平面直角坐标系压轴题24170精编版
平面直角坐标系找规律压轴及平行线解答题压轴题word精品
七下平行线，平面直角坐标系压轴题一•填空题(共13小题)1已知点M (3, 2)与点N (x, y)在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为________ .2•如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2, 0),点B的坐标为(0，1)，将线段AB平移，使其一个端点到C(3, 2)，则平移后另一端点的坐标为______ .3. 如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE其中C、D两点坐标分别为(1, 0)、(2, 0).若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点(75, 0)的是_________ (填A、B、C、D或E). 碰到矩形的边时的点为P n,则点P3的坐标是__________ ；点P2014的坐标是______ .O 1 2 4 5 6 7 85. 如图，在直角坐标系中，已知点A (- 3, 0)、B (0, 4), AB=5对厶OAB连续作旋转变换，依次得到△「△2、厶3、厶4…，则厶2013的直角顶4. 如图，弹性小球从点P (0, 3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为R,第2次碰到矩形的边时的点为…，第n次6. ________________________________________________________ 如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008 次, 点P依次落在点P1,P2,P3,P4, •••, P2008的位置，则P2008的坐标为____________ 7•如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中方向排列，如(1, 0), (2, 0), (2, 1), (1,1), (1, 2),(2, 2) ••根据这个规律，第2012个点的横坐标为_____ .8•如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1, B, P3-P012•则点P2012的坐标是 __________ •9. 如图，正方形A1A2A3A4, A5A6A7A8, A9A10A11A12,…，(每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1, A2, A3, A4；A5, A6, A7, A$; A9, A10, A11, A12；…)的中心均在坐标原点0,各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2, 4, 6…，则顶点A20的坐标为 ______ .10. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“-”方向排列，如(0,1), (0, 2), (1, 2), (1, 3), (0, 3), (- 1, 3)…,11. 如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如 (1,0), (2, 0), (2, 1), (3, 2), (3, 1) (3 , 0),…,根据这个规律探索可得,第102个点的坐标为__________ .♦ f5h41-(3.21 h4L2)J[5,2J 缶112. 如图，在直角坐标系中，第一次将△ OAB变换成△ OAB，第二次将△ OA1B1变换成△ OA2B2，第三次将△ OA2B2变换成△ OA3B3…已知：A （1, 3），A1 （2，3），A2 （4, 3），A3 （8, 3）; B （2，0），B i（4，0），B2 （8，0），B3 （16，0）.观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A的坐标是________ ，B5的坐标是______ .13. ____________________________________ 如图，在平面直角坐标系上有点 A （1, 0），点A第一次向左跳动至点A1 （- 1, 1）,第二次向右跳动至点A2 （2, 1）,第三次向左跳动至点A3 （-2, 2）,第四次向右跳动点A（3, 2）,…，依次规律跳动下去，点A第2017次跳动至点A2017的坐标是 ____________________________________ .FM平分/ EFD点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P, HM平分/ BHP交FM于点M .（1）如图1,试说明：/ HMF= （/ BHP F Z DFP）;2请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ // AB （过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）.••• AB// CD （已知）,••• MQ // CD （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）•••/仁/3,Z 2=7 4 （ _________ ）•••/ 1+7 2=7 3+7 4 （等式的性质）即7 HMF=7 1 + 72.••• FM平分7 EFD HM平分7 BHP （已知）—* --------- ■ -- ------- •—MJ01 rzjoi RJ1 F4JO1fSM14•如图，已知直线AB// CD,直线EF分别与AB、CD相交于点E、F ,•解答题（共27小题）第3页（共67页）vZ 仁- / BHP, / 2= / DFP(2 2 ---------------------•••Z HMF= Z BHP^ 1Z DFP= (Z BHP+Z DFP (等量代换).2 2 2(2)如图2,若HP丄EF,求Z HMF的度数；(3)如图3,当点P与点F重合时，FN平分Z HFE交AB于点N,过点N作NQ丄FM于点Q,试说明无论点H在何处都有Z EHF=2/ FNQ.15. 如图1，直线m// n,点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A,连结BA和CA,使Z AEC Z BAC.(1)求证：Z BFA+Z BAC=180;(2)请在图1中找出与Z CAF相等的角，并加以证明；(3)如图2,连结BC交AF于点D,作Z CBF和Z CEF的角平分线交于点M，若Z ADC a，请直接写出Z M的度数(用含a的式子表示)图I16. 已知直线AB// CD, M , N分别是AB, CD上的点.(1) 若E是AB, CD内一点.①如图甲所示，请写出/ BME,/ DNE / MEN之间的数量关系，并证明.②如图乙所示，若/ 1 =「/ BME,Z 2= / DNE,请利用①的结论探究/33F与/ MEN的数量关系.(2) 若E是AB, CD外一点.①如图丙所示，请直接写出/ EMB,Z END, / E之间的数量关系.②如图丁所示，已知/ BMP二/ EMB,在射线MP上找一点G,使得/4MGN= / E,请在图中画出点G的大致位置，并求/ ENG: Z GND的值. 17. 已知，AB / CD,点E为射线FG上一点.(1) _____________________________________________ 如图1,若/ EAF=30, / EDG=40,贝U/ AED= ______________________ °(2)如图2,当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H,则/ AED / EAF / EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；(3)如图3, DI平分/ EDC,交AE于点K,交AI于点I,且/ EA t / BAI=1: 2,/ AED=22, / 1=20；求/ EKD的度数.18•小明在学习了平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线AB// CD, E为平面内一点，连接BE、CE根据点E的位置探究/ B和/C、/ BEC的数量关系.(1)当点E分别在如下图①、图②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的/ B和/C、/ BEC的数量关系：图①中：_______________________ ;图②中：___________ ，图③中：_____ . (2)请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明.(3)运用上面的结论解决问题：如图④，AB//CD, BP平分/ ABE, CP平分/ DCE / BEC=1O0, / BPC的度数是 _______ .(直接写出结果，不用写计算过程) 19. 如图1，AC平分/ DAB, / 1 = / 2.(1)试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；(2)如图2,当/ADC=120时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨/ E和/F的数量关系；(3)如图3，AD和BC交于点G,过点D作DH// BC交AC于点H,若AC丄BC,问当/ CDH为多少度时，/GDC=/ ADH.20. 已知直线AB// CD.(1如图1,直接写出/ BME、/ E、/ END的数量关系为 __________ ;(2)如图2，/ BME与/CNE的角平分线所在的直线相交于点P,试探21. 如图1 , MN // PQ,直线AD与MN、PQ分别交于点A、D,点B在直线PQ上，过点B作BG丄AD,垂足为点G.(1)求证：/ MAG+/ PBG=90;究/P与/E之间的数量关系，并证明你的结论;(3) 如图3,/ ABM= / MBE,/ CDN= / NDE,直线MB、ND 交于点n n(2)若点C在线段AD上(不与A、D、G重合)，连接BC, / MAG和/ PBC的平分线交于点H,请在图2中补全图形，猜想并证明/ CBG 与/ AHB的数量关系;(3)若直线AD的位置如图3所示，(2)中的结论是否成立？若成立,图1请证明；若不成立，请直接写出/ CBG与/AHB的数量关系.22•如图，已知AB// CD, CE BE的交点为E,现作如下操作: 第一次操作，分别作/ ABE和/DCE的平分线，交点为E i, 第二次操作，分别作/ ABE和/DCE的平分线，交点为E2,第n次操作，分别作/ AB»i和/DCE-1的平分线，交点为E n.(1)如图①，求证：/ BEC=/ ABE+Z DCE(2)如图②，求证：/ BE2C= Z BEC(3)猜想：若Z E n=a度，那Z BEC等于多少度？(直接写出结论) 23. 一带一路”让中国和世界更紧密，中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯•如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视•若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度•假定主道路是平行的，即PQ// MN，且Z BAM: Z BAN=2: 1.(1)填空：Z BAN ______ °(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？(3)如图2,若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前•若射出的光束交于点C,过C作Z ACD交PQ于点D,且Z ACD=120,则在转动过程中，请探究Z BAC与Z BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由.(1 如图1,点P在直线AB CD之间，当/ BAP=60, / DCP=20时，求/ APC(2)如图2,点P在直线AB CD之间，/ BAP与/ DCP的角平分线相交于点K,写出/ AKC与Z APC之间的数量关系，并说明理由.(3)如图3,点P落在CD外，Z BAP与Z DCP的角平分线相交于点K, Z AKC与Z APC有何数量关系？并说明理由.25. 已知直线AB// CD.(1) ______________________________________________________ 如图1，直接写出Z ABE Z CDE和Z BED之间的数量关系是___________ .(2)如图2, BF, DF分别平分Z ABE Z CDE那么Z BFD和Z BED有怎样的数量关系？请说明理由.(3)如图3,点E在直线BD的右侧，BF, DF仍平分Z ABE, Z CDE请直接写出Z BFD和Z BED的数量关系_______ .24•已知，直线AB// DC,点P为平面上一点，连接AP与CP.26. 已知AM // CN,点B为平面内一点，AB丄BC于B.(1如图1,直接写出/ A和/C之间的数量关系___________ ;(2)如图2,过点B作BD丄AM于点D,求证：/ ABD=Z C;(3)如图3,在(2)问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF, BF平分/ DBC, BE平分/ABD,若/ FCB^Z NCF=180, / BFC=3/ DBE 求/ EBC的度数.27. 如图，直线AB / CD,直线MN与AB, CD分别交于点M , N, ME, NE分别是/ AMN与/ CNM的平分线，NE交AB于点F,过点N作NG丄EN交AB于点G.(1)求证：EM / NG;(2)连接EG 在GN上取一点H ,使/ HEG=/ HGE作/ FEH 的平分线B28. 已知，/ AOB=90，点C在射线OA上，CD// OE(1 如图1,若/ OCD=120，求/ BOE的度数；(2)把2 AOB=90 '改为2 AOB=120 ”射线OE沿射线OB平移，得O E 其他条件不变，(如图2所示)，探究2 OCD 2 BO的数量关系；(3)在(2)的条件下，作PO丄OB垂足为0',与2 OCD的平分线CP 交于点P,若2 BO E=a请用含a的式子表示2 CPO(请直接写出答案).29. 如图1 .将线段AB平移至CD,使A与D对应，B与C对应，连AD、(1) ____________________________ 填空：AB与CD的关系为___________________________________ ，2 B与2 D的大小关系为_____ (2)如图2,若2 B=60°, F、E为BC的延长线上的点，2 EFD=Z EDF, DG平分2 CDE交BE于G,求2 FDG.(3)在(2)中，若2 B=a,其它条件不变，则2 FDG= _________.30. 已知：如图，BC// OA,/ B=Z A=100°,试回答下列问题：(1)如图①所示，求证：OB/ AC.(注意证明过程要写依据)(2)如图②，若点E、F在BC上，且满足/ FOC/ AOC,并且OE平分/ BOF.(i)求/ EOC的度数；(ii)求/ OCB / OFB的比值；(iii) _________________________________________ 如图③，若/ OEB=/ OCA 此时/ OCA度数等于____________________ .(在横线上填上答案即可) 31. 数学思考：(1)如图1，已知AB// CD,探究下面图形中/ APC和/PAB / PCD的关系，并说明你探究的结论的正确性.推广延伸：(2)①如图2,已知AA1 / BA3,请你猜想/片、/ B1、/ B2、/ A2、/ A3的关系，并证明你的猜想；②如图3，已知AA1 / BA n,直接写出/ A、/ B1、/ B2、/ A?、…/ B「1、/ A n的关系.拓展应用：(3) _______________________________________________________①如图4,若AB// EF,用含a, B, 丫的式子表示X,应为 __________________A. a+越丫B.供丫― aC.180 ° a_ 7+ PD.180 + a+ 丫②如图5, AB// CD, / EFA=30, / FGH=90,/ HMN=3° , / CNP=50, 则/ GHM的大小是_________ .32. 已知，直线AB// CD（1如图1点E在直线BD的左侧，猜想/ ABE / CDE / BED的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2,点E在直线BD的左侧，BF DF分别平分/ ABE / CDE 猜想/ BFD和/ BED的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3,点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分/ ABE / CDE 那么第（2）题中/BFD和/BED的数量关系的猜想是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出你的猜想，并证明.图1 图333. 阅读下列材料并填空：（1）探究：平面上有n个点（n》2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？我们知道，两点确定一条直线.平面上有2个点时，可以画条直线，平面内有3个点时，一共可以画一 -•条直线，平面上有4个点时，2 图1一共可以画条直线，平面内有5个点时，一共可以画________________ 条直线，••平面内有n个点时，一共可以画____ 条直线.（2）迁移：某足球比赛中有n个球队（n》2）进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛？有2个球队时，要进行二场比赛，有3个球队时，要进行场比赛，有4个球队时，要进行场比赛，••那么有20个球队时，要进行___________________________ 场比赛.第13页（共67页）BN,则a 与B 有何关系？并说明理由.(2)如图②，若Z EAC 的平分线所在直线与Z FBC 平分线所在直线交于 P,试探究Z APB 与a B 的关系是 _________ .(用a 、B 表示)(3) 如图③，若 a> p, Z EAC 与Z FBC 的平分线相交于 P i ，Z EAR 与Z FBP 的平分线交于依此类推，则Z P 5= ___________ (用a B 表示)34.若/ C=a, / EAC+Z FBC 邛B③35.已知，AB / CD,点E 为射线FG 上一点.(1) 如图1,直接写出Z EAR Z AED Z EDG 之间的数量关系； (2) 如图2,当点E 在FG 延长线上时，求证：Z EAF=/AED+Z EDG; (3)如图3, AI 平分Z BAE, DI 交AI 于点I ,交AE 于点K ,且Z EDI:Z CDI=2 1,Z AED=20, Z I=30 ,求Z EKD 的度数.(1)如图①，AM 是Z EAC 的平分线，BN 是Z FBC 的平分线，若 AM //36.已知AB// CD,点P在直线AB、CD之间，连接AP、CP.(1探究发现：(填空)填空：如图1，过P作PQ// AB,•••/ A+Z 仁______ °( _______ )••• AB// CD (已知)••• PQ// CD ( _____ )•••/ C+Z 2=180°结论：/ A+Z C+Z APC= _____(2)解决问题：与Z F存在怎样的数量关系并说明理由；②如图3,若Z APC=100,分别作BN// AP, DN / PC, AM、DM分别平分Z PAB Z CDN,则Z M的度数为__________ (直接写出结果)圉1 图2 图337.如图1 , AB// CD, E是AB、CD之间的一点.(1)判定Z BAE Z CDE与Z AED之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2,若Z BAE、Z CDE的两条平分线交于点F.直接写出Z AFD 与Z AED之间的数量关系；(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3,若Z AGD的余①如图2,延长PC至点E, AF、CF分别平分Z PAB Z DCE试判断Z P 角等于2 Z E的补角，求Z BAE的大小.BDD图2°圉138•实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等•如图1, 一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a 所夹的锐角/仁/2. (1)如图2, 一束光线m射到平面镜a上，被a 反射到平面镜b 上,又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行，且/ 仁50°,则/2= ______________________ ° / 3= ______ °(2)在(1)中m // n,若/ 仁55°,则/ 3= _________ ° 若/ 仁40°,则/(3)由(1)、(2)，请你猜想：当两平面镜a、b的夹角/ 3= ___________ 时，可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行.你能说明理由吗？(4)如图3,两面镜子的夹角为a °(0< aV 90)时，进入光线与离开光线的夹角为B°(0< B<90).试探索a与B的数量关系.直接写出答39. 已知EF// MN，一直角三角板如图放置./ ACB=90.(1)如图1,若/仁60°,则/2= __________ 度；(2)如图2,若/仁/ B-20°则/2= ____________ 度；(3)如图3,延长AC交直线MN于D, GH平分/ CGN, DK平分/ ADN 交GH于K,问/ GKD是否为定值，若是求值，不是说明理由.40. 已知AD//CE点B为直线AD CE所确定的平面内一点.(1)如图1所示，求证：/ ADB=Z B+Z BFE案. _______(2)如图2, FG平分Z BFE DG交FG于点G交BF于点H,且Z BDG1. (- 5, 2)或(5, 2) ;2・(1, 3)或(5, 1)3. B;4・(8, 3) , (5, 0) ;5. (8052, 0)6. (2007, 1)7. 45.8. (4023,佝.9. (5,- 5).10. (- 5, 13). 11. (14, 10) ;12. (32, 3) , (64, 0);13. ( - 1009, 1009)七下平行线，平面直角坐标系压轴题参考答案与试题解析一.填空题(共13小题)1.已知点M (3, 2)与点N (x, y)在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5,则点N的坐标为 (-5, 2)或(5, 2) .【分析】根据点M (3, 2)与点N (x, y)在同一条平行于x轴的直线上，可得点M的纵坐标和点N的纵坐标相等，由点N到y轴的距离为5, 可得点N的横坐标的绝对值等于5,从而可以求得点N的坐标.【解答】解：•••点M (3, 2)与点N (x, y)在同一条平行于x轴的直线上，•••点M的纵坐标和点N的纵坐标相等.二y=2.•••点N到y轴的距离为5,• | x| =5.得, x=± 5.•点N的坐标为(-5, 2)或(5, 2).故答案为：(-5, 2)或(5, 2).【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相等，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值.2 .如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2, 0),点B的坐标为 (0, 1),将线段AB平移，使其一个端点到C(3, 2),则平移后另一端点的坐标为(1, 3)或(5, 1) .【分析】分两种情况①当A平移到点C时，②当B平移到点C时，分别利用平移中点的变化规律求解即可.第仃页(共67页)化情况来解决问题•平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减; 纵坐标上移加，下移减.E1v C （3, 2）, A的坐标为（2, 0）,点B的坐标为（0, 1）,•••点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2,平移后的B坐标为（1, 3）,②如图2,当B平移到点C时，v C （3, 2）, A的坐标为（2, 0）,点B的坐标为（0 , 1）,•••点B的横坐标增大了3,纵坐标增大2 ,•••平移后的A坐标为（5 , 1）, 故答案为：（1 , 3）或（5 , 1）. 【点评】本题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变3•如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE其中C、D两点坐标分别为（1, 0）、（2 , 0）.若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动,则滚动过程中,经过点（75 , 0）的是B （填A、B C、D或E）.O【分析】根据点（75 , 0）的横坐标是5的倍数,而该正五边形滚动 5 次正好一周，由此可知经过（5 , 0）的点经过（75 , 0）,找到经过（5 , 0）的点即可.【解答】解：v C D两点坐标分别为（1 , 0）、（2 , 0）.•按题中滚动方法点E经过点（3 , 0），点A经过点（4 , 0），点B经过点（5 , 0）,•••点（75 , 0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，•可知经过（5 , 0）的点经过（75 , 0）,•点B经过点（75 , 0）.故答案为：B.【解答】解：①如图1当A平移到点C时,第21页（共67页）【点评】本题考查了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的关键是了解正五边形滚动5次正好一个轮回，并由此判断经过点（75, 0）的点就是经过（5，0）的点.4•如图，弹性小球从点P （0, 3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P i,第2次碰到矩形的边时的点为…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，则点P3的坐标是（8，3）；点P2014的【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0, 3），当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8, 3）; ••• 2014-6=335…4,•••当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹, 点P的坐标为（5, 0）.【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键.5. 如图，在直角坐标系中，已知点A （- 3, 0）、B （0, 4）,对厶OAB 连续作旋转变换，依次得到△「△2、厶3、厶4…，则厶2013的直角顶点的第22页（共67页）【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3,根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可.【解答】解：•••点 A (- 3，0)、B (0, 4)，:AB= ；「$ =5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12,••• 2013- 3=671，•••△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，••• 671 X 12=8052，2013的直角顶点的坐标为(8052, 0).故答案为：(8052，0).【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点.点P依次落在点P1 , P2, P3, P4，…,P2008的位置，则P2008的坐标为 (2007, 1_.J A耳—浮…£....... 吕…・・:\ : \ : \ : •**| 卡 " d 0 》【分析】根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律对2008变形，得出结论.【解答】解：根据规律Pi (1 , 1), R (2, 0) =P3 , P4 (3, 1),P5 (5, 1), Ps (6, 0) =P7, P8 (7, 1)…每4个一循环，可以判断P2008坐标在502次循环后与P4坐标纵坐标一致, 坐标应该是(2007, 1)故答案为：(2007, 1)【点评】本题主要考查了对正方形的性质，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，体现了由特殊到一般的数学方法，这一解答问题的方法在考查本节的知识点时经常用到，是在研究特例的过程中总结规律.6. 如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008 次,7. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺第20页(共67页)序按图中方向排列，如(1, 0), (2, 0), (2, 1), (1,1), (1, 2),【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可.【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1,共有1个，1=12,右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=2^右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=于，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42, 右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，••• 452=2025, 45 是奇数，•••第2025 个点是（45, 0）, 第2012个点是（45, 13）,所以，第2012个点的横坐标为45.故答案为：45.【点评】本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键.8•如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1, P?, P3…P012 .则点P2012的坐标是（4023, Q .【分析】根据等边三角形的性质易求得P1的坐标为（1,氏）；在等边三角形翻折的过程中，P点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加 2 个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点P2012的坐标.2012个点的横坐标为45第24页（共67页）【解答】解：易得P l （1, 「）；而P I P2=P2P3=2,「. P2 （3, V5）, P3 （5,冋;依此类推，P n （1+2n-2,血）,即P n （2n - 1, 冋;当n=2012 时，P2012 （4023, 「）.故答案为：（4023,二）.【点评】考查了规律型：点的坐标•解答此类规律型问题时，通常要根据简单的条件得到一般化规律，然后根据规律求特定的值.9.如图，正方形A1A2A3A4, A5A6A7A8, A9A10A11A12,…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1, A2, A3, A4；A5, A Q,A7, A g；A9, A10, A11,A12；…）的中心均在坐标原点O,各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2, 4, 6…，则顶点A20的坐标为（5,- 5） .【分析】由* =5易得A?0在第四象限，根据A4的坐标，A g的坐标，A12 4的坐标不难推出A20的坐标.【解答】解：•••==5,4••• A20在第四象限，V A4所在正方形的边长为2,A的坐标为（1,- 1）,同理可得：A g的坐标为（2, - 2）, A12的坐标为（3 , - 3）,••• A20 的坐标为（5 , - 5）,故答案为：（5, - 5）.【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题关键是首先找出A20所在的象限.10.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“-”方向排列,如（0, 1）, （0 , 2）, （1 , 2）, （1 , 3）, （0 , 3）, （-第25页（共67页）j L*r J"4*3'卩* ■L2"L1h-------3 -2 -1 1 2 3X【分析】观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第90个点的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可.【解答】解：(0，1)，共1个，(0, 2)，(1, 2)，共 2 个，(1, 3)，(0，3 )，(- 1, 3)，共 3 个，，依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，1+2+3+-+ n= 1，2当n=13 时，「「=91,所以，第90个点的纵坐标为13,(13- 1)十2=6, •••第91个点的坐标为(-6, 13),第90个点的坐标为(-5, 13) 故答案为：(-5, 13).【点评】本题考查了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键.11•如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如 (1,0), (2, 0), (2, 1), (3, 2), (3, 1), (3, 0),…,【分析】应先判断出第102个数在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解.【解答】解：把第一个点(1, 0)作为第一列，(2, 1 )和(2, 0)作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，第n列有n 个数•则n列共有二二-个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶厶(14, 10)第23页(共67页)数列点的顺序由下到上.因为105=1+2+3+・・+14,则第102个数一定在第14列，由下到上是第11个数.因而第102个点的坐标是（14, 10）.故答案填：（14, 10）.【点评】本题考查了学生阅读理解并总结规律的能力，解决的关键是能正确找出题目中点的规律.12. 如图，在直角坐标系中，第一次将△ OAB变换成△ OAB，第二次将△ OA1B1变换成△ OA2B2，第三次将△ OA2B2变换成△ OA3B3…已知：A （1，3），A1 （2，3），A2 （4，3），A3 （8，3）; B （2，0），B1（4，0），B2 （8，0），B3 （16，0）.观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是（32,3），【分析】寻找规律求解.【解答】解：A、A1、A2-A n都在平行于X轴的直线上，点的纵坐标都相等，所以A5的纵坐标是3; 这些点的横坐标有一定的规律：A n=2n.因而点A5的横坐标是25=32;B、B、B2^B n都在x轴上，B5的纵坐标是0;这些点的横坐标也有一定的规律：B n=2n+1，因而点B5的横坐标是B5=25+1=64.•••点A5的坐标是（32, 3），点B5的坐标是（64, 0）.故答案分别是：（32, 3），（64, 0）.【点评】考查X轴上的点的特征与平行于X轴的直线上点的特点.注意数形结合思想在此的应用，找到点的变化规律是解题的关键.13. 如图，在平面直角坐标系上有点A （1, 0）,点A第一次向左跳动至点A1 （- 1, 1）,第二次向右跳动至点A2 （2, 1）,第三次向左跳动至点A3 （-2, 2）,第四次向右跳动点A4 （3, 2）,…，依次规律跳动下去, 点A第2017次跳动至点A2017的坐标是（-1009, 1009）..【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1,纵坐标相同，然后写出即可.【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第27页（共67页）第4次跳动至点的坐标是（3, 2），第6次跳动至点的坐标是（4, 3），第8次跳动至点的坐标是（5, 4），第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），则第2018次跳动至点的坐标是（1010，1009）,第2017次跳动至点A2017的坐标是（-1009, 1009）.故答案为：（-1009, 1009）.【点评】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键.二.解答题（共27小题）14. 如图，已知直线AB// CD,直线EF分别与AB、CD相交于点E、F, FM平分/ EFD,点H是射线EA上一动点（不与点E重合）,过点H的直线交EF于点P, HM平分/ BHP交FM于点M .（1）如图1,试说明：/ HMF=「（/ BHP F Z DFP）;2请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ // AB （过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）. ••• AB// CD （已知）,••• MQ // CD （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）•••/仁/3,Z 2=7 4 （两直线平行，内错角相等）•••/ 1+7 2=7 3+7 4 （等式的性质）即7 HMF=7 1 + 72.••• FM平分7 EFD, HM平分7 BHP （已知）•••7 1 =「7 BHP, 7 2= 7 DFP （角平分线定义）£厶•••7 HMF= 7 BHF+17 DFP= （7 BHP+7 DFP （等量代换）.2 2 2（2）如图2,若HP丄EF,求7 HMF的度数；（3）如图3,当点P与点F重合时，FN平分7 HFE交AB于点N,过点N 作NQ丄FM于点Q,试说明无论点H在何处都有7 EHF=2/ FNQ.【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；第28页（共67页）（2）先根据HP丄EF, AB// CD,得到/ EHF+Z DFP=90,再根据（1）中结论即可得到/ HMF的度数；（3）先根据题意得到/ NFQ=90 -Z FNQ,再根据FN平分/ HFE FM平分/EFD 即可得出Z HFD=2/ NFQ,最后根据Z EHF+Z HFD=180,即可得出Z EHF=2/ FNQ.【解答】解：（1）由MQ //CD,得到Z仁Z 3,Z 2=Z 4,其依据为：两直线平行，内错角相等；由FM 平分Z EFD HM 平分Z BHP,得到Z 1= Z BHP,Z 2」Z DFP,其依据为：角平分线定义.故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义.•••Z EHF+Z HEP=180 - 90°90°(三角形的内角和等于180°又••• AB// CD,•Z HEP=/ DFP. •Z EHH Z DFP=90.由(1)得：Z HMF= (Z EHP F Z DFP) = X 90°45°.2 2(3)如图3,v NQ丄FM,•Z NFQ+Z FNQ=180 - 90°90°(三角形的内角和等于180° .•Z NFQ=90 -Z FNQ.••• FN平分Z HFE, FM 平分Z EFD,又tZ NFQ=Z NFE F Z QFE= (Z HFE F Z EFD = . Z HFD,•Z HFD=2Z NFQ.又••• AB// CD,•Z EHF+Z HFD=180,•Z EHF=180-Z HFD=180 - 2Z NFQ=180 - 2 (90°-Z FNQ) =2Z FNQ, 即无论点H在何处都有Z EHF=2/ FNQ.(2)如图2,t HP丄EF,• Z HPE=90,第29页（共67页）。
平面直角坐标系找规律压轴及平行线解答题压轴题
