第5章 窄带随机过程

第五章 窄带随机过程

5.1 窄带随机过程的概念

1． 通信工程中的信号频率

在通信工程中，如雷达、广播、电视等信号，在传输中信号有相对固定的信号频率。对于有相对固定频率的信号，其数学表达方法的研究是非常重要的。 2． 窄带随机过程

（1） 带通随机过程的定义

若随机过程)(t X 的谱密度满足：

⎩⎨

⎧∆<-=其它

0)()(0ω

ωωωωS S X 则称)(t X 为带通过程。

带通过程的谱密度的图解如下图。 （2） 窄通随机过程的定义

若)(t X 为带通过程，且0ωω<<∆，即中心频率过大于谱宽，则称)(t X 为窄通随机过程。

3． 窄带随机过程的解析表达方法之一：莱斯表示法

（1）窄带随机过程的莱斯表示

定理：任何一个实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式：

)sin()()cos()()(00t t b t t a t X ωω-=

证明：略。

注：证明过程要用到一种重要的数学变换――希尔伯特变换，此变换需掌握。 （2） )(t a 、)(t b 的性质 ①)(t a 、)(t b 都是实随机过程。 ②0))(())((==t b E t a E . 。

③)(t a 与)(t b 各自广义平稳，联合平稳，且：)()

(ττb a R R =。

④))(())(())((2

22t X E t b E t a E ==，由此可得方差22b a σσ=。

⑤0)0(=ab R ，这说明)(t a 与)(t b 在同一时刻正交。 ⑥)()(ωωb a S S =。

4． 窄带随机过程的解析表达方法之二：准正弦振荡表示法

定理：实窄带随机过程)(t X 都可表示为下式：

))(cos()()(0t t t A t X Φ+=ω

证明：由莱斯表示法有：

)()()(22t b t a t A +=， )

()

()(t a t b arctg

t =Φ )(t A 与)(t Φ都是慢变化的随机过程。慢变化是指)(t A 与)(t Φ随时间变化比)

cos(0t ω随时间的变化要缓慢得多。

其中：称0ω这载波频率。

称)(t A 为)(t X 的包络。 称)(t Φ为)(t X 的相位（初相）。 这一表达式称为准正弦振荡表示法。

5.2 窄带高斯过程包络与相位的概率密度

在工程应用中，假定系统的输出是一个窄带高斯随机过程，可使问题的解决得到简化。实际上，有许多工程实际的系统输出是窄带高斯随机过程。

对于窄带随机过程，包络)(t A 与相位)(t Φ的检测是首要工作。 1． 包络与相位的一维概率密度

（1） 先求)(t a 与)(t b 的联合概率密度),(t t ab b a f

当t 确定后，)(t a 与)(t b 都是高斯随机变量，且相互正交，所以有

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+-=22222exp 21

),(σπσt t t t ab b a b a f （2） 求)(t A 与)(t Φ的联合概率密度

定理： ),(),(t t ab t t A b a f J A f =ΦΦ，J 为雅可比行列式。

由 )()()(22t b t a t A +=

， )

()

()(t a t b arctg

t =Φ 可得 )(t A J =

所以有

⎪

⎩⎪⎨⎧≤Φ≤≥⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-=ΦΦ其它0

20,02ex p 2),(222π

σπσt t t t t t A A A A A f

（3） 求)(t A A f 、)(t f ΦΦ

对),(t t A A f ΦΦ求边缘概率密度，可得)(t A A f 与)(t f ΦΦ

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-=ΦΦ⎰

Φ22220

2exp ),()(σσπ

t t

t t t A t A A A d A f A f ＝，（0≥t A ） π

21

),()(0

=

ΦΦ⎰∞ΦΦt t t A t A d A f f ＝，（π20≤Φ≤t ） 5.3 正弦型信号与窄带高斯噪声之和

1． 模型

设

)()()(t N t s t X +=

其中)(t s 为具有随机相位的正弦型信号

)cos()(0θω+=t a t s

a 与0ω为已知常数，θ为)2,0(π区间均匀分布的随机变量，)(t N 为平稳窄带实高斯随

机噪声过程，均值为0，方差为2

σ，功率谱密度对称于0ω±。

可以证明，)(t X 是一窄带随机过程： 设

)sin()()cos()()(00t t b t t a t N ωω-=

)sin(sin )cos(cos )cos()(000t a t a t a t s ωθωθθω⋅-⋅=+=

可得

)sin()()cos()()(00t t b t t a t X ωω'-'=

其中⎩

⎨⎧+='+=')(sin )()(cos )(t b b t b t a a t a θθ

或

))(cos()()(0t t t A t X Φ+=ω

其中 )()()(22t b t a t A '+'=

， )

()

()(t a t b arctg

t ''=Φ 2． 在θ确定下，求条件概率密度)(θt A A f 、)(θt f ΦΦ （1）求)(t a '与)(t b '的联合概率密度),(θt t b a b a f ''''

⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧-+-'-=''''2

2222)sin ()cos (exp 21

),(σθθπσθa ba a a b a f t t t t b a （2）求)(t A 与)(t Φ的条件联合概率密度 ),(),(θθt t b a t t A b a f J A f ''=Φ''Φ

⎪

⎩⎪⎨⎧≤Φ≤≥⎭⎬⎫

⎩⎨⎧Φ--+-=其它0

20,02)cos(2ex p 22

222π

σθπσt t t t t t A aA a A A

（4） 求)(θt A A f 、)(θt f ΦΦ

利用),(θt t A A f ΦΦ求边缘分布密度，可得：

)(2exp ),()(2

0222220

σσσθθπ

t

t t

t t t A t A A a I a A A d A f A f ⋅⋅⎭⎬⎫⎩

⎨⎧+-=ΦΦ⎰

Φ＝ 其中)(0•I 是第一类零阶修正贝塞尔函数。 由于)(θt A A f 与θ无关，于是有

)()(θt A t A A f A f =

t t t A t A d A f f ⎰∞

ΦΦΦΦ0

),()(θθ＝

⎭

⎬⎫⎩⎨⎧Φ---⋅Φ-ψ⋅Φ-⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=2)(cos exp ))cos((2)cos(2exp 21

t 222t t 22θσθσπθσπa a a a a )(•ψ是概率积分函数。

作业：P174，6.1，6.2，6.3，6.4，6.5，6.6，6.10。