2一元二次方程根的应用

老师课前寄语
只有一条路不能选择——那就是放弃的路； 只有一条路不能拒绝——那就是成长的路
课题：一元二次方程的根及其应用
好
天
好
天
学
向
习
上
汤庄一中：雷林海 电话：15138201394
学习目标
了解方程根的概念，能利用方程根的意 义解决有关问题
复习
1：一元二次方程的定义是什么？ 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2的整式方程叫做一元二次方程.
解：由题意得 a b c 0
即a 12 b 1 c 0
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根是1
拓展:若 a-b+c=0, 你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
讨论：当一元二次方程ax ²＋bx ＋c=0(a ≠0)有一个根 为0或1、-1时，一元二次方程的系数有什么特征？
44
12
FM=5DC=5•(3x)= 5 x
C
设AM=4t,AC=5t,
MC=t
12x
∵△EFM∽△EBC
FM EM BC = EC
EM 5 12 EC = 5x =25
MC 13 EC =25 AE 8 EC =5
t 13 EC = 25
25 EC= 13 t
作法 7
A
如图，AF:FD=4：1， BD:DC=2：3，则AE:EC=--------
FE
B
D
C
∵AM∥BC
△ AMF∽△DBF
AM AF 1 DB =DF=4
AM=4DB=8x
AE 8x 8 CE =5x=5
如图，已知△ABC，延长BC到D,使CD=BC，
取求AABE的中的点值F,连2结FD交AC于点E，A
AC A
F
E
3
F E
B
C
D
过A点作AM BC
A
B
A
D C
F
E
F
E
B
C
D
2xt y
＋
3xt 5y
=5x
25y t= 13
∵EM∥AD
25y
CE ME 13 5 CA= AD = 5y =13
AE 8 EC =5
作法 8
A
如图，AF:FD=4：1， BD:DC=2：3，则AE:EC=--------
M
E
F
如图，过E点作EM∥BC交AD于M点， B D
C
设BD=2x，DC=3X, AF=4y,FD=y,ME=t
B
C
D
过F点作MF AC
A
F
E
A
F
E
B
C
B
C
D
A
D
F
E
B
C
D
A
A
F
E
B
D C
F
E
B
C
A
F
E
B
C
D D
若△A2B1B2，△A3B2B3
如图，点A1，A2，A的3面，积分A4别在为1射,9线则图O中AS上1,S，2,S点3的B面1积，之B和2是，---B---3---在 且射A1线B1O∥BA上2B2∥A3B3，A2B1∥A3B2∥AS14﹢BS3，2﹢若S3=△13 ﹢A32﹢B217B=23，0 13
△ 的A面3积B2分B3别为1,4则图中S1,S2,S3的面积之和是---------1- 0.5 B2
由题意知，△ B1A2B2∽△B2A3B3
B3
S∆B1A2B2 1 B1B2 B1B2 1
S∆B2A3B3 =4=( B2B3 )² B2B3 =B2 2
∵A1B1 A2B2 A3B
B1
B1 M
则一次函数y=kx+b的图象一定经过▁▁▁▁象限
一，三，四
3:一元二次方程ax²＋bx＋c=0的一根是1，且满足等式 b= a﹣2+ 2﹣a﹣1,求此一元二次方程
解：∵
a-2≥0 2﹣a≥0
a=2,b=﹣1
∴方程为2x²﹣x＋c=0 ∴当x=1时，c=﹣1
∴方程为2x²﹣x﹣1=0
已知（m²﹣4m＋4)xm²﹣2+5mx﹣15=0是关于x的一元二次方程，
→
（1）A 图1
作法 6 A
如图，AF:FD=4：1，
BD:DC=2：3，则AE:EC=--------
F
EM
如图，过F点作FM∥BC交CA于M点，设BD=2x，DC=3X
∵△AFM∽△ADC FM AM 4 3x = AC =5
FM AM AF 4 B D
DC = AC = AD=5
2：怎样判定一个方程是否是一元二次方程？ ①方程化简后看是否只含有一个未知数
