北京市朝阳区数学一模试题及答案

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2022年北京市朝阳区中考数学一模试卷(附答案详解)

2022年北京市朝阳区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如图是某几何体的三视图，该几何体是()A. 三棱柱B. 长方体C. 圆锥D. 圆柱2.2022年3月5日，国务院总理李克强代表国务院，向十三届全国人大五次会议作政府工作报告．报告中指出过去一年是党和国家历史上具有里程碑意义的一年，“十四五”实现良好开局，我国发展又取得新的重大成就．2021年国内生产总值达114万亿元，增长8.1%.将1140000用科学记数法表示应为()A. 0.114×107B. 1.14×105C. 1.14×106D. 11.4×1043.实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论中正确的是()A. a+b>0B. ab>0C. a−b>0 D. |a|>|b|4.将一副三角尺(厚度不计)如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的大小为()A. 100°B. 105°C. 115°D. 120°5.下列多边形中，内角和与外角和相等的是()A. B.C. D.6.不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到颜色相同的球的概率为()A. 23B. 13C. 12D. 147. 如图是国家统计局公布的2021年居民消费价格月度涨跌幅度，月度同比和月度环比的平均数分别为x −同，x −环，方差分别为s 同2，s 环2，则( )A. x −同>x −环，s 同2>s 环2B. x −同>x −环，s 同2<s 环2C. x −同<x −环，s 同2>s 环2D. x −同<x −环，s 同2<s 环28. 点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)在反比例函数y =2x 的图象上，下列推断正确的是( )A. 若x 1<x 2，则y 1<y 2B. 若x 1<x 2，则y 1>y 2C. 若x 1+x 2=0，则y 1+y 2=0D. 存在x 1=x 2使得y 1≠y 2二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9. 若代数式1x−1有意义，则实数x 的取值范围是______． 10. 分解因式：2a 2−4ab +2b 2=______． 11. 写出一个比4大且比5小的无理数：______．12. 如图，AC ，BC 是⊙O 的弦，PA ，PB 是⊙O 的切线，若∠C =60°，则∠P =______．13. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 上(不与点A ，C 重合)，只需添加一个条件即可证明△ABC 和△BDC 相似，这个条件可以是______(写出一个即可)．14. 如图，2022年北京冬奥会上，一些可看作正六边形的“小雪花”对称地排列在主火炬周围，中间空出了13个“小雪花”的位置来突出主火炬．在其中91个“小雪花”上面写有此次参会的国家或地区的名称，此外还有几个“小雪花”上面只有中国结图案．这些只有中国结图案的“小雪花”共有______个．15.若关于x的一元二次方程(a−1)x2+a2x−a=0有一个根是x=1，则a的值为______．16.尊老敬老是中华民族的传统美德，某校文艺社团的同学准备在“五一”假期去一所敬老院进行慰问演出，他们一共准备了6个节目，全体演员中有8人需参加两个或两个以上的节目演出，情况如表：度考虑，首尾两个节目分别是A，F，中间节目的顺序可以调换，请写出一种符合条件的节目先后顺序______(只需按演出顺序填写中间4个节目的字母即可)．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.计算：2cos30°+|−√3|−(π−√3)0−√12．四、解答题（本大题共11小题，共63.0分）18.解不等式组：{x−3(x−2)≥4 x−1<1+2x3．19.已知x2+x−3=0，求代数式(2x+3)(2x−3)−x(x−3)的值．20.已知关于x的一元二次方程x2−ax+a−1=0．(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，求a的值．21.中国古代数学家李子金在《几何易简集》中记载了圆内接正三角形的一种作法：“以半径为度，任用圆界一点为心，作两圆相交，又移一心，以交线为界，再作一交圆，其三线相交处为一角，其两线相交处为两角，直线界之亦得所求”．由记载可得作法如下：①作⊙M，在⊙M上取一点N，以点N为圆心，MN为半径作⊙N，两圆相交于A，B两点，连接AB；②以点B为圆心，AB为半径作⊙B，与⊙M相交于点C，与⊙N相交于点D；③连接AC，AD，BC，BD．△ABC，△ABD都是圆内接正三角形．(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接AM，AN，MN，BM．∵MA=MN=NA，∴△AMN为______．∴∠AMN=60°．同理可得，∠BMN=60°．∴∠AMB=120°．∴∠ACB=60°(______)(填推理的依据)．∵BA=BC，∴△ABC是等边三角形．同理可得，△ABD是等边三角形．22.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE//BD，BE//AC．(1)求证：四边形AEBO是菱形；(2)若AB=OB=2，求四边形AEBO的面积．23.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若cos∠CAD=4，AB=5，求CD的长．524.某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为ℎ米．d(米)0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00ℎ(米) 3.75 4.00 3.75 3.00 1.750请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；(3)求ℎ关于d的函数表达式；(4)公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度(不考虑其他因素)就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．25.某校初三年级有两个校区，其中甲校区有200名学生，乙校区有300名学生，两个校区所有学生都参加了一次环保知识竞赛，为了解两个校区学生的答题情况，进行了抽样调查，从甲、乙两个校区各随机抽取20名学生，对他们本次环保知识竞赛的成绩(百分制)进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a.甲校区成绩的频数分布直方图如下(数据分成4组：60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)：b.甲校区成绩在70≤x<80这一组的是：74747577777777787979c.甲、乙两校区成绩的平均数、中位数如下：平均数中位数甲校区79.5m乙校区7781.5根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m的值；(2)两个校区分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本校区的平均分就可以赋予等级A，判断在本次抽取的学生中哪个校区赋予等级A的学生更多，并说明理由；(3)估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为______(直接写出结果)．26.在平面直角坐标系xOy中，点(−2,0)，(−1,y1)，(1,y2)，(2,y3)在抛物线y=x2+bx+c上．(1)若y1=y2，求y3的值；(2)若y2<y1<y3，求y3的取值范围．27.在△ABC中，D是BC的中点，且∠BAD≠90°，将线段AB沿AD所在直线翻折，得到线段AB′，作CE//AB交直线AB′于点E．(1)如图，若AB>AC，①依题意补全图形；②用等式表示线段AB，AE，CE之间的数量关系，并证明；(2)若AB<AC，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由；若不成立，直接用等式表示线段AB，AE，CE之间新的数量关系(不需证明)．28.在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：y=kx+b，给出如下定义：若直线l与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线l关于该圆的“圆截距”．(1)如图1，⊙O的半径为1，当k=1，b=1时，直接写出直线l关于⊙O的“圆截距”；(2)点M的坐标为(1,0)，√5，①如图2，若⊙M的半径为1，当b=1时，直线l关于⊙M的“圆截距”小于45求k的取值范围；②如图3，若⊙M的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线l关于⊙M的“圆截距”的最小值2，直接写出b的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由几何体的主视图和左视图都是长方形，故该几何体是一个柱体，又∵俯视图是一个三角形，故该几何体是一个三棱柱．故选：A．根据一个几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案．本题考查了由三视图判断几何体，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥体，如果有两个矩形，该几何体一定柱体，其底面由第三个视图的形状决定．2.【答案】C【解析】解：1140000=1.14×106．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：∵a<0<b，|a|>|b|，∴a+b<0，故A选项错误，不符合题意；∵a<0<b，∴ab<0，故B选项错误，不符合题意；∵a<0<b，∴a−b<0，故C选项错误，不符合题意；∵|a|>|b|，∴D选项正确，符合题意．故选：D．根据图示，可得：a<0<b，|a|>|b|，据此逐项判定即可．此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，要熟练掌握．4.【答案】B【解析】解：如图，∵AB//DE，∴∠ABC=∠BED=30°，又∵∠DEF=45°，∴∠BEF=75°，∴∠1=180°−∠BEF=105°，故选：B．根据平行线的性质可得∠ABC=∠BED=30°，再根据三角尺各角的度数以及邻补角的定义即可得∠1的度数．此题主要考查了平行线的性质以及邻补角的定义，关键是掌握两直线平行，内错角相等．5.【答案】B【解析】解：设所求多边形的边数为n，根据题意得：(n−2)⋅180°=360°，解得n=4．故选：B．根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了简单随机事件发生概率的求法，用列表法或树状图法列举出所有可能出现的情况，求出相应事件发生的概率是常用的方法．用列表法或树状图法列举出所有可能出现的情况，求出两次都摸到颜色相同的球的概率，作出选择即可．【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果为：∴两次都摸到颜色相同的球的概率P =24=12．故选C ． 7.【答案】A【解析】解：从图表中可以看出月度同比有10次的成绩均不低于月度环比，但是月度同比波动比较大，故x −同>x −环，S 同>S 环．故选：A ．根据图表数据可以看出月度同比和月度环比的平均数和波动情况，即可求解．本题主要考查平均数和方差的应用，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：反比例函数y =2x 的图象在一、三象限，在每个象限y 随x 的增大而减小，A .若x 1<x 2，且点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)在同一象限，则y 1>y 2，故A 错误；B .若x 1<x 2，且点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)不在同一象限，则y 1<y 2，故B 错误；C .若x 1+x 2=0，则点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)关于原点对称，则y 1+y 2=0，故C 正确；D .若x 1=x 2，则2x 1=2x 2，即y 1=y 2，故D 错误；故选C ．利用反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征即可判断．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的性质是解题的关键．9.【答案】x ≠1【解析】解：依题意得：x −1≠0，解得x ≠1，故答案为：x≠1．分式有意义时，分母x−1≠0，据此求得x的取值范围．本题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零．10.【答案】2(a−b)2【解析】解：原式=2(a2−2ab+b2)=2(a−b)2．故答案为：2(a−b)2原式提取2变形后，利用完全平方公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11.【答案】√17【解析】解：比4大且比5小的无理数可以是√17．故答案为√17．由于4=√16，5=√25，所以可写出一个二次根式，此根式的被开方数大于16且小于25即可．本题考查了对估算无理数的大小的应用，注意：无理数是指无限不循环小数，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．12.【答案】60°【解析】解：连接OA，OB，∵∠C=60°，∴∠AOB=2∠C=120°，∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠PAP=∠OBP=90°，∵∠AOB+∠OAP+∠OBP+∠P=360°，∴∠P=360°−90°−90°−120°=60°，故答案为：60°．连接OA，OB，由圆周角和圆心角的关系求得∠AOB=120°，由切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据多边形内角和定理即可求出∠P=60°．本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解决问题的关键．13.【答案】∠A=∠CBD【解析】解：添加∠A=∠CBD，理由如下：∵∠A=∠CBD，∠ACB=∠BCD，∴△ABC∽△BDC，故答案为：∠A=∠CBD．利用相似三角形的判定可求解．本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．14.【答案】5【解析】解：用一个小黑点表示一个小“雪花”，观察、画出图案的一部分如下：由图可知，由里向外，最中间1个“小雪花”，第二层每条边上两个小“雪花”，第二层一共有6×2−6=6(个)“小雪花”，第三层每条边上3个小“雪花”，第三层一共6×3−6=12(个)“小雪花”，同理第四层一共6×4−6=18(个)“小雪花”，第五层一共6×5−6=24(个)“小雪花”，第六层一共6×6−6=30(个)“小雪花”，最外面一层(第七层)每条边上3个“小雪花”，一共6×3=18(个)“小雪花”，∴如果全部摆满有1+6+12+18+24+30+18=109(个)“小雪花”，∵中间空出了13个“小雪花”的位置来突出主火炬，91个“小雪花”上面写有此次参会的国家或地区的名称，∴只有中国结图案的“小雪花”共有109−13−91=5(个)；故答案为：5．观察每层各边的“小雪花”个数，得出规律即可解答．本题考查图案的变化规律，解题的关键是仔细观察图形，得出各层正六边形每条边上“小雪花”的个数．15.【答案】−1【解析】解：把x=1代入(a−1)x2+a2x−a=0，得a−1+a2−a=0，解得：a1=1，a2=−1，∵a−1≠0，∴a=−1．故答案是：−1．把x=1代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程求得a的值即可．本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根一定满足该方程的解析式．16.【答案】EBD【解析】解：由题意得，首尾两个节目分别是A，F，节目A参演演员有1、3、5、6、8，节目F参演演员有5、7，由于从演员换装的角度考虑，每位演员不能连续参加两个节目的演出，故可先确定第二个节目为不含演员1、3、5、6、8的节目，即节目E，第三个节目为不含2、7的节目，即节目B或C，第五个节目为不含5、7的节目，即节目B或C，所以，可确定第四个节目为节目D，综上，演出顺序为节目AEBDC．故答案为：EBD．根据题意，可先确定第二个节目为节目E，继而确定第三个节目和第五个节目的可能性，最后确定了第四个节目，即可得到答案．此题考查了统计表，利用信息做出决策或方案，能够正确理解题意是解题的关键．17.【答案】解：原式=2×√3+√3−1−2√32=√3+√3−1−2√3=−1．【解析】代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，零指数幂，二次根式，然后算乘法，再算加减．本题考查实数的混合运算，理解a0=1(a≠0)，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．18.【答案】解：解不等式x−3(x−2)≥4，得：x≤1，，得：x<4，解不等式x−1<1+2x3则不等式组的解集为x≤1．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.【答案】解：(2x+3)(2x−3)−x(x−3)=4x2−9−x2+3x=3x2+3x−9，当x2+x−3=0时，原式=3(x2+x−3)=3×0=0．【解析】先去括号，再合并同类项，然后把x2+x−3=0代入化简后的式子进行计算即可解答．本题考查了整式的混合运算−化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．20.【答案】(1)证明：∵Δ=(−a)2−4(a−1)=a2−4a+4=(a−2)2≥0，∴该方程总有两个实数根；(2)解：x2−ax+a−1=0．(x−1)[x−(a−1)]=0，x−1=0或x−(a−1)=0，∴x1=1，x2=a−1，∵方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍，∴a为整数，a−1=2×1或1=2(a−1)，(舍去)，解得a=3或a=32∴a的值为3．【解析】(1)计算根的判别式的值得到Δ=(a−2)2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；(2)利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=a−1，根据题意得a为整数，a−1=2×1或1=2(a−1)，然后解一次方程得到a的值．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．21.【答案】等边三角形同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半【解析】(1)解：图形如图所示：(2)证明：连接AM，AN，MN，BM．∵MA=MN=NA，∴△AMN为(等边三角形)．∴∠AMN=60°．同理可得，∠BMN=60°．∴∠AMB=120°．∴∠ACB=60°(同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半)，∵BA=BC，∴△ABC是等边三角形．同理可得，△ABD是等边三角形．故答案为：等边三角形，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半．(1)根据要求作出图形；(2)利用圆周角定理，等边三角形的判定解决问题即可．本题考查作图−复杂作图，圆周角定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】(1)证明：∵AE//BD，BE//AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴OA=OB，∴四边形AEBO是菱形；(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，∴OA=OB=OC=DO，∵OB=AB=2，∴BD=4，由勾股定理得：AD=√BD2−AB2=√42−22=2√3，∵BO=DO，∴S△AOB=S△AOD=12S△BAD=12×12AD×AB=12×12×2√3×2=√3，∵四边形AEBO是菱形，AB=AO，∴AE=AO=BO=BE=AB=2，∴△AEB≌△BOA(SSS)，∴△AEB的面积=△AOB的面积=√3，∴四边形AEBO的面积是√3+√3=2√3．【解析】(1)根据平行四边形的判定得出四边形AEBO是平行四边形，根据矩形的性质得出AO=CO，BO=DO，AC=BD，求出OA=OB，再根据菱形的判定得出即可；(2)根据矩形的性质得出∠DAB=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，求出OA=OB= OC=DO=2，求出BD，根据勾股定理求出AD，再求出△BAD的面积，求出△ABO的面积即可．本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，三角形的面积和勾股定理等知识点，能熟记矩形的对角线相等且平分是解此题的关键．23.【答案】(1)证明：连接OC，如图，∵CD为切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC//AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，∴AC 平分∠DAB ；(2)解：连接BC ，如图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵cos∠OAC =cos∠CAD =45，在Rt △ACB ，∵cos∠OAC =AC AB =45，∴AC =45AB =45×5=4，在Rt △ADC 中，∵cos∠CAD =AD AC =45， ∴AD =45AC =165，∴CD =√AC 2−AD 2=√42−(165)2=125．【解析】(1)连接OC ，如图，根据切线的性质得到OC ⊥CD ，则可判断OC//AD ，所以∠OCA =∠DAC ，然后利用∠OAC =∠OCA 得到∠DAC =∠OAC ；(2)连接BC ，如图，先根据圆周角定理得到∠ACB =90°，接着在Rt △ACB 中利用余弦的定义求出AC =4，然后在Rt △ADC 中利用余弦的定义求出AD ，然后利用勾股定理计算出CD 的长．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形．24.【答案】解：(1)如图，(2)水柱最高点距离湖面的高度是4米；(3)由图象可得，顶点(1,4)，设二次函数的关系式为ℎ=a(d −1)2+4，把(2,3)代入可得a =−1，所以ℎ=−(d −1)2+4；(4)设水枪高度向上调整m米，设平移后二次函数关系式为ℎ′=−(d−1)2+4+m，当d=1+2=3时，ℎ′=−4+4+m=m，∴m≥2，答：水枪高度至少向上调整2米．【解析】(1)根据对应点画图象即可；(2)由图象可得答案；(3)利用待定系数法可得关系式；(4)设水枪高度向上调整m米，设平移后二次函数关系式为ℎ′=−(d−1)2+4+m，再根据二次函数的性质可得答案．本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．25.【答案】78分【解析】解：(1)由题意知第10、11个数据分别为77、78，=77.5；∴其中位数m=77+782(2)因为甲校区的中位数小于乙校区，所以甲校区赋予等级A的学生更多；=78(分)，(3)估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为：79.5×200+77×300200+300故答案为：78分．(1)根据频数分布直方图和70≤x<80的这一组的具体成绩得出第10、11个数据分别为77、78，继而依据中位数的定义求解即可；(2)根据两个校区的中位数判断即可；(3)根据加权平均数公式计算即可．本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．26.【答案】解：(1)当y1=y2时，(−1,y1)，(1,y2)关于对称轴对称，则抛物线对称轴为y轴，∴(−2,0)，(2,y3)关于y轴对称，∴y3=0．(2)将(−2,0)代入y=x2+bx+c得4−2b+c=0，将(1,y2)代入y=x2+bx+c得y2=1+b+c，将(−1,y1)代入y=x2+bx+c得y1=1−b+c，∵y2<y1，∴1+b+c<1−b+c，∴b<0，将(2,y3)代入y=x2+bx+c得y3=4+2b+c，∵y1<y3，∴1−b+c<4+2b+c，∴b>−1，∵4−2b+c=0，∴y3=4+2b+c=4b，∴−4<4b<0，即−4<y3<0．【解析】(1)由y1=y2可得抛物线对称轴为y轴，由抛物线经过(−2,0)，(2,y3)可得y3的值．(2)由抛物线经过(−2,0)可得4−2b+c=0，分别将(−1,y1)，(1,y2)，(2,y3)代入解析式，根据y2<y1<y3及b的取值范围求解．本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．27.【答案】解：(1)①补全图形如图所示：②AB=AE+CE，理由如下：如图，连接ED，并延长交AB于点F，过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AB′于H，∵CE//AB，∴∠B=∠BCE，∵D是BC的中点，∴BD=CD，又∵∠BDF=∠CDE，∴△BDF≌△CDE(ASA)，∴CE=BF，DF=ED，∵将线段AB沿AD所在直线翻折，∴∠BAD=∠B′AD，又∵∠AFD=∠AED=90°，AD=AD，∴△ADG≌△ADH(AAS)，∴DG=DH，AG=AH，又∵DE=DF，∴Rt△DFG≌Rt△DEH(HL)，∴GF=EH，∴AF=AE，∴AB=BF+AF=CE+AE；(3)如图，AB=AE−CE，理由如下：连接ED，并延长交AB于点F，过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AB′于H，∵CE//AB，∴∠DBF=∠BCE，∵D是BC的中点，∴BD=CD，又∵∠BDF=∠CDE，∴△BDF≌△CDE(ASA)，∴CE=BF，DF=ED，∵将线段AB沿AD所在直线翻折，∴∠BAD=∠B′AD，又∵∠AFD=∠AED=90°，AD=AD，∴△ADG≌△ADH(AAS)，∴DG=DH，AG=AH，又∵DE=DF，∴Rt△DFG≌Rt△DEH(HL)，∴GF=EH，∴AF=AE，∴AB=AF−BF=AE−CE．【解析】(1)①依照题意补全图形；②由“ASA”可证△BDF≌△CDE，可得CE=BF，DF=ED，由“AAS”可证△ADG≌△ADH，可得DG=DH，AG=AH，由HL可证Rt△DFG≌Rt△DEH，可得GF=EH，可得结论；(2)由“ASA”可证△BDF≌△CDE，可得CE=BF，DF=ED，由“AAS”可证△ADG≌△ADH，可得DG=DH，AG=AH，由HL可证Rt△DFG≌Rt△DEH，可得GF=EH，可得结论．本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．28.【答案】解：(1)∵k=1，b=1，∴直线l的解析式为y=x+1，设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则A(−1,0)，B(0,1)，∴AB=√12+12=√2，即直线l关于⊙O的“圆截距”为√2；(2)①如图2，设直线与y正半轴交点为P，且P(0,1)，∵点M的坐标为(1,0)，⊙M的半径为1，∴圆与x轴正半轴交点为Q(2,0)，当b=1时，直线l的解析式为y=kx+1，当直线经过点Q时，2k+1=0，解得k=−12；过点M作MF⊥PQ，垂足为F，∵OP=1，OQ=2，∴PQ=√12+22=√5，∴sin∠PQO=OPPQ =√5=√55，∵MQ=1，sin∠PQO=MFMQ =√55，∴MF =√55，QF =√12−(√55)2=2√55，设直线PQ 与圆M 的另一个交点为C ，则QC =2QF =4√55， ∵关于⊙M 的“圆截距”小于4√55， ∴k 的取值范围是−12<k ≤0；设直线PM 与圆的交点为N ，∵点P(0,1)，点M 的坐标为(1,0)，∴OP =OM ，∴∠PMO =45°，∴∠QMN =45°，根据圆的对称性，直线PQ 和直线PD 关于直线PN 对称，此时ED =CB ，∴∠DMN =45°，∴∠DMQ =90°，∴D 的坐标为(1,−1)，∴k +1=−1，解得k =−2，∴直线PD 的解析式为y =−2x +1，关于⊙M 的“圆截距”小于4√55， k 的取值范围是k <−2；综上，k 的取值范围是k <−2或−12<k ≤0．②如图3，设⊙M 与x 的正半轴交点为B ，当BF =2时，作直线AB 交y 轴的正半轴于点A ，此时b 的值最大，过点M 作MD ⊥AB ，垂足为D ，∵BF =2，∴BD=1，∵MB=2，∴∠DMB=30°，∠ABO=60°，∵OB=3，tan∠ABO=OA，OB∴OA=OBtan60°=3√3，此时b的最大值为3√3；设⊙M与x轴的正半轴的交点为B，当BG=2时，作直线BC交y轴的负半轴于点C，此时b的值最小，过点M作ME⊥BC，垂足为E，∵BG=2，∴BE=1，∵MB=2，∴∠EMB=30°，∠CBO=60°，∵OB=3，tan∠CBO=OC，OB∴OC=OBtan60°=3√3，此时b的最小值为−3√3；故b的取值范围是−3√3≤b≤3√3．【解析】(1)根据k和b的值直接写出直线的解析式，设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，根据勾股定理求出“圆截距”即可；√5时，弦的位置，注意分类，确定直线的解析(2)①根据圆的垂径定理，确定弦长为45式，根据直线的增减性确定k的取值范围即可；②当最短弦长为2时，分弦在x轴上方和x轴下方两种情况讨论求解．本题考查了垂径定理，一次函数的解析式和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握圆的性质，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．。

