2一元二次方程根的应用
一元二次方程的解法及其应用
一元二次方程的解法及其应用一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数且a ≠ 0。
解法：一元二次方程的解法主要有两种：因式分解法和求根公式法。
1. 因式分解法：当一元二次方程的形式可以直接因式分解时，使用因式分解法可以快速求得其解。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。
根据零乘法，当一个乘积等于零时，其中一个或多个因子必须为零。
因此，我们得到x + 2 = 0或x + 3 = 0，从而解得x = -2或x = -3。
这两个解是方程的根，即方程的解集为{-2, -3}。
2. 求根公式法：对于一般形式的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式法求得其解。
根据求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，我们可以直接计算出方程的解。
例如，对于方程2x^2 + 5x - 3 = 0，根据求根公式，我们有x = (-5 ±√(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)。
计算得x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4，进一步化简得x = (-5 ± √49) / 4，即x = (-5 ± 7) / 4。
因此，方程的解为x = (-5 + 7) / 4或x = (-5 - 7) / 4，简化得x = 1/2或x = -3/2。
解集为{1/2, -3/2}。
应用：一元二次方程的解法在数学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何问题：一元二次方程的解法可以应用于几何问题中，例如求解二次函数的零点，即方程y = ax^2 + bx + c = 0的解，可以帮助我们确定函数的图像与x轴的交点，从而求得抛物线的顶点、焦点等信息。
2. 物理问题：在物理学中，一元二次方程的解法可以用于解决与运动和力有关的问题。
一元二次方程根的定义在解题中的应用
一元二次方程的根是指方程ax^2+bx+c=0中的解x。
对于一元二次方程，它可以有两个根、一个根或者没有实根。
在解题中，我们可以利用方程的根来解决各种问题。
以下是一些应用一元二次方程根的例子：
求解方程：通过求解一元二次方程的根，我们可以得到方程的解。
例如，对于方程x^2+2x-3=0，通过使用求根公式，我们可以计算出方程的两个根为x=1和x=-3。
求解实际问题：在解决实际问题时，我们可以将问题转化为一元二次方程，并使用方程的根来解决问题。
例如，一个物体从一定高度落下，求它落到地面的时间。
将问题转化为一元二次方程y=gt^2/2+h，其中y为高度，g为重力加速度，h为落下的高度，t为时间。
将方程化为标准的一元二次方程，然后求解它的根，我们可以得到物体落到地面的时间。
确定二次函数的性质：对于二次函数y=ax^2+bx+c，其中a、b和c为常数，我们可以使用它的根来确定它的性质。
例如，如果二次函数有两个实根，则它的抛物线会与x轴相交，并且函数的顶点在两个根的中点上。
总之，一元二次方程根的定义在解题中有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种问题，包括求解方程、求解实际问题和确定二次函数的性质等。
一元二次方程的根与系数关系及应用
代数：一元二次方程根与系数的关系一、一元二次方程的根与系数关系：二、一元二次方程的根与系数关系的应用应用1，验根，不解方程求一元二次方程两根和与两根积，检验两个数是不是一元二次方程的两个根. 应用2，已知方程的一个根，求另一根及方程中未知参数. 应用3，不解方程，利用定理求出关于x 1,x 2的对称式的值..,11,,,11,,213231212132312221等等如x x x x x x x x x x x x ++++++ 应用4，已知方程的两根，求作这个一元二次方程. 应用5，已知两数的和与积，求这两个数. 应用6，求作一个新的一元二次方程，使它的两根与已知方程的两根有某些特殊关系. 应用7，已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.应用8，解决其他问题，如讨论根的范围，根的符号及判定三角形的形状等.三、相关练习1．不解方程，求下列各方程两根之和，两根之积.x x 1.025.0.12-= x x 21231.22+= 22322.32=+x x )(4)(.42222222b a b a a b xx b a ≠-=-- 2．已知方程5x 2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.已知方程7x 2+kx-5=0的一个根是3，求另一个根及k 的值.3．利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2+3x-1=0两个根的（1）平方和，（2）倒数和，（3）立方和，（4）x 1-x 2，（5）1221x x x x + 4．设x 1、x 2是方程3x 2-9x-7=0的两个根，不解方程，求下列各式的值.221122221221)2()1(x x x x x x x x ++ （3）（2x 1+5）（2x 2+5） （4）x 1-x 25．求作一个一元二次方程，使它的两个根是212,313- 6．已知两数和是8，积是-9，求这两个数.7．已知方程2x 2+4x-3=0，不解方程，求作一个一元二次方程，使它的一个根为已知方程两根差的平方，另一根为已知方程两根和的倒数.试求且和分别满足方程、已知实数,1,030311.822≠=-+=-+ab b b a ab a (一)选择题 1．如果方程03622=+-x x 的两个实数根分别为21,x x ，那么21x x ⋅的值是（ ）（A ）3 （B ）–3 （C ）23-（D ）32-2．若21,x x 是方程0532=-+x x 的两个根，则()()1121++x x 的值为（ ） （A ）–7 （B ）1 （C ）291+- （D ）291--3．方程2x 2－ax ＋10=0的一个根为2，则a 的值为 ( ) (A) 25 （B ）29- （C ）49 （D ）9 4．已知方程 2x 2＋kx －2k ＋1=0 两实根的平方和为429 ，则k 的值是： (A) －11 (B) 3或－11 (C) 3 (D) 以上都不对5．若方程 x 2－kx ＋6=0 的两根分别比方程x 2＋kx ＋6=0 的两根大5，则k 的值是：(A) 5 (B) －5 (C) 852 (D) 856．方程x 2－ax －2a=0的两根之和为4a －3，则两根之积为 ( )(A) 1 （B ）－2 （C ）2 （D ）－1(二)填空题1．已知方程01932=+-m x x 的一个根是1，则它的另一个根是_____，m 的值为______。
第二章一元二次方程根与系数的关系及应用
一元二次方程根与系数的关系及应用教学目标掌握根与系数关系，灵活应用根与系数关系解题重难点分析重点：1、根与系数关系的公式； 2、根的关系变形； 3、列一元二次方程。
难点：1、根与系数关系的变形及运算； 2、应用题中一元二次方程的列法。
知识点梳理1、一元二次方程根与系数关系若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有两个实数根2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a ---=，则有2212442222b b ac b b ac b bx x a a a a-+-----+=+==-； 2222122244(4)42244b b ac b b ac b b ac ac cx x a a a a a-+------=⋅===。
即根与系数的关系为a b x x -=+21，acx x =⋅21以上关系称为韦达定理。
