四川省古蔺县中学高三数学 5.2数列综合应用复习学案

【高考目标导航】 一、数列求和 1、考纲点击（1）熟练掌握等差数列、等比数列的前n 项和公式； （2）掌握非等差数列、等比数列求和的几种常见方法。

2、热点提示（1）以考查等差数列、等比数列的求和公式为主，同时考查转化的思想；（2）对非等差数列、等比数列的求和，主要考查学生的观察能力、分析问题与解决问题的能力以及计算能力；（3）数列求和常与函数、方程、不等式等诸多知识联系在一起，以它复杂多变、综合性强、解法灵活等特征而成为高考的中档题或压轴题。

二、数列的综合应用 1、考纲点击能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题； 2、热点提示 （1）数列的综合应用常以递推关系为背景,考查等差数列、等比数列的通项公式和前n 项和公式；（2）常在与其他知识的交汇处命题，考查学生的转化、化归能力，如与函数、不等式、解析几何等交汇考查；（3）各种题型都有可能出现。

【考纲知识梳理】 一、数列求和（2）一些常见的数列的前n 项和：○1(1)12342n n n ++++++=； ○22222(1)(21)1236n n n n ++++++=；○32462(1)n n n ++++=+； ○4213521n n ++++-=；○522 33332(1)(1) 123[]24n n n nn++++++==。

2、倒序相加法如果一个数列{}na，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的。

3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的；4、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。

5、分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；6、并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。

形如(1)()nna f n=-类型，可采用两项合并求解。

二、数列的综合应用1、解答数列应用题的步骤：（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意；（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么；（3）求解——求出该问题的数学解；（4）还原——将所求结果还原到实际问题中。

2、数列应用题常见模型（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差；（2）等比数列：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比。

注：银行储蓄单利公式及复利公式所属模型分别是：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和(1)na a rn=+，属于等差模型；复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和(1)nna a r=+，属于等比模型。

（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是与的递推关系，还是前n 项和之间的递推关系。

【要点名师透析】 一、数列求和（一）分组转化求和 ※相关链接※1、数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前n 项和的数列来求之；2、常见类型及方法(1)an ＝kn ＋b ，利用等差数列前n 项和公式直接求解； (2)an ＝a ·qn －1，利用等比数列前n 项和公式直接求解；(3)an ＝bn ±cn ，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前n 项和.注：应用等比数列前n 项和公式时，要注意公比q 的取值。

※例题解析※〖例〗已知数列{an}是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项公式并求其前n 项和Sn. 思路解析：解决本题的关键是正确分析前4项的变化规律，从这4项中我们可以发现每项都是由三部分组成，每项的第一部分相差3，第二部分是2n,第三部分都是减1，所以结合特点写出通项，然后根据通项分组求和.由已知得，数列{an}的通项公式为an ＝3n ＋2n －1＝3n －1＋2n ， ∴Sn ＝a1＋a2＋…＋an ＝(2＋5＋…＋3n －1)＋(2＋22＋…＋2n)()()()1.2nn 1212n 23n 1212n 3n 122＋－＋－＝＋－＝＋＋－（二）错位相减法求和 ※相关链接※ 1、一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法；2、用错位相减法求和时，应注意（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； （2）在写出“nS ”与“nqS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出的n S -nqS 的表达式。

3、利用错位相减法求和时，转化为等比数列求和，若公比是个参数（字母），则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和。

※例题解析※ 〖例〗已知数列{}n a 满足121321,,,,,n n a a a a a a a ----是首项为1，公比为a 的等比数列。

（1）求na ；（2）如果a=2,(21)n nb n a =-，求数列{}n b 的前n 项和nS 。

思路解析：（1）根据题意得到表达式，再用累加法求通项；（2）利用错位相减法求和。

解答：（1）由11a =，当n ≥2时，11n n n a a a ---=，∴21121321()()()1n n n n a a a a a a a a a a a --=+-+-++-=+++①当a=1时，n a n=;②当a ≠1时，11nn a a a -=-， ∴1.1(1)1nn na a a a a =⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩（2）2312122,2 1.(21)(21)(21)(21)2(21),12[23252(21)2][135(21)].nn n n n n n n n n a a b n a n n n S b b b n n -=∴==-∴=-=--=----∴=+++=++++--++++- 2323252(21)2nn T n =++++-令……………………………………………………………① 则2341223252(21)2(21)2n n n T n n +=++++-+-…………………………………………②①-②，得23123121121111122222222(21)222(222)(21)22(12)22(21)212228(21)26(32)2,(23)26,(211)(23)262(23)26n n n n n n n n n n n n n n n T n n n n n T n n n S n n n ++-+++++++-=++++--=++++---=+---=+---=-+-∴=-+-+∴=-+-=--+（三）裂项相消求和※相关链接※1、利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等；2、一般情况如下，若{}na是等差数列，则111111()n n n na a d a a++=-，221111()2n n n na a d a a++=-，此外根式在分母上可考虑利用有理化因式相消求和。

3、常见的拆项公式有：※例题解析※〖例〗已知数列{}na的通项公式为21log()2nna n Nn*+=∈+，设其前n项和为n S，，2n b的前n项和为nT，（1）求nS；（2）求nT思路解析：利用对数运算法则可求nS，通过变形运算利用裂项相消法可求nT。

解答：（1）方法一：∵2221log log(1)log(2)2nna n nn+==+-++∴222222222log2log3log3log4log(1)log(2)1log(2),21log(2)log;2nnS n n nS nn=-+-+++-+=-+∴=-+=+方法二：222222312312 log log log log()log3423422 nn nSn n n++=+++=⨯⨯⨯=+++（2）212224log (1)(2)224log log log ,21(1)(2)411224(),(1)(2)121111111124()4().233412222n n n n b n n n b S S n n n n n n n n nT n n n n -++=+=+=++++∴===-++++∴=-+-+-=-=++++…+（四）数列求和的综合应用〖例〗设数列{}n a 满足1a a =，11,,,0.n n a ca c n N a c c *+=+-∈≠其中为实数且（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设，，，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）若0101n a n N c *<<∈<≤对任意成立，证明思路解析：（1）通过已知条件递推变形，构造等比数列或用迭代法求解{}n a ；（2）利用错位相减法求nS ；（3）利用反证法证明。

解答：（1）方法一：由题意，11(1)n n a c a +-=-，∴当a ≠1时，{}11n a a c --是首项为，公比为的等比数列.∴111(1),(1) 1.n n n n a a c a a c ---=-=-+即当a=1时，1n a =仍满足上式。

∴数列{}n a 的通项公式为1(1)1()n n a a c n N -*=-+∈。

方法二：{}21112111121(1)(1)(1)(1).(1) 1.1(1)1()n n n n n n n n n n n a c a c a c a a c a a c n a a a a a c n N ------*≥-=-=-==-=-∴=-+==∴=-+∈由题设得，时，时，也满足上式.的通项公式为（2）12122312312311(1)(),21112()(),22211111()2()(1)()(),22222111111()()()(),222222111111()()()()22222112[1()]().222(n n n n n n n n n n n n n nn n n n n a c n S b b b n S n n S n S n n S -++-=-==+++=+++=+++-+∴=++++-∴=+++++-=--∴=-由（1）得b (1)2)().2n n +（3）由（1）知1(1)1n n a a c -=-+。