计算几何
计算几何
思考如下图形：
2020/2/6
9
先看最简单的多边形——三角形
2020/2/6
10
三角形的面积：
在解析几何里， △ABC的面积可以通过 如下方法求得：
点坐标 => 边长 => 海伦公式 => 面积
2020/2/6
11
思考：此方法的缺点：
计算量大 精度损失
更好的方法？
2020/2/6
12
31
2020/2/6
32
计算几何题的特点与做题要领
1.大部分不会很难，少部分题目思路很巧妙 2.做计算几何题目，模板很重要，模板必须高度可靠
。 3.要注意代码的组织，因为计算几何的题目很容易上
两百行代码，里面大部分是模板。如果代码一片混乱 ，那么会严重影响做题正确率。 4.注意精度控制。 5.能用整数的地方尽量用整数，要想到扩大数据的方 法（扩大一倍，或扩大sqrt2）。因为整数不用考虑浮 点误差，而且运算比浮点快。
2020/2/6
18
2020/2/6
19
2020/2/6
20
2020/2/6
21
2020/2/6
22
2020/2/6
23
2020/2/6
24
2020/2/6
25
2020/2/6
26
2020/2/6
27
2020/2/6
28
2020/2/6
29
2020/2/6
30
2020/2/6
形。
P3 P4
P2
P0
P1
P5 P6
设你种了很多树，想用一个篱笆把所有的
树都包在里面。出于经济考虑，这个篱笆应该是越 小越好。
计算几何-多边形重心公式
计算⼏何-多边形重⼼公式计算⼏何-多边形的重⼼1. 1 累加和求重⼼设平⾯上有N 个离散数据点( xi , yi ) ( i = 1, 2, ., n) , 其多边形重⼼G( . x1, . y1) 为:这是求多边形最简单直观的⽅法。
可以直接利⽤离散数据点的x, y坐标就能求图形重⼼。
但是缺陷在于没有对离散数据点所围图形做任何处理和分析,精度不够。
1. 2算法⼀：在讲该算法时，先要明⽩下⾯⼏个定理。
定理1已知三⾓形△A1A2A3的顶点坐标Ai ( xi , yi ) ( i =1, 2, 3) 。
它的重⼼坐标为: xg = (x1+x2+x3) / 3 ;yg = (y1+y2+y3) / 3 ;定理2已知三⾓形△A1A2A3的顶点坐标Ai ( xi , yi ) ( i =1, 2, 3) 。
该三⾓形的⾯积为: S = ( (x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 -y1) ) / 2 ;△A1A2A3 边界构成逆时针回路时取+ , 顺时针时取-。
另外在求解的过程中，不需要考虑点的输⼊顺序是顺时针还是逆时针，相除后就抵消了。
原理:将多边形划分成n个⼩区域, 每个⼩区域⾯积为σi ,重⼼为Gi ( xi , yi ) ,利⽤求平⾯薄板重⼼公式把积分变成累加和:由前⾯所提出的原理和数学定理可以得出求离散数据点所围多边形的⼀般重⼼公式:以Ai ( xi , yi ) ( i = 1, 2, ., n) 为顶点的任意N 边形A1A2 .An ,将它划分成N - 2个三⾓形(如图1) 。
每个三⾓形的重⼼为Gi (xi , . yi ) ,⾯积为σi。
那么多边形的重⼼坐标G( x2, .y2) 为:图1 多边形分解例题：HDU 1115 Lifting the Stone代码：如下。
1 #include2 #include3 #include4struct centre5 {6double x , y ;7 };8int cas , n ;9double Area( centre p0 , centre p1 , centre p2 )10 {11double area = 0 ;12 area = p0.x * p1.y + p1.x * p2.y + p2.x * p0.y - p1.x * p0.y - p2.x * p1.y - p0.x * p2.y;13return area / 2 ; // 另外在求解的过程中，不需要考虑点的输⼊顺序是顺时针还是逆时针，相除后就抵消了。
计算机科学中的计算几何学
计算机科学中的计算几何学计算几何学是计算机科学中一个重要的领域，它涵盖了许多与图形和几何有关的问题，例如计算多边形的面积和周长、求解几何元素之间的关系和位置、以及生成三维图形等等。
计算几何学在许多应用领域中都有广泛的应用，例如计算机辅助设计、虚拟现实、机器人技术等等。
在计算几何学中，最基本的问题是如何表示和存储几何对象。
传统的方式是使用点、线和面等基本元素来描述几何对象。
对于平面几何问题，经典的数据结构是平面直角坐标系（Cartesian coordinates）和极坐标系（polar coordinates）。
在三维几何问题中，一般使用欧几里得空间（Euclidean space）或齐次坐标系（homogeneous coordinates）来表示和计算。
此外，还可以使用参数曲线和曲面等高级数据结构来描述更复杂的几何对象。
计算几何学中的许多问题都涉及到了求解几何元素之间的关系和位置。
其中最常见的问题之一是交点问题（intersection problem），即求解两条或多条直线或曲线在二维或三维空间中的交点。
还有一类常见问题是求解点与线、点与面之间的位置关系。
例如，如何判断一个点是否在一个多边形内部？如何判断两个三角形是否相交？这些问题的解决方法涉及到了许多经典的算法，例如扫描线算法（scanline algorithm）、凸包算法（convex hull algorithm）和线性规划算法（linear programming algorithm）等等。
计算几何学的另一个重要领域是计算几何优化。
它涉及在给定约束条件下求解几何问题的最优解。
例如，在给定的几何对象中，如何找到包含最大面积的矩形？如何找到通过给定点的最短路径？这些问题需要一些经典的数学工具和算法，例如拉格朗日乘数法（Lagrange multiplier method）、离散化技术（discretization）和动态规划算法（dynamic programming algorithm）等等。
计算几何学复习
设f为p2在中垂线的方位标志；d为凸多 边形顶点在中垂线的方位标志
1 f 1 回答" hotter"时p2在中垂线上方或者回答 " colder"时p2在中垂线下方 回答" hotter"时p2在中垂线下方或者回答 " colder"时p2在中垂线上方
1 d [i] 1 0
f (n) f (n 1) t (n) 1 f (n 2) t (n 1) 1 t (n) 1 f (1) t (i ) n 1 t (i ) n 1