2、特殊根问题3、列一元二次方程解应用题的一般步骤可归结为“审、设、列、解、验、答”，具体如下： （1）审题：仔细阅读题目、分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间（2）设未知数：一种方法是直接设所要求的量为x ；另一种方法是设与所求量有关系，且具有关键性作用的未知量为，而所求量能用的代数式表示；（3）列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程； （4）解方程。
（5）检验：检验未知数的值是否满足所列出的方程，还必须检验它是否能使实际问题有意义。
若不符合实际意义则应舍去；（6）写出答案：书写答案，要注意不要遗漏单位和名称。
知识点1：探索根与系数关系【例1】解下列方程，并填写表格：方 程+知识点2：根与系数关系的应用（1）已知一元二次方程，求两根关系【例1】若1x ，2x 分别是一元二次方程0822=--x x 的两根。
（1）求21x x +的值； （2）求21x x ⋅的值； （3）求2111x x +的值 （4）求的值【随堂练习】1、已知方程0132=--x x 的两根为1x ，2x ，求)3)(3(21--x x 的值。
一元二次方程的解法及实际应用
一元二次方程的解法及实际应用一、引言在数学中，一元二次方程是一种常见的形式，它可以用来解决很多实际生活中的问题。
本文将介绍一元二次方程的解法，并探讨一些实际应用。
二、一元二次方程的解法1. 标准形式一元二次方程的标准形式为：ax² + bx + c = 0。
其中，a、b、c分别代表方程中的系数，且a ≠ 0。
2. 利用“求根公式”解方程一元二次方程可通过求根公式来解决。
求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。
- 若b² - 4ac > 0，方程有两个不同实数根；- 若b² - 4ac = 0，方程有一个实数根，且为重根；- 若b² - 4ac < 0，方程无实数根，但可以有复数根。
三、实际应用1. 抛体运动在物理学中，抛体运动问题可以通过一元二次方程来建模和求解。
例如，当我们抛出一个物体时，可以通过解一元二次方程来计算物体的落地时间、最高高度等。
2. 金融领域一元二次方程在金融领域中也有实际应用。
例如，在债券定价中，可以使用一元二次方程来计算债券的到期回报率；在利润预测模型中，可以通过一元二次方程来估计销售量与利润之间的关系。
3. 工程建模在工程领域中，一元二次方程经常用于建立工程模型和解决实际问题。
例如，用于预测水位变化情况、建筑物的稳定性分析等。
4. 生活中的应用一元二次方程还广泛应用于我们的日常生活中，例如：- 菜价预测：可以使用一元二次方程拟合历史数据，预测未来的价格变动趋势；- 汽车刹车距离计算：根据实验数据构建一元二次方程，通过计算得到刹车距离；- 光学仪器矫正：利用一元二次方程来计算镜片的度数以及矫正度数；- 音乐振动学：通过一元二次方程来计算乐器的音调和共振频率。
四、结论一元二次方程作为数学中常见的形式，具有广泛的实际应用领域。
掌握一元二次方程的解法有助于我们在解决实际问题时提供更准确的结果。
一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的二次多项式方程，其一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次方程的方法通常有因式分解法、配方法和求根公式法等。
本文将依次介绍这几种解法，并探讨一元二次方程在实际生活中的应用。
一、因式分解法对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当其可以因式分解成两个一次因式的乘积时，可以直接利用因式分解法求解。
具体步骤如下：1. 将方程转化为标准形式，即将方程两边移项合并同类项，使等式右边为0；2. 对方程进行因式分解，将二次项拆分为两个一次项的乘积；3. 令得到的每个一次项等于0，解出方程；4. 检查解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程3x²+7x+2=0，可以进行因式分解得到(3x+1)(x+2)=0，解得x=-1/3和x=-2。
二、配方法配方法是通过变形将一元二次方程转化为一个完全平方的形式，进而求解方程。
其主要步骤如下：1. 将方程转化为标准形式；2. 将方程的一次项系数b通过添加或减去一个适当的常数c/2a使其成为一个完全平方；3. 将方程的左边转化为一个完全平方，即将一次项的系数与1/2a相乘后平方；4. 将方程的两边开平方，解出方程。
例如，对于方程x²+4x-3=0，可以通过配方法将其变形为(x+2)²-7=0，进而解得x=-2+√7和x=-2-√7。
三、求根公式法求根公式法也称为根号公式法，适用于任何一元二次方程的解法。
一元二次方程ax²+bx+c=0的解可通过求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a得到。
具体步骤如下：1. 将方程的系数代入求根公式，并计算出方程的两个解；2. 验证解是否满足原方程，若满足则为方程的解，若不满足则舍去。
例如，对于方程2x²-5x+2=0，代入求根公式得到x=1和x=2/2。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
b 2 2 Δ一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【学习目标】1．掌握一元二次方程根的判别式的应用．2．掌握一元二次方程的根与系数的关系．【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：－4ac 叫做一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式．通常用符号“”来表示．2．对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ ＝0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ ＜0 时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于 x 的一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-1 2 ba，x x =1 2 ca4. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2＋px ＋q ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-p ，x x =q12 1 2【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ ＝b 2－4ac ，而不是指Δ ＝ b 2 4ac ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时 b 2－4ac ≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数 a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b 2－4ac ≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
一元二次方程的根的几何意义
一元二次方程的根的几何意义一元二次方程是高中数学中的重要内容，它的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知实数且a ≠ 0。
这个方程的解，也称为方程的根，对于一元二次方程而言，一般有两个根。
那么，这两个根在几何上有何意义呢？我们来了解一下一元二次方程的图像。
一元二次方程可以表示二次函数的图像，这个图像是一个抛物线。
当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。
这个抛物线的对称轴是一个直线，它的方程为x = -b/2a。
对称轴将抛物线分成两部分，左右两边关于对称轴对称。
