北京航空航天大学数值分析课程知识点总结
数值分析重点内容总结
数值分析 第三章学习小结
第3章矩阵特征值与特征向量的计算--------学习小结一、本章学习体会通过本章的学习，我知道了求矩阵的特征值和特征向量的问题是代数计算的重要课题，在这一章，我了解到了直接计算矩阵的特征值和特征向量的MATLAB程序、间接计算矩阵的特征值和特征向量的幂法、反幂法、Jacobi方法、QR方法及MATLAB计算程序。
我了解到自己对数值分析及MATLAB的掌握还很肤浅，了解到了自己的不足,同时意识到自己知识点薄弱的地方，还有对知识的理解有偏差。
有的知识点理解的不透彻，自己可以动手做题，但编程实现还需要一定的编程语言知识以及数学知识和机器语言之间的转换。
四种方法各有其特点和适用范围。
幂法主要用于计算矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量；反幂法主要用于计算矩阵按模最小的特征值及其相应的特征向量；Jacobi方法用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；QR方法则适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。
归结起来，这四种方法亦有其共同点，那就是都是用了迭代的方法来求矩阵的特征值和特征向量。
此外，用MATLAB自带的解法求解特征值和特征向量也非常快速，而且不用编辑函数建立m文件。
二、本章知识梳理本章对于矩阵的特征值和特征向量的算法提出了新的思路，如幂法和反幂法、Jacobi 、QR 方法等。
本章的小结主要从方法的思想，以及一些定理展开。
以下是各种方法的运用范围1、幂法：主要用于计算矩阵按模最大的特征值和其相应的特征向量；2、反幂法：主要计算矩阵按模最小的特征值以及其相应的特征向量；3、Jacobi 方法:用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；4、QR 方法：适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。
3.1幂法与反幂法一、乘幂法1、基本思想])([2111101∑=-+===n i i k i i kk k k X X u A u A u λλααλ 2、一般算法1）任意给定初始向量;0n R u ∈2）对于k=1，2，...111---=k k k u u y 1-=k k y A u 1111X X y k αα→ 3）如果ε<--1k k u u ,则,,1,1m k m k u u -≈λk u X ≈13、三种迭代公式（1）使用范数2•（2）使用范数∞•（3）)max (k u 表示k u 的绝对值最大的分量。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析是计算数值解的方法和理论，它研究的是如何利用计算机对数学问题进行数值计算和数值逼近。
数值分析包括了数值方法的设计、分析和实现，以及误差分析和计算复杂性分析等方面。
下面是数值分析的一些重要知识点的总结。
1.数值算法：数值算法是解决数学问题的计算方法，它由一系列具体的计算步骤组成。
常见的数值算法有插值、数值积分、数值微分、常微分方程数值解法等。
2.数值稳定性：数值稳定性是指数值算法在计算过程中对误差的敏感程度。
一个数值算法如果对输入数据的微小扰动具有较大的响应，就称为不稳定算法；反之，如果对输入数据的微小扰动具有较小的响应，就称为稳定算法。
3.四舍五入误差：在浮点数计算中，由于计算机表示的限制，涉及舍入运算的计算可能会引入误差。
四舍五入误差是指在进行舍入运算时，取最近的浮点数近似值所引入的误差。
4.条件数：条件数是用来衡量数值问题的不稳定性的一个指标。
它描述了输入数据的微小扰动在计算结果中的放大程度。
条件数的大小决定了数值算法的数值稳定性，通常越大表示问题越不稳定。
5.插值：插值是基于已知数据点，构造插值函数来近似未知数据点的方法。
常用的插值方法有线性插值、多项式插值和样条插值等。
6. 数值积分：数值积分是用数值方法进行积分计算的一种方法。
常见的数值积分方法有梯形法则、Simpson法则和Gauss-Legendre积分法等。
7.数值微分：数值微分是通过数值方法来计算函数的导数的一种方法。
常用的数值微分方法有中心差分法和前向差分法等。
8. 常微分方程数值解法：常微分方程数值解法用于求解常微分方程的近似解。
常用的常微分方程数值解法有Euler法、Runge-Kutta法和Adams法等。
9.误差分析：误差分析是对数值算法计算结果误差的研究。
可以通过理论分析或实验方法来估计误差，并找到减小误差的方法。
10.计算复杂性分析：计算复杂性分析是对数值算法运行时间和计算资源的需求进行评估的方法。
数值分析各章重点公式整理
数值分析各章重点公式整理数值分析是计算数学的一个分支，主要涉及计算和分析数值近似解的方法。
本文将从数值分析的基本概念、插值与逼近、数值微分和数值积分、非线性方程数值解、线性方程组直接解法、线性方程组迭代解法和特征值问题等几个方面，对数值分析中的重点内容进行整理。
一、数值分析的基本概念数值分析是用数值方法解决实际问题的方法和技术。
其主要研究目标是通过一定的计算机运算来获取数学问题的近似解。
数值分析涉及到误差分析、收敛性分析、稳定性分析等概念，对于数值方法的正确性和可行性提供了理论依据。
二、插值与逼近插值是通过已知数据点构造一个函数，使得这个函数通过已知数据点。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
逼近是选择一种较为简单的函数来近似表示给定的复杂函数。
常用的逼近方法有最小二乘法和切比雪夫逼近。
三、数值微分和数值积分数值微分主要研究如何通过函数值的有限差分来估计导数值。
常用的数值微分方法有前向差分、后向差分和中心差分。
数值积分主要研究如何通过数值方法求出函数在一定区间上的定积分值。
常用的数值积分方法有梯形法则和 Simpson 法则。
四、非线性方程数值解非线性方程通常难以用解析方法求解，而数值方法则可以通过迭代来逼近方程的根。
常用的数值解法有二分法、牛顿法和割线法。
同时，对于多维非线性方程，也可以使用牛顿法的变形，牛顿下山法。
五、线性方程组直接解法线性方程组是数值分析中的一个重要问题。
直接解法主要有高斯消元法、LU 分解法和 Cholesky 分解法。
高斯消元法通过矩阵的初等行变换将线性方程组化为上三角方程组来求解。
LU 分解法将系数矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积，然后通过回代求解。
Cholesky 分解法则适用于对称正定矩阵的解法。
六、线性方程组迭代解法线性方程组的迭代解法通过选取适当的初始解，通过迭代来逼近精确解。
常用的迭代解法有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和超松弛迭代法。
期末数值分析重点总结
期末数值分析重点总结第一部分：数值逼近（Approximation）数值逼近是数值分析的基础，主要研究如何利用有限的计算资源得到逼近数学问题的有效算法。
数值逼近的主要内容包括多项式逼近、插值和最小二乘等。
1. 多项式逼近多项式逼近是指用一个多项式函数来逼近给定函数的值。
通过选择合适的多项式次数和插值点，可以使得多项式逼近误差最小化。
其中最常用的方法是最小二乘法，它可以通过最小化残差来得到最佳的多项式逼近。
多项式逼近在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
2. 插值插值是指通过已知数据点的函数值来估计在其他点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值通过构造一个满足插值条件的多项式来逼近给定函数。
牛顿插值则利用差商的概念来构造插值多项式。
插值方法在数值微分和数值积分中有广泛的应用。
3. 最小二乘最小二乘是一种在一组离散数据点上拟合曲线的方法。
通过最小化数据点与拟合曲线之间的欧几里得距离，可以得到最佳拟合曲线。
最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计和数据关联等问题。
第二部分：数值解方程（Numerical Solution of Equations）数值解方程是数值分析的重要内容之一，研究如何通过数值计算来求解非线性方程组和线性方程组。
数值解方程的主要方法有迭代法、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等。
1. 迭代法迭代法是求解非线性方程组的常用方法之一。
通过不断迭代逼近方程的根，可以得到方程组的数值解。
常用的迭代法有牛顿迭代法和弦截法。
迭代法在计算机辅助设计、优化和数据分析等领域中有广泛的应用。
