《集合论与图论》课堂练习3
集合练习题加答案
集合练习题加答案集合是数学中的基本概念之一，它提供了一种描述对象集合的方式。
在集合论中，集合是由一些明确的或不明确的确定的对象构成的整体。
这些对象被称为集合的元素。
集合论是现代数学的基础之一，它在各个数学领域都有广泛的应用。
以下是一些集合练习题，以及相应的答案，供学习者练习和检验自己的理解。
练习题1：确定以下集合的元素。
- A = {x | x 是一个偶数}- B = {y | y > 5}- C = {z | z 是一个质数}答案1：- A的元素是所有偶数，例如2, 4, 6, 8等。
- B的元素是所有大于5的实数。
- C的元素是所有质数，如2, 3, 5, 7, 11等。
练习题2：判断以下集合是否相等。
- X = {1, 2, 3}- Y = {1, 3, 2}答案2：- X和Y是相等的，因为集合的元素是无序的，只考虑元素的种类和数量。
练习题3：计算以下集合的并集。
- A = {1, 2, 3}- B = {3, 4, 5}- C = {2, 5, 6}答案3：- A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}练习题4：计算以下集合的交集。
- D = {1, 2, 3, 4}- E = {3, 4, 5}答案4：- D ∩ E = {3, 4}练习题5：计算集合D的补集，假设全集U包含所有自然数。
- D = {1, 2, 3, 4}答案5：- D' = U - D = {所有自然数除了1, 2, 3, 4}练习题6：如果A = {x | x 是一个偶数}，B = {x | x 是一个奇数}，计算A和B的差集。
答案6：- A - B = {x | x 是一个偶数但不是奇数}，即A本身，因为奇数和偶数是互补的。
练习题7：给定集合F = {x | x 是一个整数，且 -3 ≤ x ≤ 3}，计算F的幂集。
答案7：- F的幂集包含F的所有子集，共有2^7个子集，因为F有7个元素（-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3）。
哈工大集合与图论习题
集合与图论习题第一章习题．画出具有个顶点地所有无向图(同构地只算一个).．画出具有个顶点地所有有向图(同构地只算一个).．画出具有个、个、个顶点地三次图.．某次宴会上，许多人互相握手.证明：握过奇数次手地人数为偶数(注意，是偶数).．证明：哥尼斯堡七桥问题无解.．设与是图地两个不同顶点.若与间有两条不同地通道(迹)，则中是否有回路？．证明：一个连通地(，)图中≥.．设是一个(，)图，δ()≥[]，试证是连通地.．证明：在一个连通图中，两条最长地路有一个公共地顶点.．在一个有个人地宴会上，每个人至少有个朋友(≤≤).试证：有不少于个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人地左、右均是他地朋友.b5E2R。
．一个图是连通地，当且仅当将划分成两个非空子集和时，总有一条联结地一个顶点与地一个顶点地边.．设是图.证明：若δ()≥ ，则包含长至少是δ()地回路.．设是一个(，)图，证明：()≥，则中有回路；()若≥，则包含两个边不重地回路.．证明：若图不是连通图，则是连通图.．设是个(，)图，试证：()δ()·δ()≤[()]([()])，若≡，，( )() δ()·δ()≤[()]·[()]，若≡( )．证明：每一个自补图有或个顶点.．构造一个有个顶点而没有三角形地三次图，其中≥..给出一个个顶点地非哈密顿图地例子，使得每一对不邻接地顶点和，均有≥．试求中不同地哈密顿回路地个数.．试证：图四中地图不是哈密顿图.．完全偶图，为哈密顿图地充分必要条件是什么？．菱形面体地表面上有无哈密顿回路？．设是一个(≥)个顶点地图.和是地两个不邻接地顶点，并且≥.证明：是哈密顿图当且仅当是哈密顿图.．设是一个有个顶点地图.证明：若>δ()，则有长至少为δ()地路.．证明具有奇数顶点地偶图不是哈密顿图.．证明：若为奇数，则中有()个两两无公共边地哈密顿回路.．中国邮路问题：一个邮递员从邮局出发投递信件，然后返回邮局.若他必须至少一次走过他所管辖范围内地每条街道，那么如何选择投递路线，以便走尽可能少地路程.这个问题是我国数学家管梅谷于年首先提出地，国外称之为中国邮路问题.p1Ean。
《集合论与图论》课堂练习3
《集合论与图论》课堂练习3（2007年6月18日 8:00-9:40 复旦大学计算机系06级）学号姓名一、判断下列命题是否正确，并说明理由。
（括号内写“是”或“否”）（40分，每题8分，是非判断4分，证明或反例4分）1 存在7个结点的自补图。
（）n 的连通图。
则G没有割点当且仅当G的剖分也没有割点。
2 设G是顶点数3（）3 若G是简单连通图，边数为e，结点数为n。
若e n，则G至少有3棵生成树。
（）4 一个有向图D中仅有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则D是有根树。
（）5 设C是简单连通图G的回路，若删去C中任一边后所得到的路C’为G中的最长路，则C是图G的哈密顿回路。