七下平行线，平面直角坐标系压轴题一．填空题（共13小题）1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是（填A、B、C、D或E）．4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn，则点P3的坐标是；点P2014的坐标是．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），AB=5.对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，则P2008的坐标为．大全7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1，P2，P3…P2012．则点P2012的坐标是．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A 7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为．11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为．大全大全12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3…已知：A （1，3），A 1（2，3），A 2（4，3），A 3（8，3）；B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A 5的坐标是 ，B 5的坐标是 ．13．如图，在平面直角坐标系上有点A （1，0），点A 第一次向左跳动至点A 1（﹣1，1），第二次向右跳动至点A 2（2，1），第三次向左跳动至点A 3（﹣2，2），第四次向右跳动点A 4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A 第2017次跳动至点A 2017的坐标是 ．二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB ∥CD ，直线EF 分别与AB 、CD 相交于点E 、F ，FM 平分∠EFD ，点H 是射线EA 上一动点（不与点E 重合），过点H 的直线交EF 于点P ，HM 平分∠BHP 交FM 于点M ．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP ）； 请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M 作MQ ∥AB （过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）． ∵AB ∥CD （已知），∴MQ ∥CD （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（ ） ∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质） 即∠HMF=∠1+∠2．∵FM 平分∠EFD ，HM 平分∠BHP （已知） ∵∠1=∠BHP ，∠2=∠DFP （ ）∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N 作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．（1）求证：∠BFA+∠BAC=180°；（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；（3）如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）16．已知直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的点．（1）若E是AB，CD内一点．①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE，∠MEN之间的数量关系，并证明．大全②如图乙所示，若∠1=∠BME，∠2=∠DNE，请利用①的结论探究∠F 与∠MEN的数量关系．（2）若E是AB，CD外一点．①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．②如图丁所示，已知∠BMP=∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠MGN=∠E，请在图中画出点G的大致位置，并求∠ENG：∠GND的值．17．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，则∠AED= °；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD的度数．18．小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线AB∥CD，E为平面内一点，连接BE、CE，根据点E 的位置探究∠B和∠C、∠BEC的数量关系．（1）当点E分别在如下图①、图②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系：图①中：；图②中：，图③大全中：．（2）请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明．（3）运用上面的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∠BEC=100°，∠BPC的度数是．（直接写出结果，不用写计算过程）19．如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；（2）如图2，当∠ADC=120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC ⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC=∠ADH．20．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；大全（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则= ．21．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC 的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．22．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，大全第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En．（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如图②，求证：∠BE2C=∠BEC；（3）猜想：若∠En=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）．23．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B 转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．（1）填空：∠BAN= °；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．24．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．大全（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．25．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．26．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，大全求∠EBC的度数．27．如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE 分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点G．（1）求证：EM∥NG；（2）连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP 交AB于点P，求∠PEG的度数．28．已知，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE．（1）如图1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度数；（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；（3）在（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP大全交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）．29．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．（1）填空：AB与CD的关系为，∠B与∠D的大小关系为（2）如图2，若∠B=60°，F、E为 BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．（3）在（2）中，若∠B=α，其它条件不变，则∠FDG= ．30．已知：如图，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠大全BOF．（ⅰ）求∠EOC的度数；（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于．（在横线上填上答案即可）31．数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明你探究的结论的正确性．推广延伸：（2）①如图2，已知AA1∥BA3，请你猜想∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；②如图3，已知AA1∥BAn，直接写出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系．拓展应用：（3）①如图4，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为A．α+β+γ B．β+γ﹣α C.180°﹣α﹣γ+β D.180°+α+β﹣γ②如图5，AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是．32．已知，直线AB∥CD（1）如图1，点E在直线BD的左侧，猜想∠ABE、∠CDE、∠BED的数量大全关系，并证明你的结论；（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，猜想∠BFD和∠BED的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE；那么第（2）题中∠BFD和∠BED的数量关系的猜想是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出你的猜想，并证明．33．阅读下列材料并填空：（1）探究：平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画条直线，平面内有3个点时，一共可以画条直线，平面上有4个点时，一共可以画条直线，平面内有5个点时，一共可以画条直线，…平面内有n个点时，一共可以画条直线．（2）迁移：某足球比赛中有n个球队（n≥2）进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛？有2个球队时，要进行场比赛，有3个球队时，要进行场比赛，有4个球队时，要进行场比赛，…那么有20个球队时，要进行场比赛．34．若∠C=α，∠EAC+∠FBC=β大全（1）如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则α与β有何关系？并说明理由．（2）如图②，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是．（用α、β表示）（3）如图③，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；依此类推，则∠P5= ．（用α、β表示）35．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，直接写出∠EAF、∠AED、∠EDG之间的数量关系；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠CDI=2：1，∠AED=20°，∠I=30°，求∠EKD的度数．36．已知AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接AP、CP．（1）探究发现：（填空）填空：如图1，过P作PQ∥AB，大全∴∠A+∠1= °（）∵AB∥CD（已知）∴PQ∥CD（）∴∠C+∠2=180°结论：∠A+∠C+∠APC= °；（2）解决问题：①如图2，延长PC至点E，AF、CF分别平分∠PAB、∠DCE，试判断∠P 与∠F存在怎样的数量关系并说明理由；②如图3，若∠APC=100°，分别作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分别平分∠PAB，∠CDN，则∠M的度数为（直接写出结果）．37．如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD 与∠AED之间的数量关系；（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．38．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a 上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹大全的锐角∠1=∠2．（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2= °，∠3= °．（2）在（1）中m∥n，若∠1=55°，则∠3= °；若∠1=40°，则∠3= °．（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3= °时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．你能说明理由吗？（4）如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90）时，进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系．直接写出答案．．39．已知EF∥MN，一直角三角板如图放置．∠ACB=90°．（1）如图1，若∠1=60°，则∠2= 度；（2）如图2，若∠1=∠B﹣20°．则∠2= 度；（3）如图3，延长AC交直线MN于D，GH平分∠CGN，DK平分∠ADN交GH于K，问∠GKD是否为定值，若是求值，不是说明理由．40．已知AD∥CE，点B为直线AD、CE所确定的平面内一点．（1）如图1所示，求证：∠ADB=∠B+∠BFE．（2）如图2，FG平分∠BFE，DG交FG于点G交BF于点H，且∠BDG：∠ADG=2：1，∠B=20°，∠DGF=30°，求∠BHD的度数．大全1.（﹣5，2）或（5，2）;2. （1，3）或（5，1）3. B;4.（8，3），（5，0）;5.（8052，0）6.（2007，1）7. 45．8.（4023，）．9.（5，﹣5）．10.（﹣5，13）．11.（14，10）;12.（32，3），（64，0）;13.（﹣1009，1009）七下平行线，平面直角坐标系压轴题参考答案与试题解析一．填空题（共13小题）1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．【分析】根据点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，可得点M的纵坐标和点N的纵坐标相等，由点N到y轴的距离为5，可得点N的横坐标的绝对值等于5，从而可以求得点N的坐标．【解答】解：∵点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴点M的纵坐标和点N的纵坐标相等．∴y=2．∵点N到y轴的距离为5，∴|x|=5．得，x=±5．∴点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．故答案为：（﹣5，2）或（5，2）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相等，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（1，3）或（5，1）．【分析】分两种情况①当A平移到点C时，②当B平移到点C时，分别利用平移中点的变化规律求解即可．大全【解答】解：①如图1，当A平移到点C时，∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，平移后的B坐标为（1，3），②如图2，当B平移到点C时，∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大2，∴平移后的A坐标为（5，1），故答案为：（1，3）或（5，1）．【点评】本题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变化情况来解决问题．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是 B （填A、B、C、D或E）．【分析】根据点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，由此可知经过（5，0）的点经过（75，0），找到经过（5，0）的点即可．【解答】解：∵C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．∴按题中滚动方法点E经过点（3，0），点A经过点（4，0），点B经过点（5，0），∵点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，∴可知经过（5，0）的点经过（75，0），∴点B经过点（75，0）．故答案为：B．【点评】本题考查了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的关键是了大全解正五边形滚动5次正好一个轮回，并由此判断经过点（75，0）的点就是经过（5，0）的点．4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn ，则点P3的坐标是（8，3）；点P2014的坐标是（5，0）．【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8，3）；∵2014÷6=335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．故答案为：（8，3），（5，0）．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个大全三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．【解答】解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），∴AB==5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2013÷3=671，∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，∵671×12=8052，∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．故答案为：（8052，0）．【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，则P2008的坐标为（2007，1）．【分析】根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律对2008 变形，得出结论．【解答】解：根据规律P1（1，1），P2（2，0）=P3，P4（3，1），P5（5，1），P6（6，0）=P7，P8（7，1）…每4个一循环，可以判断P2008坐标在502次循环后与P4坐标纵坐标一致，坐标应该是（2007，1）故答案为：（2007，1）【点评】本题主要考查了对正方形的性质，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，体现了由特殊到一般的数学方法，这一解答问题的方法在考查本节的知识点时经常用到，是在研究特例的过程中总结规律．7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为45 ．大全【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，…右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13），所以，第2012个点的横坐标为45．故答案为：45．【点评】本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1，P2，P3…P2012．则点P2012的坐标是（4023，）．【分析】根据等边三角形的性质易求得P1的坐标为（1，）；在等边三角形翻折的过程中，P点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点P2012的坐标．【解答】解：易得P1（1，）；而P1P2=P2P3=2，∴P2（3，），P3（5，）；依此类推，Pn（1+2n﹣2，），即Pn（2n﹣1，）；大全当n=2012时，P2012（4023，）．故答案为：（4023，）．【点评】考查了规律型：点的坐标．解答此类规律型问题时，通常要根据简单的条件得到一般化规律，然后根据规律求特定的值．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A 7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为（5，﹣5）．【分析】由=5易得A20在第四象限，根据A4的坐标，A8的坐标，A12的坐标不难推出A20的坐标．【解答】解：∵=5，∴A20在第四象限，∵A4所在正方形的边长为2，A4的坐标为（1，﹣1），同理可得：A8的坐标为（2，﹣2），A12的坐标为（3，﹣3），∴A20的坐标为（5，﹣5），故答案为：（5，﹣5）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题关键是首先找出A20所在的象限．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为（﹣5，13）．【分析】观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第90个点大全的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．【解答】解：（0，1），共1个，（0，2），（1，2），共2个，（1，3），（0，3），（﹣1，3），共3个，…，依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，1+2+3+…+n=，当n=13时，=91，所以，第90个点的纵坐标为13，（13﹣1）÷2=6，∴第91个点的坐标为（﹣6，13），第90个点的坐标为（﹣5，13）．故答案为：（﹣5，13）．【点评】本题考查了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键．11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为（14，10）．【分析】应先判断出第102个数在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．【解答】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，第n列有n 个数．则n 列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．因为105=1+2+3+…+14，则第102个数一定在第14列，由下到上是第11个数．因而第102个点的坐标是（14，10）．故答案填：（14，10）．【点评】本题考查了学生阅读理解并总结规律的能力，解决的关键是能正确找出题目中点的规律．大全大全12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3…已知：A （1，3），A 1（2，3），A 2（4，3），A 3（8，3）；B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A 5的坐标是 （32，3） ，B 5的坐标是 （64，0） ．【分析】寻找规律求解．【解答】解：A 、A 1、A 2…A n 都在平行于X 轴的直线上，点的纵坐标都相等，所以A 5的纵坐标是3；这些点的横坐标有一定的规律：A n =2n．因而点A 5的横坐标是25=32； B 、B 1、B 2…B n 都在x 轴上，B 5的纵坐标是0；这些点的横坐标也有一定的规律：B n =2n+1，因而点B 5的横坐标是B 5=25+1=64． ∴点A 5的坐标是（32，3），点B 5的坐标是（64，0）．故答案分别是：（32，3），（64，0）．【点评】考查X 轴上的点的特征与平行于X 轴的直线上点的特点．注意数形结合思想在此的应用，找到点的变化规律是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系上有点A （1，0），点A 第一次向左跳动至点A 1（﹣1，1），第二次向右跳动至点A 2（2，1），第三次向左跳动至点A 3（﹣2，2），第四次向右跳动点A 4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A 第2017次跳动至点A 2017的坐标是 （﹣1009，1009）． ．【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，然后写出即可．【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2）， 第6次跳动至点的坐标是（4，3）， 第8次跳动至点的坐标是（5，4）， …第2n 次跳动至点的坐标是（n+1，n ），则第2018次跳动至点的坐标是（1010，1009）， 第2017次跳动至点A 2017的坐标是（﹣1009，1009）．故答案为：（﹣1009，1009）．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM 平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（角平分线定义）∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；（2）先根据HP⊥EF，AB∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°，再根据（1）中结论即可得到∠HMF的度数；（3）先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根据FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠FNQ．【解答】解：（1）由MQ∥CD，得到∠1=∠3，∠2=∠4，其依据为：两直线平行，内错角相等；由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，得到∠1=∠BHP，∠2=∠DFP，其依据为：角平分线定义．大全故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义．（2）如图2，∵HP⊥EF，∴∠HPE=90°，∴∠EHP+∠HEP=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）又∵AB∥CD，∴∠HEP=∠DFP．∴∠EHP+∠DFP=90°．由（1）得：∠HMF=（∠EHP+∠DFP）=×90°=45°．（3）如图3，∵NQ⊥FM，∴∠NFQ+∠FNQ=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）．∴∠NFQ=90°﹣∠FNQ．∵FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=（∠HFE+∠EFD）=∠HFD，∴∠HFD=2∠NFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD=180°，∴∠EHF=180°﹣∠HFD=180°﹣2∠NFQ=180°﹣2（90°﹣∠FNQ）=2∠FNQ，即无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义以及平行公理的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．（1）求证：∠BFA+∠BAC=180°；（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；（3）如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）大全。
七年级数学下册平面直角坐标系压轴题
平面直角坐标系压轴题(1)①能熟练解平面直角坐标系中的面积存在性问题； ②能将几何问题代数化，并能运用数形结合思想解题．探究案【例1】如图，在平面直角坐标中，A (0，1)，B (2，0)，C （2，1.5）． （1）求△ABC 的面积； （2）如果在第二象限内有一点P （a ，0.5），试用a 的式子表示四边形ABOP 的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．yxPOCBA【例2】在平面直角坐标系中，已知A （-3，0），B （-2，-2），将线段AB 平移至线段CD ，连AC 、BD ．图1y xDO CB A图2y xDO C B A图3yxOBA图4yxOBA（1）如图1，直接写出图中相等的线段，平行的线段；（2）如图2，若线段AB 移动到CD ，C 、D 两点恰好都在坐标轴上，求C 、D 的坐标；（3）若点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第一象限内，且S △ACD =5，求C 、D 的坐标；（4）在y 轴上是否存在一点P ，使线段AB 平移至线段PQ 时，由A 、B 、P 、Q 构成的四边形是平行四边形面积为10，若存在，求出P 、Q 的坐标，若不存在，说明理由；【例3】如图，△ABC 的三个顶点位置分别是A （1，0），B （－2，3），C（－3，0）．（1）求△ABC 的面积；（2）若把△ABC 向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A B C '''，请你在图中画出△A B C '''；（3）若点A 、C 的位置不变，当点P 在y 轴上什么位置时，使2ACPABCSS=；（4）若点B 、C 的位置不变，当点Q 在x 轴上什么位置时，使2BCQABCSS=．【例4】如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，2），且满足2(2)20a b ++-=，过C 作CB ⊥x 轴于B ．（1）求三角形ABC 的面积；（2）若过B 作BD ∥AC 交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分∠CAB ，∠ODB ，如图2，求∠AED 的度数；（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．训练案1、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别是A （0，0），B （7，0），C （9，5），D （2，7）（1）在坐标系中，画出此四边形； （2）求此四边形的面积；（3）在坐标轴上，你能否找一个点P ，使S △PBC =50，若能，求出P 点坐标，若不能，说明理由．2、如图，A 点坐标为（－2， 0）， B 点坐标为（0， －3）.(1)作图，将△ABO 沿x 轴正方向平移4个单位， 得到△DEF ， 延长ED 交y 轴于C 点， 过O 点作OG ⊥CE ， 垂足为G ；(2) 在(1)的条件下， 求证: ∠COG ＝∠EDF ；（3）求运动过程中线段AB 扫过的图形的面积．3、在平面直角坐标系中，点B （0，4），C （-5，4），点A 是x 轴负半轴上一点，S 四边形AOBC=24.图1yxHOFEDACB（1）线段BC 的长为 ，点A 的坐标为 ； （2）如图1，EA 平分∠CAO ，DA 平分∠CAH ，CF ⊥AE 点F ，试给出∠ECF与∠DAH 之间满足的数量关系式，并说明理由；（3）若点P 是在直线CB 与直线AO 之间的一点，连接BP 、OP ，BN 平分CBP ∠，ON 平分AOP ∠，BN 交ON 于N ，请依题意画出图形，给出BPO ∠与BNO ∠之间满足的数量关系式，并说明理由.4、在平面直角坐标系中，OA ＝4，OC ＝8，四边形ABCO 是平行四边形．xy OCBAP QxyOCBA（1）求点B 的坐标及的面积ABCO S 四边形；（2）若点P 从点C 以2单位长度/秒的速度沿CO 方向移动，同时点Q 从点O 以1单位长度/秒的速度沿OA 方向移动，设移动的时间为t 秒，△AQB 与△BPC 的面积分别记为AQB S ∆，BPC S ∆，是否存在某个时间，使AQB S ∆＝3OQBPS 四边形，若存在，求出t 的值，若不存在，试说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形QBPO 的面积是否发生变化，若不变，求出并证明你的结论，若变化，求出变化的范围．5、如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D 连结AC ，BD ．(1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC ；（2）在y 轴上是否存在一点P ，连结P A ，PB ，使S △P AB ＝S △PDB ，若存在这样一点，求出点P 点坐标，若不存在，试说明理由；（3）若点Q 自O 点以0.5个单位/s 的速度在线段AB 上移动，运动到B 点就停止，设移动的时间为t 秒，（1）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积是四边形ABCD 面积的三分之一？QDC3-1BAoxy（4）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积等于△ACO 面积的二分之一？ 6、在直角坐标系中，△ABC 的顶点A （—2，0），B （2，4），C （5，0）．（1）求△ABC 的面积（2）点D 为y 负半轴上一动点，连BD 交x 轴于E ，是否存在点D 使得ADE BCE S S ∆∆=？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点F （5，n ）是第一象限内一点，，连BF ，CF ，G 是x 轴上一点，若△ABG 的面积等于四边形ABDC 的面积，则点G 的坐标为 （用含n 的式子表示）F A OCB y xA y x O CB DC3-1BA ox yDC3-1BA oxy。
中考数学总复习《平面直角坐标系压轴题》专题训练(附带答案)
中考数学总复习《平面直角坐标系压轴题》专题训练(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，在平面直角系中，点A的坐标是(0,4)在x轴上任取一点B连接AB作线段AB的垂直平分线1l过点B作x轴的垂线2l记1l2l的交点为P．设点P的坐x y．标为(,)(1)用含x y二个字母的代数式表示PA的长度．(2)当点B在x轴上移动时点P也随之运动请求出点P的运动路径所对应的函数解析式．2．如图1 在平面直角坐标系中，点B的坐标是(0,2)动点A从原点O出发沿着x轴正方向移动ABP是以AB为斜边的等腰直角三角形（点A B P顺时针方向排列）．(1)当点A 与点O 重合时 得到等腰直角OBC △（此时点P 与点C 重合） 则BC =______．当2OA =时 点P 的坐标是______； (2)设动点A 的坐标为(,0)(0)t t ≥．①点A 在移动过程中，作PM y ⊥轴于M PN OA ⊥于N 求证：四边形PMON 是正方形；①用含t 的代数式表示点P 的坐标为：（______ ______）；(3)在上述条件中，过点A 作y 轴的平行线交MP 的延长线于点Q 如图2 是否存在这样的点A 使得AQB 的面积是AOB 的面积的3倍？若存在 请求出A 的坐标 若不存在 请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点 直线3y x分别交x 轴 y 轴于点A B ．(1)求ABO ∠的度数；(2)点C 是线段AB 上一点 连接OC 以OC 为直角边作等腰直角OCD 其中OC OD=且点D在第三象限连接AD．设点C的横坐标为t ACD的面积为S 求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；(3)在（2）的条件下点E为x轴正半轴上的一点连接BE点F是BE的中点连∥交x轴于点H若接CF并延长交x轴于点G过点D作DH CFCG DH=求点D的坐标．∠-∠=︒345AEB ADH4．如图，在直角平面坐标系中，ABC的边AB在x轴上且3AB=点A的坐标为-点C的坐标为(2,5)．(5,0)(1)求这样的ABC一共几个？并写出符合条件的点B的坐标；(2)试求ABC的面积．5．如图，平面直角坐标系中有点()1，0B 和y 轴上一动点(0,)A a - 其中0a > 以点A 为直角顶点在第四象限内作等腰直角ABC 设点C 的坐标为(,)c d ．(1)当2a =时 点C 的坐标为 ．(2)动点A 在运动的过程中，试判断+c d 的值是否发生变化 若不变 请求出其值；若发生变化 请说明理由．(3)当3a =时 在坐标平面内是否存在一点P （不与点C 重合） 使PAB 与ABC 全等？若存在 请直接写出点P 的坐标；若不存在 请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，()2,0A - ()0,3B ．(1)如图1 以A 为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形ABE 过点E 作EF x ⊥轴于点F 求点F 的坐标；(2)如图2 点()0,P P y 为y 轴正半轴上一动点 以AP 为直角边作等腰直角三角形APC 点(),C C C x y 在第一象限 90APC ∠=︒ 当点P 运动时 P C y y -的值是否发生变化？若不变 求出其值；若变化 请说明理由．(3)如图3 点P 在y 轴负半轴上 以AP 为直角边作等腰直角三角形APC 90APC ∠=︒ 点C 在第一象限 点H 在AC 延长线上 作HG x ⊥轴于G 当(),2H m 探究线段PH AG OP 之间的数量关系 并证明你的结论．7．已知在平面直角坐标系中，()()4003A B ，，， 以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形90ABC AB AC BAC =∠=︒，，．(1)直接写出OA OB ⋅的值． (2)求点C 坐标．(3)若点A B ，是x y ，轴正半轴上的动点 BQ AQ ，分别是ABy ∠和BAx ∠的角平分线 交点为Q 求Q ∠的大小．8． 在平面直角坐标系中，点A B ，分别在x 轴负半轴 y 轴正半轴上运动 且满足AB BC = 90ABC ∠=︒ 点C 在第二象限．(1)如图1 当点()()4002A B -，，，时 点C 的坐标为________； (2)以OB 为直角边作等腰直角()90OBD OB BD OBD =∠=︒，△ 如图2 连接AD 和OC 且相交于点P 判断AD 和OC 的数量关系与位置关系 并说明理由；(3)以OB 为直角边作等腰直角()90OBD OB BD OBD =∠=︒，△ 如图3 连接CD 交y 轴于点Q 在点,A B 的运动过程中，判断BQ 与OA 的数量关系 并说明理由．9．在平面直角坐标系中，AOB 为等腰直角三角形 ()4,4A ．(1)直接写出B 点坐标；(2)如图2 若C 为x 轴正半轴上一动点 以AC 为直角边作等腰直角ACD =90ACD ∠︒ 连接OD 求AOD ∠度数；(3)如图3 过点A 作y 轴的垂线交y 轴于E F 为x 轴负半轴上一点 G 在EF 的延长线上 以EG 为直角边作等腰Rt EGH 过A 作x 轴的垂线交EH 于点M 连接FM 等式1AM FMOF-=是否成立？若成立 请证明；若不成立 说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，直线24y x =-+交坐标轴于A B 两点 过x 轴负半轴上一点C 作直线CD 交y 轴正半轴于点D 且AOB DOC △≌△．(1)OC =________ OD =________．(2)点()1,M a -是线段CD 上一点 作ON OM ⊥交AB 于点N 连接MN 求点N 的坐标；(3)若()1,E b 为直线AB 上的点 P 为y 轴上的点 请问：直线CD 上是否存在点Q 使得EPQ △是以E 为直角顶点的等腰直角三角形 若存在 请直接写出此时Q 点的坐标；若不存在 请说明理由．象限内作等腰直角ABC则点b点D在第一象限作等腰直角BDE△c ABO，=∠(1)如图1 点A 关于x 轴的对称点为P 点 则点P 的坐标为________ 当PB 最短时 点B 的坐标为________；（结果均用a 表示）(2)如图2 当AB y ⊥轴 且垂足为点A 时 以OA 为边作正方形ABQO M 在x 轴的正半轴 且OM OA < 以OM 为边在x 轴上方作正方形OMNH 连接AN 若6QM = 两个正方形面积之和为20 求AHN 的面积；(3)如图3 当AB y ⊥轴 且垂足为点A 时 点F 在线段OB 上运动（不与端点重合） 点C 是线段BF 的中点 连接AF AC ， 以A 为直角顶点 AF 为直角边在第二象限内作等腰Rt EAF △ 连接OE 交AC 于点G 探究线段OE 与AC 的关系 并说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，点A B C 都在坐标轴上 08A BO CO BC ===，．(1)点A 坐标为（______ _______）．(2)过点C 作x 轴的垂线l 动点Р从点C 出发 沿着直线①向上运动 若点Р的速度是1个单位/秒 时间是t 连接PA PB ， 请用含t 的式子表示PABS．(3)在（2）的条件下 连接AP 以AP 为斜边 在AP 下方作等腰直角APD △ 连接BD 并延长至点Q 连接PO QC ， 当点D 为BQ 中点时 请判断PCQ △的形状 并说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，(0,2)A (3,0)B 过点B 作直线ly 轴 点P 是直线l 上的动点 以AP 为边在AP 右上侧作等腰直角APQ △ 使90APQ ∠=︒．(1)如图1当点P 落在点B 时 则点Q 的坐标是________； 学生甲认为点Q 的坐标一定跟点P 有关 于是进行了如下探究：(2)如图2 小聪同学画草图时 让点P 落在1P 2P 3P 不同的特殊位置时（1P 在x 轴上 2P A 与x 轴平行 当Q 落在x 轴上时对应点3P ） 画出了几个点对应的1Q 2Q 3Q 三个不同的位置 发现1Q 2Q 3Q 在同一条直线上 请你根据学生甲的猜测及题目条件 求出点Q 所在直线的解析式；(3)在（2）中，虽然求出了点Q 所在直线的解析式 但是小明同学认为几个特殊点确定解析式是一种猜测 当点P 在l 上运动时 所有的Q 点都在一条直线上吗？