排列组合概率

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【高中数学】排列组合概率(排列组合)选择题A

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用方法注解效率用行动助推梦想用效果诠释责任A1.函数f:|1,2,3|→|1,2,3|满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有 ( D )(A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个2.过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有 ( D )A.4条B.6条C.8条D.12条3.某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 ( D )A.16种B.36种C.42种D.60种4.在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有(B)（A ）36个（B ）24个（C ）18个（D ）6个5 .在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有（ C ）种.（A ）34A （B ）34 （C ）43 （D ）34C6．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ B . ）（A ）480 种（B ）240种（C ）120种（D ）96种 7 . 某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（ D ）种.（A ）5040 （B ）1260 （C ）210 （D ）6308. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有（D ）（A ）36个（B ）48个（C ）66个（D ）72个9.现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ D ）(A)1024种 (B)1023种 (C)1536种 (D)1535种10 .现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（ B ）种.（A ）5536A A ⋅ （B ）336688A A A ⋅- （C ）3335A A ⋅ （D ）4688A A -11. 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有（ C ）.（A ）16种（B ）18种（C ）37种（D ）48种。

高中数学知识点总结及公式大全排列组合与概率的计数与事件

高中数学知识点总结及公式大全排列组合与概率的计数与事件高中数学知识点总结及公式大全：排列组合与概率的计数与事件数学作为一门基础学科，对于高中学生来说，无疑是学习过程中必不可少的一部分。

在高中阶段，学习数学的内容相当繁杂，其中涉及的知识点众多。

本文将对高中数学的排列组合与概率的计数与事件进行系统的总结，并提供相关公式大全供参考。

一、排列组合基础知识排列与组合是数学中的两个基本概念，具有广泛的应用。

在学习排列组合的过程中，有几个核心的概念需要掌握。

1. 排列排列是从若干元素中按照一定的顺序选取出一部分元素，形成一个有序的序列。

常见的排列可以分为全排列和局部排列两种。

- 全排列：将若干元素按照不同的顺序进行排列，所得的不同排列数称为全排列。

全排列的公式为：A(n, n) = n!，其中 n 表示元素的个数。

- 局部排列：从若干元素中选取出其中的一部分元素，按照一定的顺序进行排列，所得的不同排列数称为局部排列。

局部排列的公式为：A(n, m) = n!/(n-m)!，其中n 表示元素的总数，m 表示选取的元素个数。

2. 组合组合是从若干元素中选取出一部分元素，不考虑其顺序，形成一个无序的集合。

常见的组合有全组合和局部组合两种。

- 全组合：将若干元素选取出所有可能的组合，所得的不同组合数称为全组合。

全组合的公式为：C(n) = 2^n，其中 n 表示元素的个数。

- 局部组合：从若干元素中选取出其中的一部分元素，不考虑其顺序，所得的不同组合数称为局部组合。

局部组合的公式为：C(n, m) =n!/[m!(n-m)!]，其中 n 表示元素的总数，m 表示选取的元素个数。

二、概率与事件概率和事件是数学中研究随机事件发生可能性的重要内容。

在学习概率与事件的过程中，有几个核心的概念需要了解。

1. 概率概率是对随机事件发生可能性的量化描述。

以事件 A 在随机试验中发生为例，事件 A 发生的概率记为 P(A)。

概率的计算公式为：P(A) =N(A)/N(S)，其中 N(A) 表示事件 A 中有利的试验结果的个数，N(S) 表示样本空间 S 中的所有可能结果的个数。

高考数学回归课本教案：排列组合与概率

高考数学回归课本教案：排列组合与概率一、教学目标1. 理解排列组合的概念，掌握排列组合的计算方法。

2. 理解概率的基本原理，掌握概率的计算方法。

3. 能够运用排列组合和概率的知识解决实际问题。

二、教学内容1. 排列组合的概念和计算方法。

2. 概率的基本原理和计算方法。

3. 排列组合和概率在实际问题中的应用。

三、教学重点1. 排列组合的计算方法。

2. 概率的计算方法。

四、教学难点1. 排列组合的复杂计算。

2. 概率的推理和计算。

五、教学方法1. 采用讲解、示例、练习相结合的方法，帮助学生理解和掌握排列组合和概率的知识。

2. 通过实际问题的讨论，培养学生的应用能力。

一、排列组合的概念和计算方法1. 排列的概念和计算方法a. 排列的定义b. 排列的计算公式c. 排列的示例和练习2. 组合的概念和计算方法a. 组合的定义b. 组合的计算公式c. 组合的示例和练习二、概率的基本原理和计算方法1. 概率的概念和计算方法a. 概率的定义b. 概率的计算公式c. 概率的示例和练习2. 条件概率和独立事件的概率a. 条件概率的定义和计算方法b. 独立事件的定义和概率计算方法c. 条件概率和独立事件的示例和练习三、排列组合和概率在实际问题中的应用1. 排列组合在实际问题中的应用a. 人员安排问题的解决b. 活动安排问题的解决c. 排列组合应用题的练习2. 概率在实际问题中的应用a. 概率在决策中的应用b. 概率在预测中的应用c. 概率应用题的练习这只是一个初步的教案框架，具体的内容可以根据实际需要进行调整和补充。

希望对你有所帮助。

六、排列组合的综合应用1. 排列组合的综合问题解决a. 多重排列组合问题的分析b. 排列组合问题的高级应用c. 综合应用题的练习七、概率的进一步理解和应用1. 概率的公理体系和性质a. 概率的基本公理b. 概率的互补事件和独立事件的性质c. 概率的练习题2. 随机事件的分布a. 离散型随机变量的定义和性质b. 连续型随机变量的定义和性质c. 随机事件分布列的练习题八、概率的计算方法1. 直接计算法a. 利用概率的基本性质计算概率b. 利用排列组合计算概率c. 直接计算法的练习题2. 条件计算法a. 利用条件概率计算概率b. 利用独立事件的概率计算概率c. 条件计算法的练习题九、概率分布和期望值1. 离散型随机变量的期望值a. 离散型随机变量的期望值的定义和性质b. 离散型随机变量期望值的计算方法c. 离散型随机变量期望值的练习题2. 连续型随机变量的期望值a. 连续型随机变量的期望值的定义和性质b. 连续型随机变量期望值的计算方法c. 连续型随机变量期望值的练习题十、实际问题的概率分析和解决1. 概率模型构建a. 实际问题概率模型的建立b. 概率模型的求解和分析c. 概率模型构建的练习题2. 实际问题的概率解决a. 利用概率解决随机事件问题b. 利用概率解决决策问题c. 实际问题概率解决的练习题重点和难点解析一、排列组合的概念和计算方法难点解析：排列组合的复杂计算，尤其是当元素数量较多时，如何快速准确地计算出结果。

高三数学冲刺专题练习—排列组合概率(含答案详解) (2)

