立体几何中“折叠问题”解题策略(含详细解析)

立体几何中“折叠问题”的解题策略[例题]如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥BC，BD∥DC，点E是BC边的中点，将∥ABD沿BD折起，使平面ABD∥平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体．

(1)求证：AB∥平面ADC；

(2)若AD＝1，二面角C­AB­D的平面角的正切值为6，求二面角B­AD­E的余弦值.

[解](1)证明：因为平面ABD∥平面BCD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，BD∥DC，DC∥平面BCD，

所以DC∥平面ABD.

因为AB∥平面ABD，所以DC∥AB.

又因为折叠前后均有AD∥AB，DC∩AD＝D，

所以AB∥平面ADC.

(2)由(1)知AB∥平面ADC，

所以二面角C­AB­D的平面角为∥CAD.

又DC∥平面ABD，AD∥平面ABD，

所以DC∥AD.

依题意tan∥CAD ＝CD

AD ＝ 6. 因为AD ＝1，所以CD ＝ 6. 设AB ＝x (x ＞0)，则BD ＝x 2＋

1. 依题意∥ABD ∥∥DCB ，所以AB AD ＝CD

BD ， 即x 1＝6x 2＋1

，解得x ＝2，

故AB ＝2，BD ＝3，BC ＝BD 2＋CD 2＝3.

以D 为坐标原点，射线DB ，DC 分别为x 轴，y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D ­xyz ，

则D (0,0,0), B (3,0,0), C (0,6，0), E (23,2

6

,0）, A (

33,0,3

6）， 所以DE ―→＝(2

3,2

6,0），DA ―→＝(3

3,0,3

6

）.

由(1)知平面BAD 的一个法向量n ＝(0,1,0)． 设平面ADE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，

由⎩⎨

⎧

m·DE ―→＝0，m·DA ―→＝0，

得⎩⎨⎧

32x ＋6

2y ＝0，

33x ＋6

3z ＝0.

令x ＝6，得y ＝－3，z ＝－3，

所以m ＝(6，－3，－3)为平面ADE 的一个法向量． 所以cos＝n ·m |n |·|m |＝－1

2.

由图可知二面角B ­AD ­E 的平面角为锐角， 所以二面角B ­AD ­E 的余弦值为1

2. 解题策略：

1.确定翻折前后变与不变的关系

画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地，位于“折痕”同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位于“折痕”两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化；对于不变的关系应在平面图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决.

2.确定翻折后关键点的位置

所谓的关键点，是指翻折过程中运动变化的点．因为这些点的位置移动，会带动与其相关的其他的点、线、面的关系变化，以及其他点、线、面之间位置关系与数量关系的变化．只有分析清楚关键点的准确位置，才能以此为参照点，确定其他点、线、面的位置，进而进行有关的证明与计算.

变式练习：

1．如图1，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∥BAD ＝90°， AB ＝23，BC ＝4，AD ＝6，E 是AD 上的点，AE ＝1

3AD ， P 为BE 的中点，将∥ABE 沿BE 折起到∥A 1BE 的位置， 使得A 1C ＝4，如图2.

(1)求证：平面A1CP∥平面A1BE；

(2)求二面角B­A1P­D的余弦值．

解：(1)证明：如图3，连接AP，PC.

∥在四边形ABCD中，AD∥BC，∥BAD＝90°，AB＝23，BC＝4，AD＝6，E是AD上的点，

AE＝1

3AD，P为BE的中点，

∥BE＝4，∥ABE＝30°，∥EBC＝60°，BP＝2，∥PC＝23，∥BP2＋PC2＝BC2，∥BP∥PC.

∥A1P＝AP＝2，A1C＝4，

∥A1P2＋PC2＝A1C2，∥PC∥A1P.

∥BP∩A1P＝P，∥PC∥平面A1BE.

∥PC∥平面A1CP，∥平面A1CP∥平面A1BE.

(2)如图4，以P 为坐标原点，PB 所在直线为x 轴，PC 所在直线为y 轴，过P 作平面BCDE 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，

则A 1(－1,0,3)，P (0,0,0)，D (－4,23,0)， ∥P A 1―→＝(－1,0,3)， PD ―→＝(－4,23,0)， 设平面A 1PD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，

则⎩⎨

⎧

m·P A 1―→＝0，m·PD ―→＝0，

即⎩⎪⎨⎪⎧

－x ＋3z ＝0，

－4x ＋23y ＝0，

取x ＝3,得m ＝(3,2,1)．

易知平面A 1PB 的一个法向量n ＝(0,1,0)， 则cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m||n|＝2

2. 由图可知二面角B ­A 1P ­D 是钝角， ∥二面角B ­A 1P ­D 的余弦值为－2

2.

2．如图1，在高为2的梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝5，过A ，B 分别作AE ∥CD ，BF ∥CD ，垂足分别为E ，F .已知DE ＝1，将梯形ABCD 沿AE ，BF 同侧折起，得空间几何体ADE ­BCF ，如图2.

(1)若AF ∥BD ，证明：DE ∥BE ；

(2)若DE ∥CF ，CD ＝3，在线段AB 上是否存在点P ，使得CP 与平面ACD 所成角的正弦值为35

35？并说明理由．

解：(1)证明：由已知得四边形ABFE 是正方形，且边长为2， ∥AF ∥BE .∥AF ∥BD ，BE ∩BD ＝B ，∥AF ∥平面BDE . 又DE ∥平面BDE ，∥AF ∥DE .

∥AE ∥DE ，AE ∩AF ＝A ，∥DE ∥平面ABFE . 又BE ∥平面ABFE ，∥DE ∥BE .

(2)当P 为AB 的中点时满足条件．理由如下： ∥AE ∥DE ，AE ∥EF ，DE ∩EF ＝E ，∥AE ∥平面DEFC . 如图，过E 作EG ∥EF 交DC 于点G ，

可知GE ，EA ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，以EA ―→，EF ―→，EG ―→分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，