2024北京朝阳区初三一模数学试卷和答案

2024北京朝阳初三一模数学考生须知1．本试卷共6页，共三道大题， 28道小题，满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．1. 2024年1月21日北京市第十六届人民代表大会第二次会议开幕，在政府工作报告中提到，2023年北京向天津、河北输出技术合同成交额74870000000元，将74870000000用科学记数法表示应为（）A. 974.8710⨯ B. 107.48710⨯ C. 97.48710⨯ D. 110.748710⨯2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.3. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若50AOC ∠=︒，15DOE ∠=︒，则∠BOE 的度数为（）A. 15︒B. 30︒C. 35︒D. 65︒4. 如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体可能是（）A. 三棱柱B. 长方体C. 圆柱D. 圆锥5. 若a b <，则下列结论正确的是（）A. a b-<- B. 2a a b<+ C. 11a b-<- D. 2121a b +>+6. 正十边形的内角和为（）A. 144︒B. 360︒C. 1440︒D. 1800︒7. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数为5的概率是（）A.23B. 12C.13D.168. 如图，四边形ABCD 是正方形，点E F ，分别在AB BC ，的延长线上，且BE CF =，设AD a AE b AF c ===，，．给出下面三个结论：①a b c +>；②22ab c <；2a >．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二、填空题（共16分，每题2分）9. x 的取值范围是______．10. 分解因式：3x 2+6xy+3y 2＝_____．11. 方程21345x x =-的解为______．12. 关于x 的一元二次方程250x x m ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_____．13. 某种植户种植了1000棵新品种果树，为了解这1000棵果树的水果产量，随机抽取了50棵进行统计，获取了它们的水果产量（单位：千克），数据整理如下：水果产量50x <5075x ≤<75100x ≤<100125x ≤<125x ≥果树棵数11520122根据以上数据，估计这1000棵果树中水果产量不低于75千克的果树棵数为_____．14. 在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点C 处的镜子中看到教学楼的顶部D 时，测得小南的眼睛与地面的距离 1.6m AB =，同时测得 2.4m BC =，9.6m CE =，则教学楼高度DE =_____m ．15. 如图，O 是Rt ABC △的外接圆，OE AB ⊥于点D ，交O 于点E ，若8AB =，2DE =，则BC 的长为_____．16. 甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作A B C D 、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲9568乙7793（1）如果按照A B C D →→→的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为_______分钟；（2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是_______．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. ()012π2sin45--︒18. 解不等式组：()2431432x x x x ⎧-<-⎪⎨--<⎪⎩，．19. 已知220x y ++=，求代数式 2422yxx x x y ⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭的值．20. 如图，在ABCD Y 中，AB AC =，过点D 作AC 的平行线与BA 的延长线相交于点 E ．（1）求证：四边形ACDE 是菱形；（2）连接CE ，若5tan 2AB B ==，，求CE 的长．21. 燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为61.25平方尺，则长桌的长为多少尺？22. 在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数()0y mx m =≠的图象和反比例函数 ()0ky k x=≠的图象都经过点()24A ，．（1）求该正比例函数和反比例函数的解析式；（2）当3x >时，对于x 的每一个值，函数()0y mx n m =+≠的值都大于反比例函数 ()0k y k x=≠的值，直接写出n 的取值范围．23. 某广场用月季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度（单位：cm ），数据整理如下：a ．两批月季花树高度的频数： 131135136140144148149第一批13422第二批12351b ．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数（结果保留整数）：平均数中位数众数第一批140140n 第二批141m144（1）写出表中m ，n 的值；（2）在这两批花树中，高度的整齐度更好的是（填“第一批”或“第二批”）；（3）根据造型的需要，这两批花树各选用10棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为135cm 和149cm 的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是 cm 和 cm ．24. 如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，D 是 BC的中点，AD 的延长线与过点B 的切线交于点E ，AD 与BC 的交点为F ．（1）求证：BE BF =；（2）若O 的半径是2，3BE =，求AF 的长．25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100C ︒后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50C ︒水壶不加热；若水温降至50C ︒，水壶开始加热，水温达到100C ︒时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量a （单位：L ），水温T （单位： C ︒）与时间t （单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据．表1从20C ︒开始加热至100C ︒水量与时间对照表a0.51 1.522.53t4.5811.51518.522表2 1L 水从20C ︒开始加热，水温与时间对照表煮沸模式保温模式t036m 101214161820222426…T 205080100898072666055505560对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L 时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T 就是加热时间t 的一次函数．（1）写出表中m 的值；（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容：①在下图中补全水温与时间的函数图象；②当60t =时，T = ；（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L 温度为 20C ︒的水，当水加热至100C ︒后立即关闭电源．出门前，他（填“能”或“不能”）喝到低于50C ︒的水．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 ()20y ax bx a =+>上有两点()()1122,,x y x y ，，它的对称轴为直线x t =．（1）若该抛物线经过点()40，，求t 的值；（2）当()101x <<时，①若1t >，则1y 0；（填“>”“=”或“<” ）②若对于122x x +=，都有120y y >，求t 的取值范围．27. 如图，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，E 是CD 边上一点（不与点C ，D 重合）．将线段AE 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AF ，连接DF ，连接BF 交AC 于点G ．（1）依据题意，补全图形；（2）求证：GB GF =；（3）用等式表示线段BC ，CE ，BG 之间的数量关系．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于直线l 和线段PQ ，给出如下定义：若线段PQ 关于直线l 的对称图形是O 的弦P Q ''（P '，Q '分别为P ，Q 的对应点），则称线段PQ 是O 关于直线l 的“对称弦”（1）如图，点1A ，2A ，3A ，1B ，2B ，3B 的横、纵坐标都是整数．线段11A B ，22A B ，33A B 中，是O 关于直线1y x =+的“对称弦”的是；（2）CD 是O 关于直线()0y kx k =≠的“对称弦”，若点C 的坐标为()1,0-，且1CD =，求点D 的坐标；（3）已知直线y x b =-+和点(3,M ，若线段MN 是O 关于直线y b =-+的“对称弦”，且1MN =，直接写出b 的值．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．1. 【答案】B【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，解题的关键要正确确定a 的值以及n 的值．【详解】解：10748700000007.48710=⨯；故选：B ．2. 【答案】D【分析】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，根据中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；逐项分析即可得出答案．【详解】解：A 、正三角形是轴对称图形不是中心对称图形，A 不符合题意；B 、等腰直角三角形是轴对称图形不是中心对称图形，B 不符合题意；C 、正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，C 不符合题意；D 、正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，D 符合题意；故选：D ．3. 【答案】C【分析】本题考查了对顶角相等，角的运算；根据对顶角的性质得50BOD AOC ∠=∠=︒，根据BOE BOD DOE ∠=∠-∠即可求解．【详解】解：∵直线AB ，CD 相交于点O ，50AOC ∠=︒，∴50BOD AOC ∠=∠=︒，∵15DOE ∠=︒，∴501535BOE BOD DOE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：C ．4. 【答案】B【分析】本题考查了简单几何图的三视图，根据几何体的三视图逐项判断即可求解．【详解】解：三棱柱的两个底面是三角形，所以不可能三视图都是矩形，故选项A 不符合题意；长方体的三视图都是矩形，故选项B 符合题意；圆柱的两个底面是三角形，所以不可能三视图都是矩形，故选项C 不符合题意；正立的圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故选项D 不符合题意．故选：B ．5. 【答案】B【分析】本题主要考查不等式的基本性质，解题的关键是根据不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变逐项判定．【详解】解：A 、若a b <，则a b ->-，故不合题意；B 、若a b <，则2a a b <+，故符合题意；C 、若a b <，则11a b ->-，故不合题意；D 、若a b <，则2121a b +<+，故不合题意，故选：B ．6. 【答案】C【分析】本题主要考查多边形的内角和，解题的关键是利用多边形的内角和公式进行计算即可．【详解】解：正十边形的内角和为180(102)︒⨯-1808=︒⨯1440=︒．故选C ．7. 【答案】D【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是根据概率公式求解，随机事件A 的概率()P A =事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【详解】解：∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，∴向上一面的点数为5的概率是16，故选：D ．8. 【答案】A【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明DAE BAF △≌△，结合三角形的三边关系判断①；完全平方公式结合勾股定理判定②；勾股定理判断③．【详解】解：∵正方形ABCD ，∴,90AD AB BC DAB ABC ==∠=∠=︒，∵BE CF =，∴AE BF =，∴DAE BAF △≌△，∴AF DE c ==，∵AD AE DE +>，∴a b c +>；故①正确；∵222AD AE DE +=，即：222+=a b c ，∴()2222220b a a ab b c ab -=-+=->，∴22ab c <；故②正确；c =，且,E F 为动点，∴无法确定c 和2a 的关系，故③错误；故选A ．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】14x ≥【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，根据被开方数不小于零列出不等式，解不等式即可．∴140x -≥，解得：14x ≥．故答案为：14x ≥．10. 【答案】3（x+y ）2．【分析】先利用提取公因式法提取数字3，再利用完全平方公式继续进行分解．【详解】3x 2+6xy +3y 2=3（x 2+2xy +y 2）=3（x +y ）2．故答案为3（x +y ）2．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11. 【答案】2x =【分析】本题考查了解分式方程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得出答案．【详解】解：21345x x =-去分母得：()2453x x -=，去括号得：8103x x -=，移项得：8310x x -=，合并同类项得：510x =，系数化为1得：2x =．检验：当2x =时，()3450x x -≠，∴原分式方程的解为2x =．故答案为：2x =．12. 【答案】254m <【分析】根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式＞0，即可求解本题．【详解】解：∵方程250x x m ++=有两个不相等的实数根，∴25410＞∆=-⨯⨯m ，解得：254m <；故答案为：254m <．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．13. 【答案】680【分析】本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用．用1000乘以水果产量不低于75千克的果树的百分比即可求解．【详解】解：估计这1000棵果树中水果产量不低于75千克的果树棵数为20122100068050++⨯=（棵）．故答案为：680．14. 【答案】6.4【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可求解．【详解】解：由题意可知，AB DE ∥，∴ABC DEC ∽△△，∴AB BCDE CE=，即1.62.49.6DE =，解得 6.4DE =，则教学楼高度 6.4m DE =，故答案为：6.4．15. 【答案】6【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和中位线定理，由垂径定理得142AD BD AB ===，90ADO BDO ∠=∠=︒，则可得OD 是ABC 的中位线，设半径为r ，由勾股定理得222OA OD AD =+，求出=5r 即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵OE AB ⊥，∴142AD BD AB ===，90ADO BDO ∠=∠=︒，∵OA OC =，∴OD 是ABC 的中位线，∴12OD BC =，即2BC OD =，设半径为r ，则2OD OE DE r =-=-，在Rt AOD 中，由勾股定理得：222OA OD AD =+，∴()22224r r =-+，解得=5r ，∴23OD r =-=，∴26BC OD ==．16. 【答案】 ①. 35 ②. B C A D→→→【分析】本题主要考查最优化时间的使用的有理数加减运算，()1根据甲乙各自的拼装和上色所需时间进行分解，求出对应的用时再求得总时长即可；()2由于甲乙开始都需要时间，为甲选择B ，再结合各自所需时间排序即可．【详解】解：（1）甲先拼装A 需9分钟，乙开始上色A ，与此同时甲可以拼装B 和2分钟的C ，乙给B 上色时，甲可以继续拼装C 和3分钟D ，乙为C 上色5分钟时甲可以完成D 的拼装，此时乙还需要4分钟为C 上色，接着为D 上色3分钟，时间分解如图，（其中字母表示制作的游戏道具，数字表示相应的时间）故总时长最少为97754335+++++=分钟，故答案为35；（2）甲先拼装B 需5分钟，乙开始上色B ，与此同时甲可以拼装C 和1分钟的A ，乙给C 上色时，甲可以继续拼装A 和1分钟D ，乙为A 上色7分钟时甲可以完成D 的拼装，此时乙还需要3分钟为D 上色，时间分解如图，选择B C A D →→→这种方案即可用时最少．（其中字母表示制作的游戏道具，数字表示相应的时间）故答案为B C A D→→→．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】【分析】此题主要考查了实数运算，解题的关键是直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零整数指数幂的性质分别化简得出答案．()012π2sin45+---︒112=-+-11=+-+=18. 【答案】12x-<<【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．【详解】解：()2431432x xxx⎧-<-⎪⎨--<⎪⎩①②，解不等式①得，1x>-，解不等式②得，2x<，∴不等式组的解集为12x-<<．19. 【答案】24x y+，4-【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简所求式子，再根据220x y++=，可以得到22+=-x y，代入化简后的式子计算即可．【详解】解：2422y xxx x y⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭22422x y x x x y -=⋅-()()2222x y x y xxx y-+=⋅-()22x y =+24x y =+，∵220x y ++=，∴22+=-x y ，∴原式()()22422x y ==⨯-=-+．20. 【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）由平行四边形的性质得AB CD =，AB CD ∥，再证明四边形ACDE 是平行四边形，进而证明CD AC =，然后由菱形的判定即可得出结论；（2）设AD 与CE 交于点F ，证明FAC ACB B ∠=∠=∠，再由菱形的性质得AF DF =，CF EF =，AD CE ⊥，进而由锐角三角函数定义得CF 2AF =，设CF x =，则2CF x =，然后在Rt AFC △中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【小问1详解】证明：四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，AB CD ∥，DE AC ∥ ，∴四边形ACDE 是平行四边形，AB AC = ，CD AC ∴=，∴平行四边形ACDE 是菱形；【小问2详解】如图，设AD 与CE 交于点F ，5AB AC == ，B ACB ∴∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，FAC ACB B ∴∠=∠=∠，由（1）可知，四边形ACDE 是菱形，AB CD AE ∴==，AD BC ∥，AD CE ⊥，90BCE AOE ∴∠=∠=︒，在Rt BCE △中，tan 2CEB BC==，设BC x =，则2CE x =，∵AB =5∴BE =2AB =10∵222BC CE BE += ，222(2)10x x ∴+=，解得12)x x ==-舍即CE 的长为【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识．21. 【答案】7【分析】本题考查了一元二次方程的应用，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键．设每张桌面的宽为x 尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，根据题意列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设每张桌面的宽为x 尺，根据图形可得：小桌的长为2x 尺，中桌的长为3x 尺，长桌的长为4x 尺，故可得22224233261.25x x x ⨯+⨯+⨯=，解得：174x =，274x =-（舍去），∴47x =，答：长桌的长为7尺．22. 【答案】（1）2y x =，8y x=（2）103n ≥-【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：（1）将A 点坐标代入两个函数解析式求出,m k 值即可；（2）当3x =时，26y mx n x n n =+=+=+，883y x ==，根据题意863n +>，解出不等式解集即可．【小问1详解】解：正比例函数(0)y mx m =≠的图象和反比例函数(0)kyk x=≠的图象都经过点(2,4)A ，422m ∴==，428k =⨯=，∴正比例函数解析式为：2y x =；反比例函数解析式为：8y x=；【小问2详解】当3x =时，26y mx n x n n =+=+=+，883y x ==，当3x >时，对于x 的每一个值，函数(0)ymx n m =+≠的值都大于反比例函数(0)ky k x=≠的值，863n ∴+≥，解得103n ≥-．23. 【答案】（1）140n =，142m = （2）第二批（3）131，135【分析】本题考查了众数，中位数，平均数等．（1）根据众数和中位数的定义直接进行解答即可；（2）从平均数，众数和中位数三个方面进行分析，即可得出答案；（3）根据表中给出的数据，分别进行分析，即可得出答案．【小问1详解】解：∵在第一批中，140出现了4次，出现的次数最多，∴众数是140cm ，即140n =；把第二批花的高度从小到大排列，中位数是第6、第7个数的平均数，则中位数是1401441422+=（cm ），即142m =；【小问2详解】（2）第一批的方差是：112×[（131-140）2+3×（135-140）2+4×（140-140）2+2×（144-140）2+2×（148-140）2]=793，第二批的方差是：112×[（135-141）2+2×（136-141）2+3×（140-141）2+5×（144-141）2+（149-141）2]=16.5，则在这两批花树中，高度的整齐度更好的是第二批；故答案为：第二批；【小问3详解】解：第二批去掉了高度为135cm 和149cm 的两棵花树后的平均数为：14112135149140.810⨯--=（cm ），第一批花树的平均数为140cm ，去掉的两棵且使高度尽可能接近平均高度，则需要去掉高度最小的两颗，即去掉的两棵花树的高度分别是131cm ，135cm ；故答案为：131，135．24. 【答案】（1）证明见解析（2）75【分析】（1）根据在同圆中等弧所对的圆周角相等得出BAD CAD ∠=∠，根据直径所对的圆周角是直角可得90C ∠=︒，根据直角三角形中两个锐角互余可得90CAD AFC ∠+∠=︒，根据对顶角相等可得90CAD EFB ∠+∠=︒，根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得90ABE ∠=︒，根据直角三角形中两个锐角互余可得90E BAD ∠+∠=︒，根据等角的余角相等可得EEFB ∠=∠，根据等角对等边即可证明；（2）连接BD ，根据直径所对的圆周角是直角可得90ADB ∠=︒，根据直角三角形中两个锐角互余可得90EAB ABD ∠+∠=︒，根据等角的余角相等可得EAB EBD ∠=∠，根据题意可得4AB =，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得5AE =，根据锐角三角形函数的定义可求得95ED =，根据等腰三角形底边上的高与底边上的中点重合可得185EF =，即可求解．【小问1详解】证明：∵D 是 BC的中点，∴ BDCD =，∴BAD CAD ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90C ∠=︒，∴90CAD AFC ∠+∠=︒，∵AFC EFB ∠=∠，∴90CAD EFB ∠+∠=︒，∵BE 与O 相切于点B ，∴90ABE ∠=︒，∴90E BAD ∠+∠=︒，∴EEFB ∠=∠，∴BE BF =．【小问2详解】解：连接BD ，如图：∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴90EAB ABD ∠+∠=︒，∵90ABE EBD ABD ∠=∠+∠=︒，∴EAB EBD ∠=∠，∵O 的半径是2， ∴4AB =，∵3BE =，在Rt ABE △中，5AE ===，∴3sin sin 5DE BE EBD EAB BE AE ====∠∠，∴39sin 355ED BE EBD =⋅=⨯=∠，∵BE BF =，BD EF ⊥，∴9182255EF DE ==⨯=，∴187555AF AE EF =-=-=．【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角形函数的定义，等角的余角相等等，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键．25. 【答案】（1）8（2）①图见解析；②60℃ （3）不能【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键．（1）在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，从而计算出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可；（2）①描点并连线即可；②当时间从26分开始，设时间为t 时，水温加热到100℃．在这个过程中每2分钟，水温升高5℃，从而求出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程求出t ，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少；（3）由表1可知，2.5L 的水从20℃加热到100℃需要18.5分，此时离出门还剩3018.511.5-=（分）；根据表2，计算水温从100℃降到50℃需要的时间，将这个时间与21.5分比较，在关闭电源的基础上即可得到结论．【小问1详解】解：在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，30310÷=（℃），∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升10℃，∴()10610080m -=-，∴8m =．【小问2详解】解：①补全水温与时间的函数图象如图所示：②当时间从26分开始，设时间为t 时，水温加热到100℃．在这个过程中每2分钟，水温升高5℃，则每1分钟水温升高52 2.5÷=（℃），由此得()2.52610060t -=-，解得42t =，604218-=（分），根据表2的数据可知，100T =℃经过18分后水温降到了60℃，∴当60t =时，60T =℃．故答案为：60℃；【小问3详解】解：由表1可知，2.5L 的水从20℃加热到100℃需要18.5分，3018.511.5-=（分），由表2可知，水温从100℃降到50℃需要22814-=（分），∵11.513<，且电源已关闭，∴出门前，他不能喝到低于50℃的水．故答案为：不能．26. 【答案】（1）2t = （2）①<，②1t ≤或0t ≤【分析】本题主要考查二次函数的性质，()1将点代入抛物线求得4b a =-，结合对称轴定义即可求得；()2①根据题意得抛物线开口向上，且过原点，即可得10y<；②由已知求得212x <<，结合120y y >恒成立，则有点()()1122,,x y x y ，在x 的同侧即可．【小问1详解】解：将点()40，代入()20y ax bx a =+>得1640a b +=，解得4b a =-，∴4222b a x a a-=-=-=，则2t =；【小问2详解】①根据题意得抛物线开口向上，且过原点，∵1t >，101x <<，∴10y <；②∵122x x +=， 101x <<，∴212x <<，∵有120y y >恒成立，∴点()()1122,,x y x y ，在x 的同侧，则1t ≤或0t ≤．27. 【答案】（1）图见解析（2）证明见解析（3）22234BC CE BG +=【分析】（1）根据题意连线即可；（2）连接BD ，与AC 相交于点O ，根据旋转的性质可得60EAF ∠=︒，AE AF =，根据菱形的性质可得AB BC =，1602BAC CAD BAD ∠=∠=∠=︒，BO OD =，根据等边三角形的判定和性质可得AC AD =，60ACD ∠=︒，根据全等三角形的的判定和性质可得60ADF ACD ==︒∠∠，根据平行线的判定得出DF AC ∥，根据平行线分线段成比例定理即可证明；（3）根据勾股定理可得2224BD DF BG +=，根据等边三角形的性质可得30OBC ∠=︒，根据锐角三角函数可求得BC =，推得223BC BD =，即可求解．【小问1详解】解：如图：【小问2详解】证明：连接BD ，与AC 相交于点O ，如图：∵线段AE 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AF ，∴60EAF ∠=︒，AE AF =，∵在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，∴AB BC =，1602BAC CAD BAD ∠=∠=∠=︒，BO OD =，∴ABC 、ACD 是等边三角形，∴AC AD =，60ACD ∠=︒，∴CAE DAF ∠=∠,∴ACE ADF ≌，∴60ADF ACD ==︒∠∠，∴DF AC ∥，∴BGBOGF OD =，∵BO OD =，∴GB GF =；【小问3详解】解：22234BC CE BG +=，理由如下：∵DF AC ∥，BD AC ⊥，∴DF BD ⊥，在Rt BFD 中，()2222224BD DF BF BG BG +===，∵ABC 是等边三角形，BO AC ⊥，∴1302OBC ABC ==︒∠，cos30cos OB OBC BC ︒===∠，∴BC =，则2243BC BO =，则()2222342BC BO BO BD ===，∴2222234BC CE BD DF BG +=+=，即22234BC CE BG +=．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解直角三角形等，解题的关键是根据全等三角形的性质和平行线的判定推得DF AC ∥．28. 【答案】（1）11A B（2）1,2⎛- ⎝或12⎛- ⎝（3【分析】（1）根据题中定义即可画图得出；（2）根据题意可得直线()0y kx k =≠垂直平分CC '，DD '，结合点C 的坐标，推得点D 在O 上，即可得出点D 是C 与O 交点，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得点1D 、2D 的坐标；（3）结合（2）可得点1N 是点1M 与O 交点，先求出直线y x b =-+与x ，y 轴的交点坐标，结合三角形的面积求得OH 的值，根据锐角三角函数可求得点O '的坐标3,2b ⎫⎪⎪⎭，根据两点间的距离公式即可列出方程，解方程即可．【小问1详解】解：如图所示：∴O 关于直线1y x =+的“对称弦”的是线段11A B ；【小问2详解】解：设点C ，D 关于直线()0y kx k =≠的对称点为C ',D ¢，∴直线()0y kx k =≠垂直平分CC '，DD '，∵CD 是O 关于直线()0y kx k =≠的“对称弦”，∴C ',D ¢在O 上，∵点C 的坐标为()1,0-，即点C 在O 上，∵直线()0y kx k =≠经过圆心O ，∴点D 也在O 上，∵1CD =，故点D 在以点C 为圆心，CD 为半径的圆上，如图：C 与O 交于点1D 与点2D ；∵11OC CD OD ==，即1OCD △是等边三角形，故点1D 的横坐标为12-，点1D同理，点2D 的横坐标为12-，点2D 的纵坐标为-，综上，点D 的坐标为1,2⎛- ⎝或12⎛- ⎝；【小问3详解】解：设点M 关于直线y x b =-+的对称点为1M ,∴直线y x b =-+垂直平分1MM ，∵线段MN 是O 关于直线y x b =-+的“对称弦”， ∴1M 在O 上，由（2）可得点1N 在以点1M 为圆心，MN 为半径的圆上，又∵1MN =，即11OM =；令直线y x b =-+与x ，y 轴交于点P ，Q ，过点O 作OO '⊥直线y x b =-+交于点H ，点O '作O E x '⊥轴交于点E ，如图：令0x =，则y b =，即点()0,Q b ，OQ b =,令0y =，则x =，即点),0P ，OP =，则2PQ b ===，则OQ OP OH PQ ⋅===，∴2OO OH =='，∵90OQP QOH ∠+∠=︒，90OQP QPO ∠+∠=︒，∴QOH QPO ∠=∠，∵OQ O E ' ，∴OO E QOH QPO ∠=∠=∠'，∵1sin 2OQ QPO PQ ∠==，cos OP QPO PQ ∠==，∴1sin 2OE OO E OO ∠==''，cos O E OO E OO ''=='∠∴sin OE OO OO E ''=⋅∠=，3cos 2O E OO OO E b ='∠'⋅='，即点O '的坐标为3,2b ⎫⎪⎪⎭，∵(3,M ，11O M OM '==；∴1O M '==，整理得：23200b -+=，解得：b =或b =，故b 的值为【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键．。

