五校联考高三数学试卷答案
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高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作
2015届高三第四次模拟考试答案
数 学 (I)
(满分160分,考试时间120分钟)
注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效.
一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上)
1. 已知集合M ={x |x <1},N ={x |lg(2x +1)>0},则M ∩N = ▲ .
【答案】(0,1)
2. 复数z =a +i 1-i
为纯虚数,则实数a 的值为 ▲ .
【答案】1
3. 某学校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有
40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ▲ . 【答案】8
4. 执行如图所示流程图,得到的结果是 ▲ .
【答案】7
8
5. 已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =4
3
x ,那
么该双曲线的离心率为 ▲ . 【答案】5
3
6. 将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概
率为 ▲ .
【答案】3
4
7. 若一圆锥的底面半径为3,体积是12π,则该圆锥的侧面积等于 ▲ .
【答案】15π
8. 直线l 过点(-1,0),且与直线3x +y -1=0垂直,直线l 与圆C :(x -2)2+y 2=1交于M 、
N 两点,则MN = ▲ . 【答案】
105
9. 已知0x >,0y >,228x y xy ++=,则2x y +的最小值为 ▲ .
【答案】4
10. 函数sin (sin cos )([,0])2
y π
αααα=-∈-的最大值为 ▲ .
【答案】
12
22
+
11. 已知△ABC 是等边三角形,有一点D 满足AB +
1
2
AC =AD ,且|CD |=3,那么DA DC ⋅= ▲ .
【答案】3
12. 已知函数f (x )=⎩⎨⎧-x 2+ax (x ≤1)
2ax -5
(x >1)
,若∃x 1,x 2∈R ,x 1≠x 2,使得f (x 1)=f (x 2)成立,则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】(-∞,4)
13. 已知函数f (x )满足f (x )=f (1x ),当x ∈[1,3]时,f (x )=ln x ,若在区间[1
3
,3]内,函数g (x )=f (x )
-ax 与x 轴有三个不同的交点,则实数a 的取值范围是 ▲ .
【答案】⎣⎡ln33,⎭
⎫1
e
14. 各项均为实数的等差数列的公差为2,其首项的平方与其余各项之和不超过33,则这样的
数列至多有 ▲ 项. 【答案】7
解:a 2
1+a 2+a 3+···+a n =a 2
1+
(n -1)(a 2+a n )2
=a 21+(n -1)(a 1+n )=a 2
1+(n -1)a 1+n (n -1)
=⎝⎛⎭⎫a 1+n -122+n (n -1)-(n -1)2
4=⎝⎛⎭⎫a 1+n -122+(n -1)(3n +1)4≤33 为了使得n 尽量大,故⎝
⎛⎭⎫a 1+n -122=0,∴(n -1)(3n +1)4≤33
∴(n -1)(3n +1)≤132,当n =6时,5×19<132;当n =7时,6×22=132, 故n max =7.【注】不易猜测:-3,-1,1,3,5,7,9.
二、解答题(本大题共6小题,共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分)
已知函数f (x )=sin(ωx +φ) (ω>0,0<φ<π),其图像经过点M ⎝⎛⎭⎫π3,1
2,且与x 轴两个相邻
的交点的距离为π. (1)求f (x )的解析式;
(2)在△ABC 中,a =13,f (A )=35,f (B )=5
13
,求△ABC 的面积.
解:(1)依题意知,T =2π,∴ω=1,∴f (x )=sin(x +φ) ………2分
∵f (π3)=sin(π3+φ)=12,且0<φ<π ∴π3<π3+φ<4π3 ∴π3+φ=5π6 即φ=π
2
……5分
∴f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +π
2=cos x . ………6分
注意:不写φ的范围,直接得φ的值扣1分,f (x )的解析式不化简不扣分.
(2)∵f (A )=cos A =35,f (B )=cos B =513, ∴A ,B ∈(0,π
2
)
∴sin A =45,sin B =12
13 ………8分
∴sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =56
65 ………10分
∵在△ABC 中a sin A =b
sin B ∴b =15. ………12分
∴S △ABC =12ab sin C =12×13×15×56
65=84. ………14分
注意:其他解法参照给分 16. (本小题满分14分)
在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,点D 是BC 的中点. (1)求证:A 1C ∥平面AB 1D ;
(2)设M 为棱CC 1的点,且满足BM ⊥B 1D , 求证:平面AB 1D ⊥平面ABM .
证明:(1) 记A 1B ∩AB 1=O ,连接OD .
∵四边形AA 1B 1B 为矩形,∴O 是A 1B 的中点, 又∵D 是BC 的中点,∴A 1C ∥OD . ………2分 又∵A 1C ⊂∕平面AB 1D ,OD ⊂平面AB 1D ,
∴A 1C ∥平面AB 1D . ………6分 注意:条件“A 1C ⊂∕平面AB 1D ,OD ⊂平面AB 1D ”少写一个扣除
A
B
D
M
C
1
A 1
B 1
C A
B
D
M
C
1
A 1
B 1
C O