振动和波

I I 0e
x
此式称为比尔-朗伯定律
根据波的强度与其振幅平方成正比关系，x轴上坐标为x 处质元的振幅A与坐标原点处质元的振幅 A0 为满足
A I e x I0 A0 即 A A0 e
1 x 2 2
所以，实际上平面简谐波在介质中的波动方程应为
y A0 e
角频率(angular frequency)
2
1 固有频率 2 2
固有周期 T 2
1
k m
m k
3、相位和初相位
t 为简谐振动在某一时刻t的相位
为振动初时刻的相位(-π , π),(反映计时的初始位置)
t 为振动在0-t时间内的相位增量
角频率的物理意义： 单位时间内振动的相位增量
1 x 2
x cos t u
3-19为了保持波源的振动不变，需要消耗4W的功率。
如果波源发出的是球面波，求距波源0.5m和1m处的波
的强度（设介质不吸收波的能量）。
惠更斯(Christiaan Huygens 1629～1695)荷兰物理学家、天文学家、数学 家。1629年4月14日出生于海牙。父亲是大臣和诗人，与R.笛卡儿等学 界名流交往甚密。惠更斯自幼聪慧，13岁时曾自制一台车床，表现出很 强的动手能力。1645年16岁时进入莱顿大学学习法律与数学，1647～ 1649年转入布雷达学院深造。在阿基米德等人著作及笛卡儿等人直接影 响下，致力于力学、光学、天文学及数学的研究。他善于把科学和理论 研究结合起来，透彻地解决问题，因此在摆钟的发明、天文仪器的设计、 弹性体碰和光的波动理论等方面都有突出成就。1651年惠更斯发表了平 生第一篇科学论文，论述各种曲线所围面积的求值。1663年当选为英国 伦敦皇家学会的第一位外国会员。1666年当选为荷兰科学院院士。同年， 应法国皇帝路易十四的邀请，到巴黎从事学术活动，被选为新成立不久 的巴黎科学院院士。1672年他结识了正在巴黎访问的年轻学者莱布尼兹 （1646—1716）。惠更斯很赏识莱布尼兹的才能，热忱指导他研究数学 名著，并于1674年向荷兰科学院推荐了他的关于微积分的第一篇论文。 1681年由于健康上的原因，惠更斯离开法国，返回荷兰。1687年惠更斯 赴英访问，结识了大物理学家牛顿。惠更斯衣冠楚楚，举止文雅，颇具 学者风度。他喜欢音乐和诗歌，终身未娶。晚年长期患病，于1695年7 月8日在海牙逝世，享年66岁。
度为零，振动的周期为2s，求简谐振动的位移及速度
表示式。
例：如图所示，某质点的振动图形，已知 1000Hz 。
求该振动的初相位、a、b、c时刻的相位？到达a、b、
c时刻需花多少时间？
四、SHM的能量
在任意时刻，振动系统的动能为
1 2 1 Ek mv m 2 A2 sin 2 (t ) 2 2
1、SHM的动力学描述
F kx
F 称为线性回复力 定义：物体在线性回复力的作 用下所作的振动称为简谐振动
例：如图一根不可伸长的细绳上端固定，下端挂一 小球做摆动。试证明，当偏角 很小时，单摆的小 球的运动为简谐运动。
l
Pt Q
O
s 大小：F mg sin mg mg l s mg 方向：F mg s l l
2
x A cos(t )
解此方程得位移表达式：
x A cos(t )
速度表达式：
dx v A sin(t ) dt
加速度表达式：
d 2x a 2 2 A cos(t ) 2 x dt
二、SHM的特征量 1、 振幅A (amplitude) 2 、周期T(period) 频率(frequency)
波动方程：
x y A cos t u
因为
2 2 T t x 所以 y A cos 2 T 或 x y A cos 2 t
A0 r cos t 则 y r u
A0为离球心的距离为单位长度时的振幅
2．平面简谐波在各向同性介质中传播规律：
dI dx I
μ为介质的吸收系数，它与波的频率和介质的性质有关。 将上式积分，并将 x 0时I I0 代入得
3-6
一个作简谐振动的质点在t = 0时位移为5cm，速
度为零，振动的周期为2s，求简谐振动的位移及速度
表示式。
三、SHM的矢量图解法
x A cos(t )
当 位 移 是 最 大 位 移一
半 时 ， 判 断 是 上 下哪
个点？
3-6
一个作简谐振动的质点在t = 0时位移为5cm，速
因而强度降低 。
②吸收衰减：由于弹性介质存在内摩擦等原因，波 的能量随传播距离的增加而逐渐转化为其他形式的能
量。
1．球面简谐波在各向同性介质中传播的规律
I1 4 r 2 I 2 4 r22 1 得 I1 r22 2 I2 r 1
此公式为反平方定律 因为
A1 r2 A2 r1
例题3-3 已知简谐波的周期T=0.5s，波长λ=1m，振幅
A=0.1m，并且初相位为0。试写出波动方程。
x y 0.1cos 4 t 2
练习：有一平面简谐波沿Ox轴正方向传播,已知振幅 A=1来自百度文库0m, 周期T=2.0s, 波长=2.0m. 在t=0时, 坐标原点 处质点位于平衡位置，且沿oy 轴的正方向运动. 求： 1) 波函数; 2) t=1.0s时各质点的位移分布, 并画出 该时刻的波形图; 3) x=0.5m处质点的振动规律, 并画 出该质点位移与时间的关系曲线.
二、能流和能流密度
能流 平均能流 通过面积S的平均能流为
P wuS
平均能流密度：单位时间内通过垂直于波的传播方向的 单位面积上的平均能量，又称波的强度I。即
P 1 2 2 I wu A u S 2
单位: W.m-2
三、波的衰减
①扩散衰减：由于波的散射、反射、发散等原因， 虽然波整体的能量不减少，但能量的分布面积增加，
第三章
振动和波
1.熟练掌握描述简谐运动的数学方法和旋转矢量模型；