2023北京朝阳区初三一模数学试题及参考答案

北京市朝阳区九年级综合练习（一）一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．1.下图是某几何体的三视图，该几何体是（A ）长方体（B ）三棱柱（C ）圆锥（D ）圆柱第1题第3题第4题第7题2.我国已建成世界上规模最大的社会保障体系、医疗卫生体系，基本养老保险覆盖1 040 000 000人左右，将1 040 000 000用科学记数法表示应为（A ）1.04×1010 （B ）1.04×109 （C ）10.4×109 （D ） 0.104×10113．如上图，若数轴上的点A 表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数是（A ）（B（C （D ）π4. 如上图，直线AB ，CD 相交于点O ，若∠AOC =60°，∠BOE =40°，则∠DOE 的度数为（A ）60° （B ）40°（C ）20° （D ）10°5. 经过某路口的汽车，只能直行或右转. 若这两种可能性大小相同，则经过该路口的两辆汽车都直行的概率为（A ）（B ）（C ）（D ）141312346．正六边形的外角和为（A ）180°（B ）360°（C ）540°（D ）720°7．某中学为了解学生对四类劳动课程的喜欢情况，从本校学生中随机抽取了200名进行问卷调查，根据数据绘制了如上面图所示的统计图. 若该校有2000名学生，估计喜欢木工的人数为（A ）64（B ）380（C ）640 （D ）7208. 下面的三个问题中都有两个变量：①矩形的面积一定，一边长y 与它的邻边x ;②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积S 与全村总人口n ;③汽车的行驶速度一定，行驶路程s 与行驶时间t .其中，两个变量之间的函数关系可以用形如的式子表示的是（A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）①②③二、填空题（共16分，每题2分）9在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是．10．分解因式：．11．若关于x 的一元二次方程260x x m ++=有两个相等的实数根，则实数m 的值为．12．方程的解为．13．在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数的图象经过点和点，则．14．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AC =6. 若△ABD 的周长为13，则△ABC 的周长为．15．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 边上，连接BE 并延长，交CD 的延长0ky k k x=≠（为常数，）2363a a -+=322x x=+6y x=()2A m ，()2B n -，m n +=第14题图第15题图线于点F . 若AB =2，BC =4，，则BF 的长为．16. 一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元.（说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住. 三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元.）（1）若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了间一人间;（2）若该旅游团租住了3间一人间，且共有19名男士，则租住一晚的住宿房费最少为元.三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．计算：．18．解不等式组：19．已知，求代数式的值．20. 下面是证明“等腰三角形的两个底角相等”的两种添加辅助线的方法，选择其2AEDE=(02sin 45π-+-o 17242.3x x xx +⎧⎪+⎨⎪⎩＞-，≤230x x --=(2)(2)(2)x x x x +---中一种，完成证明.已知：如图，在△ABC 中，AB =AC .求证：∠B =∠C .方法一证明：如图，作△ABC 的中线AD .方法二证明：如图，作△ABC 的角平分线AD .21. 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，AE ∥CF ，连接AF ，CE ．（1）求证：四边形AECF 为平行四边形；（2）若∠EAO +∠CFD =180°，求证：四边形AECF 是矩形．22. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图象经过点（0，1），（-2，2），与x轴交于点A .（1）求该一次函数的表达式及点A 的坐标；（2）当2x ≥时，对于x 的每一个值，函数的值大于一次函数0y kx b k =+≠（）2y x m =+的值，直接写出m 的取值范围.23. 如图，AB 是⊙O 的弦，过点O 作OC ⊥AB ，垂足为C ，过点A 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点D ，连接OB .（1）求证：∠B =∠D ；（2）延长BO 交⊙O 于点E ，连接AE ，CE ，若AD=，sinBCE 的长．24．某校为了解读书月期间学生平均每天阅读时间，在该校七、八、九年级学生中各随机抽取了15名学生，获得了他们平均每天阅读时间（单位：min ），并对数据进行了整理、描述，给出部分信息.a . 七、八年级学生平均每天阅读时间统计图：0y kx b k =+≠（）七年级学生平均每天阅读时间八年级学生平均每天阅读时间b . 九年级学生平均每天阅读时间：21 22 25 33 36 36 37 37 39 39 41 42 46 48 50c . 七、八、九年级学生平均每天阅读时间的平均数：年级七八九平均数26.435.236.8根据以上信息，回答下列问题：（1）抽取的15名九年级学生平均每天阅读时间的中位数是；（2）求三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数；（3）若七、八、九年级抽取的学生平均每天阅读时间的方差分别为，，，则，，之间的大小关系为.25．一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程，滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t （单位：s ）近似满足“一次函数”、“二次函数”或“反比例函数”关系中的一种. 测得一些数据如下：滑行时间t /s 01234滑行距离s /m261220（1）s 是t 的函数（填“一次”、“二次”或“反比例”）；21s 22s 23s 21s 22s 23s（2）求s 关于t 的函数表达式；（3）已知第二位滑雪者也从坡顶滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s （单位：m ）与滑行时间t （单位：s ）近似满足函数关系2522s t t =+. 记第一位滑雪者滑完全程所用时间为t 1，第二位滑雪者滑完全程所用时间为t 2，则t 1t 2（填“<”，“=”或“＞”）.26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+（2m -6）x +1经过点()124m -，.（1）求a 的值；（2）求抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；（3）点()1m y -，，()2m y ，，()32m y +，在抛物线上，若231y y y ＜≤，求m 的取值范围.27. 如图，∠MON =α，点A 在ON 上，过点A 作OM 的平行线，与∠MON 的平分线交于点B ，点C 在OB 上（不与点O ，B 重合），连接AC ，将线段AC 绕点A 顺时针旋转180°-α，得到线段AD ，连接BD .（1）直接写出线段AO 与AB 之间的数量关系，并证明∠MOB =∠DBA ；（2）连接DC 并延长，分别交AB ，OM 于点E ，F . 若α=60°，用等式表示线段EF 与AC 之间的数量关系，并证明.28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P ，C ，Q （点P 与点C 不重合），给出如下定义：若∠PCQ =90°，且1CQ CP k，则称点Q 为点P 关于点C 的“k -关联点”.已知点A （3，0），点B （0，），⊙O 的半径为r .（1）①在点D （0，3），E （0，-1.5），F （3，3）中，是点A 关于点O 的“1-关联点”的为；②点B 关于点O 的关联点”的坐标为；（2）点P 为线段AB 上的任意一点，点C 为线段OB 上任意一点（不与点B重合）.①若⊙O 上存在点P 关于点O 的关联点”，直接写出r 的最大值及最小值；②当r =⊙O 上不存在点P 关于点C 的“k -关联点”，直接写出k 的取值范围：.北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考2023.4一、选择题（共16分，每题2分）题号12345678答案A B D C A B C A 二、填空题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27，28题，每题7分）17. 解：原式12=-++1=+.18. 解：原不等式组为17242.3x xxx+⎧⎪+⎨⎪⎩＞-，≤解不等式①，得 2.x>解不等式②，得 4.x≤∴原不等式组的解集为2 4.x<≤19. 解：(2)(2)(2)x x x x+---2242x x x=--+222 4.x x=--∵230x x--=，∴2 3.x x-=题号9101112答案5x≥23(1)a-9x=4题号13141516答案01951；1600①②∴原式22()4 2.x x =--=20. 方法一证明：∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD =CD .在△ABD 和△ACD 中，AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，，，∴△ABD ≌△ACD . ∴∠B =∠C .方法二证明：∵AD 是△ABC 的角平分线， ∴∠BAD =∠CAD . 在△ABD 和△ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△ABD ≌△ACD . ∴∠B =∠C.21. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA =OC . ∵AE ∥CF ，∴∠EAO =∠FCO .∵∠AOE =∠COF ，∴△AEO ≌△CFO . ∴OE =OF .∴四边形AECF 为平行四边形.（2）∵∠EAO +∠CFD =180°，∠CFO +∠CFD =180°，∴∠EAO=∠CFO . ∵∠EAO =∠FCO ，∴∠FCO=∠CFO . ∴OC=OF . ∴AC=EF .∴四边形AECF 是矩形．22. 解：（1）∵一次函数的图象经过点（0，1），（-2，2），∴12 2.b k b =⎧⎨-+=⎩，解得 121.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴该一次函数的表达式为11.2y x =-+令0y =，得 2.x =∴()20.A ，（2） 4.m ＞-23. （1）证明：如图，连接OA .∵AD 为⊙O 的切线，∴∠OAD =90°.∴∠CAD +∠OAB =90°.∵OC ⊥AB ，∴∠ACD =90°.∴∠CAD +∠D =90°.∴∠OAB =∠D .∵OA =OB ，∴∠OAB =∠B .∴∠B =∠D .（2）解：在Rt △ACD 中，AD=，sin D =sin B，可得sin 2AC AD D =⋅=.∴AB =2AC =4.根据勾股定理，得CD =4.∴tan B =tan D =12.∵BE 为⊙O 的直径，0y kx b k =+≠（）∴∠EAB =90°.在Rt △ABE 中,tan 2AE AB B =⋅=.在Rt △ACE 中，根据勾股定理，得CE=24．解：（1）37．（2）根据题意可知，三个年级抽取的45名学生平均每天阅读时间的平均数为 1526.41535.21536.832.8.45⨯+⨯+⨯=（3）＜＜．25．解：（1）二次.（2）设s 关于t 的函数表达式为s =at 2+bt ，根据题意，得242 6.a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得11.a b =⎧⎨=⎩，∴s 关于t 的函数表达式为s =t 2+t.（3）＞.26．解：（1）∵抛物线y =ax 2+（2m -6）x +1经过点()124m -，，∴2m -4=a +（2m -6）+1.∴a =1（2）由（1）得抛物线的表达式为y =x 2+（2m -6）x +1.∴抛物线的对称轴为3.x m =-（3）①当m ＞0时，可知点()1m y -，，()2m y ，，()32m y +，从左至右分布.根据23y y ＜可得232m m m ++-＜.∴ 1.m ＞根据31y y ≤可得232m m m -++-≥.∴ 2.m ≤22s 21s 23s∴1 2.m ＜≤②当m ≤0时，∵3m m m +≤-＜-，∴21y y ≥，不符合题意.综上，m 的取值范围为1 2.m ＜≤27．解：（1）AO =AB .证明：∵OB 平分∠MON ， ∴∠MOB =∠NOB. ∵OM //AB ，∴∠MOB =∠ABO. ∴∠NOB =∠ABO. ∴AO =AB .根据题意，得AC =AD ，∠OAB =∠CAD .∴∠CAO =∠DAB.∴△OAC ≌△BAD. ∴∠COA =∠DBA. ∴∠MOB =∠DBA.（2）EF =.证明：如图，在OM 上截取OH =BE ，连接CH .∵△OAC ≌△BAD ，∴OC=BD.又OH =BE ，∴△OHC ≌△BED.∴CH=DE ，∠OHC=∠BED ，∵OM//AB ，∴∠MFC=∠BED.∴∠MFC=∠OHC.∴CF=CH.∴CF=DE.∴CD=EF.∵α=60°，∴∠CAD=180°－α=120°，作AK ⊥CD 于点K. ∵AC=AD ，∴∠ACK =30°，1.2CK CD =∴.CK AC =∴CD =.∴EF =.28．解：（1）①D .②（-3，0）或（3，0）.（2）① 3，32.②k .。

北京市朝阳区2024届高三一模数学含答案

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一数学2024.4（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{1,2,3,4},{|2}U A x U x ==∈<，则U A =ð（A ）{1}（B ）{1,2}（C ）{3,4}（D ）{2,3,4}（2）复数i3i+在复平面内对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）在ABC △2sin b A =，则B ∠=（A ）6π（B ）6π或65π（C ）3π（D ）3π或32π（4）已知a ∈R ，则“01a <<”是“函数3()(1)f x a x =-在R 上单调递增”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知直线60x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r =（A ）2（B ）（C ）4（D ）（6）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12341,4a a a a =++=，则6S =（A ）9（B ）16（C ）21（D ）25（7）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，,M N分别是l 与双曲线C 及其渐近线在第一象限内的交点．若M 是线段FN 的中点，则C 的渐近线方程为（A ）y x=±（B ）2y x =±（C ）3y x =±（D ）5y x =±（8）在ABC △中，2,AB AC BC ===，点P 在线段BC 上．当PA PB ⋅取得最小值时，PA =（A （B （C ）34（D ）74（9）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为棱11,,AA BC CC 的中点，动点H 在平面EFG 内，且1DH =．则下列说法正确的是（A ）存在点H ，使得直线DH 与直线FG 相交（B ）存在点H ，使得直线DH ⊥平面EFG （C ）直线1B H 与平面EFG 所成角的大小为π3（D ）平面EFG （10）已知n 个大于2的实数21,,,n x x x ，对任意(1,2,),i n x i = ，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y x i i x y =，则使得12115n n x x x x -+++ ≤成立的最大正整数n 为（A ）14（B ）16（C ）21（D ）23第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

北京市朝阳区初三数学一模试卷及答案

北京市朝阳区九年级综合练习（一）语文试卷 2008.5第Ⅰ卷（共60分）一、选择题，完成第1—5题。

下面各题均有四个选项，其中只有一个符合题意，请将该答案的字母序号填在题干后的括号内。

（共10分）1．下面加点字读音有误的是（）（2分）A. 忌讳．（hu ì）干涸．（h é）谆．谆教诲（zh ūn ）B. 游弋．（y ì）自诩．（y ǔ）言简意赅．（g āi ）C. 蹒．跚（pán）修葺．（q ì）断壁残垣．（yu án ）D. 侥．幸（ji ǎo ）执拗．（ni ù）载．歌载舞（z ài ）2．根据成语解说，在横线处填写的汉字不正确的是( ) （2分）A ．完归赵蔺相如到秦国献美玉时，见秦王无意给赵国城池，便派人把美玉完好无损地送回赵国。

比喻将原物完好无损地归还原主。

横线处应填“璧”字。

B ．守待兔一农夫见一只兔子撞在树桩上死了，便捡回家。

以后他便每天守着树桩，希望再捡到兔子。

比喻心存侥幸，不劳而获。

横线处应填“株”字。

C ．闻鸡起东晋时，祖逖和刘琨互相勉励，立志为国效力，半夜听到鸡鸣就起床练剑。

形容有志之士及时发奋，刻苦自励。

横线处应填“武”字。

D．破沉舟项羽跟秦兵打仗，过河后把锅都打破，船都沉弃，营房烧毁，表示不再回来。

现比喻下决心，不顾一切干到底。

横线处应填“釜”字。

3．下面文字是对“微笑北京”主题活动的介绍。

在横线处填入恰当的词语，正确的是（）（2分）在开展“微笑北京”主题活动中，北京团市委推出了佩戴奥运志愿五色“微笑圈”的活动。

随着红、黑、绿、黄、蓝五色“微笑圈”越来越为人们所熟知并佩戴，整个活动的知晓率和参与率都在不断上升。

志愿服务奥运也是我们中学生的责任，我们将用微笑迎接八方来客。

A. 首当其冲B.不言而喻C. 义不容辞D.当之无愧4．填入下列文字横线处的语句，与上文衔接最恰当的是（）（2分）精读之外，还需要略读。

2021年北京市朝阳区高考数学一模试卷【含答案】

2021年北京市朝阳区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{3}【分析】利用集合交集的定义求解即可．【解答】解：因为集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，所以A∩B＝{1，2，3}．故选：B．【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．2．（4分）如果复数的实部与虚部相等，那么b＝（）A．﹣2B．1C．2D．4【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等求得b值．【解答】解：∵的实部与虚部相等，∴b＝﹣2．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝1，S9＝18，则a1＝（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3【分析】先由题设求得a5，再利用等差数列的性质求得结果．【解答】解：∵S9＝18＝＝9a5，∴a5＝2，又a3＝1，∴由等差数列的性质可得：a1+a5＝a1+2＝2a3＝2，∴a1＝0，故选：A．【点评】本题主要考查等差数列的性质及基本量的计算，属于基础题．4．（4分）已知圆x2+y2＝4截直线y＝kx+2所得弦的长度为，则实数k＝（）A．B．C．D．【分析】求出圆的圆心与半径，利用弦长，推出弦心距，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：圆x2+y2＝4截直线y＝kx+2所得弦的长度为，可得弦心距为：＝1，所以：，解得k＝．故选：D．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．5．（4分）已知双曲线的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（）A．B．C．D．y＝±2x【分析】根据题意，由双曲线的离心率e＝2可得c＝2a，由双曲线的几何性质可得b＝a，由此求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：根据题意，双曲线的离心率为2，其焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±x，又由其离心率e＝＝2，则c＝2a，则b＝＝a，即＝，则其渐近线方程y＝±x；故选：A．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意由双曲线的标准方程分析焦点的位置，确定双曲线的渐近线方程，是中档题．6．（4分）在△ABC中，若a2﹣b2+c2+ac＝0，则B＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用余弦定理的应用求出结果．【解答】解：若a2﹣b2+c2+ac＝0，所以，由于B∈（0，π），所以B＝．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．7．（4分）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为（）A．2B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的各个棱长，从而确定结果．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥A﹣BCD；如图所示：所以：AB＝BC＝，CD＝BD＝1，AD＝，AC＝，故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，三棱锥的棱长的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8．（4分）在△ABC中，“tan A tan B＜1”是“△ABC为钝角三角形”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】解法一：对角分类讨论，利用正切和差公式及其三角函数的单调性即可判断出结论．解法二：tan A tan B＜1⇔1﹣＞0⇔cos A cos B cos C＜0⇔△ABC为钝角三角形，即可判断出结论．【解答】解：解法一：（1）若C为钝角，则A，B为锐角，∴tan C＝﹣tan（A+B）＝﹣＜0，解得tan A tan B＜1．若A或B为钝角，则tan A tan B＜1成立．（2）若tan A tan B＜1成立，假设A或B为钝角，则△ABC为钝角三角形．假设A，都B为锐角，tan C＝﹣tan（A+B）＝﹣＜0，解得C为钝角，则△ABC为钝角三角形．综上可得：在△ABC中，“tan A tan B＜1”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．解法二：tan A tan B＜1⇔1﹣＞0⇔＞0⇔cos A cos B cos C＜0⇔△ABC为钝角三角形．∴在△ABC中，“tan A tan B＜1”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件．故选：C．【点评】本题考查了分类讨论、正切和差公式及其三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（4分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且|AF|＝5，则|PA|+|PO|（O为坐标原点）的最小值为（）A．8B．C．D．6【分析】不妨设A为第一象限内的点，坐标为（a，b），由抛物线的定义可得|AF|＝a+1＝5，解得A点的坐标，设点A关于直线x＝﹣1的对称点为A′（﹣6，4），由对称性可得|PA|+|PO|＝|PA′|+|PO|≥|A′O|，即可得出答案．【解答】解：不妨设A为第一象限内的点，坐标为（a，b）由抛物线的方程可得焦点F（1，0），则|AF|＝a+1＝5，解得a＝4，所以A（4，4），所以点A关于直线x＝﹣1的对称点为A′（﹣6，4），故|PA|+|PO|＝|PA′|+|PO|≥|A′O|＝＝2，当且仅当A′，P，O三点共线时，等号成立，即|PA|+|PO|的最小值为2．故选：B．【点评】本题考查图形的对称性，抛物线的定义，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．10．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段BC1上的点，过A1的平面α与直线PD垂直．当P在线段BC1上运动时，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积的最小值是（）A．1B．C．D．【分析】画出图形，判断截面的位置，结合正方体的特征，转化求解截面面积的最小值即可．【解答】解：当P在B点时，BD⊥平面ACC1A1，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积：1×＝是最大值；当P与C1重合时，DC1⊥平面A1D1CB，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积：1×＝是最大值当P由B向C1移动时，平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面A1EF，E由A向B移动，当P到BC1的中点时，取得最小值，如图此时E为AB的中点，F为D1C1的中点，（P在底面ABCD上的射影为DH，H是BC的中点，此时EC ⊥DH，可得DP⊥EC，同理可得DP⊥CF，可证明DP⊥平面A1ECF），A1E＝CE＝，AC＝，EF＝，四边形A1ECF是菱形，所以平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面面积：＝．故选：C．【点评】本题考查直线与平面垂直，截面面积的最小值问题，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是难题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）在（x+）8的展开式中，x4的系数为28．（用数字作答）【分析】求出展开式的通项，然后令x的指数为2，求出r的值，由此即可求解．【解答】解：展开式的通项为T，令8﹣2r＝4，解得r＝2，所以x4的系数为C，故答案为：28．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．12．（5分）已知函数则f（0）＝1；f（x）的值域为（﹣∞，2）．【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可求出f（0），利用指数函数和对数函数的性质分别进行求解即可．【解答】解：f（0）＝20＝1，当x＜1时，0＜2x＜2，此时0＜f（x）＜2，当x≥1时，log2x≥0，则﹣log2x≤0，即此时f（x）≤0，综上f（x）＜2，即函数f（x）的值域为（﹣∞，2），故答案为：1，（﹣∞，2）．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用指数函数和对数函数的单调性的性质是解决本题的关键，是基础题．13．（5分）已知向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，•＜0，则向量的坐标可以是（，）．（写出一个即可）【分析】利用已知条件画出图形，判断向量的坐标的位置，即可写出结果．【解答】解：向量＝（，1），＝（x，y）（xy≠0），且||＝1，•＜0，如图，可知向量的坐标可以是黑色圆弧上的任意一点，向量的坐标可以是（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查向量的数量积的应用，点的坐标的求法，是基础题．14．（5分）李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A商品获利8元．现计划在“五一”期间对A商品进行广告促销，假设售出A商品的件数m（单位：万件）与广告费用x（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入3万元．【分析】由题意知，每售出1万件A商品获利8万元，可得售出m万件A商品的总获利为24﹣，设f（x）＝24﹣（x≥0），利用导数求最值得答案．【解答】解：由题意知，每售出1万件A商品获利8万元，∴售出m万件A商品的总获利为：8m﹣x＝8（3﹣）﹣x＝24﹣，设f（x）＝24﹣（x≥0），则f′（x）＝（x≥0），令f′（x）＞0，即＞0（x≥0），解得0≤x＜3，∴当0≤x＜3时，f′（x）＞0，函数f（x）在[0，3）单调递增，当x＞3时，f′（x）＜0，函数f（x）在（3，+∞）上单调递减，则当x＝3时，函数f（x）取得极大值，即最大值，∴要使这次促销活动获利最多，则广告费用x应投入3万元．故答案为3．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用导数求最值，考查运算求解能力，是中档题．15．（5分）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设f （x）是定义在R上的函数，对于x0∈R，令x n＝f（x n﹣1）（n＝1，2，3，…），若存在正整数k使得x k＝x0，且当0＜j＜k时，x j≠x0，则称x0是f（x）的一个周期为k的周期点．给出下列四个结论：①若f（x）＝e x﹣1，则f（x）存在唯一一个周期为1的周期点；②若f（x）＝2（1﹣x），则f（x）存在周期为2的周期点；③若f（x）＝则f（x）不存在周期为3的周期点；④若f（x）＝x（1﹣x），则对任意正整数n，都不是f（x）的周期为n的周期点．其中所有正确结论的序号是①④．【分析】由周期点的定义，可得直线y＝x与y＝f（x）存在交点．分别对选项分析，结合函数的最值和函数值的符号，可得结论．【解答】解：对于x0∈R，令x n＝f（x n﹣1）（n＝1，2，3，…），若存在正整数k使得x k＝x0，且当0＜j＜k时，x j≠x0，则称x0是f（x）的一个周期为k的周期点．对于①f（x）＝e x﹣1，当k＝1时，x1＝f（x0）＝e x0﹣1，因为直线y＝x与y＝f（x）只有一个交点（1，1），故①正确；对于②，f（x）＝2（1﹣x），k＝2时，x2＝f（x1）＝2（1﹣x1）＝2[1﹣f（x0）]＝4x0﹣2，由x2＝x0，可得x0＝，x1＝，…，x n＝，不满足当0＜j＜k时，x j≠x0，所以f（x）不存在周期为2的周期点，故②不正确；对于③，当，，，满足题意，故存在周期为3的周期点，故③错误，对于④，f（x）＝x（1﹣x）＝﹣（x﹣）2+，所以f（x）≤，即f（x）＜，所以不是周期点，故④正确．故答案为：①④．【点评】本题考查函数的新定义的理解和运用，主要是周期点的定义，考查运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（13分）已知函数由下列四个条件中的三个来确定：①最小正周期为π；②最大值为2；③；④f（0）＝﹣2．（Ⅰ）写出能确定f（x）的三个条件，并求f（x）的解析式；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）若函数f（x）满足条件④，则由f（0）＝A sinφ＝﹣2，推出与A＞0，0＜φ＜矛盾，可得函数f（x）不能满足条件④，由条件①，利用周期公式可求ω＝2，由条件②，可得A＝2，由条件③，可得f（﹣）＝0，结合范围0＜φ＜，可求φ＝，可得函数解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：（Ⅰ）若函数f（x）满足条件④，则f（0）＝A sinφ＝﹣2，这与A＞0，0＜φ＜矛盾，故函数f（x）不能满足条件④，所以函数f（x）只能满足条件①，②，③，由条件①，可得＝π，又因为ω＞0，可得ω＝2，由条件②，可得A＝2，∴f（x）＝2sin（2x+φ）由条件③，可得f（﹣）＝2sin（﹣+φ）＝0，∴sin（﹣+φ）＝0，∴﹣+φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝+kπ，k∈Z，又因为0＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．（Ⅱ）令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+kπ≤x≤+kπ，∴f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，（k∈Z）．【点评】本题主要考查了由y＝A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O是AD边的中点，PO⊥底面ABCD，PO＝1．在底面ABCD 中，BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD＝1，AD＝2．（Ⅰ）求证：AB∥平面POC；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣D的余弦值．【分析】（Ⅰ）先证明四边形ABCO是平行四边形，即可得到AB∥OC，由线面平行的判定定理证明即可；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，利用待定系数法求出平面BAP的法向量，由向量的夹角公式求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：在四边形ABCD中，因为BC∥AD，，O是AD的中点，则BC∥AO，BC＝AO，所以四边形ABCO是平行四边形，所以AB∥OC，又因为AB⊄平面POC，CO⊂平面POC，所以AB∥平面POC；（Ⅱ）连结OB，因为PO⊥平面ABCD，所以PO⊥OB，PO⊥OD，又因为点O时AD的中点，且，所以BC＝OD，因为BC∥AD，CD⊥AD，BC＝CD，所以四边形OBCD是正方形，所以BO⊥AD，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，﹣1，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），所以，设平面BAP的法向量为，则，即，令y＝1，则x＝z＝﹣1，故，因为OB⊥平面PAD，所以是平面PAD的一个法向量，所以＝，由图可知，二面角B﹣AP﹣D为锐角，所以二面角B﹣AP﹣D的余弦值为．【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的判定定理的应用，在求解空间角的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．18．（14分）我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A，B两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如表：A地区B地区100户150户2019年人均年纯收入超过10000元200户50户2019年人均年纯收入未超过10000元假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立．（Ⅰ）从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超过10000元的概率；（Ⅱ）在样本中，分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元．根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由．【分析】（Ⅰ）利用概率公式求解即可；（Ⅱ）确定X的取值，分别求解其概率，然后列出分布列求出数学期望即可；（Ⅲ）先通过2019年的样本数据可得0.012，然后据此说明理由即可．【解答】解：（Ⅰ）设事件C：从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，从表格数据可知，A地区抽出的300户家庭中2019年人均年收入超过10000元的有100户，因此P（C）可以估计为＝；（Ⅱ）设事件A：从样本中A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，设事件B：从样本中B地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过10000元，由题意可知，X的可能取值为0，1，2，＝，＝＝，＝，所以X的分布列为：X012P所以X的数学期望为E（X）＝＝；（Ⅲ）设事件E为“从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元”，假设样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年没有变化，则由2019年的样本数据可得0.012．答案示例1：可以认为有变化，理由如下：P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年发生了变化，所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．【点评】本题考查了离散型随机变量及其分布列以及离散型随机变量的期望，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．19．（15分）已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A（0，1），B（0，﹣1），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程及焦点的坐标；（Ⅱ）若点M为椭圆C上异于A，B的任意一点，过原点且与直线MA平行的直线与直线y＝3交于点P，直线MB与直线y＝3交于点Q，试判断以线段PQ为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意可得b的值，再由离心率及a，b，c之间的关系求出a的值，进而求出椭圆的方程；（Ⅱ）设直线MA的方程，由题意可得直线OP的方程，与y＝3联立求出P的坐标，将直线AM的方程与椭圆联立求出M的坐标，进而求出直线BM的方程，与y＝3联立求出Q的坐标，设以PQ为直径的圆的方程过T点，可得数量积＝0，求出T的坐标，即圆过的定点的坐标．【解答】解（Ⅰ）由题意可得b＝1，e＝＝，c2＝a2﹣b2，解得a2＝3，所以椭圆的方程为：+y2＝1，且焦点坐标（±，0）；（Ⅱ）设直线MA的方程为：y＝kx+1，（k≠0）则过原点的直线且与直线MA平行的直线为y＝kx，因为P是直线y＝kx，y＝3的交点，所以P（，3），因为直线AM的方程与椭圆方程+y2＝1联立：，整理可得：（1+3k2）x2+6kx＝0，可得x M＝﹣，y M＝+1＝，即M（﹣，），因为B（0，﹣1），直线MB的方程为：y＝﹣﹣1，联立，解得：y＝3，x＝﹣12k，由题意可得Q（﹣12k，3），设T（x0，y0），所以＝（x0﹣，y0﹣3），＝（x0+12k，y0﹣3），由题意可得以线段PQ为直径的圆过T点，所以＝0，所以（x0﹣，y0﹣3）•（x0+12k，y0﹣3）＝0，可得x02+12kx0﹣x0﹣36+y02﹣6y0+9＝0，①，要使①成立，，解得：x0＝0，y0＝﹣3，或x0＝0，y0＝9，所以T的坐标（0，﹣3）或（0，9）．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，以线段为直径的圆的方程恒过定点可得数量积为0的性质，属于中档题．20．（15分）已知函数f（x）＝（ax﹣1）e x（a∈R）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线y＝ax+a与曲线y＝f（x）相切，求证：a∈（﹣1，）．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出函数的导数，根据直线和f（x）相切，得到a＝，结合y＝的单调性证明结论成立即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（ax+a﹣1）e x，令f′（x）＝0，得ax＝1﹣a，当a＝0时，f′（x）＝﹣e x＜0，y＝f（x）在R单调递减，当a＞0时，x，f′（x），f（x）的变化如下：x（﹣∞，）（，+∞）f′（x）﹣0+f（x）递减极小值递增当a＜0时，x，f′（x），f（x）的变化如下：x（﹣∞，）（，+∞）f′（x）+0﹣f（x）递增极大值递减综上：当a＝0时，y＝f（x）在R单调递减，当a＞0时，y＝f（x）的单调递增区间是（﹣∞，），单调递减区间是（，+∞），当a＜0时，y＝f（x）的单调递增区间是（﹣∞，），单调递减区间是（，+∞）；（Ⅱ）证明：由题意得f′（x）＝（ax+a﹣1）e x，设直线y＝ax+a与曲线y＝f（x）相切于点（x0，y0），则，由①﹣②得﹣a＝ax0，即a（+x0）＝0，若a＝0，则f（x）＝﹣e x，ax+a＝0，直线y＝0与曲线y＝f（x）不相切，不符合题意，所以a≠0，所以+x0＝0，③，令φ（x）＝e x+x，则φ′（x）＝e x+1＞0，故φ（x）单调递增，∵φ（﹣）＝﹣＞0，φ（﹣1）＝e﹣1﹣1＜0，故存在唯一x0∈（﹣1，﹣）使得+x0＝0，将③代入①得a+ax0﹣x0+a＝0，故a＝＝，易知在（﹣1，﹣）内y＝x++1单调递减，且x++1＜0，故y＝在（﹣1，﹣）内单调递增，∵x0∈（﹣1，﹣），∴﹣1＜a＜﹣，故a∈（﹣1，﹣）．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．21．（15分）设数列A m：a1，a2，…，a m（m≥2），若存在公比为q的等比数列B m+1：b1，b2，…，b m+1，使得b k＜a k＜b k+1，其中k＝1，2，…，m，则称数列B m+1为数列A m的“等比分割数列”．（Ⅰ）写出数列A4：3，6，12，24的一个“等比分割数列”B5；（Ⅱ）若数列A10的通项公式为a n＝2n（n＝1，2，…，10），其“等比分割数列”B11的首项为1，求数列B11的公比q的取值范围；（Ⅲ）若数列A m的通项公式为a n＝n2（n＝1，2，…，m），且数列A m存在“等比分割数列”，求m的最大值．【分析】（Ⅰ）根据“等比分割数列”的定义即可求解；（Ⅱ）根据定义可得q n﹣1＜2n＜q n（n＝1，2，3，…，10），从而求得q＞2，且q n﹣1＜2n（n＝1，2，3，…，10），n＝1时显然成立，当n＝2，3，…，10时，将q n﹣1＜2n转化为q＜，利用指数函数的单调性即可求得q的取值范围；（Ⅲ）设B m+1是数列A m的“等比分割数列”，首项为b1，公比为q，由定义可得b1q n﹣1＜n2＜b1q n（n ＝1，2，…，m），设m≥6，解不等式可推出矛盾，可得m≤5，当m＝5时，取b1＝0.99，q＝2.09，满足定义，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）根据定义可得数列A4：3，6，12，24的一个“等比分割数列”B5：2，4，8，16，32．（答案不唯一）（Ⅱ）由题意可得，q n﹣1＜2n＜q n（n＝1，2，3，…，10），所以q＞2，且q n﹣1＜2n（n＝1，2，3，…，10），当n＝1时，1＜2成立；当n＝2，3，…，10时，应有q＜成立，因为y＝2x在R上单调递增，所以＝随着n的增大而减小，故q＜，综上，q的取值范围是（2，）．（Ⅲ）设B m+1是数列A m的“等比分割数列”，首项为b1，公比为q，由题意，应有b1q n﹣1＜n2＜b1q n（n＝1，2，…，m），显然b1＞0，q＞0，设m≥6，此时有b1＜1＜b1q＜4＜b1q2＜9＜b1q3＜16＜b1q4＜25＜b1q5＜36＜b1q6＜…．所以＞，可得q3＞9，所以q＞＞2，又b1q3＞9，所以b1q5＞9×22＝36，与b1q5＜36＜b1q6矛盾，故m≤5，又当m＝5时，取b1＝0.99，q＝2.09，可得0.99＜1＜0.99×2.09＜4＜0.99×2.092＜9＜0.99×2.093＜16＜0.99×2.094＜25＜0.99×2.095，所以m＝5时成立，综上，m的最大值为5．【点评】本题主要考查新定义，数列的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．。