2. 常微分方程数值解常微分方程数值解研究如何通过数值计算来求解常微分方程。
常微分方程数值解的主要方法有Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法等。
常微分方程数值解在物理学、工程学和生物学等领域中有广泛的应用。
3. 偏微分方程数值解偏微分方程数值解研究如何通过数值方法来求解偏微分方程。
数值分析作学习总结
摘 要在科学工作中经常出现这类问题，我们关注求解非线性方程或非线性方程组——求x 使得f （x ）=0或求得X= 使得F （X ）=0。
这些方程中，至少一个变量以任意的非线性方程形式出现。
在实变量变量的实值函数这种最简单的情况下，提出的一般问题是：已知函数f ：R →R ，求x 的解使得f （X ）=0这里主要讨论解决这类问题的一般方法和过程。
在许多应用中可以发现非线性方程的例子。
例如在光的衍射理论中，我们需要用到方程：X-tanX=0在行星轨道的计算中我们需要开普勒方程：X-asinX=b其中a 和b 任意取值。
在科学研究和科学计算中常常碰到以上的非线性方程求解问题。
非线性方程的解一般不能解析求出。
所以数值解法显得非常重要,而数值解法在实际中的实现则更为重要。
本文将介绍几种数值解法以及Matlab 中的实现程序。
为研究非线性方程数值解，给出了二分法、简单迭代法和牛顿迭代法的Matlab 程序，并进行了近似计算。
结果表明，牛顿迭代法收敛最快。
关键词:非线性方程;Matlab 程序;二分法;迭代法;简单迭代法;弦截法。
()T1n x x x ⋅⋅⋅2，，非线性方程数值解法1 二分法设f (x)在[a,b]连续,假定f (a)<0,f (b)>0,取中点 ,检查f (x0)符号。
若f (x0)=0,则x0就是一个根;若f (x0)>0,记a为a1,x0为b1,则得有根区间[a1,b1];若f(x0)<0,记x0为a1,b为b1,则得有根区间[a1,b1]。
后两种情况都得到有根区间[a1,b1],它的长度为原区间的一半。
对[a1,b1],令 ,再用同样的方法,可得新的有根区间[a2,b2],它的长度为[a1,b1]的一半,如此反复进行下去，其中每一个区间是前一区间的一半。
有这就是方程的根。
而即为方程的近似根,且有估计误差下面用二分法求在区间[1,2]上的根.因为二分法只能求单根,首先可以搜索函数(2.2)在区间[1,2]的根的情况。
(完整版),数值分析笔记期末复习汇总,推荐文档
x
*n )
e(x *1)
f
(x *1,
x *2 ,, xn
x *n
)
e(x *n )
n i 1
f
(x *1, x *2 ,, x *n ) xi
e(x *i )
9、加减乘除运算的误差估计
加法
绝
对 误
e(x1 x2 ) e(x1) e(x2 )
差
绝
对
误 (x1 x2 ) (x1) (x2 )
x1
b
sign(b) 2a
b2 4ac 109
x1
x2
c a
x2
c a x1
109 109
1
求和时从小到大相加，可使和的误差减小。若干数相加，采用绝对值较小者先加的算法，
结果的相对误差限较小
y 54321100 0.4100 0.3100 0.4100 54322
(三) 注意简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累（秦九韶）
则称 r (x*) 为近似值 x*的相
对误差限。 （2）性质：
当|| er (x*) | 较小时，可用下
是有量纲的。 (2)绝对误差限是正的，有无穷
常取
er
( x*)
e( x*) x*
式计算
绝对误差是误差的绝对值？ 多个【则比 * 大的任意正数均
（错）
是绝对误差
限】
r
( x*)
(x*) | x |
取
x2* =3.14
作为 π 的近似值，则 | e2
| 0.00159
1 102 ：三个有效数字 2
取
x3* =3.1416 作为 π 的近似值，则 | e3
| 0.00000734
数值分析第五章学习小结
数值分析第五章学习⼩结第五章学习⼩结姓名：张亚杰班级：机械1505班学号：S2*******⼀、本章学习体会本章的内容与实际关联很⼤，可以解决很多⼯程实际问题。
1、主要有两⽅⾯内容：插值与逼近。
插值即是由已知数据通过某种多项式求出在特定区间的函数值。
逼近即是⽤简单函数近似代替复杂函数，如何在给定的精度下，求出计算量最⼩最佳的多项式，是函数逼近要解决的问题。
2、插值中样条插值⽐较难，需要花⼀定的时间。
逼近主要是必须使选择的多项式计算出的误差最⼩。
3、我个⼈觉得本章的难点是样条插值与最佳平⽅逼近。
⼆、知识构图：因为本章内容较多，故本次知识架构图分为三部分：插值、正交多项式和逼近。
1、插值：2、正交多项式和逼近的知识总结采取以下⽅式：⼀、正交多项式1、正交多项式的概念与性质若在区间上⾮负的函数满⾜（1）对⼀切整数存在；（2）对区间上⾮负连续函数，若则在上，那么，就称为区间上的权函数。
常见的权函数有2、两个函数的内积定义：给定[](),(),,()f x g x C a b x ρ∈是上的权函数，称为函数()f x 与()g x 在[a,b]上的内积。
内积的性质：（1）对称性：()(),,f g g f =；（2）数乘性：(),(,)(,)kf g f kg k f g ==；（3）可加性：()()()1212,,,f f g f g f g +=+；（4）⾮负性：若在[a,b]上()0f x ≠，则。
(,)a b ()x ρ0,()bna n x x dx ρ≥?(,)ab ()f x ()0bn ax x dx ρ=?(,)a b ()0f x ≡()x ρ(,)ab 2()1,()11()11(),0(),x x x a x b x x x x x e x x e x ρρρρρ--≡≤≤=-<<=-≤≤=≤<∞=-∞<<+∞(,)a b (,)()()()ba f g x f x g x dx ρ=?(,)0f f >3、函数的正交（1）两个函数的正交与正交函数系若内积则称()f x 与()g x 在区间[a,b]上带权()x ρ正交若函数系.满⾜则称是上带权的正交函数系。
数值分析重点
百度文库•好好学习.天天向上数值分析重点第一章误差分析近似数误差大小的度量方法：绝对误差/相对误差帝效数字1、有效数字的判断定义：从末尾到第一个非零数字之间的所有数字的个数。
几个重点结论：(1) 、设数X 的近似值可以表示为 X* =±0.a {a 2 - a n xlO m其中m 是整数E,2,…，”)是0到9中的一个数字， 而6 H 0.如果其绝对误差限为< _ x 1"2(不超过其末尾数的半个单位)则称近似数x*具有"位有效数字。
(2) 、相对误差与有效数字的关系(课差：精确值与近似值的差值) x* = ±0.a }a 2 • • a” x 10" = a x .a 2a y a n x >a 1xl0//,"1A -/ S 丄xl （严得到相对误差限■Sr(讣知讣煤心—xl0〃i 2 ----------- =_Lx]0ZV - ---------- - = ------- a } x 10m_,2a,唱(r ；)+菁(一；)+•••+签GT)例如：E (X1+X2)= £(Xl)+ e(X2)e (xi*X2)=1x11 e(X2)+Ix2l e (xi)e (X1/X2) ={lxil 8 (X2)+IX2l e (Xi)}/IX2l2第二章代数插值通过一些实验所得的离散点找到函数的一个满足精度要求且便于计算的近似表达式(多项式)。
n+1个互异的节点可以唯一确定一个n次多项式。
填空1 •差商与微商的关系f[x9xo9xl9..9x j=--—例1：f(x) = x5-x + l，试求其如下差商：/[2°,2*,22,2\ 2\ 25] /[2°, 2*,22,23,24,25,26]例2：已知一个四阶差商和一个五阶差商，用定义反求另一个四阶差商。
一般地，称阶差商的一阶差商为R阶差商：为他)关于点“I,…心的k阶差商。
数值分析期末知识点总结
数值分析期末知识点总结一、引言数值分析是一门研究如何使用计算机提高数学模型数值计算精度和效率的学科。
它是计算数学的一个重要分支，涉及到数值计算、数值逼近和误差分析等一系列内容。
在数值分析课程中，我们将学习到数值解微分方程、线性代数问题的求解、插值与拟合、积分等一系列内容。
本文将对数值分析期末知识点进行总结，以便帮助大家复习。
二、常见数值计算方法1. 插值与拟合插值与拟合是数值分析中重要的内容，它们用于在给定数据点集上构造一个函数，以便在其他点上进行求值。
插值是通过一些已知数据点来求得一个函数，使得这个函数能够通过这些点，而拟合则是通过已知数据点来求得一个函数，使得这个函数在这些点附近能够比较好地拟合数据。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值等；而拟合方法包括最小二乘法拟合、多项式拟合等。
2. 数值解微分方程数值解微分方程是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用计算机对微分方程进行数值求解。
