华东师大版八年级上册数学：勾股定理

锐角三角形
（2）6，7，10
钝角三角形
（3）5，12，13 直角三角形
请比较上述每个三角形的两条较短边的平方和 与最长边的平方之间的大小关系. 并指出最长边所 对的角是什么角。
6cm
7cm
5cm ⑴
7cm
10cm
锐角三角形
较短的两条边的平方和 __大_于___最长边的平方
52 ++ 62> 72 最长边所对的角
试判断△ABC的形状.
3、如图BE⊥AE,
∠A=∠EBC=60°,AB=4,BC=2 3 CD= 3 DE=3,求证:AD⊥CD
3 E
60°
A
4
D3
C
23
60°
B
4. 阅读下列解题过程: 已知a，b，c为△ABC的三边,且 满足a2c2-b2c2=a4-b4, 试判断△ABC的形状.
解∵ a2c2-b2c2=a4-b4
❖ AC2+BC2=AB2 → ∠ACB为直角
❖ AC2+BC2>AB2 → ∠ACB为锐角
C
A
C
A
BC
A B
B
归纳应用方法：
用勾股定理的逆定理判断直角三角形的步骤：
△ABC中
①、确定最大边（最大边c所对的角是最大角）
②、验证：c2与a2+b2是否相等 若 c2 == a2 ++ b2则△ABC是以∠C=90°的直角三角形
2、一组勾股数同时扩大相同的倍数一定 是勾股数吗？为什么？
3、
已知 △ABC三角形的三边分别为 a,b,c
且a = m 2 - n2 ,b = 2mn,c = m 2 + n2
(m > n,m,n是正整数)，
△ABC是直角三角形吗?说明理由
解分：析Q：a2先+ b来2 =判(m断2 +a,nb2,)c2 三+ (边2m哪n)2条=最(m长2 +，n2 )2 = c2 利用勾∴股△定AB理C是的直逆角定三理角，形也可以代m,n 为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4. 则a=9,b=40,c=41,c最大。
是__锐__角__
钝角三角形
较短的两条边的平方和 __小_于__最长边的平方
62++ 72< 102 最长边所对的角是
__钝_角_____
6cm ⑵
5cm
13cm
12cm （3）
直角三角形
52++122 ==132
较短的两条边的平方和 __等__于__最长边的平方 最长边所对的角是 ___直__角_
所对的直角边是斜边的一半 ；
(6)在直角三角形中, 如果一条直角边是斜边的一半, 那么它所对的锐角是30°。
反之,一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?
X
思考:
一个三角形满足什么条件才能是直角三角形?
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；
欢迎指导
1、了解勾股定理的逆定理与勾股定理的互逆性。
2、会通过三角形三边的数量关系来判断它是否 为直角三角形。
直角三角形的性质
(1)有一个角是直角； (2)两个锐角互余 ；
(3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(4)两直角边的平方和等于斜边的平方 ； (5)在直角三角形中, 如果有一个锐角是30°,那么它
（3）如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形
(4)如果一个三角形的三边 a ,b ,c
满足a2 +b 2=c2 , 那么这个三角形是直角三角形吗??
据说,古埃及人曾用下面 的方法画直角：
他们用13个等距的结 巴一根绳子分成等长的12 段，一个工匠同时握住绳 子的第1个结和第13个结， 两个助手分别握住第4个结 和第8个结，拉紧绳子，就 会得到一个直角三角形,其 直角在第4个结处。
这个问题意味着:
如果围成的三角形的三
5
边分别为3、4、5． 3
满足关系:
32＋42＝52．
4
那么围成的三角形是
直角三角形．
动手画一画
下面的三组数分别是一个三 角形的三边长a，b，c： 3，4，4； 2，3，4； 3，4，5 （1）这三组数都满足a2+b2 = c2 吗？
（2）它们都是直角三角形吗？
C.∠C=∠A-∠B
D. ∠A:∠B : ∠C =3:4:5
3.下列各组线段中,能组成直角三角形的是( ) A. 5,6,7 B. 32,42,52 C. 5,11,12 D. 5,12,13
解释“古埃及人画直角”的理论根据.
