期望E.解：〔1〕设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则，可得：.9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当ξξξξ===============n m n m n m n m n m n m〔2〕.322756455964571615;64556451611)9(=⨯+⨯+⨯==--==ξξE P 变式新题型3.某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习．若该射手在某组练习中射击命中一次，并且他射击一次命中率为0．8，〔1〕求在这一组练习中耗用子弹ξ的分布列．〔2〕求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率.分析：该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ可取值为1，2，3，4，5ξ＝1，表示第一发击中〔练习停止〕，故P 〔ξ＝1〕＝0．8ξ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故P 〔ξ＝2〕＝〔1－0．8〕×0．8＝0．16ξ＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故P 〔ξ＝3〕＝〔1－0．8〕2×0．8＝0．032以下类推解：〔1〕ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5 P 0．8 0．16 0．032 0．0064 0．0016补充备例：有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数 的数学期望和方差．分析：求 时，由题知前 次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如 ，发现规律后，推广到一般．解： 的可能取值为1，2，3，…，n ．η 10 5 0 －2 P 0 328 0 410 0 205 0 057；所以的分布列为：1 2 …k…n……；说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键．。
高考数学考点分析指导第3节 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
第12章 概率与统计
目录
第1节 随机事件的概率
第2节 古典概型与几何概型
第3节 离散型随机变量及其分布列、 数学期望与方差
第4节 条件概率、独立重复试验、 二项分布与正态分布
第5节 随机抽样与用样本估计总体
第6节 统计与统计案例
第3节 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
真题自测 考向速览 必备知识 整合提升 考点精析 考法突破
第3节 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
考点3 超几何分布的求解方法
3．[天津2018·16]已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16，现 采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查． (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步 的身体检查． ①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望； ②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．
所以，随机变量X的分布列为
第3节 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
第3节 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
考点4 利用数学期望和方差进行决策
4．[课标全国Ⅰ2016·19]某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件， 在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买， 则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三 年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
35 高中数学分布列与期望及决策专题训练
专题35高中数学分布列与期望及决策专题训练【知识总结】离散型随机变量X 的分布列为则，(1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n .(2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.(3)E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n .(4)D (X )＝ i ＝1n[x i －E (X )]2p i .(5)若Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X )．【高考真题】1．(2022·全国甲理) 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．2．(2022·北京) 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m 以上(含9.50m)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证）【题型突破】1．某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌合唱比赛活动，现有高一1，2，3，4班准备从《唱支山歌给党听》《没有共产党就没有新中国》《映山红》《十送红军》《歌唱祖国》5首红歌中选取一首作为比赛歌曲，设每班只选择其中一首红歌，且选择任一首红歌是等可能的．(1)求“恰有2个班级选择《唱支山歌给党听》”的概率；(2)记随机变量X 表示这4个班级共选择红歌的个数(相同的红歌记为1个)，求X 的分布列与均值．2．有编号为1，2，3的三个小球和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机地放入四个盒子中，每个小球的放置相互独立．(1)求三个小球恰在同一个盒子中的概率；(2)求三个小球在三个不同盒子且每个小球编号与所在盒子编号不同的概率；(3)记录所有至少有一个小球的盒子，以X 表示这些盒子编号的最小值，求E (X )．3．某公司年会有幸运抽奖环节，一个箱子里有相同的十个乒乓球，球上分别标0，1，2，…，9这十个自然数，每位员工有放回依次取出三个球．规定：每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖．中奖项：三个数字全部相同中一等奖，奖励10 000元现金；三个数字中有两个数字相同中二等奖，奖励5 000元现金；三个数字各不相同中三等奖，奖励2 000元现金．其他不中奖，没有奖金．(1)求员工A 中二等奖的概率；(2)设员工A 中奖奖金为X ，求X 的分布列；(3)员工B 是优秀员工，有两次抽奖机会，求员工B 中奖奖金的期望．4．目前，新能源汽车尚未全面普及，原因在于技术水平有待提高，国内几家大型汽车生产商的科研团队已经独立开展研究工作．吉利研究所、北汽科研中心、长城攻坚站三个团队两年内各自出成果的概率分别为12，m ，14．若三个团队中只有长城攻坚站出成果的概率为112． (1)求吉利研究所、北汽科研中心两个团队两年内至少有一个出成果的概率及m 的值；(2)三个团队有X 个在两年内出成果，求X 的分布列和均值．5．随着社会的发展，一些企业改变了针对应届毕业生的校园招聘方式，将线下招聘改为线上招聘．