微分方程是自然界中描述变化的数学方程，它们在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
数值解微分方程的方法包括欧拉法、中点法、四阶龙格-库塔法等。
3. 数值线性代数数值线性代数是数值分析领域的另一个重要内容，它讨论如何使用数值方法解决线性代数问题。
原始的线性代数问题可能非常大或者非常复杂，因此我们常常需要使用计算机进行数值计算。
数值线性代数的方法包括高斯消元法、LU分解、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel 迭代法等。
4. 数值积分数值积分是数值分析的一个重要内容，它讨论如何使用数值方法对积分进行数值求解。
在实际问题中，有很多积分问题是无法解析求解的，因此我们需要使用数值方法进行近似求解。
数值积分的方法包括复合辛普森法、复合梯形法、龙贝格积分法等。
三、数值分析的误差分析在数值计算过程中，我们会遇到误差的问题。
这些误差可能来自于测量、舍入、截断等各种原因。
因此，误差分析是数值分析中一个非常重要的内容。
北京航空航天大学数值分析课程知识点总结
1 ，其中 1 和 n 分别是矩阵 A 的 n
2.4 迭代法
2.4.1 迭代法的一般形式及其收敛性
x ( k 1) Gx ( k ) d (k 0,1,...)
定义 设 n n 矩阵 G 的特征值是 1 , 2 ,..., n ，称 (G ) max | i | 为矩阵 G 的谱半径。
n T
x 1 xi
i 1
n
x2 x
则 1 ， 2 和 都是向量范数。 定理 1.2 设
x
i 1 1 i n
n
2 i
max xi
和
是 R 上的任意两种向量范数，则存在与向量 x 无关的常数 m 和
n
M(0<m<M)，使下列关系式成立
m x
1.3.2 矩阵范数
~
若 f '(a ) 0 且 | f ''( a ) | / | f '( a ) | 不很大，则有误差估计
e(u ) f '(a )e(a )
~
(u ) f '(a) (a)
~
。
若 f '(a ) f ''(a ) ... f
( k 1)
(a ) 0, f
(k )
... ... ... ... ln ,n 1
为节省空间，用 C(m,n)存储 A 的带内元素，其中 m=r+s+1，并且 aij ci j s 1, j 。 2.2.5 拟三对角线性方程组的求解方法
a1 d 2 A cn p1 d 2 r1
e xa e ，称 er 为近似值 a 的相对误差。由于 x 未知，实际上总把 作为 a 的 x x a e xa ， 相对误差一般用百分比表示。er 的上界， 即r a a |a|
数值分析-第六章小结
姓名班级学号第六章数值积分一、学习体会这一章主要解决的问题是定积分的数值方法——数值积分法，对于解决一些很难求解原函数或者根本就没有解析表达式的定积分，非常有用。
它直接利用求积公式来求出所给定积分的近似值，使其达到一定的求解精度。
本章第一节首先定义了数值求积公式及其代数精度，之后介绍插值型的求积公式进而引出按照节点等距求解的Newton-Cotes求积公式。
对于该公式对应不同的N那么就产生了不同的求积公式，求积公式的数值稳定性无法得到保证，而且仅适用于少节点的情形，这样就产生了另一类求积公式，即复化求积法，它将区间划分为若干子区间，在每个子区间上运用Newton-Cotes求积公式，进而使得这种方法达到了很高的精确度。
但是计算节点过多又会产生计算量大，所以为了适用最少的节点达到预先的精度，这样就产生了区间主次划分的方法，这种方法的基本思想是让步长可变。
在N个节点的求积公式中，Gauss型求积公式具有最高的求积精度，由于正交多项式随区间和权函数的不同而不同，因而就可以构造出不同类型的求积公式。
我们在进行定积分求解时，要根据求解的条件和结果不同，选择不同的求积方法，进行以得出比较准确的求解结果，这对以后工程上的求解问题有很大帮助。
二、知识梳理)]三、思考题1、推导中点求积公式3''()()()()()()224baa b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<<⎰证明：构造一次函数P （x ），使'''',()(),()02222a b a b a b a b P f P f P x ++++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，易求得'()()()()222a b a b a b P x f x f +++=-+ 且'()()()()222bb aa ab a b a b P x dx f x f dx +++⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰0()()()22ba ab a bf dx b a f ++=+=-⎰，令()()b a P x dx I f =⎰现分析截断误差：令'()()()()()()()222a b a b a b r x f x P x f x f x f +++=-=--+ 数值积分由'''()()()2a b r x f x f +=-易知2a bx +=为()r x 的二重零点， 所以可令2()()()2a b r x x x ϕ+=-， 构造辅助函数()()()()()2a bK t f t P t x t ϕ+=---，则易知： ()02a b K x K +⎛⎫== ⎪⎝⎭其中2a b t +=为二重根()K t ∴有三个零点 由罗尔定理，存在''''''()(,)()0()2()0()2f a b K f K x K x ηηηη∈=-=∴=使即从而可知''2()()()()()22f a b r x f x P x x η+=-=- 所以截断误差：[]''2()()()()()()()()22b bb baaa af a b R f f x dx I f f x P x dx r x dx x dx η+=-=-==-⎰⎰⎰⎰2()2a b x +-在(a,b)区间上不变号，且连续可积，由第二积分中值定理 ''''322''()()()()()()()(,)222224b b aa f ab f a b b a R f x dx x dx f a b ηξξξ++-=-=-=∈⎰⎰综上所述3''()()()()()()()224baa b b a f x dx I f R f b a f f ξ+-=+=-+⎰证毕2、构造Gauss 型求积公式的解法有哪些？ 第一种：定义法（1）利用 5.5.1小节的知识求出在区间上的带权函数()x ρ的正交多项式()()()()012,,,...,n g x g x g x g x ；（2）令方程()0n g x =，解出求积节点12,,...,n x x x ； （3）利用定义求解求积系数12,,...,n A A A ； （4）得出求积公式第二种：利用求积公式的性质()1nbi ai A x dx ρ==∑⎰和其代数精度有2N-1次（1）令()()()()221012211,,,...,n n f x f x x f x x f x x --====，（2)利用求积公式的性质()1nbi ai A x dx ρ==∑⎰和其代数精度有2N-1次，构造2n个方程；(3)求解方程中的未知数i i A 和x ； (4)得出求积公式 四、测试题对积分dx x x f ⎰-12)1)((，求构造两点Gauss 求积公式，要求：（1）在[0,1]上构造带权21)(x x -=ρ的二次正交多项式； （2）用所构造的正交多项式导出求积公式。
数值分析考试知识点总结
数值分析考试知识点总结数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科，它的研究对象是计算机数值计算和数值模拟方法的理论和技术。
一、误差分析数值计算是以实际问题为基础的分析过程，其目的是研究数值计算误差和误差的影响，以确保数值计算的准确性和可靠性。
数值计算误差主要包括截断误差和舍入误差两个部分。
1. 截断误差截断误差是由于在数值计算过程中，使用了近似代替精确值而引起的误差。
例如，在对连续函数的微分或积分进行数值计算时，所采用的近似公式都会引起截断误差。
截断误差可以通过增加计算步骤或者采用更加精确的计算方法来减小。
2. 舍入误差舍入误差是由于计算机对于无限小数进行截断或者舍入时引起的误差。
由于计算机是以有限的二进制数进行存储和运算，因此对于很小的数字或者非常大的数字，都会存在舍入误差。
舍入误差的大小与计算精度有关，可以通过提高计算精度来减小舍入误差。
二、插值和逼近插值和逼近是数值分析中常见的计算技术，用于利用已知的数据点来估计未知函数的值。
1. 插值插值是通过已知的数据点来估计未知函数在这些数据点之间的取值。
插值方法的目标是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数在已知点上的取值与已知数据点的取值一致。
