初中数学直线与圆知识点总结
直线与圆位置关系的判定方法
直线与圆位置关系的判定方法直线和圆的位置关系是初中数学中常见的问题，也是高中和大学数学中常见的基础概念，理解好这两者之间的关系对进一步的数学学习和应用都有很大的帮助。
下面将介绍判定直线与圆位置关系的方法。
一、一次函数方程式首先，对于经过圆的直线，可以将其方程式化为一次函数的形式，即：y = kx + b其中，k为斜率，b为截距。
接下来，我们只需要找到该函数与圆的位置关系即可。
1、当k=0时，直线平行于x轴，此时若圆心的y坐标在直线两端点的y坐标之间，则直线与圆有两个交点；若圆心的y坐标小于直线两端点的y坐标，则没有交点；若圆心的y坐标大于直线两端点的y坐标，则有且只有一个交点。
2、当k不为0时，此时直线的斜率存在，这意味着直线与圆的位置关系会发生变化。
如果直线的斜率大于圆与直线的交点处的切线的斜率，则直线与圆没有交点；如果直线的斜率小于切线的斜率，则直线与圆有两个交点；如果直线的斜率等于切线的斜率，则直线与圆有且只有一个交点。
二、圆的一般方程式还有一种情况是，圆的方程不是标准方程，而是一般方程：（x-a）² +（y-b）² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为圆的半径。
这时我们可以将直线的方程式 y=kx+b 代入圆的一般方程，并进行变形。
变形后的方程为：(k²+1)x² + (2kb-2ak-2b) x+(a²+b²-r²) = 0解此一元二次方程可以得到交点的横坐标，进而求得纵坐标。
当求出的纵坐标与直线对应的纵坐标接近时，则判断直线与圆相切；当求出的纵坐标与直线对应的纵坐标相等时，则判断直线与圆相离；否则，判断直线与圆相交。
相交时，根据解出的横坐标作代入圆的方程，得到两个交点的纵坐标。
总结：在日常生活和工作中，我们经常需要判定直线和圆的位置关系，上述方法简单易行，当我们用好这些方法，可以在很大程度上提高工作有效性。
初三数学圆的知识点
初三数学圆的知识点1．圆的定义（1）在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。
固定的端点O 叫做圆心，线段OA叫做半径，如右图所示。
（2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点为圆心，定长为圆的半径。
说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半径相等的两个圆为等圆。
2．圆的有关概念（1）弦：连结圆上任意两点的线段。
（如右图中的CD）。
（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB）。
直径等于半径的2倍。
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。
（如右图中的CD、CAD）其中大于半圆的弧叫做优弧，如CAD，小于半圆的弧叫做劣弧。
（4）圆心角：如右图中∠COD就是圆心角。
3．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。
（1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
4．过三点的圆。
（1）定理：不在同一条直线上的三点确定一个圆。
（2）三角形的外接圆圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。
5．垂径定理。
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：（1）①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弦的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
（2）圆的两条平行弦所夹的弧相等。
6．与圆相关的角（1）与圆相关的角的定义①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。
（2）与圆相关的角的性质AB①圆心角的度数等于它所对的弦的度数；②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④半圆（或直径）所对的圆周角相等；⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角；⑥两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；⑦圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
初中数学直线和圆的位置关系知识点总结
初中数学直线和圆的位置关系知识点总结直线和圆的位置关系是初中数学中的一个重要知识点，它涉及到点、线、圆之间的相对位置关系。
我们可以通过以下几个方面来总结这一知识点：1.判定圆和直线的位置关系：a.直线包含于圆内：当直线上的所有点都在圆内时，称直线包含于圆内。
此时，直线与圆的交点为无穷个（无限多个）。
b.直线与圆相交：当直线和圆有一个或两个交点时，称直线与圆相交。
相交的情况还可以细分为相离相交、相切相交和截割相交。
-相离相交：直线和圆相切于两个点，相交与标准的两个正数圆相交；-相切相交：直线和圆相交于一个点，直线切圆；-截割相交：直线和圆相交于两个点，直线截割圆；c.直线与圆相离：当直线上的所有点都不在圆内时，称直线与圆相离。
此时，直线与圆的交点为零个。
d.直线与圆重合：当直线上的所有点都在圆上时，称直线与圆重合。
2.圆心与直线间的距离：a.圆心到直线的距离：圆心到直线的距离等于圆心到直线的垂直距离，垂直距离是圆心到直线的最短距离。
b.两圆心间的距离：两个圆心之间的直线距离等于两个圆相切时的直线距离。
3.判断点与直线的位置关系：a.点在直线上：当一个点恰好在直线上时，称这个点在直线上。