某世界五百强企业M 的线上招聘方式分资料初审、笔试、面试这三个环节进行，资料初审通过后才能进行笔试，笔试合格后才能参加面试，面试合格后便正式录取，且这几个环节能否通过相互独立．现有甲、乙、丙三名大学生报名参加了企业M 的线上招聘，并均已通过了资料初审环节．假设甲通过笔试、面试的概率分别为12，13；乙通过笔试、面试的概率分别为23，12；丙通过笔试、面试的概率与乙相同． (1)求甲、乙、丙三人中至少有一人被企业M 正式录取的概率；(2)为鼓励优秀大学生积极参与企业的招聘工作，企业M 决定给报名参加应聘且通过资料初审的大学生一定的补贴，补贴标准如下表：记甲、乙、丙三人获得的所有补贴之和为X 元，求X 的分布列和均值．6．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．(1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X ，求X 的分布列及数学期望．7．下象棋既锻炼思维又愉悦身心，有益培养人的耐心和细心，舒缓大脑并让其得到充分休息．现某学校象棋社团为丰富学生的课余生活，举行象棋大赛，要求每班选派一名象棋爱好者参赛．现某班有12位象棋爱好者，经商议决定采取单循环方式进行比赛(规则采用“中国数目法”，没有和棋)，即每人进行11轮比赛，最后靠积分选出第一名去参加校级比赛．积分规则如下(每轮比赛采取5局3胜制，比赛结束时，取胜者可能会出现3∶0，3∶1，3∶2三种赛式)．9轮过后，积分榜上的前两名分别为甲和乙，甲累计积分26分，乙累计积分22分．第10轮甲和丙比赛，设每局比赛甲取胜的概率均为23，丙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)①在第10轮比赛中，甲所得积分为X ，求X 的分布列；②求第10轮结束后，甲的累计积分Y 的均值；(2)已知第10轮乙得3分，判断甲能否提前一轮获得累计积分第一，结束比赛(“提前一轮”即比赛进行10轮就结束，最后一轮即第11轮无论乙得分结果如何，甲累计积分最多)？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由．8．一款小游戏的规则如下：每轮游戏都要进行3次，每次游戏都需要从装有大小相同的2个红球、3个白球的袋中随机摸出2个球，若“摸出的两个都是红球”出现3次，则获得200分；若“摸出的两个都是红球”出现1次或2次，则获得20分；若“摸出的两个都是红球”出现0次，则扣除10分(即获得－10分)．(1)求一轮游戏中获得20分的概率；(2)很多玩过这款小游戏的人发现，很多轮游戏后，所得的分数与最初的分数相比，不是增加而是减少了，请运用概率统计的相关知识解释这种现象．9．“T2钻石联赛”是世界乒联推出的一种新型乒乓球赛事，其赛制如下：采用七局四胜制，比赛过程中可能出现两种模式：“常规模式”和“FAST5模式”．在前24分钟内进行的常规模式中，每小局比赛均为11分制，率先拿满11分的选手赢得该局；如果两名球员在24分钟内都没有人赢得4局比赛，那么将进入“FAST5”模式，“FAST5”模式为5分制的小局比赛，率先拿满5分的选手赢得该局.24分钟计时后开始的所有小局均采用“FAST5”模式．某位选手率先在7局比赛中拿下4局，比赛结束．现有甲、乙两位选手进行比赛，经统计分析甲、乙之间以往比赛数据发现，24分钟内甲、乙可以完整打满2局或3局，且在11分制比赛中，每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13；在“FAST5”模式，每局比赛双方获胜的概率都为12，每局比赛结果相互独立． (1)求4局比赛决出胜负的概率；(2)设在24分钟内，甲、乙比赛了3局，比赛结束时，甲、乙总共进行的局数记为X ，求X 的分布列及数学期望．10．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元).当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？11．(2021·新高考全国℃)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X 表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P (X ＝i )＝p i (i ＝0，1，2，3).(1)已知p 0＝0.4，p 1＝0.3，p 2＝0.2，p 3＝0.1，求E (X )；(2)设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：p 0＋p 1x ＋p 2x 2＋p 3x 3＝x 的一个最小正实根，求证：当E (X )≤1时，p ＝1，当E (X )＞1时，p ＜1；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．12．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两组白鼠对药效进行对比试验．对于两组白鼠，当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i－1＋bp i＋cp i＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1).假设α＝0.5，β＝0.8.①求证：{p i＋1－p i}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．13．为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案．方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止．方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测．(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；(2)η表示方案甲所需化验次数，ξ表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳．14．已知某高中高三年级共有20个班，共1 000人，其中男生600人，女生400人．现在从该校高三学生中抽取10%的学生进行玩游戏时间的调查．设置方案如下：一个罐子中放置了大小、质地相同的20个红球，20个白球，被抽查的同学首先从该罐子中随机抽取一个球，看过颜色后放回，若抽到红球回答问题1，若抽到白球回答问题2，学生只需要对一个问题回答“是”或者“否”即可．问题1：你的性别是否为男生？问题2：你周末打游戏的时长是否在3小时及以上？(1)应该抽取多少学生？若用分层抽样的抽样方法，如何抽取这10%的学生？(2)最终有40张答卷回答“是”，请估计该高中高三年级有多大占比的学生周末打游戏的时长在3小时及以上．15．某公司为了切实保障员工的健康安全，决定在全公司范围内举行一次专门针对某病毒的健康普查，为此需要抽取全公司m人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血样分别化验，这时需要化验m次．方案②：按k个人一组进行随机分组，把从每组k个人抽来的血样混合在一起进行化验，如果每个人的血样均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k个人的血样只需化验一次(这时认为每个人的血样化验1k次)；否则，呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k 个人的血样总共需要化验k ＋1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的化验结果相互独立．(1)设方案②中，某组k 个人中每个人的血样化验次数为X ，求X 的分布列；(2)设m ＝1 000，p ＝0.1，试求方案②中，k 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数，并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？(结果保留整数)16．