第4课时：分式的通分
3[1].4分式的通分教案
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课题：3.4分式的通分教学目标1．进一步理解分式的基本性质以及分式的变号法则。
2．使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤教学重点让学生知道通分的依据和作用，学会分式通分的方法。
教学难点几个分式最简公分母的确定。
教学过程（一）复习与情境导入1．分式324x x +-中，当x 时分式有意义，当x 时分式没有意义，当x 时分式的值为0。
2．分式的基本性质。
(二)实践与探索1、分式的的变号法则例1 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号：（1）a b 65--； （2）y x 3-； （3）nm -2. 例2 不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：（1）21x x -； （2）322+--x x . 注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。
（2）当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号。
例3若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则分式232yx 的值如何变化？若x 、y 的值均变为原来的一半呢？2、分式的通分（1）．把分数65,43,21通分。
解126261621=⨯⨯=，129433343=⨯⨯=，1210625265=⨯⨯= （2．）什么叫分数的通分？答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。
3．和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的公分母。
4．讨论： （1）求分式4322361,41,21xyy x z y x 的（最简）公分母。
分析：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，字母x 为底的幂的因式，取其最高次幂x 3，字母y 为底的幂的因式，取其最高次幂y 4，再取字母z 。
所以三个分式的公分母为12x 3y 4z 。
（2） 求分式2241x x -与412-x 的最简公分母。
分式的约分和通分
分式的约分和通分(1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．(2)分式约分的依据：分式的基本性质．(3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．(4)最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式．3．例题与练习：例1： 约分：()532164.1abc bc a - ()()()x y a y x a --322.2 （1）①有没有公因式？②公因式是什么？ 解：23235324444164ca abc c abc a abc bc a -=⋅⋅-=- 小结：分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分(2).请学生分析如何约分：由于()y x x y --=-，所以，分子和分母的公因式是：()y x a -，约分可得：解：()()()()()()()()2232322222y x a y x a y x y x a y x a y x a x y a y x a --=--⋅--=---=-- 小结：①当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．②注意对分子、分母符号的处理．分子或分母的系数是负数时，一般先把负号提到分式本身的前边．例2 .把下列各式约分：()x x x 525.122-- ()634.222-+++a a a a 解：()()()()x x x x x x xx x 5555525.122+=--+=-- ()()()()()212313634.222-+=-+++=-+++a a a a a a a a a a (五)小结：1．约分的主要步骤：先把分式的分子，分母分解因式，然后约去分子分母中的相同因式的最低次幂，（包括分子分母中系数的最大公约数）。
2．约分的依据是分式的基本性质：约去分子与分母的公因式相当于被约去的公因式同时除原分式的分子分母，根据分式的基本性质，所得的分式与原分式的值相等。
4、分式的通分 课件(人教新课标版)
2.什么叫约分？把一个分式的分子和分母的公因 式约去,不改变分式的值，这种变形叫做分式的 约分。
约分：
，
c 25a2b 3
(1) 15ab2c
这是约分的例题哦
x2 9 (2)
x2 6x 9
计算
11 24
这是小 学的！
要计算先干什么？如何进行？
什么叫做分数的通分？
通分：把几个异分母分数化成与原 来相等的同分母分数叫通分.
（二）问题情景
1. 通分：
4 12 8
(1) 7 与 1 12 8
32
最简公分母：
解：7 12
72
12 2
14 24
1 8
1 3 83
3 24
4×3×2=24
（二）问题情景
问题 类比分数的通分你能把下列分式 化为分母相同的分式吗？
3与b 2a2 3ac
（1）引出分式通分的概念：P7
（2）如何进行分式通分？
（七）课后作业
课本P133 第7题
D A
x-y≠0
(x-y）2
12x3y2z
12(a-1）（2 a 2）2
答：（1）正确，因为a≠0是隐含条 件，分子分母同乘以a可的结论.
（2）不正确，因为c=0时，分 式无意义.
解：
1 a
1 b
=
b a ab
4, a b 4ab,
a 2a
2ab 7ab
b 2b
a b 2ab 2(a b ) 7ab
4ab 2ab 2 (4ab ) 7ab
6ab 8ab 7ab
6ab ab
6.
解：（1）32a2b3c = 4a2b 8b2c = 4a2b =- 4a2b .
