2019年宜宾中考总复习精练第4章第15讲等腰三角形与直角三角形

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(宜宾专版)2019年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第4章图形的初步认识与三角形第13讲三角形及

第十三讲三角形及其性质宜宾中考考情与预测宜宾考题感知与试做1.（2017·宜宾中考）如图，BC∥DE，若∠A＝35°，∠C＝24°，则∠E等于（B）A.24°B.59°C.60°D.69°（第1题图）（第2题图）2.（2015·宜宾中考）如图，AB∥CD，AD与BC交于点E.若∠B＝35°，∠D＝45°，则∠AEC＝80°Ｗ.3.（2015·宜宾模拟）如图，在△ABC中，D、E分别为边BC、AB的中点，AD、CE相交于点O，AB＝8，BC＝10，AC＝6，则OD＝53Ｗ.宜宾中考考点梳理三角形的分类三角形⎩⎪⎨⎪⎧按边分⎩⎪⎨⎪⎧三边互不相等的三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧腰和底不相等的等腰三角形等边三角形按角分⎩⎪⎨⎪⎧直角三角形斜三角形⎩⎪⎨⎪⎧锐角三角形钝角三角形三角形的边角关系1.三边关系：三角形的任何两边的和大于第三边，任何两边的差小于第三边Ｗ.2.内角和与外角和三角形的内角和等于 180° ；三角形的外角和等于 360° .3.内外角关系（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（2）三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.三角形中的重要线段中线BD＝DC 重心：三角形三条中线的交点高线AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°垂心：三角形三条高线的交点角平分线∠1＝∠2内心：三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等中位线DE∥BC且DE＝12BC连接三角形两边中点的线段叫做中位线1.若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（C）A.6B.7C.11D.122.如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD＝（B）A.145°B.150°C.155°D.160°（第2题图）（第3题图）3.如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC.若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B的大小为（C）A.54°B.62°C.64°D.74°4.如图，A、B两点被一座山隔开，M、N分别是AC、BC的中点，测量MN的长度为40 m，那么AB的长度为（B）A.40 mB.80 mC.160 mD.不能确定5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∠ABC的平分线交边AC于点D，延长BD至点E，且BD ＝2DE，连结AE.（1）求线段CD 的长；（2）求△ADE 的面积.解：（1）设CD ＝x.过点D 作DH⊥AB，垂足为点H.∵BD 平分∠ABC，∠C ＝90°，∴DH ＝DC ＝x ，则AD ＝3－x.∵∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5，∴sin ∠BAC ＝DH AD ＝BC AB ，∴x3－x ＝45，∴x ＝43，即CD ＝43；（2）由（1）可得S △ABD ＝12AB·DH＝12×5×43＝103.∵BD ＝2DE ，∴S △ABDS △ADE ＝BD DE＝2，∴S △ADE ＝103×12＝53.中考典题精讲精练三角形三边的关系【典例1】已知a、b、c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x. （1）直接写出c及x的取值范围；（2）若x是小于18的偶数，①求c的长；②判断△ABC的形状.【解析】（1）利用三角形三边关系可得出c的取值范围，进而得出答案；（2）①根据偶数的定义，以及x的取值范围即可求解；②利用等腰三角形的判定方法求解即可.【解答】解：（1）∵a＝4，b＝6，∴2＜c＜10，则12＜x＜20；（2）①∵x为小于18的偶数，12＜x＜20，∴x＝16或x＝14.当x＝16时，c＝6；当x＝14时，c＝4；②当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形；当c＝4时，a＝c，△ABC为等腰三角形.综上所述，△ABC是等腰三角形.三角形内角和及外角的应用【典例2】（2018·宜昌中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线BE 交AC 的延长线于点E.（1）求∠CBE 的度数；（2）过点D 作DF∥BE，交AC 的延长线于点F ，求∠F 的度数.【解析】（1）先根据“直角三角形的两个锐角互余”求出∠ABC＝90°－∠A ＝50°，由此求出外角∠CBD 的度数.再根据角的平分线的定义即可求出∠CBE 的度数；（2）先根据三角形内角和得出∠CEB 的度数，再根据平行线的性质即可求出∠F 的度数.【解答】解：（1）∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝40°，∴∠ABC ＝90°－∠A＝50°，∴∠CBD ＝130°.∵BE 是∠CBD 的平分线，∴∠C BE ＝12∠CBD ＝65°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE ＝65°，∴∠CEB ＝90°－65°＝25°.∵DF ∥BE ，∴∠F ＝∠CEB＝25°.三角形中重要线段的应用【典例3】如图，在△A BC中，点M为BC的中点，AD平分∠BAC，且BD⊥AD于点D，延长BD交AC于点N.若AB＝12，AC＝18，则MD的长为 3 Ｗ.【解析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得BD＝DN，AB＝AN，再求出CN，然后判断出DM是△BCN的中位线，再根据“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半”解答.三角形的作图应用【典例4】如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.求作∠ABC的平分线，分别交AD、AC于P、Q两点，并证明AP＝AQ.（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【解析】利用基本作图（作已知角的平分线）作BQ平分∠ABC即可；证明∠APQ＝∠AQP即可得结论.【解答】解：BQ就是所求作的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点.证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BPD＋∠PBD＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠AQP＋∠ABQ＝90°.∵∠ABQ＝∠PBD，∴∠BPD＝∠AQP.∵∠BPD＝∠APQ，∴∠APQ＝∠ AQP，∴AP＝AQ.1.长度分别为2、7、x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（C）A.4B.5C.6D.92.已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为（D）A.2a＋2b－2cB.2a＋2bC.2cD.03.一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于75°Ｗ.（第3题图）（第4题图）4.小明把一副含45°、30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于（B）A.180°B.210°C.360°D.270°5.如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB＝10，AC ＝16.（1）求证：BN＝DN；（2）求MN的长.（1）证明：∵AN平分∠BAC，∴∠1＝∠2.∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°.在△ABN和△ADN中，∵∠1＝∠2，AN＝AN，∠ANB＝∠AND，∴△ABN≌△ADN（A.S.A.），∴BN＝DN；（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD＝AB＝10，∴CD＝AC－AD＝16－10＝6.又∵点M是BC的中点，BN＝DN，∴MN 是△BDC 的中位线，∴MN ＝12CD ＝3.6.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为△ABC 的角平分线.（1）求作：线段CD 的垂直平分线EF ，分别交AC 、BC 于点E 、F ，垂足为O （要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：△COE≌△COF.（1）解：线段CD 的垂直平分线EF 如图所示；（2）证明：∵∠ECO＝∠FCO，CO ＝CO ，∠COE ＝∠COF＝90°，∴△COE ≌△COF （A .S .A .）.。

中考数学考点系统复习第四章三角形第三节等腰三角形与直角三角形

（B ）
A．4
B．8
C．12
D．16
6．已知，AD 是等腰三角形 ABC 的中线，若 AC＝5，BD＝3，则 AD＝44 .
7．(2022·台州)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D，E，F 分别为 AB， BC，CA 的中点，若 EF 的长为 10，则 CD 的长为 1010 .
8．(2022·云南)已知△ABC 是等腰三角形．若∠A＝40°，则△ABC 的顶角度数是 404°0°或或1 100°0°.
下列结论中错误的是
（A ）
A．BF＝1
B．DC＝3
C．AE＝5
D．AC＝9
11．(2022·梧州)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D，E 分别是 AB，
AC 边上的中点，连接 CD，DE.如果 AB＝5 m，BC＝3 m，那么 CD＋DE
的长是
（ B）
A．3 m
B．4 m
C．5 m
D．6 m
大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点 M，N，作直线 MN，分别交 AC，
AB 于点 E，F，则 AE 的长度为
（A ）
A.52
B．3
C．2 2
D.130
5．(2022·贵阳)如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间
的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角
Hale Waihona Puke 边的长分别为 1 和 3，则中间小正方形的周长是
S2，S3.若 S1＋S2＋S3＝2S0，则线段 OP 长的最小值是
33 A. 2
53 B. 2
C．3 3
73 D. 2
（ B）
15．(2022·龙东)△ABC和△ADE都是等边三角形．

中考数学考点系统复习第四章三角形第三节等腰三角形与直角三角形

12．(2020·台州)如图，等边三角形纸片 ABC 的边长为 6，E，F 是边 BC 上的三等分点．分别过点 E，F 沿着平行于 BA，CA 方向各剪一刀，则剪下的△DEF 的周长是__6__.
13．★(2021·齐齐哈尔)直角三角形的两条边长分别为 3 和 4，则这个直角三角形斜边上的高为或152或3 4 7 .
30°，则∠D 的度数为
( B)
A．85° B．75° C．65° D．30°
3．(2021·福建)如图，点 F 在正五边形 ABCDE 的内部，△ABF 为等边三
角形，则∠AFC 等于
( C)
A．108° B．120° C．126° D．132°
4．(2020·南充)如图，在等腰△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，∠A＝36°，

AB＝AC＝a，BC＝b，则 CD＝
( C)
A.a＋2 b
B.a－2 b
C．a－b
D．b－a
5．(2020·荆州)如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的斜边 OA 在第一
象限，并与 x 轴的正半轴夹角为 30°，C 为 OA 的中点，BC＝1，则点 A
的坐标为
( B)
A．( 3， 3) B．( 3，1) C．(2，1) D．(2， 3)
10．(2021·娄底)如图，△ABC 中，AB＝AC＝2，P 是 BC 上任意一点，PE ⊥AB 于点 E，PF⊥AC 于点 F，若 S△ABC＝1，则 PE＋PF＝ 1 1.
11．如图，已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6，点 P 是 Rt △ABC 的重心，则点 P 到 AB 所在直线的距离等于 1 1.
14．(2020·衡阳)如图，在△ABC 中，∠B＝∠C，过 BC 的中点 D 作 DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为点 E，F. (1)求证：DE＝DF； (2)若∠BDE＝40°，求∠BAC 的度数．