某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现计划购置甲、乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：已知甲品牌使用7个月或8个月的概率均为12，乙品牌使用3个月或4个月的概率均为12． (1)若从4件甲品牌和2件乙品牌共6件轴承中，任选2件装入电动机内，求电动机可工作时间不少于4个月的概率；(2)现有两种购置方案，方案一：购置2件甲品牌；方案二：购置1件甲品牌和2件乙品牌(甲、乙两品牌轴承搭配使用)．试从性价比(即电动机正常工作时间与购置轴承的成本之比)的角度考虑，选择哪一种方案更实惠？17．为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案．方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止．方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测．(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；(2)η表示方案甲所需化验次数，ξ表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳．18．某公司为了切实保障员工的健康安全，决定在全公司范围内举行一次专门针对某病毒的健康普查，为此需要抽取全公司m 人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案．方案①：将每个人的血样分别化验，这时需要化验m 次．方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血样混合在一起进行化验，如果每个人的血样均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血样只需化验一次(这时认为每个人的血样化验1k次)；否则，呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k 个人的血样总共需要化验k ＋1次．假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的化验结果相互独立．(1)设方案②中，某组k 个人中每个人的血样化验次数为X ，求X 的分布列；(2)设m ＝1 000，p ＝0.1，试求方案②中，k 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数，并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？(结果保留整数)19．某工厂购进一批加工设备，由于该设备自动模式运行不稳定，因此一个工作时段内会有14的概率出现自动运行故障．此时需要1名维护人员立刻将设备切换至手动操控模式，并持续人工操作至此工作时段结束，期间该维护人员无法对其他设备进行维护．工厂在每个工作时段开始时将所有设备调至自动模式，若设备的自动模式出现故障而得不到维护人员的维护，则该设备将停止运行，且每台设备运行的状态相互独立．(1)若安排1名维护人员负责维护3台设备，求这3台设备能顺利运行至工作时段结束的概率；(2)设该工厂有甲、乙两个车间．甲车间有6台设备和2名维护人员，将6台设备平均分配给2名维护人员，每名维护人员只负责维护分配给自己的3台设备；乙车间有7台设备和2名维护人员，7台设备由这2名维护人员共同负责维护．若用车间所有设备顺利运行至工作时段结束的概率来衡量生产的稳定性，试比较甲、乙两个车间生产稳定性的高低．20．在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度．为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备)．已知某计算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．设三台设备的可靠度均为r (0<r <1)，它们之间相互不影响．(1)要使系统的可靠度不低于0.992，求r 的最小值；(2)当r ＝0.9时，求能正常工作的设备数X 的分布列；(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失．为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1，更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更换设备硬件的总费用为8万元；方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，设备维护的总费用为5万元．请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策．。
第7讲 分布列与数学期望(解析版)
第7讲 分布列与数学期望高考预测一：求概率及随机变量的分布列的基本类型 类型一：利用古典概型求概率1．10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W 型号，T 型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表（Ⅰ）若在10月1日当天，从A ，B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X 表示其中W 型号手机销量超过T 型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）经测算，W 型号手机的销售成本η（百元）与销量ξ（部)满足关系34ηξ=+．若表中W 型号手机销量的方差20(0)S m m =>，试给出表中5个手机店的W 型号手机销售成本的方差2S 的值．（用m 表示，结论不要求证明）【解析】解：()I 设事件1M 为从A 店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W 型号手机， 设事件2M 为从A 店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W 型号手机， 则事件1M ，2M 相互独立，且161()6123P M ==+，262()695P M ==+， ∴抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率为13221233535355P =⨯+⨯+⨯=． ()II 由表格可知W 型号手机销售量超过T 型号手机的店有2个，故X 的可能取值有0，1，2．且33351(0)10C P X C ===，1223353(1)5C C P X C ===，2123353(2)10C C P X C ===． X ∴的分布列为：数学期望为1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=． 20()()III D s m ξ==，34ηξ=+，2()9()9S D D m ηξ∴===．2．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（2）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．（只需写出结论）【解析】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y 的值小于60， 答：从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为： 1535010p ==． （2）由图知：A 、C 两人指标x 的值大于1.7，而B 、D 两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x 的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2， 2411(0)6P C ξ===， 1122242(1)3C C P C ξ===，2411(2)6P C ξ===， ξ∴的分布列如下：答：121()0121636E ξ=⨯+⨯+⨯=．