b.点在直线上方：当一个点位于直线的上方时，称这个点在直线上方。
c.点在直线下方：当一个点位于直线的下方时，称这个点在直线下方。
4.判断点与圆的位置关系：a.点在圆内：当一个点位于圆内时，称这个点在圆内。
b.点在圆上：当一个点正好位于圆上时，称这个点在圆上。
c.点在圆外：当一个点位于圆外时，称这个点在圆外。
5.判断直线与圆相交的条件：a.直线与圆有交点的条件：直线和圆有交点当且仅当直线的距离小于圆的半径。
b.直线与圆相切的条件：直线和圆相切当且仅当直线的距离等于圆的半径。
6.判断两圆的位置关系：a.内离：两圆的圆心之间的距离大于两个圆的半径之和，此时两个圆的内部没有共同点。
b.相离：两圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，此时两个圆相切于外公切点。
人教版初中数学知识点总结
人教版初中数学知识点总结人教版初中数学知识点总结1①直线和圆无公共点，称相离。
AB与圆O相离，d>r。
②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。
AB与⊙O相交，d③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
AB与⊙O相切，d=r。
(d为圆心到直线的间隔 )平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程假如b2-4ac>0，那么圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
假如b2-4ac=0，那么圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
假如b2-4ac人教版初中数学知识点总结2诱导公式的本质所谓三角函数诱导公式，就是将角n(/2)的三角函数转化为角的三角函数。
常用的诱导公式公式一：设为任意角，终边一样的角的同一三角函数的值相等：sin(2k)=sin kzcos(2k)=cos kztan(2k)=tan kzcot(2k)=cot kz公式二：设为任意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin=-sincos=-costan=tancot=cot公式三：任意角与 -的三角函数值之间的关系：sin(-)=-sincos(-)=costan(-)=-tancot(-)=-cot公式四：利用公式二和公式三可以得到与的三角函数值之间的关系：sin=sincos=-costan=-tancot=-cot人教版初中数学知识点总结3相关的角：1、对顶角：一个角的'两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
2、互为补角：假如两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角。
3、互为余角：假如两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。
4、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。
初中数学——(54)直线与圆的位置关系
初中数学——（54）直线与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系（一）相交：直线与圆有两个公共点，d＜r（二）相切：直线与圆有一个公共点，d＝r1、切线：垂直于半径且与圆相切的直线就是切线2、切线垂直于过切点的半径3、过切点垂直于切线的直线必过圆心（三）相离：直线与圆有没有公共点，d＞r二、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角，即：PA,PB是两条切线，且PA＝PB，那么OP平分∠BAP三、圆幂定理定理图形结论相交弦定理PA·PB＝PC·PD相交弦定理推论PC2＝PA·PB 切割线定理PT2＝PA·PB切割线定理推论PA·PB＝PC·PD圆幂定理P'C·P'D＝r2－OP'2 PA·PB＝OP2－r2四、圆柱计算（一）S 表 ＝ S 侧＋2S 底 ＝ 2πrh ＋2πr 2 （二）V 体 ＝ πr 2h五、圆锥计算（一）S 表 ＝ S 侧＋S 底 ＝ πRr ＋πr 2（二）V 体 ＝31πr 2h六、练习题（一）以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为多少？B1RrCBO（二）AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作⊙O的切线，切点为B，连结AC交⊙O于D，∠C＝38°。
点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），求∠AED的大小（三）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=，且AE：BE =1：3，求AB的长（四）已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D1、如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；2、如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小（五）如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。
(word完整版)初中数学圆知识点总结,推荐文档