北京市朝阳区评标：202404初三数学一模

-北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考 2024. 4一、选择题（共 16 分，每题 2 分）题号12345678答案B D C B B C D A 二、填空题（共 16 分，每题 2 分）题号9101112答案x ≥143(x+y)2x = 2254m<题号13141516答案680 6.4635；B → C → A →D三、解答题（共 68 分，第 17-19 题，每题 5 分，第 20-21 题，每题 6 分，第22-23 题，每题 5 分，第 24 题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题，每题 7 分）17．解：原式=.................................................................................4 分112+-= ................................................................................................................5 分18.解：原不等式组为2431432x xxx-<---<⎧⎪⎨⎪⎩（）①②解不等式①，得x > –1．................................................................................................2 分解不等式②，得x ＜2．...............................................................................................4 分∴原不等式组的解集为 –1 ＜x＜2．..........................................................................5 分19.解：2422y xxx x y-⋅-（）......................................................................................................1分22422x y xx x y-=⋅-=...........................................................................................2分(2)(2)22x y x y xx x y+-⋅-= 2(x + 2 y)．....................................................................................................................3 分∵x + 2 y + 2 = 0，∴x + 2 y = -2 ．.............................................................................................................4 分∴原式= -4．.................................................................................................................5 分20．（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB //CD ，AB = CD ．.....................................................................................1 分∵ DE //AC ，∴四边形 ACDE 是平行四边形．.....................................................................2 分∵ AB =AC ，∴ AC =CD ．∴四边形 ACDE 是菱形．.................................................................................3 分（2）解：设 CE 与 AD 相交于点 O ．由（1）可知，AD ⊥CE ，AD //BC ，AB = CD = AE ．∴∠BCE = ∠AOE = 90°．........................................4 分∴在 Rt △BCE 中，tan B =．2CE BC=设 BC = x ，则 CE = 2x ．∵ AB = 5，∴ BE = 2AB = 10．∵ BC 2+ CE 2 = BE 2，∴ x 2+（2x ）2 = 102．..........................................................................................5 分解得 x 1 = ，x 2 =-∴ CE =．.....................................................................................................6 分21.解：设每张桌面的宽为 x 尺．...............................................................................................1 分由图形可知，小桌的长为 2x 尺，中桌的长为 3x 尺，长桌的长为 4x 尺．...............2 分依题意，可得 2×4x 2 ＋ 2×3x 2 ＋ 3×2x 2 ＝ 61.25．......................................................3 分解得 x 1 =，x 2 =（舍）． ...............................................................................4 分7474-∴ 4x = 7．......................................................................................................................5 分答：长桌的长为 7 尺．.................................................................................................6 分22.解：（1）∵ y = mx 的图象经过点 A （2，4），∴ m = 2．∴ y = 2x ．............................................................................................................2 分∵ 的图象经过点 A （2，4），k y x=∴ k = 8．∴ ．............................................................................................................3 分8y x =（2） n ≥ ． (5)分103-（2）第二批；................................................................................................................3 分（3）如：131，135．....................................................................................................5 分24．（1）证明：∵D 是的中点，A BC∴．A A BCCD =∴∠BAD = ∠CAD ．.........................................................................................1 分∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠C = 90°．.....................................................................................................2 分∴∠CAD + ∠AFC = 90°．∵∠EFB = ∠AFC ，∴∠CAD + ∠EFB = 90°．∵ BE 是⊙O 的切线，∴∠ABE = 90°．∴∠BAD + ∠E = 90°．∴∠EFB = ∠E ．∴ BE = BF ．......................................................................................................3 分（2）解：连接 BD ．∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB = 90°．∴∠EAB + ∠ABD = 90°．∵∠EBD + ∠ABD = 90°，∴∠EAB = ∠EBD ．∵⊙O 的半径是 2，∴ AB = 4．∵ BE = 3，∴在 Rt △ABE 中，AE．........................................................4 分5=∴ sin ∠EBD = sin ∠EAB = ．35BE AE=∴ ED = BE ·sin ∠EBD =．................................................................................5 分95∵ BE = BF ，BD ⊥ EF ，∴ EF = 2ED =．185∴ AF = AE – EF =．.........................................................................................6 分75B（2）①补全的函数图象如下：..................................................② 60；.................................................................................................................4 分（3）不能．..................................................................................................................5 分26.解：（1）∵抛物线 y = ax 2 + bx 经过点（4，0），∴ 16a + 4b = 0．∴ b = –4a ．∴ t = 2．.................................................................................................................2 分（2）① ＜；..................................................................................................................3 分② ∵ a > 0，∴当 x ≥ t 时，y 随 x 的增大而增大；当 x ≤ t 时，y 随 x 的增大而减小．∵ 0 < x 1 < 1，x 1 + x 2 = 2，∴ 1 < x 2 < 2．(i)当 t ≤ 0 时，∵ 0 < x 1 < x 2，∴ y 1 > 0，y 2 > 0．∴总有 y 1 y 2 > 0，符合题意．(ii)当0 ＜ t ≤时，12∵ 1 < x 2 < 2，∴ x 2 > 2t ．∴ y 2 > 0．当 0 ＜ x 1＜ t 时，y 1 < 0．∴ y 1 y 2 < 0．∴不符合题意．(iii)当 t ＞时，12∵ 0 < x 1 < 1，∴ y 1 < 0．要使 y 1 y 2 > 0，只需 y 2 < 0．∵（0，0）关于 x = t 的对称点为（2t ，0），∴ x 2 < 2t ．∴ 2t ≥ 2．∴ t ≥ 1．综上所述，t 的取值范围是 t ≤0 或 t ≥ 1．.................................................6分27．（1）依题意补全图形，如图所示：.................................................................................（2）证明：连接 BD ，与 AC 相交于点 O ．∵线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 60° 得到线段 AF ，∴∠EAF = 60°，AE =AF ．∵在菱形 ABCD 中，∠BAD = 120°，AD = CD ，∴∠CAD =∠BAD = 60°．12∴△ACD 是等边三角形．∴ AC = AD ．∴∠CAE = ∠DAF ． ......................................................................................2分∴△ACE ≌△ADF ．........................................................................................3分∴∠ADF =∠ACD = 60°．∴∠ADF = ∠CAD ．∴ DF //AC ．.......................................................................................................5分∴BG BO GFOD∵ BO = OD ，∴ GB = GF ．.....................................................................................................6 分（3）3BC 2 + CE 2 = 4BG 2．....................................................................................................7 分28. 解：（1） A 1 B 1；.....................................................................................................................1 分（2）设点 C ，D 关于直线 y = kx （k ≠ 0）的对称点为 C'，D' ，∴直线 y = kx （k ≠ 0）垂直平分 CC'，DD'．∵ CD 是⊙O 关于直线 y = kx （k ≠ 0）的“对称弦”，∴ C'，D' 在⊙O 上．∵直线 y = kx （k ≠ 0）经过圆心 O ，∴点 D 在⊙O 上．................................................................................................3 分∵ CD = 1，∴△ OCD 是等边三角形．可求点 D 的坐标为或．..............................................5 分1(2-，1(2-（3 ....................................................................................................7 分。

2023年北京朝阳区高三一模数学试卷(解析版)

2023年北京朝阳区高三一模数学试卷(详解)一、单选题2.A.B.C.D.【答案】【解析】若，则（）A 【分析】根据不等式的性质判断A ，取特殊值判断BCD.【详解】，，即，故A 正确；取，则不成立，故B 错误；取，则不成立，故C 错误；取，则，故D 错误.故选：A1.A.B.C.D.【答案】【解析】已知集合，集合，则（）C 【分析】化简，再由集合并集的运算即可得解.【详解】由题意，，所以.故选：C.3.A.5B.6C.7D.8【答案】【解析】设，若，则（）A 【分析】先求出展开式第项，再由列出方程，即可求出的值.【详解】展开式第项，∵，∴，∴.故选：A.4.A. B.C.D.【答案】【解析】已知点，．若直线上存在点P ，使得，则实数k 的取值范围是（）D 【分析】将问题化为直线与圆有交点，注意直线所过定点与圆的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求k 的范围.【详解】由题设，问题等价于过定点的直线与圆有交点，又在圆外，所以只需，可得.故选：D5.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】【解析】已知函数，则“”是“”的（）C 【分析】由的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.【详解】因为定义域为，，所以为奇函数，且为上的增函数.当时，，所以，即“”是“”的充分条件，当时，，由的单调性知，，即，所以“”是“”成立的必要条件.综上，“”是“”的充要条件.故选：C6.A.B.C.2D.或2过双曲线的右焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ．若（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为（）【答案】【解析】B 【分析】由题意易得所以，从而，再由求解.【详解】解：在中，因为，所以，则，所以，故选：B7.A.B.C.D.【答案】【解析】在长方体中，与平面相交于点M ，则下列结论一定成立的是（）C 【分析】根据平面交线的性质可知，又平行线分线段成比例即可得出正确答案，对于ABD 可根据长方体说明不一定成立.【详解】如图，连接，交于，连接，，在长方体中，平面与平面的交线为,而平面，且平面，所以，又，，所以，故C 正确.对于A ，因为长方体中与不一定垂直，故推不出，故A 错误；对于B ，因为长方体中与不一定相等，故推不出，故B 错误；对于D ，由B 知，不能推出与垂直，而是中线，所以推不出，故D 错误.故选：C8.A.的一个周期为B.的最大值为C.的图象关于直线对称D.在区间上有3个零点【答案】【解析】声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（）D 【分析】A.代入周期的定义，即可判断；B.分别比较两个函数分别取得最大值的值，即可判断；C.代入对称性的公式，即可求解；D.根据零点的定义，解方程，即可判断.【详解】A.，故A 错误；B.，当，时，取得最大值1，，当，时，即，时，取得最大值，所以两个函数不可能同时取得最大值，所以的最大值不是，故B 错误；C.，所以函数的图象不关于直线对称，故C 错误；D.，即，，即或，解得：，所以函数在区间上有3个零点，故D 正确.故选：D9.A.5B.10C.13D.26【答案】【解析】如图，圆M 为的外接圆，，，N 为边BC 的中点，则（）C 【分析】由三角形中线性质可知，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知，同理可得，再由数量积运算即可得解.【详解】是BC 中点，，M 为的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，，同理可得，.故选：C10.A.14B.15C.16D.17【答案】【解析】已知项数为的等差数列满足，．若，则k 的最大值是（）B 【分析】通过条件，，得到，再利用条件得到，进而得到不等关系：，从而得到的最大值.【详解】由，，得到，即，当时，恒有，即，所以，由，得到，所以，，整理得到：，所以.故选：B二、填空题11.【答案】【解析】【踩分点】若复数，则 .根据以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.【详解】因为，所以.故答案为：【点睛】本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.12.【答案】函数的值域为．【解析】【踩分点】【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求和的值域，再取并集即可.【详解】因为当时，，当时，，所以函数的值域为，故答案为：13.【答案】【解析】【踩分点】经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若，则（O 为坐标原点）的面积为．【分析】求出焦点坐标，设直线方程，联立抛物线方程，韦达定理，利用弦长求出直线方程，可求得O 点到直线距离，进一步求出三角形面积.【详解】由题意知，抛物线的焦点，设，，直线AB ：，联立方程，消去x 可得，，韦达定理得，因为，所以，即，所以直线AB ：，所以点O 到直线AB 的距离为，所以.故答案为：14.【答案】【解析】某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t 为战斗时间；，分别为红、蓝两方t 时刻的兵力;正实数a ，b 分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T ．给出下列四个结论：①若且，则；②若且，则；③若，则红方获得战斗演习胜利；④若，则红方获得战斗演习胜利．其中所有正确结论的序号是．①②④【分析】对于①根据已知条件利用作差法比较大小即可得出，所以①正确；对于②，利用①中结论可得蓝方兵力先为0，即解得，②正确；对于③和④，若要红方获得战斗演习胜利，分别解出红、蓝两方兵力为0时所用时间、，比较大小即可知③错误，④正确.【详解】对于①，若且，则，即，所以，由可得，即①正确；对于②，当时根据①中的结论可知，所以蓝方兵力先为0，即，化简可得，即，两边同时取对数可得，【踩分点】即，所以战斗持续时长为，所以②正确；对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，设红方兵力为0时所用时间为，蓝方兵力为0时所用时间为，即，可得同理可得即，解得又因为都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利；所以可得③错误，④正确.故答案为：①②④.三、解答题15.【答案】【解析】在中，，，．（1）若，则；（2）当（写出一个可能的值）时，满足条件的有两个．（答案不唯一）【分析】（1）求出，再由余弦定理求解即可；（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出的范围即可得解.【详解】（1），，，，由余弦定理，，即，解得.【踩分点】（2）因为,,所以当时，方程有两解，即，取即可满足条件（答案不唯一）16.【答案】【解析】如图，在三棱柱中，平面ABC ，D ，E 分别为AC ，的中点，，．(1)求证：平面BDE ；(2)求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；(3)求点D 到平面ABE 的距离．(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）根据线面垂直的性质得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用空间向量的方法求线面角即可；（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.【详解】（1）在三棱柱中，，为，的中点，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴，在三角形中，，为中点，∴，∵，平面，∴平面.（2）如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，在直角三角形中，，，∴，，，，，，，，设平面的法向量为，，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，所以.（3）设点到平面的距离为，所以.【踩分点】17.设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在．(1)求函数的解析式；(2)求在区间上的最大值和最小值．条件①：；条件②：的最大值为；条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】【解析】【踩分点】(1)选择条件②③，(2)最大值为，最小值为.【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；（2）利用整体代入法，结合正弦函数的图象和性质即可求解.【详解】（1）若选择条件①，因为，所以，由可得对恒成立，与矛盾，所以选择条件②③，由题意可得，设，由题意可得，其中，，因为的最大值为，所以，解得，所以，，由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，所以解得，所以.（2）由正弦函数的图象可得当时，，，所以在区间上的最大值为，最小值为.18.【答案】【解析】某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X 表示这2名学生中获奖的人数，求X 的分布列和数学期望；(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）(1)(2)分布列见解析，期望(3)【分析】（1）直接计算概率；（2）的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；（3）计算出，，比较大小即可.【详解】（1）设事件为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,抽到的2名学生都获一等奖”，则，【踩分点】（2）随机变量的所有可能取值为0,1,2.记事件为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,事件为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件,相互独立,且估计为估计为.所以,,.所以的分布列为12故的数学期望（3），理由：根据频率估计概率得，由（2）知，，故，则.19.【答案】已知函数．(1)求的单调区间；(2)若对恒成立，求a 的取值范围；(3)证明：若在区间上存在唯一零点，则．(1)答案见解析(2)(3)证明见解析【解析】【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间；（2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；（3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论.【详解】（1）由题设，当时，，则在R上递增；当时，令，则，若，则，在上递减；若，则，在上递增；综上，时的递增区间为R，无递减区间；时的递减区间为，递增区间为.（2）由，当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，所以，只需，令且，则，即递减，所以，故在上不存在；综上，（3）由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点；【踩分点】时，在上递减，在上递增，且，所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷，所以，在上存在唯一，使，要证，只需在上恒成立即可，令，若，则，令，则，即在上递增，故，所以，即在上递增，故，所以在上恒成立，得证；故，得证.【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定在某一单调区间上存在唯一零点的a 的范围后，应用分析法证恒成立即可.20.【答案】【解析】已知椭圆经过点．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)设椭圆E 的左顶点为A ，直线与E 相交于M ，N 两点，直线AM 与直线相交于点Q ．问：直线NQ 是否经过x 轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．(1)椭圆E 的方程为，离心率为.(2)直线过定点.【分析】(1)根据椭圆经过点即可求得椭圆方程，利用离心率公式即可求离心率；(2)表示出直线的方程为，即可求得点，再利用点斜式表示得直线的方程为，即可求出与轴的交点，利用韦达定理等量替换即可求出直线NQ 恒过的定点.【详解】（1）因为椭圆经过点，所以，解得，所以椭圆E的方程为，因为所以，所以离心率为.（2）直线过定点，理由如下：由可得，显然，设则有直线的方程为令，解得，则，所以直线的斜率为且，所以直线的方程为令，则所以直线过定点.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键在于利用直线的点斜式方程求的点点的坐标，再利用点斜式方程表示出直线与轴的交点横坐标，利用韦达定理等量代换求恒过定点.【踩分点】21.【答案】【解析】已知有穷数列满足．给定正整数m ，若存在正整数s ，，使得对任意的，都有，则称数列A 是连续等项数列．(1)判断数列是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；(2)若项数为N 的任意数列A 都是连续等项数列，求N 的最小值；(3)若数列不是连续等项数列，而数列，数列与数列都是连续等项数列，且，求的值．(1)数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由见解析；(2)11(3)0【分析】（1）根据新定义直接验证数列，1，0，1，0，1，，可得结论；（2）先根据新定义证明时，数列一定是连续等项数列，再验证时，不是连续等项数列即可；（3）由都是连续等项数列可得，，再由反证法证得，即可得出的值.【详解】（1）数列是连续等项数列，不是连续等项数列，理由如下:因为，所以是连续等项数列.因为为；为；为;为，所以不存在正整数，使得.所以A 不是连续等项数列.（2）设集合，则中的元素个数为.因为在数列中，所以.若，则.所以在这个有序数对中，至少有两个有序数对相同，即存在正整数，使得.所以当项数时，数列一定是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若，数列不是连续等项数列.若,数列不是连续等项数列.所以的最小值为11.（3）因为与都是连续等项数列，所以存在两两不等的正整数,使得，下面用反证法证明.假设，因为，所以中至少有两个数相等.不妨设，则所以是连续等项数列，与题设矛盾.所以.所以.【点睛】方法点睛：对于新定义问题，一般先要读懂定义内容，第一问一般是给具体的函数或数列验证是否满足所给定义，只需要结合新定义，验证即可，在验证过程中进一步加强对新定义的理解，第二步一般在第一步强化理解的基础上，所给函数或数列更加一般或复杂，进一步利用新定义处理，本题第三问根据与都是连续等项数列得出，，利用反证法求是关键点.【踩分点】。

2023-2024学年北京市朝阳区高三数学查漏补缺模拟试题(一模)(含答案)