2021年中考复习数与式-第04讲 分式(教师版)A4
分式一．分式的概念及性质1．分式分概念：一般地，用A，B表示两个整式A B÷就可以表示成AB的形式．如果B中含有字母，式子AB就叫做分式．（1）分式有意义的条件：分式的分母不为零．（2）分式的值为零的条件：分式的分子为零且分母不为零．（3）分式值为正的条件分式的分子分母符号相同（两种情况）．（4）分式值为负的条件：分式的分子分母符号不同（两种情况）．2．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变用式子表示A A CB B C⋅=⋅，A A CB B C÷=÷(0C≠)，其中A,B,C为整式．二．分式的综合运算1．分式的乘除法（1）分式的乘除法：b d bda c ac⋅=，b d bc bca c a d ad÷=⋅=．（a、b、c、d既可以表示数，也可以表示单项式/多项式等）（2）分式的约分和通分：关键是先分解因式．分式的约分：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，分式的值不变．最简分式：分子与分母没有公因式．分式的通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，把几个异分母的分式化成同分母的分式，不改变分式的值．最简公分母：“各个分母”和“所有因式”的最高次幂的积．（3）分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．2．分式的加减法：（1）同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，a b a bc c c±±=．（2）异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减，b d bc ad bc ada c ac ac ac±±=±=．3．分式的综合运算法则：先乘方，再乘除，最后加减，遇到括号先算括号里面的．知识精讲三．分式的化简与求值分式的化简求值分为有条件和无条件两类．有条件化简求值指导思想：瞄准目标，抓住条件，依据条件推导目标，根据目标变换条件．方法点拨1．分式的化简与求值常用方法和技巧：（1）分步或者分组通分；（2）拆项相消或拆分变形；（3）整体代入；（4）取倒数或者利用倒数关系；（5）换元；（6）先约分后通分2．通分技巧：分步通分，分组通分，先约分后再通分，换元后通分等．一．考点：分式的性质、分式的混合运算及化简求值二．重难点：分式的混合运算及化简求值三．易错点：1．分式的分母中含有根号时，根号下的代数式一定是负的．题模一：分式的基本知识例1.1.1要使3x -+121x -有意义，则x 应满足（ ）A ．12≤x ≤3B ．x ≤3且x ≠12C ．12＜x ＜3D ．12＜x ≤3 【答案】D 【解析】根据题意得：30210x x -≥⎧⎨->⎩，解得：12＜x≤3．故选D ．例1.1.2若分式21-2x x a+无论x 取何值时，分式的值恒为正，则a 的取值范围是_________．【答案】1a >【解析】分式值为正的条件：分式的分子分母符号相同，因分子为1，所以分母2-2x x a +也一定为正时满足条件，将式子2-2x x a +变形为2-21-1x x a ++（）（），因2210x x -+≥，即当10a ->时，分式的值恒为正例1.1.3当x ____时，分式1412x x 有意义；当x ____时，分式1111x 无意义；当x ____时，分式2224x x x x 的值为0【答案】2x ≠且6x ≠；2x =或1x =；0x =或1x =【解析】该题考查的是分式的性质． 分式有意义要求分母不为0，无意义要求分母为0，分式值为0要求分母不为0且分子为0，三点剖析题模精讲分式1412xx 有意义，则410220x x ⎧-≠⎪-⎨⎪-≠⎩，即4122x x ⎧≠⎪-⎨⎪≠⎩，即242x x -≠⎧⎨≠⎩，解得62x x ≠⎧⎨≠⎩； 分式1111x 无意义，则1101x -=-或10x -=，即111x =-或1x =，解得2x =或1x =； 分式()()()()()()22+22114222x x x x x x x x x x x x -+--==--+-的值为0，则()1020x x x ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得0x =或1x =． 例1.1.4x 为何值时，分式2||656x x x ---:（1）值为零；（2）分式无意义？【答案】(1)6x =-（2）1x =-或6x =【解析】（1）分式值为0则60x -=且2560x x --≠，得6x =-；（2）要使分式无意义，则分母2560x x --=，得1x =-或6x =题模二：分式的运算及化简求值例1.2.1化简2244xy yx x --+的结果是（ ）A ．2x x +B ．2x x -C ．2y x + D ．2y x - 【答案】D 【解析】2244xy y x x --+=2?(2)(2)y x x --=2yx -，故选D ．例1.2.2解答下列各题： （1）解方程：；（2）先化简，再求值：，其中a 满足a 2+2a ﹣7＝0【解答】解：（1）∵，∴（x ﹣2）2＝（x +2）2+16，∴x 2﹣4x +4＝x 2+4x +4+16，∴﹣4x ＝4x +16，∴x ＝﹣2， 经检验，x ＝﹣2是方程的增根，故原分式方程无解． （2）原式＝[﹣]•＝•＝，∵a 2+2a ﹣7＝0，∴a 2+2a ＝7，∴原式＝ 例1.2.3先化简，再求值：（），其中x=2．【答案】【解析】原式=[+]÷[﹣]=÷=÷=•=，当x=2时，原式==．例1.2.4已知实数a 满足a 2+2a-15=0，求11a +-221a a +-÷2(1)(2)21a a a a ++-+的值． 