A图5圆的总结一 集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合二 轨迹：1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆；2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线；3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线三 位置关系：1点与圆的位置关系:点在圆内 d<r 点C 在圆内 点在圆上 d=r 点B 在圆上 点在此圆外 d>r 点A 在圆外2 直线与圆的位置关系:直线与圆相离 d>r 无交点 直线与圆相切 d=r 有一个交点 直线与圆相交 d<r 3 圆与圆的位置关系:外离（图1） 无交点外切（图2） 相交（图3） 内切（图4） 内含（图5） 无交点DBB ABA四 垂径定理:垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD五 圆心角定理六 圆周角定理圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角∴∠C=∠D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形»»BC BD =»»AC AD =P即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB∴△ABC 是直角三角形或∠C=90° 注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
初中数学几何知识点总结归纳
初中数学几何知识点总结归纳初中数学几何知识点总结归纳在初中数学中，几何是一个重要的部分，几何学习主要涉及到形状、图形、空间和位置的概念和变换。
本文将从以下几个方面总结归纳初中数学几何的知识点。
一、直线与角1. 直线：直线是没有弯曲的最短路径，它有无限多个点。
2. 角：角是由两条射线在一个共同顶点上的拓展形成的，可以分为钝角（大于90°），直角（90°）和锐角（小于90°）。
3. 平行线：平行线是在同一个平面上从不相交的直线。
4. 垂直线：垂直线是两条互相垂直的线段。
5. 余角：两个角的余角是它们的和等于90°的角。
二、多边形1. 正多边形：正多边形是有n个等边且等角的边构成的多边形。
2. 等腰三角形：等腰三角形是有两条边相等的三角形。
3. 等边三角形：等边三角形是三边都相等的三角形。
4. 直角三角形：直角三角形是有一个直角（90°）的三角形。
5. 锐角三角形：锐角三角形是三个内角都小于90°的三角形。
6. 钝角三角形：钝角三角形是三个内角中有一个大于90°的三角形。
三、梯形与平行四边形1. 梯形：梯形是一个有两条平行边的四边形。
2. 平行四边形：平行四边形是两对相对的边都平行的四边形。
3. 矩形：矩形是一个拥有四个直角的平行四边形。
4. 正方形：正方形是一个具有四个相等边且四个直角的矩形。
四、圆与圆周1. 圆：圆是一个平面上所有距离圆心相等的点的集合。
2. 圆周率：圆周率是圆的周长与直径的比值，约等于3.14159。
3. 弧：一个弧是圆上的一部分。
4. 弦：弦是连接圆上两点的线段。
五、相似与全等1. 相似图形：相似图形是具有相同形状但比例不同的图形。
2. 全等图形：全等图形是具有相同形状和尺寸的图形。
3. 比例：比例是两个量之间的相对大小关系。
4. 对应边：两个相似图形中位置相对应的边称为对应边。
六、立体几何1. 空间几何：空间几何涉及到三维图形的概念和变换。
人教版初中数学九年级上册第24章圆知识复习第二部分点和圆、直线和圆的位置关系
*有兴趣的同学可以尝试证明： (1)如图，正五角星中AC=a， 求该五角星外接圆的直径.(用三角函数表示) (2)圆内接四边形两组对边乘积之和等于两条对角线 的乘积。（提示：构造相似形）
(3)若圆内接四边形的对角线互相垂直，则过对角线 的交点所作任一边的垂线将对边平分. A
B
E
•
O
C
D
中考试题精选
O• 5 A 4P B
【及时巩固】
7、如图,AB是ʘO的直径,AC是弦,∠CAB=30º, 过C点作ʘO的切线交AB的延长线于D，如果 OD=12cm，那么ʘO的半径为 6 .
C
30º • 60º 30º
AO
BD
【及时巩固】
8、如图，PB、PC分别切ʘO于B、C两点，A 是ʘO上一点，∠CAB=50º，则∠P等于 80º .
6、如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线 与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相 交于点F，且CB=CE.求证：(1)BE∥DG； (2)CB2-CF2=BF·FE.
A
O•
E
FB
G CD
中考试题精选
7、如图，PC为⊙O的切线，C为切点, PAB是过O点的割线，CD⊥AB于点D，
若 tan B 1，PC=10cm,求△BCD的面积. 2
A
对应的一个基本图
E O• C D
P
形，其中有很多关
系，你能找出多少？
B
弦切角：圆的切线和过切点的弦所夹的角。 P
O•
O•
B
A
M
(5)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对 的圆周角.
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么 这两个弦切角也相等.
(6)和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。 内切圆的圆心是三角形的内心(即三角形三内角 平分线的交点)。各边都和圆相切的三角形叫圆 的外切三角形。
初中数学人教九年级上册第二十四章圆-直线和圆的位置关系
1、掌握直线与圆的位置关系。 2、掌握直线和圆的位置关系 的性质与判定的应用。
温故知新
1、点和圆的位置关系有几种？
点到圆心的距离为d，圆
.A.A .C.A.A . B.A.A.A 的半径为r，则：
点在圆外 d>r; 点在圆上 d=r； 点在圆内 d<r.