2023-2024学年北京市朝阳区高三数学查漏补缺模拟试题（一模）一、填空题1．若复数21iz =+，则||z =________.根据||||z z =以及复数商的模等于复数的模的商，计算可得答案.【详解】因为21i z =+，所以2||||||1z z i ==+2|1|i ==+.本题考查了复数模的性质，考查了复数的模长公式，属于基础题.二、单选题2．复数12i 2i z -=+的模z =（）AB ．2C D ．1【正确答案】D【分析】首先根据体题意得到i z =-，再求模长即可.【详解】()()()()12i 2i 12i 2i 4i 2i 2i 2i 2i 5z ------====-++-，所以1z =.故选：D3．若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．25【正确答案】B【分析】利用复数四则运算，先求出z ，再计算复数的模．【详解】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故|5|z ==．故选：B ．4．已知复数213i z z -=-，其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则z =（）A ．1i+B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【正确答案】B【分析】设()i ,R z a b a b =+∈，()i ,R z a b a b =-∈，根据213i z z -=-，解出,a b 即可.【详解】设()i ,R z a b a b =+∈，()i ,R z a b a b =-∈，()()22i i 3i 13i z z a b a b a b -=+--=+=-，解得1,a =1b =-，所以1i z =-，故选：B三、填空题5．若复数i ()1ia a +∈+R 是纯虚数，则=a ________．【正确答案】1-【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的概念得到方程（不等式），解得即可.【详解】()()()()2i 1i i i i i 11i 1i 1i 1i 222a a a a a a +-+-+-+-===+++-，因为i ()1i a a +∈+R 是纯虚数，所以102102a a +⎧=⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，解得1a =-.故1-6．函数()13log ,13,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为________．【正确答案】(),3-∞【分析】利用对数函数和指数函数的图象和性质分别求1x ≥和1x <的值域，再取并集即可.【详解】因为当1x ≥时，13log 0x ≤，当1x <时，33x <，所以函数()13log ,13,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为(),3-∞，故(),3-∞四、单选题7．已知函数2()log x f x =，则不等式()2f x <的解集为()A ．(4,0)(0,4)-⋃B ．(0,4)C ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【正确答案】C【分析】根据绝对值的定义和对数函数的单调性即可求解．【详解】2222()log 22l 222og f x x x x x -<⇒<<⇒∈=<⇒-<1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：C ﹒五、填空题8．若函数()21x f x a =--的值域为[1,)-+∞，则实数a 的一个取值可以为___________.【正确答案】1【分析】考察函数()21x f x a =--的图像，就是先把2x 向上或向下平移a 个单位（取决于a 的符号），如果图像存在小于零的部分，则再把小于零的部分以x 轴为对称轴翻折上去，最后再把整个图像向下平移一个单位.【详解】如果0a ≤，()2121x x f x a a =--=--，其值域为()1,a --+∞，11a --≥-，不符合题意；如果0a >，当2log x a =时，20x a -=，2x a -就是把函数2log x a <的部分以x 轴为对称轴翻折上去，∴此时2x a -的最小值为0，()21x f x a =--的最小值为-1，值域为[)1,-+∞，所以()0,a ∈+∞，不妨取1a =；故1.六、双空题9．函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则1()4f =__________；方程()12f x -=的解是________.【正确答案】2-或1【分析】根据解析式直接将自变量代入求1()4f ，讨论0x -≤、0x ->结合分段函数解析式分别求出()12f x -=的解即可.【详解】由解析式知：211()log 244f ==-，因为1()2f x -=，所以当0x -≤，即0x ≥时，12,12x x -==，符合，当0x ->，即0x <时，21log ()2x x -==符合，所以1()2f x -=的解是或1.故2-，或110．设函数()e ,00x x f x x -⎧<⎪=≥，()f x 的值域是________，设()()(1)g x f x a x =--，若()g x 恰有两个零点，则a 的取值范围为________．【正确答案】[0,)+∞(,1)-∞-【分析】求0x <时的值域及0x ≥的值域，最后求并集即可（或者利用图象法观察）值域；数形结合即可求出参数a 的范围【详解】当0x <时，()()e 1,x f x ∞-=∈+，当0x ≥时，()0f x =≥，所以函数()f x 的值域为[0,)+∞；作出函数图象从图象上可以看出函数()f x 的值域为[0,)+∞，因为()()(1)g x f x a x =--恰有两个零点，则方程()(1)f x a x =-恰有两个解，从而函数()e ,00x x f x x -⎧<⎪=≥与(1)y a x =-有两个交点，易知(1)y a x =-图象是恒过点（1,0）的直线，如图当0a ≥时，函数()e ,00x x f x x x -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩与(1)y a x =-有一个交点，当01a <<-时，函数()e ,00x x f x x x -⎧<⎪=≥与(1)y a x =-有一个交点，又当0x <时，()e x f x -=，则()e x f x -'=-，所以(0)1f '=-，故在点(0,1)处的切线为11(0)y x -=--，即1(1)y x =--，故当1a =-时，函数()e ,00x x f x x x -⎧<⎪=≥与(1)y a x =-有一个交点，所以要使函数()e ,00x x f x x x -⎧<⎪=≥与(1)y a x =-有两个交点，则1a <-，即()g x 恰有两个零点时，a 的取值范围为(,1)-∞-.故[0,)+∞；(,1)-∞-.七、填空题11．已知函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-⎩则(0)f =________；()f x 的值域为_______．【正确答案】1(),2∞-【分析】第一空直接代入即可；第二空需分情况讨论（1）求当1x <时的值域，（2）求当1x ≤时的值域，最后取两值域的并集即可．【详解】解：0(0)2=1=f ；当1x <时，()()20,2=∈x f x ，当1x ≤时，()2log 0=-≤f x x ，所以()f x 的值域为(),2∞-故1；(),2∞-．12．经过抛物线24x y =的焦点的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若AB 4=，则OAB （O 为坐标原点）的面积为______．【正确答案】2【分析】求出焦点坐标，设直线AB 方程，联立抛物线方程，韦达定理，利用弦长求出直线方程，可求得O 点到直线AB 距离，进一步求出三角形面积.【详解】由题意知，抛物线24x y =的焦点()0,1F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB ：1y kx =+，联立方程214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去x 可得22(24)10y k y -++=，2242Δ(24)416160k k k =+-=+≥，韦达定理得2121224,1y y k y y +=+=，因为21222424AB AF FB y y k =+=++=++=，所以20k =，即0k =，所以直线AB ：1y =，所以点O 到直线AB 的距离为1OF =，所以1114222OAB S OF AB =⋅=⨯⨯= .故2八、双空题13．设M 是抛物线24y x =上的一点，F 是抛物线的焦点，O 是坐标原点，若120OFM ︒∠=，则||FM =______，M 的坐标为______.【正确答案】4；(3,±.【分析】画出抛物线的图象，设M的坐标，再利用抛物线的定义加数形结合得2001||4tan ||||y MN NFM NF y -∠==.【详解】过M 作准线的垂线，交于点M '，过F 作MM '的垂线交于N ，设200(,)4y M y ，由抛物线的方程24y x =可得焦点(1,0)F ，因为120OFM ︒∠=，则可得30NFM ︒∠=，由抛物线的性质可得||||MF MM ='，20||14y MN =-，所以2001||34tan ||||3y MN NFM NF y -∠==，整理可得：200343|120y y --=，解得0||23y =M 的横坐标为2043344y ⨯==，由抛物线的性质可得||314MF =+=，可得(3,23)M ±.故4；(3,23).±14．已知抛物线2:2C y px =过点()2,4P ，则p =________；若点()14,Q y ，()2,R t y 在C 上，F 为C 的焦点，且PF ，QF ，RF 成等比数列，则t =________.【正确答案】47【分析】根据点()2,4P 在抛物线2:2C y px =上，代入可得4p =，再由抛物线定义可得242p PF =+=，6QF =，2RF t =+，又PF ，QF ，RF 成等比数列，代入2QF P R F F =⋅即可得解.【详解】由抛物线2:2C y px =过点()2,4P ，可得244p =，所以4p =，根据抛物线定义可得22242p PF =+=+=，462p QF =+=，22p t t RF =+=+，由PF ，QF ，RF 成等比数列，所以2QF P R F F =⋅，可得264(2)48t t =⨯+=+，所以7t =.故4，7.九、填空题15．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，P 为C 上一点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，F 为C 的焦点，O 为原点．若45POQ ∠=︒，则cos PFQ ∠=__________．【正确答案】35/0.6【分析】由题可设直线:OP y x =，进而可得()()2,2,2,0P p p Q p ，即得.【详解】不妨设P 在x 轴上方，由45POQ ∠=︒，可设直线:OP y x =，由22y x y px =⎧⎨=⎩，可得2x y p ==，∴()()2,2,2,0P p p Q p ，又,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴3cos 5FQPFQ PF ∠==.故答案为.3516．已知抛物线C 经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于2，请写出一个满足条件的C 的标准方程__________．【正确答案】28x y =（或2(4)x my m =>或2(4)y nx n =<-任写一个即可）.【分析】设抛物线的标准方程为22x py =，由题意得2p >，即可得出抛物线方程.【详解】设抛物线的标准方程为22x py =()0p >，由题意知，焦点到准线的距离2p >，所以24p >，可取28p =，则抛物线的标准方程为28x y =.故28x y =（或2(4)x my m =>或2(4)y nx n =<-任写一个即可）.17．已知抛物线22(0)y px p =>的顶点为O ，且过点,A B．若OAB 是边长为则p =____．【正确答案】1【分析】根据抛物线的对称性以及等边三角形的边角关系即可代入(6,A 求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则OA OB =,即2222221122112222x y x y x px x px +=+⇒+=+，所以()()121220x x x x p -++=，由于12120,0,0,x x x x >>∴+>又20p >，所以1220x x p ++≠，因此120x x -=，故,A B 关于x 轴对称，由30OA AOx =Ð= 得(6,A ,将(6,A 代入抛物线中得12=12p,所以1p =，故1十、双空题18．在ABC中，a =b m =，sin cos 0A A -=．（1）若8m =，则c =________；（2）当m =________（写出一个可能的值）时，满足条件的ABC 有两个．【正确答案】6（答案不唯一）【分析】（1）求出A ，再由余弦定理求解即可；（2）根据已知两边及一边的对角求三角形解得情况，建立不等式求出m 的范围即可得解.【详解】（1）sin cos 0A A -= ，tan 1A ∴=，0πA << ，π4A =，由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，即23264162c =+-⨯，解得c =.（2）因为π4A =,a =所以当sin 4b a b π<<时，方程有两解，即8m <<，取6m =即可满足条件（答案不唯一）故 6.十一、单选题19．在ABC 中，60,3,90C AC B ==> ，则b a 的可能取值为（）A ．23B ．43C ．53D ．73【正确答案】D【分析】通过正弦定理将所求表达式表示为关于A 的三角函数，求出范围即可得结果.【详解】因为60,3,90C AC B ==> ，所以030A <<，0tan 3A <<，即得1tan A >，由正弦定理可得()1sin cos sin sin 11222sin sin sin 22tan A A A C b B a A A A A++====+>，则b a 的可能取值为73，故选：D.20．在下列关于ABC 的四个条件中选择一个，能够使角A 被唯一确定的是：（）①1sin 2A =②1cos 3A =-；③1cos ,34B b a =-=；④45,2,C b c ∠== .A ．①②B ．②③C ．②④D ．②③④【正确答案】B【分析】利用诱导公式、三角函数的图像与性质以及正弦定理，结合三角形图像进行处理.【详解】对于①1sin 2A =，因为(0,π)A ∈，所以π6A =或5π6，故①错误；对于②1cos 3A =-，因为cos y x =在(0,π)上单调，所以角A 被唯一确定，故②正确；对于③1cos ,34B b a =-=，因为1cos 04B =-<，(0,π)B ∈，所以π(,π)2B ∈，所以π(0,2A ∈，所以sin B =3b a =，由正弦定理有sin 3sin B A =，所以sin sin =3B A ，所以角A 被唯一确定，故③正确；对于④45,2,C b c ∠=== ，因为πsin 2sin 4b C =⨯=所以sin b C c b <<，所以如图，ABC 不唯一，故④错误.故A ，C ，D 错误.故选：B.十二、填空题21．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，4b =，下列判断：①若c =C 有两个解；②若12BC BA ⋅=，则AC边上的高为③a c +不可能是9.其中判断正确的序号是______.【正确答案】③利用余弦定理逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于①，若c =2116322a a =+-⨯⨯，故2130a -=，此方程有唯一解a ，故角C 有唯一解，所以①错.对于②，因为12BC BA ⋅= ，故1122ac =，即24ac =，又由余弦定理可得2211622a c a c =+-⨯⨯⨯，故2240a c +=，所以()288a c +=即a c +=24a c ac ⎧+=⎪⎨=⎪⎩消元后可得2240a -+=，因889680∆=-=-<，故方程无解，即满足12BC BA ⋅=的三角形不存在，故②错误.对于③，由余弦定理可得()()()2222231634a c ac a c ac a c a c =+-=+-≥+-+，整理得到()2164a c +≥即8a c +≤，故a c +不可能是9，故③正确.故③.本题考查余弦定理在解三角形中的应用，还考查了基本不等式的应用，注意根据三角形中已知的量选择合适的定理来构建关于未知量的方程，再对所得的方程进行代数变形（如放缩、消元等），本题属于中档题.22．某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：()))()))0000cosh sinhcosh sinh x t X y t Y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，其中正实数0X ，0Y 分别为红、蓝两方初始兵力，t 为战斗时间；()x t ，()y t 分别为红、蓝两方t 时刻的兵力;正实数a ，b 分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；e e cosh 2x x x -+=和e e sinh 2x xx --=分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T ．给出下列四个结论：①若00X Y >且a b =，则()()()0x t y t t T >≤≤；②若00X Y >且a b =，则1T a =③若00X bY a>，则红方获得战斗演习胜利；④若00X Y >其中所有正确结论的序号是________．【正确答案】①②④【分析】对于①根据已知条件利用作差法比较大小即可得出()()()000eatx t y t X Y --=>，所以①正确；对于②，利用①中结论可得蓝方兵力先为0，即000e e e e 22at at at atY X --+-=-解得1T a =为0时所用时间1t 、2t ，比较大小即可知③错误，④正确.【详解】对于①，若00X Y >且a b =，则()()()()()()0000cosh sinh cosh sinh x t X at Y at y t Y at X at ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，即()()0000e e e e 22e e e e 22at at at atat at at atx t X Y y t Y X ----⎧+-=-⎪⎪⎨+-⎪=-⎪⎩，所以()()()00e atx t y t X Y -=-，由00X Y >可得()()()000e atx t y t X Y --=>，即①正确；对于②，当a b =时根据①中的结论可知()()x t y t >，所以蓝方兵力先为0，即()00e e e e 220at at at at y Y X t --+-==-，化简可得()()0000e e at atX Y X Y --=+，即20000e atX Y X Y +=-，两边同时取对数可得0000ln 2X Y at X Y ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，即00001l 1ln 2X Y t X a Y a⎛⎫+== ⎪⎝-⎭，所以战斗持续时长为1T a =所以②正确；对于③，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可，设红方兵力为0时所用时间为1t，蓝方兵力为0时所用时间为2t，即())) 100cosh sinh0x t X==，可得e0=同理可得e0=，解得022X bY a>又因为0,,,Y a bX都为正实数，所以可得0XY>所以可得③错误，④正确.故①②④.十三、多选题23．“悬链线”进入公众视野，源于达·芬奇的画作《抱银貂的女人》.这幅画作中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽.而达·芬奇却心生好奇：“固定项链的两端，使其在重力作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？”随着后人研究的深入，悬链线的庐山真面目被揭开.法国著名昆虫学家、文学家法布尔，在《昆虫记》里有这样的记载：“每当地心引力和扰性同时发生作用时，悬链线就在现实中出现了.当一条悬链弯曲成两点不在同一垂直．．线．（注：垂直于地面的直线）上的曲线时，人们便把这曲线称为悬链线.这就是一条软绳子两端抓住而垂下来的形状，这就是一张被风鼓起来的船帆外形的那条线条．”建立适当的平面直角坐标系，可以写出悬链线的函数解析式：()2ax axe ef xa-+=，其中a为悬链线系数．当a1=时，()2x xe ef x-+=称为双曲余弦函数，记为ch2x xe ex-+=．类似的双曲正弦函数sh2x xe ex--=．直线x t=与ch x和sh x 的图像分别交于点A、B．下列结论正确的是（）A ．sh()sh ch ch sh x y x y x y +=⋅+⋅B ．ch()ch ch sh sh x y x y x y+=⋅-⋅C ．AB 随t 的增大而减小D ．ch x 与sh x 的图像有完全相同的渐近线【正确答案】AC【分析】由函数的定义，代入化简可得A 正确，B 不正确；由0--=>x chx shx e 可得C 正确；由函数的图象变化可得D 不正确.【详解】()2+---+=x y x y e e sh x y 22222----+---++--+=+=g g g g x x y y x x y y x y x ye e e e e e e e e e shx chy chx shy ，所以A 正确；()2+--++=x y x y e e ch x y 22222------+++----=-=g g g g x x y y x x y y x y x ye e e e e e e e e e chx chy shx shy ，所以B 不正确；0--=>x chx shx e ，且随着x 变大，x e -越来越小，所以C 正确；shx ，当+x →∞时，是2xe y =的等价无穷大，无渐近线，chx ，当+x →∞时，是2xe y =的等价无穷大，无渐近线，所以D 不正确.故选：AC24．游人游玩的湖边常设有如图所示的护栏柱与柱之间是一条均匀悬链．数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线．如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数()e e 2x xaaa f x -=+⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中0a >，则下列关于悬链线函数()f x 的性质判断中，正确的有（）.A ．()f x 为偶函数B ．()f x 为奇函数C ．()f x 的最小值为aD ．()f x 的单调递增区间为()0,∞+【正确答案】ACD【分析】根据函数奇偶性的定义，结合导数的性质、基本不等式进行求解即可.【详解】函数()f x 的定义域为R ，且()()e e 2x xaaa f x f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭-=+=，()f x 为偶函数，故A 正确，B 错误；∵e 0xa>，e0x a->，∴()2e e 2x xa aa f x a -≥⨯⋅=，当且仅当e e xxa a -=时取等号，即0x =时取等号，故C 正确；()21111e 1e e e e 222e xx x x x a aaaaxa a f x a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪'=⋅-⋅=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，当0x >时，∵0a >，∴2e 10xa ->，∴()0f x ¢>，∴()f x 在()0,∞+上单调递增，由偶函数的性质可知，()f x 在(),0∞-上单调递减，故D 正确．故选：ACD ．25．双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数e e sinh 2x xx --=和双曲余弦函数e e cosh 2x x x -+=．下列结论正确的是（）A ．cosh sinh 1x x x +≥+B ．()sinh sinh cosh cosh sinh x y x y x y+=+C ．若y m =与双曲余弦函数1C 和双曲正弦函数2C 共有三个交点，分别为123,,x x x ，则1231x x x ++≥D ．cosh y x =是一个偶函数，且存在最小值【正确答案】ABD【分析】利用指数的运算、指数函数图像以及双曲正弦、余弦函数的定义可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项，cosh si e nh x x x +=，设()e 1xg x x =--，()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x ¢<，函数()g x 单调递减；当0x >时，()0g x ¢>，函数()g x 单调递增；所以()()00g x g ≥=，所以cosh sinh e 1x x x x +=≥+，A 选项正确；对于B 选项，()()()()sinh cosh cosh sin ee e e h e e e e 4xx y y x x y y x y x y -----+++-=+()()()e e e e e e e e e e 42sinh x yx y y x x y x y x y y x x y x y x y x y +----+----+--+--+-+--==+=，B 选项正确；对于D 选项，cosh y x =是一个偶函数且在(],0-∞为减函数，[)0,+∞为增函数，所以0x =时取最小值1，D 选项正确.对于C 选项，函数e e sinh 2x xx --=单调递增，且值域为R ，若y m =与双曲余弦函数1C 和双曲正弦函数2C 共有三个交点，则1m >,由双曲余弦函数1C 为偶函数得120x x +=，由e e12x x -->得3ln(1x >，所以123ln(1x x x ++>，C 选项错误.故选：ABD.十四、解答题26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AC ，11AC 的中点，AB BC ==，12AC AA ==．(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求直线DE 与平面ABE 所成角的正弦值；(3)求点D 到平面ABE 的距离．【正确答案】(1)证明见解析；6663【分析】（1）根据线面垂直的性质得到DE AC ⊥，根据等腰三角形三线合一的性质得到AC BD ⊥，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）利用空间向量的方法求线面角即可；（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.【详解】（1）在三棱柱中，D ，E 为AC ，11A C 的中点，∴1DE AA ∥，∵1AA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，∵AC ⊂平面ABC ，∴DE AC ⊥，在三角形ABC 中，AB BC =，D 为AC 中点，∴AC BD ⊥，∵DE BD D ⋂=，,DE BD Ì平面BDE ，∴AC ⊥平面BDE .（2）如图，以D 为原点，分别以,,DA DB DE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，在直角三角形ABD中，AB =112AD AC ==，∴2BD =，()0,0,0D ，()0,0,2E ，()1,0,0A ，()0,2,0B ，()0,0,2DE = ，()1,2,0AB =-，()1,0,2AE =- ，设平面ABE 的法向量为(),,m x y z =，2020AB m x y AE m x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2x =，则1y =，1z =，所以()2,1,1m = ，设直线DE 与平面ABE 所成角为θ，所以sin cos ,6DE m DE m DE m θ⋅==⋅ .（3）设点D 到平面ABE 的距离为d，所以3DE m d m⋅== .27．如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，四边形A 1ACC 1是边长为4的正方形，3AB =，点D 为BB 1中点．再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答．(1)求证：AB ⊥平面A 1ACC 1；(2)求直线BB 1与平面A 1CD 所成角的正弦值；(3)求点B 到平面A 1CD 的距离．条件①：1AB AA ⊥；条件②：5BC =；条件③：平面ABC ⊥平面A 1ACC 1．【正确答案】(1)证明见解析(3)11【分析】（1）考虑选择条件①②和选择条件②③，根据勾股定理得到AB AC ⊥，再根据线线垂直或面面垂直得到证明.（2）以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，计算给点坐标，平面1ACD 的一个法向量为()2,3,3n =，再根据向量夹角公式得到答案.（3）直接利用点到平面的距离公式计算得到答案.【详解】（1）若选择条件①②：4,3,5AC AB BC ===，故222BC AC AB =+，故AB AC ⊥.又1AB AA ⊥，1AC AA A =∩，1,AC AA ⊂平面11AAC C ，故AB ⊥平面11AAC C .若选择条件②③：4,3,5AC AB BC ===，故222BC AC AB =+，故AB AC ⊥.平面ABC ⊥平面A 1ACC 1，平面ABC ⋂平面11A ACC AC =，AB ⊂平面ABC ，故AB ⊥平面11AAC C .若选择条件①③：不能确定,AB AC 的角度，故BC 的长度不能确定，不能得到后面的结论，求不出夹角和距离，故不能选择（2）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(3,0,0)B ，(0,4,0)C ，1(0,0,4)A ，()13,0,4B ，1(0,4,4)C ，()3,0,2D ，设平面1ACD 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则11440320n A C y z n A D x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令2x =，则3,3y z ==，所以()2,3,3n =，()10,0,4BB = ，设直线1BB 与平面1ACD 所成角为θ，则111||sin |cos ,|22||||BB n BB n BB n θ⋅===.所以直线BC 与平面11A BC（3）()0,0,2BD =，点B 到平面A 1CD的距离为11BD n d n⋅== 28．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD，2PD DC AD ===，M 为BC 的中点.(1)求证：AM ⊥平面PBD ；(2)求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值；(3)求D 到平面APM 的距离.【正确答案】(1)证明过程见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；（3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.【详解】（1）因为2DC AD ==，M 为BC 的中点，所以AD ABAB AM==因为四棱锥P ABCD -的底面是矩形，所以π2DAB MBA ∠=∠=，所以Rt Rt DAB ABM ∽，所以DBA AMB ∠=∠，而π2MBD DBA ∠+∠=，即π2MBD ANB AM DB ∠+∠=⇒⊥，因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ，所以PD AM ⊥，而,,DB PD D DB PD ⋂=⊂平面PBD ，所以AM ⊥平面PBD ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，,AD DC ⊂平面ABCD ，所以,PD AD PD DC ⊥⊥，因为因为四棱锥P ABCD -的底面是矩形，所以AD DC ⊥，建立如下图所示的空间直角坐标系，()()())0,0,0,0,0,2,,2,0D P A M，因为PD ⊥平面ABCD ，所以平面ABCD 的法向量为()0,0,2DP =，设平面APM 的法向量为(),,n x y z =，()2PA =-，)2,0MA =-，于是有)20220n PA z n n MA y ⎧⎧⊥-=⎪⎪⇒⇒=⎨⊥-=⎪⎩，平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值为DP n DP n⋅=⋅（3）由（2）可知平面APM 的法向量为)n =，cos ,DP n 〈〉=所以D 到平面APM 的距离为cos ,2DP DP n ⋅〈〉== 29．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，D 为AB 中点，且1A D =.(1)求证：CD ⊥平面11ABB A ；(2)若点P 在线段1B C 上，且直线AP 与平面1ACD ，求点P 到平面1ACD 的距离.【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）由勾股定理证明1⊥A A AD ，再由1A A BC ⊥，可证1A A ⊥平面ABC ，即得1CD AA ⊥，由CD AB ⊥，可证CD ⊥平面11ABB A ；（2）由题意证明得,,OA OB OQ 两两垂直，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面1ACD 的法向量，设()[]12,2,0,0,1CP CB λλλλ==∈ ，再由向量夹角的公式代入计算得()1,1,0CP =，根据点到平面的距离公式代入计算，可得答案.【详解】（1）证明：由题知112,1,AA AD A D ===，222115AD A A A D ∴+==1A A AD ⇒⊥，又111,B B BC B B A A ⊥∥，所以1A A BC ⊥，又AD BC B = ，,AD BC ⊂平面ABC ，所以1A A ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，所以1CD AA ⊥，在正ABC 中，D 为AB 中点，于是CD AB ⊥，又1AB AA A ⋂=，1,AB AA ⊂平面11ABB A ，所以CD ⊥平面11ABB A （2）取BC 中点为11,O B C 中点为Q ，则,OA BC OQ BC ⊥⊥，由（1）知，1A A ⊥平面ABC ，且OA ⊂平面ABC ，所以1OA AA ⊥，又11B B A A ∥，所以11,OA BB BB BC B ⊥⋂=，1,BB BC ⊂平面11BCC B 所以OA ⊥平面11BCC B ，于是,,OA OB OQ 两两垂直.如图，以O 为坐标原点，,,OB OQ OA的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()((()10,0,0,,,1,0,0O A A C -，()11,0,,1,2,022D B ⎛ ⎝⎭，所以(13,1,22CD CA ⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭，()(12,2,0,1,0,CB AC ==-.设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则100n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30220x z x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，令1x =，则1z y ==，于是(1,1,n =.设()[]12,2,0,0,1CP CB λλλλ==∈，则(121,2,AP AC CP AC CB λλλ=+=+=- .由于直线AP 与平面1ACD，cos ,AP n ∴即21λ+=24830λλ-+=，由于[]0,1λ∈，所以1,2λ=于是()11,1,0CP CB λ== .设点P 到平面1ACD 的距离为d，则5CP n d n⋅==，所以点P 到平面1ACD.方法点睛：对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.30．设函数()()2sin cos cos 0,0f A x x A x x ωωωω=+>>，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得()f x 存在．(1)求函数()f x 的解析式；(2)求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．条件①：()()=f x f x -；条件②：()f x 的最大值为32；条件③：()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．【正确答案】(1)选择条件②③，()1sin 262πf x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭(2)最大值为32，最小值为0.【分析】（1）由正弦函数和余弦函数的奇偶性可排除条件①，先利用辅助角公式化简()f x ，再根据正弦函数的图象和性质即可求解；（2）利用整体代入法，结合正弦函数的图象和性质即可求解.【详解】（1）若选择条件①，因为()2sin 2cos 2Af x x x ωω=+，所以()()()22sin 2cos sin 2cos 22A A f x x x x x ωωωω-=-+-=-+，由()()=f x f x -可得sin 20A x ω=对x ∈R 恒成立，与0,0A ω>>矛盾，所以选择条件②③，由题意可得()()()()22sin cos cos sin 2cos f x A x x x A x x ωωωωω-=--+-=-+，设ππ22ϕ-<<，由题意可得()()111sin 2cos 2sin 222222A f x x x x ωωωϕ=++=++，其中cos ϕ=sin ϕ=因为()f x 的最大值为32，所以13222+=，解得A =所以1sin 2ϕ=，π6ϕ=，由()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2可得π22T =，所以2ππ2T ω==解得1ω=，所以()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）由正弦函数的图象可得当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值为32，最小值为0.31．已知函数2()cos cos (0,)ωωωω=+>∈R f x x x x m m ．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数()f x 的解析式的两个作为已知．(1)求()f x 的解析式及最小值；(2)若函数()f x 在区间[]0,(0)t t >上有且仅有1个零点，求t 的取值范围．条件①：函数()f x 的最小正周期为π；条件②：函数()f x 的图象经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭；条件③：函数()f x 的最大值为32．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．【正确答案】(1)选择①②：π()sin(2)6f x x =+，()f x 的最小值为1-；选择①③：π1()sin(2)62f x x =++，()f x 的最小值为12-；(2)选择①②：t 的取值范围是5π11π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭；选择①③：t 的取值范围是π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【分析】（1）首先利用三角恒等变换公式以及辅助角公式化简()f x ，然后根据条件①②或①③求其解析式即可，若选择②③，m 的取值有两个，舍去；（2）根据零点即是函数图像与x 轴的交点横坐标，令()0f x =求出横坐标，即可判断t 的取值范围.【详解】（1）由题可知，2()cos cos ωωω=+f x x x x m 112cos222ωω+++x x m π1sin(2)62ω=+++x m ．选择①②：因为2ππ2T ω==，所以1ω=．又因为1(0)12f m =+=，所以12m =-．所以π()sin(2)6f x x =+．当ππ22π62x k +=-，Z k ∈，即ππ3x k =-，Z k ∈时，()1f x =-.所以函数()f x 的最小值为1-．选择①③：因为2ππ2T ω==，所以1ω=．又因为函数()f x 的最大值为3322m +=，所以0m =．所以π1()sin(262f x x =++．当ππ22π62x k +=-，Z k ∈，即ππ3x k =-，Z k ∈时，πsin(216x +=-，所以函数()f x 的最小值为11122-+=-．选择②③：因为1(0)12f m =+=，所以12m =-，因为函数()f x 的最大值为3322m +=，所以0m =m的取值不可能有两个，∴无法求出解析式，舍去.（2）选择①②：令πsin(2)06x +=，则π2π6x k +=，Z k ∈，所以ππ212k x =-，Z k ∈．当1,2k =时，函数()f x 的零点为5π11π,1212，由于函数()f x 在区间[0,]t 上有且仅有1个零点，所以5π11π1212t ≤<．所以t 的取值范围是5π11π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭．选择①③：令π1sin(2)062++=x ，则π722π+π66+=x k ，Z k ∈，或π1122π+π66+=x k ，Z k ∈，所以ππ+2=x k ，Z k ∈，或5π+π6=x k ，Z k ∈．当0k =时，函数()f x 的零点分别为π5π,26，由于函数()f x 在区间[0,]t 上有且仅有1个零点，所以π5π26t ≤<．所以t 的取值范围是π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭．32．已知函数()sin ()(0||)2f x x ωϕωϕπ=+><,，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使()f x 的解析式唯一确定．(1)求()f x 的解析式；(2)设函数()()()6g x f x f x π=++，求()g x 在区间4[0]π,上的最大值．条件①：()f x 的最小正周期为π；条件②：()f x 为奇函数；条件③：()f x 图象的一条对称轴为4x π=．注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)()sin 2f x x =【分析】（1）可以选择条件①②或条件①③，先由周期计算ω，再计算ϕ即可；（2）先求出26x π+整体的范围，再结合单调性求最大值即可.【详解】（1）选择条件①②：由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω．由条件②得()()f x f x -=-，所以(0)0f =，即sin 0ϕ=．解得π()k k ϕ=∈Z ．因为||2ϕπ<，所以0ϕ=，所以()f x sin2x =．经检验0ϕ=符合题意．选择条件①③：由条件①及已知得2T ππω==，所以2=ω．由条件③得()ππ2π42k k ϕ⨯+=+∈Z ，解得π()k k ϕ=∈Z ．因为||2ϕπ<，所以0ϕ=．所以()f x sin2x =．（2）由题意得()sin2sin 23g x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，化简得3()sin 22)26g x x x x =+=+π．因为04x π≤≤，所以22663x πππ≤+≤，所以当262x ππ+=，即6x π=时，()g x 33．已知函数()sin cos (0,0)f x a x x a ωωω>>=．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定．(1)求()f x 的解析式；(2)设2()()2co s 1g x f x x ω=-+，求函数()g x 在()0,π上的单调递增区间．条件①：14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件②：()f x 为偶函数；条件③：()f x 的最大值为1；条件④：()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π．【正确答案】(1)()sin 2f x x =；(2)370,,,88πππ⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）先由降幂公式得()sin 2(0,0)2a f x x a ωω>=>，故()f x 为奇函数，排除条件②，若选①③，()f x 不唯一，不合题意；若选①④由14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭及周期解出()f x 即可；若选③④由最大值及周期解出()f x 即可；（2）先由倍角公式及辅助角公式求出())4g x x π=-，再令222,242k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z 解出单调区间，最后写出在()0,π上的单调递增区间即可.【详解】（1）()sin cos sin 2(0,0)2af x a x x x a ωωωω>=>=，易知()f x 为奇函数，故条件②不成立，舍去.若选①③，则()sin1422a f ππω==且12a =，故2a =，2,22k k πωππ=+∈Z ，解得14,k k ω=+∈Z ，故()f x 不唯一，不合题意；若选①④，()sin 1422a f ππω==且22T π=，故22T ππω==，解得1ω=，2a =，存在且唯一，故()2sin cos sin 2f x x x x ==；若选③④，则12a=且22T π=，故22T ππω==，解得2a =，1ω=，故()2sin cos sin 2f x x x x ==，存在且唯一，故()sin 2f x x =；（2）22()()2cos 1sin 22cos 1sin 2cos 2sin(2)4g x f x x x x x x x πω=-+=-+=--，令222,242k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，解得3,88k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，当0k =时，388x ππ-≤≤，当1k =时，71188x ππ≤≤，故函数()g x 在()0,π上的单调递增区间为370,,,88πππ⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.34．设函数()2sin cos cos 2()f x x x A x A =+∈R .已知存在A 使得()f x 同时满足下列三个条件中的两个：条件①：(0)0f =；条件②：()f x ；条件③：π8x =是()f x 图象的一条对称轴.(1)请写出()f x 满足的两个条件，并说明理由；(2)若()f x 在区间(0,)m 上有且只有一个零点，求m 的取值范围.【正确答案】(1)②③，理由见解析(2)37,88ππ⎛⎤ ⎝⎦【分析】（1）首先分析①②可得0,1,1A =-，逐个验证条件③即可得结果；（2）由（1）得函数的解析式，通过x 的范围求出24x π+的范围，结合正弦函数的性质列出关于m 的不等式即可得解.【详解】（1）函数()()2sin cos cos 2sin 2cos 22f x x x A x x A x x ϕ=+=+=+，其中tan ,,22A ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于条件①：若(0)0f =，则0A =，对于条件②：()f x1A =±，①②不能同时成立，当0A =时，182f π⎛⎫=≠± ⎪⎝⎭，即不满足条件③；当1A =时，()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭当1A =-时，()24f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，08f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即不满足条件③；综上可得，存在1A =满足条件②③.（2）由（1）得()24f x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当0x m <<时，22444x m πππ<+<+，由于()f x 在区间(0,)m 上有且只有一个零点，则224m πππ<+≤，解得3788m ππ<≤，即m 的取值范围是37,88ππ⎛⎤⎥⎝⎦.35．某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：性别人数获奖人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；(2)用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X 表示这2名学生中获奖的人数，求X 的分布列和数学期望EX ；(3)用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为0p ；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为1p ；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为2p ，试比较0p 与122p p +的大小．（结论不要求证明）【正确答案】(1)1240(2)分布列见解析，期望12EX =0【分析】（1）直接计算概率11102511200300C C ()C C P A =；（2）X 的所有可能取值为0,1,2，求出高一男生获奖概率和高一女生获奖概率，再计算概率得到分布列，最后计算期望即可；（3）计算出01350p =，12124p p +=，比较大小即可.【详解】（1）设事件A 为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,抽到的2名学生都获一等奖”，则11102511200300C C 1()C C 240P A ==，（2）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.记事件B 为“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”,事件C 为“从该地区高一女生中随机抽取1名,该学生获奖”.由题设知,事件B ,C 相互独立,且()P B 估计为1015151,()2005P C ++=估计为252540330010++=.所以1328(0)()()()1151050P X P BC P B P C ⎛⎫⎛⎫====-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,131319(1)()()()()()1151051050P X P BC BC P B P C P B P C ⎛⎫⎛⎫==⋃=+=⨯-+-⨯= ⎪⎝⎭⎝⎭,133(2)()()()51050P X P BC P B P C ====⨯.所以X 的分布列为X012P28501950350故X 的数学期望()2819310125050502E X =⨯+⨯+⨯=（3）1202p p p +>，理由：根据频率估计概率得04090135250050200p +===，由（2）知115p =，2310p =，故1213150510224200p p ++===，。