解：如图，设每两个结的距离为a（a>0），
则AC=3a，BC=4a，AB=5a.
(3) a=1 b=2 c= 3
_是___ ∠ _B_=_9_0_0 ;
像25,20,15,能够成为直角三角形三条
边长的三个正整数，称为勾股数.
最常用的勾股数：勾3、股4、弦5
挑战自我
1、请你写出三组勾股数；
如：3、4、5; 5、12、13； 7、24、25； 9、40、41 --(2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1)（ n为正整数） 3、4、5；8、6、10；15、8、17； 24、10、26；--( n2-1、2n、n2+1)（ n为大于1的正整数）
a
c
A
S1
B
S3
C
S2 b
S1
a
c
B
A
S3
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD 是高,AB=1, 求 2 CD2 + AD2 +BD2 的值
3、在△ABC中，AB边上的中线CD=3, AB=6，BC+AC=8
求△ABC的面积（AC·BC=?) （直角三角形的判定： 如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。）
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么 它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中 一个定理称另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理； 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
设AB是△ABC中三边中最长边，则有
❖ AC2+BC2<AB2 → ∠ACB为钝角
❖
5.根据场景来梳理。一般一个场景可 以梳理 为一个 情节。 小说中 的场景 就是不 同时间 人物活 动的场 所。
❖
6.根据线索来梳理。抓住线索是把握 小说故 事发展 的关键 。线索 有单线 和双线 两种。 双线一 般分明 线和暗 线。高 考考查 的小说 往往较 简单,线 索也一 般是单 线式。
❖
7.阅历之所以会对读书所得产生深浅 有别的 影响， 原因在 于阅读 并非是 对作品 的简单 再现， 而是一 个积极 主动的 再创造 过程， 人生的 经历与 生活的 经验都 会参与 进来。
中考链接
1、已知：如图，四边形
ABCD 中 ， ∠B ＝ 900 ， AB ＝ 3 ，
BC ＝ 4 ， CD ＝ 12 ， AD ＝ 13, 求 四
边形ABCD的面积?
S C
四边形ABCD=36
B D
A
2. 已知a，b，c为△ABC的三边,且 满足
a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.
若 c2≠a2++b2 则△ABC不是直角三角形。
例题解析
例1 设三角形三边长分别为下列各组数,试判断各 三角形是否是直角三角形:
(1) 7, 24 , 25 (2)12 , 35 , 37 (3)13 , 11 , 9
解 : 因为 2 5 2 = 2 4 2 + 7 2 , 分析：由3勾7 股2 =定理3 5的2 逆+ 定1 2理2 ，, 判断三角形是 不和是是直否角等1 三于3 2角最形大1，边1 只的2 +要平9看方2两。, 条较小边的平方
A
古埃及人的做法：
4
5 △ABC中， BC=3、 AC=4、AB=5
C3
A′
B 我们作Rt△A′B′C′， 使A′C′=AC，B′C′=BC
4
这两个三角形有什么关系？
C′ 3 B′
理论证明
A
A′
已知：△ABC中， BC=a、 AC=b、AB=c, b
c
百度文库
b
且 a2＋b2＝c2．
求证： ∠C=90°
①
∴ (a2-b2)c2=(a2+b2)(a2-b2)
②
∴ c2=a2+b2
③
∴ △ABC是直角三角形 问:上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写
出 该 步 的 序 号 :__③____, 错 误 的 原 因 为:_a_2_-_b_2_可__能__为___0_;本题正确的结论
是__直_角__三__角__形_或__等__腰__三_角__形__或_ 等腰直角三角形
Ca
B C′ a
B′
证明：我们作Rt△A′B′C′，使A′C′=AC，B′C′=BC
在 Rt△A′B′C′中根据 勾股定理有
A B 2=A C 2+B C 2
∵ BC = a, AC = b
\ AB2 = a2 + b2 = c2 AB = c
ABC≌ ABC