对称轴上的点称为抛物线的顶点，它的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)表示方程的函数。
根据一元二次方程的定义，我们知道它的两个根就是使方程成立的x值。
从几何的角度来看，这两个根就是抛物线与x轴的交点，也就是抛物线与x轴的零点。
这两个交点的坐标分别为(x1, 0)和(x2, 0)，其中x1和x2是方程的两个根。
通过观察这两个根的坐标，我们可以得出一些几何意义。
首先，如果方程有两个不相等的实根，那么抛物线与x轴有两个交点，也就是抛物线与x轴有两个零点。
这时，抛物线与x轴的交点将抛物线分成三段，分别为开口朝上的一段、开口朝下的一段和过对称轴的一段。
这种情况下，抛物线与x轴的交点是一个很重要的几何特征。
如果方程只有一个实根，那么抛物线与x轴有一个交点，也就是抛物线与x轴有一个零点。
这时，抛物线与x轴的交点将抛物线分成两段，分别为开口朝上的一段和过对称轴的一段。
这种情况下，抛物线与x轴的交点也是一个重要的几何特征。
如果方程没有实根，那么抛物线与x轴没有交点，也就是抛物线与x轴没有零点。
这时，抛物线与x轴不相交，整个抛物线都在x轴的上方或下方。
这种情况下，抛物线与x轴的关系也是一个重要的几何特征。
一元二次方程的根在几何上有着重要的意义。
通过观察方程的根，我们可以推断出抛物线与x轴的交点个数、抛物线的开口方向以及抛物线与对称轴的关系。
一元二次方程的根与系数关系的应用
课题：一元二次方程的根与系数关系的应用一、复习导入：上节课我们学习了一元二次方程的根与系数的关系（也就是韦达定理），具体内容如下：如果方程那么、的两个实数根是,)0(0212x x a c bx ax ≠=++ac x x a b x x =-=+2121, 另外我们还研究了韦达定理的逆定理,内容如下：如果实数21x x 、满足ac x x a b x x =-=+2121,，那么21x x 、是一元二次方程 02=++c bx ax 的两个根.最后我们研究了韦达定理的两个重要推论，内容如下：推论1：如果方程02=++q px x 的两个根是21x x 、，那么.,2121q x x p x x =-=+推论2：以两个数21x x 、为根的一元二次方程（二次项系数为1）是.0)(21212=++-x x x x x x今天我继续来研究一元二次方程的根与系数关系的应用二、讲授新课：一元二次方程的根与系数关系的应用应用1：验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根例题1：不解方程，检验下列方程的解是否正确. 方程13,130232212-=+==+-x x x x 的两根为. 解：()()()2131313,3213)13(2121=-=-+==-++=+x x x x 满足21,x x ac x x a b x x =-=+2121, 13,1321-=+=∴x x 是方程的根02322=+-x x .应用2：由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数.例题2：已知方程01022=-+kx x 的一个根是2-.则=k ，它的另一根为 .解法一：是方程2- 01022=-+kx x 的根，()(),010222-2=--+⨯•∴k 代人原方程得把1.1-=-=∴k k 01022=-+kx x ，解得另一根为25.（传统方法）解法二：设方程的另一根为1x ，则,521-=-x ∴.251=x 又(),2252k -=+- ∴1-25.1的值是，故方程的另一根是k k -=（韦达定理应用） 应用3：不解方程，可以利用韦达定理求关于21x x 、的（非）对称式的值. 如：2121122121222111,,,11,x x x x x x x x x x x x --+++等等这类为对称式，而2121231,3x x x x x +++等等这类为非对称式.注意：如果把含21x x 、的代数式中的21x x 、互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数式为关于21x x 、的对称式，否则称为非对称式.例题3：已知21x x 、是方程21122036x x x x x x +=++的两实数根，则的值为 212124x x x -+的值为 解：⑴ 21x x 、是方程的两个根，0362=++x x ∴3,62121=-=+x x x x ∴()()10363633262221212212121222112=-=⨯--=-+=+=+x x x x x x x x x x x x x x ⑵ 1x 是方程的根，0362=++x x ∴036121=++x x ，即36121--=x x ∴212124x x x -+=()93232224362121211=-+-=---=-+--x x x x x x x 应用4：已知方程的两根，求这个一元二次方程. 例题4：求一个一元二次方程，使它的两根是：21,321-==x x 解： 21,321-==x x ∴23,252121-==+x x x x ∴该方程可以是023252=--x x ，可化为03522=--x x 应用5：已知两数的和与积，求这两个数.例题：已知的值求满足b a ab b a b a ,,3,2,-=-=+解： 3,2-=-=+ab b a ，∴的两根可以看作方程032,2=-+x x b a ∴方程0322=-+x x 可化为()()013=-+x x ，∴3,11,3-===-=b a b a 或 应用6：已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值.例题6：已知方程()042222=++-+m x m x 有两个实根且它们的平方和比它们的积大21，求m 的值.解：设方程的两根为21x x 、，∴()4,2222121+=--=+m x x m x x又 21212221=-+x x x x ，∴()21321221=-+x x x x ∴()[]()21432222=+---m m ，整理得017162=--m m ，∴1,1721-==m m 当17=m 时，0<∆，原方程无实根.当1-=m 时，0>∆，原方程有两个不相等的实根. ∴1-=m应用7：证明方程系数之间的特殊关系例题7：设方程02=++q px x 的两根之差等于方程02=++p qx x 的两根之差，求证：4-=+=q p q p 或证明：设方程02=++q px x 的两根为21x x 、，02=++p qx x 的两根为43x x 、 由题意知4321x x x x -=-，故有24432322212122x x x x x x x x +-=+-从而有()()432432122144x x x x x x x x -+=-+① 根据韦达定理，有p x x q x x q x x p x x =-=+=-=+43432121,,,②把②带入①，有p q q p 4422-=-，即04422=-+-q p q p即()()()04=-+-+q p q p q p ，即()()04=++-q p q p故040=++=-q p q p 或，即4-=+=q p q p 或应用8：解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等例题8：已知c b a ,,是ABC ∆的三边，关于x 的一元二次方程()x b a x 22++ -0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a c b a 的两根之和与两根之积相等，判定三角形的形状 解：设方程的两根为21x x 、，根据题意知2121x x x x =+①根据韦达定理，有()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=+a c b a x x b a x x 22,221221②把②带入①，有()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-a c b a b a 2222，即222c b a =+，故是直角三角形应用9：根的分布问题利用根的判别式和根与系数的关系，可进一步确定根的分布问题，这也是中考命题的热点，现总结规律如下：对于一元二次方程212,),0(0x x a c bx ax 设其两根为≠=++⑴方程有实数根：0≥∆；⑵方程无实数根：0<∆⑶方程有两个相等实数根：0=∆；⑷方程有两个不相等实数根：0>∆ ⑸方程有两个正实数根：0,0,02121>>+≥∆x x x x⑹方程有两个负实数根：0,0,02121><+≥∆x x x x⑺方程有一正一负实数根：0,021<>∆x x⑻方程有一正一负实数根且正根的绝对值大：0,0,02121<>+>∆x x x x ⑼方程有一正一负实数根且负根的绝对值大：0,0,02121<<+>∆x x x x ⑽方程仅有一正实数根：0,002121=>+<c x x x x 或⑾方程仅有一负实数根：0,002121=<+<c x x x x 或⑿方程有一根为0：0=c ；⒀方程有两根都为0：0==c b⒁方程仅有一根为0：0,0=≠c b⒂方程两根互为相反数：0,021≤=x x b ；⒃两根互为倒数：1,021=≥∆x x ⒄两根互为负倒数：1,021-=>∆x x ；⒅一根大于m ，一根小于m （m 为实数）：()()0,021<-->∆m x m x ⒆两根都大于m ：()()()()0,0,02121>-->-+-≥∆m x m x m x m x ⒇两根都小于m ：()()()()0,0,02121>--<-+-≥∆m x m x m x m x 例题9：已知关于x 的两个方程()04422=-+++m x m x ①与()0322=-+-+m x n mx ②，方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根.求证方程②两根符号相同解： 方程()04422=-+++m x m x 有两个不相等的负实数根，设这两个负实数根分别为21,x x ，0,0,02121><+>∆∴x x x x即()()024,024,04842>-<+->-⨯-+m m m m ，解不等式组得4>m ，由方程②有两个实数根，可知0≠m ，∴当4>m 时，03>-mm ，即方程②两根之积为正，所以方程②两根符号相同.三、总结归纳：通过这节课我们不仅把上节课韦达定理的内容复习了一下，另外我们又重点研究了韦达定理的应用，相信在座的每一位都印象深刻，相信未来遇到类似的题型大家都能迎刃解决，相信我们的合作会越来越好。
一元二次方程根与系数关系的应用
一元二次方程根与系数关系的应用一元二次方程根与系数的关系，又名韦达定理，是中学数学方程中根与系数的重要关系，它在训练学生数学思维、培养学生模型思想、创新意识、运用知识解决问题能力等方面有着十分重要的意义。
因此，多年来，运用一元二次方程根与系数关系解答的试题一直是中考和初中数学竞赛的重要内容，其题型多样，灵活性大，思路广阔，针对性强，是考查学生能力的重要题型。
一、定理的内容设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根，由求根公式得：x1+x2=-，x1x2=。
这就是一元二次方程的根与系数的关系，也称为韦达定理。
二、韦达定理几种常见变形1.x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2。
2.（x1-x1）2=（x1+x2）2-４x1x2。
3.（x1+a）（x2+a）=x1x2+a（x1+x2）+a2。
4.|x1-x2|=（x1+x2)2+4x1x2。
5. ＋=。
6.＋＝=－2。
三、运用韦达定理构建一元二次方程若x1、x2是一元二次方程的两个实数根，且x1+x2=a，x1x2=b。
那么以x1、x2为根的一元二次方程为x2-ax+b=0。
下面谈谈定理的应用：1.关于两根的对称式求值。
关于两根的对称式求值，常常将代数式化为含有两根和与两根积的式子，再代入求值。
例1.若x1、x2是一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值：①＋；②＋；③（x1-2）（x2-2）;④x12+x22;⑤（x1-x2）2；⑥|x1-x2|。
例中6个小题是上面几种常见变形的直接运用，熟悉这几种变形，不难求出相应的结果。
2.关于两根的非对称式的求值。
对于含有两根的非对称式子，常常根据根的定义降次，化高次为低次，化不对称为对称；或根据定理构造对称式，化分为整，化繁为简，从而求解问题。
（1）运用根的定义降次，化为对称式。
例2.设x1、x2是一元二次方程x2-x-2013=0的两个实数根，求x13+2014x2-2013的值。
(完整版)一元二次方程根的判别式知识点
一元二次方程根的判别式知识点及应用1、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若△＞0则方程有两个不相等的实数根若△=0则方程有两个相等的实数根若△＜0则方程没有实数根2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若方程有两个不相等的实数根，则△＞0若方程有两个相等的实数根，则△=0若方程没有实数根，则△＜0特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。
（2）一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)（Δ=b²4ac）一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。
例1、判断下列方程根的情况2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。
例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？三、证明方程根的性质。
例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
五、判定二次三项式为完全平方式。
例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。
例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。
六、利用判别式构造一元二次方程。
例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）求证：2y=x+z七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。
例8、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。
专题2 一元二次方程的解法及根的判别式应用题型(学生版)
专题2一元二次方程的解法及根的判别式应用题型知识归纳理解一元二次方程的定义及一般形式，掌握一元二次方程的解法，熟练解各类一元二次方程；掌握一元二次方程根的判别式的相关知识点并熟练应用，这些是本节的重要知识点。
本专题主要对一元二次方程的解法及根的判别式应用题型进行总结，对其解法进行归纳总结，所选题型为近几年期末考试中的常考题型。