i 2 i 2 n n
u［1.. L］为线段序列，其中u[i]为第i条线段。计算 过程如下 T←0；｛交点数初始化｝ for i←1 to L do｛统计L条线段之间的交点个数｝ for j←i+1 to L do if u[i]与u[j]相交 then T←T+1； 输出T+L+1；
逆时针S
1 x2 2 x3
x1
y1 1 y2 1 y3 1
1 ( x1 y2 x2 y3 x3 y1 x1 y3 x2 y1 x3 y2 ) 2
1、某个均质物体（即物体的面积与质量成正比）的形状 为平面三角形的话，则物体的质量就是三角形面积，该 物体的重心位置为物体的质点。 2、利用系统内各物体间的质点关系计算系统的质心位置 （也是系统重心位置）和质量。假设平面上有两个质点， 坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，质量分别为m1,m2，则它们 组成的系统的质量m和质心位置（x,y）满足
机器蛇
在未来的某次战争中，我军计划了一次军事行动，目的 是劫持敌人的航母。由于这个计划高度保密，你只知道 你所负责的一部分：机器蛇的通信网络。计划中要将数 百条机器蛇投放到航母的各个角落里。由于航母内部舱 室、管线错综复杂，且大部分由金属构成，因此屏蔽效 应十分强烈，况且还要考虑敌人的大强度电子干扰，如 何保持机器蛇间的联系，成了一大难题。每条机器蛇的 战斗位置由作战计划部门制定，将会及时通知你。每条 机器蛇上都带有接收、发射系统，可以同时与多条机器 蛇通讯。由于整个系统承载的数据量庞大，需要一个固 定的通讯网络。情报部门提供了极其详尽的敌方航母图 纸，使你对什么地方有屏蔽了如指掌。 请你设计一个程序，根据以上信息构造通讯网络， 要求信息可以在任意两条机器蛇间传递，同时为了避免 干扰，通讯网络的总长度要尽可能的短。
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是计算机科学的一个重要分支，它结合了几何学与计算，研究如何使用计算方法解决几何问题。
随着计算机技术的发展，计算几何所涉及的问题越来越多，应用也变得愈加广泛。
本文将对计算几何的基本概念、应用以及相关算法进行详细讨论。
什么是计算几何计算几何是研究几何对象及其关系，使用算法和数据结构来解决几何问题的领域。
其主要研究内容包括点、线、面、体及其组合的性质和运算，如距离、夹角、面积、交点等。
它在处理具有空间特征的问题时显得尤为重要，例如计算机图形学、机器人导航、地理信息系统（GIS）、CAD（计算机辅助设计）等领域。
基本概念几何对象：在计算几何中，最基本的几何对象包括点、线段、多边形、多面体等。
空间维度：计算几何可分为一维（线）、二维（平面）和三维（空间）。
不同维度的几何问题解决方法有所不同。
组合几何：研究有限点集之间的组合关系，例如点与点之间的连线构成的图形。
算法复杂性：在解决几何问题时，算法的时间复杂性与空间复杂性是一个重要考量因素。
常用的数据结构包括平衡树、链表、栈等。
计算几何中的基本算法在计算几何中，有许多经典算法可以用来解决各种问题。
以下是一些重要的算法：凸包算法凸包是指一个点集的最小凸形状。
在二维平面上，凸包可以想象成一个橡皮筋套在点集周围。
常用的计算凸包的算法有：Graham扫描算法：先选择一个基准点，然后根据极角对其他点进行排序，最后通过规则判断哪些点构成凸包。
Jarvis行走法：从一个极点开始，不断找到下一个最远的点，直到回到起始点。
最近点对给定一组点，寻找其中距离最近的一对点。
常见的方法有：暴力搜索法：逐一比较每对点，时间复杂度为O(n^2)。
分治法：通过划分空间减少比较次数，时间复杂度降至O(n log n)。
线段相交判断两条线段是否相交是一个基本问题，可用于图形碰撞检测。
常用方法包括：扫动线法：以一条假想的垂直线从左到右移动，并利用事件队列存储可能相交的线段。
计算几何 算法与应用 第3版
计算几何算法与应用第3版（原创实用版）目录1.计算几何学概述2.计算几何：算法与应用第三版的主要内容3.计算几何的应用领域4.计算几何算法的设计与分析5.计算几何的未来发展趋势正文一、计算几何学概述计算几何学是计算机科学与几何学相结合的一门学科，它主要研究如何使用算法来解决几何问题。
计算几何学的产生可以追溯到 20 世纪 70 年代末，它从算法设计与分析中孕育而生，并逐渐形成了自己的学术刊物和学术会议。
二、计算几何：算法与应用第三版的主要内容《计算几何：算法与应用》第三版是由 Mark de Berg、Otfried Cheong、Marc van Kreveld 和 Mark Overmars 等人编写的一本关于计算几何的经典教材。
全书共分 11 章，内容包括预备知识、几何查找（检索）、多边形、凸壳及其应用、Voronoi 图、三角剖分及其应用、交与并及其应用、多边形的获取及相关问题、几何体的划分与等分、算法的运动规划、几何拓扑网络设计、随机几何算法与并行几何算法等。
三、计算几何的应用领域计算几何在许多领域都有广泛的应用，如计算机图形学、图像处理、计算机辅助设计、虚拟现实、地理信息系统、机器人学等。
在这些领域中，计算几何算法可以用来解决诸如几何形状的建模、几何关系的计算、几何图形的裁剪和划分等问题。
四、计算几何算法的设计与分析计算几何算法的设计与分析是计算几何学的核心内容。
设计一个好的计算几何算法，需要对几何问题进行深入的理解，并运用计算机科学的知识来巧妙地解决问题。
在算法的分析方面，主要涉及到算法的正确性、时间复杂度和空间复杂度等方面的研究。
五、计算几何的未来发展趋势随着计算机技术的不断发展，计算几何也在不断地拓展新的领域和应用。
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形的性质和空间关系，并通过数学方法进行计算和推导。
在现代社会中，计算几何不仅在数学领域有着广泛的应用，还在计算机图形学、计算机辅助设计、地理信息系统等领域发挥着重要作用。
本文将介绍计算几何的基本概念和常见应用，帮助读者了解和掌握这一领域的知识。
一、基本概念1. 点、线、面：在计算几何中，点是最基本的几何对象，用来表示位置；线由两个点确定，是一维的几何对象；面由三个或三个以上的点确定，是二维的几何对象。
2. 向量：向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示，常用来表示位移、速度等物理量。
在计算几何中，向量可以用来表示线段、直线等几何对象。
3. 坐标系：坐标系是用来描述空间位置的工具，常见的有直角坐标系、极坐标系等。