就解设了点Q 的坐标为(,)x y 希望用一般推理的方式求出x 和y 满足的关系式 请你帮助小明给出解答．15．在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点()6,0A - 与y 轴交于点B 且45ABO ∠=︒．(1)求点B 坐标和ABO 的面积；(2)如图2 点D 为OA 上的一条延长线的一个动点 以BD 为直角边 以点D 为直角顶点 作等腰三角形BDE 求证AB AE ⊥；(3)如图3 AF 平分OAB ∠ 点M 是射线AF 上一动点 点N 是线段AO 上一动点 判断是否存在这样的点M N 使得OM NM +的值最小 若存在 求出此时点N 的坐标 并加以说明；若不存在 则说明理由．参考答案： 1．（1）解：过点A 作2AH l ⊥于点H 如图所示：①点A 的坐标是(0,4) 点P 的坐标为(,)x y①4OA = ||OB x =①||AH OB x == 4BH OA ==①|4|HP y =-根据勾股定理 得()2222224816PA AH HP x y x y y =+=+-=+-+ 即22816PA x y y =+-+；（2）根据题意 可知点B 坐标为(,0)x①点P 在线段AB 的垂直平分线上①PA PB =①222816y x y y =+-+①2128y x =+ 2．（1）解：①OBC △是等腰直角三角形①,90BC AC C =∠=︒①2OB BC =①点B 的坐标是(0,2)①2OB =①22OB BC ==；①OAB是等腰直角三角形∠=∠OAB①ABP是等腰直角三角形ABP∠=∠∠=∠OBP四边形OAPB==BP OA点P的坐标为①ABP是等腰直角三角形∠=APB90∠=∠MPB在BPM△和APN中∠=∠=︒ANP BMP90≌△△BPM APNPMON是正方形；△△BPM≌①2AN t AN +=-①22t AN -=①22t OM ON +==①点P 的坐标为22,22t t ++⎛⎫⎪⎝⎭；故答案为：22t +；22t +（3）解：存在设点A 的坐标为()(),00m m ≥ 则OA m =①11222AOB S OA OB m m =⨯=⨯=由（2）①得：点P 的坐标为22,22m m ++⎛⎫ ⎪⎝⎭ 则22m OM +=根据题意得：90OMP AOB OAQ ∠=∠=∠=︒①四边形OAQM 是矩形①2,2m MQ OA m AQ OM +====①()2112122224ABQ m S AQ OA m m m +=⨯=⨯=+①AQB 的面积是AOB 的面积的3倍①()21234m m m +=解得：10m =或0（舍去）即存在点()10,0A 使得AQB 的面积是AOB 的面积的3倍． 3．（1）解：在3y x 中，当0x =时 3y = 当0y =时 03x =+ 解得3x =-①()30A -, ()0,3B①3OA OB ==①BAO ABO ∠=∠①90AOB ∠=︒①45BAO ABO ∠=∠=︒．（2）解：如图1 过点C 作CR y ⊥轴于点R ．Rt BCR 中，90BCR =︒-∠BR CR t ==-2BC BR =+COD AOB =∠在ACD 中，12S AD =⨯3）解：如图所示①90BOE ∠=︒ BF EF =①OF BF EF ==①FOE FEO ∠=∠设ADH a ∠=①45AEB a ∠=+︒①45FOE FEO a ∠=∠=+︒ 45AHD OAD ADH a ∠=∠-∠=︒- ①DH CG ∥①45CGO AHD a ∠=∠=︒-①454590CFO FOG FGO a a ∠=∠+∠=︒++︒-=︒取OC 的中点K 连接FK 交OB 于点P 过点F 作FL OB ⊥于点L过点K 分别作KM OB ⊥于点M KN FL ⊥交FL 的延长线于点N 连接KL ． ①四边形KMLN 是矩形；①90CFO ∠=︒ CK OK =①FK OK CK ==①BF OF = FL OB ⊥①BL OL =①KL BC ∥①45OLK OBC ∠=∠=︒①904545NLK NLO OLK ∠=∠-∠=︒-︒=︒①KM KN =①Rt Rt KOM KFN ≌△△①KOM KFN ∠=∠又①OPK FPL ∠=∠①90KOM OPK KFN FPL ∠+∠=∠+∠=︒①90OKP ∠=︒①FK OC ⊥①CF OF =①45CFK OFK ∠=∠=︒①45OCF ∠=︒①90COD ∠=︒ OC OD =在Rt ODS △中，()22223910()44OS OD DS =-=-= ①点D 的坐标为93,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 4．1）解：如图所示 符合条件的ABC 有两个 分别为1AB C 2AB C 其中12(2,0)(8,0)B B --、；（2）点C 的坐标为(2,5)115|2(5)|57.522ABC S ∴=⨯---⨯==△． 5．（1）解：如下图 过点C 作CE y ⊥轴于点E 则CEA AOB ∠=∠①ABC 是等腰直角三角形①,90AC BA BAC =∠︒＝①90ACE CAE BAO CAE ∠+∠=︒=∠+∠①ACE BAO ∠=∠．在ACE △和BAO 中CEA AOB ACE BAO AC BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①ACE BAO≌（AAS）①(0,1),(0,2)B A-①12BO AE AO CE====，①123OE=+=①2,3C-(）；（2）解：动点A在运动的过程中，+c d的值不变．理由如下：由（1）知ACE BAO≌①(0,1)B(0,)A a-①1,BO AE AO CE a====①1OE a=+①(,1)C a a--又①点C的坐标为(,)c d①11c d a a+=--=-即+c d的值不变；（3）解：存在一点P使PAB与ABC全等符合条件的点P的坐标是(4,)1-或(3,2)--或(2,1)-分为三种情况讨论：①如下图过点P作PE x⊥轴于点E则90PBA AOB PEB∠=∠=∠=︒①90,90EPB PBE PBE ABO∠+∠=︒∠+∠=︒①EPB ABO∠=∠在PEB△和BOA△中EPB OBAPEB BOAPB BA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①PEB BOA△≌△（AAS）①1,3PE BO EB AO ====①314OE =+=即点P 的坐标是(4,)1-①如下图 过点C 作CM x ⊥轴于点M 过点P 作PE x ⊥轴于点E则90CMB PEB ∠=∠=︒．①CAB PAB △≌△①45,PBA CBA BC BP ∠=∠=︒=①90CBP ∠=︒①90,90MCB CBM CBM PBE ∠+∠=︒∠+∠=︒①MCB PBE ∠=∠在CMB 和BEP △中MCB EBP CMB BEP BC PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①CMB BEP △≌△（AAS ）①,PE BM CM BE ==．①3,4),10C B -(（，）①2,413PE OE BE BO ==-=-=即点P 的坐标是(3,2)--；①如下图 过点P 作PE x ⊥轴于点E 则90BEP BOA ∠=∠=︒．①CAB PBA △≌△①,90AB BP CAB ABP =∠=∠=︒①90,90ABO PBE PBE BPE ∠+∠=︒∠+∠=︒①ABO BPE ∠=∠．在BOA △和PEB △中ABO BPE BOA PEB BA PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①BOA PEB △≌△（AAS ）①1,3PE BO BE OA ====①312OE BE BO =-=-=即点P 的坐标是(2,1)-综上所述 符合条件的点P 的坐标是(4,)1-或(3,2)--或(2,1)-． 6．（1）三角形ABE 是等腰直角三角形AE AB ∴= 90EAB ∠=︒90FAE BAO ∴∠+∠=︒．EF x ⊥轴90EFA ∴∠=︒90AEF FAE ∴∠+∠=︒AEF OAB ∴∠=∠．90AOB ∠=︒EFA AOB ∴∠=∠．在AEF △和BAO 中,,,AEF BAO EFA AOBAE BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AEF BAO ∴≌3AF BO ∴==235OF ∴=+=()5,0F ∴-；（2）不变 理由如下：如图2 作CF y ⊥轴于FC y OF ∴=90PFC CFO ∴∠=∠=︒90FPC FCP ∴∠+∠=︒．三角形APC 是等腰直角三角形 90APC ∠=︒ PA PC ∴=90APO OPC ∴∠+∠=︒．APO PCF ∴∠=∠．又90AOP PFC ∠=∠=︒．在AOP 和PFC △中,,,APO PCF AOP PFC PA CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AOP PFC ∴△≌△AO PF ．2P C y y OP OF PF AO ∴-=-===；（3）AG PH OP =+ 证明如下：在OG 上取一点M 使MG OP = 连接HM 并延长交AP 的延长线于N 如图3所示()2,0A -2AO ∴=HG x ⊥轴于G (),2H m2HG ∴=AO HG ∴=90AOP HGM ∠=∠=︒ MG OP =()SAS APO HMG ∴△≌△PAO MHG ∴∠=∠ AP HM =AMN HMG ∠=∠90ANM HGM ∴∠=∠=︒90APC ∠=︒ PC AP =45PAC ∴∠=︒AHN ∴是等腰直角三角形45PAH MHA ∴∠=∠=︒又AP HM = AH HA =()SAS APH HMA ∴△≌△PH MA ∴=AG AM MG =+AG PH OP ∴=+．7．（1）解：()()4003A B ，，，4∴=OA 3OB =4312OA OB ⋅=⨯=∴；（2）解：如图，作CD x ⊥轴于点D 则90AOB CDA ∠=∠=︒90ACD CAD ∴∠+∠=︒90BAC ∠=︒90CAD BAO ∴∠+∠=︒ACD BAO ∴∠=∠在BAO 和ACD 中90AOB CDA ACD BAOAB CA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS BAO ACD ∴≌3AD OB ∴== 4CD OA ==437OD OA AD ∴=+=+=()74C ∴，；（3）解：如图BQ 平分ABy ∠ AQ 平分BAx ∠12ABQ ABy ∴∠=∠ 12BAQ BAx ∠=∠ABO∠+∴∠=ABy∴∠+ABQ(1180=︒21︒=-180∠+∠Q ABQ ∴∠=Q180 8．（1）解：作①()SAS CBO ABD ≌△△①AD OC = BCO BAD ∠=∠①BCO ABC BAD APC ∠+∠=∠+∠又90ABC ∠=︒①90APC ∠=︒ 即AD OC ⊥；（3）解：2OA BQ = 理由如下：作CF y ⊥轴于点F同理 ()AAS BAO CBF ≌△△ ①CF OB = BF OA =①90OB BD OBD =∠=︒，①=CF BD CF BD ∥①QCF QDB ∠=∠ 90QFC QBD ∠=∠=︒①()ASA QCF QDB ≌△△ ①BQ FQ =①1122BQ BF OA == 即2OA BQ =． 9．（1）解：如图，作AE OB ⊥于点E①()4,4A①4OE =①AOB 为等腰直角三角形 AE OB ⊥①=2=8OB OE①()8,0B ；①ACD 为等腰直角三角形AC DC =即ACF ∠+∠FDC ∠+∠ACF ∠=∠又①DFC ∠①()DFC CEA AAS ≌EC DF = FC =()4,4A4AE OE ===FC OE 即OF +①AOB 为等腰直角三角形45AOB ∠==AOD ∠∠AM FM -①()4,4A ①4AE OE ==又①==90EAN EOF ∠∠︒ AN OF =①()EAN EOF SAS ≌①=OEF AEN ∠∠ EF EN =又①EGH 为等腰直角三角形①45GEH ∠=︒ 即=45OEF OEM ∠+∠︒ ①=45AEN OEM ∠+∠︒又①90AEO ∠=︒①=45=NEM FEM ∠︒∠又①EM EM =①()NEM FEM SAS ≌①MN MF =①==AM MF AM MN AN --①=AM MF OF -即1AM FM OF-=．10．（1）解：把0x =代入24y x =-+得：4y =①点()04B ，①4OB =把0y =代入24y x =-+得：2x =①点()20A ，①2OA =①AOB DOC △≌△①(ASA OBN OCM ≌OM ON =分别过点M N 作ME①OFN OEM ∠=∠①BON COM OM ON ∠=∠=，①()AAS OFN OEM ≌①312OF OE FN EM ====， ①点N 的坐标为312⎛⎫ ⎪⎝⎭，； （3）解：直线CD 上存在点Q 使EPQ △是以E 为直角顶点的等腰三角形． ①()1E b ，为直线AB 上的点①2142b =-⨯+=①()12E ，①当点P 在点B 下方时 如图，连接DE 过点Q 作QM DE ⊥ 交DE 的延长线于M 点①()02D ，①DE y ⊥轴 1DE = 点M 的纵坐标为2 90M EDP ∠=∠=︒ ①EPQ △是以E 为直角顶点的等腰直角三角形①(AAS DEP MQE ≌1MQ DE ==Q 点的纵坐标为3把3y =代入12y x =+点()23Q ，；①()AAS EQM PEN ≌1EM PN ==()12E ，①M 点的纵坐标为1①Q 点的纵坐标为1把1y =代入122y x =+中得：2x =- ①()21Q -，； 综上所述 直线CD 上存在点Q 使得EPQ △是以E 为直角顶点的等腰直角三角形 Q 点的坐标为()23，或()21-，． 11．（1）解：()2430a b -+-= ()240a -≥ 30b -≥ 40a ∴-= 30b -=4a ∴= 3b =()()00A a B b ，、，4∴=OA 3OB =如图，过点C 作CN y ⊥轴于N则90BNC ∠=︒90ABC AOB ∠︒∠==90CBN ABO 90BAO ABO ∠+∠=︒ CBN BAO ∴∠=∠90BNC AOB ∠=∠=︒ BC AB =()AAS BNC AOB ∴≌4BN AO ∴== 3CN BO ==7ON OB BN ∴=+=()37C ∴，故答案为：()37，； （2）证明：如图，过E 作EF x ⊥轴于F 则90EFD ∠=︒a b =OA OB ∴=90AOB ∠=︒OAB ∴是等腰直角三角形45ABO BAO ∴∠=∠=︒BDE 是等腰直角三角形 90BDE ∠=︒BD DE ∴=90EDF BDO ∠+∠=︒ 90DEF EDF ∠+∠=︒ BDO DEF ∴∠=∠90EFD DOB ∠=∠=︒()AAS DEF BDO ∴≌EDF DBO ∴∠=∠ DF OB = EF OD = OB OA =DF OA ∴=DF AD OA OD ∴+=+ 即AF OD =AF EF ∴=AEF ∴是等腰直角三角形45EAF AEF ∴∠=∠=︒45EDF EAF AED AED ∠=∠+∠=︒+∠ 45DBO OBA ABD ABD ∠=∠+∠=︒+∠ ABD AED ∴∠=∠；（3）解：如图，过点D 作DM y ⊥轴于M DH x ⊥轴于H DG BA ⊥交BA 的延长线于G()33D -，3DM DH OM OH ∴====BD 平分ABO ∠ ⊥DM OB DG AB ⊥DM DG ∴=BD BD =()Rt Rt HL BDG BDM ∴≌同理可得：()Rt Rt HL ADH ADG ≌AH AG ∴=OA a = OB b = AB c =a b c OA OB AB ∴-+=-+()()()OH AH BM OM BG AG =+--+-33AH BM BG AG =+-++-6=即6a b c -+=．12．（1）解：①点A 关于x 轴的对称点为P 点 ①点P 的坐标为(0,)a -；由垂线段最短 当PB l ⊥时 PB 最短 过点B 作BD y ⊥轴于D 点 如图①直线l 平分坐标系的第二 四象限①45BOD ∠=︒①PB l ⊥①45BOD OPB ∠=∠=︒①OBP 是等腰直角三角形 OB PB =①BD y ⊥轴 OP a =22⎝⎭a a⎛⎫①()ACF QCB SAS △≌△①QB AF AE == QB AF ∥①180QBA BAF ∠+∠=︒又①90EAF BAO ∠=∠=︒①180BAF EAO ∠+∠=︒①QBA EAO ∠=∠又①BA AO =①(SAS)QBA EAO ≌△△①2OE AQ AC == BAQ AOE ∠=∠①90AOE GAO GAO BAQ ∠+∠=∠+∠=︒ ①90AGO ∠=︒①OE AC ⊥13．（1）OB OC = 8BC =4OB OC ∴==4OA OB ==()0,4A ∴故答案为：0 4；（2）4OC =()4,0C ∴．PC BC ⊥()4,P t ∴4OA OB OC ∴=== PC t =①当08t ≤<时 如图1PAB AOB BCP AOCP S S S S =+-梯形PAB PBC AOB SS S S =--梯形1122BC PC OA OB =⨯-⨯(1118444t =⨯⨯-⨯⨯-PAB S ⎧-⎪=⎨⎪⎩是等腰直角三角形；延长PD 至ADP 是等腰直角三角形AD ∴垂直平分AP AH ∴=90BAC ∠=︒BAH PAC ∴∠=∠在ABH 和ACP △中AH AP BAH CAP AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ABH ACP ∴≌45ABH ACP ∴∠=∠=︒ BH PC =45ABC ∠=︒∴点H 在BC 上点D 是BD 的中点BD QB ∴=在PDQ 和HDB 中DP DH PDQ HDB BD QD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS PDQ HDB ∴≌PQ BH ∴∥ PQ BH =BH PC =PC PQ ∴=PQ BC ∥ 90BCP ∠=︒90CPQ BCP ∴∠=∠=︒PAQ ∴是等腰直角三角形；14．（1）解：作QG l ⊥于点G①(0,2)A (3,0)B①2AO = 3BO =①AP PQ = 90APQ ∠=︒①90APO APG QPG ∠=︒-∠=∠①APO QPG ≌△△①2QG AO == 3BG BO ==①点Q 的坐标是()53，故答案为：()53，； （2）解：当点Q 在于直线l 上时 如图2223P Q AP OB ===①点2Q 的坐标是()35，由（1）知点1Q 的坐标是()53，设点Q 所在直线的解析式为y kx b =+则5335k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得18k b =-⎧⎨=⎩①点Q 所在直线的解析式为8y x =-+；（3）解：如图，作PM OA ⊥于M QN MP ⊥于N①90APQ ∠=︒①四边形OBPM 是矩形PA PQ = 90APQ ∠=︒①90APM QPN ∠+∠=︒ 90QPN PQN ∠+∠=︒APM PQN ∴∠=∠在PAM △和QPN 中AMP PNQ APM PQN AP PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PAM QPN ∴≌△△QN PM ∴= AM PN =①点Q 的坐标为(,)x y①MN x = 3PN x =- 3PB y QN y PM y =-=-=- ()2223AM OM PB y =-=-=--①AM PN =①()233y x --=-整理得8y x =-+．15．（1）①()6,0A -①6OA =；①45ABO ∠=︒①6OB OA ==①()0,6B11661822ABO S OA OB ==⨯⨯=． （2）过点E 作EF x ⊥轴①90EDB ∠=︒①90FED ODB FDE ∠=∠=︒-∠①FED ODB EFD DOB ED DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS EFD DOB ≌①(ASA AGH AOH ≌6AG AO == OH ①O G 是对称点故OM GM =根据垂线段最短故OM NM +最小①()6,0A -①6OA =；①45ABO ∠=︒①6OB OA == 45BAO ∠=︒ ①45AGN ∠=︒①AN GN =①222236AN GN AN +== 解得32,32AN AN ==-（舍去） ①632ON OA AN =-=-． 故()326,0N -．。
平面直角坐标系找规律压轴及平行线解答题压轴题
七下平行线，平面直角坐标系压轴题一．填空题（共13 小题）1．已知点 M（3，2）与点 N（x，y）在同一条平行于x 轴的直线上，且点 N 到 y 轴的距离为 5，则点 N 的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ 2， 0），点 B 的坐标为（0，1），将线段 AB 平移，使其一个端点到 C（ 3，2），则平移后另一端点的坐标为．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，此中 C、D 两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的状况下，将此五边形沿着x 轴向右滚动，则转动过程中，经过点（75，0）的是（填A、B、C、D或E）．4．如图，弹性小球从点 P（ 0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形 OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第 1 次碰到矩形的边时的点为 P1，第2次遇到矩形的边时的点为2，，第n次P遇到矩形的边时的点为P n，则点 P3的坐标是；点P2014的坐标是．5．如图，在直角坐标系中，已知点 A（﹣ 3，0）、B（0，4），AB=5.对△OAB连续作旋转变换，挨次获得△1、△2、△3、△4，则△2013的直角顶点的坐标为．6．如图，将边长为 1 的正方形 OAPB沿 x 轴正方向连续翻转2008 次，点 P 挨次落在点 P1，P2，P3，P4，，P2008的地点，则 P2008的坐标为．1 / 65第 1页（共 65页）7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向摆列，如（ 1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2， 2）依据这个规律，第2012 个点的横坐标为．8．如图，将边长为 2 的等边三角形沿 x 轴正方向连续翻折2012 次，依次获得点 P1，2，3 P2012．则点2012 的坐标是．P P P9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，，（每个正方形从第三象限的极点开始，按顺时针方向次序，挨次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6， A7，A8； A9，A10，A11，A12；）的中心均在座标原点O，各边均与 x 轴或 y 轴平行，若它们的边长挨次是2， 4， 6，则极点 A20的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其次序按图中“→”方向摆列，如（ 0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3），依据这个规律研究可得，第90 个点的坐标为．11．以下图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其次序按图中箭头方向摆列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），，依据这个规律研究可得，第102 个点的坐标为．2 / 65第 2页（共 65页）二．解答题（共 27 小题）14．如图，已知直线 AB∥ CD，直线 EF分别与 AB、CD 订交于点 E、F，12．如图，在直角坐标系中，第一次将△ OAB变换成△ OA1B1，第二次将FM 均分∠ EFD，点 H 是射线 EA 上一动点（不与点 E 重合），过点 H 的直△OA1 1变换成△22，第三次将△ 2 2 变换成△ 3 3线交 EF于点 P，HM 均分∠ BHP交 FM 于点 M ．B OA B OA B OA B已知： A（1，3），A1（2，3）， A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（）如图，试说明：∠HMF=（∠∠）；11BHP+DFP（4，0），B2（，），3（，）．察看每次变换前后的三角形有何变80B16 0请在以下解答中，填写相应的原因：化，依照变换规律，第五次变换后获得的三角形A5的坐标是，解：过点 M 作 MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平B5的坐标是．行）．∵AB∥ CD（已知），∴MQ∥CD（假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．如图，在平面直角坐标系上有点（，），点A 第一次向左跳动至∴∠ 1=∠3，∠ 2=∠ 4（）13A 1 0点 A1（﹣，），第二次向右跳动至点A 2（，），第三次向左跳动至点∴∠ 1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）1 1213（﹣，），第四次向右跳动点4（，），，挨次规律跳动下去，即∠ HMF=∠ 1+∠2．A22A32点 A 第 2017 次跳动至点 A2017的坐标是．∵FM 均分∠ EFD，HM 均分∠ BHP（已知）3 / 65第 3页（共 65页）∵∠ 1= ∠BHP ，∠ 2= ∠DFP （）连结 FE 并延长至点 A ，连结 BA 和 CA ，使∠ AEC=∠BAC ．（1）求证：∠ BFA+∠BAC=180°；∴∠ HMF= ∠ BHP+ ∠DFP= （∠ BHP+∠ DFP ）（等量代换）．（2）请在图 1 中找出与∠ CAF 相等的角，并加以证明；（2）如图 2，若 HP ⊥EF ，求∠ HMF 的度数；（3）如图 2，连结 BC 交 AF 于点 D ，作∠ CBF 和∠ CEF 的角均分线交于 （3）如图 3，当点 P 与点 F 重合时， FN 均分∠ HFE 交 AB 于点 N ，过点点 M ，若∠ ADC=α，请直接写出∠ M 的度数（用含 α的式子表示）N 作 NQ ⊥FM 于点 Q ，试说明不论点 H 在哪处都有∠ EHF=2∠FNQ ．16．已知直线 AB ∥ CD ，M ，N 分别是 AB ，CD 上的点．．如图 1 ，直线 、 在直线 m 上，点 、 在直线 n 上，（1）若 E 是 AB ，CD 内一点．15 m ∥n ，点 B F E C4 / 65第 4页（共 65页）①如图甲所示，请写出∠ BME，∠ DNE，∠ MEN 之间的数目关系，并证明．②如图乙所示，若∠ 1=∠BME，∠ 2=∠ DNE，请利用①的结论研究∠F 与∠ MEN 的数目关系．（2）若 E 是 AB， CD 外一点．①如图丙所示，请直接写出∠ EMB，∠ END，∠ E 之间的数目关系．②如图丁所示，已知∠ BMP= ∠EMB，在射线 MP 上找一点 G，使得∠AED、∠ EAF、∠ EDG之间知足如何的关系，请说明你的结论；（3）如图 3，DI 均分∠ EDC，交 AE于点 K，交 AI 于点 I，且∠ EAI：∠ BAI=1：2，∠ AED=22°，∠ I=20 °求∠， EKD的度数．MGN= ∠E，请在图中画出点 G 的大概地点，并求∠ ENG：∠GND 的值．17．已知， AB∥CD，点 E 为射线 FG上一点．18．小明在学习了“平行线的判断和性质”知识后，对下边问题进行研究：在平面内，直线 AB∥ CD，E 为平面内一点，连结 BE、CE，依据点 E 的位（1）如图 1，若∠ EAF=30°，∠ EDG=40°，则∠ AED=°；（2）如图 2，当点 E 在 FG 延长线上时，此时 CD 与 AE 交于点置研究∠ B 和∠ C、∠ BEC的数目关系．（ 1）当点 E 分别在以以下图①、图H，则∠5 / 65第 5页（共 65页）②和图③所示的地点时，请你直接写出三个图形中相应的∠ B 和∠ C、∠BEC的数目关系：图①中：；图②中：，图③中：．（2）请在以上三个结论中选出一个你喜爱的结论加以证明．（ 3）运用上边的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP均分∠ ABE，CP均分∠ DCE，∠ BEC=100°，∠ BPC的度数是．（直接写出结果，不用写计算过程）19．如图 1，AC均分∠ DAB，∠ 1=∠2．（1）试说明 AB 与 CD的地点关系，并予以证明；（2）如图 2，当∠ ADC=120°时，点 E、F 分别在 CD 和 AC 的延长线上运动，尝试讨∠ E 和∠ F 的数目关系；（3）如图 3，AD 和 BC交于点 G，过点 D 作 DH∥ BC交 AC 于点 H，若AC⊥BC，问当∠ CDH为多少度时，∠ GDC=∠ADH．20．已知直线 AB∥ CD．（1）如图 1，直接写出∠ BME、∠ E、∠ END的数目关系为；6 / 65第 6页（共 65页）（2）如图 2，∠ BME 与∠ CNE的角均分线所在的直线订交于点P，尝试（2）若点 C 在线段 AD 上（不与 A、D、G 重合），连结 BC，∠ MAG 和究∠ P 与∠ E 之间的数目关系，并证明你的结论；∠PBC的均分线交于点 H，请在图 2 中补全图形，猜想并证明∠ CBG与（3）如图 3，∠ ABM= ∠MBE，∠CDN= ∠NDE，直线 MB、ND 交于点∠AHB 的数目关系；（3）若直线 AD 的地点如图 3 所示，（ 2）中的结论能否建立？若建立，F，则=．请证明；若不建立，请直接写出∠CBG与∠ AHB 的数目关系．22．如图，已知 AB∥CD， CE、BE的交点为 E，现作以下操作：21．如图 1，MN ∥PQ，直线 AD 与 MN、PQ 分别交于点 A、D，点 B 在第一次操作，分别作∠ ABE和∠ DCE的均分线，交点为E1，直线 PQ 上，过点 B 作 BG⊥AD，垂足为点 G．第二次操作，分别作∠ ABE1和∠ DCE1的均分线，交点为E2，（1）求证：∠ MAG+∠ PBG=90°；第三次操作，分别作∠ ABE2和∠ DCE2的均分线，交点为E3，，7 / 65第 7页（共 65页）第 n 次操作，分别作∠ ABE n﹣1和∠ DCE n﹣1的均分线，交点为E n．（1）如图①，求证：∠ BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如图②，求证：∠ BE2C= ∠ BEC；（3）猜想：若∠ E n=α度，那∠ BEC等于多少度？（直接写出结论）．23．“一带一路”让中国和世界更密切，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁布置了两座可旋转探照灯．如图 1 所示，灯 A 射线从 AM 开始顺时针旋转至 AN 便立刻展转，灯 B 射线从 BP 开始顺时针旋转至 BQ 便立刻展转，两灯不断交错照耀巡视．若灯 A 转动的速度是每秒 2 度，灯B 转动的速度是每秒 1 度．假设主道路是平行的，即 PQ∥ MN，且∠ BAM：∠BAN=2：1．（1）填空：∠ BAN=°；（2）若灯 B 射线先转动 30 秒，灯 A 射线才开始转动，在灯 B 射线抵达BQ以前， A 灯转动几秒，两灯的光束相互平行？（3）如图 2，若两灯同时转动，在灯 A 射线抵达 AN 以前．若射出的光束交于点 C，过 C 作∠ ACD交 PQ于点 D，且∠ ACD=120°，则在转动过程中，请研究∠ BAC 与∠ BCD 的数目关系能否发生变化？若不变，恳求出其数目关系；若改变，请说明原因．24．已知，直线 AB∥DC，点 P 为平面上一点，连结AP 与 CP．（1）如图1，点P 在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，8 / 65第 8页（共 65页）求∠ APC．（2）如图 2，点 P 在直线 AB、 CD之间，∠ BAP与∠ DCP的角均分线相交于点 K，写出∠ AKC与∠ APC之间的数目关系，并说明原因．（3）如图 3，点 P 落在 CD 外，∠ BAP与∠ DCP的角均分线订交于点K，∠AKC与∠ APC有何数目关系？并说明原因．25．已知直线 AB∥CD．26．已知 AM∥CN，点 B 为平面内一点， AB⊥ BC于 B．（1）如图 1，直接写出∠ A 和∠ C 之间的数目关系（1）如图 1，直接写出∠ ABE，∠CDE和∠ BED之间的数目关系是．；（2）如图 2，BF，DF 分别均分∠ ABE，∠CDE，那么∠ BFD和∠ BED有怎（2）如图 2，过点 B 作 BD⊥AM 于点 D，求证：∠ ABD=∠C；样的数目关系？请说明原因．（3）如图 3，在（2）问的条件下，点 E、F 在 DM 上，连结 BE、BF、CF，（3）如图 3，点 E 在直线 BD 的右边， BF，DF 仍均分∠ ABE，∠ CDE，请BF均分∠ DBC， BE均分∠ ABD，若∠ FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，直接写出∠ BFD和∠ BED的数目关系．求∠ EBC的度数．9 / 65第 9页（共 65页）27．如图，直线 AB∥ CD，直线 MN 与 AB，CD分别交于点 M，N， ME，28．已知，∠ AOB=90°，点 C 在射线 OA 上， CD∥OE．NE分别是∠ AMN 与∠ CNM 的均分线， NE交 AB 于点 F，过点 N 作 NG⊥（1）如图 1，若∠ OCD=120°，求∠ BOE的度数；EN交 AB 于点 G．（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线 OE沿射线 OB 平移，得 O′E，（1）求证： EM∥ NG；其余条件不变，（如图 2 所示），研究∠ OCD、∠ BO′E的数目关系；（2）连结 EG，在 GN 上取一点 H，使∠ HEG=∠ HGE，作∠ FEH的均分线（3）在（ 2）的条件下，作PO′⊥OB 垂足为 O′，与∠ OCD 的均分线 CP EP交 AB 于点 P，求∠ PEG的度数．交于点 P，若∠ BO′E=α，请用含α的式子表示∠ CPO′（请直接写出答案）．10 / 65第 10页（共 65页）DG 均分∠ CDE交 BE于 G，求∠ FDG．（3）在（ 2）中，若∠ B=α，其余条件不变，则∠ FDG=．30．已知：如图， BC∥OA，∠ B=∠ A=100°，试回答以下问题：（1）如图①所示，求证： OB∥ AC．（注意证明过程要写依照）29．如图 1．将线段 AB 平移至 CD，使 A 与 D 对应，B 与 C 对应，连 AD、（2）如图②，若点E、F 在 BC上，且知足∠ FOC=∠AOC，而且 OE均分BC．∠BOF．（ⅰ）求∠ EOC的度数；（ⅱ）求∠ OCB：∠ OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠ OEB=∠ OCA．此时∠ OCA 度数等于．（在横（1）填空： AB 与 CD的关系为，∠ B 与∠ D 的大小关系为线上填上答案即可）（2）如图 2，若∠ B=60°， F、 E 为 BC的延长线上的点，∠ EFD=∠EDF，11 / 65第 11页（共 65页）拓展应用：（3）①如图 4，若 AB∥ EF，用含α，β，γ的式子表示 x，应为A．α+β+γB．β+γ﹣αC.180 °﹣α﹣γ+β D.180 °+α+β﹣γ②如图 5，AB∥ CD，∠ EFA=30°，∠ FGH=90°，∠ HMN=30°，∠ CNP=50°，则∠ GHM 的大小是．31．数学思虑：32．已知，直线 AB∥CD（1）如图 1，已知 AB∥CD，研究下边图形中∠ APC和∠ PAB、∠ PCD的（1）如图 1，点 E在直线 BD 的左边，猜想∠ ABE、∠ CDE、∠ BED的数关系，并说明你研究的结论的正确性．量关系，并证明你的结论；推行延长：（2）如图 2，点 E 在直线 BD的左边， BF、DF 分别均分∠ ABE、∠ CDE，（2）①如图 2，已知 AA1∥3，请你猜想∠1、∠1、∠ 2、∠ 2、∠猜想∠ BFD和∠ BED的数目关系，并证明你的结论；BA A B B A3（3）如图 3，点 E 在直线 BD的右边， BF、DF 分别均分∠ ABE、∠ CDE；A 的关系，并证明你的猜想；②如图 3，已知 AA1∥n，直接写出∠1、∠ 1、∠ 2、∠ 2、∠ n﹣1、那么第（ 2）题中∠ BFD和∠ BED的数目关系的猜想能否仍建立？假如成BA A B B A B∠A n的关系．立，请证明；假如不建立，请写出你的猜想，并证明．12 / 65第 12页（共 65页）（2）迁徙：某足球竞赛中有n 个球队（ n≥2）进行单循环竞赛（每两队之间一定竞赛一场），一共要进行多少场竞赛？有 2 个球队时，要进行场竞赛，有 3 个球队时，要进行场竞赛，有4个球队时，要进行场竞赛，那么有 20 个球队时，要进行场竞赛．33．阅读以下资料并填空：34．若∠ C=α，∠ EAC+∠ FBC=β（1）研究：平面上有 n 个点（ n≥2）且随意 3 个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？我们知道，两点确立一条直线．平面上有 2 个点时，能够画条直线，平面内有 3 个点时，一共能够画条直线，平面上有 4 个点时，一共能够画条直线，平面内有 5个点时，一共能够画条直线，平面内有 n 个点时，一共能够画条直线．13 / 65第 13页（共 65页）（3）如图 3，AI 均分∠ BAE，DI 交 AI 于点 I，交 AE 于点 K，且∠ EDI：∠CDI=2：1，∠ AED=20°，∠ I=30 °求，∠EKD的度数．（1）如图①， AM 是∠ EAC的均分线， BN 是∠ FBC的均分线，若 AM∥BN，则α与β有何关系？并说明原因．（2）如图②，若∠ EAC的均分线所在直线与∠ FBC均分线所在直线交于P，尝试究∠ APB与α、β的关系是．（用α、β表示）（3）如图③，若α≥β，∠ EAC与∠ FBC的均分线订交于P1，∠ EAP1与∠FBP1的均分线交于 P2；依此类推，则∠ P5=．（用α、β表示）36．已知 AB∥CD，点 P 在直线 AB、CD之间，连结 AP、CP．35．已知， AB∥CD，点 E 为射线 FG上一点．（1）研究发现：（填空）（1）如图 1，直接写出∠ EAF、∠ AED、∠ EDG之间的数目关系；填空：如图 1，过 P 作 PQ∥ AB，（2）如图 2，当点 E 在 FG延长线上时，求证：∠ EAF=∠AED+∠EDG；14 / 65第 14页（共 65页）∴∠ A+∠1=°（）（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠ AGD的余∵AB∥ CD（已知）角等于2∠E的补角，求∠ BAE的大小．∴PQ∥ CD（）∴∠ C+∠ 2=180°结论：∠ A+∠C+∠APC=°；（2）解决问题：①如图 2，延长 PC至点 E，AF、CF分别均分∠ PAB、∠ DCE，试判断∠ P与∠ F 存在如何的数目关系并说明原因；②如图 3，若∠ APC=100°，分别作 BN∥AP，DN∥PC， AM、DM 分别平分∠ PAB，∠ CDN，则∠ M 的度数为（直接写出结果）．38．实考证明，平面镜反射光芒的规律是：射到平面镜上的光芒和被反37．如图 1，AB∥CD， E 是 AB、CD之间的一点．射出的光芒与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光芒 m 射到平面镜（1）判断∠ BAE，∠ CDE与∠ AED之间的数目关系，并证明你的结论；a 上，被 a 反射后的光芒为n，则入射光芒m、反射光芒 n 与平面镜 a （2）如图 2，若∠ BAE、∠ CDE的两条均分线交于点F．直接写出∠ AFD所夹的锐角∠ 1=∠2．（ 1）如图 2，一束光芒m 射到平面镜 a 上，被 a 与∠ AED之间的数目关系；15 / 65第 15页（共 65页）反射到平面镜 b 上，又被 b 反射．若被 b 反射出的光芒 n 与光芒 m 平行，且∠ 1=50°，则∠ 2=°，∠ 3=°．（2）在（ 1）中 m∥n，若∠ 1=55°，则∠ 3=°；若∠ 1=40°，则∠3=°．（3）由（ 1）、（ 2），请你猜想：当两平面镜a、b 的夹角∠ 3=°时，能够使任何射到平面镜 a 上的光芒 m，经过平面镜 a、b 的两次反射40．已知 AD∥CE，点 B 为直线 AD、CE所确立的平面内一点．后，入射光芒 m 与反射光芒 n 平行．你能说明原因吗？（1）如图 1 所示，求证：∠ ADB=∠B+∠BFE．（4）如图 3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜ 90）时，进入光芒与走开光（2）如图 2，FG均分∠ BFE， DG 交 FG于点 G 交 BF于点 H，且∠BDG：线的夹角为β°（0＜β＜90）．尝试究α与β的数目关系．直接写出答∠ADG=2：1，∠ B=20°，∠ DGF=30°，求∠ BHD的度数．案．．39．已知 EF∥ MN，向来角三角板如图搁置．∠ACB=90°．（1）如图 1，若∠ 1=60°，则∠ 2=度；（2）如图 2，若∠ 1=∠B﹣20°．则∠ 2=度；（3）如图 3，延长 AC交直线 MN 于 D，GH 均分∠ CGN，DK 均分∠ ADN交 GH 于 K，问∠ GKD能否为定值，假如求值，不是说明原因．16 / 65第 16页（共 65页）1.（﹣ 5，2）或（ 5， 2）;2. （1，3）或（ 5， 1）3. B;4.（ 8，3），（5，0） ;5.（8052，0）6.（2007， 1）7. 45．8.（4023，）．9.（5，﹣5）．10.（﹣ 5，13）． 11.（14，10）;12.（32，3），（64，0）;13.（﹣ 1009，1009）∴点 M 的纵坐标和点 N 的纵坐标相等．∴y=2．∵点 N 到 y 轴的距离为 5，∴| x| =5．得， x=± 5．∴点 N 的坐标为（﹣ 5， 2）或（ 5，2）．故答案为：（﹣ 5，2）或（ 5， 2）．【评论】本题考察坐标与图形的性质，解题的重点是明确与x 轴平行的直线上全部点的纵坐标相等，到y 轴的距离是点的横坐标的绝对值．七下平行线，平面直角坐标系压轴题2．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ 2，0），点 B 的坐标为参照答案与试题分析（0，1），将线段 AB 平移，使其一个端点到 C（ 3，2），则平移后另一端一．填空题（共 13 小题）点的坐标为（ 1， 3）或（ 5，1）．1．已知点 M（3，2）与点 N（x，y）在同一条平行于 x 轴的直线上，且点 N 到 y 轴的距离为 5，则点 N 的坐标为（﹣ 5，2）或（ 5， 2）．【剖析】依据点 M（ 3，2）与点 N（ x， y）在同一条平行于 x 轴的直线上，可得点 M 的纵坐标和点 N 的纵坐标相等，由点 N 到 y 轴的距离为 5，【剖析】分两种状况①当 A 平移到点 C 时，②当 B 平移到点 C 时，分别可得点 N 的横坐标的绝对值等于 5，从而能够求得点 N 的坐标．