【答案】18【解析】11a +-221a a +-÷2(1)(2)21a a a a ++-+=11a +-2(1)(1)a a a ++-•2(1)(1)(2)a a a -++=11a +-21(1)a a -+=22(1)a +， ∵a 2+2a -15=0，∵（a+1）2=16，∵原式=216=18． 例1.2.5化简计算（式中a ，b ，c 两两不相等）222222a b c b c a c a ba ab ac bc b ab bc ac c ac bc ab ------++--+--+--+．【答案】0【解析】()()()()()()()()()()()()1111110a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b a c a b b a b c c b c a-+--+--+-++=+++++=------------随练1.1使代数式213x x--有意义的x 的取值范围是____． 【答案】x≥12且x≠3 【解析】根据题意得，2x -1≥0且3-x≠0，解得x≥12且x≠3． 故答案为：x≥12且x≠3．随练1.2如果分式2127a a +-的值是正数，那么a 的取值范围是________．【答案】72a >【解析】该题考察的是分式的性质．∵因为21a +恒0>，又∵分式2127a a +-的值是正随堂练习数，∴270a ->，解得：72a > ，故答案是72a >． 随练1.3先化简，再求值：÷（﹣），其中a=．【答案】6﹣4【解析】原式=÷[﹣]=÷=•=（a ﹣2）2，∵a=，∵原式=（﹣2）2=6﹣4随练 1.4x 取 值时,112122x +++有意义；当x 的值为 ，分式223-1244x x x ++的值为0．【答案】592,,;24x x x ≠-≠-≠-2【解析】分式有意义则分母不为零，所以20x +≠且1202x +≠+，且120122x +≠++，所以592,,;24x x x ≠-≠-≠-分式值为零，则分子为零，且分母不为零，即()22312340x x -=-=且()224420x x x ++=+≠，故2x =．随练1.5当x 取何值时，分式2256x x x --+有意义？【答案】2x ≠±且3x ≠±【解析】间接考虑2560x x -+=，然后排除2560x x -+=的情形即可.()()256230x x x x -+=--=得20x -=或30x -=，2x =±或3x =±故要是分式有意义2x ≠±且3x ≠±即可． 随练1.6若1abc =，求111a b cab a bc b ca c ++++++++的值． 【答案】1 【解析】原式=11111111a ab abc a ab a ab ab a abc ab a abca abc ab ab a ab a a ab ab a ++++=++==++++++++++++++随练1.7已知a ，b ，c 为实数，16ab a b =+，18bc b c =+，110ca c a =+，求分式abcab bc ca++的值． 【答案】112【解析】由16ab a b =+，18bc b c =+，110ca c a =+知a ，b ，c 均不为零，故116a b +=，118b c+=，1110c a +=，解得14a =，12b =，16c =，故原式=1111112a b c=++随练1.8若使分式1-1m 的值为整数，这样的m 有几个？若使分式1-1m m +的值为整数，这样的m 有几个？【答案】2，4【解析】若使分式1-1m 为整数，只需满足1m -为1的因数即可，即11m -=±，结果为0m =或2m =；分式11m m +-为整数，需要将式子整理为-12-1-1m m m +，即只要2-1m 为整数，11,2m -=±±，因此0,2,1,3m =-．随练1.9已知：y=22699x x x ++-÷233x x x+--x+3，试说明不论x 为任何有意义的值，y 值均不变． 【答案】见解析【解析】本题主要考查了分式的混合运算能力． 先把分子分母分解因式再化简约分即可．证明：y=22699x x x ++-÷233x x x+--x+3=2(3)(3)(3)x x x ++-×(3)3x x x -+-x+3=x -x+3=3． 故不论x 为任何有意义的值，y 值均不变．随练1.10已知0abc ≠，0a b c ++=，则代数式222a b c bc ca ab++的值为__________．【答案】3【解析】由0a b c ++=得()a b c =-+，()b a c =-+，()c a b =-+代入原代数式可得原式()()()22263b c a c a b b c a c b abccaabc b c a a b+++=++=++++++= 作业1若a 使分式241312a a a-++没有意义，那么a 的值是（ ）A ．0B ．13-或0 C ．2±或0 D ．15-或0【答案】D【解析】要使分式无意义，则分母为零即可，故13102a a ++=或20a =，所以15a =-或0a =，故答案为D 选项． 作业2要使分式11x x-有意义，则x 的取值范围是_________． 【答案】0x ≠且1x ≠±【解析】对于多重分式，必须要满足每一重的分母都不为0，首先0x ≠，得0x ≠；其次10x x-≠，课后作业得1x ≠±；故x 的取值范围是0x ≠且1x ≠±作业3化简：()()()222222x yz y zx z xyx y z x yz y z x y zx z x y z xy +-++++--+++---．【答案】0【解析】因为()()()2x y z x yz x y x z +--=+-，()()()2y z x y zy x y y z +++=++()()()2z x y z xy y z z x ---=+-，所以原式=()()()()()()()()()2220x yz y z y zx z x z xy x y x y y z z x -+++--+++=++-．作业4化简：÷﹣的结果为（ ）A ．B ．C ．D ．a【答案】C 【解析】原式=×﹣=﹣=，作业5已知()22221111x x A B Cx x x x x +-=++--，其中A 、B 、C 为常数，求A B C ++的值．