在二维空间中，直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴构成；在三维空间中，直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴构成。
4. 向量运算：向量的加法、减法、数量积、向量积等运算是计算几何中常见的操作，可以用来求解几何问题。
5. 几何变换：平移、旋转、缩放等几何变换是计算几何中常用的操作，可以改变几何对象的位置、方向和大小。
二、常见应用1. 点、线、面的位置关系：计算几何可以用来判断点是否在直线、线段、射线、多边形内部，以及线段、直线、射线的相交关系等。
2. 几何问题求解：计算几何可以用来求解距离、角度、面积等几何问题，如求两点之间的距离、判断三角形的形状、计算多边形的面积等。
3. 几何构图：计算几何可以用来进行几何构图，如画出两点之间的直线、作出与已知直线垂直的直线、求两圆的交点等。
4. 几何优化：计算几何可以用来进行几何优化，如求解最短路径、最大面积、最小包围矩形等问题，对于一些实际应用具有重要意义。
5. 计算机图形学：计算几何在计算机图形学中有着广泛的应用，可以用来表示和处理图形对象，实现图形的绘制、变换、渲染等功能。
6. 地理信息系统：计算几何在地理信息系统中也有着重要的应用，可以用来处理地理数据、分析地理空间关系，实现地图的绘制、导航、遥感等功能。
计算几何在机器人运动规划、计算机图形学、虚拟现实等领域的应用研究
计算几何在机器人运动规划、计算机图形学、虚拟现实等领域的应用研究摘要计算几何作为计算机科学的一个重要分支，研究使用计算机处理几何图形的算法和数据结构。
它在机器人运动规划、计算机图形学、虚拟现实等领域有着广泛的应用。
本文将从计算几何的基本概念和常用算法入手，深入探讨其在上述领域中的具体应用，并分析其优势和局限性。
同时，针对未来发展趋势和研究方向进行展望。
关键词：计算几何，机器人运动规划，计算机图形学，虚拟现实，算法，数据结构一、引言计算几何研究的是使用计算机处理几何图形的算法和数据结构。
它涉及到对几何对象的创建、存储、操作、分析和渲染等方面，是计算机图形学、机器人学、计算机辅助设计、地理信息系统等众多领域的基石。
随着计算机硬件性能的提升和算法的不断优化，计算几何在各个领域的应用越来越广泛。
例如，在机器人运动规划中，计算几何可以帮助机器人规划出一条安全的、无碰撞的路径；在计算机图形学中，计算几何可以用来生成逼真的三维模型和场景；在虚拟现实中，计算几何可以用来构建虚拟世界，并使用户能够与虚拟环境进行交互。
本文将深入探讨计算几何在机器人运动规划、计算机图形学、虚拟现实等领域中的应用，并分析其优势和局限性。
二、计算几何概述2.1 基本概念计算几何涉及到以下几个基本概念：*几何对象:包括点、线段、直线、多边形、多面体等。
*几何操作:包括点集运算、线段交点、多边形面积、凸包计算、Voronoi 图、Delaunay 三角剖分等。
*数据结构:包括点线树、网格、Kd 树、R 树等。
2.2 常用算法计算几何中常用的算法包括：*凸包算法:寻找给定点集的最小凸多边形。
*最近邻搜索算法:寻找给定点集中的最近邻点。
*Voronoi 图算法:将平面划分成多个区域，每个区域内的点距离某个特定点最近。
*Delaunay 三角剖分算法:将给定点集剖分成三角形网格，并满足特定条件。
*线段交点检测算法:判断两条线段是否相交。
三、计算几何在机器人运动规划中的应用3.1 问题描述机器人运动规划是指在给定的环境中，为机器人规划出一条安全的、无碰撞的路径，使其能够从起点到达终点。
计算机中的计算机科学中的计算几何和论有哪些应用
计算机中的计算机科学中的计算几何和论有哪些应用计算机科学中的计算几何和论有着广泛的应用，从图像处理到机器学习，都离不开这两个领域的技术。
在本文中，我们将探讨计算机科学中计算几何和论的几个主要应用。
1. 计算几何在计算机图形学中的应用计算几何是计算机图形学领域的重要组成部分，它研究如何在计算机中表示和操作图形对象。
通过计算几何的技术，计算机可以实现图像的生成、变形、渲染等功能。
例如，计算几何可以用于计算线段的交点，从而实现线段的裁剪和相交判断，为计算机图形学提供了基本的数学工具。
2. 计算几何在计算机辅助设计中的应用计算几何在计算机辅助设计（CAD）中发挥着重要的作用。
CAD 系统可以帮助工程师和设计师进行设计、模拟和优化工作。
在CAD系统中，计算几何可以用于描述和计算几何形状，如曲线、曲面等。
通过计算几何的技术，CAD系统可以进行几何建模、曲面平滑和曲线拟合等操作，提高设计效率和准确性。
3. 计算几何在计算机视觉中的应用计算几何在计算机视觉领域有着广泛的应用。
计算几何的技术可以帮助计算机识别和理解图像中的几何结构。
例如，通过计算几何的算法，计算机可以在图像中检测和跟踪目标对象的形状和位置，实现目标跟踪和识别。
计算几何还可以用于图像重建、立体视觉等领域，为计算机视觉提供了基础的数学方法和工具。
4. 计算论在机器学习中的应用计算论是研究问题可计算性和计算方法的数学分支，它在机器学习领域有着重要的应用。
机器学习是一种利用计算机算法来实现自动学习和模式识别的技术。
计算论的技术可以用于分析和设计机器学习算法的性能和复杂性。
例如，计算论可以帮助分析机器学习算法的收敛性和泛化能力，为算法的改进提供理论保证。
5. 计算论在密码学中的应用计算论在密码学领域有着广泛的应用。
密码学是研究信息安全和加密技术的学科，它利用计算论的方法来设计和分析加密算法和协议。
计算论可以用于分析密码算法的安全性和抵抗性，设计具有强安全性的密码方案。
信息学竞赛中的计算几何问题与算法
信息学竞赛中的计算几何问题与算法计算几何是信息学竞赛中的一个重要篇章，它将几何学和计算机科学相结合，利用算法和数据结构解决实际问题。
在本文中，我们将探讨信息学竞赛中的计算几何问题以及相应的算法。
一、点和线的处理信息学竞赛中，点和线的处理是最基础的问题之一。
常见的问题有求两点之间的距离、点是否在线段上、点是否在多边形内、线段是否相交等。
对于求两点之间的距离，我们可以利用勾股定理进行计算。
假设有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则距离d可以通过以下公式计算：d = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。
判断点是否在线段上可以利用叉积的性质。
设点A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，则若AB和AC的叉积等于0，即(x2-x1)*(y3-y1) - (x3-x1)*(y2-y1) = 0，点C在线段AB上。
