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高数知识点复习资料

2 lim x 1 2 x 1 2 x 1
x 1
tan x s)
2 x 1 2 x 1 2 x1 2 2 lim 1 2 x 1 2 x 1
x3 x 3 x 2 9 【求解示例】解：因为 x 3 ，从而可得 x 3 ，所以原 x 3 x 3 1 1 式 lim 2 lim lim x 3 x 9 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 6
【题型示例】求值 lim （其中 x 3 为函数 f x
1 第二个重要极限： lim1 e x x
（一般地， lim f x lim f x 0 ）
g x
x
1．由 xn a 化简得 n g ， 2．即对 0 ， N g ，当 n N 时，始终有不等式 xn a 成立， ∴ limxn a
e 2 x1 2 x 1 e1 e
第五节函数的连续性 ○函数连续的定义
x x0 x x0
2 x2 lim
lim f x lim f x f x0
○间断点的分类
跳越间断点（不等）第一类间断点（左右极限存在）可去间断点（相等）第二类间断点）无穷间断点（极限为（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）
x2 a2 1

（或：过 y f x 图像上点 a, f a 处的切线与法线方程）【求解示例】 1． y f x ， y |x a f a 2．切线方程： y f a f a x a 法线方程： y f a

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《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

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高等数学复习资料大全高等数学复习资料大全一、函数的极限1、函数极限的定义：当函数f(x)在x趋近于某一值时，函数值无限接近于某一确定的数值A，则称A为函数f(x)在x趋近于这一值时的极限。

2、函数极限的性质：（1）唯一性：若极限存在，则唯一。

（2）局部有界性：在极限附近的函数值有界。

（3）局部保号性：在极限附近，函数值的符号保持不变。

（4）归结原则：若在某一区间内，f(x)恒等于A，则A为f(x)在该区间内的极限。

3、极限的四则运算：设、存在，则、也存在，且、、、。

4、复合函数的极限：设、存在，且g(x)在u=a处连续，则、存在，且、。

5、无穷小与无穷大：（1）无穷小：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的极限为0，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷小。

（2）无穷大：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷大。

6、两个重要极限：（1）sin x / x = 1 （x趋近于0）；（2）(1+k)^ x / kx = e^k （k为常数且k趋近于0）。

二、导数与微分1、导数的定义：设y=f(x)，若增量 / 趋于0时，之间的比值也趋于0，则称f(x)在处可导，称此比值为f(x)在处的导数。

2、导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。

3、微分的定义：设y=f(x)，若函数的增量可以表示为，其中A不依赖于，则称在处可微分，为f(x)在处的微分。

4、导数与微分的关系：若函数在某一点处可导，则在该点处必可微分；反之，若函数在某一点处可微分，则在该点处不一定可导。

5、导数的计算方法：（1）四则运算导数公式；（2）复合函数的导数；（3）隐函数求导法；（4）对数求导法；（5）高阶导数。

三、不定积分1、不定积分的定义：设f(x)是一个函数，是一个常数，则对f(x)进行积分所得的结果称为f(x)的不定积分，记为或。

2、不定积分的性质：（1）线性性质：和都存在，且；（2）恒等性质：都存在，且。

高等数学C(二)毕业补考讲义(1)

a2 b2
a3 a1 i b3 b1
a1 a3 j b1 b3
a2 k b2

例：设
a i 2 j 3 k ， 2 i j 2 k ,求 a b . b
i j 2 1 k 3 2
解：a b 1
2

2 1

n 1
un
与
n 1
ku n k u n
n 1
有相同的敛散性
收敛+收敛
收敛
收敛-收敛

收敛
1 3
n
如

n0
(
1 2
n

)
收敛.