【答案】13【解析】原式右边=()()()()()()()22222211211111Ax x B x Cx A C x B A x B x x x x x x x x -+-+++--+-==---，得2A C +=，1B A -=，11B -=-，解得10A =，11B =，8C =-，从而13A B C ++=作业6先化简，再求值：222x x x+-2212x x x -++÷211x x -+，其中x 为0＜x 的整数．【答案】14【解析】原式=2(2)x x x +-2(1)2x x -+•1(1)(1)x x x ++-=2(2)x x x +-12x x -+=(2)x x x +=12x +，∵x 为0＜x 的整数，∵x=1（舍去）或x=2，则x=2时，原式=14． 作业7阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式42231x x x 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．由分母为-x 2+1，可设-x 4-x 2+3=（-x 2+1）（x 2+a ）+b则-x 4-x 2+3=（-x 2+1）（x 2+a ）+b=-x 4-ax 2+x 2+a+b=-x 4-（a-1）x 2+（a+b ）∵对应任意x ，上述等式均成立，∴113a a b ，∴a=2，b=1∴42231x x x =222(1)(2)11x x x =222(1)(2)1x x x +211x =x 2+2+211x这样，分式42231x x x 被拆分成了一个整式x 2+2与一个分式211x 的和．解答：（1）将分式422681x x x 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （2）当x ∈（-1，1），试说明422681x x x 的最小值为8．【答案】（1）x 2+7+211x （2）见解析【解析】（1）由分母为-x 2+1，可设-x 4-6x 2+8=（-x 2+1）（x 2+a ）+b则-x 4-6x 2+8=（-x 2+1）（x 2+a ）+b=-x 4-ax 2+x 2+a+b=-x 4-（a -1）x 2+（a+b ）∵对应任意x ，上述等式均成立，∵168a ab ，∵a=7，b=1，∵422681x x x =222(1)(7)11x x x =222(1)(7)1x x x +211x =x 2+7+211x这样，分式422681x x x 被拆分成了一个整式x 2+7与一个分式211x 的和．（2）由422681x x x =x 2+7+211x 知， 对于x 2+7+211x ，当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，即422681x x x 的最小值为8．作业8设x ，y ，z 为互不相等的三个非零实数，且111x y z y z x+=+=+，求xyz 的值． 【答案】1± 【解析】由已知111x y z y z x +=+=+，11x y y z +=+，11y zx y z y zy--=-=得y z zy x y -=-，同理可得，z x zx y z -=-，x y xy z x-=-，所以1y z z x x y zy zx xy x y y z z x ---⋅⋅=⋅⋅=---，即()21xyz =，故1xyz =±。
分式通分的7种技巧
通分是解决分式加减的基础,要解决好分式的运算,就必须掌握好分式的通分问题。
通分时常常是先找出最简公分母,将其变为同分母分式,然后再加减。
可在实际运算时,有时找最简公分母十分麻烦,或者在进行通分时,将面临着复杂、繁烦的计算,甚至走进“死胡同”,因此有必要掌握一些常用的通分技巧和方法,这样能使问题变得简单,即化难为易。
现介绍几种常用的通分技巧,供同学们在学习时合理选用。
一、分组通分例1计算-+-。
分析经观察发现,分母的结构有如下特点:a+2与a-2相乘、a+1与a-1相乘可分别构成平方差,故本题可先合理搭配,采用分组通分的方法来解。
解原式=-+-=+=。
点评根据分母的结构特点合理分组后再进行通分,可简化运算。
二、逐步通分例2计算:+++。
分析四个分式分母迥然不同,如果先找最简公分母再通分,结果只能劳而无功。
若把前两个分式通分化简,将结果再与第三个分式通分,依次类推,逐步通分,可使问题得到解决。
解原式=++=++=+=。
三、整体通分例3计算:x+y+。
分析一个整式与分式相加减,将整式当做一个整体,看做分母为1的分式,再通分。
解原式=(x+y)+=+= + =。
四、分解因式,约分后通分例4计算-。
分析观察发现各分式的分子、分母均可分解因式,故应先分解因式,约分后再通分。
解原式=- =-==。
点评当分式的分子、分母可分解因式时,一般应先分解因式,进行约分后再通分。
五、改变排序,一次通分例5计算++。
分析这是轮换式问题,对这样的问题可通过适当改变字母的排列顺序来找到公分母,然后再进行通分。
解原式=++=++==0。
点评面对轮换式的问题,采用这种先行变序、再行通分的方法,常常一次通分就能成功解题。
六、常量代换,自然通分例6设abc=1,试求++的值。
分析根据分式的结构特点和已知条件,运用分式的基本性质和常量代换的方法,本题可获巧解。
解原式=++=++==1。
点评本题的解法很巧妙,它是在认真分析题目特点的基础上,利用分式的基本性质和常量代换,使其由“山重水复”变为“柳暗花明”的。
第四课时分式的通分
1 x (3) 2 与 x 4 4 2x
2 ( x 2) x 2） （2 x） （
( x 2) x 2） （x 2） （ 2
（ ) 2 x 2（x 2)
最简公分 母的符号 为正 取相同因 式的最高 次幂
趁热打铁
1 x , 2 x x 2x 2
的最简公分母是2 x( x 1)
c
最简公 分母
取各分 相同字 单独 母系数 母取最 字母 的最小 高次幂 公倍数