常见的插值方法包括拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。
2. 逼近逼近是通过已知的数据点来估计未知函数的近似值，与插值不同的是，逼近方法不要求逼近函数必须在已知数据点上取特定的值。
常用的逼近方法包括最小二乘法逼近和样条逼近。
三、数值积分数值积分是通过数值计算来近似求解定积分的值，它是数值分析中的一个重要内容。
1. 复化数值积分复化数值积分是通过将积分区间划分成若干子区间，然后在每个子区间上进行数值积分来近似求解定积分的值。
复化数值积分方法包括复化梯形公式、复化辛普森公式以及复化辛普森三分法等。
2. 数值积分的误差分析在数值积分中，由于使用了近似方法，所以会引入数值积分误差。
要保证数值积分的准确性，需要对数值积分误差进行分析和评价。
北航数值分析第一次
数值分析第一次大作一、 题目分析本题目的要求是要求取一501*501的带状矩阵的特征值及相关量，根据前期数值分析课的相关学习，采用幂法及反幂法求解，同时在使用反幂法的过程中需要用到求线性方程组的相关算法。
二、 算法设计方案1. 求1λ，501λ和s λ的值1) 通过幂法求得按模最大的特征值1m λ；2) 判断若10m λ>，则501λ= 1m λ；若10m λ<，则1λ= 1m λ；3) 然后根据1m λ的值进行原点平移并在此利用幂法求出变换后矩阵的按模最大特征值2m λ，则另外一个所求的特征值为2m λ+ 1m λ；4) 使用反幂法求s λ，其中需要解线性方程组。
此处采用Doolite 分解法解方程组。
2. 求与140k λλμλ-5011=+k最接近的特征值λik根据k μ的值先对矩阵进行原点平移而后利用反幂法即可求取与k μ最接近的特征值 λik ； 3. 求2cond(A)和det A 1) 1=m nλλ2cond(A)，其中1m λ和n λ分别是按模最大和最小特征值；2) 将Doolite 分解后的U 矩阵的对角线相乘即为矩阵的Det 。
三、 算法程序流程图四、VC源程序#include<iostream.h>#include<math.h>#include<stdio.h>#include<stdlib.h>double A[5][501];double x[501];//初始化数组A,对其赋值void initA(double A[5][501]){double b=0.16;double c=-0.064;int i=0,j=0;A[i][j]=0,A[i][j+1]=0;for(j=2;j<=500;j++)A[i][j]=c;i++;j=0;A[i][j]=0;for(j=1;j<=500;j++)A[i][j]=b;i++;for(j=0;j<=500;j++)A[i][j]=(1.64-0.024*(j+1))*sin(0.2*(j+1))-0.64*exp(0.1/(j+1));i++;for(j=0;j<=499;j++)A[i][j]=b;A[i][j]=0;i++;for(j=0;j<=498;j++)A[i][j]=c;A[i][j]=0,A[i][j+1]=0;}double min(double v1,double v2){return((v2>v1)?v1:v2);}double max(double v1,double v2,double v3){double temp;temp= ((v1>v2)?v1:v2);return ((temp>v3)?temp:v3);}// 定义转换取值函数使得输入原坐标可得到相应位置数值double transform(int a,int b){int x= abs(a-b);switch(x){case 0:return A[2][a-1]; break;case 1:return 0.16; break;case 2:return -0.064; break;default :return 0;}}// 定义mifa函数对矩阵用幂法求其按模最大特征值double mifa(){int m,n,k;double u[501], y[501];double beita1=1,beita2=0,sum=0, h=0;for (int i=0;i<501;i++){u[i]= 1;}k=0 ;//循环求解过程do{if(k!=0) beita1=beita2;for (m=0;m<501;m++){sum+=u[m]*u[m];}for (m=0;m<501;m++){y[m]= u[m]/sqrt (sum);}sum= 0 ;beita2=0;for (m=0;m<501;m++){u[m]=0;for (n=0;n<501;n++){u[m] = transform(n+1,m+1)*y[n]+u[m];}beita2=u[m]*y[m]+beita2;}// printf("beita= %.12f\n",beita2);k++;}while(fabs(beita2-beita1)>= fabs(beita2)*exp(-12)); return beita2;}//构造函数translation 用于进行原点平移void translation (double x){int i=0,j=0;for(i=0;i<501;i++){for(j=0;j<5;j++){A[j][i]= A[j][i]-x;}}}//构造函数LU用来解带状线性方程组void lu(double b[501]){int i,j,k,t,s=2,r=2;double B[5][501],c[501];for(i=0;i<=4;i++){for(j=0;j<=500;j++)B[i][j]=A[i][j];}for(i=0;i<=500;i++)c[i]=b[i];for(k=0;k<=500;k++){for(j=k;j<=min(k+s,500);j++){for(t=int (max(0,k-r,j-s));t<=k-1;t++)B[k-j+s][j]=B[k-j+s][j]-B[k-t+s][t]*B[t-j+s][j];}for(i=k+1;i<=min(k+r,500);i++){for(t=int (max(0,i-r,k-s));t<=k-1;t++)B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]-B[i-t+s][t]*B[t-k+s][k];B[i-k+s][k]=B[i-k+s][k]/B[s][k];}}for(i=1;i<=500;i++)for(t=int (max(0,i-r,0));t<=i-1;t++)c[i]=c[i]-B[i-t+s][t]*c[t];x[500]=c[500]/B[s][500];for(i=499;i>=0;i--){x[i]=c[i];for(t=i+1;t<=min(i+s,500);t++)x[i]=x[i]-B[i-t+s][t]*x[t];x[i]=x[i]/B[s][i];}}//构造反幂法函数double fmifa(){int m,k;double u[501], y[501];double beita1=1,beita2=0,sum=0, h=0;for (int i=0;i<501;i++){u[i]= 1;}do{if(k!=0) beita1=beita2;for (m=0;m<501;m++){sum+=u[m]*u[m];}for (m=0;m<501;m++){y[m]= u[m]/sqrt (sum);}sum= 0 ;beita2=0;lu(y);for(m=0;m<501;m++){beita2=x[m]*y[m]+beita2;u[m]= x[m];x[m]= 0;}}while(fabs(beita2-beita1)>= fabs(beita2)*exp(-12));return beita2;}//构造det函数求矩阵的DET如下：double det(){int i,j,k,t,s=2,r=2;for(k=0;k<=500;k++){for(j=k;j<=min(k+s,500);j++){for(t=int (max(0,k-r,j-s));t<=k-1;t++)A[k-j+s][j]=A[k-j+s][j]-A[k-t+s][t]*A[t-j+s][j];}for(i=k+1;i<=min(k+r,500);i++){for(t= int (max(0,i-r,k-s));t<=k-1;t++)A[i-k+s][k]=A[i-k+s][k]-A[i-t+s][t]*A[t-k+s][k];A[i-k+s][k]=A[i-k+s][k]/A[s][k];}}double det=1;for(i=0;i<=500;i++)det*=A[s][i];return det;}//主函数如下：void main(){double