厦门双十中学2015-2016学年(上)期中考试高一数学试题卷及答案
福建省厦门双十中学高三数学上学期期中试题 理
福建省厦门双十中学2015届高三数学上学期期中试题 理第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置. 1． 命题“对任意的x ∈R ，x 2＋1>0”的否定是（ ▲ ）A ．不存在x ∈R ，x 2＋1>0 B ．存在x ∈R ，x 2＋1>0 C ．存在x ∈R ，x 2＋1≤0D ．对任意的x ∈R ，x 2＋1≤02． 已知集合{}23,A a =，集合{}0,,1B b a =-，且{}1AB =，则A B =（ ▲ ）A ．{}0,1,3B ．{}0,1,2,3C ．{}1,2,4D ．{}0,1,2,3,43． “sin α≠sin β”是“α≠β”的（ ▲ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4． 若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列命题正确的是（ ▲ ）A ．ac 2<bc 2B ．1a <1bC ．b a >a bD ．a 2>ab >b 25． 已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图像如下图所示，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是（ ▲ ）6． 设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则23z x y =-的最小值是（ ▲ ）A ．3-B ．12C ．6-D ．12-7． 设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A . 若△OAF (O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为（ ▲ ） A ．y 2＝4x B ．y 2＝8xC ．y 2＝±4xD ．y 2＝±8x8． 下列函数存在极值的是（ ▲ ）A. 2cos y x x =+B. ln xy e x =-C. 32331y x x x =++-D. 1ln y x x=-9． 定义：sin a b a b θ⨯=⋅⋅，其中θ为向量a与b的夹角，若2,5,6a b a b ==⋅=-，则a b ⨯=（ ▲ ） A ．6B ．8C ．－8D ．8或－810．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都有(4)()(2)f x f x f +=+成立，当12,[0,2]x x ∈且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-. 给出下列命题：①函数()f x 一定是周期函数； ②函数()f x 在区间[6,4]--上为增函数；③直线4x =-是函数()f x 图像的一条对称轴； ④函数()f x 在区间[6,6]-上有且仅有4个零点.其中正确命题的个数是（ ▲ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置.11．已知函数2,01()2,12x x f x x x ⎧<≤=⎨-<≤⎩，则20()f x dx ⎰等于 ▲ .12．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与双曲线C 2：y 216－x 24＝1有相同的渐近线，则C 1的离心率＝ ▲ . 13．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a b ＝7a b，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝ ▲ . 14．若定义在],[b a 上的函数13)(23+-=x x x f 的值域为]1,3[-，则a b -的最大值是 ▲ .15．已知*(1,2,3,,,3,)i A i n n n N =≥∈是△AOB 所在的平面内的n 个相异点，且OA i ⋅=⋅. 给出下列命题：①12n OA OA OA OA ====；的最小值不可能是OB ；③点12,,,,n A A A A 在一条直线上；④向量及i 在向量的方向上的投影必相等.其中正确命题的序号是 ▲ .（请填上所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答. 16．（本小题满分13分）已知全集U =R ，0m >，集合2{|120},{|3}A x x x B x x m =--<=-≤. (1)当2m =时，求()UAB ð；(2)命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.17．（本小题满分13分）已知向量a ＝()3sin x ，－cos x ，b ＝()cos x ，cos x ，记函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝12，若向量m ＝()1，sin A 与n ＝()2，sin B 共线，求a ，b 的值.18．（本小题满分13分）平面直角坐标系中，点M 的坐标是，曲线1C 的参数方程为1cos ,sin ,x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），在以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.(1)将曲线1C 和2C 化成普通方程，并求曲线1C 和2C 公共弦所在直线的极坐标方程； (2)若过点M ，倾斜角为3π的直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点，求MA MB ⋅的值. 19．（本小题满分13分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴.为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销. 经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量p 万件与促销费用x 万元满足231p x =-+(其中a x ≤≤0，a 为正常数)．已知生产该产品还需投入成本102p +万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为20(4)p+元／件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求． (1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数；(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值.20．（本小题满分14分）已知中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，32)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若F 是椭圆C 的右焦点，过F 的直线交椭圆C 于M 、N 两点，T 为直线x ＝4上任意一点，且T 不在x 轴上，(ⅰ)求FM →·FN →的取值范围；(ⅱ)若OT 平分线段MN ，证明：TF ⊥MN （其中O 为坐标原点）.21．（本小题满分14分）已知函数ln ()xf x x a=+(a ∈R )，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-.(1)求实数a 的值，并求()f x 的单调区间； (2)试比较20152014与20142015的大小，并说明理由；(3)是否存在k ∈Z ，使得()2kx f x >+对任意0x >恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由.厦门双十中学2014-2015学年（上）期中检测 高三数学（理科）参考答案及评分标准（2014-11-13）17．（本小题满分13分） 【解析】 (1)依题意，21cos 2111()cos cos 22cos 2sin(2)2222262x f x x x x x x x x π+=-=-=--=--··········································· 3分 所以最小正周期22T ππ==， ····························· 4分 令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间是：[,],63k k k Z ππππ-+∈. ·················· 6分 (2)由11()sin(2)622f C C π=--=，得sin(2)16C π-=， ················· 7分因为0C π<<，所以112666C πππ-<-<，所以262C ππ-=，解得3C π=， ········ 8分因为向量m ＝()1，sin A 与n ＝()2，sin B 共线，所以sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =，…① ····································· 9分在△ABC中，由余弦定理得2222cos3c a b ab π=+-，即223a b ab +-=，……………………② ·························· 11分 由①②，解得1,2a b ==. ······························· 13分18．（本小题满分13分）【解析】(1) 依题意，1C 的普通方程：22(1)1x y -+=，………………………………① ········· 2分对2C ，24sin ρρθ=，所以224x y y +=，即22(2)4x y +-=，……② ········· 4分 ①－②可得，20x y -=， ····························· 6分 所以曲线1C 和2C 公共弦所在直线的极坐标方程为c o s 2s i n 0ρθρθ-=，1tan ()2R θρ=∈. ································ 7分 （注：本次考试，直线的极坐标方程若只写“cos 2sin 0ρθρθ-=”，或者“1tan 2θ=”均给分！） (2)解法一：依题意，直线l的参数方程为13,2,x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点A 、B 分别对应参数12,t t ， ···· 9分代入1C的方程：221(31))122t +-+=，整理得2560t t ++=，所以126t t =， ····12分 所以126MA MB t t ⋅==. ······························· 13分解法二（注：了解即可！）：设曲线1C 的圆心为(1,0)C ，半径1r =， 则由圆幂定理得2222()()(31)0)16MA MB MC r MC r MC r ⋅=+-=-=-+-=. ········· 13分19．（本小题满分13分） 【解析】(1)由题意知，)210()204(p x p py +--+=， ······················ 3分 将231p x =-+代入化简得：x x y -+-=1416（0x a ≤≤）. ··············· 6分 (2)13)1(14217)114(17=+⨯+-≤+++-=x x x x y ， ················· 8分 当且仅当1,114=+=+x x x 即时，上式取等号. ······················ 9分 当1a ≥时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； ··················· 10分当1a <时，)114(17+++-=x x y 在[]0,a 上单调递增， ················· 11分 所以x a =时，函数有最大值，即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大. ·········· 12分 综上，当1a ≥时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当1a <时，促销费用投入a 万元，厂家的利润最大. ················· 13分 20．（本小题满分14分） 【解析】(1)设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则222221,2191,4,c e a a b a b c ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得224,3a b ==，所以椭圆22:143x y C +=. ··············· 4分 (2)(ⅰ)易得(1,0)F ， ··································· 5分①若直线l 斜率不存在，则1:=x l ，此时)23,1(M ，)23,1(-N ，⋅＝49-； ···· 6分②若直线l 斜率存在，设)1(:-=x k y l ，),(),,(2211y x N y x M ，则 由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 消去y 得：01248)34(2222=-+-+k x k x k ············· 7分 ∴3482221+=+k k x x ，341242221+-=⋅k k x x ······················· 8分∴⋅),1(),1(2211y x y x -⋅-=]1)()[1(21212++-+=x x x x k ＝21149k +-- ···· 9分∵02≥k ∴11102≤+<k ∴411432<+-≤k ∴493-<⋅≤-FM综上，FN FM ⋅的取值范围为]49,3[--． ······················ 10分(ⅱ)线段MN 的中点为Q ，则由(ⅰ)可得，2122243,(1)24343Q Q Q x x k kx y k x k k +-===-=++， ··········································· 11分所以直线OT 的斜率3'4QQ y k x k==-，所以直线OT 的方程为：34y x k =-， ·········· 12分 从而3(4,)T k -，此时TF 的斜率30141TF k k k--==--， ···················13分 所以11TF MN k k k k⋅=-⋅=-，所以TF ⊥MN . ························ 14分21．（本小题满分14分） 【解析】(1)依题意，2ln '()()x ax x f x x a +-=+， ··························· 1分 所以211'(1)(1)1a f a a+==++，又由切线方程可得'(1)1f =，即111a =+，解得0a =， 此时ln ()x f x x =，21ln '()xf x x -=， ·························· 3分令'()0f x >，所以1ln 0x ->，解得0x e <<；令'()0f x <，所以1ln 0x -<，解得x e >， 所以()f x 的增区间为：(0,)e ，减区间为：(,)e +∞. ···················· 5分 (2)解法一：由(1)知，函数()f x 在(,)e +∞上单调递减，所以(2014)(2015)f f >，即2015201420152014ln 2014ln 2015201420152015ln 20142014ln 2015ln 2014ln 201520142015>⇔>⇔>⇔> ··········································· 9分 解法二：201420142015201520151201420142014⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，因为 201420142233201420142014201420142015112014201411111()()()20142014201411122!3!2014!1112122320132014111112(1)()()223201320141320143C C C ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+++++<++++<++++⨯⨯⨯=+-+-++-=-< 所以2014201520153120142014<<，所以2014201520152014<. ··················· 9分 (3)若()2kx f x >+对任意0x >恒成立，则2ln 2x k x x >+，记2ln 2()x g x x x=+，只需ma x ()k g x >.又32312ln 2122ln '()xx xg xx x x---=-=， ························ 10分 记()122ln h x x x =--，则2'()20h x x=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减.又(1)10h =-<，311ln 21ln 2ln 02h ==>-+=>，所以存在唯一0x ∈，使得0()0h x =，即00122ln 0x x --=， ············11分 当0x >时，(),'(),()h x g x g x 的变化情况如下：12分所以00max 022ln ()()x x g x g x x+==，又因为00122ln 0x x --=，所以0022ln 1x x +=，所以200000220000(22ln )212111()()222x x x x gx x x x x +++===⋅+， 因为0(2x ∈，所以01x ∈，所以03()12g x << ··············13分 又max ()(1)2g x g ≥=，所以02()1g x ≤<因为max ()k g x >，即0()k g x >，且k ∈Z ，故k 的最小整数值为3.所以存在最小整数3k =，使得()2kx f x >+对任意0x >恒成立. ·············· 14分。
厦门双十中学部数学高一上期中经典习题(培优练)
一、选择题1．(0分)[ID ：11822]函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．(0分)[ID ：11800]设()(),0121,1x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．4C ．6D ．83．(0分)[ID ：11798]在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．(0分)[ID ：11782]设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ）A ．1-B ．13-C ．12-D ．135．(0分)[ID ：11775]已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>6．(0分)[ID ：11774]若函数()(1)(0x xf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．7．(0分)[ID ：11789]设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ）A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =8．(0分)[ID ：11786]若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log bab aa b a b >>>B ．1log log a bb ab a b a >>>C ．1log log b ab aa ab b >>>D ．1log log a bb aa b a b >>>9．(0分)[ID ：11767]若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a <<10．(0分)[ID ：11766]函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）11．(0分)[ID ：11748]已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),af 2b (log 5),c (2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<12．(0分)[ID ：11743]设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13．(0分)[ID ：11734]已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．614．(0分)[ID ：11732]方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)15．(0分)[ID ：11768]已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a b c >>二、填空题16．(0分)[ID ：11912]已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += .17．(0分)[ID ：11911]已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________.18．(0分)[ID ：11907]已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．19．(0分)[ID ：11906]1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________．20．(0分)[ID ：11892]若1∈{}2,a a, 则a 的值是__________21．(0分)[ID ：11887]已知函数()2()lg 2f x x ax =-+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______.22．(0分)[ID ：11873]函数y =√1−x 2+lg(2cosx −1)的定义域为______________． 23．(0分)[ID ：11867]已知函数1)4f x +=-，则()f x 的解析式为_________. 24．(0分)[ID ：11839]用{}min ,,a b c 表示,,a b c 三个数中最小值，则函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+的最大值是 ．25．(0分)[ID ：11837]已知实数0a ≠，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩若()()11f a f a -=+，则a 的值为___________． 三、解答题26．(0分)[ID ：12016]已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=（x ∈R ），且(0)1f =．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x tx =-在区间[1,5]-上是单调函数，求实数t 的取值范围； （3）若关于x 的方程()f x x m =+有区间(1,2)-上有一个零点，求实数m 的取值范围． 27．(0分)[ID ：12012]已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2x g x k =-；（1）求m 的值；（2）当[1,2]x ∈时，记()f x 、()g x 的值域分别是A 、B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围；28．(0分)[ID ：11974]已知幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()ag x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为 [4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.29．(0分)[ID ：11966]我校高一年级某研究小组经过调查发现：提高北环隧道的车辆通行能力可有效改善交通状况，在一般情况下，隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米，车流密度指每千米道路上车辆的数量）的函数.当隧道内的车流密度达到210辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当30210x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.（1）求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过某观测点的车辆数，单位：辆/小时） ()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值.30．(0分)[ID ：11952]设a 为实数，函数()()21f x x x a x R =+-+∈．（1）若函数()f x 是偶函数，求实数a 的值； （2）若2a =，求函数()f x 的最小值；（3）对于函数()y m x =，在定义域内给定区间,a b ，如果存在()00x a x b <<，满足()0()()m b m a m x b a-=-，则称函数()m x 是区间,a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个“均值点”．如函数2yx 是[]1,1-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．B 2．C 3．B 4．B 5．A 6．A 7．D 8．D 9．B 10．B 11．B 12．C 13．C 14．C 15．B二、填空题16．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质17．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属18．-7【解析】分析：首先利用题的条件将其代入解析式得到从而得到从而求得得到答案详解：根据题意有可得所以故答案是点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小来确定有关参数值的问题在求解的过程中需19．2【解析】【分析】先求f（2）再根据f（2）值所在区间求f（f（2））【详解】由题意f（2）=log3（22–1）=1故f（f（2））=f（1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数20．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填21．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得22．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx-1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x∈-π3+2kππ3+2kπ23．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点24．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题25．【解析】【分析】分两种情况讨论分别利用分段函数的解析式求解方程从而可得结果【详解】因为所以当时解得：舍去；当时解得符合题意故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式属于中档题对于分段函数解析式的考三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】判断函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，求出f （0）=-4，f （1）=-1，f （2）=3＞0，即可判断．【详解】∵函数()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，∴f（0）=-4，f （1）=-1， f （2）=7＞0，根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()1,2， 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．2．C解析：C 【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 【名师点睛】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式，代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．3．B解析：B 【解析】 【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.4．B解析：B 【解析】 【分析】由题意，函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，又由函数()f x 是定义上的偶函数，得到函数()f x 在(,0)-∞单调递增，把不等式(1)()f x f x m -≤+转化为1x x m -≤+，即可求解. 【详解】易知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减， 又函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以函数()f x 在(),0-∞上单调递增， 则由()()1f x f x m -≤+，得1x x m -≥+，即()()221x x m -≥+，即()()22210g x m x m =++-≤在[],1x m m ∈+上恒成立，则()()()()()()3110121310g m m m g m m m ⎧=-+≤⎪⎨+=++≤⎪⎩，解得113m -≤≤-，即m 的最大值为13-. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的基本性质，把不等式转化为1x x m -≤+ 求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.5．A解析：A 【解析】由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .6．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在yg x 上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.8．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log a bb aa b a b >>>；故选D. 9．B解析：B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，a =()3log 20,1,b ∈=lg0.20,c <=0.221>，所以b a c <<，故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.10．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．11．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.12．C解析：C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．13．