方法归纳
3 ab (1) 2 与 2 2a b ab c
通分要先确定分式的最简公分母。
1.怎样找公分母？ 2.找最简公分母应从方面考虑？
一看系数；二看字母
定义 :一般取各分母的所有因式的最高 次幂的积作公分母，它叫做最简
通分后，分母写成乘积的形式或者加减的形式都可以。
通分：
c 5 （） 1 , 2ab a 3
练 习
通分：
1 （1） 2 3x
1 （2） 2 x x
5 12xy
1 x2 x
（四）课堂练习：通分
2c 3ac (1) 与 2 bd 4b
2 xy x 与 2 2 (2) 2 （x y） x y
2x 3x ( 2) 与 x5 x5
（x 5） （x 5） 1 1
最简公分母：
分母为多项式 时，取不同的 因式
1（x 5（x 5) )
不同的因式
趁热打铁
1 x , x 1 2( x 1)
的最简公分母是
2( x 1)( x 1)
例1.通分： 2x 3x ( 2) 与 x5 x5
1 1 , （1）求分式 3 2 4 的公分母。 2 x y z 6 xy
分式通分的技巧
分式通分的技巧一、分组通分例1、计算：xy x y x y x y x y x y x y x --+-----+-24352 分析：如果我们将四个分式同时通分，运算量较大且容易出错，仔细观察会发现第一、三项，第二、四项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减，然后再通分，能简化运算。
解：原式)23(452yx x y x y x y x y x y x y x ---+-+--+-= 222244xy xy y x xy y x y x y x y x -=--=-+-+-= 反思：当遇到的分式较多时可以观察是否有相同分母的分式适当分组结合，先将同分母分式相加减，再通分，可以使计算更加简便。
二、先约分再求值例2、计算：969362222++-+++x x x x x x x 分析：我们观察到两个分式都不是单项式，看起来很复杂，计算起来肯定不会很轻松，应首先想到运用约分化简后再计算。
解：原式3323336)3()3(3()3()6(2++=+-+++=+-++++=x x x x x x x x x x x x x 反思：在进行分式加减运算时，不能简单的盲目进行通分，首先要根据题目自身的特点，选用合适的方法，以使运算过程适当简化，本题中利用公式因式分解后，先约分再进行计算就比较简单。
三、逐步通分法例3、计算：4214121111xx x x ++++++- 分析：我们在计算时，会发现计算的分式较长，不知如何下手，但我们仔细观察各个分式的特点，会发现可以巧妙运用平方差公式逐步通分，会得到想要的结果.解：原式844422181414141212xx x x x x -=++-=++++-= 反思：本题如果用常规方法进行计算太繁琐，根据题目特点巧用平方差公式，采用逐步通分法，从而使运算简便。
四、整体通分法例4、计算y x yx x +-+2分析：我们看到题目中既有分式又有整式，不相统一，我们可以寻求到可以做为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.解：原式yx y y x y x y x x y x y x x +=+--+=--+=22222)( 反思：将后两项看作一个分母为“1”的整体可使运算简便。
分式的通分.1.2分式通分公开课
4、分式通分的基本步骤： （1）将各分母分解因式 （2）寻找最简公分母（方法要记牢） （3）根据分式的基本性质，把各分式的分子 分母乘以同一个整式，化异分母为最简公 分母。（分子运算很重要）
尝试练习一: 通分
x y (1) 与 ab bc 2c 3ac ( 2) 与 2 bd 4b
x y (3) 与 a ( x 2) b( x 2)
分式的基本性质： 分式的分子与分母同时乘以（或除以）同 一个不等于零的整式 ，分式的值不变.
用公式表示为: A A C A A C , . B BC B B C (其中C是不等于零的整式 )
1 1 1 , 2 3, （1）求分式 3 2 4 的最简公分母。 2 x y z 4 x y 6 xy
2
最简公分母是：xy(x-y)2(x+y)
归纳：
确定几个分式的最简公分母的方法：
（1）系数：分式分母系数的最小公倍数； （2）因式：凡各分母中出现的不同因式 都要取到； （3）因式的指数：相同因式取指数最高的。
巩固练习：
1 1 1 1、分式 , , 的最简公分母是B 2 x y z 4 x y 6 xy
2 xy x ( 4) 与 2 2 2 ( x y) x y
3、通分：
1 1 (1) 与 x y x y
1 ⑵ ( a b) 2 ( x y ) 3
1 3 2 ， ( a b) ( x y )
1 1 (3) 与 x y x xy
2 2 2
3 2 2 3 4
A、12xyz B、12x3y4z C、24xyz D、24x3y4z
1 x 2(x+1)(x-1) 2.分式 x 2 x , 2( x 1) 的最简公分母是_________.
八年级数学上册《分式的通分》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.重点：分式的通分概念、寻找最小公分母的方法以及分式的加减运算。
2.难点：如何引导学生理解通分的本质，灵活运用通分方法解决实际问题，以及在实际运算中避免错误。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境教学法，以实际问题引入分式的通分，使学生在具体的情境中感受通分的意义。
5.复习总结：在作业的最后，请简要总结今天学习的分式通分的要点，包括定义、步骤、注意事项等，并反思自己在学习过程中遇到的困难和问题。
作业要求：
1.认真完成每一道题目，保持解答过程的简洁和规范。
2.注意检查计算过程，避免因粗心导致错误。
3.对于应用题和探究题，鼓励创新思维，充分展示自己的解决问题的能力。
（二）过程与方法