判断点是否在多边形内可以利用射线法。
假设有一条射线从当前点发出，若与多边形的边交点数为奇数，则点在多边形内；若为偶数，则点在多边形外。
判断线段是否相交可以利用线段相交的充要条件。
对于两条线段AB和CD，若AC和AD的叉积和BC和BD的叉积异号，并且CA和CB的叉积和DA和DB的叉积异号，则线段AB和CD相交。
二、面积和重心的计算另一个重要的计算几何问题是求解多边形的面积和重心。
多边形的面积可以通过求解多边形顶点的坐标和来计算，其中x[i]和y[i]分别表示第i个顶点的横坐标和纵坐标。
根据公式：Area = 0.5 * (x[0]*y[1] +x[1]*y[2] + ... + x[n-1]*y[0] - x[1]*y[0] - x[2]*y[1] - ... - x[0]*y[n-1])，即可求得多边形的面积。
多边形的重心是指多边形所有顶点的平均位置，计算重心的坐标可以通过求解多边形每个顶点和重心的横纵坐标之和的平均值来得到。
重心的横坐标的计算公式为：x = (x[0] + x[1] + ... + x[n-1]) / n，纵坐标的计算公式为：y = (y[0] + y[1] + ... + y[n-1]) / n。
计算几何
2.2.1 点积的定义
两个向量为： A x1 , x 2 ,..., x n B x1 , x 2 ,..., x n 定义两个向量的点积为：
AB
x
i 1
n
i
x i
2.2.2 点积的性质
两个向量的点积是标量 点积的变化与向量模的变化成正比。也 就是说，可以把向量标准化后再求点积， 然后再乘上某个系数，就可以得到原来向 量的点积
猜想由n个点(x1,y1), (x2,y2), ……, (xn,yn)构成 的多边形的重心的坐标是：
x1 x 2 ... x n y1 y 2 ... y n , n n
P1 P6
2.6.3 n边形的重心
x1 x 2 ... x n y1 y 2 ... y n , n n
xa xb
ya yb
b a
叉积的本质是一个向量，这个向量垂直于求叉积的 两个向量所在平面，大小是叉积的绝对值 二维情况的叉积向量平行于z轴，因此可以用正负号 表示方向
2.2 点积
2.2.1 点积的定义 2.2.2 点积的性质 2.2.3 点积的几何解释 2.2.4 点积与余弦函数的关系
可以用arctan2函数求得各个点的极角，然后排 序。但这样做会有浮点误差，且计算极角的运算 量大，没有用到几何特性，也没有深入使用排序 算法 满足全序关系，就能排序，无需算值
3.2.2.4 共线问题解决
Graham-Scan算法执行过程中会碰到多 点共线的情况 此时的一个解决办法是每次取三个点， 如果三者共线，则去掉中间的点
2.4.2 多边形分类
如果多边形任意两条不相邻的边没有公共交点，则称这个多边 形为简单多边形；否则称为复杂多边形 但一类特殊的复杂多边形称为临界多边形，在性质上更接近于 简单多边形
计算几何算法简介
计算几何算法简介运算机的显现使得很多本来十分繁琐的工作得以大幅度简化，可是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并非简单的通用解决方案，比如几何问题。
作为运算机科学的一个分支，计算几何要紧研究解决几何问题的算法。
在现代工程和数学领域，计算几安在图形学、机械人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。
在本文中，咱们将对计算几何经常使用的大体算法做一个全面的介绍，希望对您了解并应用计算几何的知识解决问题起到帮忙。
算法1矢量的概念：若是一条线段的端点是有顺序之分的，咱们把这种线段成为有向线段(directed segment)。
若是有向线段p1p2的起点p1在座标原点，咱们能够把它称为矢量(vector)p2。
矢量加减法：设二维矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2 , y2 )，那么矢量加法概念为：P + Q = ( x1 + x2 , y1 + y2 )，一样的，矢量减法概念为：P - Q = ( x 1 - x2 , y1 - y2 )。
显然有性质P + Q = Q + P，P - Q = - ( Q - P )。
矢量叉积：计算矢量叉积是与直线和线段相关算法的核心部份。
设矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2, y 2 )，那么矢量叉积概念为由(0,0)、p一、p2和p1+p2所组成的平行四边形的带符号的面积，即：P ×Q = x1*y2 - x2*y1，其结果是一个标量。
显然有性质P ×Q = - ( Q ×P ) 和P ×( - Q ) = - ( P ×Q )。
一样在不加说明的情形下，本文下述算法中所有的点都看做矢量，两点的加减法确实是矢量相加减，而点的乘法那么看做矢量叉积。
叉积的一个超级重要性质是能够通过它的符号判定两矢量彼此之间的顺逆时针关系：假设P ×Q > 0 , 那么P在Q的顺时针方向。
计算几何算法与实现
计算几何算法与实现
计算几何算法是计算机科学领域中的一个重要分支，其主要研究对象是在计算机中对几何形体的描述、计算和变换。
计算几何算法包括点、线、多边形、曲线、曲面等几何形体的基本操作，如插值、拟合、裁剪、交、并、差、距离、相似变换、仿射变换、透视变换等。
在实际应用中，计算几何算法被广泛应用于计算机图形学、计算机辅助设计、计算机视觉、机器人、计算机动画等领域。
本书旨在系统介绍计算几何算法及其实现方法，涵盖了点、线、多边形、曲线、曲面等几何形体的基本操作及其应用。
本书共分为四个部分。
第一部分介绍计算几何算法的基础知识，包括坐标系、向量、点乘、叉乘、向量长度、向量夹角等概念。
第二部分重点介绍计算几何算法的基本操作，包括点、线、多边形、曲线、曲面的插值、拟合、裁剪、交、并、差、距离等。
第三部分介绍计算几何算法的应用，包括计算机图形学、计算机辅助设计、计算机视觉、机器人、计算机动画等领域的常用算法及其实现方法。
第四部分介绍计算几何算法的最新进展，包括深度学习、机器学习、数据挖掘等领域中的应用。
本书的目标读者为计算机科学及相关专业的本科、研究生学生，以及从事计算机图形学、计算机辅助设计、计算机视觉、机器人、计算机动画等领域工作的专业人员。
本书既可作为高校计算几何算法课程的教材，也可作为相关领域从业人员的参考书。
- 1 -。
几何计算