（）二、综合题（60分）1．证明：任何平面图是5-可着色的。
2．如果在一个地图上任何两个地区都相邻，问在该地图上最多有几个地区？3．如果为一个无向图的每一条边确定一个方向，使得所得到的有向图是强连通的，称该无向图是可定向的。
证明：欧拉图和哈密顿图都是可定向。
4．设G为非平凡有向图，V为G的结点集合，若对V的任一非空子集S，G中起始结点在S 中，终止结点在V-S中的有向边至少有k条，则称G是k边连通的。
证明：非平凡有向图是强连通的充要条件为它是一边连通的。
5．证明：任何一个竞赛图是半哈密顿图。
6在2005年9月复旦大学百年校庆的庆典日，有4对毕业于复旦大学计算机系的新婚夫妇在袁成瑛计算机楼“仰止”石前的草坪上举行集体婚礼，婚礼由从加拿大远道赶来的复旦大学计算机系82级校友顾若平学长主持。
在婚礼结束时，这4对夫妇互相握手，彼此祝愿对方新组成的家庭，因此，不会有自己和自己握手，也不会有夫妻间的握手，并且没有两个人握手超过一次。
握手之后，新郎计算机系99级的陈宇阳校友问其他3对夫妇和他的新婚妻子：他或她握了多少次手？陈宇阳校友得到的答案都不相同。
陈宇阳校友想到在复旦求学时，计算机系的老教师多次向他们提及顾若平学长，说他当年是“复旦第一聪明人”。
集合论与图论
集合论与图论一、 解答下列问题，要求只给出答案（每题2分，共16分）1.设A B 、为集合，试求一个集合X ，合得A X B ∆=。
（ A B ∆ ）2.设{}1,2,3,4A =，{}1,2B =，试求从A 到B 的满射的个数。
（42214-=）3.设{}1,2,,10A =，试求A 上反自反二无关系的个数。
（29022n n -=）4.设{}12,,,p A u u u =，()112q p p ≤-。
试求以V 为顶点集具有条边的无向图的个数。
（ ⎝⎛-2/)1(p p q）5.设T 是一个有P 个顶点的正则二元树，试求下的叶子数，其中P 是奇数。
（12P +）6.正整数m 和n 为什么值时,Km n 为欧拉图？（m n 和为偶数）7.设(),G V E =为无向图，,V P E P ==。
如果G 是边通图，那么G 至少有几个生成树？ （3个）8. 具有p 个顶点q 条边的平面连通图中，p 和q 应满足什么样的关系式？(36q p ≤-)二、以下各题要求只给出答案（每题2分，共14分）１.设{}()()(){},,,,,,,,,X a b c d R a b b c c a ==，试求R 的传递闭包。
（()()()()()()()()(),,,,,,,,,,a a b b c c a b b c c a a c b a c b ，，，，，，，）2.将置换（123456789791652348）分解为循环置换的乘积，然后分解成对换的乘积()()()()()()()()()173298465171329282426=。
3.设0000010110100000010000000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12345110000210110310100410110500001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 如果A 4.设{}{}0,1,,,,,,,B E a b c x y z ==。
字母表B 上所有字符串之集记为*B ，字母表E 上所有字符串之集记为*E 。
北工大-集合与图论习题整理版
习题集（一） 一、填空1．设}7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。
2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。
7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。
8．图的补图为 。
二、选择2、下列集合中相等的有（ ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。
A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。
4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）R 是自反的；A．若R，S 是自反的，则SR 是反自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是对称的；C．若R，S 是对称的，则SR 是传递的。
D．若R，S 是传递的，则S5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下t st spR=∈=则P（A）/ R=（）<>A∧s(||||})(,{t|,A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。
（注：I—整数集，E—偶数集，N—自然数集，R—实数集）8、图中从v1到v3长度为3 的通路有（）条。
A．0；B．1；C．2；D．3。