熟练掌握平面简谐波波动方程的求解方法；掌握波的相
干条件。
2.理解振动的合成和分解，理解几种典型的简谐运动合
成规律；理解惠更斯原理及波的叠加原理，波的干涉和 驻波形成规律，理解波的能量传播特征、能流、能流密 度的概念。
第一节 简谐振动（simple harmonic motion） 一、SHM的方程
2、 2 1 / 2, 若 即两分振动的相位差为π /2 得：
x2 y2 2 1 2 A1 A2
3-14 已知两个同方向简谐振动如下： 1 2 x2 6 cos(10t π ), x1 5cos(10t π ), 3 3 式中x以m计，t以s计，求它们合成振动的振幅、初相位
讨论：
x y A cos t u
1．当x一定时 y f (t ) A cos(t ' ) 2．当t一定时 y f (x) 3．当t和x都变化时，波动方程表示在任意时刻波线上 任意点的位移情况。 所以说波动方程描述了波的传播 。
消去参数t，得到xy平面内的轨迹方程
x 2 y 2 2 xy 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
该方程是椭圆方程。其形状由振幅及相位差决定。
讨论：
1、 2 1 0，即两分振动 若
的初相位相同 得：
A2 y x A1
第五节 波的能量与波的衰减
一、波的能量
振动动能 + 形变势能= 波的能量 设简谐波在密度为ρ的弹性介质中传播，体积元dV在t 时刻各物理量分别为
x y A cos t u
x v A sin t u
1 x 2 2 2 dEk dV A sin t 2 u
弹性势能为
1 x 2 2 2 dE p dEk dV A sin t 2 u
体积元dV的总能量为其动能和势能之和 ：
x dE dV A sin t u
2 2 2
表 明： 总能量随时间作周期性变化; 振动中动能与势能相位差为/2, 波动中动能和势能 同相; 波动是能量传播的一种形式.
2 2
x A(t ) cos t
合振动的振幅作周期性的变化，称为拍（beat）
单位时间内拍出现的次数为拍频
2 T 2 1
1 2 1 2 1 T 2
三、（1）相互垂直的同频率的SHM的合成
x A1 cos(t 1 ) y A2 cos(t 2 )
A A A2 1
（2）
2 1 (2k 1) (k 0, 1,)
A A A2 1
二、两个同方向频率相近的SHM的合成
x1 A cos1t
合位移
x2 A cos 2t
x x1 x2 A(cos1t cos2t ) 2 1 2 1 x 2 A cos t cos t 2 2 2 1 2 1 令： , x 2 A cos t cos t
体积元dV的总能量为：
x dE dV A sin t u
2 2 2
能量密度w ：单位体积介质中的波动能量
x w A sin t u
2 2 2
平均能量密度 ：能量密度在一个周期内的平均值。
1 2 2 w A 2
mg
已知： U 型管的截面直径
为 d, 液体密度为 ρ 。试证
明 U 型管内的液体做的是
简谐振动
2、SHM的运动学描述 由牛顿第二定律，物体的运动方程为
F ma
d 2x kx m 2 dt
d 2x d 2x 2 2 x, x 0 2 2 dt dt
其中
k m
纵波：
3、几个概念： 波面(波振面)：某一时刻振动相位相同的各点所联成的面 平面波：波振面是平面的波动
球面波：波振面是球面的波动
波线：沿波传播方向所作的射线
二、波的基本特征量
1、波长 :振动相位差为2π的相邻两个质点间距离 2、波的周期T(频率) :波前进一个波长距离所需要的
时间
3、波速u : 单位时间波所传过的距离
x A cos(t )
合振动的振幅
A
2 A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
合振动的初相位
A1 sin 1 A2 sin 2 arctan A1 cos1 A2 cos 2
讨论（1）
2 1 2k
(k 0, 1, 2,)
系统的势能为
1 2 1 2 E p kx kA cos 2 (t ) 2 2
系统的总能量为
1 1 2 2 2 2 2 E Ek E p m A sin (t ) kA cos (t ) 2 2 1 1 2 2 2 m A kA 2 2
u

T

三、平面简谐波的波动方程
平面简谐波：
设原点O处的质点在任一时刻t的振动方程为 ：
y A cos(t )
y A cos(t )
P点的振动落后O点 x/u时间 P点在t时刻完成的是O点（t–x/u）时刻的振动 O点在（t–x/u）时刻的振动方程为
x x y A cos t y A cos u u
及振动方程。
3-15 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的
振幅为0.20m，相位与第一振动的相位差为π/6，若第一 振动的振幅为0.173m，求第二振动的振幅以及第一、第 二两振动之间的相位差。
第四节 一、波的产生与描述
波动的基本规律
振动在空间的传播过程叫做波动 常见的波有: 机械波 , 电磁波 , 物质波 机械波：机械振动在弹性介质中的传播过程 1、产生条件: 2、横波： 波源 媒质
3-10 在简谐振动中，设总能量为E，振幅为A，当位移
为振幅的一半时，动能和势能各为多大？要使动能和势 能各占一半，位移为多大？
第三节 SHM的合成与分解
一、两个频率相同沿同一直线的SHM的合成
x1 A1 cos(t 1 ) x2 A2 cos(t 2 )
合位移
x x1 x2