C解析：C 【解析】 【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求出答案. 【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈.结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.14．C解析：C 【解析】 【分析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f ∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.15．B解析：B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】()()f x f x -=，则函数()y f x =为偶函数，函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题16．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质解析：32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质.17．【解析】【分析】设计算可得再结合图象即可求出答案【详解】解：设则则由于函数的最小值为0作出函数的大致图象结合图象得所以故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质考查转化思想考查数形结合思想属解析：±1. 【解析】 【分析】 设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，计算可得2(),()()()2(),()()g x g x h x f x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，再结合图象即可求出答案． 【详解】解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，则22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-2(),()()2(),()()g x g x h x h x g x h x ≥⎧=⎨<⎩，由于函数()f x 的最小值为0，作出函数()g x ，()h x 的大致图象，结合图象，210x -=，得1x =±， 所以1a =±， 故答案为：±1． 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题．18．-7【解析】分析：首先利用题的条件将其代入解析式得到从而得到从而求得得到答案详解：根据题意有可得所以故答案是点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小来确定有关参数值的问题在求解的过程中需解析：-7 【解析】分析：首先利用题的条件()31f =，将其代入解析式，得到()()2391f log a =+=，从而得到92a +=，从而求得7a =-，得到答案.详解：根据题意有()()2391f log a =+=，可得92a +=，所以7a =-，故答案是7-. 点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.19．2【解析】【分析】先求f （2）再根据f （2）值所在区间求f （f （2））【详解】由题意f （2）=log3（22–1）=1故f （f （2））=f （1）=2×e1–1=2故答案为：2【点睛】本题考查分段函数解析：2 【解析】 【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））. 【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.20．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填解析：-1 【解析】 因为{}21,a a∈，所以1a =或21a=，当1a =时，2a a =，不符合集合中元素的互异性，当21a =时，解得1a =或1a =-，1a =-时2a a ≠，符合题意．所以填1a =-．21．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得 解析：(],3-∞【解析】 【分析】根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围. 【详解】要使()f x 在()2,+∞上递增，根据复合函数单调性，需二次函数22y x ax =-+对称轴在2x =的左边，并且在2x =时，二次函数的函数值为非负数，即2222220a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得3a ≤.即实数a 的取值范围是(],3-∞.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.22．-11【解析】【分析】根据定义域基本要求可得不等式组解不等式组取交集得到结果【详解】由题意得：1-x2≥02cosx -1>0⇒-1≤x≤1cosx>12cosx>12⇒x ∈-π3+2kππ3+2kπ 解析：[−1,1]【解析】根据定义域基本要求可得不等式组，解不等式组取交集得到结果. 【详解】由题意得：{1−x 2≥02cosx −1>0 ⇒{−1≤x ≤1cosx >12 cosx >12 ⇒x ∈(−π3+2kπ,π3+2kπ)，k ∈Z ∴函数定义域为：[−1,1] 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，关键是根据定义域的基本要求得到不等式组.23．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点 解析：2()23(1)f x x x x =--≥【解析】 【分析】利用换元法求解析式即可 【详解】令11t =≥，则()21x t =-故()()214f t t =--=223(1)t t t --≥ 故答案为2()23(1)f x x x x =--≥ 【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点24．6【解析】试题分析：由分别解得则函数则可知当时函数取得最大值为6考点：分段函数的最值问题解析：6 【解析】试题分析：由414,418,48x x x x x x +>++>-++>-+分别解得1, 1.4,2x x x >>>，则函数()8,2{4,1241,1x x f x x x x x -+≥=+<<+≤则可知当2x =时，函数{}()min 41,4,8f x x x x =++-+取得最大值为6 考点：分段函数的最值问题25．【解析】【分析】分两种情况讨论分别利用分段函数的解析式求解方程从而可得结果【详解】因为所以当时解得：舍去；当时解得符合题意故答案为【点睛】本题主要考查分段函数的解析式属于中档题对于分段函数解析式的考解析：34a =-【分析】分0a >，0a <两种情况讨论，分别利用分段函数的解析式求解方程()()11f a f a -=+，从而可得结果.【详解】 因为2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩所以，当0a >时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a -+=-+=⇒--+，解得：3,2a =-舍去；当0a <时，()()2(1)(11)21a f a f a a a a ++=--=⇒--+，解得34a =-，符合题意，故答案为34-. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.三、解答题 26．（1）2()1f x x x =-+；（2）39,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（3）{}0[1,4)⋃．【解析】试题分析：（1）设2()f x ax bx c =++（0a ≠）代入(1)()2f x f x x +-=得22ax a b x ++=对于x ∈R 恒成立，列出方程，求得,,a b c 的值，即可求解函数的解析式；（2）由()g x ，根据函数()g x 在[1,5]-上是单调函数，列出不等式组，即可求解实数t 的取值范围；（3）由方程()f x x m =+得2210x x m -+-=，令2()21h x x x m =-+-，即要求函数()h x 在(1,2)-上有唯一的零点，分类讨论即可求解实数m 的取值范围．试题解析：（1）设2()f x ax bx c =++（0a ≠）代入(1)()2f x f x x +-=得22ax a b x ++=对于x ∈R 恒成立，故220a a b =⎧⎨+=⎩， 又由(0)1f =得1c =，解得1a =，1b =-，1c =，所以2()1f x x x =-+；（2）因为22221(21)()()2(21)1124t t g x f x tx x t x ++⎛⎫=-=-++=-+- ⎪⎝⎭， 又函数()g x 在[1,5]-上是单调函数，故2111t +≤-或2151t +≥，解得32t ≤-或92t ≥，故实数t 的取值范围是39,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（3）由方程()f x x m =+得2210x x m -+-=，令2()21h x x x m =-+-，(1,2)x ∈-，即要求函数()h x 在(1,2)-上有唯一的零点， ①(1)0h -=，则4m =，代入原方程得1x =-或3，不合题意；②若(2)0h =，则1m =，代入原方程得0x =或2，满足题意，故1m =成立； ③若0∆=，则0m =，代入原方程得1x =，满足题意，故0m =成立； ④若4m ≠且1m ≠且0m ≠时，由(1)40{(2)10h m h m -=->=-<得14m <<，综上，实数m 的取值范围是{}0[1,4)⋃． 考点：函数的解析式；函数的单调性及其应用．27．(1) 0 ; (2) [0,1] 【解析】 【分析】(1)根据幂函数的定义有2(=11)m -，求出m 的值，然后再根据单调性确定出m 的值. (2)根据函数()f x 、()g x 的单调性分别求出其值域，再由A B A ⋃=得B A ⊆，再求k 的取值范围. 【详解】(1) 函数2242()(1)mm f x m x -+=-为幂函数，则2(=11)m -，解得：0m =或2m =.当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，满足条件. 当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，不满足条件. 综上所述0m =.(2)由(1)可知, 2()f x x =,则()f x 、()g x 在[1,2]单调递增,所以()f x 在[1,2]上的值域[1,4]A =,()g x 在[1,2]的值域[2,4]B k k =--. 因为A B A ⋃=,即B A ⊆,所以2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k ≥⎧⎨≤⎩，所以01k ≤≤.所以实数k 的取值范围是[0,1].【点睛】本题考查幂函数的概念，函数值域和根据集合的包含关系求参数的范围,属于基础题.28．（1）1()f x x -=；（2）存在，6a =.【解析】【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，可得关于m 的方程与不等式；（2）由（1）得1()f x x -=，从而得到()(1)1g x a x =-+，再对1a -的取值进行分类讨论.【详解】（1）因为幂函数2242()(22)mm f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221,420,m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-（舍去），所以1()f x x -=.（2）由（1）得1()f x x -=，所以()(1)1g x a x =-+， 假设存在0a >使得命题成立，则当10a ->时，即1a >，()g x 在[1,2]-单调递增，所以(1)4,114,6(2)11,22111,g a a g a -=--+=-⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=-+=⎩⎩； 当10a -=，即1a =，()1g x =显然不成立；当10a -<，即1a <，()g x 在[1,2]-单调递减， 所以(1)11,1111,(2)4,2214,g a g a -=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=--+=-⎩⎩a 无解； 综上所述：存在6a =使命题成立. 【点睛】本题考查幂函数的概念及解析式、已知一次函数的定义域、值域求参数的取值范围，考查逻辑推理能力和运算求解能力，同时注意分类讨论思想的运用，讨论时要以一次函数的单调性为分类标准.29．(1) 60,030()170,302103x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩;(2) 当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值3675【解析】 【分析】(1)根据题意可知, ()v x 为分段函数,且当030x ≤≤时()60v x =,再根据当30x =与210x =时()v x 的值,设()v x ax b =+代入求解即可.(2)根据(1)中的分段函数解析式,求出()()f x x v x =⋅的解析式,再分段求解函数的最大值分析即可. 【详解】(1)由题意可知, 当030x ≤≤时()60v x =,当210x =时, ()0v x =,又当30210x ≤≤时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数,故设()v x ax b =+,所以02106030a b a b =+⎧⎨=+⎩,解得1370a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ,故当30210x ≤≤时,1()703v x x =-+. 故60,030()170,302103x v x x x ≤≤⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩. (2)由题, 260,030()()170,302103x x f x x v x x x x ≤≤⎧⎪=⋅=⎨-+≤≤⎪⎩,故当030x ≤≤时,()f x 最大值为(30)1800f =. 当30210x ≤≤时, 21703()f x x x -+=开口向下且对称轴为70105123x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭,故此时()f x 最大值为2(105)10517031053675f -⨯+⨯==.综上,当车流密度为105辆/小时车流量达到最大值3675 【点睛】本题主要考查了分段函数与二次函数在实际中的模型运用,需要根据题意设函数方程求解参数,再根据二次函数性质求最值,属于中档题.30．（1）；（2）；（3）()0,2【解析】试题分析：（1）考察偶函数的定义，利用通过整理即可得到；（2）此函数是一个含有绝对值的函数，解决此类问题的基本方法是写成分段函数的形式，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<，要求函数的最小值，要分别在每一段上求出最小值，取这两段中的最小值；（3）此问题是一个新概念问题，这种类型都可转化为我们学过的问题，此题定义了一个均值点的概念，我们通过概念可把题目转化为“存在()01,1x ∈-，使得()0g x m =”从而转化为一元二次方程有解问题．试题解析：解：（1）()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=在R 上恒成立，即()2211x x a x x a -+--+=+-+，所以x a x a +=-得0ax =x R ∈0a ∴=（2）当2a =时，()2221,221{3,2x x x f x x x x x x +-≥=+-+=-+<所以()f x 在[)2,+∞上的最小值为()25f =， ()f x 在(),2-∞上的的最小值为f （）＝， 因为＜5，所以函数()f x 的最小值为． （3）因为函数()21g x x mx =-++是区间[]1,1-上的平均值函数，所以存在()01,1x ∈-，使()0(1)(1)1(1g g g x --=--） 而(1)(1)1(1g g m --=--），存在()01,1x ∈-，使得()0g x m = 即关于x 的方程21x mx m -++=在()1,1-内有解；由21x mx m -++=得210x mx m -+-=解得121,1x x m ==-所以111m -<-<即02m <<故m 的取值范围是()0,2考点：函数奇偶性定义；分段函数求最值；含参一元二次方程有解问题．。
15-16高一上数学期中考试卷
厦门市第二外国语学校15-16高一上数学期中考试卷15.11.13一．选择题：（本大题12题，每小题5分，共60分，只有一个正确答案。
） 1．设集合A ={3，5，6，8}，集合B ={4，5， 7，8}，则A ∩B 等于…( )A ． {3，4，5，6，7，8}B .{5，8}C .{4，7}D .{3，6} 2．三个变量y 1，y 2，y 3，随着变量x 的变化情况如下表：2 189 则关于x 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为…( ) A ．y 1，y 2，y3 B ．y 2，y 1，y 3 C ．y 3，y 2，y 1D ．y 1，y 3，y 23.函数2log (1)y x =-+ ）A ．{}|x x ≥0B ．{}|1x x ≥C ． {}|01x x ≤≤D ．{}|1x x >4．函数xx f +=11)(的图像大致是…( )5.函数()1,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数,为无理数,0, 则()()2ff 等于…（ ）A ．0B ．1C ．2D ．21+6．三个数πln ,3log ,2.02-e 的大小关系为…（ ）A ．πln 3log 22.0<<-eB.22.0ln 3log -<<e π C.πln 3log 2.02<<-e D.22.0ln 3log -<<e π7．函数()3log 82f x x x =-+的零点一定位于区间…（ ）．A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(5,6)8．()log a f x x = (01)a <<在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为…（ ）．A ．42 B ． 22 C ． 41 D ． 219. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，(x >0)2x ，(x ≤0)若f (a )＝12，则实数a ＝( )A ．－1B ．－1或 2 C. 2D ．1或－ 210．给出下列四个函数：①()1f x x =+；②()1f x x=；③()22f x x =；④()()2lg 1x f x x =+-．其中在()0，+∞上是增函数的有……（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个11．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为…( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)12.如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M (1,1)，N (1，2)，P (2,1)，Q (2,2)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12中，可以是“好点”的个数为…( )A ． 0个B ．1个C ． 2个D ．3个 二、填空题：（本大题4题，每小题5分，共20分）13．用二分法求方程x 3—6x 2+4=0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．14．函数f (x )＝a x －2＋1的图象一定过定点P ，则P 点的坐标是________．15．已知29x =，342=y ，则2x y +的值为 ．16．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg2≈0.3010)．三、解答题（本大题共6小题，共70分.应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）已知全集R U =，集合{}14>-<=x x x A 或，{}213≤-≤-=x x B ， （1）求B A ; )()(B C A C U U ；（2）若集合{}1212+≤≤-=k x k x M 是集合A 的子集，求实数k 的取值范围.18．（本题满分10分）已知函数0),1(log )1(log )(>--+=a x x x f a a 且1≠a .（1）求)(x f 的定义域；（2）判断)(x f 的奇偶性并予以证明； （3）若1>a 时，求使0)(>x f 的x 的解集.19. （本题满分10分）已知2()1xf x x=+. （1）)分别求()⎪⎭⎫⎝⎛+212f f ，()⎪⎭⎫⎝⎛+313f f 的值； （2）试猜测：1()()f x f x+的值;并加以验证。
福建省厦门双十中学高三上学期期中考试数学(文)
厦门双十中学2015届高三数学（文）期中考试卷2014.11.13一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知集合{}12,A x x x Z =-≤≤∈，集合，则等于A ．B ．C ．D ．2．如图在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数的值是A ．B ．C ．D ． 3．若向量，则下列结论正确的是A ． B. C ． D ． 4. 在等差数列中，已知，则该数列前11项和A ．58B ．88C ．143D ．1765.已知双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝A ．2 B.62 C.52D ．1 6. 已知函数221,1,(), 1.xx f x x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若=4，则实数=（ ）A. B. C. 2 D. 9 7．设抛物线上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是A ．4 B.6 C.8 D.12 8．“”是“一元二次方程有一个正根和一个负根”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 9．当x>1时，不等式x+≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．(－∞,2]B ．[2,+∞)C ．[3,+∞)D ．(－∞,3]10. 已知函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=x x f 22cos 32cosππ，则函数满足 A ．的最小正周期是； B ．若，则；C ．的图象关于直线对称；D ．当时，的值域为.43,43⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11．若x,y 满足y ax z y x y x y x 2,22,1,1+=⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+且仅在点（1，0）处取得最小值，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D 。
12.已知函数，若中，角C 是钝角，那么 A ． B ． C ． D ．二.填空题（每题4分，共16分） 13． 函数的定义域为_________14. 已知为钝角，且,则= ；15.圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，则圆的标准方程为 。
福建省厦门市双十中学高三(上)期中数学试卷含答案
轴 距离
【解答】
解：设퐴(1,0)，퐵(−1,0)，푃(푥,푦)，
8 (푥 + 3) + 푦 = 则
(푥−1)2 + 푦2 (푥 + 1)2 + 푦2
高三（上）期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合퐴 = {푦|푦 = ln(푥−1)}，퐵 = {0,1，2，3}，则퐴 ∩ 퐵 = ( )
A. {0,1，2，3} B. {1,2，3}
C. {2,3}
D. {0,1}
2. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )
1，푙1与圆
C：푥2
+
푦2
=
4
相切，푙 与
2
C
相交
于 A，B 两点，则|퐴퐵| = ( )
A. 2
B. 3
C. 2 2
D. 2 3
7. △ 퐴퐵퐶的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，푐.已知퐴 = 60°，푐 = 8， 푎 = 푏 + 2，那么 △ 퐴퐵퐶的周长等于( )
A. 12
B. 20
C. 26
D. 10 3
8. 在 △ 퐴퐵퐶中，若点 D 满足퐶퐷 = 2퐷퐵，点 M 为 AC 中点，则푀퐷 = ( )
A. 23퐴퐵−16퐴퐶
B. 13퐴퐵−16퐴퐶
C. 23퐴퐵−13퐴퐶
D. 2퐴퐵 + 1퐴퐶
3
6
9. 已知函数푓(푥) = sin휔푥(휔 > 0)，则“函数푓(푥)的图象经过点(휋4,1)”是“函数푓(푥) 的图象经过点(휋2,0)”的( )
厦门双十中学2015—2016学年高三上期中考
厦门双十中学2015—2016学年高三（上）期中考地理试题（本卷满分：150分； 考试时间：120分钟）说明：请把I 卷的答案用2B 铅笔填涂在答题卡的相应位置，把II 卷的答案用黑色签字笔直接写在答题卡的相应位置。
Ⅰ卷（选择题， 70分）本卷共35题，每小题2分，共70分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题意要求的。
城市热岛效应是指城市中的气温明显高于外围郊区的现象，热岛强度是用城市和郊区两个代表性观测点的气温差值来表示，图1示意近年来珠江三角洲城市群热岛强度的时间分布。
读图完成1～2题。
1． 导致该城市群大部分时间热岛强度夜大于昼的主要因素是A. 昼夜长短B. 大气逆辐射C. 建筑密度D. 人口密度2． 下列措施可降低热岛强度的是A. 加快工业化步伐，促进城市化进程B. 建筑外墙深色化，以增强吸热能力C. 夏季鼓励使用空调，为城市降温D. 增加市区绿地面积，适度设置水景图2表示一年中大气上界单位面积水平面上每日接收到的太阳辐射随纬度的变化，单位为MJ/m 2，图中阴影部分表示没有太阳辐射。
读图完成3～4题。
3. 图中M 日最接近 A. 春分日 B. 夏至日 C. 秋分日 D. 冬至日图1图24. a 、b 两点太阳辐射差异的影响因素主要为A. 太阳高度B. 白昼长短C. 海陆位置D. 天气状况图3表示某河流水文测站春夏秋冬四季气温、降水量和径流分配状况。
读图完成5～7题。
5． 该河流可能分布在A ．恒河流域B ．尼罗河流域C ．长江流域D ．亚马孙河流域6． 该地河流的主要补给形式是A ．积雪融水补给为主B ．雨水补给C ．地下水补给D ．湖泊水补给7． 该地河流的径流量最低的月份出现在A ．1月B ．2月C ．11月D ．12月 图4示意我国某区域冬小麦和冬油菜适宜种植区的北界的变化。
读图完成8～10题。
8． 冬小麦、冬油菜适宜种植区北界推移的最可能的原因是A ．气候变暖B ．种植习惯变化C ．机械化程度提高D ．化肥、农药使用量增加9． 据图推测该区域农业生产可能发生的变化是A ．棉花、玉米的种植面积缩小B ．春小麦的种植面积扩大C ．复种指数有所增加D ．作物适宜种植高度有所下降10．根据图中冬小麦和冬油菜种植界线的变化，可推测A ．沿海地区的低地可能被淹没B ．北温带耕作区向低纬方向扩展C ．高纬度地区降水减少D ．中纬度地区粮食产量增加浙江古代盛产青瓷，其中越窑生产的青瓷(越瓷)远销东亚、东南亚、南亚、西亚和非洲东部地区等。
福建省厦门双十中学高三数学上学期期中试卷 理(含解析)
