数学物理方程教案3行波解

数学物理方程教案3

主要内容：

1、掌握行波解求解思路和一般步骤。

2、掌握有源化无源的冲量原理法和三维化一维的平均值法和求解步骤。

3、理解推迟势的物理意义。

第二章行波法

上一章已经学习了建立数学物理方程和定解条件的基本方法，即确定了定解问题，那么从本章开始，我们将重点学习各种求解数学物理方程的方法，主要包括：行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法等。

我们知道，求解常微分方程时，一般是先求方程的通解，再用初始条件来确定通解中的任意常数，从而得到特解。那么这种思想能否用于求解偏微分方程的定解问题呢？也就是说先求出偏微分方程的通解，再用定解条件确定通解中的任意常数或函数。通过研究可以发现，由于偏微分方程定解问题本身的特殊性，很难定义通解的概念，即使对某些方程可以定义并求出通解，但要通过定解条件来确定通解中的任意函数也是相当困难的。因此，一般情况下我们是不能够使用类似于常微分方程的求解过程来求解偏微分方程的，但是，对于某些特殊的偏微分方程的定解问题，尤其在求解无界区域上的齐次波动方程等类型的定解问题时，可以考虑这种先求通解再确定特解的方法。另外，从物理学上看，对于齐次波动方程反映了媒质被扰动后在区域里不再受到外力时的振动传播规律，如果问题的区域是整个空间时，由初始扰动所引起的振动就会一直向前传播出去，形成行波，而这类问题可以得到通解，我们把这种主要适用于求解行波问题的方法称为行波法，本章将讨论这种方法的求解思路、方法和应用。

2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式

2.1.1 达朗贝尔（D`Alembert）公式的导出

对于无限长的弦的自由振动、无限长的杆的纵向自由振动以及无限长理想传输线上

的电流和电压均满足相同的波动方程的定解问题

泛定方程： 2

tt xx u a u =，（,0x t -∞<<∞>） (2.1)

初始条件： ()()()()

,0,0t u x x u x x ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩， (2.2)

式中，(),()x x ϕψ为已知函数。

因为对于无限长弦，其边界的物理状态并未影响到所考察的区域，所以不需提出边界条件。此定解问题即为初值问题。

为了用行波法求解这一问题，我们首先要求出(2.1)的通解。做变量代换，引入新的自变量

x at

x at ξη=-⎧⎨

=+⎩

, (2.3) 利用复合函数求微商的法则，可以得到

x x x u u u u u ξηξηξη=+=+， (2.4)

()()()()()() 2xx x x x x x x u u u u u u u u u u u u ξηξηξηξξηηξξξηηη

ξη=+=+=+++=++， (2.5)

()t t t u u u a u u ξηξηξη=+=-+， (2.6)

()

2

()()()() ()()2tt t t t t t t u u u a u u a a u u a u u a u u u ξηξηξηξξηηξξξηηηξη⎡⎤=+=-+⎣⎦

⎡⎤=--++-+=-+⎣⎦， (2.7)

将上面得到的,tt xx u u 代入式(2.1)，得到

()()2222a u u u a u u u ξξξηηηξξξηηη-+=++， (2.8)

即

0u ξη=. (2.9)

求上面方程的解，先对η积分，得 ()()0u u d d c c ξξηηηξξ==+=⎰⎰， (2.10) 再对ξ进行积分可得

()()()()()212,u c d f f f ξηξξηξη=+=+⎰， (2.11)

式中，()()12,f f ξη分别是ξ，η的任意函数。把代换(2.3)代入此式，得到

()()()12,u x t f x at f x at =-++. (2.12)

容易验证，只要12,f f 具有二阶连续偏导数，表达式(2.12)就是自由弦振动方程(2.1)的通解。

下面我们利用初始条件(2.2)来确定任意函数1f 和2f 。即求满足定解条件的解。把式(2.12)代入式(2.2)得

12(,0)()()()u x f x f x x ϕ=+=， (2.13)

12(,0)()()()t u x af x af x x ψ''=-=， (2.14)

即

0121()()()x

x f x f x d c a

ψαα-=+⎰， (2.15) 由(2.13)式和(2.15)式容易解得

0111()()()222x x c

f x x d a ϕψαα=++

⎰， (2.16) 0211()()()222

x x c

f x x d a ϕψαα=--⎰. (2.17) 将()1f x 和()2f x 中的x 分别换成x at +和x at -，代入(2.12)得

[]11(,)()()()22x at

x at

u x t x at x at d a ϕϕψαα+-=++-+⎰. (2.18)

这就是达朗贝尔公式或称为达朗贝尔行波解。它是一维无界齐次波动方程的初值问题的特解的一般表达式。

例1. 求解初值问题

2

0|,|4tt xx

t t t u a u u x u ==⎧=⎪⎨

==⎪⎩， (2.19) 解：显然这是一个一维无界齐次波动方程的初值问题，()(),4x x x ϕψ==，故由

达朗贝尔公式(2.18)有

()[]11,422 4x at

x at

u x t x at x at d a x t

α

+-=++-+=+⎰. (2.20) 2.1.2 达朗贝尔公式的物理意义

首先，我们以无限长弦的横向自由振动为例来阐述达朗贝尔公式的通解式(2.12)的物理意义。

先考察第一项

()11u f x at =-， (2.21)

它是方程(2.1)的解，对于t 不同的值，就可以看到弦在不同时刻相应的振动状态。

在t =0时，()()11,0u x f x =，它对应于初始时刻的振动状态，假如图2.1（a ）曲线表示的是0t =时的弦振动的状态(即初始状态)；在1/2t =时，()11,1/2(/2)u x f x a =-的图形如图2.1（b ）所示；在1t =时，()11,1()u x f x a =-的图形如图2.1（c ）所示；在

2t =时，()11,2(2)u x f x a =-的图形如图2.1（d ）所示。这些图形说明，随着时间的

推移，()11u f x at =-的图形以速度a 向x 轴正向移动，所以()11u f x at =-表示一个以