2、直线和圆的位置关系会有哪几种情况呢？
创设情境 温故探新
太阳要从天边升起来了,便不转眼地望着那里. 果然过了一会儿 ,在那个地方出现了太阳的小半边脸,红是真红,却没有亮光.这个太 阳好像负着重荷似地一步一步,慢慢地努力上升,到了最后,终于冲 破了云霞,完全跳出了海面,颜色红得非常可爱.
---摘自巴金《海上日出》
合作交流探究新知
一 直线与圆的位置关系的定义
2.已知⊙O的半径为5cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据条
件
填写d的范围:
d > 5cm
(1)若AB和⊙O相离, 则 d = 5cm;
((32))若若AABB和和⊙⊙OO相相交切,,则则 0cm≤d <; .5cm
范例研讨运用新知
典例精析
例 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆 心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？ (1) r=2cm；(2) r=2.4cm； (3) r=3cm．
④若C为⊙O外一点，则过点C的直线与⊙O相交
或相离. × ⑤直线a 和⊙O有公共点，则直线a与⊙O相交.×
合作交流探究新知
二
问题1 刚才同学们用直尺在圆上移动的过程中，除
了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么
量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢
初中数学直线和圆的位置关系知识点总结
三一文库（）/总结〔初中数学直线和圆的位置关系知识点总结〕当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹就是一个圆。
下面是小编为你带来的初中数学直线和圆的位置关系知识点总结，欢迎阅读。
▲直线和圆位置关系①直线和圆无公共点，称相离。
AB与圆相离，dr。
②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。
AB与⊙相交，d③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
AB与⊙相切，d=r。
(d为圆心到直线的距离)平面内，直线Ax+By+=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+=0，可得y=(--Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b^2-4a0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
第1页共3页如果b^2-4a=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4a0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+=0，即x=-/A，它平行于y轴(或垂直于x轴)，将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1当x=-/Ax2时，直线与圆相离;▲拓展阅读：初中数学知识点总结：平面直角坐标系▲平面直角坐标系▲平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合▲三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左23。
圆的综合知识点总结(初中数学)
圆的基本概念和性质要点一、圆的定义及性质1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.2.圆的性质①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.要点诠释：①圆有无数条对称轴；②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.3.两圆的性质两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.要点二、与圆有关的概念1.弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.2. 弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.4.等弧:在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.垂径定理知识点一、垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即⎩⎨⎧⇒⎭⎬⎫平分弦所对的弧平分弦垂直于弦直径(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）弧、弦、圆心角、圆周角要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义:如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
初三数学圆知识点总结和解题技巧修订稿
初三数学圆知识点总结和解题技巧内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）初三数学圆知识点总结和解题技巧初中数学几何中圆是比较重要的一部分，下面给大家总结了,初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧,来看看吧!初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧初三数学圆知识点总结一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、直线圆的与置位关系1.线直与圆有唯公一共时,点做直叫与圆线切2.三角的外形圆接的圆叫做三心形角外心3.弦切角于所等夹弧所对的的圆心角4.三角的内形圆切的圆叫做三心形角内心5.垂于直径半直线必为圆的的切线6.过径半外的点并且垂直端于半的径直线是圆切线7.垂于直径半直线是圆的的切线8.圆切线垂的直过切于点半径3、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”二、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧三、弦、弧等与圆有关的定义1、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
(如图中的AB)2、直径经过圆心的弦叫做直径。
(如途中的CD)直径等于半径的2倍。
3、半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
4、弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
初中数学 直线与圆的位置关系
1．探索并了解点和圆、直线和圆的位置关系． 2．知道三角形的内心和外心． 3．掌握切线的概念、切线的判定和性质，会用三 角尺过圆上一点画圆的切线． 4．探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆 的两条切线的长相等． 5．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系．