知识点梳理一、一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．知识点梳理二．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．知识点梳理三．一元二次方程的解（1）解一元二次方程-直接开平方法（2）解一元二次方程-配方法（3）解一元二次方程-公式法把x ＝（b 2﹣4ac ≥0）叫做一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的求根公式．（4）解一元二次方程-因式分解法（5）换元法解一元二次方程知识点梳理四．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b 2﹣4ac ）判断方程的根的情况．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．常考题型专练一、选择题1.若关于x 的方程2x 2x m 0-+=有实数根，则m 的取值范围为()A.m ≤1B.m 1≥ C.1m > D.1m <2.若双曲线my x=在第二、四象限，那么关于x 的方程2x 2x m 0-+=的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.条件不足，无法判断3.当4a b +=时，关于x 的一元二次方程220ax bx -++=的根的情况为（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定4.关于x 的一元二次方程230x x k -+=有实数根，则k 的取值范围是（）A .k ≤94B.k ≥94C.94k <D.k ≤94且0k ≠5.实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则关于x 的一元二次方程210+-=ax bx 的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.只有一个实数根6.关于x 的一元二次方程260x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（）A.8B.9C.10D.117.若关于x 的一元二次方程2(1)220a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（）A.﹣1B.0C.1D.28．下列方程中，没有实数根的是（）A ．2310x x --=B ．230x x -=C ．2210x x -+=D ．2230x x -+=9．新定义运算：a ※b ＝a 2﹣ab +b ，例如2※1＝22﹣2×1+1＝3，则方程x ※2＝5的根的情况为（）A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根10．若关于x 的一元二次方程()22110m x x m -++-=有一个根为0，则m 的值是（）A ．1-B ．0C ．1D ．1或1-二、填空题1．方程22x x =的解是________．2．若实数a 、b 分别满足2430a a -+=，2430b b -+=，且a b ≠，则11a b+的值为．3．一元二次方程2430x x -+=配方为2(2)x k -=，则k 的值是．4．如果关于x 的方程22(21)0x m x m --+=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是________．5．在平面直角坐标系中，点（3，-2）关于原点对称的点的横纵坐标是x 的方程20x bx c ++=的两根，则b c +=________．三、解答题1．解方程：22(23)(32)x x +=+．2．已知关于x 的一元二次方程22230x x m --=．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为α，β，且25αβ+=，求m 的值．3．关于x 的一元二次方程()2104kkx k x +++=．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；(2)若该方程有两个相等的实数根，求该方程的解．4．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若m2﹣2mm+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+4ab+5b2+6b+9＝0，求a＝，b＝；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2﹣4a+2b2﹣4b+6＝0，求c的值；（3）若A＝3a2+3a﹣4，B＝2a2+4a﹣6，试比较A与B的大小关系，并说明理由．5．学习了完全平方公式以后，小明有了下面的发现：因为x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，不论x取什么值，（x﹣1）2≥0，所以（x﹣1）2+1≥1．因此，代数式x2﹣2x+2的值不小于1．这种把一个多项式或一个多项式中的某一部分化为一个完全平方式或几个完全平方式和的方法，称为配方法．请用配方法解决下列问题：（1）填空：①a2+6a+15＝（a+3）2+．②若（a﹣1）2+b2+4b+4＝0，则a＝，b＝．（2）已知m2+4m+n2﹣6n+13＝0，求m、n的值．（3）比较代数式3x3+2x2﹣4x﹣3与3x3+x2+2x﹣12的大小．。
一元二次方程根与系数关系的应用
的逆 定理 也是成 立 的 ， 即 当 。 ： ＝ 一 一 ｂ Ｘ １ ￣ Ｘ ２ ＝ 时， 那 么 。 、 则 是关 于 的
ａ ａ
一
元 二 次方 程似‘ ＋ ６ ＋ ｃ ： ０ ≠Ｏ ） 的两 根 ． 下 面 举 例说 明一 元 二次 方 程 根与
系数 关系 的应 用 ， 供 同学们学 习 时参考 ．
一
无 ；次
狠 与 系数
口 山东
对 于一 元二 次方程似‘ ＋ ６ ＋ ｃ ＝ ０ ≠０ ） 来说， 若 方程 两根 为 。 、 ， 则两 根 的关 系为 ： 概 ＝ 一 一 ｂ
０ Ｃ
， ・
： ＝ 一
．
根 与 系数 的这 种 关系 又称 为韦达 定 理 ； 它
ａ
所以 ＋ 一 Ｘ １ ：
Ｘ ２ （ 二
ｌ 。 Ｘ ２ —８
：
一
．
１ 。 ２
８
答 案 ． ． 等 ．
－
２ ： 一 ＿ 垒 ＿ ： 一 ２所 以本选 项不 合题 意 ；
，
Ｂ． ３ ｃ ２４ ｅ ＝ ０， 慨 ：一ｂ ￣ ＋４ ：０ ， Ａ： ｂｚ ４ａ
－
－
：
４ ， 所 以本 选项 不合题 意 ；
Ｃ． ２ ＋ ＋１ ０ ０， Ａ：６ ２
：
—
４ ： 一 ２ ８ ＜ ０ ，方程 无 实数根 ，所 以本选 项不 合题
关系， 得 ＋ １ ＝ 一 １ ， 解得 ＝ 一 ２ ． 答案： Ａ 二、 已知 两根 的和 ， 确 定方 程 例２ 下列 一元 二次 方程 两实数 根 和为一 ４ 的是 （
Ａ． ‘ ＋ ２ 一４ ＝０ Ｃ． ‘ ＋４ ＋ｌ ０ ＝０ Ｂ Ｄ
九年级数学上册《一元二次方程求根公式及其应用》教案、教学设计
1.通过对一元二次方程的引入，使学生掌握从实际问题中抽象出一元二次方程的一般方法。
2.通过自主探究、小组合作等方式，引导学生发现一元二次方程求根公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
3.利用求根公式解决实际问题时，引导学生分析问题、建立数学模型，提高学生解决实际问题的能力。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程求根公式的推导及其应用。
2.难点：理解求根公式的推导过程，以及如何运用求根公式解决实际问题。
（二）教学设想
1.引入新课：
-通过生活实例，如抛物线运动、面积计算等，引出一元二次方程的实际背景，激发学生的学习兴趣。
-对比一元一次方程，引导学生发现一元二次方程的特点，为新课的学习做好铺垫。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教学活动：利用多媒体展示一个实际问题，如“一个学生从地面上抛出一个球，球的最高点离地面2米，问学生抛球的高度和初速度分别是多少？”
2.提出问题：引导学生思考如何解决这个问题，从而引出一元二次方程的求解。
3.引入新课：通过对比一元一次方程，强调一元二次方程的特点，即未知数的最高次数为2，且方程的根可能有0个、1个或2个。
1.必做题：
-请同学们完成课本第chapter页的练习题，包括直接求解一元二次方程和运用求根公式解决实际问题。
-从练习中挑选两道具有代表性的题目，要求同学们写出完整的解题过程，包括解题思路、步骤和最终答案。
2.选做题：
-针对课堂上的抛物线运动实例，请同学们设计一个类似的实际问题，并运用一元二次方程求根公式进行求解。
1.学生对一元二次方程的概念理解可能不够深入，需要通过实例引入，帮助学生建立直观的认识。
一元二次方程的应用2B(学生版)
学科教师辅导讲义
2.已知三个连续偶数的平方为200，求这三个连续偶数.