《集合论与图论》课堂理解理解练习2
《集合论与图论》课堂练习3
（2011年12月复旦大学计算机学院10级）学号姓名
1．证明：任何平面图是5-可着色的。
证明：
2．证明：n个顶点的简单图G的边数超过(n-1)(n-2)/2条边，则G是连通的。
证明：
3．证明：马在国际象棋3 4的棋盘上可以遍历。
证明：
4．如果一个带有e条边和n个顶点的连通简单平面图不包含长度为4或更短的回路。
证明：若n≥4，则e≤（5/3）n-（10/3）。
5 用下述算法为简单图着色：
（1）以度数递减的顺序给出顶点的列表v1, v2, …, v n，使得d(v1)≥d(v2)≥…
d(v n)；
（2）把颜色1着色给顶点v1和在列表中不与顶点v1相邻的下一个顶点（若存在一个这样的顶点），并且继续给列表中每一个不与着颜色1 的顶点相邻的顶点着颜色1；然后，把颜色2 着色给列表中还没有着色的第一个顶点，并继续按上述步骤对列表中的顶点着颜色2；然后，以此类推，直到所有的顶点都被着色。
举例说明这一算法不是最优的，也就是说，这个算法所产生的着色所需的颜色数可能比某个图的色数大。
6简单图的定向就是指定它的各边的方向，使得所得的图是强连通图。
证明：若一个图有割边，则它不是可定向的。
7 三对夫妇到达一条河流的岸边，每个妻子都是妒忌的，当她的丈夫与其他人的妻子在一起而她不在场时，她就无法忍受。
只用一条只能运载两个人的船，如何能使三对夫妇到达河的另一边，且没有一个丈夫在他妻子不在场时与他的妻子之外的女人相处？使用图论模型解答。
集合论与图论参考答案
℘({∅, {∅}}) = {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
这是错误的，记住对任意的集合A，℘(A)中的元素个数总是2的幂，所以不可能是3个元素。注意下面 几个集合的差别：
∅
{∅}
{{∅}}
{{{∅}}}
对于(3)，有些同学没有想到上面的说明方法，对于计算℘℘℘({∅})又没有耐心，所以要么计算错，要 么直接写上了答案（我怀疑是参考别人的答案）。对于(4)，很多同学忘记了 ℘(A) = A这个等式， 而在计算时也有不少同学出错，最多错的答案是：
(1) A ∪ B ∪ C ∪ D = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 18, 21, 24, 27, 30, 32, 64}
(2) A ∩ B ∩ C ∩ D = ∅ (3) B − (A ∪ C) = {−7, −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 4, 5, }
若 且 ，则 。 (5) A∈B B∈C A∈C
解答：
(1) 该命题为真。因为B ⊆ C意味着对任意的x，若x∈B，则x∈C，因此若A∈B，则A∈C。
该命题为假。例如 ，则 及 ，但 。 的子 (2)
A = {1}, B = {{1}}, C = {{1}, 2} A∈B B ⊆ C A ⊆ C C
由 ， 就得到 。 A∪ ∼ A = E B ∩ E = B, C ∩ E = C
B=C
点评：这一比较简单，类似课堂上举的例子：A ∩ B = A ∩ 且C A ∪ B = A ∪ C蕴含B = C，但有
些同学没有认真听课，而没有想到这一点。
作业1.8 化简下列各式
集合论习题答案
P3 习题1.11.1.1 解：⑴{2,3,5,7,11,13,17,19}；⑵{e,v,n,i,g}；⑶{－3,2}；⑷{－1}；⑸{2,271i+-,271i--}；⑹Φ⑺共14项，前四项为极小因式：不能再分解为其它因式的因式：{①x+1，②x-1，③x2+x+1，④x2-x+1，①②x2-1，①③x3+2x2+2x+1，①④x3+1，②③x3－1，②④x3－2x2+2x－1，③④x4+x2+1，①②③x4+x3-x+1，①②④x4－x3+x－1，①③④x5+x4+x3+x2+x+1，②③④x5-x4+x3-x2+x-1)}1.1.2 解⑴{x | x∈I+ , x<80}；⑵{x | x∈I且∃n∈I使x=2n+1}；⑶{x | x∈I且∃n∈I使x=5n}；⑷{(x,y)| x,y∈R , x2+y2<1}；⑸{(ρ,θ)| ρ,θ∈R, ρ>1}；⑹{ax+b=0| a,b∈R且a≠0}。
P5 习题1.21.2.1 答：为真的有：⑵、⑷、⑻、⑽，其余为假。
1.2.2 答：为真的有：⑴、⑷，其余为假。
1.2.3 解：A=Φ，B={0}，C={…,-4,-2,0,2,4…}，D={2,4}，E={…,-4,-2,0,2,4…}，F={2,4}，G=Φ，H={…,-4,-2,0,2,4…}。
∴C=E=H，D=F，A=G。
1.2.4 答：四个全为真。