如

n 1
1 3n
发散.
2 用必要条件判别常数项级数的敛散性
若若
如
lim u n 0
n
,则级数必发散 ,则级数的敛散性不确定
lim u n = 0

则
1

n1
un
发散
1
时改用比较法
比较法
若 lim
un vn
n
l ( 0 , )，则二级数有相同的敛散性
练习：判别下列级数敛散性

(1)

n 1
n 3
2 n
( n 1) lim u n 1 un
n
2
lim
3
n 1 2 n
lim
ln (1 x ) x
1 2
x
2

1 3

大一下高数补考知识点

大一下高数补考知识点高等数学是大学学习中的一门重要基础课程，也是大多数理工科专业学生需要学习的一门必修课。

在大一下学期，高等数学通常分为高数（上）和高数（下）两个部分。

对于一些同学来说，高数（下）的学习可能相对较为困难，导致有些知识点没有掌握牢固，需要参加补考。

本文将对大一下高数补考的知识点进行梳理和总结，以帮助同学们更好地备考。

1. 二元一次方程组及其解法在高数（下）中，二元一次方程组的概念和解法比较重要。

一般来说，二元一次方程组是由两个二元一次方程组成，其形式可表示为：ax + by = cdx + ey = f其中，a、b、c、d、e、f为已知常数。

解二元一次方程组有多种方法，如代入法、消元法和克莱姆法则等。

在补考准备中，我们需要熟练掌握这些解法，并能够根据题目的要求选择合适的方法进行求解。

2. 函数的概念及其性质函数是高等数学中的重要概念，理解函数的定义及其性质对于学习后续章节的内容至关重要。

在大一下的高数课程中，同学们需要了解函数的定义、反函数、初等函数、函数的分类及常见函数图像等内容。

在函数的性质方面，需要了解函数的奇偶性、周期性、单调性、有界性等。

掌握这些性质有助于我们更好地理解函数的特点，能够快速判断函数的性质。

3. 极限与连续极限和连续是高数（下）中的重要理论基础，也是后续微积分课程的核心内容。

在补考准备中，需要重点掌握一些基本的极限和连续的概念和性质。

对于极限而言，需要了解函数极限的定义，并能够运用极限的性质进行求解。

对于连续而言，需要了解函数连续的定义及其性质，能够判断函数在某一点是否连续。

4. 导数与微分导数和微分是高数中的重要内容，它们是微积分的基本概念和工具。

在补考中，需要重点掌握导数的定义、求导法则（如常规函数求导法则、链式法则、乘积法则、商法则等）、高阶导数的概念和性质。

掌握导数的求解方法后，需要进一步了解微分的概念和性质。

理解导数与微分的区别和联系，能够在问题中应用导数和微分进行求解。

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《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim0)(6sin limx x f x x xf x x x +=+>->-，求解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，xx x x b a 30)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t 2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim 22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y t x x y y 由决定，求dx dy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题 4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。