北京市朝阳区2020届高考数学一模试卷 (含答案解析)

北京市朝阳区2020届高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合A ={1,2，4，6}，集合B ={1,5}，则A ∪B 等于( )A. {1,3，5}B. {5}C. {1,2，4，5，6}D. {1}2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)上单调递减的是( )A. y =x 12B. y =2x +12x C. y =x 43 D. y =log 12|x |+1 3. 已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 1=1，a 2a 3=−8，则S 6=( )A. 1283B. −24C. −21D. 114. 在ΔOAB 中，点C 满足AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1x +1y=( ) A. 13B. 23C. 92D. 295. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，准线为l ，M 是C 上的一点，点M 关于l 的对称点为N ，若∠MFN =90°且|MF|=12，则p 的值为( )A. 18B. 12C. 6D. 6或18 6. 从甲、乙、丙、丁四人中，随机选取两名作为代表，则甲被选中的概率为( )A. 12B. 13C. 14D. 237. 已知双曲线C ：x 24−y 2b 2=1经过点(4,3)，则双曲线C 的离心率为( )A. 12B. √32C. √72D. √132 8. “φ=3π4”是“函数y =cos2x 与函数y =sin(2x +φ)在区间[0,π4]上的单调性相同”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知定义在R 上的函数满足f(x +1)=f(x −1)，f(x)={2x −5,0<x ≤1ln x−1e5,1<x ≤2，若关于x 的不等式f(x)+a(x −2018)≤0在(2018,2020]上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,2]B. (−∞,2)C. (−∞,52]D. (−∞,52)10. 如图，在棱长为3的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距离是( )A. 92B. √3C. 6√55D. 2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 复数21+i 的模等于__________．12. 如图是某四面体的三视图，则该几何体最长的棱长为__________．13. 张师傅驾车从公司开往火车站，途经4个交通岗，这4个交通岗将公司到火车站分成5个路段，每个路段的驾车时间都是3分钟，如果遇到红灯要停留1分钟．假设他在各交通岗是否遇到红灯是相互独立的，并且概率都是13.则张师傅此行程时间不少于16分钟的概率为________． 14. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，函数f(x)=2x−1x+1，a n =log 2f(n+1)f(n)，则S 2013=______．15. 已知曲线C 的方程是x 4+y 2=1.关于曲线C 的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C 关于原点对称； ②曲线C 关于直线y =x 对称； ③曲线C 所围成的区域的面积大于π．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．(1)求角B; (2)若，求b ．17.如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，点E为线段PB的中点，点M在弧AB上，且OM//AC．(1)求证：平面MOE//平面PAC；(2)求证：平面PAC⊥平面PCB；(3)设二面角M−BP−C的大小为θ，求cosθ的值．18.某研究机构为了调研当代中国高中生的平均年龄，从各地多所高中随机抽取了40名学生进行年龄统计，得到结果如下表所示：年龄(岁)[15,16)[16,17)[17,18)[18,19)[19,20]数量6101284(1)若同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批学生的平均年龄；(2)若在本次抽出的学生中随机挑选2个年龄在[15,17)间的学生人数记为X，求X的分布列及数学期望．19.已知圆O：x2+y2=4，若焦点在x轴上的椭圆x2a2+y2b2=1过点p(0,−1)，且其长轴长等于圆O的直径．(1)求椭圆的方程；(2)过点P作两条互相垂直的直线l1与l2，l1与圆O交于A、B两点，l2交椭圆于另一点C．(Ⅰ)设直线l1的斜率为k，求弦AB长；(Ⅱ)求△ABC面积的最大值．20.求曲线y=f(x)=12x2−3x+2lnx在(3,f(3))处切线的斜率及切线方程．21.若数列{a n}的前n项和为S n，a1=2且S n+1=4a n−2(n=1,2，3…)．(I)求a2，a3；(II)求证：数列{a n−2a n−1}是常数列；(III)求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解题的关键．根据A与B，求出两集合的并集即可．解：∵A={1,2，4，6}，B={1,5}，∴A∪B={1,2，4，5，6}.故选C．2.答案：D解析：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，熟悉常见函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，属于基础题．分别判断各函数的奇偶性和单调性即可得到结论．解：A：y=x12定义域为[0,+∞)，为非奇非偶函数，不满足条件．B：y=2x+12x ，f(−x)=2−x+12−x=2x+12x=f(x)，则f(x)为偶函数，f(1)=2+12=52，f(2)=4+14=174，则f(1)<f(2)，则函数在(1,2)上不是减函数，不满足条件．C：y=x43，f(−x)=(−x)43=[(−x)2]23=x43=f(x)，则f(x)是偶函数，f(1)=1，f(2)=√163，则f(1)<f(2)，则函数在(1,2)上不是减函数，不满足条件．D：，，则f(x)为偶函数，由于为减函数，所以在(1,2)上是减函数，满足条件．故选D．3.答案：C解析：本题考查等比数列的求和公式和通项公式，求出数列的公比是解决问题的关键，属基础题．由题意易得数列的公比q=−2代入求和公式计算可得．解：设等比数列{a n}公比为q，a1=1，a2a3=−8，则a2a3=a12q3=q3=−8，解得q=−2，∴S6=1×[1−(−2)6]1+2=−21，4.答案：C解析：本题主要考查平面向量的基本定理与应用，属于一般题．解析：解：∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，=13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故x =13,y =23⇒1x +1y =92，故选C5.答案：C解析：本题考查抛物线的性质及定义，考查转换思想，属于中档题．构造直角三角形，根据抛物线的性质，即可求得p 的值．解：直线MN 交准线x =−p2于点D ，l 交x 轴于点H ，∴∠MFN =90°，则|DM|=|MF|=|DF|=12，则∠MDF =60°，∠FDH =30°， ∴|HF|=6，即p =6，6.答案：A解析：解：从甲、乙、丙、丁四人中，随机选取两名作为代表，基本事件总数n=C42=6，甲被选中包含的基本事件个数m=C11C31=3，∴甲被选中的概率为p=mn =36=12．故选：A．基本事件总数n=C42=6，甲被选中包含的基本事件个数m=C11C31=3，由此能求出甲被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：C解析：本题考查双曲线方程的求法，离心率的求法，考查计算能力，求出双曲线的方程，然后求解离心率．解：双曲线C：x24−y2b2=1经过点(4,3)，可得424−32b2=1，解得b2=3，双曲线C：x24−y23=1，可得a=2，c=√a2+b2=√4+3=√7，e=ca =√72．故选C．8.答案：A解析：解：函数y=cos2x在区间[0,π4]上单调递减．“φ=3π4”时，函数y=sin(2x+3π4)，x∈[0,π4]，可得2x+3π4∈[3π4,5π4]，∴函数y=sin(2x+3π4)，在区间[0,π4]上单调递减．而φ=3π4+2π时，函数y=sin(2x+3π4)，在区间[0,π4]上单调递减．因此“φ=3π4”是“函数y=cos2x与函数y=sin(2x+φ)在区间[0,π4]上的单调性相同”的充分不必要条件．故选：A．函数y=cos2x在区间[0,π4]上单调递减．“φ=3π4”时，函数y=sin(2x+3π4)，x∈[0,π4]，可得2x+。

2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷(含答案解析)

2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合3，，，则A. B.C. 2，3，D. 2，3，4，2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是A. B. C. D.3.在等比数列中，，，则的前6项和为A. B. 11 C. 31 D. 634.如图，在中，点D，E满足，若，则A.B.C.D.5.已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，于若，，则抛物线C的方程为A. B. C. D.6.现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为A. B. C. D.7.在中，，若以A，B为焦点的双曲线经过点C，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.8.已知函数的图象上相邻两个最高点的距离为，则“”是“的图象关于直线对称”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知函数若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围为A. B. C. D.10.如图，在正方体中，M，N分别是棱AB，的中点，点P在对角线上运动．当的面积取得最小值时，点P的位置是A. 线段的三等分点，且靠近点B. 线段的中点C. 线段的三等分点，且靠近点CD. 线段的四等分点，且靠近点C二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.复数，则______．12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长为______，它的体积为______．13.某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：摇号的初始中签率为；当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加为了使中签率超过，则至少需要邀请______位好友参与到“好友助力”活动．14.已知函数数列满足，则数列的前100项和是______．15.数学中有许多寓意美好的曲线，曲线C：被称为“四叶玫瑰线”如图所示给出下列三个结论：曲线C关于直线对称；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过1；存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线C在此正方形区域内含边界．其中，正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.在中，．Ⅰ求B；Ⅱ若，求a．从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17.如图，在三棱柱中，平面平面ABC，四边形是正方形，点D，E分别是棱BC，的中点，，，．Ⅰ求证：；Ⅱ求二面角的余弦值；Ⅲ若点F在棱上，且，判断平面与平面是否平行，并说明理由．18.某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒．为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区人数众多随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如表：患者的检测结果人数阳性76阴性4非患者的检测结果人数阳性1阴性99Ⅰ从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；Ⅱ从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X表示检测结果为阳性的患者人数，利用Ⅰ中所得概率，求X的分布列和数学期望；Ⅲ假设该地区有10万人，患病率为从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次．若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过？并说明理由．19.已知椭圆，圆O：为坐标原点过点且斜率为1的直线与圆O交于点，与椭圆C的另一个交点的横坐标为．Ⅰ求椭圆C的方程和圆O的方程；Ⅱ过圆O上的动点P作两条互相垂直的直线，，若直线的斜率为且与椭圆C相切，试判断直线与椭圆C的位置关系，并说明理由．20.已知函数．Ⅰ求曲线在点处的切线方程；Ⅱ判断函数的零点的个数，并说明理由；Ⅲ设是的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线的切线．21.设数列A：，，，的各项均为正整数，且若对任意4，，，存在正整数i，使得，则称数列A具有性质T．Ⅰ判断数列：1，2，4，7与数列：1，2，3，6是否具有性质T；只需写出结论Ⅱ若数列A具有性质T，且，，，求n的最小值；Ⅲ若集合2，3，，2019，，且任意i，2，，，求证：存在，使得从中可以选取若干元素可重复选取组成一个具有性质T的数列．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，2，3，，故选：C．先求出集合B，再利用集合并集的运算即可算出结果．本题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属于基础题．2.答案：D解析：解：若函数具有奇偶性，则定义域关于原点对称，所以C错；由偶函数的定义：，故A错；在上递减，故B错；显然，故该函数是偶函数，当时，是增函数，故D对．故选：D．根据幂函数、对数函数、以及二次函数的单调性规律和奇偶性的定义判断即可．本题考查奇偶性、单调性的定义与性质，注意转化思想在解题中的应用．属于基础题．3.答案：A解析：解：设公比为q，由，可得，前6项和，故选：A．先由，求出公比q，再代入前n项和公式求和．本题主要考查等比数列基本量的运算，属于基础题．4.答案：B解析：解：中，点D，E满足，．，又，，．故选：B．在中，，因为，通过转化的思想，将用和表示，求出x和y的值，计算即可．本题主要考查平面向量的基本定理，属基础题，解题时需认真审题，注意向量线性运算的合理性．5.答案：B解析：解：如图所示，由抛物线的定义可知，，，为等边三角形，，，，轴，，即，，抛物线的方程为，故选：B．由抛物线的定义可知，，从而确定为等边三角形，于是得到，，再结合平行关系和三角函数即可求得p的值，进而得解．本题考查抛物线的方程、定义与几何性质，熟练运用抛物线的几何性质是解题的关键，考查学生的观察力和计算能力，属于基础题．6.答案：D解析：解：甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，基本事件总数，甲、乙、丙至多有2种被选取包含的基本事件个数，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率．故选：D．基本事件总数，甲、乙、丙至多有2种被选取包含的基本事件个数，由此能求出其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：C解析：解：设，取AB的中点为O，由题意可得双曲线的一条渐近线为直线OC，在三角形OBC中，，，所以，，所以双曲线的离心率为：．故选：C．设，取AB的中点为O，由余弦定理可得AC，通过双曲线的定义，求解离心率即可．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．8.答案：A解析：解：函数的图象上相邻两个最高点的距离为，，解得．的图象关于直线对称，，解得，解得．则“”是“的图象关于直线对称”的充分不必要条件．故选：A．函数的图象上相邻两个最高点的距离为，可得，解得根据的图象关于直线对称，可得，解得，即可判断出结论．本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：当时，，的对称轴为，开口向上．当时，在递减，递增，当时，有最小值，即，解得；当时，在上递减，当时，有最小值，即，．综合得：当时，；当时，，，当时，，在上递增，，，此时；当，即时，在上递增，同理可得；当，即时，在递减，递增，，，解得．综合得：当时，；关于x的不等式在R上恒成立，，故选：C．当时，，分、两类讨论，可求得；当时，，分、、三类讨论，可求得；取其公共部分即可得到答案．本题考查分段函数的应用，考查不等式恒成立问题，着重考查分类讨论思想和等价转化思想，考查导数的运用，考查运算求解能力和推理能力，属于难题．10.答案：B解析：解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，P为上的动点，设，其中，，0，，，，，为等腰三角形，底边，设底边MN上的高为h，则有．，时的面积取得最小值，此时P为的中点．故选：B．以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的面积取得最小值时，P为的中点．本题考查点的位置瓣判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.答案：解析：解：复数．．故答案为：．利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题．12.答案：5 4解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为等腰直角三角形，，高．最长棱为，体积．故答案为：5；4．由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，底面三角形ABC为等腰直角三角形，，高再由勾股定理求最长棱的长，由棱锥体积公式求体积．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．13.答案：15解析：解：某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品．规则如下：摇号的初始中签率为；当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加．为了使中签率超过，设至少需要邀请n位好友参与到“好友助力”活动，则，解得．为了使中签率超过，则至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动．故答案为：15．为了使中签率超过，设至少需要邀请n位好友参与到“好友助力”活动，则，由此能求出结果．本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：100解析：解：由题意，当，时，．设数列的前n项和为，则．故答案为：100．本题先根据余弦函数的周期性可计算出当，时，，，，连续四项和的值，可发现为固定值2，然后设数列的前n项和为，然后代入进行整理转化，利用周期性得到的规律即可计算出结果．本题主要考查数列的三角函数的综合问题．考查转化与化归思想，整体思想，余弦函数的周期性的应用，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．15.答案：解析：解：对，用替换方程中的，方程形式不变，所以曲线C关于直线对称，正确；对，设点是曲线上任意一点，则，则点P到原点的距离为，由，解得，正确；对，由可知，包含该曲线的以原点为圆心的最小的圆的半径为1，所以最小圆应该是包含该曲线的最小正方形的内切圆，即正方形的边长最短为2，所以不正确；故答案为：．根据曲线的方程以及图象逐个判断3个结论即可得出．本题主要考查函数曲线的性质应用，意在考查学生的直观想象能力和分析能力，属于中档题．16.答案：解：Ⅰ在中，由正弦定理得，得，又，即，，又，．Ⅱ若选，则在中，由余弦定理，可得，解得，或舍去，可得．若选，则，由正弦定理，可得，解得．解析：Ⅰ由正弦定理得，与由此能求出B．Ⅱ若选，由余弦定理可得，即可解得a的值；若选，利用两角和的正弦函数公式可求sin A的值，由正弦定理即可解得a的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．17.答案：Ⅰ证明：四边形是正方形，，又平面平面ABC，平面平面，平面ABC，又平面ABC，；Ⅱ解：由Ⅰ知，，，．又，，，，得．以A为坐标原点，分别以AB，，AC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则0，，0，，0，，2，，0，，2，，1，，，．平面的一个法向量，设平面的一个法向量为．由，取，得．设二面角的平面角为，则．由题意，二面角为锐角，则其余弦值为；Ⅲ解：平面与平面不平行．理由如下：由Ⅱ知，平面的一个法向量，．，与平面不平行．又平面，平面与平面不平行．解析：Ⅰ由题意，结合平面平面ABC，由平面与平面垂直的性质可得平面ABC，进一步得到；Ⅱ解：由Ⅰ知，，得到，求解三角形得，以A为坐标原点，分别以AB，，AC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值；Ⅲ由Ⅱ知，平面的一个法向量，，由数量积不为0可得与平面不平行，即可得到平面与平面不平行．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18.答案：解：Ⅰ由题意知，80位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性，所以从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，结果为阳性的概率估计为．Ⅱ由题意，可知，，，，，的分布列为：X 0 1 2 3P．Ⅲ此人患该疾病的概率未超过．理由如下：由题意得，如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，那么结果为阳性的人数为，其中患者人数为950，若某人检测结果为阳性，则他患该疾病的概率为，此人患该疾病的概率未超过．解析：Ⅰ位患者中有76位用该试剂盒检测一次，结果为阳性，从该地区患者中随机选取一位，用该试剂盒检测一次，能估计结果为阳性的概率．Ⅱ由题意，可知，由此能求出X的分布列和．Ⅲ如果该地区所有人用该试剂盒检测一次，结果为阳性的人数为，其中患者人数为950，由此能求出此人患该疾病的概率未超过．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：Ⅰ因为圆O过点，所以圆O的方程为：，因为过点且斜率为1的直线方程为，又因为过点，所以，所以直线方程为：，因为直线与椭圆C的另一个交点的横坐标为，所以纵坐标为，所以，解得：，所以椭圆C的方程为：；Ⅱ直线与椭圆C相切，理由如下：设圆O上动点，所以，依题意，设直线的方程为：，联立方程，消去y得：，因为直线与椭圆C相切，所以，所以，所以，因为，所以，所以，设直线的方程为：，联立方程，消去y得：，所以，所以直线与椭圆C相切．解析：Ⅰ把点代入圆O的方程，即可求出r，得到圆O的方程，再求出直线方程，得到与椭圆的交点坐标，代入椭圆方程，即可求出椭圆C的方程；Ⅱ设圆O上动点，所以，设直线的方程为：，与椭圆方程联立利用得到，设直线的方程为：，与椭圆方程联立，把上式代入化简，所以直线与椭圆C相切．本题主要考查了圆的方程，考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．20.答案：解：Ⅰ因为，所以，所以，，故切线方程为：．Ⅱ函数有且仅有两个零点．易知的定义域为，且，且，所以在，上是增函数．因为，，所以在上有唯一零点；又因为，所以在上有唯一零点；综上，有且仅有两个零点．Ⅲ易知，曲线在点处的切线为，即．再设曲线在点处的切线斜率为，则，即切点为．所以曲线的切线方程为，即．因为是的一个零点，所以，，故两条切线重合，结论成立．解析：Ⅰ求出处的导数，利用点斜式写出切线方程即可；Ⅱ研究函数的单调性、极值的符号等求解；Ⅲ只需要说明零点处的切线重合即可．本题考查导数的几何意义和综合应用，同时考查了学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养．属于较难的题目．21.答案：解：Ⅰ，，3，4，7不具有性质P；，，，，2，3，5具有性质P，即数列不具有性质T，数列具有性质T．Ⅱ由题意可知，，，，，，．若，且，，同理，，，，，，数列各项均为正整数，，数列前三项为1，2，4．数列A具有性质T，只可能为4，5，6，8之一，而又，，同理，有，，，，此时数列为1，2，4，8，16，32，64，128，200．但数列中存在，使得，该数列不具有性质T，．当时，取A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，构造数列不唯一，A：1，2，4，8，16，32，36，64，100，200，经验证，此数列具有性质T，的最小值为10．Ⅲ假设结论不成立，即对任意2，，都有：若正整数a，，，则，否则，当时，a，，b是一个具有性质T的数列；当时，，a，b是一个具有性质T的数列；当时，a，a，b是一个具有性质T的函数．由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个，不妨设此集合为，从中取出337个数，记为，，，且，令集合2，，．由假设，对任意，2，，336，，，在，，，，中至少有一个集合包含中的至少68个元素，不妨设这个集合为，从中取出68个数，记为，，，，且，令集合2，，．由假设，对任意，2，，68，存在2，，使得，对任意，由假设，，，．在，，，中至少有一个集合包含中的至少17个元素，不妨设这个集合为，从中取出17个数，记为，，，，且，令集合2，，，由假设，对任意，2，，17，存在2，，使得，对任意，同样，由假设可得，，．同样，在，中至少有一个集合包含中的至少3个元素，不妨设这个集合为，从中取出3个数，记为，，，且，同理可得．由假设可得，同上可知，，而又，，矛盾．假设不成立，原命题得证．解析：Ⅰ根据，可知1，3，4，7不具有性质P，由，，，可知1，2，3，5具有性质P；Ⅱ由数列A具有性质T，结合条件可知，然后分别考虑，，时是否符合条件，进一步得到n的最小值；Ⅲ假设结论不成立，即对任意2，，都有：若正整数a，，，则，否则，当时，a，，b是一个具有性质T的数列；当时，，a，b是一个具有性质T的数列；当时，a，a，b是一个具有性质T的函数，然后找出矛盾结论，从而证明结论成立．本题考查了新定义、等差数列的通项公式、数列递推关系和不等式的性质，考查了考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．。

