函数极限与导数高中数学基础知识与典型例题
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数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法：
(1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法.
归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法.
①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法.
②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法
数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论.
(2)数学归纳法步骤:
①验证当n取第一个
n时结论
()
P n成立;
②由假设当n k
=（
,
k N k n
+
∈≥）时,结论()
P k成立，证明当1
n k
=+时,结论(1)
P k+成立;
根据①②对一切自然数
n n
≥时，()
P n都成立.
2.数列的极限
(1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即
n
a a
-无限地接近于),那么就说数列
{}
n
a以a为极限,或者说a是数列{}
n
a的极限.记为
lim
n
n
a a
→∞
=或当n→∞时，
n
a a
→.
(2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,lim
n n
n n
a a
b b
→∞→∞
==，
那么lim()
n n
n
a b a b
→∞
±=±；lim();
n n
n
a b a b
→∞
⋅=⋅lim(0)
n
n
n
a a
b
b b
→∞
=≠
特别地，如果C是常数，那么lim()lim lim
n n
n n n
C a C a Ca
→∞→∞→∞
⋅=⋅=.
⑶几个常用极限: ①lim
n
C C
→∞
=（C 为常数）②lim0
n
a
n
→∞
=
k
（,a k 均为常数且N*
∈
k）
③
（1)
1
lim0(1)
(1或1)
不存在
n
n
q
q q
q q
④首项为
1
a，公比为q（1
q<）的无穷等比数列的各项和为lim
1
n
n
a
S
q
→∞
=
-
.
注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限.
⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.
数
学
归
纳
法
、数
列
的
极
限
与
运
算
例 1. 某个命题与正整数有关，若当)
(*
N
k
k
n∈
=时该命题成立，那么可推得当
=
n1
+
k时该命题也成立，现已知当5
=
n时该命题不成立，那么可推得（）
(A)当6
=
n时，该命题不成立(B)当6
=
n时，该命题成立
(C)当4
=
n时，该命题成立(D)当4
=
n时，该命题不成立
例2.用数学归纳法证明:“)1
(
1
1
1
2
1
2≠
-
-
=
+
+
+
+
+
+a
a
a
a
a
a
n
n
”在验证1
=
n时，左端
计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a
+
1 (C)2
1a
a+
+ (D)3
2
1a
a
a+
+
+
例3.2
2
21
lim
2
n
n
n
→∞
-
+
等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－
2
1
(D)
2
1
例4. 等差数列中，若
n
n
S
Lim
∞
→
存在，则这样的数列( )
(A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在
例5.lim(1)
n
n n n
→∞
+-等于( ) (A)
1
3
(B)0 (C)
1
2
(D)不存在
例6.若2
012
(2)n n
n
x a a x a x a x
+=++++，
12
n n
A a a a
=+++，则2
lim
83
n
n
n
A
A
→∞
-
=
+
( )
(A)
3
1
-(B)
11
1(C)
4
1(D)
8
1
-
例7. 在二项式(13)n
x
+和(25)n
x+的展开式中，各项系数之和记为,,
n n
a b n是正整
数，则
2
lim
34
n n
n
n n
a b
a b
→∞
-
-
=.
例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项N
a∈
1
，公比为q，且
n
n
a
a
a
S
N
q
+
+
+
=
∈
2
1
,
1，
且3
lim=
∞
→
n
n
S，则=
+
2
1
a
a_____ .
例9. 已知数列{
n
a}前n项和1
1
(1)
n n n
S ba
b
=-+-
+
, 其中b是与n无关的常数，且0
＜b＜1，若lim
n
n
S
→∞
=存在，则lim
n
n
S
→∞
=________．
例10.若数列{
n
a}的通项21
n
a n
=-，设数列{
n
b}的通项
1
1
n
n
b
a
=+，又记
n
T是数
列{
n
b}的前n项的积．
（Ⅰ）求
1
T，
2
T，
3
T的值；（Ⅱ）试比较
n
T与
1+
n
a的大小，并证明你的结论．
例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式
=11
lim lim
2
11
11
n n
n
n n
n
→∞→∞
==
++
++
例6.A例7.
1
2
例8.
3
8
例9.1 例10(见后面)