三角形的外接圆和内切圆优质课件PPT
三角形的内切圆和外接圆
三角形的内切圆和外接圆【基础知识】切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
三角形的内切圆：和三角形三条边都相切的圆，叫三角形的内切圆。
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫三角形的内心。
三角形的外接圆：过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点的交点，叫做三角形的外心。
【例题】1.如图，已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线BC，连结CO．若AD∥OC交⊙O于D．求证：CD是⊙O的切线．2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．（1）当圆心O与C重合时，⊙O与AB的位置关系怎样？（2）若点O沿CA移动时，当OC为多少时，⊙C与AB相切？3.已知：如图，△ABC中，内切圆I和边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，若∠FDE=70°，求∠A的度数．4. 如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）A ．2B ．3 CD．5. △ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求△ABC 的内切圆的半径长。
6. 任意△ABC 中内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F. 求证：△DEF 是锐角三角形。
7. 如图，已知ABC ∆内接于⊙O ，AE 切⊙O 于点A ，BC ∥AE ，求证：ABC ∆是等腰三角形.·ABCOEP【巩固练习】1.一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是( ) A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形2.如右图，I 是ABC ∆的内心，则下列式子正确的是（ ） A 、∠BIC=︒180-2∠A B 、∠BIC=2∠A C 、∠BIC=︒90+∠A/2 D 、∠BIC=︒90-∠A/23.ABC ∆外切于⊙O ，E 、F 、G 分别是⊙O 与各边的切点，则EFG ∆的外心是ABC ∆的 。
《三角形的内切圆》PPT课件
＝ a·r
2
+
b·r 2
+
c·r 2
B
＝ (a+b+c）·r
2
A
r Ir
r
a
c
C
练习：
⑴边长为３，４，５的三角形的内切圆半径是＿1＿
⑵边长为５，５，６的三角形的内切圆半径是＿1＿.5
课堂小结：
1、本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆 的作法 .
2、通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念 得出三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介 绍了多边形的内切圆、圆的外切多边形的概念。
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（3）若∠BOC=100 °，则∠A=
度。
2
试探讨∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？
请说明理由．
∠BOC=90ຫໍສະໝຸດ °+12
∠A
名称
确定方法
图形
性质
外心 (三角形 外接圆的 圆心)
三角形三 边中垂线 的交点
B
A
(1)OA=OB=OC
(2)外心不一定在
O
三角形的内部．
C
内心
（三角形 内切圆的 圆心）
三角形三条 角平分线的 交点
A
已知： △ABC（如图）
三角形的内切圆 完整版课件
（ ×） （ √）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆 半径——6—.5c—m，内切圆半径——2—cm—。
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比——2:—1 —。
三、选择题：
下列命题正确的是（ C ）
A、三角形外心到三边距离相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
例3 如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC
的外接圆相交于点D. 求证：DE＝DB
A
12
O
3
4
B5
C
D