福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1．（5分）命题“对任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．不存在x∈R，x2+1＞0 B．存在x∈R，x2+1＞0C．存在x∈R，x2+1≤0D．对任意的x∈R，x2+1≤02．（5分）已知集合A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，则A∪B=（）A．{0，1，3} B．{1，2，4} C．{0，1，2，3} D．{0，1，2，3，4}3．（5分）sinα≠sinβ是α≠β的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A．ac2＜bc2B．＜C．＞D．a2＞ab＞b25．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．6．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣37．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF （O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x8．（5分）下列函数存在极值的是（）A．y=2x+cosx B．y=e x﹣lnxC．y=x3+3x2+3x﹣1 D．y=lnx﹣9．（5分）定义：|×|=||•||•sinθ，其中θ为向量与的夹角，若||=2，||=5，•=﹣6，则|×|=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．610．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f （2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＞0．给出下列命题：①函数f（x）一定是周期函数；②函数f（x）在区间[﹣6，﹣4]上为增函数；③直线x=﹣4是函数f（x）图象的一条对称轴；④函数f（x）在区间[﹣6，6]上有且仅有4个零点．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置. 11．（4分）设，则=．12．（4分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，则C1的离心率=．13．（4分）已知=2，=3，=4，…，若=7，（a、b均为正实数），则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a+b=．14．（4分）若定义在[a，b]上的函数f（x）=x3﹣3x2+1的值域为[﹣3，1]，则b﹣a的最大值是．15．（4分）已知A i（i=1，2，3，…，n，n≥3，n∈N*）是△AOB所在的平面内的n个相异点，且•=．给出下列命题：①||=||=…=||=；②||的最小值不可能是||；③点A，A1，A2，…，A n在一条直线上；④向量及在向量的方向上的投影必相等．其中正确命题的序号是．（请填上所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.16．（13分）已知全集U=R，m＞0，集合A={x|x2﹣x﹣12＜0}，B={x||x﹣3|≤m}．（1）当m=2时，求A∩（∁U B）；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．17．（13分）已知向量=（sinx，﹣cosx），=（cosx，cosx），记函数f（x）=•．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且c=，f（C）=，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a，b的值．18．（13分）平面直角坐标系中，点M的坐标是（3，），曲线C1的参数方程为（α为参数），在以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）将曲线C1和C2化成普通方程，并求曲线C1和C2公共弦所在直线的极坐标方程；（2）若过点M，倾斜角为的直线l与曲线C1交于A，B两点，求||•||的值．19．（13分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？20．（14分）已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若F是椭圆C的右焦点，过F的直线交椭圆C于M、N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上，（ⅰ）求•的取值范围；（ⅱ）若OT平分线段MN，证明：TF⊥MN（其中O为坐标原点）．21．（14分）已知函数f（x）=（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（2）试比较20142015与20152014的大小，并说明理由；（3）是否存在k∈Z，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1．（5分）命题“对任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．不存在x∈R，x2+1＞0 B．存在x∈R，x2+1＞0C．存在x∈R，x2+1≤0D．对任意的x∈R，x2+1≤0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是：存在x∈R，x2+1≤0．故选：C．点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2．（5分）已知集合A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，则A∪B=（）A．{0，1，3} B．{1，2，4} C．{0，1，2，3} D．{0，1，2，3，4}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：由A与B交集的元素为1，得到1属于A且属于B，得到a2=1，求出a的值，进而求出b的值，确定出A与B，找出既属于A又属于B的元素，即可确定出两集合的并集．解答：解：∵A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，∴a2=1，解得：a=1或a=﹣1，当a=1时，1﹣a=1﹣1=0，不合题意，舍去；当a=﹣1时，1﹣a=1﹣（﹣1）=2，此时b=1，∴A={3，1}，集合B={0，1，2}，则A∪B={0，1，2，3}．故选C点评：此题考查了交、并集及其运算，是一道基本题型，熟练掌握交、并集的定义是解本题的关键．3．（5分）sinα≠sinβ是α≠β的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：由sinα≠sinβ，得α≠β，但由α≠β不能得到sinα≠sinβ．由此能求出结果．解答：解：∵sinα≠sinβ，∴α≠β，但由α≠β不能得到sinα≠sinβ．故sinα≠sinβ是α≠β的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查必要条件、充分条件和充要条件的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．4．（5分）若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A．ac2＜bc2B．＜C．＞D．a2＞ab＞b2考点：不等式比较大小；不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：本题可以利用基本不等关系，判断选项中的命题是否正确，正确的可加以证明，错误的可以举反例判断，得到本题结论．解答：解：选项A，∵c为实数，∴取c=0，ac2=0，bc2=0，此时ac2=bc2，故选项A不成立；选项B，=，∵a＜b＜0，∴b﹣a＞0，ab＞0，∴＞0，即，故选项B不成立；选项C，∵a＜b＜0，∴取a=﹣2，b=﹣1，则，，∴此时，故选项C不成立；选项D，∵a＜b＜0，∴a2﹣ab=a（a﹣b）＞0，∴a2＞ab．∴ab﹣b2=b（a﹣b）＞0，∴ab＞b2．故选项D正确，故选D．点评：本题考查了基本不等关系，本题难度不大，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先由函数f（x）的图象判断a，b的范围，再根据指数函数的图象和性质即可得到答案．解答：解：由函数的图象可知，﹣1＜b＜0，a＞1，则g（x）=a x+b为增函数，当x=0时，y=1+b＞0，且过定点（0，1+b），故选：C点评：本题考查了指数函数和二次函数的图象和性质，属于基础题．6．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣3y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣6 C．﹣5 D．﹣3考点：简单线性规划．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解答：解：由z=2x﹣3y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点C时，直线y=截距最大，此时z最小，由，解得，即C（3，4）．代入目标函数z=2x﹣3y，得z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6．∴目标函数z=2x﹣3y的最小值是﹣6．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．7．（5分）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF （O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x考点：抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线方程表示出F的坐标，进而根据点斜式表示出直线l的方程，求得A的坐标，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得a，则抛物线的方程可得．解答：解：抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F坐标为，则直线l的方程为，它与y轴的交点为A，所以△OAF的面积为，解得a=±8．所以抛物线方程为y2=±8x，故选C．点评：本题主要考查了抛物线的标准方程，点斜式求直线方程等．考查学生的数形结合的思想的运用和基础知识的灵活运用．8．（5分）下列函数存在极值的是（）A．y=2x+cosx B．y=e x﹣lnxC．y=x3+3x2+3x﹣1 D．y=lnx﹣考点：函数在某点取得极值的条件．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由极值的定义确定是否存在极值，注意导数有正有负且有0．解答：解：选项A：y′=2﹣sinx＞0，故不存在极值；选项B：y′=e x﹣有正有负且有零点，故存在极值；选项C：y′=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0，故不存在极值；选项D：y′=+＞0，故不存在极值．故选B．点评：本题考查了函数存在极值的条件，属于基础题．9．（5分）定义：|×|=||•||•s inθ，其中θ为向量与的夹角，若||=2，||=5，•=﹣6，则|×|=（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．6考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算和新定义即可得出．解答：解：由数量积可得=10cosθ，解得，∵0≤θ≤π，∴．∴|×|===8．故选A．点评：正确理解向量数量积运算和新定义是解题的关键．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f （2）成立，当x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＞0．给出下列命题：①函数f（x）一定是周期函数；②函数f（x）在区间[﹣6，﹣4]上为增函数；③直线x=﹣4是函数f（x）图象的一条对称轴；④函数f（x）在区间[﹣6，6]上有且仅有4个零点．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：①，令x=﹣2，易求f（﹣2）=0，利用f（x）为偶函数可知f（2）=0，于是可得f （x+4）=f（x），可判断①；②，依题意易知函数f（x）在区间[﹣6，﹣4]上为减函数，可判断②；③，利用偶函数f（x）是周期为4的函数的性质可判断③；④，利用函数的单调性质及周期性可判断④．解答：解：对于①，∵对于任意x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，∴令x=﹣2，则f（2）=f（﹣2）+f（2），∴f（﹣2）=0，又函数f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的函数，故①正确；对于②，∵x1，x2∈[0，2]且x1≠x2时，都有＞0，∴偶函数y=f（x）在区间[0，2]上是增函数，在[﹣2，0]上是减函数，又其周期为4，∴函数f（x）在区间[﹣6，﹣4]上为减函数，故②错误；对于③，∵y=f（x）为偶函数，∴直线x=0（即y轴）是函数f（x）图象的一条对称轴，又函数f（x）是周期为4的函数，∴直线x=﹣4是函数f（x）图象的一条对称轴，故③正确；对于④，∵f（﹣2）=f（2）=0，函数f（x）是周期为4的函数，∴f（﹣6）=f（﹣2）=0，f（6）=f（2）=0，又y=f（x）在区间[﹣6，﹣4]，[﹣2，0]，[2，4]上均为减函数；在区间[﹣4，﹣2]，[0，2]，[4，6]上是增函数，∴函数f（x）在区间[﹣6，6]上有且仅有4个零点，故④正确．综上所述，正确命题的个数是3个，故选：C．点评：本题考查抽象函数的应用，突出考查函数的单调性、周期性、对称性与函数的零点，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.请把答案填在答题卷的相应位置. 11．（4分）设，则=．考点：定积分的简单应用．专题：计算题．分析：分段函数的积分必须分段求解，故先将原式化成再分别求各个和式的积分，最后只要求出被积函数的原函数，结合积分计算公式求解即可．解答：解：===x3|01+（2x﹣x2）|12=（﹣0）﹣（2﹣）=故答案为：点评：本题主要考查定积分、定积分的应用、导数等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．12．（4分）已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，则C1的离心率=．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，可得==2，利用，即可求出C1的离心率．解答：解：∵双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与双曲线C2：﹣=1有相同的渐近线，∴==2，∴=，故答案为：．点评：本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何性质，属基础题13．（4分）已知=2，=3，=4，…，若=7，（a、b均为正实数），则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a+b=55．考点：类比推理．专题：计算题；推理和证明．分析：观察所给的等式，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，即可写出结果．解答：解：观察下列等式=2，=3，=4，…，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，∴a+b=55，故答案为：55点评：本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系．14．（4分）若定义在[a，b]上的函数f（x）=x3﹣3x2+1的值域为[﹣3，1]，则b﹣a的最大值是4．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的概念及应用．分析：本题先通过导函数研究函数的极值，再利用方程得到相应的边界点，然后解不等式得到x的取值范围，从而得到最大的区间[a，b]，求出b﹣a的最大值，得到本题结论．解答：解：∵函数f（x）=x3﹣3x2+1，∴f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2），∴当x＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增；当0＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，2）上单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，函数f（x）在（2，+∞）上单调递增．∴当x=0时，f（x）有极大值，f（0）=1，当x=2时，f（x）有极小值，f（2）=23﹣3×22+1=﹣3，∵当f（x）=1时，x=0或x=3，当f（x）=﹣3时，x=2或x=﹣1，∴若﹣3≤f（x）≤1，则﹣1≤x≤3．∴定义在[a，b]上的函数f（x）=x3﹣3x2+1的值域为[﹣3，1]，则b﹣a的最大值是1﹣（﹣3）=4．故答案为：4．点评：本题考查了导函数与函数的最值，还考查了数形结合思想，本题难度适中，计算量略大，属于中档题．15．（4分）已知A i（i=1，2，3，…，n，n≥3，n∈N*）是△AOB所在的平面内的n个相异点，且•=．给出下列命题：①||=||=…=||=；②||的最小值不可能是||；③点A，A1，A2，…，A n在一条直线上；④向量及在向量的方向上的投影必相等．其中正确命题的序号是③④．（请填上所有正确命题的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：平面向量及应用；简易逻辑．分析：由条件利用两个向量的数量积的定义，可得和在上的投影相等，从而得出结论．解答：解：如图，由•=，可得||•||cos∠A i OB=||•||cos∠AOB，故有||cos∠A i OB=||cos∠AOB，即和在上的投影相等，即点A、A i在同一条垂直于直线OB的直线l上，如图所示，故③④正确，①不正确．由图可知，当A i位于所在直线上时||有最小值，故②不正确．∴正确的命题是③④．故答案为：③④．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义及向量在向量上的投影，关键是对题意的理解，是中档题．三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.16．（13分）已知全集U=R，m＞0，集合A={x|x2﹣x﹣12＜0}，B={x||x﹣3|≤m}．（1）当m=2时，求A∩（∁U B）；（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：（1）当m=2时，求出集合A，B，即可求A∩（∁U B）；（2）若p是q的充分条件，建立集合关系即可求实数m的取值范围解答：解：（1）由x2﹣x﹣12＜0，解得﹣3＜x＜4，即A=（﹣3，4），当m=2时，B={x||x﹣3|≤2}={x|1≤x≤5}，则∁U B={x|x＞5或x＜1}，则A∩（∁U B）={x|﹣3＜x＜1}，（2）若p是q的充分条件，则A⊆B，由m＞0知B={x||x﹣3|≤m}={x|3﹣m≤x≤3+m}，则，即，即m≥6，故实数m的取值范围是[6，+∞）．点评：本题主要考查函数的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，根据条件求出函数的定义域和值域是解决本题的关键．17．（13分）已知向量=（sinx，﹣cosx），=（cosx，cosx），记函数f（x）=•．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且c=，f（C）=，若向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，求a，b的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）函数化简为：f（x）=sin（2x﹣）﹣，即可求得f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）由f（C）=可求C的值，根据向量m与n共线可求得b=2a，再根据a2+b2﹣ab=3，进而解得a，b的值．解答：解：（1）依题意，f（x）=sinxcosx﹣cos2x=sin2x﹣=sin2x﹣cos2x ﹣=sin（2x﹣）﹣（3分）所以最小正周期T==π，（4分）令2kπ≤2x﹣≤2kπ，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间是：[k，k]，k∈Z．（6分）（2）由f（C）=sin（2C﹣）﹣=，得sin（2C﹣）=1，（7分）因为0＜C＜π，所以﹣＜2C﹣＜，所以2C﹣=，解得C=，（8分）因为向量m=（1，sinA）与n=（2，sinB）共线，所以sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a，…①（9分）在△ABC中，由余弦定理得，即a2+b2﹣ab=3，…②（11分）由①②，解得a=1，b=2．（13分）点评：本题主要考察了平面向量数量积的运算，余弦定理、两角和与差的正弦函数公式的综合应用，属于中档题．18．（13分）平面直角坐标系中，点M的坐标是（3，），曲线C1的参数方程为（α为参数），在以坐标原点为极点、x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）将曲线C1和C2化成普通方程，并求曲线C1和C2公共弦所在直线的极坐标方程；（2）若过点M，倾斜角为的直线l与曲线C1交于A，B两点，求||•||的值．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）曲线C1和C2消去参数方程中的参数，得到普通方程，再利用参数求出公共弦所在直线的极坐标方程，得到本题结论；（2）利用直线l的参数方程，求出对应参数t1•t2的值，得到||•||的值，得到本题结论．解答：解：（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴C1的普通方程：（x﹣1）2+y2=1，…①∵C2：ρ2=4ρsinθ，∴x2+y2=4y，即x2+（y﹣2）2=4，…②①﹣②可得，x﹣2y=0，∴曲线C1和C2公共弦所在直线的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ=0，tanθ=，（ρ∈R）．（2）依题意，直线l的参数方程为（T为参数），点A、B分别对应参数t1，t2，代入C1的方程：（3+）2+（+）2=1，∴整理得t2+5t+6=0，∴t1t2=6，∴MA|•|MB|=6．点评：本题考查了参数方程转化为普通方程，以及参数方程的应用，本题难度不大，属于基础题．19．（13分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（Ⅱ）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．解答：解：（Ⅰ）由题意知，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）将代入化简得：（0≤x≤a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增在[0，a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）（注：当a≥1时，也可：，当且仅当时，上式取等号）点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．20．（14分）已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若F是椭圆C的右焦点，过F的直线交椭圆C于M、N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上，（ⅰ）求•的取值范围；（ⅱ）若OT平分线段MN，证明：TF⊥MN（其中O为坐标原点）．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）椭圆C的方程为=1a＞0，b＞0，运用方程组求解，（2）（ⅰ）分类①若直线l斜率不存在，②若直线l斜率存在，利用韦达定理求解，（ⅱ）求出直线OT的斜率k′==，TF的斜率k TF==﹣，根据斜率判断．解答：解：（1）设椭圆C的方程为=1a＞0，b＞0，则解得a2=4，b2=3，所以椭圆C：=1，（2）（ⅰ）易得F（1，0）①若直线l斜率不存在，则l：x=1，此时M（1，），n（1，﹣），=，②若直线l斜率存在，设l：y=k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），则由消去y得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴=（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）=（1+k2）[x1x2﹣（x1+x2）+1]=，∵k2≥0∴0≤1∴3＜4∴﹣3≤综上，的取值范围为[﹣3，），（ⅱ）线段MN的中点为Q，则由（ⅰ）可得，x Q==，y Q=k（x Q﹣1）=，所以直线OT的斜率k′==，所以直线OT的方程为：y=﹣x，从而T（4，﹣），此时TF的斜率k TF==﹣，所以k TF k MN=﹣•k=﹣1，所以TF⊥MN．点评：本题综合考查了椭圆的方程，性质，结合韦达定理求解，运算量较大，属于难题．21．（14分）已知函数f（x）=（a∈R），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1．（1）求实数a的值，并求f（x）的单调区间；（2）试比较20142015与20152014的大小，并说明理由；（3）是否存在k∈Z，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）由求导公式求出导数，再由切线的方程得f′（1）=1，列出方程求出a的值，代入函数解析式和导数，分别求出f′（x）＞0、f′（x）＜0对应的x的范围，即求出函数f（x）的单调区间；（2）解法一：根据函数f（x）的单调性得：＞，由对数的运算律、单调性化简即可，解法二：将化为：，由二项式定理化简=，再由放缩法和裂项相消法进行化简；（3）先将kx＞f（x）+2分离出k：，构造函数g（x）=，再求出此函数的导数g′（x）并化简，再构造函数并二次求导，通过特殊函数值的符号，确定函数零点所在的区间，列出表格判断出g（x）的单调性，从而求出g（x）的最大值，再由自变量的范围确定出g（x）的最大值的范围，从而求出满足条件的k的最小值．解答：解：（1）依题意，（x＞0），（1分）所以=，由切线方程得f′（1）=1，即=1，解得a=0，此时（x＞0），，（3分）令f′（x）＞0得，1﹣lnx＞0，解得0＜x＜e；令f′（x）＜0得，1﹣lnx＜0，解得x＞e，所以f（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）．（5分）（2）解法一：由（1）知，函数f（x）在（e，+∞）上单调递减，所以f＞f，即＞，则2015ln2014＞2014ln2015，所以ln20142015＞ln20152014，即20142015＞20152014（9分）解法二：=，因为==1+1+++…+＜2+＜2+＜2+（1﹣）+（）+…+（﹣）=3﹣＜3，所以，所以20142015＞20152014．（9分）（3）若kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立，则，记g（x）=，只需k＞g（x）max．又=，（10分）记h（x）=1﹣2x﹣2lnx（x＞0），则，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减．又h（1）=﹣1＜0，=1﹣+ln2＞1﹣+ln2=ln＞0，所以存在唯一，使得h（x0）=0，即1﹣2x0﹣2lnx0=0，（11分）当x＞0时，h（x）、g′（x）、g（x）的变化情况如下：x （0，x0）x0（x0，+∞）h（x）+ 0 ﹣g′（x）+ 0 ﹣g（x）↗极大值↘（12分）所以g（x）max=g（x0）=，又因为1﹣2x0﹣2lnx0=0，所以2x0+2lnx0=1，所以g（x0）===，因为，所以，所以，（13分）又g（x）max≥g（1）=2，所以，因为k＞g（x）max，即k＞g（x0），且k∈Z，故k的最小整数值为3．所以存在最小整数k=3，使得kx＞f（x）+2对任意x＞0恒成立．（14分）点评：本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值之间的关系，恒成立问题转化为求函数的最值，以及构造法、二次求导判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力，化简计算能力．。
福建省厦门市双十中学2015_2016学年高一数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年福建省厦门市双十中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1．设全集U是实数集R，M={x|x＜1}，N={x|0＜x＜2}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|1≤x＜2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≤0} D．{x|x＜2}2．下列函数中与函数y=x相等的函数是（）A．B．y=C．D．y=log22x3．若函数是奇函数，则a=（）A．﹣2 B．2 C． D．4．给定映射f：（x，y）→（2x+y，x﹣2y），在映射f下，（3，﹣1）的原像为（）A．（﹣1，3）B．（5，5） C．（3，﹣1）D．（1，1）5．已知函数则f（﹣3）的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣96．已知k，b∈R，则一次函数y=kx+b与反比例函数在同一坐标系中的图象可以是（）A． B．C．D．7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f （log23），c=f（0.20.6），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c8．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.59．函数是R上的减函数，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．10．当实数k变化时，对于方程（2|x|﹣1）2﹣（2|x|﹣1）﹣k=0的解的判断不正确的是（）A．时，无解B．时，有2个解C．时，有4个解D．k＞0时，有2个解二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.请把答案填在答题卷的相应位置.11．函数的定义域为．12．已知f（x）=ax3+bx﹣2，若f（2015）=7，则f（﹣2015）的值为．13．已知全集U=R，集合A={x|x﹣a≤0}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，且A∪∁U B=R，则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）=x2+ax+b的零点是﹣3和1，则函数g（x）=log2（ax+b）的零点是．15．若函数（a＞0，且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a 的取值范围是．16．方程x2+﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标．若x4+ax﹣9=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.17．（1）求值：lg5•lg400+（lg2）2；（2）已知x=log23，求的值．18．已知集合．（Ⅰ）若a=1，求A∩B；（Ⅱ）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．19．设函数．（Ⅰ）设t=log3x，用t表示f（x），并指出t的取值范围；（Ⅱ）求f（x）的最值，并指出取得最值时对应的x的值．20．小张周末自己驾车旅游，早上8点从家出发，驾车3h后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s（单位：km）与离家的时间t（单位：h）的函数关系式为s（t）=﹣4t（t﹣13）．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到17点，小张开车从停车场以60km/h的速度沿原路返回．（Ⅰ）求这天小张的车所走的路程s（单位：km）与离家时间t（单位：h）的函数解析式；（Ⅱ）在距离小张家48km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．21．已知函数（p，q为常数）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）判断并用定义证明f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（Ⅲ）解关于x的不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．22．已知函数f（x）=x2+2x|x﹣a|，其中a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，在所给坐标系中作出f（x）的图象；（Ⅱ）对任意x∈[1，2]，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=﹣x+14图象的下方，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）+1=0在区间（﹣1，0）内有两个相异根，求实数a的取值范围．2015-2016学年福建省厦门市双十中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1．设全集U是实数集R，M={x|x＜1}，N={x|0＜x＜2}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|1≤x＜2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≤0} D．{x|x＜2}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】数形结合；定义法；集合．【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为N∩（∁U M），然后根据集合的基本运算求解即可．【解答】解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为N∩（∁U M），∵M={x|x＜1}，∴∁U M={x|x≥1}，又N={x|0＜x＜2}，∴N∩（∁U M）={x|1≤x＜2}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．2．下列函数中与函数y=x相等的函数是（）A．B．y=C．D．y=log22x【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】判断函数相等，先求出每个函数的定义域，然后判断与y=x的定义域是否相同，然后再判断解析式是否相同或可以化成相同的情况，即对应关系是否相同y=|x|．