2019年中考数学专题《等腰三角形》复习试卷含答案解析

2019年中考数学总复习等腰三角形专题综合训练题1．在△ABC中，∠ABC＝30°，∠BAC＝70°.在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )A．7条 B．8条C．9条D．10条2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为( )A．80° B．75° C．65° D．45°3. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( )A．3 B．4 C．5 D．64. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6.将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是( )A．6 B．3 C．2.5 D．25. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠B AC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )A．5 B．6 C．8 D．106. 如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β等于____．7. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是____．8. 在△ABC中，∠C是最小内角．若过顶点B的一条直线把这个三角形分成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，△ABC 中，∠A＝90°，∠C＝20°，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC＝20°，则直线BD是△ABC 的关于点B的伴侣分割线．(1)如图2，△ABC中，∠C＝20°，∠ABC＝110°.请在图中画出△ABC关于点B的伴侣分割线，并注明角度；(2)△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x.试探索y与x应满足什么要求时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．9. 如图，抛物线y＝ax2＋bx过A(4，0)，B(1，3)两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H.(1)求抛物线的表达式；(2)若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．解析：第(2)题分别以点C，M，N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算．10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，请画出以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形．(要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3)11. 在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB＝AF，求点F 到直线BC的距离．12. 如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)点M 是直线l 上的动点，且△MAC 为等腰三角形，求出所有符合条件的点M 的坐标．13. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，CE ⊥BD ，垂足是E ，BA 和CE 的延长线交于点F.(1) 在图中找出与△ABD 全等的三角形，并证明你的结论； (2) 证明：BD ＝2EC.参考答案: 1. C2. D 【解析】∠BCA＝12(180°－∠A)＝75°，∠BCD ＝∠BCA－∠DCA＝∠BCA－∠A＝75°－30°＝45°.3. C【解析】作PQ⊥MN 于Q ，由PM ＝PN 知PQ 垂直平分MN∴MQ＝1.∠AOB＝60°，OP ＝12，∴OQ ＝12OP ＝6，OM＝OQ －MQ ＝6－1＝5. 4. C【解析】如图，以BC 为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE 交AD 于F ，得△ABF 是等腰直角三角形，作EG⊥CD 于G ，得△EGC 是等腰直角三角形，在矩形ABCD 中剪去△ABF，△BCE ，△ECG 得到四边形EFDG ，此时剩余部分的面积最小，最小值为4×6－12×4×4－12×3×6－12×3×3＝2.5，故选C.5. C 【解析】∵AB＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴BD ＝AB 2－AD 2＝4，∴BC ＝2BD ＝8，故选C. 6. 20° 【解析】过点A 作AD∥l 1，根据平行线的性质可得∠BAD＝∠β.AD∥l 2，从而得到∠DAC＝∠α＝40°.再根据等边△ABC 可得到∠BAC＝60°，∴∠β＝∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝60°－40°＝20°.7. 12° 【解析】设∠A＝x ，∵AP 1＝P 1P 2＝P 2P 3＝…＝P 13P 14＝P 14A ，∴∠A ＝∠AP 2P 1＝∠AP 13P 14＝x ，∴∠P 2P 1P 3＝∠P 13P 14P 12＝2x ，∴∠P 3P 2P 4＝∠P 12P 13P 11＝3x ，……，∠P 7P 6P 8＝∠P 8P 9P 7＝7x ，∴∠AP 7P 8＝7x ，∠AP 8P 7＝7x.在△AP 7P 8中，∠A ＋∠AP 7P 8＋∠AP 8P 7＝180°，即x ＋7x ＋7x ＝180°，解得x ＝12°.8. 解：(1)画图正确，角度标注正确，如图① (2)考虑直角顶点，只有点A ，B ，D 三种情况．当点A 为直角顶点时，如图②，此时y ＝90°－x.当点B 为直角顶点时，再分两种情况：若∠DBC＝90°，如图③，此时y ＝90°＋12(90°－x)＝135°－12x.若∠ABD＝90°，如图④，此时y ＝90°＋x.当点D 为直角顶点时，又分两种情况：若△ABD 是等腰三角形，如图⑤，此时y ＝45°＋(90°－x)＝135°－x.若△DBC 是等腰三角形，如图⑥，此时x ＝45°，45°＜y ＜90°9. 解：(1)把点A(4，0)，B(1，3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a ＋4b ，3＝a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，∴抛物线表达式为：y ＝－x 2＋4x (2)点C 的坐标为(3，3)，点B 的坐标为(1，3)，以点C ，M ，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：①以点M 为直角顶点且M 在x 轴上方时，如图2，CM ＝MN ，∠CMN＝90°，则△CBM≌△MHN，∴BC ＝MH ＝2，BM ＝HN ＝3－2＝1，∴M(1，2)，N(2，0)，由勾股定理得MC ＝22＋12＝5，∴S △CMN ＝12×5×5＝52；②以点M 为直角顶点且M 在x 轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt △NEM 和Rt △MDC ，得Rt △NEM ≌Rt △MDC ，∴MD ＝ME ＝2，EM ＝CD ＝5，由勾股定理得CM ＝22＋52＝29，∴S △CMN＝12×29×29＝292；③以点N 为直角顶点且N 在y 轴左侧时，如图4，CN ＝MN ，∠MNC ＝90°，作辅助线，同理得CN ＝32＋52＝34，∴S △CMN ＝12×34×34＝17；④以点N 为直角顶点且N 在y 轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得CN ＝32＋12＝10，∴S △CMN ＝12×10×10＝5；⑤以C 为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形．综上所述，△CMN 的面积为52或292或17或510. 解：满足条件的所有等腰三角形如下图所示：解析：利用等腰三角形的性质，分别以长度为3的边为等腰三角形的底边和腰长进行分类．11. 解：①如图a ，延长AC ，作FD⊥BC 于点D ，FE ⊥AC 于点E ，易得四边形CDFE 是正方形，则CD ＝DF＝FE ＝EC.∵在等腰直角△ABC 中，AC ＝BC ＝1，AB ＝AF ，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝12＋12＝2，∴AF ＝ 2.在Rt △AEF 中，(1＋EC)2＋EF 2＝AF 2，即 (1＋DF)2＋DF 2＝(2)2，解得DF ＝3－12；②如图b ，延长BC ，作FD⊥BC 于点D ，延长CA ，作FE⊥CA 于点E ，易得四边形CDFE 是正方形，则CD ＝DF ＝FE ＝EC.在Rt △AEF 中，(EC －1)2＋EF 2＝AF 2，即(FD －1)2＋FD 2＝(2)2，解得FD ＝3＋12.综上可知，点F 到BC 的距离为3＋12或3－1212. 解：(1)将A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3，故抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3 (2)如图，抛物线的对称轴为x ＝－b 2a＝1，设M(1，m)，已知A(－1，0)，C(0，－3)，则MA 2＝m 2＋4，MC 2＝(3＋m)2＋1＝m 2＋6m ＋10，AC 2＝10.①若MA ＝MC ，则MA 2＝MC 2，得m 2＋4＝m 2＋6m ＋10，解得m ＝－1；②若MA ＝AC ，则MA 2＝AC 2，得m 2＋4＝10，得m ＝±6；③若MC ＝AC ，则MC 2＝AC 2，得m 2＋6m ＋10＝10，得m 1＝0，m 2＝－6，当m ＝－6时，M ，A ，C 三点共线，不构成三角形，不合题意，故舍去．综上可知，符合条件的M 点的坐标为 (1，6)(1，－6)(1，－1)(1，0)13. 解：(1)△ABD≌△ACF，证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠FAC ＝∠BAC＝90°，∵BD ⊥CE ，∠BAC ＝90°，∠ADB ＝∠EDC，∴∠ABD ＝∠ACF，∴△ABD ≌△ACF(ASA)(2)∵△ABD≌△ACF，∴BD ＝CF ，∵BD ⊥CE ，∴∠BEF ＝∠BEC，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠FBE ＝∠CBE，∵BE ＝BE ，∴△FBE ≌△CBE(ASA)，∴CF ＝2CE ，∴BD ＝2CE2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，以边长为a 的等边三角形各定点为圆心，以a 为半径在对边之外作弧，由这三段圆弧组成的曲线是一种常宽曲线．此曲线的周长与直径为a 的圆的周长之比是( )A ．1：1B ．1：3C ．3：1D ．1：22．昆明市有关负责人表示，预计年昆明市的地铁修建资金将达到亿元，将亿用科学记数法表示为（）A.B.C. D.3．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点P 在边AB 上，∠CPB 的平分线交边BC 于点D ，DE ⊥CP 于点E ，DF ⊥AB 于点F ．当△PED 与△BFD 的面积相等时，BP 的值为（）A. B. C. D.4．下列计算的结果是a 6的为（） A ．a 12÷a 2B ．a 7﹣aC ．a 2•a 4D ．（﹣a 2）35．如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为（）A ．12πB ．24πC ．36πD ．48π6．如图，抛物线()()142L y x t x t =---+：（常数0t >），双曲线6(0)y x x=>.设L 与双曲线有个交点的横坐标为0x ，且满足034x <<，在L 位置随t 变化的过程中，t 的取值范围是（）A ．322t << B ．34t << C ．45t << D ．57t <<7．如图所示的几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC ＝20°，则∠ADC 的度数是( )A ．90°B ．100°C ．110°D ．130°9．如图，一次函数y ＝kx+b 与y ＝x+2的图象相交于点P （m ，4），则关于x ，y 的二元一次方程组2kx y by x -=-⎧⎨-=⎩的解是（）A ．34x y =⎧⎨=⎩B ． 1.84x y =⎧⎨=⎩C ．24x y =⎧⎨=⎩D ． 2.44x y =⎧⎨=⎩10．如图1，△ABC 中，∠A ＝30°，点P 从点A 出发以2cm/s 的速度沿折线A→C→B 运动，点Q 从点A 出发以vcm/s 的速度沿AB 运动，P ，Q 两点同时出发，当某一点运动到点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为x （s ），△APQ 的面积为y （cm 2），y 关于x 的函数图象由C 1，C 2两段组成，如图2所示，有下列结论：①v ＝1；②sinB ＝13；③图象C 2段的函数表达式为y ＝﹣13x 2+103x ；④△APQ 面积的最大值为8，其中正确有（）A ．①②B ．①②④C ．①③④D ．①②③④11．已知函数6y x -= 与y ＝﹣x+1的图象的交点坐标是（m ，n ），则11m n+的值为（） A ．﹣16B ．16C ．﹣6D ．612．整数a 满足下列两个条件，使不等式﹣2≤352x +＜12a+1恰好只有3个整数解，使得分式方程135-22ax x x x----＝1的解为整数，则所有满足条件的a 的和为（）A ．2B ．3C ．5D ．6二、填空题13．任意写出一个3的倍数(例如：111)，首先把这个数各数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数重复上述运算，运算结果最终会得到一个固定不变的数M ，它会掉入一个数字“黑洞”.那么最终掉入“黑洞”的那个数M 是______．14．如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是_______.15．如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，BC=8，D 、E 两点分别在边BC 、AB 上，将△ABC 沿着直线DE 翻折，点B 正好落在边AC 上的点M 处，并且AC=4AM ，设BD=m ，那么∠ACD 的正切值是______（用含m 的代数式表示）16．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+1交x轴于点A，交y轴于点B，点A1、A2、A3，…在3x轴的正半轴上，点B1、B2、B3，…在直线l上.若△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…均为等边三角形，则△A6B7A7的周长是______.17 ______.18．如图，AB是圆O的弦，AB＝，点C是圆O上的一个动点，且∠ACB＝45°，若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN的最大值是_____．三、解答题19．如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A，B（3，0），交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，且对角线AC为直径，AD＝BC，过点D作DG⊥AC，垂足为E，DG分别与AB，⊙O及CB延长线交于点F、G、M．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）若N为MF中点，求证：NB是⊙O的切线；（3）若F为GE中点，且DE＝6，求⊙O的半径．21．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．（1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大.22．已知二次函数y＝ax2+4x+c，当x＝﹣2时，y＝﹣5；当x＝1时，y＝4(1)求这个二次函数表达式．(2)此函数图象与x轴交于点A，B(A在B的左边)，与y轴交于点C，求点A，B，C点的坐标及△ABC的面积．(3)该函数值y能否取到﹣6？为什么？23．某高速铁路位于某省南部，是国家“八纵八横”高速铁路网的重要连接通道，也是某省“三横五纵”高速铁路网的重要组成部分．东起日照，向西贯穿临沂、曲阜、济宁、菏泽，与郑徐客运专线兰考南站接轨．工程有一段在一条河边，且刚好为东西走向．B处是一个高铁维护站，如图①，现在想过B处在河上修一座桥，需要知道河宽，一测量员在河对岸的A处测得B在它的东北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进300米到达点C处，测得B在C的北偏西30度方向上．（1）求所测之处河的宽度；（结果保留的十分位）（2）除（1）的测量方案外，请你再设计一种测量河宽的方案，并在图②中画出图形．24．如图，已知△ABC．按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若∠BAC ＝30°，∠BCA ＝45°，BC ＝2； ①求∠BAD 所对的弧BD 的长；②直接写出AC 的长．25．解不等式组1531x x x +≤⎧⎨->⎩①②请结合题意填空，完成本题的解答. (Ⅰ)解不等式①，得_________； (Ⅱ)解不等式②，得_________；(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：(Ⅳ)原不等式组的解集为________.【参考答案】*** 一、选择题二、填空题 13．153 14．1215．316． 17．18．20 三、解答题19．（1）y ＝﹣x 2+2x+3；（2）点P 的坐标为（97，127）；（3）当Q 的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似．【解析】【分析】（1）根据点B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A 的坐标，由点B ，C 的坐标可得出直线BC 的解析式，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3），由两地之间线段最短可得出当A，P，O′共线时，PO+PA取最小值，由点O′，A的坐标可求出该最小值，由点A，O′的坐标，利用待定系数法可求出直线AO′的解析式，联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标；（3）由点B，C，D的坐标可得出BC，BD，CD的长，由CD2+BC2＝BD2可得出∠BCD＝90°，由点A，C的坐标可得出OA，OC的长度，进而可得出OA OCCD CB=，结合∠AOC＝∠DCB＝90°可得出△AOC∽△DCB，进而可得出点Q与点O重合时△AQC∽△DCB；连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q，则△ACQ∽△AOC∽△DCB，由相似三角形的性质可求出AQ的长度，进而可得出点Q的坐标．综上，此题得解．【详解】（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：9303b cc-++=⎧⎨=⎩，解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3）．∵O与O′关于直线BC对称，∴PO＝PO′，∴PO+PA＝5．设直线AO′的解析式为y＝kx+m，将A（﹣1，0），Q′（3，3）代入y＝kx+m，得：-k0 33mk m+=⎧⎨+=⎩，解得：3k434m⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线AO′的解析式为y ＝34x+34．联立直线AO′和直线BC 的解析式成方程组，得：33y 443x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得：9x 7127y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点P 的坐标为（97，127）．（3）∵y ＝﹣x 2+2x+3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴点D 的坐标为（1，4）．又∵点C 的坐标为（0，3），点B 的坐标为（3，0）， ∴CD，BC，BD∴CD 2+BC 2＝BD 2， ∴∠BCD ＝90°．∵点A 的坐标（﹣1，0），点C 的坐标为（0，3）， ∴OA ＝1，OC ＝3， ∴OA OC CD CB ==．又∵∠AOC ＝∠DCB ＝90°， ∴△AOC ∽△DCB ，∴当Q 的坐标为（0，0）时，△AQC ∽△DCB ．如图2，连接AC ，过点C 作CQ ⊥AC ，交x 轴与点Q ． ∵△ACQ 为直角三角形，CO ⊥AQ ， ∴△ACQ ∽△AOC ．又∵△AOC ∽△DCB ， ∴△ACQ ∽DCB ，∴AC AQDC DB =AQ=， ∴AQ ＝10，∴点Q 的坐标为（9，0）．综上所述：当Q 的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A ，C ，Q 为顶点的三角形与△BCD 相似．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短确定点P 的位置；（3）分两种情况，利用相似三角形的性质求出点Q 的坐标．20．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）⊙O 的半径是2．【解析】【分析】（1）根据AC 为⊙O 直径，得到∠ADC ＝∠CBA ＝90°，通过全等三角形得到CD ＝AB ，推出四边形ABCD 是平行四边形，根据矩形的判定定理得到结论；（2）根据直角三角形的性质得到NB ＝12MF ＝NF ，根据等腰三角形的性质和余角的性质即可得到NB 是⊙O 的切线；（3）根据垂径定理得到DE ＝GE ＝6，根据四边形ABCD 是矩形，得到∠BAD ＝90°，根据余角的性质得到∠FAE ＝∠ADE ，推出△AEF ∽△DEA ，根据相似三角形的性质列比例式得到AE ＝，连接OD ，设⊙O 的半径为r ，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：（1）∵AC 为⊙O 直径， ∴∠ADC ＝∠CBA ＝90°，在Rt △ADC 与Rt △CBA 中，AC ACAD BC =⎧⎨=⎩，∴Rt △ADC ≌Rt △CBA ， ∴CD ＝AB ， ∵AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∵∠CBA ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形；（2）连接OB ，∵∠MBF ＝∠ABC ＝90°， ∴NB ＝12MF ＝NF ， ∴∠1＝∠2，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵OB＝OA，∴∠5＝∠4，∵DG⊥AC，∴∠AEF＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∴OB⊥NB，∴NB是⊙O的切线；（3）∵AC为⊙O直径，AC⊥DG，∴DE＝GE＝6，∵F为GE中点，∴EF＝GF＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∴∠FAE+∠DAE＝90°，∵∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠FAE＝∠ADE，∵∠AEF＝∠DEA＝90°，∴△AEF∽△DEA，∴AE EF DE AE，∴AE＝，连接OD，设⊙O的半径为r，∴OA＝OD＝r，OE＝r﹣，∵OE2+DE2＝OD2，∴（r﹣）2+62＝r2，∴r，∴⊙O的半径是2．【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，证得AEF∽△DEA是解决（3）的关键．21．（1）该种水果每次降价的百分率是10%；（2）第10天时销售利润最大；【解析】【分析】（1）设这个百分率是x，根据某商品原价为10元，由于各种原因连续两次降价，降价后的价格为8.1元，可列方程求解；（2）根据两个取值先计算：当1≤x＜9时和9≤x＜15时销售单价，由利润=（售价-进价）×销量-费用列函数关系式，并根据增减性求最大值，作对比；【详解】（1）设该种水果每次降价的百分率是x，10（1﹣x）2=8.1，x=10%或x=190%（舍去），答：该种水果每次降价的百分率是10%；（2）当1≤x＜9时，第1次降价后的价格：10×（1﹣10%）=9，∴y=（9﹣4.1）（80﹣3x）﹣（40+3x）=﹣17.7x+352，∵﹣17.7＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=1时，y有最大值，y大=﹣17.7×1+352=334.3（元），当9≤x＜15时，第2次降价后的价格：8.1元，∴y=（8.1﹣4.1）﹣（3x2﹣64x+400）=﹣3x2+60x+80=﹣3（x﹣10）2+380，∵﹣3＜0，∴当9≤x≤10时，y随x的增大而增大，当10＜x＜15时，y随x的增大而减小，∴当x=10时，y有最大值，y大=380（元），综上所述，第10天时销售利润最大.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程，注意第2问中x 的取值，两个取值中的最大值才是最大利润．22．(1)y ＝x 2+4x ﹣1；(3)函数值y 不能取到﹣6；理由见解析. 【解析】【分析】(1)把x ＝﹣2时，y ＝﹣5；x ＝1时，y ＝4代入y ＝ax 2+4x+c ，求得a 、c 的值即可求得；(2)令y ＝0，解方程求得A 、B 点的坐标，令x ＝0，求得y ＝﹣1，得到C 点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得△ABC 的面积；(3)把(1)中求得的解析式化成顶点式，求得函数y 的最小值为﹣5，故函数值y 不能取到﹣6．【详解】解：(1)把x ＝﹣2时，y ＝﹣5；x ＝1时，y ＝4代入y ＝ax 2+4x+c 得48544a c a c -+=-⎧⎨++=⎩，解得11a c =⎧⎨=-⎩，∴这个二次函数表达式为y ＝x 2+4x ﹣1； (2)令y ＝0，则x 2+4x ﹣1＝0，解得x∴A(﹣20)，B(﹣0)，令x ＝0，则y ＝﹣1， ∴C(0，﹣1)，∴△ABC 的面积：12AB•OC＝12(﹣ (3)∵y ＝x 2+4x ﹣1＝(x+2)2﹣5， ∴函数y 的最小值为﹣5， ∴函数值y 不能取到﹣6．【点睛】本题考查了抛物线和x 轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标适合解析式是解题的关键． 23．（1）所测之处江的宽度为190.5m ；（2）见解析. 【解析】【分析】解：（1）过点B 作BF ⊥AC 于F ，根据题意得到∠EAB ＝45°，∠GCB ＝30°，AC ＝300m ，求得∠FBA ＝45°，∠CBF ＝30°，得到BF ＝AF ，解直角三角形即可得到结论；（2）构造相似三角形，根据相似三角形的性质得到方程即可得到结论．．【详解】（1）过点B 作BF ⊥AC 于F ，由题意得：∠EAB ＝45°，∠GCB ＝30°，AC ＝300m ， ∴∠FBA ＝45°，∠CBF ＝30°，∴FC ＝300﹣AF ＝300﹣BF （m ），在Rt △BFC 中，tan ∠CBF ＝FCFB， ∴tan30°＝300BFBF-，300BFBF-=，解得：BF ﹣150（3m ），答：所测之处江的宽度为190.5m ；（2）①在河岸取点A ，使B 垂直于河岸，延长BA 至C ，测得AC 做记录， ②从C 沿平行于河岸的方向走到D ，测得CD ，做记录， ③B0与河岸交于E ，测AE ，做记录．根据△BAE ～△BCD ，得到比例线段，从而求出河宽AB ．【点睛】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意能构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解是关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．24．（1）见解析；（2）①BD ；②AC =【解析】【分析】（1）由“SSS”可证△ABC ≌△ADC ；（2）①由题意可得AC 垂直平分BD ，可得BE=DE ，AC ⊥BD ，由直角三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可得∠BAD=2∠BAC=60°，由弧长公式可求弧BD 的长；②由AC=AE+CE 可求解．【详解】证明：（1）由题意可得AB ＝AD ，BC ＝CD ，∴△ABC ≌△ADC （SSS ）；（2）①∵AB ＝AD ，BC ＝CD ∴AC 垂直平分BD ∴BE ＝DE ，AC ⊥BD ∵∠BCA ＝45°，BC ＝2；∴BE ＝CE ，且∠BAC ＝30°，AC ⊥BD∴AB ＝2BE ＝，AE ∵AB ＝AD ，AC ⊥BD ∴∠BAD ＝2∠BAC ＝60°∴60BD 1803π︒︒⨯⨯==②∵AC ＝AE+CE∴AC +【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，弧长公式，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 25．(Ⅰ)4x ≤；(Ⅱ)12x >；(Ⅲ)见解析；(Ⅳ)142x <≤. 【解析】【分析】(Ⅰ)直接移项即可得出答案；(Ⅱ)移项，两边同时除以2，即可得答案；（Ⅲ）根据解集在数轴上的表示方法表示出①②的解集即可；(Ⅳ)根据数轴找出两个解集的公共部分即可. 【详解】 (Ⅰ)15x +≤ 移项得：x≤4，故答案为：x≤4 (Ⅱ) 31x x -> 移项得：2x>1，解得：x>12，故答案为：x>12（Ⅲ）不等式①和②的解集在数轴上表示如图所示：(Ⅳ) 由数轴可得①和②的解集的公共解集为142x<≤，故原不等式的解集为：142x<≤，故答案为：14 2x<≤【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，会求一元一次不等式组的解集是解决此类问题的关键．求不等式组的解集，借助数轴找公共部分或遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某商品价格为a 元，降价10％后，又降价10％，因销售量猛增，商店决定再提价20％，提价后这种商品的价格为（）A.0.96a 元B.0.972a 元C.1.08a 元D.a 元 2．如图，一次函数y=－x 与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象相交于点M 、N ，则关于x 的一元二次方程ax 2+(b+1)x+c=0的根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.以上结论都正确 3．把抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y ＝x 2+5x+6，则a ﹣b+c 的值为（）A.2B.3C.5D.12 4．如图所示，小兰用尺规作图作△ABC 边AC 上的高BH ，作法如下：①分别以点DE 为圆心，大于DE 的长为半径作弧两弧交于F ；②作射线BF ，交边AC 于点H ；③以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E ；④取一点K 使K 和B 在AC 的两侧；所以BH 就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（）A.①②③④B.④③①②C.②④③①D.④③②①5．在平面直角坐标系中，点P(3,-5)关于原点对称的点的坐标是（）A ．(3,5)B ．(3,-5)C ．(-3,-5)D ．(-3,5)6．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：3m ）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（090x <≤）近似满足函数关系y=ax 2+bx+c(a≠0).如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）A ．18B ．36C ．41D ．58o7．港珠澳大桥东起香港国际机场附近的香港口岸人工导，向西横跨伶仃洋海域后连接珠海和澳门人工岛，止于珠海港湾，全长55千米，设计时速100千米/小时，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示1269亿元为（）A ．1269×108B ．1.269×108C ．1.269×1010D ．1.269×10118．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线且交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，若AB ＝8cm ，则△DBE 的周长（）A ．B ．cmC ．8cmD ．cm9．如图，在锐角ABC 中，延长BC 到点D ，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN BC ，MN 分别交ACB ∠、ACD ∠的平分线于E ，F 两点，连接AE 、AF .在下列结论中.①OE OF =；②CE CF =；③若12CE =，5CF =，则OC 的长为6；④当AO CO =时，四边形AECF 是矩形.其中正确的是( )A ．①④B ．①②C ．①②③D ．②③④ 10．如图，在菱形中，，，点是这个菱形内部或边上的一点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则，（，两点不重合）两点间的最短距离为（）A. B. C. D.11．如图，在Rt ABC ∆中，90,6,8ACB AC BC ∠=︒==，则Rt ABC ∆的中线CD 的长为（）A.5B.6C.8D.1012．如果方程x 2﹣8x+15＝0的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值为（） A.34 B.35 C.45 D.34或35二、填空题13．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为_______。