（3）答：由图知100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大．3．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和数学期望．【解析】解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P （A ）1123252332010A A A ⨯===； （2）X 的可能取值为200，300，400，222521(200)2010A P X A ====，311232323562323(300)6010A C C A P X A ++⨯⨯====， 133(400)1(200)(300)110105P X P X P X ==-=-==--=；所以X 的分布列为：数学期望为13320030040035010105EX =⨯+⨯+⨯=． 类型二：利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率 4．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢．“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(1k =，2，3，4，5，6)．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系．【解析】解：（Ⅰ）设事件A 表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为140503002008005102000+++++=部， 第四类电影中获得好评的电影有：2000.2550⨯=部，∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：P （A ）500.0252000==． （Ⅱ）设事件B 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”， 第四类获得好评的有：2000.2550⨯=部， 第五类获得好评的有：8000.2160⨯=部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：P （B ）50(800160)(20050)1600.35200800⨯-+-⨯==⨯．（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：0,1,k k k ξ⎧=⎨⎩第类电影没有得到人们喜欢第类电影得到人们喜欢，则k ξ服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下： 第一类电影：1()10.400.60.4E ξ=⨯+⨯=，221()(10.4)0.4(00.4)0.60.24D ξ=-⨯+-⨯=．第二类电影：2()10.200.80.2E ξ=⨯+⨯=，222()(10.2)0.2(00.2)0.80.16D ξ=-⨯+-⨯=．第三类电影：3()10.1500.850.15E ξ=⨯+⨯=，223()(10.15)0.15(00.15)0.850.1275D ξ=-⨯+-⨯=．第四类电影：4()10.2500.750.25E ξ=⨯+⨯=，224()(10.25)0.25(00.25)0.750.1875D ξ=-⨯+-⨯=．第五类电影：5()10.200.80.2E ξ=⨯+⨯=，225()(10.2)0.2(00.2)0.80.16D ξ=-⨯+-⨯=．第六类电影：6()10.100.90.1E ξ=⨯+⨯=，225()(10.1)0.1(00.1)0.90.09D ξ=-⨯+-⨯=．∴方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系为：632541D D D D D D ξξξξξξ<<=<<．5．设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）设甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为X ，求0X =，1X =，2X =，3X =时的概率(0)P X =，(1)P X =，(2)P X =，(3)P X =．（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．【解析】解：（1）321(0)(1)327P X ==-=，123222(1)(1)339P X C ==-=， 223224(2)()(1)339P X C ==-=，33328(3)()327P X C ===． （2）设乙同学上学期间的三天中在7:30之前到校的天数为Y ， 则1(0)(0)27P Y P X ====，2(1)(1)9P Y P X ====， 4(2)(2)9P Y P X ====，8(3)(3)27P Y P X ====， 418220()(2)(0)(3)(1)927279243P M P X P Y P X P Y ∴===+===⨯+⨯=． 类型三：利用条件概率公式求概率6．如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到)B ；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前两步（如由A 到)C ，当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到)D ．在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．（1）求点P 恰好返回到A 点的概率；（2）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的分布列及数学期望．【解析】解：（1）投掷一次正方体玩具，因每个数字在上底面出现是等可能的，故其概率12163P ==． 易知只投掷一次不可能返回到A 点．①若投掷两次质点P 就恰好能返回到A 点，则上底面出现的两个数字， 应依次为：(1,3)、(3,1)、(2,2)三种结果，其概率为2211()333P =⨯=．②若投掷三次质点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字，应依次为：(1，1，2)、(1，2，1)、(2，1，1)三种结果，其概率为3311()339P =⨯=． ③若投掷四次质点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：(1，1，1，1)， 其概率为4411()381P ==．所以，质点P 恰好返回到A 点的概率为：23411137398181P P P P =++=++=．（2）由（1）知，质点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种情况， 且ξ的可能取值为2，3，4．则1273(2)373781P ξ===，199(3)373781P ξ===，1181(4)373781P ξ===，故ξ的分布列为：所以，27918523437373737E ξ=⨯+⨯+⨯=．7．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：)mm 对工期的影响如下表：300700X <700900X<9002610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：()I 工期延误天数Y 的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．【解析】()I 由题意，(300)0.3P X <=，(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X <=<-<=-=，(700900)(900)(700)0.90.70.2P X P X P X <=<-<=-=，(900)10.90.1P X =-=Y 的分布列为()00.320.460.2100.13E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=∴工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8；（Ⅱ）(300)1(300)0.7P X P X =-<=，(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X <=<-<=-= 由条件概率可得(300900)0.66(6|300)(300)0.77P X P Y X P X <===．