1．直线与圆位置关系的判定是中考考查的热点， 其重点是切线的性质和判定，常与三角形、四 边形、相似、函数等知识相结合． 2．把半径、切线构建在一个直角三角形中，利 用切线的判定和性质来求线段的长和角的度 数． 3．体现转化思想、特殊到一般、方程函数思想 和数形结合思想．
3．(2012· 金华、丽水)如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于 点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O于点C，连结BD. (1)求证：BD平分∠ABH；
连结OD, ∵EF是⊙O的切线， ∴OD⊥EF, 又 ∵BH⊥EF，∴OD∥BH，∴∠ODB＝∠DBH，而OD ＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠OBD＝∠DBH， ∴BD平分∠ABH
【解析】(2)当MC＝MD时，直线 DM与⊙O相切，连结DO，根据 等边对等角和等量代换可证得 ∠ODM＝∠OCM＝90°，进而 证得直线DM与⊙O相切．
切线的判定
(1)∵AC为直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠DCA ＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠DCB＋∠ACD＝ 90°，∴∠DCB＝∠A (2)当MC＝MD(或点M是BC的中点)时，直线DM与 ⊙O相切．理由：连结DO，∵DO＝CO，∴∠1＝ ∠2，∵∠CDB＝90°，M为BC的中点，∴DM＝CM， ∴∠4＝∠3，∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝ 90°，∴直线DM与⊙O相切
切线的判定方法： 1．经过半径的________并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线． 2．到圆心的距离________半径的直线 是圆的切线．
基础教育初中九年级数学直线与圆知识点汇总
基础教育初中九年级数学直线与圆知识点汇总一、数学直线与圆知识点①直线和圆无公共点，称相离。
AB与圆O相离，d>r。
②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。
AB与⊙O相交，d③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个的公共点叫做切点。
AB与⊙O相切，d=r。
(d为圆心到直线的距离)平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴(或垂直于x轴)，将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1当x=-C/Ax2时，直线与圆相离;二、数学有理数知识点(1)定义：由整数和分数组成的数。
包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。
可以写成两个整之比的形式。
(2)数轴：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。
(3)相反数：相反数是一个数学术语，指绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数。
(4)绝对值：绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离。
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0，两个负数，绝对值大的反而小。
(5)有理数的加减法同号相加，到相同符号，并把绝对值相加。
异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
(6)有理数的乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数与0相乘，积为0. 例：0×1=0(7)有理数的除法除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
人教版初中数学九年级上册第二十四章直线和圆的位置关系
练习
练习3 已知⊙O 到直线 l 的距离为 d，⊙O 的半径 为 r，若 d、r 是方程 x2 -7x+12=0 的两个根，则直线 l 和⊙O 的位置关系是__相__交__或__相__离____．
课堂小结
1．直线和圆的位置关系有三种：相离、相切和相交． 2．识别直线和圆的位置关系的方法：
（1）一种是根据定义进行识别： 直线 l 和⊙O 没有公共点 直线 l 和⊙O 相离； 直线 l 和⊙O 只有一个公共点 直线 l 和⊙O 相切； 直线 l 和⊙O 有两个公共点 直线 l 和⊙O 相交．
24.2 直线和圆的位置关系
• 学习目标：
1．理解直线和圆相交、相切、相离等概念； 2．理解直线和圆相交、相切、相离的判定方法和性质．
• 学习重点：
利用圆心到直线的距离与半径的关系判别直线和圆的位置关系．
1．情境引入
2．直线和圆的位置关系
l
2．直线和圆的位置关系（图形特征）
O l
O Al
O A Bl
切点
切线
d=r
相离
d Or l
没有 － － d＞r
4．练习
练习1 圆的直径是 13 cm，如果直线和圆心的距离分别 是 ① 4.5 cm；② 6.5 cm；③ 8 cm，那么直线和圆分别是什么 位置关系？有几个公共点？
练习
练习2 已知⊙A 的直径为 6，点 A 的坐标为（-3，
-4），则⊙A 与 x 轴的位置关系是相__离___，⊙A 与 y 轴的位置
（2）另一种是根据圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 的大小关系来进行识别：
d ＞r 直线 l 和⊙O 相离； d ＝r 直线 l 和⊙O 相切； d ＜r 直线 l 和⊙O 相交．
初中数学知识点精讲精析 直线和圆的位置关系
第五节直线和圆的位置关系要点精讲一、直线与圆的位置关系：直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离.1.直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线；2.直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；3.直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离.若⊙Ｏ的半径为ｒ，圆心Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ，则直线与圆的位置关系、交点个数及ｄ与ｒ的数量关系如下表：注意：可以根据圆心到直线的距离ｄ与圆的半径ｒ的大小比较来判定直线与圆的位置关系.二、切线的判定与性质：1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线必须满足两个条件：①经过半径的外端；②垂直于这条半径.两个条件缺一不可.