高三数学冲刺专题练习——排列组合概率1. 概率1．已知某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为2125，则该队员每次罚球的命中率p 为 .【分析】根据题意，分析可得两次罚球中两次都名中的概率为21412525-=，由相互独立事件的概率公式可得关于p 的方程，解可得答案．【解答】解：根据题意，该队员在两次罚球中至多命中一次的概率为2125，则两次罚球中两次都名中的概率为21412525-=，则有2425p =，解可得25P =．【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，注意分析事件之间的关系，属于基础题．2．某市在创建“全国文明城市”活动中大力加强垃圾分类投放宣传．某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”、“有害垃圾”四种不同的垃圾桶．一天，居民小陈提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有两袋垃圾投对的概率为 . 【分析】根据古典概率模型的概率公式即可求解．【解答】解：4袋不同垃圾投4个不同的垃圾桶有4424A =种不同投法，而恰好有两袋垃圾投对的投法数为246C =， ∴恰好有两袋垃圾投对的概率61244P ==．【点评】本题考查古典概率模型的概率公式，属基础题．3．某校为落实“双减”政策．在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲、乙、丙、丁四名同学拟参加篮球、足球、乒乓球、羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为 .【分析】首先分析得到四名同学总共的选择为44个选择，然后分析恰有两人参加同一项活动的情况为2144C C ，则剩下两名同学不能再选择同一项活动，他们的选择情况为23A ，然后进行计算即可．【解答】解：每人只能等可能的选择参加其中一项活动，且可以参加相同的项目，∴四名同学总共的选择为44个选择，恰有两人参加同一项活动的情况为2144C C ，剩下两名同学的选择有23A 种，∴恰有两人参加同一项活动的概率为21244349416C C A ⋅⋅=．【点评】本题考查了古典概型及其概率的计算公式，解题的关键是能用排列组合的知识将满足条件的选择方案数计算出来．4．将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组各2人，则甲、乙分在同一组的概率是 . 【分析】本题是一道平均分组问题，将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，有两个组都是两个人，而这两个组又没有区别，所以分组数容易重复，甲、乙分到同一组的概率要分类计算【解答】解：不同的分组数为3227421052!C C C a ==甲、乙分在同一组的方法种数有（1）若甲、乙分在3人组，有122542152!C C C =种（2）若甲、乙分在2人组，有3510C =种，故共有25种，所以25510521P ==．【点评】平均分组问题是概率中最困难的问题，解题时往往会忽略有些情况是相同的5．从1到10这十个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另两个数之和的概率是 .【分析】所有的取法有310120C =种，其中一个数是另两个数之和的取法用力矩发求得共计20种，由此求得一个数是另两个数之和的概率．【解答】解：所有的取法有310120C =种，其中一个数是另两个数之和的取法有(1，2，3)、(1，3，4)、(1，4，5)、(1，5，6)、(1，6，7)、(1，7，8)、(1，9，10)、(2，3，5)、(2，4，6)、(2，5，7)、(2，6，8)、(2，7，9)、(2，8，10)、(3，4，7)、(3，5，8)、(3，6，9)、(3，7，10)、(4，5，9)、(4，6，10)，共计20种，故其中一个数是另两个数之和的概率是2011206=．【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题．6．把12枚相同的硬币分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少分到1枚，且他们拿到的硬币数量互不相同，则甲同学恰好拿到两枚硬币的概率为.【分析】利用插空法和古典概型可解决此题．【解答】解：根据插空法得把12枚相同的硬币分给甲、乙、丙三位同学，每位同学至少分到1枚的情况共2 1155C=种，其中甲、乙、丙三位同学拿到硬币有相同情况有(1，1，10)，(1，10，1)，(10，1，1)，(2，2，8)，(2，8，2)，(8，2，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(4，4，4)，(5，5，2)，(5，2，5)，(2，5，5)共计13种，故他们拿到的硬币数量互不相同的情况共有551342-=（种)，甲同学恰好拿到两枚硬币的情况共有1936C-=（种)，∴甲同学恰好拿到两枚硬币的概率为61 427=．【点评】本题考查插空法和古典概型，考查数学运算能力及抽象能力，属于中档题．7．2021年7月，我国河南省多地遭受千年一遇的暴雨，为指导防汛救灾工作，某部门安排甲，乙，丙，丁，戊五名专家赴郑州，洛阳两地工作，每地至少安排一名专家，则甲，乙被安排在不同地点工作的概率为.【分析】分郑州安排1名专家，洛阳安排4名专家，郑州安排2名专家，洛阳安排3名专家，郑州安排3名专家，洛阳安排2名专家，郑州安排4名专家，洛阳安排1名专家，四类分别求出每地至少安排一名专家和甲，乙被安排在不同地点工作的排法种数，从而得出答案．【解答】解：当郑州安排1名专家，洛阳安排4名专家，则有155C=种排法；郑州安排2名专家，洛阳安排3名专家，则有2510C=种排法；郑州安排3名专家，洛阳安排2名专家，则有3510C=种排法；郑州安排4名专家，洛阳安排1名专家，则有455C=种排法；所以每地至少安排一名专家共有51010530+++=种不同的排法，若甲，乙被安排在不同地点工作，当郑州安排1名专家，洛阳安排4名专家，则有122C=种排法；郑州安排2名专家，洛阳安排3名专家，则有11236C C⋅=种排法；郑州安排3名专家，洛阳安排2名专家，则有12236C C⋅=种排法；郑州安排4名专家，洛阳安排1名专家，则有13232C C ⋅=种排法；所以甲，乙被安排在不同地点工作，共有266216+++=种不同的排法，所以甲，乙被安排在不同地点工作的概率为1683015=．【点评】本题考查古典概型及其计算公式，考查学生的分析解决问题的能力，属于中档题．8．为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着A ，B ，C 三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户进行产业帮扶．经过前期走访得知，这四个贫困户甲、乙、丙、丁选择A ，B ，C 三个项目的意向如表：扶贫项目 ABC选择意向贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁若每个贫困户只能从自己登记的选择意向中随机选取一项，且每个项目至多有两户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为 .【分析】由题意可知，甲乙只能选A ，B 项目，丁只能选A ，C 项目，丙则都可以．所以分成三类将所有情况计算出来，套用概率公式计算即可．【解答】解：由题意：甲乙只能选A ，B 项目，丁只能选A ，C 项目，丙则都可以．由题意基本事件可分以下三类：（1）甲乙都选A ，则丁只能选C ，丙则可以选B ，C 任一个，故共有2种方法；（2）甲乙都选B ，则丁可以选A 或C ，丙也可选A 或C ，故共有11224C C =种方法．（3）甲乙分别选AB 之一，然后丁选A 时，丙只能选B 或C ；丁选C 时，丙则A ，B ，C 都可以选．故有211223()10A C C +=种方法．故基本事件共有241016++=种．甲乙选同一种项目的共有246+=种．故甲乙选同一项目的概率63168P ==．【点评】本题考查了古典概型概率的计算方法，分类求基本事件时有一定难度．属于中档题， 9．在中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、丁4名游客准备到贵州的黄果树瀑布、梵净山、万峰林三个景点旅游参观，其中的每个人只去一个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去梵净山的概率为 .【分析】分类计算游客甲去梵净山包含的基本事件的个数，代入古典概型的概率计算公式即可．【解答】解：设{A=游客甲去梵净山}，则基本事件的总数为112321431236C CC AA⨯=个．事件A发生时①若甲单独去梵净山，有22326C A⨯个基本事件，②去梵净山的游客除甲外还有1人，则有12326C A⨯=个基本事件．P∴（A）661363+==．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，在求事件A包含的基本事件个数时，牵扯到了平均分组问题，容易出错，本题为中档题．10．年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数2101-60岁至79岁的人数120133341380岁及以上的人数918149其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，1-代表“生活不能自理”．按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．