计算几何

二、计算几何在中国的发展
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在中国，1972年前后 年前后， 在中国，1972年前后，各个高校都自制成 功集成电路器件的小型计算机， 功集成电路器件的小型计算机，老师和学生捧 着一盘盘黑色穿孔纸带， 着一盘盘黑色穿孔纸带，到新成立的校计算中 心上机，计算机在各行业的应用自此开始有了 心上机， 规模的发展. 也就是在70 年代中期， CAD在中 70年代中期 规模的发展 . 也就是在 70 年代中期 ， CAD 在中 国的造船和飞机制造工业中开始发展. 国的造船和飞机制造工业中开始发展.包括成功 和不成功的项目在内，这段时期，大约有10 10来 和不成功的项目在内，这段时期，大约有10来 所大学的数学系与10来家船厂合作“ 10来家船厂合作 所大学的数学系与10来家船厂合作“船体数学 放样”. 放样”
通过这些信息， 通过这些信息，可以建立多种多样 的几何外型的数学模型， 的几何外型的数学模型，并通过计算机 进行插值计算， 进行插值计算，以求得任意中间点的几 何信息，这就是所谓的计算机表示， 何信息，这就是所谓的计算机表示，然 后对所建立的数学模型特征及误差等进 行分析和综合， 行分析和综合，以便逼真的反映出几何 形体. 形体
苏步青先生对计算几何的主要贡献： 苏步青先生对计算几何的主要贡献：
1.把代数曲面论中的仿射不变量方法首创性的引入到
计算几何中去. 计算几何中去.首先找到平面三次参数曲线的一个特 征仿射不变量， 征仿射不变量 ， 从它出发可以对应为常用的平面上 的三次参数样条曲线、 三次Bezier曲线和三次B Bezier曲线和三次 的三次参数样条曲线 、 三次 Bezier 曲线和三次 B 样条 曲线的奇点和拐点分布给出完整分析， 曲线的奇点和拐点分布给出完整分析 ， 特别是对 Bezier曲线作完整分类方法 曲线作完整分类方法. Bezier曲线作完整分类方法.
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1981年 月苏步青和刘鼎元的专著《 1981年1月苏步青和刘鼎元的专著《计 算几何》 出版， 第一次印刷12 000册 12, 算几何 》 出版 ， 第一次印刷 12,000 册 。 当 时 ， 无论在国际或国内， 正值计算几何和 无论在国际或国内 ， CAD迅速发展期 国内自是空白， 迅速发展期， CAD迅速发展期，国内自是空白，国际上也 只 是 在 1979 年 出 版 了 唯 一 一 本 由 Faux 和 Pratt 合 著 的 《Computational Geometry Manufacture》 for Design and Manufacture》 ， 对 象 是 设计和制造业的工程师， 内容较为浅近通 设计和制造业的工程师 ， 俗.
平面上四次Bezier曲线， Bezier曲线 2. 平面上四次Bezier 曲线 ，五次有理整曲 线 ， n 次有理整曲线的仿射不变量和奇 拐点分布问题. 点、拐点分布问题.进一步证明了高维仿 射 空 间参 数 曲线 的 内在 仿 射不 变 量 ： 维仿射空间n n>m>3 “ m 维仿射空间 n （ n>m>3 ） 次曲线一 般具有n(n m)- 个在内的仿射不变量” n(n般具有n(n-m)-2个在内的仿射不变量”.
3.几类非线性样条曲线的几何特征 把适用于数控加工和数控绘图双圆弧插值方法 拓广为二次曲线偶插值， 拓广为二次曲线偶插值，并给出完整的理论分 析.
4. 凸闭曲线理论.（属整体微分几何范畴） 凸闭曲线理论. 属整体微分几何范畴） 当平面上凸闭曲面域E 保持和两定直线OA OA、 当平面上凸闭曲面域 E 保持和两定直线 OA 、 OB相切而旋转一周时 相切而旋转一周时， OB相切而旋转一周时，该平面上任一点的轨 迹设为A(P) A(P). 迹设为A(P). A(P)面积取充分小 面积取充分小P steiner曲率重心 曲率重心C A(P)面积取充分小P为E的steiner曲率重心C.