计算几何的常用算法1. 矢量减法设二维矢量 P = （x1,y1），Q = (x2,y2)则矢量减法定义为： P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )显然有性质 P - Q = - ( Q - P )如不加说明，下面所有的点都看作矢量，两点的减法就是矢量相减；2.矢量叉积设矢量P = （x1,y1），Q = (x2,y2)则矢量叉积定义为：P × Q = x1*y2 - x2*y1 得到的是一个标量显然有性质P × Q = - ( Q × P )P × ( - Q ) = - ( P × Q )如不加说明，下面所有的点都看作矢量，点的乘法看作矢量叉积；叉乘的重要性质：> 若P × Q > 0 , 则P 在Q的顺时针方向> 若P × Q < 0 , 则P 在Q的逆时针方向> 若P × Q = 0 , 则P 与Q共线，但可能同向也可能反向3.判断点在线段上设点为Q，线段为P1P2 ，判断点Q在该线段上的依据是：( Q - P1 ) × ( P2 - P1 ) = 0 且 Q 在以 P1，P2为对角顶点的矩形内4.判断两线段是否相交我们分两步确定两条线段是否相交：(1)．快速排斥试验设以线段 P1P2 为对角线的矩形为R，设以线段 Q1Q2 为对角线的矩形为T，如果R和T不相交，显然两线段不会相交；(2)．跨立试验如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方，如图1所示。
在图1中，P1P2跨立Q1Q2 ，则矢量 ( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位于矢量( Q2 - Q1 ) 的两侧，即( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) < 0上式可改写成( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) > 0当 ( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) = 0 时，说明 ( P1 - Q1 ) 和( Q2 - Q1)共线，但是因为已经通过快速排斥试验，所以 P1 一定在线段 Q1Q2上；同理，( Q2 - Q1) ×(P2 - Q1 ) = 0 说明 P2 一定在线段 Q1Q2上。
高考数学中的立体几何与计算几何分析总结
高考数学中的立体几何与计算几何分析总结高考是考生人生中非常重要的一次考试，而数学是高考中占比最高的科目之一。
数学题型繁多，其中涉及到了许多几何知识。
本文主要介绍高考数学中的立体几何与计算几何分析，帮助考生掌握这些知识点，提高考试分数。
一、立体几何1、空间直线与平面空间直线是指既不在同一平面上，又不相交的两条直线，即两条直线在空间中具有公共点。
而空间平面是指空间内的一个平面，该平面可以包括一条或多条直线。
在考试中，经常会考察到空间中直线与平面的交点问题，需要掌握这些内容的计算。
2、圆锥与圆台在立体几何中，经常会涉及到圆锥与圆台的计算。
圆锥是指一个有一个点作为顶点，围绕着这个点形成的所有直线交于其中一个固定的平面曲线上。
圆台是指一个圆周绕着一个直线旋转而成的立体图形。
这两种几何图形的计算方法包括：表面积、体积、高等等。
3、棱柱与棱锥棱柱是指一个由若干条平行线段与若干个相邻平行截面聚合而成的几何图形。
棱锥是指一个底面为多边形的锥体。
这两种几何图形的计算方法也包括：表面积、体积、高等等。
4、球体球体是一个具有对称性的完整曲面，由无数个等半径的圆一起组成。
在考试中，常常会考察球体的表面积和体积计算，需要掌握这些方法。
二、计算几何1、向量向量是计算几何中非常重要的一个概念。
它是指一个有大小和方向的量，用箭头表示。
在计算几何中，向量有许多应用，包括向量的加减乘除、平行向量、垂直向量等等。
2、直线与平面方程直线与平面方程也是计算几何中重要的概念。
其中，直线方程的表示方法有点斜式方程、一般式方程、斜截式方程等。
而平面方程的表示方法一般有点法式方程、截距式方程等。
3、空间几何体的投影空间几何体的投影是指几何体在三个互相垂直的方向上对应的平面上所呈现的图形。
在计算几何中，经常需要求出各种空间几何体的投影，需要掌握相关计算方法。
4、曲线方程曲线方程是指用函数的方程来表示一个点的坐标。
计算几何中常见的曲线方程包括：直线方程、圆的方程、椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程等。
计算几何入门及应用
计算几何入门及应用计算几何是现代计算机科学、数学与工程技术中的一个重要分支。
它研究空间中各种几何对象的表示、存储、处理与运算。
伴随着计算机技术的发展，计算几何的应用也越来越广泛，从计算机图形学、CAD （计算机辅助设计）到模式识别与机器学习等领域均有涉及。
本文将从基本概念入手，逐步深入，探讨计算几何的基本理论、主要算法以及实际应用中的重要性。
计算几何的基本概念在讨论计算几何之前，我们首先需要理解一些基本的几何概念和术语。
计算几何主要关注以下几个方面：1. 点、线、面和多边形点是最基本的几何元素，通常用坐标表示。
在二维空间中，我们用坐标 (x, y) 来表示一个点；而在三维空间中，则使用 (x, y, z)来表示。
此外，线由两个点确定，面则由三条边围成的区域形成。
多边形是由有限条线段首尾相连形成的闭合图形，例如三角形、矩形等。
2. 几何变换几何变换是对几何对象进行的位置、大小和方向的改变。
常见的变换包括平移、旋转和缩放。
通过这些变换，可以实现对象的重新定位以及调整其尺寸以适应不同的应用场景。
3. 几何算法几何算法是处理和分析几何对象的步骤和方法。
这些算法解决诸如点与线的关系、点是否在多边形内等问题。
高效的几何算法能够提高计算效率，对于大规模数据处理尤为重要。
计算几何中的重要算法在计算几何中，有一些关键算法为我们解决复杂问题提供了必要工具。
以下将介绍其中几个广泛应用且基础的重要算法。
1. 凸包算法凸包是指能够包含一组点的最小凸多边形。
凸包问题在许多领域都有广泛应用，包括数据可视化、模式识别等。
著名的求解凸包的算法包括Graham扫描法和Jarvis行侠法等。
Graham扫描法具体步骤如下： - 将所有点按照x坐标排序，如果x坐标相同则按照y坐标排序。
- 选定左下角点为起始点，按极角顺时针排序。
- 利用栈结构循环判断当前点与栈顶两点所组成的角度来维护凸包。
此算法在时间复杂度上表现良好，通常为 (O(n n))。
信息学竞赛中的计算几何解题技巧