大一高数下补考知识点

大一高数下补考知识点大一高等数学是大学数学中的一门重要课程，对于很多理工科专业的学生来说，高等数学是他们大一下学期的一门必修课。

由于高等数学的难度相对较高，很多同学在考试中并未取得理想的成绩，需要通过补考来弥补差距。

下面，我将为大家总结一些大一高数下补考的重点知识点，希望能够帮助大家有效备考。

1. 导数与微分在大一的高等数学课程中，导数与微分是一个重要的概念。

导数表示函数的变化率，微分则是导数的微小变化。

在补考时，需要重点掌握导数的定义、求导法则以及相关定理的应用，例如求极限、切线方程等。

2. 数列与级数数列与级数是大一高数下的另一个重点内容。

数列是由数值按一定顺序排列而成的序列，级数是数列的和。

在补考时，需要掌握数列的概念、数列的极限、级数的概念、级数的收敛与发散等内容。

同时，需要特别注意等比数列、等比级数、调和级数等特殊数列及级数的性质及求和公式。

3. 重要函数与其性质在大一高数下补考中，还需要重点学习和理解一些常见的函数及其性质。

例如指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。

需要掌握函数的定义、性质、图像、特殊值点的求解等内容，并能够熟练运用它们解决相关问题。

4. 微分方程微分方程是大一高数下另一大的重点知识点，也是数学与工程、物理、生物等学科的重要交叉点。

在补考时，需要重点学习一阶、二阶线性齐次与非齐次微分方程的解法，以及应用题的解题技巧与方法。

5. 重积分重积分是数学中的一个重要分支，也是大一高数下的一个难点。

在补考时，需要掌握二重积分与三重积分的概念、性质以及计算方法。

特别是对于曲线坐标系下的积分，需要特别重视。

6. 傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是大一高数下的一些拓展内容。

在补考中，虽然考察的可能性不大，但是掌握其基本思想和方法能够更好地理解和应用数学知识。

以上是大一高数下补考的一些重点知识点，希望能对大家的备考有所帮助。

在备考期间，对于每个知识点，要多做一些相关的习题和例题，加强对基本概念和解题方法的理解。

高等数学补考知识点

一．单项选择题1.若函数()y f x =的定义域为[1,2]，则函数(1ln )y f x =-的定义域为（） A .1[,1]e B .(1,)e C .[1,]e D .1(,1)e2、当x →∞时，sin ()x f x x= （） A .无界 B .没有极限 C .是无穷小量 D .无意义3、曲线22y x x =-上切线平行于x 轴的点是（）A .(0,0)B .(2,0)C .(1,3)-D .(1,1)-4、若函数()cos f x x x =，则()f x ''=（）A .cos sin x x +B .cos sin x x -C .2sin cos x x x --D .2sin cos x x x +5、函数5335y x x =-（）A .有一个极值点B .有两个极值点C .有三个极值点D .有四个极值点6、如果函数()y f x =在区间(,)a b 内恒有()0,()0f x f x '''><，则相对应的曲线()y f x =为（）A .上升且凸B .下降且凸C .上升且凹D .下降且凹7、下列等式中正确的是（） A ()()b a d f x dx f x dx =⎰ B ()()d f x dx f x c dx =+⎰C .()()x ad f t dt f x dx =⎰ D .()()f x dx f x '=⎰ 8、若20(23)0kx x dx -=⎰，则k =（） A .2 B .1- C .1 D .329、0x →时, sin x 是x 的( )无穷小A .同阶B .等价C .高阶D .低阶10、下列各对函数中,不是同一个函数的原函数的是（）A .ln(2)ln 2x x ++和lnB .arcsin arccos x x 和-C .()222x x x x e e --+e 和+eD .22sin cos x x 和-二．填空题1、2lim()x x x x→∞+= . 2、已知函数cos x y e x -=，则该函数的微分dy = .3、函数32233616y x x x =--+在区间内是单调递减的. 4、3)x dx -= .5、101x dx x =+⎰ . 6、反常积分211dx x +∞-∞=+⎰ . 7、曲线3(1)y x =-的拐点是 .8、1-=⎰ .三、简答题1、求2301sin lim()x x x x→- 2、设sin()1x xy ye -=求dy dx 及0x dy dx =四、计算题1、求不定积分⎰xdx arcsin2、计算曲线2y x =和曲线22y x =-所围成的图形的面积五、应用题欲做一个底面为长方形的带盖长方体盒子，其底边长成1∶2的关系且体积为72cm 3，问其长、宽、高各为多少时，才能使此长方体盒子的表面积最小？参考答案一、单项选择题1、A2、C3、D4、C5、B6、A7、C8、 C9、 B 10、A二、填空题1、2e2、(sin cos )xe x x dx --+ 3、(2,3)-或 [2,3]- 4、5322225x x C -+ 5、1ln2- 6、2π 7、(1,0) 8、0三、简答题 1、解：原式= 30sin limx x x x →- 201cos lim 3x x x→-= 0sin lim 6x x x →= 16= 2、解：两边同时关于x 求导得，()cos()0,x x y xy xy y e ye ''+--= 则，(cos()),cos()x x y e xy y x xy e-'=- (0)1,y =- (0)0y '=四、计算题1、解：原式=arcsin x x x -⎰ 21arcsin (1)2x x x =+-arcsin x x C =2、解：画出简图后，解方程组222y x y x⎧=⎪⎨=-⎪⎩得两曲线的交点为(1,1)-及(1,1)，选x 为积分变量，其变化范围是[1,1]-。

高等数学补考复习资料(一)

《高等数学》补考复习资料（一） (120分钟)姓名________学号____ _ 班级专业_____ 成绩___ _一．填空题（共30分） 1．比较大小：dx x ⎰103⎰1xdx 。