证明：⑴例A={a} , B={a,A}⑵例B={A} , C={A , B}⑶例A={Φ}⑷例A={a} , B={a,A} , ∴2B={Φ , {a} , {A} , B} ※1.2.5 解⑴幂集{Φ} ；幂集的幂集{Φ,{Φ}}⑵幂集{Φ,{Φ},{a},{Φ,a}}；幂集的幂集零元素子集{Φ,单元素子集{Φ} , {{Φ}} , {{a}} , {{Φ,a}},双元素子集{Φ,{Φ}} , {Φ,{a}} , {Φ,{Φ,a}} , {{Φ},{a}} , {{Φ},{Φ,a}} , {{a},{Φ,a}} ,三元素子集{Φ,{Φ},{a}} , {Φ,{Φ},{Φ,a}} , {Φ,{a},{Φ,a}} , {{Φ},{a},{Φ,a}}}，四元素子集{Φ,{Φ},{a},{Φ,a}} 。
集合论与图论基础题
集合论与图论基础题在数学中，集合论和图论是两个重要的分支。
集合论研究元素的归类和组织，而图论研究元素之间的关系和连接。
本文将通过一些基础题目来介绍集合论和图论的基本概念和应用。
1. 集合论1.1. 基本概念在集合论中，我们首先需要了解集合的概念及其相关术语。
一个集合是由一些确定的元素组成的整体。
通常用大写字母表示集合，而集合中的元素用小写字母表示。
例如，集合A={1, 2, 3}表示一个包含元素1、2和3的集合。
1.2. 集合的运算在集合论中，还有一些常见的集合运算：并集、交集和补集。
- 并集（Union）：将两个或多个集合中的元素合并成一个集合。
记作A∪B，表示包含了属于集合A或集合B的所有元素。
- 交集（Intersection）：将两个或多个集合中共有的元素取出来，形成一个新的集合。
记作A∩B，表示包含了同时属于集合A和集合B的所有元素。
- 补集（Complement）：给定一个全集U和一个集合A，A对于U 的补集是指在U中但不在集合A中的元素组成的集合。
记作A'或者A^c，表示不属于A的所有元素。
1.3. 集合的关系在集合论中，还可以通过比较集合的元素来描述集合之间的关系。
- 包含关系：如果集合A中的所有元素都属于集合B，我们称集合A是集合B的子集，记作A⊆B。
- 相等关系：如果两个集合A和B具有相同的元素，互相包含对方的所有元素，我们称它们相等，记作A=B。
- 真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合A和集合B不相等，我们称集合A是集合B的真子集，记作A⊂B。
2. 图论2.1. 基本概念图是由一些顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
图论研究顶点和边之间的关系及其相关性质。
2.2. 有向图与无向图图可以分为有向图和无向图两种类型。
- 有向图：图中的边有方向，连接顶点A和顶点B的边从A指向B，记作(A, B)。
- 无向图：图中的边没有方向，连接顶点A和顶点B的边可以从A到B，也可以从B到A，不加箭头表示。
集合论与图论课堂练习2
《集合论与图论》课堂练习2（2007年4月18日 13:30-15:10 复旦大学计算机科学与工程系06级）学号 姓名 成绩一、填空题（20分，每格5分，注意：请在空格内填入计算结果，填写组合表达式不得分。
）1．设方程为12314x x x ++=，则所有变量均不超过8的正整数解的组数总有 。
2．将a,b,c,d,e,f,g 排成一行，使得beg 和cad 都不出现，则排列总数有 。
3．确定多重集{3,4,2}S a b c =⋅⋅⋅的排列数，使得在这些排列中同类字母的全体不能相邻。
排列总数： 。
4．十进制中，没有重复数字的4位数个数为 。
二、计算题（共3小题，每题10分，总共30分）1．设函数:,,f AB A n B m ==。
确定从A 到B 的满射函数个数。
2．求1000！的末尾的零的个数。
3．John去参加一展览会，展览会的门票为50元。
在售票处，John发现了一个奇怪的现象：在排队购票的2n个人中，总有n个人拿的是面值为100元的钞票，而另外的n个人拿的是面值为50元的钞票。
假设售票处原来没有零钱。
那么共有多少种排队方式，使得售票处不至出现找不开钱的局面。
三、证明题（共5题，每题10分，总共50分）1．一运动员是25天内的冠军，该选手每天至少比赛一场，但是总共比赛次数不超过41场。
证明：存在着连续的若干天使得该选手恰好进行了8场比赛。
2．在边长为1的正三角形内任意放入21n +个点，证明：一定存在两点，其距离不超过1/n ，其中n ∈。
3．证明：11(,)2n n k kC n k n -==∑。
4．证明：(,)(1,)(1,1)C m n m C m n m C m n m +=+-++--。
5．证明：(,0)(,)(,1)(1,1)(,)(,0)2(,)n C m C m n C m C m n C m n C m n C m n +--++-=。
电大 离散数学 形成性考核册 作业(三)答案
离散数学形成性考核作业〔三〕集合论与图论综合练习本课程形成性考核作业共4次，内容由中心电大确定、统一布置。
本次形考作业是第三次作业，大伙儿要认真及时地完成图论局部的形考作业，字迹工整，抄写题目，解答题有解答过程。