人教版初中数学中考考点系统复习第19讲等腰三角形与直角三角形

60°
的三角形是等边三角形；
⁠
（2）三个内角都⑰
的三角形是等边三角形；
⁠
定
（3）有一个角是⑱
的等腰三角形是等边三角形
⁠
面
【拓展补充】如图，顶角为36°（或底角为72°）的等腰三角形叫做黄金三角形. 性质：
（2）底角的平分线BF将其分成底角为36°（△ABF）和顶角为36°（△BCF）的等腰三角形；（3）过点F作FE⊥AB于点E，则EF为腰AB的垂直平分线.
A.60°
B.70°
C.80°
D.90°
第2题图
3.（甘肃中考）如图，等边三角形OAB的边长为2，则点B的坐标为（ B ）
A.（1，1）
第3题图
4.在平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）.若在坐标轴上取点C，使 △ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（ A ）
A.5
B.6
C.7
三角形的性质或三角函数进行求解.
对点训练 8.（2022·荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受
损.已知该金字塔的下底面是一个边长为120 m的正方形，且每一个侧面与地面的夹角为60°，则金字塔原来的高度为（ B ） A.120 m
9.（陕西中考）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点 A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ D ）
⁠
⁠
质（4）等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴，对称轴为顶角⑤ 平分
线所在的直线（如图中AD所在的直线） ⁠
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形；判
（2）如果一个三角形有两个角⑥ 相等，那么这两个角所对的边也 ⁠