2. 比较大小：dx x ⎰-4031π0。

3．由定积分几何意义有=-⎰-dx x a aa22。

4．⎰-=212sin xtdt dxd 。

5.=+⎰-dx xx x ππ21sin cos 。

6. 设 ()⎩⎨⎧=12x x f x x 11<≥ 则()=⎰dxx f 2。

7. 设 xx sin 是 ()x f 的一个原函数，则()='⎰dxx f x 。

8. 若⎰=+12)2(dx c x ，则 c= 。

9. 若()24xdt t f x=⎰，则()=⎰dx x fx41 。

10.若310=⎰∞-dx e kx，则=k 。

二．解答题（共56分） 11．求极限 ()32211lim xdtttxx ⎰--+→。

12．设 ⎰=02sin xtdt y 求 ()1y '。

13. {}dx x x ⎰23,max 。

14．dx ex ⎰--01。

15.dx x⎰27131。

16.dx xx ⎰++311。

17．⎰3ln 0dx xe x。

18．设 ()()dt t t x F x⎰-=02，求()x F 在 []3,1- 上的最大值与最小值。

三．应用题（8分）19．求由曲线 xe y =，xe y -=及 e y = 所围成图形的面积。

四．证明题（6分） 20．试证：()()dx x x a dx x a xnmanam⎰⎰-=-00。

《高等数学》补考复习资料（二） (120分钟)姓名________学号____ _ 班级专业_____ 成绩___ _一．单项选择题（共30分） 1.已知⎰+22)1(xt dt ，则=')1(y （） A.21 B. 1 C.2 D.42.下列等式正确的是（） A.()()⎰=bax f dx x f dx d B.()()c x f dxx f dxd +=⎰C.()()x f dx x f dxd xa=⎰D.()()x f dx x f ='⎰3.设函数 ⎰-=xdt t y 0)1(则y 有（） A.极小值21 B. 极小值21-C.极大值21 D. 极大值21-4.='⎰dx xx x)sin (2π（）A. xx sin B.c xx +si n C. π2sin -xx D. 2sin π-xx5. 下列积分值为负数的是（） A.⎰20si n πxdx B.⎰-02cos πxdx C. ⎰--233dx x D.dx x ⎰--2326. 下列积分值为0的是（） A.⎰-+11cos 1xxdx B.⎰-22sin ππxdx x C.dx xx⎰--112321 D.⎰--ππdx x )1(37. 若()x f 的一个原函数是 x ln ，则()='⎰dx x f （） A. c x +ln B. c x+1 C. c x x x +-ln D. x1-8. 下列广义积分收敛的是（） A.⎰+∞1sin xdx B.⎰∞+1xdx C.dx e x⎰∞-0D.dx xx⎰∞++03219．计算dx x x⎰-224时为使被积函数有理化，可设x= ( ) A. 2tant B. t sin 2 C. 2sect D.t10. =-⎰-→3)1(lim2xdtextx ( ) A. 0 B.31 C. 3 D. 31-二．解答题（共56分） 11．dx x ⎰-50312. ⎰axdx xe213.⎰+11xedx14. 设 ⎰=kxdx 11ln ，求k 值。

《高数下》补考考前复习1

解： dz = 4 cos
( ydx + xdy ) = 2 cos xy
2 xy
x
xy
xy
( ydx + xdy ) 。
dz 1．设 z = arctan ( xy ) ， y = e ，求全导数。 dx
(1 + x ) e x dz x 解： z = arctan (xe )，故 =
dx 1+ x e
切平面方程为 1 ⋅ ( x + 3) + 3 ⋅ ( y + 1) + 1 ⋅ ( z − 3) = 0 ，即 x + 3y + z + 3 = 0 。最小距离距离。 6．求抛物线 y 2 = 4 x 到直线 x + y + 2 = 0 的最小距离。
解：设抛物线上点 ( x, y ) 到直线 x + y + 2 = 0 的距离为
n −1 ∞
∞ 1 1 un = ln 1 + → 0 ，且 { an }1 = ln 1 + 单调减少， n n 1 级数收敛，条件收敛．原级数收敛，即条件收敛．
n →∞
∞
6．求下列幂级数的收敛半径与收敛区间：．求下列幂级数的收敛半径与收敛区间：
5n ( n + 1)! ①∑ ； ( 2n )! n =1
∞
∞
n +1 un +1 5 ( n + 2 ) ! ( 2n ) ! n→∞ = ⋅ n → 0 < 1 ，级数收敛．级数收敛收敛．解： un ( 2n + 2 )! 5 ( n + 1)!
5n ②∑ ． n n =1 n⋅ 2