②方程化简后看未知数的最高次数是否是2 ③方程化简前看等号的两边是否都是整式 3：一元二次方程的一般形式是什么？ ax²＋bx＋c=0(a,b,c是常数且a≠0)
a≥0且a≠2
1：若方程(a-2)x²＋ a x=3是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是▁ 2：若k,b分别是一元二次方程（x＋1)(x﹣2)=1的二次项系数和常数项
问题 2：在下列方程中，哪些方程有一个根为 0？
哪些方程有一个根为 1？哪些方程有一个根为-1？
（1） 2x2 x 0 ；（2）5x2 4x 0 ； （3）3x2 2x 5 0；（4） x2 7x 6 0； （5） x2 5x 4 0 ；（6） 2x2 3x 5 0 。
E F
如图，过E点作EM∥AD交CB于M点， B 设BD=2x，DC=3X, AF=4y,FD=y,ME=t
D MC
∵△CEM∽△CAD
CE CM ME CA= CD = AD
CM t
3xt
3x =5xCM= 5x
∵△BFD∽△BEM
FD BD EM = BM
2xt BM= y
∵BM＋CM=BC
解：方程（1），（2）有一根是0 方程（3），（4）有一根是1 方程（5），（6）有一根是﹣ 1
它们分别有什么特征：
已知关于x的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
解：由题意得 a 12 b 1 c 0 即a b c 0
思考:若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根吗?
4)若4a 2b c 0,则一元二次方程
ax2 bx c 0必有一解为 2.
1)已知关于x的一元二次方程 (a 1)x2 x a2 1 0,的一根是0
则a的值为B
A.1 B.-1 C.1或-1 D.0
2：一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的一根是1，且a,b 满足等式
b= a-2 + 2-a -1, 求此一元二次方程的一般形式
解： ∵a是方程x ²﹣2020x ＋1=0的一根 ∴a ²﹣2020a ＋1=0 ∴a ²﹣2019a﹣a ＋1=0
∴a ²﹣2019a=a ﹣1 ∴a ²＋1=2020a
解： ∵﹣2是方程x ²﹣mx ﹣2=0的一根 ∴(﹣2) ²﹣(﹣2)m ﹣2=0 解得：m=﹣1
类型三：已知方程的根，比较代数式值的大小
解：由题意得 把x=3代入方程x2+ax+a=0得，
32+3a+a=0 9+4a=0 4a=-9
a 9 4
例 4：关于 x 的一元二次方程 m 1x2 x m2 1 0
的一个根为 0，求 m 的值。
解：把x=0代入原方程得： m ²﹣1=0 即m ²=1 ∴m= ±1 又∵m﹣1≠0 ∴m≠1 ∴m= ﹣1
解：∵m是方程x²-x-1=0的一根， m²-m-1=0 m²-m=1
5m²-5m+2014=5(m²-m)+2014 =5+2014=2019
4:已知a是方程x²-2019x+1=0的一根，
求代数式a²-2020a+
a²+1 2019
的值
解:∵a是方程x²-2019x+1=0的一根
a²-2019a+1=0
解：∵一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的一根是1， 把x=1代入方程得 a+b+c=0
由题意 a-2≥0且2-a≥0 a=2 ∵b= a-2 + 2-a -1, b=-1 ,c=-1
一元二次方程的一般形式是 2x-²x-1=0
类型二：已知方程的一根，利用整体代入法，求代数式的值
3:已知m是方程x²-x-1=0的一根，求代数式5m²-5m+2014的值
非一元方程的解不能叫方程的根
根据方程根的意义解决问题
类型一：已知方程的一根，求待定系数的值
1：已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x-
5m＋4＝0有一根为2,求m的值.