beita1,beita2,lama1,lama501,lamas,lama[39];double u[40],temp;double cond,d;int i;//第一问开始printf("第一问结果输出如下：\n");initA(A);beita1 = mifa();//根据beita的值进行原点平移translation (beita1) ;beita2= mifa()+beita1;if (beita1>beita2){lama501= beita1;lama1= beita2;}else{lama501= beita2;lama1 = beita1;}initA(A);lamas= 1/(fmifa());printf("λ 1 = %.12e\nλ501 = %.12e\nλs = %.12e\n",lama1,lama501,lamas);//第一步完成//第二问开始printf("第二问结果输出如下：\n");temp= (beita2- beita1)/40;u[0]=0;for(i=1 ;i<40; i++){u[i]= beita1+ i*temp;}temp=lamas;for(i=1 ;i<40; i++){translation(u[i]);lama[i]= 1/fmifa()+u[i];printf("μ%d = %.12e λ%d = %.12e\n",i,u[i],i,lama[i]);initA(A);}//第二问完成//第三问开始printf("第三问结果输出如下：\n");cond = lama1/temp;printf("A的条件数cond(A)2 = %.12e\n",cond);d= det();printf(" detA = %.12e\n",d);/*for(int i=0;i<5;i++){for(int j=0;j<501;j++){printf("%f",A[i][j]);}printf("\n");}*///printf("%.12f",beita);}五、计算结果输出第一问结果输出如下：λ1 = -1.069936345952e+001λ501 = 9.722283648681e+000λs = -5.557989086521e-003第二问结果输出如下：μ1 = -1.018882228181e+001 λ1 = -1.018307918965e+001 μ2 = -9.678281104107e+000 λ2 = -9.685630519310e+000 μ3 = -9.167739926402e+000 λ3 = -9.171183757416e+000 μ4 = -8.657198748697e+000 λ4 = -8.686139312532e+000 μ5 = -8.146657570993e+000 λ5 = -8.146643221717e+000 μ6 = -7.636116393288e+000 λ6 = -7.620072086351e+000 μ7 = -7.125575215583e+000 λ7 = -7.101459628590e+000 μ8 = -6.615034037878e+000 λ8 = -6.613104865593e+000 μ9 = -6.104492860173e+000 λ9 = -6.0833********e+000 μ10 = -5.593951682468e+000 λ10 = -5.589618303464e+000 μ11 = -5.0834********e+000 λ11 = -5.052700480175e+000 μ12 = -4.572869327058e+000 λ12 = -4.568953738853e+000 μ13 = -4.062328149353e+000 λ13 = -4.0573********e+000 μ14 = -3.551786971648e+000 λ14 = -3.558600060534e+000 μ15 = -3.0412********e+000 λ15 = -3.032719445203e+000 μ16 = -2.530704616238e+000 λ16 = -2.496795855092e+000 μ17 = -2.020*********e+000 λ17 = -2.024*********e+000 μ18 = -1.509622260828e+000 λ18 = -1.523718557553e+000 μ19 = -9.990810831232e-001 λ19 = -1.005107567776e+000μ20 = -4.885399054182e-001 λ20 = -4.987564787303e-001μ21 = 2.200127228676e-002 λ21 = 2.236110834857e-002μ22 = 5.325424499917e-001 λ22 = 5.294485316721e-001μ23 = 1.043083627697e+000 λ23 = 1.027*********e+000μ24 = 1.553624805402e+000 λ24 = 1.561730705296e+000μ25 = 2.064165983107e+000 λ25 = 2.022*********e+000μ26 = 2.574707160812e+000 λ26 = 2.579906780843e+000μ27 = 3.0852********e+000 λ27 = 3.080085490560e+000μ28 = 3.595789516221e+000 λ28 = 3.593113904207e+000μ29 = 4.106330693926e+000 λ29 = 4.110229862874e+000μ30 = 4.616871871631e+000 λ30 = 4.595045425692e+000μ31 = 5.127413049336e+000 λ31 = 5.130441176572e+000μ32 = 5.637954227041e+000 λ32 = 5.602918523748e+000μ33 = 6.148495404746e+000 λ33 = 6.158555847619e+000μ34 = 6.659036582451e+000 λ34 = 6.642049681607e+000μ35 = 7.169577760156e+000 λ35 = 7.160388007096e+000μ36 = 7.680118937861e+000 λ36 = 7.712663547658e+000μ37 = 8.190660115566e+000 λ37 = 8.139248641162e+000μ38 = 8.701201293271e+000 λ38 = 8.692230711490e+000μ39 = 9.211742470976e+000 λ39 = 9.205213660716e+000第三问结果输出如下：A的条件数cond(A)2 = 1.925042185755e+003detA = 2.772786141752e+118六、讨论迭代初始向量的选取对计算结果的影响上诉程序清单中使用的初始向量为u[i]= 1(i=0,1,2,3…500)，经过matlab的计算可知这一结果是正确的。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它旨在研究如何使用计算机算法来解决数学问题。
数值分析广泛应用于科学与工程领域，如物理学、化学、计算机科学、经济学等，有助于我们在计算机上进行精确、高效、可靠的数值计算。
以下是数值分析的一些重要知识点。
1.数值误差：数值计算中存在着各种误差，包括舍入误差、截断误差、传播误差等。
舍入误差是由于计算机对无限小数进行近似表示而产生的误差，截断误差是由于计算方法不完全而导致的误差，传播误差是由于误差在计算过程中的传播而产生的误差。
2.插值与外推：插值是一类问题，它的目标是通过已知数据点的近似值来估计未知点的值。
插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
外推是在已知数据点外估计函数值的方法，例如外推法、Richardson外推法等。
3.数值积分与微分：数值积分是计算函数在给定区间上的定积分的近似值的方法。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则、龙贝格法则等。
数值微分是通过计算函数在给定点的导数的近似值来估计函数的变化率。
4.线性方程组的求解：线性方程组是数值计算中的重要问题之一，其解决方法包括直接法和迭代法。
直接法是通过代数运算求解线性方程组的精确解，如高斯消元法、LU分解法等。
迭代法是通过迭代计算逼近线性方程组的解，如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
5.非线性方程的求解：非线性方程求解是指求解形式为f(x)=0的方程的根。