【解答】解：函数y=x的定义域为R，对应关系为y=x．对于A，函数y=的定义域为[0，+∞），故与y=x不是相同函数，故A错误；对于B，函数解析式可化为y=|x|，所以对应关系不同，故B错误；对于C．定义域为（0，+∞），故C错误；对于D，易知函数，该函数的定义域为R，所以该函数与y=x相同．故选D．【点评】本题考查了函数相等的概念，主要是从定义域、对应关系两个方面来考虑．3．若函数是奇函数，则a=（）A．﹣2 B．2 C． D．【考点】函数奇偶性的判断．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：若是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，即（x+2）（x﹣a）=（x﹣2）（x+a），则x2+（2﹣a）x﹣2a=x2+（a﹣2）x﹣2a，即（2﹣a）x=（a﹣2）x，则2﹣a=a﹣2，得a=2，故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数奇偶性的定义建立方程关系是解决本题的关键．4．给定映射f：（x，y）→（2x+y，x﹣2y），在映射f下，（3，﹣1）的原像为（）A．（﹣1，3）B．（5，5） C．（3，﹣1）D．（1，1）【考点】映射．【专题】方程思想；对应思想；函数的性质及应用．【分析】设在映射f下，（3，﹣1）的原像为：（x，y），则2x+y=3，x﹣2y=﹣1，解得答案．【解答】银：设在映射f下，（3，﹣1）的原像为：（x，y），则2x+y=3，x﹣2y=﹣1，解得：x=1，y=1，故在映射f下，（3，﹣1）的原像为：（1，1）故选：D【点评】本题考查的知识点是映射，由象求原象就是解方程（组）．5．已知函数则f（﹣3）的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣9【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的解析式化简求解即可．【解答】解：函数，则f（﹣3）=﹣f（﹣2）=f（﹣1）=﹣f（0）=f（1）=1．故选：A．【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．6．已知k，b∈R，则一次函数y=kx+b与反比例函数在同一坐标系中的图象可以是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】通过K的讨论，判断函数的图象即可．【解答】解：当k＜0，b＜0时，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数，A、B、C、D 不成立．当k＜0，b＞0，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数，A不成立，B成立，C、D不成立．当k＞0，b＜0时，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数，A、B、C、D不成立．当k＞0，b＞0时，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数，A、B、C、D不成立．当k＜0，b＞0，一次函数y=kx+b的图象，反比例函数，B成立；故选：B．【点评】本题考查直线方程与反比例函数图象的判断，考查计算能力．7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，设a=f（log47），b=f （log23），c=f（0.20.6），则a，b，c的大小关系是（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c【考点】奇偶性与单调性的综合；对数值大小的比较．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】由f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，可得出自变量的绝对值越小，函数值越大，由此问题转化为比较自变量的大小，问题即可解决．【解答】解：f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是增函数，要得函数在（0，+∞）上是减函数，图象越靠近y轴，图象越靠上，即自变量的绝对值越小，函数值越大，由于0＜0.20.6＜1＜log47＜log49=log23，可得b＜a＜c，故选C．【点评】本题解答的关键是根据函数的性质得出自变量的绝对值越小，函数值越大这一特征，由此转化为比较自变量的大小，使得问题容易解决．这也是本题解答的亮点．8．若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【考点】二分法求方程的近似解．【专题】应用题．【分析】由图中参考数据可得f（1.43750＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1可得答案．【解答】解：由图中参考数据可得f（1.43750）＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1，所以近似根为 1.4故选 C．【点评】本题本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束．9．函数是R上的减函数，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】分段函数的应用；函数单调性的性质．【专题】分类讨论；转化思想；分类法；导数的综合应用．【分析】若函数是R上的减函数，则，解得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数是R上的减函数，∴，解得：a∈，故选：D【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．10．当实数k变化时，对于方程（2|x|﹣1）2﹣（2|x|﹣1）﹣k=0的解的判断不正确的是（）A．时，无解B．时，有2个解C．时，有4个解D．k＞0时，有2个解【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】令令t=2|x|﹣1，则t∈[0，+∞），方程即k=t2﹣t∈[﹣，+∞），再利用二次函数的性质判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：令t=2|x|﹣1，则t∈[0，+∞），方程即 t2﹣t﹣k=0，即 k=t2﹣t．由于t2﹣t=（t﹣）2﹣≥﹣，当t=时，取得最小值﹣，当k＜﹣时，方程无解，故A正确；当k=﹣时，方程有两解，且为x=±log2，故B正确；当k＞0时，方程t2﹣t﹣k=0的判别式△=1+4k＞0，两根异号，则方程有两解，故D正确；当k=0时，方程即为t2﹣t=0，求得t=0，或t=1，此时x=0或±1，有三个解，故C不正确．故选C．【点评】本题主要考查方程根的存在性及个数的判断，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.请把答案填在答题卷的相应位置.11．函数的定义域为{x|x≤2且x≠1}．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：根据题意，要使得函数有意义，要满足，故可知答案为{x|x≤2且x≠1}．故答案为：{x|x≤2且x≠1}【点评】本题主要考查函数定义域的求解，解决的关键是根据分母不为零，偶次根式下为非负数，属于基础题．12．已知f（x）=ax3+bx﹣2，若f（2015）=7，则f（﹣2015）的值为﹣11 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；构造法；函数的性质及应用．【分析】根据条件构造函数g（x）=f（x）﹣1，判断函数的奇偶性，进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=ax3+bx﹣2，∴f（x）+2=ax3+bx，是奇函数，设g（x）=f（x）+2，则g（﹣x）=﹣g（x），即f（﹣x）+2=﹣（f（x）+2）=﹣2﹣f（x），即f（﹣x）=﹣4﹣f（x），若f（2015）=7，则f（﹣2015）=﹣4﹣f（2015）=﹣4﹣7=﹣11，故答案为：﹣11．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件构造函数，判断函数的奇偶性是解决本题的关键．13．已知全集U=R，集合A={x|x﹣a≤0}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，且A∪∁U B=R，则实数a的取值范围是a≥2．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；不等式的解法及应用；集合．【分析】由全集R及B，求出B的补集，根据A与B补集的并集为R，确定出a的范围即可．【解答】解：∵全集U=R，B={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴∁U B={x|x＜1或x＞2}．∵A={x|x﹣a≤0}={x|x≤a}，A∪（∁U B）=R，∴a≥2，则a的取值范围为a≥2．故答案为：a≥2．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题．14．已知函数f（x）=x2+ax+b的零点是﹣3和1，则函数g（x）=log2（ax+b）的零点是 2 ．【考点】函数的零点．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由题意得方程x2+ax+b=0的根是﹣3和1；从而利用韦达定理求a，b；再解方程即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+b的零点是﹣3和1，∴方程x2+ax+b=0的根是﹣3和1；∴﹣3+1=﹣a，﹣3•1=b；解得a=2，b=﹣3；故令函数g（x）=log2（2x﹣3）=0解得，x=2；故答案为：2．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及韦达定理的应用．15．若函数（a＞0，且a≠1）的值域是[4，+∞），则实数a的取值范围是（1，] ．【考点】函数的值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】x≤2时，容易得出f（x）≥4，而f（x）的值域为[4，+∞），从而需满足2+log a x≥4，（x＞2）恒成立，从而可判断a＞1，从而可得出log a2≥2，这样便可得出实数a的取值范围．【解答】解：x≤2时，﹣x+6≥4；∴f（x）的值域为[4，+∞）；∴x＞2时，2+log a x≥4恒成立；∴log a x≥2，a＞1；∴log a2≥2；∴2≥a2；解得；∴实数a的取值范围为．故答案为：．【点评】考查函数值域的概念，分段函数值域的求法，以及一次函数、对数函数的单调性，函数恒成立问题的处理方法．16．方程x2+﹣1=0的解可视为函数y=x+的图象与函数y=的图象交点的横坐标．若x4+ax﹣9=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣24）∪（24，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的图象．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据题意，x4+ax﹣9=0的各个实根可看做是函数y=x3+a的图象与函数y=的图象的交点的横坐标，由于交点要在直线y=x的同侧，可先计算函数y=的图象与y=x的交点为A（3，3），B（﹣3，﹣3），再将函数y=x3纵向平移|a|，数形结合发现只需函数y=x3+a的图象与y=x的交点分布在A的外侧或B的外侧，故计算函数y=x3+a的图象过点A或B时a 的值即可的a的范围【解答】解：如图x4+ax﹣9=0的各个实根x1，x2，…，x k（k≤4）可看做是函数y=x3+a的图象与函数y=的图象的交点C，D的横坐标∵函数y=的图象与y=x的交点为A（3，3），B（﹣3，﹣3），函数y=x3+a的图象可看做是将函数y=x3纵向平移|a|的结果，其图象为关于（0，a）对称的增函数当函数y=x3+a的图象过点A（3，3）时，a=﹣24当函数y=x3+a的图象过点B（﹣3，﹣3）时，a=24∴要使函数y=x3+a的图象与函数y=的图象的交点C、D均在直线y=x的同侧只需使函数y=x3+a的图象与y=x的交点横坐标大于3或小于﹣3∴数形结合可得a＜﹣24或a＞24故答案为（﹣∞，﹣24）∪（24，+∞）【点评】本题考查了数形结合解决根的存在性及根的个数问题的方法，认真分析“动”函数与“定”函数的关系是解决本题的关键三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答.17．（1）求值：lg5•lg400+（lg2）2；（2）已知x=log23，求的值．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）直接利用对数的运算性质化简求值；（2）把x=log23代入，然后利用对数的运算性质结合有理指数幂的运算性质化简得答案．【解答】解：（1）lg5•lg400+（lg2）2=lg5（lg4+lg100）+=2lg5•lg2+2lg5+2lg22=2lg2（lg5+lg2）+2lg5=2lg2+2lg5=2（lg5+lg2）=2；（2）∵x=l og23，∴===．【点评】本题考查有理指数幂的化简与求值，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．18．已知集合．（Ⅰ）若a=1，求A∩B；（Ⅱ）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；分类法；集合．【分析】（Ⅰ）把a=1代入A中不等式，求出解集确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可；（Ⅱ）由A与B的交集为空集，分A为空集及不为空集两种情况求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，A={x|0＜x＜5}，由＜2x﹣1＜4，得﹣2＜x﹣1＜2，解得：﹣1＜x＜3，∴B={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B={x|0＜x＜3}；（Ⅱ）若A=∅，则a﹣1≥3a+2，解得：a≤﹣；若A≠∅，则a＞﹣，由A∩B=∅，得到a﹣1≥3或3a+2≤﹣1，解得：﹣＜a≤﹣1或a≥4，综上，实数a的取值范围是{x|x≤﹣1或x≥4}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．19．设函数．（Ⅰ）设t=log3x，用t表示f（x），并指出t的取值范围；（Ⅱ）求f（x）的最值，并指出取得最值时对应的x的值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；函数思想；换元法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）设t=log3x，由x的范围，可得t的范围，运用对数的运算性质，可得f（x）关于t的解析式；（Ⅱ）由二次函数在闭区间上的最值的求法，讨论区间上的单调性，即可得到所求最值及对应x的值．【解答】解：（Ⅰ）设t=log3x，由，即有﹣2≤log3x≤3，即﹣2≤t≤3．此时，f（x）=﹣log3（9x）•（log3x﹣1）=﹣（log3x+2）（log3x﹣1）=﹣t2﹣t+2，即f（x）=﹣t2﹣t+2，其中﹣2≤t≤3；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，又﹣2≤t≤3，函数y=﹣t2﹣t+2在单调递增，在单调递减，所以当，即，即时，f（x）取得最大值；所以当t=3，即log3x=3，即x=27时，f（x）取得最小值﹣10．【点评】本题考查函数的最值的求法，考查换元法的运用，以及对数函数的单调性，同时考查二次函数的最值的求法，及化简运算能力，属于中档题．20．小张周末自己驾车旅游，早上8点从家出发，驾车3h后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s（单位：km）与离家的时间t（单位：h）的函数关系式为s（t）=﹣4t（t﹣13）．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到17点，小张开车从停车场以60km/h的速度沿原路返回．（Ⅰ）求这天小张的车所走的路程s（单位：km）与离家时间t（单位：h）的函数解析式；（Ⅱ）在距离小张家48km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．【考点】根据实际问题选择函数类型．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可得：当0≤t≤3时，s（t）=﹣4t（t﹣13）（km）；在景区共玩6个小时，此时离家的距离可认为不变，于是当3＜t≤9时，s（t）=s（3）km；小张开车以60km/h的速度沿原路匀速返回时，共用2小时，因此当9＜t≤11时，s（t）=120+60（t﹣9）=60t﹣420；（2）利用分段函数，解得t，可得第一次、第二次经过加油站时的时间．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，当0≤t≤3时，s（t）=﹣4t（t﹣13），∴s（3）=﹣4×3×（3﹣13）=120．即小张家距离景点120 km，小张的车在景点逗留时间为17﹣8﹣3=6（h）．∴当3＜t≤9时，s（t）=120，小张从景点回家所花时间为=2（h），∴当9＜t≤11时，s（t）=120+60（t﹣9）=60t﹣420．综上所述，这天小张的车所走的路程s（t）=（Ⅱ）当0≤t≤3时，令﹣4t（t﹣13）=48，得t2﹣13t+12=0，解得t=1或t=12（舍去），当9＜t≤11时，令60t﹣420=2×120﹣48=192，解得t=．答：小张这天途经该加油站的时间分别为9点和18时．【点评】本题考查了分段函数的求法和应用、路程与速度时间的关系等基础知识与基本方法，属于难题．21．已知函数（p，q为常数）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）判断并用定义证明f（x）在（﹣1，1）上的单调性；（Ⅲ）解关于x的不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．【考点】函数单调性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）依题意，，解得p=1，q=0，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增．（Ⅲ）原不等式可化为f（2x﹣1）＜f（﹣x），根据函数f（x）在定义域（﹣1，1）上单调递增，可得，由此求得x的范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，，解得p=1，q=0，所以．（Ⅱ）函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，证明如下：任取﹣1＜x1＜x2＜1，则x1﹣x2＜0，﹣1＜x1x2＜1，从而f（x1）﹣f（x2）=﹣==＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增．（Ⅲ）原不等式可化为：f （2x ﹣1）＜﹣f （x ），即f （2x ﹣1）＜f （﹣x ），由（Ⅱ）可得，函数f （x ）在（﹣1，1）上单调递增，所以，解得，即原不等式解集为．【点评】本题主要考查函数的单调性的判断和证明，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．22．已知函数f （x ）=x 2+2x|x ﹣a|，其中a ∈R ． （Ⅰ）当a=﹣1时，在所给坐标系中作出f （x ）的图象；（Ⅱ）对任意x ∈[1，2]，函数f （x ）的图象恒在函数g （x ）=﹣x+14图象的下方，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程f （x ）+1=0在区间（﹣1，0）内有两个相异根，求实数a 的取值范围．【考点】函数的图象；函数与方程的综合运用．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；分类法；函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）依题意当a=﹣1时，，据此可作出图象．（Ⅱ）由题意，对任意x ∈[1，2]，只需（f （x ）+x ）max ＜14．分类讨论求得（f （x ）+x ）max，可得实数a 的取值范围．（Ⅲ）记F （x ）=f （x ）+1，考虑F （x ）在区间（﹣1，0）内有两个不同的零点即可．分类讨论，求得a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意当a=﹣1时，，据此可作出图象如下：（Ⅱ）由题意，对任意x∈[1，2]，f（x）＜g（x），即f（x）+x＜14恒成立，只需（f（x）+x）max＜14．另一方面，f（x）=，即 f（x）=．当a≥0时，f（x）在（﹣∞，a）和（a，+∞）上均递增，∵f（a）=a2，则f（x）在R上递增，当a＜0时，f（x）在（﹣∞，a）和上递增，在上递减，故f（x）在x∈[1，2]上恒单调递增，从而y=f（x）+x在x∈[1，2]上也恒单调递增，则（f（x）+x）max=f（2）+2=4+4|2﹣a|+2＜14，即|2﹣a|＜2，解得0＜a＜4，故实数a的取值范围是（0，4）．（Ⅲ）记F（x）=f（x）+1，考虑F（x）在区间（﹣1，0）内有两个不同的零点即可．此时，，即，则由（Ⅱ）可知，当a≥0时，F（x）=f（x）+1在R上递增，方程f（x）+1=0在区间（﹣1，0）内至多有一个根，不符合要求，舍去；故a＜0．当x≤a时，令F（x）=0，可得（不符合x≤a，舍去）或，但，不在区间（﹣1，0）内．当x＞a时，F（x）=3x2﹣2ax+1在区间（﹣1，0）内必有两个不同的零点，从而（﹣1，0）⊆（a，+∞），21 所以，解得．【点评】本题主要考查函数的图象，函数与方程的综合应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）命题“对任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．不存在x∈R，x2+1＞0 B．存在x∈R，x2+1＞0C．存在x∈R，x2+1≤0 D．对任意的x∈R，x2+1≤02．（5分）已知集合A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，则A∪B=（）A．{0，1，3}B．{1，2，4}C．{0，1，2，3}D．{0，1，2，3，4} 3．（5分）设a，b为实数，若复数，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A．3 B．2 C．D．15．（5分）等比数列{a n}中，a3=1，q＞0，满足2a n+2﹣a n+1=6a n，则S5的值为（）A．31 B．121 C．D．6．（5分）已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．97．（5分）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣C．D．08．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）“a＜﹣1”是“一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log 2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A． B．[1，2]C． D．（0，2]11．（5分）已知各项均不为零的数列{a n}，定义向量，，n∈N*．下列命题中真命题是（）A．若∀n∈N*总有∥成立，则数列{a n}是等差数列B．若∀n∈N*总有∥成立，则数列{a n}是等比数列C．若∀n∈N*总有⊥成立，则数列{a n}是等差数列D．若∀n∈N*总有⊥成立，则数列{a n}是等比数列12．（5分）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）二.填空题（每题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域为．14．（5分）在极坐标系中，已知圆C经过点P（），圆心为直线ρsin（）=﹣与极轴的交点，则圆C的极坐标方程是．15．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．16．（5分）给出下列四个命题中：①命题：；②函数f（x）=2x﹣x2有三个零点；③对∀（x，y）∈{（x，y）|4x+3y﹣10=0}，则x2+y2≥4．④已知函数，若△ABC中，角C是钝角，那么f（sinA）＞f（cosB）其中所有真命题的序号是．三.解答题17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=5，S9=99．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）若数列{}的前n项和T n，试求T n并证明不等式T n＜1成立．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=．（1）求b的值；（2）求sin（2B﹣）的值．19．（12分）已知函数f（x）=2x﹣．（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；（Ⅱ）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．20．（12分）已知椭圆E的方程：，P为椭圆上的一点（点P在第三象限上），圆P 以点P为圆心，且过椭圆的左顶点M与点C（﹣2，0），直线MP 交圆P与另一点N．（Ⅰ）求圆P的标准方程；（Ⅱ）若点A在椭圆E上，求使得取得最小值的点A的坐标；（Ⅲ）若过椭圆的右顶点的直线l上存在点Q，使∠MQN为钝角，求直线l斜率的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+1，g（x）=ax2﹣2x+1，其中实数a≠0．（Ⅰ）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最小值时，记g（x）的最小值为h（a），求h（a）的值域；（Ⅲ）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，求a的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】22．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）命题“对任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是（）A．不存在x∈R，x2+1＞0 B．存在x∈R，x2+1＞0C．存在x∈R，x2+1≤0 D．对任意的x∈R，x2+1≤0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意的x∈R，x2+1＞0”的否定是：存在x∈R，x2+1≤0．故选：C．2．（5分）已知集合A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，则A∪B=（）A．{0，1，3}B．{1，2，4}C．{0，1，2，3}D．{0，1，2，3，4}【解答】解：∵A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，∴a2=1，解得：a=1或a=﹣1，当a=1时，1﹣a=1﹣1=0，不合题意，舍去；当a=﹣1时，1﹣a=1﹣（﹣1）=2，此时b=1，∴A={3，1}，集合B={0，1，2}，则A∪B={0，1，2，3}．故选：C．3．（5分）设a，b为实数，若复数，则a﹣b=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：，因此．a﹣b=1．故选：C．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（）A．3 B．2 C．D．1【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5=0的距离，则由圆的性质可得，，即．故选：B．5．（5分）等比数列{a n}中，a3=1，q＞0，满足2a n+2﹣a n+1=6a n，则S5的值为（）A．31 B．121 C．D．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3=1，q＞0，∴a1q2=1，∵2a n+2﹣a n+1=6a n，令n=1∴2a3﹣a2=6a1，可得2q2﹣q﹣6=0，解得q=2，q=﹣（舍去），∵a1q2=1，∴a1=，∴a n=×2n﹣1=2n﹣3，∴S5==，故选：C．6．（5分）已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．9【解答】解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．故选：C．7．（5分）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是（）A．﹣1 B．﹣C．D．0【解答】解：由题意x∈，得2x∈[﹣，]，∴∈[，1]∴函数在区间的最小值为．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数的图象可知，﹣1＜b＜0，a＞1，则g（x）=a x+b为增函数，当x=0时，y=1+b＞0，且过定点（0，1+b），故选：C．9．（5分）“a＜﹣1”是“一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：令f（x）=x2+x+a，∵一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根，∴f（0）＜0，∴a＜0，根据充分必要条件的定义可判断：“a＜﹣1”是“一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的充分而不必要条件，故选：A．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a满足f（log 2a）+f（）≤2f（1），则a的取值范围是（）A． B．[1，2]C． D．（0，2]【解答】解：因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（）=f（﹣log 2a）=f（log2a），则f（log 2a）+f（）≤2f（1）为：f（log2a）≤f（1），因为函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|log2a|≤1，解得≤a≤2，则a的取值范围是[，2]，故选：A．11．（5分）已知各项均不为零的数列{a n}，定义向量，，n∈N*．下列命题中真命题是（）A．若∀n∈N*总有∥成立，则数列{a n}是等差数列B．若∀n∈N*总有∥成立，则数列{a n}是等比数列C．若∀n∈N*总有⊥成立，则数列{a n}是等差数列D．若∀n∈N*总有⊥成立，则数列{a n}是等比数列【解答】解：由可得，na n=（n+1）a n，即，于是，+1则a n=•••…•a1=••…•a1=na1，数列{a n}为等差数列，故A正确，B错误；=0，分析可得，若⊥，则有na n+（n+1）a n+1则a n=•••…•a1，分析易得此时数列{a n}既不是等差数列，也不是等比数列，C、D均错误；故选：A．12．