则被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率是35（用分数作答）．【分析】由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．列举出从这五人中抽取3人的选法，列举出恰有1位老龄人的健康指数不大于0的选法，代入古典概型概率公式求出．【解答】解；该小区健康指数大于0的老龄人共有280人，健康指数不大于0的老龄人共有70人，由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B．从这五人中抽取3人，结果有10种：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，)B，(1，3，4)，(1，3，)B，(1，4，)B，(2，3，4)，(2，3，)B，(2，4，)B，(3，4，B，)，其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种：(1，2，)B ，(1，3，)B ，(1，4，)B ，(2，3，)B ，(2，4，)B ，(3，4，B ，)，∴被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为63105= 故答案为：35【点评】本题考查概率的计算，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题． 11．据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分m 个(m 为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是 .【分析】根据等差数列前n 项和公式得出首项与公差m 的关系，列举得出所有的分配方案，从而得出结论．【解答】解：由题意可知等级从低到高的5个诸侯所分的橘子个数组成等差为m 的等差数列，设“男”分的橘子个数为1a ，其前n 项和为n S ，则51545802S a m ⨯=+⨯=，即1216a m +=，且1a ，m 均为正整数，若12a =，则7m =，此时530a =，若14a =，6m =，此时528a =，若16a =，5m =，此时526a =，若18a =，4m =，此时524a =，若110a =，3m =，此时522a =，若112a =，2m =，此时520a =，若114a =，1m =，此时518a =， ∴ “公”恰好分得30个橘子的概率为17．【点评】本题考查了等差数列的性质，古典概型的概率计算，属于中档题．12．某中学高一、高二各有一个文科和一个理科两个实验班，现将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每个班级去一所高校，每所高校至少有一个班级去，则恰好有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的概率为 .【分析】求出所有的分配方案和符合条件的分配方案，代入概率计算公式计算．【解答】解：将这四个班级随机分配到上海交通大学和浙江大学两所高校进行研学，每所高校至少有一个班级去，则共有42214-=种分配方案．恰有一个文科班和一个理科班分配到上海交通大学的方案共有224⨯=种，42147P ∴==．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，是基础题．13．2022年2月4日第24届冬季奥林匹克运动会在北京盛大开幕，中国冬奥健儿在赛场上摘金夺银，在国内掀起一波冬奥热的同时，带动了奥运会周边产品的热销，其中奥运吉祥物冰墩墩盲盒倍受欢迎，已知冰墩墩盲盒共有7个，6个是基础款，1个是隐藏款，随机购买两个，买到隐藏款的概率为 . 【分析】利用古典概型、排列组合直接求解．【解答】解：冰墩墩盲盒共有7个，6个是基础款，1个是隐藏款，随机购买两个，基本事件总数2721n C ==，买到隐藏款包含的基本事件个数11166m C C ==， ∴买到隐藏款的概率62217m P n ===．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14．抛挪一枚硬币，每次正面出现得1分，反面出现得2分，则恰好得到10分的概率是 6831024．【分析】分类讨论，依据独立重复试验公式即可求得恰好得10分的概率．【解答】解：抛掷一枚硬币，得1分的概率为12，得2分的概率为12，恰好得到10分可分为6种情况：5个2分，共抛掷5次，概率为55511()232C ⨯=； 4个2分，2个1分，共抛掷6次，概率为466115()264C ⨯=； 3个2分，4个1分，共抛掷7次，概率为377135()2128C ⨯=； 2个2分，6个1分，共抛掷8次，概率为28817()264C ⨯=；1个2分，8个1分，共抛掷9次，概率为19919()2512C ⨯=； 10个1分，共抛掷10次，概率为1011()21024=；故恰好得到10分的概率是1153579168332641286451210241024+++++=，故答案为：6831024．【点评】本题考查了独立重复试验的应用及分类讨论的思想方法应用，属于中档题．15．六位身高全不相同的同学拍照留念，摄影师要求前后两排各三人，则后排每人均比前排同学高的概率是120．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是6个人进行全排列，共有66A 种结果，满足条件的事件是后排每人均比其前排的同学身材要高，则身高高的三个同学在后排排列，其余三个同学在前排排列，据概率公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是等可能事件的概率，试验发生包含的事件是6个人进行全排列，共有66720A =种结果，满足条件的事件是后排每人均比其前排的同学身材要高，则身高高的三个同学在后排排列，其余三个同学在前排排列，共有3333A A 种结果， ∴后排每人均比前排同学高的概率是36172020=，故答案为：120【点评】本题考查等可能事件的概率，站队问题是排列组合中的典型问题，解题时要先排限制条件多的元素，把限制条件比较多的元素排列后，再排没有限制条件的元素．2. 排列组合1．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全“，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上．排成一个五个音阶的音序．且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成 32 种不同的音序．【分析】根据角所在的位置，分两类，根据分类计数原理可得．【解答】解：若角排在一或五，有12A 种方法，再排商、徵，有22A 种方法，排宫、羽用插空法，有23A 种方法，利用乘法原理可得：12222324A A A =种，若角排在二或四，同理可得：有222228A A =，根据分类计数原理可得，共有24832+=种，故答案为：32．【点评】本题考查排列排列组合及简单计数问题，本题较抽象，计数时要考虑周详，本题以实际问题为背景，有着实际背景的题在现在的高考试卷上有逐步增多的趋势．2．从0，1，2，3，4，5中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如5224，则这样的四位数共有600个．【分析】根据题意，分当0被选用，且用两次；当0被选用，但用一次；当0没被选用三种情况讨论求解即可．【解答】解：当0被选用，且用两次，则先在个位，十位，百位这3个位置上选2个位置放0，再从剩下的5个数中选2个数字排在其他两个位置上，故有223560C A=个；当0被选用，但用一次，则先在个位，十位，百位这3个位置上选1个位置放0，再从剩下的5个数字中选2个数字，进而从选出的两个数字中选一个为出现两次的数字，最后在剩下的三个位置上选一个位置放置选出的2个数字中出现1次的数字，进而完成任务，故有12113523180C C C C=个；当0没被选用，则从1，2，3，4，5选3个数字，再从中选一个出现两次的数字，最后将其他两个数字选2个位置排序，故有312534360C C A=个所以，一共有60180360600++=个．故答案为：600．【点评】本题考查排列组合，考查学生推理能力，属于中档题．3．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有36种（用数字作答）．【分析】根据题意，分3步进行分析：①，先在4个社团中任选2个，有学生报名，②、将3名学生分为2组，③，进而将2组全排列，对应2个社团，分别求出每一步的情况数列，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①，根据题意，4个社团中恰有2个社团，即只有2个社团有人报名，则先在4个社团中任选2个，有学生报名，有246C=种选法，②、将3名学生分为2组，有233C=种分法，③，进而将2组全排列，对应2个社团，有222A=种情况，则恰有2个社团没有同学选报的报法数有63236⨯⨯=种；故恰有2个社团没有同学选报的报法数有36种；故答案为：36【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，关键是正确进行分步分析．4．设集合1{(A x =，2x ，3x ，4x ，5)|{1i x x ∈-，0，1}，1i =，2，3，4，5}，则集合A 中满足条件“123451||||||||||3x x x x x ++++”元素个数为 130 ．【分析】从条件“123451||||||||||3x x x x x ++++”入手，讨论i x 所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．