练习 分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、 钝角三角形的内切圆，并说明三角形的内心是否 都在三角形内．
2、如图，菱形ABCD中，周长为40，∠ABC=120°，
则内切圆的半径为（ ）
又 ∵EB=EC ∴EB=EI=EC
I
3
B
4 5
D
C
E
课堂练习： 1、判断
（1）三角形的外心是三边中垂线的交点。（√ ） （2）三角形三边中线的交点是三角形内心。（×）
（3）若O为△ABC的内心，
则OA＝OB＝OC。（ ×）
因此三角形的内心是三个内角的角平分线的交，点 它到 三边的距离相等 距离相等
C O就是所求的圆。
想一想：根据作法,和三角形各边都
相切的圆能作出几个？ 概念；
1、和三角形各边都相切的圆叫做三角形 的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内 心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
A
2、和多边形的各边都相
切的圆叫做多边形的内
切圆，这个多边形叫做
圆的外切多边形。
O
B
C
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆与内切圆外接圆与内切圆是与三角形密切相关的几何概念。
外接圆是指可以通过三角形的三个顶点构造出来的圆，而内切圆是指可以与三角形的三条边相切的圆。
这两个圆形在三角形的特性和性质中扮演着重要的角色。
外接圆是指通过三角形的三个顶点构造出来的圆。
可以通过三角形的三个顶点（A、B、C）构造出一个唯一确定的外接圆。
这个外接圆的圆心被称为三角形的外心（O），而外心到三个顶点的距离相等，也就是说，OA = OB = OC。
外接圆的半径被称为外接圆半径（R），它与三角形的边长有关，可以通过计算三角形的边长来确定。
内切圆是指可以与三角形的三条边相切的圆。
对于任意三角形，都可以构造出一个唯一确定的内切圆。
这个内切圆的圆心被称为三角形的内心（I），而内心到三条边的距离相等，也就是说，IA = IB = IC。
内切圆的半径被称为内切圆半径（r），它与三角形的面积有关，可以通过计算三角形的面积来确定。
外接圆和内切圆的性质有很多，它们对于研究和解决三角形相关问题非常有用。
首先，对于任意三角形，外接圆的直径等于对边的和。
也就是说，如果三角形的边长分别为a、b、c，那么外接圆的直径等于a + b + c。
其次，对于任意三角形，内切圆的半径与三角形的面积成正比。
也就是说，内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长p的差值，即r = S / p，其中p = (a + b + c) / 2。
此外，外接圆和内切圆还有一些与角度和边长相关的性质。
例如，外接圆的直径等于内角的对边，即2R = a、2R = b、2R = c，以及内切圆半径与三角形的角度成正比，即r = a / 2sin(A/2) = b / 2sin(B/2) = c / 2sin(C/2)。
外接圆和内切圆在解决三角形相关问题时非常有用。
例如，如果我们知道一个三角形的外接圆半径和内切圆半径，我们就可以计算出这个三角形的面积和周长。
又或者，如果我们已知一个三角形的三个顶点坐标，我们也可以通过计算这个三角形的外接圆和内切圆的圆心坐标来进一步研究和解决相关问题。
三角形的外接圆ppt课件
A
E
O
B
C
D 8
3、已知：在锐角△ABC 中，AB＝ AC=10，BC＝12，求△ABC外接 圆⊙O的半径r。
9
动手画一画，找一找
分别画一个锐角三角形、直角三角形和
钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察
并叙述各三角形与它的外心的位置关系.
A
A
A
●O
●O
●O
锐B角三角形的C外心B┐位于三角C 形内,B
(1)假设原命题不成立； (2)推出与已知或定理、公里事实矛盾的结论； (3)假设不正确.
20
思考：任意四个点是不是可以作一个圆？ 请举例说明.
不一定
1. 四点在一条直线上不能作圆；
2. 三点在同一直线上, 另一点不在这条直线上不能作圆；
3. 四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能作不出一个圆.
一点有且只有一条直线与已知直线
C 垂直”相矛盾，所以过同一条直线
上的三点不能作圆．
18
什么叫反证法？
先假设命题的结论不成立，然 后由此经过推理得出矛盾(常与公理、 定理、定义或已知条件相矛盾)，由 矛盾判定假设不正确，从而得到原 命题成立，这种方法叫做反证法．
19
反证法常用于解决用直接证法不易 证明或不能证明的命题，一般步骤 步骤：
无数个。它们的圆心都在线段AB的 垂直平分线上。
4
问题3.经过不在同一直线上的三点A、B、C， 能不能作圆？如果能，如何确定圆心？
经过A,B,C三点的圆的圆心
是线段AB、BC的垂直平分
线的交点O.