一、单项选择题1．假设集合A ＝{2，a ，{a }，4}，那么以下表述正确的选项是(B)． A ．{a ，{a }}∈A B ．{a }⊆A C ．{2}∈A D ．∅∈A2．设B ={{2},3,4,2}，那么以下命题中错误的选项是〔B 〕．A ．{2}∈B B ．{2,{2},3,4}⊂BC ．{2}⊂BD ．{2,{2}}⊂B3．假设集合A ={a ，b ，{1，2}}，B ={1，2}，那么〔B 〕． A ．B ⊂A ，且B ∈A B ．B ∈A ，但B ⊄A C ．B ⊂A ，但B ∉A D ．B ⊄A ，且B ∉A4．设集合A ={1,a }，那么P (A )=(C)． A ．{{1},{a }}B ．{∅,{1},{a }}C ．{∅,{1},{a },{1,a }}D ．{{1},{a },{1,a }}5．设集合A ={1，2，3，4，5，6}上的二元关系R ={<a ,b >⎢a ,b ∈A ,且a +b =8}，那么R 具有的性质为〔B 〕． A ．自反的B ．对称的C ．对称和传递的D ．反自反和传递的6．设集合A ={1，2，3，4，5}，B ={1，2，3}，R 从A 到B 的二元关系，R ={<a ,b >⎢a ∈A ，b ∈B 且1=-b a } 那么R 具有的性质为〔〕．A ．自反的B ．对称的C ．传递的D ．反自反的[注重]：此题有误！自反性、反自反性、对称性、反对称性以及传递性指 某一个集合上的二元关系的性质。
7．设集合A ={1,2,3,4}上的二元关系R ={<1,1>，<2,2>，<2,3>，<4,4>}，S ={<1,1>，<2,2>，<2,3>，<3,2>，<4,4>}， 那么S 是R 的〔C 〕闭包．A ．自反B ．传递C ．对称D ．以上都不对8．非空集合A 上的二元关系R ，满足(A)，那么称R 是等价关系． A ．自反性，对称性和传递性B ．反自反性，对称性和传递性 C ．反自反性，反对称性和传递性 D ．自反性，反对称性和传递性9．设集合A ={a ,b }，那么A 上的二元关系R={<a ,a >，<b ,b >}是A 上的(C)关系．A ．是等价关系但不是偏序关系B ．是偏序关系但不是等价关系C ．既是等价关系又是偏序关系D ．不是等价关系也不是偏序关系10．设集合A ={1,2,3,4,5}上的偏序关系的哈斯图如右图所示,假设A 的子集B ={3,4,5}， 那么元素3为B 的〔C 〕．A ．下界B ．最大下界C ．最小上界D ．以上答案都不对11．设函数f ：R →R ，f (a )=2a +1；g ：R →R ，g (a )=a 2．那么〔C 〕有反函数． A ．g •f B ．f •g C ．f D ．g12．设图G 的邻接矩阵为 那么G 的边数为(D)． A ．5B ．6C ．3D ．413．以下数组中，能构成无向图的度数列的数组是(C)． A ．(1,1,2,3)B ．(1,2,3,4,5)C ．(2,2,2,2)D ．(1,3,3) 14．设图G ＝<V ,E >，那么以下结论成立的是(C)． A ．deg(V )=2∣E ∣B ．deg(V )=∣E ∣C ．E v Vv 2)deg(=∑∈D ．E v Vv =∑∈)deg(解；C 为握手定理。
《集合论与图论》课堂练习2-FudanUniversity
《集合论与图论》课堂练习2（2006年4月12日 13:30-15:10 复旦大学计算机系05级）学号姓名注意：有关计数的答案可用P(n,k),C(n,r),n k,k!,及数字等表示一、填空题（55分）1．s（s≥1）个元素分成t个组，那么必存在一个组至少含有⎡s/t⎤个元素。
/*鸽笼原理/定理10.2*/2．20000到70000间的偶数中由不同数字组成的5位数的个数共有3⨯4⨯P(8, 3)+2⨯5⨯P(8, 3)=4032+3360=7392。
/*设所求的数为abcde这5位数，其中2≤a≤6，e∈{0，2，4，6，8}；若a∈{2，4，6}，e有4种选择，bcd有P(8, 3)种选择，根据乘法法则，则有3⨯4⨯P(8, 3)种可能；若a∈{3，5}，e有5种选择，bcd有P(8, 3)种选择，根据乘法法则，则有2⨯5⨯P(8, 3)种可能；根据加法法则，共有3⨯4⨯P(8, 3)+2⨯5⨯P(8, 3)=4032+3360=7392种可能。
*/3．5对夫妻出席一宴会，围一圆桌坐下。
有10!/10或9! 种不同的方案。
若要求夫妻相邻，有25⨯4!(=768) 种不同的方案。
/*环排列；夫妻相邻，5个元素的环排列：5!/5=4!；一对夫妻可以交换位置：25；根据乘法法则，有25⨯4!(=768)种不同的方案。
*/4．从1到300间任取3个不同的数，使得这3个数的和正好被3除尽，有3⨯C (100, 3)+1003(=1485100)种方案。
5．(x+y+z)10有_C(10+3-1, 10)__项。
6．(2x+y+z)8的展开式中的x3yz4系数是23⨯8!/(3!1!4!) 。
/*根据二项式定理，C(n, k)a n-k b k, 23⨯C(8, 3)⨯C(5, 1)= 23⨯8!/(3!1!4!)*/7．排列字母ILLINOIS可以得到8!/(3!2!) 个不同的字符串；如果要求某个I排在某个L之前，可以得到8!/(3!2!)-8⨯7⨯6 个不同的字符串。
集合论与图论答案 第三章习题
证：因为 R 是传递的，故 (R ) R 。
（3） (R S) R S
证：因为 R S R 且 R S S ，故 (R S) R ，且 (R S) S ，从而