类型四：利用统计图表中的数据求概率8．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C)︒有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】解：（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500， 216(200)0.290P X +===， 36(300)0.490P X ===，2574(500)0.490P X ++===， X ∴的分布列为：（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，∴只需考虑200500n ，当300500n 时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=；若最高气温位于区间[20，25)，则63002(300)412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-， 20.4(12002)0.4(8002)0.26400.4EY n n n n ∴=⨯+-⨯+-⨯=-，当200300n 时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=，若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-， 2(0.40.4)(8002)0.2160 1.2EY n n n ∴=⨯++-⨯=+． 300n ∴=时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．9．某贫困地区共有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户．为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）．（1）应收集多少户山区家庭的样本数据？（2）根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为(0，0.5]，(0.5，1]，(1，1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]．如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；（3）样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++02)k【解析】解：（1）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1，故应收集手机4500.145⨯=户山区家庭的样本数据．（2）由直方图可知该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率约为(0.5000.3000.100)0.50.45++⨯=． （3）样本数据中，年收入超过2万元的户数为(0.3000.100)0.515030+⨯⨯=户． 而样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，故列联表如下：所以22150(2540580)200 3.175 2.706301201054563K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”． 高考预测二：超几何分布和二项分布 类型一：超几何分布10．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．()i 用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；()ii 设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率． 【解析】解：（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3:2:2， 从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ()i 用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，随机变量X 的取值为：0，1，2，3，34337()k kC C P X k C -⋅==，0k =，1，2，3． 所以随机变量的分布列为：随机变量X 的数学期望11218412()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； ()ii 设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”， 设事件B 为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C 为抽取的3人中， 睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人， 则：A BC =，且P （B ）(2)P X ==，P （C ）(1)P X ==，故P （A ）6()(2)(1)7P B C P X P X ===+==． 所以事件A 发生的概率：67． 11． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物． 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的 2.5PM 监测数据如茎叶图所示．（1）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天 2.5PM 日均监测数据未超标的概率；（2）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到 2.5PM 监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．【解析】解：（1）记“当天 2.5PM 日均监测数据未超标”为事件A ， 因为有24+天 2.5PM 日均值在75微克/立方米以下， 故P （A ）243105+==． （2）ξ的可能值为0，1，2，3．由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标．363101(0)6C P C ξ===，21643101(1)2C C P C ξ===，12643103(2)10C C P C ξ===，343101(3)30C P C ξ===．ξ的分布列如下表：1131601236210305E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．类型二：二项分布12．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖． （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中或一等奖的次数为X ，求X 的分布列、数学期望和方差．【解析】解：（1）设顾客抽奖1次能中奖的概率为P．116511101037111010C C P C C =-=-=，（2）设该顾客在一次抽奖中获一等奖的概率为1P ，1145112101015C C P C C ==， 故而1?(3,)5X B ．3464(0)()5125P X ∴===，1231448(1)()55125P X C ===， 2231412(2)()55125P X C ===，311(3)()5125P X ===． 故X 的分布列为数学期望13()355E X ==，方差1412()35525D X ==． 