对象特性机理建模和试验建模
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如果：函数 f(t) 及其各阶导数的初始值均为零，即
f (0) f (0) f (0) f ( n2) (0) f ( n1) (0) 0
则：
d n f (t ) n L s F (s) n dt
优点
具有非常明确的物理意义，所得的模型具有很大 的适应性，便于对模型参数进行调整。
对于某些对象，人们还难以写出它们的数学表 达式，或者表达式中的某些系数还难以确定时， 不能适用。
缺点
15
对象特性参量模型机理建模方法
物料平衡 能量平衡
动态条件下的平衡： 单位时间流入对象的物料（或能量）与单位时间从系 统中流出的物料（或能量）之差等于系统内物料储存 量的变换率 。 静态条件下的平衡： 单位时间流入对象的物料（或能量）等于单位时间从系 统中流出的物料。
（2-2）
Tyt yt Kxt
（2-3）
a1 1 T ,K a0 a0
上式中的系数与对象的特性有关，一般需要通过对象 的内部机理分析或大量的实验数据处理得到。
11
建模目的 （1）控制系统的方案设计 （2）控制系统的调试和控制器参数的确定 （3）制定工业过程操作优化方案 （4）新型控制方案及控制算法的确定 等等，如计算机仿真与过程培训系统
0
qv1-qv2 =dV/dt
H
dV/dt—储存体积量的变化率 qv2
V A H
dV dH A dt dt
18
qv 2
H Rs
Rs为水阻
qv1
dH A Rs H Rs qv1 dt
T ARs
K Rs
H
dH T H K qv1 dt
19
f(0)是 t =0 时的 f(t) 值
df (t ) L sF ( s) f (0) dt df (t ) 证明： df (t ) st st L e d t e df (t ) 0 dt 0 dt
e
st
同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：
第二章 过程（对象）特性 及其数学模型
黄 勋
控制质量的优劣： 内因： 调节效果取决于调节对象； 外因： 调节系统。
被控对象的多样性。 设计调节系统的前提：正确掌握工艺系统调节作用 （输入）与调节结果（输出）之间的关系——对象的 特性。根据被控对象特性选择、设计合适的控制系统。
2
过程装备控制设计 制造过程
8
2.参量模型 当数学模型是采用数学方程式来描述时，称 为参量模型。对象的参量模型可以用描述对象输 入、输出关系的微分方程式、偏微分方程式、状 态方程、差分方程等形式来表示。
9
对于线性的集中参数对象
通常可用常系数线性微分方程式来描述，如果以x （ t ） 表示输入量，y（t）表示输出量，则对象特性可用下列微分 方程式来描述
an y n t an 1 y n1 t a1 yt a0 yt xt
10
举例
一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描 述其特性（通常称一阶对象），则可表示为
a1 yt a0 yt xt
或表示成 式中
若：
L f (t ) F ( s)
L e at f (t ) F ( s a)
则： 证明：
Le
at
f (t ) f (t )eat est dt
0
f (t )e( s a )t dt
0
F ( s a)
34
(3) 微分定理
若：
则：
L f (t ) F ( s)
an y n t an 1 y n 1 t a1 yt a0 y t
bm x m t bm 1 x m 1 t b1 xt b0 xt
（2-1）
在允许的范围内，多数化工对象动态特性可以忽略输入量的 导数项可表示为
T2 A2 Rwk.baidu.com 2
K Rs 2
d 2H2 dH 2 T1T2 ( T T ) H 2 K qv1 1 2 2 dt dt
23
二、拉普拉斯变换在对象特性建立中的应用
系统的数学模型以微分方程的形式表达输出与输入的关 系。经典控制理论的系统分析方法：时域法、频域法。 时域分析法
设有时间函数 f(t)，当 t < 0 时，f(t)＝0；在 t≥0时定义函 数 f(t) 的拉普拉斯变换为：
F (s) L f (t ) f (t )est dt
0
象函数
拉氏变换符号
原函数
复变量
拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数 f(t) 变 换到复数域内与之等价的复变函数 F(s) 。