(R S) R S 例 3 如图 5 所示给出下图中每个关系的自反、对称和传递闭包。
3
·
·
（a）
（1）自反闭包
（b） 图5
（c）
R {(a,b) | a b } 等价于 aRb a b (a,b) R a b 。 解：(1)自反性。 因为 2A ，但 ，所以 (,) R ，故 R 不是自反的。
2
（2）反自反性。 因为{1} 2A ，{1} {1} {1} ，故 ({1},{1}) R ，故 R 不是反自反的。 （3）对称性。 x, y 2A ，若 (x, y) R ，则 x y ，所以 y x ，故 ( y, x) R ，从而 R 是对称的。 （4）反对称性。 令 x {1, 2} ， y {1,3} ，则 x y y x {1} ，故 (x, y) R 且 ( y, x) R ，
解：设 N {1, 2,3, }，在 N 上定义小于关系“ ”，则 s(t()) s() “不等关系≠”；
4
而 t(s()) t() “全关系”。
因此的确不相等。
例 7（ P988 ）是否存在 X （ X n ）上的一个二元关系 R，使得 R, R2, , Rn 两两 不相等。
解：存在。令 X {1, 2,3, , n} ， R {(1, 2),(2,3), ,(n 1, n)}即可。
但 x y ，所以 (x, y) ( y, x) ，从而 R 不是反对称的。 （5）传递性。 令 x {1} ， y {1, 2} ， z {2} ， 则 有 x y {1} 且 y z {2} ， 故
集合论-第三四章习题
例7 是否存在一个偏序关系≤，使得(X,≤)中有唯一 的极大元素，但没有最大元素？若有请给出一个具体 例子；若没有，请证明之。 例8 设R是X上的偏序关系，证明：
R是X上的全序关系X×X=R∪R-1。
例9设(A,≤)是偏序集,a∈A,f(a)={x|x∈A,x≤a},
证明：f:A→2A是一个单射，且当a≤b时，有
二、性质 定理1 设A,B,C是三个任意的集合，则 (1)若A⊆B，则|A|≤|B| ； (2)若|A|≤|B|，|B|≤|C|，则|A|≤|C| ； 推论：设A是无穷集合，则|N|≤|A|。 前面介绍了要证明两个集合基数相等必须在两个集 合之间建立起一个一一对应，但这往往是比较困难的。 下面介绍证明两个集合基数相等的一个比较简单的方 法，表示成下面的两个定理形式，这两个定理的证明 是冗长和复杂的，故略去。 定理2 (Zermelo)设A,B是两个任意集合，则|A|=|B|, |A|>|B|, |A|<|B|,三者中恰有一个成立。 这种性质称为三歧性，故这个定理称为三歧性定理。
习题课（2）
例1 设R是A上的二元关系，下面的结论是否正确？并 证明你的结论. （1）R是自反的，则R· R也是自反的 （2）R是对称的，则R· R也是对称的。 （3）R是反自反和传递的，则R是反对称的。 （正确\正确\正确） 例2 设R是集合A上的反对称关系，则t(R)一定是反对 称的吗？ 例3 是否可以定义二元关系的反自反闭包与二元关系 的反对称闭包？为什么？ 例4 是否存在X(|X|=n)上的一个二元关系R，使得 R1,R2,…,Rn两两不相等。 例5 证明：如果R是对称的，则R＋也是对称的。
例3 设集合A={a,b,c,d,e}上关系R定义如下： R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e), (c,c),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}。 1.写出R的关系矩阵； 2.验证(A,R)是偏序集; 3.画出Hasse图; 4.若A上的关系如下： R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,e), (c,c), (c,d),(c,e),(d,d),(d,e),(e,e)}，则有如何？ 例4 证明：每个由n2+1个实数组成的数列中必有一个 长至少为n+1的不减子序列，或有一个长至少为n+1 的不增子序列。
《集合与图论》习题
第一章习题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
假设u与v间有两条不同的通道(迹)，那么G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：假设δ(G)≥ 2，那么G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，那么G中有回路；(b)假设q≥p+4，那么G包含两个边不重的回路。
14．证明：假设图G不是连通图，那么G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，假设p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，假设p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的外表上有无哈密顿回路？23．设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