C= C =90
知识要点 勾股定理的逆定理：
4、利用勾股定理逆定理是证明直线垂直 或 直角三角形的重要方法
作业：
1.教科书114页练习1、2， 习题14.1 第5、7题
练习：
1.若一个三角形的三边长分别为: 32, 42, x2 ,且此三 角形是直角三角形.则x2的值是_____________
2、已知:在△ ABC中, AB=15cm，AC=20cm， BC=25cm，AD是BC边上的高。求: AD的长。
A
∵ AC 2 + BC 2=(3a ) 2+(4a )2=25 a 2
AB 2=( 5a ) 2=25 a 2
∴ AC 2 + BC 2=AB 2
B
∴ ACB =90 ° 准备好了吗? C
小结
本节课你有何收获？
1、勾股定理的逆定理：
2、勾股数 （常用的两类） 3.定理的运用
由三边长判别一个三角形是否是直角三角形
所以根据前面的判定方法可知 , 以(1)、(2)两组数为 边长的三角形是直角三角形，而以组(3)的数为边长 的三角形不是直角三角形。
小试牛刀
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三
角形？如果是那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15 _是___ ∠ _A_=_9_0_0;
(2) a=13 b=14 c=15 _不__是_ _____ ;
勾股定理的逆命题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，
b，斜边为c，那么有 a2 + b2 = c2
小组探究
试用小木棒拼出三边长度分别为如下数据的三角 形，猜想它们是些什么形状的三角形？（按角分 类）
（1）5，6，7
❖
3.把握好故事情节,是欣赏小说的基础,也是整 体感知 小说的 起点。 命题者 在为小 说命题 时,也必 定以情 节为出 发点,从整体 上设置 理解小 说内容 的试题 。通常 从情节 梳理、 情节作 用两方 面设题 考查。
❖
4.根据结构来梳理。按照情节的开端 、发展 、高潮 和结局 来划分 文章层 次,进而 梳理情 节。
如果三角形的三边长 a，b，c满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
（即一个三角形的两条较短的边的平方和等于 最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。）
最长边(c)所对的角是直角
勾股定理
互为逆定理
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别 为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2.
定理与逆定理
5、在RtΔABC中,AC=BC,点P是三角
形内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,
求证:∠BPC=135°
P’
C
A
P
B (A)
作业：
预习14.1.3反证法
❖
1.情节是叙事性文学作品内容构成的 要素之 一,是叙 事作品 中表现 人物之 间相互 关系的 一系列 生活事 件的发 展过程 。
❖
2.它由一系列展示人物性格,反映人物 与人物 、人物 与环境 之间相 互关系 的具体 事件构 成。
❖
8.少年时阅历不够丰富，洞察力、理 解力有 所欠缺 ，所以 在读书 时往往 容易只 看其中 一点或 几点， 对书中 蕴含的 丰富意 义难以 全面把 握。
❖
9.自信让我们充满激情。有了自信， 我们才 能怀着 坚定的 信心和 希望， 开始伟 大而光 荣的事 业。自 信的人 有勇气 交往与 表达， 有信心 尝试与 坚持， 能够展 现优势 与才华 ，激发 潜能与 活力， 获得更 多的实 践机会 与创造 可能。
3.三角形三b边 、长 c满 a、 足条件
(a+b2)c2=2ab则 ,此三角形 B 是 ) (
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、等边三角形
1、△ABC三边a,b,c为边向外作 正方形，（以三边为直径作半 圆，）若S1+S2=S3成立， 则△ABC 是直角三角形吗？
思 维 激 活
C
S2 b
练一练
1、 三 角 形 三 边 长 a、 b、 c满 足 条 件 a:b:c= = 9:12:15,则 此 三 角 形 是 ( B )
A、锐角三角形 C、钝角三角形
B、直角三角形 D、等边三角形
2. 满足下列条件△ABC,不是直角三角形的是( D )
A.b2=a2-c2
B. a:b:c=3:4:5