利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：∵点 M （3， 2）与点 N（x，y）在同一条平行于 x 轴的直【解答】解：①如图 1，当 A 平移到点 C 时，线上，17 / 65第17页（共 65页）3．如图的坐标平面上有一正五边形 ABCDE，此中 C、D 两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的状况下，将此五边形沿着x 轴向右滚动，则转动过程中，经过点（ 75，0）的是 B （填 A、B、C、D 或 E）．∵C（ 3， 2），A 的坐标为（ 2，0），点 B 的坐标为（ 0，1），∴点 A 的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，平移后的 B 坐标为（ 1，3），②如图 2，当 B 平移到点 C 时，【剖析】依据点（ 75， 0）的横坐标是 5 的倍数，而该正五边形转动 5次正好一周，由此可知经过（ 5， 0）的点经过（ 75， 0），找到经过（ 5，0）的点即可．【解答】解：∵ C、 D 两点坐标分别为（ 1，0）、（ 2， 0）．∴按题中转动方法点 E 经过点（ 3，0），点 A 经过点（ 4，0），点 B 经过点（ 5，0），∵C（ 3， 2），A 的坐标为（ 2，0），点 B 的坐标为（ 0，1），∵点（ 75，0）的横坐标是 5 的倍数，而该正五边形转动 5 次正好一周，∴点 B 的横坐标增大了3，纵坐标增大 2，∴可知经过（ 5，0）的点经过（ 75， 0），∴平移后的 A 坐标为（ 5， 1），∴点 B 经过点（ 75，0）．故答案为：（ 1， 3）或（ 5，1）．故答案为： B．【评论】本题考察坐标系中点、线段的平移规律，重点要理解在平面直【评论】本题考察了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的重点是了角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而经过某点的变解正五边形转动 5 次正好一个轮回，并由此判断经过点（75，0）的点就化状况来解决问题．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；是经过（ 5， 0）的点．纵坐标上移加，下移减．18 / 65第 18页（共 65页）故答案为：（ 8， 3），（5，0）．4．如图，弹性小球从点 P（ 0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形 OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第 1 次碰到矩形的边时的点为 P1，第2次遇到矩形的边时的点为2，，第n次P遇到矩形的边时的点为P n，则点3的坐标是（8，3）；点2014 的P P坐标是（5，0）．【评论】本题主要考察了点的坐标的规律，作出图形，察看出每 6 次反弹为一个循环组挨次循环是解题的重点．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣ 3，0）、 B（ 0， 4），对△ OAB连续作旋转变换，挨次获得△ 1、△2、△3、△4，则△ 2013 的直角极点的坐标为（8052，0）．【剖析】依据反射角与入射角的定义作出图形，可知每 6 次反弹为一个循环组挨次循环，用 2014 除以 6，依据商和余数的状况确立所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图，经过 6 次反弹后动点回到出发点（0，3），当点 P 第 3 次遇到矩形的边时，点 P 的坐标为：（ 8， 3）；∵2014÷ 6=335 4，【剖析】依据勾股定理列式求出 AB 的长，再依据第四个三角形与第一∴当点 P 第 2014 次遇到矩形的边时为第 336 个循环组的第 4 次反弹，个三角形的地点相同可知每三个三角形为一个循环组挨次循环，而后求点 P 的坐标为（ 5， 0）．出一个循环组旋转行进的长度，再用2013 除以 3，依据商为 671 可知第19 / 65第 19页（共 65页）2013 个三角形的直角极点为循环组的最后一个三角形的极点，求出即可．【解答】解：∵点 A（﹣ 3， 0）、B（0，4），∴AB==5，由图可知，每三个三角形为一个循环组挨次循环，一个循环组行进的长【剖析】依据图形得出点的坐标变化规律，再依据规律对2008 变形，度为： 4+5+3=12，得出结论．∵2013÷ 3=671，【解答】解：依据规律∴△ 2013的直角极点是第 671 个循环组的最后一个三角形的直角极点，1234∵671×12=8052，P（1，1），P（2，0）=P ，P （3，1），P5（5，1），P6（6，0）=P7，P8（7，1）∴△ 2013 的直角极点的坐标为（8052，0）．每 4 个一循环，能够判断 P2008坐标在502次循环后与 4 坐标纵坐标一致，故答案为：（ 8052， 0）．P 坐标应当是（ 2007，1）【评论】本题是对点的坐标变化规律的考察了，难度不大，认真察看图故答案为：（ 2007， 1）形，获得每三个三角形为一个循环组挨次循环是解题的重点，也是求解【评论】本题主要考察了对正方形的性质，坐标与图形性质等知识点的的难点．理解和掌握，表现了由特别到一般的数学方法，这一解答问题的方法在考察本节的知识点时常常用到，是在研究特例的过程中总结规律．6．如图，将边长为 1 的正方形 OAPB沿 x 轴正方向连续翻转2008 次，点 P 挨次落在点 P1，2，3， 4，， 2008 的地点，则2008 的坐标为（，P P P P P20071）．7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向摆列，如（ 1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（ 1，2），（2，2）依据这个规律，第2012 个点的横坐标为45．20 / 65第20页（共 65页）∴第 2025 个点是（ 45，0），第 2012 个点是（ 45，13），所以，第 2012 个点的横坐标为 45．故答案为： 45．【评论】 本题考察了点的坐标，察看出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的重点．【剖析】 察看图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数2012 次，依8．如图，将边长为 2 的等边三角形沿 x 轴正方向连续翻折 等于 x 轴上右下角的点的横坐标的平方，而且右下角的点的横坐标是奇3 P 2012．则点 2012 的坐标是 （ ， ） ．次获得点 P 1， 2，PPP4023数时最后以横坐标为该数，纵坐标为 0 结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为 1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减 1 的点结束，根据此规律解答即可．【解答】 解：依据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于 x 轴上右下角的点的横坐标的平方，【剖析】依据等边三角形的性质易求得P 1 的坐标为（ ，）；在等边三比如：右下角的点的横坐标为 1，共有 1 个， 1=12，1右下角的点的横坐标为 2 时，共有 4 个， 4=22， 角形翻折的过程中， P 点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增添2右下角的点的横坐标为 3 时，共有 9 个， 9=32，个单位（即等边三角形的边长） ，可依据这个规律求出点 P 2012 的坐标．【解答】 解：易得 P 1（ ， ）；右下角的点的横坐标为 4 时，共有16 个， 16=42，1而P 12 23 ，∴2（，），3（，）；P=PP=2P3P 5依此类推， P n （﹣ ，），即 n （﹣ ，）；2n右下角的点的横坐标为 n 时，共有 n 2 个，1+2n 2P1∵452 ， 是奇数，当 n=2012 时， P 2012（ ，）．454023=202521 / 65第 21页（共 65页）故答案为：（ 4023，）．∵A4所在正方形的边长为2，【评论】考察了规律型：点的坐标．解答此类规律型问题时，往常要根4A 的坐标为（ 1，﹣ 1），据简单的条件获得一般化规律，而后依据规律求特定的值．同理可得： A8的坐标为（2，﹣）， 12 的坐标为（，﹣），2 A33∴A20的坐标为（，﹣），55．如图，正方形 1 2 3 4， 5 6 7 8， 9 10 11 12，，（每个正方形从故答案为：（ 5，﹣ 5）．9AAAA AAAA AA A A第三象限的极点开始，按顺时针方向次序，挨次记为A1，2，3，4；【评论】本题考察坐标与图形的性质，解题重点是第一找出A20所在的A A AA5，A6， A7，A8； A9，A10，A11，A12；）的中心均在座标原点O，各边象限．均与 x 轴或 y 轴平行，若它们的边长挨次是 2， 4， 6，则极点 A20的坐标为（ 5，﹣ 5）．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其次序按图中“→”方向摆列，如（ 0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3），依据这个规律研究可得，第90 个点的坐标为（﹣ 5，13）．【剖析】由 =5 易得 A20在第四象限，依据 4 的坐标，A 8 的坐标， 12A A的坐标不难推出 A20的坐标．【解答】解：∵=5，【剖析】察看可知，纵坐标的数值与点的个数相等，而后求出第 90 个点∴A20在第四象限，的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再依据纵坐标是奇数的从右到左22 / 65第 22页（共 65页）计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，而后解答即可．【解答】解：（0，1），共 1 个，（0， 2），（1，2），共 2 个，（1， 3），（0，3），（﹣ 1， 3），共 3 个，，依此类推，纵坐标是n 的共有 n 个坐标，1+2+3+ +n=，当 n=13 时，=91，所以，第 90 个点的纵坐标为 13，（13﹣1）÷ 2=6，∴第 91 个点的坐标为（﹣ 6， 13），第 90 个点的坐标为（﹣ 5，13）．故答案为：（﹣ 5，13）．【评论】本题考察了点的坐标与规律变化问题，察看出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的重点．11．以下图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其次序按图中箭头方向摆列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），，依据这个规律研究可得，第 102 个点的坐标为（14，10）．【剖析】应先判断出第 102 个数在第几行，第几列，再依据剖析获得的规律求解．【解答】解：把第一个点（ 1，0）作为第一列，（2，1）和（ 2，0）作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有 2 个数，第 n 列有 n 个数．则 n 列共有个数，而且在奇数列点的次序是由上到下，偶数列点的次序由下到上．由于 105=1+2+3+ +14，则第 102 个数必定在第 14 列，由下到上是第 11 个数．因此第 102 个点的坐标是（ 14，10）．故答案填：（ 14，10）．【评论】本题考察了学生阅读理解并总结规律的能力，解决的重点是能正确找出题目中点的规律．12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△ OA1B1，第二次将23 / 65第 23页（共 65页）△OA1B1变换成△ OA2B2，第三次将△ OA2B2变换成△ OA3B3已知： A（1，3），A1（2，3）， A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4， 0），B2（8，0）， B3（ 16， 0）．察看每次变换前后的三角形有何变化，依照变换规律，第五次变换后获得的三角形 A5的坐标是（32，3）， B5的坐标是（ 64，0）．【剖析】找寻规律求解．【解答】解： A、A1、A2 A n都在平行于 X 轴的直线上，点的纵坐标都相等，所以 A5的纵坐标是 3；这些点的横坐标有必定的规律：A n=2n．因此点 A5的横坐标是25=32；B、B1、B2 B n都在 x 轴上， B5的纵坐标是 0；这些点的横坐标也有必定的规律：B n=2n+1，因此点B5的横坐标是B5 =25+1=64．∴点A5的坐标是（32，3），点B5的坐标是（64，0）．故答案分别是：（32，3），（64，0）．【评论】考察 X 轴上的点的特色与平行于X 轴的直线上点的特色．注意数形联合思想在此的应用，找到点的变化规律是解题的重点．13．如点 A1（A3（﹣点 A 第【剖析加上1加上 1【解答第 4 次跳动至点的坐第 2n 次则第 2第2 0 1 7次跳动至点1009，24 / 65第 24页（共 65页）【评论】本题考察了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，联合图形获得偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化状况是解题的重点．二．解答题（共27 小题）14．如图，已知直线 AB∥CD，直线 EF分别与 AB、CD 订交于点 E、F，FM 均分∠ EFD，点 H 是射线 EA上一动点（不与点 E 重合），过点 H 的直线交 EF于点 P，HM 均分∠ BHP交 FM 于点 M．（1）如图1，试说明：∠HMF= （∠BHP+∠DFP）；请在以下解答中，填写相应的原因：解：过点 M 作 MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥ CD（已知），∴MQ∥CD（假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行）∴∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠ 4（两直线平行，内错角相等）∴∠ 1+∠ 2=∠3+∠4（等式的性质）即∠ HMF=∠ 1+∠2．∵FM 均分∠ EFD，HM 均分∠ BHP（已知）∵∠ 1=∠BHP，∠ 2=∠DFP（角均分线定义）∴∠ HMF= ∠ BHP+∠DFP=（∠ BHP+∠ DFP）（等量代换）．（2）如图 2，若 HP⊥EF，求∠ HMF 的度数；（3）如图 3，当点 P 与点 F 重合时， FN 均分∠ HFE交 AB 于点 N，过点N 作 NQ⊥FM 于点 Q，试说明不论点 H 在哪处都有∠ EHF=2∠ FNQ．【剖析】（1）依据两直线平行，内错角相等，以及角均分线定义进行判断即可；（2）先依据HP⊥EF，AB∥CD，获得∠EHP+∠DFP=90°，再依据（1）中结论即可获得∠ HMF 的度数；（3）先依据题意获得∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再依据FN 均分∠HFE，FM 均分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后依据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠ EHF=2∠FNQ．【解答】解：（1）由MQ∥CD，获得∠1=∠3，∠2=∠4，其依照为：两直线平行，内错角相等；由 FM 均分∠ EFD，HM 均分∠ BHP，获得∠ 1= ∠BHP，∠ 2= ∠DFP，其依照为：角均分线定义．25 / 65第 25页（共 65页）故答案为：两直线平行，内错角相等；角均分线定义．（2）如图 2，∵ HP⊥ EF，∴∠ HPE=90°，∴∠ EHP+∠HEP=180°﹣ 90°=90°（三角形的内角和等于180°）【评论】本题主要考察了平行线的性质与判断，角均分线的定义以及平又∵ AB∥CD，行公义的运用，解决问题的重点是掌握：两直线平行，内错角相等；两∴∠ HEP=∠DFP．直线平行，同旁内角互补．∴∠ EHP+∠DFP=90°．由（ 1）得：∠ HMF= （∠ EHP+∠DFP）=×90°=45°．15．如图 1，直线 m∥ n，点 B、F 在直线 m 上，点 E、C 在直线 n 上，连结 FE并延长至点 A，连结 BA 和 CA，使∠ AEC=∠BAC．（3）如图 3，∵ NQ⊥FM，（1）求证：∠ BFA+∠BAC=180°；∴∠ NFQ+∠FNQ=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）．（2）请在图 1 中找出与∠ CAF相等的角，并加以证明；∴∠ NFQ=90°﹣∠ FNQ．（3）如图 2，连结 BC 交 AF 于点 D，作∠ CBF和∠ CEF的角均分线交于∵FN 均分∠ HFE，FM 均分∠ EFD，点 M ，若∠ ADC=α，请直接写出∠ M 的度数（用含α的式子表示）又∵∠ NFQ=∠ NFE+∠ QFE= （∠ HFE+∠EFD） = ∠ HFD，∴∠ HFD=2∠NFQ．又∵ AB∥CD，∴∠ EHF+∠HFD=180°，∴∠ EHF=180°﹣∠ HFD=180°﹣ 2∠ NFQ=180°﹣2（90°﹣∠ FNQ）=2∠FNQ，即不论点 H 在哪处都有∠ EHF=2∠ FNQ．26 / 65第 26页（共 65页）。
平面直角坐标系找规律压轴及平行线解答题压轴题精编版.doc
七下平行线，平面直角坐标系压轴题碰到矩形的边时的点为 P n ，则点3 的坐标是；点2014 的坐标PP一．填空题（共 13 小题）是．1．已知点 M （3，2）与点 N （x ，y ）在同一条平行于 x 轴的直线上，且点 N 到 y 轴的距离为 5，则点 N 的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（ 2， 0），点B 的坐标为（0，1），将线段 AB 平移，使其一个端点到 C （ 3，2），则平移后另一端点的坐标为．5．如图，在直角坐标系中，已知点A （﹣ 3，0）、B （0，4），AB=5.对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△ 1、△2、△3、△4 ，则△ 2013 的直角顶 点的坐标为．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE ，其中 C 、D 两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着 x 轴向右滚动，则滚动过程中， 经过点（75，0）的是（填 A 、B 、C 、D 或 E ）．6．如图，将边长为 1 的正方形 OAPB 沿 x 轴正方向连续翻转 2008 次，点 P 依次落在点 P 1，P 2，P 3，P 4， ，P 2008 的位置，则 P 2008 的坐标为 ．4．如图，弹性小球从点 P （ 0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰 到矩形 OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第 1 次碰 到矩形的边时的点为 P 1，第 2 次碰到矩形的边时的点为 2， ，第 n 次P7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（ 1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2， 2）根据这个规律，第2012 个点的横坐标为．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（ 0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3），根据这个规律探索可得，第90 个点的坐标为．8．如图，将边长为 2 的等边三角形沿 x 轴正方向连续翻折2012 次，依次得到点 P1，2，3 P2012．则点2012 的坐标是．P P P9．如图，正方形 A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，，（每个正方形从11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，2，3，4；箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），，A A AA5，A6， A7，A8； A9，A10，A11，A12；）的中心均在坐标原点O，各边根据这个规律探索可得，第 102 个点的坐标为．均与 x 轴或 y 轴平行，若它们的边长依次是 2， 4， 6，则顶点 A20的坐标为．二．解答题（共 27 小题）14．如图，已知直线 AB ∥ CD ，直线 EF 分别与 AB 、CD 相交于点 E 、F ，12．如图，在直角坐标系中，第一次将△ OAB 变换成△ OA B ，第二次将 FM 平分∠ EFD ，点 H 是射线 EA 上一动点（不与点 E 重合），过点 H 的直1 1 △OA 1 1 变换成△2 2，第三次将△2 2 变换成△3 3线交 EF 于点 P ，HM 平分∠ BHP 交 FM 于点 M ．B OA BOA BOA B已知： A （ 1， 3），A 1 （2，3）， A 2（4，3），A 3（8，3）；B （2，0），B 1（ ）如图，试说明：∠ HMF= （∠∠）；11BHP+ DFP（4，0），B 2（，），3（，）．观察每次变换前后的三角形有何变80 B16 0请在下列解答中，填写相应的理由：化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A 5 的坐标是，解：过点 M 作 MQ ∥AB （过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平B 5 的坐标是．行）．∵AB ∥ CD （已知），∴MQ ∥CD （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．如图，在平面直角坐标系上有点 （，），点 A 第一次向左跳动至∴∠ 1=∠3，∠ 2=∠ 4（）13A 1 0点 A 1（﹣ ， ），第二次向右跳动至点A 2（ ， ），第三次向左跳动至点∴∠ 1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）1 12 13（﹣， ），第四次向右跳动点4（ ， ）， ，依次规律跳动下去，即∠ HMF=∠ 1+∠2．A22A 32点 A 第 2017 次跳动至点 A 2017 的坐标是．∵FM 平分∠ EFD ，HM 平分∠ BHP （已知）∵∠ 1= ∠BHP ，∠ 2= ∠DFP （） 连结 FE 并延长至点 A ，连结 BA 和 CA ，使∠ AEC=∠BAC ．（1）求证：∠ BFA+∠BAC=180°；∴∠ HMF= ∠ BHP+ ∠DFP= （∠ BHP+∠ DFP ）（等量代换）．（2）请在图 1 中找出与∠ CAF 相等的角，并加以证明；（2）如图 2，若 HP ⊥EF ，求∠ HMF 的度数；（3）如图 2，连结 BC 交 AF 于点 D ，作∠ CBF 和∠ CEF 的角平分线交于（3）如图 3，当点 P 与点 F 重合时， FN 平分∠ HFE 交 AB 于点 N ，过点点 M ，若∠ ADC=α，请直接写出∠ M 的度数（用含 α的式子表示）N 作 NQ ⊥FM 于点 Q ，试说明无论点 H 在何处都有∠ EHF=2∠FNQ ．16．已知直线 AB ∥ CD ，M ，N 分别是 AB ，CD 上的点．．如图 1 ，直线 、 在直线 m 上，点 、 在直线 n 上，（1）若 E 是 AB ，CD 内一点．15m ∥n ，点 B F E C①如图甲所示，请写出∠ BME，∠ DNE，∠ MEN 之间的数量关系，并证明．②如图乙所示，若∠ 1=∠BME，∠2=∠ DNE，请利用①的结论探究∠F 与∠ MEN 的数量关系．（2）若 E 是 AB， CD 外一点．①如图丙所示，请直接写出∠ EMB，∠ END，∠ E 之间的数量关系．②如图丁所示，已知∠ BMP= ∠EMB，在射线 MP 上找一点 G，使得∠AED、∠ EAF、∠ EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图 3，DI 平分∠ EDC，交 AE于点 K，交 AI 于点 I，且∠ EAI：∠ BAI=1：2，∠ AED=22°，∠ I=20 °求∠， EKD的度数．MGN= ∠E，请在图中画出点 G 的大致位置，并求∠ ENG：∠GND 的值．17．已知， AB∥CD，点 E 为射线 FG上一点．18．小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线 AB∥ CD，E 为平面内一点，连接 BE、CE，根据点 E 的位（1）如图 1，若∠ EAF=30°，∠ EDG=40°，则∠ AED= °；（2）如图 2，当点 E 在 FG 延长线上时，此时 CD 与 AE 交于点H，则∠置探究∠ B 和∠ C、∠ BEC的数量关系．（ 1）当点 E 分别在如下图①、图②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的∠ B 和∠ C、∠BEC的数量关系：图①中：；图②中：，图③中：．（2）请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明．（ 3）运用上面的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ ABE，CP平分∠ DCE，∠ BEC=100°，∠ BPC的度数是．（直接写出结果，不用写计算过程）19．如图 1，AC平分∠ DAB，∠ 1=∠2．（1）试说明 AB 与 CD的位置关系，并予以证明；（2）如图 2，当∠ ADC=120°时，点 E、F 分别在 CD 和 AC 的延长线上运动，试探讨∠ E 和∠ F 的数量关系；（3）如图 3，AD 和 BC交于点 G，过点 D 作 DH∥ BC交 AC 于点 H，若AC⊥BC，问当∠ CDH为多少度时，∠ GDC=∠ADH．20．已知直线 AB∥ CD．（1）如图 1，直接写出∠ BME、∠ E、∠ END的数量关系为；（2）如图 2，∠ BME 与∠ CNE的角平分线所在的直线相交于点 P，试探（2）若点 C 在线段 AD 上（不与 A、D、G 重合），连接 BC，∠ MAG 和究∠ P 与∠ E 之间的数量关系，并证明你的结论；∠PBC的平分线交于点 H，请在图 2 中补全图形，猜想并证明∠ CBG与（3）如图 3，∠ ABM= ∠MBE，∠CDN= ∠NDE，直线 MB、ND 交于点∠AHB 的数量关系；（3）若直线 AD 的位置如图 3 所示，（ 2）中的结论是否成立？若成立，F，则= ．请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠ AHB 的数量关系．22．如图，已知 AB∥CD， CE、BE的交点为 E，现作如下操作：21．如图 1，MN ∥PQ，直线 AD 与 MN、PQ 分别交于点 A、D，点 B 在第一次操作，分别作∠ ABE和∠ DCE的平分线，交点为E1，直线 PQ 上，过点 B 作 BG⊥AD，垂足为点 G．第二次操作，分别作∠ ABE1和∠ DCE1的平分线，交点为E2，（1）求证：∠ MAG+∠ PBG=90°；第三次操作，分别作∠ ABE2和∠ DCE2的平分线，交点为E3，，∠BAN=2：1．（1）填空：∠ BAN=°；（2）若灯 B 射线先转动 30 秒，灯 A 射线才开始转动，在灯 B 射线到达第 n 次操作，分别作∠ ABE n﹣1和∠ DCE n﹣1的平分线，交点为E n．（1）如图①，求证：∠ BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如图②，求证：∠ BE2C= ∠ BEC；（3）猜想：若∠ E n=α度，那∠ BEC等于多少度？（直接写出结论）．23．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图 1 所示，灯 A 射线从 AM 开始顺时针旋转至 AN 便立即回转，灯 B 射线从 BP 开始顺时针旋转至 BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯 A 转动的速度是每秒 2 度，灯B 转动的速度是每秒 1 度．假定主道路是平行的，即 PQ∥ MN，且∠ BAM：BQ之前， A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图 2，若两灯同时转动，在灯 A 射线到达 AN 之前．若射出的光束交于点 C，过 C 作∠ ACD交 PQ于点 D，且∠ ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠ BAC 与∠ BCD 的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．24．已知，直线 AB∥DC，点 P 为平面上一点，连接AP 与 CP．（1）如图 1，点 P 在直线 AB、 CD之间，当∠ BAP=60°，∠ DCP=20°时，求∠ APC．（2）如图 2，点 P 在直线 AB、 CD之间，∠ BAP与∠ DCP的角平分线相交于点 K，写出∠ AKC与∠ APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图 3，点 P 落在 CD 外，∠ BAP与∠ DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠ APC有何数量关系？并说明理由．25．已知直线 AB∥CD．26．已知 AM∥CN，点 B 为平面内一点， AB⊥ BC于 B．（1）如图 1，直接写出∠ A 和∠ C 之间的数量关系（1）如图 1，直接写出∠ ABE，∠CDE和∠ BED之间的数量关系是．；（2）如图 2，BF，DF 分别平分∠ ABE，∠CDE，那么∠ BFD和∠ BED有怎（2）如图 2，过点 B 作 BD⊥AM 于点 D，求证：∠ ABD=∠C；样的数量关系？请说明理由．（3）如图 3，在（2）问的条件下，点 E、F 在 DM 上，连接 BE、BF、CF，（3）如图 3，点 E 在直线 BD 的右侧， BF，DF 仍平分∠ ABE，∠ CDE，请BF平分∠ DBC， BE平分∠ ABD，若∠ FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，直接写出∠ BFD和∠ BED的数量关系．求∠ EBC的度数．927．如图，直线 AB∥ CD，直线 MN 与 AB，CD分别交于点 M，N， ME，28．已知，∠ AOB=90°，点 C 在射线 OA 上， CD∥OE．NE分别是∠ AMN 与∠ CNM 的平分线， NE交 AB 于点 F，过点 N 作 NG⊥（1）如图 1，若∠ OCD=120°，求∠ BOE的度数；EN交 AB 于点 G．（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线 OE沿射线 OB 平移，得 O′E，（1）求证： EM∥ NG；其他条件不变，（如图 2 所示），探究∠ OCD、∠ BO′E的数量关系；（2）连接 EG，在 GN 上取一点 H，使∠ HEG=∠ HGE，作∠ FEH的平分线（3）在（ 2）的条件下，作PO′⊥OB 垂足为 O′，与∠ OCD 的平分线 CP EP交 AB 于点 P，求∠ PEG的度数．交于点 P，若∠ BO′E=α，请用含α的式子表示∠ CPO′（请直接写出答案）．10DG 平分∠ CDE交 BE于 G，求∠ FDG．（3）在（ 2）中，若∠ B=α，其它条件不变，则∠ FDG=．30．已知：如图， BC∥OA，∠ B=∠ A=100°，试回答下列问题：（1）如图①所示，求证： OB∥ AC．（注意证明过程要写依据）29．如图 1．将线段 AB 平移至 CD，使 A 与 D 对应，B 与 C 对应，连 AD、（2）如图②，若点E、F 在 BC上，且满足∠ FOC=∠AOC，并且 OE平分BC．∠BOF．（ⅰ）求∠ EOC的度数；（ⅱ）求∠ OCB：∠ OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠ OEB=∠ OCA．此时∠ OCA 度数等于．（在横（1）填空： AB 与 CD的关系为，∠ B 与∠ D 的大小关系为线上填上答案即可）（2）如图 2，若∠ B=60°， F、 E 为 BC的延长线上的点，∠ EFD=∠EDF，拓展应用：（3）①如图 4，若 AB∥ EF，用含α，β，γ的式子表示 x，应为A．α+β+γB．β+γ﹣αC.180 °﹣α﹣γ+β D.180 °+α+β﹣γ②如图 5，AB∥ CD，∠ EFA=30°，∠ FGH=90°，∠ HMN=30°，∠ CNP=50°，则∠ GHM 的大小是．31．数学思考：32．已知，直线 AB∥CD（1）如图 1，已知 AB∥CD，探究下面图形中∠ APC和∠ PAB、∠ PCD的（1）如图 1，点 E在直线 BD 的左侧，猜想∠ ABE、∠ CDE、∠ BED的数关系，并说明你探究的结论的正确性．量关系，并证明你的结论；推广延伸：（2）如图 2，点 E 在直线 BD的左侧， BF、DF 分别平分∠ ABE、∠ CDE，（2）①如图 2，已知 AA1∥3，请你猜想∠1、∠1、∠ 2、∠ 2、∠猜想∠ BFD和∠ BED的数量关系，并证明你的结论；BA A B B AA3的关系，并证明你的猜想；（3）如图 3，点 E 在直线 BD的右侧， BF、DF 分别平分∠ ABE、∠ CDE；②如图 3，已知 AA1∥n，直接写出∠1、∠ 1、∠ 2、∠ 2 、∠ n﹣1、那么第（ 2）题中∠ BFD和∠ BED的数量关系的猜想是否仍成立？如果成BA A B B A B∠A n的关系．立，请证明；如果不成立，请写出你的猜想，并证明．（2）迁移：某足球比赛中有n 个球队（ n≥2）进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛？有 2 个球队时，要进行场比赛，有 3 个球队时，要进行场比赛，有4个球队时，要进行场比赛，那么有 20 个球队时，要进行场比赛．33．阅读下列材料并填空：34．若∠ C=α，∠ EAC+∠ FBC=β（1）探究：平面上有 n 个点（ n≥2）且任意 3 个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？我们知道，两点确定一条直线．平面上有 2 个点时，可以画条直线，平面内有 3 个点时，一共可以画条直线，平面上有 4 个点时，一共可以画条直线，平面内有 5 个点时，一共可以画条直线，平面内有 n 个点时，一共可以画条直线．（3）如图 3，AI 平分∠ BAE，DI 交 AI 于点 I，交 AE 于点 K，且∠ EDI：∠CDI=2：1，∠ AED=20°，∠ I=30 °求，∠EKD的度数．（1）如图①， AM 是∠ EAC的平分线， BN 是∠ FBC的平分线，若 AM∥BN，则α与β有何关系？并说明理由．（2）如图②，若∠ EAC的平分线所在直线与∠ FBC平分线所在直线交于P，试探究∠ APB与α、β的关系是．（用α、β表示）（3）如图③，若α≥β，∠ EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠ EAP1与∠FBP1的平分线交于 P2；依此类推，则∠ P5=．（用α、β表示）36．已知 AB∥CD，点 P 在直线 AB、CD之间，连接 AP、CP．35．已知， AB∥CD，点 E 为射线 FG上一点．（1）探究发现：（填空）（1）如图 1，直接写出∠ EAF、∠ AED、∠ EDG之间的数量关系；填空：如图 1，过 P 作 PQ∥ AB，（2）如图 2，当点 E 在 FG延长线上时，求证：∠ EAF=∠AED+∠EDG；∴∠ A+∠1=°（）（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠ AGD的余∵AB∥ CD（已知）角等于2∠E的补角，求∠ BAE的大小．∴PQ∥ CD（）∴∠ C+∠ 2=180°结论：∠ A+∠C+∠APC=°；（2）解决问题：①如图 2，延长 PC至点 E，AF、CF分别平分∠ PAB、∠ DCE，试判断∠ P与∠ F 存在怎样的数量关系并说明理由；②如图 3，若∠ APC=100°，分别作 BN∥AP，DN∥PC， AM、DM 分别平分∠ PAB，∠ CDN，则∠ M 的度数为（直接写出结果）．38．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反37．如图 1，AB∥CD， E 是 AB、CD之间的一点．射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线 m 射到平面镜（1）判定∠ BAE，∠ CDE与∠ AED之间的数量关系，并证明你的结论；a 上，被 a 反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线 n 与平面镜 a（2）如图 2，若∠ BAE、∠ CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠ AFD所夹的锐角∠ 1=∠2．（ 1）如图 2，一束光线m 射到平面镜 a 上，被 a与∠ AED之间的数量关系；反射到平面镜 b 上，又被 b 反射．若被 b 反射出的光线 n 与光线 m 平行，且∠ 1=50°，则∠ 2= °，∠ 3= °．（2）在（ 1）中 m∥n，若∠ 1=55°，则∠ 3= °；若∠ 1=40°，则∠3= °．（3）由（ 1）、（ 2），请你猜想：当两平面镜a、b 的夹角∠ 3= °时，可以使任何射到平面镜 a 上的光线 m，经过平面镜 a、b 的两次反射40．已知 AD∥CE，点 B 为直线 AD、CE所确定的平面内一点．后，入射光线 m 与反射光线 n 平行．你能说明理由吗？（1）如图 1 所示，求证：∠ ADB=∠B+∠BFE．（4）如图 3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜ 90）时，进入光线与离开光（2）如图 2，FG平分∠ BFE， DG 交 FG于点G 交 BF于点 H，且∠BDG：线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系．直接写出答∠ADG=2：1，∠ B=20°，∠ DGF=30°，求∠ BHD的度数．案．．39．已知 EF∥ MN，一直角三角板如图放置．∠ACB=90°．（1）如图 1，若∠ 1=60°，则∠ 2=度；（2）如图 2，若∠ 1=∠B﹣20°．则∠ 2=度；（3）如图 3，延长 AC交直线 MN 于 D，GH 平分∠ CGN，DK 平分∠ ADN交 GH 于 K，问∠ GKD是否为定值，若是求值，不是说明理由．1.（﹣ 5，2）或（ 5， 2）;2. （1，3）或（ 5， 1）3. B;4.（ 8，3），（5，0） ;5.（8052，0）6.（2007， 1）7. 45．8.（4023，）．9.（5，﹣5）．10.（﹣ 5，13）． 11.（14，10）;12.（32，3），（64，0）;13.（﹣ 1009，1009）∴点 M 的纵坐标和点 N 的纵坐标相等．∴y=2．∵点 N 到 y 轴的距离为 5，∴| x| =5．得， x=± 5．∴点 N 的坐标为（﹣ 5， 2）或（ 5，2）．故答案为：（﹣ 5，2）或（ 5，2）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与x 轴平行的直线上所有点的纵坐标相等，到y 轴的距离是点的横坐标的绝对值．七下平行线，平面直角坐标系压轴题2．如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（ 2，0），点 B 的坐标为（0，1），将线段 AB 平移，使其一个端点到 C（ 3，2），则平移后另一端一．填空题（共 13 小题）点的坐标为（ 1， 3）或（ 5，1）．1．已知点 M（3，2）与点 N（x，y）在同一条平行于 x 轴的直线上，且点 N 到 y 轴的距离为 5，则点 N 的坐标为（﹣ 5，2）或（ 5， 2）．【分析】根据点 M（ 3，2）与点 N（ x， y）在同一条平行于 x 轴的直线上，可得点 M 的纵坐标和点 N 的纵坐标相等，由点 N 到 y 轴的距离为 5，【分析】分两种情况①当 A 平移到点 C 时，②当 B 平移到点 C 时，分别可得点 N 的横坐标的绝对值等于 5，从而可以求得点 N 的坐标．利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：∵点 M （3， 2）与点 N（x，y）在同一条平行于 x 轴的直【解答】解：①如图 1，当 A 平移到点 C 时，17∵C（ 3， 2），A 的坐标为（ 2，0），点 B 的坐标为（ 0，1），∴点 A 的横坐标增大了1，纵坐标增大了 2，平移后的 B 坐标为（ 1，3），②如图 2，当 B 平移到点 C 时，∵C（ 3， 2），A 的坐标为（ 2，0），点 B 的坐标为（ 0，1），∴点 B 的横坐标增大了3，纵坐标增大 2，∴平移后的 A 坐标为（ 5， 1），故答案为：（ 1， 3）或（ 5，1）．【点评】本题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变化情况来解决问题．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．3．如图的坐标平面上有一正五边形 ABCDE，其中 C、D 两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着 x 轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（ 75，0）的是 B （填 A、B、C、D 或 E）．【分析】根据点（75，0）的横坐标是5 的倍数，而该正五边形滚动5 次正好一周，由此可知经过（5，0）的点经过（75，0），找到经过（5，0）的点即可．【解答】解：∵ C、 D 两点坐标分别为（ 1，0）、（ 2， 0）．∴按题中滚动方法点 E 经过点（ 3，0），点 A 经过点（ 4，0），点 B 经过点（ 5，0），∵点（ 75，0）的横坐标是 5 的倍数，而该正五边形滚动 5 次正好一周，∴可知经过（ 5，0）的点经过（ 75， 0），∴点 B 经过点（ 75，0）．故答案为： B．【点评】本题考查了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的关键是了解正五边形滚动 5 次正好一个轮回，并由此判断经过点（ 75，0）的点就是经过（ 5， 0）的点．故答案为：（ 8， 3），（5，0）．4．