五校联考高三数学试卷答案

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高中数学学习材料

金戈铁骑整理制作

2015届高三第四次模拟考试答案

数 学 (I)

(满分160分,考试时间120分钟)

注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效.

一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上)

1. 已知集合M ={x |x <1},N ={x |lg(2x +1)>0},则M ∩N = ▲ .

【答案】(0,1)

2. 复数z =a +i 1-i

为纯虚数,则实数a 的值为 ▲ .

【答案】1

3. 某学校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有

40名.现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ▲ . 【答案】8

4. 执行如图所示流程图,得到的结果是 ▲ .

【答案】7

8

5. 已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =4

3

x ,那

么该双曲线的离心率为 ▲ . 【答案】5

3

6. 将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,则所得的两个点数中至少有一个是奇数的概

率为 ▲ .

【答案】3

4

7. 若一圆锥的底面半径为3,体积是12π,则该圆锥的侧面积等于 ▲ .

【答案】15π

8. 直线l 过点(-1,0),且与直线3x +y -1=0垂直,直线l 与圆C :(x -2)2+y 2=1交于M 、

N 两点,则MN = ▲ . 【答案】

105

9. 已知0x >,0y >,228x y xy ++=,则2x y +的最小值为 ▲ .

【答案】4

10. 函数sin (sin cos )([,0])2

y π

αααα=-∈-的最大值为 ▲ .

【答案】

12

22

+

11. 已知△ABC 是等边三角形,有一点D 满足AB +

1

2

AC =AD ,且|CD |=3,那么DA DC ⋅= ▲ .

【答案】3

12. 已知函数f (x )=⎩⎨⎧-x 2+ax (x ≤1)

2ax -5

(x >1)

,若∃x 1,x 2∈R ,x 1≠x 2,使得f (x 1)=f (x 2)成立,则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】(-∞,4)

13. 已知函数f (x )满足f (x )=f (1x ),当x ∈[1,3]时,f (x )=ln x ,若在区间[1

3

,3]内,函数g (x )=f (x )

-ax 与x 轴有三个不同的交点,则实数a 的取值范围是 ▲ .

【答案】⎣⎡ln33,⎭

⎫1

e

14. 各项均为实数的等差数列的公差为2,其首项的平方与其余各项之和不超过33,则这样的

数列至多有 ▲ 项. 【答案】7

解:a 2

1+a 2+a 3+···+a n =a 2

1+

(n -1)(a 2+a n )2

=a 21+(n -1)(a 1+n )=a 2

1+(n -1)a 1+n (n -1)

=⎝⎛⎭⎫a 1+n -122+n (n -1)-(n -1)2

4=⎝⎛⎭⎫a 1+n -122+(n -1)(3n +1)4≤33 为了使得n 尽量大,故⎝

⎛⎭⎫a 1+n -122=0,∴(n -1)(3n +1)4≤33

∴(n -1)(3n +1)≤132,当n =6时,5×19<132;当n =7时,6×22=132, 故n max =7.【注】不易猜测:-3,-1,1,3,5,7,9.

二、解答题(本大题共6小题,共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分)

已知函数f (x )=sin(ωx +φ) (ω>0,0<φ<π),其图像经过点M ⎝⎛⎭⎫π3,1

2,且与x 轴两个相邻

的交点的距离为π. (1)求f (x )的解析式;

(2)在△ABC 中,a =13,f (A )=35,f (B )=5

13

,求△ABC 的面积.

解:(1)依题意知,T =2π,∴ω=1,∴f (x )=sin(x +φ) ………2分

∵f (π3)=sin(π3+φ)=12,且0<φ<π ∴π3<π3+φ<4π3 ∴π3+φ=5π6 即φ=π

2

……5分

∴f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +π

2=cos x . ………6分

注意:不写φ的范围,直接得φ的值扣1分,f (x )的解析式不化简不扣分.

(2)∵f (A )=cos A =35,f (B )=cos B =513, ∴A ,B ∈(0,π

2

)

∴sin A =45,sin B =12

13 ………8分

∴sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =56

65 ………10分

∵在△ABC 中a sin A =b

sin B ∴b =15. ………12分

∴S △ABC =12ab sin C =12×13×15×56

65=84. ………14分

注意:其他解法参照给分 16. (本小题满分14分)

在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,点D 是BC 的中点. (1)求证:A 1C ∥平面AB 1D ;

(2)设M 为棱CC 1的点,且满足BM ⊥B 1D , 求证:平面AB 1D ⊥平面ABM .

证明:(1) 记A 1B ∩AB 1=O ,连接OD .

∵四边形AA 1B 1B 为矩形,∴O 是A 1B 的中点, 又∵D 是BC 的中点,∴A 1C ∥OD . ………2分 又∵A 1C ⊂∕平面AB 1D ,OD ⊂平面AB 1D ,

∴A 1C ∥平面AB 1D . ………6分 注意:条件“A 1C ⊂∕平面AB 1D ,OD ⊂平面AB 1D ”少写一个扣除

A

B

D

M

C

1

A 1

B 1

C A

B

D

M

C

1

A 1

B 1

C O

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