2024北京人朝分校初三一模数学试题及答案

人大附中朝阳学校初三年级数学学科一模模拟一．选择题（共16分，每小题2分）1.右图是某几何体的三视图，该几何体是（A ）长方体（B ）三棱柱（C ）圆锥（D ）圆柱2.2023年我国规模以上内容创作生产营业收入累计值前三个季度分别约为6500亿元，13000亿元，20000亿元，合计约39500亿元.将39500用科学记数法表示应为（A ）395×102（B ）3.95×104（C ）3.95×103（D ）0.395×1053.不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（A ）23（B ）34（C ）25（D ）354.如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若∠AOC =60°，∠BOE =40°，则∠DOE 的度数为（A ）60°（B ）40°（C ）20°（D ）10°5.正六边形的外角和为（A ）180°（B ）360°（C ）540°（D ）720°6.已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（A ）1-（B ）0（C ）1（D ）27.如下图1是变量y 与变量x 的函数关系的图象，图2是变量z 与变量y 的函数关系的图象，则z 与x 的函数关系的图象可能是图1图2（A）（B）（C）（D）8.如图，正方形边长为a，点E是正方形ABCD内一点，满足90AEB∠=°，连接CE.给出下面四个结论：①AE+CE≥a2；②CE≤a215-；③∠BCE的度数最大值为60°；④当CE=a时，tan∠ABE=21.上述结论中，所有正确结论的序号为（A）①②（B）①③（C）①④（D）①③④二．填空题（共16分，每小题2分）9.若1x-在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________.10.分解因式：2312x-=_______________.11.方程322x x=+的解为____________．12.在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数6yx=的图象经过点()2A m，和点()2B n-，，则m+n =__________.13.如图，树AB在路灯O的照射下形成树影AC．已知灯杆PO高为5m，树影AC长为3m，树AB与灯杆PO的水平距离AP为4.5m，则树AB的高度为m.14.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，连接AC，AD．若∠BAC＝40°，则∠D＝°．15.用一组a，b，m的值说明“若a b<，则ma mb>”是错误的，这组数可以是a=______，b=______．m=_______.16.从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交路线，为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：（第14题图）（第13题图）线路公交车用时频率公交车时间30≤t ≤3535＜t ≤4040＜t ≤4545＜t ≤50合计A 59151166124500B 5050122278500C4526516723500早高峰期间，乘坐________（填“A ”，“B ”或“C ”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大.三．解答题（共68分）17.计算：06cos 45185(2)-+--π-°.18.解不等式组：22135.2x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩，19.已知230x x --=，求代数式(2)(2)(2)x x x x +---的值．20.如图，在△ABC 中，AB =AC ．（1）使用直尺和圆规，作AD ⊥BC 交BC 于点D （保留作图痕迹）；（2）以D 为圆心，DC 的长为半径作弧，交AC 于点E ，连接BE ，DE ．①∠BEC =°；②写出图中一个．．与∠CBE 相等的角．21.如图，在四边形ABCD 中，∠ACB =∠CAD =90°，点E 在BC 上，AE ∥DC ，EF ⊥AB ，垂足为点F .（1）求证：四边形AECD 是平行四边形；（2）若AE 平分∠BAC ，BE =5，54cos =B ，求BF 和AD 的长.22.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），（-2，2），与x轴交于点A.（1）求该一次函数的表达式及点A的坐标；（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y=2x+m的值大于一次函数y=kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围.23.列方程解应用题无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势.某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍.要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？24.如图，AB是⊙O的直径，点E是OB的中点，过点E作弦CD⊥AB，连接AC，AD.（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）若点F是的中点，过点C作CG⊥AF，垂足为点G.若⊙O的半径为2，求CG的长.25.学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况.在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B 中的剩余质量分别为y1，y2(单位:克).下面是某研究小组的探究过程，请补充完整:记录y1，y2与x的几组对应值如下:x（分钟）05101520…y1(克)2523.52014.57…y2(克)252015105…（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点(x，y1)，(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象;（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足二次函数：y1=-0.04x2+bx+c.场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足一次函数y2=kx+c(k≠0).则b=_______，c=_______，k=_______；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为x A，x B，则x A_______x B（填“＞”，“=”或“＜”）.26.在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y=ax2-2ax+c（a＞0）上任意两点.（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若x1=a+1，x2=a+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，总有y1＜y2，求m的取值范围.27.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2α（45°＜α＜90°），点D是BC的中点，点E是BD的中点，连接AE，将射线AE绕点A逆时针旋转α得到射线AM，过点E作EF⊥AE交射线AM于点F.（1）①依题意补全图形；②求证：∠B=∠AFE；（2）连接CF，DF，用等式表示CF，DF之间的数量关系，并证明.28.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 外一点，给出如下定义：若在⊙O 上存在点T ，使得点P 关于某条过点T 的直线对称后的点Q 在⊙O 上，则称点Q 为点P 关于⊙O 的“关联对称点”.（1）若点P 在直线y =2x 上；1若点P 的坐标为（1，2），则Q 1（0，1），Q 2（1，0），Q 3（22-，22-）中，是点P 关于⊙O 的“关联对称点”的是____________；2若存在点P 关于⊙O 的“关联对称点”，求点P 的横坐标P x 的取值范围；（2）已知点A （2，23），动点M 满足AM ≤1，若点M 关于⊙O 的“关联对称点”N 存在，直接写出MN 的取值范围.参考答案一、选择题：1. A2.B3.D4.C5.B6.C7.D8.C二、填空题：9.x≥1 10. 3（x＋2）（x－2） 11.4 12.0 13.2 14.50° 15.2 3 4（答案不唯一）16.C三．解答题17．计算：6cos45°﹣+|﹣5|﹣（π﹣2）0．解：6cos45°﹣+|﹣5|﹣（π﹣2）0＝6×﹣3+5﹣1＝3﹣3+5﹣1＝4．18．解不等式组：．解：，解不等式①得：x＞3，解不等式②得：x＜5，则不等式组的解集为3＜x＜5．19．已知x2﹣x﹣3＝0，求代数式（x+2）（x﹣2）﹣x（2﹣x）的值．解：（x+2）（x﹣2）﹣x（2﹣x）＝x2﹣4﹣（2x﹣x2）＝x2﹣4﹣2x+x2＝2x2﹣2x﹣4，∵x2﹣x﹣3＝0，∴x2﹣x＝3，则原式＝2（x2﹣x）﹣4＝2×3﹣4＝2．20．如图，在△ABC中，AB＝AC．（1）使用直尺和圆规，作AD⊥BC交BC于点D（保留作图痕迹）；（2）以D为圆心，DC的长为半径作弧，交AC于点E，连接BE，DE．①∠BEC＝90°；②写出图中一个与∠CBE相等的角∠BCF（答案不唯一）．解：（1）如图，AD为所作；（2）①∵AB＝AC，AD⊥BC，∴DB＝DC，AD平分∠BAC，∴BC为⊙O的直径，∴∠BEC＝90°；故答案为：90；②∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴BC为⊙O的直径，∴∠CFB＝∠BEC＝90°，∴∠CBE＝∠BCF，∵∠CBE+∠BCE＝90°，∠CAD+∠ACD＝90°，∴∠CBE＝∠CAD，∴∠CBE＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCF．故答案为：∠BCF（答案不唯一）．21.如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE//DC,EF⊥AB，垂足为F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；，求BF和AD的长．（2）若AE平分∠BAC,BE=5,cosB=45（1）证明：∵∠ACB=∠CAD=90°，∴AD∥CE，∵AE//DC，∴四边形AECD是平行四边形；（2）解：由（1）可得四边形AECD是平行四边形，∴CE=AD，∵EF⊥AB，AE平分∠BAC，∠ACB=90°，∴EF=CE，∴EF=CE=AD，，∵BE=5,cosB=45=4，∴BF=BE⋅cosB=5×45∴EF=√BE2−BF2=3，∴AD=EF=3．22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），（﹣2，2），与x轴交于点A．（1）求该一次函数的表达式及点A的坐标；（2）当x>2时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值大于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（0，1），（﹣2，2），∴，解得，该一次函数的表达式为y＝﹣x+1，令y＝0，得0＝﹣x+1，∴x＝2，∴A（2，0）；（2）当x>2时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值大于等于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，∴2x+m≥﹣x+1，∴m≥﹣4．23．列方程解应用题：无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量是1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍．要配送6000件包裹，使用1辆无人配送车所需时间比4名快递员同时配送所需时间少2天，求1名快递员平均每天可配送包裹多少件？解：设1名快递员平均每天可配送包裹x件，则1辆无人配送车平均每天可配送包裹5x件，根据题意得：﹣＝2，解得：x＝150，经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意．答：1名快递员平均每天可配送包裹150件．24.如图，AB是⊙O的直径，点E是OB的中点，过E作弦CD⊥AB，连接AC，AD．（1）求证：△ACD是等边三角形；（2）若点F是的中点，连接AF，过点C作CG⊥AF，垂足为G，若⊙O的半径为2，求线段CG的长．（1）证明：连接OC，如图：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴AB是CD的垂直平分线，∴AC＝AD，∴∠DAE＝∠CAE，∵OC＝OB，点E为OB的中点，∴OE＝OB＝OC，在Rt△OCE中，cos∠COE＝＝，∴∠COE＝60°，∴∠CAE＝∠COE＝30°，∴∠DAE＝∠CAE＝30°，∴∠CAD＝∠DAE+∠CAE＝60°，∴△ABC为等边三角形．（2）解：由（1）可知：△ACD是等边三角形，∠CAE＝30°，∴∠D＝60°，∵点F为弧AC的中点，∴∠CAF＝30°，∵⊙O的半径为2，∴OA＝OB＝2，∵点E为OB的中点，∴OE＝1，∴AE＝OA+OE＝2+1＝3，在Rt△ACE中，cos∠CAE＝，∴AC＝＝＝，在Rt△ACG中，AC＝，∠CAF＝30°，∴CG＝AC＝．25.学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为y1，y2（单位：克）．下面是某研究小组的探究过程，请补充完整：记录y1，y2与x的几组对应值如下：（1）在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（2）进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足二次函数：．场景B的图象是直线的一部分y2与x之间近似满足一次函数y2＝kx+c（k≠0）．则b＝﹣0.1，c＝25，k＝﹣1；（3）查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A，B中发挥作用的时间分别为x A，x B，则x A＞x B（填“＞”，“＝”或“＜”）．解：（1）由题意，作图如下．（2）由题意，场景A的图象是抛物线的一部分，y1与x之间近似满足函数关系y1＝﹣0.04x2+bx+c．又点（0，25），（10，20）在函数图象上，∴．解得：．∴场景A函数关系式为y1＝﹣0.04x2﹣0.1x+25．对于场景B的图象是直线的一部分，y2与x之间近似满足函数关系y2＝kx+c．又（0，25），（10，15）在函数图象上，∴，解得：，∴场景B函数关系式为y2＝﹣x+25．故答案为：﹣0.1，25，﹣1；（3）由题意，当y＝4时，场景A中，x A≈21.7，场景B中，4＝﹣x B+25，解得：x B＝21，∴x A＞x B．故答案为：＞．26.在平面直角坐标系xOy中，点M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）上任意两点．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若x1＝a+1，x2＝a+2，比较y1与y2的大小，并说明理由；（3）若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，总有y1＜y2，求m的取值范围．解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的对称轴为：x＝﹣＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵a＞0，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1；∴M（x1，y1），N（x2，y2）都在对称轴右侧，∵当x＞1时，y随x的增大而增大，且x1＜x2，∴y1＜y2；（3）∵m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，∴＜，∵y1＜y2，a＞0，∴M（x1，y1）距离对称轴更近，x1＜x2，则MN的中点在对称轴的右侧，∴解得：m．27.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC=2α（45°＜α＜90°），D是BC的中点，E是BD的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF ⊥AE 交射线AM 于点F .（1）①依题意补全图形；②求证：∠B ＝∠AFE ；（2）连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．答案.（1）①依题意补全图形.②∵AB AC =，2BAC α∠=, ∴1802902B C αα︒−∠=∠==︒−.∵EF AE ⊥, ∴90AEF ∠=︒. ∵EAF α∠=, ∴90AFE α∠=︒−.∴B AFE ∠=∠.（2）线段CF 与DF 的数量关系为CF =DF .证明：延长FE 至点G ，使EG =EF ，连接AG ，BG . ∵AE ⊥EF ， ∴AE 垂直平分GF . ∴AG =AF .∴∠GAE =∠EAF =α.∴∠GAF =∠GAE ＋∠EAF =2α. ∵∠BAC =2α， ∴∠GAF =∠BAC . ∴∠GAB =∠F AC .BC∠°∠°M C∵AB=AC，AG=AF，∴△AGB≌△AFC（SAS）.∴GB=FC.∵E为BD中点，∴BE=DE.∵∠GEB=∠DEF，∴△GBE≌△FDE（SAS）.∴GB=DF.∴DF=CF.28．（2024•朝阳区校级一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，给出如下定义：若在⊙O上存在点T，使得点P关于某条过点T的直线对称后的点Q在⊙O上，则称点Q为点P关于⊙O的“关联对称点”．（1）若点P在直线y＝2x上；①若点P的坐标为（1，2），则Q1（0，1），Q2（1，0），中，是点P关于⊙O的“关联对称点”的是Q2，Q3．；②若存在点P关于⊙O的“关联对称点”，求点P的横坐标x P的取值范围；（2）已知点，动点M满足AM≤1，若点M关于⊙O的“关联对称点”N存在，直接写出MN的取值范围．解：（1）解：如图所示，PQ3连线的中点在⊙O的内部，PQ1的中点的纵坐标为1，则点P，Q1关于y＝1对称，点P关于⊙O的关联点是Q3，Q2，故答案为：Q2，Q3．②如图所示，点P在线段RS和UW上，设R（m，2m），在Rt△OHR中，m2+（2m）2＝32，解得m＝或m＝﹣（舍），∴x R＝；同理x S＝，x U＝﹣，x W＝﹣，∴﹣≤p＜﹣或＜p≤；（2）依题意，关于⊙O的关联点在半径为3的圆内，如图所示，∵AM≤1，则M在半径为1的⊙A上以及圆内，M关于⊙O的关联点N，∴MN的最大值为OM+ON＝3+1＝4，如图所示，当M在线段OA上时，MN取最小值，∴OA＝＝，设MN＝GH＝x，则GT＝HT＝x，∴MH2＝（）2﹣（1+x）2，∴NG2＝12﹣（1﹣x）2，∴（）2﹣（1+x）2＝12﹣（1﹣x）2，解得x＝，∴≤MN≤4．。

朝阳区2022届初三一模数学试题答案

北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷答案及评分参考2022.4一、选择题（共16分，每题2分）三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27，28题，每题7分） 17．解：原式 21=−………………………………………………………………4分 1=−． ……………………………………………………………………………………5分18．解：原不等式组为3(2)4, 121. 3x x xx −−≥⎧⎪⎨+−<⎪⎩①② 解不等式①得，1x ≤． ………………………………………………………………………2分解不等式②得，4x <． ………………………………………………………………………4分 ∴原不等式组的解集为1x ≤．…………………………………………………………………5分19．解：(23)(23)(3)x x x x +−−−22493x x x =−−+………………………………………………………………………………3分 2339x x =+−． …………………………………………………………………………………4分∵230x x +−=，∴2339=0x x +−． ………………………………………………………………………………5分 ∴原式=0．20．（1）证明：依题意，得22()4(1)(2)a a a ∆=−−−=−．………………………………………2分 ∵2(2)0a −≥，∴0∆≥．∴该方程总有两个实数根．……………………………………………………………3分（2）解：解方程，得11x =，21x a =−． ………………………………………………………4分∵该方程的两个实数根都是整数，且其中一个根是另一个根的2倍， ∴12a −=． ∴3a =．…………………………………………………………………………………5分21．解：（1）补全的图形如图所示：……………………………3分（2）等边三角形； ……………………………………………………………………………4分一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． …………………………………5分 22．（1）证明：∵AE ∥BD ，BE ∥AC ，∴四边形AEBO 是平行四边形．………………………………………………………1分∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OB =OC =OD ． …………………………………………………………………2分 ∴四边形AEBO 是菱形．………………………………………………………………3分（2）解：连接OE ，交AB 于点H ． ∵四边形AEBO 是菱形，∴OE 与AB 互相垂直平分．………………4分 ∵AB =OB =2，∴BH =1，OH =3．………………………5分 ∴OE =23．∴四边形AEBO 的面积1232AB OE =⋅=． ………………………………………6分23．（1）证明：如图1，连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD =90°． ……………………1分 ∴∠DCA +∠ACO =90°． ∵AD ⊥CD ，∴∠DCA +∠DAC =90°．∴∠ACO =∠DAC ．……………………2分 ∵OA =OC ，∴∠ACO =∠OAC ． ∴∠DAC =∠OAC ． ∴AC 平分∠DAB ． ……………………………………………………………………3分（2）解：如图2，连接BC ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°． …………………………………4分由（1）可知cos ∠CAB =cos ∠CAD =45． ∵AB =5，∴AC =4． …………………………………………5分 ∴在Rt △ACD 中，AD =16cos 5AC CAD ⋅∠=．∴125CD =． ……………………………………………………………………………6分 24．解：（1）坐标系及图象如图所示．………………………2分（2）4； ………………………………………………………………………………………………3分（3）设h 关于d 的函数表达式为2(1)4h a d =−+， ……………………………………………4分把（3，0）代入，解得1a =−．∴2(1)4h d =−−+（0≤d ≤3）． ……………………………………………………………5分图1图2（4）∵只调整喷头距离湖面的高度， ∴喷泉水柱的形状不变，对称轴位置不变．∴可设调整后抛物线的函数表达式为22h d d c =−++．由题意可知，当游船到立柱的水平距离和水柱到游船顶棚的竖直距离的最小值都恰好为1米时，抛物线经过点（3，2）．把（3，2）代入22h d d c =−++，解得c =5．∴将喷头向上移动至少2米就能满足要求．…………………………………………………6分25．解：（1）78.5． ………………………………………………………………………………………2分（2）在本次抽取的学生中乙校区赋予等级A 的学生更多；理由为：甲校区的平均分为79.5分，从统计图可以知道超过这一分数的学生有8名，也就是在本次抽取的学生中甲校区有8人赋予等级A ，乙校区的平均分为77分，低于中位数81.5分，说明在本次抽取的学生中至少有10人可以赋予等级A ，所以在本次抽取的学生中乙校区赋予等级A 的学生更多．……………………………………………………………………………………4分（3）78．…………………………………………………………………………………………5分26．解：（1）∵y 1=y 2，∴抛物线对称轴为y 轴．…………………………………………………………………1分 ∵（-2，0），（2，y 3）关于y 轴对称， ∴y 3=0． ……………………………………………………………………………………2分（2）把（-2，0）代入2y x bx c =++，得0=4-2b +c ． ∴c =2b -4．…………………………………………………………………………………3分把（2，y 3）代入2y x bx c =++，得y 3=4+2b +c =4b ．由题意可知抛物线开口向上且经过点（-2，0），对称轴为2bx =−． ………………4分 ∵y 2<y 1， ∴02b−>． ………………………………………………………………………………5分 ∵y 1<y 3，∴122b −<．综上，10b −<<． ∴440b −<<．即340y −<<． …………………………………………………………………………6分27．（1）①补全图形如图1所示．………………………………………1分②AB=AE+CE．…………………………………………………………………………………2分证明：如图2，延长AD，CE相交于点F．∵AB∥CE，∴∠B=∠DCF，∠BAD=∠F．……3分∵D是BC的中点，∴BD=CD．∴△ABD≌△FCD．………………4分∴AB= CF．∵将线段AB沿AD所在直线翻折得到线段A B’，∴∠BAD=∠B’AD．∴∠B’AD=∠F．∴EF=AE．………………………………………………………………………………5分∵CF=CE+EF，∴AB=AE+CE．（2）AE=AB+CE或CE=AB+AE．……………………………………………………………7分28．解：（1）2．………………………………………………………………………………………2分（2）①如图1，当直线l经过点A（0，1），B（2，0）时，k=12−．……………………3分可知OA=1，OB=2，∠AOB=90°．∴5AB=．∴2cos55ABO∠=．图1图2设AB 与⊙M 的另一个交点为C ，连接OC ，可知∠OCB =90°． ∴4cos 55BC OB ABO =⋅∠=．即此时直线l 关于⊙M 的“圆截距”为455．结合图形可知12−<k <0．………………………………………………………………4分如图2，当直线l 经过点（0，1），（1，-1）时，k =-2．由对称性可得，此时直线l 关于⊙M 的“圆截距”为455．结合图形可知k <-2．……………………………………………………………………5分综上，当12−<k <0或k <-2时直线l 关于⊙M 的“圆截距”小于455．②2b =±．………………………………………………………………………………7分图1图2。

