流场的计算(流体力学)

SIMPLE算法
◆SIMPLE算法的流程图 算法的流程图
SIMPLE算法
◆SIMPLE算法的讨论 算法的讨论
①在速度修正方程中，略去邻点速度修正值的影响，这一个做法并 在速度修正方程中，略去邻点速度修正值的影响， 不影响最后收敛的值， 的负担。 不影响最后收敛的值，但加重了修正压力 p 的负担。
' ' ' '
(
)
任一点上速度修正由两部分组成： 任一点上速度修正由两部分组成：一部分是与该速 度在同一方向上的相邻两节点压力修正之差， 度在同一方向上的相邻两节点压力修正之差，这是 产生速度修正的直接动力； 产生速度修正的直接动力；另一部分由相邻点速度 修正所引起， 修正所引起，这又可以视为四周压力修正位置上对 速度修正的间接或隐含影响。
SIMPLE（Semi-Implicit Method for Pressure（ Linked Equations）算法是求解压力耦合方程的半隐 ） ' ∑ anb u nb 式法。在得到速度修正方程式的过程中， 式法。在得到速度修正方程式的过程中，略去了 去掉这一项就称为“半隐” 而保留这一部分时， 项，去掉这一项就称为“半隐”，而保留这一部分时u e' ， 方程就成为一个“全隐”的代数方程。 方程就成为一个“全隐”的代数方程。
SIMPLE算法
◆压力与速度的修正
a e u e = ∑ a nb u nb + S u + p P − p E Ae
' ' ' '
(
)
a n v n = ∑ a nb v nb + S v + p P − p N An
' ' ' '
(
)
a t wt = ∑ a nb wnb + S w + p P − pT At
(
)
de =
Ae ae
dn =
An an
*
dt =
At at
ue = ue + d e p P − p E
'
(
'
)
) )
u = u* + u'
vn = vn + d n p P − p N
* '
(
'
wt = wt + d t p P − pT
* '
(
'
SIMPLE算法
◆压力修正方程
∂ρ ∂ (ρu ) ∂ (ρv ) ∂(ρw) + + + =0 ∂t ∂x ∂y ∂z
(ρ S=
[( ) ( ) ]
0 − ρ P ∆x∆y∆z P + ρu * e − ρu * w ∆y∆z + ∆t * ρv n − ρv * s ∆z∆x + ρw* t − ρw* b ∆x∆y
)
[( ) ( ) ] [( ) ( ) ]
SIMPLE算法
◆SIMPLE算法的基本思路 算法的基本思路
流场的计算
◆交错网格
▼连续方程离散所遇到的困难
u + u E uW + u P du dx = u e − u w = P − =0 ∫w dx 2 2
e
u E − uW = 0
这就意味着离散化的连续方程将包含2个相间节点的速度差， 这就意味着离散化的连续方程将包含 个相间节点的速度差，而 个相间节点的速度差 不是相邻节点的速度差；同样， 不是相邻节点的速度差；同样，锯齿波形的速度场完全不合乎实 际的速度场，却满足离散化的连续性方程， 际的速度场，却满足离散化的连续性方程，对于二维和三维问题 的数值计算，即使满足连续方程，也同样可能存在不合理的解。 的数值计算，即使满足连续方程，也同样可能存在不合理的解。 压力和速度出现的问题主要来源于压力或速度的一阶导数项； 压力和速度出现的问题主要来源于压力或速度的一阶导数项；相 二阶导数则一般不出现此问题。 反，二阶导数则一般不出现此问题。解决这一离散困难的方法是 采用交错网格。交错网格（ 采用交错网格。交错网格（Staggered Grid）又称为移动网格 ） 等人在提出著名的MAC法 ），是 （Displaced Grid），是F.H.Harlow等人在提出著名的 ）， 等人在提出著名的 法 时首先使用的。 时首先使用的。
流场的计算
◆交错网格
交错网格是将标量型变量（如压强、温度、浓度） 交错网格是将标量型变量（如压强、温度、浓度）的网格 标量型变量 矢量型变量—速度的网格系统错开 速度的网格系统错开。 与矢量型变量 速度的网格系统错开。