如图，弹性小球从点 P （ 0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰 到矩形 OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第 1 次碰 到矩形的边时的点为 P 1 ，第 2 次碰到矩形的边时的点为 2 ， ，第 n 次P 碰到矩形的边时的点为 P n ，则点 P 3 的坐标是 （8，3） ；点 P 2014 的坐标是 （5，0） ．【点评】 此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6 次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．5．如图，在直角坐标系中，已知点 A （﹣ 3，0）、 B （ 0， 4），对△ OAB连续作旋转变换，依次得到△ 1、△2、△3、△4 ，则△ 2013 的直角顶点的坐标为 （8052，0） ．【分析】 根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每 6 次反弹为一个 循环组依次循环，用 2014 除以 6，根据商和余数的情况确定所对应的点 的坐标即可．【解答】 解：如图，经过 6 次反弹后动点回到出发点（ 0，3）， 当点 P 第 3 次碰到矩形的边时，点 P 的坐标为：（ 8， 3）；∵2014÷ 6=335 4，【分析】 根据勾股定理列式求出 AB 的长，再根据第四个三角形与第一 ∴当点 P 第 2014 次碰到矩形的边时为第 336 个循环组的第 4 次反弹， 个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求 点 P 的坐标为（ 5， 0）．出一个循环组旋转前进的长度，再用 2013 除以 3，根据商为 671 可知第2013 个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．【解答】 解：∵点 A （﹣ 3， 0）、B （0，4），∴AB==5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长【分析】 根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律对 2008 变形，度为： 4+5+3=12，得出结论．∵2013÷ 3=671，【解答】 解：根据规律∴△ 2013 的直角顶点是第 671 个循环组的最后一个三角形的直角顶点， P 1（1，1），P 2（2，0）=P 3 ，P 4（3，1），∵671×12=8052，5678P （5，1），P （6，0）=P ，P （7，1） ∴△ 2013 的直角顶点的坐标为（ 8052，0）． 每 4 个一循环，可以判断 P 2008 坐标在 502 次循环后与 4 坐标纵坐标一致，故答案为：（ 8052， 0）．P坐标应该是（ 2007，1）【点评】 本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图故答案为：（ 2007， 1）形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解 【点评】 本题主要考查了对正方形的性质，坐标与图形性质等知识点的的难点．理解和掌握，体现了由特殊到一般的数学方法，这一解答问题的方法在考查本节的知识点时经常用到，是在研究特例的过程中总结规律．6．如图，将边长为 1 的正方形 OAPB 沿 x 轴正方向连续翻转 2008 次，点 P 依次落在点 P 1， 2， 3， 4， ， 2008 的位置，则 2008 的坐标为 （，PPPPP20077．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺 1） ．序按图中 “→”方向排列，如（ 1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（ 1，2），（2，2） 根据这个规律，第 2012 个点的横坐标为45 ．∴第 2025 个点是（ 45，0），第 2012 个点是（ 45，13），所以，第 2012 个点的横坐标为45．故答案为： 45．【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于 x 轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为 0 结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为 1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减 1 的点结束，根据此规律解答即可．【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于 x 轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为 1，共有 1 个， 1=12，右下角的点的横坐标为 2 时，共有 4 个， 4=22，右下角的点的横坐标为 3 时，共有 9 个， 9=32，右下角的点的横坐标为 4 时，共有 16 个， 16=42，右下角的点的横坐标为n 时，共有 n2个，∵452=2025，45 是奇数，【点评】本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．8．如图，将边长为 2 的等边三角形沿 x 轴正方向连续翻折 2012 次，依次得到点 P1， P2，P3 P2012．则点 P2012的坐标是（4023，）．【分析】根据等边三角形的性质易求得P1的坐标为（，）；在等边三1角形翻折的过程中， P 点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点P2012的坐标．【解答】解：易得 P1（，）；1而 P1P2=P2P3=2，∴P2（3，），P3（5，）；依此类推， P n（ 1+2n﹣ 2，），即 P n（2n﹣1，）；当 n=2012 时， P2012（4023，）．故答案为：（ 4023， ）．∵A 4 所在正方形的边长为 ，2【点评】 考查了规律型：点的坐标．解答此类规律型问题时，通常要根 A 4 的坐标为（ 1，﹣ 1）， 据简单的条件得到一般化规律，然后根据规律求特定的值．同理可得： A 8 的坐标为（ 2 ，﹣ ）， 12 的坐标为（ 3，﹣ 3），2 A∴A 20 的坐标为（ ，﹣ ），559．如图，正方形 A 1A 2A 3A 4，A 5A 6A 7A 8，A 9A 10A 11A 12， ，（每个正方形从 故答案为：（ 5，﹣ 5）．第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A 1， 2， 3， 4；【点评】 本题考查坐标与图形的性质，解题关键是首先找出A 20 所在的A A AA 5，A 6， A 7，A 8； A 9，A 10，A 11，A 12； ）的中心均在坐标原点 O ，各边 象限．均与 x 轴或 y 轴平行，若它们的边长依次是 2， 4， 6 ，则顶点 A 20 的坐标为 （5，﹣ 5） ．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中 “→”方向排列，如（ 0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3） ，根据这个规律探索可得，第 90 个点的坐标为 （﹣ 5，13） ．【分析】 由 =5 易得 A 20 在第四象限，根据4 的坐标， 8 的坐标，12A AA的坐标不难推出 A 20 的坐标．【解答】 解：∵ =5，【分析】观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等， 然后求出第 90 个点∴A 20 在第四象限，的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．【解答】解：（0，1），共 1 个，（0， 2），（1，2），共 2 个，（1， 3），（0，3），（﹣ 1， 3），共 3 个，，依此类推，纵坐标是n 的共有 n 个坐标，1+2+3+ +n=，当 n=13 时，=91，所以，第 90 个点的纵坐标为 13，（13﹣1）÷ 2=6，∴第 91 个点的坐标为（﹣ 6， 13），第 90 个点的坐标为（﹣ 5，13）．故答案为：（﹣ 5，13）．【点评】本题考查了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键．11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），，根据这个规律探索可得，第 102 个点的坐标为（14，10）．【分析】应先判断出第 102 个数在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．【解答】解：把第一个点（ 1，0）作为第一列，（2，1）和（ 2，0）作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有 2 个数，第 n 列有 n 个数．则 n 列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．因为 105=1+2+3+ +14，则第 102 个数一定在第 14 列，由下到上是第 11 个数．因而第 102 个点的坐标是（ 14，10）．故答案填：（ 14，10）．【点评】本题考查了学生阅读理解并总结规律的能力，解决的关键是能正确找出题目中点的规律．12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△ OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△ OA2B2，第三次将△ OA2B2变换成△ OA3B3已知： A（1，3），A1（2，3）， A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1 （4， 0），B2（8，0）， B3（ 16， 0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是（32，3），B5的坐标是（64，0）．【分析】寻找规律求解．【解答】解： A、A1、A2 A n都在平行于 X 轴的直线上，点的纵坐标都相等，所以 A5的纵坐标是 3；这些点的横坐标有一定的规律：A n=2n．因而点 A5的横坐标是 25=32；B、B1、B2 B n都在 x 轴上， B5的纵坐标是 0；这些点的横坐标也有一定的规律：B n=2n+1，因而点B5的横坐标是B5 =25+1=64．∴点 A5的坐标是（32，3），点 B5的坐标是（64，0）．故答案分别是：（32，3），（64，0）．【点评】考查 X 轴上的点的特征与平行于X 轴的直线上点的特点．注意数形结合思想在此的应用，找到点的变化规律是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系上有点A（ 1，0），点 A 第一次向左跳动至点 A1（﹣ 1，1），第二次向右跳动至点A2（2，1），第三次向左跳动至点A3（﹣ 2，2），第四次向右跳动点A4（ 3， 2），，依次规律跳动下去，点 A 第 2017 次跳动至点 A2017的坐标是（﹣，）．．1009 1009【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上 1，纵坐标相同，然后写出即可．【解答】解：观察发现，第 2 次跳动至点的坐标是（ 2， 1），第 4 次跳动至点的坐标是（ 3，2），第 6 次跳动至点的坐标是（ 4，3），第 8 次跳动至点的坐标是（ 5，4），第 2n 次跳动至点的坐标是（ n+1，n），则第 2018 次跳动至点的坐标是（1010， 1009），第 2017 次跳动至点 A2017的坐标是（﹣ 1009，1009）．故答案为：（﹣ 1009，1009）．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．二．解答题（共27 小题）14．如图，已知直线 AB∥CD，直线 EF分别与 AB、CD 相交于点 E、F，FM 平分∠ EFD，点 H 是射线 EA上一动点（不与点 E 重合），过点 H 的直线交 EF于点 P，HM 平分∠ BHP交 FM 于点 M．（1）如图 1，试说明：∠ HMF= （∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点 M 作 MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥ CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠ 4（两直线平行，内错角相等）∴∠ 1+∠ 2=∠3+∠4（等式的性质）即∠ HMF=∠ 1+∠2．∵FM 平分∠ EFD，HM 平分∠ BHP（已知）∵∠ 1=∠BHP，∠2=∠DFP（角平分线定义）∴∠ HMF= ∠ BHP+∠DFP=（∠BHP+∠ DFP）（等量代换）．（2）如图 2，若 HP⊥EF，求∠ HMF 的度数；（3）如图 3，当点 P 与点 F 重合时， FN 平分∠ HFE交 AB 于点 N，过点N 作 NQ⊥FM 于点 Q，试说明无论点 H 在何处都有∠ EHF=2∠ FNQ．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；（2）先根据 HP⊥EF，AB∥CD，得到∠ EHP+∠DFP=90°，再根据（ 1）中结论即可得到∠ HMF 的度数；（3）先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根据FN 平分∠HFE，FM 平分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠ EHF=2∠FNQ．【解答】解：（1）由 MQ∥CD，得到∠ 1=∠ 3，∠ 2=∠ 4，其依据为：两直线平行，内错角相等；由 FM 平分∠ EFD，HM 平分∠ BHP，得到∠ 1= ∠BHP，∠ 2= ∠DFP，其依据为：角平分线定义．。
平面直角坐标系找规律压轴及平行线解答题压轴题#甄选.
平面直角坐标系找规律压轴及平行线解答题压轴题#精选.七下平行线，平面直角坐标系压轴题一．填空题（共13小题）1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N 的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是（填A、B、C、D或E）．4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，则点P3的坐标是；点P2014的坐标是．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），AB=5.对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，则P2008的坐标为．7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1，P2，P3…P2012．则点P2012的坐标是．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为．11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为．12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是，B5的坐标是．13．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次向左跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动至点A2（2，1），第三次向左跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动点A4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A第2017次跳动至点A2017的坐标是．二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM 平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF 于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（）∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE 并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．（1）求证：∠BFA+∠BAC=180°；（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；（3）如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）16．已知直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的点．（1）若E是AB，CD内一点．①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE，∠MEN之间的数量关系，并证明．②如图乙所示，若∠1=∠BME，∠2=∠DNE，请利用①的结论探究∠F与∠MEN的数量关系．（2）若E是AB，CD外一点．①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．②如图丁所示，已知∠BMP=∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠MGN=∠E，请在图中画出点G的大致位置，并求∠ENG：∠GND的值．17．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，则∠AED=°；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD的度数．18．小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线AB∥CD，E为平面内一点，连接BE、CE，根据点E的位置探究∠B和∠C、∠BEC的数量关系．（1）当点E分别在如下图①、图②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系：图①中：；图②中：，图③中：．（2）请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明．（3）运用上面的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∠BEC=100°，∠BPC的度数是．（直接写出结果，不用写计算过程）19．如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；（2）如图2，当∠ADC=120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC ⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC=∠ADH．20．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P 与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则=．21．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC 的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．22．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如图②，求证：∠BE2C=∠BEC；（3）猜想：若∠E n=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）．23．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．（1）填空：∠BAN=°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．24．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC 与∠APC有何数量关系？并说明理由．25．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．26．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF 平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．27．如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE 分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点G．（1）求证：EM∥NG；（2）连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP 交AB于点P，求∠PEG的度数．28．已知，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE．（1）如图1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度数；（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；（3）在（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）．29．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．（1）填空：AB与CD的关系为，∠B与∠D的大小关系为（2）如图2，若∠B=60°，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG 平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．（3）在（2）中，若∠B=α，其它条件不变，则∠FDG=．30．已知：如图，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．（ⅰ）求∠EOC的度数；（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于．（在横线上填上答案即可）31．数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明你探究的结论的正确性．推广延伸：（2）①如图2，已知AA1∥BA3，请你猜想∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；②如图3，已知AA1∥BA n，直接写出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、…∠B n﹣1、∠A n 的关系．拓展应用：（3）①如图4，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为A．α+β+γB．β+γ﹣α C.180°﹣α﹣γ+β D.180°+α+β﹣γ②如图5，AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是．32．已知，直线AB∥CD（1）如图1，点E在直线BD的左侧，猜想∠ABE、∠CDE、∠BED的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，猜想∠BFD和∠BED的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE；那么第（2）题中∠BFD和∠BED的数量关系的猜想是否仍成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出你的猜想，并证明．33．阅读下列材料并填空：（1）探究：平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画条直线，平面内有3个点时，一共可以画条直线，平面上有4个点时，一共可以画条直线，平面内有5个点时，一共可以画条直线，…平面内有n 个点时，一共可以画条直线．（2）迁移：某足球比赛中有n个球队（n≥2）进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛？有2个球队时，要进行场比赛，有3个球队时，要进行场比赛，有4个球队时，要进行场比赛，…那么有20个球队时，要进行场比赛．34．若∠C=α，∠EAC+∠FBC=β（1）如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则α与β有何关系？并说明理由．（2）如图②，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是．（用α、β表示）（3）如图③，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；依此类推，则∠P5=．（用α、β表示）35．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，直接写出∠EAF、∠AED、∠EDG之间的数量关系；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠CDI=2：1，∠AED=20°，∠I=30°，求∠EKD的度数．36．已知AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接AP、CP．（1）探究发现：（填空）填空：如图1，过P作PQ∥AB，∴∠A+∠1=°（）∵AB∥CD（已知）∴PQ∥CD（）∴∠C+∠2=180°结论：∠A+∠C+∠APC=°；（2）解决问题：①如图2，延长PC至点E，AF、CF分别平分∠PAB、∠DCE，试判断∠P与∠F存在怎样的数量关系并说明理由；②如图3，若∠APC=100°，分别作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分别平分∠PAB，∠CDN，则∠M 的度数为（直接写出结果）．37．如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．38．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角∠1=∠2．（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2=°，∠3=°．（2）在（1）中m∥n，若∠1=55°，则∠3=°；若∠1=40°，则∠3=°．（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m 与反射光线n平行．你能说明理由吗？（4）如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90）时，进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系．直接写出答案．．39．已知EF∥MN，一直角三角板如图放置．∠ACB=90°．（1）如图1，若∠1=60°，则∠2=度；（2）如图2，若∠1=∠B﹣20°．则∠2=度；（3）如图3，延长AC交直线MN于D，GH平分∠CGN，DK平分∠ADN交GH于K，问∠GKD是否为定值，若是求值，不是说明理由．40．已知AD∥CE，点B为直线AD、CE所确定的平面内一点．（1）如图1所示，求证：∠ADB=∠B+∠BFE．（2）如图2，FG平分∠BFE，DG交FG于点G交BF于点H，且∠BDG：∠ADG=2：1，∠B=20°，∠DGF=30°，求∠BHD的度数．1.（﹣5，2）或（5，2）;2. （1，3）或（5，1）3. B;4.（8，3），（5，0）;5.（8052，0）6.（2007，1）7. 45．8.（4023，）．9.（5，﹣5）．10.（﹣5，13）．11.（14，10）;12.（32，3），（64，0）;13.（﹣1009，1009）七下平行线，平面直角坐标系压轴题参考答案与试题解析一．填空题（共13小题）1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．【分析】根据点M（3，2）与点N （x，y）在同一条平行于x轴的直线上，可得点M的纵坐标和点N的纵坐标相等，由点N到y轴的距离为5，可得点N的横坐标的绝对值等于5，从而可以求得点N的坐标．【解答】解：∵点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴点M的纵坐标和点N的纵坐标相等．∴y=2．∵点N到y轴的距离为5，∴|x|=5．得，x=±5．∴点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．故答案为：（﹣5，2）或（5，2）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相等，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（1，3）或（5，1）．【分析】分两种情况①当A平移到点C时，②当B平移到点C时，分别利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：①如图1，当A平移到点C时，∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，平移后的B坐标为（1，3），②如图2，当B平移到点C时，∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大2，∴平移后的A坐标为（5，1），故答案为：（1，3）或（5，1）．【点评】本题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变化情况来解决问题．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是B（填A、B、C、D或E）．【分析】根据点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，由此可知经过（5，0）的点经过（75，0），找到经过（5，0）的点即可．【解答】解：∵C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．∴按题中滚动方法点E经过点（3，0），点A经过点（4，0），点B经过点（5，0），∵点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，∴可知经过（5，0）的点经过（75，0），∴点B经过点（75，0）．故答案为：B．【点评】本题考查了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的关键是了解正五边形滚动5次正好一个轮回，并由此判断经过点（75，0）的点就是经过（5，0）的点．4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，则点P3的坐标是（8，3）；点P2014的坐标是（5，0）．【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8，3）；∵2014÷6=335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．故答案为：（8，3），（5，0）．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．【解答】解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），∴AB==5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2013÷3=671，∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，∵671×12=8052，∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．故答案为：（8052，0）．【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，则P2008的坐标为（2007，1）．【分析】根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律对2008 变形，得出结论．【解答】解：根据规律P1（1，1），P2（2，0）=P3 ，P4（3，1），P5（5，1），P6（6，0）=P7，P8（7，1）…每4个一循环，可以判断P2008坐标在502次循环后与P4坐标纵坐标一致，坐标应该是（2007，1）故答案为：（2007，1）【点评】本题主要考查了对正方形的性质，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，体现了由特殊到一般的数学方法，这一解答问题的方法在考查本节的知识点时经常用到，是在研究特例的过程中总结规律．7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为45．【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x 轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x 轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，…右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13），所以，第2012个点的横坐标为45．故答案为：45．【点评】本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1，P2，P3…P2012．则点P2012的坐标是（4023，）．【分析】根据等边三角形的性质易求得P1的坐标为（1，）；在等边三角形翻折的过程中，P点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点P2012的坐标．【解答】解：易得P1（1，）；而P1P2=P2P3=2，∴P2（3，），P3（5，）；依此类推，P n（1+2n﹣2，），即P n（2n﹣1，）；当n=2012时，P2012（4023，）．故答案为：（4023，）．【点评】考查了规律型：点的坐标．解答此类规律型问题时，通常要根据简单的条件得到一般化规律，然后根据规律求特定的值．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为（5，﹣5）．【分析】由=5易得A20在第四象限，根据A4的坐标，A8的坐标，A12的坐标不难推出A20的坐标．【解答】解：∵=5，∴A20在第四象限，∵A4所在正方形的边长为2，A4的坐标为（1，﹣1），同理可得：A8的坐标为（2，﹣2），A12的坐标为（3，﹣3），∴A20的坐标为（5，﹣5），故答案为：（5，﹣5）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题关键是首先找出A20所在的象限．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为（﹣5，13）．【分析】观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第90个点的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．【解答】解：（0，1），共1个，（0，2），（1，2），共2个，（1，3），（0，3），（﹣1，3），共3个，…，依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，1+2+3+…+n=，当n=13时，=91，所以，第90个点的纵坐标为13，（13﹣1）÷2=6，∴第91个点的坐标为（﹣6，13），第90个点的坐标为（﹣5，13）．故答案为：（﹣5，13）．【点评】本题考查了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键．11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为（14，10）．【分析】应先判断出第102个数在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．【解答】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，第n列有n个数．则n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．因为105=1+2+3+…+14，则第102个数一定在第14列，由下到上是第11个数．因而第102个点的坐标是（14，10）．故答案填：（14，10）．【点评】本题考查了学生阅读理解并总结规律的能力，解决的关键是能正确找出题目中点的规律．12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是（32，3），B5的坐标是（64，0）．【分析】寻找规律求解．【解答】解：A、A1、A2…A n都在平行于X轴的直线上，点的纵坐标都相等，所以A5的纵坐标是3；这些点的横坐标有一定的规律：A n=2n．因而点A5的横坐标是25=32；B、B1、B2…B n都在x轴上，B5的纵坐标是0；这些点的横坐标也有一定的规律：B n=2n+1，因而点B5的横坐标是B5=25+1=64．∴点A5的坐标是（32，3），点B5的坐标是（64，0）．故答案分别是：（32，3），（64，0）．【点评】考查X轴上的点的特征与平行于X轴的直线上点的特点．注意数形结合思想在此的应用，找到点的变化规律是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次向左跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动至点A2（2，1），第三次向左跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动点A4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A第2017次跳动至点A2017的坐标是（﹣1009，1009）．．【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，然后写出即可．【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），则第2018次跳动至点的坐标是（1010，1009），第2017次跳动至点A2017的坐标是（﹣1009，1009）．故答案为：（﹣1009，1009）．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM 平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF 于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（角平分线定义）∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；（2）先根据HP⊥EF，AB∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°，再根据（1）中结论即可得到∠HMF的度数；（3）先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根据FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠FNQ．【解答】解：（1）由MQ∥CD，得到∠1=∠3，∠2=∠4，其依据为：两直线平行，内错角相等；由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，得到∠1=∠BHP，∠2=∠DFP，其依据为：角平分线定义．故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义．（2）如图2，∵HP⊥EF，∴∠HPE=90°，∴∠EHP+∠HEP=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）又∵AB∥CD，∴∠HEP=∠DFP．∴∠EHP+∠DFP=90°．由（1）得：∠HMF=（∠EHP+∠DFP）=×90°=45°．（3）如图3，∵NQ⊥FM，∴∠NFQ+∠FNQ=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）．∴∠NFQ=90°﹣∠FNQ．∵FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=（∠HFE+∠EFD）=∠HFD，∴∠HFD=2∠NFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD=180°，∴∠EHF=180°﹣∠HFD=180°﹣2∠NFQ=180°﹣2（90°﹣∠FNQ）=2∠FNQ，即无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义以及平行公理的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE 并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．（1）求证：∠BFA+∠BAC=180°；（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；（3）如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）。
(完整版)七年级数学下册平面直角坐标系压轴题
（2）求此四边形的面积；
（3）在坐标轴上，你能否找一个点P，使S△PBC=50，若能，求出P点坐标，若不能，说明理由．
2、如图，A点坐标为（－2，0），B点坐标为（0，－3）.