【例4】如图，将一块长50厘米，宽40厘米的铁皮剪去四个正方形的角，就可以折成一个长方形的无盖盒子，如果盒子的底面积为600平方厘米，求盒子的高度.
【借题发挥】
如图3-9-5，从一块长80厘米，宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度.
11．某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套．经过一段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270
元时，恰好全部租出，在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且未租出
一套设备每月需要支出费用(维护费、管理费等)20元．
(1)设每套设备的月租金为x（元），用含x的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租设备（套）的支
出费用．
(2)租赁公司的月收益能否达到11040元？此时应该出租多少套机械设备？每套月租金是多少元？请简要说明理由．
(3)租赁公司的月收益能否在11040基础上再提高？为什么？
12．为了迎接2010年的世博会，让上海城市更美化，通过拆迁旧房，植草，
栽树、修建公同等措施，使城市绿地面积不断增加(如图17 -4-4所示)
(1)根据图中所提供的信息，回答下列问题：2007年底的绿地面积为
___________公顷，比2006年底增加了__________公顷；
(2)为满足城市发展的需要，计划到2009年底使城市绿地总面积达到
72.6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增长率．。
一元二次方程根的判别式的六种常见应用
一元二次方程根的判别式的六种常见应用应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知方程x 2－2x －m ＝0没有实数根，其中m 是实数，试判断方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0有无实数根．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m )＝4＋4m <0，即m <－1.对于方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0，Δ2＝(2m )2－4·m (m ＋1)＝－4m >4，∴方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．同类变式2．已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m 的值．应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，(1)证明：不论m 为何值，方程总有实数根；(2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．证明：(1)Δ＝[－(m ＋2)]2－8m＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0， 得 ∴x 1＝2/m ，x 2＝ 1. ∵方程的两个根都是正整数， ∴ 是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等， ∴m≠2，∴m ＝1.应用3：利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求 的值． 解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4. ∴m ＝5/2 或m ＝－3/2. 当m ＝5/2时， 当m ＝－－3/2时， 应用4：利用根的判别式解与函数综合问题5．y x ＋1是关于x 的一次函数，则关于x 的一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为222.22m m m x m m 21(21)2m x m 251112;(21)216514m m m 231152.(21)216326m m m()A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根∵y＝x＋1是关于x的一次函数，∴，∴k－1>0，解得k>1，又关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ，∴Δ<0，∴关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0无实数根，故选A.应用5：利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．解：∵方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4(a＋c)·＝b2－(a2－c2)＝0.∴b2＋c2＝a2.∴此三角形是直角三角形．应用6：利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个根．(1)m为何值时，▱ABCD是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB的长为2，求▱ABCD的周长是多少？(1)由题意，得Δ＝0，解：即m2－4 ＝m2－2m＋1＝0.∴m＝1.故当m为1时，▱ABCD是菱形．此时原方程为x2－x＋＝0，解得x1＝x2＝.即菱形ABCD的边长为.4a c－4a c－4a c－2m14124m141212(2)由题意知2是关于x 的方程x 2－mx ＋ － ＝0的一个根， ∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋ － ＝0， 解得m ＝ ，故原方程为x 2－ x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝ . ∴AD ＝ . 故▱ABCD 的周长为2× ＝ 5. 2m 142m 1452521212122。
一元二次方程的解法及应用
一元二次方程的解法及应用一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，具有许多重要的解法和应用。
本文将介绍一元二次方程的解法，并探讨其在实际生活中的应用。
一元二次方程的标准形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c 为已知常数，且a≠0。
解一元二次方程的经典方法是使用求根公式，即二次方程的根公式。
根据根公式，一元二次方程的解可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a其中，“±”表示两个解，即正负两个根。
在求解过程中，首先计算方程中的判别式Δ = b^2 - 4ac，然后根据Δ的正负情况来确定方程的解的性质。
如果Δ > 0，方程有两个实数解；如果Δ = 0，方程有两个相等的实数解；如果Δ < 0，方程无实数解，但可以有复数解。
除了根公式，求解一元二次方程还可以使用配方法、因式分解法等。
这些方法在特定情况下可以更加简便有效地求解方程。
例如，当方程可以进行因式分解时，可以直接将方程写成两个一次因式相乘的形式，然后令每个因式为零，求解得到方程的解。
配方法则通过将方程变形为一个完全平方的形式，进而求解方程。
一元二次方程的解法在实际生活中有着广泛的应用。
其中，最常见的应用之一是在物理学中的运动学问题中。
例如，当我们需要计算一个物体从静止开始运动的加速度、速度或位置时，往往需要建立起相应的运动方程，这样就可以转化为一元二次方程进行求解。
通过解方程，我们可以得到物体的运动规律和相关的物理量。
一元二次方程还广泛应用于工程学、经济学等领域。