流场的计算
◆交错网格
标量型变量的控制容积称为主控制容积， 标量型变量的控制容积称为主控制容积，相应的网格节点 称为主节点。 称为主节点。
流体仿真与应用
第十讲
流场的计算
流场的计算
分析前面反映流场运动规律的控制方程， ◆分析前面反映流场运动规律的控制方程，将会发现如下问题
①运动方程中的对流项包含非线性量 ②每个速度分量既出现在运动方程中，又出现在连续方程中， 每个速度分量既出现在运动方程中，又出现在连续方程中，
方程错综复杂地耦合在一起。更为复杂的是压力项的处理， 方程错综复杂地耦合在一起。更为复杂的是压力项的处理， 它现在运动方程中，但却没有可用以直接求解压力的方程。 它现在运动方程中，但却没有可用以直接求解压力的方程。
0 − ρ P ∆x∆y∆z P + [(ρu )e − (ρu )w ]∆y∆z + ∆t [(ρv )n − (ρv )s ]∆z∆x + [(ρw)t − (ρw)b ]∆x∆y = 0
(ρ
)
SIMPLE算法
◆压力修正方程
a P p P = a E p E + aW pW + a S p S + a N p N + a B p B + aT pT + S
'
但把引起速度修正的原因完全归于其相邻点的压力的修正值， 但把引起速度修正的原因完全归于其相邻点的压力的修正值，势必 夸大了压力修正。 夸大了压力修正。
p = p* + α p p '
'
α p = 0. 8
' '
在速度修正式中略去了 ∑ anbunb 项，所求得的速度修正 u ， v ，w ' 并不满足运动方程，这有可能导致迭代过程的发散， 并不满足运动方程，这有可能导致迭代过程的发散，速度也应加以 亚松驰。 亚松驰。
SIMPLE算法
◆压力与速度的修正(略去 压力与速度的修正 略去
ae u e = p P − p E Ae
' ' '
∑ anbunb
'
'
）
' '
(
)
u e = d e p P − p E Ae
(
)
v n = d n p P − p N An
' ' '
(
)
wt = d t p P − pT At
' ' '
对于第一个问题，解决的办法是迭代法。 对于第一个问题，解决的办法是迭代法。迭代法是处理非线性 问题经常采用的方法，它是从一个估计的速度场开始， 问题经常采用的方法，它是从一个估计的速度场开始，通过迭 代逐步逼近速度的收敛值。对于第二个问题，如果压力已知， 代逐步逼近速度的收敛值。对于第二个问题，如果压力已知， 求解速度不会特别困难，只需用第5章介绍的方法 章介绍的方法， 求解速度不会特别困难，只需用第 章介绍的方法，导出运动 方程所对应的速度分量的离散方程，求解速度。 方程所对应的速度分量的离散方程，求解速度。 压力也是待求的未知量，在求解速度场之前，压力场是未知的 压力也是待求的未知量，在求解速度场之前，
●原始变量法是直接以原始变量u，v，w，p作为因变量进 行流场求解，该类方法也称基本变量法。 行流场求解，该类方法也称基本变量法。 目前，广泛使用的是这类方法中的 算法， 目前，广泛使用的是这类方法中的SIMPLE算法，以及在 算法 SIMPLE算法基础上改进的 算法基础上改进的SIMPLER算法、SIMPLEC算法 算法、 算法基础上改进的 算法 算法 算法等。 和PIOS算法等。 算法等
流场的计算
◆交错网格
▼运动方程中压力梯度离散所遇到的困难
p − pW p + p E pW + p P dp − = E dx = p e − p w = P ∫w dx 2 2 2
e
运动方程对这样一个波形压力场的“感受” 运动方程对这样一个波形压力场的“感受”竟然与均匀的压 力场的“感受”一样，因为相间压力值处处相等，显然， 力场的“感受”一样，因为相间压力值处处相等，显然，这 是不能接受的结果。 是不能接受的结果。
一般情况下，在流动的边界上或压力已知，或法向速度已知。 一般情况下，在流动的边界上或压力已知，或法向速度已知。当压