(宜宾专版)中考数学第1编教材知识梳理篇第4章图形的初步认识与三角形第15讲等腰三角形与

第十五讲等腰三角形与直角三角形,考标完全解读)考点考试内容考试要求等腰三角形与直角三角形的定义等腰三角形的定义了解直角三角形的定义了解等腰三角形与直角三角形等腰三角形的性质及其判定理解等边三角形的性质及其判定理解直角三角形的性质及其判定理解,感受某某中考)1．(某某中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC，就可以确定△ABC是等腰三角形．你添加的条件是__答案不唯一，如BD＝CD__．2．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的(D)A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC.求证：点F是AB的中点．证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.∵EF∥AC，∴∠AEF＝∠CAE，∴∠AEF＝∠BAE，∴AF＝EF.又∵BE⊥AD，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠BEF＋∠AEF＝90°，又∠AEF＝∠BAE，∴∠ABE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴AF＝BF，∴点F为AB中点．,核心知识梳理)等腰三角形的性质和判定1．性质：(1)等腰三角形两腰__相等__(定义)．(2)等腰三角形两角底角__相等__(等边对等角)．(3)等腰三角形底边上的中线，底边上的高和顶角的平分线__互相重合__(简称“三线合一”)．2．判定：(1)有__两边相等__的三角形是等腰三角形．(2)有__两角相等__的三角形是等腰三角形．等边三角形的性质和判定3．等边三角形的性质：(具有等腰三角形的所有性质，结合定义更特殊).(1)等边三角形的内角都__相等__，且为__60__°.(2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线__互相重合__(简称“三线合一”)．(3)等边三角形是__轴对称__图形，它有__三__条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线．4．等边三角形的判定：(首先考虑判断三角形是等腰三角形)(1)__三边__相等的三角形是等边三角形(定义)．(2)三个内角都__相等__的三角形是等边三角形.(3)有一个角是60°的__等腰__三角形是等边三角形．直角三角形的性质和判定5．直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角__互余__．(2)在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的__一半__．(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一半__．(4)直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2.6．直角三角形的判定判定1：有一个角为__90°__的三角形是直角三角形．判定2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的__一半__，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．判定3：若__a2＋b2＝c2__，则以a，b，c为边的三角形，是以c为斜边的直角三角形(勾股定理的逆定理)．线段垂直平分线的定理及逆定理7．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离__相等__．【温馨提示】它是证明两条线段相等的重要的方法之一，在证明线段相等时，不要再证明两个三角形全等了，方便了证明的过程．8．线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端点距离__相等__的点在这条线段的垂直平分线上．【温馨提示】(1)关于线段垂直平分线性质定理的逆定理实际就是线段垂直平分线的判定定理；区分线段垂直平分线性质定理和判定定理的区别的关键在于区分它们的题设和结论；(2)要想证明一条直线是一条线段的垂直平分线，只要证明这条直线上任意一点到这条线段的两个端点距离相等即可．,重点难点解析)等腰三角形的应用【例1】阅读理解：如图①，在△ABC 的边AB 上取一点P ，连接CP ，可以把△ABC 分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们就称点P 是△ABC 的边AB 上的和谐点．解决问题：(1)如图②，△ABC 中，∠ACB ＝90°，试找出边AB 上的和谐点P ，并说明理由；(2)已知∠A＝40°，△ABC 的顶点B 在射线l 上(图③)，点P 是边AB 上的和谐点，请在图③中画出所有符合条件的B 点，并写出相应的∠B 的度数．【解析】(1)由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，找出和谐点为斜边的中点；(2)由∠A 为等腰三角形的顶角和底角分类讨论得出符合条件的点B 有3个．【答案】解：(1)AB 边上的和谐点为AB 的中点．理由如下： ∵P 是AB 的中点，∴PC ＝12AB ＝PA ＝PB ，∴△ACP 和△BCP 是等腰三角形；(2)①当∠A＝∠ACP＝40°时，则∠CPB＝40°＋40°＝80°.如答图①.若CP ＝CB 1，则∠C PB 1＝∠CB 1P ＝80°. 若B 2P ＝B 2C ，则∠B 2PC ＝∠B 2CP ＝80°， ∴∠CB 2P ＝180°－80°－80°＝20°.若PC ＝B 3P ，则∠PB 3C ＝∠PB 3C ＝180°－80°2＝50°；②当∠A＝∠APC＝40°时，如答图②，∵∠CPB 4＝180°－∠APC＝180°－40°＝140°， ∴∠CB 4P ＝180°－140°2＝20°；③当∠ACP＝∠APC＝70°时，如答图③，∵∠CPB 5＝180°－∠APC＝180°－70°＝110°， ∴∠CB 5P ＝180°－110°2＝35°.综上所述，符合条件的∠C BP 的度数为35°，50°，80°，20°. 【针对训练】 1．阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形，菱形都是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：如图，等腰Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°.若点C 为平面上一点，AC 为凸四边形ABCD 的和谐线，且AB ＝BC ，请画出图形并求出∠ABC 的度数．解：∵AC是四边形ABCD的和谐线，∴△ACD是等腰三角形，在等腰Rt△ABD中，∵AB＝AD，∴AB＝AD＝BC，如图①，当AD＝AC时，∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC，∴△ABC是正三角形，∴∠ABC＝60°.如图②，当AD＝CD时，∴AB＝AD＝BC＝CD.∵∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°；如图③，当AC ＝CD 时，过点C 作CE⊥AD 于E ，过点B 作BF⊥CE 于F. ∵AC ＝CD ，CE ⊥AD ， ∴AE ＝12AD ，∠ACE ＝∠DCE.∵∠BAD ＝∠AEF＝∠BFE＝90°，∴四边形ABFE 是矩形． ∴BF ＝AE.∵AB ＝AD ＝BC ，∴BF ＝12BC ，∴∠BCF ＝30°.∵AB ＝BC ，∴∠ACB ＝∠BAC. ∵AB ∥CE ，∴∠BAC ＝∠ACE， ∴∠ACB ＝∠BAC＝12∠BCF ＝15°，∴∠ABC ＝150°，综上所述，∠ABC 的度数为60°或90°或150°.等边三角形的性质和判定【例2】图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②.当伞收紧时，点P 与点A 重合；当伞慢慢撑开时，动点P 由A 向B 移动；当点P 到过点B 时，伞X 得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM ＝PN ＝CM ＝＝6.0 dm ，CE ＝CF ＝18.0 dm ，BC ＝2.0 dm .(1)求AP 长的取值X 围；(2)当∠CPN＝60°时，求AP 的值．【解析】(1)根据题意，得AC ＝＋PN ，进一步求得AB 的长，即可求得AP 的取值X 围；(2)根据等边△P 的判定和性质即可求解．【答案】解：(1)∵BC＝2.0 dm ，AC ＝＋PN ＝12 dm ， ∴AB ＝12－2＝10(dm )，∴AP 的取值X 围为：0 dm ≤AP ≤10 dm . (2)∵＝PN ，∠CPN ＝60°， ∴△P 等边三角形， ∴CP ＝6 dm .∴AP ＝AC －PC ＝12－6＝6(dm )．即当∠CPN＝60°时，AP ＝6 dm .【针对训练】2．(2017某某中考)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为(D )A ．(1，1)B ．(3，1)C ．(3，3)D ．(1，3)3．如图，△ABC 为等边三角形，BD 平分∠ABC，DE ∥BC.求证：(1)△ADE 是等边三角形； (2)AE ＝12AB.证明：(1)∵△ABC 为等边三角形， ∴∠A ＝∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵DE ∥BC ，∴∠AED ＝∠ABC＝60°，∴∠ADE ＝∠ACB＝60°， ∴∠A ＝∠AED＝∠ADE， ∴△ADE 是等边三角形； (2)∵△ADE 是等边三角形， ∴AD ＝AE.∵△ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC. ∵BD 平分∠ABC，∴D 是AC 的中点(三线合一)， AD ＝12AC ＝12AB ，∴AE ＝12AB.直角三角形的性质及应用【例3】如图，一位同学做了一个斜面装置进行科学实验，△ABC 是该装置左视图，∠ACB ＝90°，∠B ＝15°，为了加固斜面，在斜面AB 的中点D 处连结一条支撑杆CD ，量得CD ＝6.(1)求斜坡AB 长和∠ADC 的度数；(2)该同学想用彩纸装饰实验装置中的△ABC 的表面，请你计算△ABC 的面积．【解析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB ＝2CD ，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论；(2)过C 作CE⊥AB 于E ，根据直角三角形的性质得到CE ＝12CD ＝3，由三角形的面积公式即可得到结论．【答案】解：(1)∵∠ACB＝90°，D 是AB 的中点， ∴AB ＝2CD ＝2×6＝12.∵CD ＝BD ，∴∠ADC ＝2∠B＝30°； (2)过C 作CE⊥AB 于E ， ∵∠ADC ＝30°，∴CE ＝12CD ＝3，∴S △ABC ＝12×12×3＝18.【针对训练】4．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝15°，D 是边AB 的中点，DE ⊥AB 交AC 于点E. 求：(1)∠CDE 的度数； (2)CE∶EA.解：(1)∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是边AB 的中点， ∴CD ＝AD ＝BD ， ∴∠DCA ＝∠A＝15°， ∴∠BDC ＝∠A＋∠DCA＝30°. ∵ED ⊥AB ，∴∠EDB ＝90°， ∴∠CDE ＝90°－30°＝60°； (2)连结BE.∵D 为AB 中点，DE ⊥AB ， ∴BE ＝AE ，∴∠EBA ＝∠A＝15°， ∴∠BEC ＝15°＋15°＝30°， ∴cos ∠BEC ＝cos 30°＝33. ∵AE ＝BE ，∴CE AE ＝33.线段中垂线的定理及逆定理【例4】如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE ∥AC ，EF ⊥AD 交BC 延长线于F.求证：∠FAC＝∠B.【解析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可得AE ＝ED ，则EF 是AD 的垂直平分线，又∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA ＝∠B＋∠BAD，即可证得．【答案】证明：∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠CAD.∵DE ∥AC ，∴∠EDA ＝∠CAD.∴∠EDA ＝∠EAD，∴AE ＝ED.又∵EF⊥AD，∴EF 是AD 的垂直平分线，∴AF ＝DF ，∴∠FAD ＝∠FDA.又∵∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA ＝∠B ＋∠BAD，∴∠FAC ＝∠B.【针对训练】5．(某某中考)如图，在△ABC 中，∠B ＝55°，∠C ＝30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为(A )A ．65°B ．60°C ．55°D ．45°,当堂过关检测)1.(2017荆州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为(B )A ．30°B ．45°C ．50°D ．75°,(第1题图)) ,(第2题图))2．(2017滨州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的大小为(B ) A ．40°B ．36°C ．30°D ．25°3．(某某中考)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是__10__．4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的中线，DE ⊥AB 于点D ，交AC 于点E.(1)若BC ＝3，AC ＝4，求CD 的长；(2)求证：∠1＝∠2.解：(1)∵∠ACB＝90°，BC ＝3，AC ＝4，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5.∵CD 是AB 边上的中线，∴CD ＝12AB ＝2.5； (2)∵∠ACB＝90°，∴∠A ＋∠B＝90°.∵DE ⊥AB ，∴∠A ＋∠1＝90°，∴∠B ＝∠1.∵CD 是AB 边上的中线，∴BD ＝CD ，∴∠B ＝∠2，∴∠1＝∠2.。

(宜宾专版)2019年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第4章第15讲等腰三角形与直角三角形(精讲)练习