在教学过程中，采用以例子，引入分式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.探索发现：引导学生观察、思考、讨论，发现通分的规律和方法，培养学生的探究能力。
3.合作交流：鼓励学生与同伴交流讨论，共同解决问题，培养学生的合作意识。
4.拓展延伸：设置不同难度的练习题，使学生在巩固知识的基础上，提高解题能力。
2.在进行通分时，对如何寻找最小公分母感到困惑。
3.在具体的运算过程中，可能会出现计算错误，影响解题效率。
针对以上情况，教师应充分了解学生的实际水平，关注学生的个体差异，采取针对性的教学策略。在教学过程中，注重启发引导，让学生在实践中发现问题和解决问题，逐步提高学生的数学素养。同时，鼓励学生积极参与，增强学生的学习信心，使学生在轻松愉快的氛围中掌握分式的通分技巧。
（2）运用探究式教学法，引导学生通过观察、思考、讨论，发现通分的规律和方法。
（3）采用对比教学法，通过比较不同分母的分式，引导学生理解最小公分母的重要性。
七年级数学下册《分式的通分》教案、教学设计
-通过课堂小结，让学生回顾本节课所学内容，总结分式通分的要点。
-鼓励学生反思学习过程中的得失，培养自我评价和自我改进的能力。
7.课后作业，巩固拓展
-布置适量的课后作业，让学生在课后继续巩固所学知识。
-设计具有挑战性的拓展题目，激发学生的求知欲，提高学生的数学素养。
在教学过程中，教师应关注学生的主体地位，注重启发式教学，引导学生主动探究、合作交流。同时，关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在课堂上得到充分的发展。通过本章节的学习，使学生掌握分式通分的知识，提高数学素养，为后续学习打下坚实基础。
1.重点：理解分式通分的概念，掌握寻找最简公分母的方法，能够熟练运用通分解决实际问题。
2.难点：对分式通分法则的理解与应用，特别是在解决复杂问题时，如何灵活运用通分技巧。
（二）教学设想
1.创设情境，导入新课
-通过生活中的实例，如比较不同物体的速度、密度等，引出分式通分的概念。
-利用多媒体展示，激发学生的兴趣，引导学生思考分式通分在实际生活中的应用。
5.总结反思：要求学生撰写一篇关于分式通分学习心得的文章，内容包括学习过程中的收获、遇到的困难、解决方法以及今后如何提高分式通分的能力。
作业布置要求：
1.作业量适中，保证学生在课后有足够的时间进行复习和巩固。
2.鼓励学生自主完成作业，培养独立思考和解决问题的能力。
3.作业批改要及时，对学生的错误给予指出和指导，帮助学生找到问题所在，提高解题能力。
4.练习巩固，内化知识
-设计不同难度的练习题，让学生在课堂上及时巩固所学知识。
-对学生的练习进行反馈，指出错误原因，帮助学生找到解决问题的方法。
5.拓展延伸，提高能力
-引导学生思考分式通分在生活中的其他应用，如科学实验、工程设计等领域。
分式知识点归纳总结
分式知识点归纳总结一、基本概念1. 分式的定义分式是由分子和分母组成的表达式，分子和分母都是整式。
通常写作a/b的形式，其中a为分子，b为分母，b不为0。
例如：3/4，7x/5y等都是分式。
2. 分式的分类根据分子和分母的形式，分式可以分为以下几类：a) 真分式：分子的次数小于分母的次数，例如：2/3。
b) 假分式：分子的次数大于或等于分母的次数，例如：x^2+1/x。
c) 反比例函数：分子和分母中都含有变量，例如：x/y。
3. 分式的性质a) 若分子和分母互换位置，分式的值不变，这就是分式的对称性质。
b) 分式的值只有在分母不为0时才有定义，即分式的定义域是除了分母为0的所有实数。
二、分式的化简1. 分子分母的最小公因式分式的化简首先要找出分子分母的最小公因式，然后进行约分。
例如：将分式6x^2y/9xy化简为2x/3。
2. 分式的通分当分母不同时，可以通过通分将分母变为相同的多项式，从而进行比较、运算。
例如：将1/2+2/3进行通分，得到3/6+4/6=7/6。
3. 整式转化为分式可以将整式转化为分式，只需将分子为整式，分母为1的形式即可。
例如：将5x^2+3x+1转化为分式为(5x^2+3x+1)/1。
三、分式的运算1. 分式的加减法分式的加减法需要先进行通分，然后对分子进行加减，最后合并分子。
例如：(2/3)+(3/4)，首先通分为8/12+9/12=17/12。
2. 分式的乘法分式的乘法是将分子乘以分子，分母乘以分母，然后进行约分。
例如：(2/3)*(3/4)=6/12=1/2。
3. 分式的除法分式的除法需要将除号改为乘以被除数的倒数，然后进行乘法运算。
例如：(3/4)÷(2/3)=(3/4)*(3/2)=9/8。
四、分式的应用1. 分式的实际问题在实际问题中，分式常用于解决各种比例、速度、浓度等问题，可以帮助我们解决生活中的实际问题。
2. 分式与方程分式的化简与运算经常用于解决各种方程，需要将方程中的分式进行合并、化简、求值等操作。
例说分式通分的方法与技巧
分式通分的方法技巧江苏 何春华 分式通分的实质是分式的基本性质上的运用，它是将几个异分母的分式分别化成与原分式相等的同分母分式，初学通分时不少同学迫切想知道通分的关键是什么？通分有哪些技巧？为了方便同学们更好地学习这部分内容，下面举例说明分式通分的方法与技巧，供同学们学习时参考！一、分母是单项式的通分例1：通分2222352,,234a b c b c ac a b分析：本题中分式的分母都是单项式，因此我们可以直接确定它们的公分母――分母中各系数的最小公倍数是12，各字母因式,,a b c 的最高次幂是222,,a b c ，所以最简公分母是22212a b c 。
然后利用分式的基本性质即可。
解：因为最简公分母为：22212a b c由分式的基本性质可得： 232222223361822612a a a c a c b c b c a c a b c ==；232222225542033412b b ab ab ac ac ab a b c==； 2322222222223644312c c c c a b a b c a b c == 点评：通分的关键是确定几个分式的最简公分母，当各分母都是单项式时，最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母及指数的积。