大一高数补考必要知识点

大一高数补考必要知识点高等数学是大一学生所学习的一门重要课程，也是大多数同学所感到困难的科目之一。

在大一高数的学习中，有一些必要的知识点非常关键，如果掌握不好可能会影响到后续的学习和考试成绩。

本文将重点介绍大一高数补考必要知识点，帮助同学们对复习和备考有所侧重。

一、函数与极限1. 函数的定义与性质：函数的定义域、值域、图像等基本概念，常见的函数类型如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

2. 极限的概念与运算法则：极限的定义、左极限、右极限、无穷大与无穷小、极限的四则运算法则等。

3. 极限的计算方法：利用基本极限、夹逼原理、洛必达法则等方法计算极限。

二、导数与微分1. 导数的定义与性质：导数的几何意义、函数在一点的导数、导数的性质、可导与连续函数的关系等。

2. 常见函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的导数公式。

3. 微分的概念与运算法则：微分的定义、微分的四则运算法则、微分中值定理等。

4. 高阶导数：高阶导数的定义与求法，利用高阶导数研究函数的性质。

三、积分与不定积分1. 不定积分的定义与性质：不定积分的概念、不定积分的基本公式、不定积分的运算法则等。

2. 常见函数的不定积分：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的不定积分公式。

3. 定积分的定义与性质：定积分的概念、定积分的性质、定积分的计算方法等。

4. 牛顿-莱布尼茨公式：定积分与不定积分的关系，牛顿-莱布尼茨公式的应用。

四、微分方程1. 基本概念与分类：微分方程的定义、常微分方程与偏微分方程的区别、微分方程的阶数、线性与非线性微分方程等。

2. 一阶微分方程：可分离变量的一阶微分方程、齐次方程、一阶线性微分方程等。

3. 高阶线性微分方程：二阶与高阶线性微分方程的解法、特征方程法、常系数齐次线性微分方程的解法等。

4. 常用的数学建模：利用微分方程进行经济、生物、物理等实际问题的建模与求解。

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x0
sin x x
x x et2 dt
3. lim 0
1
x0 1 ex2
（洛必达与微积分性质）
第二讲导数、微分及其应用
一、理论要求
2
1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理理解 Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理会用定理证明相关问题 3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）
x 0
6x
x0
6
216 3y''(0) 0 y''(0) 72 6
lim
x0
6
f (x) x2
lim
x0
y' 2x
lim
x0
y'' 2
72 2
36
（洛必达）
3. lim(
2x
2x
) x1
（重要极限）
x1 x 1
1
4.已知
a、b
为正常数，求 lim( a x
bx
3
)x
x0
2
解：令 t
7.已知
f
(x)
ln(cos x)x 2 ,
a,
x
0
x
0
在
x=0
连续，求
a
解：令 a lim ln(cos x) / x2 1/ 2 （连续性的概念） x0
三、补充习题（作业）
1. lim e x 1 x 3 （洛必达） x0 1 x cos x
1 2. lim ctgx(

高数B补考复习提纲(积分学)7页word

多元函数的积分学（一）二重积分1．二重积分的计算：将二重积分化为二次积分或累次积分来计算。

（掌握）（1）利用直角坐标系计算：面积元素d dxdy σ=1）D 为X 型：12()()a x bx y x φφ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则21()()(,)(,)b x a x Df x y d dx f x y dy φφσ=⎰⎰⎰⎰（先y 后x ）特点：平行于y 轴的直线穿过D 时与12(),()y x y x φφ==各有一个交点。