注意：在判定直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证题方法是“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点未知，证题方法是作垂线，证半径.这两种情况可概括为一句话：“有点连半径，无点作垂线”.2.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.推论：（1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.注意：圆的切线性质定理与它的两个推论涉及了一条直线的三条性质：（1）垂直于切线；（2）过圆心；（3）过切点.如果一条直线满足以上三个条件中的任意两个，那它一定满足另外一个条件，也可以简单地理解为“二推一”.三、切线长定理：1.定义：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.2.定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.注意：圆的外切四边形的两组对边的和相等.相关链接圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679……，通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值（但奥数常取3或3.1416）.典型分析1.如图，已知PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PC 与⊙O 相交于B 、C 两点，PB=2cm ，BC=8cm ，则PA 的长等于（ ）A.4cmB.16cmC.20cmD.2cm 【答案】D.【分析】根据已知得到PC 的长，再根据切割线定理即可求得PA 的长：∵PB=2cm ，BC=8cm ，∴PC=10cm.∵PA2=PB•PC=20，∴PA=2（cm ）.故选D. 中考案例1.（2012江苏苏州8分）如图，已知半径为2的⊙O 与直线l 相切于点A ，点P 是直径AB 左侧半圆上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为C ，PC 与⊙O 交于点D ，连接PA 、PB ，设PC 的长为.⑴当 时，求弦PA 、PB 的长度；()x 2x 4<<5x=2⑵当x 为何值时，的值最大？最大值是多少？【答案】（1）∵⊙O 与直线l 相切于点A ，AB 为⊙O 的直径，∴AB ⊥l.又∵PC ⊥l ，∴AB ∥PC. ∴∠CPA=∠PAB.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠APB=90°.∴∠PCA=∠APB.∴△PCA ∽△APB.∴，即PA 2=PC·PD.∵PC=，AB=4，∴.∴在Rt △APB 中，由勾股定理得：.（2）过O 作OE ⊥PD ，垂足为E.∵PD 是⊙O 的弦，OF ⊥PD ，∴PF=FD.在矩形OECA 中，CE=OA=2，∴PE=ED=x －2.∴CD=PC －PD= x －2（x －2）=4－x .∴. ∵∴当x=3时，有最大值，最大值是2. 【分析】（1）由直线l 与圆相切于点A ，且AB 为圆的直径，根据切线的性质得到AB 垂直于直线l ，又PC 垂直于直线l ，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB 与PC 平行，PD PC lPDBOA根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在Rt△APB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长.（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值.针对训练1.下列命题：相似三角形周长的比等于对应高的比；顶角为800且有一边长为5cm的两个等腰三角形全等；若两圆相切，则这两个圆有3 条公切线；在⊙O中，若弧AB+弧CD＝弧EF，则AB+CD＝EF，其中真命题的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，已知O的半径OA长为5，弦AB长为8，C是AB的中点，则OC的长为（）A.3B.6C.9D.103.如图,已知⊙O的两条弦AB、CD相交于AB的中点E,且AB=4,DE=CE+3,则CD的长为（）A.4B.5C.84.如图，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点，BP=2cm ，则tan ∠OPA 等于（ ）A.B.C.2D.5.如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，AB ＝2cm ，CD ＝4cm.以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且∠AOD ＝90°，则圆心O 到弦AD 的距离是（ ）.cmcmC.cmD.cm6.如图，⊙O 的直径AB=4，点C 在⊙O上，∠ABC=30°，则AC 的长是（ ）A.13223127.如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（）A.8B.4C.10D.58.已知⊙O的半径为5cm，A为线段OP的中点，当OP＝6cm时，点A与⊙O的位置关系是（）A.点A在⊙O内B.点A在⊙O上C. 点A在⊙O外D.不能确定参考答案1.【答案】A【解析】三角形三边关系.根据相关知识作出判断：（1）根据相似三角形的性质，相似三角形周长的比和对应高的比都等于它们的相似比，所以相似三角形周长的比等于对应高的比.故命题正确，是真命题.（2）顶角为800且有一边长为5cm的两个等腰三角形，可能是腰可能是底为5cm.当一个等腰三角形底是5cm，另一个等腰三角形腰是5cm时，两个等腰三角形不全等.故命题错误，不是真命题.（3）若两圆相切，可能外切也可能内切.当两圆内切时，这两个圆有1 条公切线..故命题错误，不是真命题.（4）如图，在弧EF上取一点M使弧EM=弧CD，则弧FM=弧AB.∴AB=FM，CD=EM.在△MEF中，FM+EM＞EF，∴AB+CD＞EF.故命题错误，不是真命题.综上所述，真命题的个数为1个.故选A.2.【答案】A【解析】根据垂径定理的推论，得OC⊥AB.再根据勾股定理，得OC=3.故选A.3.【答案】B【解析】运用相交弦定理求解：设CE=x，则DE=3+x.根据相交弦定理，得x（x+3）=2×2，解得，x=1或x=－3（不合题意，应舍去）.则CD=3+1+1=5.故选B.4.【答案】D【解析】作OC⊥AB于C点.根据垂径定理，AC=BC=4.在Rt△OCP中，有CP=4+2=6，OC=.∴tan∠OPA=.故选D.5.【答案】B【解析】易证△AOD是等腰直角三角形.则圆心O到弦AD的距离等于AD，所以可先求AD 的长即可.以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，则OA=OD，△AOD是等腰直角三角形.易证△ABO≌△OCD，则OB=CD=4cm.在直角△ABO中，根据勾股定理得到OA2=20，OA=.在等腰直角△OAD中，过圆心O作弦AD的垂线OP.则OP=OA•sin45°= cm.故选B.6.