【解答】解：由{1i x ∈-，0，1}，1i =，2，3，4，5}，集合A 中满足条件“123451||||||||||3x x x x x ++++”，由于||i x 只能取0或1，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况： ①i x 中有2个取值为0，另外3个从1-，1中取，共有方法数：2352⨯； ②i x 中有3个取值为0，另外2个从1-，1中取，共有方法数：3252⨯； ③i x 中有4个取值为0，另外1个从1-，1中取，共有方法数：452⨯．∴总共方法数是：23324555222130⨯+⨯+⨯=．故答案为：130．【点评】本题考查了组合数的计算公式及其思想、集合的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．5．从1，2，3，4，5，6这6个数中随机取出5个数排成一排，依次记为a ，b ，c ，d ，e ，则使a b c d e +为奇数的不同排列方法有 180 种．【分析】按照分类讨论，先选后排的步骤，求出结果．【解答】解：（分类讨论：先选后排）若a b c 为奇数，d e 为偶数时，有323336A A ⨯= 种；若a b c 为偶数，d e 为奇数时，有2334144A A ⨯= 种；故a b c d e +为奇数的不同排列方法有共36144180+=种，故答案为：180．【点评】本题主要考查排列组合的应用，属于中档题．6．现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有 40 种．【分析】根据题意，先排好7个空车位，注意空车位是相同的，其中有6个空位符合条件，考虑顺序，将3车插入6个空位中，注意甲必须在乙、丙两车之间，由倍分法分析可得答案．【解答】解：先排7个空车位，由于空车位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空位符合条件，考虑三车的顺序，将3辆车插入6个空位中，则共有361120A ⨯=种情况，由于甲车在乙、丙两车之间，则有符合要求的坐法有1120403⨯=种；故答案为：40．【点评】本题考查排列、组合的应用，对于不相邻的问题采用插空法．7．某翻译处有8名翻译，其中有小张等3名英语翻译，小李等3名日语翻译，另外2名既能翻译英语又能翻译日语，现需选取5名翻译参加翻译工作，3名翻译英语，2名翻译日语，且小张与小李恰有1人选中，则有 29 种不同选取方法【分析】据题意，对选出的3名英语教师分5种情况讨论：①若从只会英语的3人中选3人翻译英语，②若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张），③若从只会英语的3人选小张翻译英语，④、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（不包含小张），⑤、若从只会英语的3人中选1人翻译英语，（不包含小张），每种情况中先分析其余教师的选择方法，由分步计数原理计算每种情况的安排方法数目，进而由分类计数原理，将其相加计算可得答案．【解答】解：根据题意，分5种情况讨论： ①、若从只会英语的3人中选3人翻译英语，则需要从剩余的4人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有246C =种， ②、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的3人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有11222312C C C ⨯⨯=种， ③、若从只会英语的3人选小张翻译英语，则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的2人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有22221C C⨯=种，④、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（不包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的4人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有2112236C C C⨯⨯=种，⑤、若从只会英语的3人中选1人翻译英语，（不包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的3人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有1212224C C C⨯⨯=种，则不同的安排方法有61216429++++=种．故答案为：29．【点评】本题考查排列、组合的运用，注意根据题意对“既会英语又会日语”的教师的分析以及小张与小李恰有1人选中，是本题的难点所在．8．有6张卡片分别写有数字1，1，1，2，3，4，从中任取3张，可排出不同的三位数的个数是34．（用数字作答）【分析】根据题意，按取出3张的卡片中写有1的卡片的张数分4种情况讨论，求出每种情况下排出不同的三位数的个数，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：①、取出3张的卡片全部是写有数字1的，有1种情况，②，取出3张的卡片有2张写有数字1的，有11339C C=种情况，③，取出3张的卡片有1张写有数字1的，有223318C A=种情况，④，取出3张的卡片没有写有数字1的，有336A=种情况，则一共有1918634+++=种情况，即可以排出34个不同的三位数；故答案为：34．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意6张卡片中相同的情况．9．分配4名水暖工去3个不同的民居家里检查暖气管道，要求4名水暖工部分配出去，并每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有36种（用数字作答）．【分析】根据题意，分2步分析：①，将4名水暖工分成3组，②，将分好的三组全排列，对应3个不同的居民家，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2步分析：①，将4名水暖工分成3组，有246C=种分组方法，②，将分好的三组全排列，对应3个不同的居民家，有336A=种分配方法，则有6636⨯=种不同的分配方案；故答案为：36．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列．10．3名男生和3名女生站成一排，要求男生互不相邻，女生也互不相邻且男生甲和女生乙必须相邻，则这样的不同站法有40种（用数字作答）．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，六名学生按男女男女男女排列，②，六名学生按女男女男女男排列，分析每种情况的安排方法数，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求3名男生和3名女站成一排，男生、女生各不相邻，则有2种情况；①，六名学生按男女男女男女排列，若男生甲在最左边的位置时，女生乙只能在其右侧，有1种情况，剩下的2名男生和女生都有222A=种情况，此时有1224⨯⨯=种安排方法，若男生甲不在最左边的位置时，女生乙可以在其左侧与右侧，有2种情况，剩下的2名男生和女生都有222A=种情况，此时有222216⨯⨯⨯=种安排方法；则此时有41620+=种安排方法；②，六名学生按女男女男女男排列，同理①，也有20种安排方法，则符合条件的安排方法有202040+=种；故答案为：40【点评】本题考查排列组合的应用，注意优先分析受到限制的元素．11．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为.【分析】不考虑特殊情况，共有316C 种取法，其中每一种卡片各取三张，有344C 种取法，两种红色卡片，共有21412C C 种取法，由此可得结论．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有316C 种取法，其中每一种卡片各取三张，有344C 种取法，两种红色卡片，共有21412C C 种取法，故所求的取法共有332116441245601672472C C C C --=--= 故选：C ．【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．12．因演出需要，身高互不相等的8名演员要排成一排成一个“波浪形”，即演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第六个依次递减，第六、七、八个依次递增，则不同的排列方式有 .种【分析】依题意，重点要先排好3号位和6号位，余下的分类讨论分析即可．【解答】解：上面的数字表示排列的位置，必须按照上图的方式排列，其中3号位必须比12456要高，1，6两处是排列里最低的，3，8两处是最高点，设8个演员按照从矮到高的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，则 3号位最少是6，最大是8，下面分类讨论：①第3个位置选6号：先从1，2，3，4，5号中选两个放入前两个位置，余下的3个号中放入4，5，6号顺序是确定的只有一种情况，然后7，8号放入最后两个位置也是确定的，此时共2510C =种情况；②第3个位置选7号：先从1，2，3，4，5，6号中选两个放入前两个位置，余下的4个号中最小的放入6号位置，剩下3个选2个放入4，5两个位置，余下的号和8号放入最后两个位置，此时共226345C C =种情况；。