（5分）设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）【解答】解：∵y=e x和y=x﹣2是关于x的单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象如右图所示，∴f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，又∵f（a）=0，∴0＜a＜1，同理，g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=+（）2﹣3=＞0，又∵g（b）=0，∴1，∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，∴g（a）＜0＜f（b）．故选：D．二.填空题（每题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域为[﹣3，0）∪（0，2）．【解答】解：要使函数有意义，则，即，则﹣3≤x＜0或0＜x＜2，即函数的定义域为[﹣3，0）∪（0，2），故答案为：[﹣3，0）∪（0，2）．14．（5分）在极坐标系中，已知圆C经过点P（），圆心为直线ρsin（）=﹣与极轴的交点，则圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ．【解答】解：点P（）的直角坐标为（1，1），直线ρsin（）=﹣的直角坐标方程为y﹣x=﹣，即x﹣y﹣=0，此直线和极轴的交点为（1，0），即所求圆的圆心C，故半径为CP=1，故所求的圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，化为极坐标方程为ρ=2cosθ，故答案为：ρ=2cosθ．15．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点．若，则AB的长为．【解答】解：∵，．∴===+﹣==1，化为，∵，∴．故答案为．16．（5分）给出下列四个命题中：①命题：；②函数f（x）=2x﹣x2有三个零点；③对∀（x，y）∈{（x，y）|4x+3y﹣10=0}，则x2+y2≥4．④已知函数，若△ABC中，角C是钝角，那么f（sinA）＞f（cosB）其中所有真命题的序号是①②③④．【解答】解：，故①对；画出函数y=2x，y=x2的图象如下图，可知②对；圆x2+y2=4的圆心（0，0）到4x+3y﹣10=0的距离d==2，故∀（x，y）∈{（x，y）|4x+3y﹣10=0}，均有x2+y2≥4，故③正确，因为，故，所以1＞cosB＞sinA＞0，又因为f（x）在（0，1）上单调递减．故f（sinA）＞f（cosB），即④正确；故真命题的序号有：①②③④，故答案为：①②③④．三.解答题17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=5，S9=99．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）若数列{}的前n项和T n，试求T n并证明不等式T n＜1成立．【解答】（1）解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵a2=5，S9=99，∴，得a5=11，∴3d=a5﹣a2=6，∴d=2，a1=3，∴a n=2n+1，．（Ⅱ）证明：，∴=，∴T n＜1．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsin A=3csin B，a=3，cos B=．（1）求b的值；（2）求sin（2B﹣）的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理，可得bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1．由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，，即b2=32+12﹣2×3×cosB，可得b=．（Ⅱ）由，可得sinB=，所以cos2B=2cos2B﹣1=﹣，sin2B=2sinBcosB=，所以===．19．（12分）已知函数f（x）=2x﹣．（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；（Ⅱ）若2t f（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x≤0时f（x）=0，当x＞0时，，有条件可得，，即22x﹣2×2x﹣1=0，解得，∵2x＞0，∴，∴．（Ⅱ）当t∈[1，2]时，，即m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1）．∵22t﹣1＞0，∴m≥﹣（22t+1）．∵t∈[1，2]，∴﹣（1+22t）∈[﹣17，﹣5]，故m的取值范围是[﹣5，+∞）．20．（12分）已知椭圆E的方程：，P为椭圆上的一点（点P在第三象限上），圆P 以点P为圆心，且过椭圆的左顶点M与点C（﹣2，0），直线MP 交圆P与另一点N．（Ⅰ）求圆P的标准方程；（Ⅱ）若点A在椭圆E上，求使得取得最小值的点A的坐标；（Ⅲ）若过椭圆的右顶点的直线l上存在点Q，使∠MQN为钝角，求直线l斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）椭圆E的方程：，得M（﹣10，0），C（﹣2，0）…（1分）设点P（m，n），则有，又：，∴n=﹣4，即P（﹣6，﹣4），…（2分）所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以圆P的标准方程为（x+6）2+（y+4）2=32﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）∵P为MN的中点，可得N（﹣2，﹣8）设A（x，y），∴，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴，得x=﹣6，y=﹣4时，∴最小﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）经检验，点A在椭圆上∴A（﹣6，﹣4）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（III）设直线l：y=k（x﹣10），即直线与圆相交﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以圆心P到直线l的距离﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）得得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）设函数f（x）=x3+ax2﹣a2x+1，g（x）=ax2﹣2x+1，其中实数a≠0．（Ⅰ）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最小值时，记g（x）的最小值为h（a），求h（a）的值域；（Ⅲ）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，又a＞0，∴当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣a）和内是增函数，在内是减函数．（Ⅱ）由题意知x3+ax2﹣a2x+1=ax2﹣2x+1，即x[x2﹣（a2﹣2）]=0恰有一根（含重根）．∴a2﹣2≤0，即≤a≤，又a≠0，∴．当a＞0时，g（x）才存在最小值，∴．g（x）=a（x﹣）2+1﹣，∴．h（a）≤1﹣；∴h（a）的值域为．（Ⅲ）当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣a）和内是增函数，g（x）在内是增函数．由题意得，解得a≥1；当a＜0时，f（x）在和（﹣a，+∞）内是增函数，g（x）在内是增函数．由题意得，解得a≤﹣3；综上可知，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）．【选修4-5：不等式选讲】22．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[﹣，]都成立．故﹣≥a﹣2，解得a≤，故a的取值范围为（﹣1，]．。
厦门双十中学2015—2016学年高三上期中考参考答案
厦门双十中学2015—2016学年高三（上）期中考地理参考答案选择题部分1～5 BDBAC 6～10 BAACA 11～15 CBBBD 16～20 BCDBC21～25 BAADB 26～30 DABBC 31～35 ADCAD综合题部分36．（22分）（1）地势低平，排水不畅；气温低，蒸发量小；下部土层冻结，阻滞水分下渗；凌汛等导致河水泛滥。
（8分）（2）叶尼塞河支流多流经中西伯利亚高原，（河床比降大）流速快，（2分）侵蚀强（或搬运能力强），（2分）增加了河流含沙量。
鄂毕河主要流经平原，流速慢，（2分）泥沙沉积，（2分）含沙量小。
（8分）（3）鄂毕河河口区纬度高，水温低，鱼类生长慢；结冰期长，鱼类存活率偏低；鄂毕河流经沼泽，营养物质被植物吸收，河水中营养物质严重缺乏，不利于浮游生物生长；北冰洋营养物质和饵料较为贫乏。
（任选3点，共6分）37．（18分）（1）水位年内变化较大；(2分)高水位在冬季(汛期在冬季)，低水位在夏季(枯水期在夏季)。
(2分)（2）地处大陆西岸，距海近；位于西风带，西风从海洋带来大量水汽；地处迎风坡，多地形雨；沿岸受寒流影响，水汽易凝结成雾。
(每点2分，共8分)（3）有利条件：夏季降水较多。
(2分)不利条件：夏季气温较高；(2分)冬季气温较低。
(2分) 38．（20分）（1）高温少雨；（2分）地处低纬；（2分）热带大陆气团影响。
（2分）（2）雨水的冲刷，河流的侵蚀，导致恒河上游含沙量大；（2分）河流将大量泥沙搬运至河口地区堆积，形成恒河三角洲。
（4分）（3）水网密、水量丰，（2分）利于运输；（2分）利于干季时对黄麻灌溉；（2分）便于浸沤黄麻。
（2分）39．（20分）（1）甲地位于乙地西北侧；（2分）甲地以绿洲分布为主，乙地以沙漠分布为主（2分），由于沙漠的热容量较绿洲小，夏季增温较绿洲快（2分），在乙地附近形成热低压，即甲地（海平面）气压高于乙地，风从甲地吹向乙地，即西北风。
厦门双十中学2015-2016学年新高一入学考试数学试题参考答案及评分标准
厦门双十中学2015级高一入学考试 数学试题参考答案及评分标准（）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 67 8 答案 B C D C A B D D 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 9 10 11 12 1314 1516 答案348 21 6))(c b a b a +++（467①④三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17．（本小题满分10分） 【解析】（1）小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：13··········································· 3分 （2）画树状图得：··········································· 7分∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：62=31． ····················································· 10分18．（本小题满分10分） 【解析】（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴B 2﹣4AC=4-4（k-1）＞0，解得k ＜2． ·············· 3分 （2）当x=3时，得k=-2，解x 2-2x-3=0得x=3或-1，所以方程的另一个根为x=-1，k=-2． ·· 6分 （3）根据勾股定理得：A 2+B 2=C 2=3;因为两条直角边A 和B 恰好是这个方程的两个根， 则A+B=2，因为（A+B ）2-2AB=A 2+B 2=3，所以2AB=1，△ABC 的面积为14． ··············· 10分 19．（本小题满分10分） 【解析】（1）时针：y 1＝60＋12x ． ·················································································· 1分 分针：y 2＝6x ． ······························································································ 2分60＋12x ＝6x ，解得x ＝12011． ·········································································· 4分 所以在2∶00~2∶15之间，时针与分针重合的时刻是2∶101011． ····························· 5分（注：写2∶12011也可．）（2）方法不惟一．评分要点：正确建立函数关系． ····························································································· 8分求出时针与分针垂直的时刻是7∶54611． ································································10分（注：没有建立函数关系而直接利用方程求出时针与分针垂直的时刻是7∶54611只得2分．）20．（本小题满分10分）【解析】（1）4 5 6；··················································································· 3分（2）不对． ····························································································· 4分∵OP?=?2，PQ?=?3，OQ?=?4，且42≠32?+?22，即OQ2≠PQ2?+?OP2，∴OP与PQ不垂直．∴PQ与⊙O不相切． ············································· 5分（3）①3； ····························································································· 6分②由①知，在⊙O上存在点P，P'到l的距离为3，此时，OP将不能再向下转动，如图3．OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P'OP．连结P'P，交OH于点D．∵PQ，P'Q'均与l垂直，且PQ?=P'3Q'=，∴四边形PQ Q'P'是矩形．∴OH⊥P P'，PD =P'D．由OP?=?2，OD?=?OH-HD?=?1，得∠DOP?=?60°．∴∠PO P'?=?120°．∴所求最大圆心角的度数为120°．························10分21．（本小题满分15分）【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，∴OB=OP ，∠BOC=∠BOG=90°。
双十中学2015-2016学年高三上(数学理)半期考试卷
双十中学2015-2016学年高三上（数学理）半期考试卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，集合N={y|y=ln(x+1)+1，x∈R}，则M∩N等于（）A．{(0,1)} B．(0,1) C．[-1,+∞) D．[1,+∞)2.命题“若则q”是真命题，则p是的（）条件A.充分B. 充分非必要C. 必要D. 必要非充分3. 已知的夹角是1200，且，则在上的投影等于（）A. -B.C.2D.4.已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1>0，若p且q为真命题，则实数m的取值范围是（）A．m﹤2 B．-2﹤m＜2 C．0﹤m﹤2 D．－2＜m＜05. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则角B的值为（）A. B.π3C.π3或2π3D.6. 已知点C在以O为圆心的圆弧AB上运动（含端点）. ，，则的取值范围是（）A. B. C. D.7. 若函数为奇函数，将函数f(x)图像上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位得到函数g(x), 则g(x)的解析式可以是（）A. B. C. D.8. 已知如图(1)的图象对应的函数为y＝f(x)，给出①y＝f(|x|)；②y＝|f(x)|-a；③y＝－f(|x|)；④y＝f(－|x|)．⑤-a，则如图(2)的图象对应的函数可能．．是五个式子中的（）A.④B. ②④C. ①②D. ②③④⑤9. 已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则的大小关系正确的是（）A． B． C． D．10. 若函数f(x)(x∈R)关于对称，且则下列结论：（1）f(x)的最小正周期是3，（2） f(x)是偶函数，（3）f(x) 关于对称，（4）f(x)关于对称，正确的有（）A.1个B. 2个C. 3个D. 4个11.如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上，半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为( )12. 设函数要使恰有2个零点，则实数的取值范围是（ )A.或 B.C.D.二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13.若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin 2θ＝________. 14. 设等差数列{}前n 项和为S n ，=C ，，其中C<0,则在n 等于_______时取到最大值. 15.已知在的值域是，实数a 的取值范围记为集合A ，，记的最大值为.若对任意实数a ∈A 恒成立，则实数b 的取值范围是________. 16.若函数的图象关于直线x=-1对称，则f(x)的最大值为________.三、解答题：（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）. 17（以下两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数）（本题10分）（选1）. 已知直线l 的参数方程为(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)当a=0时，求直线l 和圆C 交点的极坐标（ρ，θ）（其中ρ﹥0,0＜θ＜2π）； (2)若直线l 与圆C 交于P 、Q 两点，P 、Q 间的劣弧长是，求直线l 的极坐标方程.17（选2）. （1）若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥m 2＋12m ＋2对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围；(2)设a ，b ，c 大于0，且1≤1a ＋12b ＋13c≤(|2x －1|＋|x ＋2|)对任意实数x 恒成立，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.18（本题12分）已知函数的图象经过点（0，）,且相邻两条对称轴间的距离为.(Ⅰ)求函数的解析式及其单调递增区间；(Ⅱ)在ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，若，且，求的值.19（本题12分）设数列的前n项和为S n，满足，.（1）设,求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前n项和．20（本题12分）已知⊥，| |＝3，| |＝4，＝＋.（1）若B1、P、B2三点共线，求| |的最小值，并用、表示；（2）设Q是AB1B2的内心，若||≤2，求的取值范围.21（本题12分）某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和80千米，点N到的距离为100千米，以所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=模型（其中a为常数）.（1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路L长度的函数解析式，并写出其定义域；②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度.（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积.22（本题12分）设函数．（1）当m=2时，求曲线y=f(x)在点（0，f(0))处的切线L1的方程；（2）当m>0时，要使对一切实数x≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）求证：双十中学2015-2016学年高三上（数学理）半期考答卷说明：大题的答案必须写在虚线内，否则无效；必须用黑色签字笔书写)一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13、_______________________14、_______________________15、_______________________16、_______________________ 17.（请写清要选作的题号）（以下两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数）（本题10分）..18. （本题12分）19.（本题12分）20.（本题12分）21.（本题12分）22. （本题12分）双十中学2015-2016学年高三上（数学理）半期考参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．D C A D C B A A B D B A二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13.； 14. 7; 15.; 16. 4 17（选1） 解：（1）圆的直角坐标方程是，…….1分，当a=0时，直线l ：，……2分代入得x=±2, P,Q……………………………………………………….3分 则直线l 和圆C 交点的极坐标分别是,………………………………………………… ….5分 （2）由于P 、Q 间的劣弧长是，则圆心角，………………………………………………………….6分圆心C 到直线的距离d 是2，直线的直角坐标方程是：，………………………………….7分，，直线直角坐标方程是：或，………………….8分直线l 的极坐标方程：或……………………………….10分 即或（写成或给满分）17（选2）. 解： |2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－1－3x∈[5，＋∞），x≤－2，3－x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，5，－2<x ≤12，3x ＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞，x>12，……………………………….3分从而|2x －1|＋|x ＋2|≥52，……………….4分，解不等式m 2＋12m ＋2≤52得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12．…………….5分(2)证明 由(1)知1a ＋12b ＋13c ≤1，又1≤1a ＋12b ＋13c ，则1a ＋12b ＋13c=1，且a ，b ，c 大于0，……………6分 a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c …………………….8分≥3＋22ab2ab ＋23c a ·a 3c ＋23c 2b ·2b3c＝9. ……………………. ………………………………9分 当且仅当a ＝2b ＝3c ＝13时，等号成立．因此a ＋2b ＋3c ≥9…………………………………………10分 18解：（Ⅰ）由的图象过点（0，），得又，……………………1分由相邻两条对称轴间的距离为，知的周期T=…………………………………….2分则，………………………3分…………………………4分令，………………………………………………..….5分得的递增区间为……………….6分（Ⅱ）由，可得得………………7分化简得，……………8分…………………9分，即……………………….10分又bc=1，b+c=3，据余弦定理可得……………….11分………………..12分19.解：（１），当时，，两式相减：，即，又也满足………………………………………….2分所以，则……………………………………….3分，又，所以是首项为，公比为的等比数列，………………4分∴，，………………….5分∴.………………….6分(3) ，.……….7分则，，.……………………………………….9分两式相减得：，.……………………………………….10分.…………………………………………………….12分20.解：（1）B1、P、B2三点共线，则＋=1，……… 1分, 又⊥，| |＝3，| |＝4，所以| |2=2＋2=λ2＋μ2=，………………………………….3分当时，| |min= ,……………………………………………….5分此时，所以＝＋……………………………………………….6分法二：因为B1、P、B2三点共线，所以当AP⊥B1B2时，| |最小，………………………………….2分又△A B1B2面积是6，所以| |min= .………….4分, ＝＋…………….6分（2）以A为原点，AB1、AB2所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则Q(1，1)，…………….7分P ||2=，令，……. ………… 8分，==，……………. …………9分=，其中又，……………. ………………10分……………. ………11分所以……………. ………………………. …………12分法二：==…………….8分转化为圆内的点到点的距离平方，到（1,1）距离d=,…………….9分(d+r)2=(+2)2= ,又在圆内部，则……………. ………11分则……………. ………………………. …………12分21.解：（1）①由题意M（5,80）则a=400，y=，N（100,4），定义域[5,100] ……………. 3分P（t, )则公路l的方程：，……………………….. 4分（t∈[5,100]) ……………………….. ……………… 6分②A（0，），B（2t,0），=，…………….. …… 7分当且仅当t=20∈[5,100]时等号成立,所以当t为20时，公路l的长度最短长度是3200千米；…… 8分（2）山体与x=5,x=100之间的面积为,……………………………… 9分……………………………………………… 10分山体与L1、L2围成的面积是，…………… 11分L与y ，x轴交点分别是A（0，40），B（40,0），公路与L1、L2围成的面积是800，所以绿化带的面积是-800=（平方公里）.………….. ……………… 12分答：当t为20时，公路L的长度最短，最短长度是3200千米；在公路长度最短时，需在公路L与山体之间修建绿化带的面积是平方公里.22.解(Ⅰ)．=2，f(0)=1，则切线L1方程：y=2x+1; ………….. …………………………… 2分(2) ，令，由m>0，①当时，因为 x≥0，则，所以，，所以在单调递增，=m>0，所以在单调递增，=1，所以当时满足条件；.. …………………………… 4分②当时，1≥，,所以在单调递减，在单调递增，所以=，所以在单调递增，=1，所以当时满足条件；………………………… 6分③当时，，,所以在单调递减，=0在至多只有一个零点单调递增，又因为=，=1>0, 所以=0在有且只有一个零点则当时，<0, 所以在单调递减，所以存在x使得< f(0)=1，不满足条件. 终上所述：当时，对一切x≥0的实数恒成立.……………………8分（3）令m=1,由（2）得，则，令…………………9分则…………………10分当时，，当时，，当时，，当时，所以………………………………12分。
福建省厦门市双十中学高三数学上学期期中试卷 理(含解析)