13．近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数(,)AirQualityIndex AQI 是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0~50为优；51~100为良；101~150为轻度污染；151~200为中度污染；201~300为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI 的茎叶图如下：（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良(100)AQI 的天数；（按这个月总共30天计算）（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．【解析】解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为63105=，从而估计该月空气质量优良的天数为330185⨯=（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究， 基本事件总数2615n C ==，抽取的2天中至少有一天空气质量是优的对立事件是抽取的2天中至少有一天空气质量都不是优，∴抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率：2426315C p C =-=．（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为35，ξ∴的所有可能取值为0，1，2，3，且3~(3,)5B ξ，328(0)()5125P ξ===， 1233236(1)()55125P C ξ===， 2233254(2)()55125P C ξ===， 3327(3)()5125P ξ===， 故ξ的分布列为：3~(3,)5B ξ，33 1.85E ξ=⨯=．高考预测三：概率与其他知识点交汇 类型一：以其他知识为载体14．已知正四棱锥PABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）； 若这两条棱所在的直线平行，则0ξ=；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）． （1）求(0)P ξ=的值；（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ．【解析】解：（1）根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形， PAC ∆，PBD ∆为等腰直角三角形．ξ的可能取值为：0，3π，2π， 在这个正四棱锥的8条棱中任取两条基本事件总数2828n C ==种情况， 当0ξ=时有2种，当3πξ=时有342420⨯+⨯=种，当2πξ=时有246+=种．21(0)2814P ξ∴===． （2）21(0)2814P ξ===． 205()3287P πξ===， 63()22814P πξ===． 随机变量ξ的分布列如下表：15329()0143721484E πππξ=⨯+⨯+⨯=． 15．从集合{1M =，2，3，4，5，6，7，8，9}中抽取三个不同的元素构成子集1{a ，2a ，3}a ． （1）求对任意的i 和(1j i =，2，3，1j =，2，3，)i j ≠满足||2i j a a -的概率；（2）若1a ，2a ，3a 成等差数列，设其公差为(0)ξξ>，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ．【解析】解：（1）由题意知基本事件数为3984C =，而满足条件||2i j a a -，即取出的元素不相邻，则用插空法有3735C =种，故所求事件的概率为3558412P ==； （2）分析1a ，2a ，3a 成等差数列的情况：1ξ=的情况有7种：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，{7，8，9}，2ξ=的情况有5种：{1，3，5}，{2，4，6}，{3，5，7}，{4，6，8}，{5，7，9}．3ξ=的情况有3种：{1，4，7}，{2，5，8}，{3，6，9}．4ξ=的情况有1种：{1，5，9}．故ξ的分布列如下：所以753115()1234161615168E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 类型二：构造递推关系求概率问题16．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0i p i =，1，⋯，8)表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11(1i i i i p ap bp cp i -+=++=，2，⋯，7)，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=． ()i 证明：1{}(0i i p p i +-=，1，2，⋯，7)为等比数列； ()ii 求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【解析】（1）解：X 的所有可能取值为1-，0，1．(1)(1)P X αβ=-=-，(0)(1)(1)P X αβαβ==+--，(1)(1)P X αβ==-，X ∴的分布列为：（2）()i 证明：0.5α=，0.8β=，∴由（1）得，0.4a =，0.5b =，0.1c =．因此110.40.50.1(1i i i i p p p p i -+=++=，2，⋯，7)， 故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-，即11()4()i i i i p p p p +--=-， 又1010p p p -=≠，1{}(0i i p p i +∴-=，1，2，⋯，7)为公比为4，首项为1p 的等比数列；()ii 解：由()i 可得，881887761001(14)41()()()143p p p p p p p p p p --=-+-+⋯+-+==-，81p =，18341p ∴=-， 444332*********()()()()3257p p p p p p p p p p p -∴=-+-+-+-+==． 4p 表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理． 17．从原点出发的某质点M ，按向量(0,1)a =移动的概率为23，按向量(0,2)b =移动的概率为13，设M 可到达点(0，)(1n n =，2，3，)⋯的概率为n P ． （1）求1P 和2P 的值；（2）求证：2111()3n n n n P P P P +++-=--；（3）求n P 的表达式．【解析】解：（1）123P =，22217()339P =+= （2）证明：M 点到达点(0,2)n +有两种情况 ①从点(0,1)n +按向量(0,1)a =移动 ②从点(0,)n 按向量(0,2)b =移动∴212133n n n P P P ++=+∴2111()3n n n n P P P P +++-=-- 问题得证．（3）数列1{}n n P P +-是以21P P -为首项，13-为公比的等比数列 1111211111()()()()3933n n n n n P P P P --++-=--=-=- 11()3n n n P P -∴-=-又因为111221()()()n n n n n P P P P P P P P ----=-+-+⋯+- 12111()()()333n n -=-+-+⋯+-111[1()]123n -=-- 11n n P P P P ∴=-+∴113()434n n P =⨯-+． 类型三：利用导数研究概率问题18．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，求()()f p f p 的最大值点0p （即()f p 取最大值时对应的p 的值）．