【答案】D【解析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角的圆周角定理，可知∠C＝90°，于是，利用含30°角的直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质可得AC=AB=2.故选D.7.【答案】D【解析】根据圆的直径垂直平分弦的弦径定理，知△OAM是直角三角形，在Rt△OAM中运用勾股定理有，.故选D.8.【答案】A【解析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系：d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内.因此，∵当OP=6厘米时，OA=3cm＜5cm（⊙O的半径）.∴点A在⊙O内.故选A.扩展知识一、点与圆的位置关系：点与圆有三种位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内.设⊙Ｏ的半径为ｒ，点到圆心Ｏ的距离为ｄ，则有：点在圆外↔ｄ＞ｒ；点在圆上↔ｄ＝ｒ；点在圆内↔ｄ＜ｒ.注意：可以根据点到圆心的距离与圆的半径的大小比较来确定点与圆的位置关系.。
圆与直线位置关系：初中数学教案中的重难点讲解
圆与直线位置关系：初中数学教案中的重难点讲解作为中学数学课程中的一个重要内容，初中阶段就开始学习圆与直线位置关系。
圆与直线的位置关系是初中数学教学中的一个重难点，对于学生来说是一个比较具有挑战性的内容。
本文将从圆、直线的定义入手，深入探讨圆与直线的位置关系，帮助学生更好地理解和掌握该知识点。
一、圆与直线的概念1.圆的定义圆是平面上所有到某一点距离相等的点的集合。
该点称为圆心，距离称为半径。
2.直线的定义直线是平面上不具有宽度和厚度的线段，它有无限多个点组成。
直线没有端点。
二、圆与直线的位置关系1.相离如果圆与直线没有交点，则称圆与直线相离。
2.相切如果圆与直线只有一个交点，则称圆与直线相切。
3.相交如果圆与直线有两个交点，则称圆与直线相交。
三、判断圆与直线的位置关系1.判断圆心与直线的位置关系如果圆心在直线上，则圆与直线相交或相切。
如果圆心在直线上方（下方），则圆与直线相离。
2.判断圆半径与直线的位置关系如果圆的半径小于直线到圆心的距离，则圆与直线相交。
如果圆的半径等于直线到圆心的距离，则圆与直线相切。
如果圆的半径大于直线到圆心的距离，则圆与直线相离。
3.判断交点个数我们可以利用解析几何的知识，用圆和直线的方程来判断圆与直线的交点个数。
如果圆和直线的方程联立有两个异于零的解，则圆与直线相交。
如果圆和直线的方程联立无解，则圆与直线相离。
如果圆和直线的方程联立有一个解，则圆与直线相切。
四、圆与直线位置关系的应用圆与直线的位置关系在生活和工作中有很多应用，特别是在几何学、物理学和工程学中。
以下是一些应用：1.计算圆形物体的面积和周长：在几何学中，圆形物体的面积和周长的计算都涉及到圆与直线的位置关系。
2.制作轮胎：在制造轮胎时，需要将圆圆心处的橡胶和钢骨架固定在直线上。
3.建立测量标准：在工程测绘中，需要利用圆与直线位置关系建立校准标准，以保证测量的准确性。
五、圆与直线位置关系的拓展1.圆的切线与圆相切的直线称为圆的切线。
初三数学圆知识点总结和解题技巧
初三数学圆知识点总结和解题技巧初中数学几何中圆是比较重要的一部分，下面给大家总结了,初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧,来看看吧!初三数学圆知识点总结和初中数学圆解题技巧初三数学圆知识点总结一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、直线圆的与置位关系1.线直与圆有唯公一共时,点做直叫与圆线切2.三角的外形圆接的圆叫做三心形角外心3.弦切角于所等夹弧所对的的圆心角4.三角的内形圆切的圆叫做三心形角内心5.垂于直径半直线必为圆的的切线6.过径半外的点并且垂直端于半的径直线是圆切线7.垂于直径半直线是圆的的切线8.圆切线垂的直过切于点半径3、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”二、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧三、弦、弧等与圆有关的定义1、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
(如图中的AB)2、直径经过圆心的弦叫做直径。
(如途中的CD)直径等于半径的2倍。
3、半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
4、弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“ ”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)四、圆的对称性1、圆的轴对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
【重点梳理】初三数学-点、直线、圆与圆的位置关系
初中独家资料之【初三数学】点、直线、与圆的位置关系一、基础知识梳理核心知识点一：点和圆的位置关系（1）点和圆的三种位置关系：由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有（2）三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系；（2）不在同一直线上的三个点确定一个圆.核心知识点二：直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：(1)相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．（2）直线与圆的位置关系的判定和性质．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么要点诠释：这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定．核心知识点三：切线的判定定理、性质定理和切线长定理（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.（3）切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：(3) 三角形的外心与内心的区别：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而 非线段.（4）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. （5）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. （6）三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内 心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即 (S 为三角形的面积，P 为三角形的周长，r 为内切圆的半径).名称确定方法图形性质外心(三角形外 接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距 离相等，即 OA=OB=OC ； (2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内 切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等； (2)OA 、OB 、OC 分别平分 ∠BAC 、∠ABC 、∠ACB ； (3)内心在三角形内部.