排列组合概率题解题技巧

排列组合概率题解题技巧排列组合概率题解题技巧有哪些?怎么样解决这类问题?下面是小编为大家整理的关于排列组合概率题解题技巧，希望对您有所帮助。

欢迎大家阅读参考学习!排列组合概率题解题技巧1.排列、组合、概率与错位公式2.排列组合概率解题思路——分类法3.例题1：繁琐的计算导致正确率变低4.例题2：通过选项思考暴力的可能性5.例题3：极为简单，一半做错的题6.例题4：分不同情况考虑安排方案7.例题5：分不同情况考虑安排方案8.例题6：理解排列组合题的关键一、排列、组合、概率与错位公式「数量关系」板块中的「排列、组合、概率」方面的题目每年必考、国考省考都会考，而此类题的难度一般较高，因此掌握它们的解题方法是非常有必要的。

总体来说，此类题目的公式非常简单，大致只有三个半，即排列公式、组合公式、概率公式和错位排列公式。

(1)排列公式A(总个数，选出排列的个数)特点是每个个体有「排列」的独特性，谁先选、谁后选会影响结果。

例如5个人选3个排队，5个项目选3个先后完成，两种情况的运算均为：A(5，3)=5×4×3=60种方式(2)组合公式C(总个数，选出组合的个数)特点是每个个体没有「排列」的独特性，谁先选、谁后选都不影响结果。

例如5个人选3个参加比赛，5个项目选3个于今年内完成(不要求完成顺序)，则运算均为：C(5，3)=C(5，2)=5×4÷(1×2)=10种方式注意C(5，3)一般要转换为C(5，2)，其原因是：C(5，3)=5×4×3÷(1×2×3)=5×4÷2，中间要约去3，因此可能会多花两三秒钟，故要尽量节约时间。

注：排列组合公式很好记忆，由于公考中考察的「排列组合概率」题的数值不会很大，因此在实际考试中，直接在纸上用笔列草稿即可：总数×(总数-1)×(总数-2)×……一直让相乘数字的个数达到「选出的个数」，即为排列公式;再从1开始乘，乘到「选出的个数」，用排列公式得出的结果除以该数即为「组合公式」。

高数2-排列组合概率论

例10 从5个男生3个女生中选出3个学生组团参加合唱比赛，要求选出的学生中至多有1个女生，有多少种不同的组团方式？解：分两种情况考虑：一是没有1个女生；二是恰有1个女生．
5 43 5 4 3 40 C C C C 3 2 1 2 1 1
3 5 0 3 2 5 1 3
概率论初步
• • • • 随机事件事件的概率条件概率、乘法公式、独立性一维随机变量及其数字特征
• 确定性现象 • 随机现象
随机试验
在一定条件下必然发生某种结果的现象；在一定条件下不能确定发生某种结果的现象．
• 随机试验
对随机现象进行观察或实验称为(随机)试验： ① 相同条件下可以重复进行； ② 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果； ③ 每次试验在其最终结果揭晓之前，无法预知会发生哪一个可能的结果．
历年试题——概率论初步之1110
随机事件A与B为互不相容事件，则 P(AB) = ( D ) A．P(A) + P(B) B．P(A)P(B) C．1 D．0 解：因为随机事件A与B为互不相容事件；所以 P(A + B) = P(A) + P(B) 因为 P(A + B) = P(A) + P(B) P(A)P(B) 所以 P(AB) = 0
5 P5 5! 5 4 3 2 1 120
例5 数字1、2、3、4、5可以排成多少个不同的3位偶数？解：按先排个位，再排百位和十位的顺序排列，根据乘法原理进行计算
P P 2 4 3 24
1 2 2 4
组合
从 n 个不同元素里，任取 m (1 m n )个元素组成一组，叫做从 n 个不同元素里取出 m 个元素的一个组合．从 n 个不同元素取出 m (1 m n )个元素的所有组合的个数，叫做 n 个不同元素取出 m 个元素的组合数， m 记作 C n ．

高中数学排列组合概率统计

排列组合：1．排列及计算公式．排列及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n 2)……(n 2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式．组合及计算公式从n 个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同元素中取出m(m m(m≤n)≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式．其他排列与组合公式从n 个元素中取出r 个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n 个元素被分成k 类，每类的个数分别是n1,n2,...nk 这n 个元素的全排列数为个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k 类元素,每类的个数无限,从中取出m 个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n 为下标，m 为上标)）Pnm=n×（n-1）（n-m+1）；Pnm=n ！/（n-m ）！（注：！是阶乘符号）；Pnn （两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =n ！；0！=1；Pn1（n 为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)） Cnm=Pnm/Pmm Cnm=Pnm/Pmm ；；Cnm=n Cnm=n！！/m /m！（！（！（n-m n-m n-m）！；）！；）！；Cnn Cnn Cnn（两个（两个n 分别为上标和下标）分别为上标和下标） =1 =1 =1 ；；Cn1Cn1（（n 为下标1为上标）为上标）=n =n =n；；Cnm=Cnn-m排列定义从n 个不同的元素中，取r 个不重复的元素，按次序排列，称为从n 个中取r 个的无重排列。