信息学竞赛中的计算几何解题技巧计算几何是信息学竞赛中非常重要的一个知识点，它涉及到如何在平面或者空间中计算和解决几何问题。
在信息学竞赛中，经常会出现与计算几何相关的问题，因此掌握一些计算几何解题技巧是非常重要的。
本文将介绍一些在信息学竞赛中常用的计算几何解题技巧，以帮助读者更好地应对这类问题。
一、平面上的点和向量表示在计算几何中，我们常常需要使用点和向量来表达位置和方向。
平面上的一个点可以用坐标表示，也可以用向量表示。
如果给定一个点的坐标为(x, y)，那么对应的向量为⃗v = (x, y)。
同样地，如果给定两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以用向量AB = ⃗v = (x2 - x1, y2 - y1)来表示从点A到点B的向量。
二、交点和夹角的计算在计算几何中，经常会遇到求线段或直线的交点以及两个向量之间的夹角的问题。
对于线段AB和CD，我们可以通过求解线段AB和CD的方程来找到它们的交点。
同样地，对于直线AB和CD，我们可以通过求解直线AB和CD的方程来找到它们的交点。
在计算夹角时，我们可以使用向量的点积来计算。
对于两个向量⃗v1 = (x1, y1)和⃗v2 = (x2, y2)，它们的点积为x1x2 + y1y2。
通过求解两个向量的点积，我们可以得到它们之间的夹角。
特别地，如果两个向量的点积等于0，那么它们互相垂直；如果两个向量的点积大于0，那么它们的夹角为锐角；如果两个向量的点积小于0，那么它们的夹角为钝角。
三、凸包的计算凸包是指包含给定点集合的最小凸多边形。
在计算几何中，凸包经常会出现在一些与点有关的问题中。
为了计算凸包，我们可以使用著名的Graham算法或者Andrew算法。
Graham算法是一种流行的凸包算法，它基于下面的原理：找到一个最下方的点P，然后按照与该点的极角大小对其他所有点进行排序。
接下来，使用栈结构，将P和排好序的点逐个加入栈中。
当加入一个点使得栈中的三个点形成一个右旋时，我们需要将前一个点从栈中弹出，直到不形成右旋为止。
计算几何中的各种应用及其实例分析
计算几何中的各种应用及其实例分析计算几何是一门涉及计算机科学和数学的学科。
其本质是将数学原理应用于计算器设计和计算机科学的领域中，并使用算法研究在一个给定的二维或三维空间中的物理对象的基础几何形式。
计算几何涉及的主要领域包括计算机视觉、图形学、机器学习等领域。
这篇文章将探讨计算几何中的各种应用及其实例分析。
一、计算几何的应用1. 人脸识别在人脸识别中，一张图片中的脸部要与已知的人脸数据库中的脸部进行比较，从而确定它属于哪个人。
计算几何提供了一种可靠的方法来实现这一目标。
通过计算两个脸部之间的距离、角度和比例等因素，可以在现实世界中对人脸进行分类和识别。
2. 医学图像学医学图像学可以通过计算几何的方法进行三维分析，从而提高诊断结果的准确性。
在手术中，医生可以使用计算几何技术生成实时图像，以确定术中物体位置、形状和尺寸等信息，从而更好地执行手术操作。
3. 图像矫正在图像处理中，计算几何方法可以用于图像矫正，即纠正失真、变形或缩放过的图像。
计算几何技术可以分析一个图像和它的已知属性(如角度、边长等)，并重构出一个与原始图像几乎相同的新图像，从而使图像变得更加清晰。
4. 堆叠箱最优化在物流行业中，堆叠箱最优化的问题是重要的，因为货物必须被输送到正确的地点。
计算几何可以用来解决这个问题，通过计算物品的大小、形状和数量等因素，从而确定每个堆叠箱应该被放置的位置，使物品尽可能地占用最少的空间。
二、计算几何应用的实例1. 人脸识别应用人脸识别应用是一种使用计算几何技术的应用。
OpenCV是一种图像处理工具箱，它提供了许多用于人脸和眼睛检测的方法。
在这种应用中，计算几何用于检测人脸和眼睛，并将它们与保存在数据库中的人脸进行比较。
如果找到了相应的匹配项，则该图像被标记为已识别的人。
2. 医学图像学应用医学图像学应用是使用计算几何技术来处理医学图像的领域。
这些图像包括X光片、超声波图像和核磁共振成像。
这些图像需要被处理以提取有用的信息，例如检测肿瘤、血管和其他异常。
计算几何在机器人运动规划、计算机图形学、虚拟现实、计算机辅助设计等领域的应用研究
计算几何在机器人运动规划、计算机图形学、虚拟现实、计算机辅助设计等领域的应用研究摘要计算几何作为计算机科学的一个重要分支，在处理几何形状和空间关系方面发挥着至关重要的作用。
它广泛应用于机器人运动规划、计算机图形学、虚拟现实和计算机辅助设计等领域，为解决这些领域中的关键问题提供了强大的理论基础和算法工具。
本文将深入探讨计算几何在上述领域的应用，并重点分析其在不同场景下的具体应用案例，以及未来的发展趋势。
关键词：计算几何，机器人运动规划，计算机图形学，虚拟现实，计算机辅助设计1. 引言计算几何研究的是计算机处理几何形状、空间关系和几何算法的理论和方法。
它涵盖了多种几何问题，例如点集、线段、多边形、多面体等几何对象的表示、分析、处理和计算。
随着计算机技术的发展，计算几何在各个领域中得到了广泛应用，特别是与人类生活息息相关的机器人技术、图形图像、虚拟现实和计算机辅助设计等领域。
2. 计算几何在机器人运动规划中的应用机器人运动规划是机器人领域的核心问题之一，其目标是为机器人找到一条安全的、无碰撞的、高效的运动路径，使其能够完成特定的任务。
计算几何在机器人运动规划中扮演着至关重要的角色，主要应用于以下方面：2.1 碰撞检测碰撞检测是指判断机器人与环境中的障碍物之间是否存在碰撞，是机器人运动规划的核心问题之一。
计算几何中的几何形状表示方法，如多边形、多面体等，可以用来描述机器人和环境中的障碍物，并利用这些表示方法进行碰撞检测。
常用的碰撞检测算法包括：*空间划分算法：将工作空间划分成若干个单元格，每个单元格内只包含一个物体。
该方法可以快速判断两个物体是否在同一个单元格内，从而快速排除碰撞可能性。
*包围盒算法：使用包围盒来近似表示物体，并判断包围盒之间是否存在重叠。
该方法简单快速，但精度较低。
*几何扫描算法：通过扫描物体之间的边或面来判断是否存在碰撞。
该方法精度较高，但计算量较大。
2.2 路径规划路径规划是指在给定的环境中，为机器人找到一条从起点到终点的安全、无碰撞的路径。
计算几何算法及其应用研究
计算几何算法及其应用研究计算几何是计算机科学的一个分支，研究如何在计算机上进行几何问题的计算。
计算几何算法包括基础的几何算法和高级的几何算法。
基础的几何算法主要用于计算点、线和面的基本属性，而高级几何算法则处理更为复杂的几何结构，如曲面和曲线等。
本文将介绍计算几何算法的基本概念及其应用研究。