2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，集合N={y|y=ln（x+1）+1，x∈R}，则M∩N等于（）A．{（0，1）} B．（0，1）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）2．命题“若¬p则q”是真命题，则p是¬q的（）条件．A．充分 B．充分非必要C．必要 D．必要非充分3．已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）A．﹣B．C．2 D．4．已知p：存在x∈R，mx2+1≤0，q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，若p且q为真命题，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．0＜m＜2 D．﹣2＜m＜05．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．或C．D．或6．已知点C在以O为圆心的圆弧AB上运动（含端点）.， =x+2y（x，y∈R），则的取值范围是（）A．B．C．D．7．若函数f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）（0＜φ＜π）为奇函数，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式可以是（）A．B．C．D．8．已知如图（1）的图象对应的函数为y=f（x），给出①y=f（|x|）；②y=|f（x）|﹣a；③y=﹣f（|x|）；④y=f（﹣|x|）．⑤y=|f（|x|）|﹣a，则如图（2）的图象对应的函数可能是五个式子中的（）A．④B．②④ C．①② D．②③④⑤9．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，，若a=f（），，c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b10．若函数f（x）（x∈R）关于对称，且则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是3，（2）f（x）是偶函数，（3）f（x）关于对称，（4）f（x）关于对称，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A． B． C． D．12．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A．a≥2 B．≤a＜1 C．＜a＜1 D．a≥2或≤a＜1二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．若tan（θ+）=，则sin2θ=．14．设等差数列{a n}前n项和S n，a3+a8+a13=C，a4+a14=2C，其中C＜0，则S n在n等于时取到最大值．15．已知f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]．实数a的取值范围记为集合A，g （x）=cos2x+sinx．记g（x）的最大值为g（a）．若g（a）≥b，对任意实数a∈A恒成立，则实数b的取值范围是．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.18题两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数．17．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）当a=0时，求直线l和圆C交点的极坐标（ρ，θ）（其中ρ＞0，0＜θ＜2π）；（2）若直线l与圆C交于P、Q两点，P、Q间的劣弧长是，求直线l的极坐标方程．18．（2015秋•厦门校级期中）（1）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥m2+m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）设a，b，c大于0，且1≤++≤（|2x﹣1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c≥9．19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象经过点（0，），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（）﹣cosA=，且bc=1，b+c=3，求a的值．20．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），且a1=1．（1）设c n=（n∈N+），求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=n（a n+2n），求数列{b n}的前n项和T n．21．已知⊥，|AB1|=3，|AB2|=4， =+．（1）若B1，P，B2三点共线，求||的最小值，并用，表示；（2）设Q是AB1B2的内心，若||≤2，求•的取值范围．22．某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和80千米，点N到l1的距离为100千米，以l1，l2所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=模型（其中a为常数）．（1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路L长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度．（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积．23．设函数f（x）=e mx﹣mx2．（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线L1的方程；（2）当m＞0时，要使f（x）≥1对一切实数x≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）求证：．2015-2016学年福建省厦门市双十中学高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，集合N={y|y=ln（x+1）+1，x∈R}，则M∩N等于（）A．{（0，1）} B．（0，1）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中y的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=x2+1≥1，即M=[1，+∞），由N中y=ln（x+1）+1，即N=（﹣∞，+∞），则M∩N=[1，+∞），故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题“若¬p则q”是真命题，则p是¬q的（）条件．A．充分 B．充分非必要C．必要 D．必要非充分【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】原命题和其逆否命题同真假，故只需找出命题“若¬p，则q”的逆否命题即可．【解答】解：四种命题中原命题和其逆否命题同真假，而“若￢p，则q”的逆否命题为“若￢q，则p”即￢q⇒p，p是￢q的必要条件，故选：C．【点评】本题考查四种命题的关系及复合命题真假判断，难度不大．3．已知，的夹角是120°，且=（﹣2，﹣4），||=，则在上的投影等于（）A．﹣B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】向量法；平面向量及应用．【分析】由向量模的公式可得||，再由向量投影的概念可得在上的投影等于||cos120°．【解答】解： =（﹣2，﹣4），可得||=2，由题意可得在上的投影为||cos120°=2×（﹣）=﹣．故选B．【点评】本题考查向量的数量积的模的公式，以及向量的投影的计算，考查运算能力，属于基础题．4．已知p：存在x∈R，mx2+1≤0，q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，若p且q为真命题，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．﹣2＜m＜2 C．0＜m＜2 D．﹣2＜m＜0【考点】复合命题的真假．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】分别求出p，q成立的m的范围，取交集即可．【解答】解：关于p：存在x∈R，mx2+1≤0，∴m＜0，关于q：任意x∈R，x2+mx+1＞0，则△=m2﹣4＜0，解得：﹣2＜m＜2，若p且q为真命题，则p，q均为真命题，则实数m的取值范围是：﹣2＜m＜0，故选：D．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题，是一道基础题．5．在△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．或C．D．或【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosB，整理后代入已知等式，利用同角三角函数间基本关系化简，求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解答】解：∵cosB=，∴a2+c2﹣b2=2accosB，代入已知等式得：2ac•cosBtanB=ac，即sinB=，则B=或．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．6．已知点C在以O为圆心的圆弧AB上运动（含端点）.， =x+2y（x，y∈R），则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】数形结合；换元法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．【分析】以O为原点，OA方向为x轴正方向建立坐标系，分别求出A，B的坐标，进而根据则=（cosα，sinα），根据正弦函数的性质，即可得到的取值范围．【解答】解：建立如图所示的坐标系，可设A（1，0），B（0，1），设∠AOC=α（0≤α≤），则=（cosα，sinα）．由=（x，2y）=（cosα，sinα），则=（cosα+sinα）=sin（α+）（0≤α≤），由≤α+≤，可得sin（α+）∈[，1]，即有∈[，]．故选：B．【点评】本题考查的知识点是平面向量的综合应用，三角函数的性质，其中建立坐标系，分别求出A，B，C点的坐标，将一个几何问题代数化，是解答本题的关键．7．若函数f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）（0＜φ＜π）为奇函数，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式可以是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，利用函数是奇函数，求出φ．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．【解答】解：∵f（x）=sin（x+φ）﹣cos（x+φ）=2sin（x+φ﹣），（0＜φ＜π）为奇函数，∴φ=，f（x）=2sinx，将函数f（x）图象上所有点横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得函数的解析式为：y=2sin2x；再向右平移个单位得到函数g（x），则g（x）的解析式：g（x）=2sin2（x﹣）=2sin （2x﹣）．故选：A．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数的化简，三角函数的奇偶性，考查基本知识的应用能力，计算能力，属于中档题．8．已知如图（1）的图象对应的函数为y=f（x），给出①y=f（|x|）；②y=|f（x）|﹣a；③y=﹣f（|x|）；④y=f（﹣|x|）．⑤y=|f（|x|）|﹣a，则如图（2）的图象对应的函数可能是五个式子中的（）A．④B．②④ C．①② D．②③④⑤【考点】函数的图象．【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，对选项一一利用排除法分析可得答案．【解答】解：由图（2）知，图象对应的函数是偶函数，对于①，当x＞0时，y=f（|x|）=y=f（x），其图象在y轴右侧与图一的相同，不合题意，故排除①．对于②，当x＞0时，对应的函数是y=f（x）﹣a，是把（1）中图象位于y轴右侧的部分向下平移a个单位得到的，显然不正确，故排除②．对于③，当x＞0时，对应的函数是y=﹣f（x），是把（1）中图象位于y轴右侧的部分关于x轴对称得到的，显然不正确，故排除③．对于④，当x＞0时，对应的函数是y=f（﹣x），是把（1）中图象位于y轴左侧的部分关于y轴对称得到的，满足条件．对于⑤，当x＞0时，对应的函数是y=|f（x）|﹣a，是把（1）中图象位于y轴右侧的部分向下平移a个单位得到的，显然不正确，故排除⑤，故选：A．【点评】本题考查函数的图象、函数的图象与图象变化，考查学生读图能力，分析问题解决问题的能力，属于中档题．9．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，，若a=f（），，c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】函数思想；构造法；导数的概念及应用．【分析】构造函数g（x）=xf（x），判断g（x）的单调性与奇偶性即可得出结论．【解答】解：令g（x）=xf（x），则g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）∴g（x）是偶函数．g′（x）=f（x）+xf′（x）∵∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＜0，当x＜0时，xf′（x）+f（x）＞0．∴g（x）在（0，+∞）上是减函数．∵＜ln2＜1＜∴g（）＜g（ln2）＜g（）∵g（x）是偶函数．∴g（﹣）=g（），g（ln）=g（ln2）∴g（﹣）＜g（ln）＜g（）故选：B．【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．10．若函数f（x）（x∈R）关于对称，且则下列结论：（1）f（x）的最小正周期是3，（2）f（x）是偶函数，（3）f（x）关于对称，（4）f（x）关于对称，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】根据已知中函数f（x）（x∈R）关于对称，且，分析出函数的周期性，对称性和奇偶性，可得答案．【解答】解：∵，∴f（x+3）===f（x），故f（x）的最小正周期是3，故（1）正确；又∵函数f（x）（x∈R）关于对称，∴f（x）=﹣==f（﹣x），即f（x）是偶函数，故（2）正确；又∵f（3﹣x）=f（﹣x）=f（x），故f（x）关于对称，故（3）正确；又∵函数f（x）（x∈R）关于对称，f（x）的最小正周期是3，故f（x）关于对称，故（4）正确；故正确的命题有4个，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的对称性和函数的周期性，其中熟练掌握函数对称性的法则“对称变换二倍减”，是解答的关键．11．如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】通过t=0时y=0，排除选项C、D，利用x的增加的变化率，说明y=sin2x的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=0，所以选项C，D不合题意，当t由0增加时，x的变化率先快后慢，又y=sin2x在[0，1]上是增函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反，故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力，属于中档题．12．设函数f（x）=，若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A．a≥2 B．≤a＜1 C．＜a＜1 D．a≥2或≤a＜1【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a 的范围．【解答】解：设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）若在x＜1时，h（x）=2x﹣a与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．故选：D．【点评】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．若tan（θ+）=，则sin2θ=．【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题；函数思想；三角函数的求值．【分析】利用两角和的正切函数，求出正切函数值，然后求解即可．【解答】解：tan（θ+）=，=，可得tanθ=﹣．sin2θ===．故答案为：；【点评】本题考查两角和的正切函数以及三角函数的化简求值，考查计算能力．14．设等差数列{a n}前n项和S n，a3+a8+a13=C，a4+a14=2C，其中C＜0，则S n在n等于7 时取到最大值．【考点】等差数列的前n项和．【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质和题意可得通项公式，可得前7项为正数，从第8项开始为负数，可得结论．【解答】解：由题意和等差数列的性质可得a3+a8+a13=3a8=C，a4+a14=2a9=2C，∴a8=，a9=C，∴公差d=，∴a1=﹣7×=﹣，∴a n=﹣+（n﹣1）=C（2n﹣15），令a n=C（2n﹣15）≤0可得2n﹣15≥0，解得n≥∴递减的等差数列{a n}前7项为正数，从第8项开始为负数，∴当n=7时，S n取最大值．故答案为：7【点评】本题考查等差数列的前n项和，从数列项的正负入手是解决问题的关键，属基础题．15．已知f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]．实数a的取值范围记为集合A，g （x）=cos2x+sinx．记g（x）的最大值为g（a）．若g（a）≥b，对任意实数a∈A恒成立，则实数b的取值范围是b≤．【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质；集合．【分析】作函数f（x）=x2﹣4x+3的图象，从而可得A=[2，4]；再化简g（x）=﹣（sinx﹣）2+1+，从而可得g（a）=1+，再求g（a）的最小值即可．【解答】解：作函数f（x）=x2﹣4x+3的图象如下，，∵f（x）=x2﹣4x+3在[0，a]的值域是[﹣1，3]，∴2≤a≤4，故A=[2，4]；g（x）=cos2x+sinx=1﹣sin2x+sinx=﹣（sinx﹣）2+1+，∵≤≤1，∴g（a）=1+，∵A=[2，4]，∴g min（a）=1+=，∵g（a）≥b对任意实数a∈A恒成立，∴b≤，故答案为：b≤．【点评】本题考查了二次函数的性质与应用，三角函数的最值的求法，同时考查了恒成立问题．16．若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，则f（x）的最大值为 6 ．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的图象．【专题】综合题；转化思想；分类法；函数的性质及应用．【分析】由题意得f（0）=f（﹣2）=0且f（﹣4）=f（2）=0，由此求出a=4且b=0，可得f（x）=﹣x4﹣x3+x2+4x．利用导数研究f（x）的单调性，可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，∴f（0）=f（﹣2）=0且f（﹣4）=f（2）=0，即b=0且（1﹣4）[（﹣4）2+a•（﹣4）+b]=0，解之得a=4，b=0，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+4x）=﹣x4﹣x3+x2+4x，求导数，得f′（x）=﹣x3﹣3x2+2x+4=﹣（x+1）（x+1+）（x+1﹣）当x∈（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1，﹣1+）时，f'（x）＞0，当x∈（﹣1﹣，﹣1）∪（﹣1+，+∞）时，f'（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1﹣）单调递增，在（﹣1﹣，﹣1）单调递减，在（﹣1，﹣1+）单调递增，在（﹣1+，+∞）单调递减，故当x=﹣1﹣和x=﹣1+时取极大值，f（﹣1﹣）=f（﹣1+）=6．故答案为：6．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣1对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：（本大题共7小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17.18题两题选出一题作答，两题都答只给一题的分数．17．已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．（1）当a=0时，求直线l和圆C交点的极坐标（ρ，θ）（其中ρ＞0，0＜θ＜2π）；（2）若直线l与圆C交于P、Q两点，P、Q间的劣弧长是，求直线l的极坐标方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；函数思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）先求出圆的直角坐标方程和直线l：，由此能求出直线l和圆C交点的极坐标．（2）圆心C到直线的距离d是2，直线的直角坐标方程是：，先求出直线直角坐标方程，由此能求出直线l的极坐标方程．【解答】解：（1）∵圆C的参数方程为（θ为参数），∴圆的直角坐标方程是x2+y2=16，…．（1分），∵直线l的参数方程为（t为参数），∴当a=0时，直线l：，…（2分）代入x2+y2=16得x=±2，P，Q…．（3分）则直线l和圆C交点的极坐标分别是，…．（5分）（2）由于P、Q间的劣弧长是，则圆心角，…．（6分）圆心C到直线的距离d是2，直线的直角坐标方程是：，…．（7分），，直线直角坐标方程是：或，…．（8分）直线l的极坐标方程：或…．（10分）即或（写成或给满分）【点评】本题考查直线和圆交点的极坐标及直线的极坐标方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标的互化公式的合理运用．18．（2015秋•厦门校级期中）（1）若不等式|2x﹣1|+|x+2|≥m2+m+2对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围；（2）设a，b，c大于0，且1≤++≤（|2x﹣1|+|x+2|）对任意实数x恒成立，求证：a+2b+3c≥9．【考点】不等式的证明；函数恒成立问题．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；推理和证明．【分析】（1）由绝对值的含义，将|2x﹣1|+|x+2|写成分段函数式，分别求出各段的范围，可得最小值，进而得到m2+m+2≤，解不等式可得m的范围；（2）运用两边夹法则，可得++=1，且a，b，c大于0，即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（++），展开后运用基本不等式，即可得证．【解答】解：（1）|2x﹣1|+|x+2|=，当x≤﹣2时，﹣1﹣3x递减，取值范围是[5，+∞）；当﹣2＜x≤时，3﹣x的范围是[，5）；当x＞时，3x+1的范围是（，+∞）．从而|2x﹣1|+|x+2|≥，解不等式m2+m+2≤，得m∈[﹣1，]．（2）证明：由（1）知（|2x﹣1|+|x+2|）≥1，则++≤1，又1≤++，则++=1，且a，b，c大于0，即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）=3+（+）+（+）+（+）≥3+2+2+2=9．当且仅当a=2b=3c=时，等号成立．因此a+2b+3c≥9．【点评】本题考查绝对值函数的最值的求法，不等式恒成立问题的解法和不等式的证明，注意运用函数的单调性求最值，以及基本不等式的运用，属于中档题．19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象经过点（0，），且相邻两条对称轴间的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若f（）﹣cosA=，且bc=1，b+c=3，求a的值．【考点】余弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）把已知点坐标代入求出φ的值，根据题意确定出周期，利用周期公式求出ω的值，即可确定出函数f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性确定出单调递增区间即可；（Ⅱ）由第一问确定出的解析式，表示出f（），代入已知等式求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把cosA的值代入，变形后将bc与b+c的值代入即可求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）把（0，）代入解析式得：sinφ=，∵0＜φ＜，∴φ=，∵相邻两条对称轴间的距离为，∴函数的周期为π，即ω=2，∴函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；（Ⅱ）由第一问得：f（）=sin（A+），代入得：sin（A+）﹣cosA=sinA+cosA﹣cosA=sinA﹣cosA=sin（A﹣）=，∴A﹣=或，即A=或A=π（舍去），∵bc=1，b+c=3，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=9﹣3=6，则a=．【点评】此题考查了余弦定理，正弦函数的单调性，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．20．设数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），且a1=1．（1）设c n=（n∈N+），求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}满足b n=n（a n+2n），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣2n+1，相减可得：，c n=（n∈N+），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵2S n=a n+1﹣2n+1+1，（n∈N*），∴当n≥2时，2S n﹣1=a n﹣2n+1，相减可得：2a n=a n+1﹣a n﹣2n，化为：，∵c n=（n∈N+），∴，∴{c n}是等比数列，公比为，首项为．∴c n+1=，∴c n=﹣1，∴=﹣1，可得a n=3n﹣2n．（2）b n=n（a n+2n）=n•3n，∴数列{b n}的前n项和T n=3+2×32+3×23+…+n•3n，∴3T n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，∴﹣2T n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1=，∴T n=．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．已知⊥，|AB1|=3，|AB2|=4， =+．（1）若B1，P，B2三点共线，求||的最小值，并用，表示；（2）设Q是AB1B2的内心，若||≤2，求•的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】综合题；转化思想；配方法；换元法；平面向量及应用．【分析】（1）利用B1，P，B2三点共线， =+，可求得+=1；再结合⊥，|AB1|=3，|AB2|=4，可得||2=λ2+μ2=μ2﹣μ+9，于是可求得||的最小值及取得最小值时λ、μ的值，从而可用，表示；（2）以A为原点，AB1、AB2所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则B1（3，0），B2（0，4），Q（1，1），P（λ，μ），于是利用||2=（λ﹣1）2+（μ﹣1）2≤4，再令λ﹣1=rcosθ，μ﹣1=sinθ（0＜r≤2）可得•=λ2+μ2﹣3λ﹣4μ=r2﹣rcosθ﹣2rsinθ﹣5，利用辅助角公式及配方法即可求得•∈[﹣，2﹣1]．【解答】解：（1）∵B1，P，B2三点共线， =+，∴+=1．又⊥，|AB1|=3，|AB2|=4，∴||2=||2+||2=λ2+μ2=μ2﹣μ+9，当时，||min=，此时， =+；（2）以A为原点，AB1、AB2所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，则B1（3，0），B2（0，4），Q（1，1），P（λ，μ），||2=（λ﹣1）2+（μ﹣1）2≤4，令λ﹣1=rcosθ，μ﹣1=sinθ，0＜r≤2．=（λ﹣3，μ），=（λ，μ﹣4），•=λ2+μ2﹣3λ﹣4μ=r2﹣rcosθ﹣2rsinθ﹣5=r2﹣rsin（θ+φ）﹣5，其中tanφ=．又r2﹣rsin（θ+φ）﹣5≤r2+r﹣5≤2﹣1，r2﹣rsin（θ+φ）﹣5≥r2﹣r﹣5=（r﹣）2﹣≥﹣，∴•∈[﹣，2﹣1]．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，突出考查共线向量基本定理、向量垂直性质的应用，也考查了三角换元思想及辅助角公式的综合应用，考查运算能力，属于难题．22．某山体外围有两条相互垂直的直线型公路，为开发山体资源，修建一条连接两条公路沿山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为L．如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和80千米，点N到l1的距离为100千米，以l1，l2所在的直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=模型（其中a为常数）．（1）设公路L与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路L长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路L的长度最短？求出最短长度．（2）在公路长度最短的同时要求美观，需在公路L与山体之间修建绿化带（如图阴影部分），求绿化带的面积．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【专题】转化法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（1）①由题知M（5，80）代入y=，则a=400，进而求出y=，得出坐标N（100，4），利用导数求出斜率，得出直线的方程，进而求出与坐标轴的交点A（0，），B（2t，0），利用勾股定理可得（t∈[5，100]）；②运用基本不等式可得最小值，注意求出等号成立的条件；（2）山体与x=5，x=100之间的面积为，得出山体与L1、L2围成的面积是400+400ln20，进而得出绿化带的面积是400+400ln20﹣800=400ln20﹣400．【解答】解：（1）①由题意M（5，80）代入y=，则a=400，∴y=，N（100，4），∴定义域为[5，100]．∴P（t，），∵，则公路l的方程：，令x=0，可得y=；令y=0，可得x=2t．∴（t∈[5，100]）；②A（0，），B（2t，0），=，当且仅当t=20∈[5，100]时等号成立，所以当t为20时，公路l的长度最短长度是3200千米；（2）山体与x=5，x=100之间的面积为dx=400lnx|=400（ln100﹣ln5）=400ln20，山体与L1、L2围成的面积是400+400ln20，L与y，x轴交点分别是A（0，40），B（40，0），公路与L1、L2围成的面积是800，所以绿化带的面积是400+400ln20﹣800=400ln20﹣400（平方公里）．答：当t为20时，公路L的长度最短，最短长度是3200千米；在公路长度最短时，需在公路L与山体之间修建绿化带的面积是400ln20﹣400平方公里．【点评】本题考查了利用导数求直线方程和积分的应用，考查运算求解能力，难点是对题意的理解．23．设函数f（x）=e mx﹣mx2．（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线L1的方程；（2）当m＞0时，要使f（x）≥1对一切实数x≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）求证：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到所求切线的方程；（2）求出f（x）的导数，设g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，讨论m的范围，结合单调性，即可得到m的范围；（3）令m=1，由（2）得e x＞x2+1，则，令x=i（i+1）（i=2，3，…n），由裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）m=2时，f（x）=e2x﹣2x2，f′（x）=2e2x﹣4x；∴f′（0）=2，又f（0）=1；则切线L1方程为：y=2x+1；（2）f′（x）=me mx﹣2mx，设g（x）=f′（x），g′（x）=m2e mx﹣2m=m（me mx﹣2），令g′（x）=0，由m＞0，；①当m≥2时，因为x≥0，则e mx≥1，所以me mx﹣2≥m﹣2≥0，g'（x）≥0，∴f′（x）在[0，+∞）单调递增；∴f′（x）≥f′（0）=m＞0；∴f（x）在[0，+∞）单调递增，f（x）≥f（0）=1；所以当m≥2时满足条件；②当时，1≥，x0∈（0，+∞）；∴f′（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，所以=；∴f（x）在[0，+∞）单调递增，f（x）≥f（0）=1；∴当时满足条件；③当时，，x0∈（0，+∞）；∴f′（x）在（0，x0）单调递增，f′（x）=0在（0，x0）至多只有一个零点x1；又因为=，f′（0）=1＞0，所以f′（x）=0在（0，x0）有且只有一个零点x1；则当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，x1）单调递增，在（x1，x0）单调递减，所以存在x使得f（x）＜f（0）=1，不满足条件．终上所述：当时，f（x）≥1对一切x≥0的实数恒成立．（3）令m=1，由（2）得e x＞x2+1，则，令x=i（i+1）（i=2，3，…n），则，当i=1时，，当i=2时，，当i=3时，，…，当i=n时，，所以．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程和单调性，考查不等式恒成立问题和不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法和裂项相消求和及不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．。
福建省厦门双十中学高三数学上学期期中试卷 文(含解析)