排列组合相关的概率

排列组合相关的概率
在概率理论中，排列和组合都与计算事件发生的可能性有关。

排列是指从一组元素中选取一部分元素进行排列的方式。

排列考虑元素的顺序。

假设有n个元素，要从中选取r个元素进行排列，则排列的总数可以表示为P(n, r)。

P(n, r) = n! / (n - r)!
其中，"!"表示阶乘运算，即将一个正整数n与小于n的正整数连乘。

排列的顺序对结果产生影响。

组合是指从一组元素中选取一部分元素进行组合的方式。

组合不考虑元素的顺序。

同样假设有n个元素，要从中选取r个元素进行组合，则组合的总数可以表示为C(n, r)。

C(n, r) = n! / (r!(n - r)!)
下面是一些排列组合相关的例子：
1. 排列的例子：
- 有5个人参加比赛，选取其中3个人获得前三名的排名情况，共有P(5, 3) = 60种可能性。

2. 组合的例子：
- 有10个苹果，从中选取其中4个苹果放入篮子，共有C(10, 4) = 210种组合方式。

在实际的概率计算中，排列和组合常常用于确定事件发生的可能性，从而帮助我们预测和分析各种情况的概率。

排列组合概率公式

排列组合概率公式好的，以下是为您生成的文章：在咱们的数学世界里啊，排列组合概率公式就像是一群调皮又神秘的小精灵，有时候让咱们摸不着头脑，有时候又能带来惊喜。

先来说说排列吧。

排列这小家伙，就像是给一群小伙伴排队，顺序那可是相当重要。

比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，这就得考虑顺序啦。

这时候咱们用的公式就是 A(n,m) = n! / (n - m)! 。

举个例子，从 5 个人里选 3 个站成一排拍照，那就是 A(5,3) = 5! / (5 - 3)!= 60 种排法。

这就好像是让这 3 个人轮流站在不同的位置上，每个位置都有特定的意义。

再讲讲组合。

组合呢，就没那么在意顺序啦，只要选出来就行。

比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个放进篮子里，不管顺序怎么样，只要是这 3 个水果就行。

这时候用的公式就是 C(n,m) = n! / [m! * (n -m)!] 。

还是刚才那 5 个人，选 3 个组成一个小组，那就是 C(5,3) = 5! / [3! * (5 - 3)!] = 10 种选法。

然后就是概率啦。

概率就像是在预测未来一样，充满了不确定性和惊喜。

比如说扔骰子，想知道扔出 3 的概率，那就是 1/6。

记得有一次，我和朋友去商场抽奖。

那个抽奖箱里放着好多不同颜色的小球，红色的、蓝色的、绿色的。

规则是从里面随机摸出3 个球，如果都是红色就算中奖。

这可把我们难住了，到底中奖的概率有多大呢？我们就开始用刚学的排列组合概率公式来计算。

先算总的可能性，就是从一堆球里选 3 个的组合数，然后再算都是红色球的情况。

算来算去，脑袋都快晕了。

最后终于算出来了，发现中奖的概率还挺小的。

虽然那次没中奖，但是通过这个过程，让我对排列组合概率公式的理解更深刻了。

在生活中，排列组合概率公式的应用可多了去了。

比如买彩票，计算中奖的概率；还有玩游戏，猜中某个结果的可能性。

学会了这些公式，咱们就能更清楚地看清这些事情背后的数学规律。

排列组合条件概率_概述说明以及解释

排列组合条件概率概述说明以及解释1. 引言1.1 概述: 在概率论中，排列组合条件概率是一种重要的计算方法，它涉及到排列组合的基础知识和条件概率概念。

通过理解排列组合的概念和条件概率的计算方法，我们可以更好地分析事件之间的关系，并作出准确的推断和预测。

1.2 文章结构: 本文将首先介绍排列组合的基础知识，包括什么是排列组合、排列与组合的区别以及其应用领域。

接着将详细阐述条件概率的定义、计算方法和与独立性的关系。

然后将探讨排列组合在条件概率中的具体应用，并通过实例分析展示其计算过程和结果。

最后，文章将总结主要内容和结论，展望未来研究方向，并给出结束语。

1.3 目的: 本文旨在帮助读者深入了解排列组合条件概率的理论知识和实际运用，在学习、工作或研究中能够灵活运用这一方法进行问题求解和决策。

通过阅读本文，读者将能够掌握排列组合条件概率的相关概念、原理和应用技巧，提高数学分析和推理能力。

排列组合是组合数学中的一个重要概念，它涉及到对元素进行有序或无序的排列和选择。

在排列中，我们考虑元素的先后顺序，而在组合中则只考虑元素的选择而不考虑顺序。

例如，假设有三个数字1、2、3，在排列中可能会有123、132、213、231、312和321这六种不同的排列方式；而在组合中只有123这一种选择方式。

排列与组合之间的主要区别在于是否考虑元素的排列顺序。

在实际问题中，通常需要根据具体情况来确定使用排列还是组合。

排列通常用于涉及具体次序或位置信息的问题，如密码锁密码的可能性计算；而组合则更多用于涉及选取对象数量而不考虑次序的问题，比如从一组人员当中选出一个小组成员。

排列和组合都在各种领域得到广泛应用。

在计算机科学和信息技术领域，排列和组合用于数据压缩、加密算法等方面；在统计学和概率论领域，排列和组合是条件概率、事件独立性等问题的基础；在经济学和管理学领域，排列和组合可用于市场调查、产品分析等决策问题。

总之，了解排列与组合知识将有助于我们更好地解决各种实际问题，并为进一步探讨条件概率提供坚实基础。

数学运算题型篇第十四排列组合与概率

天智新思维公考培训《行政职业能力基础课程》作者：天字1号（徐克猛）二零一三年三月十七日写于无锡第二章数学运算基础题型十四、排列组合与概率1. 排列组合的基础知识(1)、什么是C公式C 是指组合，从N 个元素取R 个，不进行排列（即不排序）。

例如：编号1～3的盒子，我们找出2个来使用,这里就是运用组合而不是排列，因为题目只是要求找出2个盒子的组合，即23C =3(2)、什么是A 或P公式A 或P 都是指排列，只是因为不同时期教材版本不一样采取的表现形式也不一样。

对于P 或A 的含义相当于是：从N 个元素取R 个进行排列(即排序)。

例如：1～3，我们取出2个数字出来组成2位数，可以是先取23C ，后排22A ，就构成了 23C ×22A ＝23A(3)、A 和C 的关系事实上通过我们上面2个对定义的分析，我们可以看出的是，A 比C 多了一个排序步骤，即组合是排列的一部分且是第一步骤。

(4)、计算方式以及技巧要求组合：C m n =m !(m −n )!×n !条件：N<=M 排列：A m n =m !(m −n )!条件：N<=M 为了在做排列组合的过程中能够对速度有必要的要求，我需要大家能够熟练的掌握1～7的阶乘，当然在运算的过程中，我们要学会从逆向思维角度考虑问题，例如n m C 当中n 取值过大，那么我们可以看m-‐n 的值是否也很大，如果不大，我们可以求n m m C −，因为n mC ＝n m m C −。