第十五讲等腰三角形与直角三角形宜宾中考考情与预测宜宾考题感知与试做1.（2014·宜宾中考）如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝ 1.5.2.（宜宾中考）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D.请你再添加一个条件，就可以确定△ABC 是等腰三角形.你添加的条件是答案不唯一，如BD ＝CD Ｗ.宜宾中考考点梳理等腰三角形及其性质和判定 1.等腰三角形（简称“三（4）等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；（5）面积：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等（简写成“ 等角对等边2.等边三角形三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）（1）等边三角形三边相等（如（2）等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于（4）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；（5）面积：＝34AB2（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角等于直角三角形及其性质和判定3.直角三角形4.等腰直角三角形线段的垂直平分线和角平分线5.线段的垂直平分线（1）性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.如图，若OP垂直平分AB，则PA＝PB.有一个角是直角的三角形叫做直角三角形（1）直角三角形的两个锐角（2）直角三角形斜边上的（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于（2）判定（性质定理的逆定理）：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.6.角平分线（1）性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.如图，若∠1＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定（性质定理的逆定理）：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.1.到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（D）A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点2.如图，在△AB C中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（B）A.30°B.45°C.50°D.75°（第2题图）（第3题图）3.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为（B）A.40°B.36°C.30°D.25°4.已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长是10 Ｗ.Ｗ.5.在△ABC中，若∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝5，则AB＝36.含30°角的直角三角板与直线l1、l2的位置关系如图所示，已知l1∥l2，∠1＝60°，以下三个结论中正确的是②③（写出所有正确结论的序号）.①AC＝2BC；②△B CD为正三角形；③AD＝BD.7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，ED⊥AB于点D，交AC于点E.（1）若BC＝3，AC＝4，求CD的长；（2）求证：∠1＝∠2.（1）解：∵∠ACB＝90°，BC ＝3，AC ＝4，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5.∵CD 是AB 边上的中线，∴CD ＝12AB ＝2.5；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠A ＋∠B＝90°.∵ED ⊥AB ，∴∠A ＋∠1＝90°，∴∠B ＝∠1.∵CD 是AB 边上的中线，∴BD ＝CD ，∴∠B ＝∠2，∴∠1＝∠2.8.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥BC ，交AC 于点E.（1）求证：DE ＝CE ；（2）若∠CDE＝35°，求∠A 的度数.（1）证明：∵CD 是∠ACB 的平分线，∴∠BCD ＝∠ECD.∵DE ∥BC ，∴∠EDC ＝∠BCD，∴∠EDC ＝∠ECD，∴DE ＝CE ；（2）解：∵∠ECD＝∠EDC＝35°，∴∠ACB ＝2∠ECD＝70°.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB＝70°，∴∠A ＝180°－70°－70°＝40°.中考典题精讲精练等腰三角形的性质和判定【典例1】如图，已知点D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BD ⊥CD ，∠A ＝∠ABD，若AC ＝6，BC ＝4，求BD 的长.【解析】延长BD 与AC 交于点E ，由题意可推出BE ＝AE ，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE ，可推出BC ＝CE ，AE ＝BE ＝2BD ，根据AC ＝6，BC ＝4，即可求出BD 的长.【解答】解：延长BD 与AC 交于点E.∵∠A ＝∠ABD，∴BE ＝AE.∵BD ⊥CD ，∴BE ⊥CD.∵CD 平分∠ACB，∴∠BCD ＝∠ECD，∴∠EBC ＝∠BEC，∴BC ＝CE.∵BE⊥CD，∴2BD ＝BE.∵AC＝6，BC ＝4，∴CE ＝4，∴AE ＝AC －EC ＝6－4＝2，∴BE ＝2，∴BD ＝1.直角三角形的性质和判定【典例2】如图1，△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，M 、N 分别是线段BC 、DE 的中点.（1）求证：MN⊥DE；（2）连结DM 、ME ，猜想∠A 与∠DME 之间的关系，并写出推理过程；（3）若将锐角△ABC 变为钝角△ABC，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由.图1 图2【解析】（1）连结DM 、EM ，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DM ＝12BC ，EM ＝12BC ，从而得到DM ＝ME ，再根据等腰三角形的“三线合一”可得结论；（2）根据三角形的内角和定理可得∠AB C ＋∠ACB＝180°－∠A，再根据“等腰三角形两底角相等”表示出∠BMD＋∠CME，然后根据“平角等于180°”表示出∠DME，整理即可得解；（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC，再根据“等腰三角形两底角相等及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”表示出∠BME＋∠CMD，然后根据“平角等于180°”表示出∠DME，整理即可得解.【解答】（1）证明：连结DM 、EM.∵CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，点M 是BC 的中点，∴DM ＝12BC ，ME ＝12BC ， ∴DM ＝EM.又∵点N 为DE 的中点，∴MN ⊥DE ；（2）解：在△ABC 中，∠ABC ＋∠ACB＝180°－∠A.∵DM ＝EM ＝BM ＝CM ，∴∠BMD ＋∠CME＝（180°－2∠ABC ）＋（180°－2∠ACB）＝360°－2（∠ABC＋∠ACB）＝360°－2（180°－∠A）＝2∠A，∴∠DME ＝180°－2∠A；（3）解：（1）中的结论成立，（2）中的结论不成立.理由：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC.∵DM＝EM＝BM＝CM，∴∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC＝2（180°－∠BAC）＝360°－2∠BAC，∴∠DME＝180°－（360°－2∠BAC）＝2∠BAC－180°.线段中垂线定理及其逆定理【典例3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF⊥AD交BC的延长线于点F.求证：∠FAC＝∠B.【解析】根据角的平分线的定义和平行线的性质，可得AE＝DE，则EF是AD的垂直平分线，又∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA＝∠B＋∠BAD，即可得证.【解答】证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠C AD.∴∠EDA＝∠BAD，∴AE＝ED.又∵EF⊥AD，∴EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠FDA.又∵∠FAD＝∠CAD＋∠FAC，∠FDA＝∠B＋∠BAD，∴∠FAC＝∠B.1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC.求证：点F是AB的中点.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE.∵EF∥AC，∴∠AEF＝∠CAE，∴∠AEF＝∠BAE，∴AF＝EF.又∵BE⊥AD，∴∠BAE＋∠ABE＝90°，∠BEF＋∠AEF＝90°，∴∠ABE＝∠BEF，∴BF＝EF，∴AF＝BF，∴点F为AB的中点.2.如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，垂足为D，若PC＝10，则PD等于（C）A .10B .5 3C .5D .2.53.如图，∠ABC ＝∠ADC＝90°，M 、N 分别是AC 、BD 的中点.求证：MN⊥BD.证明：连结BM 、DM.∵∠ABC ＝∠ADC＝90°，M 是AC 的中点，∴BM ＝DM ＝12AC. ∵N 是BD 的中点，∴MN ⊥BD.4.在△ABC 中，MP 、NO 分别垂直平分AB 、A C.（1）若BC ＝10 cm ，试求出△PAO 的周长；（2）若AB ＝AC ，∠BAC ＝110°，试求∠PAO 的度数；（3）在（2）中，若无“AB＝AC”的条件，你能求出∠PAO 的度数吗？若能，请求出来；若不能，请说明理由.解：（1）∵MP、NO 分别垂直平分AB 、AC ，∴AP ＝BP ，AO ＝CO ，∴△PAO 的周长＝AP ＋PO ＋AO ＝BP ＋PO ＋CO ＝BC ，∵BC ＝10 cm ，∴△PAO 的周长为10 cm ；（2）∵AB＝AC ，∠BAC ＝110°，∴∠B ＝∠C＝12（180°－110°）＝35°. ∵MP 、NO 分别垂直平分AB 、AC ，∴AP ＝BP ，AO ＝CO ，∴∠BAP ＝∠B＝35°，∠CAO ＝∠C＝35°，∴∠PAO ＝∠BAC－∠BAP－∠CAO＝110°－35°－35°＝40°；（3）能.∵∠BAC ＝110°，∴∠B ＋∠C＝180°－110°＝70°.∵MP 、NO 分别垂直平分AB 、AC ，∴AP ＝BP ，AO ＝CO ，∴∠BAP＝∠B，∠CAO＝∠C，∴∠PAO＝∠BAC－∠BAP－∠CAO＝∠BAC－（∠B＋∠C）＝110°－70°＝40°.。

(安徽专用)2019年中考数学复习第四章图形的认识4.3等腰三角形与直角三角形(讲解部分)素材(pdf)

ʑ ＥＦʊＡᶄＤᶄ，ＥＤʊＤᶄＦ，ＥＦ＝ＥＤ， ʑ øＣᶄＡᶄＢ＝ øＣᶄＥＦ，øＣᶄ ＝ øＡᶄＥＤ． ʑ әＡᶄＤＥɸәＥＦＣᶄ（ＡＡＳ）．
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（５分）
在ＲｔәＤＨＦ中，øＦ＝６０ʎ ，ＤＦ＝８， ʑ ＤＨ＝４３，ＨＦ＝４．在ＲｔәＢＤＦ中，øＦ＝６０ʎ ，ＤＦ＝８， ʑ ＤＢ＝８３，ＢＦ＝１６， ʑ ＢＣ＝ＢＤ＝８３．
２５２－ｘ２＝１７２－（２８－ｘ）２，解得ｘ＝２０，故ＢＤ＝２０，则ＡＤ２＝ＡＢ２－ＢＤ２＝２５２－２０２＝２２５，ʑ ＡＤ＝１５．㊀㊀㊀㊀．
性质
（３）在直角三角形中，如果一个锐角等于３０ʎ ，那么它所对的直（４）勾股定理：在直角三角形中，两条直角边ａ㊁ｂ的�� ㊀平方和㊀等 �� 于斜边ｃ的�� ㊀平方㊀，即�� ㊀ａ２＋ｂ２㊀＝ｃ２ �� 个三角形为直角三角形．（１）如果三角形一边上的中线等于这条边的 �� ㊀一半㊀，那么这 �� （２）勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的 �� ㊀平方和㊀等于 �� 第三边的�� ㊀平方㊀，那么这个三角形是直角三角形 ��

2019年宜宾中考总复习精练第4章第15讲等腰三角形与直角三角形

第十五讲等腰三角形与直角三角形1．(2019台州中考)如图，已知等腰三角形ABC ，AB ＝AC ，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是( C )A ．AE ＝ECB ．AE ＝BEC ．∠EBC ＝∠BACD ．∠EBC ＝∠ABE,(第1题图)),(第2题图))2．(2019烟台中考)某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE 与AB 的夹角为48°，若CF 与EF 的长度相等，则∠C 的度数为( D )A ．48°B ．40°C ．30°D ．24°3．(2019大庆中考)如图，△ABD 是以BD 为斜边的等腰直角三角形，△BCD 中，∠DBC ＝90°，∠BCD ＝60°，DC 中点为E ，AD 与BE 的延长线交于点F ，则∠AFB 的度数为( B )A ．30°B ．15°C ．45°D ．25°,(第3题图)),(第5题图))4．(安顺中考)已知实数x ，y 满足|x －4|＋y －8＝0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是( B )A ．20或16B ．20C ．16D ．以上答案均不对5．(2019大连中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB 的中点，CD ＝DE ＝a ，则AB 的长为( B )A ．2aB ．22aC ．3a D.433a 6．(武汉中考)平面直角坐标系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是( A )A ．5B ．6C ．7D ．87．(2019聊城中考)如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩形的顶点上．如果点P 是某个小矩形的顶点，连结PA ，PB ，那么使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是( B )A ．2B ．3C ．4D ．58．(内江中考)已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( B )A.32B.332C.32D．不能确定9．(2019株洲中考)如图所示，在△ABC中，∠B＝__25°__.,(第9题图)) ,(第10题图)) 10．(泰州中考)如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若α＝40°，则β等于__20°__．11．(2019常德中考)如图，已知Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是__0＜CD≤5__．,(第11题图)) ,(第12题图)) 12．(牡丹江中考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，连结AD，若AD＝4，则DC＝__5__．13．(2019淄博中考)在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝14．(常州中考)如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE是高，BD与CE相交于点O.(1)求证：OB＝OC；(2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．解：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD，CE是△ABC的两条高线，∴∠BEC＝∠BDC＝90°，∴△BEC≌△CDB，∴∠DBC＝∠ECB，BE＝CD.在△BOE和△COD中，∵∠BOE＝∠COD，BE＝CD，∠BEC＝∠CDB＝90°，∴△BOE≌△COD，∴OB＝OC；(2)∵∠ABC＝50°，AB＝AC，∴∠A＝180°－2×50°＝80°.∵∠DOE＋∠A＝180°，∴∠BOC＝∠DOE＝180°－80°＝100°.15．(宁夏中考)在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，若CD＝2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∴△EDC是等边三角形，∴DE＝DC＝2.在Rt△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝2，∠EDC＝60°，∴EF＝tan60°·DE＝2 3.16．(2019郴州中考)如图①，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6 cm，点D从O点出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连结DE.(1)求证：△CDE是等边三角形；(2)如图②，当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；(3)如图③，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；(2)存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE，由(1)知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD＋4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2 3 cm，∴△BDE的最小周长＝CD＋4＝23＋4；(3)存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意；②当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由(1)可知，△CDE 是等边三角形， ∴∠DEB ＝60°，∴∠CEB ＝30°. ∵∠CEB ＝∠CDA，∴∠CDA ＝30°. ∵∠CAB ＝60°，∴∠ACD ＝∠ADC＝30°， ∴DA ＝CA ＝4，∴OD ＝OA －DA ＝6－4＝2， ∴t ＝2÷1＝2 s ；③当6＜t ＜10 s 时，由∠DBE＝120°＞90°， ∴此时不存在；④当t ＞10 s 时，由旋转的性质可知，∠DBE ＝60°，又由(1)知∠CDE＝60°，∴∠BDE ＝∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE ＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD ＝BC ＝4，∴OD ＝14 cm ， ∴t ＝14÷1＝14 s ，综上所述，当t ＝2或14 s 时，以D ，E ，B 为顶点的三角形是直角三角形．17．(六盘水中考)如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4…，若∠A＝70°，则∠A n－1A n B n －1的度数为( C )A.702n B.702n ＋1 C.702n －1 D.702n ＋22019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．把二次函数y ＝（2x ﹣1）2+3的图象，先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，平移后的二次函数解析式为（） A ．y ＝2x 2+4B ．y ＝4x 2+4x+5C ．y ＝4x 2﹣4x+5D ．y ＝4x 2+4x+42．如图，正△ABC 内接于⊙O ，将△ABC 绕点O 顺时针旋转20°得到△DEF ，若⊙O 半径为3，则DB 的长为（）A ．53π B ．2πC ．73π D ．83π 3．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的对称轴是直线x ＝1，且经过点（﹣1，0），则下列结论：①abc ＜0；②2a ﹣b ＝0；③a ＜﹣23；④若方程ax 2+bx+c ﹣2＝0的两个根为x 1和x 2，则（x 1+1）（x 2﹣3）＜0，正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，弧AB=弧BC,58AOB ∠=︒，则BDC ∠的度数是（）A ．58°B ．42°C ．32°D ．29°5．如图，正方形ABCD 中，6AB =，G 是BC 的中点.将ABG ∆沿AG 对折至AFG ∆，延长GF 交DC 于点E ，连接AE 、CF ，则下列结论正确的有（）个.（1）2DE = （2）45EAG ∠=︒（3）EAG ∆的面积是18 （4）cos FCG ∠=A ．4B ．3C ．2D ．16．如图，在⊙O 中，已知弦AB 长为16cm ，C 为AB 的中点，OC 交AB 于点M ，且OM ∶MC ＝3∶2，则CM 长为（）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm7．计算()23a -的正确结果是（）A ．6a -B ．6aC ．5a -D ．5a8．如表是小明同学参加“一分钟汉字听写”训练近6次的成绩：则这组数据的平均数和中位数分别是（） A ．245个、244个 B ．244个、244个 C ．244个、241.5个 D ．243个、244个9．化简2111a a ---的结果是( ) A ．31a - B ．31a - C ．11a- D ．11a - 10．如图，DE ∥BC ，CD 平分∠ACB ，∠AED ＝50°，则∠EDC 的度数是（）A ．50°B ．40°C ．30°D ．25°11．下列计算正确的是（） A.﹣a 4b÷a 2b ＝﹣a 2b B.（a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2 C.（﹣a ）2•a 4＝a 6D.1133aa-=12．如图，在矩形ABCD 中，，点M 在边AD 上，连接BM ，BD 平分∠MBC ，则AMMD的值为（）A.12B.2C.53D.35二、填空题13．如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线32y x =与双曲线 k y x=相交于A 、B 两点，且A 点横坐标为2，C 是第一象限内双曲线上一点，连接CA 并延长交y 轴于点D ，连接BD ，BC ．（1）k 的值是________；（2）若AD=AC ，则△BCD 的面积是________．14．小明和小兵进行投靶游戏，如图所示，靶中两个同心圆的半径OA 与OB 的比为3:4，随机投一次，苦投在阴影部分，小明获胜；投在环形部分，小兵获胜；小明获胜的概率记为()P 小明，小兵获胜的概率记为()P 小兵，则()P 小明____()P 小兵．（用“>”“<”“=”填空）15．如图，AD 是△ABC 的角平分线，AB ：AC=3：2，△ABD 的面积为15，则△ACD 的面积为．16．当a ，b 互为相反数，则代数式a 2+ab ﹣2的值为_____．17．直线y ＝k 1x+3与直线y ＝k 2x ﹣4在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们与y 轴的交点分别为点A 、B ．以AB 为边向左作正方形ABCD ，则正方形ABCD 的周长为_____．18．n 个数据2、4、6、8、…．、2n ，这组数据的中位数是_____．(用含n 的代数式表示) 三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点,B C 在x 轴的正半轴上，8,6AB BC ==.对角线,AC BD 相交于点E ，反比例函数(0)ky x x=>的图像经过点E ，分别与,AB CD 交于点,F G .（1）若8OC =，求k 的值;（2）连接EG ，若2BF BE -=，求CEG 的面积.20．我市今年中考体育测试，男生必考项目是1000米跑，男生还须从以下六个项目中任选两个项目进行考核：①坐位体前屈、②立定跳远、③掷实心球、④跳绳、⑤50m 、⑥引体向上．（1）男生在确定体育选项中所有可能选择的结果有种；（2）已知某班男生只在①坐位体前屈、②立定跳远、④跳绳中任选两项，请你用列表法或画树状图法，求出两名男生在体育测试中所选项目完全相同的概率．21．制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y （℃），从加热开始计算的时间为x （分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？（3）该种材料温度维持在40℃以上（包括40℃）的时间有多长？22．已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°．（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由．23．某销售公司10名销售员，去年完成的销售额情况如下表：（1）求销售额的平均数，众数，中位数；（2）今年公司为了调动员工的积极性提高年销售额，准备采取超额有奖的措施，请根据（1）的结果，通过比较，选用哪个数据作为今年每个销售员统一销售额标准比较合理？说明你确定这一标准的理由. 24．为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？25．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．甲车中途因故停车一段时间，之后以原速维续行驶到达目的地B，此时乙车同时到达目的地A，如图，是甲、乙两车离各自出发地的路程y（km）与时间x（h）的函数图象．（1）甲车的速度是km/h，a的值为；（2）求甲车在整个过程中，y与x的函数关系式；（3）直接写出甲、乙两车在途中相遇时x的值．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．1814．15．16．﹣2．17．2818．n+1 三、解答题19．（1）k＝20；（2）△CEG的面积为215．【解析】【分析】（1）先利用矩形的性质和线段中点坐标公式得到E（5，4），然后把E点坐标代入kyx=可求得k的值；（2）利用勾股定理计算出AC＝10，则BE＝EC＝5，所以BF＝7，设OB＝t，则F（t，7），E（t+3，4），利用反比例函数图象上点的坐标得到7t＝4（t+3），解得t＝4，从而得到反比例函数解析式为y＝28x，然后确定G点坐标，最后利用三角形面积公式计算△CEG的面积．【详解】（1）∵在矩形ABCD的顶点B，AB＝8，BC＝6，而OC＝8，∴B（2，0），A（2，8），C（8，0），∵对角线AC，BD相交于点E，∴点E为AC的中点，∴E（5，4），把E（5，4）代入y＝kx得k＝5×4＝20；（2）∵AC＝10，∴BE＝EC＝5，∵BF﹣BE＝2，∴BF＝7，设OB＝t，则F（t，7），E（t+3，4），∵反比例函数y=kx（x＞0）的图象经过点E、F，∴7t＝4（t+3），解得t＝4，∴k＝7t＝28，∴反比例函数解析式为y＝28x，当x＝10时，y＝2814 105=，∴G（10，145），∴△CEG的面积＝114213255⨯⨯=．【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝kx（k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．20．（1）30；（2）16.【解析】【分析】（1）画树状图可得所有等可能结果；（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【详解】解：（1）根据题意画图如下：一共有30种不同的情况，故答案为：30；（2）画树状图如下：由树状图知，共有18种等可能结果，其中两名男生在体育测试中所选项目完全相同的有3种结果，所以两名男生在体育测试中所选项目完全相同的概率为31 186=.【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．21．（1）915(05)300(5)x xyxx+≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩；（2）20分钟；（3）8518分钟【解析】【分析】（1）分成0≤x≤5和x ＞5两种情况，利用待定系数法即可求解；（2）在当x ＞5时的函数解析式中，求得y ＝15时对应的自变量x 的取值即可；（3）在两个函数解析式中求得y ＝40时对应的自变量的值，求差即可．【详解】（1）当0≤x≤5时，设函数的解析式是y ＝kx+b ，则15560b k b =⎧⎨+=⎩ ，解得：159b k =⎧⎨=⎩ 则函数的解析式是：y ＝9x+15；3005x y x=当＞时，；综上所述，915(05)300(5)x x y x x+≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （2）把y ＝15代入300y x =，得30015=x，x ＝20；经检验：x ＝20是原方程的解．则当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了20分钟；（3）把y ＝40代入y ＝9x+15得x ＝259；把y ＝40代入300y x =得x ＝7.5，所以材料温度维持在40℃以上（包括40℃）的时间为7.5﹣259＝8518 分钟．【点睛】本题考查了二次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．22．（1）20，10；（2）α＝2β；（3）见解析.【解析】【分析】（1）先利用等腰三角形的性质求出∠DAE ，进而求出∠BAD ，即可得出结论；（2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；（3）①当点E 在CA 的延长线上，点D 在线段BC 上，同（1）的方法即可得出结论；②当点E 在CA 的延长线上，点D 在CB 的延长线上，同（1）的方法即可得出结论．【详解】（1）∵AB=AC ，∠ABC=60°，∴∠BAC=60°，∵AD=AE ，∠ADE=70°，∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=40°，∴α=∠BAD=60°﹣40°=20°，∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°，∴β=∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=10°，故答案为：20，10；（2）设∠ABC=x，∠AED=y，∴∠ACB=x，∠AED=y，在△DEC中，y=β+x，在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，∴α=2β；（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC=x，∠ADE=y，∴∠ACB=x，∠ACE=y，在△ABD中，x+α=β﹣y，在△DEC中，x+y+β=180°，∴α=2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α=180°﹣2β．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解本题的关键是利用三角形的内角和定理得出等式．23．（1）中位数为5万元；（2）用中位数5万元作为今年每个销售员统一销售额标准比较合理.理由见解析.【解析】【分析】（1）根据平均数，众数，中位数的意义进行分析；（2）从均数，众数，中位数的角度分析.【详解】（1）平均数314352678206.613214x⨯+⨯+⨯++++==+++⨯（万元）；该组数据中出现次数最多的是4，所以众数为：4万元；将这些数据按从小到大的顺序排列：3，4，4，4，5，5，6，7，8，20，处于中间位置的两个数字均为5，所以中位数为：5万元；（2）用中位数5万元作为今年每个销售员统一销售额标准比较合理.理由如下：因为平均数为6.6万元受极值20的影响较大，若把它定为标准，大多数人不能完成任务，会挫伤员工的积极性，而众数4万元，绝大多数员工不必努力就能超额完成，不利于提高销售额，若将5万元作为标准，多数人能完成任务，并且经过努力能够超额完成任务，有利于提高销售人员的积极性.【点睛】考核知识点：均数，众数，中位数.24．（1）a＝12，b＝7；（2）27°；（3）900人【解析】【分析】（1）根据第三组人数和所占比例求出抽取学生人数，再根据抽取学生人数和比例分别求出第2组和第4组人数；（2）求出第五组人数所占比例，可得“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）先求出成绩高于80分人数所占比例，根据全校人员可得成绩高于80分的人数．【详解】解：（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×30%＝12（人），第4组人数 40﹣8﹣12﹣10﹣3＝7（人），∴a＝12，b＝7；（2）360°×340=27°，∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）1800×81240+＝900（人），∴成绩高于80分的共有900人．【点睛】本题考查了统计图和样本估计总体，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．25．（1）80,1.5;(2)()()()8001801 1.58040 1.52y x xy xy x x⎧=≤≤⎪=≤≤⎨⎪=-≤≤⎩；(3)43.【解析】【分析】()1根据题意和函数图象中的数据可以求得甲车的速度和a的值；()2根据函数图象中的数据可以求得甲车甲车在整个过程中y与x之间的函数关系式；()3根据题意，乙车行驶80千米所用时间即为甲、乙两车在途中相遇时x的值．【详解】解：()1由题意可得，甲车的速度是：80180km/h÷=，()a1212080 1.5=+-÷=，故答案为：80，1.5；()2当0x1≤≤时，y80x=；当1x 1.5≤≤时，y 80=，；当1.5x 2≤≤时，设甲车再次行驶过程中y 与x 之间的函数关系式是y kx b =+，{ 1.5k b 802k b 120+=+=，解得{k 80b 40==-，即甲车再次行驶过程中y 与x 之间的函数关系式是y 80x 40=-．故甲车甲车在整个过程中y 与x 之间的函数关系式为： ()()()y 80x 0x 1y 801x 1.5y 80x 40 1.5x 2⎧=≤≤⎪=≤≤⎨⎪=-≤≤⎩；()3乙车的速度为：120260(÷=千米/时)，48060(3÷=小时)，甲、乙两车在途中相遇时x 的值为43．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某商品价格为a元，降价10％后，又降价10％，因销售量猛增，商店决定再提价20％，提价后这种商品的价格为（）A.0.96a元B.0.972a元C.1.08a元D.a元2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②a+b+c＝2；③a12 ；④b＞1，其中正确的结论个数是（）A.1个B.2 个C.3 个D.4 个3．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为估计白球数，小刚向其中放入8个黑球摇匀后，从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球200次，其中44次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（）A.20个B.28个C.36个D.无法估计4．若一组数据为：2，3，1，3，3．则下列说法错误的是（）A.这组数据的众数是3B.事件“在这组数据中随机抽取1个数，抽到的数是0.“是不可能事件C.这组数据的中位数是3D.这组数据的平均数是35．如图，在反比例函数y＝-2x的图象上有一动点A，连结AO并延长交图象的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数y＝kx的图象上运动，若tan∠CAB＝3，则k的值为（）A ．23B ．6C ．8D ．186．将一图形绕着点O 顺时针方向旋转70后，再绕着点O 逆时针方向旋转120，这时如果要使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点O 什么方向旋转多少度?（）A ．逆时针方向，50B ．顺时针方向，50C ．顺时针方向，190D ．逆时针方向，1907．已知一次函数y=kx+b 中，x 取不同值时，y 对应的值列表如下：则不等式kx+b ＞0（其中k ，b ，m ，n 为常数）的解集为（）A ．x ＞2B ．x ＞3C ．x ＜2D ．无法确定8．如果a+b=2，那么代数式22212b a b a b a ab b -⎛⎫+⋅ ⎪-++⎝⎭的值是（）A ．12B ．1C D ．2 9．下列图形是用长度相等的火柴棒按一定规律排列的图形，第（1）个图形中有8根火柴棒，第（2）个图形中有14根火柴棒，第（3）个图形中有20根火柴棒，…，按此规律排列下去，第（6）个图形中，火柴棒的根数是（）A ．34B ．36C ．38D ．4810．若点P （a-3，a-1）是第二象限内的一点，则a 的取值范围是（）A ．3a >B ．3a <C ．1a >D ．13a <<11．如图，在数轴上，点A 表示的数是2，△OAB 是Rt △，∠OAB ＝90°，AB ＝1，现以点O 为圆心，线段OB 长为半径画弧，交数轴负半轴于点C ，则点C 表示的实数是( )A B C ．﹣3 D ．﹣12．如图，将一张矩形的纸对折，旋转90°后再对折，然后沿着下图中的虚线剪下，则剪下的纸片打开后的形状一定为（）A ．三角形B ．菱形C ．矩形D ．正方形二、填空题 13．如图，已知直线AB CD ∥,110DCF ∠=︒，AE AF =，则A ∠=____︒．14．不等式组5234x x -≤-⎧⎨-<⎩的解集是______________. 15．已知方程x 2+mx ﹣3=0的一个根是1，则它的另一个根是_____．16．如图，在矩形ABCD 中，4,6AB BC ==，过矩形ABCD 的对角线交点O 作直线分别交AD 、BC 于点E F 、，连接AF ，若AEF 是等腰三角形，则AE =____.17．已知方程x 2+kx ﹣6＝0有一个根是2，则k ＝_____，另一个根为_____．18．-2的相反数是_____三、解答题19．化简求值21211m m m m --⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭，其中m ＝2 20．如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ．以C 为圆心，CB 的长为半径作弧，交AB 于点D ．分别以B 、D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点E ．作射线CE 交AB 于点M ．分别以A 、C 为圆心，CM 、AM 的长为半径作弧，两弧交于点N ．连接AN 、CN（1）求证：AN ⊥CN（2）若AB ＝5，tanB ＝3，求四边形AMCN 的面积．21．2018年3月2日，500架无人飞机在西安创业咖啡街区的夜空绽放，西安高新区用“硬科技”打造了最具独特的风景线，2018“西安年，最中国”以一场华丽的视觉盛宴完美收官，当晚，某兴趣爱好者想用手中的无人机测量大雁塔的高度，如图是从大雁塔正南面看到的正视图，兴趣爱好者将无人机上升至离地面185米高大雁塔正东面的F点，此时，他测得F点都塔顶A点的俯视角为30°，同时也测得F 点到塔底C点的俯视角为45°，已知塔底边心距OC＝23米，请你帮助该无人机爱好者计算出大雁塔的大体高度（结果精确到0.1≈1.41）．22．某商店第一个月以每件100元的价格购进200件衬衫，以每件150元的价格售罄．由于市场火爆，该商店第二个月再次购进一批衬衫，与第一批衬衫相比，这批衬衫的进价和数量都有一定的提高，其数量的增长率是进价增长率的2.5倍，该批衬衫仍以每件150元销售．第二个月结束后，商店对剩余的50件衬衫以每件120元的价格一次性清仓销售，商店出售这两批衬衫共盈利17500元．设第二批衬衫进价的增长率为x．（1）第二批衬衫进价为元，购进的数量为件．（都用含x的代数式表示，不需化简）（2）求x的值．23．解不等式组21122x xx->⎧⎪⎨⎪⎩…；并把其解集表示在数轴上．24．冰雪之王总决赛（以下简称“雪合战”）在我市落下帷幕.已知不同小组的甲、乙两队的五次预选赛成绩分别如下列不完整的统计表及统计图所示（每次比赛的成绩为0分，10分，20分三种情况）. 甲队五次预选赛成绩统计表已知甲、乙两队五次预选赛成绩的众数相同，平均数也相同.（1）补全条形统计图；（2）求甲队成绩的平均数及x的值；（3）从甲、乙两队前3次比赛中随机各选一场比赛的成绩进行比较，求选择到的甲队成绩优于乙队成绩的概率.乙队五次预选赛成绩条形统计图25．为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数统计如下：（1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是次，众数是次，平均数是次．（2）若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数，众数和平均数中不受影响的是．（填“中位数”，“众数”或“平均数”）（3）若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．40°14．-1＜x≤315．-316．4或13 317．-318．三、解答题 19．13【解析】【分析】括号内先通分进行分式的加法运算，然后再进行分式的除法运算，最后把数值代入进行计算即可. 【详解】21211m mm m --⎛⎫+÷⎪⎝⎭=()()1112m m m m m m m +--⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭=()()111m m m m m -+- =11m+，当m ＝2时，原式＝11123=+. 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键. 20．（1）详见解析；（2）12. 【解析】【分析】(1)由作图可知四边形AMCN 是平行四边形，CM ⊥AB ，据此即可得答案； (2)在Rt △CBM 中，利用tan ∠B ＝CMBM＝3，由此可以设BM ＝k ，CM ＝3k ，表示出AM ，然后在Rt △ACM 中，利用勾股定理求出k 的值，继而求得CM ＝3，AM ＝4，利用矩形面积公式即可求得答案. 【详解】(1)由作图可知：CN ＝AM ，AN ＝CM ， ∴四边形AMCN 是平行四边形， ∵CM ⊥AB ， ∴∠AMC ＝90°， ∴四边形AMCN 是矩形， ∴∠ANC ＝90°， ∴AN ⊥CN ．(2)在Rt △CBM 中，∵tan ∠B ＝CMBM＝3，∴可以假设BM＝k，CM＝3k，∵AC＝AB＝5，∴AM＝5﹣k，在Rt△ACM中，∵AC2＝CM2+AM2，∴25＝(3k)2+(5﹣k)2，解得k＝1或0(舍弃)，∴CM＝3，AM＝4，∴四边形AMCN的面积＝CM•AM＝12．【点睛】本题考查了作图——复杂作图，矩形的判定，勾股定理等，熟练掌握作图的基本方法是解题的关键. 21．大雁塔的大体高度是65.1米．【解析】【分析】作FD⊥BC，交BC的延长线于D，作AE⊥DF于E，则四边形AODE是矩形．解直角△CDF，得出CD＝DF＝185米，那么OD＝OC+CD＝208米，AE＝OD＝208米．再解直角△AEF，求出EF＝AE•tan∠FAE米，然后根据OA＝DE＝DF﹣EF即可求解．【详解】解：如图，作FD⊥BC，交BC的延长线于D，作AE⊥DF于E，则四边形AODE是矩形．由题意，可知∠FAE＝30°，∠FCD＝45°，DF＝185米．在直角△CDF中，∵∠D＝90°，∠FCD＝45°，∴CD＝DF＝185米，∴OD＝OC+CD＝208米，∴AE＝OD＝208米．在直角△AEF中，∵∠AEF＝90°，∠FAE＝30°，∴EF＝AE•tan∠FAE，∴DE＝DF﹣EF＝185，∴OA＝DE≈65.1米．故大雁塔的大体高度是65.1米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形． 22．（1）100(1＋x)，200(1＋2.5x)．（2）20%．【解析】【分析】（1）根据增长率的定义以及数量的增长率是进价增长率的2.5倍即可得到结果；（2）根据利润等于第一次售罄的利润+（第二次-50件所得利润）+清仓销售的50件的利润，列出方程并求解即可. 【详解】解：（1）第二批衬衫进价为100(1＋x)元，购进的数量为200(1＋2.5x)件，．（2）根据题意，得200×(150－100)＋[150－100(1＋x)][200(1＋2.5x)－50]＋50[120－100(1＋x)]＝17500．化简，得50x 2－5x －1＝0．解这个方程，得x 1＝15，x 2＝110-（不合题意，舍去）．所以x 的值是20%．【点睛】本题主要考查了一元二次方程与销售问题，根据题意找到等量关系并列出方程是解题关键，注意要舍去不合题意的解. 23．1＜x≤4．【解析】【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【详解】2x 1x 1x 22->⎧⎪⎨⎪⎩①②…由①可得：x＞1；由②可得：x≤4，所以不等式组的解集为：1＜x≤4．解集表示在数轴上为：【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．24．（1）见解析（2）20（3）4 9【解析】【分析】（1）由甲、乙两队五次预选赛成绩的众数相同，且甲队成绩的众数为20可得乙第4场的成绩为20，据此可补全图形；（2）先计算出乙的平均成绩，据此可得甲的平均成绩，再根据平均数的公式列出关于x的方程，解之可得；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到甲队成绩优于乙队成绩的结果数，利用概率公式计算可得．【详解】（1）甲、乙两队五次预选赛成绩的众数相同，且甲队成绩的众数为20，∴乙队成绩的众数为20，则第4场的成绩为20，补全图像如下：乙队五次预选赛成绩条形统计图（2）乙队五次成绩的平均数为1(1010202020)16 5⨯++++=，∴甲队成绩的平均数为16，由1(2002020)165x⨯++++=可得20x=；（3）列表如下：由表可知，共有9种等可能结果，其中甲队成绩优于乙队成绩的情况有4种.所以选择到的甲队成绩优于乙队成绩的概率为49.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计的有关概念．25．(1)10、10、11；(2)中位数和众数;(3)2200次【解析】【分析】（1）根据众数、中位数和平均数的定义分别求解可得；（2）由中位数和众数不受极端值影响可得答案；（3）用总人数乘以样本中居民的平均使用次数即可得.【详解】解：（1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是10102+＝10（次），众数为10次，平均数为015110415320110⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝11（次），故答案为：10、10、11；（2）把数据“20”看成了“30”，那么中位数，众数和平均数中不受影响的是中位数和众数，故答案为：中位数和众数．（3）估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数为200×11＝2200次．【点睛】本题考查的是平均数、众数、中位数的定义及其求法，牢记定义是关键.。