A●
则OA=OB=OC
┏●O
●
●
问题4.经过在同一直线上的 B
人教版九年级数学上册教学课件-24-2-2外接圆和内切圆6
⒉外心与内心的比较：
三角形的外心
实质 三角形各边垂直平分线的交点
三角形的内心
三角形各内角角平分线的交点
性质
到三角形各顶点的 距离相等
到三角形各边的距 离相等
巩固练习：
1、如图，△ABC中，∠A=55度，I是内心 则，∠BIC＝_______________ 度。112.5
B
2、如图，△ABC中，∠A=55度，其内切圆切△ABC 于D、 E、F，则∠FDE＝_______________度。
第24章
24.2.2直线与圆（3） 三角形的外接圆和内切圆
人教版·九年级上 册
三角形的外接圆和内切圆
1、能回忆起三角形的外接圆及外心，内切圆及内心。 2、会画出已知三角形的外接圆和内切圆。 3、运用有关知识解决有关问题。 重点： 外接圆及内切圆的画法；外心和内心。 难点： 知识的综合运用。
一、三角形的外接圆与内切圆的画法：
×
二、填空：
√
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆
半径______________，内切圆半径_______________。
2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比_____________。
6.5cm
2cm 2:1
三、选择题： 下列命题正确的是（ C ） A、三角形外心到三边距离相等 B、三角形的内心不一定在三角形的内部 C、等边三角形的内心、外心重合 D、三角形一定有一个外切圆
思考题：已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆 于E。
求证：EB=EI=EC
A
求证：IE是AE和
12
DE的比例
中项。
I
3
B
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实质
性质
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三角形的外心与内心
1、①外心是指三角形外接圆的圆心； ②内心是指三角形内切圆的圆心。
⒉外心与内心的比较：
实质
性质
三角形的外心 三角形各边垂直平分线 到三角形各顶
的交点
点的距离相等
三角形的内心 三角形各内角角平分线 到三角形各边
的交点
的距离相等
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巩固练习：
三角形的外接圆和内切圆
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1
三角形的外接圆和内切圆
教学目标
1、能回忆起三角形的外接圆及外心，内切圆及内心。 2、会画出已知三角形的外接圆和内切圆。
3、运用有关知识解决有关问题。
重点：
外接圆及内切圆的画法；外心和内心。
难点：
知识的综合运用。
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2
一、三角形的外接圆与内切圆的画法：
（ ×）
2、直角三角形的外心是斜边的中点。
（ √）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆
半径—6—.5—cm—，内切圆半径—2—c—m—。 2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比——2:—1 —。
三、选择题：
下列命题正确的是（ C ）
A、三角形外心到三边距离相等
B、三角形的内心不一定在三角形的内部
1、什么是三角形的外接圆与内切圆？ 2、如何画出一个三角形的外接圆与内切圆？
1、①经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆。 ②与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。
画圆的关键： 1、确定圆心
2、确定半径
三角形的外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点；其半径 是交点到顶点的距离。
三角形的内切圆的圆心是各内角平分线的交点；其半径是
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例：
已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E。
求证：EB=EI=EC
A
12
证明： 连结BI ∵I是△ABC的内心 ∴∠3=∠4 ∵ ∠ 1= ∠ 2， ∠ 2= ∠ 5 ∴ ∠ 1= ∠ 5 ∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5 ∴ ∠ BIE= ∠ IBE ∴ EB=EI
1、如图，△ABC中，∠A=55度，I是内心 则，∠BIC＝—1—12—.5—度。
B
2、如图，△ABC中，∠A=55度，其 内切圆切△ABC 于D、E、F，则 ∠FDE＝——67—.5 —度。
B
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A
I
C
A F
E
D
C
8
三、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：
直角三角形外接圆、内切圆
半径的求法
B
R= —c2
r = —a—+b—-c— 2
c
O a
I
A
b
C
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9
等边三角形外接圆、内切圆半径
的求法
A
基本思路：
RO
构造三角形BOD，BO为外接圆半径， DO为内切圆半径。
B
r
D
C
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10
做一做:
一三角形的三边长分别为3cm、4cm、5cm，则其内切圆的 半径为——1—cm—。
2021/交02/点01 到一边的距离。
3
三角形的外接圆：
A
O
B
C
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4
三角形的内切圆：
A
I
B
C
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5
二、三角形的外心与内心
对照画出的图形，讨论解决下列问题：
1、什么是三角形的外心与内心? 2、试比较三角形的外心与内心的区别，并填写下表：
三角形的外心 三角形的内心
又 ∵EB=EC ∴EB=EI=EC
I
3
B
4 5
Dபைடு நூலகம்
C
E
2021/02/01
12
小结与质疑：
1、会画出已知三角形的外接圆和内切圆。 2、三角形的外心及内心。 3、求特殊三角形的外接圆、内切圆半径。 4、有关证明题。
2021/02/01
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达标检测
一、判断。 1、三角形的外心到三角形各边的距离相等。
C、等边三角形的内心、外心重合
D、三角形一定有一个外切圆
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作业：
1、课本117页B组3题。
2、思考题：
条件同上例，
求证：IE是AE和
DE的比例
3
中项。
B
4 5
A
12
I
D
C
E
2021/02/01
15
Thank you
感谢聆听 批评指导
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年XX月XX日
感谢您的观看！本教学内容具有更强的时代性和丰富性，更适合学习需要和特点。为了 方便学习和使用，本文档的下载后可以随意修改，调整和打印。欢迎下载！
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