在工程学中，一元二次方程可以用于建模和求解各种问题，如电路分析、结构力学、流体力学等。
在经济学中，一元二次方程可以用于描述供求关系、市场价格等经济现象，从而进行经济预测和决策分析。
除了以上的应用，一元二次方程还可以用于解决一些日常生活中的问题。
例如，我们可以利用一元二次方程来优化地设计园艺花坛的形状和面积，使其美观且占用空间最小。
一元二次方程根与系数的关系的5种应用
一元二次方程根与系数的关系的5种应用一元二次方程根与系数的关系的应用是初中数学的重点内容，也是中考必考的热门内容．与“一元二次方程根与系数的关系”有关的题型形式灵活多样，常见的形式有下面5种，要求同学们要熟练掌握．一，已知两根求作新方程例1，求一个一元二次方程，使它的两根为1x 、2x ，且满足221210x x +=，123x x =．答案：x 2+4x+3=0或x 2－4x+3=0解析：由221210x x +=，可得102)(21221=-+x x x x ，又因为123x x =，所以16)(221=+x x ，421±=+x x ，所以此方程为：x 2+4x+3=0或x 2－4x+3=0 二，已知关于两根关系式的值，求系数．例2，如果关于x 的方程x 2+mx+1=0的两个根的差为1，那么m 等于（ ）A ．±2B ．±3C ．±5 D ．± 6答案：C解析：根据题意，方程的两根1x 、2x ，满足1x －2x ＝１（设1x ＞2x ），所以（1x －2x ）2＝１2，得14)(21221=-+x x x x ．又因为，根据根与系数的关系， m x x -=+21，121=•x x ，所以114)(2=•--m ，所以m=± 5 三，已知一元二次方程，求两根关系式的值例3，已知1x 、2x 是方程,032=--x x 的两个根，那么2221x x +的值是（ ）A ．1B ．5C ．7D ．449 答案：C解析：根据根与系数的关系， 121=+x x ，321-=•x x ，又因为2212x x +=212212)(x x x x -+，所以2212x x +=7． 四，已知一根，求另一根及系数例4，已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1) x－6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值．解析：设方程的另一根为x1，由根与系数的关系：2 x1=－6，解得x1=－3．由根与系数的关系：－3+2= k＋1，所以k=－2.．五，知两数和，两数积，求两数例5，已知，两数和为8，两数积是7，求这两数．答案：1和7解析，根据根与系数的关系，这两数是方程2x-8x+7=0的两根，解得，x1=1，x2=7，所以这两数是1和7．。
求根公式法解一元二次方程方程根判别式的应用
求根公式法解一元二次方程方程根判别式的应用知识点1.把一元二次方程各系数直接代入求根公式，可以直接得到方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做法。
2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是。
3.一元二次方程的根的判别式是：△= 。
（1）当△＞0时，一元二次方程的实数根。
（2）当△= 0时，一元二次方程的实数根。
（3）当△＜0时，一元二次方程的实数根。
4.用求根公式解一元二次方程的一般步骤：（1）把原方程整理成形式，即的形式；（2）确定，，的值；（3）计算△= b2﹣4ac的值，若△时，则将a. b.c 代入求根公式计算；（4）写出答案：x1= , x2= .5.把一元二次方程左边因式分解，使方程化成两个一次因式的积等于0，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解方程的方法叫法。
6.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）把原方程整理成形式。
即的形式；（2）把方程的左边分解成的形式，右边为；（3）令这两个一次因式分别等于，得到两个一元一次方程；（4）分别解两个一元一次方程，求出每个方程的解；（5）写出答案。
例1、用公式法解下列方程 1，21202x x -++= 2，2121233x x --+=例2.用因式分解法解下列方程。
（1）26510x x -+= （2）261360x x ++=例3（2010•广州）已知关于x 的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求222(2)4ab a b -+-的值．例3、若关于x 的方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数值。
【变式练习】已知a,b,c 为三角形ABC 的三边，且方程()()()()()()0x a x b x b x c x c x a --+--+--=有两个相等的实数根，试判别ABC ∆的形状类型一：求根公式的应用例题：已知()2200a ab b ab +-=≠求a b。
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E F
如图，过E点作EM∥AD交CB于M点， B 设BD=2x，DC=3X, AF=4y,FD=y,ME=t
D MC
∵△CEM∽△CAD
CE CM ME CA= CD = AD
CM t
3xt
3x =5xCM= 5x
∵△BFD∽△BEM
FD BD EM = BM
2xt BM= y
∵BM＋CM=BC
解：方程（1），（2）有一根是0 方程（3），（4）有一根是1 方程（5），（6）有一根是﹣ 1
它们分别有什么特征：
已知关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
解：由题意得 a 12 b 1 c 0 即a b c 0
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
△ 的A面3积B2分B3别为1,4则图中S1,S2,S3的面积之和是---------1- 0.5 B2
由题意知，△ B1A2B2∽△B2A3B3
B3
S∆B1A2B2 1 B1B2 B1B2 1
S∆B2A3B3 =4=( B2B3 )² B2B3 =B2 2
∵A1B1 A2B2 A3B
B1
B1 M
B
C
D
过F点作MF AC
A
F
E
A
F
E
B
C
B
C
D
A
D
F
E
B
C
D
A
A
F
E
B
D C
F
E
B
C
A
F
E
B
C
D D
若△A2B1B2，△A3B2B3
如图，点A1，A2，A的3面，积分A4别在为1射,9线则图O中AS上1,S，2,S点3的B面1积，之B和2是，---B---3---在 且射A1线B1O∥BA上2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥AS14﹢BS3，2﹢若S3=△13 ﹢A32﹢B217B=23，0 13
则一次函数y=kx+b的图象一定经过▁▁▁▁象限
一，三，四
3:一元二次方程ax²＋bx＋c=0的一根是1，且满足等式 b= a﹣2+ 2﹣a﹣1,求此一元二次方程
解：∵
a-2≥0 2﹣a≥0
a=2,b=﹣1
∴方程为2x²﹣x＋c=0 ∴当x=1时，c=﹣1
∴方程为2x²﹣x﹣1=0
已知（m²﹣4m＋4)xm²﹣2+5mx﹣15=0是关于x的一元二次方程，
所以当m= ﹣1时，该方程有一根是0
例 3：判断 2 ， 4 ，0 是不是一元二次方程 3
3x 2 8 2x 的根。
解：把 x 2 分别代入方程 3x2 8 2x 的左边和右边，得 左边的值为 3 22 8 12 8 4 ； 右边的值为 2 2 4 。 ∵左边的值与右边的值相等 ∴ x 2 是这个一元二次方程的根。
③对于一元二次方程 ax ²＋bx ＋c=0(a ≠0) , 当有一个根为﹣ 1时，a ﹣ b ＋c=0
反过来，当a ﹣b ＋ c=0时，一元二次方程 ax ²＋bx ＋c=0(a ≠0) , 一定有一个根为﹣1
1)若c 0,则一元二次方程
ax2 bx c 0必有一解为 0.