中考数学复习第15讲全等三角形

第十五讲全等三角形宜宾中考考情与预测宜宾考题感知与试做1.（2019·宜宾中考）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC.求证：∠C＝∠E.证明：∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE＋∠CAE＝∠DAC＋∠CAE.∴∠CAB＝∠EAD.在△ABC与△ADE中，∵AB＝AD，∠CAB＝∠EAD，AC＝AE，∴△ABC≌△ADE（S.A.S.）.∴∠C＝∠E.2.（2018·宜宾中考）如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠D.求证：CB＝CD.中考复习证明：∵∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠ACD.在△ABC与△ADC中，∵∠B＝∠D，∠ACB＝∠ACD，AC＝AC，∴△ABC ≌△ADC（A.A.S.）.∴CB＝CD.3.（2017·宜宾中考）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF.求证：BE ＝CF.证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F.在△ABC和△DEF中，∵∠A＝∠D，∠ACB＝∠F，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF（A.A.S.）.∴BC＝EF.∴BC－CE＝EF－CE，中考复习即BE＝CF.4.（2016·宜宾中考）如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC.求证：BC＝AD.证明：∵∠CAB＝∠DBA，∠CBD＝∠DAC，∴∠DAB＝∠CBA.在△ADB与△BCA中，∵∠DBA＝∠CAB，AB＝AB，∠DAB＝∠CBA，∴△ADB≌△BCA（A.S.A.）.∴BC＝AD.5.（2015·宜宾中考）如图，AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE.求证：∠A＝∠D.证明：∵∠ACD＝∠BCE，∴∠ACD＋∠ACE＝∠BCE＋∠ACE，即∠DCE＝∠ACB.在△ACB与△DCE中，∵AC＝DC，BC＝EC，∠ACB＝∠DCE，∴△ACB≌△DCE （S.A.S.）.∴∠A＝∠D.宜宾中考考点梳理全等三角形的概念及性质1.能够完全重合的两个三角形是全等三角形.2.全等三角形的对应边相等，对应角相等.三角形全等的判定3.判定三角形全等的方法有S.A.S.（基本事实）、A.S.A.（基本事实）、S.S.S.（基本事实）、A.A.S.；判定两个直角三角形全等的特定方法有H.L.Ｗ.4.三角形全等的证明思路（已知边或角对应相等）⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧已知两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角—S.A.S.找直角—H.L.找另一边—S.S.S.已知一边一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边：找任意角—A.A.S.边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边—S.A.S.找夹边的另一角—A.S.A.找边的对角—A.A.S.已知两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边—A.S.A.找对边—A.A.S.【温馨提示】（1）“S.A.S.、A.S.A.、S.S.S.、A.A.S.”适用于所有三角形，而“H.L.”只适用于直角三角形全等的判定.（2）“S.S.A.”和“A.A.A.”不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与.（3）证明三角形全等时，对应顶点的字母必须写在对应位置上.（4）灵活运用“截长补短法”添加辅助线可以构造全等三角形.1.（2019·宜宾中考）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE＝1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF＝DA.41B.42C.5 2D.213（第1题图）（第2题图）2.三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1＋∠2＋∠3的度数是（D）A.90°B.120°C.135°D.180°3.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合.过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线.这种做法的依据是利用“S.S.S.”证明△COM≌△CONＷ.4.如图是标准跷跷板的示意图.横板AB的中点过支撑点O，且绕点O只能上下转动.如果∠OCA＝90°，∠CAO＝25°，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为50°Ｗ.（第4题图）（第5题图）5.如图，∠C＝∠D＝90°，可使用“H.L.”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加的一个条件是AC＝AD（或BC＝BD）Ｗ.6.（2019·南充中考）如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC.（1）求证：△AOD≌△OBC；（2）若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数.解：（1）证明：∵点O是线段AB的中点，∴AO＝BO.∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠OBC.在△AOD与△OBC中，∵AO＝BO，∠AOD＝∠OBC，OD＝BC，∴△AOD≌△OBC（S.A.S.）；（2）解：由（1）可知∠BOC＝∠A，∴OC∥AD.∴∠DOC＝∠ADO＝35°.中考典题精讲精练全等三角形的性质和判定【典例1】如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.（1）求证：△AEC≌△BED；（2）若∠1＝42°，求∠BDE的度数.【解析】（1）根据三角形的内角和及对顶角的性质得出∠2与∠BEO的关系，然后结合已知条件及图形找到判定这两个三角形全等的条件即可；（2）由（1）可得EC＝ED，∠C＝∠BDE，根据等腰三角形的性质即可求∠C的度数，可得∠BDE的度数.【解答】（1）证明：在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOE，∴∠BEO＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO.∴∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，∵∠A＝∠B，AE＝BE，∠AEC＝∠BED，∴△AEC≌△BED（A.S.A.）；（2）解：∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°，∴∠BDE＝∠C＝69°.直角三角形的判定及应用【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AQ上运动，问点P运动到AC上什么位置时，△APQ才能和△ABC全等？【解析】本题要分情况讨论：①Rt△PAQ≌Rt△BCA，此时AP＝BC＝5 cm，可据此求出P点的位置；②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合.【解答】解：可分以下两种情形：①当点P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，∴△ABC和△APQ都是直角三角形.在Rt△QPA和Rt△ABC中，∵AP＝BC，PQ＝BA，∴Rt△QPA≌Rt△ABC（H.L.）.此时AP＝BC＝5 cm；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，在Rt△QAP和Rt△BCA中，∵AP＝CA，PQ＝AB，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（H.L.）.此时AP＝AC＝10 cm.综上所述，当P运动到使AP＝BC＝5 cm或点P与点C重合时，△APQ才能和△ABC全等.1.如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，AB∥DE，∠A＝∠D，测得AB＝DE.若BE＝10 m，BF＝3 m，则FC的长度为4m.2.如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，连结BD，∠BCD＝∠BDC，过点C作CE⊥BD，垂足为点E.（1）求证：△ABD≌△ECB；（2）若AD＝3，DE＝2，求△BCD的面积.（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC.∵CE⊥BD，∠A＝90°，∴∠A＝∠BEC＝90°.∵∠BCD＝∠BDC，∴BC＝BD.在△ABD 和△ECB 中，∵∠A ＝∠BEC ，∠ADB ＝∠EBC ，BD ＝CB ， ∴△ABD ≌△ECB （A .A .S .）；（2）解：由（1）知，△ABD ≌△ECB ，则BE ＝AD ＝3，AB ＝EC ，∴BD ＝BE ＋DE ＝3＋2＝5. ∴AB ＝EC ＝BD 2－AD 2＝52－32＝4.∴S △BCD ＝12BD·EC ＝12×5×4＝10.3.如图，AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，EF 过点C ，BE ⊥EF 于点E ，DF ⊥EF 于点F ，BE ＝DF.求证：Rt △BCE ≌Rt △DCF.证明：连结BD.∵AB ＝AD ，∴∠ABD ＝∠ADB. ∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°， ∴∠CBD ＝∠CDB.∴BC ＝DC. ∵BE ⊥EF ，DF ⊥EF ， ∴∠E ＝∠F ＝90°.在Rt △BCE 和Rt △DCF 中， ∵BC ＝DC ，BE ＝DF ，∴Rt △BCE ≌Rt △DCF （H .L .）.请完成《精练本》第39～40页作业。