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值，已知每件产品的检验费用为3元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付28元的赔偿费用 ()i 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用之和记为X 求()E X ； ()ii 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解析】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，则221820()(1)f p C p p =-，2182172172020()[2(1)18(1)]2(1)(110)f p C p p p p C p p p ∴'=---=--，令()0f p '=，得0.1p =，当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>， 当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<， f ∴()p 的最大值点00.1p =．（2）()i 由（1）知0.1p =，令Y 表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知~(180,0.1)Y B ， 20328X Y =⨯+，即6028X Y =+，()(6028)6028()60281800.1564E X E Y E Y ∴=+=+=+⨯⨯=．()ii 如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为600元， ()564600E X =<，∴应该对余下的产品不进行检验．19．某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各个水果是否为不合格品相互独立．（Ⅰ）记10个水果中恰有2个不合格品的概率为()f p ，求()f p 取最大值时p 的值0p ；（Ⅱ）现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以（Ⅰ）中确定的0p 作为p 的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a 元的赔偿费用(*)a N ∈．（ⅰ）若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？【解析】解：（Ⅰ）记10个水果中恰有2个不合格的概率为()f p ，则22810()(1)f p C p p =-，282710()[2(1)8(1)]f p C p p p p ∴'=---，由()0f p '=，得0.2p =．且当(0,0.2)p ∈时()0f p '>，当(0.2,1)p ∈时，()0f p '<， ()f p ∴的最大值点00.2p =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知00.2p =．（ⅰ）令Y 表示余下的70个水果中的不合格数，依题意~(70,0.2)Y B ，10 1.515X aY aY =⨯+=+．()(15)15()15700.21514E X E aY aE Y a a ∴=+=+=+⨯⨯=+．（ⅱ）如果对余下的水果作检验，则这箱水果的检验费为120元， 由1514120a +>，得1057.514a >=，且*a N ∈， ∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验．高考预测三：决策问题20．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个300元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面柱状图．以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（1）求X 的分布列；（2）若要求()0.5P X n ，试确定n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？【解析】解：（1）每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11，记事件1A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件(1i =，2，3，4)，记事件1B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件(1i =，2，3，4)，由题知134134()()()()()()0.2P A P A P A P B P B P B ======，22()()0.4P A P B ==，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22， 11(16)()()0.20.20.04P X P A P B ===⨯=；1221(17)()()()()0.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=；132231(18)()()()()()()0.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=；14233241(19)()()()()()()()()0.20.20.20.20.40.20.20.40.24P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯+⨯+⨯=；243342(20)()()()()()()0.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=；3443(21)()()()()0.20.20.20.20.08P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=；44(22)()()0.20.20.04P X P A P B ===⨯=．从而X 的分布列为（2）要()0.5P x n ，0.040.160.240.5++<，0.040.160.240.240.5+++，则n 的最小值为19；（3）购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当19n =时，费用的期望为193005000.210000.0815000.045940⨯+⨯+⨯+⨯=元，当20n =时，费用的期望为203005000.0810000.046080⨯+⨯+⨯=元，若要费用最少，所以应选用19n =．高考预测四：正态分布21．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：)cm ．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1i =，2，⋯，16．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01)． 附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，160.99740.9592≈，0.09．【解析】解：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B ．因此，16(1)1(0)10.99740.0408P X P X =-==-≈；（2）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=， 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外， 因此需对当天的生产过程进行检查，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22， 剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=， 因此μ的估计值为10.02，162221160.212169.971591.134i i x ==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22， 剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈．因此σ0.09≈．22．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用 ①的结果，求EX。