常用的非线性方程求解方法有二分法、牛顿法、割线法等。
6.常微分方程的数值解法：常微分方程的数值解法是指通过计算机算法来近似求解微分方程的解。
常用的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
7.特征值与特征向量的计算：特征值和特征向量是矩阵与线性变换中的重要概念。
求解特征值和特征向量可以帮助我们理解矩阵或线性变换的性质。
常用的特征值计算方法有幂法、反幂法等。
8.曲线拟合与回归分析：曲线拟合是通过给定的散点数据来拟合出一个函数曲线的方法。
数值分析期末复习要点总结
11
数值计算中的一些原则 1.避免两个相近的数相减 2.避免大数“吃”小数的现象
3.避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值 4.要简化计算，减少运算次数，提高效率 5. 要有数值稳定性,即能控制舍入误差的传播
例如 为提高数值计算精度, 当正数x充分大时,应将
2x 1 2x 1 改写为
2 2x 1 2x 1
解： 为了减小截断误差，通常选取插值点 x 邻接的插值节点
线性插值：取 x0=0.5, x1=0.6 得
L1( x)
y0
x x1 x0 x1
y1
x x0 x1 x0
0.1823 x
1.6046
将 x=0.54 代入可得：ln 0.54 L1(0.54) =-0.6202
18
抛物线插值：取 x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, 可得 ln 0.54 L2(0.54) =-0.6153
一般地，如果近似值 x* 的规格化形式为
x* 0.a1a2 an 10 m
(1-5)
其中m为整数，a1 0, ai i 1,2, 为0到9之间的整数.
如果
x x* 1 10mn 2
则称近似值 x* 有n位有效数字.
(1-6)
例如 x* 1.414 0.1414101.
2 1.414 1 103 1 1014
xi ƒ(xi) 一阶 二阶差商 三阶差商 … n 阶差商 差商
x0 ƒ(x0)
x1 ƒ(x1) ƒ[x0, x1]
x2 ƒ(x2) ƒ[x1, x2] ƒ[x0, x1, x2]
x3 ƒ(x3) ƒ[x2, x3] ƒ[x1, x2, x3] ƒ[x0, x1, x2, x3]
…
数值分析 各章重点 公式整理
第一章误差限计算：第二章一多項式函數f(x)，在 x = a 的泰勒展開式是：拉格朗日插值基函数：*).(|*)(|*))(( *)(x x f x f x f εε'≈的误差限得).(*)( ),,(,,,,,),,(*1***11**11k nk kn n n n x x f f x x f x x x x x x f εε∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂≈的误差限同理得的近似值为准确值，多元函数 ∏∏∏≠=≠=≠=--=--=nkj j jk j nkj j j knk j j jk x x x x x xxx x l 000)()()(∑==nk kky x lx P 0)()(.||)(||)(||)/( ),(||)(||)( ),()()( 2*2*1*2*2*1*2*1*1*2*2*1*2*1*2*1*2*1x x x x x x x x x x x x x x x x x εεεεεεεεε+≈+≈+=±牛顿插值其中an 为第n 阶差商，0阶差商即为f(x0). 余项 差商表差商导数求法牛顿前插公式（等距点适用）差分表)())(())(()()(110102010----++--+-+=n n n x x x x x x a x x x x a x x a a x N []0101(),,,()()()n n n R x f x x x x x x x x x x =---第三章最小二乘法拟合：直线拟合求a0和a1 多项式拟合⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====mi ii mi m i i i mi i m i i y x x a x a y x a m a 1110211110xa a x y 10)(+=0121011201ni n i i n i i n i i i n n n n i i n i i i a m a x a x y a x a x a x x y a x a x a x x y++⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑第四章辛普森求积公式插值求积公式 （拉格朗日插值）插值求积公式余项复合梯形公式复合辛普森公式∑⎰=≈nk k kbax f Adx x f 0)()(⎰=bak k dxx l A )()()()()(0k k nkj j jk j k x x x x x x x x x l ωω'-=--=∏≠=[]⎰⎰+=-=+ban ba dxx n fdxx P x f f R )()!1()()()()()1(ωξ[]b a ,∈ξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑-=)()(2)(211b f x f a f h T n k k n 121101()4()2()()6n n n k k k k h S f a f x f x f b --+==⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑∑高斯点及系数表将求积区间[a,b]变换到[-1,1]上数值求导两点公式数值求导三点公式22batabx++-=[]),(2)()(1)(1ξfhxfxfhxf''--='[]).(2)()(1)(11ξfhxfxfhxf''+-='),(3)]()(4)(3[21)(221ξfhxfxfxfhxf'''+-+-='),(6)]()([21)(221ξfhxfxfhxf'''-+-=').(3)](3)(4)([21)(2212ξfhxfxfxfhxf'''++-='第五章杜利特尔分解L y=b 求解 y U x=y 求解 x追赶法L y=b 求解 y U x=y 求解 x范数：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nn n n u u u u u u U l l l L222112112121,111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----11112122111122211n n nn nn n n u u u l a l al b a c b a c b a c b⎪⎩⎪⎨⎧-=-===+++1,,2,1/11111n i ua b l l c u b l i i i i ii i()111112m ax 8)m ax (m ax ((2()0ij nniji nj nijj ni TTTn A a Aa A A a A AA A A A A f E A A λλλ∞≤≤=≤≤=====-=-=∑∑矩阵范数计算公式定理对阶方阵（称为的行范数）称为的列范数）称为的范数）其中表示的最大特征值即常用的条件数第六章雅可比迭代高斯-塞德尔迭代(i=1,2,…,n k=0,1,2,…)收敛性)det(G I -λ求最大特征值)(G ρ，若>1,发散，若>1,收敛。
数值分析(计算方法)介绍
Zeno悖论所描述的逼近过程正是这种迭代过程，当k→∞时，tk →t* （问题2: 证明该结论！）。大家知道，任何形式的重复都可看成是 “时间”的量度。Zeno在刻画人龟追赶问题中设置了两个“时钟”：一 个是日常的钟，另外Zeno又将迭代次数视为另一种时钟，不妨称之为 Zeno钟。Zeno公式（2）表明，当Zeno钟趋于∞时人才能追上龟，Zeno 正是据此断言人永远追不上龟。
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North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2019/12/20
算法设计技术
J. G. Liu
引例
古希腊哲学家Zeno在两千多年前提出过一个骇人听闻的命题： 一个人不管跑得多快，也追不上爬在他前面的一只乌龟。这就 是著名的Zeno悖论。
Zeno在论证这个命题时采取了如下形式的逻辑推理：设人与龟 同时同向起跑，如果龟不动，那么人经过某段时间便能追上它； 但实际上在这段时间内龟又爬了一段路程，从而人又得重新追 赶，如下图所示，这样每追赶一次所归结的是同样类型的追赶 问题，因而这种追赶过程“永远”不会终结。
Numerical Analysis
2019/12/20
J. G. Liu
数值分析
——插值、拟合与数值微积分
主讲： 刘敬刚
School of Math. & Phys.