哈工大集合与图论习题
集合与图论习题第一章习题1．画出具有4个顶点的所有无向图(同构的只算一个)。
2．画出具有3个顶点的所有有向图(同构的只算一个)。
3．画出具有4个、6个、8个顶点的三次图。
4．某次宴会上，许多人互相握手。
证明：握过奇数次手的人数为偶数(注意，0是偶数)。
5．证明：哥尼斯堡七桥问题无解。
6．设u与v是图G的两个不同顶点。
若u与v间有两条不同的通道(迹)，则G中是否有回路？7．证明：一个连通的(p，q)图中q ≥p-1。
8．设G是一个(p，q)图，δ(G)≥[p/2]，试证G是连通的。
9．证明：在一个连通图中，两条最长的路有一个公共的顶点。
10．在一个有n个人的宴会上，每个人至少有m个朋友(2≤m≤n)。
试证：有不少于m+1个人，使得他们按某种方法坐在一张圆桌旁，每人的左、右均是他的朋友。
11．一个图G是连通的，当且仅当将V划分成两个非空子集V1和V2时，G总有一条联结V1的一个顶点与V2的一个顶点的边。
12．设G是图。
证明：若δ(G)≥ 2，则G包含长至少是δ(G)+1的回路。
13．设G是一个(p，q)图，证明：(a)q≥p，则G中有回路；(b)若q≥p+4，则G包含两个边不重的回路。
14．证明：若图G不是连通图，则G c 是连通图。
15．设G是个(p，q)图，试证：(a)δ(G)·δ(G C)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1)，若p≡0，1，2(mod 4)(b) δ(G)·δ(G C)≤[(p-3)/2]·[(p+1)/2]，若p≡3(mod 4)16．证明：每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17．构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图，其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥919．试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20．试证：图四中的图不是哈密顿图。
21．完全偶图Km，n为哈密顿图的充分必要条件是什么？22．菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？23．设G 是一个p(p ≥3)个顶点的图。
3集合论基础习题
第三章 集合论
到此结束
(4) .证明 (A∩B)∪C = A∩(B∪C) iff CA. 证明；充分性 已知CA (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C) = A∩(B∪C) (∵ CA ∴ A∪C=A) 必要性 已知(A∩B)∪C = A∩(B∪C) 任取 x∈C x∈(A∩B)∪C x∈A∩(B∪C) x∈A 所以 CA.
(5)b)证明 (A-B)-C=(A-C)-B 方法1.任取 x∈(A-B)-C x∈(A-B)∧xC (x∈A∧xB)∧xC (x∈A∧xC)∧xB x∈(A-C)∧xB x∈(A-C)-B 所以(A-B)-C = (A-C)-B 方法2 (A-B)-C = (A∩~B)∩~C = (A∩~C)∩ ~B = (A-C)-B
P100 (4) b) 一个班有50人，第一次考试得A的人数等于第二次考试得 A的人数，仅仅在一次考试中得A的学生总数是40，有4个 学生两次考试都没有得到A，问有多少学生仅在第一次考 试中取得A？问有多少学生仅在第二次考试中取得A？问 有多少学生两次考试中都取得A？ 解.设A1、 A2 分别表示在第一次和第二次得A的人的集合。 根据题意得: |E| = 50, |A1| = |A2|, (|A1| - |A1∩A2|) + (|A2| - |A1∩A2|) = 40 , 即 |A1| + |A2| - |A1∩A2| - |A1∩A2 | = 40 , ∴ 2|A1| - 2|A1∩A2| = 40 , …..(1) ∴ |A1| - |A1∩A2| = |A2| - |A1∩A2| = 20 , (仅一次得A) 又 |E| - |A1∪ A2| = 4, ∴ |A1∪ A2| = 50 - 4 = 46 即 |A1| + |A2| - |A1∩A2| = 2|A1| - |A1∩A2| = 46, …..(2) (2) - (1)得： |A1∩A2| = 6。 (两次得A为 6人)
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《集合论与图论》课堂练习3
学号姓名
一、判断下列命题是否正确，并说明理由。
（括号内写“是”或“否”）（40分，每题8分，是非判断4分，证明或反例4分）
1 存在7个结点的自补图。
（否）
/*西安交通大学1999*/
自补图对应的完全图的边数必须是偶数，而7个结点的完全图的边数为21。
n≥的连通图。
则G没有割点当且仅当G的剖分也没有割点。