核心知识点四：圆和圆的位置关系（1）圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交.两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.（2）两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离两圆外切两圆相交两圆内切两圆内含d＞r1+r2d=r1+r2r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2) d=r1-r2(r1＞r2)d＜r1-r2(r1＞r2)要点诠释：(1)圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交；(2)内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点；(3)具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.二、知识体系梳理。
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直线与圆知识点总结
直线与圆的位置关系有相交、相切、相离三种。
圆
定义：
（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。
圆心：
（1）如定义（1）中，该定点为圆心
（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。
（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。
（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。
圆心：一般符号O表示
直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。
直径一般用字母d表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。
半径一般用字母r表示。
圆的直径和半径都有无数条。
圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。
在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=d/2。
圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。
圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。
圆的周长与直径的比值叫做圆周率。
圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。
计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。
直径所对的圆周角是直角。
90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的面积公式：
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
πr^2;，用字母S表示。
一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
周长计算公式
1.、已知直径：C=πd
2、已知半径：C=2πr
3、已知周长：D=c/π
4、圆周长的一半:1/2周长(曲线)
5、半圆的周长：1/2周长+直径（π÷2+1）
面积计算公式：
1、已知半径：S=πr^2;
2、已知直径：S=π(d/2)^2;;
3、已知周长：S=π[c÷(2π)]^2;;
圆的种类：
（1）整体圆形，
（2）弧形圆，
（3）扁圆，
（4）椭形圆，
（5）缠丝圆，
（6）螺旋圆，
（7）圆中圆、圆外圆，
（8）重圆，
（9）横圆，
（10）竖圆，
（11）斜圆。
圆和点的位置关系：
以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），
P在⊙O外，PO>r；
P在⊙O上，PO=r；
P在⊙O内，0≤PO<r。
直线与圆有3种位置关系：
无公共点为相离；
有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；
圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：
AB与⊙O相离，PO>r；
AB与⊙O相切，PO=r；
AB与⊙O相交，0≤PO<r。
两圆之间有5种位置关系：
无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；
有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；
有两个公共点的叫相交。
两圆圆心之间的距离叫做圆心距。
两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：
外离P>R+r；
外切P=R+r；
相交R-r
圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
逆定理：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。
⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。
90度的圆周角所对的弦是直径。
如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理
①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。
外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）
④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）
⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ 于X，Y，则M为XY之中点。
（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。
（5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
（6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
（7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
（8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
（9）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
1.直线和圆的位置关系。