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North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
2019/12/20
数值分析(计算方法)简介
• 引例
School of Math. & Phys.
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North China Elec. P.U.
Numerical Analysis
数值分析期末复习要点总结
数值分析期末复习要点总结数值分析是一门研究用数值方法来解决数学问题和科学工程问题的学科。
它包括数值计算、数值逼近、数值求解以及数值模拟等内容。
本文将从数值计算的基础知识、数值逼近方法、数值求解方法以及数值模拟方法等方面进行复习要点总结。
一、数值计算的基础知识1. 计算误差：绝对误差、相对误差、有效数字、舍入误差等等。
2. 机器精度：机器数、舍入误差、截断误差等等。
3. 数值稳定性：条件数、病态问题等等。
4. 误差分析：前向误差分析、后向误差分析等等。
二、数值逼近方法1. 插值方法：拉格朗日插值、Newton插值、Hermite插值等等。
2. 曲线拟合：最小二乘法、Chebyshev逼近等等。
3. 数值微分：前向差分、后向差分、中心差分等等。
4. 数值积分：梯形法则、Simpson法则等等。
三、数值求解方法1. 非线性方程求解：二分法、牛顿迭代法、弦截法等等。
2. 线性方程组求解：直接法（Gauss消元法、LU分解法）和迭代法（Jacobi法、Gauss-Seidel法）。
3. 特征值和特征向量：幂法、反幂法、QR分解法等等。
4. 非线性最优化问题：牛顿法、拟牛顿法、梯度下降法等等。
四、数值模拟方法1. 常微分方程数值解法：Euler法、改进Euler法、Runge-Kutta法等等。
2. 偏微分方程数值解法：差分法、有限元法、有限差分法等等。
3. 数值优化方法：线性规划、非线性规划、整数规划等等。
五、数值计算软件1. MATLAB基础：向量、矩阵、符号计算等等。
2. MATLAB数值计算工具箱：插值与拟合工具箱、符号计算工具箱等等。
3. 其他数值计算软件：Python、R、Octave等等。
总结数值分析是一门重要的数学学科，它为解决实际问题提供了有效的数值方法。
在数值计算的基础知识中，我们需要了解计算误差、机器精度和数值稳定性等概念，同时也需要掌握误差分析的方法。
数值逼近方法包括插值、曲线拟合、数值微分和数值积分等内容，其中插值和拟合是常见的逼近方法。
数值分析复习总结
数值分析复习总结数值分析课本重点知识点第一章P4定义一P5定义二P6定理1P7例题3P10条件数（1）绝对误差（限）和相对误差（限）公式（2）有效数字（3）条件数及其公式第二章P26定理2（以及余项推导过程）P36两个典型的埃尔米特插值（1）拉格朗日插值多项式（包括其直线公式和抛物线公式）（2）插值余项推导及误差分析（估计）（3）两个典型的埃尔米特插值（4）三次样条插值的概念第三章P63例题3（1）最佳平方逼近公式的计算（2）T3（x）的表达式第四章P106复合梯形公式P107复合辛普森求积公式P108例题3（1）复合公式及其余项（2）判断一个代数的精确度第五章P162定义3向量的范数P165定理17P169定义8（1）左中右矩形公式（2）LU分解（3）谱半径和条件数（4）向量的范数第六章P192定理9第1条P192例题8第七章P215不动点和不动点迭代法P218定理3P228弦截法P229定理6第九章P280欧拉法与后退欧拉法P283改进欧拉公式数值分析课后点题答案第一章数值分析误差第二章插值法第三章函数逼近所以无解19。
观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t(s) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s(m)10305080110求运动方程。
解：被观测物体的运动距离与运动时间大体为线性函数关系，从而选择线性方程 s a bt =+ 令{}1,span t Φ=22012201016,53.63,(,)14.7,(,)280,(,)1078,s s =====则法方程组为614.728014.753.631078a b = ??? ?从而解得7.85504822.25376a b =-??=? 故物体运动方程为22.253767.855048S t =-20。
已知实验数据如下：i x 19 25 31 38 44 j y19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如2s a bx =+的经验公式，并计算均方误差。
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1 ，其中 1 和 n 分别是矩阵 A 的 n
2.4 迭代法
2.4.1 迭代法的一般形式及其收敛性
x ( k 1) Gx ( k ) d (k 0,1,...)