二、分母是多项式的通分例2：通分222,,222a b c m n m mn m mn n---+ 分析：本题中分式中的分母都是多项式，所以首先必须对其进行因式分解，这样才能便于我们确定最简公分母，因为()222m n m n -=-，()2m mn m m n -=-，222m mn n -+=()2m n -，所以最简公分母为()22m m n -。
解：()()()()()22222a m m n am m n a m n m n m m n m m n --==----； ()()()()()222222b m n b m n b m mn m m n m n m m n --==----； ()()()2222222cc m cmm n m n m m m n ==---点评：1、当分式的分母中有多项式时，应先把分母是多项式的分解因式，然后把每个因式当作一个因式（或一个字母），再按照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同因式、不同因式三个方面去确定。
16.1.2分式的基本性质(3)(通分)4
班级： 组别： 姓名： 钢屯中学八年级导学案（2011-2012学年度第二学期） 学科：数学 编号： 4 个性天地课题 16.1.2分式的基本性质（3）（通分） 课型 自学课 总课时 4 主创人 刘国利 教研组长签字 领导签字 个性天地学习目标：1、了解分式通分的步骤和依据。
2、掌握分式通分的方法。
学习重点：分式的通分。
学习难点：准确找出不同分母的分式的最简公分母。
学法指导： 1、学生独立阅读课本P 8，探究课本基础知识，提升自己的阅读理解 能力。
2、完成导学案设置的问题，由组长组织对学与群学，进行知识汇报，展示讨论。
3、教师巡视，及时指导、帮助学生解决疑难问题。
导学流程： 一、旧知回顾 1、分式的基本性质的内容是 用式子表示 2、计算：3121+ ，运算中应用了什么方法？这个方法的依据是什么？ 二、基础知识探究 1.猜想：利用分式的基本性质能对不同分母的分式进行通分吗？ 自主探究：p 7的“思考”。
归纳：分式的通分： 三、综合应用探究 1. 例4 通分： （1）b a 223 与c ab b a 2- （2）52-x x 与53+x x 归纳：最简公分母：1. 2. 通分的关键是准确找出各分式的 2．分式22(1)x x --，323(1)x x --，51x -的最简公分母（ ） A ．（x-1）2 B ．（x-1）3 C ．（x-1） D ．（x-1）2（1-x ）3 3．求分式b a -1、22b a a -、b a b +的最简公分母 ，并通分。
四、反馈检测： 1、通分：（1）bc a y ab x 229,6、 （2）16,12122-++-a a a a 、（3）x x x x 32,1,1+ 2、通分：（1）a a a --11,1 （2）2,422+-x x x （3）bc a b ab a 215,32- 3、 分式121,11,121222++-+-a a a a a 的最简公分母是（ ） Ａ.22)1(-a Ｂ.)1)(1(22+-a a Ｃ.)1(2+a Ｄ.4)1(-a 反思与评价：。
人教版八年级数学上册教案-15.1.2分式的基本性质分式通分
在本次教学活动中，我注意到学生在学习分式的基本性质与通分这一章节时，存在一些理解和掌握上的难点。首先，我发现学生在理解分式基本性质时，对于为何乘除同一个数（除数不为0）不会改变分式的值这一点上存在困惑。在今后的教学中，我需要更加形象、具体地解释这一性质的数学原理，以便学生能够更好地理解。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调分式基本性质和通分方法这两个重点。对于难点部分，如选取公倍数和分解因式，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与分式通分相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示分式通分的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式通分的基本概念。通分是指将分母不相同的分式通过乘以适当的整式，使分母相同，以便进行加减运算。它是分式运算中的重要环节，帮助我们解决实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将$\frac{1}{x}$和$\frac{2}{x+1}$通分，以及通分在简化分式运算中的作用。
在授课过程中，我也注意到学生在解决实际问题时构建分式模型的能力较弱。为了提高学生的这一能力，我将在下一节课中增加一些关于建模的讲解和练习，帮助学生学会如何从实际问题中抽象出分式模型。
此外，教学流程的设计方面，导入新课环节的问题设置可能还不够吸引学生的兴趣，今后我需要在这个环节下更多功夫，设计更具趣味性和启发性的问题，激发学生的学习兴趣和好奇心。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《分式的基本性质与通分》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要将不同单位的量进行换算的情况？”比如，将米和厘米的长度进行加减。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索分式通分的奥秘。
沪科版初中数学初一数学下册《分式》教案及教学反思
沪科版初中数学初一数学下册《分式》教案及教学反思一、教学目标1.了解分式的定义、分子、分母和分式的意义；2.掌握分式化简的方法；3.能够解决与分式相关的实际问题；4.培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。
