复变函数的积分及其计算方法

复变函数的积分及其计算方法

石睿

(北京林业大学工学院自动化10-1班,学号:101044118)

摘要：复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具,解析函数的很多重要性质都是通过复积分证明的。本文主要介绍柯西定理和柯西积分公式。

关键词：柯西定理；柯西积分公式

引言：首先介绍复积分的概念、性质和计算法，然后介绍解析函数积分的柯西积分定理及其推广——复合闭路定理. 在此基础上，建立柯西积分公式，然后利用这一重要公式证明解析函数的导数仍然是解析函数这一重要结论.

复积分的概念：

设C 是平面上一条光滑的简单曲线，其起点为A ，终点为B 。函数f(z)在C 上有定义。把曲线C 任意分成n 个小弧段。设分点为A=z 0,z 1,…,z n-1,z n =B,其中z k =x k +iyl k (k=0,1,2,…,n)，在每个弧段

zk-1zk 上任取一点ζk =ξk +i ηk ，做合式k n

k k n

k k k k

n Δz )f(ζ)z (z )f(ζ

S ∑∑==-⋅=-⋅=

1

1

1，其中

k k k k k y i x z z z ∆+∆=-=∆-1 。

记 当λ→0时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖与ζk 的选择，也不依赖对

C 的分法，那么就称此极限值为f(z)沿曲线C 自A 到B 的复积分，记作

复积分的计算方法：

复积分可以通过两个二元实变函数的线积分来计算

设

⎩⎨⎧==,)(,)(:t y y t x x C .βα≤≤t 则⎰⎰⎰'+'+'-'=β

α

β

α

t

t y t y t x u t x t y t x v i t

t y t y t x v t x t y t x u z z f C d )}()](),([)()](),([{d )}()](),([)()](),([{d )(

⎰'+'+=βαt t y i t x t y t x iv t y t x u d )}()()]}{(),([)](),([{ .d )()]([⎰'=β

αt t z t z f

即

⎰⎰

'=β

α

t t z t z f z z f C

d )()]([d )(

例1求

⎰-c n z z dz

)(0，C 为以z 0为中心，r 为半径的正向圆周，n 为整数

解：积分路径C 的参数方程为 |,|max 1k n

k z ∆=≤≤λ.)(lim d )(1

0k n

k k C z f z z f ∆⋅=∑

⎰

=→ζλ0(02π),

i z

z re θ

θ=+≤≤

⎰

-C

n z z dz

)

(0⎰=π20d θθθ

in n i e r ire ,d π

20

)1(1⎰---=

θθn i n e r i

当n=1时

⎰-C

n z z dz

)

(0⎰=π20d θi ;2i π= 当n ≠1时

⎰

-C

n z z dz )(0⎰---=-π20

1d ])1sin()1[cos(θθθn i n r i n ;0=

⎰=--r

z z n z z dz

0)(

0所以=⎩

⎨

⎧≠=.1,0,

1,2n n i π

结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关

柯西积分定理：

设函数f （z ）在单连通域D 内解析，则f （z ）在D 内沿任意一条简单闭曲线C 的积分.

0d )(⎰=c

z z f 此定理为柯西—古萨基本定理 例1 求

d cos 0

2⎰

i

z z z π的值

解：

⎰

i

z z z π0

2

d cos ⎰=i z z π022d cos 21i

z π0

2sin 21

=)sin(212π-=.sin 212π-=

.

1 ,d 1

2 22曲线在内的任何正向简单闭为包含圆周计算积分例⎰

Γ=Γ--z z z z z

解：函数在复平面内有z=0和z=1两个奇点

=--⎰Γ

z z z z d 1

22⎰⎰--+--21d 12d 1222C C z z z z z z z z ⎰⎰⎰⎰+-++-=2

211d 1

d 11d 1d 11C C C C z z z z z z z z 0220+++=i i ππ.4i π=

柯西积分公式：

, )( 内处处解析在区域如果函数D z f D C 为,

闭曲线内的任何一条正向简单它的内部全含于D ，, 0内任一点为C z 那么

⎰-=

C dz z z z f i z f .)

(21)(0

0π

例1 ⎰⎰==⎪⎭⎫ ⎝

⎛-++44.d 3211

)2(;d sin 21(1)

z z z z z z z z i

π 解：（1）

⎰=4

d sin 21

z z z z

i

π, sin )( 在复平面内解析因为z z f =, 4 0内位于<=z z 由柯西积分公式

⎰=4

d sin 21z z z z

i

π0sin 221=⋅⋅=z z i i ππ=0 （2）

dz z z z ⎰=⎪⎭⎫ ⎝

⎛-++4||3211

⎰⎰==-++=

4

4d 32d 11z z z z z z 2212⋅+⋅=i i ππ.6i π=

例2 .d )

1(1

2

1

2

⎰

=

-+i z z z z 计算积分

解：

⎰

=

-+2

12d )

1(1i z z z z ⎰

=

--+=

2

1d )

(1

i z z i

z i z z i z i z z i =+⋅

=)(12π2212i i ⋅=π.i π-=

例3 ;2

11 (1): ,d 14sin

2=+-⎰

z C z z z

C

其中计算积分π

解：⎰

=

+-2

1

12

d 1

4sin

)

1(z z z z

π

=⎰

=

++-2

11d 1

14sin

z z z z z

π

1

14sin 2-=-⋅

=z z z i ππ;2

2

i π=

;

2

1

1 (2)=-z

解：⎰

=

--2

112

d 1

4sin

)

2(z z z z

π

=⎰

=

--+2

11d 1

14sin

z z z z z

π

1

14sin 2=+⋅

=z z z i ππ;2

2

i π=

.

2 (3)=z