定义 设 n n 矩阵 G 的特征值是 1 , 2 ,..., n ，称 (G ) max | i | 为矩阵 G 的谱半径。
e xa e ，称 er 为近似值 a 的相对误差。由于 x 未知，实际上总把 作为 a 的 x x a e xa ， 相对误差一般用百分比表示。er 的上界， 即r a a |a|
相对误差， 并且也记为 er
称为近似值 a 的相对误差限或相对误差界。 定义 设数 a 是数 x 的近似值。如果 a 的绝对误差限时它的某一位的半个单位，并且从该位 到它的第一位非零数字共有 n 位，则称用 a 近似 x 时具有 n 位有效数字。 1.2.3 函数求值的误差估计 设 u f ( x ) 存在足够高阶的导数，a 是 x 的近似值， 则 u f (a ) 是 u f ( x ) 的近似值。
i 1 n
~
n
f (a1 , a2 ,..., a n ) e( a i ) xi f (a1 , a2 ,..., a n ) (a i ) xi
(u )
i 1
~
；若一阶偏导全为零或很
小，则要使用高阶项。 1.2.4 算法及其计算复杂性 （1）要有数值稳定性，即能控制舍入误差的传播。 （2）两数相加要防止较小的数加不到较大的数中所引起的严重后果。 （3）要尽量避免两个相近的近似值相减，以免严重损失有效数字。 （4）除法运算中，要尽量避免除数的绝对值远远小于被除数的绝对值。
~
若 f '(a ) 0 且 | f ''( a ) | / | f '( a ) | 不很大，则有误差估计
e(u ) f '(a )e(a )
~
(u ) f '(a) (a)
~
。
若 f '(a ) f ''(a ) ... f
( k 1)
(a ) 0, f
(k )
A D L U x ( k 1) ( D L )1Ux ( k ) ( D L )1 b (k 0,1,...) GG ( D L ) 1U
性质 1 对任何非奇异矩阵 A， cond( A) 1 。 性质 2 设 A 是非奇异矩阵， k 0 是常数，则有 cond( kA) cond( A) 。 性质 3 设 A 是非奇异的是对称矩阵，则有 cond( A) 2 模为最大和模为最小的特征值。 性质 4 设 A 是正交矩阵，则有 cond( A) 2 1 。 2.3.2 关于病态线性方程组的求解问题 （1）采用高精度的算术运算。 （2）平衡方法（行平衡，取每行绝对值最大数的倒数组成对角阵，乘在原方程左右两边） 。 （3）残差校正。
|| G ||k || x (1) x (0) || 1 || G || || G || || x ( k ) x* || || x ( k ) x ( k 1) || 1 || G || || x ( k ) x* ||
2.4.2 Jacobi 迭代法
A D L U x ( k 1) D 1 (L U ) x ( k ) D 1b (k 0,1,...) G J D 1 ( L U )
1 i n
定理 2.9 对任意的向量 d，迭代法收敛的充分必要条件是 (G ) 1 。 定理 2.9 如果矩阵 G 的某种范数||G||<1，则 （1）方程组的解 x 存在且唯一； （2）对于迭代公式，有 lim x
k (k ) *
x* , x (0) R ，且下列两式成立
1.3 向量范数与矩阵范数
1.3.1 向量范数 定义 定义在 R n 上的实值函数 称为向量范数，如果对于 R n 中的任意向量 x 和 y 满足： （1）正定性： x 0 ，当且仅当 x 0 时， x 0 ；
1
（2）齐次性：对任一数 k R ，有 kx k x ； （3）成立三角不等式： x y x y 。 定理 1.1 对 R 中的任一向量 x ( x1 , x2 ,..., x n ) ，记
n n n n
，令 A = max Ax ，则由
x 1
此定义的 是一种矩阵范数，并且它与所给定的向量范数相容。 定理 1.4 设 A [aij ] R
n n
，则
2
A 1 max aij
1 j n i 1
n
A 2 max ( AT A) A
T T
max aij
n T
x 1 xi
i 1
n
x2 x
则 1 ， 2 和 都是向量范数。 定理 1.2 设
x
i 1 1 i n
n
2 i
max xi
和
是 R 上的任意两种向量范数，则存在与向量 x 无关的常数 m 和
n
M(0<m<M)，使下列关系式成立
m x
1.3.2 矩阵范数
(k )
2.2 直接三角分解法
2.2.1 Doolittle 分解法(单位下三角+上三角)与 Crout 分解法(下三角+单位上三角) 定理 2.3 矩阵 A [aij ]nn (n 2) 有唯一的 Doolittle 分解的充分必要条件是 A 的前 n-1 个顺 序主子式 Dk 0, (k 1, 2,..., n 1) 。 推论 矩阵 A [aij ]nn (n 2) 有唯一的 Crout 分解的充分必要条件是 A 的前 n-1 个顺序主子 式 Dk 0, (k 1, 2,..., n 1) 。 2.2.2 选主元的 Doolittle 分解法
1 i n j 1 T
n
其中 max ( A A) 表示矩阵 A A 的最大特征值（ A A 是正定或半正定矩阵，它的全部特征值 非负） 。 还有一种常见的矩阵范数 A
F
i , j 1
a
n
2 ij
， 且与向量范数 2 相容， 但是不从属于任何
向量范数。单位矩阵 I 的任何一种算子范数 I = max Ix 1 。
3
定理 2.4 若矩阵 A R
n n
非奇异，则存在置换矩阵 Q，使 QA 可做 Doolittle 分解。
2.2.3 三角分解法解带状线性方程组 定理 2.5(保带状结构的三角分解) 设 A [aij ]nn 是上半带宽为 s、 下半带宽为 r 的带状矩阵， 且 A 的前 n-1 个顺序主子式均不为零，则 A 有唯一的 Doolittle 分解
(1) a11 (k )
... a1(1) k ... 0, (k 1, 2,..., n 1)
( k) ... akk
件是方程组的系数矩阵 A 的前 n-1 个顺序主子式 Dk ...
a
(1) k1
2.1.2 列主元素 Gauss 消去法 定理 2.2 设方程组的系数矩阵 A 非奇异，则用列主元素 Gauss 消去法求解方程组时，各个 列主元素 aik k (k 1, 2,..., n 1) 均不为零。
c1 a2 ... c2 ... ... ... ... ... dn p2 ... ... r2 ... ... ... d n 1 ... rn 2 pn 1 rn 1 d n 1 an 1
d1 cn 1 an rn 1 q1 1 q2 ... ... ... qn 2 1 s1 s2 ... sn 2 sn 1 1
a1, s 1 a11 ... ... ar 1,1 ... A ... ... 1 l 2,1 1 ... ... ... ... lr 1,1 ... ln , n r
... ... an , n r
... an s , n ... ... ... a 1 u11 u12 ... ... u1, s 1 ... ... ... ... ... un s ,n ... . .. ... un 1,n unn
定理 2.10 Jacobi 迭代法收敛的充分必要条件是 (GJ ) 1 。 定理 2.11 如果 ||GJ || 1 ，则 Jacobi 迭代法收敛。 引理 2.1 若矩阵 A R
n n
是主对角线按行(或按列)严格占优阵，则 A 是非奇异矩阵。
5
定理 2.12 如果方程组的系数矩阵式主对角线按行(或按列)严格占优阵，则用 Jacobi 迭代法 求解必收敛。 2.4.3 Gauss-Seidel 迭代法
x
M x
, x R n
定义 定义在 R nn 上的实值函数 称为矩阵范数，如果对于 R nn 中的任意矩阵 A 和 B 满 足： （1） A 0 ，当且仅当 A 0 时， A 0 ； （2）对任一数 k R ，有 kA k A ； （3） A B A B ； （4） AB A B 。 定义 对于给定的向量范数 和矩阵范数 ， 如果对于任一个 x R 和任一个 A R nn 满 足 Ax A x ，则称所给的矩阵范数与向量范数是相容的。 定理 1.3 设在 R 种给定了一种向量范数，对任一矩阵 A R
1.2 误差知识与算法知识
1.2.2 绝对误差、相对误差与有效数字 设 a 是准确值 x 的一个近似值，记 e x a ，称 e 为近似值 a 的绝对误差，简称误差。 如果 | e | 的一个上界已知，记为 ，即 | e | ，则称 为近似值 a 的绝对误差限或绝对误差 界，简称误差限或误差界。 记 er