p 力已知时， 力已知时，有： * = p已知 ，p ' = 0 。
' 当速度已知时， 当速度已知时，有u e = u e,已知 ：u e' = 0 ，则不必引入 p E ，或者说在压
力修正 p 方程中， 方程中，
α = 0.5
SIMPLE算法
◆SIMPLE算法的讨论 算法的讨论 ②SIMPLE算法适用于 ρ 变化不大的情况。在推导压力 算法适用于 变化不大的情况。 修正 p 方程的过程中，认为密度 ρ 是已知的，并且没 方程的过程中， 是已知的， 有考虑压力对密度的影响 。
'
SIMPLE算法
◆SIMPLE算法压力修正方程的边界条件 算法压力修正方程的边界条件
流场的计算
◆运动方程的离散
●对u，v，w方向上的运动方程积分所用的控制容积不是
主控制容积， 主控制容积，而是各自的控制容积 。
流场的计算
◆运动方程的离散
●运动方程中的压力梯度项从源项中分离出来。 运动方程中的压力梯度项从源项中分离出来。
∫
n
s
n E ∂p − dxdy = − ∫s p P dy = ( p P − p E )∆y ∫P ∂x E
流场的计算
◆解决因压力所带来的流场求解难题的方法
▼非原始变量法和原始变量法。 非原始变量法和原始变量法。 ●非原始变量法是从控制方程中消去压力的方法。 非原始变量法是从控制方程中消去压力的方法。 非原始变量法存在明显的问题，如有些壁面上的边界条件很 非原始变量法存在明显的问题， 难给定，计算量及存储空间很大，因而，其应用不普遍。 难给定，计算量及存储空间很大，因而，其应用不普遍。
* * * *
a n v n = ∑ a nb v nb + S v
* *
( + (p
(
* P
− pN
*
) )A
)
n
at wt = ∑ a nb wnb + S w + p P − pT At
* * * *
p = p* + p '
u = u* + u'
v = v* + v '
w = w* + w '
( )
ae u e = ∑ a nb u nb + S u + ( p P − p E )Ae
a n v n = ∑ a nb vnb + S v + ( p P − p N )An
Hale Waihona Puke at wt = ∑ a nb wnb + S w + ( p P − pT )At
SIMPLE算法
◆压力与速度的修正
对于离散的运动的方程，只有压力场已知， 对于离散的运动的方程，只有压力场已知，或是按照某种 方法估计出来才能求解。除非采用正确的压力场；否则， 方法估计出来才能求解。除非采用正确的压力场；否则， 所得的速度场将不会满足连续性方程。 所得的速度场将不会满足连续性方程。
a e u e = ∑ a nb u nb + S u + p P − p E Ae
' ' ' ' ' ' '
a E = ρ e d e ∆y∆z
aW = ρ w d w ∆y∆z
a N = ρ n d n ∆z∆x
a S = ρ s d s ∆z∆x
a B = ρ b d b ∆x∆y
aT = ρ t d t ∆x∆y
a P = a E + aW + a S + a N + a B + aT
流场的计算
◆交错网格
∂p p E − p P = ∂x δx PE
由于交错网格，也避免了连续性方程所遇到的困难。另外， 由于交错网格，也避免了连续性方程所遇到的困难。另外， 在主控制容积中， 在主控制容积中，速度节点的位置正好是在标量输运计算时 所需要的位置。因此， 所需要的位置。因此，不需要任何插值就可得到主控制容积 界面上的速度。 界面上的速度。 在计算过程中，所有存储于主节点的物性值在求解u，v，w 在计算过程中， 方程时，必须通过插值才能得到所需位置上的值 。 方程时， 其次， ， 及其它变量的网格系统不同， 其次，由于u，v，w，p及其它变量的网格系统不同，在求 解离散方程时，往往需要一些相应的插值。 解离散方程时，往往需要一些相应的插值。 由于三套网格系统，节点编号必须仔细处理方可协调一致。 由于三套网格系统，节点编号必须仔细处理方可协调一致。