五校联考高三数学试卷答案

高中数学学习材料

金戈铁骑整理制作

2015届高三第四次模拟考试答案

数 学 (I)

(满分160分，考试时间120分钟)

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）

1. 已知集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |lg(2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝ ▲ ．

【答案】(0,1)

2. 复数z ＝a ＋i 1－i

为纯虚数，则实数a 的值为 ▲ ．

【答案】1

3. 某学校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有

40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ▲ ． 【答案】8

4. 执行如图所示流程图，得到的结果是 ▲ ．

【答案】7

8

5. 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝4

3

x ，那

么该双曲线的离心率为 ▲ ． 【答案】5

3

6. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概

率为 ▲ ．

【答案】3

4

7. 若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 ▲ ．

【答案】15π

8. 直线l 过点(－1,0)，且与直线3x ＋y －1＝0垂直，直线l 与圆C ：(x －2)2＋y 2＝1交于M 、

N 两点，则MN ＝ ▲ ． 【答案】

105

9. 已知0x >，0y >，228x y xy ++=，则2x y +的最小值为 ▲ ．

【答案】4

10. 函数sin (sin cos )([,0])2

y π

αααα=-∈-的最大值为 ▲ ．

【答案】

12

22

+

11. 已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足AB ＋

1

2

AC ＝AD ，且|CD |＝3，那么DA DC ⋅＝ ▲ ．

【答案】3

12. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax (x ≤1)

2ax －5

(x ＞1)

，若∃x 1,x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】(－∞,4)

13. 已知函数f (x )满足f (x )＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间[1

3

,3]内，函数g (x )＝f (x )

－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．

【答案】⎣⎡ln33,⎭

⎫1

e

14. 各项均为实数的等差数列的公差为2，其首项的平方与其余各项之和不超过33，则这样的

数列至多有 ▲ 项． 【答案】7

解：a 2

1＋a 2＋a 3＋···＋a n ＝a 2

1＋

(n －1)(a 2＋a n )2

＝a 21＋(n －1)(a 1＋n )＝a 2

1＋(n －1)a 1＋n (n －1)

＝⎝⎛⎭⎫a 1＋n －122＋n (n －1)－(n －1)2

4＝⎝⎛⎭⎫a 1＋n －122＋(n －1)(3n ＋1)4≤33 为了使得n 尽量大，故⎝

⎛⎭⎫a 1＋n －122＝0，∴(n －1)(3n ＋1)4≤33

∴(n －1)(3n ＋1)≤132，当n ＝6时，5×19＜132；当n ＝7时，6×22＝132， 故n max ＝7．【注】不易猜测：－3，－1，1，3，5，7，9．

二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本小题满分14分）

已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，1

2，且与x 轴两个相邻

的交点的距离为π． （1）求f (x )的解析式；

（2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝5

13

，求△ABC 的面积．

解：（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ) ………2分

∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π ∴π3＜π3＋φ＜4π3 ∴π3＋φ＝5π6 即φ＝π

2

……5分

∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π

2＝cos x ． ………6分

注意：不写φ的范围，直接得φ的值扣1分，f (x )的解析式不化简不扣分．

（2）∵f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513， ∴A ,B ∈(0,π

2

)

∴sin A ＝45，sin B ＝12

13 ………8分

∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝56

65 ………10分

∵在△ABC 中a sin A ＝b

sin B ∴b ＝15. ………12分

∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×13×15×56

65＝84． ………14分

注意：其他解法参照给分 16. （本小题满分14分）

在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 是BC 的中点． （1）求证：A 1C ∥平面AB 1D ；

（2）设M 为棱CC 1的点，且满足BM ⊥B 1D ， 求证：平面AB 1D ⊥平面ABM ．

证明：(1) 记A 1B ∩AB 1＝O ，连接OD .

∵四边形AA 1B 1B 为矩形，∴O 是A 1B 的中点， 又∵D 是BC 的中点，∴A 1C ∥OD . ………2分 又∵A 1C ⊂∕平面AB 1D ，OD ⊂平面AB 1D ，

∴A 1C ∥平面AB 1D . ………6分 注意：条件“A 1C ⊂∕平面AB 1D ，OD ⊂平面AB 1D ”少写一个扣除

A

B

D

M

C

1

A 1

B 1

C A

B

D

M

C

1

A 1

B 1

C O