H1 qv 2 Rs 1
dH 2
22
dH 1 d 2 H 2 Rs1 dH 2 A2 Rs1 dt Rs 2 dt dt 2
H2 d 2 H 2 Rs1 dH 2 dH 2 qv1 A1 ( A2 Rs1 ) H 2 Rs 2 Rs 2 dt dt dt 2
d 2H2 dH 2 A1 A2 Rs1 Rs 2 ( A1 Rs1 A2 Rs 2 ) H 2 Rs 2 qv1 2 dt dt T1 A1 Rs1
28
(3) 单位速度函数（单位斜坡函数）
单位速度函数定义：
0 t 0 f (t ) t , t 0
其拉普拉斯变换为：
1 st Lt te dt tde 0 s 0 1 st 1 st 1 st te e dt 2 e 0 s s 0 s
16
一阶对象(单容水槽)
已知：水槽面积: A
qv1
物料流入流量：qv1
物料流出流量：qv2 水槽液位高度：H
H
qv2
平衡状态 某一时刻t0, qv1 突然变化 分析输出量H的变化规律 注意：以下推导过程中的 量都是变化量。
17
静态情况（平衡状态）：
qv1
qv1 qv2
由体积守恒可得：
dV
dt
象函数 F(s)=L[f(t)]
1 (单位阶跃函数)
1 s 1 K s 1 s2
2
(t)
(单位脉冲函数)
3
K (常数)
4
t (单位斜坡函数)
31
拉普拉斯变换简表 (续1)
序号
5
原函数 f(t) (t >0)
象函数 F(s) = L[f(t)]
n! s n+1 1 s+a n! (s+a) n+1 1 Ts + 1
tn
(n=1, 2, …)
6
e -at tn e -at (n=1, 2, …)
1 T
7
8
e
t T
32
拉普拉斯变换的基本性质 (1) 线性定理
若、是任意两个复常数，且：
L f1 (t ) F1 ( s ) ,
则：
L f 2 (t ) F2 (s)
Lf1 (t ) f 2 (t ) F1 (s) F2 (s)
6
对象的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型
基础
静态数学模型
特例
动态数学模型
7
数学模型的表达形式分类
1.非参量模型 当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，称为 非参量模型。非参量模型可以通过记录实验结果来得到， 有时也可以通过计算来得到。 特点 缺点 表达形式 形象、清晰，比较容易看出其定性的特征 直接利用它们来进行系统的分析和设计往往比较困难 对象在一定形式输入作用下的输出曲线或数据来表示
26
典型时间函数的拉普拉斯变换 (1) 单位阶跃函数
单位阶跃函数定义：
0, t 0 1(t ) 1, t 0
其拉普拉斯变换为：
L1(t ) 1(t )e dt
st 0
0
1 st e dt e s
st
0
1 st 1 0 1 lim e e t s s s
dH 2 水槽2：qv2 qv3 A2 dt
dH 1 dH 2 qv1 qv3 A1 A2 dt dt H2 qv3 Rs 2 H1 H 2 dH 2 A2 Rs1 Rs 2 dt
dH 1
2 d dt dt A H 2 2 Rs1 Rs 2 dt 2
27
(2) 单位脉冲函数
单位脉冲函数定义：
, t 0 (t ) 0, t 0
且：
(t )dt 1
(t ) f (t )dt f (0)
其拉普拉斯变换为：
L (t ) (t )est dt est
0
t 0
1
12
第二节 对象数学模型的建立
13
一、机理建模
根据对象或生产过程的内部机理，列写出各种有关 的平衡方程，如物料平衡方程、能量平衡方程、动量平 衡方程、相平衡方程以及某些物性方程、设备的特性方 程、化学反应定律、电路基本定律等，从而获取对象 （或过程）的数学模型，这类模型通常称为机理模型。
14
机理建模优缺点
求解数学模型微分方程，获得系统 输出随时间变化的规律。
借助于系统频率特性分析系统的性 能，拉普拉斯变换是其数学基础。
频域分析法
频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方 法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。
24
拉普拉斯变换的定义
拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能 将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量 s的乘积，将时 间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。
控制方案
了解被控对象特性
系统设计和组装 调节器参数整定
投运
3
内容提要
化工过程的描述方法 对象数学模型的建立 机理建模 拉普拉斯变换在对象特性建立中的应用 各种对象的阶跃响应分析 描述对象特性的参数 放大系数Κ 时间常数Τ 滞后时间τ 实验建模 化工对象的特点
st f ( t ) f ( t ) e dt 2 0 1 st
证明： Lf (t ) f (t ) 1 2
f1 (t )e dt f 2 (t )est dt
0 0
F1 ( s) F2 ( s)
33
(2) 平移定理
dH T H K qv1 dt
qv2
单容积分水槽
dH qv1 qv 2 A dt qv2不随液位改变。
dH qv1 A dt
qv1
H
1 H qv1dt A
qv2
20
双容液位水槽
qv1
H1
qv2
qv3
H2
21
水槽1：
qv1 qv2 A1
dH 1 dt
st
0
1 2 s
29
(4) 指数函数
指数函数表达式：
f (t ) e at
式中：a是常数。 其拉普拉斯变换为：
Le
at
0
e e dt e
at st 0
( s a ) t
1 dt sa
30
拉普拉斯变换简表 (待续)
序号
1
原函数 f(t) (t >0)
4
第一节 化工过程的描述方法
5
自动控制系统 是由被控对象、测量变送装置、控
制器和执行器组成。系统的控制质量与被控对象的特性 有密切的关系。 研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输 入量与输出量之间的关系。这种对象特性的数学描述就称 为对象的数学模型。干扰作用和控制作用都是引起被控变 量变化的因素。 几个概念 输出变量 输入变量 通道 ？ 控制通道 图2-1 对象的输入输出量 干扰通道
f (t ) s f (t )est dt sF (s) f (0)
0 0
d 2 f (t ) df ( 0 ) 2 L s F ( s ) sf (0) 2 dt dt
35
(3) 微分定理
推广到n阶导数的拉普拉斯变换：
d n f (t ) n n 1 n2 L s F ( s ) s f ( 0 ) s f (0) n dt sf ( n-2) (0) f ( n-1) (0)
f (0) f (0) f (0) f ( n2) (0) f ( n1) (0) 0
则：
d n f (t ) n L s F (s) n dt
优点
具有非常明确的物理意义，所得的模型具有很大 的适应性，便于对模型参数进行调整。
对于某些对象，人们还难以写出它们的数学表 达式，或者表达式中的某些系数还难以确定时， 不能适用。
缺点
15
对象特性参量模型机理建模方法
物料平衡 能量平衡
动态条件下的平衡： 单位时间流入对象的物料（或能量）与单位时间从系 统中流出的物料（或能量）之差等于系统内物料储存 量的变换率 。 静态条件下的平衡： 单位时间流入对象的物料（或能量）等于单位时间从系 统中流出的物料。
（2-2）
Tyt yt Kxt
（2-3）
a1 1 T ,K a0 a0
上式中的系数与对象的特性有关，一般需要通过对象 的内部机理分析或大量的实验数据处理得到。
11
建模目的 （1）控制系统的方案设计 （2）控制系统的调试和控制器参数的确定 （3）制定工业过程操作优化方案 （4）新型控制方案及控制算法的确定 等等，如计算机仿真与过程培训系统
0
qv1-qv2 =dV/dt
H
dV/dt—储存体积量的变化率 qv2
V A H
dV dH A dt dt
18
qv 2
H Rs
Rs为水阻
qv1
dH A Rs H Rs qv1 dt
T ARs
K Rs
H
dH T H K qv1 dt
19
f(0)是 t =0 时的 f(t) 值
df (t ) L sF ( s) f (0) dt df (t ) 证明： df (t ) st st L e d t e df (t ) 0 dt 0 dt
e
st
同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：
第二章 过程（对象）特性 及其数学模型
黄 勋
控制质量的优劣： 内因： 调节效果取决于调节对象； 外因： 调节系统。