2）D 为Y 型： 12()()c y d y x y ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则21()()(,)(,)d y c y Df x y d dy f x y dx ψψσ=⎰⎰⎰⎰（先x 后y ）特点：平行于x 轴的直线穿过D 时与12(),()x y x y ψψ==各有一个交点3）如果区域D 既是X 型又是Y 型，可根据D 的形状及被积函数的特点，选择较为方便的方法计算。

（2）利用极坐标系计算：面积元素：d d d σρρθ=；1）直角坐标与极坐标的关系：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，2）二重积分在极坐标下的表达式：(,)(cos ,sin )DDf x y d f d d σρθρθρρθ=⎰⎰⎰⎰3）根据极点在区域D 的位置得如下极坐标下的二次积分表达式： ● 极点在D 外：12:()()D αθβϕθρϕθ≤≤⎧⎨≤≤⎩，21()()(,)(cos ,sin )Df x y d d f d βφθαφθσθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰ ● 极点在D 的边界上：:0()D αθβρϕθ≤≤⎧⎨≤≤⎩()0(,)(cos ,sin )Df x y d d f d βφθασθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰● 极点在D 的内部：02:0()D θπρϕθ≤≤⎧⎨≤≤⎩2()0(,)(cos ,sin )Df x y d d f d πφθσθρθρθρρ=⎰⎰⎰⎰2．二重积分的几何应用计算曲顶柱体的体积：(,)DV f x y dxdy =⎰⎰（掌握）以区域D 为底，曲面(,)z f x y =为顶，侧面为以D 的边界为准线母线平行于z 轴的柱面的曲顶柱体的体积（二）三重积分1. 三重积分计算：化为三次积分计算 1）利用直角坐标计算（掌握）投影法（先一后二法）设Ω在xOy 面上投影区域为xy D ，12(,):(,)(,)xyx y D z x y z z x y ∈⎧Ω⎨≤≤⎩a. 若xy D ：12()()a x b x y x φφ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则(,,)f x y z dV Ω⎰⎰⎰=2211()(,)()(,)(,,)b x z x y a x z x y dx dy f x y z dz φφ⎰⎰⎰b. 若xy D ：12()()c y d y x y ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则(,,)f x y z dV Ω⎰⎰⎰=2211()(,)()(,)(,,)d y z x y c y z x y dy dx f x y z dz ψψ⎰⎰⎰2）截面法（先二后一法）设立体Ω介于平面12,z c z c ==之间（12c c <），过点(0,0,)z （12[,]z c c ∈）作垂直于z 轴的平面与立体Ω相截得一截面，于是区域：Ω={}12(,,)(,),z x y z x y D c z c ∈≤≤，此时有：(,,)f x y z dV Ω⎰⎰⎰=21(,,)zc c D dz f x y z dxdy ⎰⎰⎰。

高等数学期补考试卷1

一、填空题（每空3分，共18分）１.函数2112++-=x x y 的定义域为２.当0x →时，无穷小1cos x -与无穷小212x 是无穷小３.函数()f x 在点0x 可导是函数()f x 在点0x 可微的条件４.极限=→xx x 5sin 2sin lim 0 ５. 函数)(2x f y =，则dx dy ＝ 6. 函数x e y x sin ⋅=，则dy ＝二、计算下列各题（每题６分，共３0分）１.计算极限13124lim 423+-+∞→x x x x 。

２.求函数ln(y x =的一阶导数dy dx。

３.计算不定积分(1)(2)dx dx x x +-⎰。

４.计算定积分dx e x x ⎰-⋅10。

５.计算极限200cos lim xx t dt x →⎰。

三、求解下列各题（每题7分，共28分）１.求解由方程x y xy e +=所确定的隐函数的导数dy dx 。

２.确定函数)0(,82>+=x xx y 的单调区间。

３.判别函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>--=1,21,11)(22x x x x x x f 在1=x 处的连续性。

４.求解微分方程,2y x e y -='满足所给初始条件00==x y 的特解。

四、解答题（每题8分,共24分）1.讨论反常积分⎰+∞-⋅0dx e x x 的敛散性。

2.求曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 2在0=t 相应点处的切线方程及法线方程。

３.求由曲线1y x=与直线y x =及2x =所围成的图形的面积。