(1)作图，将△ABO沿x轴正方向平移4个单位，得到△DEF，延长ED交y轴于C点，过O点作OG⊥CE，垂足为G；
（3）在（2）的条件下，四边形QBPO的面积是否发生变化，若不变，求出并证明你的结论，若变化，求出变化的范围．
5、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D连结AC，BD．
(1)求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；
平面直角坐标系压轴题(1)
①能熟练解平面直角坐标系中的面积存在性问题；
②能将几何问题代数化，并能运用数形结合思想解题．
探究案
【例1】如图，在平面直角坐标中，A(0，1)，B(2，0)，C（2，1.5）．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（a，0.5），试用a的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）若点C在y轴的正半轴上，点D在第一象限内，且S△ACD=5，求C、D的坐标；
（4）在y轴上是否存在一点P，使线段AB平移至线段PQ时，由A、B、P、Q构成的四边形是平行四边形面积为10，若存在，求出P、Q的坐标，若不存在，说明理由；
【例3】如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0），B（－2，3），C（－3，0）．
（2）在y轴上是否存在一点P，连结PA，PB，使S△PAB＝S△PDB，若存在这样一点，求出点P点坐标，若不存在，试说明理由；
(完整版)初一平面直角坐标系所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初一平面直角坐标系所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)知识点：1、对应关系：平面直角坐标系内的点与有序实数对一一对应。
2、平面内两条互相垂直、原点重合组成的数轴组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上为正方向；两个坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内3、三大规律（1）平移规律：点的平移规律左右平移→纵坐标不变，横坐标左减右加；上下平移→横坐标不变，纵坐标上加下减。
图形的平移规律找特殊点（2）对称规律关于x轴对称→横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称→横坐标互为相反数，纵坐标不变；关于原点对称→横纵坐标都互为相反数。
常考题：一．选择题（共15小题）1．点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（）A．（﹣4，3）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（3，﹣4）2．如图，小手盖住的点的坐标可能为（）A．（5，2） B．（﹣6，3）C．（﹣4，﹣6）D．（3，﹣4）3．如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（）A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣2，2）4．在平面直角坐标系中，点（﹣1，m2+1）一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．线段CD是由线段AB平移得到的．点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B （﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（）A．（2，9） B．（5，3） C．（1，2） D．（﹣9，﹣4）6．如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．57．点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（）A．（﹣3，0）B．（﹣1，6）C．（﹣3，﹣6）D．（﹣1，0）8．如果点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，P点坐标为（）A．（0，2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，﹣4）9．课间操时，小华、小军、小刚的位置如图1，小华对小刚说，如果我的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，那么你的位置可以表示成（）A．（5，4） B．（4，5） C．（3，4） D．（4，3）10．在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（）A．（2，5） B．（﹣8，5）C．（﹣8，﹣1）D．（2，﹣1）11．在平面直角坐标系中，若点P（m﹣3，m+1）在第二象限，则m的取值范围为（）A．﹣1＜m＜3 B．m＞3 C．m＜﹣1 D．m＞﹣112．若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限13．在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n 被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）A．（66，34）B．（67，33）C．（100，33）D．（99，34）14．小明的家，学校和书店依次坐落在一条南北方向的大街上，学校在家南边20米，书店在家北边100米，小明从家出来向北走了50米，又向北走了﹣70米，此时，小明的位置在（）A．家B．学校C．书店D．不在上述地方15．如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录．根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？（）A．向北直走700公尺，再向西直走100公尺B．向北直走100公尺，再向东直走700公尺C．向北直走300公尺，再向西直走400公尺D．向北直走400公尺，再向东直走300公尺二．填空题（共10小题）16．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换：（1）f（m，n）=（m，﹣n），如f（2，1）=（2，﹣1）；（2）g（m，n）=（﹣m，﹣n），如g （2，1）=（﹣2，﹣1）按照以上变换有：f[g（3，4）]=f（﹣3，﹣4）=（﹣3，4），那么g[f（﹣3，2）]=．17．已知点M（3，﹣2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是．18．如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（﹣2，3），嘴唇C 点的坐标为（﹣1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是．19．若第二象限内的点P（x，y）满足|x|=3，y2=25，则点P的坐标是．20．如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为（﹣7，﹣4），白棋④的坐标为（﹣6，﹣8），那么黑棋①的坐标应该是．21．如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的，那么点A的对应点A′的坐标是．22．如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置．则椒江区B处的坐标是．23．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（用n表示）．24．一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是．25．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）（4，0）根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为．三．解答题（共15小题）26．如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为（1，2）．（1）写出点A、B的坐标：A（，）、B（，）（2）将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′（，）、B′（，）、C′（，）．（3）△ABC的面积为．27．王霞和爸爸、妈妈到人民公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点和x轴、y轴．只知道游乐园D的坐标为（2，﹣2），你能帮她求出其他各景点的坐标吗？28．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+3），从B到A记为：A→B（﹣1，﹣3），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中（1）A→C（，），B→D（，），C→（+1，）；（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程；（3）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+1，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置．29．如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，0）、B（9，0）、C（7，5）、D（2，7）．求四边形ABCD的面积．30．小明的爷爷退休生活可丰富了!下表是他某日的活动安排．和平广场位于爷爷家东400米，老年大学位于爷爷家西600米．从爷爷家到和平路小学需先向南走300米，再向西走400米．早晨6：00﹣7：00与奶奶一起到和平广场锻炼上午9：00﹣11：00与奶奶一起上老年大学下午4：30﹣5：30到和平路小学讲校史（1）请依据图示中给定的单位长度，在图中标出和平广场A、老年大学B与和平路小学的位置；（2）求爷爷家到和平路小学的直线距离．31．已知点A（﹣1，﹣2），点B（1，4）（1）试建立相应的平面直角坐标系；（2）描出线段AB的中点C，并写出其坐标；（3）将线段AB沿水平方向向右平移3个单位长度得到线段A1B1，写出线段A1B1两个端点及线段中点C1的坐标．32．在平面直角坐标系中，点M的坐标为（a，﹣2a）．（1）当a=﹣1时，点M在坐标系的第象限；（直接填写答案）（2）将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围．33．已知：A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）求△ABC的面积；（2）设点P在坐标轴上，且△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．34．如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式|a﹣2|+（b﹣3）2=0，（c﹣4）2≤0（1）求a、b、c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．35．如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）（1）求点C到x轴的距离；（2）求△ABC的面积；（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．36．有趣玩一玩：中国象棋中的马颇有骑士风度，自古有“马踏八方”之说，如图，按中国象棋中“马”的行棋规则，图中的马下一步有A、B、C、D、E、F、G、H八种不同选择，它的走法就象一步从“日”字形长方形的对角线的一个端点到另一个端点，不能多也不能少．要将图中的马走到指定的位置P处，即从（四，6）走到（六，4），现提供一种走法：（四，6）→（六，5）→（四，4）→（五，2）→（六，4）（1）下面是提供的另一走法，请你填上其中所缺的一步：（四，6）→（五，8）→（七，7）→→（六，4）（2）请你再给出另一种走法（只要与前面的两种走法不完全相同即可，步数不限），你的走法是：．你还能再写出一种走法吗．37．如图，在直角坐标系中，四边形ABCD 各个顶点的坐标分别是A （﹣2，﹣3）、B （5，﹣2）、C （2，4）、D （﹣2，2），求这个四边形的面积．38．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ．（1）求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC ；（2）在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使S △PAB =S 四边形ABDC ？若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．39．如图，长方形OABC 中，O 为平面直角坐标系的原点，A 点的坐标为（4，0），C 点的坐标为（0，6），点B 在第一象限内，点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O ﹣A ﹣B ﹣C ﹣O 的路线移动（即：沿着长方形移动一周）．（1）写出点B 的坐标（ ）．（2）当点P 移动了4秒时，描出此时P 点的位置，并求出点P 的坐标．（3）在移动过程中，当点P 到x 轴距离为5个单位长度时，求点P 移动的时间．40．先阅读下列一段文字，在回答后面的问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离公式，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离．（3）已知一个三角形各顶点坐标为A（0，6）、B（﹣3，2）、C（3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．初一平面直角坐标系所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2007•舟山）点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（）A．（﹣4，3）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（3，﹣4）【分析】先根据P在第二象限内判断出点P横纵坐标的符号，再根据点到坐标轴距离的意义即可求出点P的坐标．【解答】解：∵点P在第二象限内，∴点的横坐标＜0，纵坐标＞0，又∵P到x轴的距离是4，即纵坐标是4，到y轴的距离是3，横坐标是﹣3，∴点P的坐标为（﹣3，4）．故选：C．【点评】解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号，及点的坐标的几何意义．2．（2007•长春）如图，小手盖住的点的坐标可能为（）A．（5，2） B．（﹣6，3）C．（﹣4，﹣6）D．（3，﹣4）【分析】根据题意，小手盖住的点在第四象限，结合第四象限点的坐标特点，分析选项可得答案．【解答】解：根据图示，小手盖住的点在第四象限，第四象限的点坐标特点是：横正纵负；分析选项可得只有D符合．故选D．【点评】解决本题解决的关键是记住各象限内点的坐标的符号，进而对号入座，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．3．（2007•盐城）如图，已知棋子“车”的坐标为（﹣2，3），棋子“马”的坐标为（1，3），则棋子“炮”的坐标为（）A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（﹣2，2）【分析】根据已知两点的坐标确定符合条件的平面直角坐标系，然后确定其它点的坐标．【解答】解：由棋子“车”的坐标为（﹣2，3）、棋子“马”的坐标为（1，3）可知，平面直角坐标系的原点为底边正中间的点，以底边为x轴，向右为正方向，以左右正中间的线为y轴，向上为正方向；根据得出的坐标系可知，棋子“炮”的坐标为（3，2）．故选：A．【点评】此题考查了点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力，解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．4．（2002•江西）在平面直角坐标系中，点（﹣1，m2+1）一定在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限．【解答】解：因为点（﹣1，m2+1），横坐标＜0，纵坐标m2+1一定大于0，所以满足点在第二象限的条件．故选B．【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．5．（2017春•潮阳区期末）线段CD是由线段AB平移得到的．点A（﹣1，4）的对应点为C（4，7），则点B（﹣4，﹣1）的对应点D的坐标为（）A．（2，9） B．（5，3） C．（1，2） D．（﹣9，﹣4）【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：平移中，对应点的对应坐标的差相等，设D的坐标为（x，y）；根据题意：有4﹣（﹣1）=x﹣（﹣4）；7﹣4=y﹣（﹣1），解可得：x=1，y=2；故D的坐标为（1，2）．故选：C．【点评】本题考查点坐标的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．平移中，对应点的对应坐标的差相等．6．（2016•菏泽）如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，所以点A、B均按此规律平移，由此可得a=0+1=1，b=0+1=1，故a+b=2．故选：A．【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．7．（2015•安顺）点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得到的点的坐标为（）A．（﹣3，0）B．（﹣1，6）C．（﹣3，﹣6）D．（﹣1，0）【分析】根据平移时，坐标的变化规律“上加下减，左减右加”进行计算．【解答】解：根据题意，得点P（﹣2，﹣3）向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得点的横坐标是﹣2﹣1=﹣3，纵坐标是﹣3+3=0，即新点的坐标为（﹣3，0）．故选A．【点评】此题考查了平移时，点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．8．（2013秋•平川区期末）如果点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，P点坐标为（）A．（0，2） B．（2，0） C．（4，0） D．（0，﹣4）【分析】因为点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，那么其纵坐标是0，即m+1=0，m=﹣1，进而可求得点P的横纵坐标．【解答】解：∵点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，∴m+1=0，∴m=﹣1，把m=﹣1代入横坐标得：m+3=2．则P点坐标为（2，0）．故选B．【点评】本题主要考查了点在x轴上时纵坐标为0的特点，比较简单．9．（2017春•和县期末）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图1，小华对小刚说，如果我的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，那么你的位置可以表示成（）A．（5，4） B．（4，5） C．（3，4） D．（4，3）【分析】根据已知两点的坐标确定平面直角坐标系，然后确定其它各点的坐标．【解答】解：如果小华的位置用（0，0）表示，小军的位置用（2，1）表示，如图所示就是以小华为原点的平面直角坐标系的第一象限，所以小刚的位置为（4，3）．故选D．【点评】本题利用平面直角坐标系表示点的位置，是学数学在生活中用的例子．10．（2015•钦州）在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（）A．（2，5） B．（﹣8，5）C．（﹣8，﹣1）D．（2，﹣1）【分析】逆向思考，把点（﹣3，2）先向右平移5个单位，再向下平移3个单位后可得到A点坐标．【解答】解：在坐标系中，点（﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，﹣1），则A点的坐标为（2，﹣1）．故选：D．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．11．（2008•菏泽）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣3，m+1）在第二象限，则m的取值范围为（）A．﹣1＜m＜3 B．m＞3 C．m＜﹣1 D．m＞﹣1【分析】根据点P（m﹣3，m+1）在第二象限及第二象限内点的符号特点，可得一个关于m的不等式组，解之即可得m的取值范围．【解答】解：∵点P（m﹣3，m+1）在第二象限，∴可得到，解得m的取值范围为﹣1＜m＜3．故选A．【点评】解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号以及不等式组的解法，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．12．（2015•威海）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得关于a、b的不等式，再根据不等式的性质，可得B点的坐标符号．【解答】解：由A（a+1，b﹣2）在第二象限，得a+1＜0，b﹣2＞0．解得a＜﹣1，b＞2．由不等式的性质，得﹣a＞1，b+1＞3，点B（﹣a，b+1）在第一象限，故选：A．【点评】本题考查了点的坐标，利用第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零得出不等式，又利用不等式的性质得出B点的坐标符号是解题关键．13．（2014•株洲）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（）A．（66，34）B．（67，33）C．（100，33）D．（99，34）【分析】根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，用100除以3，然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可．【解答】解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，∵100÷3=33余1，∴走完第100步，为第34个循环组的第1步，所处位置的横坐标为33×3+1=100，纵坐标为33×1=33，∴棋子所处位置的坐标是（100，33）．故选：C．【点评】本题考查了坐标确定位置，点的坐标位置的规律变化，读懂题目信息并理解每3步为一个循环组依次循环是解题的关键．14．（2009秋•杭州期末）小明的家，学校和书店依次坐落在一条南北方向的大街上，学校在家南边20米，书店在家北边100米，小明从家出来向北走了50米，又向北走了﹣70米，此时，小明的位置在（）A．家B．学校C．书店D．不在上述地方【分析】以家为坐标原点建立坐标系，根据题意即可确定小明的位置．【解答】解：根据题意：小明从家出来向北走了50米，又向北走了﹣70米，即向南走了20米，而学校在家南边20米．故此时，小明的位置在学校．故选B．【点评】本题考查了类比点的坐标及学生的解决实际问题的能力和阅读理解能力，画出平面示意图能直观地得到答案．15．（2014•台湾）如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录．根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？（）A．向北直走700公尺，再向西直走100公尺B．向北直走100公尺，再向东直走700公尺C．向北直走300公尺，再向西直走400公尺D．向北直走400公尺，再向东直走300公尺【分析】根据题意先画出图形，可得出AE=400，AB=CD=300，再得出DE=100，即可得出邮局出发走到小杰家的路径为：向北直走AB+AE=700，再向西直走DE=100公尺．【解答】解：依题意，OA=OC=400=AE，AB=CD=300，DE=400﹣300=100，所以邮局出发走到小杰家的路径为，向北直走AB+AE=700，再向西直走DE=100公尺．故选：A．【点评】本题考查了坐标确定位置，根据题意画出图形是解题的关键．二．填空题（共10小题）16．（2014•黔西南州）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下两种变换：（1）f（m，n）=（m，﹣n），如f（2，1）=（2，﹣1）；（2）g（m，n）=（﹣m，﹣n），如g （2，1）=（﹣2，﹣1）按照以上变换有：f[g（3，4）]=f（﹣3，﹣4）=（﹣3，4），那么g[f（﹣3，2）]=（3，2）．【分析】由题意应先进行f方式的运算，再进行g方式的运算，注意运算顺序及坐标的符号变化．【解答】解：∵f（﹣3，2）=（﹣3，﹣2），∴g[f（﹣3，2）]=g（﹣3，﹣2）=（3，2），故答案为：（3，2）．【点评】本题考查了一种新型的运算法则，考查了学生的阅读理解能力，此类题的难点是判断先进行哪个运算，关键是明白两种运算改变了哪个坐标的符号．17．（2013•天水）已知点M（3，﹣2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是（﹣1，1）．【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【解答】解：原来点的横坐标是3，纵坐标是﹣2，向左平移4个单位，再向上平移3个单位得到新点的横坐标是3﹣4=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1．则点N的坐标是（﹣1，1）．故答案填：（﹣1，1）．【点评】解题关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．18．（2013•绵阳）如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（﹣2，3），嘴唇C点的坐标为（﹣1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是（3，3）．【分析】先确定右眼B的坐标，然后根据向右平移几个单位，这个点的横坐标加上几个单位，纵坐标不变，由此可得出答案．【解答】解：∵左眼A的坐标是（﹣2，3），嘴唇C点的坐标为（﹣1，1），∴右眼的坐标为（0，3），向右平移3个单位后右眼B的坐标为（3，3）．故答案为：（3，3）．【点评】本题考查了平移变换的知识，注意左右平移纵坐标不变，上下平移横坐标不变．19．（2015•广元）若第二象限内的点P（x，y）满足|x|=3，y2=25，则点P的坐标是（﹣3，5）．【分析】根据绝对值的意义和平方根得到x=±5，y=±2，再根据第二象限的点的坐标特点得到x＜0，y＞0，于是x=﹣5，y=2，然后可直接写出P点坐标．【解答】解：∵|x|=3，y2=25，∴x=±3，y=±5，∵第二象限内的点P（x，y），∴x＜0，y＞0，∴x=﹣3，y=5，∴点P的坐标为（﹣3，5），故答案为：（﹣3，5）．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．20．（2005•杭州）如图的围棋盘放在某个平面直角坐标系内，白棋②的坐标为（﹣7，﹣4），白棋④的坐标为（﹣6，﹣8），那么黑棋①的坐标应该是（﹣3，﹣7）．【分析】根据已知两点的坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标．【解答】解：由白棋②的坐标为（﹣7，﹣4），白棋④的坐标为（﹣6，﹣8）得出：棋盘的y轴是右侧第一条线，横坐标从右向左依次为﹣1，﹣2，﹣3，…；纵坐标是以上边第一条线为﹣1，向下依次为﹣2，﹣3，﹣4，…．∴黑棋①的坐标应该是（﹣3，﹣7）．故答案为：（﹣3，﹣7）．【点评】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．根据已知条件建立坐标系是关键，或者直接利用坐标系中的移动法则右加左减，上加下减来确定坐标．21．（2015•青岛）如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的，那么点A的对应点A′的坐标是（2，3）．【分析】先写出点A的坐标为（6，3），横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的，即可判断出答案．【解答】解：点A变化前的坐标为（6，3），将横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的，则点A的对应点的坐标是（2，3），故答案为（2，3）．【点评】此题考查了坐标与图形性质的知识，根据图形得到点A的坐标是解答本题的关键．22．（2015•台州）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x轴、y 轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A处的位置．则椒江区B处的坐标是（10，8）．【分析】根据A点坐标，可建立平面直角坐标系，根据直角三角形的性质，可得AC 的长，根据勾股定理，BC的长．【解答】解：如图：连接AB，作BC⊥x轴于C点，由题意，得AB=16，∠ABC=30°，AC=8，BC=8．OC=OA+AC=10，B（10，8）．【点评】本题考查了坐标确定位置，利用A点坐标建立平面直角坐标系是解题关键，利用了直角三角形的性质：30°的角所对的直角边是斜边的一半．23．（2013•聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（2n，1）（用n 表示）．的坐标，然后根据变化规律写【分析】根据图形分别求出n=1、2、3时对应的点A4n+1出即可．。
平面直角坐标系找规律压轴与平行线解答题压轴题
七下平行线，平面直角坐标系压轴题一．填空题（共13小题）1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N 的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是（填A、B、C、D或E）．4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn ，则点P3的坐标是；点P2014的坐标是．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），AB=5.对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，则P2008的坐标为．7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1，P2，P3…P2012．则点P2012的坐标是．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A 7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为．11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为．12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3…已知：A （1，3），A 1（2，3），A 2（4，3），A 3（8，3）；B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A 5的坐标是 ，B 5的坐标是 ．13．如图，在平面直角坐标系上有点A （1，0），点A 第一次向左跳动至点A 1（﹣1，1），第二次向右跳动至点A 2（2，1），第三次向左跳动至点A 3（﹣2，2），第四次向右跳动点A 4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A 第2017次跳动至点A 2017的坐标是 ．二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB ∥CD ，直线EF 分别与AB 、CD 相交于点E 、F ，FM 平分∠EFD ，点H 是射线EA 上一动点（不与点E 重合），过点H 的直线交EF 于点P ，HM 平分∠BHP 交FM 于点M ．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP ）； 请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M 作MQ ∥AB （过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）． ∵AB ∥CD （已知），∴MQ ∥CD （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（ ） ∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质） 即∠HMF=∠1+∠2．∵FM 平分∠EFD ，HM 平分∠BHP （已知） ∵∠1=∠BHP ，∠2=∠DFP （ ）∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N 作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．（1）求证：∠BFA+∠BAC=180°；（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；（3）如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）16．已知直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的点．（1）若E是AB，CD内一点．①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE，∠MEN之间的数量关系，并证明．②如图乙所示，若∠1=∠BME，∠2=∠DNE，请利用①的结论探究∠F 与∠MEN的数量关系．（2）若E是AB，CD外一点．①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．②如图丁所示，已知∠BMP=∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠MGN=∠E，请在图中画出点G的大致位置，并求∠ENG：∠GND的值．17．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，则∠AED= °；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD的度数．18．小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线AB∥CD，E为平面内一点，连接BE、CE，根据点E 的位置探究∠B和∠C、∠BEC的数量关系．（1）当点E分别在如下图①、图②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系：图①中：；图②中：，图③中：．（2）请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明．（3）运用上面的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∠BEC=100°，∠BPC 的度数是．（直接写出结果，不用写计算过程）19．如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；（2）如图2，当∠ADC=120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC ⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC=∠ADH．20．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则= ．21．如图1，MN ∥PQ ，直线AD 与MN 、PQ 分别交于点A 、D ，点B 在直线PQ 上，过点B 作BG ⊥AD ，垂足为点G ． （1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；（2）若点C 在线段AD 上（不与A 、D 、G 重合），连接BC ，∠MAG 和∠PBC 的平分线交于点H ，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG 与∠AHB 的数量关系；（3）若直线AD 的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG 与∠AHB 的数量关系．22．如图，已知AB ∥CD ，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作： 第一次操作，分别作∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E 1， 第二次操作，分别作∠ABE 1和∠DCE 1的平分线，交点为E 2， 第三次操作，分别作∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3，…，第n 次操作，分别作∠ABE n ﹣1和∠DCE n ﹣1的平分线，交点为E n ． （1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE ；（2）如图②，求证：∠BE 2C=∠BEC ；（3）猜想：若∠E n =α度，那∠BEC 等于多少度（直接写出结论）．23．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A 射线从AM 开始顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线从BP 开始顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是每秒2度，灯B 转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ ∥MN ，且∠BAM ：∠BAN=2：1．（1）填空：∠BAN= °；（2）若灯B 射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前．若射出的光束交于点C ，过C 作∠ACD 交PQ 于点D ，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC 与∠BCD 的数量关系是否发生变化若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．24．已知，直线AB ∥DC ，点P 为平面上一点，连接AP 与CP ．（1）如图1，点P 在直线AB 、CD 之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC ．（2）如图2，点P 在直线AB 、CD 之间，∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于点K ，写出∠AKC 与∠APC 之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P 落在CD 外，∠BAP 与∠DCP 的角平分线相交于点K ，∠AKC 与∠APC 有何数量关系并说明理由．25．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系请说明理由．（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．26．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．27．如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE 分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点G．（1）求证：EM∥NG；（2）连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP 交AB于点P，求∠PEG的度数．28．已知，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE．（1）如图1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度数；（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；（3）在（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP 交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）．29．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．（1）填空：AB与CD的关系为，∠B与∠D的大小关系为（2）如图2，若∠B=60°，F、E为 BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．（3）在（2）中，若∠B=α，其它条件不变，则∠FDG= ．30．已知：如图，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．（ⅰ）求∠EOC的度数；（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于．（在横线上填上答案即可）31．数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明你探究的结论的正确性．推广延伸：（2）①如图2，已知AA1∥BA3，请你猜想∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；②如图3，已知AA1∥BAn，直接写出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、…∠Bn﹣1、∠An的关系．拓展应用：（3）①如图4，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为A．α+β+γ B．β+γ﹣α °﹣α﹣γ+β °+α+β﹣γ②如图5，AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是．32．已知，直线AB∥CD（1）如图1，点E在直线BD的左侧，猜想∠ABE、∠CDE、∠BED的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，猜想∠BFD和∠BED的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE；那么第（2）题中∠BFD和∠BED的数量关系的猜想是否仍成立如果成立，请证明；如果不成立，请写出你的猜想，并证明．33．阅读下列材料并填空：（1）探究：平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画条直线，平面内有3个点时，一共可以画条直线，平面上有4个点时，一共可以画条直线，平面内有5个点时，一共可以画条直线，…平面内有n个点时，一共可以画条直线．（2）迁移：某足球比赛中有n个球队（n≥2）进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛有2个球队时，要进行场比赛，有3个球队时，要进行场比赛，有4个球队时，要进行场比赛，…那么有20个球队时，要进行场比赛．34．若∠C=α，∠EAC+∠FBC=β（1）如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则α与β有何关系并说明理由．（2）如图②，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是．（用α、β表示）（3）如图③，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；依此类推，则∠P5= ．（用α、β表示）35．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，直接写出∠EAF、∠AED、∠EDG之间的数量关系；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠CDI=2：1，∠AED=20°，∠I=30°，求 ∠EKD 的度数．36．已知AB ∥CD ，点P 在直线AB 、CD 之间，连接AP 、CP ． （1）探究发现：（填空） 填空：如图1，过P 作PQ ∥AB ， ∴∠A+∠1= °（） ∵AB ∥CD （已知）∴PQ ∥CD （ ） ∴∠C+∠2=180°结论：∠A+∠C+∠APC= °； （2）解决问题：①如图2，延长PC 至点E ，AF 、CF 分别平分∠PAB 、∠DCE ，试判断∠P 与∠F 存在怎样的数量关系并说明理由；②如图3，若∠APC=100°，分别作BN ∥AP ，DN ∥PC ，AM 、DM 分别平分∠PAB ，∠CDN ，则∠M 的度数为 （直接写出结果）．37．如图1，AB ∥CD ，E 是AB 、CD 之间的一点．（1）判定∠BAE ，∠CDE 与∠AED 之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，若∠BAE 、∠CDE 的两条平分线交于点F ．直接写出∠AFD 与∠AED 之间的数量关系；（3）将图2中的射线DC 沿DE 翻折交AF 于点G 得图3，若∠AGD 的余角等于2∠E 的补角，求∠BAE 的大小．38．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射后的光线为n ，则入射光线m 、反射光线n 与平面镜a 所夹的锐角∠1=∠2．（1）如图2，一束光线m 射到平面镜a 上，被a 反射到平面镜b 上，又被b 反射．若被b 反射出的光线n 与光线m 平行，且∠1=50°，则∠2= °，∠3=°．（2）在（1）中m ∥n ，若∠1=55°，则∠3= °；若∠1=40°，则∠3= °．（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a 、b 的夹角∠3= °时，可以使任何射到平面镜a 上的光线m ，经过平面镜a 、b 的两次反射后，入射光线m 与反射光线n 平行．你能说明理由吗（4）如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90）时，进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系．直接写出答案． ．39．已知EF ∥MN ，一直角三角板如图放置．∠ACB=90°． （1）如图1，若∠1=60°，则∠2= 度； （2）如图2，若∠1=∠B ﹣20°．则∠2= 度；（3）如图3，延长AC 交直线MN 于D ，GH 平分∠CGN ，DK 平分∠ADN 交GH 于K ，问∠GKD 是否为定值，若是求值，不是说明理由．40．已知AD∥CE，点B为直线AD、CE所确定的平面内一点．（1）如图1所示，求证：∠ADB=∠B+∠BFE．（2）如图2，FG平分∠BFE，DG交FG于点G交BF于点H，且∠BDG：∠ADG=2：1，∠B=20°，∠DGF=30°，求∠BHD的度数．1.（﹣5，2）或（5，2）;2. （1，3）或（5，1）3. B;4.（8，3），（5，0）;5.（8052，0）6.（2007，1）7. 45．8.（4023，）．9.（5，﹣5）．10.（﹣5，13）．11.（14，10）;12.（32，3），（64，0）;13.（﹣1009，1009）七下平行线，平面直角坐标系压轴题参考答案与试题解析一．填空题（共13小题）1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．【分析】根据点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，可得点M的纵坐标和点N的纵坐标相等，由点N到y轴的距离为5，可得点N的横坐标的绝对值等于5，从而可以求得点N的坐标．【解答】解：∵点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴点M的纵坐标和点N的纵坐标相等．∴y=2．∵点N到y轴的距离为5，∴|x|=5．得，x=±5．∴点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．故答案为：（﹣5，2）或（5，2）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相等，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（1，3）或（5，1）．【分析】分两种情况①当A平移到点C时，②当B平移到点C时，分别利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：①如图1，当A平移到点C时，∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，平移后的B坐标为（1，3），②如图2，当B平移到点C时，∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大2，∴平移后的A坐标为（5，1），故答案为：（1，3）或（5，1）．【点评】本题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变化情况来解决问题．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是 B （填A、B、C、D或E）．【分析】根据点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，由此可知经过（5，0）的点经过（75，0），找到经过（5，0）的点即可．【解答】解：∵C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．∴按题中滚动方法点E经过点（3，0），点A经过点（4，0），点B经过点（5，0），∵点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，∴可知经过（5，0）的点经过（75，0），∴点B经过点（75，0）．故答案为：B．【点评】本题考查了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的关键是了解正五边形滚动5次正好一个轮回，并由此判断经过点（75，0）的点就是经过（5，0）的点．4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为Pn ，则点P3的坐标是（8，3）；点P2014的坐标是（5，0）．【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8，3）；∵2014÷6=335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．故答案为：（8，3），（5，0）．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．【解答】解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），∴AB==5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2013÷3=671，∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，∵671×12=8052，∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．故答案为：（8052，0）．【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，则P2008的坐标为（2007，1）．【分析】根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律对2008 变形，得出结论．【解答】解：根据规律P1（1，1），P2（2，0）=P3，P4（3，1），P5（5，1），P6（6，0）=P7，P8（7，1）…每4个一循环，可以判断P2008坐标在502次循环后与P4坐标纵坐标一致，坐标应该是（2007，1）故答案为：（2007，1）【点评】本题主要考查了对正方形的性质，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，体现了由特殊到一般的数学方法，这一解答问题的方法在考查本节的知识点时经常用到，是在研究特例的过程中总结规律．7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为45 ．【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，…右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13），所以，第2012个点的横坐标为45．故答案为：45．【点评】本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1，P2，P3…P2012．则点P2012的坐标是（4023，）．【分析】根据等边三角形的性质易求得P1的坐标为（1，）；在等边三角形翻折的过程中，P点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点P2012的坐标．【解答】解：易得P1（1，）；而P1P2=P2P3=2，∴P2（3，），P3（5，）；依此类推，Pn（1+2n﹣2，），即Pn（2n﹣1，）；当n=2012时，P2012（4023，）．故答案为：（4023，）．【点评】考查了规律型：点的坐标．解答此类规律型问题时，通常要根据简单的条件得到一般化规律，然后根据规律求特定的值．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A 7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为（5，﹣5）．【分析】由=5易得A20在第四象限，根据A4的坐标，A8的坐标，A12的坐标不难推出A20的坐标．【解答】解：∵=5，∴A20在第四象限，∵A4所在正方形的边长为2，A4的坐标为（1，﹣1），同理可得：A8的坐标为（2，﹣2），A12的坐标为（3，﹣3），∴A20的坐标为（5，﹣5），故答案为：（5，﹣5）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题关键是首先找出A20所在的象限．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为（﹣5，13）．【分析】观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第90个点的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．【解答】解：（0，1），共1个，（0，2），（1，2），共2个，（1，3），（0，3），（﹣1，3），共3个，…，依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，1+2+3+…+n=，当n=13时，=91，所以，第90个点的纵坐标为13，（13﹣1）÷2=6，∴第91个点的坐标为（﹣6，13），第90个点的坐标为（﹣5，13）．故答案为：（﹣5，13）．【点评】本题考查了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键．11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为（14，10）．【分析】应先判断出第102个数在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．【解答】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，第n列有n 个数．则n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．因为105=1+2+3+…+14，则第102个数一定在第14列，由下到上是第11个数．因而第102个点的坐标是（14，10）．故答案填：（14，10）．【点评】本题考查了学生阅读理解并总结规律的能力，解决的关键是能正确找出题目中点的规律．12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…已知：A （1，3），A 1（2，3），A 2（4，3），A 3（8，3）；B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A 5的坐标是 （32，3） ，B 5的坐标是 （64，0） ．【分析】寻找规律求解．【解答】解：A 、A 1、A 2…A n 都在平行于X 轴的直线上，点的纵坐标都相等，所以A 5的纵坐标是3；这些点的横坐标有一定的规律：A n =2n ．因而点A 5的横坐标是25=32； B 、B 1、B 2…B n 都在x 轴上，B 5的纵坐标是0；这些点的横坐标也有一定的规律：B n =2n+1，因而点B 5的横坐标是B 5=25+1=64． ∴点A 5的坐标是（32，3），点B 5的坐标是（64，0）．故答案分别是：（32，3），（64，0）．【点评】考查X 轴上的点的特征与平行于X 轴的直线上点的特点．注意数形结合思想在此的应用，找到点的变化规律是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系上有点A （1，0），点A 第一次向左跳动至点A 1（﹣1，1），第二次向右跳动至点A 2（2，1），第三次向左跳动至点A 3（﹣2，2），第四次向右跳动点A 4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A 第2017次跳动至点A 2017的坐标是 （﹣1009，1009）． ．【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，然后写出即可．【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1）， 第4次跳动至点的坐标是（3，2）， 第6次跳动至点的坐标是（4，3）， 第8次跳动至点的坐标是（5，4）， …第2n 次跳动至点的坐标是（n+1，n ），则第2018次跳动至点的坐标是（1010，1009）， 第2017次跳动至点A 2017的坐标是（﹣1009，1009）． 故答案为：（﹣1009，1009）．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM 平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（角平分线定义）∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N 作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；（2）先根据HP⊥EF，AB∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°，再根据（1）中结论即可得到∠HMF的度数；（3）先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根据FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠FNQ．【解答】解：（1）由MQ∥CD，得到∠1=∠3，∠2=∠4，其依据为：两直线平行，内错角相等；由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，得到∠1=∠BHP，∠2=∠DFP，其依据为：角平分线定义．故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义．（2）如图2，∵HP⊥EF，。
(完整版)七年级数学下册平面直角坐标系压轴题
（3）求运动过程中线段AB扫过的图形的面积．
3、在平面直角坐标系中，点B（0，4），C（-5，4），点A是x轴负半轴上一点，S四边形AOBC=24.