被控对象的多样性。 设计调节系统的前提：正确掌握工艺系统调节作用 （输入）与调节结果（输出）之间的关系——对象的 特性。根据被控对象特性选择、设计合适的控制系统。
2
过程装备控制设计 制造过程
8
2.参量模型 当数学模型是采用数学方程式来描述时，称 为参量模型。对象的参量模型可以用描述对象输 入、输出关系的微分方程式、偏微分方程式、状 态方程、差分方程等形式来表示。
9
对于线性的集中参数对象
通常可用常系数线性微分方程式来描述，如果以x （ t ） 表示输入量，y（t）表示输出量，则对象特性可用下列微分 方程式来描述
an y n t an 1 y n1 t a1 yt a0 yt xt
10
举例
一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描 述其特性（通常称一阶对象），则可表示为
a1 yt a0 yt xt
或表示成 式中
若：
L f (t ) F ( s)
L e at f (t ) F ( s a)
则： 证明：
Le
at
f (t ) f (t )eat est dt
0
f (t )e( s a )t dt
0
F ( s a)
34
(3) 微分定理
若：
则：
L f (t ) F ( s)
an y n t an 1 y n 1 t a1 yt a0 y t
bm x m t bm 1 x m 1 t b1 xt b0 xt
（2-1）
在允许的范围内，多数化工对象动态特性可以忽略输入量的 导数项可表示为
T2 A2 Rwk.baidu.com 2
K Rs 2
d 2H2 dH 2 T1T2 ( T T ) H 2 K qv1 1 2 2 dt dt
23
二、拉普拉斯变换在对象特性建立中的应用
系统的数学模型以微分方程的形式表达输出与输入的关 系。经典控制理论的系统分析方法：时域法、频域法。 时域分析法
设有时间函数 f(t)，当 t < 0 时，f(t)＝0；在 t≥0时定义函 数 f(t) 的拉普拉斯变换为：
F (s) L f (t ) f (t )est dt
0
象函数
拉氏变换符号
原函数
复变量
拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数 f(t) 变 换到复数域内与之等价的复变函数 F(s) 。
H1 qv 2 Rs 1
dH 2
22
dH 1 d 2 H 2 Rs1 dH 2 A2 Rs1 dt Rs 2 dt dt 2
H2 d 2 H 2 Rs1 dH 2 dH 2 qv1 A1 ( A2 Rs1 ) H 2 Rs 2 Rs 2 dt dt dt 2
d 2H2 dH 2 A1 A2 Rs1 Rs 2 ( A1 Rs1 A2 Rs 2 ) H 2 Rs 2 qv1 2 dt dt T1 A1 Rs1
28
(3) 单位速度函数（单位斜坡函数）
单位速度函数定义：
0 t 0 f (t ) t , t 0
其拉普拉斯变换为：
1 st Lt te dt tde 0 s 0 1 st 1 st 1 st te e dt 2 e 0 s s 0 s
16
一阶对象(单容水槽)
已知：水槽面积: A
qv1
物料流入流量：qv1
物料流出流量：qv2 水槽液位高度：H
H
qv2
平衡状态 某一时刻t0, qv1 突然变化 分析输出量H的变化规律 注意：以下推导过程中的 量都是变化量。
17
静态情况（平衡状态）：
qv1
qv1 qv2
由体积守恒可得：
dV
dt
象函数 F(s)=L[f(t)]
1 (单位阶跃函数)
1 s 1 K s 1 s2
2
(t)
(单位脉冲函数)
3
K (常数)
4
t (单位斜坡函数)
31
拉普拉斯变换简表 (续1)
序号
5
原函数 f(t) (t >0)
象函数 F(s) = L[f(t)]
n! s n+1 1 s+a n! (s+a) n+1 1 Ts + 1
tn
(n=1, 2, …)
6
e -at tn e -at (n=1, 2, …)
1 T
7
8
e
t T
32
拉普拉斯变换的基本性质 (1) 线性定理
若、是任意两个复常数，且：
L f1 (t ) F1 ( s ) ,
则：
L f 2 (t ) F2 (s)
Lf1 (t ) f 2 (t ) F1 (s) F2 (s)
6
对象的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型
基础
静态数学模型
特例
动态数学模型
7
数学模型的表达形式分类