福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，集合B={0，2，4}，则A∪B 等于（）A．{﹣1，0，1，2，4} B．{﹣1，0，2，4} C．{0，2，4} D． {0，1，2，4}2．（5分）如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数z1﹣z2的值是（）A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i3．（5分）若向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．4．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．1765．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则a=（）A．2 B．C．D．16．（5分）已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．97．（5分）设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．4 B．6 C．8 D．128．（5分）“a＜﹣1”是“一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．（5分）当x＞1时，不等式x+恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，3]10．（5分）已知函数f（x）=cos，则函数f（x）满足（）A．f（x）的最小正周期是2πB．若f（x1）=f（x2），则x1=x2C．f（x）的图象关于直线x=对称；D．当x∈[﹣，]时，f（x）的值域为[﹣，]11．（5分）若x，y满足且z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．a∈（﹣4，0] B．a∈[0，2）C．a∈（﹣4，2）D．a∈（﹣4，0）∪（0，2）12．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x，若△ABC中，角C是钝角，那么（）A．f（sinA）＞f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB） C． f（sinA）＞f （sinB）D．f（sinA）＞f（sinB）二.填空题（每题4分，共16分）13．（4分）函数的定义域为．14．（4分）已知α为钝角，且，则sin2α=．15．（4分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为．16．（4分）给出下列四个命题中：①命题：∃x∈R，sinx+cosx=；②∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x③∀x∈R，e x≥x+1④对∀（x，y）∈{（x，y）|4x+3y﹣10=0}，则x2+y2≥4．其中所有真命题的序号是．三.解答题17．（12分）已知△ABC中，A（2，﹣1），B（4，3），C（3，﹣2），求：（1）BC边上的高所在直线方程的一般式；（2）求△ABC的面积．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求的值．19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=5，S5=55．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）若数列{}的前n项和T n，试求T n并证明不等式≤T n＜1成立．20．（12分）已知椭圆E的方程：=1（a＞b＞0），它的两个焦点为，P为椭圆的一点（点P在第三象限上），且△PF1F2的周长为20+10，C（﹣2，0）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求出椭圆的左顶点M的坐标，MP交圆P与另一点N的坐标，若点A在椭圆E上，使得=﹣32，求点A的坐标．21．（12分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？22．（14分）已知函数f（x）=xlnx+1，g（x）=ax﹣1﹣lnx（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）的单调性；（Ⅲ）是否存在常数K，使≤ex﹣f'（x）恒成立，若存在，求出K的最大值，若不存在，说明理由．福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}，集合B={0，2，4}，则A∪B 等于（）A．{﹣1，0，1，2，4} B．{﹣1，0，2，4} C．{0，2，4} D． {0，1，2，4}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：先求出集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，再由并集的运算法则求A∪B．解答：解：∵集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈Z}={﹣1，0，1，2}，集合B={0，2，4}，∴A∪B={﹣1，0，1，2，4}．故选A．点评：本题考查集合的并集的运算，解题时要认真审题，熟练掌握并集的概念和运算法则．2．（5分）如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数z1﹣z2的值是（）A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：根据两个复数的加减法的几何意义，复数z1﹣z2的值就是=﹣对应的复数．解答：解：根据两个复数的加减法的几何意义可得，复数z1﹣z2的值就是=﹣对应的复数．即（﹣2﹣i）﹣（i）=﹣2﹣2i，故选B．点评：本题主要考查两个复数的加减法的几何意义，属于基础题．3．（5分）若向量，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算；向量的模；平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由给出的两个向量的坐标，求出的坐标，然后直接进行数量积的坐标运算求解．解答：解：由，则．所以．则．故选C．点评：本题考查了平面向量数量积的坐标运算，考查了利用数量积判断两个向量的垂直关系，解答的关键是熟记数量积的坐标运算公式，是基础题．4．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58 B．88 C．143 D．176考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据等差数列的定义和性质得 a1+a11=a4+a8=16，再由S11=运算求得结果．解答：解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选B．点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则a=（）A．2 B．C．D．1考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：根据双曲线的离心率e=，得到关于a的等式，从而求出a的值．解答：解：双曲线的离心率e==2，解答a=1．故选D．点评：本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题型．6．（5分）已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．9考点：函数的值．专题：计算题．分析：先求出f（0）=2，再令f（2）=4a，解方程4+2a=4a，得a值．解答：解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．故选C．点评：此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．7．（5分）设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．4 B．6 C．8 D．12考点：抛物线的定义．专题：计算题．分析：先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到y轴的距离求得点到准线的距离进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，进而求得答案．解答：解：抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，∵点P到y轴的距离是4，∴到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6故选B点评：本题主要考查了抛物线的定义．充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性．8．（5分）“a＜﹣1”是“一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：令f（x）=x2+x+a，f（0）＜0，再根据充分必要条件的定义可判断．解答：解：令f（x）=x2+x+a，∵一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根，∴f（0）＜0，∴a＜0，根据充分必要条件的定义可判断：“a＜﹣1”是“一元二次方程x2+x+a=0有一个正根和一个负根”的充分而不必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件的定义，函数的性质，属于简单题目．9．（5分）当x＞1时，不等式x+恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2] B．[2，+∞）C．[3，+∞）D．（﹣∞，3]考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．解答：解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x﹣1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．故选D．点评：本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．10．（5分）已知函数f（x）=cos，则函数f（x）满足（）A．f（x）的最小正周期是2πB．若f（x1）=f（x2），则x1=x2C．f（x）的图象关于直线x=对称；D．当x∈[﹣，]时，f（x）的值域为[﹣，]考点：两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角恒等变换可得f（x）=sin2x，再利用正弦函数的图象与性质对A，B，C，D四个选项逐一分析判断即可．解答：解：对于A，∵f（x）=cos=﹣•（﹣sin2x）=sin2x，∴其周期T=π，排除A；对于B，若f（x1）=f（x2），则x1=kπ+x2，或x1=﹣x2，故B错误；对于C，∵f（）=sin=﹣为最小值，故f（x）的图象关于直线x=对称，C正确；对于D，当x∈[﹣，]时，2x∈[﹣，]，sin2x∈[﹣，1]，f（x）的值域为[﹣，]，故D错误；故选：C．点评：本题考查三角恒等变换，着重考查正弦函数的图象与性质，属于中档题．11．（5分）若x，y满足且z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则实数a的取值范围是（）A．a∈（﹣4，0] B．a∈[0，2）C．a∈（﹣4，2）D．a∈（﹣4，0）∪（0，2）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的意义，确定目标函数的斜率关系即可得到结论．解答：解：画出区域图，可知当a=0时，z=2y，即，符合题意；当a＞0时，，斜率，即0＜a＜2时符合题意；当a＜0时，，斜率，即﹣4＜a＜0时符合题意；综上，a∈（﹣4，2），故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要注意对a进行分类讨论．12．（5分）已知函数f（x）=x3﹣3x，若△ABC中，角C是钝角，那么（）A．f（sinA）＞f（cosB）B．f（sinA）＜f（cosB） C． f（sinA）＞f （sinB）D．f（sinA）＞f（sinB）考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由∠C为钝角，可得A+B＜90°，从而可得sinA＜cosB，且sinA与cosB都是（0，1）上的数，根据函数y=f（x）在（0，1）上是减函数，即可得到结论．解答：解：∵∠C为钝角，∴A+B＜90°，∴A＜90°﹣B，且A 与90°﹣B都是锐角，∴sinA＜sin（90°﹣B），∴sinA＜cosB，且sinA与cosB都是（0，1）上的数，∵f（x）=x3﹣3x，∴函数y=f（x）在（0，1）上是减函数，∴f（sinA）＞f（cosB）．故选A．点评：本题考查函数的单调性，考查诱导公式的运用，属于基础题．二.填空题（每题4分，共16分）13．（4分）函数的定义域为．．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：求解该函数的定义域，只要让分子的根式内部的代数式大于等于0，分母不等于0，取交集即可．解答：解：要使原函数有意义，则，解得：，且x≠0．所以原函数的定义域为．故答案为．点评：本题考查了函数定义域及其求法，属于以函数的定义为平台，求集合的交集的基础题，也是2015届高考常会考的题型．14．（4分）已知α为钝角，且，则sin2α=﹣．考点：同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：利用诱导公式化简已知等式的左边，求出sinα的值，再由α为钝角，得到cosα的值小于0，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，将所求式子利用二倍角的正弦函数公式化简后，把sinα与cosα的值代入即可求出值．解答：解：∵cos（+α）=﹣sinα=﹣，∴sinα=，又α为钝角，∴cosα=﹣=﹣，则sin2α=2sinαcosα=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．15．（4分）圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：由圆心在直线x﹣2y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可．解答：解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，∵圆C截x轴所得弦的长为2，∴t2+3=4t2，∴t=±1，∵圆C与y轴的正半轴相切，∴t=﹣1不符合题意，舍去，故t=1，2t=2，∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．点评：此题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．16．（4分）给出下列四个命题中：①命题：∃x∈R，sinx+cosx=；②∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x③∀x∈R，e x≥x+1④对∀（x，y）∈{（x，y）|4x+3y﹣10=0}，则x2+y2≥4．其中所有真命题的序号是③④．考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据正弦型函数的图象和性质，及存在性命题真假判断的方法可判断①；根据指数函数的图象和性质，及不等式的基本性质，可判断②；构造函数f（x）=e x﹣（x+1），利用导数法判断函数的最值，可判断③；根据点到直线的距离，两点之间的距离，可判断④解答：解：对于①，∵，，故①错；对于②，当x∈（﹣∞，0），＞1，故2x＞3x，故②错；对于③，设f（x）=e x﹣（x+1），f'（x）=e x﹣1，可知f（x）在（﹣∞，0）减，在（0，+∞）递增，f（x）min=f（0）=0；故③正确；对于④，x2+y2为原点到4x+3y﹣10=0上动点的距离的平方，由原点到直线4x+3y﹣10=0的距离为2，故x2+y2≥4，故④正确．故答案为：③④点评：本题以命题的真假判断为载体考查了正弦型函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，不等式的基本性质，导数法判断函数的最值，点到直线的距离，两点之间的距离，难度中档．三.解答题17．（12分）已知△ABC中，A（2，﹣1），B（4，3），C（3，﹣2），求：（1）BC边上的高所在直线方程的一般式；（2）求△ABC的面积．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；三角形的面积公式．专题：直线与圆．分析：（1）由斜率公式可得k BC=5，由垂直关系可得AD所在直线斜率，可得直线的方程；（2）由（1）易得BC的方程为y﹣3=5（x﹣4），可得点A到直线BC距离和|BC|，由三角形的面积公式可得．解答：解：（1）∵A（2，﹣1），B（4，3），C（3，﹣2），∴直线BC的斜率k BC==5，∴由垂直关系可得BC边上的高AD所在直线斜率k=，∴AD所在直线方程y+1=（x﹣2），化为一般式可得x+5y+3=0；（2）由（1）BC的斜率为5，∴BC的方程为y﹣3=5（x﹣4），化为一般式可得5x﹣y﹣17=0，∴点A到直线BC距离为=，由两点间的距离公式可得|BC|==，∴S△ABC=××=3．点评：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及三角形的面积公式，属基础题．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知bsinA=3csinB，a=3，．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求的值．考点：余弦定理；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）直接利用正弦定理推出bsinA=asinB，结合已知条件求出c，利用余弦定理直接求b的值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）求出B的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解的值．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，有正弦定理，可得bsinA=asinB，又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，所以c=1．由余弦定理可知：b2=a2+c2﹣2accosB，，即b2=32+12﹣2×3×cosB，可得b=．（Ⅱ）由，可得sinB=，所以cos2B=2cos2B﹣1=﹣，sin2B=2sinBcosB=，所以===．点评：本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=5，S5=55．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）若数列{}的前n项和T n，试求T n并证明不等式≤T n＜1成立．考点：数列与不等式的综合；等差数列的前n项和；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，利用a2=5，S5=55求出首项与公差，即可求解a n及S n；（Ⅱ）化简，利用裂项法求出前n项和T n，通过判断前n项和T n的单调性，求出最小值即可证明结果．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，∵a2=5，S9=99，∴，得a5=11∴3d=a5﹣a2=6，∴d=2，a1=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴a n=2n+1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）又因为，所以所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查数列求和，等差数列的应用，数列的函数的特征，数列与不等式的关系，是中档题．20．（12分）已知椭圆E的方程：=1（a＞b＞0），它的两个焦点为，P为椭圆的一点（点P在第三象限上），且△PF1F2的周长为20+10，C（﹣2，0）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求出椭圆的左顶点M的坐标，MP交圆P与另一点N的坐标，若点A在椭圆E上，使得=﹣32，求点A的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）直接利用已知条件列出方程组，求出椭圆的几何量，即可求椭圆E的方程；（Ⅱ）若以点P为圆心的圆过椭圆的左顶点M与点C（﹣2，0），MP交圆P与另一点N，设A（x，y），通过=﹣32，求解求点A的坐标．解答：解：（Ⅰ）依题意得：，…（1分）则有…﹣﹣﹣﹣…（2分）∴a=10，b=5，…（4分）椭圆E的方程：…（5分）（Ⅱ）由（ 1 ）得M（﹣10，0），C（﹣2，0）…（6分）设点P（m，n），则有，又：，∴n=﹣4，即P（﹣6，﹣4），…（8分）∵P为MN的中点，可得N（﹣2，﹣8）…（9分）设A（x，y），∴，∴…（10分）∴，…（11分）得x=﹣6，y=﹣4时，∴A（﹣6，﹣4）…﹣﹣﹣…（12分）点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21．（12分）经过多年的运作，“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销盛宴．为迎接2014年“双十一”网购狂欢节，某厂商拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销．经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量P万件与促销费用x万元满足P=3﹣（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该批产品P万件还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？考点：根据实际问题选择函数类型．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（Ⅱ）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．解答：解：（Ⅰ）由题意知，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）将代入化简得：（0≤x≤a）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）当a≥1时，x∈（0，1）时y'＞0，所以函数在（0，1）上单调递增x∈（1，a）时y'＜0，所以函数在（1，a）上单调递减促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当a＜1时，因为函数在（0，1）上单调递增在[0，a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）（注：当a≥1时，也可：，当且仅当时，上式取等号）点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．22．（14分）已知函数f（x）=xlnx+1，g（x）=ax﹣1﹣lnx（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）的单调性；（Ⅲ）是否存在常数K，使≤ex﹣f'（x）恒成立，若存在，求出K的最大值，若不存在，说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域以及导数，通过令f'（x）＞0，令f'（x）＜0解得函数的单调区间，然后求解f（x）的最小值．（Ⅱ）求出g（x）的定义域，，通过当a≤0时，g'（x）＜0，g（x）单调递减函数，当a＞0时，令g'（x）=0，通过列表可以推出：当a＞0 时，g（x）在区间上是单调增函数，在上（0，）是单调递减函数．（Ⅲ）转化，恒成立，为K≤（ex﹣1﹣lnx）•f（x）恒成立，利用（Ⅱ）g（x）=ex﹣1﹣lnx在区间上是减函数，在区间上是增函数，当时，g（x）=ex﹣1﹣lnx的最小值，由（Ⅰ）可知，当时，f（x）取得最小值，从而函数y=（ex﹣1﹣lnx）•f（x）在时，取得最小值，求出K的最大值．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）f（x）的导数f'（x）=1+lnx．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）令f'（x）＞0，解得；令f'（x）＜0，解得．从而f（x）在单调递减，在单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，当时，f（x）取得最小值1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）∵g（x）=ax﹣1﹣lnx，∴f（x）的定义域为（0，+∞），当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）是单调递减函数；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）当a＞0时，令f'（x）=0，∴的变化情况如下表：x （0，）f′（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗从上表可以看出：当a＞0 时，f（x）在区间上是单调增函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）在上（0，）是单调递减函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）∵ex﹣f'（x）=ex﹣1﹣lnx所以，恒成立即K≤（ex﹣1﹣lnx）•f（x）恒成立﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由（Ⅱ）可知，当a=e，g（x）=ex﹣1﹣lnx在区间上是减函数，在区间上是增函数故当时，g（x）=ex﹣1﹣lnx的最小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）又由（Ⅰ）可知，当时，f（x）取得最小值=1＞0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12 分故函数y=（ex﹣1﹣lnx）•f（x）当时，取得最小值∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）即K的最大值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查函数的导数的综合应用，利用函数的导数求解最值，难度大是压轴题．。
厦门双十中学2015-2016学年(上)期中考试高一数学参考答案及评分标准-打印版
厦门双十中学2015-2016学年（上）期中考试 高一数学参考答案及评分标准（2015-11-10）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11．【答案】21x x x ≤≠且 【解析】试题分析：根据题意，要使得函数()1f x x =-有意义，则要满足102,1420xx x x -≠⎧∴≤≠⎨-≥⎩且，故可知答案为{}21x x x ≤≠且.考点：函数定义域点评：解决的关键是根据分母不为零，偶次根式下为非负数，属于基础题。
12．【答案】11- 【解析】试题分析：显然(2015)(2015)4f f +-=-，所以(2015)4(2015)11f f -=--=- 考点：函数的奇偶性． 13．【答案】2a ≥ 14．【答案】2 15．【答案】【解析】当2x ≤，64x -+≥，要使函数()f x 的值域为[)4,+∞，只需1()2log (2)a f x x x =+>的值域包含于[)4,+∞，故1a >，所以1()2log 2a f x >+，所以2log 24a +≥，解得1a <≤【考点定位】分段函数求值域． 16．【答案】24a <-或24a >三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共76分. 17．（本小题满分12分） 【解析】 （Ⅰ）原式22lg 5(22lg 2)2)2lg 52lg 2lg 52(lg 2)2lg 52lg 2(lg 5lg 2)2lg 52lg 22=⋅++=+⋅+=+⋅+=+= ······················································································································· 6分 （Ⅱ）因为2log 3x =，所以23x=， ·············································································· 8分所以88(22)(414)17341491222299x x x x x x x xx x x x ------++-+==-+=-+=++. ························· 12分注意：公式化简正确，结果算错扣2分.18．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）若1a =，{|05}A x x =<<， ·············································································· 2分由11244x -<<可得212x -<-<，解得13x -<<，所以{|13}B x x =-<< ························ 4分 所以{|03}A B x x =<< . ··························································································· 6分（Ⅱ）若A =∅，则132a a -≥+，解得32a ≤-； ···································································· 8分 若A ≠∅，则32a >-，由于A B =∅ ，所以13a -≥或321a +≤-， ······························ 10分 解得312a -<≤-或4a ≥ ····························································································· 11分 综上，实数a 的取值范围是：(,1][4,)-∞-+∞ . ······························································ 12分注意：未讨论空集统一扣2分，未注意端点取等号统一扣1分，同一错误不重复扣分. 19．（本小题满分12分） 【解析】 （Ⅰ）设3log t x =，因为1279x ≤≤，所以32log 3x -≤≤，即23t -≤≤. ··························· 3分 此时，33332()log (9)log 3(log 2)(log 1)2x f x x x x t t =-⋅=-+⋅-=--+ 即2()2f x t t =--+，其中23t -≤≤ ············································································· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，2219()2()24f x t t t =--+=-++ ···················································· 7分又23t -≤≤，函数22y t t =--+在1[2,)2--单调递增，在1(,3]2-单调递减， ······················ 8分所以当12t =-，即31log 2x =-，即x =时，()f x 取得最大值94； ································ 10分所以当3t =，即3log 3x =，即27x =时，()f x 取得最小值10-. ······································· 12分20．