2 设G是顶点数3
（真）
如果G的剖分有割点，则G有割点，矛盾；所以G没有割点，则G的剖分也没有割点。
如果G有割点，则该割点为G的剖分的割点，所以G的剖分有割点，矛盾；所以G的剖分也没有割点则G没有割点。
3 若G是简单连通图，边数为e，结点数为n。
若e≥n，则G至少有3棵生成树。
（是）
/*复旦大学1998*/
/*只需证明e=n时，命题成立*/
若e=n-1，因为G是连通的，所以为一棵树；再添加一边时，因为G是简单图，所以图中必存在一个长度大于等于3的回路，则在这个回路上任意删除一条边就得到一棵树。
4 一个有向图D中仅有一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1，则D是有根树。
（否）
一个自环和孤立点
/*北京大学1991*/
5 设C是简单连通图G的回路，若删去C中任一边后所得到的路C’为G中的最长路，则C是图G的哈密顿回路。
（是）
/*复旦大学1999*/
/*反证法证明*/
令C的长度为m。
若C不是哈密顿回路，则圈外必存在一点u，它与圈上一点v邻接（因为G是连通图）。
圈上与v关联的一边为e，则C-e的长度为m-1；而C-e+uv的长度为m；得C-e不是最长路。
矛盾。
二、综合题（60分）
1．证明：任何平面图是5-可着色的。
证明：p125-126
2．如果有一群人，其中有k个人彼此认识或者有l个人彼此不认识。
我们用r(k, l)表示这群人至少是有几个人的人数，称为Ramsey数。
证明：r(3, 3)=6。
证明：6个点v1, v2, v3, v4, v5, v6表示6个人，两人认识时，在对应的两点连一条绿边，否则连一条红边。
根据鸽笼原理，与v1相连的5条边中，必有3条同色。
不访设v1 v2，v1 v3和v1 v4是3条绿边。
如果三角形v2, v3, v4上有一条绿边，则此绿边与v1构成一个绿色三角形，于是有3人彼此认识，否则v2, v3, v4构成红色三角形，有3人彼此不认识。
则r(3, 3) 6。
5个点构成的完全图中，可以既无绿色三角形也无红色三角形，则r(3, 3)>5。
则r(3, 3)=6。
3．如果为一个无向图的每一条边确定一个方向，使得所得到的有向图是强连通的，称该无向图是可定向的。
证明：欧拉图和哈密顿图都是可定向。
解：构造性证明，沿欧拉/哈密顿回路。
4．设G为非平凡有向图，V为G的结点集合，若对V的任一非空子集S，G中起始结点在S 中，终止结点在V-S中的有向边至少有k条，则称G是k边连通的。
证明：非平凡有向图是强连通的充要条件为它是一边连通的。
证明：
/*中国科学院计算所1999考研*/
/*必要性证明*/
因为设G为强连通的，假设从S到V-S没有有向边，则S中的任一顶点u到V-S中的任一顶点v均没有有向道路，从而与G为强连通的相矛盾。
所以从S到V-S至少有一条有向边，即G为一边连通的。
/*充分性证明*/
设G为一边连通的，对任意的u, v V, 则{u}到V(G-u)至少有一条边，设为(u, u1)，而{u, u1}到V-{u, u1}至少有一条有向边(u, u2)或(u1, u2)。
无论哪种情况都有从u到u2的有向道路，因为G中结点数有限，所以通过如上递归地求解，一定有从u到v的有向道路。
所以G为强连通的。
5．证明：任何一个竞赛图是半哈密顿图。
证明：
归纳基础：若竞赛图的顶点数小于4，显然有一条哈密顿有向图。
归纳步骤：假设n个顶点的任一竞赛图是半哈密顿有向图。
设G是n+1个顶点的竞赛图，从G中删去顶点v及其关联边，得到有向图G’，由归纳假设，G’有哈密顿有向路(v1,v2,…, v n)，G有3种情况：
（1）在G中有一条弧(v,v1)，则有哈密顿有向路(v,v1,v2,…,v n)；
（2）在G中没有弧(v,v1)，则必有弧(v1,v)。
若存在v i，v i是v1之后第一个碰到并且有弧(v, v i)的顶点，则显然得到一条哈密顿有向路(v1,v2,…,v i-1,v,v i,…v n)；
（3）在G中没有弧(v,v i)，而对所有v i，均有弧(v i,v)，i=1,2,…,n，则得一条哈密顿有向路(v1,v2,…,v n,v)。
6 在2005年9月复旦大学百年校庆的庆典日，有4对毕业于复旦大学计算机系的新婚夫妇在袁成瑛计算机楼“仰止”石前的草坪上举行集体婚礼，婚礼由从加拿大远道赶来的复旦大学计算机系82级校友顾若平学长主持。
在婚礼结束时，这4对夫妇互相握手，彼此祝愿对方新组成的家庭，因此，不会有自己和自己握手，也不会有夫妻间的握手，并且没有两个人握手超过一次。
握手之后，新郎计算机系99级的陈宇阳校友问其他3对夫妇和他的新婚妻子：他或她握了多少次手？陈宇阳校友得到的答案都不相同。
陈宇阳校友想到在复旦求学时，计算机系的老教师多次向他们提及顾若平学长，说他是“复旦第一聪明人”。
于是一贯争强好胜的陈宇阳校友就挑战前辈，他将握手的情况告诉顾学长，然后问顾学长：“前辈，我握了几次手？”而顾若平学长则不假思索地就给出了正确答案。
本题的问题是：顾若平学长给出的正确答案是什么？并请证明。
3
7如果在一个地图上任何两个地区都相邻，问在该地图上最多有几个地区？
4。