1.非参量模型 当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，称为 非参量模型。非参量模型可以通过记录实验结果来得到， 有时也可以通过计算来得到。 特点 缺点 表达形式 形象、清晰，比较容易看出其定性的特征 直接利用它们来进行系统的分析和设计往往比较困难 对象在一定形式输入作用下的输出曲线或数据来表示
26
典型时间函数的拉普拉斯变换 (1) 单位阶跃函数
单位阶跃函数定义：
0, t 0 1(t ) 1, t 0
其拉普拉斯变换为：
L1(t ) 1(t )e dt
st 0
0
1 st e dt e s
st
0
1 st 1 0 1 lim e e t s s s
dH 2 水槽2：qv2 qv3 A2 dt
dH 1 dH 2 qv1 qv3 A1 A2 dt dt H2 qv3 Rs 2 H1 H 2 dH 2 A2 Rs1 Rs 2 dt
dH 1
2 d dt dt A H 2 2 Rs1 Rs 2 dt 2
27
(2) 单位脉冲函数
单位脉冲函数定义：
, t 0 (t ) 0, t 0
且：
(t )dt 1
(t ) f (t )dt f (0)
其拉普拉斯变换为：
L (t ) (t )est dt est
0
t 0
1
12
第二节 对象数学模型的建立
13
一、机理建模
根据对象或生产过程的内部机理，列写出各种有关 的平衡方程，如物料平衡方程、能量平衡方程、动量平 衡方程、相平衡方程以及某些物性方程、设备的特性方 程、化学反应定律、电路基本定律等，从而获取对象 （或过程）的数学模型，这类模型通常称为机理模型。
14
机理建模优缺点
求解数学模型微分方程，获得系统 输出随时间变化的规律。
借助于系统频率特性分析系统的性 能，拉普拉斯变换是其数学基础。
频域分析法
频域分析法是经典控制理论的核心，被广泛采用，该方 法间接地运用系统的开环频率特性分析闭环响应。
24
拉普拉斯变换的定义
拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能 将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量 s的乘积，将时 间表示的微分方程，变成以s表示的代数方程。
控制方案
了解被控对象特性
系统设计和组装 调节器参数整定
投运
3
内容提要
化工过程的描述方法 对象数学模型的建立 机理建模 拉普拉斯变换在对象特性建立中的应用 各种对象的阶跃响应分析 描述对象特性的参数 放大系数Κ 时间常数Τ 滞后时间τ 实验建模 化工对象的特点
st f ( t ) f ( t ) e dt 2 0 1 st
证明： Lf (t ) f (t ) 1 2
f1 (t )e dt f 2 (t )est dt
0 0
F1 ( s) F2 ( s)
33
(2) 平移定理
dH T H K qv1 dt
qv2
单容积分水槽
dH qv1 qv 2 A dt qv2不随液位改变。
dH qv1 A dt
qv1
H
1 H qv1dt A
qv2
20
双容液位水槽
qv1
H1
qv2
qv3
H2
21
水槽1：
qv1 qv2 A1
dH 1 dt
st
0
1 2 s
29
(4) 指数函数
指数函数表达式：
f (t ) e at
式中：a是常数。 其拉普拉斯变换为：
Le
at
0
e e dt e
at st 0
( s a ) t
1 dt sa
30
拉普拉斯变换简表 (待续)
序号
1
原函数 f(t) (t >0)
4
第一节 化工过程的描述方法
5
自动控制系统 是由被控对象、测量变送装置、控
制器和执行器组成。系统的控制质量与被控对象的特性 有密切的关系。 研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象输 入量与输出量之间的关系。这种对象特性的数学描述就称 为对象的数学模型。干扰作用和控制作用都是引起被控变 量变化的因素。 几个概念 输出变量 输入变量 通道 ？ 控制通道 图2-1 对象的输入输出量 干扰通道
f (t ) s f (t )est dt sF (s) f (0)
0 0
d 2 f (t ) df ( 0 ) 2 L s F ( s ) sf (0) 2 dt dt
35
(3) 微分定理
推广到n阶导数的拉普拉斯变换：
d n f (t ) n n 1 n2 L s F ( s ) s f ( 0 ) s f (0) n dt sf ( n-2) (0) f ( n-1) (0)