• 在苏步青先生的组织和推动下， 在苏步青先生的组织和推动下， 1982年，中国召开了第一届计算几 年 何和CAD学术会议. 学术会议. 何和 学术会议
孙步青为培养计算几何和CAD相结合的应用型人才所作行动： 孙步青为培养计算几何和 相结合的应用型人才所作行动： 相结合的应用型人才所作行动
(1) 1982年 1月 ， 在复旦大学 ， 举办同行邀请式的 “ 计算几何研讨 年 月 在复旦大学， 举办同行邀请式的“ 当时， 会”。当时，浙江大学梁友栋教授和山东大学汪嘉业教授刚刚分别从 美国和英国访问两年回国，带来了国际上最新的研究成果和研究动向。 美国和英国访问两年回国，带来了国际上最新的研究成果和研究动向。 在这次会议上，按照苏师的提议，决定由复旦、浙大、山大3校联合 在这次会议上，按照苏师的提议，决定由复旦、浙大、山大 校联合 举办面向全国的更大规模的研讨会和学习班。 举办面向全国的更大规模的研讨会和学习班。 (2) 1982年7月，在青岛，3校联合主办“计算几何学习班”。国内高校、 校联合主办“ 年 月 在青岛， 校联合主办 计算几何学习班” 国内高校、 研究所、工业界共有120名代表参加。代表们普遍反映收获很大，希望 名代表参加。 研究所、工业界共有 名代表参加 代表们普遍反映收获很大， 能够一两年再举办一次。 能够一两年再举办一次。 (3) 1984年7月，在烟台 校联合主办“计算几何和 校联合主办“ 学习班” 年 月 在烟台3校联合主办 计算几何和CAD学习班”。讲课 学习班 内容除了计算几何外，特别增加了开发CAD技术所必需的计算机图形学、 技术所必需的计算机图形学、 内容除了计算几何外，特别增加了开发 技术所必需的计算机图形学 数据库和软件工程等课程。 会议之前，只是在《计算机世界》 数据库和软件工程等课程。 会议之前，只是在《计算机世界》报上发 了一条消息，却有360名代表出席，变成大型学习班。 名代表出席， 了一条消息，却有 名代表出席 变成大型学习班。
50年代后期，数控机床开始涌现， 50年代后期，数控机床开始涌现，制模和 年代后期 生产更可以由计算机编程序进行. 生产更可以由计算机编程序进行. 为了充分发挥其作用，需要解决好一个问题， 为了充分发挥其作用，需要解决好一个问题， 即怎样设计好一个“数学模型” 即怎样设计好一个“数学模型”，把存在的 曲面翻译成计算机易于处理的格式.起初 起初， 曲面翻译成计算机易于处理的格式 起初，得 把曲面数字化，即把曲面分成一大堆点坐标， 把曲面数字化，即把曲面分成一大堆点坐标， 现在这项工作可以由计算机进行， 现在这项工作可以由计算机进行，这也是计 算机辅助几何设计（ 算机辅助几何设计（GAGD）的工作之一 ）的工作之一.
1962年被认为是美国和欧洲CAD开始发展的一年。 1962年被认为是美国和欧洲CAD开始发展的一年。 年被认为是美国和欧洲CAD开始发展的一年 首先的应用领域是汽车、飞机和造船工业。 首先的应用领域是汽车、飞机和造船工业。这3 个行业，由于其产品的外形曲面特别复杂， 个行业，由于其产品的外形曲面特别复杂，要求 特别苛刻，而成为CAD首先应用的领域。 CAD首先应用的领域 特别苛刻，而成为CAD首先应用的领域。 与此同时，也就发展出了一门新兴学科——计算 与此同时，也就发展出了一门新兴学科 计算 几何，它在美国常常被称为CAGD(Computer 几何，它在美国常常被称为CAGD(Computer Design， Aided Geometric Design，计算机辅助几何设 计 )。
自从1946年世界上第一台电子计算机问世 年世界上第一台电子计算机问世 自从 以来， 以来，计算机应用的一个重要里程碑是 1962年美国麻省理工学院发明了世界上第 年美国麻省理工学院发明了世界上第 一台图形显示器。自此之后， 一台图形显示器。自此之后，计算机可以 通过图形显示器直接输入、输出图形，并 通过图形显示器直接输入、输出图形， 且可以在显示屏上通过光标的移动而直接 修改图形。而在这之前， 修改图形。而在这之前，工程师是通过一 厚叠纸上密密麻麻的数字来间接表达工程 图形的。 图形的。