一、基础的几何算法1. 点的计算点是计算几何解决问题的基础，研究点的计算方法对于计算几何是至关重要的。
点可以表示为(x,y)的坐标，其中x和y分别是点在x轴和y轴的坐标值。
计算两个点之间的距离可以使用勾股定理，即d=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。
2. 直线的计算直线是由特定的两个点所确定的，计算两个点之间的斜率可以使用公式m=(y2-y1)/(x2-x1)。
同时，可以使用点斜式或一般式来表示一条直线。
3. 外向包裹和凸包外向包裹和凸包是计算几何中最常用的算法之一。
凸包是包含了给定点集中所有点的最小凸多边形。
外向包裹也是一个多边形，但不一定是凸多边形。
4. 多边形的计算多边形是由多个线段连接形成的封闭图形。
计算多边形的面积可以使用格林公式，即A=1/2*sum(xi*yi+1-xi+1*yi)。
二、高级几何算法1. 曲面的计算曲面是指在三维空间中的曲线图形。
计算曲面的属性需要研究曲线方程和曲线变形等技术。
2. 曲线的计算曲线是在二维或三维空间中的非直线图形。
计算曲线的属性需要使用曲线方程，如贝塞尔曲线和贝塞尔曲面等。
3. 计算几何在计算机图形学中的应用计算几何算法在计算机图形学中有着广泛的应用，如计算机辅助设计、计算机动画、虚拟现实等领域。
它可以用于对三维物体进行建模、渲染和动态仿真。
三、结语计算几何算法及其应用研究是一个不断发展的领域。
随着科技的不断进步，计算几何算法也在不断创新和改进。
在未来的研究中，计算几何算法将会有更加广泛和深入的应用，使得我们能够更好地理解和掌握几何问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三、现代计算几何在各应用 领域的进展
平面上四次Bezier曲线， Bezier曲线 2. 平面上四次Bezier 曲线 ，五次有理整曲 线 ， n 次有理整曲线的仿射不变量和奇 拐点分布问题. 点、拐点分布问题.进一步证明了高维仿 射 空 间参 数 曲线 的 内在 仿 射不 变 量 ： 维仿射空间n n>m>3 “ m 维仿射空间 n （ n>m>3 ） 次曲线一 般具有n(n m)- 个在内的仿射不变量” n(n般具有n(n的A.R.Forrest首次提出计算 首次提出计算 几何的定义： 几何的定义：
计算几何就是几何外形信息的计算机表 分析和综合. 示、分析和综合.
所谓几何外形信息， 所谓几何外形信息，包括诸如平面或空间曲 线曲面的型值点， 线曲面的型值点，特征多边形的顶点和型值 点外的导数等值. 点外的导数等值
通过这些信息， 通过这些信息，可以建立多种多样 的几何外型的数学模型， 的几何外型的数学模型，并通过计算机 进行插值计算， 进行插值计算，以求得任意中间点的几 何信息，这就是所谓的计算机表示， 何信息，这就是所谓的计算机表示，然 后对所建立的数学模型特征及误差等进 行分析和综合， 行分析和综合，以便逼真的反映出几何 形体. 形体
苏先生是一位卓越的数学家， 苏先生是一位卓越的数学家，更是一位卓越的教 育家。从抗战时期的浙江大学到50年代初全国 育家。从抗战时期的浙江大学到 年代初全国 高校院系调整后的复旦大学， 高校院系调整后的复旦大学，苏师培养了一批像 谷超豪先生、 谷超豪先生、胡和生先生这样杰出的数学家和教 育家。在苏师的脑海中， 育家。在苏师的脑海中，学术研究总是和人才培 养联系在一起，计算几何也不例外。但是， 养联系在一起，计算几何也不例外。但是，计算 几何与微分几何有点不同， 几何与微分几何有点不同，它的生命力在于工业 应用，更加强调和CAD紧密结合。国际上重要 紧密结合。 应用，更加强调和 紧密结合 的计算几何会议，总是有IBM、波音飞机公司和 的计算几何会议，总是有 、 通用汽车公司等大企业代表参加。 通用汽车公司等大企业代表参加。
• 在苏步青先生的组织和推动下， 在苏步青先生的组织和推动下， 1982年，中国召开了第一届计算几 年 何和CAD学术会议. 学术会议. 何和 学术会议
孙步青为培养计算几何和CAD相结合的应用型人才所作行动： 孙步青为培养计算几何和 相结合的应用型人才所作行动： 相结合的应用型人才所作行动
(1) 1982年 1月 ， 在复旦大学 ， 举办同行邀请式的 “ 计算几何研讨 年 月 在复旦大学， 举办同行邀请式的“ 当时， 会”。当时，浙江大学梁友栋教授和山东大学汪嘉业教授刚刚分别从 美国和英国访问两年回国，带来了国际上最新的研究成果和研究动向。 美国和英国访问两年回国，带来了国际上最新的研究成果和研究动向。 在这次会议上，按照苏师的提议，决定由复旦、浙大、山大3校联合 在这次会议上，按照苏师的提议，决定由复旦、浙大、山大 校联合 举办面向全国的更大规模的研讨会和学习班。 举办面向全国的更大规模的研讨会和学习班。 (2) 1982年7月，在青岛，3校联合主办“计算几何学习班”。国内高校、 校联合主办“ 年 月 在青岛， 校联合主办 计算几何学习班” 国内高校、 研究所、工业界共有120名代表参加。代表们普遍反映收获很大，希望 名代表参加。 研究所、工业界共有 名代表参加 代表们普遍反映收获很大， 能够一两年再举办一次。 能够一两年再举办一次。 (3) 1984年7月，在烟台 校联合主办“计算几何和 校联合主办“ 学习班” 年 月 在烟台3校联合主办 计算几何和CAD学习班”。讲课 学习班 内容除了计算几何外，特别增加了开发CAD技术所必需的计算机图形学、 技术所必需的计算机图形学、 内容除了计算几何外，特别增加了开发 技术所必需的计算机图形学 数据库和软件工程等课程。 会议之前，只是在《计算机世界》 数据库和软件工程等课程。 会议之前，只是在《计算机世界》报上发 了一条消息，却有360名代表出席，变成大型学习班。 名代表出席， 了一条消息，却有 名代表出席 变成大型学习班。
•
1981年 月苏步青和刘鼎元的专著《 1981年1月苏步青和刘鼎元的专著《计 算几何》 出版， 第一次印刷12 000册 12, 算几何 》 出版 ， 第一次印刷 12,000 册 。 当 时 ， 无论在国际或国内， 正值计算几何和 无论在国际或国内 ， CAD迅速发展期 国内自是空白， 迅速发展期， CAD迅速发展期，国内自是空白，国际上也 只 是 在 1979 年 出 版 了 唯 一 一 本 由 Faux 和 Pratt 合 著 的 《Computational Geometry Manufacture》 for Design and Manufacture》 ， 对 象 是 设计和制造业的工程师， 内容较为浅近通 设计和制造业的工程师 ， 俗.