（本小题满分13分） 【解析】（Ⅰ）依题意得，当0≤t ≤3时，s (t )＝－4t (t －13)，∴s (3)＝－4×3×(3－13)＝120. ························································································ 2分 即小张家距离景点120 km ，小张的车在景点逗留时间为17－8－3＝6(h)． ·································································· 3分 ∴当3<t ≤9时，s (t )＝120， ··························································································· 4分 小张从景点回家所花时间为12060＝2(h)， ·········································································· 5分 ∴当9<t ≤11时，s (t )＝120＋60(t －9)＝60t －420. ································································ 7分 综上所述，这天小张的车所走的路程s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4t (t －13) 0≤t ≤3120 3<t ≤960t －420 9<t ≤11 ························································································· 8分（Ⅱ）当0≤t ≤3时，令－4t (t －13)＝48，得t 2－13t ＋12＝0，解得t ＝1或t ＝12(舍去)， ··········· 10分 当9<t ≤11时，令60t －420＝2×120－48＝192，解得t ＝515. ················································· 12分 答：小张这天途经该加油站的时间分别为9点和18时12分． ············································ 13分 21．（本小题满分13分） 【解析】（Ⅰ）依题意，(0)0,1(1),2f f =⎧⎪⎨=⎪⎩解得1,0p q ==，所以2()1x f x x =+. ········································ 3分 （Ⅱ）函数()f x 在(1,1)-上单调递增，证明如下： ···························································· 4分 任取1211x x -<<<，则12120,11x x x x -<-<<，从而 ····················································· 5分 12122212221221221212122212()()11(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+++-+=++--=++< 所以12()()f x f x <， ··································································································· 7分 所以函数()f x 在(1,1)-上单调递增. ················································································ 8分 （Ⅲ）原不等式可化为：(21)()f x f x -<-，即(21)()f x f x -<- ······································ 9分 由（Ⅱ）可得，函数()f x 在(1,1)-上单调递增，所以1211,11,21,x x x x -<-<⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩········································································································· 11分 解得103x <<，即原不等式解集为1(0,)3. ········································································ 13分 22．（本小题满分14分）【解析】······································ 1分据此可作出图像如下：································································································································ 4分（Ⅱ）由题意，对任意[1,2]x ∈，()()f x g x <即()14f x x +<恒成立，只需()max ()14f x x +< ································································································································ 5分另一方面，222,()()32,()x ax x a f x x ax x a ⎧-+≤=⎨->⎩，即当0a ≥时，()f x 在(,)a -∞和(,)a +∞上均递增，∵2()f a a =，则()f x 在R 上递增， ··········· 6分 当0a <时，()f x 在(,)a -∞和······································ 7分 故()f x 在[1,2]x ∈上恒单调递增，从而()y f x x =+在[1,2]x ∈上也恒单调递增， ·················· 8分，解得04a <<，故实数a 的取值范围是(0,4). ························································································· 9分注意：本小题若未证明单调性，直接代端点并得出正确答案的统一给2分.（Ⅲ）记()()1F x f x =+，考虑()F x 在区间(1,0)-内有两个不同的零点即可.此时，2221,()()321,()x ax x a F x x ax x a ⎧-++≤=⎨-+>⎩，即 ·············· 10分 则由（Ⅱ）可知，当0a ≥时，()()1F x f x =+在R 上递增，方程()10f x +=在区间(1,0)-内至多有一个根，不符合要求，舍去；故0a <. ································································································· 11分 当x a ≤时，令()0F x =，可得1x a =（不符合x a ≤，舍去）或2x a =-，但21x a =<-，不在区间(1,0)-内，因此 ·············································· 12分当x a >时，2()321F x x ax =-+在区间(1,0)-内必有两个不同的零点，从而(1,0)(,)a -⊆+∞，所以210,34120,(0)0,(1)0,1a a f f a ⎧-<<⎪⎪∆=->⎪⎪>⎨⎪->⎪≤-⎪⎪⎩解得2a -<<···································································· 14分。
XXX2015-2016学年高一数学上学期期中考试试卷
XXX2015-2016学年高一数学上学期期中考试试卷XXX2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷分为两卷，卷（Ⅰ）100分，卷（Ⅱ）50分，满分共计150分。
考试时间为120分钟。
卷（Ⅰ）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1.如果A＝{x|x>−1}，那么正确的结论是A．A⊆B。
{0}∈A C。
{0}∈C2.函数f（x）＝2−2x，则f（1）＝A。
0 B.−2 C.2/2 D.−2/23.设全集I={x|x∈Z−3<x<3}，A={1，2}，B={−2，−1，2}，则A∪(I∩B)等于A。
{1} B。
{1，2} C。
{2} D。
{0，1，2}4.与函数y＝10lg(x−1)的定义域相同的函数是A。
y＝x−1 B。
y＝x−1 C。
y＝1/(x−1) D。
y＝x−15.若函数f（x）＝3＋3x−x与g（x）＝3−3^(−x)的定义域均为R，则A。
f（x）与g（x）均为偶函数 B。
f（x）为偶函数，g （x）为奇函数C。
f（x）与g（x）均为奇函数 D。
f（x）为奇函数，g （x）为偶函数6.设a=log_3(2)，b=ln2，c=5，则A。
a<b<XXX<c<a C。
c<a<b D。
c<b<a7.设函数y=x和y=1/2，则y的交点为（x，y），则x所在的区间是A.（，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）8.已知函数f（x）是R上的偶函数，当x≥1时f(x)=x−1，则f（x）<0的解集是A.（−1，∞）B.（−∞，1）C.（−1，1）D.（−∞，−1）∪(1，∞)9.某商店同时卖出两套西服，售价均为168元，以成本计算，一套盈利20%，另一套亏损20%，此时商店A.不亏不盈B.盈利37.2元C.盈利14元D.亏损14元10.设函数f（x）在R上是减函数，则A。
f（a）>f（2a）B。
厦门市2015-2016学年度第一学期高一年级数学质量检测及答案
厦门市2015－2016学年（上）高一年质量检测数学参考答案及评分标准一、选择题：DDCAD B ADCB BC二、填空题：13．14．15．16．三、解答题：17．本小题考查集合的概念及运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合的数学思想．本题满分10分．解：（Ⅰ）由已知，，所以，1分所以，3分又可解得，，5分所以．6分（Ⅱ）由可得，，8分结合数轴分析知，，解得，，所以实数的取值范围是．10分18．本小题考查统计的基础知识，考查统计思想在实际问题中的意义，考查运算求解能力，数据处理能力，分析问题和应用数学知识解决实际问题的能力．本题满分10分．解：（Ⅰ）依题意，…………………………1分，…………………………2分，……………………3分频率分布直方图画对. ………………6分（Ⅱ）设中位数的估计值为x，则解得x=75；……………………………8分选择中位数的估计值来描述该校同学对安全知识的掌握程度的缺点是：难以反映出更多的关于样本数据全体的信息．……………10分（其他合理理由酌情给分）19．本小题考查幂函数、分段函数等基础知识，考查函数的基本性质；考查运算求解能力、推理论证能力；考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想．本题满分12分．解：（Ⅰ）∵函数的图象经过点，，解得2分若时，，有4分∵是R上的偶函数，则5分综上所述:6分（Ⅱ），8分∵是R上的偶函数，∴，且9分∵在上单调递增；等价于，解得：．11分∴的解集为．12分20．本小题考查一次函数、指数函数的性质等基础知识，考查运算能力、分析和求解实际函数问题的能力，考查函数与方程思想．本题满分12分．解：（Ⅰ）依题意得，，代入得到2分因为，所以，4分所以，5分所以无论x取什么值，未来该地区的人口总数不可能突破142万．6分（Ⅱ）解法1：依题意，，7分所以，所以，8分两边同乘10得，所以9分所以．10分11分答：2040年该地区的60岁以上人口数约为20万．12分（Ⅱ）解法2：依题意，，7分所以，8分解得10分所以11分答：2040年该地区的60岁以上人口数约为20万．12分21．本小题考查随机事件的概率及运用模拟方法估计概率等基础知识, 考查数据处理能力和应用意识，考查必然与或然的数学思想．本题满分12分．解：（Ⅰ）甲、乙两船各派代表随机选一个数，该实验的所有基本事件共25个：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5) (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5) (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)．3分以上基本事件发生的可能性是相等的，4分；；5分∴这种规则是不公平的．6分（Ⅱ）设甲船到达的时间为，乙船到达的时间为．可以看成平面中的点，实验的全部结果所构成的区域；8分设事件A为“甲船先到达”，记，其中都是0～1之间的均匀随机数；9分要满足已知条件只需要满足，即；10分我们用计算机做了100次随机数模拟实验，得到的结果是88次满足，11分故．12分22．本小题考查指数函数、二次函数的图象及性质、不等式解法、函数的零点、函数恒成立等基础知识，考查运算求解能力，分析和解决问题的能力，考查分类与整合、数形结合、化归与转化等数学思想．本题满分14分．解：（Ⅰ）当时，作出图象如右：……………………………………4分说明：正确作出抛物线图象给2分，正确作出指数函数图象给2分．（渐近线、端点有误各扣1分）（Ⅱ）原不等式可化为，记,故只需即可．5分①当即时，在上单调递增，所以，解得或，所以．6分②当即时，只需，即，此时a无解．7分③当即时，在上单调递减，所以，解得或，所以．8分综上可得，或．9分（Ⅲ）记，，①若在时与x轴有一个交点，则由，得则与x轴也有且仅有一个交点，由得或所以，解得；11分②若在时与x轴无交点，则由①知或，此时与x轴有两个不同交点，由得或所以，解得，此时；13分由①、②可得，或．14分。
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厦门双十中学2015-2016学年（上）期中考试高一数学试题（2015-11-10 上午08：00-10：00）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置.1． 设全集U 是实数集R ，{}{}1,02M x x N x x =<=<<都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是A ．{}12x x ≤<B ．{}01x x <<C ．{}0x x ≤D ．{}2x x <2． 下列函数中与x y =相等的是A ．2)(x y =B ．2x y =C ．x y 2log 2=D ．x y 2log 2=3． 若函数()(2)()xf x x x a =-+是奇函数，则a =A ． 2-B ．2C ．12-D ．124． 给定映射f ：()(),2,2x y x y x y →+-，在映射f 下，(3,1)-的原像为A ．(1,3)-B ．(5,5)C ．(3,1)-D ．(1,1)5． 已知函数2,0,()(1),0.x x f x f x x ⎧>=⎨-+≤⎩则(3)f -的值为A ．1B ．1-C ．0D ．9-6． 已知,k b ∈R ，则一次函数y kx b =+与反比例函数kby x=在同一坐标系中的图象可以是7． 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，)3(log 2f b =，()0.60.2c f =，则,,a b c 的大小关系是8． 已知函数32()21f x x x x =+--，可用二分法计算其一个正数零点的近似值（精确度0.1）为参考数据：A ．1.5 D ．1.18759． 函数(13)2,1(),1xa x x f x a x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为A ．1(,1)3B ．3[,1)4C ．13(,)34D ．13(,]3410．当实数k 变化时，对于方程||2||(21)(21)0x x k ----=的解的判断不正确．．．的是 A ．14k <-时，无解B ．14k =-时，有2个解 C ．104k -<≤时，有4个解 D ．0k >时，有2个解第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.请把答案填在答题卷的相应位置.11．函数()1f x x =-的定义域．．．为 ▲ . 12．已知3()2f x ax bx =+-，若(2015)7f =，则(2015)f -的值为 ▲ .13．已知全集U =R ，集合2{|0},{|320}A x x a B x x x =-≤=-+≤，且U A B = ðR ，则实数a 的取值范围是 ▲ .14．已知函数2()f x x ax b =++的零点是3-和1，则函数2()log ()g x ax b =+的零点是 ▲ . 15．若函数()6,2,2log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩ （0a >，且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是▲ .16．方程210x -=的解可视为函数y x =1y x=的图象交点的横坐标. 若方程490x ax +-=的各个实根12,,,(4)k x x x k ≤ 所对应的点9(,)(1,2,,)i ix i k x = 均在直线y x =的同三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答. 17．（本小题满分12分）（Ⅰ）求值：2lg5lg400⋅+；（Ⅱ）已知2log 3x =，求8822x xx x--++的值.18．（本小题满分12分）已知集合11{|132},{|24}4x A x a x a B x -=-<<+=<<. （Ⅰ）若1a =，求A B ；（Ⅱ）若A B =∅ ，求实数a 的取值范围. 19．（本小题满分12分）设函数1331()log (9)log ,2739x f x x x =⋅≤≤. （Ⅰ）设3log t x =，用t 表示()f x ，并指出t 的取值范围； （Ⅱ）求()f x 的最值，并指出取得最值时对应的x 的值.20．（本小题满分13分）小张周末自己驾车旅游，早上8点从家出发，驾车3 h 后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s （单位：km ）与离家的时间t （单位：h ）的函数关系式为s (t )＝－4t (t －13)． 由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到17点，小张开车从停车场以60 km/h 的速度沿原路返回．（Ⅰ）求这天小张的车所走的路程s （单位：km ）与离家时间t （单位：h ）的函数解析式； （Ⅱ）在距离小张家48 km 处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．21．（本小题满分13分）已知函数2()1px q f x x +=+（,p q 为常数）是定义在(1,1)-上的奇函数，且1(1)2f =. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）判断并用定义证明()f x 在(1,1)-上的单调性； （Ⅲ）解关于x 的不等式(21)()0f x f x -+<.22．（本小题满分14分），其中a ∈R ．（Ⅰ）当1a =-时，在所给坐标系中作出()f x 的图象；（Ⅱ）对任意[1,2]x ∈，函数()f x 的图象恒在函数()14g x x =-+图象的下方，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程()10f x +=在区间(1,0)-内有两个相异根，求实数a 的取值范围.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11．【答案】21x x x ≤≠且 【解析】试题分析：根据题意，要使得函数()1f x x =-有意义，则要满足102,1420xx x x -≠⎧∴≤≠⎨-≥⎩且，故可知答案为{}21x x x ≤≠且.考点：函数定义域点评：解决的关键是根据分母不为零，偶次根式下为非负数，属于基础题。
12．【答案】11- 【解析】试题分析：显然(2015)(2015)4f f +-=-，所以(2015)4(2015)11f f -=--=- 考点：函数的奇偶性． 13．【答案】2a ≥ 14．【答案】2 15．【答案】【解析】当2x ≤，64x -+≥，要使函数()f x 的值域为[)4,+∞，只需1()2log (2)a f x x x =+>的值域包含于[)4,+∞，故1a >，所以1()2log 2a f x >+，所以2log 24a +≥，解得1a <≤【考点定位】分段函数求值域． 16．【答案】24a <-或24a >三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共76分. 17．（本小题满分12分） 【解析】 （Ⅰ）原式22lg 5(22lg 2)2)2lg 52lg 2lg 52(lg 2)2lg 52lg 2(lg 5lg 2)2lg 52lg 22=⋅++=+⋅+=+⋅+=+= ······················································································································· 6分 （Ⅱ）因为2log 3x =，所以23x=， ·············································································· 8分所以88(22)(414)17341491222299x x x x x x x xx x x x ------++-+==-+=-+=++. ························· 12分注意：公式化简正确，结果算错扣2分. 18．（本小题满分12分） 【解析】由11244x -<<可得212x -<-<，解得13x -<<，所以{|13}B x x =-<< ························ 4分 所以{|03}A B x x =<< . ··························································································· 6分（Ⅱ）若A =∅，则132a a -≥+，解得32a ≤-； ···································································· 8分 若A ≠∅，则32a >-，由于A B =∅ ，所以13a -≥或321a +≤-， ······························ 10分 解得312a -<≤-或4a ≥ ····························································································· 11分 综上，实数a 的取值范围是：(,1][4,)-∞-+∞ . ······························································ 12分注意：未讨论空集统一扣2分，未注意端点取等号统一扣1分，同一错误不重复扣分. 19．（本小题满分12分） 【解析】 （Ⅰ）设3log t x =，因为1279x ≤≤，所以32log 3x -≤≤，即23t -≤≤. ··························· 3分 此时，33332()log (9)log 3(log 2)(log 1)2x f x x x x t t =-⋅=-+⋅-=--+ 即2()2f x t t =--+，其中23t -≤≤ ············································································· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，2219()2()24f x t t t =--+=-++ ···················································· 7分又23t -≤≤，函数22y t t =--+在1[2,)2--单调递增，在1(,3]2-单调递减， ······················ 8分所以当12t =-，即31log 2x =-，即x =时，()f x 取得最大值94； ································ 10分所以当3t =，即3log 3x =，即27x =时，()f x 取得最小值10-. ······································· 12分20．（本小题满分13分） 【解析】（Ⅰ）依题意得，当0≤t ≤3时，s (t )＝－4t (t －13)，∴s (3)＝－4×3×(3－13)＝120. ························································································ 2分 即小张家距离景点120 km ，小张的车在景点逗留时间为17－8－3＝6(h)． ·································································· 3分 ∴当3<t ≤9时，s (t )＝120， ··························································································· 4分 小张从景点回家所花时间为12060＝2(h)， ·········································································· 5分 ∴当9<t ≤11时，s (t )＝120＋60(t －9)＝60t －420. ································································ 7分 综上所述，这天小张的车所走的路程s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4t (t －13) 0≤t ≤3120 3<t ≤960t －420 9<t ≤11 ························································································· 8分（Ⅱ）当0≤t ≤3时，令－4t (t －13)＝48，得t 2－13t ＋12＝0，解得t ＝1或t ＝12(舍去)， ··········· 10分 当9<t ≤11时，令60t －420＝2×120－48＝192，解得t ＝515. ················································· 12分 答：小张这天途经该加油站的时间分别为9点和18时12分． ············································ 13分 21．（本小题满分13分） 【解析】（Ⅰ）依题意，(0)0,1(1),2f f =⎧⎪⎨=⎪⎩解得1,0p q ==，所以2()1x f x x =+. ········································ 3分 （Ⅱ）函数()f x 在(1,1)-上单调递增，证明如下： ···························································· 4分 任取1211x x -<<<，则12120,11x x x x -<-<<，从而 ····················································· 5分 12122212221221221212122212()()11(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+++-+=++--=++< 所以12()()f x f x <， ··································································································· 7分 所以函数()f x 在(1,1)-上单调递增. ················································································ 8分 （Ⅲ）原不等式可化为：(21)()f x f x -<-，即(21)()f x f x -<- ······································ 9分 由（Ⅱ）可得，函数()f x 在(1,1)-上单调递增，所以1211,11,21,x x x x -<-<⎧⎪-<<⎨⎪-<-⎩········································································································· 11分 解得103x <<，即原不等式解集为1(0,)3. ········································································ 13分 22．（本小题满分14分）【解析】······································ 1分据此可作出图像如下：（Ⅱ）由题意，对任意[1,2]x ∈，()()f x g x <即()14f x x +<恒成立，只需()max ()14f x x +< ································································································································ 5分另一方面，222,()()32,()x ax x a f x x ax x a ⎧-+≤=⎨->⎩，即当0a ≥时，()f x 在(,)a -∞和(,)a +∞上均递增，∵2()f a a =，则()f x 在R 上递增， ··········· 6分 当0a <时，()f x 在(,)a -∞和······································ 7分 故()f x 在[1,2]x ∈上恒单调递增，从而()y f x x =+在[1,2]x ∈上也恒单调递增， ·················· 8分，解得04a <<，故实数a 的取值范围是(0,4). ························································································· 9分注意：本小题若未证明单调性，直接代端点并得出正确答案的统一给2分.（Ⅲ）记()()1F x f x =+，考虑()F x 在区间(1,0)-内有两个不同的零点即可.此时，2221,()()321,()x ax x a F x x ax x a ⎧-++≤=⎨-+>⎩，即 ·············· 10分 则由（Ⅱ）可知，当0a ≥时，()()1F x f x =+在R 上递增，方程()10f x +=在区间(1,0)-内至多有一个根，不符合要求，舍去；故0a <. ································································································· 11分 当x a ≤时，令()0F x =，可得1x a =（不符合x a ≤，舍去）或2x a =-，但21x a =<-，不在区间(1,0)-内，因此 ·············································· 12分当x a >时，2()321F x x ax =-+在区间(1,0)-内必有两个不同的零点，从而(1,0)(,)a -⊆+∞，所以210,34120,(0)0,(1)0,1a a f f a ⎧-<<⎪⎪∆=->⎪⎪>⎨⎪->⎪≤-⎪⎪⎩解得2a -<<···································································· 14分。