（1）线段BC的长为，点A的坐标为；
（2）如图1，EA平分∠CAO，DA平分∠CAH，CF⊥AE点F，试给出∠ECF与∠DAH之间满足的数量关系式，并说明理由；
（1）求三角形ABC的面积；
（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度数；
（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
训练案
1、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）
（3）在（2）的条件下，四边形QBPO的面积是否发生变化，若不变，求出并证明你的结论，若变化，求出变化的范围．
5、如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D连结AC，BD．
(1)求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【例2】在平面直角坐标系中，已知A（-3，0），B（-2，-2），将线段AB平移至线段CD，连AC、BD．
（1）如图1，直接写出图中相等的线段，平行的线段；
（2）如图2，若线段AB移动到CD，C、D两点恰好都在坐标轴上，求C、D的坐标；
七下培优训练三平面直角坐标系综合问题压轴题
七(下)培优训练(三)平面直角坐标系综合问题(压轴题)培优训练三：平面直角坐标系（压轴题）一、坐标与面积：【例1】如图，在平面直角坐标中，A(0，1)，B(2，0)，C（2，1.5）．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（a，0.5），试用a的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使四边形ABOP 的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【例2】在平面直角坐标系中，已知A（-3，0），B（-2，-2），将线段AB平移至线段CD.图2（1）如图1，直接写出图中相等的线段，平行的线段；（2）如图2，若线段AB移动到CD，C、D两点恰好都在坐标轴上，求C、D的坐标；（3）若点C在y轴的正半轴上，点D在第一象限内，且S△ACD=5，求C、D的坐标；（4）在y轴上是否存在一点P，使线段AB平移至线段PQ 时，由A、B、P、Q构成的四边形是平行四边形面积为10，若存在，求出P、Q的坐标，若不存在，说明理由；【例3】如图，△ABC 的三个顶点位置分别是A （1，0），B （－2，3），C （－3，0）． （1）求△ABC 的面积；（2）若把△ABC 向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A B C '''，请你在图中画出△A B C '''； （3）若点A 、C 的位置不变，当点P 在y 轴上什么位置时，使2ACP ABC S S =；（4）若点B 、C 的位置不变，当点Q 在x 轴上什么位置时，使2BCQABCS S=．【例4】如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，2），且满足2(2)20a b ++-=，过C 作CB ⊥x 轴于B ．（1）求三角形ABC的面积；（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED的度数；（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形ACP 的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．【例5】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（0，0），B（7，0），C（9，5），D（2，7）（1）在坐标系中，画出此四边形； （2）求此四边形的面积；（3）在坐标轴上，你能否找一个点P ，使S △PBC =50， 若能，求出P 点坐标，若不能，说明理由．【例6】如图，A 点坐标为（－2， 0）， B 点坐标为（0， －3）.(1)作图，将△ABO 沿x 轴正方向平移4个单位， 得到△DEF ， 延长ED 交y 轴于C 点， 过O 点作OG ⊥CE ， 垂足为G ；(2) 在(1)的条件下， 求证: ∠COG＝∠EDF ；A(-2,0)B(0,-3)y x（3）求运动过程中线段AB 扫过的图形的面积．【例7】在平面直角坐标系中，点B （0，4），C （-5，4），点A 是x 轴负半轴上一点，S 四边形AOBC =24.图1yxHOFEDACB（1）线段BC 的长为 ，点A 的坐标为 ；（2）如图1，EA 平分∠CAO ，DA 平分∠CAH ，CF ⊥AE点F ，试给出∠ECF 与∠DAH 之间满足的数量关系式，并说明理由；（3）若点P 是在直线CB 与直线AO 之间的一点，连接BP 、OP ，BN 平分CBP ∠，ON 平分AOP ∠，BN 交ON 于N ，请依题意画出图形，给出BPO ∠与BNO ∠之间满足的数量关系式，并说明理由.【例8】在平面直角坐标系中，OA ＝4，OC ＝8，四边形ABCO 是平行四边形．（1）求点B 的坐标及的面积ABCO S 四边形；（2）若点P 从点C 以2单位长度/秒的速度沿CO 方向移动，同时点Q 从点O 以1单位长度/秒的速度沿OA 方向移动，设移动的时间为t 秒，△AQB 与△BPC 的面积分别记为AQB S ∆，BPC S ∆，是否存在某个时间，使AQB S ∆＝3OQBPS 四边形，若存在，求出t 的值，若不存在，试说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形QBPO 的面积是否发生变化，若不变，求出并证明你的结论，若变化，求出变化的范围．【例9】如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0）单位，再向右平移1D 连结AC ，BD ．(1)求点C ，D 的坐标及四边形（2）在y 轴上是否存在一点P ，连结PA ，PB ，使S △PAB ＝S △PDB ，若存在这样一点，求出点P 点坐标，若不存在，试说明理由；（3）若点Q 自O 点以0.5个单位/s 的速度在线段AB 上移动，运动到B 点就停止，设移动的时间为t 秒，（1）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积是四边形ABCD 面积的三分之一？（4）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积等于△ACO 面积的二分之一？【例10】在直角坐标系中，△ABC（2，4），C （5，0）． （1）求△ABC 的面积（2）点D 为y 负半轴上一动点，连BD 交x 轴于E ，是否存在点D 使得ADEBCES S ∆∆=？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点F （5，n ）是第一象限内一点，，连BF ，CF ，G 是x轴上一点，若△ABG 的面积等于四边形ABDC 的面积，则点G 的坐标为 （用含n 的式子表示）二、坐标与几何：【例1】如图，已知A(0，a)，B （0，b ），C （m ，b ）且（a －4）2＋|b ＋3|＝0，S △ABC ＝14. （1）求C 点坐标（2）作DE ⊥DC ，交y 轴于E 点，EF 为∠AED 的平分线，且∠DFE ＝900.求证：FD 平分∠ADO ；（3）E 在y 轴负半轴上运动时，连EC ，点P 为AC 延长线上一点，EM 平分∠AEC ，且PM ⊥EM ，PN⊥x轴于N 点，PQ 平分∠APN ，交x 轴于Q 点，则E 在运动过程中，∠MPQ∠ECA 的大小是否发生变化，若不变，求出其值.【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A （-5,0），B （5.0），D （2，7）， （1）求C 点的坐标；（2）动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿BA方向运动，同时动点Q从C点出发也以每秒1位的速度沿y轴正半轴方向运动（当P点运动到A点时，两点都停止运动）。
平面直角坐标系找规律压轴及平行线解答题压轴题
七下平行线，平面直角坐标系压轴题一．填空题（共13小题）1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N 的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是（填A、B、C、D或E）．4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，则点P3的坐标是；点P2014的坐标是．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），AB=5.对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为．)6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，则P2008的坐标为．7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x 轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P 1，P 2，P 3…P 2012．则点P 2012的坐标是 ．9．如图，正方形A 1A 2A 3A 4，A 5A 6A 7A 8，A 9A 10A 11A 12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A 1，A 2，A 3，A 4；A 5，A 6，A 7，A 8；A 9，A 10，A 11，A 12；…）的中心均在坐标原点O ，各边均与x 轴或y 轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A 20的坐标为 ．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为 ．<11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为 ．12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3…已知：A （1，3），A 1（2，3），A 2（4，3），A 3（8，3）；B （2，0），B 1（4，0），B 2（8，0），B 3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A 5的坐标是 ，B 5的坐标是 ．13．如图，在平面直角坐标系上有点A （1，0），点A 第一次向左跳动至点A 1（﹣1，1），第二次向右跳动至点A 2（2，1），第三次向左跳动至点A 3（﹣2，2），第四次向右跳动点A 4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A 第2017次跳动至点A 2017的坐标是 ．二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB ∥CD ，直线EF 分别与AB 、CD 相交于点E 、F ，FM 平分∠EFD ，点H 是射线EA 上一动点（不与点E 重合），过点H 的直线交EF 于点P ，HM 平分∠BHP 交FM 于点M ．·（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP ）； 请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M 作MQ ∥AB （过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB ∥CD （已知），∴MQ ∥CD （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（ ） ∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质） 即∠HMF=∠1+∠2．∵FM 平分∠EFD ，HM 平分∠BHP （已知） ∵∠1=∠BHP ，∠2=∠DFP （ ）&∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．@15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．（1）求证：∠BFA+∠BAC=180°；（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；（3）如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）]16．已知直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的点．（1）若E是AB，CD内一点．①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE，∠MEN之间的数量关系，并证明．②如图乙所示，若∠1=∠BME，∠2=∠DNE，请利用①的结论探究∠F与∠MEN的数量关系．（2）若E是AB，CD外一点．①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．，②如图丁所示，已知∠BMP=∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠MGN=∠E，请在图中画出点G的大致位置，并求∠ENG：∠GND的值．17．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，则∠AED=°；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；·（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD的度数．%18．小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线AB∥CD，E为平面内一点，连接BE、CE，根据点E的位置探究∠B和∠C、∠BEC的数量关系．（1）当点E分别在如下图①、图②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系：图①中：；图②中：，图③中：．（2）请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明．（3）运用上面的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∠BEC=100°，∠BPC 的度数是．（直接写出结果，不用写计算过程）19．如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．·（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；（2）如图2，当∠ADC=120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC=∠ADH．$20．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F，则=．}21．如图1，MN ∥PQ ，直线AD 与MN 、PQ 分别交于点A 、D ，点B 在直线PQ 上，过点B 作BG ⊥AD ，垂足为点G ． （1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；（2）若点C 在线段AD 上（不与A 、D 、G 重合），连接BC ，∠MAG 和∠PBC 的平分线交于点H ，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG 与∠AHB 的数量关系；（3）若直线AD 的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG 与∠AHB 的数量关系．)22．如图，已知AB ∥CD ，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作： 第一次操作，分别作∠ABE 和∠DCE 的平分线，交点为E 1， 第二次操作，分别作∠ABE 1和∠DCE 1的平分线，交点为E 2， 第三次操作，分别作∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3，…，`第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如图②，求证：∠BE2C=∠BEC；（3）猜想：若∠E n=α度，那∠BEC等于多少度（直接写出结论）．—23．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．（1）填空：∠BAN=°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．24．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．~（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系并说明理由．~25．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系请说明理由．（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．#26．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；-（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数．~27．如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG ⊥EN交AB于点G．（1）求证：EM∥NG；（2）连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP交AB于点P，求∠PEG的度数．！28．已知，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE．（1）如图1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度数；（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；（3）在（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP 交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）．·29．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．（1）填空：AB与CD的关系为，∠B与∠D的大小关系为（2）如图2，若∠B=60°，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．（3）在（2）中，若∠B=α，其它条件不变，则∠FDG=．·}30．已知：如图，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．（ⅰ）求∠EOC的度数；（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于．（在横线上填上答案即可））31．数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明你探究的结论的正确性．推广延伸：（2）①如图2，已知AA1∥BA3，请你猜想∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；②如图3，已知AA1∥BA n，直接写出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、…∠B n﹣1、∠A n的关系．；拓展应用：（3）①如图4，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为A．α+β+γ B．β+γ﹣α °﹣α﹣γ+β °+α+β﹣γ②如图5，AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是．32．已知，直线AB∥CD（1）如图1，点E在直线BD的左侧，猜想∠ABE、∠CDE、∠BED的数量关系，并证明你的结论；\（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，猜想∠BFD和∠BED的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE；那么第（2）题中∠BFD和∠BED的数量关系的猜想是否仍成立如果成立，请证明；如果不成立，请写出你的猜想，并证明．—33．阅读下列材料并填空：（1）探究：平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画条直线，平面内有3个点时，一共可以画条直线，平面上有4个点时，一共可以画条直线，平面内有5个点时，一共可以画条直线，…平面内有n个点时，一共可以画条直线．（2）迁移：某足球比赛中有n个球队（n≥2）进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛有2个球队时，要进行场比赛，有3个球队时，要进行场比赛，有4个球队时，要进行场比赛，…那么有20个球队时，要进行场比赛．￥34．若∠C=α，∠EAC+∠FBC=β（1）如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则α与β有何关系并说明理由．（2）如图②，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是．（用α、β表示）（3）如图③，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；依此类推，则∠P5=．（用α、β表示）}35．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，直接写出∠EAF、∠AED、∠EDG之间的数量关系；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠CDI=2：1，∠AED=20°，∠I=30°，求∠EKD的度数．：36．已知AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接AP、CP．（1）探究发现：（填空）填空：如图1，过P作PQ∥AB，∴∠A+∠1=°（）∵AB∥CD（已知）∴PQ∥CD（）—∴∠C+∠2=180°结论：∠A+∠C+∠APC=°；（2）解决问题：①如图2，延长PC至点E，AF、CF分别平分∠PAB、∠DCE，试判断∠P 与∠F存在怎样的数量关系并说明理由；②如图3，若∠APC=100°，分别作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分别平分∠PAB，∠CDN，则∠M的度数为（直接写出结果）．37．如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；【（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD 与∠AED之间的数量关系；（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．【38．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a 所夹的锐角∠1=∠2．（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a 反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2=°，∠3=°．（2）在（1）中m∥n，若∠1=55°，则∠3=°；若∠1=40°，则∠3=°．（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．你能说明理由吗（4）如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90）时，进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系．直接写出答案．．39．已知EF∥MN，一直角三角板如图放置．∠ACB=90°．（1）如图1，若∠1=60°，则∠2=度；·（2）如图2，若∠1=∠B﹣20°．则∠2=度；（3）如图3，延长AC交直线MN于D，GH平分∠CGN，DK平分∠ADN 交GH于K，问∠GKD是否为定值，若是求值，不是说明理由．40．已知AD∥CE，点B为直线AD、CE所确定的平面内一点．（1）如图1所示，求证：∠ADB=∠B+∠BFE．（2）如图2，FG平分∠BFE，DG交FG于点G交BF于点H，且∠BDG：∠ADG=2：1，∠B=20°，∠DGF=30°，求∠BHD的度数．1.（﹣5，2）或（5，2）;2. （1，3）或（5，1）3. B;4.（8，3），（5，0）;5.（8052，0）6.（2007，1）7. 45．8.（4023，）．9.（5，﹣5）．}10.（﹣5，13）．11.（14，10）;12.（32，3），（64，0）; 13.（﹣1009，1009）七下平行线，平面直角坐标系压轴题参考答案与试题解析一．填空题（共13小题）1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．【分析】根据点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，可得点M的纵坐标和点N的纵坐标相等，由点N到y轴的距离为5，可得点N的横坐标的绝对值等于5，从而可以求得点N的坐标．?【解答】解：∵点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴点M的纵坐标和点N的纵坐标相等．∴y=2．∵点N到y轴的距离为5，∴|x|=5．得，x=±5．∴点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．故答案为：（﹣5，2）或（5，2）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相等，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．【2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（1，3）或（5，1）．【分析】分两种情况①当A平移到点C时，②当B平移到点C时，分别利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：①如图1，当A平移到点C时，∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，平移后的B坐标为（1，3），②如图2，当B平移到点C时，&∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大2，∴平移后的A坐标为（5，1），故答案为：（1，3）或（5，1）．【点评】本题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变化情况来解决问题．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是B（填A、B、C、D或E）．【分析】根据点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，由此可知经过（5，0）的点经过（75，0），找到经过（5，0）的点即可．【解答】解：∵C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．：∴按题中滚动方法点E经过点（3，0），点A经过点（4，0），点B经过点（5，0），∵点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，∴可知经过（5，0）的点经过（75，0），∴点B经过点（75，0）．故答案为：B．【点评】本题考查了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的关键是了解正五边形滚动5次正好一个轮回，并由此判断经过点（75，0）的点就是经过（5，0）的点．4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，则点P3的坐标是（8，3）；点P2014的坐标是（5，0）．【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．，【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8，3）；∵2014÷6=335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．故答案为：（8，3），（5，0）．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．:【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．【解答】解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），∴AB==5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2013÷3=671，∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，∵671×12=8052，∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．故答案为：（8052，0）．?【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，则P2008的坐标为（2007，1）．【分析】根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律对2008 变形，得出结论．【解答】解：根据规律P1（1，1），P2（2，0）=P3 ，P4（3，1），P5（5，1），P6（6，0）=P7，P8（7，1）…每4个一循环，可以判断P2008坐标在502次循环后与P4坐标纵坐标一致，坐标应该是（2007，1）故答案为：（2007，1））【点评】本题主要考查了对正方形的性质，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，体现了由特殊到一般的数学方法，这一解答问题的方法在考查本节的知识点时经常用到，是在研究特例的过程中总结规律．7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为45．【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，？…右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13），所以，第2012个点的横坐标为45．故答案为：45．【点评】本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1，P2，P3…P2012．则点P2012的坐标是（4023，）．￥【分析】根据等边三角形的性质易求得P1的坐标为（1，）；在等边三角形翻折的过程中，P 点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点P2012的坐标．【解答】解：易得P1（1，）；而P1P2=P2P 3=2，∴P2（3，），P 3（5，）；依此类推，P n（1+2n﹣2，），即P n（2n ﹣1，）；当n=2012时，P2012（4023，）．故答案为：（4023，）．【点评】考查了规律型：点的坐标．解答此类规律型问题时，通常要根据简单的条件得到一般化规律，然后根据规律求特定的值．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为（5，﹣5）．,【分析】由=5易得A20在第四象限，根据A4的坐标，A8的坐标，A12的坐标不难推出A20的坐标．【解答】解：∵=5，∴A20在第四象限，∵A4所在正方形的边长为2，A4的坐标为（1，﹣1），同理可得：A8的坐标为（2，﹣2），A12的坐标为（3，﹣3），∴A20的坐标为（5，﹣5），故答案为：（5，﹣5）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题关键是首先找出A20所在的象限．#10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为（﹣5，13）．【分析】观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第90个点的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．【解答】解：（0，1），共1个，（0，2），（1，2），共2个，（1，3），（0，3），（﹣1，3），共3个，…，依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，1+2+3+…+n=，]当n=13时，=91，所以，第90个点的纵坐标为13，（13﹣1）÷2=6，∴第91个点的坐标为（﹣6，13），第90个点的坐标为（﹣5，13）．故答案为：（﹣5，13）．【点评】本题考查了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键．11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为（14，10）．{【分析】应先判断出第102个数在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．【解答】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，第n列有n 个数．则n列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．因为105=1+2+3+…+14，则第102个数一定在第14列，由下到上是第11个数．因而第102个点的坐标是（14，10）．故答案填：（14，10）．【点评】本题考查了学生阅读理解并总结规律的能力，解决的关键是能正确找出题目中点的规律．12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是（32，3），B5的坐标是（64，0）．【分析】寻找规律求解．；【解答】解：A、A1、A2…A n都在平行于X轴的直线上，点的纵坐标都相等，所以A5的纵坐标是3；这些点的横坐标有一定的规律：A n=2n．因而点A5的横坐标是25=32；B、B1、B2…B n都在x轴上，B5的纵坐标是0；这些点的横坐标也有一定的规律：B n=2n+1，因而点B5的横坐标是B5=25+1=64．∴点A5的坐标是（32，3），点B5的坐标是（64，0）．故答案分别是：（32，3），（64，0）．【点评】考查X轴上的点的特征与平行于X轴的直线上点的特点．注意数形结合思想在此的应用，找到点的变化规律是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次向左跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动至点A2（2，1），第三次向左跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动点A4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A第2017次跳动至点A2017的坐标是（﹣1009，1009）．．【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，然后写出即可．:【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），则第2018次跳动至点的坐标是（1010，1009），第2017次跳动至点A2017的坐标是（﹣1009，1009）．故答案为：（﹣1009，1009）．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．·二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）·即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（角平分线定义）∴∠HMF=∠BHP+∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；（2）先根据HP⊥EF，AB∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°，再根据（1）中结论即可得到∠HMF的度数；（3）先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根据FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠FNQ．|【解答】解：（1）由MQ∥CD，得到∠1=∠3，∠2=∠4，其依据为：两直线平行，内错角相等；由FM平分∠EFD，HM平分∠BHP，得到∠1=∠BHP，∠2=∠DFP，其依据为：角平分线定义．故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线定义．（2）如图2，∵HP⊥EF，∴∠HPE=90°，∴∠EHP+∠HEP=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）又∵AB∥CD，∴∠HEP=∠DFP．∴∠EHP+∠DFP=90°．—由（1）得：∠HMF=（∠EHP+∠DFP）=×90°=45°．（3）如图3，∵NQ⊥FM，∴∠NFQ+∠FNQ=180°﹣90°=90°（三角形的内角和等于180°）．∴∠NFQ=90°﹣∠FNQ．∵FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，又∵∠NFQ=∠NFE+∠QFE=（∠HFE+∠EFD）=∠HFD，∴∠HFD=2∠NFQ．又∵AB∥CD，∴∠EHF+∠HFD=180°，/∴∠EHF=180°﹣∠HFD=180°﹣2∠NFQ=180°﹣2（90°﹣∠FNQ）=2∠FNQ，即无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义以及平行公理的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．（1）求证：∠BFA+∠BAC=180°；（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；（3）如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）。
平面直角坐标系压轴题
1、、在直角坐标系中，△ABC 的顶点A （—2，0），B （2，4），C （5，0）。
（1）求△ABC 的面积（2）点D 为y 负半轴上一动点，连BD 交x 轴于E ，是否存在点D 使得ADE BCE S S ∆∆=？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点F （5，n ）是第一象限内一点，，连BF ，CF ，G 是x 轴上一点，若△ABG 的面积等于四边形ABDC 的面积，则点G 的坐标为 （用含n 的式子表示） 2、、如图，在平面直角坐标系中，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB 与y 轴交于点C.(1)若∠A=∠AOC ，求证：∠B=∠BOC ；(2)延长AB 交x 轴于点E ，过O 作OD ⊥AB ，且∠DOB=∠EOB ，∠OAE=∠OEA ，求∠A 度数；(3)如图，OF 平分∠AOM ，∠BCO 的平分线交FO 的延长线于点P.当△ABO 绕O 点旋转时（斜边AB 与y 轴正半轴始终相交于点C ），在(2)的条件下，试问∠P 的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由．3、如图，y 轴的负半轴平分∠AOB ， P 为y 轴负半轴上的一动点，过点P 作x 轴的平行线分别交OA 、OB 于点M 、N.（1）如图1， MN ⊥y 轴吗？为什么？（2）如图2，当点P 在y 轴的负半轴上运动到AB 与y 轴xy O EDCBA xyOCBAPMF x y OCBAF A OC ByxA yxOC BMN A D B Cb 21aEβαMaAD B C b F H Q 的交点处，其他条件都不变时,等式∠APM=21（∠OBA －∠A ）是否成立？为什么？（3）当点P 在y 轴的负半轴上运动到图3处（Q 为BA 、NM 的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q 、∠OAB 、∠OBA 之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由.4、．已知直线a ∥b ，点A 在直线a 上，点B 、C 在直线b 上，点D 在线段BC 上． （1）如图1，AB 平分∠MAD ，AC 平分∠NAD ，DE ⊥AC 于E ，求证：∠1=∠2． (5分)（2）若点F 为线段AB 上不与A 、B 重合的一动点，点H 在AC 上，FQ 平分∠AFD 交AC于Q ，设∠HFQ =x °，（此时点D 为线段BC 上不与点B 、C 重合的任一点），问当α、β、x 之间满足怎样的等量关系时，FH ∥a （如图2）？试写出α、β、x 之间满足的某种等量关系，并以此为条件证明FH ∥a ． (5分)7、如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，2），且满足02)22=-++b a （，过C 作CB ⊥x 轴于B ．（1）求三角形ABC 的面积．AO BQ M PN yx 图（2）若过B 作BD ∥AC 交y 轴于D ，且AE 、DE 分别平分∠CAB 、∠ODB ，如图2求∠AED 的度数．（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．8、在平面直角坐标系中，点)0,(a A ，)0,(b B ，),0(c C ，且满足342+-=++-c b a ，过点C 作x MN //轴，D 是MN 上一动点.（1）求A BC ∆的面积；（2）如图1，若点D 的横坐标为-3，AD 交O C 于E ，求点E 的坐标； （3）如图2，若B 35AD ∠=o ，P 是A D 上的点，Q 是射线DM 上的点，射线QG 平分PQM ∠，射线PH 平分APQ ∠，//PF QG ，请你补全图形，并求HPFADN ∠∠的值.9、（12分）如图，直角坐标系中，C 点是第二象限一点，CB ⊥y 轴于B ，且B （0，b ）是y 轴正半轴上一点，A （a ，0）是x 轴负半轴上一点，且()2230a b ++-=，S 四边形AOBC =9。
平面直角坐标系找规律压轴及平行线解答题压轴题