2022年北京市朝阳区初三一模数学试题及答案

北京市朝阳区九年级综合练习〔一〕数学试卷2022.5 学校班级姓名考号考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，29道小题，总分值120分. 考试时间120分钟. 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号.3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答. 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题〔此题共30分，每题3分〕下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．1. 据亚洲开发银行统计数据，2022年至2022年，亚洲各经济体的根底设施如果要到达世界平均水平，至少需要8000000000000美元基建投资．将8000000000000用科学记数法表示应为A．0.8×1013B．8×1012C．8×1013D．80×10112. 如图，以下关于数m、n的说法正确的选项是A．m＞n B．m=nC．m＞－n D．m=－n3．如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠2=∠3，假设∠1=80°，那么∠4等于A．20°B．40°C．60°D．80°4．以下计算正确的选项是A．2a+3a=6a B. a2+a3=a5 C. a8÷a2=a6D. (a3)4= a75．以下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是A B C D6．为筹备班级联欢会，班干部对全班同学最爱吃的水果进行了统计，最终决定买哪种水果时，班干部最关心的统计量是A．平均数B．中位数C．众数D．方差7颜色数量〔个〕奖项红色 5 一等奖黄色 6 二等奖蓝色9 三等奖白色10 四等奖为了保证抽奖的公平性，这些小球除了颜色外，其他都相同，而且每一个球被抽中的时机均相等，那么该抽奖活动抽中一等奖的概率为A. 16B.51C.310D.128. 假设正方形的周长为40，那么其对角线长为A ．100B ．202．102 D ．10 9．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 在一条直线上，且直线PS 与河垂直，在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，PT 与过点Q 且与PS 垂直的直线b 的交点为R ．如果QS =60 m ， ST =120 m ，QR =80 m ，那么河的宽度PQ 为 A ．40 mB ．60 mC ．120 mD ．180 m10．甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y 〔米〕与乙出发的时间t 〔秒〕之间的关系如下列图，那么以下结论正确的选项是A. 乙的速度是4米/秒B. 离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米C. 甲从起点到终点共用时83秒D. 乙到达终点时，甲、乙两人相距68米二、填空题〔此题共18分，每题3分〕11．假设分式21-x 有意义，那么x 的取值范围是． 12．分解因式：2236+3m mn n -=．13．如图，⊙O 的直径CD 垂直于弦AB ，∠AOC =40°，那么∠CDB 的度数为．14．请写出一个图象从左向右上升且经过点〔－1，2〕的函数，所写的函数表达式是． 15．为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准〔见下表〕.如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是〔填“一类、二类、三类〞中的一个〕．16．一组按规律排列的式子：a 2，25a -，310a，417a -，526a ，…，其中第7个式子是，第n 个式子是〔用含的n 式子表示，n 为正整数〕．三、解答题〔此题共30分，每题5分〕 17．：如图，E 是BC 上一点，AB =EC ，AB ∥CD ， BC =CD ．求证：AC =ED ．18．计算：10122sin 45(2015)3-⎛⎫-+--︒+- ⎪⎝⎭π．地区类别首小时内首小时外一类 2.5元/15分钟 3.75元/15分钟二类 1.5元/15分钟 2.25元/15分钟三类 0.5元/15分钟 0.75元/15分钟19．解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，20．250x x +-=，求代数式2(1)(3)(2)(2)x x x x x ---++-的值．21．关于x 的一元二次方程2630x x k -++=有两个不相等的实数根(1)求k 的取值范围；(2)假设k 为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．22．列方程或方程组解应用题：为了迎接北京和张家口共同申办及举办2022年冬奥会，全长174千米的京张高铁于2022年底开工.按照设计，京张高铁列车从张家口到北京最快用时比最慢用时少18分钟，最快列出时速是最慢列车时速的2920倍，求京张高铁最慢列车的速度是多少四、解答题〔此题共20分，每题5分〕23. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DE ∥AC 且DE=12AC ，连接CE 、OE ，连接AE 交OD 于点F ．〔1〕求证：OE =CD ；〔2〕假设菱形ABCD 的边长为2，∠ABC=60°，求AE 的长．24．为防治大气污染，依据北京市压减燃煤相关工作方案，2022年全市燃煤数量比2022年压减450万吨，到2022年、2022年要比2022年分别压减燃煤800万吨、1300万吨．以下是根据相关数据绘制的统计图的一局部：〔1〕据报道，2022年全市燃煤由四局部组成，其中电厂用煤920万吨，那么2022年全市燃煤数量为万吨；〔2〕请根据以上信息补全2022-2022年全市燃煤数量的折线统计图，并标明相应数据；〔3〕某地区积极倡导“清洁空气，绿色出行〞，大力提升自行车出行比例，小颖收集了该地区近几年公共自行车的有关信息〔如下表〕，发现利用公共自行车出行人数与公共自行车投放数量之间近似成正比例关系.2022-2022年公共自行车投放数量与利用公共自行车出行人数统计表年份公共自行车投放数量〔万辆〕利用公共自行车出行人数〔万人〕 2022 1.4 约9.9 2022 2.5 约17.6 2022 4 约27.6 2022 5 约根据小颖的发现，请估计，该地区2022年利用公共自行车出行人数〔直接写出结果，精确到0.1〕25.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，点D 在⊙O 上，过点D 作⊙O 切线与AC 的延长线交于点E ，ED ∥BC ，连接AD 交BC 于点F . 〔1〕求证：∠BAD =∠DAE ；2022年全市燃煤各组成局部用煤量分布扇形统计图2022-2022年全市燃煤数量的折线统计图〔2〕假设AB =6，AD =5，求DF 的长. 26．阅读下面材料：小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，BE 是AC 边上的中线，点D 在BC 边上，CD ：BD =1：2，AD 与BE 相交于点P ，求APPD的值．小昊发现，过点A 作AF ∥BC ，交BE 的延长线于点F ，通过构造△AEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决〔如图2〕．请答复：APPD的值为．参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图 3，在△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在BC 的延长线上，AD 与AC 边上的中线BE 的延长线交于点P ，DC ：BC ：AC =1：2：3 ．〔1〕求APPD的值；〔2〕假设CD=2，那么BP =．五、解答题〔此题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分〕27．如图，将抛物线M 1:x ax y 42+=向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的横坐标是－3. 〔1〕求a 的值及M 2的表达式；〔2〕点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF .①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值； ②在点C 的运动过程中，假设直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的取值范围〔直接写出结果〕.28．在△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在射线BC 上〔不与点B 、C 重合〕，连接AD ，将AD绕点D 顺时针旋转90°得到DE ，连接BE . 〔1〕如图1，点D 在BC 边上.①依题意补全图1；②作DF ⊥BC 交AB 于点F ，假设AC =8，DF =3，求BE 的长；〔2〕如图2，点D 在BC 边的延长线上，用等式表示线段AB 、BD 、BE 之间的数量关系图1图2图3〔直接写出结论〕.29．定义:对于平面直角坐标系xOy 中的线段PQ 和点M ，在△MPQ 中，当PQ 边上的高为2时，称M 为PQ 的“等高点〞，称此时MP +MQ 为PQ 的“等高距离〞．〔1〕假设P (1，2)，Q (4，2) ．①在点A (1，0)，B (25，4)，C 〔0，3〕中，PQ 的“等高点〞是； ②假设M 〔t ，0〕为PQ 的“等高点〞，求PQ 的“等高距离〞的最小值及此时t 的值.〔2〕假设P (0，0)，PQ =2，当PQ 的“等高点〞在y 轴正半轴上且“等高距离〞最小时，直接写出点Q 的坐标．北京市朝阳区九年级综合练习〔一〕数学试卷答案及评分参考2022.5一、选择题〔此题共30分，每题3分〕 11. 2≠x12. 2)(3n m -13. 20°14. 3+=x y 〔答案不惟一〕15. 二类16. 750a，n n a n 1)1-(21+⋅+〔第一个空1分，第二个空2分〕三、解答题〔此题共30分，每题5分〕17. 证明：∵AB ∥CD ，∴∠B=∠DCE . …………………………………………………………………1分在△ABC 和△ECD 中，∴△ABC ≌△ECD . ……………………………………………………………4分 ∴AC ＝ED . ……………………………………………………………………5分 18. 解：原式＝122232+⨯--………………………………………………………4分＝2-.…………………………………………………………………………5分19.⎪⎩⎪⎨⎧>+->.31222x x x x ，解：解不等式①，得2->x . ………………………………………………………………2分解不等式②，得x ＜1. ………………………………………………………………4分 ∴不等式组的解集是x <-2＜1. …………………………………………………5分20. 解：)2)(2()3()1(2-++---x x x x x＝4312222-++-+-x x x x x …………………………………………………3分＝32-+x x . ……………………………………………………………………4分 ∵052=-+x x ， ∴52=+x x .图1 图2① ②∴原式＝5－3＝2. ……………………………………………………………………5分 21. 解：〔1〕)3(4)6(2+--=∆k ………………………………………………………1分∵原方程有两个不相等的实数根， ∴0244>+-k .解得6<k . ………………………………………………………………2分〔2〕∵6<k 且k 为大于3的整数，∴=k 4或5.………………………………………………………………………3分 ①当=k 4时，方程0762=+-x x 的根不是整数. ∴=k 4不符合题意.…………………………………………………………4分 ②当=k 5时，方程0862=+-x x 根为21=x ，42=x 均为整数. ∴=k 5符合题意.……………………………………………………………5分综上所述，k 的值是5.22. 解：设京张高铁最慢列车的速度是x 千米/时. …………………………………………1分由题意，得60182029174-174=x x .……………………………………………2分解得180=x . ……………………………………………3分经检验，180=x 是原方程的解，且符合题意.………………………………4分答：京张高铁最慢列车的速度是180千米/时.……………………………………5分四、解答题〔此题共20分，每题5分〕 23. 〔1〕证明：在菱形ABCD 中，OC=12AC . ∴DE=OC ． ∵DE ∥AC ，∴四边形OCED 是平行四边形．…………………………………………1分 ∵AC ⊥BD ，∴平行四边形OCED 是矩形．…………………………………………2分 ∴OE =CD ．…………………………………………………………………3分〔2〕在菱形ABCD 中，∠ABC=60°，∴AC=AB=2． ∴在矩形OCED 中，CE =223AD AO -………………4分在Rt △ACE 中，227AC CE +．………………………………………………………5分24.〔1〕2300. ………………1分〔2〕如图. …………… 3分〔3〕35.0±0.5. ……………5分 25.解：〔1〕连接OD ，∵ED 为⊙O 的切线，∴OD ⊥ED ．……………………………………………………………………………1分∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°. …………………………………………………………………………2分 ∵BC ∥ED ,∴∠ACB =∠E =∠EDO . ∴AE ∥OD . ∴∠DAE =∠ADO . ∵OA =OD , ∴∠BAD =∠ADO .∴∠BAD =∠DAE . ………………………………3分〔2〕连接BD ， ∴∠ADB =90°. ∵AB =6，AD =5，∴BD 2211AB AD -=……………………………………………………………4分 ∵∠BAD =∠DAE =∠CBD ， ∴tan ∠CBD = tan ∠BAD =115. 在Rt △BDF 中， ∴DF =BD ·tan ∠CBD =115. ……………………………………………………………5分 26. 解：PD AP 的值为23. …………………………………………………………………1分解决问题：〔1〕过点A 作AF ∥DB ，交BE 的延长线于点F ，……………………………………2分设DC ＝k ， ∵DC ︰BC ＝1︰2， ∴BC ＝2k .∴DB ＝DC ＋BC ＝3k . ∵E 是AC 中点， ∴AE ＝CE . ∵AF ∥DB ， ∴∠F ＝∠1. 又∵∠2＝∠3，∴△AEF ≌△CEB . ……………………………………………………………3分 ∴AF ＝BC ＝2k . ∵AF ∥DB ， ∴△AFP ∽△DBP .∴DB AFPD AP=. ∴32=PDAP. …………………………………………………………………4分〔2〕 6. ……………………………………………………………………………5分五、解答题〔此题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分〕 27. 解：〔1〕∵点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，∴A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，解得a =1.……………………………………………………………………2分 ∴M 1 :x x y 42+=，顶点为(－2，－4) . ∴M 2的顶点为(1，－1) .∴M 2的表达式为x x y 2-2=.…………3分〔2〕①由题意，C (2，2)，∴F (4，2) . ………………………………4分 ∵直线n x y +=经过点F ， ∴2=4+n .解得n =－2.………………………5分 ②n ＞3，n ＜－6.………………7分 28.解：〔1〕①补全图形，如图1所示.………………………1分②由题意可知AD =DE ，∠ADE =90°. ∵DF ⊥BC ， ∴∠FDB =90°.∴∠ADF =∠EDB .……………………………………2分 ∵∠C =90°，AC =BC ， ∴∠ABC =∠DFB =90°. ∴DB =DF .∴△ADF ≌△EDB .……………………………………3分 ∴AF =EB .在△ABC 和△DFB 中， ∵AC =8，DF =3，∴AC =82，DF =32.………………………………………………………………4分 AF =AB －BF=52即BE =52…………………………………………………………………………5分〔22BD =BE +AB.……………………………………………………………………7分 29. 解:〔1〕A 、B ……………………………………………………………………………2分〔2〕如图，作点P 关于x 轴的对称点P ′，连接P ′Q ，P ′Q 与x 轴的交点即为“等高点〞M ，此时“等高距离〞最小，最小值为线段P ′Q 的长.………………………3分 ∵P (1，2)， ∴ P ′(1，－2).设直线P ′Q 的表达式为b kx y +=，根据题意，有图1⎩⎨⎧=+-=+242b k b k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==31034b k . ∴直线P ′Q 的表达式为31034-=x y .……………4分当0=y 时，解得25=x . 即25=t .………………………………………………………………………5分根据题意，可知PP ′＝4，P Q ＝3， P Q ⊥PP ′， ∴5''22=+=PQ PP Q P .∴“等高距离〞最小值为5.…………………………………………………6分〔3〕Q 〔554，552〕或Q 〔554-，552〕.………………………………8分。

2022北京市朝阳区一模数学答案

2022北京市朝阳区一模数学答案1、下列说法错误的是[单选题] *A.+（-3）的相反数是3B.-（+3）的相反数是3C.-（-8）的相反数是-8(正确答案)C.-（+八分之一）的相反数是82、直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（）[单选题] *A、平行B、平行C、相交但不垂直(正确答案)D、不能确定3、4.一个数是25，另一个数比25的相反数大- 7，则这两个数的和为[单选题] *A.7B. - 7(正确答案)C.57D. - 574、41．若m2﹣n2＝5，则（m+n）2（m﹣n）2的值是（）[单选题] *A．25(正确答案)B．5C．10D．155、44．若a+b＝6，ab＝4，则a2+4ab+b2的值为（）[单选题] *A．40B．44(正确答案)C．48D．526、24.不等式x-3>5的解集为（）[单选题] *A. x > 1B. x > 2(正确答案)C. x > 3D. x > 47、10．下列各数：5，﹣，03003，，0，﹣，12，1010010001…（每两个1之间的0依次增加1个），其中分数的个数是（）[单选题] *A．3B．4(正确答案)C．5D．68、设M=(x﹣3)(x﹣7)，N=(x﹣2)(x﹣8)，则M与N的关系为( ) [单选题] *A. M＜NB. M＞N(正确答案)C. M=ND. 不能确定9、6.对于单项式-2mr2的系数，次数分别是（）[单选题] *A.2,-2B.-2,3C.-2,2(正确答案)D.-2,310、28.已知点A（2,3）、B（1,5），直线AB的斜率是（）[单选题] *A.2B.-2C.1/2D.-1/2(正确答案)11、要使多项式不含的一次项，则与的关系是（）[单选题] *A. 相等(正确答案)B. 互为相反数C. 互为倒数D. 乘积为112、7．已知点A(－2，y1)，B(3，y2)在一次函数y＝－x＋b的图象上，则( ) [单选题]* A．y1 > y2(正确答案)B．y1 < y2C．y1 ≤y2D．y1 ≥y213、14．命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2（x平方）”的否定形式是（）[单选题] * A．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2B．?x∈R，?x∈N*，使得n<x2C．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2D．?x∈R，?n∈N*，使得n<x2(正确答案)14、32．已知m＝（）﹣2，n＝（﹣2）3，p＝﹣（﹣）0，则m，n，p的大小关系（）[单选题] *A．m＜p＜nB．n＜m＜pC．p＜n＜mD．n＜p＜m(正确答案)15、x? ?1·()＝x? ?1，括号内应填的代数式是( ) [单选题] *A. x? ?1B. x? ?1C. x2(正确答案)D. x16、9. 一个事件发生的概率不可能是(? ? ?) [单选题] *A．0B．1/2C．1D．3/2(正确答案)17、-60°角的终边在（）. [单选题] *A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限(正确答案)18、用角度制表示为（）[单选题] *30°(正确答案)60°120°-30°19、45．下列运算正确的是（）[单选题] * A．（5﹣m）（5+m）＝m2﹣25B．（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣3m2C．（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16(正确答案) D．（2ab﹣n）（2ab+n）＝4ab2﹣n220、x+2=3的解为（）[单选题] *A. x=1(正确答案)B. x=2C. x=3D. x=421、若2? ＝3，2?＝4，则23??2?等于( ) [单选题] *A. 7B. 12C. 432(正确答案)D. 10822、下列表示正确的是（）[单选题] *A、0={0}B、0={1}C、{x|x2 =1}={1,-1}(正确答案)D、0∈φ23、下列计算正确的是（）[单选题] *A. a2+a2=2a?B. 4x﹣9x+6x=1C. （﹣2x2y）3=﹣8x?y3(正确答案)D. a6÷a3=a224、下列各式中能用平方差公式的是（）[单选题] *A. (x＋y)(y＋x)B. （x＋y)(y－x)(正确答案)C. (x＋y)(－y－x)D. (－x＋y)(y－x)25、手表倒拨1小时20分，分针旋转了多少度？[单选题] *-480°120°480°(正确答案)-120°26、1．在0，，3，2π，﹣23%，2021这六个数中，非正数有（）个．[单选题] * A．2(正确答案)B．3C．4D．027、下列说法中，不正确的是[单选题] *A.0是自然数B.0是正数(正确答案)C.0是整数D.0是有理数28、40．若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是（）[单选题] * A．﹣7(正确答案)B．﹣3C．1D．929、函数y=cosx与y=arcsinx都是（）[单选题] *A、有界函数(正确答案)B、有界函数C、奇函数D、单调函数30、19、如果点M是第三象限内的整数点，那么点M的坐标是（）[单选题] *（-2，-1）（-2，-2）（-3，-1）(正确答案)（-3，-2）。

2023年北京市朝阳区高三一模考试数学试卷+答案解析(附后)

2023年北京市朝阳区高三一模考试数学试卷1. 已知集合，集合，则( )A. B.C. D.2. 若，则( )A. B. C.D.3. 设，若，则( )A. 5B. 6C. 7D. 84. 已知点，若直线上存在点P ，使得，则实数k的取值范围是( )A. B.C.D.5.已知函数，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 过双曲线的右焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为若为坐标原点，则该双曲线的离心率为( )A.B.C. 2D.或27. 在长方体中，与平面相交于点M ，则下列结论一定成立的是( )A. B. C. D.8. 声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是( )A.的一个周期为 B. 的最大值为C.的图象关于直线对称D.在区间上有3个零点9.如图，圆M为的外接圆，，，N为边BC的中点，则( )A. 5B. 10C. 13D. 2610. 已知项数为的等差数列满足，若，则k的最大值是( )A. 14B. 15C. 16D. 1711. 若复数，则________.12. 函数的值域为________.13. 经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若，则为坐标原点的面积为______.14.在中，，，若，则________；当________写出一个可能的值时，满足条件的有两个．15. 某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力战斗单位数随时间的变化遵循兰彻斯特模型：，其中正实数，分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力;正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为给出下列四个结论：①若且，则；②若且，则；③若，则红方获得战斗演习胜利；④若，则红方获得战斗演习生利．其中所有正确结论的序号是________.16. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，求证：平面BDE；求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；求点D到平面ABE的距离．17. 设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在．求函数的解析式；求在区间上的最大值和最小值．条件①：；条件②：的最大值为；条件③：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．18. 某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了500名参加活动的高一学生，获奖情况统计结果如下：获奖人数性别人数一等奖二等奖三等奖男生200101515女生300252540假设所有学生的获奖情况相互独立．分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，求抽到的2名学生都获一等奖的概率；用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取1名，从该地区高一女生中随机抽取1名，以X表示这2名学生中获奖的人数，求X的分布列和数学期望EX；用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一男生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为；从该地区高一女生中随机抽取1名，设抽到的学生获奖的概率为，试比较与的大小．结论不要求证明19. 已知函数求的单调区间；若对恒成立，求a的取值范围；证明：若在区间上存在唯一零点，则20. 已知椭圆经过点求椭圆E的方程及离心率；设椭圆E的左顶点为A，直线与E相交于M，N两点，直线AM与直线相交于点问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由．21.已知有穷数列满足给定正整数m，若存在正整数s，，使得对任意的，都有，则称数列A是连续等项数列．判断数列，1，0，1，0，1，是否为连续等项数列？是否为连续等项数列？说明理由；若项数为N的任意数列A都是连续等项数列，求N的最小值；与数列都是连续等项数列，且，求的值．答案和解析1.【答案】C【解析】略2.【答案】A【解析】略3.【答案】A【解析】略4.【答案】D【解析】略5.【答案】C【解析】略6.【答案】B【解析】略7.【答案】C【解析】略8.【答案】D【解析】略9.【答案】C【解析】略10.【答案】B【解析】略11.【答案】【解析】略12.【答案】【解析】略13.【答案】2【解析】略14.【答案】答案不唯一【解析】略15.【答案】①②④【解析】略16.【答案】解：在三棱柱中，因为平面ABC，所以又D，E分别为AC，的中点，则，所以因为，所以又，所以平面由知，，又平面ABC，所以平面因为平面ABC，所以所以DA，DB，DE两两垂直.如图建立空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面ABE的一个法向量为，则即令，则，于是设直线DE与平面ABE所成角为，则，所以直线DE与平面ABE所成角的正弦值为因为直线DE与平面ABE所成角的正弦值为，所以点D到平面ABE的距离为【解析】略17.【答案】解：选条件②③其中，根据条件②可知，函数的最大值为又，所以根据条件③可知，函数的最小正周期为，所以所以由，得，则，所以当，即时，取得最小值，最小值为当，即时，取得最大值，最大值为【解析】略18.【答案】解：设事件A为“分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名，抽到的2名学生都获一等奖”，则随机变量X的所有可能取值为0，1，记事件B为“从该地区高一男生中随机抽取1名，该学生获奖”，事件C为“从该地区高一女生中随机抽取1名，该学生获奖”.由题设知，事件B，C相互独立，且估计为，估计为所以，，所以X的分布列为X012P故X的数学期望【解析】略19.【答案】解：因为，所以①若，则，所以在区间上单调递增.②若，令，得当时，，所以在区间上单调递减;当时，，所以在区间上单调递增.综上，当时，的单调递增区间为当时，的单调递减区间为，单调递增区间为①若，当时，，，则在区间上单调递增.所以所以符合题意.②若，则由可知在区间上单调递减，所以当时，综上，a的取值范围为若在区间上存在唯一零点，则，且即欲证：只需证：只需证：，即证：由知，在区间上恒成立，所以在区间上恒成立.所以所以【解析】略20.【答案】解：因为椭圆过点所以，得所以椭圆E的方程为因为，，所以所以椭圆的离心率直线NQ过定点理由如下：由得显然，设，，则，直线AM的方程为令，得，则所以直线NQ的斜率为，且所以直线NQ的方程为令，则所以直线NQ 过定点【解析】略21.【答案】解：数列A 是连续等项数列，不是连续等项数列.理由如下：因为，所以A 是连续等项数列.因为，，，为，1，0，，，，为1，0，1，，，，为0，1，0，，，，为1，0，1，，所以不存在正整数s ，，使得所以A 不是连续等项数列.设集合，则S 中的元素个数为因为在数列A 中，，所以若，则所以在，，，，这个有序数对中，至少有两个有序数对相同，即存在正整数s ，，使得，所以当项数时，数列A 一定是连续等项数列.若，数列0，0，1不是连续等项数列.若，数列0，0，1，1不是连续等项数列.若，数列0，0，1，1，0不是连续等项数列.若，数列0，0，1，1，0，不是连续等项数列.若，数列0，0，1，1，0，，1不是连续等项数列.若，数列0，0，1，1，0，，1，不是2一连续等项数列.若，数列0，0，1，1，0，，1，，不是连续等项数列.若，数列0，0，1，1，0，，1，，，0不是连续等项数列.所以N 的最小值为所以存在两两不等的正整数i，j，使得，，，，，，，，，，，下面用反证法证明假设，因为，，，，所以，，，中至少有两个数相等.不妨设，则，，，，所以A是连续等项数列，与题设矛盾.所以所以【解析】略。

北京市朝阳区2022届高三一模数学试题(1)

一、单选题二、多选题1.已知数列满足，，，则（）A ．6B ．7C ．8D ．92. 已知，则（）A．B．C．D．3.已知、、均为单位向量，且满足，则的值为（）A．B．C．D．4. 在复平面内，复数（为虚数单位），则为（）A．B．C．D．5. 已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．6. 若复数满足，其中为虚数单位，则（）A．B．C．D．7.下列命题正确的是若，则与、共面；若，则M 、P 、A 、B共面；若，则A 、B 、C 、D共面；若，则P 、A 、B 、C 共面．A ．1B ．2C ．3D ．48. 已知i 虚数单位，若z =1+，则（）A．B．C．D．9. 已知O 为坐标原点，点A (1，0)，P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，-sin β)，P 3(cos （α + β）， sin （α + β）)，则（）A ．OP 1 = OP 2B ．AP 1= AP 2C ．P 1P 2 = AP 3D ．P 2P 3 = AP 110. 如图1，在矩形与菱形中，，，，分别是，的中点.现沿将菱形折起，连接，，构成三棱柱，如图2所示，若，记平面平面，则（）北京市朝阳区2022届高三一模数学试题(1)北京市朝阳区2022届高三一模数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．平面平面B．C ．直线与平面所成的角为60°D ．四面体的外接球的表面积为11. 将函数的图象上每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A ．的最小正周期为B．的图象关于点中心对称C ．在上单调递增D ．若存在，使成立，则12. 设是公比为正数等比数列的前项和，若，，则（）A．B．C ．为常数D ．为等比数列13.已知抛物线上一点A 到x 轴的距离为m ，到直线x +2y +8=0的距离为n ，则m +n 的最小值为___________.14.在等差数列中，，则___________.15.已知各项均不相等的数列为等差数列，且，，恰为等比数列的前三项.若，则__________.16.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列．且，，，．(1)求，的通项公式；(2)设，求数列的前项和．17. 已知函数.（1）设，求的最大值及相应的值；（2）对任意，恒有，求的取值范围.18.在中，，.（1）若，求的面积；（2）若，，求的长.19. 如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20. “滴滴快车”借助社会闲置车辆和运力，缓解城市高峰期运力短缺的现象，为消费者出行提供便捷服务.某交通部门为了研究"滴滴快车"在高速公路上的车速情况，随机对100名“滴滴快车”驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在60名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有20人.在40名女性驾驶员中，平均车速超过的有10人，不超过的有30人.参考公式：，其中.参考数据：(1)判断是否有的把握认为“滴滴快车”的平均车速超过的人与性别有关.(2)用上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量"滴滴快车"中随机抽取10辆，记这10辆车中驾驶员为男性且车速不超过的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的数学期望和方差.21. 某学校为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛．赛前，小明、小红分别进行了为期一周的封闭强化训练，下表记录了两人在封闭强化训练期间每天加工模具成功的次数，其中小明第7天的成功次数忘了记录，但知道，（，分别表示小明、小红第天的成功次数）．第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天序号1234567小明成功次数162020253036小红成功次数16222526323535(1)求这7天内小明成功的总次数不少于小红成功的总次数的概率；(2)根据小明这7天内前6天的成功次数，求其成功次数关于序号的线性回归方程，并估计小明第七天成功次数的值．参考公式：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：，．参考数据：；．。