2)若a b c 0,则一元二次方程 ax2 bx c 0必有一解为 1 . 3)若a b c 0,则一元二次方程 ax2 bx c 0必有一解为-1.
解： ∵a是方程x ²﹣2020x ＋1=0的一根 ∴a ²﹣2020a ＋1=0 ∴a ²﹣2019a﹣a ＋1=0
∴a ²﹣2019a=a ﹣1 ∴a ²＋1=2020a
解： ∵﹣2是方程x ²﹣mx ﹣2=0的一根 ∴(﹣2) ²﹣(﹣2)m ﹣2=0 解得：m=﹣1
类型三：已知方程的根，比较代数式值的大小
①对于一元二次方程 ax ²＋bx ＋c=0(a ≠0) , 当有一个根为0时，常数项 c =0
反过来，当c=0时，一元二次方程 ax ²＋bx ＋c=0(a ≠0) , 一定有一个根为0
②对于一元二次方程 ax ²＋bx ＋c=0(a ≠0) , 当有一个根为1时，a ＋b ＋c=0
反过来，当a ＋ b ＋ c=0时，一元二次方程 ax ²＋bx ＋c=0(a ≠0) , 一定有一个根为1
老师课前寄语
只有一条路不能选择——那就是放弃的路； 只有一条路不能拒绝——那就是成长的路
课题：一元二次方程的根及其应用
好
天
好
天
学
向
习
上
汤庄一中：雷林海 电话：15138201394
学习目标
了解方程根的概念，能利用方程根的意 义解决有关问题
复习
1：一元二次方程的定义是什么？ 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程.
→
（1）A 图1
作法 6 A
如图，AF:FD=4：1，
BD:DC=2：3，则AE:EC=--------
F
EM
如图，过F点作FM∥BC交CA于M点，设BD=2x，DC=3X
∵△AFM∽△ADC FM AM 4 3x = AC =5
FM AM AF 4 B D
DC = AC = AD=5
4)若4a 2b c 0,则一元二次方程
ax2 bx c 0必有一解为 2.
1)已知关于x的一元二次方程 (a 1)x2 x a2 1 0,的一根是0
则a的值为B
A.1 B.-1 C.1或-1 D.0
2：一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的一根是1，且a,b 满足等式
b= a-2 + 2-a -1, 求此一元二次方程的一般形式
Z
O
A1
A2
B1B2 A1A2 B2B3 = A2A3
作法 10
如图，AF:FD=4：1，BD:DC=2：3，
则AE:EC=--------
A
如图，过C点作CM∥BE 交AD延长线于M点，
E F
设 AF=4x,FD=x,
BD
C
∵EF∥CM AE AF 4x
EC = FM = FM
M
5x FM=FD＋DM= 2
∵BF∥MC FD BD 2
DM =DC=3 3x
∵ME∥BD △ MEF∽△DBF
ME FM t FM BD = FD 2x= y
yt FM= 2x
∵AM＋MF=AF
5yt 3x
＋
yt 2x
=4y
24x ME=t= 13
∵ME∥DC △ AME∽△ADC
AE ME AM AC= DC = AD
5yt AM= 3x
AE ME 8 AC= DC =13
2xt y
＋
3xt 5y
=5x
25y t= 13
∵EM∥AD
25y
CE ME 13 5 CA= AD = 5y =13
AE 8 EC =5
作法 8
A
如图，AF:FD=4：1， BD:DC=2：3，则AE:EC=--------
M
E
F
如图，过E点作EM∥BC交AD于M点， B D
C
设BD=2x，DC=3X, AF=4y,FD=y,ME=t
2：怎样判定一个方程是否是一元二次方程？ ①方程化简后看是否只含有一个未知数
②方程化简后看未知数的最高次数是否是2 ③方程化简前看等号的两边是否都是整式 3：一元二次方程的一般形式是什么？ ax²＋bx＋c=0(a,b,c是常数且a≠0)
a≥0且a≠2
1：若方程(a-2)x²＋ a x=3是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是▁ 2：若k,b分别是一元二次方程（x＋1)(x﹣2)=1的二次项系数和常数项
非一元方程的解不能叫方程的根
根据方程根的意义解决问题
类型一：已知方程的一根，求待定系数的值
1：已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x-
5m＋4＝0有一根为2,求m的值.
解：∵方程有一根是2 ∴把x＝2代入原方程得 4（m-1)+6-5m+4=0
解得 m=6 ∴ 所求m的值是6
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值。
求代数式
4m＋10 7﹣m
的值
解：由题意得：
m²﹣2=2 m²﹣4m＋4≠0
解得：m=﹣2
原式=
﹣8＋10 7＋2
2 =9
复习 （1）什么叫方程的根？方程的根
和解有什么联系和区别？
能使方程左右两边相等的未知数的值就叫 方程的解.一元方程的解也叫做一元方程根. 通常情况下，一元二次方程的解叫一元二次 方程的根
解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得，
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
a 9 4
例 4：关于 x 的一元二次方程 m 1x2 x m2 1 0
的一个根为 0，求 m 的值。
解：把x=0代入原方程得： m ²﹣1=0 即m ²=1 ∴m= ±1 又∵m﹣1≠0 ∴m≠1 ∴m= ﹣1
问题 2：在下列方程中，哪些方程有一个根为 0？
哪些方程有一个根为 1？哪些方程有一个根为-1？
（1） 2x2 x 0 ；（2）5x2 4x 0 ； （3）3x2 2x 5 0；（4） x2 7x 6 0； （5） x2 5x 4 0 ；（6） 2x2 3x 5 0 。
解：由题意得 a b c 0
即a 12 b 1 c 0
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1