解：∵方程有一根是2 ∴把x＝2代入原方程得 4（m-1)+6-5m+4=0
解得 m=6 ∴ 所求m的值是6
已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根 是3，求a的值。
①对于一元二次方程 ax ²＋bx ＋c=0(a ≠0) , 当有一个根为0时，常数项 c =0
反过来，当c=0时，一元二次方程 ax ²＋bx ＋c=0(a ≠0) , 一定有一个根为0
②对于一元二次方程 ax ²＋bx ＋c=0(a ≠0) , 当有一个根为1时，a ＋b ＋c=0
反过来，当a ＋ b ＋ c=0时，一元二次方程 ax ²＋bx ＋c=0(a ≠0) , 一定有一个根为1
求代数式
4m＋10 7﹣m
的值
解：由题意得：
m²﹣2=2 m²﹣4m＋4≠0
解得：m=﹣2
原式=
﹣8＋10 7＋2
2 =9
复习 （1）什么叫方程的根？方程的根
和解有什么联系和区别？
能使方程左右两边相等的未知数的值就叫 方程的解.一元方程的解也叫做一元方程根. 通常情况下，一元二次方程的解叫一元二次 方程的根
AE 8 EC =5
作法 9
如图，AF:FD=4：1，BD:DC=2：3， A
则AE:EC=--------
如图，过C点作EM∥AD
E F
交BE延长线于M点， 设 AF=4x,FD=x,
B
D
C
过C点作CM∥AD △BFD∽△BMC ∴FD∶CM=BD∶BC=2∶5
5 ∴ CM=2x
∵ △AFE∽CME ∴AE∶EC=AF∶CM=8∶5
所以当m= ﹣1时，该方程有一根是0
例 3：判断 2 ， 4 ，0 是不是一元二次方程 3
3x 2 8 2x 的根。
解：把 x 2 分别代入方程 3x2 8 2x 的左边和右边，得 左边的值为 3 22 8 12 8 4 ； 右边的值为 2 2 4 。 ∵左边的值与右边的值相等 ∴ x 2 是这个一元二次方程的根。
③对于一元二次方程 ax ²＋bx ＋c=0(a ≠0) , 当有一个根为﹣ 1时，a ﹣ b ＋c=0
反过来，当a ﹣b ＋ c=0时，一元二次方程 ax ²＋bx ＋c=0(a ≠0) , 一定有一个根为﹣1
1)若c 0,则一元二次方程
ax2 bx c 0必有一解为 0.
2)若a b c 0,则一元二次方程 ax2 bx c 0必有一解为 1 . 3)若a b c 0,则一元二次方程 ax2 bx c 0必有一解为-1.
a²-2019a=-1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
a²-2020a=a²-2019a-a=-a-1
a²+1=2019a
a²+1
2019a
a²-2020a+ 2019 =-a-1+ 2019 =-1
5:若x=－2是关于x的方程x²+
3 2
ax-a²=0
的一根，求代数式2a²+6a+1的值
解:∵x=－2是关于x的方程x²+ 32 ax-a²=0的一根 4-3a-a²=0 a²+3a=4 2a²+6a+1=2(a²+3a)+1=9
6:若x0是方程ax²+2x+c=0(a≠0)的一根 设M=1-ac ,N=(ax0+1)²,试比较M,N的大小
解：∵x0是方程的一根 ax0²+2x0+c=0 ax0²+2x0=-c ∵N-M=(ax0+1)²-(1-ac) =a(ax0²+2x0)+ac=-ac+ac=0 M=N
M
1²
r
_____________
Z
O
A1
A2
B1B2 A1A2 B2B3 = A2A3
作法 10
如图，AF:FD=4：1，BD:DC=2：3，
则AE:EC=--------
A
如图，过C点作CM∥BE 交AD延长线于M点，
E F
设 AF=4x,FD=x,
BD
C
∵EF∥CM AE AF 4x
EC = FM = FM
M
5x FM=FD＋DM= 2
∵BF∥MC FD BD 2
DM =DC=3 3x
DM= 2
AE AF 4x 8 EC = FM = 5x =5
2
作法 11
如图，AF:FD=4：1，BD:DC=2：3，
则AE:EC=--------
A
M
如图，过A点作AM∥BC 交BE延长线于M点， 设 BD=2x,CD=3x,
∵AM∥BC △ AME∽△CBE
AE AM AM CE = BC = 5x
∵ME∥BD △ MEF∽△DBF
ME FM t FM BD = FD 2x= y
yt FM= 2x
∵AM＋MF=AF
5yt 3x
＋
yt 2x
=4y
24x ME=t= 13
∵ME∥DC △ AME∽△ADC
AE ME AM AC= DC = AD
5yt AM= 3x
AE ME 8 AC= DC =13