广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2018届高三下学期第三次联考数学（理）试题

广东省六校（广州二中，深圳实验，珠海一中，中山纪念，东莞中学，惠州一中）2018届高三下学期

第三次联考数学（理）试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、单选题

1. 已知集合，

，则的元素个数为（）A．B．C．D．

2. 设等差数列的前项和为，若，，则

A．B．C．D．

3. 若变量满足约束条件，则的取值范围是A．B．C．D．

4. 函数的图象大致为( )

A．B．C．D．

5. 设函数，其中常数满足．若函数

（其中是函数的导数）是偶函数，则等于A．B．

C．D．

6. 执行如图的程序框图，如果输入的分别为，输出的，那么判断框中应填入的条件为（）

A．B．C．D．

7. 已知（，为虚数单位），又数列满足：当时，；当，为

的虚部．若数列的前项和为，则

A．B．C．D．

8. 如图，在同一个平面内，三个单位向量满足条件：与的夹角为，且，与与的夹角为45°.若

，则的值为( )

A．3

B．C．

D．

9. 四面体中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，，则的取值范围是

A．B．C．D．

10. 从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有( )

A．42种B．36种C．72种D．46种

11. 已知点F为双曲线E：(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β，且，则该双曲线的离心率的取值范围是（）

A．B．

C．D．

12. 已知是函数与图象的两个不同的交点，则的取值范围是( )

A．B．C．D．

二、填空题

13. 已知是定义在上的奇函数，则_____；

14. 已知函数，若，则函数

的图象恒过定点_____．

15. 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表

面积为__________．

16. 若函数的图象上存在不同的两点，，其中

使得的最大值为0，则称函数是“柯西函数”．给出下列函数：

①；②；

③；④. 其中是“柯西函数”的为___．（填上所有正确答案的序号）

三、解答题

17. 设数列的前项和为，数列的前项和为，满足

.

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)求数列的通项公式.

18. 某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.

(Ⅰ)若小店一天购进16份，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：份，）的函数解析式；

日需求

14 15 16 17 18 19 20

量

频数10 20 16 16 15 13 10 (i)小店一天购进16份这种食品，表示当天的利润（单位：元），求的分

布列及数学期望；

(ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？

19. 如图，在四棱锥中，是平行四边形，，

，，，，分别是，的中点．（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

20. 已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的

左、右顶点，点满足．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线经过点且与交于不同的两点、，试问：在轴上是否

存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值？若存在，请求出点的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

21. 已知函数，其中．

（Ⅰ）函数的图象能否与轴相切？若能，求出实数a，若不能，请说明理由；

（Ⅱ）求最大的整数，使得对任意，不等式

恒成立．

22. 已知直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

，射线，分别与曲线交于

三点（不包括极点）.

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)当时，若两点在直线上，求与的值.

23. 已知函数.

(Ⅰ)若，求实数的取值范围；

(Ⅱ)若不等式恒成立，求实数的取值范围.