2. 排列组合的基本形式排列组合当中重要的解题思想核心就是根据题目的特点学会“分类”和“分步”，“分类”是指分情况讨论，一道排列组合可能有几种不同的情况；而“分步”则是指一道排列组合题目按照步骤解题，将其分解成若干个步骤。

分类：加法原则，即学会把一个复杂的排列组合问题分解成若干部分，每个部分是独立的相互之间没有关联，然后把这若干种情况求出来，再计算总和。

高中数学公式大全排列组合与概率计算公式

高中数学公式大全排列组合与概率计算公式高中数学公式大全：排列组合与概率计算公式一、排列组合1. 排列公式排列是指从一个有限元素集合中选取若干元素按照一定的顺序进行排列的方法。

当从n个不同元素中选取r个元素进行排列时，排列数可以用以下公式表示：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，P(n, r)表示从n个元素中选取r个元素进行排列的总数，n!表示n的阶乘。

2. 组合公式组合是指从一个有限元素集合中选取若干元素，不考虑元素的顺序进行组合的方法。

当从n个不同元素中选取r个元素进行组合时，组合数可以用以下公式表示：C(n, r) = n! / [r! * (n-r)!]其中，C(n, r)表示从n个元素中选取r个元素进行组合的总数。

二、概率计算1. 概率公式概率是指某个事件在所有可能事件中发生的可能性大小。

一般用P(A)表示事件A的概率。

当事件 A、B 互斥且独立时，可以使用以下概率公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)其中，P(A ∪ B)表示事件 A 或事件 B 发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件 A 和事件 B 发生的概率。

2. 条件概率公式条件概率是指在已知事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。

可以使用以下条件概率公式计算：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，P(A ∩ B)表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B)表示事件 B 发生的概率。

3. 乘法定理乘法定理是指在一系列独立事件中，它们同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积。

可以使用以下乘法定理计算：P(A ∩ B) = P(A) * P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件 A 和事件 B 发生的概率。

4. 加法定理加法定理是指当两个事件互斥时，它们其中一个事件发生的概率等于两个事件发生概率的和。

排列组合概率例题与讲解

排列组合概率例题与讲解排列、组合与概率一、基本知识点回顾：（一）排列、组合1、知识结构表：2、两个基本原理：（1）分类计数原理（2）分步计数原理3、排列（1）排列、排列数定义（2）排列数公式：（3）全排列公式：4、组合（1）组合、组合数定义（2）组合数公式：（3）组合数性质：①②③④⑤即：5、思想方法（1）解排列组合应用题的基本思路：①将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步②对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；（2）解排列组合题的基本方法：①优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；②排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

③分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不重复不遗漏。

④分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中，常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。

⑤插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。

⑥捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。

⑦穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。

（二）二项式定理历年高考中对二项式定理的考查主要有以下两种题型：1、求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；2、求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数的区别；（三）概率1、随机事件的概率2、等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A包容的结果有m个，那么事件A的概率；3、互斥事件的概率：（1）互斥事件：试验时不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件；对立事件：试验时如果两个互斥事件A、B必有一个发生，那么称A、B为对立事件；(2)互斥事件有一个发生的概率：设A、B互斥，把A、B中有一个发生的事件记为A+B，则有：P（A+B）=P（A）+P（B）(3)把一个事件A的对立事件记为，则：4、相互独立事件的概率：（1）相互独立事件：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件；（2）相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件A、B同时发生的事件记作，则：(3)独立重复试验：如果一次试验中某事件发生的概率是p，那么n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为：5、解概率题关键是把应用题转化为相应的概率模型，即要弄清所求事件是属于何种事件，然后利用相关的公式进行计算。

第十三章排列组合与概率(高中数学竞赛标准教材)

第十三章排列组合与概率(高中数学竞赛标准教材)第十三章排列组合与概率一、基础知识．加法原理：做一件事有n类办法，在第1类办法中有1种不同的方法，在第2类办法中有2种不同的方法，……，在第n类办法中有n种不同的方法，那么完成这件事一共有N=1+2+…+n种不同的方法。

．乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有1种不同的方法，第2步有2种不同的方法，……，第n步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=1×2×…×n种不同的方法。

．排列与排列数：从n个不同元素中，任取个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出个元素的一个排列，从n个不同元素中取出个元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出个元素的排列数，用表示，=n…=,其中,n∈N,≤n,注：一般地=1，0！=1，=n!。

．N个不同元素的圆周排列数为=!。

．组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出个构成原集合的一个子集。

从n个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个元素的组合数，用表示：．组合数的基本性质：；；；；；。

．定理1：不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解的个数为。

[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。

反之B中每一个解,将xi作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,…,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有种。

故定理得证。

推论1不定方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数为推论2从n个不同元素中任取个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的可重组合，其组合数为．二项式定理：若n∈N+,则n=.其中第r+1项Tr+1=叫二项式系数。

高中数学排列组合与概率的综合应用题解析

高中数学排列组合与概率的综合应用题解析在高中数学中，排列组合与概率是一个重要的知识点，也是学生们较为薄弱的部分。

本文将通过具体的题目举例，分析其考点，并给出解题技巧，以帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。

一、题目一：从1、2、3、4、5、6六个数字中任选三个数字，组成三位数，求能被3整除的三位数的个数。

解析：这是一个典型的排列组合问题。

我们需要从六个数字中任选三个数字，组成三位数。

首先，我们可以确定百位上的数字只能是1、2、3，因为0不能作为三位数的百位数。

然后，十位和个位上的数字可以是任意的。

所以，我们需要计算的是从1、2、3中选取一个数字作为百位数，从1、2、3、4、5、6中选取两个数字作为十位和个位数的排列数。

根据排列组合的知识，我们知道从n个不同元素中取出m个元素的排列数可以表示为P(n,m) = n!/(n-m)!，其中，n!表示n的阶乘。

根据题目要求，我们可以得到P(3,1) * P(6,2) = 3!/(3-1)! * 6!/(6-2)! = 3 * 6 * 5 = 90。

所以，能被3整除的三位数的个数为90个。

二、题目二：有6个红球，4个蓝球和2个绿球，从中任选5个球，求至少选到一个红球的概率。

解析：这是一个概率问题。

我们需要计算从12个球中任选5个球至少选到一个红球的概率。

首先，我们可以计算从12个球中任选5个球的总的可能性，即C(12,5) =12!/(5!*(12-5)!) = 792。

然后，我们需要计算选到至少一个红球的情况。

选到至少一个红球可以分为两种情况：选到1个红球和4个其他球，或者选到2个红球和3个其他球。

对于第一种情况，我们可以计算C(6,1) * C(6,4) =6!/(1!*(6-1)!) * 6!/(4!*(6-4)!) = 6 * 15 = 90。

对于第二种情况，我们可以计算C(6,2)* C(6,3) = 6!/(2!*(6-2)!) * 6!/(3!*(6-3)!) = 15 * 20 = 300。

体育单招复习三(排列组合、概率)【范本模板】

体育单招复习三(排列组合概率）一排列组合（1）计数原理1.分类计数原理(加法原理)1.在填写志愿时，一名高中毕业生了解到，在A 大学里有4种他所感兴趣的专业，在B 大学里有5种感兴趣的专业，如果这名学生只能选择一个专业，那么他共有多少种选择?2。