二、教学内容第一节分式1. 分式的定义分式是指分子与分母中至少有一个含有字母的式子，并且分母不为零的有理式。
2. 分式的意义分式可以用来表示两个整式的商，例如 $\\frac{x^2-1}{x+1}$ 就表示x2−1除以x+1的结果。
3. 分式的化简分式的化简是将一个分式写成最简的形式，即分子与分母已无公因式，或能用其他形式的代数式代替。
第二节分式的加减1. 分式的通分分式加减法的第一步是进行通分，即将两个分母化为相同的形式。
通分的方法是求出两个分母的最小公倍数，然后分别乘以相应的倍数使分母相同。
2. 分式的加减通分后，将分子相加（减），分母不变，得到新的分式。
第三节分式的乘除1. 分式的乘法分式的乘法是将两个分式的分子分别相乘，分母分别相乘，然后将所得结果化简。
2. 分式的除法将除数与被除数的分子分别相乘，分母相乘，然后将所得结果化简。
第四节分式的应用1. 实际问题的分式表示分式可以表示很多实际问题，例如速度、密度、比例等等。
2. 实际问题的求解根据问题转化为分式的形式，然后根据所学知识解决问题。
三、教学方法本次课程将采用讲授、演示和练习相结合的方式。
1.讲授：首先讲解分式的基础概念和知识点，帮助学生理解分式的定义、分子和分母的概念以及分式化简等重要概念和方法。
2.演示：通过老师的演示，让学生学会分式的化简、通分、加减、乘除等操作方法。
3.练习：老师将准备一些练习题，供学生自主练习，帮助学生掌握各种方法和技巧，提高应用分式解决实际问题的能力。
四、教学反思分式是初一数学下册的重要内容，也是进入初中数学的分水岭。
因此，我们在教学过程中，需要注意以下几点：1.把握教学重点，重视分式的定义、通分和加减；同时要让学生了解分式化简、乘除和应用的内容。
分式的通分4
2 x 10x 2x 2 x( x 5) 2 x 5 ( x 5)(x 5) x 25
3 x 15x 3x 3 x( x 5) 2 x 5 ( x 5)(x 5) x 25
2
2
x (3) 2 与 4 2 x 4 x
解： （2）简公分母是
练习：1.将下列各组分别进行通分:
1 1 c a b (1) 2 , ; ( 2) , , ; 2 a b ab ab bc ac y x 1 4a 3c 5b (3) , , ; ( 4) , , 2 2 2 2 x 3 y 4 xy 5b c 10a b 2ac2 ; 1 1 1 1 (5) , ; (6) 2 , ; 2 x y x y x y x y 1 1 1 1 (7 ) 2 , 2 ; (8) 2 , 2 x x x x x x x 2x 1
12 2 (3) 2 , m 9 3 m
1 1 (4) , ( x 2)( x 2) 2(2 x)
1
2( x 2)(x 2)
1 2 2 2 2 ( x 2 )( x 2 ) 2 4 2 x 8 x 1
x 2 x x x x ( x 2) 2 4 2 x 2( x 2) 2( x 2)(x 2) 2 x 8
2
m 1 3 (3) 2 与 m 2m 1 （ 2 m 1)
例1 确定下列分式的最简公分母？
1 1 1 , , . 2 3 2 4 8x y 2 x y 4 xy z
8x y z
3
4
例2 通分：
3 a b (1) 与 2 2 2a b ab c 2x 3x (2) 与 x5 x5
3x 2x （ 2） 与 x5 x5
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不同的 因式
通分：
(1)
3 2a 2b
与
ab ab2c
(2) 2x 与 3x x5 x5
（1 x5） （1 x5）
2 a2 b2 c 最简
公分 母
1（x 5（) x 5)
一般取各分母的所有因式的最 高次幂的积作公分母，它叫做 最简公分母。
总结
分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？ 这些做法的根据是什么？
复习回顾
1. 约分
(1)
6ab 20a2b3
a2 3ab (2) 3b2 ab
（3）a2 36 2a 12
（4） 4 x2 （5）9x2 6xy y2
x2 4x 4
2y 6x
2、化简求值：
(1)
x2 4y2 4x2 8xy
其中
x 2, y 3
(2)
a
2
a2 9 6a
9
其中 a 5
,
x 3y
2
,
1 4xy
的最简公分母是（
）
A.4xy B.3y 2 C.12xy2 D.12 x2 y2
2.分式
1x x2 x , 2(x 1)
的最简公分母是_________.
3. 三个分式 1 , y , 3 的最简
x x2 x x2 1
公分母 是
4.通分：
(1)
2c
bd
与
3ac 4b2
约分
通分
分数 找分子与分母的 最大公约数
找所有分母的 最小公倍数
分式 依据
找分子与分母的
找所有分母的
公因式
最简公分母
分数或分式的基本性质
补充例题：
例2、通分
（1） 1 ， 3 ， 4
3ab3 4a2b 9a3b
（2） 5x ， 4 ， 2x 2x1 12x 4x2 1
课堂练习：
1.三个分式
y 2x
与
ab ab2c
(2) 2x 与 3x x5 x5
最简
2 a2 b2 c 公分
最小 最 高
公倍 数次
母
单 独 字
幂母
（三）例题分析
例1. 通分：
(1)
3 2a 2b
与
ab ab2c
(2) 2x 与 3x x5 x5
（1 x5） （1 x5）
2 a2b2 c
最简
1（x 5（) x 5)
最简
公分 母
公分 母
(2 )（ x
2xy 与 x y） 2 x2 y2
5.（补充）通分 ：
(1) 2 与 a -1 3a 9 a2 9
(2 )
4x
1 2
x
2
与
x
1 2
4
问题情景：
1. 通分：
(1) 7 与1 12 8
4 12 8 32
最简公分母：
解：7 7 2 14 4×3×2=24 12 122 24 1 13 3 8 83 24
问题 ： 类比分数的通分你能 把下列分式化为分母相同的分
式吗？ 3 与 b 2a2 3ac
例题分析：
例1、通分：
(1)
3 2a 2b