3.几类非线性样条曲线的几何特征 把适用于数控加工和数控绘图双圆弧插值方法 拓广为二次曲线偶插值， 拓广为二次曲线偶插值，并给出完整的理论分 析.
4. 凸闭曲线理论.（属整体微分几何范畴） 凸闭曲线理论. 属整体微分几何范畴） 当平面上凸闭曲面域E 保持和两定直线OA OA、 当平面上凸闭曲面域 E 保持和两定直线 OA 、 OB相切而旋转一周时 相切而旋转一周时， OB相切而旋转一周时，该平面上任一点的轨 迹设为A(P) A(P). 迹设为A(P). A(P)面积取充分小 面积取充分小P steiner曲率重心 曲率重心C A(P)面积取充分小P为E的steiner曲率重心C.
二、计算几何在中国的发展
•
在中国，1972年前后 年前后， 在中国，1972年前后，各个高校都自制成 功集成电路器件的小型计算机， 功集成电路器件的小型计算机，老师和学生捧 着一盘盘黑色穿孔纸带， 着一盘盘黑色穿孔纸带，到新成立的校计算中 心上机，计算机在各行业的应用自此开始有了 心上机， 规模的发展. 也就是在70 年代中期， CAD在中 70年代中期 规模的发展 . 也就是在 70 年代中期 ， CAD 在中 国的造船和飞机制造工业中开始发展. 国的造船和飞机制造工业中开始发展.包括成功 和不成功的项目在内，这段时期，大约有10 10来 和不成功的项目在内，这段时期，大约有10来 所大学的数学系与10来家船厂合作“ 10来家船厂合作 所大学的数学系与10来家船厂合作“船体数学 放样”. 放样”
1972年 在美国举行CAGD CAGD第一 1972 年 ， 在美国举行 CAGD 第一 次国际会议， 次国际会议，这标志着计算几何学 科的形成. 科的形成.
是一门由代数几何、微分几何、 计算几何，是一门由代数几何、微分几何、 函数逼近、 计算数学， 函数逼近 、 计算数学 ， 特别是数控技术等相 互结合而形成的边缘学科， 专门研究几何图 互结合而形成的边缘学科 ， 形信息（ 曲面和三维实体） 的计算机表示、 形信息 （ 曲面和三维实体 ） 的计算机表示 、 分析、修改和综合. 分析、修改和综合
50年代后期，数控机床开始涌现， 50年代后期，数控机床开始涌现，制模和 年代后期 生产更可以由计算机编程序进行. 生产更可以由计算机编程序进行. 为了充分发挥其作用，需要解决好一个问题， 为了充分发挥其作用，需要解决好一个问题， 即怎样设计好一个“数学模型” 即怎样设计好一个“数学模型”，把存在的 曲面翻译成计算机易于处理的格式.起初 起初， 曲面翻译成计算机易于处理的格式 起初，得 把曲面数字化，即把曲面分成一大堆点坐标， 把曲面数字化，即把曲面分成一大堆点坐标， 现在这项工作可以由计算机进行， 现在这项工作可以由计算机进行，这也是计 算机辅助几何设计（ 算机辅助几何设计（GAGD）的工作之一 ）的工作之一.
一、背景 二、计算几何在中国的发展 三、现代计算几何在各应用领域的进展
一、背景
GAGD—计算机辅助几何图形设计 GAGD 计算机辅助几何图形设计 （Computer Aided Gemoetric Design）的简写， Design）的简写，国内经常把它称 为计算几何. 为计算几何.
实际上， 实际上，这门学科研究的是几何曲线和曲面用 计算机处理时，它们的逼近和再生.这门学科是一门 计算机处理时，它们的逼近和再生 这门学科是一门 特别强调计算机作用，涉及领域非常广阔的学科.计 特别强调计算机作用，涉及领域非常广阔的学科 计 算几何是二十世纪七十年代初形成的一门新兴边缘 学科，属于应用数学的一个分支. 学科，属于应用数学的一个分支 早在第二次世界大战期间， 早在第二次世界大战期间，人们已首次用计算 几何的方法解决实际问题.当时尤其是航空工业的发 几何的方法解决实际问题 当时尤其是航空工业的发 展激励了新的设计方法的形成和发展. 展激励了新的设计方法的形成和发展
1962年被认为是美国和欧洲CAD开始发展的一年。 1962年被认为是美国和欧洲CAD开始发展的一年。 年被认为是美国和欧洲CAD开始发展的一年 首先的应用领域是汽车、飞机和造船工业。 首先的应用领域是汽车、飞机和造船工业。这3 个行业，由于其产品的外形曲面特别复杂， 个行业，由于其产品的外形曲面特别复杂，要求 特别苛刻，而成为CAD首先应用的领域。 CAD首先应用的领域 特别苛刻，而成为CAD首先应用的领域。 与此同时，也就发展出了一门新兴学科——计算 与此同时，也就发展出了一门新兴学科 计算 几何，它在美国常常被称为CAGD(Computer 几何，它在美国常常被称为CAGD(Computer Design， Aided Geometric Design，计算机辅助几何设 计 )。
苏步青先生对计算几何的主要贡献： 苏步青先生对计算几何的主要贡献：
1.把代数曲面论中的仿射不变量方法首创性的引入到
计算几何中去. 计算几何中去.首先找到平面三次参数曲线的一个特 征仿射不变量， 征仿射不变量 ， 从它出发可以对应为常用的平面上 的三次参数样条曲线、 三次Bezier曲线和三次B Bezier曲线和三次 的三次参数样条曲线 、 三次 Bezier 曲线和三次 B 样条 曲线的奇点和拐点分布给出完整分析， 曲线的奇点和拐点分布给出完整分析 ， 特别是对 Bezier曲线作完整分类方法 曲线作完整分类方法. Bezier曲线作完整分类方法.