第四章三角形小结与复习(教案)

-海伦公式的应用：对于海伦公式的推导和应用，学生可能会感到困惑，需要通过详细讲解和实际例题，使学生理解并能够运用海伦公式解决问题。
-特殊三角形的性质：等腰三角形、直角三角形、等边三角形的性质及其应用是学生理解的难点，需要通过直观图形和实际操作，让学生深入理解其性质。
举例：在讲解三角形判定方法时，针对学生容易混淆的情况，设计不同类型的题目，如给出两边和一角、两边和夹角等，让学生通过练习，掌握判定方法的灵活运用。
-三角形面积计算：灵活运用底乘高除以2的公式计算三角形面积，以及海伦公式的应用。
-特殊三角形：深入理解等腰三角形、直角三角形、等边三角形的性质和判定方法。
举例：在讲解三角形分类时，通过图形展示和实际操作，让学生直观感受不同类型三角形的特点，强调等腰三角形底角相等的重要性。
2.教学难点
-三角形判定方法的灵活运用：学生往往在判定方法的选择和应用上存在困难，需要通过大量实例和练习，帮助学生掌握不同情况下的判定方法。
-直角三角形的性质和判定。
-等边三角形的性质和判定。
7.三角形的应用
-在实际生活中的应用，如测量、设计等。
本节课将围绕以上内容展开，通过复习和巩固，提高学生对三角形知识的掌握程度。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力，通过三角形的学习，使学生能够运用几何图形理解和解决实际问题，提升空间观念。
2.培养学生的逻辑推理能力，通过三角形性质的推理和应用，让学生掌握逻辑思维方法，提高分析问题和解决问题的能力。
第四章三角形小结与复习（教案）
一、教学内容
第四章三角形小结与复习（教案）：
1.三角形的定义及分类
-定义：由三条线段首尾相连围成的图形。
-分类：按边长分为不等边三角形、等腰三角形、等边三角形；按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

2024年中考数学总复习考点梳理第四章第三节等腰三角形与直角三角形

第三节等腰三角形与直角三角形
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考情及趋势分析
考情分析
类型年份题号题型分值图形背景
设问
等边
25(1 解答题
2018
3 直角三角形填空：角度
三角形
) (三)
2021 16 填空题 4 平行四边形求正弦值
20(2 解答题
直角 2021
3 直角三角形
) (一)
三角形
求正切值
2020 17 填空题 4 直角三角形求线段最值
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考情分析
类型年份题号题型分值结合知识点设问
方法
溯源教材教材改编维度
人教八上
解答题
证等腰三两底角相等
改变设问及条
等腰 2020 20
6 全等三角形
P40例3(图
(一)
角形
，两腰相等
件
三角
形)
形
解答题
证等腰三两底角相等
2018 22(2)
4 全等三角形
/
/
(二)
角形
，两腰相等
【考情总结】
返回目录第1题图
第三节等腰三角形与直角三角形
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2. [人教八下P61习题改编]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是
AB边上一点，连接CD.
(1)若∠B＝30°，AC＝2，则AB＝____4____；
(2)若D是AB边的中点．
①当∠B＝25°时，则∠ACD＝___6_5_°___； ②当AC＝3，BC＝4时，则CD＝___52_____；
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教材改编题课前测
1. [北师八下P30习题改编]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为

中考数学总复习讲练第三节等腰三角形与直角三角形

第三节等腰三角形与直角三角形)直角三角形的有关计算1．分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 的垂直平分线DE 交于BC 的延长线于F ，若∠F ＝30°，DE ＝1，则EF 的长是( B )A ．3B ．2C .D ．1(第1题图)(第2题图)2．4分)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝16 cm ，AD 为BC 边上的高．动点P 从点A 出发，沿A →D 方向以 cm /s 的速度向点D 运动．设△ABP 的面积为S 1，矩形PDFE 的面积为S 2，运动时间为t s (0＜t ＜8)，则t ＝__6__ s 时，S 1＝2S 2.3．12分)如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD ，其中∠BAC ＝45°，∠ACD ＝30°，点E 为CD 边上的中点，连接AE ，将△ADE 沿AE 所在直线翻折得到△AD′E ，D ′E 交AC 于F 点．若AB ＝6 cm .(1)AE 的长为__4__cm ；(2)试在线段AC 上确定一点P ，使得DP ＋EP 的值最小，并求出这个最小值； (3)求点D′到BC 的距离．解：∵Rt △ADC 中，∠ACD ＝30°，∴∠ADC ＝60°.∵E 是CD 边上的中点，∴AE ＝DE ，∴△ADE 是等边三角形．∵△ADE 沿着AE 所在直线翻折得到△AD′E ，∴△AD ′E 是等边三角形．∴∠AED′＝60°，∵∠EAC ＝∠DAC －∠EAD ＝30°，∴∠EFA ＝90°，即AC 所在直线垂直平分线段ED′，∴点E ，D ′关于直线AC 对称．连接DD′交AC 与点P ，∴此时DP ＋EP 值最小，且DP ＋EP ＝DD′.∵△ADE 是等边三角形，AD ＝AE ＝4，∴DD ′＝2×AD·cos 30°＝2×4×23＝12，即DP ＋EP 的最小值是12；(3)连接CD ′，BD ′，过D′作D′G ⊥BC 于点G.∵AC 垂直平分ED′，∴AE ＝AD′，CE ＝CD′.∵AE ＝CE ，∴AD ′＝CD′＝4.∵AB ＝BC ，BD ′＝BD′，∴△ABD ′≌△CBD ′(SSS )，∴∠D ′BG ＝45°，∴D ′G ＝GB.设D′G ＝x cm ，则CG ＝(6－x)c m ，∴x 2＋(6－x)2＝(4)2，解得x 1＝3－，x 2＝3＋(不合题意，舍去)．∴点D′到BC 的距离为(3－)cm .勾股定理(1次)4．12分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，设c 为最长边，当a 2＋b 2＝c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2＋b 2≠c 2时，利用代数式a 2＋b 2和c 2的大小关系，探究△ABC 的形状(按角分类)．(1)当△ABC 三边分别为6，8，9时，△ABC 为__锐角__三角形；当△ABC 三边分别为6，8，11时，△ABC 为__钝角__三角形；(2)猜想，当a 2＋b 2__>__c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2＋b 2__<__c 2时，△ABC 为钝角三角形；(3)判断当a ＝2，b ＝4时，△ABC 的形状，并求出对应的c 的取值范围．解：∵c 为最长边，∴4≤c ＜6，①a 2＋b 2＞c 2，即c 2＜20，0＜c ＜2，∴当4≤c<2时，△ABC 是锐角三角形；②a 2＋b 2＝c 2，c 2＝20，c ＝2，∴当c ＝2时，△ABC 是直角三角形；③a 2＋b 2＜c 2，c 2＞20，c ＞2，∴当2＜c ＜6时，△ABC 是钝角三角形．直角三角形的判定(1次)5．10分)如图，点E 是正方形ABCD 外一点，点F 是线段AE 上一点，△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF ＝90°，连接CE ，CF.(1)求证：△ABF ≌△CBE ；(2)判断△CEF 的形状，并说明理由．证明：(1)略；(2)△CEF 是直角三角形．理由：∵△EBF 是等腰直角三角形，∴∠BFE ＝∠FEB ＝45°，∴∠AFB ＝135°.又∵△ABF ≌△CBE ，∴∠CEB ＝∠AFB ＝135°，∴∠CEF ＝∠CEB －∠FEB ＝135°－45°＝90°，∴△CEF 是直角三角形．等腰三角形的性质(1次)6．4分)如图，在△ABA 1中，∠B ＝20°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2＝A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ；……，按此做法进行下去，∠A n 的度数为__2n －180°__．(第6题图)(第7题图)7．考试)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝6，CD 为AB 边上的高，点P 为射线CD 上一动点，当点P 运动到使△ABP 为等腰三角形时，BP 的长度为__4或6__．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为__(2，4)或(3，4)或(8，4)__．中考考点清单) 等腰三角形的性质与判定(高频考点)性质BC 直角三角形的性质与判定(高频考点)(3)直角三角形中__30°__角所对应的直角边中考重难点突破)等腰三角形的性质与判定【例1】，等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且∠DBC ＝15°，则∠A＝________．【解析】由线段垂直平分线定理知AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴∠ABC ＝∠ACB，设∠A＝x，则2(x＋15°)＋x＝180°，∴∠A＝x＝50°.【学生解答】50°1．如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B 的度数为(B)A．30°B．36°C．40°D．45°,(第1题图)),(第2题图)) 2．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB＝6 cm，则AC＝__6__cm.3．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝110°.AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD ＝__35__°.4．)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AD ＝2，∠DAC ＝30°，求AC 的长．解：(1)∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.∵BD ＝CD ，∴R t △BDE ≌Rt △CDF ，∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ；(2)∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC.在Rt △ADC 中，∵∠DAC ＝30°，AD ＝2，∴AC ＝cos30°AD＝4.直角三角形的相关计算【例2】如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10.DE 垂直平分AC 交AB 于点E ，则DE 的长为( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】根据题意，DE 是AC 的垂直平分线．∵∠ACB ＝90°，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线．∵BC ＝＝6，∴DE ＝21BC ＝3.【学生解答】D5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ∥AB ，∠ACD ＝40°，则∠B 的度数为( B ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．70°,(第5题图)) ,(第6题图)6．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝1，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为( A )A ．1B ．2C .D ．1＋ 7．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B 、C 不重合)，作BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，则BE ＋CF 的值( C )A ．不变B ．增大C ．减小D ．先变大再变小,(第7题图)) ,(第8题图))8．如图，正方形ABCD 的面积为1，则连接相邻两边中点EF ，以EF 为边的正方形EFGH 的周长为( B )A .B ．2C .＋1D ．2＋19．如图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S 1＋S 2＝S 3图形个数有( D )A ．1B ．2C ．3D ．410．明)已知：如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，AB ＝10，D 为△ABC 外一点，连接AD ，BD ，过D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ，交AC 于E.若△ABD 是等边三角形，求DE 的长．解：∵△ABD 为等边三角形，AB ＝10，∴∠ADB ＝60°，AD ＝AB ＝10，∵DH ⊥AB ，∴AH ＝21AB ＝5，∴DH ＝5，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，∴∠AEH ＝45°，∴EH ＝AH ＝5，∴DE ＝DH －EH ＝5－5.。

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