• “七五”计划（1986 七五”计划（1986——1990）,重要攻关项目 1990） 七五 1990 重要攻关项目——投资 投资 一亿元开发内燃机、电机、机车、服装等26 26个重要行 一亿元开发内燃机 、 电机 、 机车 、 服装等 26个重要行 CAD软件 经五年发展普及大中型企业， 软件， 业 CAD 软件 ， 经五年发展普及大中型企业 ， 抛弃了丁 字尺、制图板. 字尺、制图板. • 1982年2月成立了上海应用数学咨询技术开发中心. 1982年 月成立了上海应用数学咨询技术开发中心. • 1984 年 ， 苏步青和刘鼎元找出两片代数参数曲面片的 1984年 一阶几何光滑连接的充分必要条件， 发表在1986 年的 一阶几何光滑连接的充分必要条件 ， 发表在 1986年的 1986 《应用数学学报》上. 应用数学学报》
三、现代计算几何在各应用 领域的进展
1972年 在美国举行CAGD CAGD第一 1972 年 ， 在美国举行 CAGD 第一 次国际会议， 次国际会议，这标志着计算几何学 科的形成. 科的形成.
是一门由代数几何、微分几何、 计算几何，是一门由代数几何、微分几何、 函数逼近、 计算数学， 函数逼近 、 计算数学 ， 特别是数控技术等相 互结合而形成的边缘学科， 专门研究几何图 互结合而形成的边缘学科 ， 形信息（ 曲面和三维实体） 的计算机表示、 形信息 （ 曲面和三维实体 ） 的计算机表示 、 分析、修改和综合. 分析、修改和综合
一、背景 二、பைடு நூலகம்算几何在中国的发展 三、现代计算几何在各应用领域的进展
一、背景
GAGD—计算机辅助几何图形设计 GAGD 计算机辅助几何图形设计 （Computer Aided Gemoetric Design）的简写， Design）的简写，国内经常把它称 为计算几何. 为计算几何.
实际上， 实际上，这门学科研究的是几何曲线和曲面用 计算机处理时，它们的逼近和再生.这门学科是一门 计算机处理时，它们的逼近和再生 这门学科是一门 特别强调计算机作用，涉及领域非常广阔的学科.计 特别强调计算机作用，涉及领域非常广阔的学科 计 算几何是二十世纪七十年代初形成的一门新兴边缘 学科，属于应用数学的一个分支. 学科，属于应用数学的一个分支 早在第二次世界大战期间， 早在第二次世界大战期间，人们已首次用计算 几何的方法解决实际问题.当时尤其是航空工业的发 几何的方法解决实际问题 当时尤其是航空工业的发 展激励了新的设计方法的形成和发展. 展激励了新的设计方法的形成和发展
1971年，英国的 年 英国的A.R.Forrest首次提出计算 首次提出计算 几何的定义： 几何的定义：
计算几何就是几何外形信息的计算机表 分析和综合. 示、分析和综合.
所谓几何外形信息， 所谓几何外形信息，包括诸如平面或空间曲 线曲面的型值点， 线曲面的型值点，特征多边形的顶点和型值 点外的导数等值. 点外的导数等值
苏先生是一位卓越的数学家， 苏先生是一位卓越的数学家，更是一位卓越的教 育家。从抗战时期的浙江大学到50年代初全国 育家。从抗战时期的浙江大学到 年代初全国 高校院系调整后的复旦大学， 高校院系调整后的复旦大学，苏师培养了一批像 谷超豪先生、 谷超豪先生、胡和生先生这样杰出的数学家和教 育家。在苏师的脑海中， 育家。在苏师的脑海中，学术研究总是和人才培 养联系在一起，计算几何也不例外。但是， 养联系在一起，计算几何也不例外。但是，计算 几何与微分几何有点不同， 几何与微分几何有点不同，它的生命力在于工业 应用，更加强调和CAD紧密结合。国际上重要 紧密结合。 应用，更加强调和 紧密结合 的计算几何会议，总是有IBM、波音飞机公司和 的计算几何会议，总是有 、 通用汽车公司等大企业代表参加。 通用汽车公司等大企业代表参加。