矩阵分析期末考试2012

2012-2013学年第一学期硕士研究生矩阵分析考试试卷(A)

专业 学号 姓名

一、（共30分，每小题6分）完成下列各题：

（1）设4

R 空间中的向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=23121α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=32232α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=78013α，⎥⎥⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=43234α，

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=30475α

Span V =1{}321,,ααα，Span V =2{}54,αα，分别求21V V +和21V V 的

维数.

解：=A {}

54321,,,,ααααα⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡--→000004100030110

202

01 21V V +和21V V 的维数为

3和1

（2） 设()

T

i i 11-=α，()

T

i i 11-=β是酉空间中两向量，求

内积()βα, 与它们的长度（i =

. （0， 2, 2）；

（3）求矩阵⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A 的满秩分解.

解：⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣

⎡

--

--→0000747510737201 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=137723521111A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=775211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢

⎢⎢⎢

⎢⎣

⎡

----747

510737201* （4）设-λ矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=2)1(000000

)1()(λλλλλA ，求)(λA 的标准形与其

行列式因子.

解：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=2)1(000000)1()(λλλλλA ()()⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛++→2111λλλλ

（5）设*A 是矩阵范数，给定一个非零向量α，定义 *H x x α=，

验证x 是向量范数.

二、（10分）设3R 中的线性变换T 在基321,,εεε下的矩阵表示为

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-=021110111A ， （1）（5分）求T 的值域)(T R 的维数与一组基； （2）（5分）求T 的核)(T N 的维数与一组基.

解：（1）由题意知 T [ε1,ε2,ε3]=[]⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-021110111,,321εεε

线性变换T 的值域为T （V ）= {}321312,span εεεεε+++ 所以A （V ）的维数为2， 基为{}321312,εεεεε+++

（2）矩阵A 的核为0的解空间。不难求得0的基础解系是[2, -1,

1]

T

,

因此)(A N 的维数为1， 基为3212εεε+-.

三、（8

分）求矩阵⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎣

⎡=66

0606

066

A 的正交三角分解UR A =，其中U 是酉矩阵，R 是正线上三角矩阵.

解：

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣

⎡=66

0606

066A =⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

--

2213

3332*316

20

316

121316121

四、（8分）设⎪⎪⎭⎫

⎝⎛--=0111021i

i A ，求矩阵范数1A ，∞A ，2A ，F A .（这里12

-=i ）.

解：{}1max 2,3,1,13A ==，（2分）

{}max 3,44A ∞== ，

（2分）

1

2

42

211F

A ij j i a ===⎛⎫∑∑ ⎪⎝⎭

()12

1141113=+++++= （2分）

1120110H

i i A

⎛⎫ ⎪-

⎪= ⎪- ⎪⎝⎭

， 6113H

AA

-⎛⎫= ⎪-⎝⎭

（2分）

2

6

1

9171

3

H

E AA λλλλλ-=

=-+--

1,2λ=

=

2

A

⇒

=

（2分）

五、（共24分，每小题8分）证明题：

（1）设A 是正定矩阵，B 是反矩阵，证明B A +是可逆矩阵. （2）设A 是n 阶正规矩阵，证明A 是矩阵的充要条件是A 的特征

值为实数.

（3）若1A <，证明A E +为非奇异矩阵，且

A

A E -≤

+-11

)(1，这

里A 是诱导范数.

六、（共20分，每小题5

分）设⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛---=213111213A ，

（1） 求A E -λ的标准形（写出具体步骤）； （2） 求A 的初等因子、最小多项式与标准形J ； （3） 求相似变换矩阵P 与其逆矩阵阵1-P ； （4） 求)sin(At .

解