第7讲 分布列与数学期望(解析版)
第7讲分布列与数学期望(解析版)第7讲分布列与数学期望(解析版)在统计学中，分布列与数学期望是常用的分析工具。
它们能够帮助我们理解随机变量的分布和特征。
本文将对分布列与数学期望进行解析，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、分布列分布列是用来描述离散型随机变量的概率分布的一种方式。
对于一个具体的随机变量X，其可能取到的数值通常是有限个或可数个。
我们可以列出每个数值对应的概率，形成一张分布列。
分布列通常以表格的形式呈现，其中包括随机变量的取值和对应的概率。
举个例子，假设随机变量X表示投掷一个骰子后的点数。
在这种情况下，X可以取到1、2、3、4、5、6这六个数值。
我们可以计算出每个数值对应的概率，得到如下的分布列：| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 ||-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|| P(X) | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |通过分布列，我们可以清晰地看到每个点数出现的概率是相等的。
除了离散型随机变量外，连续型随机变量也可以通过分布列进行描述。
连续型随机变量的分布列变成了概率密度函数，其中表示为概率的数值变为密度。
二、数学期望数学期望是随机变量的平均值，在概率论中有着重要的意义。
数学期望反映了随机变量取值的中心位置。
对于离散型随机变量X，其数学期望E(X)定义为：E(X) = ∑(x·P(X=x))其中，x表示随机变量X的取值，P(X=x)表示该取值的概率。
以前述的投骰子问题为例，我们可以计算出随机变量X的数学期望：E(X) = (1/6)·1 + (1/6)·2 + (1/6)·3 + (1/6)·4 + (1/6)·5 + (1/6)·6= 3.5可以看出，投骰子问题中，骰子点数的数学期望是3.5。
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(Ⅰ)求该项技术量化得分不低于8分的概率；
(Ⅱ)记该技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量 ，求 的分布列与数学期望。
则 ， ，
∴ ．
故在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 ．
4.解：（1）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.由于事件A、B相互独立，
且 , .
所以取出的4个球均为黑球的概率为 .
（2）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C、D互斥，
而事件 、 、 互斥，
所以， ．
由条件概率公式，得
，…………………………………9分
，…………………………………10分
．…………………………………11分
所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为
．…………………………………12分
9.⑴设此人至少命中目标2次的事件为A,则 ，
即此人至少命中目标2次的概率为 ．……………………………………………4分
5、为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.
（I）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
（II）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望.
（1）求此人至少命中目标2次的概率；
（2）若此人前3次射击都没有命中目标，再补射一次后结束射击；否则。射击结束。记此人射击结束时命中目标的次数为X，求X的数学期望。
答案：
3.解： 的所有可能取值为0，1，2．
依题意，得 ，
， ．∴ 的分布列为0源自12∴ 。
（2）设“男生甲被选中”为事件 ，“女生乙被选中”为事件 ，
8.某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．
（1）设第一次训练时取到的新球个数为 ，求 的分布列和数学期望；
（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．
9、假定某人每次射击命中目标的概率均为 ，现在连续射击3次。
(2)由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为 ……8分
所以 服从二项分布,
随机变量 的分布列为：
0
1
2
3
则 ……………………12分
(或: )
7.
8.解：（1） 的所有可能取值为0，1，2．………………………………………1分
设“第一次训练时取到 个新球（即 ）”为事件 （ 0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以
⑵由题设知 的可能取值为0，1，2，3，且 ，
， ，
，…………………………………………………………8分
从而 .………………………………10分
6.（本题满分12分）
为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情
况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，
已知图中从左到右的前 个小组的频率之比为 ，其中第
小组的频数为 .
(1)求该校报考飞行员的总人数;
(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望.
分布列与数学期望
离散型随机变量的分布列与数学期望
班级姓名
0
1
2
p
x2
X
1.已知随机变量 的分布列
如右表：则x=。
2.两封信随机投入 三个空邮箱，则
邮箱的信件数 的数学期望 ．
3.某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的
干部竞选．
（1）设所选3人中女生人数为 ，求 的分布列及数学期望；
，………………………………………3分
，………………………………………5分
．………………………………………7分
所以 的分布列为（注：不列表，不扣分）
0
1
2
的数学期望为 ．……………………………………8分
.（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件 ．
则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件 ．
且 , .
所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为
.
（3）设 可能的取值为0,1,2,3.
由（1）、（2）得 , , .
所以 .
∴ 的数学期望为 .
5、（1）
（2）：
X
0
1
2
3
P
EX=0 +1 +2 +3 =1
6、解：（1）设报考飞行员的人数为 ,前三小组的频率分别为 ,则由条件可得:
解得 ……4分
又因为 ，故 ……………………………6分
（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率．
4.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．
（1）求取出的4个球均为黑球的概率；
（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；
（3）设 为取出的4个球中红球的个数，求 数学期望．