一工作可以用2种方法完成，有5人只会用第一种方法完成，另有4人只会用第二种方法完成，从中选出一人来完成这项工作，不同的选法的种数是2。

分步计数原理（乘法原理）1。

从A 村到B 村的道路有3条,从B 村到C 村的道路有2条，从A 村经B 村到C 村,不同的线路种数是2.设某班有男生30名,女生24名.现要从中选出男、女生一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？3.从集合{}1,2,3和{}1,4,5,6中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_;3。

分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．1.书架的第一层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。

（1）从书架中任意取一本书,有多少种取法？（2)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？2。

现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名,问：（1）从中任选一名参加接待外宾活动，有多少种不同的选法？（2）从3个年级的学生各选一名参加接待外宾活动,有多少种不同的选法？(2）排列定义（1)排列数公式!(1)(2)(1)()()!mn n A n n n n m m n n m =---+=≤-；!(1)(2)21n n A n n n n ==--⋅.(2）计算。

=23A ；=25A ；=35A ；=37A=13A ;=15A ;=17A ;=03A =05A ；=07A1.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上的指定位置，共有多少种挂法？2.从5本不同的书中选出3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法?3。

排列组合概率问题解题技巧

排列组合和概率问题在数学、统计学以及计算机科学等领域中经常遇到，解题时可以遵循以下一些技巧：1. 明确问题类型：- 排列（Permutation）：涉及对有限集合中的元素进行排序，考虑顺序的不同。

例如，从n个不同元素中取出m个进行排列。

- 组合（Combination）：同样是从n个不同元素中取出m个，但不考虑选取的顺序。

2. 公式记忆与应用：- 排列数公式：从n个不同元素中取出m个进行排列的数量为P(n, m) = n! / (n-m)!- 组合数公式：从n个不同元素中取出m个进行组合的数量为C(n, m) = P(n, m) / m! = n! / [m!(n-m)!]3. 区分有无重复元素：- 如果元素可重复选择，则需考虑使用多重集的概念或直接计算每个位置的可能性之积。

- 如果元素不可重复选择，则直接应用排列或组合公式。

4. 利用概率定义：- 概率= 有利情况数/ 总可能情况数- 在解决概率问题时，首先确定总共有多少种可能的情况，然后确定满足条件的“有利”情况有多少种。

5. 树状图和列表法：- 对于较复杂的问题，可以通过画出树状图或列举所有可能的组合方式来直观分析问题。

6. 排列组合结合概率思想：- 当涉及到概率时，先计算总的事件数量（即样本空间），再计算所求事件的数量，最后用所求事件数量除以总的事件数量得到概率。

7. 分步解决和分类讨论：- 对于多步骤或多阶段的选择问题，可采用分步计数的方法，每一步骤分别进行排列或组合计算。

- 若存在多种可能性，需要根据不同的条件分类讨论并求和。

8. 计算器和编程辅助：- 对于较大的数值计算，可以借助计算器或者编写程序进行快速准确的计算。

9. 练习与理解：- 大量做题是掌握排列组合和概率技巧的关键，通过不断实践加深对原理的理解，并培养快速识别问题类型的能力。

以上是一些基本的解题技巧，具体应用还需要结合实际题目灵活运用。

【高中数学】排列组合概率(概率)解答题C

C1.有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验．(Ⅰ) 求恰有一件不合格的概率； (Ⅱ) 求至少有两件不合格的概率．解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C ．（Ⅰ） P （A ）=0.90，P （B ）= P （C ）=0.95，P （A ）=0.10，P （B ）= P （C ）=0.05。

因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为 P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）= P （A ）·P（B ）·P（C ）+ P （A ）·P（B ）·P（C ）+ P （A ）·P（B ）·P（C ） =2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.90×0.95=0.176答：恰有一件不合格的概率为0.176。

（Ⅱ）解法一：至少有两件不合格的概率为P （A ·B ·C ）+ P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ）+P （A ·B ·C ） =0.90×05.02+2×0.10×0.05×0.95+0.10×05.02=0.012 答：至少有两件不合格的概率为0.012。

解法二：三件产品都合格的概率为P （A·B·C）=P （A ）·P（B ）·P（C ）=0.90×05.02=0.812由（1）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至少有两件不合格的概率为 1-[ P （A·B·C）+0.176]=1-（0.812+0.176）=0.012答：至少有两件不合格的概率为0.012。

【高中数学】排列组合概率(排列组合)选择题B

B1.反复抛掷一个骰子，依次记录下每一次抛掷落地时向上的点数，当记有三个不同点数时即停止抛掷，若抛掷五次恰好停止，则记有这五次点数的所有不同记录结果的种数有（ B ）A.360种B.840种C.600种D.1680种2.从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数的个数有（ C ）A ．360B ．720C ．300D ．2403.按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女的血型一定不是O 型，若某人的血型是O 型，则其父母血型的所有可能情况有 ( C )（A ）12 （B ）10 (C)9 （D ）64．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学得分各不相同情况的种数是（C ）A ．48B ．36C ．24D ．185．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有（ C ）A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种6．由1，2，3，4，5，6，7七个数字组成的无重复数字的七位数中，2，4，6从左到右按4在前，2居中，6在后的次序出现且2，4，6不相邻，这样的七位数共有（ B ）A ．3544A A 个 B ．3544C A 个 C ．3344A A 个 D ．3544A A 21 7．若m ∈{2，5，7，8}，n ∈{1，3，4，6}，方程1ny m x 22=+表示中心在原点，焦点在x 轴上的相异的椭圆个数为（ D ）A ．1414C C B ．1414C C + C ．141414C C C ⋅+ D ．1C C 21314++8．甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同的土地试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种的方法有（ B ）A ．24种B ．18种C ．12种D ．96种 6．812612412212C C C C +++的9．用四种颜色去涂图中编号为1，2，3，4的四个矩形，使得任意两个相邻的矩形的颜色都不同，这样的涂法共有（ C ）4321 A ．36种 B ．48种 C ．72种 D ．84种10．某人射击一发子弹的命中率为0.8，现在他射击19发子弹，理论和实践都表明，在这19发子弹中那么，在他射完19发子弹后，其击中目标的子弹数最可能的是（ D ）A．14发 B．15发C．16发 D．15发或16发。