七下平行线，平面直角坐标系压轴题一．填空题（共13小题）1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是（填A、B、C、D或E）．4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，则点P3的坐标是；点P2014的坐标是．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），AB=5.对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，则P2008的坐标为．实用文案7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1，P2，P3…P2012．则点P2012的坐标是．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为．11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为．实用文案12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是，B5的坐标是．13．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次向左跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动至点A2（2，1），第三次向左跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动点A4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A第2017次跳动至点A2017的坐标是．二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）实用文案∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（）∴∠HMF=∠BHP +∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．15．如图1，直线m∥n，点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连结FE并延长至点A，连结BA和CA，使∠AEC=∠BAC．（1）求证：∠BFA+∠BAC=180°；（2）请在图1中找出与∠CAF相等的角，并加以证明；（3）如图2，连结BC交AF于点D，作∠CBF和∠CEF的角平分线交于点M，若∠ADC=α，请直接写出∠M的度数（用含α的式子表示）16．已知直线AB∥CD，M，N分别是AB，CD上的点．（1）若E是AB，CD内一点．实用文案①如图甲所示，请写出∠BME，∠DNE，∠MEN之间的数量关系，并证明．②如图乙所示，若∠1=∠BME，∠2=∠DNE，请利用①的结论探究∠F与∠MEN的数量关系．（2）若E是AB，CD外一点．①如图丙所示，请直接写出∠EMB，∠END，∠E之间的数量关系．②如图丁所示，已知∠BMP=∠EMB，在射线MP上找一点G，使得∠MGN=∠E，请在图中画出点G的大致位置，并求∠ENG：∠GND的值．17．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，则∠AED=°；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论；（3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI=1：2，∠AED=22°，∠I=20°，求∠EKD的度数．18．小明在学习了“平行线的判定和性质”知识后，对下面问题进行探究：在平面内，直线AB∥CD，E为平面内一点，连接BE、CE，根据点E的位置探究∠B和∠C、∠BEC的数量关系．（1）当点E分别在如下图①、图实用文案②和图③所示的位置时，请你直接写出三个图形中相应的∠B和∠C、∠BEC的数量关系：图①中：；图②中：，图③中：．（2）请在以上三个结论中选出一个你喜欢的结论加以证明．（3）运用上面的结论解决问题：如图④，AB∥CD，BP平分∠ABE，CP平分∠DCE，∠BEC=100°，∠BPC的度数是．（直接写出结果，不用写计算过程）19．如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2．（1）试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；（2）如图2，当∠ADC=120°时，点E、F分别在CD和AC的延长线上运动，试探讨∠E和∠F的数量关系；（3）如图3，AD和BC交于点G，过点D作DH∥BC交AC于点H，若AC⊥BC，问当∠CDH为多少度时，∠GDC=∠ADH．20．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠BME、∠E、∠END的数量关系为；实用文案（2）如图2，∠BME与∠CNE的角平分线所在的直线相交于点P，试探究∠P与∠E之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直线MB、ND交于点F ，则=．21．如图1，MN∥PQ，直线AD与MN、PQ分别交于点A、D，点B在直线PQ上，过点B作BG⊥AD，垂足为点G．（1）求证：∠MAG+∠PBG=90°；（2）若点C在线段AD上（不与A、D、G重合），连接BC，∠MAG和∠PBC的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明∠CBG与∠AHB的数量关系；（3）若直线AD的位置如图3所示，（2）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出∠CBG与∠AHB的数量关系．22．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，实用文案第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．（1）如图①，求证：∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如图②，求证：∠BE2C=∠BEC；（3）猜想：若∠E n=α度，那∠BEC等于多少度？（直接写出结论）．23．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．（1）填空：∠BAN=°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．24．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．实用文案（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC．（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．25．已知直线AB∥CD．（1）如图1，直接写出∠ABE，∠CDE和∠BED之间的数量关系是．（2）如图2，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由．（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF，DF仍平分∠ABE，∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．26．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B．（1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系；（2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，实用文案求∠EBC的度数．27．如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点G．（1）求证：EM∥NG；（2）连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP交AB于点P，求∠PEG的度数．28．已知，∠AOB=90°，点C在射线OA上，CD∥OE．（1）如图1，若∠OCD=120°，求∠BOE的度数；（2）把“∠AOB=90°”改为“∠AOB=120°”，射线OE沿射线OB平移，得O′E，其他条件不变，（如图2所示），探究∠OCD、∠BO′E的数量关系；（3）在（2）的条件下，作PO′⊥OB垂足为O′，与∠OCD的平分线CP 交于点P，若∠BO′E=α，请用含α的式子表示∠CPO′（请直接写出答案）．实用文案29．如图1．将线段AB平移至CD，使A与D对应，B与C对应，连AD、BC．（1）填空：AB与CD的关系为，∠B与∠D的大小关系为（2）如图2，若∠B=60°，F、E为BC的延长线上的点，∠EFD=∠EDF，DG平分∠CDE交BE于G，求∠FDG．（3）在（2）中，若∠B=α，其它条件不变，则∠FDG=．30．已知：如图，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：（1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据）（2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．（ⅰ）求∠EOC的度数；（ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值；（ⅲ）如图③，若∠OEB=∠OCA．此时∠OCA度数等于．（在横实用文案线上填上答案即可）31．数学思考：（1）如图1，已知AB∥CD，探究下面图形中∠APC和∠PAB、∠PCD的关系，并说明你探究的结论的正确性．推广延伸：（2）①如图2，已知AA1∥BA3，请你猜想∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、∠A3的关系，并证明你的猜想；②如图3，已知AA1∥BA n，直接写出∠A1、∠B1、∠B2、∠A2、…∠B n﹣1、∠A n的关系．拓展应用：（3）①如图4，若AB∥EF，用含α，β，γ的式子表示x，应为A．α+β+γ B．β+γ﹣α C.180°﹣α﹣γ+β D.180°+α+β﹣γ②如图5，AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM的大小是．32．已知，直线AB∥CD（1）如图1，点E在直线BD的左侧，猜想∠ABE、∠CDE、∠BED的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，猜想∠BFD和∠BED的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE；那么第（2）题中∠BFD和∠BED的数量关系的猜想是否仍成立？如果成实用文案立，请证明；如果不成立，请写出你的猜想，并证明．33．阅读下列材料并填空：（1）探究：平面上有n个点（n≥2）且任意3个点不在同一条直线上，经过每两点画一条直线，一共能画多少条直线？我们知道，两点确定一条直线．平面上有2个点时，可以画条直线，平面内有3个点时，一共可以画条直线，平面上有4个点时，一共可以画条直线，平面内有5个点时，一共可以画条直线，…平面内有n个点时，一共可以画条直线．（2）迁移：某足球比赛中有n个球队（n≥2）进行单循环比赛（每两队之间必须比赛一场），一共要进行多少场比赛？有2个球队时，要进行场比赛，有3个球队时，要进行场比赛，有4个球队时，要进行场比赛，…那么有20个球队时，要进行场比赛．34．若∠C=α，∠EAC+∠FBC=β实用文案（1）如图①，AM是∠EAC的平分线，BN是∠FBC的平分线，若AM∥BN，则α与β有何关系？并说明理由．（2）如图②，若∠EAC的平分线所在直线与∠FBC平分线所在直线交于P，试探究∠APB与α、β的关系是．（用α、β表示）（3）如图③，若α≥β，∠EAC与∠FBC的平分线相交于P1，∠EAP1与∠FBP1的平分线交于P2；依此类推，则∠P5=．（用α、β表示）35．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点．（1）如图1，直接写出∠EAF、∠AED、∠EDG之间的数量关系；（2）如图2，当点E在FG延长线上时，求证：∠EAF=∠AED+∠EDG；（3）如图3，AI平分∠BAE，DI交AI于点I，交AE于点K，且∠EDI：∠CDI=2：1，∠AED=20°，∠I=30°，求∠EKD的度数．36．已知AB∥CD，点P在直线AB、CD之间，连接AP、CP．（1）探究发现：（填空）填空：如图1，过P作PQ∥AB，实用文案∴∠A+∠1=°（）∵AB∥CD（已知）∴PQ∥CD（）∴∠C+∠2=180°结论：∠A+∠C+∠APC=°；（2）解决问题：①如图2，延长PC至点E，AF、CF分别平分∠PAB、∠DCE，试判断∠P 与∠F存在怎样的数量关系并说明理由；②如图3，若∠APC=100°，分别作BN∥AP，DN∥PC，AM、DM分别平分∠PAB，∠CDN，则∠M的度数为（直接写出结果）．37．如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD 与∠AED之间的数量关系；（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．38．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线m、反射光线n与平面镜a实用文案所夹的锐角∠1=∠2．（1）如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a 反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2=°，∠3=°．（2）在（1）中m∥n，若∠1=55°，则∠3=°；若∠1=40°，则∠3=°．（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．你能说明理由吗？（4）如图3，两面镜子的夹角为α°（0＜α＜90）时，进入光线与离开光线的夹角为β°（0＜β＜90）．试探索α与β的数量关系．直接写出答案．．39．已知EF∥MN，一直角三角板如图放置．∠ACB=90°．（1）如图1，若∠1=60°，则∠2=度；（2）如图2，若∠1=∠B﹣20°．则∠2=度；（3）如图3，延长AC交直线MN于D，GH平分∠CGN，DK平分∠ADN 交GH于K，问∠GKD是否为定值，若是求值，不是说明理由．40．已知AD∥CE，点B为直线AD、CE所确定的平面内一点．（1）如图1所示，求证：∠ADB=∠B+∠BFE．（2）如图2，FG平分∠BFE，DG交FG于点G交BF于点H，且∠BDG：∠ADG=2：1，∠B=20°，∠DGF=30°，求∠BHD的度数．实用文案1.（﹣5，2）或（5，2）;2. （1，3）或（5，1）3. B;4.（8，3），（5，0）;5.（8052，0）6.（2007，1）7. 45．8.（4023，）．9.（5，﹣5）．10.（﹣5，13）．11.（14，10）;12.（32，3），（64，0）; 13.（﹣1009，1009）七下平行线，平面直角坐标系压轴题参考答案与试题解析一．填空题（共13小题）1．已知点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离为5，则点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．【分析】根据点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，可得点M的纵坐标和点N的纵坐标相等，由点N到y轴的距离为5，可得点N的横坐标的绝对值等于5，从而可以求得点N的坐标．【解答】解：∵点M（3，2）与点N（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴点M的纵坐标和点N的纵坐标相等．∴y=2．∵点N到y轴的距离为5，∴|x|=5．得，x=±5．∴点N的坐标为（﹣5，2）或（5，2）．故答案为：（﹣5，2）或（5，2）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相等，到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），将线段AB平移，使其一个端点到C（3，2），则平移后另一端点的坐标为（1，3）或（5，1）．【分析】分两种情况①当A平移到点C时，②当B平移到点C时，分别利用平移中点的变化规律求解即可．实用文案【解答】解：①如图1，当A平移到点C时，∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点A的横坐标增大了1，纵坐标增大了2，平移后的B坐标为（1，3），②如图2，当B平移到点C时，∵C（3，2），A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，1），∴点B的横坐标增大了3，纵坐标增大2，∴平移后的A坐标为（5，1），故答案为：（1，3）或（5，1）．【点评】本题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变化情况来解决问题．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．3．如图的坐标平面上有一正五边形ABCDE，其中C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．若在没有滑动的情况下，将此五边形沿着x轴向右滚动，则滚动过程中，经过点（75，0）的是B（填A、B、C、D或E）．【分析】根据点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，由此可知经过（5，0）的点经过（75，0），找到经过（5，0）的点即可．【解答】解：∵C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）．∴按题中滚动方法点E经过点（3，0），点A经过点（4，0），点B经过点（5，0），∵点（75，0）的横坐标是5的倍数，而该正五边形滚动5次正好一周，∴可知经过（5，0）的点经过（75，0），∴点B经过点（75，0）．故答案为：B．【点评】本题考查了正多边形和圆及坐标与图形性质，解题的关键是了实用文案解正五边形滚动5次正好一个轮回，并由此判断经过点（75，0）的点就是经过（5，0）的点．4．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，则点P3的坐标是（8，3）；点P2014的坐标是（5，0）．【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），当点P第3次碰到矩形的边时，点P的坐标为：（8，3）；∵2014÷6=335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．故答案为：（8，3），（5，0）．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．5．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．【分析】根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一实用文案个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用2013除以3，根据商为671可知第2013个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可．【解答】解：∵点A（﹣3，0）、B（0，4），∴AB==5，由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：4+5+3=12，∵2013÷3=671，∴△2013的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，∵671×12=8052，∴△2013的直角顶点的坐标为（8052，0）．故答案为：（8052，0）．【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点．6．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2008次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2008的位置，则P2008的坐标为（2007，1）．【分析】根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律对2008 变形，得出结论．【解答】解：根据规律P1（1，1），P2（2，0）=P3 ，P4（3，1），P5（5，1），P6（6，0）=P7，P8（7，1）…每4个一循环，可以判断P2008坐标在502次循环后与P4坐标纵坐标一致，坐标应该是（2007，1）故答案为：（2007，1）【点评】本题主要考查了对正方形的性质，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，体现了由特殊到一般的数学方法，这一解答问题的方法在考查本节的知识点时经常用到，是在研究特例的过程中总结规律．7．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为45．实用文案【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．【解答】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1=12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42，…右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452=2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2012个点是（45，13），所以，第2012个点的横坐标为45．故答案为：45．【点评】本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．8．如图，将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2012次，依次得到点P1，P2，P3…P2012．则点P2012的坐标是（4023，）．【分析】根据等边三角形的性质易求得P1的坐标为（1，）；在等边三角形翻折的过程中，P点的纵坐标不变，而每翻折一次，横坐标增加2个单位（即等边三角形的边长），可根据这个规律求出点P2012的坐标．【解答】解：易得P1（1，）；而P1P2=P 2P3=2，∴P2（3，），P3（5，）；依此类推，P n（1+2n﹣2，），即P n（2n﹣1，）；实用文案当n=2012时，P2012（4023，）．故答案为：（4023，）．【点评】考查了规律型：点的坐标．解答此类规律型问题时，通常要根据简单的条件得到一般化规律，然后根据规律求特定的值．9．如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…，（每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…）的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6…，则顶点A20的坐标为（5，﹣5）．【分析】由=5易得A20在第四象限，根据A4的坐标，A8的坐标，A12的坐标不难推出A20的坐标．【解答】解：∵=5，∴A20在第四象限，∵A4所在正方形的边长为2，A4的坐标为（1，﹣1），同理可得：A8的坐标为（2，﹣2），A12的坐标为（3，﹣3），∴A20的坐标为（5，﹣5），故答案为：（5，﹣5）．【点评】本题考查坐标与图形的性质，解题关键是首先找出A20所在的象限．10．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（﹣1，3）…，根据这个规律探索可得，第90个点的坐标为（﹣5，13）．【分析】观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第90个点实用文案的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．【解答】解：（0，1），共1个，（0，2），（1，2），共2个，（1，3），（0，3），（﹣1，3），共3个，…，依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，1+2+3+…+n=，当n=13时，=91，所以，第90个点的纵坐标为13，（13﹣1）÷2=6，∴第91个点的坐标为（﹣6，13），第90个点的坐标为（﹣5，13）．故答案为：（﹣5，13）．【点评】本题考查了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键．11．如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第102个点的坐标为（14，10）．【分析】应先判断出第102个数在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解．【解答】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2，0）作为第二列，依此类推，则第一列有一个数，第二列有2个数，第n列有n 个数．则n 列共有个数，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上．因为105=1+2+3+…+14，则第102个数一定在第14列，由下到上是第11个数．因而第102个点的坐标是（14，10）．故答案填：（14，10）．【点评】本题考查了学生阅读理解并总结规律的能力，解决的关键是能正确找出题目中点的规律．实用文案12．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA1B1，第二次将△OA1B1变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2变换成△OA3B3…已知：A（1，3），A1（2，3），A2（4，3），A3（8，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．观察每次变换前后的三角形有何变化，按照变换规律，第五次变换后得到的三角形A5的坐标是（32，3），B5的坐标是（64，0）．【分析】寻找规律求解．【解答】解：A、A1、A2…A n都在平行于X轴的直线上，点的纵坐标都相等，所以A5的纵坐标是3；这些点的横坐标有一定的规律：A n=2n．因而点A5的横坐标是25=32；B、B1、B2…B n都在x轴上，B5的纵坐标是0；这些点的横坐标也有一定的规律：B n=2n+1，因而点B5的横坐标是B5=25+1=64．∴点A5的坐标是（32，3），点B5的坐标是（64，0）．故答案分别是：（32，3），（64，0）．【点评】考查X轴上的点的特征与平行于X轴的直线上点的特点．注意数形结合思想在此的应用，找到点的变化规律是解题的关键．13．如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次向左跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动至点A2（2，1），第三次向左跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动点A4（3，2），…，依次规律跳动下去，点A第2017次跳动至点A2017的坐标是（﹣1009，1009）．．【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，然后写出即可．【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），第4次跳动至点的坐标是（3，2），第6次跳动至点的坐标是（4，3），第8次跳动至点的坐标是（5，4），…第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），则第2018次跳动至点的坐标是（1010，1009），实用文案第2017次跳动至点A2017的坐标是（﹣1009，1009）．故答案为：（﹣1009，1009）．【点评】本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．二．解答题（共27小题）14．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD相交于点E、F，FM平分∠EFD，点H是射线EA上一动点（不与点E重合），过点H的直线交EF于点P，HM平分∠BHP交FM于点M．（1）如图1，试说明：∠HMF=（∠BHP+∠DFP）；请在下列解答中，填写相应的理由：解：过点M作MQ∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．∵AB∥CD（已知），∴MQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠1=∠3，∠2=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠HMF=∠1+∠2．∵FM平分∠EFD，HM平分∠BHP（已知）∵∠1=∠BHP，∠2=∠DFP（角平分线定义）∴∠HMF=∠BHP +∠DFP=（∠BHP+∠DFP）（等量代换）．（2）如图2，若HP⊥EF，求∠HMF的度数；（3）如图3，当点P与点F重合时，FN平分∠HFE交AB于点N，过点N作NQ⊥FM于点Q，试说明无论点H在何处都有∠EHF=2∠FNQ．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线定义进行判断即可；（2）先根据HP⊥EF，AB∥CD，得到∠EHP+∠DFP=90°，再根据（1）中结论即可得到∠HMF的度数；（3）先根据题意得到∠NFQ=90°﹣∠FNQ，再根据FN平分∠HFE，FM平分∠EFD，即可得出∠HFD=2∠NFQ，最后根据∠EHF+∠HFD=180°，即可得出∠EHF=2∠FNQ．【解答】解：（1）由MQ∥CD，得到∠1=∠3，∠2=∠4，其依据为：两直线平行，内错角相等；实用文案。
下平面直角坐标系压轴题
平面直角坐标系压轴题①能娴熟解平面直角坐标系中的面积蓄在性问题；②能将几何问题代数化，并能运用数形联合思想解题．研究案【例 1】如图，在平面直角坐标中，A(0， 1)， B(2， 0)， C（ 2，）．（ 1）求△ ABC 的面积；（ 2）假如在第二象限内有一点P（ a，），试用 a 的式子表示四边形ABOP 的面积；（ 3）在（ 2）的条件下，能否存在这样的点P，使四边形ABOP 的面积与△ ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明原因．yCAPO B x【例 2】在平面直角坐标系中，已知A（ -3， 0）， B（-2， -2），将线段 AB 平移至线段 CD .y y yyDDA AAC O Cx O xAO O xx BB BB图1 图2 图3 图4（ 1）如图 1，直接写出图中相等的线段，平行的线段；（ 2）如图 2，若线段 AB 挪动到 CD， C、 D 两点恰巧都在座标轴上，求C、 D 的坐标；（ 3）若点 C 在 y 轴的正半轴上，点 D 在第一象限内，且S△ACD=5，求 C、 D 的坐标；（ 4）在 y 轴上能否存在一点 P，使线段 AB 平移至线段 PQ 时，由 A、 B、P、Q 组成的四边形是平行四边形面积为10，若存在，求出 P、 Q 的坐标，若不存在，说明原因；【例 3】如图，△ ABC 的三个极点地点分别是A（ 1， 0）， B（－ 2， 3）， C（－ 3， 0）．（ 1）求△ ABC 的面积；（ 2）若把△ ABC 向下平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个单位长度，获得△ A B C，请你在图中画出△ A B C；（ 3）若点 A、C 的地点不变，当点P 在 y 轴上什么地点时，使SV ACP 2SVABC；（ 4）若点 B、 C 的地点不变，当点Q 在 x 轴上什么地点时，使SVBCQ2SVABC ．【例 4】如图 1，在平面直角坐标系中，A（a， 0），C（ b， 2），且知足( a2) 2 b 2 0 ，过C作CB⊥x轴于B．（ 1）求三角形ABC 的面积；（ 2）若过 B 作 BD ∥ AC 交 y 轴于 D，且 AE， DE 分别均分∠ CAB，∠ ODB，如图 2，求∠ AED 的度数；（ 3）在 y 轴上能否存在点 P，使得三角形 ABC 和三角形 ACP 的面积相等，若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明原因．训练案1、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各极点的坐标分别是A（ 0，0）， B（ 7， 0），C（ 9，5）， D（ 2， 7）（1）在座标系中，画出此四边形；（2）求此四边形的面积；（ 3）在座标轴上，你可否找一个点P，使 S△PBC=50 ，若能，求出P 点坐标，若不可以，说明原因．2、如图， A 点坐标为（－ 2， 0）， B 点坐标为（ 0，－ 3） .(1)作图，将△ABO 沿 x 轴正方向平移 4 个单位，获得△DEF ，延伸ED 交 y 轴于 C 点，过 O点作OG⊥CE，垂足为 G；y(2) 在 (1) 的条件下，求证 : ∠ COG＝∠ EDF ；A(-2,0)0xB(0,-3)（ 3）求运动过程中线段AB 扫过的图形的面积．3、在平面直角坐标系中，点B（ 0， 4），C（ -5，4），点 A 是 x 轴负半轴上一点，S 四边形AOBC =24.yD C B EFH A O x图 1（ 1）线段 BC 的长为，点A的坐标为；（ 2）如图 1，EA 均分∠ CAO，DA 均分∠ CAH，CF⊥AE 点 F，试给出∠ ECF 与∠ DAH 之间知足的数目关系式，并说明原因；（ 3）若点P 是在直线CB 与直线AO 之间的一点，连结BP 、OP，BN 均分CBP ，ON 均分AOP ，BN 交ON 于N，请依题意画出图形，给出BPO 与BNO 之间知足的数目关系式，并说明原因.4、在平面直角坐标系中，OA＝ 4， OC＝ 8，四边形ABCO 是平行四边形．yyB A BAQxxO P CO C（ 1）求点 B 的坐标及的面积S四边形 ABCO；（ 2）若点P 从点C 以2 单位长度/秒的速度沿CO 方向挪动，同时点Q 从点O 以1 单位长度/秒的速度沿OA 方向挪动，设挪动的时间为t 秒，△AQB 与△BPC 的面积分别记为S AQB ，S BPC ，能否存在某个时间，使S AQB ＝S四边形OQBP，若存在，求出t 的值，若不存在，试说明原因；3（3）在（ 2）的条件下，四边形 QBPO 的面积能否发生变化，若不变，求出并证明你的结论，若变化，求出变化的范围．5、如图，在平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别为（－1，0），（ 3，0），现同时将点A，B 分别向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位，分别获得点A， B 的对应点C，D 连结AC， BD ．(1)求点C， D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形 ABDC ；yC DAo B-1 3 x（ 2）在y 轴上能否存在一点P，连结PA， PB，使S△PAB＝ S△ PDB ，若存在这样一点，求出点P 点坐标，若不存在，试说明原因；yC DA B-1 o3 x（ 3）若点 Q 自 O 点以个单位 /s 的速度在线段AB 上挪动，运动到 B 点就停止，设挪动的时间为t 秒，（1）是不能否存在一个时辰，使得梯形CDQB 的面积是四边形ABCD 面积的三分之一？yCDA B-1 o3x Q（ 4）是不能否存在一个时辰，使得梯形CDQB 的面积等于△ ACO 面积的二分之一？6、在直角坐标系中，△ABC 的极点 A（—2， 0）， B（ 2， 4）， C（ 5， 0）．（ 1）求△ ABC 的面积yB（ 2）点 D 为 y 负半轴上一动点，连BD 交 x 轴于 E，能否存在点 D 使得S ADE S BCE？若存在，恳求出点 D 的坐标；若不存在，请说明原因．（ 3）点 F（ 5，n）是第一象限内一点，，连 BF， CF，G 是x 轴上一点，若△ABG 的面积等于四边形ABDC 的面积，则点 G 的坐标为（用含n的式子表示）yBFA O C x。
七年级数学下册平面直角坐标系压轴题
平面直角坐标系压轴题(1)①能熟练解平面直角坐标系中的面积存在性问题； ②能将几何问题代数化，并能运用数形结合思想解题．探究案【例1】如图，在平面直角坐标中，A (0，1)，B (2，0)，C （2，1.5）． （1）求△ABC 的面积； （2）如果在第二象限内有一点P （a ，0.5），试用a 的式子表示四边形ABOP 的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使四边形ABOP 的面积与△ABC 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．yxPOCBA【例2】在平面直角坐标系中，已知A （-3，0），B （-2，-2），将线段AB 平移至线段CD ，连AC 、BD ．图1y xDO CB A图2y xDO C B A图3yxOBA图4yxOBA（1）如图1，直接写出图中相等的线段，平行的线段；（2）如图2，若线段AB 移动到CD ，C 、D 两点恰好都在坐标轴上，求C 、D 的坐标；（3）若点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第一象限内，且S △ACD =5，求C 、D 的坐标；（4）在y 轴上是否存在一点P ，使线段AB 平移至线段PQ 时，由A 、B 、P 、Q 构成的四边形是平行四边形面积为10，若存在，求出P 、Q 的坐标，若不存在，说明理由；【例3】如图，△ABC 的三个顶点位置分别是A （1，0），B （－2，3），C（－3，0）．（1）求△ABC 的面积；（2）若把△ABC 向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A B C '''，请你在图中画出△A B C '''；（3）若点A 、C 的位置不变，当点P 在y 轴上什么位置时，使2ACPABCSS=；（4）若点B 、C 的位置不变，当点Q 在x 轴上什么位置时，使2BCQABCSS=．【例4】如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，2），且满足2(2)20a b ++-=，过C 作CB ⊥x 轴于B ．（1）求三角形ABC 的面积；（2）若过B 作BD ∥AC 交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分∠CAB ，∠ODB ，如图2，求∠AED 的度数；（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．训练案1、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别是A （0，0），B （7，0），C （9，5），D （2，7）（1）在坐标系中，画出此四边形； （2）求此四边形的面积；（3）在坐标轴上，你能否找一个点P ，使S △PBC =50，若能，求出P 点坐标，若不能，说明理由．2、如图，A 点坐标为（－2， 0）， B 点坐标为（0， －3）.(1)作图，将△ABO 沿x 轴正方向平移4个单位， 得到△DEF ， 延长ED 交y 轴于C 点， 过O 点作OG ⊥CE ， 垂足为G ；(2) 在(1)的条件下， 求证: ∠COG ＝∠EDF ；（3）求运动过程中线段AB 扫过的图形的面积．3、在平面直角坐标系中，点B （0，4），C （-5，4），点A 是x 轴负半轴上一点，S 四边形AOBC=24.图1yxHOFEDACB（1）线段BC 的长为 ，点A 的坐标为 ； （2）如图1，EA 平分∠CAO ，DA 平分∠CAH ，CF ⊥AE 点F ，试给出∠ECF与∠DAH 之间满足的数量关系式，并说明理由；（3）若点P 是在直线CB 与直线AO 之间的一点，连接BP 、OP ，BN 平分CBP ∠，ON 平分AOP ∠，BN 交ON 于N ，请依题意画出图形，给出BPO ∠与BNO ∠之间满足的数量关系式，并说明理由.4、在平面直角坐标系中，OA ＝4，OC ＝8，四边形ABCO 是平行四边形．xy OCBAP QxyOCBA（1）求点B 的坐标及的面积ABCO S 四边形；（2）若点P 从点C 以2单位长度/秒的速度沿CO 方向移动，同时点Q 从点O 以1单位长度/秒的速度沿OA 方向移动，设移动的时间为t 秒，△AQB 与△BPC 的面积分别记为AQB S ∆，BPC S ∆，是否存在某个时间，使AQB S ∆＝3OQBPS 四边形，若存在，求出t 的值，若不存在，试说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形QBPO 的面积是否发生变化，若不变，求出并证明你的结论，若变化，求出变化的范围．5、如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D 连结AC ，BD ．(1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC ；（2）在y 轴上是否存在一点P ，连结P A ，PB ，使S △P AB ＝S △PDB ，若存在这样一点，求出点P 点坐标，若不存在，试说明理由；（3）若点Q 自O 点以0.5个单位/s 的速度在线段AB 上移动，运动到B 点就停止，设移动的时间为t 秒，（1）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积是四边形ABCD 面积的三分之一？QDC3-1BAoxy（4）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积等于△ACO 面积的二分之一？ 6、在直角坐标系中，△ABC 的顶点A （—2，0），B （2，4），C （5，0）．（1）求△ABC 的面积（2）点D 为y 负半轴上一动点，连BD 交x 轴于E ，是否存在点D 使得ADE BCE S S ∆∆=？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点F （5，n ）是第一象限内一点，，连BF ，CF ，G 是x 轴上一点，若△ABG 的面积等于四边形ABDC 的面积，则点G 的坐标为 （用含n 的式子表示）FA O CB y xA y x O CB DC3-1BA ox yDC3-1BA oxy。
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一
1、、在直角坐标系中，△ABC 的顶点A （—2，0），B （2，4），C （5，0）。
（1）求△ABC 的面积
（2）点D 为y 负半轴上一动点，连BD 交x 轴于E ，是否存在点D 使得ADE BCE S S ∆∆=若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点F （5，n ）是第一象限内一点，，连BF ，CF ，G 是x 轴上一点，若△ABG 的面积等于四边形ABDC 的面积，则点G 的坐标为
（用含
2、、如图，在平面直角坐标系中，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90°，斜边AB 与y 轴交于点C.
(1)若∠A=∠AOC ，求证：∠B=∠BOC ；
二
(2)延长AB 交x 轴于点E ，过O 作OD ⊥AB ，且∠DOB=∠EOB ，∠OAE=∠OEA ，求∠A 度数；
(3)如图，OF 平分∠AOM ，∠BCO 的平分线交FO 的延长线于点P.当△ABO 绕O 点旋转时（斜边AB 与y 轴正半轴始终相交于点C ），在(2)的条件下，试问∠P 的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由．
3、如图，y 轴的负半轴平分∠AOB ， P 为y 轴负半轴上的一动点，过点P 作x 轴的平行线分别交OA 、OB 于点M 、N.
（1）如图1， MN ⊥y 轴吗？为什么？
（2）如图2，当点P 在y 轴的负半轴上运动到AB 与y 轴的交点处，其他条件都不变时,等式∠APM=2
1
（∠OBA －∠A ）是否成立？为什么？
x
y
O E
D
C
B A P M
F x
y
O
C
B
A
三
M N
A D
B
C b
2 1 a E
β
α M a
A
D B C b
F
H Q
（3）当点P 在y 轴的负半轴上运动到图3处（Q 为BA 、NM 的延长线的交点），其他条件都不变时，试问∠Q 、∠OAB 、∠OBA 之间是否存在某种数量关系？若存在，请写出其关系式，并加以证明；若不存在，请说明理由.
4、．已知直线a ∥b ，点A 在直线a 上，点B 、C 在直线b 上，点D 在线段BC 上．
（1）如图1，AB 平分∠MAD ，AC 平分∠NAD ，DE ⊥AC 于E ，求证：∠1=∠2． (5分)
（2）若点F 为线段AB 上不与A 、B 重合的一动点，点H 在AC 上，FQ 平分∠AFD 交AC
于Q ，设∠HFQ =x °，（此时点D 为线段BC 上不与点B 、C 重合的任一点），问当α、β、x 之间满足怎样的等量关系时，FH ∥a （如图2）？试写出α、β、x 之间满足的某种等量关系，并以此为条件证明FH ∥a ． (5分)
A O
B Q
M
P
N
y x 图3
四
7、如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，2），且满足0
2
)22=
-
+
+b
a
（，过C
作CB⊥x轴于B．
（1）求三角形ABC的面积．
（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE、DE分别平分∠CAB、∠ODB，如图2求∠AED的度数．
（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
y
A
C
x
O B
y
A
C
x
O B
E
D
y
A
C
x
O B
图1
图2 备用图
五
六
8、在平面直角坐标系中，点)0,(a A ，)0,(b B ，),0(c C ，且满足
342+-=++-c b a ，过点C 作x MN //轴，D 是MN 上一动点. （1）求A BC ∆的面积；
（2）如图1，若点D 的横坐标为-3，AD 交O C 于E ，求点E 的坐标；
（3）如图2，若B 35AD ∠=，P 是A D 上的点，Q 是射线DM 上的点，射线QG 平分PQM ∠，射线PH 平分APQ ∠，//PF QG ，请你补全图形，并求HPF
ADN
∠∠的
值.
9、（12分）如图，直角坐标系中，C 点是第二象限一点，CB ⊥y 轴于B ，且B （0，b ）是
y 轴正半轴上一点，A （a ，0）是x 轴负半轴上一点，且()2
230a b ++-=， S 四边形AOBC =9。
（1）求C 点坐标；
A B
C
y
x
O
七
（2）设D 为线段OB 上一动点，当AD ⊥AC 时，∠ODA 的角平分线与∠CAE 的角平分
线的反向延长线交与点P ，求∠APD
（3）当D 点在线段OB 上运动时，作DM ⊥
AD 交CB
于M ，∠BMD ，∠DAO 的平分线
交于N ，则D 点在运动的过程中∠N
的大小是否变化，若不变，求出其值；若变化，请说明理由。
10、在直角坐标系中，A （-4，0），B （2，0），点． （1）求点C 的坐标；（2分）
（2）是否存在位于坐标轴上的点P ，S △ACP =1
2
S △ABC 在，说明理由．（8分）
八
11、如图，（1）DO 平分∠EDC ，探究∠E ，∠C ，∠DOC 的关系．（3分）
（2）在直角坐标系中，第一象限AB 方向放有一个平面镜，一束光线CD 经过反射的反射
光线是DE ，法线DH 交y 轴于点H ．交x 轴于点F （∠DCE ＞∠DEC ），若平面镜AB 绕点D 旋转，则是否存在一个正整数k ，使∠DCE -∠DEC = k ∠OHF ．若存在，请求出k 值，若不存在，请说明理由．（5分）
（3）在（2）的条件下，在E 点处水平放第二个平面镜，如图所示，光线CD 经过二次反射
后，反射光线为EG ．射线CD 、EG 的反向延长线交于点P ．求证：∠P = 2∠OHF ．（4分）
1 D E O C 2
x
x。